texto calculo diferencial - norman mercado universidad nacional de colombia 2011

Docente: Norman Mercado

Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

CALCULO DIFERENCIAL


Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Contenido

CAPÍTULO 1: PRELIMINARES DEL CÁLCULO ...................................................... 2 CAPÍTULO 2: FUNCIONES DE VARIABLE REAL ................................................ 15

CAPITULO 3: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES ............................... 85

CAPITULO 4: LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ............................................... 124 CAPÍTULO 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA ............................................. 159

SOLUCIONARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL ................................................. 231



CAPÍTULO 1: PRELIMINARES DEL CÁLCULO

Contenido. 1.1. Los números reales. 1.2. Intervalos. 1.3. Valor absoluto. 1.4. Inecuaciones en una variable. 1.5. El plano cartesiano. 1.6. Rectas en el plano. 1.7. Producto cartesiano. 1.8. Relaciones y funciones.

1.1. Los números reales. El conjunto de los números reales es un campo ordenado para las operaciones suma y producto. A cada número real se le hace corresponder un punto sobre la recta real, tal como lo ilustra la figura 1.1

Figura 1.1

1.1.1. Propiedades de campo de los reales A continuación se establecen las propiedades de campo del conjunto de los números reales. 1. Clausurativa para la suma. El conjunto de los reales es cerrado para la suma, es decir, que la suma de dos números reales es otro número real. En símbolos, se tiene:

RyxRyx ,,

2. Asociativa para la suma. Dos o más términos de una suma se pueden asociar sin que el resultado cambie. En símbolos, se tiene:

)()(,,, zyxzyxzyxRzyx

3. Conmutativa para la suma. El orden de los sumandos no altera el resultado. En símbolos, se tiene:

xyyxRyx ,,

4. Elemento neutro para la suma. El cero es el elemento neutro para la suma, es decir, todo número sumado con cero da como resultado el mismo número. En símbolos, se tiene:

xxxRxR 00,/0!

5. Inverso aditivo. A todo número real le corresponde un único número real de tal manera que la suma de ellos es el elemento neutro. En símbolos, se tiene:

0)(/!, xxRxRx

6. Clausurativa para el producto. El conjunto de los reales es cerrado para el producto, es decir, que el producto de dos números reales es otro número real. En símbolos, se tiene:

RyxRyx ,,



7. Asociativa para el producto. Dos o más términos de un producto se pueden asociar sin que el resultado cambie. En símbolos, se tiene:

)()(,,, zyxzyxzyxRzyx

8. Conmutativa para el producto. El orden de los factores no altera el resultado. En símbolos, se tiene:

xyyxRyx ,,

9. Elemento neutro para el producto. El uno es el elemento neutro para el producto, es decir, todo número multiplicado por la unidad da como resultado el mismo número. En símbolos, se tiene:

xxxRxR 11,/1!

10. Inverso multiplicativo. A todo número real diferente de cero le corresponde un único número real de tal manera que el producto de ellos es el elemento neutro. En símbolos, se tiene:

1/!,0, 11 xxRxxRx

11. Distributiva. El producto se puede distribuir sobre la suma. En símbolos, se tiene:

zxyxzyxRzyx ,,,

1.1.2. Propiedades de orden de los reales. El orden de los números reales viene dado por la propiedad de tricotomía, la cual establece que un número real puede ser positivo, negativo o cero. En símbolos, se tiene:

Rx , entonces 000 xxx

Las siguientes propiedades, escritas en forma simbólica, son de mucha utilidad en el estudio del cálculo:

1. zxzyyxsiRzyx ,,,

2. zyzxyxsiRzyx ,,,

3. zyzxyxsizRyx ,0,

4. zyzxyxsizRyx ,0,

5. )00()00(0,, yxyxyxsiRyx

6. )00()00(0,, yxyxyxsiRyx

1.2. Intervalos Un intervalo es un subconjunto de los números reales. Los intervalos pueden ser abiertos en ambos extremos, cerrados en ambos extremos o cerrados en un extremo y abiertos en el otro. A continuación se describen los intervalos más comunes tanto de forma constructiva como gráfica.

1. xaRxa /),(

Figura 1.2

2. xaRxa /),[



Figura 1.3

3. axRxa /),(

Figura 1.4

4. axRxa /],(

Figura 1.5

5. bxaRxba /),(

Figura 1.6

6. bxaRxba /],[

Figura 1.7

7. bxaRxba /],(

Figura 1.8

8. bxaRxba /),[

Figura 1.9

1.3. Valor absoluto Dado un número real x , su valor absoluto se define como la distancia entre dicho punto y el

origen. En símbolos, se tiene:

0

0

xsix

xsixx

El valor absoluto presenta ciertas propiedades, así:

1. Si a es un número positivo, entonces: axaax

2. Si a es un número positivo, entonces: axaxax

La figura 1.10 ilustra la situación planteada. La línea sólida corresponde a la primera propiedad y la punteada a la segunda.

Figura 1.10

El estudiante puede verificar que: xx 2

1.4. Inecuaciones en una variable



Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita cualquiera. La solución de una inecuación es un subconjunto de los números reales. Para resolver una inecuación se hace uso de las propiedades previamente descritas. Es posible que una inecuación no tenga solución, caso en el cual se dice que el conjunto

solución es el vacío. La inecuación 012 x , por ejemplo, no tiene solución real.

Ejemplo 1.1

Encuentre el conjunto solución para la inecuación: 2332 xx

Solución.

Transponiendo términos, se puede escribir 55 xx . En consecuencia, el conjunto

solución es el intervalo: )5,(I

Ejemplo 1.2

Encuentre el conjunto solución para la inecuación: 0232 xx

Solución.

La inecuación se puede escribir en la forma: 022/3 xx

La figura 1.11 muestra los signos de cada uno de los factores, teniendo en cuenta que el primer

factor se anula en 2/3 y el segundo se anula en 2. Para determinar el signo del producto se

aplica la conocida regla de los signos. Para el ejemplo, la figura 1.12 muestra los signos del producto.

Con base en la figura 1.12, el conjunto solución de la inecuación es el intervalo: 3/ 2,2I

Ejemplo 1.3 Encuentre el conjunto solución para la inecuación:

01

2

x

x

Solución. Se procede como en el caso anterior pero teniendo en cuenta que el denominador no puede ser cero. La figura 1.13 muestra los signos de cada uno de los factores. Para determinar el signo del cociente se aplica la conocida regla de los signos. Para el ejemplo, la figura 1.14 muestra los signos del cociente. Con base en la figura 1.14, el conjunto solución de la inecuación es el intervalo:

),2[)1,( I



Ejemplo 1.4

Encuentre el conjunto solución para la inecuación: 12 x

Solución. Aplicando las propiedades del valor absoluto, se tiene:

]3,1[31/121/ xRxxRxI

EJERCICIOS 1.4 Determine el conjunto solución para cada una de las siguientes inecuaciones:

1)

0)1( xx

2) 0)1)(2( xx

3) 0822

x

xx

4) 03

x

x

5) 02

12

x

x

6) 01

2

xx

7) 03

42

2

x

x

8) 01

12

2

x

x

9) 01

82

3

x

x

10) 03

42

2

x

x

11) 432 x

12) 12

x

x

13) 21

2

xx

14) 22 xx



15) 322 xx

1.5. El plano cartesiano. Consideremos dos rectas del plano perpendiculares entre sí que se cortan en un punto al que denominaremos el origen de coordenadas. La recta horizontal recibe el nombre de eje de abscisas mientras que la vertical recibe el nombre de eje de ordenadas. Cualquier punto del

plano estará completamente definido por un par de números ),( yx , donde:

x : es la abscisa del punto

y : es la ordenada del punto

Figura 1.15

1.6. Rectas en el plano.

Consideremos dos puntos del plano cuyas coordenadas son: ),( 111 yxP y ),( 222 yxP tal como

se ilustra en la figura 1.16. Por dichos puntos pasa una única recta L que tiene una inclinación con respecto a la parte positiva del eje de abscisas. Dicha inclinación recibe el nombre de pendiente de la recta y es numéricamente igual a la tangente del ángulo que dicha recta forma con la parte positiva del eje de abscisas.

Figura 1.16

1.6.1. Fórmula de la pendiente. De acuerdo con la definición de tangente, la pendiente de la recta viene dada por:



12

12

1

2

xx

yy

RP

RPm

1.6.2. Fórmula de la distancia.

Utilizando el teorema de Pitágoras, la distancia entre los puntos ),( 111 yxP y ),( 222 yxP viene

dada por:

2

12

2

12

2

2

2

121 )()( yyxxRPRPPP

1.6.2. Fórmula del punto medio de un segmento de recta

Las coordenadas del punto medio del segmento de recta 21PP vienen dadas por:

22

2121 yyy

xxx mm

1.6.3. La ecuación de la recta.

Para cualquier punto ),( yxP de la recta de la figura 1.16 se verifica que:

1

1

xx

yym

En consecuencia, la ecuación de la recta viene dada por:

)( 11 xxmyy

Una manera alternativa de escribir la ecuación de una recta oblicua es la siguiente:

bmxy

Dónde:

m : es la pendiente de la recta

b : es el corte entre la recta y el eje de ordenadas

Como casos particulares se tienen los siguientes:

1) Recta horizontal que pasa por el punto ),( 111 yxP . La ecuación de la recta es:

Rxyy 1

2) Recta vertical que pasa por el punto ),( 111 yxP . La ecuación de la recta es:

Ryxx 1

1.6.4. Rectas paralelas. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma inclinación, es decir, tienen la misma pendiente. 1.6.5. Rectas perpendiculares. Dos rectas son perpendiculares entre sí cuando al cortarse forman un ángulo de 90°. En tal caso se puede probar que el producto de sus pendientes es menos la unidad. En símbolos se

tiene que: dadas dos rectas de pendientes 1m y 2m , las rectas son perpendiculares sí y solo

sí: 121 mm

Ejemplo 1.5 Elabore una gráfica y ubique los siguientes puntos del plano y trace el triángulo que se forma.



)2,3()2,2()4,1( CBA

Con base en lo anterior: a) Determine el perímetro del triángulo b) Determine el área del triángulo

c) Calcule el punto medio del segmento AC

d) Encuentre la ecuación de la mediana subtendida al vértice B

e) Encuentre la ecuación de la mediatriz del lado AC

Solución. La figura 1.17 ilustra la situación gráfica.

Figura 1.17

a) Para calcular el perímetro se calculan las longitudes de los lados, así:

5))2(1()24( 22 AB

5220)31()24( 22 AC

5BC

En consecuencia el perímetro es: 535 P b) Para calcular el área se tiene que la medida de la base es 5 y la de la altura es 2, por tanto,

el área es: 25unidA

c) Para calcular el punto medio del segmento AC se procede de la siguiente manera:

31)2,3()4,1( mm yxCA

d) Para hallar la ecuación de la mediana se calcula su pendiente, así: 3

1

)2(1

23

m

En consecuencia, la ecuación de la mediana es:

3

8

3

1)1(

3

13 xyxy

e) Para hallar la ecuación de la mediatriz se calcula primero la pendiente del segmento AC ,

así 2

1

13

42

m , con lo que la pendiente de la mediatriz es 2m . Por tanto, la ecuación

de la mediatriz es: 12 xy

Ejemplo 1.6



Considere los puntos de plano: )3,3()2,1()4,1( CBA

a) Represente gráficamente los puntos y dibuje el triángulo que se forma b) Calcule una cualquiera de las tres alturas y determine el área del triángulo Solución.

a) La figura 1.18 muestra la gráfica del triángulo y la altura bajada al lado AB b) Para calcular la altura se debe encontrar la ecuación de la recta perpendicular al segmento

AB . Para lograrlo hay que hallar la pendiente de dicho segmento, así:

311

)2(4)(

ABm

La pendiente de la recta que contiene a la altura viene a ser 3/1)( hm , con lo que la

ecuación de dicha recta es:

23

1)3(

3

13 xyxy

A continuación se determina el punto de corte de la recta hallada con la recta que contiene a la base. La ecuación de la recta que contiene a la base se calcula de la siguiente manera:

13)1(32 xyxy

Resolviendo simultáneamente, se tiene:

10/1910/313

10132

3

1 yxxxx

Finalmente, la altura es la longitud del segmento CD , así:

48.310/19310/3322

hh

Figura 1.18 EJERCICIOS 1.6 Repita el ejemplo 1.5 para los siguientes casos:

1) )2,2()2,2()3,2( CBA



2) )0,2()2,2()2,2( CBA

Repita el ejemplo 1.6 para los siguientes casos:

3) )2,3()2,1()3,2( CBA

4) )4,3()2,0()3,2( CBA

5) Considere el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos:

)0,3()2,2()2,2()1,4( DCBA

a) Represente gráficamente b) Calcule el área del cuadrilátero

1.7. Producto cartesiano. Relaciones y funciones. La presentación del tema servirá para complementar el estudio que posteriormente se hará para funciones de variable real. 1.7.1. Producto Cartesiano. Consideremos dos conjuntos finitos que son subconjuntos de los números reales, así:

543214321 ,,,,,,, bbbbbBaaaaA

El producto cartesiano: BA se define como el conjunto de todas las parejas ordenadas cuyo

primer elemento pertenece al conjunto A y cuyo segundo elemento pertenece al conjunto B . Así las cosas, el producto cartesiano correspondiente a nuestro caso tendrá 20 parejas, así:

),(),.......,,(),,(),,(),,(),,(),,(),,( 5422125141312111 babababababababaBA

En general, cualesquiera que sean los conjuntos A y B no vacíos, su producto cartesiano viene dado por:

BbAabaBA /),(

Ejemplo 1.7

Determine y grafique el producto cartesiano BA para los conjuntos:

2,22,1,0,1,2 BA

Solución. El producto cartesiano pedido es:

)2,2(),2,2(),2,1(),2,1(),2,0(),2,0(),2,1(),2,1(),2,2(),2,2( BA

La gráfica correspondiente se ilustra en la figura 1.19.



Figura 1.19 1.7.2. Relaciones.

Una relación real es un conjunto de parejas ordenadas ),( yx del plano 2R en la que Ax y

By . Tanto A como B son subconjuntos de los números reales. El primero recibe el

nombre de conjunto de partida y el segundo es el conjunto de llegada. Los elementos de una relación satisfacen una condición cualquiera.

Ejemplo 1.8

Dados los conjuntos: 4,3,2,1,0,1,2,3,43,2,1,0,1,2,3 BA

Represente gráficamente la relación que cumpla la condición: 3 xy

Solución. La correspondiente relación es el conjunto:

)4,1(),4,0(),3,0(

),4,1(),3,1(),2,1(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),0,3(R

La figura 1.20 ilustra la gráfica de la relación.

Figura 1.20 1.7.3. Funciones. Una función de variable real es una relación en la que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde un único elemento en el conjunto de llegada. Las funciones de variable real se representan usualmente mediante una gráfica, una tabla o, eventualmente, mediante una expresión matemática que relaciona a las variables. La siguiente es la notación más usada para representar una función:

)(/),(: xfyyxRBRAf



En adelante se dirá que:

A : es el dominio de la función

B : es el codominio de la función x : es la variable independiente

y : es la variable dependiente

El rango de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente.

Ejemplo 1.10 Dados los conjuntos:

enteroslosdeconjuntoElBA 2,1,0,1,2,3

Represente gráficamente la función que cumpla la condición 12 xy , indicando el dominio

y el rango. Solución. La función viene dada por:

)5,2(),3,1(),1,0(),1,1(),3,2(),5,3(: BAf

El dominio es el conjunto A y el rango es el conjunto 5,3,1,3,5 Rango

Figura 1.21

EJERCICIOS 1.7 Dados los conjuntos:

ZBxNxA 55/ : Conjunto de los números enteros

Represente gráficamente las siguientes relaciones, indicando las que sean funciones. Para las funciones, determine el dominio y el rango

1) xyyxBAl /),(:Re

2) 2/),(:Re xyyxBAl



3) xyyxBAl 2/),(:Re

4) 25/),(:Re 22 yxyxBAl

5) 4/),(:Re 2 xyyxBAl

6) xyyxBAl /),(:Re

7) xyyxBAl /),(:Re



10) 22/),(:Re xxyyxBAl



CAPÍTULO 2: FUNCIONES DE VARIABLE REAL Contenido. 2.1. Funciones como modelos matemáticos. 2.2. Tipos de funciones. 2.3. Funciones trascendentes. 2.4. Funciones definidas por tramos. 2.5. Transformaciones de funciones. 2.6. Funciones crecientes y decrecientes. 2.7. Operaciones con las funciones. 2.8. Composición de funciones. 2.9. Curvas del plano. 2.10. Inversa de una función. 2.11. Funciones exponenciales y logarítmicas. 2.12. Funciones trigonométricas inversas. 2.13. Funciones hiperbólicas. 2.14. Funciones hiperbólicas inversas.

2.1. Funciones como modelos matemáticos De acuerdo con lo estudiado previamente, una función es un conjunto de parejas ordenadas del plano en la que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde un único elemento del conjunto de llegada. La definición, sin embargo, es estrictamente matemática y carece de valor si no se contextualiza adecuadamente. Por ejemplo, si nos interesa determinar la posición

de una partícula en todo instante a partir del instante 0t y denotamos por )(tx dicha

posición, entonces )(tx es la variable dependiente y t es la variable independiente. La

posición )(tx es una función ya que para un instante determinado se tiene una única posición.

Figura 2.1

Normalmente una función se puede representar mediante una expresión matemática, una tabla de valores o mediante una gráfica. Un procedimiento usual en ingeniería consiste en encontrar la expresión matemática para una función a partir de una tabla de valores.

Ejemplo 2.1. Consideremos el cuadrado de lado x de la figura 2.2 y definamos las tres funciones siguientes:

Figura 2.2

a) Área del cuadrado: 2)( xxa

b) Perímetro del cuadrado: xxp 4)(

c) Longitud de la diagonal: xxd 2)(

Comentarios. El área es una función cuadrática, mientras que el perímetro y la diagonal son funciones lineales. El dominio de la función es el conjunto de los reales positivos.



En las figuras: 2.3, 2.4 y 2.5 se representan gráficamente las tres funciones en el dominio ]2,0[

Figura 2.3 Figura 2.4 Figura 2.5

Ejemplo 2.2.

Se tiene una lámina rectangular de dimensiones ba, . En cada esquina se recorta un

cuadrado de lado x para formar una caja sin tapa. Determine el volumen y el área total de la

caja en función de: x

Solución. La figura 2.6 muestra la lámina, mientras que la caja que se forma al recortar los cuadrados se muestra en la figura 2.7. Por simple inspección se obtienen las funciones para el área y el volumen de la caja, así:

a) Volumen: )2)(2()( xbxaxxV

b) Área: 24)( xabxA

Para ambas funciones, el dominio es el intervalo: ]2/,0[ a siempre que ba . Las figuras 2.8

y 2.9 muestran las gráficas de las funciones para: 6,4 ba

Figura 2.6 Figura 2.7

El área es una función cuadrática y el volumen es una función cúbica; ambas funciones son casos especiales de las funciones polinómicas, funciones de importancia fundamental en ingeniería y ciencias.


Ejemplo 2.3

Una cantidad de dinero: P se coloca en una corporación de ahorro a una tasa de interés compuesto continuo mensual r . Encuentre una expresión matemática que permita hallar la cantidad futura al cabo de n meses.

Solución Hacemos el siguiente razonamiento:



Al cabo de un mes la cantidad inicial ha generado intereses por un monto de rP , con lo que la cantidad disponible al principio del segundo mes es:

PrrPPF )1()1(

Al final del segundo mes se tendrá la cantidad

PrPrPrrF 2)1()1()1()2(

Continuando con el mismo razonamiento, la cantidad de dinero al cabo de los: n meses será:

PrnF n)1()(

Si la variable independiente es el número de meses n , la función encontrada es de tipo

exponencial. Las figuras 2.10 y 2.11 ilustran las gráficas de la función para dos tasas de interés diferentes.


Ejemplo 2.4 Consideremos un triángulo rectángulo con hipotenusa c y catetos cuyas medidas son yx, .

De acuerdo con el teorema de Pitágoras, la medida de uno de los catetos está dada en función del otro, así:

22 xcy

Es claro que la longitud de un cateto es menor que la de la hipotenusa, con lo que el dominio

de la función es el intervalo cx 0 . La figura 2.12 muestra la gráfica de la función para una

hipotenusa unitaria. Como puede verse, corresponde a un arco de circunferencia en el primer cuadrante.


Ejemplo 2.5 Considere la figura 2.13. La medida del ángulo BAC es una función de la distancia: AO, así

)(xf . Puesto que el ángulo es la diferencia entre los ángulos OAC yOAB , tenemos

OABOAC . Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica:



)tan()tan(1

)tan()tan()tan(

Con base en dicha identidad, resulta:

x

b

x

ba

x

b

x

ba

1

)tan(

Simplificando y despejando el ángulo, se tiene:

bbax

axx

)(arctan)(

2

Particularmente, con 1a y 2b , el ángulo viene dado por:

6arctan)(

2x

xx

La figura 2.14 ilustra la gráfica de la función para 1a , 2b en el dominio 100 x .

Puede verse que el máximo ángulo de la visual, en radianes, es de aproximadamente 0.2, es

decir, de 11.5 .

Figura 2.14.

Ejemplo 2.6

El perímetro de la ventana de la figura 2.15 es una constante P . Determine el área de la ventana como una función de la variable x .

Figura 2.15

Solución. Puesto que la ventana es un rectángulo coronada con un semicírculo, este tendrá un radio

2/xR y, en consecuencia, un perímetro 2/x . Puesto que el perímetro de la ventana es

P y suponiendo que la altura del rectángulo es y resulta:



Pxyx 2/2

Con base en lo anterior, la altura del rectángulo es una función de x , así:

4

22

2

2/ xxPy

xxPy

Por tanto, el área de la ventana viene a ser una función de x , así:

2222 224

1

8

1)2/(

2

1)( xxPxxAxxyxA

Finalmente, el área se puede escribir en la forma:

2)4(48

1)( xPxxA

Sí se toma un perímetro de 6 metros, el área de la ventana viene dado por:

2)4(248

1)( xxxA

La función obtenida es una función cuadrática y su gráfica es una parábola. Para calcular el dominio de la función se determinan los puntos en los que el área es cero. Dichos puntos son

0x y 36.34

24

x . Por tanto, el dominio de la función es 36.30 x . La figura

2.16 ilustra la gráfica de la función con mtsP 6

Figura 2.16

Ejemplo 2.7

Se tiene un terreno rectangular de perímetro constante P y se desea cercarlo y hacer una división como se muestra en la figura 2.17. Si el costo unitario del cercado es el doble en la

división, determine el costo total del cercado. Suponga que el lindero AB no requiere cerca. Solución. De acuerdo con la figura, se tiene:

2

222

xPyPyx

Sea c el costo unitario del cercado exterior, entonces, el costo total es:

)4(2)2()( yxccxyxcxC



Figura 2.17

Sustituyendo el valor de y , resulta:

2

6

2

24)(

xPc

xPxcxC

EJERCICIOS 2.1

1) Una caja sin tapa en forma de paralelepípedo tiene una longitud x de ancho y x2 de largo.

Si el volumen de la caja es 3200cm , determine el área lateral en función de x .

2) Una ventana presenta la forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero de

lado x . Si el perímetro de la ventana es m4 , determine el área en función de x .

3) Para la figura 2.18, escriba el ángulo en función de x

4) Para la figura 2.19, escriba el área de la figura sombreada en función de

5) Se tiene un triángulo isósceles en el que la medida de los lados iguales es x . Determine el

área en función de x sabiendo que el perímetro del triángulo es cm20 .


6) Un grabado rectangular tiene un área de 600 2cm . Se desea enmarcarlo de tal forma que

tenga márgenes iguales a 5 cm . Determine el área total del cuadro en función de una de las

dimensiones del grabado.

7) Un depósito cónico con el vértice hacia abajo tiene un radio en la base cm30 y una altura

cm90 . El tanque, inicialmente lleno de agua, empieza a vaciarse por un orificio practicado en

el vértice. En cierto momento la altura del líquido por encima del orificio es y . Determine el

volumen del líquido en función de la altura. 8) Se tiene un depósito cilíndrico sin tapa con radio en la base x . Determine el área total en

función de x sabiendo que el volumen del cilindro es una constante V .

9) Para la figura 2.18, determine el área del triángulo ABC en función de x

10) Un almacén vende diariamente cierto artículo. El precio de venta por artículo es de $100 cuando se venden entre cero y 50 unidades. Para ventas superiores a las 50 unidades el precio unitario es de $80 por artículo adicional. Determine la venta total en función del número de artículos y represente gráficamente.



11) Se desea cercar un terreno rectangular de 600 metros cuadrados de área, con una división como la ilustrada en la figura 2.17. El costo por metro del cercado exterior es 20 mil pesos, mientras que el costo por metro de la división es de 10 mil pesos. Determine el costo total, en miles de pesos, del cercado total en función de x .

12) Un equipo de fútbol juega en un estadio con capacidad para 20.000 espectadores en las tribunas populares. La asistencia promedio es de 14.000 cuando la boleta tiene un costo de $10.000. Un estudio de mercadeo indica que por cada $1.000 que se rebaje a la boleta la asistencia se incrementa en 2000 personas. Determine el recaudo en términos del precio de la boleta.

2.2. Tipos de funciones No es sencillo hacer una clasificación de las funciones de variable real, sin embargo, proponemos la siguiente clasificación que va de lo elemental a lo relativamente más elaborado. 2.2.1. La función constante. Puede decirse que es una de las funciones más elementales del cálculo y se define como:

RCCxf ;)(

La gráfica de la función es una línea horizontal que pasa por el punto ),0( C .

El dominio de la función es el conjunto de los números reales, mientras que el rango es el

conjunto CRango .

Un ejemplo de una función constante es la velocidad de una partícula que se mueve con movimiento uniforme. 2.2.2. La función identidad. Es una función en la que los elementos de cada pareja son iguales. Formalmente se define como:

Rxxxf ;)(

La gráfica de la función es una línea recta que forma un ángulo de 45° con el eje de abscisas.

2.2.3. La función lineal. Es otra de las funciones elementales del cálculo y viene dada por:

Rxbmxy

La gráfica de la función es una línea recta de pendiente m que pasa por el punto ),0( b

Son ejemplos de funciones lineales, las siguientes:

a) 23 xy

b) gtVv 0 : Corresponde a la velocidad en todo instante de una partícula que se lanza

verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial 0V , en ausencia de fricción.

2.2.4. La función potencia cuadrática. Se define como:

Rxxxf ;)( 2

La gráfica de la función es una parábola con vértice en el origen que se abre hacia arriba. 2.2.5. La función cuadrática. La función cuadrática viene dada por:

Rxacbxaxy ,0;2



La gráfica de la función es una parábola que se abre hacia arriba si a es un número positivo y

hacia abajo en caso contrario. Las raíces de una función cuadrática se encuentran haciendo

0y , es decir, resolviendo la ecuación cuadrática:

02 cbxax

Las dos raíces se obtienen aplicando la conocida fórmula del bachiller, así:

a

acbbrr

2

4,

2

21

La cantidad dentro del radical es un número real que recibe el nombre de discriminante. Al calcular las raíces se puede presentar una de las siguientes situaciones: a) El discriminante de la ecuación es positivo. En este caso las raíces son reales y diferentes:

21 , rr y la gráfica de la parábola corta dos veces al eje de abscisas, tal como se ilustra en la

figura 2.20, con 0a

b) El discriminante de la ecuación es cero. En este caso las raíces son reales e iguales:

rrr 21 y la gráfica de la parábola es tangente al eje de abscisas, tal como se ilustra en la

figura 2.21, con 0a

c) El discriminante de la ecuación es negativo. En este caso las raíces son complejas

conjugadas: 1 2,r r j y la gráfica de la parábola no corta al eje de abscisas, tal como se

ilustra en la figura 2.22, con 0a

Figura 2.20 Figura 2.21 Figura 2.22

La forma canónica de la parábola es 2)( hxaky , dónde ),( kh es el vértice de la

parábola. La forma canónica se encuentra por completación del trinomio cuadrado perfecto, así:

cxa

bxaycbxaxy

22

Dentro del paréntesis se suma y se resta 2

2

4a

b

a

bac

a

bxay

a

bc

a

bx

a

bxay

ca

b

a

bx

a

bxay

4

4

2

44

44

22

2

2

22

2

2

2

22

Es claro que:



a

back

a

bh

2

4

22

2.2.6. La función potencia cúbica. Se define como:

Rxxxf ;)( 3

La gráfica de la función, en el intervalo 22 x , se muestra en la figura 2.23.

Figura 2.23

2.2.7. Funciones Polinómicas Una función polinómica tiene la forma general:

n

n xaxaxaxaaxf ....)( 3

3

2

210

Los coeficientes son números reales en los casos de interés. La gráfica de una función polinómica es una curva ‘continua’ en el dominio de los reales. Las raíces reales de un polinomio son los cortes de la función con el eje de abscisas, tal como ocurre con la función cuadrática. La función polinómica de grado n y coeficientes reales siempre se podrá expresar mediante factores lineales y cuadráticos. En tal caso, siempre es posible determinar las: n raíces de la función polinómica. El concepto de continuidad se presentará posteriormente. Intuitivamente, la continuidad implica que la curva no presenta interrupciones.

Ejemplo 2.8

Considere la función cúbica: xxxf 4)( 3

a) Elabore una tabla de 7 valores igualmente espaciados en el intervalo: [-3,3]

b) Con base en la tabla de valores hallada, ubique las raíces reales de la ecuación 0)( xf .

c) Represente gráficamente la función. Solución. a) Se hace la tabla de valores

x -3 -2 -1 0 1 2 3

)(xf -15 0 3 0 -3 0 15

b) Por simple inspección, las raíces del polinomio son: 2,0,2

c) La figura 2.24 ilustra la gráfica de la función.



Figura 2.24

Ejemplo 2.9

Considere la función polinómica: 322)( 234 xxxxxf

a) Elabore una tabla de 8 valores igualmente espaciados en el intervalo: 5.2,1

b) Con base en la tabla de valores hallada, ubique las raíces reales de la ecuación 0)( xf .

c) Represente gráficamente la función. Solución. a) Hacemos la tabla de valores.

x -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

)(xf 3 -1.43 -3 -3.94 -5 -5.44 -3 6.06

Figura 2.25 b) A partir de la tabla se observa que hay raíces reales en los intervalos: (-1,-0.5) y (2,2.5).

c) La figura 2.25 muestra la gráfica de la función en el intervalo: [ 1,2.5]

2.2.8. El inverso multiplicativo de la función identidad. Se define como:

0;1

)( xx

xf

Tal como está definida, el dominio de la función es el conjunto: 0/ xRxD f

Puede verse que si se toman valores para x cercanos a cero por la izquierda, la función toma

valores negativos cada vez más grandes. Por otro lado, si se toman valores para x cercanos a

cero por la derecha, la función toma valores positivos cada vez más grandes. Se dirá entonces



que la recta 0x es una asíntota vertical de la gráfica de la función. También es claro que si

x aumenta positivamente, la función se hace cada vez más pequeña y lo mismo si aumenta

negativamente. La figura 2.26 muestra la gráfica de la función. 2.2.9. Funciones Racionales. Una función racional es el cociente indicado de dos polinomios, así:

)(

)()(

xP

xQxf

La función racional se puede expresar en la siguiente forma:

n

n

m

m

xaxaxaa

xbxbxbbxf

.....

.....)(

2

210

2

210

Después de factorizar los polinomios, la función queda de la siguiente manera:

)).....()((

)).....()(()(

21

21

n

m

pxpxpx

zxzxzxKxf

Figura 2.26

Las raíces del numerador se denominan los ceros de la función y las del denominador son los polos de la función. En general, tanto los ceros como los polos son números complejos. Geométricamente, los ceros reales son los cortes de la función con el eje x, mientras que los polos reales son asíntotas verticales de la función. El concepto de asíntota se presentará posteriormente.

Ejemplo 2.10. Represente gráficamente la función racional:

43

342)(

24

2

xx

xxxf

Solución. El estudiante puede verificar que la función se puede expresar en su forma factorizada, así:



)1)(2)(2(

)3)(1(2)(

2

xxx

xxxf

Como puede verse, los ceros de la función están ubicados en 31 xx , mientras que las

asíntotas verticales son las rectas 22 xx . La figura 2.27 se obtuvo con la ayuda del

paquete Matlab. Es claro que el dominio de la función es el conjunto:

2,2 RD

2.2.10. La función raíz cuadrada. Se define como:

0;)( 2/1 xxxxf

Según se verá posteriormente, la función es la inversa multiplicativa de la función potencia cuadrática en el intervalo dado. La figura 2.28 ilustra la gráfica de la función.


2.2.11. La función raíz cúbica. Se define como:

Rxxxxf ;)( 3/13

Según se verá posteriormente, la función es la inversa multiplicativa de la función potencia cúbica en los reales. La figura 2.29 ilustra la gráfica de la función. Observe que el eje de ordenadas es tangente a la curva en el origen.

Figura 2.29



2.2.12. Función algebraica. Una función algebraica es la que se obtiene efectuando operaciones algebraicas sobre polinomios. Como se sabe, las operaciones algebraicas son: adición, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Son ejemplos de funciones algebraicas las asociadas a los ejemplos: 2.1, 2.2, 2.4, 2.6 y 2.7. Para estas funciones el dominio es un subconjunto de los números reales y se obtiene imponiendo ciertas restricciones a la variable independiente.

Ejemplo 2.11

Considere la función: 24)( xxf

a) Determine el dominio de la función b) Represente gráficamente Solución.

a) El dominio se determina con la condición: 04 2 x

A partir de la inecuación se hace el siguiente desarrollo:

0)2)(2(0404 22 xxxx

Con base en el procedimiento descrito en el ejemplo 1.2 se encuentra que el dominio es:

22/ xRxD

b) La gráfica se ilustra en la figura 2.30


Ejemplo 2.12 Considere la función:

xxxf 2)( 2

a) Determine el dominio de la función b) Represente gráficamente Solución.

a) El dominio se determina con la condición: 022 xx

A partir de la inecuación se hace el siguiente desarrollo:

2 2 0 ( 2) 0x x x x

Con base en el procedimiento descrito en el ejemplo 1.2 se encuentra que el dominio es:

20/ xxRxD

b) La gráfica se ilustra en la figura 2.31

EJERCICIOS 2.2



Para cada una de las siguientes funciones: a) Determine el dominio b) Represente gráficamente y determine el rango.

1) 82)( 2 xxxf

2) 44)( 2 xxxf

3) 22)( 2 xxxf

4) 1)( 23 xxxxf

5)1

1)(

2

x

xxf

6)4

32)(

2

2

x

xxxf

7) 1)( 2 xxf

8)3 2)( xxf

9) 2)( 2 xxxf

10) 22)( xxxf

2.3. Funciones trascendentes. Son aquellas funciones que no son algebraicas, tales como: funciones trigonométricas y sus inversas, funciones exponenciales y logarítmicas y las funciones hiperbólicas y sus inversas.

2.3.1. La función exponencial

Consideremos un número real positivo b , el cual es la base de la función, y definamos la

función exponencial en la forma:

Rxbxf x ;)(

Particularmente y por simplicidad tomaremos 2b , es decir, trabajaremos con la función:

xxf 2)(

A continuación se presenta una tabla de valores de la función para valores enteros de la variable independiente:

x -2 -1 0 1 2 3

)(xf 1/4 1/2 1 2 4 8

Es claro que cuando la variable independiente toma valores negativos la función se mantiene positiva pero muy cercana a cero mientras que para valores positivos de la variable independiente la función crece rápidamente. La figura 2.32 ilustra la gráfica de la función en el

dominio: 22 x

Cuando la base es el número de Euler, cuyo valor aproximado es 718282.2e , la función

recibe el nombre de función exponencial natural y su gráfica se muestra en la figura 2.33.

Observe que ambas gráficas pasan por el punto )1,0( .




Es claro que, en ambos casos, el rango es el conjunto de los reales positivos.

Ejemplo 2.13.

Un cuerpo que tiene inicialmente una temperatura inicial iT se introduce en un medio que tiene

una temperatura fT . Se puede demostrar que la temperatura en todo instante: 0t está dada

por:

at

fif eTTTtT )(

Represente gráficamente la función de temperatura en los siguientes casos:

a) 1a , 0iT y 1fT b) 1a , 2iT y 1fT

Solución. Usando un paquete, encontramos las gráficas de las figuras 2.34 y 2.35

En el segundo caso el rango viene dado por 2,1Rango , mientras que en el primero el

rango es [0,1)Rango

Figura 2.34 Figura 2.35 2.3.2. Función logarítmica. De acuerdo con lo que se estudiará posteriormente, la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y se definirá de la siguiente manera:

A partir de la función exponencial xby , se define el logaritmo de y en base b y se escribe:

)(log yx b

Así las cosas, la función logarítmica se define como:

0;)(log)( xxxf b



Cuando la base es el número de Euler, la función logarítmica recibe el nombre de función logaritmo natural y se escribe como:

0;)ln()( xxxf

La gráfica de la función se ilustra en la figura 2.36 y puede verse que el rango es el conjunto de los números reales. La figura 2.37 muestra las gráficas de la función logarítmica junto con la exponencial. Puede verse que las gráficas son simétricas con respecto a la recta xy

Más adelante, después de estudiar la inversa de una función, retomaremos el tema de las funciones exponenciales y logarítmicas e introduciremos algunas propiedades importantes.

Figura 2.36 Figura 2.37 2.3.3. Funciones trigonométricas. Son funciones de importancia fundamental en ingeniería y ciencias y se obtienen al relacionar los lados de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia de radio unitario. Con base

en la figura 2.38, sí el radio de la circunferencia es la unidad y la medida del ángulo es en

radianes, las funciones trigonométricas de dicho ángulo, son:

1) Función seno. ysen )(

Figura 2.38

Puesto que los ángulos pueden ser positivos o negativos, el dominio de la función es el conjunto de los reales. Por otro lado, ya que la medida de un cateto debe ser menor o igual que

la medida de la hipotenusa, el rango de la función es el intervalo 1,1 . La figura 2.39 muestra

la gráfica de la función seno.

2) Función coseno. x)cos(

Un razonamiento similar al del caso anterior nos permite afirmar que tanto el dominio como el rango de la función coseno son los mismos de la función seno. La gráfica se muestra en la

figura 2.40. Es de notarse que ambas funciones se repiten cada 2 Radianes, es decir que las

funciones son periódicas con periodo 2 . La periodicidad se expresa de la siguiente manera:

)cos()2cos()()2( xxxsenxsen



Figura 2.39

Figura 2.40

3) Función tangente. Se define como:

)cos(

)()tan(

sen

En el dominio de la función quedan excluidos los valores del ángulo en los que el coseno se anula. Se puede observar que el coseno se anula para los ángulos:

2/72/52/32/ y así sucesivamente. En la gráfica de la función

tangente, dichos ángulos son asíntotas verticales de la función. La figura 2.41 ilustra la gráfica

de la función tangente en el intervalo 2,2 . El rango de la función es el conjunto de los

números reales. Adicionalmente puede verse que la función tangente es periódica con periodo , es decir, se verifica que:

tan( ) tan( )

Figura 2.41

EJERCICIOS 2.3

1) Considere la función: 12

2)(

xxf

a) Determine el dominio de la función. b) Con base en la gráfica indique el rango.

2) Considere la función: 1)( xexf

a) Determine el dominio de la función.



b) Con base en la gráfica indique el rango.

3) Determine el dominio de la función

1

2ln1)(

x

xxf

4) Represente gráficamente las siguientes funciones en el intervalo indicado.

a) ,00,;)cot()( xxf

b) ,00,;)csc()( xxf

c) 2/3,2/2/,2/;)sec()( xxf

2.4. Funciones definidas por tramos. Algunas funciones de interés en ingeniería no están definidas por la misma expresión en todo su dominio. Tal es el caso de la función escalón unitario o función de Heaviside, la cual se define de la siguiente manera: 2.4.1. Función de Heaviside.

01

00)(

tsi

tsitH

La gráfica de la función escalón unitario se muestra en la figura 2.42. Otra función importante es la función rampa unitaria, que está definida como: 2.4.2. Función rampa unitaria.

0

00)(

tsit

tsitR

La gráfica correspondiente se ilustra en la figura 2.43


2.4.3. Funciones de la forma baxxf )(

Con base en la definición de valor absoluto, la función dada se puede expresar por tramos, así:

abxsibax

abxsibaxxf

/

/)(

La figura 2.44 ilustra la gráfica de la recta original (línea punteada) junto con su valor absoluto (línea sólida)



Figura 2.44

2.4.3. Funciones de la forma cbxaxxf 2)(

La función dentro del valor absoluto es una parábola que puede tener una parte negativa, tal como se ilstra en la figura 2.45. Al tomar el valor absoluto resulta la gráfica de la figura 2.46.


Ejemplo 2.14. Represente gráficamente la función:

21

202

00

)(

xsi

xsix

xsi

xf

Solución.

En el intervalo 20 x la gráfica es una recta de pendiente -1 que pasa por los puntos )2,0(

y )0,2( . La gráfica de la función se muestra en la figura 2.47


20

201

00

)(

xsi

xsix

xsi

xf

Solución. Con base en la definición de valor absoluto, se tiene:

011

0111

xsix

xsixx

Así las cosas, se redefine la función, así:



20

211

101

00

)(

xsi

xsix

xsix

xsi

xf

La figura 2.48 ilustra la gráfica de la función.



20

20)(

00

)(

xsi

xsixsen

xsi

xf

Solución. La gráfica es la que se ilustra en la figura 2.49



50

501

00

)(

xsi

xsie

xsi

xf x

Solución. La gráfica es la que se ilustra en la figura 2.50

EJERCICIOS 2.4 Represente gráficamente las siguientes funciones y escriba el rango de cada una:



1)

10

121

20

)(

xsi

xsix

xsi

xf

2)

22

221

20

)(

xsi

xsix

xsi

xf

3)

23

222

20

)( 2

xsi

xsix

xsi

xf

4)

30

312

12

22

)(

xsi

xsix

xsix

xsi

xf

5)

2

20

2)cos(

20

)(

xsi

xsix

xsi

xf

6)

10

112

11

)(

xsi

xsi

xsi

xf x

2.5. Transformaciones de funciones Antes de analizar los procesos de transformación de funciones es conveniente introducir algunos conceptos asociados a las funciones y que son relativamente importantes. 2.5.1. Simetrías. Antes de analizar los procesos de transformación de funciones es conveniente introducir algunos conceptos asociados a las funciones y que son relativamente importantes. a) Función par.

Se dice que una función )(xf es par si se verifica que )()( xfxf . Las funciones pares

presentan simetría con respecto al eje de ordenadas. Son ejemplos de funciones pares, las siguientes:

4)(

2)(

4

2

xxg

xxf

La figura 2.51 muestra la gráfica de una función par. b) Función impar.

Se dice que una función )(xf es impar si se verifica que )()( xfxf . Las funciones

impares presentan simetría con respecto al origen. Son ejemplos de funciones pares, las siguientes:



1)(,2)(

2

3

x

xxgxxxf

La figura 2.52 muestra la gráfica de una función impar


2.5.2. Desplazamientos de la gráfica de una función. Una función se puede desplazar tanto de manera horizontal como vertical. a) Desplazamientos verticales.

Consideremos una función )(xfy cuya gráfica es la que se muestra en la figura 2.53.

Si c es una constante positiva, la función modificada cxfy )( tendrá una gráfica

desplazada c unidades hacia arriba, tal como se muestra en la figura 2.54.

Por otro lado, la función modificada cxfy )( tendrá una gráfica desplazada hacia abajo.

Figura 2.53 Figura 2.54 Puede verse que el dominio de la función desplazada es el mismo de la función original, pero el rango sube c unidades.

b) Desplazamientos horizontales.

Consideremos una función )(xfy cuya gráfica es la que se muestra en la figura 2.53.

Si c es una constante positiva, la función modificada )( cxfy tendrá una gráfica

desplazada hacia la derecha, tal como se muestra en la figura 2.55. Por otro lado, la función

)( cxfy tendrá una gráfica desplazada hacia la izquierda, tal como lo ilustra la figura 2.56

Puede verse que el dominio de la función desplazada hacia la derecha se corre c unidades

hacia la derecha, pero el rango permanece el mismo. 2.5.3. Cambios de escala horizontales. La gráfica de una función se puede alargar o comprimir horizontalmente mediante un cambio de escala. Un cambio de escala se logra modificando la función de la siguiente manera:

)()( cxfxg




Cuando 1c la función se comprime horizontalmente un factor c , mientras que si 10 c ,

la función se alarga un factor c . Los cambios de escala horizontales no afectan el rango de la

función, pero el dominio de la nueva función viene a ser:

c

bx

c

aRxDg /

La figura 2.57 ilustra un cambio de escala a la mitad, mientras que la figura 2.58 muestra un cambio de escala al doble.

Figura 2.57

Figura 2.58

2.5.4. Cambios de escala verticales. En el eje de ordenadas, un cambio de escala se logra modificando la función de la siguiente manera:

)()( xcfxg

Cuando 1c la función se alarga verticalmente un factor c , mientras que sí 10 c , la

función se comprime un factor c . El dominio de la nueva función es el mismo de la función

original, pero el rango de la nueva función viene a ser:

)()(/ bcfyacfRyRg

La figura 2.59 muestra la gráfica de una función amplificada al doble.



Figura 2.59

2.5.5. Reflexiones de la gráfica de una función. A partir de la gráfica de una función se pueden representar sus reflexiones con respecto a los ejes coordenados, así:

a) Con respecto al eje de ordenadas: )( xf

b) Con respecto al eje de abscisas: )(xf

La figura 2.60 ilustra la situación descrita.

Figura 2.60

2.5.6. Prioridades en las transformaciones horizontales.

Supongamos que se desea representar gráficamente la función )32( xf a partir de la

función )(xfy

Los pasos para llevar a cabo la transformación son los siguientes:

1) Se desplaza la función horizontalmente hacia la izquierda una cantidad 3.

)3( xf

2) Se hace un cambio de escala a la mitad:

)32( xf

3) Se refleja con respecto al eje de ordenadas.

)32( xf

2.5.7. Prioridades en las transformaciones verticales.

Supongamos que se desea representar gráficamente la función 2)(3 xf a partir de la

función )(xfy

Los pasos para llevar a cabo la transformación son los siguientes:

1) Se hace un cambio de escala vertical una cantidad 3.



)(3 xf

2) Se refleja con respecto al eje de abscisas.

)(3 xf

3) Se desplaza verticalmente hacia arriba dos unidades:

2)(3 xf


312

111)(

xsix

xsixf

Represente gráficamente las funciones:

a) )(xf

b) )1( xf

c) )12/( xf

d) )12/( xf

e) )12/(2 xf

f) 1)12/(2 xf

g) 1)12/(2 xf

Solución. a) La figura 2.61 ilustra la gráfica de la función. b) La figura 2.62 ilustra la gráfica de la función desplazada una unidad hacia la izquierda. c) La figura 2.63 ilustra la gráfica de la función anterior aumentada horizontalmente al doble. d) La figura 2.64 ilustra la gráfica de la función anterior reflejada con respecto al eje de ordenadas. e) La figura 2.65 ilustra la gráfica de la función anterior aumentada verticalmente al doble. f) La figura 2.66 ilustra la gráfica de la función anterior bajada verticalmente una unidad. g) Se sugiere al estudiante que represente gráficamente el valor absoluto de la función anterior.






EJERCICIOS 2.5 1) Considere la función:

20;2)( xxxxf

Represente gráficamente las siguientes funciones:

a) )(xf

b) )( xf

c) 2)2( xf

d) 3)2/( xf

e) 1)2(2 xf

f) )12/( xf

g)

1)12/(2 xf

h) 2)2/(3 xf



2) Repita el procedimiento del ejercicio anterior para la siguiente función.

20;4)( 2 xxxf


11;)( xxxxf




11;2)( xxf x


10;)()( xxsenxf



2.6. Funciones crecientes y funciones decrecientes.

Consideremos una función )(xfy definida en cada punto del intervalo cerrado bxa .

Se dice que la función es:

a) creciente en el intervalo si para todos los números 21 xx en el intervalo se verifica

que )()( 12 xfxf

b) decreciente en el intervalo si para todos los números 21 xx en el intervalo se verifica

que )()( 12 xfxf

Una función creciente o decreciente en el intervalo ba, se dice que es uno a uno en el

intervalo. Lo anterior significa que a cada valor de y le corresponde un único valor de x .

2.7. Operaciones con las funciones. Con las funciones se pueden hacer operaciones como: sumas, restas, productos y divisiones. A continuación se hace un listado de las operaciones indicando el dominio del resultado. Se

supondrá que A es el dominio de f y B es el dominio de g .

1. Suma: BAioDoxgxfxgf min)()())((

2. Resta: BAioDoxgxfxgf min)()())((

3. Producto: BAioDoxgxfxgf min)()())((

4. División: 0)(min)(/)())(/( xgBAioDoxgxfxgf

2.8. Composición de funciones.

Consideremos dos funciones f y g , la primera con un dominio A y la segunda con un

dominio B . A partir de ellas se pueden obtener dos funciones a las que denominaremos

funciones compuestas )(xgf y )(xfg , definidas de la siguiente manera:

)()(

)()(

xfgxfg

xgfxgf

El dominio de la función compuesta ))(( xgf es el conjunto: BfAxRx /

El dominio de la función compuesta ( )( )g f x es el conjunto: BgBxRx /



Ejemplo 2.23.

Considere las funciones: xxgxxf /1)(;12)(

a) Determine el dominio de cada función

b) Encuentre la función compuesta ))(( xgf y escriba su dominio

c) Encuentre la función compuesta y escriba su dominio

Solución.

a) Por simple inspección se tiene que el dominio de f es el conjunto de los reales mientras

que el dominio de g es el intervalo: 0/ xRxB

b) La función ))(( xgf se determina de la siguiente manera:

x

xxxgfggf

21/12)(12)(

El dominio de ))(( xgf se encuentra de la siguiente manera:

Rx

xRxD gf

10/

De lo anterior se concluye que el dominio de ))(( xgf es:

,00,gfD

c) La función ))(( xfg se determina de la siguiente manera:

12

1)(

1)(

xxfg

ffg

Puede verse que el dominio de la función es el intervalo:

012/ xRxRxD fg

El dominio viene a ser:

,2/12/1,fgD

Ejemplo 2.24. Considere las funciones:

2)(12)( xxgxxf


b) Encuentre la función compuesta ))(( xgf , escriba su dominio y represente gráficamente.

c) Encuentre la función compuesta , escriba su dominio y represente gráficamente.

Solución.


que el dominio de g es el intervalo: 2/ xRx


122))((12)( xxgfggf


))(( xfg

))(( xfg



RxxRxD gf 2,2/

De lo anterior se concluye que el dominio de ))(( xgf es: ,2gfD

c) La función se determina de la siguiente manera:

122)12())((2)( xxxfgffg


,212/ xRxRxD fg

El dominio se puede obtener al resolver la inecuación: ,2/1fgD

La figura 2.67 ilustra la gráfica de la función ))(( xgf , mientras que la figura 2.68 ilustra la

gráfica de



1

1)(

xxf

24)( xxg


b) Encuentre la función compuesta ))(( xgf y escriba su


Solución.

a) Por simple inspección se tiene que el dominio de f es el conjunto 1R , mientras que el

dominio de g es el intervalo: 2,2


14

1)(

1

1)(

2

xxgf

ggf


))(( xfg

))(( xfg

))(( xfg



142,2/ 2 RxxRxD gf

Desarrollando la desigualdad se tiene:

331414 222 xxxx

De lo anterior se concluye que el dominio de ))(( xgf es:

2,33,2 gfD


1

384

)1(

14)(4)(

2

2

2

x

xx

xxfgffg


2,21

11/

xRxRxD fg

Resolviendo la inecuación, resulta que el dominio de es:

,2/32/1,fgD

Importante. En la práctica, para hallar el dominio de la función compuesta se hace primero la composición y después se halla el dominio, con lo que se gana mucho tiempo.


)()( xsenxf

xxg )(


b) Encuentre la función compuesta ))(( xgf y escriba su


Solución.


que el dominio de g es el intervalo: 0/ xRxB


xsenxgfgsengf )()()(


RxxRxD gf 0/

))(( xfg

))(( xfg

))(( xfg



De lo anterior se concluye que el dominio de ))(( xgf es: ,0gfD


)()()( xsenxfgffg


0)(/ xsenRxRxD fg

Con base en la gráfica de la función seno, la que se ilustra en la figura 2.40, el dominio pedido es:

ZnnxnRxD fg ;)12(2/

Ejemplo 2.27. En este ejemplo se ilustra el método gráfico para determinar el dominio de la función

compuesta )(xfg

Dadas las funciones gf , mostradas en la figura 2.69, para determinar el dominio de

)(xfg nos remitimos a la figura 2.70, en la que el dominio de g se traza verticalmente

junto con la función f

La traza punteada indica que el valor correspondiente no hace parte del dominio. A partir de la figura 2.69 se establece que:

5,11,1 fD

3,2gD

A partir de la figura 2.70 se establece que:

3,11,5.1 gofD


EJERCICIOS 2.7 1) Considere las funciones:

))(( xfg



x

xxg

xxf

1)(

1)( 2

Calcule las siguientes funciones, indicando el dominio en cada caso.

a) ))(( xgf

b) ))(/( xgf

c) ))(/( xfg

2) Considere las funciones:

2)(

)( 2

xxg

xxxf


a) ))(( xgf

b) ))(( xfg


xxg

xxf

4)(

9)( 2


a) ))(( xgf

b) ))(( xfg


xxg

xsix

xsixxf

)(

21

232)(


a) ))(( xgf

b) ))(( xfg

5) Dadas las funciones:

xxg

xxf

2)(

)(

a) Determine ))(( xgf y su dominio

b) Determine y su dominio

6) Repita el numeral anterior para las siguientes funciones:

)tan()(

)(

xxg

xxf

))(( xfg



2.9. Curvas del plano. Una curva del plano es una relación de la forma:

0),(/),(:Re 2 yxFRyxBAl

Tal como se presentó el tema en el primer capítulo, en una relación a cada elemento del dominio le puede corresponder más de un elemento en el codominio. Un ejemplo de una

relación es la ecuación de la circunferencia de radio R que tiene su centro en el origen de coordenadas, así:

222 Ryx

A partir de la ecuación de la circunferencia se puede despejar la ordenada, así:

22 xRy

El signo positivo corresponde a la parte superior de la circunferencia y el negativo a la parte inferior. La figura 2.71 muestra la gráfica de una circunferencia y se indican las funciones asociadas a la relación.

2222 )()( xRxgxRxf

Dado que la curva no puede ser descrita mediante una única función, es conveniente describir

la abscisa y la ordenada en términos del ángulo , así:

)()cos( RsenyRx

El par de ecuaciones que relacionan a las coordenadas del punto con el ángulo, reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la circunferencia, siendo el ángulo el parámetro de la curva. En general, las cónicas del plano: parábolas, elipses e hipérbolas, son relaciones que se deben describir mediante ecuaciones paramétricas. 2.9.1. Curvas paramétricas. Consideremos una curva cualquiera del plano que empieza a desarrollarse a partir de un punto

cualquiera ),( 00 yx en el instante 0t . Posteriormente, en el instante 1tt se ha generado

un segmento de la curva de tal manera que se ha pasado al punto ),( 11 yx , tal como lo

muestra la figura 2.72.

Evidentemente, tanto la abscisa como la ordenada del punto 1P dependen del tiempo

transcurrido 1t y consecuentemente, las coordenadas del punto ),( yxP deben ser funciones

del tiempo transcurrido. En adelante se dirá que t es el parámetro de la curva y que las

coordenadas de cualquier punto sobre la curva son funciones de dicho parámetro, así:

)()( tgytfx



Figura 2.71

A partir de las ecuaciones paramétricas se puede encontrar la relación entre las coordenadas de cualquier punto, sin embargo, en general no es fácil.

Figura 2.72

Ejemplo 2.28. Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

12 2 tyttx

a) Trace el segmento de curva en el intervalo 40 t

b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva Solución. a) Elaboramos la siguiente tabla de valores: Con base en la tabla de valores se traza la gráfica de la curva mostrada en la figura 2.73

b) Despejamos el tiempo en la segunda ecuación, así 1 yt y este resultado se sustituye

en la primera ecuación, con lo que resulta:

34)12(22)1()1(2 222 yyxyyyxyyx

Finalmente, la relación es:

342 yyx



Figura 2.73

Ejemplo 2.29 Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

)()cos(2 tsenytx


b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva Solución. a) Se procede como en el ejemplo anterior, con lo que resulta la elipse de la figura 2.74.

b) Las dos ecuaciones se escriben de la siguiente manera: 1/)(;2/)cos( ytsenxt

Elevando cada ecuación a la segunda potencia, resulta:

2

2

2

2

1)(

2)(cos

ytsen

xt

Sumando las dos ecuaciones y teniendo en cuenta la identidad trigonométrica, se tiene que la relación viene dada por:

114

22

yx

Figura 2.74

EJERCICIOS 2.9 1) Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

12 2 tyttx


b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva



2) Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

ttytx 232 2


b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva 3) Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

)(3)cos(2 tsenytx

a) Trace el segmento de curva en el intervalo t0


2cos( ) 3 ( )x t y sen t



ttytx



2.10. Inversa de una función. En esta sección se estudiará el concepto de inversa de una función. 2.10.1. Funciones uno a uno.

Se dice que una función BAf : es uno a uno si a cada elemento del codominio le

corresponde un único elemento del domino, es decir, para dos elementos cualesquiera del dominio de la función no puede haber una misma imagen en el codominio. En tal sentido, una

función es uno a uno en un dominio cualquiera A , la función será estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Una función es creciente en un dominio A si se verifica que para todos los 21 xx se cumple

que )()( 21 xfxf . La función 2xy es creciente en los reales positivos y decrecientes en

los reales negativos. Más adelante se estudiará el criterio de la primera derivada para determinar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente. Simbólicamente, se tiene:

Dada la función BAf : , se dice que es uno a uno en A si se verifica que la función es

creciente o decreciente en A . 2.10.2. Función sobreyectiva.

Se dice que la función BAf : es sobre si el rango de la función es igual al codominio.

Simbólicamente, se tiene:

Dada la función BAf : , se dice que es sobre en A si se verifica que: fR B

2.10.3. Inversa de una función.



Consideremos una función )(xfy la cual es uno a uno en un dominio A . La inversa de la

función es otra función )(xgy tal que las funciones compuestas son iguales a la función

identidad. Matemáticamente, se tiene:

xxfgxgf ))(())((

Otra manera de entender la inversa de una función es la siguiente:

Si f es una función uno a uno y el punto fcfc )(, , entonces el punto 1,)( fccf

Es claro que es posible representar gráficamente la inversa de una función a partir de la gráfica de la función. La figura 2.75 ilustra la gráfica de una función uno a uno y su correspondiente inversa. Puede verse que las gráficas son simétricas con respecto a la recta y=x.

Es importante el siguiente hecho: Si f y g son funciones inversas entre sí, el rango de g es

el dominio de f y el rango de f es el dominio de g .

Figura 2.75

2.10.4. Inversa de una función algebraica. Para algunas funciones algebraicas es posible encontrar una expresión matemática para su inversa en los tramos en que sea uno a uno. Veamos algunso casos de interés: 1) La inversa de una función lineal.

La función lineal baxxf )( es uno a uno en todo el dominio de los reales. Para hallar su

inversa se iguala la función a y y se despeja la variable x en términos de y, así:

a

byx

ybax

Finalmente se intercambian las variables y se excribe la inversa, así:

a

bx

axf

a

bxxf

1)(

)(

1

1

Ejemplo 2.30. Una función está definida por tramos de la siguiente manera:



312

13

123

12

)(

xsix

xsix

xf

a) Represente gráficamente la función y su inversa. b) Encuentre la fórmula para la inversa. Solución. a) A partir de una tabla de valores se hace la gráfica de la función y de su inversa.

x -2 0 1 2 3

)(xf -1 1/3 1 5/2 4

Figura 2.76

b) La inversa se calcula por tramos, así: Para el primer tramo.

2

13132312

3

12

yxyxyxy

x

Puesto que el dominio de la inversa es el rango de la función, resulta:

112

13)(1

xsi

xxf

Para el segundo tramo.

3

12123213

2

13

yxyxyxy

x

Puesto que el dominio de la inversa es el rango de la función, resulta:

413

12)(1

xsi

xxf

En conclusión, la inversa de la función se puede escribir como:

413

12

112

13

)(1

xsix

xsix

xf

2) Inversa de una función cuadrática.



La función cuadrática cbxaxxf 2)( se representa mediante una parábola que tiene su

vértice en el punto kh,

La función es uno a uno en los intervalos: h, y ),[ h

Para determinar la inversa en cualquiera de los tramos se completa el trinomio cuadrado perfecto y se despeja x en términos de y

Ejemplo 2.31

Una función está definida como 34)( 2 xxxf

a) Complete el trinomio cuadrado perfecto y escriba el vértice de la parábola. b) Deremine la inversa en cada uno de los tramos.

Solución. a) La función se puede escribir como

)1,2(

)2(1

1)2(3444

2

22

V

xy

xxxyTCP

b) Se parte de la forma canónica y se extrae la raíz cuadrada, así:

1212

)2(1 2

yxyx

xy

Se concluye que:

a) En el tramo 2x la inversa es 12 x

b) En el tramo 2x la inversa es 12 x

En ambos casos, el dominio de la inversa es el rango de la función original. La figura 2.77 ilustra las gráficas correspondientes.

Figura 2.77

3) Inversa de una función racional.



Dada la función racionaldcx

baxxf

)( , su inversa se puede encontrar fácilmente despejando

x en términos de y

Ejemplo 2.32 Determine la inversa para la función

13

23)(

x

xxf

Solución.

23

3)23(3233

323)13(2313

23

y

yxyxyxxyy

yxyxxyxyx

x

En consecuencia, la inversa pedida es:

23

3)(1

x

xxf

4) Inversa de una función con radicales de la forma baxxf )(

Se puede encontrar una fórmula para la inversa en el dominio de la función, esto es, en el

intervalo abx / siempre que 0a

Ejemplo 2.33 Determine la inversa para la función

32)( xxf

Solución.

2

3323232

222 y

xyxyxyx


2

3)(

21 x

xf

Es bueno precisar que el dominio de la inversa hallada es el intervalo 0x , correspondiente

al rango de la función original. El estudiante puede verificar que si la función original hubiese

sido 32)( xxf , la expresión matemática para la inversa es la misma, pero el dominio

es el intervalo 0x

La figura 2.78 ilustra la situación.



Figura 2.78

EJERCICIOS 2.10 Determine la fórmula para la inversa para cada una de las siguientes funciones en el dominio dado.

1) 0;1)( xxxf

2) 1;1)( 2 xxxf

3) Rxxxf ;1)( 3

4) 0;1

)(

xx

xxf

5) 0;1

)(

xx

xxf

6) 0;1

1)(

2

x

xxf

7) 0;1

)(2

xx

xxf

8) Rxxxxf ;1)( 2

9)

1

2

1

112

)(xsi

x

xsix

xf

10)

1

12

11

)(

2

xsix

x

xsix

xf

2.11. Funciones exponenciales y logarítmicas.



Previamente se hizo una presentación de las funciones exponenciales y logarítmicas como casos particulares de las funciones trascendentes. En esta sección se profundizarán algunos aspectos de dichas funciones. 2.11.1. La función exponencial en cualquier base y su inversa.

Si b es un real mayor que la unidad, la función exponencial presenta la forma xbxf )( . El

dominio de la función es el conjunto de los números reales. Es claro que la función pasa por los

puntos byb /1,1,1,1,0

La inversa de la función exponencial es la función logarítmica, la cual debe pasar por los

puntos 1,/11,,0,1 byb

El símbolo para la función logarítmica es

)(log)( xxf b

El dominio de la función es el mismo rango de la función exponencial, es decir, es el intervalo

x0 .

La figura 2.79 ilustra la gráfica de las dos funciones con b=2. Tal como se mostró previamente, la composición de las funciones es la función identidad, esto es:

xb

xb

x

x

b

b

)(log

log

La función logaritmo en base 10 se denota como )log()( xxf

Figura 2.79

2.11.2. La función exponencial natural y su inversa. Tal como vimos previamente, la función exponencial natural presenta la forma;

718282.2,; eRxey x

Puesto que la función es creciente en los reales, posee una inversa, cuya tabla de valores es la contraria de la tabla correspondiente a la función exponencial. La inversa de la función exponencial recibe el nombre de función logarítmica, así:

Dada la función exponencialxey , su inversa es la función logarítmica )ln(xy , de tal

manera que la composición de ellas es la función identidad, así:

xexe xx ln,)ln(



La figura 2.80 muestra las gráficas de la función logarítmica junto con la exponencial. Puede verse que las gráficas son simétricas con respecto a la recta xy .

Adicionalmente y de acuerdo con lo que se estudiará posteriormente, la función logarítmica

presenta una asíntota vertical en 0x . Es claro que el dominio de la función logarítmica es el

conjunto de los reales positivos.

Figura 2.80

La función logarítmica posee algunas propiedades importantes, tales como:

1) )ln()ln()ln( xaax

2) )ln()ln()/ln( xaxa

3) )ln(ln xaxa

4) Si b es un real positivo, entonces:

)ln(

)ln()(log

b

xxb

Ejemplo 2.34

Considere la función: )42ln()( xxf

a) Determine el dominio de la función. b) Calcule la inversa de la función y su dominio c) Represente gráficamente la función y su inversa Solución.

a) Debe cumplirse que: 2042 xx

b) Para calcular la inversa se procede de la siguiente manera:

2/442)42ln( yy exexxy

En consecuencia, la inversa de la función es 2/4)(1 xexf y su dominio es el conjunto

de los reales.

c) La figura 2.81 muestra las gráficas pedidas.



Figura 2.81

Ejemplo 2.35

Considere la función: 12)( 13 xxf

a) Determine el dominio de la función. b) Calcule la inversa de la función y su dominio Solución. a) Por simple inspección, el dominio es el conjunto de los números reales b) La inversa se calcula como:

)1(log13

1)1(log13

2112

22

1313

yxyx

yy xx


)1(log13

1)( 2

1 xxf

El dominio es el intervalo x1

Ejemplo 2.36 Determine el valor o valores de x de tal manera que se verifique la siguiente igualdad:

2)15log(log xx

Solución. Aplicando la propiedad resulta:

2)15(log xx

Teniendo en cuenta que 2)100log( , se tiene:

0100152 xx

Por factorizaciòn directa se tiene: 0520 xx

En principio resultan dos valores, así: 520 xx

El valor negativo se descarta (no está en del dominio), con lo que 20x

Ejemplo 2.37 Determine el valor o valores de x de tal manera que se verifique la siguiente igualdad:

1)22(log1log 2

2

2 xx

Solución. Aplicando la propiedad resulta:



122

1log

2

2

x

x

Teniendo en cuenta que 1)2(log 2 , se tiene:

222

12

x

x

Desarrollando resulta:

0)1)(5(

054

441

222

1

2

2

2

xx

xx

xx

x

x

Se descarta el valor 1x , con lo que la solución es 5x

Ejemplo 2.38

Determine la inversa de la función: 32)( xexf

Solución. Se siguen los siguientes pasos:

3

2ln

3

23

232

yx

yey

eye x

x

x


3;3

2ln)(1

x

xxf

Ejemplo 2.39

Determine la inversa de la función: 0;1log10)( 2 xxxf


110

110

101

10/1log

1log10

10/

10/2

10/2

2

2

y

y

y

x

x

x

yx

xy

Tomando el signo positivo, se tiene que la inversa pedida es:

110)( 10/1 xxf

Ejemplo 2.40

Determine la inversa de la función: xx eexf )(




012

12

112

2

1

2

2

2

xx

xx

x

x

x

x

xx

yee

eye

e

e

eey

eey

La última ecuación tiene forma cuadrática, es decir, se puede expresar en la forma:

0122

xx eye

Aplicamos la fórmula del estudiante, así:

12

4422

2

yyyy

e x

El signo negativo se descarta ya que xe debe ser positivo. Con base en lo anterior se tiene:

12 yye x

En consecuencia, la inversa pedida es

1ln)( 21 xxxf

EJERCICIOS 2.11 1) Resuelva para x las siguientes ecuaciones:

a) 42 42

x

b) 72932

xx

c) 442

x

d) 27392

xx

e) 1255

253

2

x

x

f) 2/3)(log 2 x

g) 2)4(log3 x

h) 1)12(log3 x

i) )2log()1log()log( xx

j) 100/20040 xe


1)2(log)(log)( 22 xxxf



12)( xx eexg

11

ln)(

x

xxh

xx eexu 2ln)(

a) Determine el dominio de cada función b) Determine las intersecciones con el eje de abscisas 3) Determine la inversa para cada una de las siguientes funciones

1;1log2)( 2

3 xxxf

Rxexg x ;32)( 1

0;41

10)(

2

x

exh

x

4) En una misma figura represente gráficamente las parejas de funciones:

a) 1;)/1()(;)( bbxgbxf xx

b) 1;)(log)(;)(log)( /1 bxxgxxf bb 2.11.3. La función exponencial a partir de modelos matemáticos. La función exponencial resulta a menudo en problemas de crecimiento y de decrecimiento. Veamos algunas de las aplicaciones típicas: 1) Modelo simple para el crecimiento de una población.

Cierta población tiene, en un instante determinado 0t , una canidad Xi de individuos. La

cantidad de individuos )(tx se multiplica por un factor 1r en intervalos de tiempo T , de

acuerdo con la tabla siguiente:

t )(tx

0 Xi

T rXi

T2 2rXi

T3 3rXi

Puede demostrarse que la cantidad de individuos en todo instante viene dada por:

TtrXitx /)(

Para determinar el tiempo necesario para que la cantidad de individuos sea Xf se despeja el

tiempo en la siguiente ecuación: TtrXiXf /

Haciendo uso de la inversa de la función exponencial, se tiene:



Xi

XfTt

Xi

Xf

T

t

Xi

XfrrXiXf

r

r

TtTt

log

log//

El tiempo se puede expresar en términos del logaritmo natural, así:

rXi

Xf

Ttln

ln

Ejemplo 2.41 Un cultivo de bacterias tiene inicialmente una masa de 200 gramos y se duplica cada 10 horas. Determine:

a) La masa del cultivo en todo instante. b) El tiempo necesario para que la masa del cultivo alcance 3000 gramos.

Solución.

a) De acuerdo con lo establecido previamente, la masa del cultivo en todo instante viene dada por:

10/2200)( ttx

b) El tiempo necesario para alcanzar los 3000 gramos se calcula de la siguiente manera:

)15(log10)15(log10

21522003000

22

10/10/

tt

tt

El cáculo aproximado en horas es

392ln

15ln10 t

2) Modelo simple para el decrecimiento de una variable.

Cierto material radiactivo tiene, en un instante determinado 0t , una masa Xi . El material se

desintegra de tal manera que el tiempo de vida media es T , de acuerdo con la tabla siguiente:

t )(tx

0 Xi

T 2/Xi

T2 4/Xi

T3 8/Xi

Puede demostrarse que la cantidad de material en todo instante viene dada por:

Tt

Tt XitxXitx

/

/

2)()2/1()(

Para determinar el tiempo necesario para que la cantidad de material se reduzca al valor Xf

se despeja el tiempo en la siguiente ecuación:



Xf

XiTt

Xf

Xi

T

t

Xf

XiXiXf Tt

Tt

22

/

/

loglog

22

El tiempo se puede expresar en términos del logaritmo natural, así:

2ln

ln

Xf

Xi

Tt

Ejemplo 2.42 El tiempo de vida media del Radio es de 1700 años. Determine el tiempo necesario para que una muestra se reduzca en un 2%

Solución. De acuerdo con lo establecido previamente, la masa en todo instante viene dada por:

1700/2)(

t

Xitx

El tiempo en años necesario para alcanzar el 98%de la masa original se calcula de la siguiente manera:

55.49)0204.1(log170098.0

1log

1700

98.02

298.0

22

1700/

1700/

ttt

Xi

Xi

XiXi

t

t

4) Modelo logístico para el crecimiento de una población. En el crecimiento de una población surgen circunstancias que impiden que su número exceda

de cierto máximo M . En consecuencia, la tasa de variación de la población es directamente proporcional al número de habitantes en todo instante y a la diferencia entre el máximo y la

población instantánea. Puede demostrarse que si la población inicial es N , la cantidad de

habitantes en cualquier instante viene dada por:

kteNMN

MNtx

)()(

En la expresión anterior el tiempo se mide en años y k es una constante.

Ejemplo 2.43 Una población tiene, en un instante determinado, un millón de habitantes y se espera que que

el número máximo de habitantes sea de 4 millones. Sabiendo que 05.0k , determine:

a) El numero de habitantes en todo instante. b) El tiempo requerido para que la población inicial se duplique.

Solución. a) El número de habitantes en todo instante viene dado por:



t

t

etx

etx

05.0

05.0

31

4)(

)14(1

14)(

b) Se procede de la siguiente manera:

2205.0

)3ln(

)3ln(05.0326

46231

42

05.005.0

05.0

05.0

t

tee

ee

tt

t

t

3) Ley del enfriamiento de Newton.

Un recinto tiene una temperatura ambiente Ta . Un objeto con temperatura Ti se intoduce al

recinto en el instante 0t . Si la constante de tiempo del sistema es , la temperatura del

objeto en todo instante viene dada por:

/)( teTaTiTatT

Ejemplo 2.44

Se tiene un horno precalentado a 300°C. En el instante 0t se introduce una torta con una

temperatura de 20°C. Si la constante de tiempo es de 15 minutos, determine el tiempo necesario para que la temperatura de la torta sea de 250°C. Solución.

84.25)6.5ln(15

6.5

50280

280300250

280300)(

15/

15/

15/

15/

tt

e

e

e

etT

t

t

t

t

PROBLEMAS 2.11 1) El tiempo de vida media del Radio es de 1700 años. Dada una muestra de dicho elemento, determine el porcentaje de la misma después de 100 años. 2) Un isótopo radioactivo tiene un tiempo de vida media de 25 minutos. Si se tiene una muestra de 100 miligramos, determine: a) La cantidad que se ha desintegrado al cabo de una hora. b) El tiempo requerido para que la muestra se reduzca en un 30%. 3) La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente a la cantidad de habitantes en todo instante. Si en 20 años pasa de 40 mil a 90 mil, determine la población al cabo de 30 años. 4) Un cultivo de bacterias aumenta proporcionalmente a la cantidad presente en todo instante. Si en cuatro horas la cantidad original se incrementa en un 50%, determine el tiempo necesario para que la cantidad original se triplique. 5) En el año 2000 una ciudad intermedia tenía 300 mil habitantes, mientras que en el 2005 la cantidad de habitantes era de 350 mil. Algunos estudios muestran que la la cantidad de habitantes no superará el tope de los 800 mil habitantes. Determine la población proyectada para el 2020.



6) Se desea calentar un cuerpo en un horno precalentado a 300 °C. Si al momento de introducirlo tiene una temperatura de 30 °C y la constante de tiempo es de 20 minutos, determine el tiempo necesario para que el cuerpo alcance los 290 °C.

2.12. Funciones trigonométricas inversas Las funciones trigonométricas son invertibles en aquellos intervalos en los que son crecientes o decrecientes. 2.12.1. La función seno inverso.

A partir de la gráfica de la función ( ) ( )f x sen x se puede ver que es creciente en el intervalo

2/2/ x . En consecuencia es invertible en ese intervalo. La inversa de la función

seno se denotará como:

)()(1 xarcsenxf

Puesto que el rango de la función seno es el intervalo [ 1,1] , la función inversa tendrá como

dominio el intervalo [ 1,1] y como rango el intervalo 2/,2/ .

La figura 2.82 ilustra las gráficas de las funciones )()( xsenxf y )()(1 xarcsenxf . De

acuerdo con la propiedad de las funciones inversas, se tiene:

xxsenarcsen

xxarcsensen

)(

)(

Figura 2.82

2.12.2. La función coseno inverso. De manera similar que para la función seno, la función coseno es decreciente en el intervalo

x0 y por tanto es invertible en dicho intervalo. La inversa de la función coseno se

denotará como )arccos()(1 xxf . La figura 2.83 ilustra las gráficas correspondientes.



Figura 2.83

De acuerdo con la propiedad de las funciones inversas, se tiene:

xx

xx

)cos(arccos

)arccos(cos

2.12.3. La función tangente inversa.

La función tangente es creciente en el intervalo 22

x , con lo que es invertible en

dicho intervalo. Puede verse que las asíntotas verticales de la función tangfente se convierten en asíntotas horizontales para la inversa. La figura 2.84 ilustra las gráficas correspondientes.

Figura 2.84

De acuerdo con la propiedad de las funciones inversas, se tiene:



xx

xx

)tan(arctan

)arctan(tan

Ejemplo 2.45 Calcule la inversa de las siguientes funciones

a) )2(3)( xsenxf

b) )3/cos(21)( xxg

c) )arctan()( xxh

Solución. a) Se aplica el procedimiento, así:

)3/(2

1

)3/(2

)2(3/

)2(3

yarcsenx

yarcsenx

xseny

xseny

Por tanto, la inversa es:

)3/(2

1)(1 xarcsenxf

b) Se aplica el procedimiento, así:

2/1)3/cos(

)3/cos(21

)3/cos(21

yx

xy

xy

2

1arccos3/

2

1arccos3/

yx

yx


2

1arccos3/)(1 x

xg

c) Se aplica el procedimiento, así:

)tan(

)arctan(

)arctan(

yx

yx

xy


)tan()(1 yxh


xsenxf 22)(

12/)( xarcsenxg

xxh cos2)(

2)2/tan()( xxu

a) Determine el intervalo principal de inversión.



b) Calcule la inversa. c) Represente gráficamente las funciones junto con sus inversas. 2) Dadas las funciones:

)cos()( xarcsenxf

2/1)( xarcsenxg

)arccos(2cos)( xxh

))(tan()( xarcsenxu

a) Muestre que )(xf se puede escribir en la forma xxf 2/)(

b) Determine las intersecciones de )(xg con el eje de abscisas

c) Muestre que )(xu se puede escribir en la forma 21/)( xxxu

d) Represente gráficamente )(xu

e) Muestre que )(xh se puede escribir en la forma 12)( 2 xxh

g) Represente gráficamente la función )(xh

2.13. Funciones hiperbólicas.

Consideremos la hipérbola del plano definida por la ecuación: 122 yx

Con base en lo estudiado previamente, la gráfica de la curva es la mostrada en la figura 2.85. Si t es un parámetro cualquiera que toma valores en el conjunto de los reales, las ecuaciones paramétricas de la curva son:

2;

2

tttt eey

eex

Figura 2.85

2.13.1. Las funciones hiperbólicas elementales. Las funciones hiperbólicas elementales vienen definidas de la siguiente manera:

1. La función coseno hiperbólico. 2

)cosh(tt ee

t

La gráfica se ilustra en la figura 2.86. Puede verse que se trata de una función par.

2. La función seno hiperbólico. 2

)(tt ee

tsenh



La gráfica se ilustra en la figura 2.87. Puede verse que se trata de una función impar.


3. La función tangente hiperbólica. tt

tt

ee

eet

)tanh(

La gráfica se ilustra en la figura 2.88. Puede verse que se trata de una función impar.

Figura 2.88

Las otras funciones hiperbólicas se definen de manera similar a las circulares. 2.13.2. La trigonometría hiperbólica. Al igual que con las funciones trigonométricas circulares, las funciones hiperbólicas tienen su correspondiente trigonometría, con sus identidades y fórmulas de adición. Puesto que el propósito de este material no es el de desarrollar dicha trigonometría, me limitaé a presentar las identidades y las fórmulas sin la deducción.

Con base en la identidad fundamental 1)()(cosh 22 tsenht , puden deducirse:

)(csc1)(coth 22 tht

)(sec)(tanh1 22 tht

De manera similar, las fórmulas de adición:



)()()cosh()cosh()cosh(

)cosh()()cosh()()(

bsenhasenhbaba

absenhbasenhbasenh

2.14. Funciones hiperbólicas inversas. A continuación se definirn las inversas de las funciones hiperbólicas en los intervaloes en los que sean invertibles. 1. La inversaa de la función coseno. Con base en la figura 2.86, la función coseno hiperbólico

es invertible en el intervalo ,0 . La figura 2.89 muestra la función y su correspondiente

inversa.

Figura 2.89

En cuanto a la expresión matemática para dicha inversa, se procede de la siguiente manera:

01202

0;2

2

xxxx

xx

eyeyee

xee

y

Aplicando la fórmula cuadrática, se tiene:

12

442012 2

22

yyyy

eeye xxx

En consecuencia, la inversa de la función coseno es:

1;1ln)(arccos 2 xxxxh



CUESTIONARIO

1) La expresión xyx

yxyxf

22

),( , simplificada es:

A. yx

yxxyxf

)(),(

B.yx

yxxyxf

)(),(

C. yx

yxyyxf

)(),(

D. yx

xyyyxf

)(),(

2) La expresión x

xf/11

11)(

, simplificada es:

A. 1

1)(

xxf

B. 1

1)(

xxf

C. 1

)(

x

xxf

D. 1

)(

x

xxf

3) Dada la función 0;1

)(

xxx

xxf , la afirmación falsa es:

A. xxxxf 2)(

B. )1(f es un número irracional

C. xxxxf 2)(

D. )()4( xfxf

4) Considere dos rectas del plano cuyas ecuaciones son

1634:

1243:

2

1

yxL

yxL

La afirmación falsa es: A. Las rectas se cortan en el eje de abscisas. B. Las rectas son perpendiculares entre sí. C. Las rectas son paralelas D. La primera recta pasa por el punto: (0,3) 5) Uno de los siguientes conjuntos es el conjunto vacío:

A. 03/ 2 xRx



B. xxxRx 23/ 2

C. 032/ xNx

D. 0)1(/ xxNx

6) Una relación está definida como xyRyx 22 /),(R , la afirmación falsa es:

A. R xyRx /(

B. R xyRx /(

C. La relación es una función.

D. El dominio de la relación es: 0/ xRxD

7) Dada la desigualdad 012

x

x, el conjunto solución es:

A. ,10,1

B. ,10,1

C. 1,01,

D. 1,01,

8) Dada la ecuación 0;02 aaaxx , la afirmación falsa es:

A. Si 2a la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas.

B. Si 40 aa la ecuación tiene raíces reales y distintas.

C. Si 0a la ecuación tiene raíces reales y distintas.

D. Si 4a la ecuación tiene raíces reales e iguales.

9) Con referencia a la función )()( xsenxf , es Falso que:

A. )()( xfxf

B. )2( xf es periódica con período

C. )( xf es invertible en el intervalo 1,1

D. El rango de 1)(2 xf es el intervalo 31 y

10) Con referencia a la función )cos()( xxf , es Falso que:

A. )()( xfxf

B. )2( xf es periódica con período

C. )( xf es invertible en el intervalo 1,0

D. El rango de 1)(2 xf res el intervalo 31 y

11) Con referencia a la función xexf 21)( , su inversa es

A. 2/12/ln)(1 xxf

B. 2/12/ln)(1 xxf

C. 2/1ln)(1 xxf

D. 2/1ln)(1 xxf

12) Con referencia a la función )12ln(3)( xxf , su inversa es

A. 2/1)( 31 xexf

B. 2/1)( 31 xexf



C. 2/1)( 31 xexf

D. 2/1)( 31 xexf

Las preguntas 13-17 hacen referencia a las funciones 2)(;

1

1)( xxg

xxf

13) El dominio de gf / es

A. 0/ xRx

B. 1/ xRx

C. 10/ xxRx

D. 10/ xxRx

14) La función compuesta gf viene dada por

A. 1/1 2 x

B. 21/1 x

C. 2/1 xx

D. xx /12

15) La función compuesta fg viene dada por

A. 1/1 2 x

B. 21/1 x

C. 2/1 xx

D. xx /12

16) El dominio de la función compuesta gf es

A. 1/ xRx

B. 1/ xRx

C. 1/ xRx

D. 01/ xxRx

17) El dominio de la función compuesta fg es

A. 1/ xRx

B. 1/ xRx

C. 01/ xxRx

D. 1/ xRx

Las preguntas 18-20 hacen referencia a las funciones )ln()(;2)( xxgexf x

18) La función compuesta gf viene dada por

A. xx /)12(

B. xx /)21(

C. )1/(2 xx

D. )1/(2 xx



19) El dominio de la función compuesta fg es

A. 0/ xRx

B. )2ln(/ xRx

C. )2ln(/ xRx

D. )2ln(/ xRx

20) El dominio de la función compuesta gf es

A. 0/ xRx

B. )2ln(/ xRx

C. )2ln(/ xRx

D. )2ln(/ xRx

Las preguntas 21-22 hacen referencia a la función definida como:

40

40)4(

00

)(

xsi

xsixx

xsi

xf

21) De las siguientes proposiciones, la Falsa es:

A. )2( xf es una función par

B. El dominio de )12( xf es el intervalo 2/52/1 x

C. El rango de )(23 xf es el intervalo 35 y

D. El dominio de )2(2 xf es el intervalo 20 x

22) De las siguientes proposiciones, la verdadera es:

A. El dominio de )2/(xf es el intervalo 20 x

B. El dominio de )2( xf es el intervalo 40 x

C. El rango de )32( xf es el intervalo 40 y

D. El rango de )32(2 xf es el intervalo 20 y

23) La función )(xg de la figura de la derecha, comparada con )(xf , es:

A. )()( cxfxg

B. )()( cxfxg

C. ccxfxg )()(

D. ccxfxg )()(

24) Las ecuaciones paramétricas de una curva del plano vienen dadas por:



21;1)(,)( 2 tttyttx

La afirmación falsa es: A. La curva es una función B. La curva es un segmento de parábola

C. Los puntos: )1,0( y )0,1( hacen parte de la curva

D. La relación es invertible en su dominio 25) Las ecuaciones paramétricas de una curva del plano vienen dadas por:

tttytsentx 0;)cos(2)(,)()(

La gráfica de la relación es: A. La mitad superior de una elipse B. La mitad inferior de una elipse C. La mitad de la derecha de una elipse D. La mitad de la izquierda de una elipse Las preguntas 26-27 se refieren al siguiente problema. Una de las tribunas de un estadio de Fútbol tiene capacidad para 10 mil espectadores. Normalmente el precio de la boleta es de $10.000 y la asistencia promedio es de 6 mil personas. Se hace la siguiente proyección:

Precio de la boleta: x

en miles de pesos Asistencia: )(xA en miles

de personas

Recaudo: )(xR

en millones de pesos

10 6 60

9 7 63

8 8 64

7 9 63

6 10 60

26) El número de asistentes en función del precio de la boleta es )(xA

A. x20

B. x18

C. x16

D. x14

27) El recaudo en función del precio de la boleta es )(xR

A. 214 xx

B. 216 xx

C. 218 xx

D. 220 xx

Las preguntas 28-29 se refieren al siguiente problema. Se desea construir un depósito sin tapa en forma de cilindro circular recto que tenga un volumen de metros cúbicos. El radio de la base es x y la altura es y . El material para

construir la base cuesta 100 pesos el metro cuadrado mientras que el requerido para la superficie lateral cuesta 50 pesos el metro cuadrado.



28) El costo total de fabricación en función del radio de la base es )(xC

A. xx /150 2

B. xx /1100 2

C. xx /1150 2

D. xx /1200 2

29) El costo total de fabricación en función de la altura del depósito es: )(yC

A. yy /1200

B. yy /1150

C. yy /1100

D. yy /150

Las preguntas 30-31 se refieren a la siguiente figura:

30) Con respecto al figura, es FALSO que

A. )1( xf es una función par

B. )()( xgxf en el intervalo 3,2

C. El rango de )( xf es igual al rango de )(xf

D. El rango de )(3 xg está incluido en el rango de )(xf

31) Con respecto a la figura es FALSO que

A. El rango de 1)( xg es igual al rango de )(xg

B. El dominio de )1( xf es el intervalo 2,2

C. El dominio de )2( xg es el intervalo 2/3,1

D. El rango de 2/)(xf es el intervalo 2,0

Las preguntas 32-33 se refieren a la función: 2)( xxxf

32) En el intervalo 0, la expresión matemática para la función es )(xf

A. 22 x



B. 22 x

C. 22 x

D. 22 x

33) El rango de la función es fR

A. 2,

B. 2,

C. ,2

D. ,2

Las preguntas 34-35 se refieren a la función: 24)( xxxf

34) Para la función dada es FALSO que

A. El dominio de la función es el intervalo 4,0

B. El rango de la función es el intervalo ,0

C. El dominio de la función )3/(xf es el intervalo 3/4,0

D. El dominio de la función )2( xf es el intervalo 2,2

35) El dominio de la función )34( xf es

A. ,3/83/4,

B. ,3/83/4,

C. 3/8,3/4

D. 3/4,0

36) El vértice de una parábola es el punto 2,1 . Si la parábola pasa por el punto 1,1 , la

ecuación de la parábola es )(xf

A. 4/72/4/2 xx

B. 4/72/4/2 xx

C. 4/72/4/2 xx

D. 4/72/4/2 xx

37) El vértice de una parábola es el punto 2,1 . Si la parábola pasa por el punto 0,1 , la

ecuación de la parábola es )(xf

A. 2/32/2 xx

B. 2/32/2 xx

C. 2/32/2 xx

D. 2/32/2 xx Las preguntas 38-39 hacen referencia al siguiente problema: En el crecimiento de una población surgen circunstancias que hacen que dicha población no

pueda exceder un máximo M . La tasa de crecimiento de la población es conjuntamente proporcional al número de habitantes y a la diferencia entre el máximo y el número de

habitantes, es decir, si x es el número de habitantes y k es una constante de

proporcionalidad, se verifica que la tasa de crecimiento viene dada por:



)()( xMkxxT

38) El máximo número de habitantes de un poblado es 10000M y en el momento en que

hay 5000 habitantes la tasa de crecimiento es de 500 habitantes por año. La tasa de crecimiento para cualquier número de habitantes es

A. xx 43 10102

B. xx 44 10102

C. xx 45 10102

D. xx 46 10102

39) Un cultivo de bacterias tiene capacidad para un millón de ellas. En el momento en que hay cien mil bacterias, estas crecen a razón de nueve mil bacterias por minuto. La tasa de crecimiento para cualquier número de bacterias es

A. xx 67 1010

B. xx 66 1010

C. xx 65 1010

D. xx 64 1010

Las preguntas 40-41 hacen referencia al siguiente problema: En cierto país el impuesto sobre la renta se cobra de acuerdo a la siguiente tabla:

x: Ingresos en millones )(xr :Tasa impositiva en %

500 x 0

10050 x 10

150100 x 15

150x 20

40) Los ingresos de una persona ascienden a 80 millones de pesos. El total de impuestos a pagar, en millones de pesos, es A. 0.8 B. 8.0 C. 1.2 D. 12 41) Los ingresos de una persona ascienden a 160 millones de pesos. El total de impuestos a pagar, en millones de pesos, es A. 1.6 B. 16.0 C. 3.2 D. 32.0 Las preguntas 42-45 hacen referencia a la siguiente figura:



42) La función g en términos f de viene dada por )(xg

A. )2(2 xf

B. )2(2 xf

C. )2(2 xf

D. )2(2 xf

43) El dominio de )42( xf es

A. 1,3

B. 0,2

C. 1,1

D. 2,0

44) El rango de 1)(2 xf es

A. 2,1

B. 2,2

C. 3,1

D. 5,1

45) El rango de 3)(2

1xg es

A. 2,1

B. 2,1

C. 3,1

D. 3,1

Los numerales 46-50 hacen referencia a la figura siguiente.



46) El valor de )2)((gof

A. 0 B. 1 C. 2 D. No existe

47) El valor de )2)(( fog


48) El valor de )1)((gog

A. 0 B. -1 C. -2 D. -3

49) El valor de )0)((gof

A. 0 B. -1 C. -2 D. -3

50) El valor de )2)(( fof


Las preguntas 51-55 hacen referencia a las funciones:

)2()(;)2()( xarcsenxgxsenxf

51) El intervalo principal de inversión de f es

A. 4/,4/

B. 4/3,4/

C. 4/3,4/



D. 4/5,4/

52) El intervalo principal de inversión de g es

A. 1,3

B. 0,2

C. 2,1

D. 3,2

53) Una fórmula para la inversa de f es )(1 xf

A. )2/(2/ xarcsen

B. )2/(2/ xarcsen

C. 2/)(2/ xarcsen

D. 2/)(2/ xarcsen

54) Una fórmula para la inversa de g es )(1 xg

A. )(2 xsen

B. )(2 xsen

C. )(2 xsen

D. )(2 xsen

55) )5.1(fog

A. - 2/3

B. -1/2 C. 1/2 D. No existe

HOJA DE RESPUESTAS.



CAPITULO 3: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Contenido. 3.1. Introducción. 3.2. Noción intuitiva de límite. 3.3. Cálculo de límites por acercamiento. 3.4. Pendiente de la recta tangente de la gráfica de una función. 3.5. Definición de límite de una función. 3.6. Cálculo de límites de funciones algebraicas. 3.7. Leyes de los límites. 3.8. Límites laterales. 3.9. Teorema de la compresión. 3.10. Continuidad en un punto. 3.11. Continuidad en un intervalo. 3.12. Teorema del valor intermedio. 3.13. Límites infinitos y asíntotas verticales. 3.14. Límites en el infinito y asíntotas horizontales. 3.15. Asíntotas oblicuas. 3.16. La forma indeterminada 3.17. Límites de funciones trigonométricas. 3.18. Límites de funciones exponenciales y logarítmicas.

3.1. Introducción. En los capítulos previos se ha presentado un tratamiento de las funciones de variable real. Se insistió en el tema de las funciones que resultan al elaborar modelos matemáticos de ciertas aplicaciones físicas y geométricas, así como un estudio descriptivo de las funciones y sus gráficas. El cálculo, tanto diferencial como integral, consiste de la manipulación de dichas funciones y sus aplicaciones en la solución de problemas concretos de ingeniería y ciencias. Se empezará por presentar el concepto intuitivo de límite de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor cualquiera.

3.2. Una noción intuitiva de límite.

Consideremos dos funciones: )(xfy y )(xgy cuyas gráficas se ilustran en las figuras

3.1 y 3.2.


Al analizar la figura 3.1 se observa que:

1) La función no está definida en cx

2) Cuando x se acerca al valor c por la izquierda la función se acerca al valor L

Se utiliza el símbolo:

Lxfcx

)(lim

3) Cuando x se acerca al valor c por la derecha la función se acerca al valor L




Lxfcx

)(lim

Se establece entonces que el límite existe a pesar de que la función no está definida en cx

En este caso se escribe:

Lxfcx

)(lim

En adelante se dirá que cx

es una discontinuidad removible de la función.

Al analizar la figura 3.2 se observa que:

1) La función está definida en cx

2) Cuando x se acerca al valor c por la izquierda la función se acerca al valor

1L


1)(lim Lxgcx

3) Cuando x se acerca al valor c por la derecha la función se acerca al valor

2L


2)(lim Lxgcx

Se establece entonces que el límite no existe a pesar de que la función está definida en cx


existenoxgcx

)(lim

En adelante se dirá que cx

es una discontinuidad esencial de la función.

Puede darse el caso de una función )(xh para la que se verifique que:

1) La función está definida en cx

2) Cuando x se acerca al valor c por la izquierda la función se acerca al valor L


Lxhcx

)(lim

3) Cuando x se acerca al valor c por la derecha la función se acerca al valor L


Lxhcx

)(lim

Se establece entonces que el límite existe y la función está definida en cx


Lxhcx

)(lim

En adelante se dirá que la función es continua en cx

3.3. Cálculo de límites por acercamiento. En esta sección se estudiará lo que ocurre con una función al evaluarla a la izquierda y a la derecha de un número cx

Ejemplo 3.1 Consideremos la función:

2

4)(

2

x

xxf

Solución.



Es claro que 2x no hace parte del dominio de la función, sin embargo, podemos evaluar la

función en valores cercanos a 2x , tanto por la izquierda como por la derecha. La tabla

siguiente ilustra la situación. x 1.99 1.999 2.001 2.01

)(xf 3.99 3.999 4.001 4.01

Es claro que entre más cerca de 2 se evalúe la función más cerca de 4 estará el resultado. La conclusión intuitiva es:

42

4lim

2

2

x

x

x

De acuerdo con lo establecido previamente, x=2 es una discontinuidad removible. Esto se pone

de presente en la figura 3.3, la que resulta de redefinir la función de la siguiente manera:

22)(

2

22

2

4)(

2

xsixxf

x

xx

x

xxf


2

8)(

3

x

xxg



siguiente ilustra la situación.

x 1.99 1.999 2.001 2.01

)(xg 11.9401 11.9940 12.0060 12.0601


122

8lim

3

2

x

x

x






242)(

2

422

2

8)(

2

23

xsixxxg

x

xxx

x

xxg


2

22)(

x

xxf




x 1.99 1.999 2.001 2.01

)(xf 0.250156 0.250016 0.249984 0.249844

Es claro que entre más cerca de 2 se evalúe la función más cerca de 1/4 estará el resultado. La conclusión intuitiva es:

4/12

22lim

2

x

x

x



222

1)(

22)2(

42

22

22

2

22

2

22)(

xsix

xf

xx

x

x

x

x

x

x

xxf


26

2)(

3

x

xxf






x 1.99 1.999 2.001 2.01

)(xf 11.9949986 11.999499986 12.000499986 12.0049986


1226

2lim

32

x

x

x



24626)(

86

4626)2(

4626

4626

26

2)(

33 2

33 2

33 2

33 2

3

xsixxxf

x

xxx

xx

xx

x

xxf



x

xsenxf

)()(




x -0.01 -0.001 0.001 0.01

)(xf 0.9999833

0.999999833

0.999999833

0.9999833




1)(

lim0

x

xsen

x



x

exf

x 1)(




x -0.01 -0.001 0.001 0.01

)(xf 0.9950166 0.999500 1.000500 1.0050167


11

lim0

x

e x

x



3.4. Pendiente de la recta tangente de la gráfica de una función. La figura 3.9 ilustra la gráfica de una función y la recta secante que pasa por los puntos

))(,())(,( 11 xfxyafa

La pendiente de dicha recta secante viene dada por:

axax

afxfm

;

)()(

1

1sec

Por otro lado, la figura 3.10 ilustra la curva y la recta tangente en el punto ))(,( afa




En general, para cualquier punto ))(,( xfxP , lo más cercano posible al punto ))(,( afa , la

pendiente de la recta secante viene dada por:

axax

afxfm

;

)()(sec

Cuando x está lo suficientemente cercano a a la recta secante se aproxima a la recta

tangente a la curva en el punto ))(,( afa . En consecuencia usaremos la siguiente notación:

tanseclim mmax

De otra manera:

tan

)()(lim m

ax

afxf

ax

Ejemplo 3.7 Por aproximación sucesiva, determine la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la

función 2xy en el punto (1,1).

Solución.

La pendiente de la recta secante entre el punto dado y cualquier punto ),( 2xx , viene dada

por:

1;1

12

sec

x

x

xm

A partir del punto (1.1,1.21) nos empezamos a acercar al punto (1,1) y se calcula la pendiente

de la secante, tal como se ilustra en la siguiente tabla:

x )(xf secm

1.1 1.21 2.1 1.01 1.0201 2.01

1.001 1.002001 2.001 1.0001 1.0002 2.0001

Observe que cuando x tiende a 1 la función tiende a 1 y la pendiente de la recta secante

tiende a 2. En consecuencia, la pendiente de la recta tangente a la parábola 2xy en el

punto (1,1) es 2. Analizando la expresión matemática para la pendiente de la recta secante se observa que

dicha función no está definida en 1x , sin embargo, cuando 1x , la pendiente de la recta

secante se puede escribir en la forma:



1)1(

)1)(1(

1

1sec

2

x

x

xx

x

xm

De la última expresión es claro que cuando 1x la pendiente de la secante tiende a dos, es

decir:

21lim1

1lim

1

2

1

x

x

x

xx

EJERCICIOS 3.4 De manera intuitiva, determine la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto dado.

1) )1,1(;)( 3 Pxxf

2) )2,4(;)( Pxxf

3) )4,2/1(;)( 2 Pxxf

4) )1,3/(;)cos(2)( Pxxf

3.5. Definición de límite de una función.

Supongamos que una función )(xfy está definida en cada punto de un dominio, excepto,

posiblemente, en el punto ax , tal como se ilustra en la figura 3.11. Cuando la variable

independiente se acerca al valor a y simultáneamente la función se acerca al valor L , se dice

que el límite de la función cuando x tiende a a existe y es igual a L . En símbolos, se tiene:

Lxfax

)(lim

La definición anterior se puede presentar en los siguientes términos:

Sea RI un intervalo abierto que contiene al punto a y sea )(xf una función definida en

I, pero no necesariamente en a . Decimos que el límite de )(xf cuando x tiende al punto a ,

es el número L y escribimos:

Figura 3.11

Lxfax

)(lim , sí y solo sí para todo real 0 , existe un real 0 , tal que para todo Ix

se cumple la siguiente implicación.

Lxfax )(0

La implicación anterior se puede escribir en los siguientes términos:

Lxfax )(



Alternativamente, se tiene:

LxfLaxa )(

El significado preciso de la implicación, manifiesta en la figura 3.11, es el siguiente: Si a está

ubicado en una franja del eje horizontal de anchura 2 , el número L estará ubicado en una

franja del eje vertical de anchura 2 . La definición presentada se conoce comúnmente como

definición épsilon- delta. Con base en dicha definición se puede demostrar, por ejemplo, que:

21lim 2

1

x

x

Empezamos haciendo Lxf )( , en este caso, se tiene 212x . Se procede de

la siguiente manera:

11)1)(1(121 22

xxxxxx

Ahora, puesto que 1x , resulta: 2

1

x

El resultado nos dice que para cada 0 , por pequeño que sea, existe un 2/ .

EJERCICIOS 3.5 Usando la definición épsilon-delta, demuestre la existencia de los siguientes límites:

1) 13lim 2

2

x

x

2) 2/1/1lim2

xx

3) 22lim2

xx

4) 2/11

lim2

x

x

x

3.6. Cálculo de límites de funciones algebraicas.

Supongamos que )(xf se puede expresar como el cociente de dos funciones elementales, es

decir, no definidas por tramos, así: )(/)()( xqxpxf

Se desea calcular el siguiente límite:

Lxq

xp

ax

)(

)(lim

Pueden presentarse cuatro casos, así:

a) 0)(,0)( aqap . En este caso el límite existe y es cero, así:

0)(

0

)(

)(lim

aqxq

xp

ax

b) 0)(,0)( aqap . En este caso el límite existe y es:

)(

)(

)(

)(lim

aq

ap

xq

xp

ax



c) a) 0)(,0)( aqap . En este caso el límite no existe y, según veremos, es:

0

)(

)(

)(lim

ap

xq

xp

ax

d) 0)(,0)( aqap . En este caso el límite es una forma indeterminada, así:

0

0

)(

)(lim

xq

xp

ax

Tal expresión se conoce como una forma indeterminada y para eliminarla se requiere recomponer la función de tal manera que desaparezca la forma indeterminada. Usualmente, una forma indeterminada se elimina mediante un artificio matemático. 3.6.1. Eliminación de una forma indeterminada por factorización.

Se desea calcular

)(

)(lim

xq

xp

ax, en el que tanto el numerador como el denominador son

polinomios. En caso de resultar la forma indeterminada se factorizan, con la certeza de que

)( ax es un factor de ambos. En caso de persistir la forma indeterminada se factoriza de

nuevo.

Ejemplo 3.8. Calcule los siguientes límites:

1)

1

1lim

3

1 x

x

x

2)

1

1lim

1 x

x

x

3)

12

2lim

3

23

1 xx

xx

x

Solución.

Se puede observar que en todos los casos, al sustituir el valor de a en la función, resultan

formas indeterminadas. En consecuencia es necesario recomponer la función, así:

1) 31lim

1

1)1(lim

1

1lim 2

1

2

1

3

1

xx

x

xxx

x

x

xxx

2)

2/11

1lim

11

1lim

1

1lim

111

xxx

x

x

x

xxx

3) En este caso es necesario aplicar división sintética, con lo que:

1122

22lim

122)1(

22)1(lim

12

2lim

2

2

12

2

13

23

1

xx

xx

xxx

xxx

xx

xx

xxx

3.6.2. Eliminación de una forma indeterminada por multiplicación por el conjugado.



A continuación se muestran los conjugados de algunos binomios notables y el resultado de la multiplicación. La idea es que si un binomio no es racional, al multiplicarlo por el conjugado, el producto sea racional.

1) ba . El conjugado es ba y el producto es ba

2) ba . El conjugado es ba y el producto es ba

3) 33 ba . El conjugado es 3 233 2 baba y el producto es ba

4) 33 ba . El conjugado es

3 233 2 baba y el producto es ba

Ejemplo 3.9 Calcule los siguientes límites:

1)

x

x

x

24lim

0

2)

8

2lim

3

8 x

x

x

3)

332 2

2lim

x

x

x

Solución. 1) Diferencia de cuadrados.

024

lim24

2424lim

24lim

2

2

02

22

0

2

0

xx

x

xx

xx

x

x

xxx

2) Diferencia de cubos.

12/1

42

1lim

428

8lim

42)8(

422lim

8

2lim

33 28

33 2833 2

33 23

8

3

8

xx

xxx

x

xxx

xxx

x

x

x

xxx

3) Suma de cubos.

3333 2

2

333 2

2333 233

333 2

2332

4342lim

2

422lim

422(

422lim

2

2lim

xx

x

xxx

xxx

xxx

x

x

x

xxx

EJERCICIOS 3.6 1) Calcule los siguientes límites:

a)

1

1lim

3

1 x

x

x

b)

1

1lim

1 x

x

x



c)

12

2lim

3

23

1 xx

xx

x

d)

2

2

0

24lim

x

x

x

e)

4

26lim

2

3

2 x

x

x

f)

1

1lim

3

2

1 x

x

x


322 )(;)(;)(;)( xxwxxuxxgxxf

Calcule:

a)

h

xfhxf

h

)()(lim

0

b)

h

xghxg

h

)()(lim

0

c)

h

xuhxu

h

)()(lim

0

d)

h

xwhxw

h

)()(lim

0

3.7. Leyes de los límites.

Consideremos dos funciones )()( xgyxf tales que los siguientes límites existen:

1)(lim Lxfax

2)(lim Lxgax

1) La primera ley de los límites establece que el límite de una suma o de una diferencia es la suma o la diferencia de los límites, así:

21)()(lim LLxgxfax

2) La segunda establece que el límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función, así:

1)(lim cLxcfax

3) El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites, así:

21)()(lim LLxgxfax

4. El límite del cociente de dos funciones es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea cero, así:

21 /)(/)(lim LLxgxfax

5. El límite de función compuesta.

)(lim)(lim2

xfxgfLxax



Ejemplo 3.10 Dadas las funciones:

1

1)(

2

x

xxf

1)(

2

x

xxxg

Calcule los siguientes límites:

a) )(lim1

xfx

b) )(lim1

xgx

c) )(/)(lim1

xgxfx

d) )(lim1

xgfx

Solución. Aplicando los conceptos y métodos desarrollados, tenemos:

a) 2/1)(lim1

xfx

b) 1)(lim1

xgx

c) 2/1)(/)(lim1

xgxfx

d) 2/1)(lim)(lim2/11

xgxfgxx

EJERCICIOS 3.7

Dadas las funciones: 1)(;)( 2 xxgxxf

Calcule, si existen, los siguientes límites:

a)

1)(

)(lim

1 xf

xg

x

b) )(2)((lim2

xgxfx

c)

)1(

4)(lim

2 xg

xf

x

d)

1)(

)3()(lim

2

1 xf

xgxf

x

3.8. Límites laterales.

Consideremos una función )(xf tal que cuando x se acerca al valor a por la izquierda, la

función se acerca al valor 1L y cuando x se acerca al valor a por la derecha, la función se

acerca al valor 2L . Independientemente de que la función esté o no definida en a , se dice que

los límites laterales existen y vienen dados por:

2

1

)(lim

)(lim

Lxf

Lxf

ax

ax



La figura 3.11a ilustra la situación planteada. Es claro que si los límites laterales son iguales, es

decir si LLL 21 , entonces el límite bilateral de la función existe y en tal caso se dice que el

límite existe y se escribe:

Lxfax

)(lim

Figura 3.11a Figura 3.11b

Ejemplo 3.11 Dada la función:

22

4

201

1

00

)(

2

xsix

x

xsix

xsi

xf


a) )(lim0

xfx

b) )(lim0

xfx

c) )(lim2

xfx

d) )(lim2

xfx

Solución. Teniendo en cuenta los conceptos descritos previamente, se tiene:

a) 0)(lim0

xfx

b) 1)(lim0

xfx

c) 3/1)(lim2

xfx

d) 4)(lim2

xfx

Ejemplo 3.12 Calcule, si existen, los siguientes límites:

a)

1

1lim

3

1 x

x

x



b)

1

1lim

21 x

x

x

Solución. En ambos casos hay que redefinir la función, así: a) Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto se tiene:

11

11

1)1(

11

)(

11

1

11

1

)(2

2

3

3

xsix

xxx

xsix

xxx

xf

xsix

x

xsix

x

xf

Con base en lo anterior se tiene:

31

1lim

31

1lim

3

1

3

1

x

x

x

x

x

x

Se deduce que el límite no existe. b) Con base en la definición de valor absoluto se tiene:

1)1(1

1

1)1)(1(

1

)(

11

1

11

1

)(

2

2

xsixx

x

xsixx

x

xf

xsix

x

xsix

x

xf

Con base en lo anterior, resulta:

2/11

1lim

2/11

1lim

3

1

3

1

x

x

x

x

x

x

Se deduce que el límite no existe.

EJERCICIOS 3.8 1) Calcule, si existen, los siguientes límites:

a)

1

1lim

3

1 x

x

x

b)

1

1lim

21 x

x

x

c)

xx

x

x 0lim



d)

23

1lim

1 x

x

x

e)

3 22 4

2lim

x

x

x

f)

x

x

x 1

1lim

2

1

2) Considere la función:

6451

42

2211

)(

xsix

xsix

xsix

xf

a) Haga una gráfica de la función b) Calcule los siguientes límites:

i) )(lim2

xfx

ii) )(lim2

xfx

iii) )(lim2

xfx

iv) )(lim4

xfx

v) )(lim4

xfx

3.9. Teorema de la compresión o del emparedado.

Consideremos tres funciones )(,)(,)( xhxgxf tales que, en las inmediaciones de ax se

verifica que )()()( xhxgxf .

Si Lxhxfaxax

)(lim)(lim , entonces: Lxgax

)(lim

Ejemplo 3.13 Usando el teorema del emparedado muestre que:

0)/1(lim0

xxsenx

Solución.

Puesto que la función seno está en el intervalo 1)/1(1 xsen , tenemos:

0;)/1( xxxxsenx

Puesto que los límites de las funciones de los extremos son iguales a cero, el límite de la función emparedada será cero.

EJERCICIOS 3.9 Usando el teorema del emparedado, calcule los siguientes límites:

a) )/1cos(lim0

xxx

b) )/1arctan(lim0

xxx



c) )cos(

0lim x

xex

d) )/1cos()(lim0

xxsenx

3.10. Continuidad en un punto.

Se dice que una función )(xf es continua en un punto ax si dicha función esta definida en

dicho punto y los límites laterales son iguales a la función evaluada en el punto. En símbolos, se tiene:

)()(lim)(lim afxfxfaxax

Cuando los límites laterales son iguales pero la función no está definida en el punto o tiene un valor diferente al límite, se dice que la discontinuidad es removible y en tal caso se puede redefinir la función en el punto.


1

1)(

3

x

xxf

Muestre que en 1x hay una discontinuidad removible y redefina la función.

Solución.

Evidentemente la función no está definida en 1x , sin embargo, los límites laterales existen y

son iguales, así:

1)(11

)1)(1(

1

1)( 2

23

xxxfxsí

x

xxx

x

xxf

En consecuencia, tenemos:

3)(lim)(lim11

xfxfxx

La función se puede redefinir de la siguiente manera:

13

11)(

2

xsi

xsixxxf

Cuando una discontinuidad no es removible se dice que es esencial. La discontinuidad de la función de la figura 3.4a es esencial, mientras que la discontinuidad de la figura 3.4b es removible.

EJERCICIOS 3.10


111

1)(

2 xsix

xsiaxxf

a) Determine un valor de a de tal manera que 1x sea una discontinuidad removible.

b) Redefina la función de tal manera que sea continua en su dominio.

2) Repite el ejercicio anterior para la función:

112

1)(

2

2

xsix

xsiaxxxf




3

3121

11

)(

xsiax

xsix

xsi

xf

a) Muestre que 1x es una discontinuidad esencial

b) Determine el valor de a de tal manera que 3x sea una discontinuidad removible

c) Represente gráficamente la función.

4) Muestre, de manera intuitiva, que cualquier función racional )(

)()(

xq

xpxf es continua en

cualquier intervalo exceptuando aquellos en los que 0)( xq

5) Considere la función: xx

xxf

2

3 1)(

a) Muestre que 1x es una discontinuidad removible de la función y redefínala.

b) Muestre que 0x es una discontinuidad esencial de la función.

3.11. Continuidad en un intervalo.

Una función )(xf es continua en un intervalo ),( ba si es continua en cada punto del

intervalo. En los puntos extremos los límites son laterales, es decir, se deben calcular los límites:

2

1

)(lim

)(lim

Lxf

Lxf

ax

ax

Son ejemplos de funciones continuas: en cualquier intervalo de los reales: 1) Las funciones polinómicas

2) Las funciones )(xsen y )cos(x

3) La función exponencial xe


24)( xxf

a) Muestre que su dominio es el intervalo: 22 x

b) Muestre que la función es continua en su dominio Solución. a) En cuanto al dominio, se hace el siguiente procedimiento:

220)2)(2(0404 22 xxxxx

b) Puede verse que para cada valor de la variable en el intervalo la función es continua y, además, se cumple que:

0)(lim

0)(lim

2

2

xf

xf

x

x

3.12. Teorema del valor intermedio.

Consideremos una función )(xfy que es continua en el intervalo cerrado ],[ ba de tal

manera que )()( bfaf . Supongamos que existe un número M en el intervalo abierto



))(),(( bfaf . El teorema del valor intermedio establece que existe al menos un ),( bac tal

que Mcf )( .

La figura 3.12 ilustra el caso en el que el teorema se cumple para un único valor de c , mientras

que en la figura 3.13 el teorema se cumple para tres valores de c .

Figura 3.12 Figura 3.13 Una de las aplicaciones más importantes del teorema es la de determinar las raíces reales de una ecuación en un intervalo, así:

Si )(xf es continua en un intervalo y si 0)()( bfaf ],[ ba , entonces en el intervalo hay, al

menos, una raíz real de la ecuación 0)( xf . Particularmente, si la función es uno a uno en

el intervalo, la ecuación tiene una solución real.

Ejemplo 3.16 Determine, si es posible, dos valores de la variable independiente tales que la gráfica de la

función xxy 22 corte a la recta 3y .

Solución.

3,10)1)(3(03232 22 xxxxxxxx

La figura 3.14 ilustra la gráfica correspondiente.

Ejemplo 3.17

Determine si la ecuación 0323 xx tiene alguna raíz en el intervalo ]2,1[

Solución. Puesto que las funciones polinómicas son continuas en cualquier intervalo de los reales, basta

con evaluar la función en los puntos dados, así 1)2(4)1( ff . Se concluye que sí hay

raíces en dicho intervalo. La figura 3.15 muestra la gráfica de la función en el intervalo




Ejemplo 3.18

Determine si la ecuación 4)cos(2 xx tiene una solución en el intervalo:

a) 2/,0

b) ,2/

Solución. Puesto que la función es continua en los reales, se tiene:

a) 0)2/(0)0( fyf , con lo que no se garantiza solución

b) 0)(0)2/( fyf , con lo que si se garantiza solución

EJERCICIOS 3.12

1) Considere la ecuación 2

1)(

x

xxf


b) Determine, sí es posible, un valor de x tal que la función evaluada en el punto sea tres.

2) Considere la función: 432)( 23 xxxxf

a) Elabore una tabla de valores de la función en el intervalo: 33 x

b) Ubique las raíces reales de la ecuación: 0)( xf

3) Repita el ejercicio anterior para la función:

4) Repita el mismo procedimiento para la ecuación:

5) Repita el mismo procedimiento para la función:

6) Determine, sí es posible, dos valores de la variable independiente tales que la gráfica de la

función corte a la recta:

7) Determine sí la ecuación tiene una solución en el intervalo:

a)

b)

3.13. Límites infinitos y asíntotas verticales.

Consideremos una función tal que cuando tiende a un valor finito: por la

izquierda o por la derecha, la función crece sin límite hasta el infinito, sea éste positivo o negativo, es decir:

)(lim

)(lim

xf

xf

ax

ax

En este caso se dice que la recta es una asíntota vertical de la gráfica de la función.

Las asíntotas verticales son propias de algunas funciones racionales.

En general puede verificarse que si , entonces:

4

3)(

23

x

xxxf

4

1)(

4

x

xxf

4

3)(

23

x

xxxxf

22y x x 3y

cos( ) 2 0x x

2/,0

,2/

)(xfy x a

ax

0r



imparrsi

parrsi

x

x

rx

rx

1lim

1lim

0

0


Determine los siguientes límites:

Solución.

Cuando significa que toma un valor menor que -1, digamos -1.001. Esto significa que

el denominador se acerca a cero positivo, así:

De manera similar se obtienen los otros límites.


a) Determine el dominio de la función b) Calcule los siguientes límites:

Solución.

a) El dominio de la función viene dado por:

1

4)(

2

2

x

xxf

)(lim

)(lim

1

1

xf

xf

x

x

)(lim

)(lim

1

1

xf

xf

x

x

1x

0

5

1

4lim

2

2

1 x

x

x

0

5

1

4lim

2

2

1 x

x

x

0

5

1

4lim

2

2

1 x

x

x

0

5

1

4lim

2

2

1 x

x

x

2 4( )

2

xf x

x

)(lim

)(lim

2

2

xf

xf

x

x

204/ 2 xxRxD f



De lo anterior se sigue que:

b) El primer límite es:

Para el otro límite, puesto que no hace parte del dominio de la función, se tiene que:

EJERCICIOS 3.13 1) Dada la función:


2) Dada la función:


3.14. Límites en el infinito y asíntotas horizontales.

Consideremos dos funciones )(;)( xgxf de tal manera que pueda tender a infinito o a

menos infinito. 3.14.1. Límites en más infinito. Cuando la variable independiente tiende a más infinito, pueden presentarse las siguientes situaciones:

a) La función )(xf crece más rápidamente que la función )(xg . Esta situación se ilustra en la

figura en la figura 3.16 para las funciones 3)(;)( xxgexf x . Es claro que para grandes

valores de x la exponencial está por encima de la cúbica.

,22,fD

2

2lim

2

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2 x

x

x

xx

x

x

xxx

2x

existenox

x

x

2

4lim

2

2

1

4)(

2

2

x

xxf

)(lim

)(lim

1

1

xf

xf

x

x

)(lim

)(lim

1

1

xf

xf

x

x

2

4)(

2

x

xxf

)(lim

)(lim

2

2

xf

xf

x

x

x



Figura 3.16

Intuitivamente, el cociente )(/)( xgxf aumentará al aumentar x, mientras que el cociente

)(/)( xfxg se acercará a cero al aumentar x. Las figura 3.17 y 3.18 ilustran la situación.


b) Las funciones crecen a ritmos similares, tal es el caso de de dos funciones algebraicas del mismo grado. Esta situación se ilustra en la figura 3.19 para las funciones

14)(;232)( 22 xxxgxxxf

El límite cuando tiende a infinito del cociente existe, es decir:

Lxg

xf

x

)(

)(lim

En tal caso se dice que la recta Ly es una asíntota horizontal de la gráfica de la función. La

figura 3.20 muestra la gráfica del cociente )(/)( xgxf . Se observa que la recta 2y es una

asíntota horizontal de la gráfica del cociente.

x




En este caso, el límite se calcula dividiendo numerador y denominador por la máxima potencia de la variable independiente. Para nuestro ejemplo se tiene:

2/1/41

/2/32lim

14

232lim

2

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

3.14.2. Límites en menos infinito. Supongamos que el límite cuando tiende a menos infinito existe, es decir:

Lxg

xf

x

)(

)(lim

En tal caso se dice que la recta Ly es una asíntota horizontal de la función.

Para calcular los límites en menos infinito de una función se aconseja hacer lo siguiente:

)(lim)(lim xfxfxx



Solución. Para el primer límite, se tiene:

Para el segundo límite se tiene:

x

1

4)(

2

2

x

xxxf

)(lim xfx

)(lim xfx

1/11

/41lim

1

4lim

22

2

x

x

x

xx

xx

11

4lim

1

4lim

2

2

2

2

x

xx

x

xx

xx



Del ejemplo se sigue que la recta 1y es una asíntota horizontal de la función, mientras que

las asíntotas verticales son las rectas: 1x



Solución. Para el primer límite, se tiene:

Para el segundo límite, se tiene:


Solución. a) El grado del numerador es 3 y el del denominador es 2, con lo que el límite es:

43lim

2

3

xx

x

x

b) Primero que todo se aplica la regla, así:

53

3lim

53

3lim

23

22

23

22

xxx

xx

xxx

xx

xx

El grado del numerador es 3 y el del denominador es 7/3, el límite es:

53

3lim

23

22

xxx

xx

x


1

32)(

2

2

xx

xxf

)(lim xfx

)(lim xfx

2/11

/32lim

1

32lim

2

2

2

2

x

x

xx

x

xx

21

32lim

1

32lim

2

2

2

2

xx

x

xx

x

xx

43lim

2

3

xx

x

x

3 4

22

53

3lim

xxx

xxx

x








3.15. Asíntotas oblicuas. Consideremos una función racional en la que la diferencia entre el grado del numerador y el del denominador es la unidad, es decir, funciones de la forma:

En tal caso, la fracción se puede escribir en la forma:

Puesto que el grado del residuo es menor que el grado del denominador, se verifica que:

Lo anterior significa que la recta es una asíntota oblicua de la función y se escribe:

En general, cuando la función no es racional, las asíntotas oblicuas de la misma se calculan de la siguiente manera:

1

4)(

2

2

x

xxf

)(lim

)(lim

xf

xf

x

x

2

5)(

2

x

xxf

)(lim

)(lim

xf

xf

x

x

2

13)(

2

xx

xxxf

)(lim

)(lim

xf

xf

x

x

)(

)()(

xD

xNxf

)(

)()(

xD

xRbmxxf

0)(

)(lim

xD

xR

x

bmxy

bmxxfx

)(lim



a) x

b) x

Ejemplo 3.24 Determine las asíntotas oblicuas para la siguiente función:

a) Efectuando la división b) Aplicando la definición Solución. a) Al efectuar la división se obtiene:

Por tanto, la asíntota oblicua es:

b) Usando el otro método se tiene: i) Cuando


ii) Cuando

Se concluye que la función tiene una sola asíntota oblicua:

Ejemplo 3.25 Aplicando la definición, calcule las asíntotas oblicuas para la función:

Solución.

mxxfb

x

xfm

x

x

)(lim

)(lim

mxxfb

x

xfm

x

x

)(lim

)(lim

4

32)(

2

23

x

xxxxf

4

872)(

2

x

xxxf

2 xy

x

14

32lim

)(lim

2

2

x

xx

x

xfm

xx

24

72lim

4

32lim)(lim

2

2

2

23

x

xxx

x

xxxmxxfb

xxx

2 xy

x

14

32lim

)(lim

2

2

x

xx

x

xfm

xx

24

72lim

4

32lim)(lim

2

2

2

23

x

xxx

x

xxxmxxfb

xxx

2 xy

1

4)(

2

x

xxf



En primer lugar se redefine la función, así:

i) Cuando

El estudiante puede verificar que la asíntota es:

ii) Cuando

El estudiante puede verificar que la asíntota es:

EJERCICIOS 3.15 Determine las asíntotas oblicuas para las siguientes funciones:

a)

b)

3.16. La forma indeterminada: Eventualmente, al calcular un límite, aparece la forma indeterminada: Para calcular el límite se debe recurrir a un artificio matemático que convierta la forma

indeterminada dada en otra de la forma: Normalmente se recurre a multiplicar arriba y abajo por el conjugado de la función.

Ejemplo 3.26 Aplicando la definición, calcule las asíntotas oblicuas para la siguiente función:

Solución.

i) Cuando

Aplicando el procedimiento de multiplicar por la conjugada, resulta:


01

4

01

4

)(2

2

xsix

x

xsix

x

xf

x

1 xy

x

1 xy

4

32)(

2

23

x

xxxxf

21

42)(

2

x

xxf

/

34)(

2

2

x

xxf

x

2/134

lim)(

lim2

x

x

x

xfm

xx

342

342lim

234lim)(lim

2

22

2

2

x

xxxx

x

xmxxfb

xxx

0342342

344lim

342342

342342lim

222

224

222

2222

xxxx

xxx

xxxx

xxxxxxb

xx

2/xy



ii) Se deja como ejercicio que el estudiante demuestre que cuando , la asíntota oblicua

es la misma recta.

Ejemplo 3.27

Aplicando la definición, calcule las asíntotas oblicuas para la función:

Solución.

i) Cuando

Multiplicando por la conjugada, se tiene:

Puesto que la pendiente es cero, la asíntota es horizontal. En cuanto al corte con el eje de ordenadas, se tiene:

En consecuencia, cuando , la asíntota es horizontal:

ii) Cuando

Aplicando el procedimiento, se tiene:

En cuanto al corte con el eje de ordenadas, se tiene:

Multiplicando por la conjugada, resulta:

En consecuencia, cuando x , la asíntota es oblicua:

EJERCICIOS 3.16 1) Calcule, si existen los siguientes límites:

x

1)( 2 xxxf

x

x

xx

x

xfm

xx

1lim

)(lim

2

01

1lim

1

11lim

22

22

xxxxxx

xxxxm

xx

01

1lim1lim)(lim

2

2

xxxxmxxfb

xxx

x 0y

x

x

xx

x

xx

x

xfm

xxx

1lim

1lim

)(lim

22

21

/111lim

1lim

22

x

x

xxm

xx

01lim21lim)(lim 22

xxxxxmxxfbxxx

01

1lim

2

xxb

x

xy 2



a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)


Determine


127

12

132

)(

xsix

xsi

xsix

xf

Determine los límites siguientes, si existen y represente gráficamente la función.

a)

b)

c)


12

11

11

)( 2

xsix

xsix

xsix

xf

325lim 2

4

xx

x

34

2lim

21 xx

x

x

3

12lim

2

3 x

xx

x

x

x

x

22lim

0

1

1lim

3

4

1 x

x

x

9

3lim

9 x

x

x

3/4

35lim x

x

1

1lim

3

1 x

x

x

1

31lim

1 x

xx

x

1

31lim

1 x

xx

x

632)( xxf

)(lim2

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx



Determine los siguientes límites, si existen y represente gráficamente la función.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

5) Evalúe los siguientes límites:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

6) Determine las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las gráficas de cada una de las funciones siguientes y haga un gráfico aproximado.

a)

b)

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

xx 2

1lim

0

2

3lim

2 xx

23

2

0

3lim

xx

x

x

3

9lim

2

3 x

x

x

3

9lim

2

3 x

x

x

xx

xx

x 4

23lim

3

2

0

x

xx

x

61156lim

2

0

52

4lim

2 xx

x

x

x

x

x 4

41lim

2

xxxx

22lim 2

42)(

x

xxf

2

3)(

x

xxf



c)

d)

e)

f)

g)

h)

3.17. Límites de funciones trigonométricas A partir de las funciones elementales seno y coseno, cuyas gráficas se ilustran n la figura 3.21, se pueden calcular límites que involucran funciones trigonométricas.

Figura 3.21

3.17.1. Límites elementales.

A partir de la figura 3.21, es claro que:

0)(lim)(lim)(lim

0)(lim)(lim)(lim

20

20

*xsenxsenxsen

xsenxsenxsen

xxx

xxx

0)cos(lim)cos(lim

0)cos(lim)cos(lim

2/32/

2/32/

xx

xx

xx

xx

Ejemplo 3.27 Por simple inspección de la figura 3.21 se puede establecer que:

)cot(lim)csc(lim

)cot(lim)csc(lim

*0

0

xx

xx

xx

xx

)tan(lim)sec(lim

)tan(lim)sec(lim

2/32/

2/32/

xx

xx

xx

xx

3.17.2. Límites trigonométricos especiales. Una importante función es la definida como:

145

49)(

2

2

xx

xxf

2

4)(

2

2

x

xxf

3

2)(

2

2

x

xxf

2)(

2

2

x

xxxf

xxxxf 2)( 2

14)( 2 xxxf



x

xsenxf

)()(

Es claro que el dominio de la función excluye el valor x=0. Sin embargo, dado que la función es par, el límite cuando x tiende a cero por la derecha debe ser igual al límite cuando x tiende a cero por la izquierda. En el ejemplo 3.5 se mostró de manera intuitiva que dicho límite es la unidad, es decir:

1)(

lim0

x

xsen

x

Demostraremos en esta sección, usando la figura 3.22 y el teorema del emparedado, que el límite a la derecha de cero es la unidad.

Figura 3.22

Con base en la figura se tiene:

En virtud de lo anterior se pueden dividir los diferentes miembros de la desigualdad por

sin que cambie el sentido de la desigualdad, es decir, se puede escribir:

De manera equivalente se tiene:

Con base en el teorema del emparedado, los límites de las funciones de los extremos son iguales a la unidad, con lo que:

Ahora bien, puesto que , se sigue que:

Ejemplo 3.28 Usando el resultado anterior, calcule el siguiente límite:

x

x

x

)cos(1lim

0

)tan()( senCDBCAB

0)( sen

)(

)tan(

)()(

)(

sensensen

sen

)cos(

1

)(1

sen

1)(

lim0

sen

)(lim

1

)(

1lim

xfxfax

ax

1)(

lim0

sen



Solución. El límite se puede calcular de la siguiente manera:

Aplicando la identidad trigonométrica, se tiene:

Se hizo uso de la propiedad de que el límite de un producto es el producto de los límites

Ejemplo 3.29 Evalúe los siguientes límites:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

20

)cos(1lim

Solución.

a) Como el argumento del seno es , se hace el cambio de variable , con lo que

resulta:

b) En este caso se tiene:

c)

)cos(1

)(cos1lim

)cos(1

)cos(1)cos(1lim

)cos(1lim

2

000

010

)(

)cos(1

)(lim

)cos(1

)(lim

)cos(1lim

0

2

00

sensensen

)4(lim

0

sen

)(

)cos(1lim

0

sen

)tan(

)2(lim

0 x

xsen

x

)2(

5lim

0 xsen

x

x

)cos(

2/lim

2/

x

x4 xt 4

44/

)(lim

)4(lim

00

t

tsen

x

xsen

tx

01

0

)(

)cos(1

lim)(

)cos(1lim

00

x

xsenx

x

xsen

x

xx



d)

e) Si evaluáramos directamente éste límite obtendríamos una forma indeterminada de la

forma

Se sugiere el cambio de variable , con lo que resulta:

En la expresión anterior se hizo uso de la identidad:

f) En este caso la forma indeterminada se elimina multiplicando por el conjugado del numerador, así:

Haciendo uso de la identidad trigonométrica , resulta:

EJERCICIOS 3.17 Determinar los siguientes límites.

1)

2)

3)

4)

5)

2)(cos2lim

)cos(

)(

)cos()(2lim

tan

2lim 2

000

x

x

xsen

xxsen

x

xsen

xxx

2/5

2

2

2/5lim

2

2

2

5lim

2

5lim

000

x

xsenxsen

x

xsen

x

xxx

0

0

2/t

1

)(lim

)2/cos(lim

cos

2lim000

tsen

t

t

t

)()()2/()cos()2/cos()2/cos( tsentsensentt

cos1

cos1lim

cos1

cos1cos1lim

cos1lim

2

2

02020

)()(cos1 22 xsenx

2/1)cos(1

)(

lim)cos(1

)(lim

cos1lim

2

02

2

020

sen

sen

xx

tanlim0

)sec(lim2/

xx

xx

cot2lim0

)3(

)5(lim

0 xsen

xsen

x

x

xsen

x 2

)(1lim

2/



6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

3.18. Límites de funciones exponenciales y logarítmicas. 3.18.1. Función Exponencial.

Consideremos una función exponencial 0;)( aaxf x. Los límites elementales son:

100

1lim

asi

asia x

x

10

10lim

asi

asia x

x

3.18.2. Función logarítmica.

Consideremos la función 1;)(log)( bxxf b . Los límites elementales son:

1.

2.

3.


00

035)(

xsi

xsiexf

x

a) Muestre que la función no es continua en

b) Calcule

c) Haga una gráfica de la curva Solución. a) Se calculan los límites laterales, así:

x

x

x 1

)2/cos(lim

1

x

x

x 3

)cos(1lim

3/

2

0

)cos(1lim

x

x

x

h

xsenhxsen

h

)()(lim

0

)(

)tan(lim

0 tsen

tt

t

)3(

)2(lim

0 xsen

xsenx

x

x

xsenxsen

x

)(1)(1lim

0

)(lim0

xf

)(lim xf

0)(lim1

xf

0x

)(lim xfx



Puesto que los límites laterales son distintos, la función no es continua en

b) Se calcula el límite, así:

Lo anterior significa que la recta es una asíntota horizontal de la función.

c) La gráfica de la función se ilustra en la figura 3.23

Figura 3.23


a) Calcule los siguientes límites:

b) Analice la continuidad de la función. c) Represente gráficamente la función. Solución. a) Los límites pedidos son:

b) Puede verse que la función no es continua en

c) La gráfica se muestra en la figura 3.24

0)(lim0

xfx

235lim)(lim00

x

xxexf

0x

5/35lim)(lim

x

xxexf

5y

0( )

ln( ) 0

xe si xf x

x si x

)(lim xfx

)(lim0

xfx

)(lim0

xfx

0)(lim

xfx

1)(lim0

xfx

)(lim0

xfx

0x



Figura 3.24


a)

b)

c)

d)

e)

f)


a. Evalúe la función para los siguientes valores de :

b. Intuitivamente calcule el límite de la función cuando

c. Con base en lo anterior redefina la función y represente gráficamente.



b) Analice la continuidad de la función.

x

xe

36lim

0

x

xe

36lim

x

xe

36lim

x

x

x e

e

21

2lim

0

x

x

x e

e

21

2lim

x

x

x e

e

21

2lim

x

exf

x

1)(

x 001.001.01.0 xxx

0x

1/ 0

( ) 2 0 1

ln( ) 1

x

x si x

f x si x

x si x

)(lim xfx

)(lim0

xfx

)(lim0

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx



c) Represente gráficamente la función.



b) Represente gráficamente la función.


a) Muestre que la función tiene una raíz en el intervalo

b) Muestre que la recta es una asíntota oblicua de la gráfica de la función cuando

2( ) ln 1f x x x

)(lim1

xfx

)(lim xfx

)(lim xfx

( ) 3 xf x x e

2,3

1y x

x



CAPITULO 4: LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Contenido. 4.1. Introducción. 4.2. Derivadas laterales. 4.3. La derivada como función. 4.4. Derivadas de funciones elementales. 4.5. Reglas de derivación. 4.6. Derivada de una función compuesta (regla de la cadena) 4.7. Derivación implícita. 4.8. Derivadas de funciones inversas. 4.9. Derivadas de orden superior. 4.10. Derivación logarítmica.

4.1. Introducción. En el capítulo anterior se abordó el problema de calcular la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto determinado. Con base en el concepto de límite, la pendiente de la recta

tangente a una curva en el punto , la cual denotaremos como , viene dada por:

Lo anterior es válido en la medida que el límite exista, es decir, los límites laterales deben ser iguales. En símbolos, se tiene:

En consecuencia, la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto viene dada

por:

4.2. Derivadas laterales.

Sea una función continua en . Se definen las derivadas laterales de la función como:

4.2.1. Derivada por la izquierda. Se define como:

4.2.2. Derivada por la derecha. Se define como:

4.2.3. Diferenciabilidad.

Se dice que es diferenciable o derivable en si es continua y las derivadas laterales

son iguales y se escribe:

Puede ocurrir que una función sea continua pero no diferenciable en ax . En este caso la

curva no es suave, es decir, presenta un cambio brusco en ax

))(,( afa m

ax

afxfm

ax

)()(lim

ax

afxf

ax

afxf

axax

)()(lim

)()(lim

))(,( afa

)()( axmafy

f ax

ax

afxfaf

ax

)()(lim)('

ax

afxfaf

ax

)()(lim)('

f ax

ax

afxfaf

ax

)()(lim)('



Ejemplo 4.1. Considere la función:

a) Verifique que es continua

b) Determine las derivadas laterales en 1x

c) Diga si la función es o no derivable en 1x

d) Represente gráficamente la función. Solución.

a)

b) Derivadas laterales. i) Derivada por la izquierda:

ii) Derivada por la derecha:

c) no es diferenciable en 1x

d) La representación gráfica se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1

Puede observarse que en la curva sufre un cambio brusco en su pendiente, cambio que

se debe justamente a que no es diferenciable en el punto.


112

10/1)(

2 xsix

xsixxf

a) Verifique que es continua.


c) Diga si la función es o no es diferenciable en 1x

d) Represente gráficamente la función.

1

1)(

2

xsix

xsixxf

1)1()(lim)(lim11

fxfxfxx

21

)1)(1(lim

1

1lim

1

)1()(lim)1('

1

2

11

x

xx

x

x

x

fxff

xxx

2/1

1)1(

)1(lim

1

1lim

1

)1()(lim)1('

111

xx

x

x

x

x

fxff

xxx

f

-2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

1x




125

12)(

2 xsixx

xsixxf



c) Diga si la función es o no es diferenciable en 1x

d) Represente gráficamente la función.

4.3. La derivada como función.

Supongamos que una función es diferenciable en cada de un intervalo abierto . En

tal caso se dice que es suave en el intervalo, tal como se ilustra en la figura 4.2.

Figura 4.2

En general, la primera derivada de en el punto viene dada por:

Geométricamente, la primera derivada de una función suave en el punto es la

pendiente de la recta tangente a la curva en el punto. Se pueden presentar los siguientes casos:

a) La pendiente es positiva en un intervalo . En este caso se dice que es

creciente en el intervalo.

b) La pendiente es negativa en un intervalo . En este caso se dice que es

decreciente en el intervalo.

c) Cuando la primera derivada pasa de negativa a positiva en el punto es porque la

curva pasa de ser decreciente a creciente. En este caso se dice que el punto es un punto de mínima relativo.

d) Cuando la primera derivada pasa de positiva a negativa en el punto es porque la

curva pasa de ser creciente a decreciente. En este caso se dice que el punto es un punto de máxima relativo.

Ejemplo 4.2

Usando la definición, determine la primera derivada de la función y

represente, en una misma figura, la función y la derivada. Solución. La derivada viene dada por:

f x ba,

f

f ))(,( xfx

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

)(, xfx

)(' xf ba , f

)(' xf cb , f

)(, afa

)(, afa

xxxf 2)( 2

h

xxhxhxxf

h

2)(2)(lim)('

22

0



Desarrollando el numerador se tiene:

22

22lim)('

22lim

2222lim)('

0

2

0

222

0

xh

hxhxf

h

hhxh

h

xxhxhxhxxf

h

hh

La figura 4.3 ilustra la representación gráfica de la función y su primera derivada.

Figura 4.3

Puede verse que:

a) la función es decreciente

b) la función es creciente

Por tanto, el punto es un mínimo relativo.

Ejemplo 4.3 Usando la definición, determine la primera derivada de la siguiente función y represente, en una misma figura, la función y la derivada.

14

12)(

2 xsix

xsixxf

Solución.

A la izquierda de 1x , la derivada es:

1lim

)2(2lim

)()(lim)1('

00

0

h

h

h

xhx

h

xfhxfxf

hh

h

A la derecha de 1x , la derivada es:

x

h

hxh

h

xhx

h

xfhxfxf

hh

h

22

lim44

lim

)()(lim)1('

2

0

22

0

0

10)(' xsixf

10)(' xsixf

1,0



Es claro que la función no es diferenciable en 1x

La expresión matemática para la derivada es:

12

1)('

xsix

xsixxf

La figura 4.4 ilustra la gráfica de la función y de su primera derivada. Observe que la primera derivada es discontinua en x=1. En dicho punto la derivada pasa bruscamente de positiva a negativa, lo que significa que la función presenta un máximo relativo en dicho punto.

Figura 4.4

4.3.1. ¿Qué nos dice acerca de ?

A partir de la gráfica de la primera derivada se pueden establecer algunas características de la

función original. Consideremos la figura 4.5, la cual representa la primera derivada de una

función derivable .

Figura 4.5

Con referencia a la figura se puede afirmar que :

a) Es decreciente en el intervalo

b) Es creciente en el intervalo

c) Presenta un mínimo relativo en el punto

d) Presenta un máximo relativo en el punto

'f f

'f

f

f

2,0

,20,

)2(,2 f

)0(,0 f



e) En los puntos y la pendiente de la recta tangente es

Ejemplo 4.4

Para la función cuya primera derivada se muestra en la figura 4.5 se conoce .

Determine la ecuación de la recta tangente en el punto. Solución. Con base en lo presentado, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto es

3)3(' f , con lo que la ecuación de la recta tangente es:

4.3.2. La segunda derivada de una función.

Dada una función continua y derivable en cada punto de un intervalo ),( ba , si la primera

derivada es diferenciable en cada punto del intervalo, se define la segunda derivada de

como la derivada de la primera derivada y se denota como:

Geométricamente, la segunda derivada de una función representa la concavidad de la gráfica

de y se pueden presentar las siguientes situaciones:

a) La concavidad es positiva en un intervalo . En este caso se dice que es

cóncava hacia arriba en el intervalo.

b) La concavidad es negativa en un intervalo . En este caso se dice que es

cóncava hacia abajo en el intervalo.

c) Cuando la segunda derivada cambia de signo en el punto es porque la curva

cambia de concavidad en el punto. En este caso se dice que el punto es un punto de inflexión de la gráfica de la función.

Ejemplo 4.5

La figura 4.6 ilustra la gráfica de una función en el intervalo

Figura 4.6

Puede afirmarse que:

)1(,1 f )3(,3 f 3m

1)3( f

83)3(31 xyxy

f

f

h

xfhxfxf

h

)(')('lim)(''

0

f

)('' xf ba , f

)('' xf cb , f

)(, afa

f 44 x



a) es cóncava hacia arriba en el intervalo

b) es cóncava hacia abajo en el intervalo

c) La gráfica de presenta dos puntos de inflexión, a saber: y

4.3.3. ¿Qué nos dice acerca de y de ?

A partir de la gráfica de la segunda derivada se pueden establecer algunas características de la función original y de su primera derivada, así. Consideremos la figura 4.7, la cual representa la

segunda derivada ''f de una función doblemente derivable .

Con referencia a la figura se puede afirmar que :

a) Es cóncava hacia abajo en el intervalo

b) Es cóncava hacia arriba en el intervalo

c) Presenta dos puntos de inflexión.

Figura 4.7

EJERCICIOS 4.3

1) Usando la definición, determine la primera derivada de la función xxxf )( y

represente, en una misma figura, la función y la derivada.

2) La primera derivada de una función continua: f viene dada por:

34

311

11

)('

xsix

xsi

xsix

xf

a) Represente gráficamente la primera derivada

b) Si la función: f pasa por el origen, determine la ecuación de la recta tangente.

c) A partir de la gráfica de la primera derivada, determine los intervalos en los que la gráfica de

la función: f es cóncava hacia arriba.


11

112

cos1

1

)('

xsi

xsix

xsix

xf

f 4,21,4

f 2,1

f )1(,1 f )2(,2 f

''f 'f f

f

f

2,1

,21,




b) Si la función: f pasa por el punto 3,2 , determine la ecuación de la recta tangente.


la función: f es cóncava hacia abajo.

4.4. Derivadas de funciones elementales. En adelante aprenderemos unas fórmulas prácticas para determinar la derivada de una función derivable sin necesidad de usar la definición. Se presentan a continuación unas fórmulas de derivación para evitar el innecesario cálculo de límites. Para referirnos a la primera derivada de una función usaremos la notación:

4.4.1. Derivada de una función constante.

Dada la función Cxf )( , su derivada es la función nula, es decir:

La regla se puede deducir de la siguiente manera:

Geométricamente la función constante es una recta horizontal cuya pendiente es cero. 4.4.2. Derivada de la función identidad.

Dada la función identidad , su derivada es la función constante unitaria, así:


Geométricamente la función identidad es una recta que forma un ángulo de con el eje de

abscisas cuya pendiente es la unidad. 4.4.3. Derivada de la función inversa de la función identidad

Dada la función , su derivada es:


)()(' xfdx

dxf

0Cdx

d

0,0)()(

lim)(')(0

hh

CC

h

xfhxfxfCxf

h

xxf )(

1xdx

d

0,1)

lim)()(

lim)(')(00

hh

h

h

xhx

h

xfhxfxfxxf

hh

4/

0;)( 1 xxxf

0;21 xxxdx

d



0)(

lim)('

11

lim)(

lim)(')(

2

0

0

11

0

1

hsixhxhx

hxf

h

xhx

h

xhxxfxxf

h

hh

4.4.4. Derivada de la función potencia natural.

Dada la función , su derivada es la función:


Haciendo uso del teorema del binomio, se tiene:

Sustituyendo en el límite, resulta:

4.4.5. Derivada de la raíz cuadrada.

Dada la función , su derivada viene dada por:

Haciendo uso de la definición, tenemos:

Se ha encontrado la fórmula de derivación:

4.4.6. Derivada de la función potencia real.

Nnxxf n ;)(

0;1 xnxxdx

d nn

h

xhxxfxxf

nn

h

n )(lim)(')(

0

nnnnn hhxnn

hnxxhx

...2

)1()( 221

0;

...2

)1(

lim)(' 1

121

0

hnx

h

hhxnn

nxh

xf n

nnn

h

xxf )(

0;2

1 x

xx

dx

d

0;

2

1lim

limlim)(')(

0

00

hxxhxh

h

xhxh

xhx

h

xhxxfxxf

h

hh

0;2

1 2/12/1 xxxdx

d



Los resultados pueden generalizarse a cualquier potencia real de la variable independiente, así:

4.4.7. Derivada de la función exponencial.

Dada la función exponencial natural , su derivada viene dada por:

Haciendo uso de la definición, tenemos:

Se usó el límite básico:

En la expresión anterior se calcula el límite de manera intuitiva, así:

Si aproximamos el número de Neper por , se tiene que calcular el límite de la

función cuando . Se procede a llenar la siguiente tabla:

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00005

1.05171 1.00502 1.0005 1.00005 1.00001

Es claro que el límite tiende a la unidad, con lo que la derivada de la función exponencial es la misma función, es decir:

Adicionalmente puede verse que:

4.4.8. Derivada de la función logarítmica.

Dada la función logaritmo natural , se demostrará posteriormente que, por

ser la inversa de la función exponencial natural, su derivada viene dada por:

4.4.9. Derivada de la función seno.

Dada la función )()( xsenxf , su derivada es la función coseno, es decir:

Para hallar su derivada se parte de la definición, así:

1 xxdx

d

xexf )(

xx eedx

d

0;

1limlim)(')(

00

he

h

ee

h

eexfexf x

hx

h

xhx

h

x

11

lim0

h

eh

h

71828.2e

hhg

h 171828.2)(

0h

h

)(hg

xx eedx

d

xx eedx

d

0;ln)( xxxf

0;/1)ln( xxxdx

d

)cos()( xxsendx

d



Reorganizando términos, se tiene:

Previamente se presentaron los límites notables y , con

lo que:

4.4.10. Derivada de la función coseno.

Dada la función )cos()( xxf , su derivada es el negativo de la función seno, es decir:

Para hallar su derivada se parte de la definición, así:

Reorganizando términos, se tiene:

De manera similar al caso anterior, resulta:

4.4.11. Resumen de fórmulas.

xe

xe

h

xsenxhsenhxsen

h

xsenhxsenxf

xsenxf

hh

)()cos()()cos()(lim

)()(lim)('

)()(

00

)cos()(

)(1)cos(

lim

)cos()(]1))[cos((lim)('

0

0

xh

hsenxsen

h

h

h

xhsenhxsenxf

h

h

1)(

lim0

h

hsen

h0

)cos(1lim

0

h

h

h

)cos()( xxsendx

d

)()cos( xsenxdx

d

h

xxsenhsenhx

h

xhxxf

xxf

hh

)cos()()()cos()cos(lim

)cos()cos(lim)('

)cos()(

00

)()(

)cos(1)cos(

lim

)()(]1))[cos(cos(lim)('

0

0

xsenh

hsenx

h

h

h

xsenhsenhxxf

h

h

)()cos( xsenxdx

d

)(xf )(' xf

C 0x 1x

0;)ln( xx 0;/1 xx



4.5. Reglas de derivación. A continuación se presentarán algunas reglas útiles para derivar funciones sin aplicar la definición. 4.5.1. Propiedad de linealidad.

Consideremos una función de la forma , en la que y son constantes

reales. La propiedad de linealidad establece que:

La regla anterior es extensiva a un número finito de funciones, es decir, dada la función:

La regla de derivación es:

4.5.2. Derivada de un producto.

Consideremos dos funciones diferenciables en algún intervalo de los números reales y

definamos el producto de las funciones así:

Se puede demostrar que la derivada del producto de las funciones viene dada por:

Para demostrar la propiedad se parte de la definición, así:

A continuación se usa un artificio matemático consistente en sumar y restar una misma cantidad en el numerador, así:

Agrupando términos, resulta:

La expresión anterior se puede escribir en la forma:

Con base en la definición de la derivada de una función, resulta:

)(xsen )cos(x

)cos(x )(xsen

)()()( xbgxafxh a b

)(')(')(' xbgxafxh

)(...)()()( 2211 xfaxfaxfaxh nn

)('...)(')(')(' 2211 xfaxfaxfaxh nn

I

)()()( xgxfxw

)(')()()(')(' xgxfxgxfxw

h

xgxfhxghxfxgxf

dx

d

h

)()()()(lim)()(

0

h

xghxfxghxfxgxfhxghxfxgxf

dx

d

h

)()()()()()()()(lim)()(

0

h

xgxfhxfxghxghxfxgxf

dx

d

h

)()()()()()(lim)()(

0

h

xfhxfhxg

h

xghxghxfxgxf

dx

d

hhhh

()(lim)(lim

()(lim)(lim)()(

0000

)()()()()()( xfdx

dxgxg

dx

dxfxgxf

dx

d



Observación. Algunos textos, entre ellos el Stewart, presentan una demostración de tipo geométrico de la regla de derivación de un producto. 4.5.3. Derivada de un cociente.

Consideremos dos funciones diferenciables en algún intervalo y definamos el cociente

de las funciones así:

;

Se puede demostrar que la derivada del cociente de las funciones viene dada por:

Para demostrar la regla se partirá de la regla de derivación del producto, así:

Con base en la regla del producto, resulta:

Teniendo en cuenta que , se tiene:

Despejando la derivada de la función cociente, se tiene:

Ejemplo 4.6

Calcule la derivada de la función:

Solución. De acuerdo con lo presentado, se tiene:

Ejemplo 4.7

Encuentre las derivadas de las funciones:

Solución. Para la función tangente se tiene:

RI

)(

)()(

xg

xfxw 0)( xg

2)(

)(')()()(')('

xg

xgxfxgxfxw

)()()( xwxgxf

)()()()()( xgdx

dxwxw

dx

dxgxf

dx

d

)()()( xgxfxw

)()(

)(

)(

)()()( xg

dx

d

xg

xf

xg

xf

dx

dxgxf

dx

d

2)(

)()()()(

)(

)(

xg

xgdx

dxfxf

dx

dxg

xg

xf

dx

d

)()( 2 xsenxxexf x

)(2)cos(

)(2)()('

2

2

xxsenxxexe

xxsenxsendx

dxee

dx

dxxf

xx

xx

)csc(,)sec(,)cot(,)tan( xxxx



Finalmente, teniendo en cuenta la identidad trigonométrica, se tiene:

Se deja al estudiante la prueba de las otras tres fórmulas, así:

Ejemplo 4.8 Usando las diferentes reglas, determine la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d)

e)

Solución. a) En primera instancia se aplica la regla de derivación del producto, así:

b) En primera instancia se aplica la regla de derivación del cociente, así:

c) En primera instancia se aplica la regla de derivación del producto, así:

d) En primera instancia se aplica la regla de derivación del cociente, así:

)(cos

))(()()cos()cos(

)cos(

)()tan(

25 x

xsenxsenxx

x

xsen

dx

dx

dx

d

)(sec)tan( 2 xxdx

d

)(csc)cot( 2 xxdx

d

)tan()sec()sec( xxxdx

d

)cot()csc()csc( xxxdx

d

)()( xsenexf x

x

xsenxf

)()(

)ln()( xxxf

x

x

e

exf

1

1)(

4)(

2

x

xxf

)()cos()('

)()cos()()()('

xsenxexf

exsenxeedx

dxsenxsen

dx

dexf

x

xxxx

2

2

)()cos(

)()(

)('

x

xsenxx

x

xdx

dxsenxsen

dx

dx

xf

)ln(1)ln()ln()(' xxxdx

dxxf



e) En primera instancia se aplica la regla de derivación del cociente, así:

Ejemplo 4.9

Considere la función:

a) Encuentre la derivada de la función

b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto

Solución. a) Aplicando las reglas de derivación, resulta:

b) Evaluando la derivada en encontramos que la pendiente de la recta tangente es

, con lo que la ecuación de la recta tangente en el punto es:

Ejemplo 4.10



b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa

Solución. a) Aplicando las reglas de derivación, resulta:

b) La pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa es

Por otro lado, la ordenada del punto se obtiene a partir de la función, haciendo , así:

Así las cosas, la ecuación de la recta tangente en el punto dado es:

EJERCICIOS 4.5 1) Usando las diferentes reglas, determine la derivada de cada una de las siguientes funciones:

22

22

2

2

1

2

11

11

1

1111

)('

x

x

x

xxxx

x

xxxx

x

xxxx

e

e

e

eeee

e

eeee

e

edx

dee

dx

de

xf

22

2

22

2

4

4

4

24)('

x

x

x

xxxxf

xexxf 12)(

1,0

12212)(' xeeexxf xxx

0x

1m

1)0(1)1( xyxy

)tan()( xxxf

4/x

)tan()(sec)(' 2 xxxxf

4/x 8/1 m

4/x

4/)4/tan(4

)4/(

f

4/8/14/4/8/14/ xyxy



a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)





a) Encuentre la derivada de la función b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa

4.6. Derivada de una función compuesta (regla de la cadena)

Consideremos dos funciones y diferenciables en un dominio cualquiera. La

derivada de la función compuesta , si es diferenciable, viene dada por:

)('))((')(' xgxgfxgf

Otra notación usada a menudo es la siguiente:

dx

du

du

df

dx

dyufy )(

4.6.1. Fórmulas de derivación usando la regla de la cadena. Con base en la regla de la cadena se pueden generalizar las derivadas de las funciones elementales, tal como se muestra en la siguiente tabla:

)cos()( xexf x

x

xxf

)cos()(

)ln()1()( xxxf

x

x

e

exf

1

2)(

4

1)(

2

2

x

xxf

)ln(

1)ln()(

xxxxxf

)cos()( xxxf

)ln(1)( 2 xxxf

)()( xsenxexf x

1

)()(

x

xsenexf

x

xexxf )32()(

3,0

)cos()( xxxf

x

)(xf )(xg

)(xfog

)(xf )(' xf

C 0u

dx

duu 1

ue

dx

dueu



Ejemplo 4.11 Encuentre la derivada con respecto a x de las siguientes funciones:

a)

b) 12 xy

c)

d) xseny

e)

f)

Solución.

a) Se hace el cambio de variable , con lo que resulta que . Con base en lo

anterior, se tiene:

b) Se hace el cambio de variable , con lo que resulta que . Con base en lo

anterior, se tiene:

Simplificando se tiene:

c) Se hace el cambio de variable , con lo que resulta que . Con base en lo

anterior, se tiene:

0;)ln( uu0;

1u

dx

du

u

)(usen

dx

duu)cos(

)cos(u

dx

duusen )(

)tan(u

dx

duu)(sec2

)cot(u

dx

duu)(csc2

)sec(u

dx

duuu )tan()sec(

)csc(u

dx

duuuu ))(cot()csc(

32 32 xxy

4ln 2 xy

2

1ln

x

xy

xx eey ln

xxu 32 2 3uy

3432332322223 xxxxx

dx

duu

dx

du

du

d

dx

dy

12 xu 2/1uy

xxxdx

duu

dx

du

du

d

dx

dy21

2

11

2

1 2/1222/12/1

12

x

x

dx

dy

42 xu )ln(uy



d) Se hace el cambio de variable , con lo que resulta que . Con base en lo

anterior, se tiene:


e) Se hace el cambio de variable , con lo que resulta que . Con base en lo

anterior, se tiene:

Aparte se determina la derivada del cociente, así:

Con lo anterior se tiene que:

f) Se hace el cambio de variable , con lo que resulta que . Con base en

lo anterior, se tiene:

EJERCICIOS 4.6 Encuentre la derivada con respecto a x para cada una de las siguientes funciones:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

4

24

4

1)ln(

2

2

2

x

xx

dx

d

xu

dx

du

du

d

dx

dy

xu )(useny

x

xxdx

dxu

dx

dusen

du

d

dx

dy

2

1cos)cos()(

x

x

dx

dy

2

cos

2

1

x

xu )ln(uy

2

1

1

2

2

1

2

1

1)ln(

x

x

dx

d

x

x

x

x

dx

d

x

xu

dx

du

du

d

dx

dy

222

2

1

2

)1(2

2

)'2)(1()'1(2

2

1

xx

xx

x

xxxx

x

x

dx

d

21

1

)2(

1

1

22

xxxx

x

dx

dy

xx eeu )ln(uy

xx

xxxx

xx

xx

xx ee

eeee

eeee

dx

d

eedx

dy

11

xexy 22)1( 22 xexy

xx exey 22

133 xey x

)2ln(12 2 xxy xx eey /1/1

)tan(xey x

)cos(2ln xy

x

x

ex

ey

2

2

xey 1sec



11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

4.7. Derivación implícita.

Consideremos una curva del plano . De acuerdo con lo que se ha planteado, la

pendiente de la recta tangente a la curva en el punto es la derivada de y con

respecto a la variable independiente x . Cuando no sea posible despejar y explícitamente en

términos de x se procede por derivación implícita, tal como se ilustra en los siguientes

ejemplos.

Ejemplo 4.12

Considere la curva del plano

a) Determine, por derivación implícita, la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier

punto

b) Encuentre los puntos en donde la recta tangente es horizontal. c) Encuentre los puntos en donde la recta tangente es vertical.

d) Encuentre los puntos de abscisa

e) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en cada uno de los puntos hallados previamente. f) Exprese la curva mediante dos funciones explícitas de x

g) Represente gráficamente la curva y las dos rectas halladas en f) Solución. a) Se indica la derivada, así:

Aplicando la propiedad de linealidad, resulta:

xxy 1ln2

xxy 21ln

)ln(1

)ln(2

x

xy

)ln(

)ln(

xe

xey

x

x

)(ln 2 xxy

)(ln32 xxy

)cos(xxseny

)cos()(2 xxseny

)cos(tan xy

1ln 2 xxy

1ln2

1)ln( 2 xxy

1ln2

11ln

2

1)ln( 22 xxxy

)(tan2 xseny

)cos(1

)cos(1ln

x

xy

0),( yxF

),( yxP

0422 22 xxyy

),( yxP

1x

0422 22 xxyydx

d



Sí usamos la notación dx

dyy ' , se tiene:

En consecuencia, la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto es:

Analizando la ecuación de la recta tangente se observa que:

b) La pendiente de la recta tangente se hace cero en todos los puntos sobre la recta ,

es decir, en todos aquellos puntos de la curva, si los hay, en los que la ordenada es el doble de

la abscisa, la recta tangente es horizontal. Los puntos se determinan sustituyendo en la

ecuación de la curva, así:

204244 222 xxxx

En consecuencia, los puntos de recta tangente horizontal son:

22,2;22,2 11 PP

c) La pendiente de la recta tangente se hace infinita en todos los puntos sobre la recta ,

es decir, en todos aquellos puntos de la curva, si los hay, en los que la ordenada es igual a la abscisa, la recta tangente es vertical. Los puntos se determinan sustituyendo en la ecuación de la curva, así:

20422 222 xxxx

En consecuencia, los puntos de recta tangente horizontal son:

2,2;2,2 11 PP

d) Reemplazando en la ecuación de la curva resulta:

Por tanto, los puntos de abscisa uno son:

e) Analicemos la situación en cada punto, así:

1) En el punto la pendiente de la recta tangente es:

04222

02222

022422 2222

xydx

dyx

dx

dyy

xydx

dyx

dx

dyy

xdx

dxy

dx

dy

dx

dxxyy

dx

d

xy

xy

xy

xyyxyxyyy

2

22

42'042'2'2

xy

xyy

2'

xy 2

xy 2

xy

1x

312

842,022 21

2

yyyy

31,1

31,1

2

1

P

P

31,11 P



Por tanto, la ecuación de la recta tangente es:

2) En el punto la pendiente de la recta tangente es:

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es:

f) Para expresar la curva mediante dos funciones explícitas de la variable independiente se procede de la siguiente manera:

Simplificando resultan las dos funciones:

Para ambas funciones, el dominio viene a ser:

g) La figura 4.7 muestra las gráficas correspondientes. Puede verse que hay dos puntos de tangente vertical y dos de tangente horizontal.

Figura 4.7

EJERCICIOS 4.7

3

31

3

31

131

2312

xy

xym

13

3131

xy

31,12 P

3

31

3

31

131

2312

xy

xym

13

3131

xy

2

424420422

22

22

xxxyxxyy

2

2

4)(

4)(

xxxg

xxxf

2,2 gf DD



1) Encuentre la derivada 'y para cada una de las funciones siguientes.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j) yxyysen 2)(

2) Considere la curva del plano 1022 22 yxyx


punto

b) Encuentre los puntos de abscisa uno c) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en cada uno de los puntos hallados previamente. d) Exprese la curva mediante dos funciones explícitas de x

e) Represente gráficamente la curva y las dos rectas halladas en c)

4.8. Derivadas de funciones inversas. A continuación se determinarán las derivadas de las inversas de las funciones elementales. 4.8.1. La función logaritmo natural.

Se trata de determinar la derivada de la función:

Puesto que la inversa de la función es la exponencial, resulta: yeu

Derivando con respecto a x se tiene:

Se llega a la fórmula:

4.8.2. La función seno inverso.

Previamente se estudió que la función es invertible en el intervalo

La función seno inverso se definió como:

Es decir, que la función es una función tal que:

Para determinar la derivada de la función seno inverso se parte de la última expresión, así:

033 22 yyxyx

032 xyeyx

0)(22 xxysenyx

02)cos()( xyyxsen

02)cos()( 2 xyyxsen)( yseneyx

22)ln( yxyx

1)cos()( xyxysen

1)/cos()/( yxyxsen

),( yxP

)(;)ln( xuuuy

dx

du

udx

dy

dx

du

edx

dy

dx

dye

dx

duy

y 11

dx

du

uu

dx

d

1)ln(

)(xseny

2/2/ x

11;)( xxarcseny

)(xarcseny )(ysenx

)cos(

1)cos()cos(

ydx

dy

dx

dyy

dx

dyyx

dx

d




Hemos demostrado que:

El resultado anterior puede extenderse a la derivada de la función ,

así:

4.8.3. La función coseno inverso.

De manera similar, la función )cos(xy es invertible en el intervalo

Procediendo como en el caso anterior, se encuentra la regla de derivación para la función coseno inverso, así:

4.8.4. La función tangente inversa.

Tal como se estudió previamente, la función es invertible en el intervalo

La función tangente inversa se definió como:

Es decir, que la función es una función tal que:

Para determinar la derivada de la función tangente inversa se parte de la última expresión, así:


Hemos demostrado que:

El resultado anterior puede extenderse a la derivada de la función , así:

Para las otras funciones trigonométricas inversas puede verificarse que:

)(1)cos( 2 yseny

22 1

1

)(1

1

)cos(

1

xysenydx

dy

11;1

1)(

2

x

xxarcsen

dx

d

11;)( uuarcseny

11;1

1)(

2

u

uuarcsen

dx

d

x0

11;1

1)arccos(

2

u

uu

dx

d

)tan(xy

2/2/ x

xxy ;)arctan(

)arctan(xy )tan(yx

)(sec

1)(sec)tan(

2

2

ydx

dy

dx

dyy

dx

dyyx

dx

d

)(tan1)(sec 22 yy

222 1

1

)(tan1

1

)(sec

1

xyyx

dx

d

21

1)arctan(

xx

dx

d

)arctan(uy

dx

du

uu

dx

d

21

1)arctan(



Ejemplo 4.13 Halle la derivada para cada una de las siguientes funciones:

1)

2)

3.

4)

Solución. Usando las diferentes reglas, resulta:

1)

2)

3)

Simplificando resulta:

4)


EJERCICIOS 4.8

Calcule para cada una de las siguientes funciones:

1)

2)

3)

4)

5)

)arccos( 2xy

6)

7.

dx

du

uuarc

dx

d

21

1)cot(

1;1

1)sec(

2

u

dx

du

uuuarc

dx

d

1;1

1)csc(

2

u

dx

du

uuuarc

dx

d

)( 2xarcseny

)arctan(ln xy

))cos(arctan(arc xy

3)(1 xarcseny

4

2

22 1

2

)(1

1

x

xx

dx

d

xdx

dy

)arctan(1

1

1

1

)arctan(

1)arctan(

)arctan(

122 xxxx

xdx

d

xdx

dy

222

1

1

))(arccos(1

1)arccos(

))(arccos(1

1

xxx

dx

d

xdx

dy

22 1))(arccos(1

1

xxdx

dy

2

22

1

1)(13)(1)(13

xxarcsenxarcsen

dx

dxarcsen

dx

dy

2

2

1

)(13

x

xarcsen

dx

dy

dx

dy

1 xarcseny

)(ln xarcseny

)ln(arctan xy

xx eearcseny

)arctan(ln xy

1arctan xey



8) )1arccos( xey

9.

10)

))(arctan( xeseny

4.9. Derivadas de orden superior

Tal como se ha estudiado previamente, la operación de diferenciación a una función

produce una nueva función . Si derivamos de nuevo, obtenemos otra función denotada

por y se denomina la segunda derivada de . De manera sucesiva se pueden

calcular las derivadas de tercer orden, cuarto orden, etcétera. En general, dada la función

)(xfy , las diferentes formas de denotar las derivadas hasta de orden 3, son:

Ejemplo 4.14 Determine las dos primeras derivadas para cada una de las siguientes funciones:

1)

2)

3)

4)

Solución. Aplicando las diferentes reglas, resulta:

1)

2)

El estudiante puede verificar que

3)

El estudiante puede verificar que

4)

El estudiante puede verificar que:

EJERCICIOS 4.9 Determine las dos primeras derivadas para cada una de las siguientes funciones:

1) )arctan( 2xy

2)

3)

4)

xey cosarctan

)(xf

)(' xf

)('' xf )(xf

yDdx

ydxf

yDdx

ydxf

Dydx

dyxf

3

3

3

2

2

2

)('''

)(''

)('

xxxy 23 25

)2cos( xxy

)2( xseney x

)1( xarcseny

430''1415' 2 xyxxy

)2cos()2(2)2cos()2(2' xxxsenxxsenxy

)2cos(4)2(4'' xxxseny

)2()2cos(2)2()2cos(2' xsenxexsenexey xxx

))2(3)2cos(4'' xsenxey x

xxxy

2

1

)1(1

1'

22

2/32 2

1''

xx

xy

1ln 2 xxy2/12/3 25 xxy

)(2 xsenxy



5)

6) )arccos(xy

7)

8)

9)

10)

4.10. Derivación logarítmica. Se presentan dos situaciones en las que se usa la derivación logarítmica.

4.10.1. Funciones de la forma:

Para determinar la primera derivada de la función se procede de la siguiente manera:

Aplicando derivación implícita se tiene:

Derivando y despejando la primera derivada, resulta:

En consecuencia, la primera derivada es:

4.11.2. Funciones de la forma:

Aplicando el logaritmo, resulta:

Derivando, se tiene:

Ejemplo 4.15 Determine la derivada de las siguientes funciones:

1)

2)

3)

)(2 xseney x

)arctan(xxy

)cos()( xxseney x

2

2ln

x

xy

)arctan(ln xy

)()(

xgxfy

)(ln)()ln()()(

xfxgyxfyxg

)(ln)(')(ln)('1

xfxgxfdx

dxgy

y

)(ln)('

)(

)(')(' xfxg

xf

xfxgyy

)(ln)('

)(

)(')()]([' )( xfxg

xf

xfxgxfy xg

)(

)()(

xh

xgxfy

)(ln)(ln)(ln)ln( xhxgxfy

)(

)('

)(

)('

)(

)('

)(

)()('

)(

)('

)(

)('

)(

)(''

xh

xh

xg

xg

xf

xf

xh

xgxfy

xh

xh

xg

xg

xf

xf

y

y

)(xsenxy xexy

xxy )cos(



4)

5)

Solución. Procediendo según lo indicado previamente, se tiene:

1)


2)


3)


4)

Aplicando la derivada se tiene:


5)

Aplicando las propiedades de los logaritmos se tiene:

Aplicando la derivada se tiene:

1

)tan()(2

x

xxseny

1

)(1 22

x

xsenexy

x

)ln()cos(1

)('

)ln()()ln()( xxx

xseny

yxxsenyxy xsen

)ln()cos(

)(' )( xx

x

xsenxy xsen

)ln(1'

)ln()ln( xex

ey

yxeyxy xxxex

)ln(

1)ln(' x

xexxe

x

exy xex

xe xx

)cos(ln)cos(

)(')cos(ln)ln()cos( x

x

xsenx

y

yxxyxy

x

)cos(ln)tan()cos(' xxxxyx

1ln)tan(ln)(ln2)ln(1

)tan()(2

xxxseny

x

xxseny

1

1

)tan(

)(sec

)(

)cos(2

' 2

xx

x

xsen

x

y

y

1

1

)tan(

)(sec)cot(2

1

)tan()('

22

xx

xx

x

xxseny

)1ln()(lnln1ln)ln(1

)(1 2222

xxsenexy

x

xsenexy x

x

)1ln()(ln21ln2

1)ln( 2 xxsenxxy

1

1)cot(2

11

)(1'

1

1

)(

)cos(2

1

'

2

22

2

xx

x

x

x

xsenexy

xxsen

x

x

x

y

y

x



EJERCICIOS 4.10 Usando derivación logarítmica, determine la primera derivada para cada una de las siguientes expresiones:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) )()( xsenxxseny

8)

9)

10)

RESUMEN DEL CAPÍTULO Definiciones.

Si )(xfy es continua en ax , entonces:

1) La derivada lateral izquierda de )(xf viene dada por:

h

hafafaf

h

)()(lim)('

0

2) La derivada lateral derecha de )(xf viene dada por:

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

Se dice que la función es diferenciable en ax si )(')(' afaf

3) La primera derivada de )(xf viene dada por:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

Geométricamente la primera derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de

la función en el punto )(, xfx

4) La segunda derivada de )(xf viene dada por:

h

xfhxfxf

h

)(')('lim)(''

0

Geométricamente la segunda derivada es la concavidad de la gráfica de la función en el

punto )(, xfx

Reglas.

1) Linealidad. )(')(')()( xbgxafxbgxafdx

d

)cos(xxy )cos()( xxseny

)(1 xsenxy 1)1( xxy

1

)cot()(cos2

2

x

xxy

)(1

)cos(22

xsen

xexy

x

x

xsen

xsen

xy

)(

)(

)(1

)tan(22

xsen

xexy x

)()ln( xsenxy x



2) Producto. )(')()()(')()( xgxfxgxfxgxfdx

d

3) Cociente. 2)(

)(')()(')(

)(

)(

xg

xgxfxfxg

xg

xf

dx

d

4) Cadena. dx

dg

dg

dfxgf

dx

d)((

Fórmulas.

1) 0Cdx

d 2)

dx

duuu

dx

d 1

3) dx

duuusen

dx

d)cos()( 4)

dx

duusenu

dx

d)()cos(

5) dx

duuu

dx

d)(sec)tan( 2 6)

dx

duuu

dx

d)(csc)cot( 2

7) dx

duuuu

dx

d)tan()sec()sec( 8)

dx

duuuu

dx

d)cot()csc()csc(

9) dx

duee

dx

d uu 10) dx

dubbb

dx

d uu )ln(

11) dx

du

uu

dx

d 1ln

12) dx

du

buu

dx

db

)ln(

1log

13) dx

du

uusen

dx

d

2

1

1

1)(

14) dx

du

uu

dx

d

2

1

1

1)(cos

15) dx

du

uu

dx

d2

1

1

1)(tan

CUESTIONARIO Los numerales 1-4 hacen referencia a una función continua cuya primera derivada se ilustra en la siguiente figura.

1) )(xf es decreciente en el intervalo

A. 1,1

B. 4,1

C. 4,2

D. 2,1

2) Si 2)3( f , la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto es

A. 1 xy



B. 1 xy

C.

1 xy

D. 1 xy

3) La gráfica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo

A. 1,1

B. 4,1

C. 4,2

D. 2,1

4) Si 1)0( f , la figura que corresponde a la gráfica de f es

Los numerales 5-7 hacen referencia a una función continua cuya primera derivada se ilustra en la siguiente figura.

5) Con respecto a la gráfica de f se puede afirmar que tiene un máximo relativo en el punto cuya abscisa es x

A. 4

B. 2

C. 0



D. 3

6) Con respecto a la gráfica de f se puede afirmar que tiene un cambio de concavidad en el punto cuya abscisa es x

A. 4

B. 2

C. 0

D. 3

7) Con respecto a la gráfica de f’’ se puede afirmar que pasa por el punto

A. 3,4

B. 2,2

C. 3,0

D. 2,1

Los numerales 8-12 hacen referencia a las funciones f y g definidas a continuación.

22;)2/()(

2;)2ln()(

xxarcsenxg

xxxf

8) )1('gf

A. 6/

B. 6/

C. 3/1

D. 3/1

9) )0('gf

A. 4/1

B. 4/1

C. 2/1

D. 2/1

10) )1('fg

A. 4/1

B. 4/1

C. 2/1

D. 2/1

11) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto 0,1 es

A. 1 xy

B. 1 xy

C.

1 xy

D. 1 xy

12) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto 6/,1 es

A. 3/)1(6/ xy

B. 3/)1(6/ xy

C.

3/)1(6/ xy



D. 3/)1(6/ xy

Los numerales 13-16 hacen referencia al siguiente problema: Una partícula se mueve a lo largo del eje de abscisas de tal manera que su posición en metros, en todo instante viene dada por:

)cos()( 2 ttttx

13) La velocidad en sm / de la partícula en todo instante es )(tv

A. )cos()(2 tttsent

B. )cos()(2 tttsent

C. )cos()(2 tttsent

D. )cos()(2 tttsent

14) La aceleración en 2/ sm de la partícula en todo instante es )(ta

A. )cos()(22 2 tttsen

B. )cos()(22 2 tttsen

C. )cos()(22 2 tttsen

D. )cos()(22 2 tttsen

15) La velocidad en sm / de la partícula al cabo de 3 segundos es )3(v

A. 3 B. 5 C. 7 D. 9

16) La aceleración en 2/ sm de la partícula al cabo de 3 segundos es )3(a

A. 232

B. 232

C. 232

D. 232

Los numerales 17-18 hacen referencia a la curva del plano definida mediante la ecuación cartesiana:

042 22 xyy

17) La pendiente de la recta tangente a la curva en cada punto ),( yxP es ),(' yxy

A. y

x

1

B. y

x

1

C. y

x

1

D. y

x

1

18) La concavidad de la curva en cada punto ),( yxP es ),('' yxy



A. 3

22

1

)1(

y

yx

B. 3

22

1

)1(

y

yx

C. 3

22

1

)1(

y

yx

D. 3

22

1

)1(

y

yx

Los numerales 19-21 hacen referencia a la curva del plano definida mediante la ecuación cartesiana:

0422 22 xxyy

Sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la curva en todo punto ),( yxP viene dada

por:

xy

xyyxy

2),('

19) La curva presenta una recta tangente vertical en el punto

A. )2,2(

B. )2,2(

C. )22,2(

D. )22,2(

20) La curva presenta una recta tangente horizontal en el punto

A. )2,2(

B. )2,2(

C. )22,2(

D. )22,2(

21) La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto 2,0 es y

A. 2 x

B. 2 x

C. 2x

D. 2x

Los numerales 22-23 hacen referencia a las funciones:

21 )(,1

tan)( xarcsenxgx

xxf

22) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto )(, xfx es )(' xf

A. 122

12 xx



B. 122

12 xx

C. 122

12 xx

D. 122

12 xx

23) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de g en el punto )(, xgx es )(' xg

A. 41

2

x

x

B. 41

2

x

x

C. 41

2

x

x

D. 41

2

x

x

Los numerales 24-25 hacen referencia a las funciones:

)2()(,)( 12/ xsenxgxexf x

24) La concavidad de f en el punto e2,2 es

A. e5.0

B. e

C. e5.1

D. e2

25) La concavidad de g en el punto 6/,4/1 es

A. 9/34

B. 9/38

C.

9/312

D. 9/316



CAPÍTULO 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA Contenido. 5.1. Introducción. 5.2. Trazado de la gráfica de una función. 5.3. Definiciones y teoremas. 5.4. Pautas para representar gráficamente una función. 5.5. Aplicaciones a la dinámica de una partícula. 5.6. Razones de cambio de variables relacionadas. 5.7. Problemas de optimización. 5.8. Formas indeterminadas y regla de L’Hôpital. 5.9. Diferenciales y aproximaciones lineales.

5.1. Introducción. El cálculo diferencial es una herramienta de importancia fundamental en diversas aplicaciones de ingeniería y ciencias. Siempre que se quiera describir la tasa de variación o rata de cambio de una variable cualquiera resulta la derivada. Las siguientes son algunas de las aplicaciones típicas de la derivada. 1) La velocidad en todo instante de una partícula es la tasa de variación de la posición con

respecto al tiempo, de tal manera que si la posición en todo instante es , la velocidad

instantánea viene a ser

2) La aceleración en todo instante de una partícula es la tasa de variación de la velocidad con

respecto al tiempo, de tal manera que si la velocidad en todo instante es , la aceleración

instantánea viene a ser

3) La pendiente de la recta tangente a una curva en el punto es la tasa de variación

de la ordenada con respecto a la abscisa, así:

4) La concavidad de una curva en el punto es la tasa de variación de la pendiente

con respecto a la abscisa, así:

5) La tasa de variación de la temperatura de un cuerpo en estado transitorio es la

derivada de la temperatura con respecto al tiempo, así:

6) La rata de variación de la temperatura en una varilla delgada en estado estacionario con respecto a la distancia a un punto dado es la derivada de la temperatura con respecto a la distancia, así:

)(ts

)(')()( tstsdt

dtv

)(tv

)('')()( tstvdt

dta

)(, xfx

)(')()( xfxfdx

dxp

)(, xfx

)('')()( xfxpdx

dxc

)(tT

)(')()( tTtTdt

dtr

)(')()( xTxTdx

dxr



7) La tasa de variación (crecimiento o decrecimiento) de una población con respecto al tiempo es la derivada de la población con respecto al tiempo, así:

8) La corriente en un circuito es la variación de la carga eléctrica circulante con respecto al tiempo, es decir, la corriente es la derivada de la carga con respecto al tiempo. Si la carga se mide en Culombios y el tiempo en segundos, la corriente se mide en amperios y viene dada por:

9) La potencia es la razón de cambio del trabajo con respecto al tiempo, es decir, la potencia es la derivada del trabajo con respecto al tiempo. Si el trabajo se mide en Julios y el tiempo en segundos, la potencia se mide en Vatios y viene dada por:

10) El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional. Matemáticamente se expresa como la derivada del costo total respecto a la cantidad. Si C es el costo total y x es la cantidad, el costo marginal viene dado por:

El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría microeconómica, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos. El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos. La derivada se usará también en problemas de optimización de funciones de una variable, en el trazado de curvas del plano, en el cálculo de límites mediante la regla de L’Hopital, entre otros.

5.2. Trazado de la gráfica de una función.

Consideremos una función: a la que se desea trazar su gráfica. De acuerdo con lo

estudiado previamente, estamos en capacidad de determinar: a) El dominio de la función b) Los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes coordenados c) Las asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas, si las tiene. d) Elaborar una tabla de valores de la función en su dominio e) Hacer una gráfica aproximada. Con las dos primeras derivadas se puede obtener información que nos permita hacer una gráfica más adecuada de la función. 5.2.1. Pendiente de la recta tangente a una curva.

La pendiente de la recta tangente a una curva en el punto es una función que viene

dada por:

)(')()( tPtPdt

dtr

)(')()( tqtqdt

dti

)(')()( tWtWdt

dtP

)(')()( xCxCdx

dxCM

( )y f x

)(, xfx

)(')()( xfxfdx

dxp



A partir de la primera derivada se pueden determinar, entre otros: a) Los puntos en los que la recta tangente es horizontal b) Los intervalos en los que la gráfica de la curva es creciente o decreciente. 5.2.2. Concavidad de una curva.

La concavidad de una curva en cualquier punto es una función que viene dada por:

A partir de la segunda derivada se pueden determinar, entre otros: a) Los puntos de inflexión, es decir, los puntos en los que la concavidad es cero b) Los intervalos en los que la curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

5.3. Definiciones. Las siguientes definiciones nos ayudarán en el proceso de representar gráficamente una función. 5.3.1. Números críticos de una función.

Consideremos una función definida en cada punto de un dominio . Se dice que

es un número crítico de la función si la primera derivada en dicho punto es cero o no

existe.


a) Redefina la función sin la barra de valor absoluto y muestre que es continua en su dominio b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los números críticos. c) Represente gráficamente la función y la primera derivada. Solución. a) Aplicando la definición de valor absoluto, resulta:

Puede verse que:

b) En cuanto a la primera derivada, se tiene:

)(, xfx

)('')()( xfxpdx

dxc

)(xfy fD

fDc

526

2

7

2

1

201

)(2 xsixx

xsix

xf

5262

7

2

1

211

101

)(

2 xsixx

xsix

xsix

xf

1)(lim

1)(lim

2

2

xf

xf

x

x



Puede verse que:

De lo anterior se concluye que los números críticos son:

En los dos primeros números la derivada no existe y en el último la derivada es cero. c) La figura 5.1 ilustra la gráfica de la función y la 5.2 muestra la gráfica de la primera derivada.


5.3.2. Puntos de máxima relativos.

Un punto de la gráfica de una función continua es un punto de máxima relativo o

máximo local de la función en un intervalo abierto si se verifica que:

Puede verse, en la figura 5.1, que el punto es de máxima relativo en el intervalo abierto

5.3.3. Puntos de mínima relativos.

Un punto de la gráfica de una función es un punto de mínima relativo o mínimo local

de la función en un intervalo abierto si se verifica que:

522

7

211

101

)('

xsix

xsi

xsi

xf

2/3)('lim

1)('lim

1)('lim

1)('lim

2

2

1

1

xf

xf

xf

xf

x

x

x

x

1, 2, 7 / 2x x x

)(, cfc

I

Ixxfcf ;)()(

1,2

3,1

)(, cfc

I

Ixxfcf ;)()(



Puede verse, en la figura 5.1, que el punto es de mínima relativo en el intervalo abierto

De manera similar, el punto

es de mínima relativo en el intervalo

5.3.4. Puntos de máxima absolutos.

Un punto de la gráfica de una función continua en un intervalo cerrado es un punto

de máxima absoluto o máximo global de la función en el intervalo cerrado si se verifica que:

Puede verse, en la figura 5.1, que los puntos que la función presenta el mismo máximo

absoluto en los puntos: 1,5,1,2,1,0

5.3.5. Puntos de mínima absolutos.

Un punto de la gráfica de una función continua es un punto de mínima absoluto o

mínimo global de la función en un intervalo cerrado si se verifica que:

Puede verse, en la figura 5.1, que el punto

es de mínima absoluto.

5.3.6. Teorema del valor extremo.

Consideremos una función que es continua en el intervalo cerrado . El teorema

establece que la función tendrá, necesariamente, un mínimo absoluto en el punto y

un máximo absoluto en el punto siempre que:

Ejemplo 5.2 Considere la función cuya gráfica se muestra en la figura 5.3. Haga un análisis de la gráfica.

Figura 5.3

Solución. Con base en la gráfica se tiene:

a) La función es continua en el intervalo cerrado:

b) El punto es un punto de máxima absoluto.

c) El punto es un punto de mínima absoluto

d) El punto es un punto de mínima relativo

e) El punto es un punto de máxima relativo

0,1

2,0

8/1,2/7 4,3

)(, cfc

I

Ixxfcf ;)()(

)(, cfc

I

Ixxfcf ;)()(

8/1,2/7

)(xfy ba ,

)(, cfc

)(, dfd

badbac ,;,

ba ,

)(, afa

)(, bfb

, ( )c f c

)(, dfd



5.3.7. Teorema de Fermat.

Dada la función tal que existe. Si la función tiene un máximo local o un

mínimo local en , entonces se cumple que . Se debe ser muy cuidadoso

con este teorema ya que a menudo el estudiante tiende a confundirse. Lo que el teorema establece es que: si la función es diferenciable en el punto y dicho punto es un extremo relativo, entonces la recta tangente a la curva es horizontal. Puede ocurrir que la recta tangente a la curva sea horizontal y el punto no es un extremo relativo, tal como lo ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.3 Considere las siguientes funciones:

a) A partir de una tabla de valores represente gráficamente cada función

b) Muestre que y sin embargo el origen no es un extremo relativo.

c) Determine y muestre, con base en el teorema del valor intermedio, que la función

posee un máximo relativo en el intervalo y un mínimo relativo en el intervalo

.

Solución. a) Las figuras 5.4 y 5.5 muestran las gráficas de las funciones


b) Calculamos la primera derivada de , así:

A partir de la primera derivada se muestra que el origen no es un extremo relativo y que la curva es siempre creciente.

c) Calculamos la primera derivada de , así:

)(xfy )(' cf

, ( )c f c 0)(' cf

20;)()(

22;)( 3

xxxsenxg

xxxf

0)0(' f

)(' xg

x2/

22/3 x

)(xf

0)0('3)(' 2 fxxf

( )g x

)()cos()(' xsenxxxg



En el primer intervalo se tiene:

El cambio de signo y la gráfica nos dicen que en el intervalo hay un punto de máxima En el segundo intervalo se tiene:

El cambio de signo y la gráfica nos dicen que en el intervalo hay un punto de mínima relativo. 5.3.8. Teorema de Rolle.

Consideremos una función la cual es continua en el intervalo cerrado y

diferenciable en el intervalo abierto . Si , existe al menos un

tal que .

La función de la figura 5.1 por ejemplo, es continua en el intervalo , diferenciable en el

intervalo y cumple que . Por tanto, tiene un punto de tangente

horizontal en el intervalo. El punto tiene abscisa 7/2 y la ordenada se calcula evaluando la

función en dicho número, resultando que

Como se desprende de la gráfica, el punto es un punto de mínima relativo de la

función. 5.3.9. Método práctico para hallar los máximos y los mínimos absolutos.

Consideremos una función la cual es continua en el intervalo cerrado .

Para determinar los máximos y mínimos absolutos se procede de la siguiente manera: a) A partir de la primera derivada se determinan los números críticos de la función. b) Se evalúa la función en los números críticos y en los extremos del intervalo c) Se lee el máximo absoluto y el mínimo absoluto.

Para la función de la figura 5.1 por ejemplo, el valor máximo es: mientras que el valor

mínimo es

5.3.10. Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange.

Consideremos una función la cual es continua en el intervalo cerrado y

diferenciable en el intervalo abierto . El teorema establece que existe al menos un

tal que

El significado del teorema se pone de presente en la figura 5.6. De acuerdo con la

interpretación geométrica, existen dos puntos: y en el intervalo en los que

la pendiente de la recta tangente a la curva es igual a la pendiente de la recta que une a los

puntos extremos y .


Determine todos los puntos en el intervalo en los que la pendiente de la recta tangente

a la curva sea igual a la pendiente de la recta secante que une a los extremos del intervalo.

)(';1)2/(' gg

2)2(';1)2/3(' gg

)(xfy bxa

bxa )()( bfaf bac ,

0)(' cf

5,2

5,2 1)5()2( ff

8/1)2/7( f

8/1,2/7

)(xfy bxa

max 1y

min 1/8y

)(xfy bxa

bxa

bac ,ab

afbfcf

)()()('

)(, cfc )(, dfd

)(, afa )(, bfb

1)( 3 xxfy

1,1



Figura 5.6

Solución.

Los puntos extremos del intervalo son: y

La pendiente de la recta secante viene a ser:

La pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto es:

Se sigue que:

En consecuencia, los puntos del intervalo en los que la pendiente de la recta tangente es igual a la pendiente de la recta secante son:

5.3.11. Funciones crecientes y decrecientes. Recordemos las definiciones presentadas en el capítulo 2, así:

a) Una función es creciente en un intervalo si para todos los números

se verifica que

b) Una función es decreciente en un intervalo si para todos los números

se verifica que

Teniendo en cuenta la primera derivada y a partir del teorema del valor medio, estableceremos los siguientes hechos: a) Si la primera derivada de una función es positiva en un intervalo, entonces la función es creciente en dicho intervalo. En símbolos, se tiene:

2,1 0,1

12

)2(0sec

)1(1

)1()1(sec

m

ffm

23)(' xxf

3

313 2 xx

19/3,3/319/3,3/3 21 PP

)(xfy RI

21 xx )()( 21 xfxf

)(xfy RI

21 xx )()( 21 xfxf

crecienteesxfxfRIx )(0)(':



b) Si la primera derivada de una función es negativa en un intervalo, entonces la función es decreciente en dicho intervalo. En símbolos, se tiene:

La demostración de la parte a) se sigue directamente del teorema del valor medio, así:

Supongamos dos números en el intervalo y se sabe que para todo en el intervalo se

cumple que . Con base en el teorema del valor medio, se tiene:

Ejemplo 5.5


Determine los intervalos en los que la función es creciente y los intervalos en los que es decreciente. Solución.

Tomando la primera derivada, se tiene:

Para averiguar el signo de la primera derivada se procede a determinar los números críticos que, en este caso, son los valores de en los que se anula la primera derivada.

Con base en lo anterior resulta la gráfica de la figura 5.7.

Figura 5.7 En consecuencia, se tiene:

a) La función es creciente en el intervalo:

b) La función es decreciente en el intervalo:


Determine los intervalos en los que la función es creciente y los intervalos en los que es decreciente. Solución. Tomando la primera derivada, se tiene:

Para averiguar el signo de la primera derivada se procede a determinar los números críticos que, en este caso, son los valores de en los que se anula la primera derivada.

Los valores de , en el intervalo, en los que se anula la primera derivada son:

edecrecientesxfxfRIx )(0)(':

21 xx c

0)(' cf

0)()()()(

)(' 12

12

12

xfxf

xx

xfxfcf

24 2)( xxxf

xxxf 44)(' 3

x

114)(' xxxxf

,10,1

1,01,

xxsenxsenxf ;)()()( 2

)cos()cos()(2)(' xxxsenxf

x

)cos(1)(2)(' xxsenxf

x



Con base en lo anterior resulta la gráfica de la figura 5.8.

Figura 5.8 En consecuencia, se tiene:

a) La función es creciente en el intervalo:

b) La función es decreciente en el intervalo:

5.3.12. Máximos y mínimos relativos. Criterio de la primera derivada.

Supongamos que la función es continua en el intervalo cerrado y

derivable en el intervalo abierto . Sea un número crítico de la función. El

criterio de la primera derivada establece que:

a) Si es creciente en el intervalo y decreciente en el intervalo

entonces el punto es un punto de máxima relativo de la función.

b) Sí es decreciente en el intervalo y creciente en el intervalo

entonces el punto es un punto de mínima relativo de la función.

Ejemplo 5.7 Para la función del ejemplo 5.5. a) Determine los puntos de máxima y de mínima relativos

b) Represente gráficamente la función en el intervalo

Solución. a) Aplicando el criterio anteriormente expuesto y con base en la figura 5.7, resulta:

1) Punto de máxima relativo:

2) Puntos de mínima relativos:

b) La gráfica de la función se ilustra en la figura 5.9.

Figura 5.9

Ejemplo 5.8

6/5,6/,2/,2/

,6/52/,6/2/,

6/5,2/6/,2/

)(xfy bxa

bxa bac ,

)(xf cxa bxc

)(, cfc

)(xf cxa bxc

)(, cfc

22 x

0,0)0(,0 f

1,1)1(,1;1,1)1(,1 ff



Para la función del ejemplo 5.6. a) Determine los puntos de máxima y de mínima relativos

b) Represente gráficamente la función en el intervalo

Solución. a) Aplicando el criterio anteriormente expuesto y con base en la figura 5.8, resulta: 1) Puntos de máxima relativos:

2) Puntos de mínima relativos:

b) La gráfica de la función se ilustra en la figura 5.10. 5.3.13. Concavidad y puntos de inflexión.

Consideremos una función continua en el intervalo cerrado y dos veces

diferenciable en el intervalo abierto:

La concavidad de la curva se define como la variación de la pendiente con respecto a , así:

Con base en la definición, resulta: a) La curva es cóncava hacia arriba en el intervalo si la primera derivada es creciente en el

intervalo, es decir, sí se verifica que

b) La curva es cóncava hacia abajo en el intervalo si la primera derivada es decreciente en el

intervalo, es decir, sí se verifica que

c) Punto de inflexión es el punto tal que y en dicho punto se presenta un

cambio de concavidad. Es pertinente aclarar que si la segunda derivada de la función está

definida en , se verifica que . Desafortunadamente, es posible encontrar

funciones para las que la segunda derivada en un punto es cero y sin embargo no hay cambio de concavidad. Puede ocurrir también que se presente un cambio de concavidad en puntos donde la segunda derivada no esté definida. El siguiente ejemplo ilustra los casos previamente referenciados.

Figura 5.10

Ejemplo 5.9 Analice las concavidades y represente gráficamente las funciones:

x

0,2/)2/(,2/;2,2/)2/(,2/ ff

4/1,6/5)6/5(,6/5;4/1,6/)6/(,6/ ff

)(xfy bxa

bxa x

)('')(')( xfxfdx

dxc

0)('' xf

0)('' xf

, ( )c f c ,c a b

x c ''( ) 0f c



Solución.

a) Para la función , su segunda derivada es . Como puede verse,

y sin embargo la gráfica de f es cóncava hacia arriba en

b) Para la función , su segunda derivada es . Como puede

verse, y sin embargo la gráfica de f presenta un cambio de concavidad en

La figura 5.11 ilustra las gráficas correspondientes.

Figura 5.11

5.3.14. Criterio de la segunda derivada para extremos relativos.

En un punto de máxima relativo , la curva es cóncava hacia abajo, es decir,

En un punto de mínima relativo , la curva es cóncava hacia arriba, es decir,

Ejemplo 5.10

Determine los puntos de inflexión para la gráfica de la función y verifique con la

gráfica de la figura 5.9. Solución. Se calcula la segunda derivada, así:

Igualando a cero la segunda derivada se tiene:

En consecuencia, los puntos de inflexión son:

Ejemplo 5.11

34 )(;)( xxgxxf

4)( xxf 212)('' xxf

0)0('' f 0x

3/1)( xxg 3/5

9

2)('' xxf

existenof )0(''

0x

, ( )c f c

0)('' cf

, ( )c f c

0)('' cf

24 2xxy

412''44'2 2324 xyxxyxxy

3/3412 2 xx

9/5,3/3;9/5,3/3




a) Redefina la función sin la barra de valor absoluto y represente gráficamente

b) Encuentre la primera derivada y grafique. Muestre que y sin embargo el origen no

es un extremo relativo c) Encuentre la segunda derivada y muestre que no está definida en cero y sin embargo hay un cambio de concavidad en el origen. Solución. a) Con base en la definición del valor absoluto, resulta:

La figura 5.12 ilustra las gráficas de: la función y su primera derivada. b) La primera derivada viene dada por

Observe que la primera derivada está definida en

c) En cuanto a la segunda derivada, tenemos:

Figura 5.12

Es evidente que la segunda derivada no está definida en cero y sin embargo hay un cambio de concavidad en el origen.

EJERCICIOS 5.3. 1) Considere la función:

y x x

'(0) 0f

0

02

2

xsix

xsixy

02

02'

xsix

xsixy

0x

02

02''

xsi

xsiy



2/71782

10)(

2 xsixx

xsixxf

a) Muestre que es continua en su dominio b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los números críticos. c) Represente gráficamente la función y la primera derivada d) Encuentre los extremos absolutos de la función. 2) Considere la función

2143

11)(

3

xsix

xsixxf

a) Muestre que es continua en su dominio b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los números críticos. c) Represente gráficamente la función y la primera derivada d) Encuentre los extremos absolutos de la función. 3) Considere la función

21;2)( 34 xxxxf

a) Determine los extremos absolutos de la función. b) Determine los intervalos en los que f es creciente. c) Determine los puntos de inflexión de la gráfica de f. d) ¿habrá puntos en la gráfica de f en los que la pendiente de la recta tangente sea -1? 4) Considere la función:

xxxxf 0;)cos()(cos)( 2

a) Determine los extremos absolutos de la función. b) Determine los intervalos en los que f es decreciente.

c) Calcule la concavidad de la curva en el punto de abscisa 4/x


31;)( 2 xexxf x

a) Determine los extremos absolutos de la función. b) Determine los intervalos en los que f es decreciente. c) Determine la abscisa de los puntos de inflexión en el intervalo. 6) Considere la función:

5.21;)136214ln()( 23 xxxxxf

a) Determine los extremos absolutos de la función. b) Determine los intervalos en los que f es decreciente. 7) Considere la función:

a) Redefina la función sin la barra de valor absoluto y muestre que es continua en su dominio b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los puntos críticos. c) Represente gráficamente la función y la primera derivada. d) Determine los extremos absolutos de la función.

2

1 1 0 2( )

6 8 2 5

x si xf x

x x si x




a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva y encuentre los intervalos en los que la curva es creciente b) Determine la concavidad de la curva y muestre que no tiene puntos de inflexión.


a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto y encuentre los intervalos en los que la curva es creciente y en los que es decreciente. b) Determine la concavidad de la curva y muestre que no tiene puntos de inflexión. 10) Dada la función

xxxsenxf 0;)()(

a) Muestre que tiene extremos relativos en el intervalo.

b) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa 2/x

c) Determina la concavidad de la curva en el punto de abscisa 2/x

5.4. Pautas para representar gráficamente una función. Las siguientes pautas nos ayudarán a dibujar una gráfica aproximada de una función

cualquiera:

1) Se determina el dominio de la función 2) Se analizan las posibles simetrías 3) Se determinan los cortes de la gráfica con los ejes coordenados 4) Se determinan, sí existen, las asíntotas de la gráfica de la función. 5) Se calcula la primera derivada y, a partir de ella se encuentran los números críticos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. 6) Se calcula la segunda derivada y, a partir de ella se encuentran los intervalos en los que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba y los intervalos en los que es cóncava hacia abajo, así como los puntos de inflexión. 7) Se hace una tabla de valores con la información previa añadiendo otros datos de interés. 8) Se hace la gráfica aproximada.

Ejemplo 5.12 Con base en las pautas presentadas, represente gráficamente la función:

Solución. 1) Puesto que es una función polinómica, el dominio es el conjunto de los reales. 2) La función es par, por tanto es simétrica con respecto al eje de ordenadas.

3) El corte con el eje de ordenadas es el punto , mientras que los cortes con el eje de

abscisas se determinan de la siguiente manera:

De lo anterior se sigue que los cortes con el eje de abscisas, en su orden, son:

4) La curva no presenta asíntotas.

4 8y x x

2

1

4y

x

( )y f x

86 24 xxy

0,8

0)2(222042086 2224 xxxxxxxx

0,2;0,2;0,2;0,2



5) La primera derivada viene dada por:

Con base en la primera derivada se calculan los números críticos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así:

La figura 5.13 muestra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Figura 5.13.

Con base en lo anterior, resultan un punto de máxima relativo y dos de mínima relativos, así:

Punto de máxima:

Puntos de mínima:

6) La segunda derivada viene dada por:

Con base en la segunda derivada se determinan los intervalos en donde la curva es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo. La figura 5.14 muestra el signo de la segunda derivada.

Figura 5.14. Se deduce que los puntos de inflexión de la curva son:

7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

0 1

2

8 3 0 -1 0

8) Con la tabla y teniendo en cuenta la simetría, resulta la gráfica de la figura 5.15

xxy 124' 3

3340124' 3 xxxxxy

8,0

1,3;1,3

1212'' 2 xy

3,1;3,1

x2 3

( )f x



Figura 5.15


Solución.

1) Por simple inspección, el dominio es el conjunto:

2) La función es impar, por tanto es simétrica con respecto al origen 3) No hay corte con el eje de ordenadas, mientras que los cortes con el eje de abscisas se determinan de la siguiente manera:


4) La curva presenta dos asíntotas, una vertical y una oblicua.

La asíntota vertical es la recta . Se calculan los siguientes límites:

La oblicua es la recta , cuyas constantes se calculan de la siguiente manera:

Por tanto, la asíntota oblicua es la recta


x

xxf

4)(

2

,00,fD

2 4 0 2 2 0x x x

1 2( 2,0), (2,0)P P

0x

)(lim,)(lim00

xfxfxx

y mx b

04

lim)(lim

14

lim)(

lim

2

2

2

xx

xmxxfb

x

x

x

xfm

xx

xx

y x



Puesto que la primera derivada no se anula para ningún valor de , el único número crítico es

La figura 5.16 muestra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. En este caso la curva

es siempre creciente. El punto se denota mediante una cruz para significar que la

primera derivada no está definida. Con base en lo anterior se sigue que la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos 6) La segunda derivada viene dada por:

Con base en la segunda derivada se determinan los intervalos en donde la curva es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo. La figura 5.17 muestra el signo de la segunda derivada.

Figura 5.16. Figura 5.17. Se deduce que hay un punto de inflexión en el origen. Observe que es un punto de inflexión y sin embargo la segunda derivada no está definida en el punto. 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

1/2 1 1.5 2 2.5 3

-15/2 -3 -7/6 0 9/10 5/3

8) Con la tabla y teniendo en cuenta la simetría, resulta la gráfica de la figura 5.18.

Figura 5.18.


2

2

2

2 442)('

x

x

x

xxxxf

x

0x

0x

34

22 8242)(''

xx

xxxxxf

x 0

( )f x

4

4)(

2

2

x

xxxf



Solución.

1) Por simple inspección, el dominio es el conjunto:

2) La función no es par ni impar, por tanto no presenta simetrías




4) La curva presenta tres asíntotas, una horizontal y dos verticales.

Las asíntotas verticales son las rectas . Se calculan los siguientes límites:

La asíntota horizontal se calcula de la siguiente manera:

Por tanto, la asíntota horizontal es la recta


Puesto que es un número positivo para toda , la primera derivada no se anula

para ningún valor de , por tanto, los números críticos son . La figura 5.19 muestra los

intervalos de crecimiento y de decrecimiento. En este caso la curva es siempre creciente. Los

puntos se denotan mediante cruces para significar que la primera derivada no está

definida.

Figura 5.19. Con base en lo anterior se sigue que la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos 6) La segunda derivada viene dada por:


2/ xRxD f

0,0

0)4(042 xxxx

1 2(0,0), (4,0)P P

2x

)(lim;)(lim

)(lim;)(lim

22

22

xfxf

xfxf

xx

xx

14

4lim)(lim

2

2

x

xxxf

xx

1y

22

2

22

22

4

424

4

24424)('

x

xx

x

xxxxxxf

422 xx x

x 2x

2x

42

2222

4

242424244)(''

x

xxxxxxxf



En este caso no es fácil factorizar el numerador, sin embargo se puede aplicar el teorema del

valor intermedio a la función , así:

Lo anterior significa que en el intervalo: hay un punto de inflexión.


-5 -4 -3 -1 0 1 3 4

45/21 8/3 21/5 -5/3 0 1 -3/5 0

8) Con la tabla, resulta la gráfica de la figura 5.20.

Figura 5.20.


Solución. 1) Por simple inspección, el dominio es el conjunto de los reales 2) La función es par, por tanto presenta simetría con respecto al eje de ordenadas




4) La curva presenta dos asíntotas oblicuas, así:

32

23

4

81228)(''

x

xxxxf

8122)( 23 xxxxg

1)1(;8)0( gg

0 1x

x 2 2 2 2

( )f x

1

1)(

2

2

x

xxf

1,0

0)1)(1(012 xxx

1 2( 1,0), (1,0)P P



a) Cuando la asíntota es la recta . Las constantes se calculan de la

siguiente manera:

b) Cuando la asíntota es la recta . Las constantes se calculan de la

siguiente manera:

Por tanto, las asíntotas oblicuas son las rectas


Puesto que es un número positivo para toda , al igual que el denominador de la

primera derivada, el único número crítico es

La figura 5.21 muestra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. 6) La segunda derivada viene dada por:


Los puntos de inflexión que son:

La figura 5.22 muestra el signo de la segunda derivada.

Figura 5.21 Figura 5.22 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

0 1 2 3 4 5

x 1 1y m x b

01

1lim)(lim

11

1lim

)(lim

2

2

1

2

2

1

xx

xmxxfb

xx

x

x

xfm

xx

xx

x2 2y m x b

01

1lim)(lim

11

1lim

)(lim

2

2

2

2

2

2

xx

xmxxfb

xx

x

x

xfm

xx

xx

xy

2/32

2

2

2

22

1

3

1

12

2121

)('

x

xx

x

x

xxxx

xf

32 x x

0x

32

2322/32

1

122

33331

)(''

x

xxxxxx

xf

2/52 1

)1)(1(3)(''

x

xxxf

0,1;0,1

x



-1 0

8) Con la tabla y teniendo en cuenta la simetría, resulta la gráfica de la figura 5.23.

Figura 5.23.


Solución.

1) En este caso el dominio está dado explícitamente:




De lo anterior se sigue que hay un corte con el eje de abscisas:

4) La curva no presenta asíntotas verticales, pero presenta una asíntota horizontal, así:


Puesto que es un número positivo para toda , la primera derivada no se anula para

ningún valor de , por tanto la curva no tiene números críticos. Por otra parte, la curva será

siempre creciente en su dominio. Con base en lo anterior se sigue que la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos 6) La segunda derivada viene dada por:

Con el mismo argumento del paso anterior se puede ver que la curva es cóncava hacia abajo en todo su dominio. 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

( )f x 3 5 / 5 4 10 / 5 15 17 /17 12 26 /13

0;1210)( xexf x

0/ xRxD f

0, 2

182.05/6121001210 xeee xxx

(0.182,0)P

10/1210lim)(lim

x

xxexf

xexf 12)('xe x

x

xexf 12)(''



0 0.182 0.5 1 2 3 4 5

-2 0 2.722 5.585 8.376 9.403 9.78 9.919


Figura 5.24


Solución.

1) En este caso el dominio está dado por:




De lo anterior se sigue que hay un corte con el eje de abscisas:

4) La curva no presenta asíntotas verticales, pero presenta una asíntota horizontal, así:


Los números críticos se determinan de la siguiente manera:

Para averiguar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se evalúa la primera derivada

en un punto cualquiera a la izquierda o a la derecha del número crítico. Sí evaluamos en

encontramos que . Lo anterior nos permite decir que la función es creciente en

el intervalo y decreciente en el intervalo . Con base en lo anterior se

sigue que la función tiene un punto de máxima relativo:


x

( )f x

xx eexf 254)(

),( fD

)1,0(

)4/5ln(4/554054 22 xeeeee xxxxx

)0,223.0(

0/5/4lim 2

xx

xee

xx eexf 2104)('

916.0)2/5ln(2/50104 2 xeee xxx

1x

118.0)1(' f

)916.0,( ),916.0(

)8.0,916.0(maxP

xx eexf 2204)(''



El punto de inflexión se calcula de la siguiente manera:

Con el mismo argumento del paso anterior se puede evaluar la segunda derivada en cualquier

punto a la izquierda o a la derecha del punto de inflexión. Evaluando en , resulta

. Con base en lo anterior, la curva es cóncava hacia arriba en el intervalo

y es cóncava hacia abajo en el intervalo .

El punto de inflexión es:


0 0.223 0.5 0.916 1 1.609 2 3

-1 0 0.587 0.8 0.795 0.6 0.45 0.187


Figura 5.25.


Solución.

1) En este caso el dominio está dado explícitamente , sin embargo, es necesario calcular

el límite de la función cuando tiende a cero por la derecha. Para calcular dicho límite

procederemos de manera intuitiva de acuerdo con la siguiente tabla:

0.1 0.01 0.001

0.33 0.056 0.0079

Es claro que:

Más adelante se explica la regla de L’Hôpital para calcular el límite. El procedimiento es el siguiente:

609.1)5ln(50204 2 xeee xxx

2x

175.0)2('' f

),609.1( )609.1,(

)6.0,609.1(Pi

x

( )f x

0;)ln()( xxxxxf

),0(

x

x

( )f x

01)ln(lim)(lim00

xxxfxx

0lim/1

lim1)ln(

lim1)ln(lim0

20

100

xx

x

x

xxx

xxxx



2) La función no es par ni impar, por tanto no presenta simetrías 3) El corte con el eje de abscisas no es fácil de determinar, sin embargo se puede hacer uso del teorema del valor intermedio para ubicar dicho corte, así puede verse que el punto de corte

está en el intervalo , en efecto, y .

4) La curva no presenta asíntotas 5) La primera derivada viene dada por:

Evidentemente, el número crítico se encuentra como .

Para averiguar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se evalúa la primera derivada

en un punto cualquiera a la izquierda o a la derecha del número crítico. Sí evaluamos en

encontramos que . Lo anterior nos permite decir que la función es

creciente en el intervalo y decreciente en el intervalo . Con base en lo anterior se

sigue que la función tiene un punto de mínima relativo:


Como puede verse, la segunda derivada es positiva en su dominio, con lo que la curva es cóncava hacia arriba en dicho dominio. 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4

0 -0.847 -1 -0.892 -0.614 -0.209 0.296 1.545


Figura 5.26.


Solución. 1) En este caso el dominio está dado por:

2,3 (2) 0.614f (3) 0.296f

)ln(1)ln(/1)(' xxxxxf

10)ln( xx

2x

693.0)2ln()2(' f

),1( 0,1

)1,1(min P

xxf /1)(''

x

( )f x

)(ln1)( xsenxf

0)(/ xsenRxD f



Se sabe que la función seno es positiva en muchos intervalos, tales como ,

Para efectos de hacer nuestro trabajo escogeremos el dominio:

2) La función no es par ni impar, por tanto no presenta simetrías 3) No hay corte con el eje de ordenadas. Los cortes con el eje de abscisas se determinan de la siguiente manera:

Como se sabe, hay dos ángulos en el intervalo que cumplen. Dichos ángulos son:

Por tanto, los puntos de corte de la curva con el eje de abscisas son:

4) La curva presenta dos asíntotas verticales, así: y se calculan los siguientes

límites:


Evidentemente hay un número crítico en el intervalo abierto , el cual es aquel en el

que la cotangente se anula, es decir, el que cumple con la ecuación . Como se

sabe, dicho número es .

A la derecha del número crítico la cotangente es negativa y a la izquierda es positiva, lo que

significa que la curva es creciente en el intervalo y decreciente en el intervalo

En consecuencia, el punto de máxima es:


Se observa claramente que la segunda derivada es negativa en el dominio dado, de lo cual se concluye que la curva es cóncava hacia abajo. 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

0.377 2.765

0 0.653 1 0.653 0

8) Con la tabla, resulta la gráfica de la figura 5.27. Observe que la curva es simétrica con

respecto a la recta

),2( ),0(

x0

)/1()(0)(ln1 1 earcsenxexsenxsen

x0

765.2;377.0 21 xx

)0,765.2(;)0,377.0(

xx ;0

)(ln(1lim)(lim

)(ln(1lim)(lim00

xsenxf

xsenxf

xx

xx

)cot()(

)cos()(' x

xsen

xxf

0 x

cos( ) 0x

571.12/ x

)2/,0(

),2/( )1,2/(max P

)(

1)(csc)('

2

2

xsenxxf

x 0 / 4 / 2 3 / 4

( )f x

/ 2x



Figura 5.27.


Solución.

1) En este caso el dominio está dado explícitamente


3) El corte con el eje de ordenadas es el punto:

Los cortes con el eje de abscisas se determinan de la siguiente manera:

Por tanto, los interceptos con el eje de abscisas son:

4) La curva no presenta asíntotas 5) La primera derivada viene dada por:

De lo anterior se sigue que los números críticos son aquellos en los que

Puesto que son los extremos del intervalo, el único número crítico es

Puede verificarse que la primera derivada es negativa a la izquierda del número

crítico y positiva a la derecha, con lo que el intervalo de crecimiento es y el de

decrecimiento es . En consecuencia, la curva presenta un punto de mínima, así:


Los puntos de inflexión se calculan de la siguiente manera:

xxxxf 0;)cos()(cos2)( 2

0,fD

0,1

3/2/01)cos(2)cos(0)cos()(cos2 2 xxxxxx

)0,2/(;)0,3/(

1)cos(4)()()()cos(4)(' xxsenxsenxsenxxf

318.1)4/1(cos,,0 1 xxx

xyx 0

318.1x

),318.1(

)318.1,0(

)125.0,318.1(min P

)cos()(cos4)(41)cos(4)cos()(4)()('' 22 xxxsenxxxsenxsenxf



Aplicando la fórmula cuadrática se encuentra que:

En consecuencia, los puntos de inflexión vienen a ser:

La gráfica se ilustra en la figura 5.28

Figura 5.28


xexf /1)(

Solución.

1) En este caso el dominio está dado por 0/ xRxD f

2) La función no es par ni impar, por tanto no presenta simetrías 3) La curva no corta a los ejes coordenados. 4) Asíntotas. a) La curva presenta una asíntota vertical en x=0 y se calculan los límites siguientes:

x

x

x

x

e

e

/1

0

/1

0

lim

0lim

b) La curva presenta una asíntota horizontal, así:

1lim

1lim

/1

/1

x

x

x

x

e

e

0)cos()(cos840)cos()(cos4)(4 222 xxxxxsen

647.0)cos(772.0)cos( xx

)484.1,274.2(

)42.0,689.0(

2

1

i

i

P

P



5) La primera derivada de la función es:

2

/1

2

/1 1)('

x

e

xexf

xx

Puede verse que la primera derivada es negativa para todo x en el dominio, es decir, la curva siempre es decreciente. 6) La segunda derivada de la función es:

4

/1 )12()(''

x

xexf

x

Puede verse que la curva tiene un punto de inflexión en x=-1/2. A la izquierda la curva es cóncava hacia abajo y a la derecha es cóncava hacia arriba. 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

-5 -2 -1 -1/2 1 2 5

0.82 0.61 0.37 0.14 2.72 1.65 1.22


Figura 5.29


xxexf /1)(

Solución.

1) En este caso el dominio está dado por 0/ xRxD f

2) La función no es par ni impar, por tanto no presenta simetrías 3) La curva no corta a los ejes coordenados. 4) Asíntotas. a) La curva presenta una asíntota vertical en x=0 y se calculan los límites siguientes:

x

exe

xe

x

x

x

x

x

x

/1limlim

0lim

/1

0

/1

0

/1

0

x

( )f x



El segundo límite es la forma indeterminada /

Aplicando la regla de L’Hôpital, se tiene:

x

x

x

x

x

xe

x

xe

x

e /1

0

2

2

/1

0

/1

0lim

1

1

lim/1

lim

b) La curva no presenta asíntotas horizontales.

x

xxe /1lim

5) La primera derivada de la función es:

x

exe

xxexf

xxx

/1/1

2

/1 11)('

La figura 5.30 muestra el signo de la primera derivada.

Figura 5.30

Puede verse que la curva tiene un punto de mínima relativo, así: eP ,1min

6) La segunda derivada de la función es:

5

/1 )13()(''

x

xexf

x

La figura 5.31 muestra el signo de la segunda derivada.

Figura 5.31

Puede verse que la curva tiene un punto de inflexión en x=-1/3. A la izquierda la curva es cóncava hacia abajo y a la derecha es cóncava hacia arriba. 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

-5 -2 -1 -1/3 1 2 4

-4.09 -1.21 -0.37 -0.02 2.72 3.30 5.14

8) Con la tabla, resulta la gráfica de la figura 5.32

x

( )f x



Figura 5.32

EJERCICIOS 5.4

1)

2)

3)

4)

5) 3 2 xxy

6) ze

y

21

6

7)

8)

9)

10)

5.5. Aplicaciones a la dinámica de una partícula. Supongamos por simplicidad que una partícula se mueve de manera rectilínea a partir del

punto , tal como se muestra en la figura 5.33.

Al cabo de un instante habrá alcanzado la posición y posteriormente, en el

instante estará en la posición

Figura 5.33 5.5.1. Velocidad media.

22 1y x x

2

1

xy

x

3

2 1

xy

x

2

2

1

1

xy

x

2/2 xexy

)ln(2 xxy

)6ln( 2xxy

20;)()(2 2 xxsenxseny

(0)O x

1t 1( )A x t

2t 2( )B x t



Con referencia a la figura 5.33, la velocidad media en el lapso de tiempo transcurrido entre el

instante y el instante se define como el cociente entre el incremento en la posición y el

incremento en el tiempo, así:

5.5.2. Velocidad instantánea. Con referencia a la figura 5.33., cuando el incremento en el tiempo es muy pequeño, es decir,

cuando , la velocidad en el instante se calcula como:

En general, la velocidad en un instante cualquiera viene dada por:

En el sistema internacional de medidas la posición se mide en Metros y el tiempo en Segundos y, por tanto, la velocidad tendrá unidades de Metros/Segundos. Observación. La velocidad es una cantidad vectorial que tiene magnitud, dirección y sentido. La rapidez se define como la magnitud de la velocidad, es decir, la rapidez siempre es positiva.

Ejemplo 5.23 Una partícula se está moviendo verticalmente hacia arriba en un medio sin fricción de tal

manera que la posición en todo instante es

Dónde: es la velocidad inicial y es la aceleración de la gravedad.

a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Represente gráficamente la velocidad y la posición c) Determine la altura máxima alcanzada. Solución. a) La velocidad en todo instante viene dada por:

Mientras que la aceleración es:

b) Para la representación gráfica se tomarán los siguientes datos:

La figura 5.34 ilustra las gráficas pedidas. c) Para calcular la altura máxima alcanzada se calcula el instante en el que la velocidad se hace cero, así:

En consecuencia, la altura máxima alcanzada es:

1t 2t

t

txttx

tt

txtxv

)()()()( 11

12

12

12 tt 1t

)(')()(

lim)( 111

01 tx

t

txttxtv

t

t

)(')()(

lim)(0

txt

txttxtv

t

2

2

1)( gttVtx i

iV g

gtVtxtv i )(')(

gtvta )(')(

2/10;/30 smgsmVi

gVtgtV ii /0 maxmax



Comentarios. Con base en las expresiones para posición y velocidad, podemos efectuar el siguiente análisis:

1. Posición inicial:

2. Velocidad inicial:

3. Tiempo de vuelo de la partícula:

4. Altura máxima alcanzada:

5. Velocidad de llegada:

El signo negativo de la velocidad final se debe a que la velocidad es un vector, es decir, tiene dirección y sentido.

Figura 5.34

Ejemplo 5.24 Una partícula se está moviendo verticalmente hacia arriba en un medio que presenta una resistencia proporcional a la velocidad instantánea de tal manera que la posición en todo instante es:

a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Represente gráficamente la velocidad y la posición c) Determine la altura máxima alcanzada. Solución. a) La velocidad en todo instante viene dada por:

Mientras que la aceleración en todo instante viene a ser:

b) La figura 5.35 ilustra las gráficas correspondientes a posición y velocidad en todo instante.

g

V

g

Vg

g

VVtxx iii

i22

1)(

22

maxmax

0)0( x

smv /30)0(

st f 6

mx 45max

smv f /30

tetty 111010)(

tetv 11010)(

teta 110)(



Figura 5.35

c) Para calcular la altura máxima alcanzada se calcula el instante en el que la velocidad se hace cero, así:

En consecuencia, la altura máxima alcanzada es:

Comentarios. Con base en las expresiones para posición y velocidad, podemos efectuar el siguiente análisis:



3. Tiempo de vuelo de la partícula:

4. Altura máxima alcanzada:

5. Velocidad de llegada:

La velocidad de llegada en este caso recibe el nombre de velocidad límite y se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo 5.25 Una partícula se está moviendo verticalmente hacia arriba en un medio que presenta una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea de tal manera que la posición en todo instante es:

a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Calcule la velocidad inicial c) Calcule la aceleración inicial

)11ln(1111010110100 max teee ttt

metyy 761110)11ln(10)( )11ln(

maxmax

0)0( y

smv /100)0(

st f 11

my 76max

smv f /10

smev t

tL /10110140lim

3 1

( ) ln cos(4 ) 100 (4 )20 4

ty t t sen t



Solución. a) La velocidad en todo instante viene dada por:


Mientras que la aceleración en todo instante viene a ser:

Al efectuar la derivada y simplificar, resulta:

b) La velocidad inicial es:

c) La aceleración inicial es:

Ejemplo 5.26 La posición en todo instante de una partícula viene dada por:

Sí el tiempo se mide en segundos y la posición en metros, determine la velocidad y la aceleración en todo instante. Solución. De acuerdo con lo planteado previamente, la velocidad en todo instante es la primera derivada de la posición, así:

Evaluando las derivadas indicadas, resulta:

3 1

( ) ( ) ln cos(4 ) 100 (4 )20 4

d d tv t y t t sen t

dt dt

3 1( ) ln cos(4 ) 100 (4 )

20 4

cos(4 ) 100 (4 )3 4 (4 ) 400cos(4 )

20 4 cos(4 ) 100 (4 ) 4 cos(4 ) 100 (4 )

dv t t sen t

dt

dt sen t

sen t tdt

t sen t t sen t

3 (4 ) 100cos(4 )( )

20 cos(4 ) 100 (4 )

sen t tv t

t sen t

3 (4 ) 100cos(4 ) (4 ) 100cos(4 )( )

20 cos(4 ) 100 (4 ) cos(4 ) 100 (4 )

d sen t t d sen t ta t

dt t sen t dt t sen t

2

4004( )

9999cos (4 ) 200 (4 )cos(4 ) 10000a t

t sen t t

3 (0) 100cos(0) 3 100 1997(0) 99.85 /

20 cos(0) 100 (0) 20 1 20

senv M S

sen

2

2

4004 4004(0) 4004 /

9999cos (0) 200 (0)cos(0) 10000 9999 10000a M S

sen

2( ) 3 cos( ) 1x t t t t

2( ) 3 cos( ) 1 2 3 cos( ) 2 3 cos( ) cos( )d d d

v t t t t t t t t t t tdt dt dt



Importante. El ángulo debe ser medido en radianes y no en grados. En cuanto a la aceleración, tenemos:

Evaluando las derivadas indicadas, resulta:

Comentarios. Con base en las expresiones para posición, velocidad y aceleración, podemos efectuar el siguiente análisis:



3. aceleración inicial:

EJERCICIOS 5.5 1) Una partícula se está moviendo sobre una línea recta de tal manera que la posición, en metros, en todo instante viene dada por:

a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Determine los instantes en los que la partícula pasa por la posición de equilibrio c) Represente gráficamente la velocidad y la posición 2) Una partícula se está moviendo verticalmente hacia arriba en un medio que presenta una resistencia proporcional a la velocidad instantánea de tal manera que la posición en todo

instante es

a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Represente gráficamente la velocidad y la posición c) Determine la altura máxima alcanzada. 3) Una partícula se está moviendo verticalmente hacia arriba en un medio que presenta una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea de tal manera que la posición en todo instante es:


( ) 2 3 ( ) cos( ) 2 3 ( ) 3cos( )v t t t sen t t t tsen t t

( ) ( ) 2 3 ( ) 3cos( )

2 3 ( ) 3 cos( ) 2 3 ( ) ( ) 3 ( )

d da t v t t tsen t t

dt dt

d d dtsen t t t sen t sen t sen t

dt dt dt

( ) 2 3cos( ) 6 ( )a t t sen t

(0) 1x M

(0) 3 /v M S 2(0) 5 /a M S

3 2( ) 6 8x t t t t

/ 2( ) 10 160 1 ty t t e

( ) 3 ln cos(4 ) 10 (4 )y t t t sen t



4) Un hombre y su paracaídas están cayendo verticalmente de tal manera que la posición en todo instante viene dada por:

a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Calcule la velocidad inicial c) Calcule la aceleración inicial 5) Una bola de nieve de masa variable se está moviendo horizontalmente de tal manera que la posición en todo instante viene dada por:

a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Calcule la velocidad inicial c) Calcule la aceleración inicial. 6) Una partícula se está moviendo verticalmente hacia arriba en un medio que presenta una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea de tal manera que la posición en todo instante es:


5.6. Razones de cambio de variables relacionadas. En la sección 5.1 se presentaron algunas aplicaciones en las que la derivada de una función se interpreta como la tasa de variación o razón de cambio de la variable con respecto al tiempo. Luego, en la sección anterior se estudiaron: la velocidad como razón de cambio de la posición y la aceleración como razón de cambio de la velocidad. A continuación se abordarán otras aplicaciones de interés en ingeniería y ciencias. Supongamos que en una aplicación cualquiera resultan dos o más variables, relacionadas entre sí, que dependen del tiempo. En tal caso, las razones de cambio de dichas variables estarán igualmente relacionadas. Por simplicidad, se estudiarán aplicaciones que relacionen dos variable únicamente.

Ejemplo 5.27 Se tiene un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 centímetros y las medidas de sus lados son . De acuerdo con el teorema de Pitágoras, las variables están relacionadas

mediante la ecuación . Sí el cateto está aumentando a una rata de un

centímetro por segundo en el instante en el que su medida es de 5 centímetros, determine la tasa de variación del otro cateto. Solución. Puesto que las variables están relacionadas, se procede de la siguiente manera:

Ahora bien, puesto que y dado que , resulta:

2 2( ) ln 21 20t ty t e e

2 10( ) 10 ( 10) ln

10

ty t t t t

( ) ln cos( ) 10 ( )y t t t sen t

,x y2 2 169x y x

2 2 169 2 2 0

dxx

d d dx dy dy dtx y x ydt dt dt dt dt y

5 169 25 12x y 1 /dx

cm sdt



Se concluye que el otro cateto está disminuyendo a una rata de .

Ejemplo 5.28 Un cilindro circular recto tiene un volumen de 2 metros cúbicos. Si el radio decrece a razón de 0.1 metros por segundo en el instante en el que su medida es de 0.5 metros, determine la tasa de variación de la altura. Solución. Supongamos que el radio de la base del cilindro es y la altura es , en tal caso, el volumen

viene dado por . A partir de la expresión anterior, resulta:

De lo anterior se sigue que:

Dado que , calculamos , así:

Con base en lo anterior y teniendo en cuenta que , se tiene:

Se concluye que la altura aumenta a una tasa de

Ejemplo 5.29 Una esfera de nieve rueda horizontalmente de manera tal que su radio aumenta a una rata de 5 centímetros por segundo. Calcule la tasa de variación del volumen y la tasa de variación del área superficial en el instante en el que el radio de la esfera es de 20 centímetros. Solución.

Se sabe, de la geometría, que: y

Para calcular las tasas de variación pedidas se procede de la siguiente manera:

,

Sustituyendo los datos dados, resulta:

5 1 / 5/

12 12

dxx cm cm sdy dydt cm s

dt y dt cm

5/

12cm s

x y2 2V x y

2 2 2 22 0 2 0d d dy dx

x y x y x y x xydt dt dt dt

2

2

2 0

dxy

dy dx dy dtx xydt dt dt x

0.5x y

2

22

2 2 82

0.5x y y

x

0.1dx

dt

8 122

1610

1 5

2

dxy

dy dt

dt x

161.02 /

5M S

34

3V r 24A r

3 244

3

d d dV drV r r

dt dt dt dt

24 8d d dA dr

A r rdt dt dt dt



,

Se concluye que el volumen aumenta a una rata de , mientras que el área

superficial aumenta a una rata de .

Ejemplo 5.30 A un recipiente cónico con el vértice hacia abajo y abierto en la base se le vierte agua a razón de 100 centímetros cúbicos por segundo. Sí el radio de la base del recipiente es de 50 centímetros y la altura es de 120 centímetros, determine la tasa de variación de la altura del nivel del líquido en el instante en el que dicha altura es de 50 centímetros. Solución. La figura 5.36 muestra al recipiente con sus dimensiones y con las relaciones entre las variables del problema.

Figura 5.36 De acuerdo con la figura y teniendo en cuenta la semejanza de triángulo, resulta:

Ahora bien, el volumen de la parte llena del cono es:

Tomando la derivada con respecto al tiempo, se tiene:

Despejando, resulta:

Sustituyendo los datos, resulta:

224 4 20 5 8000

dV drr

dt dt 8 8 20 5 800

dA drr

dt dt

38000 /cm s2800 /cm s

5

50 120 12

x yx y

2

2 31 1 5 25

3 3 12 432V x y y y y

3 2 225 75 25

432 432 144

dV dy dV dyV y y y

dt dt dt dt

2

2

25 144

144 25

dV dy dy dVy

dt dt dt y dt



Se concluye que cuando la altura del nivel del líquido es de 50 centímetros, el nivel del líquido

aumenta a una rata de .

Se deja como ejercicio al estudiante que calcule la tasa de variación del radio de la base con respecto al tiempo.

Ejemplo 5.31 Una persona de 1.8 metros de estatura se aleja, a una velocidad de dos metros por segundo, de una lámpara situada a tres metros sobre el nivel del piso. Calcule la tasa de variación de la longitud de la sombra. Solución. La figura 5.37 ilustra la situación planteada.

Figura 5.37

Con base en la figura y por semejanza de triángulos, se tiene:

Derivando, resulta:

Con base en la información suministrada se sabe que , de lo cual se concluye que la

sombra se alarga a una rata de 3 metros por segundo.

Ejemplo 5.32 Un observador está situado en un acantilado que se encuentra a 60 metros sobre el nivel del mar. Mediante unos binóculos observa que un bote se acerca a la playa hacia un punto localizado directamente debajo del observador, a una velocidad de 18 Kilómetros por hora. Determine la tasa de cambio del ángulo del observador en el instante en que se encuentra a 60 Metros de su destino. Solución.

Con base en la figura 5.38, el ángulo de observación es y la distancia del bote al lugar de

destinos es .Primero que todo expresemos la velocidad en el sistema internacional de

medidas, así:

22

144 144 144100

25 62525 50

dy dV

dt y dt

1440.073 /

625cm s

1.80.6 0.6 0.6 1.5

3

x xx x y x y

x y x y

1.5dx dy

dt dt

2dy

dt

x

18 / 18000/3600 / 5 /Km h M S M S



Figura 5.38

De acuerdo con la figura, tenemos:

Derivando, resulta:

Puesto que el bote se acerca al punto , la tasa de variación es negativa, con lo que:

La tasa de variación del ángulo, en grados, es:

Ejemplo 5.33 Una persona cuyos ojos están a 1.5 metros sobre el nivel del piso se aproxima a un pasacalle de un metro de alto, con una velocidad de 2 metros por segundo. La parte inferior del pasacalle está ubicada a 5.5 Metros sobre el nivel del piso. Determine la tasa de variación del ángulo de la visual en el instante en el que la persona se encuentra a 10 metros del pié de la perpendicular bajada del pasacalle al piso. Solución. La figura 5.39 ilustra la gráfica con la información suministrada. En dicha figura, la distancia de

la persona al punto es y el ángulo de la visual es .

De acuerdo con la geometría del problema, el ángulo de la visual viene dado por:

La fórmula para calcular la tangente de la diferencia entre dos ángulos es:

En nuestro caso particular se tiene:

tan( ) arctan60 60

x x

2

60arctan

60 3600

d d x dx

dt dt x dt

O

22

60 605 0.03 /

3600 80 3600

d dxRad S

dt x dt

1800.03 / 0.03 1.72 /

dRad S s

dt

'O x

OPC OPB

tantan tan

tan tan( )

( ) ( )

( ) ( )

1

2

5 4

tan( ) tan( )tan

5 41 tan( ) tan( ) 201

OPC OPB xx x

OPC OPB x

x x



Simplificando y despejando el ángulo, se tiene:

Derivando, resulta:

Simplificando, resulta:

Figura 5.39

Tomando los datos, es decir , resulta:

La tasa de variación del ángulo, en grados, es:

EJERCICIOS 5.6 1. Una escalera de 5 metros de longitud está apoyada contra un muro vertical. Su base empieza a deslizarse alejándose de la pared a una velocidad de 0.5 metros por segundo. Determine la velocidad con la que resbala la parte superior en el instante en que ésta se encuentra a 4 metros del nivel del piso. 2. Se lanza una piedra a un pozo de aguas tranquilas de tal manera que se produce una serie de ondas circulares concéntricas. Sí el radio de la primera onda aumenta a una rata de 5 centímetros por segundo, determine la tasa de variación del área del círculo que la onda encierra en el instante en el que el radio es de 80 centímetros.

2arctan

20

x

x

2

22

2 22 2

2 2

20

201arctan

20 201 1

20 20

x

xd d x d x dx

dt dt x dt x dtx x

x x

2

22

2

2 4 2

2

20

20 20

41 4001

20

x

xd dx x dx

dt dt x x dtx

x

10, 2dx

xdt

2 2

4 2 4 2

20 20 102 0.011 /

41 400 10 41 10 400

d x dxRad S

dt x x dt

1800.011 / 0.011 0.63 /

dRad S s

dt



3. Dos barcos parten simultáneamente de un puerto. Uno viaja hacia el sur a una velocidad de 18 kilómetros por hora y el otro viaja hacia el este a una velocidad de 27 kilómetros por hora. Determine la velocidad con que se están separando al cabo de dos horas. 4. Cada una de las aristas de un cubo está aumentando a una velocidad de dos centímetros por segundo. En el instante en que la arista mide 10 centímetros, determine: a) La tasa de variación del volumen b) La tasa de variación del área lateral. 5. Un reflector en el piso alumbra a un muro ubicado a 12 metros de distancia. Sí un hombre de 1.8 metros de estatura camina del reflector hacia el muro a una velocidad de 2 metros por segundo, determine la tasa de variación de su sombra en el instante en el que el hombre se encuentra a 4 metros del muro. 6. Una canaleta tiene una longitud de 8 metros y sus extremos son trapecios isósceles de 50 centímetros en el fondo, 80 centímetros en la parte superior y 70 centímetros de profundidad. Sí a la canaleta se vierte agua a razón de 1.5 metros cúbicos por minuto, determine la velocidad con la que aumenta el nivel del líquido en el instante en que dicho nivel es de 40 centímetros. 7. Un avión vuela a una velocidad promedio de 300 kilómetros por hora y pasa a 2 kilómetros de altura sobre un radar terrestre. La nave va en ascenso formando un ángulo de 30 grados con respecto a la horizontal. Determine la velocidad con la que aumenta la distancia de la nave al radar al cabo de 2 minutos. 8. Un bote es remolcado hacia un muelle mediante una cuerda atada a su proa y que pasa por una polea ubicada en el borde del muelle. La polea está 2 metros sobre la vertical. Sí la cuerda se recoge a una velocidad de 2 metros por segundo, determine la velocidad con que el bote se acerca al muelle en el instante en el que la distancia al mismo es de 10 metros. 9. Un avión vuela hacia el norte a una velocidad de 640 kilómetros por hora y pasa por encima de una ciudad a las doce del día. Un segundo avión que viaja hacia el este a una velocidad de 600 kilómetros por hora, pasa directamente por encima de la ciudad 15 minutos más tarde. Sí los aviones vuelan a la misma altitud, determine la velocidad con que se están separando al cabo de una hora. 10. Se tiene un tanque cónico con el vértice hacia abajo cuyo radio en la base es 30 centímetros y cuya profundidad es de 40 centímetros. Del tanque se extrae agua a razón de 10 centímetros cúbicos por minuto. Determine la tasa de variación del nivel del líquido en el instante en que dicho nivel es de 20 centímetros.

11. Una partícula se mueve sobre la circunferencia de tal manera que la tasa de

variación de la abscisa es numéricamente igual a la ordenada del punto. Determine la tasa de variación de la ordenada. 12. Un jugador de béisbol está corriendo de la primera a la segunda base con una velocidad de 8 metros por segundo. Determine la velocidad con la que se aleja del plato en el instante en que está a mitad de camino. Suponga que la distancia entre base es de 30 metros. 13. Una persona cuyos ojos están a 1.6 metros sobre el nivel del piso se aproxima a un pasacalle de un metro de alto, con una velocidad de 2 metros por segundo. La parte inferior del pasacalle está ubicada a 5 Metros sobre el nivel del piso. Determine la tasa de variación del ángulo de la visual en el instante en el que la persona se encuentra a 4 metros del pié de la perpendicular bajada del pasacalle al piso. 14. Una canaleta tiene una longitud de 10 metros y sus extremos son triángulos equiláteros de 80 centímetros de lado. Sí a la canaleta se vierte agua a razón de 2 metros cúbicos por minuto,

2 2 1x y



determine la velocidad con la que aumenta el nivel del líquido en el instante en que dicho nivel es de 40 centímetros. 15. El minutero de un reloj de pared mide 10 centímetros y el horario mide 6 centímetros. Determine la tasa de variación de la distancia entre las puntas a la una de la tarde. 16. Un avión vuela a una velocidad promedio de 360 kilómetros por hora y pasa a 20 kilómetros de altura sobre un radar terrestre. La nave va en ascenso formando un ángulo de 30 grados con respecto a la horizontal. Determine la velocidad con la que aumenta la distancia de la nave al radar al cabo de 2 minutos.

17. Un punto se mueve sobre una de las ramas de la hipérbola de tal manera

que su ordenada crece a razón de 6 centímetros por minuto. Determine la rata de cambio de la abscisa en el instante en que dicha abscisa mide 10 centímetros.

18. Un faro está en un islote ubicado a 5 kilómetros del punto más cercano a una costa recta de tal manera que su rayo realiza 4 revoluciones por minuto. Determine la rapidez con la

que se aleja el haz de luz en un punto situado a 2 kilómetros del punto .

5.7. Problemas de optimización. En diversas aplicaciones de ingeniería y ciencias se hace necesario determinar el valor óptimo de una función de una variable. De acuerdo con lo presentado previamente, el valor óptimo puede ser un máximo o un mínimo dependiendo de la aplicación en particular. Usualmente, para optimizar una función de una variable, es necesario conocer las leyes y

principios que relacionan las variables. Supongamos que la función a optimizar es .

Los máximos y mínimos de la función se determinan con base en lo estudiado en la sección 5.2.

Ejemplo 5.34 Se tiene una lámina cuadrada de 50 centímetros de lado. En cada esquina se recorta un cuadrado de lado para formar una caja sin tapa. Determine las dimensiones de la caja de volumen máximo que se puede formar. Solución. La figura 5.40 muestra la lámina, mientras que la caja que se forma al recortar los cuadrados se muestra en la figura 5.41. De acuerdo con la geometría del problema, el volumen de la caja viene dado por:

Derivando, resulta:

Los puntos críticos de la función se determinan de la siguiente manera:

2 23 12x y

P

P

( )y f x

x

2 2 2 3( ) 50 2 2500 200 4 2500 200 4V x x x x x x x x x

2 3 2( ) 2500 200 4 2500 400 12d d

V x x x x x xdx dx

2

1 2

400 160000 1200000 2500 400 12 0 ,

6

dVx x x x

dx




Resolviendo las operaciones resultan dos valores para , así:

El segundo valor se descarta ya que el volumen sería cero, con lo que la función tiene como

punto crítico:

Para saber sí el punto es de máxima o de mínima usamos el criterio de la segunda derivada, así:

Evaluando la segunda derivada en el punto, resulta:

Puesto que la segunda derivada en el punto es negativa, dicho punto es de máxima, con lo que resulta que el volumen máximo es:

Ejemplo 5.35

Se desea inscribir un rectángulo en un semicírculo de radio de tal manera que uno de los lados del rectángulo coincida con el diámetro del semicírculo. Calcule las dimensiones del rectángulo de área máxima. Solución.

De la figura 5.42 es claro que el dominio de la función es el intervalo:

Figura 5.42

Con base en la misma figura, el área del rectángulo es:

Ahora bien, teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, resulta:

Combinando las dos expresiones, se tiene:


x1 225/ 3 , 25x x

25/3x

22

2( ) 2500 400 12 400 24

d dV x x x x

dx dx

2

2(25/ 3) 400 24 25/ 3 200

dV

dx

2 3 3

max 25/3 25/ 3 50 25/3 9.26 10V V cm

R

0 x R

2A xy2 2 2x y R

2 2( ) 2A x x R x



A partir de la primera derivada se tiene que los números críticos son:

Se descarta el primero de los números críticos ya que se obtendría un rectángulo de área cero. En cuanto al otro número crítico, es necesario hallar la segunda derivada, así:


Evaluando en el número crítico, resulta:

Se concluye que el rectángulo de área máxima es aquel cuya base es: y cuya

altura es . De lo anterior se sigue que el área máxima es:

Ejemplo 5.36 Un cartel de forma rectangular debe tener 0.08 metros cuadrados de zona impresa. Si los márgenes: superior e inferior son de cinco centímetros y los laterales son de 4 centímetros, determine las dimensiones del cartel de área mínima. Solución. La figura 5.43 ilustra las variables del problema.

Figura 5.43

Con base en la figura, el área de la zona impresa es:

La función a maximizar es el área total del cartel, es decir:

A partir del dato del área impresa, resulta:

2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( ) 2 2

( ) 2 22 2 2

2

d d dA x x R x x R x R x

dx dx dx

dA x x x x Rx R x R x

dx R x R x R x

, / 2R R

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 22 2

4 2( ) 2

2 2

xR x x R x

d A x d x R R x

dx dx R xR x

2 22

3/ 22 2 2

2 3( ) x x Rd A x

dx R x

2 2 2

3/ 22 2 2

/ 2 / 2 38

/ 2

d A R R R R

dx R R

2 2x R

/ 2y R 2

maxA R

8 10 800impA x y

A xy



Combinando las dos expresiones, resulta:

Observe que el dominio de la función es el intervalo:

Tomando la primera derivada, resulta:

Los números críticos son y los que resulten de igualar a cero el numerador, así:

Con base en lo anterior, los números críticos son:

Los dos primeros números críticos están por fuera del dominio. En consecuencia, el único

número crítico en el dominio es

El estudiante puede verificar que la segunda derivada de la función es:

Evaluando la segunda derivada en el punto crítico, resulta:

Dado que la segunda derivada es positiva, el área se hace mínima cuando .

Sustituyendo el valor de en la ecuación , se obtiene que

En conclusión, para que el área sea mínima, el cartel debe tener las dimensiones halladas previamente. En tal caso, el área total del cartel es:

Ejemplo 5.37 Determine las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene su base sobre el eje de

abscisas y los vértices del lado opuesto están sobre la parábola .

10 720

8 10 800 10 8 80 8008

xx y xy x y y

x

210 720 10 720( ) ( )

8 8

x x xA x x A x

x x

8x

2 22

2

2

2

8 10 720 10 72010 720

( )8 8

10 16 576( )

8

dx x x x x

d d x x dxA xdx dx x x

x xdA x

dx x

1 8x

2

2 3

16 256 230416 576 0 , 8 8 10

2x x x x

1 2 38, 8 8 10, 8 8 10x x x

3 8 8 10 32.3x

3

12800''( )

( 8)A x

x

3

12800''( ) ''(32.3) 0.892

( 8)A x A

x

32.3x

x10 720

8

xy

x

42.9y

232.3 42.9 1385.67A xy cm

28y x



Solución. La figura 5.44 ilustra gráficamente la situación planteada.

Figura 5.44

Con base en la figura, las dimensiones del rectángulo son:

El área del rectángulo es . Ahora bien, puesto que , se tiene que:


Igualando a cero se encuentra que los números críticos son:

Se desecha el segundo número crítico. Al calcular la segunda derivada y evaluarla en el número crítico se tiene:

Dado que la segunda derivada es negativa, el punto es de máxima. En consecuencia, las dimensiones del rectángulo de área máxima son:

Ejemplo 5.38 Determine las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en un

triángulo equilátero de lado . Solución. La figura 5.45 muestra la situación planteada en un sistema de coordenadas. De la geometría

se sabe que la altura del triángulo equilátero de lado viene dada por , con lo

que la pendiente de la recta que contiene al lado del triángulo en el primer cuadrante es:

2 ;Base x Altura y

2A xy 28y x

2 3( ) 2 8 16 2A x x x x x

3 2( ) 16 2 16 6d d

A x x x xdx dx

1 2

8 8,

3 3x x

2''( ) 16 6 12 '' 8 / 3 12 8/ 3d

A x x x Adx

2 8/3 ; 8 8/3 16/3Base Altura

L

L 3 / 2H L



Figura 5.45

Con base en lo anterior, la ecuación de la recta es:

Con base en la figura, las dimensiones del rectángulo son:

El área del rectángulo es . Ahora bien, puesto que , se tiene que:


Igualando a cero se encuentra que el número crítico es:

Al calcular la segunda derivada y evaluarla en el número crítico se tiene:

Dado que la segunda derivada es negativa, el punto es de máxima. En consecuencia, las dimensiones del rectángulo de área máxima son:

Ejemplo 5.39 Determine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir

en un cono circular recto de radio en la base: y altura: Solución. La figura 5.46 ilustra la situación planteada.

0 2 3 / 22 3

0 / 2

H H Lm

L L L

3 / 2y x L

2 ;Base x Altura y

2A xy 3 / 2y x L

2( ) 2 2 3 / 2 2 3 3A x xy x x L x L x

2( )2 3 3 4 3 3

dA x dx L x x L

dx dx

/ 4x L

''( ) 4 3 ,A x x

/ 2 ; 3 / 4Base L Altura L

R H



Figura 5.46

La ecuación de la recta en la que está ubicado el punto viene dada por:

Con base en la figura, el volumen a maximizar es . Sustituyendo la ecuación de la

recta, resulta:

Derivando, resulta:

Los números críticos se encuentran de la siguiente manera:

Es claro que no puede ser el un valor aceptable, con lo que se debe chequear el otro

número.

La segunda derivada viene dada por:

Al evaluar la segunda derivada en el número crítico, se tiene:

Dado que la segunda derivada en el punto es negativa, dicho punto es de máxima. Con base en lo anterior, las dimensiones del cilindro de volumen máximo que se puede inscribir en el cono son:

Ejemplo 5.40

( , )P x y

Hy x H

R

2V x y

2 3 2( )H H

V x x x H x HxR R

3 2 23'( ) 2

d H HV x x Hx x Hx

dx R R

2

1 2

3 3 22 0 2 0 0,

3

H Rx Hx Hx x x x

R R

0x

23 6''( ) 2 2

d H HV x x Hx x H

dx R R

6 2''(2 / 3) 2 2

3

H RV R H H

R

2 /3Radio de la base R2

/ 33

H RAltura H H

R



La iluminación de un objeto debida a una fuente luminosa es directamente proporcional a la intensidad de la fuente e inversamente proporcional a la distancia que los separa. Se colocan horizontalmente dos fuentes luminosas, una de las cuales es ocho veces más intensa que la otra, separadas una distancia de 6 metros. Determine la distancia a la que se debe colocar un objeto de tal manera que su iluminación sea mínima. Solución. La figura 5.47 ilustra la situación planteada.

Figura 5.47

Supongamos que la fuente A es ocho veces más intensa que la otra, en tal caso, aplicando el principio de superposición, la intensidad de la iluminación del objeto ubicado en el punto O viene a ser:

En la expresión anterior, es una constante de proporcionalidad.

Con base en la geometría del problema, se tiene:


Simplificando, se tiene:

Es claro que los números críticos: y no deben ser tenidos en cuenta ya que están

por fuera del dominio de la función. Por tanto, se encontrarán los números críticos que anulen la primera derivada, así:

Usando el teorema del factor, puede verse que es una raíz del polinomio. Por división

sintética, resulta:

De la expresión anterior es claro que la función es decreciente en el intervalo y creciente

en el intervalo , con lo que el punto es de mínima.

Se concluye que la iluminación es mínima cuando el objeto se coloca a dos metros de la fuente más luminosa.

2 2

8k kI

x y

k

2 2 2

2 2 22 2 2 2 2

6 88 8 36 12 9( )

6 6 6

x xk k k k x xI x k k

x y x x x x x x

22 2 2 2

44

6 12 18 36 12 9 6

'( )6

dx x x x x x x

dxI x kx x

3 2

33

2 12 24'( ) 18

6

x x xI x k

x x

0x 6x

3 22 12 24 0x x x

2x

3 2 22 12 24 2 12 0x x x x x

2x

2x



Ejemplo 5.41 Se desea construir un depósito en forma de cilindro circular recto, abierto en la parte superior,

de tal forma que su volumen sea una constante . Calcule las dimensiones del cilindro que

demande la mínima cantidad de material. Solución. Sea el radio de la base y sea la altura del cilindro. Con base en la información dada,

dichas variables están relacionadas de la siguiente manera:

La función a maximizar es el área lateral del cilindro sumada con el área de la base, así:

Teniendo en cuenta la relación dada, se tiene:

Derivando, resulta:

El número está por fuera del dominio de la función, con lo que, al igualar a cero la

primera derivada se obtiene el número crítico:

La segunda derivada de la función es:

Puede verse que la segunda derivada evaluada en el número crítico es positiva, con lo que el punto es de mínima. Se concluye que las dimensiones del cilindro de área mínima son:

,

Puede verse que el radio de la base es igual a la altura.

Ejemplo 5.42

Determine un punto sobre la rama de la hipérbola cuya distancia al punto

sea mínima. Solución. La distancia entre los dos puntos viene dada por:

Tomando la primera derivada de la función, resulta:

V

x y

2

2

Vx y V y

x

22Area xy x

2 2

2

2( ) 2

V VA x x x x

x x

3 3

2 2 2

2 2 2'( ) 2 2

V x V x VA x x

x x x

0x 3 /x V

3

2 3

2''( ) 2 2 2 2

d x V dA x x Vx Vx

dx x dx

3 /x V

3

23

/

/

Vy V

V

2 4y x 3,0

2

2 2 2 2 2( ) ( 3) 4 0 ( 3) 4 2 6 13d x x x x x x x



Es claro que el número crítico es y que dicho punto es de mínima ya que la función es

decreciente a la izquierda del punto y creciente a la derecha. Por tanto, el punto sobre la curva

cuya distancia al punto es mínima, es .

Figura 5.48 La distancia entre dichos puntos es:

La figura 5.48 ilustra gráficamente la situación.

Ejemplo 5.43 Una persona cuyos ojos están a 1.5 metros sobre el nivel del piso se aproxima a un pasacalle de un metro de alto. La parte inferior del pasacalle está ubicada a 5.5 Metros sobre el nivel del piso. Determine la distancia a la que se debe ubicar de tal manera que el ángulo de la visual sea máximo. Solución. Refiriéndonos a la figura 5.37, el ángulo de la visual es:



2

2

4 6'( ) 2 6 13

2 2 6 13

d xd x x x

dx x x

3/ 2x

3,0 3/ 2,5/ 2

2

( ) 2 3/ 2 6 3/ 2 13 17 / 2 2.92d x

2( ) arctan

20

xx

x

22 2

2

1'( ) arctan

20 201

20

d x d xx

dx x dx xx

x

2

4 2

20'( )

41 400

xx

x x



Se concluye que debe ubicarse a una distancia de metros.

Ejemplo 5.44 Se tiene una hoja de papel rectangular cuyo lado menor mide centímetros y se desea hacer

un doblez como el mostrado en la figura 5.49. Determine el valor de de tal manera que la

longitud del doblez sea mínima. Solución.

Sea la longitud del doblez

De acuerdo con la geometría del problema se tiene que y

Con base en lo anterior, se tiene:

Ahora bien, de la trigonometría se tiene que el coseno del ángulo doble se puede expresar como.

Combinando las dos expresiones anteriores resulta:

Figura 5.49

Despejando la función a minimizar, se tiene:



20

ax

y BE

BD x 2CBD

, cos 2x a x

seny x

2cos 2 1 2sen

2 2 2

2 2

2 21 2 1 1

a x x a x x x a x

x y x y y x

32

2

xy

x a

3 3

3

2 1 2'

2 222

2

d x d xy

dx x a dx x ax

x a



Dado que los números críticos son inaceptables, se toma el otro valor, es decir

. Fácilmente el estudiante puede verificar que se trata de un punto de mínima. Se

concluye que la longitud mínima del doblez viene dada por:

Ejemplo 5.45 La resistencia de una viga de sección rectangular es directamente proporcional al producto entre su anchura y el cuadrado de la profundidad. Determine las dimensiones de la viga más

resistente que se puede cortar de un tronco cilíndrico circular de radio . Solución. Con base en la figura 5.50, se tiene:

Figura 5.50

A partir de la ecuación de la circunferencia, se tiene:

La función a maximizar la denotaremos como y viene dada por:

Dónde es una constante de proporcionalidad. Combinando las dos ecuaciones, resulta:


Al igualar a cero, resultan dos números críticos, así:

El valor negativo se desecha, con lo que las dimensiones de la viga más resistente son:

3/ 2

4 3'

2 2

x x ay

x a

0, / 2x x a

3

4x a

3

min

2 3 / 4 3 3

2 3 / 4 4

ay a

a a

R

2 2y R x

( )W x

2 2( ) 2 2 8W x k x y kxy

k

2 2 2 2 3( ) 8 8 8W x kxy kx R x k R x x

2 3 2 2'( ) 8 8 3d

W x k R x x k R xdx

3

Rx

2 2 32

33

Ranchura x R

2 2 2 62 2 / 3

3profundidad y R R R



EJERCICIOS 5.7 1. Determine las dimensiones del cono de volumen máximo que puede inscribirse en una

esfera de radio . 2. Se desea construir un depósito en forma de cilindro circular recto, cerrado en ambos

extremos, de tal forma que su volumen sea una constante . Calcule las dimensiones del

cilindro que demande la mínima cantidad de material. 3. La base de un rectángulo está sobre el eje de abscisas y los vértices del lado opuesto están

ubicados sobre la parábola . Determine las dimensiones del rectángulo de área

máxima. 4. Se dispone de 1200 metros de cable para cercar un terreno rectangular en el que uno de los linderos es la orilla de un río recto. Determine las dimensiones del terreno de tal manera que encierre la máxima área. 5. Se desea cercar un terreno rectangular de 320 metros cuadrados de área de tal manera que se requiere una cerca intermedia que divida el terreno en dos partes iguales. Sí el costo unitario de la cerca intermedia es la mitad del costo unitario de la cerca perimetral, determine las dimensiones del terreno de tal manera que el costo total del cercado sea mínimo.

6. A 16 kilómetros mar adentro del punto más cercano a la playa , se conecta un equipo de perforación con el objeto de transportar el crudo a una refinería ubicada a 40 kilómetros del

punto . La tubería submarina tiene un costo unitario de 1000 dólares, mientras que el costo unitario de la tubería terrestre es de 600 dólares. Determine el punto sobre la playa en el que arranca la tubería terrestre de tal manera que el costo total de tubería sea mínimo. Como ayuda, se suministra la figura 5.51.

Figura 5.51

7. Se desea construir una pista de atletismo de 400 metros de longitud. La pista debe tener la forma de la figura 5.52. Determine las dimensiones de la pista de tal manera que encierre la máxima área.

Figura 5.52

8. Un triángulo rectángulo de de hipotenusa gira alrededor de uno de sus catetos. Determine las dimensiones del cono de mayor volumen que se puede generar.

R

V

29y x

A

A

L



9. Un cilindro circular recto de radio en la base y altura está coronado por un domo

semiesférico para formar un contenedor. Sí el área del contenedor es una constante , determine las dimensiones del contenedor de volumen máximo. 10. Se tiene una ventana rectangular en la parte inferior y coronada por una semicircunferencia. El perímetro de la ventana debe ser de 6 metros. Determine las dimensiones de la ventana de área máxima. 11. Dos pasillos, uno de tres metros de ancho y otro de dos metros de ancho confluyen en una esquina formando un ángulo recto. Determine la longitud máxima de una varilla rígida que ha de transportarse de un pasillo al otro.

12. Determine un punto sobre la gráfica de la función cuya distancia al punto

sea mínima.

13. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto entre su anchura y el cubo de su profundidad. Determine las dimensiones de la viga más rígida que se puede obtener de

un tronco circular recto de radio en la base .

14. En una pared hay un cuadro de altura cuya parte inferior está un metro directamente por

encima del ojo de un observador. Determine la distancia a la que se debe ubicar el observador de tal manera que el ángulo de la visual sea máximo. 15. Una pileta tiene la forma de la figura 5.53.

Figura 5.53

Determine el lado mayor del trapecio isósceles de tal manera que la pileta pueda contener el

máximo volumen.

5.8. Formas indeterminadas y regla de L’Hôpital. Consideremos una función racional de la forma:

Cuando al calcular el límite de la función cuando , puede presentarse una de las

siguientes formas indeterminadas:

/

)(

)(lim0/0

)(

)(lim

xq

xp

xq

xp

axax

Estudiaremos una manera de eliminar la forma indeterminada usando la derivación. Consideremos el siguiente límite:

x y

A

2 2 8y x x

5,0

R

h

x

( )( )

( )

p xf x

q x

x a



0/0)(

)(lim

xq

xp

ax

La única forma de que una función cualquiera evaluada en el número sea cero es que

sea un factor de dicha función. Así las cosas, la función se puede escribir en la forma:

En la expresión anterior, es el cociente de dividir por y es el

cociente de dividir por .

Puesto que , el límite quedará como:

)(

)(

)(

)(lim

)(

)(lim

aq

ap

xq

xp

xq

xp

c

c

c

c

axax

La expresión anterior es válida en la medida en que y estén definidas en .

Hemos establecido que , de manera que si tomamos la primera derivada,

se tiene:

De manera similar, se tiene que:

De lo anterior se sigue que, sí y están definidas en , entonces:

)('

)('

)('

)('lim

)(

)(lim

aq

ap

xq

xp

xq

xp

axax

Sí después de aplicar el procedimiento anterior persiste la forma indeterminada, es decir, sí

y , se procede a derivar de nuevo, y así sucesivamente. La regla

presentada recibe el nombre de regla de L’Hôpital. La regla es aplicable a formas indeterminadas del tipo:

/

)(

)(lim

xq

xp

ax

Ejemplo 5.46 Usando la regla de L’Hôpital, calcule los siguientes límites:

a)

1

1lim

5

6

1 x

x

x

b)

1

1lim

1 n

m

x x

x

c)

x

x

x e

e

1

1lim

0

a x a

( )f x

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

c

c

x a p xp xf x

q x x a q x

( )cp x ( )p x ( )x a ( )cq x

( )q x ( )x a

x a

( )cp x ( )cq x x a

( ) ( ) ( )cp x x a p x

'( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( )c c cp x x a p x p x p a p a

'( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( )c c cq x x a q x q x q a q a

'( )p x '( )q x x a

'( ) 0p a '( ) 0q a



d)

h

eh

h

1lim

0

e)

xx e

x 2

lim

f)

30

)tan(lim

x

xx

x

g)

)cos(1

)tan(lim

0 x

x

x

h)

x

x

x

)ln(lim

i)

92

562lim

3

23

xx

xx

x

j)

)cos(1

1lim

0 x

e x

x

Solución. a)

5/65

6lim

1

1lim

4

5

15

6

1

x

x

x

x

xx

b)

nmnx

mx

x

xn

m

xn

m

x/lim

1

1lim

1

1

11

c)

1lim1

1lim

00

x

x

xx

x

x e

e

e

e

d)

11

lim1

lim00

h

h

h

h

e

h

e

e)

02

lim2

limlim2

xxxxxx ee

x

e

x

f)

3/13

)(sec)tan()(sec2)tan(lim

3

)(sec)tan(lim

6

)(sec)tan(2lim

3

)(tanlim

3

1)(seclim

)tan(lim

42

0

2

0

2

0

2

2

02

2

030

xxxx

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

xx

x

xx

xxx

Una alternativa para calcular eñ límite es la siguiente:



3/1)(

)(cos3

1lim

)(cos3

)(lim

3

)(tanlim

)tan(lim

2

20

22

2

02

2

030

x

xsen

x

xx

xsen

x

x

x

xx

x

xxx

g)

)(

)(seclim

)cos(1

)tan(lim

2

00 xsen

x

x

x

xx

h)

01

/1lim

)ln(lim

x

x

x

xx

i)

26

12lim

6

1212lim

23

126lim

92

562lim

2

2

3

23

xxxx x

x

x

xx

xx

xx

j)

)(lim

)cos(1

1lim

00 xsen

e

x

e x

x

x

x

5.8.1. Formas indeterminadas del tipo: Supongamos que se desea calcular el límite de la diferencia de dos funciones y que cada una de ellas tienda a infinito, es decir:

)()(lim xgxfax

Una manera de convertir la forma indeterminada encontrada en la conocida , consiste en

rescribir la diferencia de la siguiente manera:

Existen, sin embargo, otras maneras de efectuar la conversión.

Ejemplo 5.47 Calcule el siguiente límite:

xxx

/1)csc(lim0

Puesto que ambas funciones tienden a infinito, la aplicamos el artificio previamente descrito, así:

0 / 0

1 1

( ) ( )( ) ( )

1

( ) ( )

g x f xf x g x

f x g x



02/0)()cos(2

)(lim

)cos()()cos(

)(lim

)()cos(

)cos(1lim

)(

)(lim

0/0)(

)(lim

1

)(

1lim

0

000

00

xxsenx

xsen

xxxsenx

xsen

xsenxx

x

xxsen

xsenx

xxsen

xsenx

xxsen

x

xxx

xx

5.8.2. Formas indeterminadas del tipo

Supongamos que se desea calcular el límite del producto de dos funciones y que resulta la forma indeterminada bajo estudio, es decir:

0)()(lim xgxfax

Una manera de convertir la forma indeterminada encontrada en la conocida , consiste en

invertir . Igualmente, si se invierte resulta la forma indeterminada .


a) )/1ln(lim0

xxx

b) x

xex

2lim

c) )tan(2/lim2/

xxx

Solución. a)

0limlim)/1ln(

lim)/1ln(lim0

2

1

01

00

x

x

x

x

xxx

xxxx

b)

02

lim2

limlimlim2

2

xxxxxx

x

x ee

x

e

xex

c)

1

)(

)()cos(2/lim

)cos(

)(2/lim

2/2/

xsen

xsenxx

x

xsenx

xx

5.8.3. Formas indeterminadas de los tipos:

Supongamos que se desea calcular el límite siguiente:

)()(lim xg

axxf

Si el resultado es una cualquiera de las formas indeterminadas bajo estudio, se procede de la siguiente manera:

0

0 / 0

( )g x ( )f x /

0 00 , ,1



))(ln()(lim

))(ln()(

)(

)(lim

)(

))(ln()()(ln)()(

xfxg

ax

xfxg

xg

axexh

exh

xfxgxhxfxh


a) x

xx

/1

01lim

b)

)(

0lim xsen

xx

c) )cos(

2/)tan(lim x

xx

Solución. a)

eex

x

x

xxh

xx

xhxxh

x

x

xxx

x

/11lim

11

1

1

lim1ln

lim)(lnlim

1ln1

)(ln1)(

1/1

0

000

/1

b)

1lim

01

0

)cos()(

)cos()(2lim

)cos(

)(lim

)cot()csc(

/1lim

)csc(

lnlimln)(lim)(lnlim

)ln()()(ln)(

0)(

0

0

2

0

0000

)(

ex

xxxsen

xxsen

xx

xsen

xx

x

x

xxxsenxh

xxsenxhxxh

xsen

x

xx

xxxx

xsen

c)

1)tan(lim

01

0

)(

)cos(lim

)tan()sec(

)tan(

)(sec

lim

)sec(

)tan(lnlim)tan(ln)cos(lim)(lnlim

)tan(ln)cos()(ln)tan()(

0)cos(

2/

22/

2

2/

2/2/2/

)cos(

ex

xsen

x

xx

x

x

x

xxxxh

xxxhxxh

x

x

xx

xxx

x

EJERCICIOS 5.8




1.

xx

xx

x 5

26

1lim

2.

4

2lim

2

2

2 x

xx

x

3.

x

x

x e

e20 1

1lim

4.

x

e x

x 1

1lim

1

1

5.

xx e

x2

3

1lim

6.

)cos()(

4lim

4/ xxsen

x

x

7.

)2cos(1

1)(lim

2/ x

xsen

x

8.

xx e

x)/11ln(lim

9.

xx ex

xx 562lim

23

10.

)2cos(1

)(lim

x

xsen

x

11.

xx ex

11lim

0

12. )ln()1ln(lim xxx

13. )ln(25lnlim 2 xxx

14. )ln(lim0

xxx

15. )tan()sec(lim2/

xxx

16. )/1(lim xxsenx

17. )()ln(lim0

xsenxx

18.

x

x

x 2

)cos(lim

2/

19. )ln(lim0

xxx

20. x

xxex /1lim

21. x

xx

/2

021lim



22. )csc(

0lim x

xx

23. )cos(

2/)tan(lim x

xx

24. xx

xe

/11lim

25.

)(lim

0 xarcsen

x

x

26.

x

xx

x

1lnlim

27.

xx e

x

1lnlim

28.

x

x x

x 1lim

29. )tan(

2/)(lim

x

xxsen

30. xx

xex

/1

0lim

5.9. Diferenciales y aproximaciones lineales.

La notación , conocida como notación de Leibniz, se ha usado hasta el momento para

representar la primera derivada de una función. En la presente sección estudiaremos las

interpretaciones geométricas de las cantidades y por separado.

Refiriéndonos a la figura 5.54, en el punto de la gráfica de una función se traza la

recta tangente a la curva. La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

viene dada, aproximadamente, por:

Dónde:

: es el incremento de la variable independiente

: es el incremento de la variable dependiente

Puede verse que hay una diferencia entre y , la cual se pone de presente

en la gráfica. Se puede, sin embargo, hacer la siguiente aproximación:

dy

dx

dx dy

( , )P x y

0 0,x y

0'y

m f xx

x

y

0y y 0( )f x x

0 0( )f x x y y



Figura 5.54

De la expresión para la pendiente de la recta tangente se sigue que:

Combinando las dos expresiones, resulta:

Usualmente se utiliza el símbolo , con lo que:

En general, para cualquier punto de una función, se puede hacer la siguiente

aproximación:

La expresión encontrada se conoce como aproximación lineal de la función en un entorno de

. Dicha aproximación es adecuada sí la función es derivable en y sí está muy

cercano a . El significado del resultado anterior es que cualquier función que posea la

primera derivada continua en se puede aproximar mediante su recta tangente en las

inmediaciones de .

Ejemplo 5.50

Considere la función exponencial:

a) Encuentre la aproximación lineal de la función en

b) Con base en el resultado anterior, encuentre un valor aproximado para

a) Aplicando la fórmula, resulta:

b) Evaluando en el punto, se tiene . Con una calculadora, usando una

aproximación de tres dígitos, el valor de la función es:

Ejemplo 5.51

0'y f x x

0 0 0( ) 'f x x y f x x

x h

0 0 0'f x h f x hf x

, ( )x f x

0 0 0'f x f x f x x x

0x x 0x x x

0x

0x

0x

( ) xf x e

0 0x 0.2e

( ) '( )x xf x e f x e

0 ' 0 0 1 1xf x f f x f x x e x

0.2 1.2f

0.2 1.221e



Considere la función seno:




b) Evaluando en el punto, se tiene . Con una

calculadora, usando una aproximación de tres dígitos, el valor de la función es:

Ejemplo 5.52





b) Evaluando en el punto, se tiene . Con una calculadora,

usando una aproximación de tres dígitos, el valor de la función es:

Ejemplo 5.53





b) Evaluando en el punto, se tiene . Con una calculadora,

usando una aproximación de tres dígitos, el valor de la función es:

5.9.1. Incremento de una función.

( ) ( )f x sen x

0 0x

( /10)sen

( ) ( ) '( ) cos( )f x sen x f x x

0 ' 0 0 0 ( )f x f f x f x x sen x x

/10 /10 /10 0.314f sen

/10 0.309sen

( )f x x

0 25x

26

1( ) '( )

2f x x f x

x

25 ' 25 25 2.5 0.1f x f f x x x

26 2.5 0.1 26 26 5.1f

26 5.099

( ) arctan( )f x x

0 0x

arctan(0.5)

2

1( ) arctan( ) '( )

1f x x f x

x

0 ' 0 0 0 arctan( )f x f f x f x x x x

0.5 0.5 arctan(0.5) 0.5f

arctan(0.5) 0.464



Consideremos la función , definimos el incremento de dicha función, cuando se

incrementa la variable independiente en una cantidad , así:

De hecho, el incremento puede ser negativo o positivo.

Ejemplo 5.54

Se mide el radio de una circunferencia y se obtiene como resultado . Si se comete

un error de , determine el error en la medida del área de la circunferencia.

Solución.

Se sabe que el área es una función cuadrática del radio, así:

Los datos del problema son: y . Los signos significan que el error

puede ser por exceso o por defecto es decir, que la medida del radio está en el intervalo:

Aplicando la fórmula, resulta:

Dado que el área de la circunferencia es , el resultado se puede

interpretar en el sentido en que la medida del área de la circunferencia está en el intervalo:

Una medida de la magnitud de un error es la del error relativo, definido como:

Sí en la medida de una variable se comete un error absoluto , el error relativo se define

como:

Para nuestro ejemplo, los errores relativos en las medidas del radio y el área, son:

Para el radio:

Para el área:

5.9.2. Raíces de una ecuación por el método de Newton.

Consideremos la función continua en el intervalo . Sí la primera derivada

de la función es continua en el intervalo , admitirá una aproximación lineal en el

intervalo, es decir, para cualquier punto se verifica que:

Adicionalmente, sí y tienen signos diferentes, de acuerdo con el valor intermedio,

la ecuación tendrá una raíz real en el intervalo abierto. La figura 5.55 ilustra la

situación descrita.

( )y f x y

x

'( )y f x x

1.25r cm

0.1cm

2A r

1.25r cm 0.1r cm

1.24 1.26r

2'( ) 2 2 1.25 0.1 0.785A A r r r r A cm

2 21.25 4.909A cm

4.124 5.694A

v v

100%r

vv

v

0.1100% 100% 8%

1.25r

rr

r

2

2100% 100% 2 16%r

A r r rA

A r r

( )y f x a x b

a x b

0 ,x a b

0 0 0'f x f x f x x x

( )f a ( )f b

( ) 0f x



Figura 5.55 La figura muestra la gráfica de la función y la gráfica de la recta tangente a la curva en el

número . Puede verse que la recta tangente corta al eje de abscisas en valor que

está muy cercano a la raíz de la ecuación:

El valor se calcula de manera precisa, así:

Supongamos ahora que en el punto se efectúa una nueva aproximación lineal, es decir,

se traza la recta tangente a la curva en el punto . La nueva aproximación es:

La nueva recta cortará al eje de abscisas en un punto el cual estará mucho más cerca

de la raíz .

El valor se calcula de manera precisa, así:

Se puede proceder de manera iterativa para calcular una raíz aproximada de la ecuación

a partir de una semilla y con la fórmula de recurrencia:

Se genera así una sucesión de la forma , la cual debe converger a la raíz de

la ecuación, es decir: Enn

xx

lim

Ejemplo 5.55

Considere la ecuación:

a) Muestre que la ecuación tiene una raíz real en el intervalo

b) A partir de la semilla , elabore una tabla con

Solución.

a) Evaluando la función en los extremos del intervalo, se tiene: y

Con base en el teorema del valor intermedio, la ecuación tiene una raíz real en el intervalo.

0x x 1x x

Ex x

1x

0 0

0 0 0 0 1 0

0 0

' 0' '

f x f xf x f x x x x x x x

f x f x

1x x

1 1, ( )x f x

1 1 1'f x f x f x x x

2x x

Ex x

1x

1 1

1 1 1 1 2 1

1 1

' 0' '

f x f xf x f x x x x x x x

f x f x

( ) 0f x 0x

1 , 0,1,2,...

'

k

k k

k

f xx x k

f x

0 1 2, , ,...., nx x x x

3 3 0x x

1 2x

0 1.5x 1 2 3, ,x x x

(1) 3f (2) 3f



b) Para generar la sucesión se parte de la función, así:

La fórmula de recurrencia en este caso queda como:

A partir de , se obtiene:

Puede afirmarse que es un valor aproximado de la raíz.

Ejemplo 5.56 Usando el método de Newton encuentre una expresión para calcular la raíz cuadrada de cualquier número positivo. Solución. Para generar la sucesión se procede de la siguiente manera:

Para calcular, por ejemplo, la raíz cuadrada de 26, se parte de la semilla y se genera la

sucesión , obteniéndose

Ejemplo 5.57


a) Muestre que la ecuación tiene una raíz en el intervalo:

3 2( ) 3 '( ) 3 1f x x x f x x

3 3 3 3

1 2 2 2

3 3 3 2 3

3 1 3 1 3 1

k k k k k k kk k

k k k

x x x x x x xx x

x x x

0 1.5x

33

01 22

0

2 1.5 32 31.696

3 1 3 1.5 1

xx

x

33

12 22

1

2 1.696 32 31.672

3 1 3 1.696 1

xx

x

33

23 22

2

2 1.672 32 31.672

3 1 3 1.672 1

xx

x

1.672x

22

1

2 2 2

1

( ) '( ) 22

2

2 2

kk k

k

k k kk

k k

x Nf x x N f x x x x

x

x x N x Nx

x x

0 5x

2

1

26

2

kk

k

xx

x

2 2

01

0

22

12

1

22

23

2

26 5 265.1

2 2 5

5.1 26265.099

2 2 5.1

5.099 26265.099

2 2 5.099

xx

x

xx

x

xx

x

cos(2 ) 0x x

0 / 4x



b) A partir de la semilla encuentre

Solución.


Con base en el teorema del valor intermedio, la ecuación tiene una raíz real en el intervalo. b) Para generar la sucesión se parte de la función, así:




Ejemplo 5.58


a) Muestre que la ecuación tiene una raíz en el intervalo:

b) A partir de la semilla encuentre

Solución.


Con base en el teorema del valor intermedio, la ecuación tiene una raíz real en el intervalo. b) Para generar la sucesión se parte de la función, así:




0 0.5x 1 2,x x

(0) 1f ( / 4) / 4f

( ) cos(2 ) '( ) 1 2 (2 )f x x x f x sen x

1 2

cos 2 2 2 cos 2 2 2 cos 2

1 2 2 1 2 2 3 1

k k k k k k k k k k

k k

k k k

x x x x sen x x x x sen x xx x

sen x sen x x

0 0.5x

0 0 0

1 22

0

2 2 cos 2 2 0.5 1 cos 10.515

3 1 3 0.5 1

x sen x x senx

x

1 1 1

2 22

1

2 2 cos 2 2 0.515 2 0.515 cos 2 0.5150.515

3 1 3 0.515 1

x sen x x senx

x

0.515x

2 0xx e

0 1x

0 0.5x 1 2,x x

(0) 1f (1) 1.632f

( ) 2 '( ) 2x xf x x e f x e

1

2 2 2

2 2 2

k k k k k

k k k

x x x x x

k k k k kk k x x x

x e x x e x e x e ex x

e e e

0 0.5x

0 0

0

0.5 0.5

01 0.5

0.50.349

2 2

x x

x

e ex e ex

e e

1 1

1

0.349 0.349

12 0.349

0.3490.352

2 2

x x

x

e ex e ex

e e

0.342x



EJERCICIOS 5.9

Para los ejercicios 1-8



1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. Se mide el radio de una esfera y se obtiene como resultado . Si se comete un error

de , determine el error relativo en la medida del área de la superficie de la esfera y el

error relativo en la medida del volumen de la esfera. 10. Se tiene un cilindro circular recto herméticamente cerrado cuya altura es igual al radio de la

base. Se mide el radio y se obtiene como resultado . Si se comete un error de

, determine el error relativo en la medida del área de la superficie del cilindro y el error

relativo en la medida del volumen.

11. Considere la ecuación:












15. Usando el método de Newton encuentre una expresión para calcular la raíz cúbica de cualquier número positivo y encuentre la raíz cúbica de 36.

0x

0( 0.5)f x

0( ) , 1xf x e x ( )

0( ) , 0sen xf x e x

0( ) cos , 0f x x x

0( ) ln 1 , 0f x x x

0( ) arctan 1 , 0f x x x

0( ) ( 1) , 0f x arcsen x x

0( ) ln(2 1) , 0f x sen x x

arctan( )

0( ) , 0xf x e x

5r cm

0.1cm

5r cm

0.1cm

3 2 1 0x x

1 0x

0 0.5x 1 2 3, ,x x x

2 cos( ) 3 0x x

1 2x

0 1.5x 1 2 3, ,x x x

arctan( ) 1 0x x

2 3x

0 2.5x 1 2 3, ,x x x

/ 2 1 0xxe

1 0x

0 0.5x 1 2 3, ,x x x



SOLUCIONARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL

EJERCICIOS 1.4 Determine el conjunto solución para cada una de las siguientes inecuaciones:

1)

0)1( xx R/ ,01,

2) 0)1)(2( xx R/ 1,2

3) 0822

x

xx

R/ ,40,2

4) 03

x

x R/ ,30,

5) 02

12

x

x R/ ,22/1,

6) 01

2

xx

R/ ,20,1

7) 03

42

2

x

x

R/ 2,2

8) 01

12

2

x

x

R/ 1,1

9) 01

82

3

x

x

R/ 1,12,

10) 03

42

2

x

x R/ ,23,32,

11) 432 x R/ 2/1,2/7

12) 12

x

x

R/ ,00,1

13) 342

x

x R/ ,41,00,14,

14) 42 xx R/ 3,

15) 322 xx

R/ ,31,

EJERCICIOS 1.6 Repita el ejemplo 1.5 para los siguientes casos:



1) )2,2()2,2()3,2( CBA

a) Determine el perímetro del triángulo. R/ 419

b) Determine el área del triángulo R/ 10

c) Calcule el punto medio del segmento AC R/ 2/1;0 mm yx

d) Encuentre la ecuación de la mediana subtendida al vértice B R/ 2

1

4

5 xy

e) Encuentre la ecuación de la mediatriz del lado AC R/ 2

1

5

4 xy

2) )0,2()2,2()2,2( CBA

a) Determine el perímetro del triángulo. R/ 544

b) Determine el área del triángulo R/ 8

c) Calcule el punto medio del segmento AC R/ 1;0 mm yx

d) Encuentre la ecuación de la mediana subtendida al vértice B R/ 12

3 xy

e) Encuentre la ecuación de la mediatriz del lado AC R/ 12 xy

Repita el ejemplo 1.6 para los siguientes casos:

3) )2,3()2,1()3,2( CBA

a) Represente gráficamente los puntos y dibuje el triángulo que se forma

b) Calcule una cualquiera de las tres alturas y determine el área del triángulo R/ 5

4) )0,2()1,0()2,2( CBA

a) Represente gráficamente los puntos y dibuje el triángulo que se forma

b) Calcule una cualquiera de las tres alturas y determine el área del triángulo R/ 4 5) Considere el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos:

)0,3()2,2()2,2()1,4( DCBA

a) Represente gráficamente

b) Calcule el área del cuadrilátero R/ 14

EJERCICIOS 2.1

1) Una caja sin tapa en forma de paralelepípedo tiene una longitud x de ancho y x2 de largo.

Si el volumen de la caja es 3200cm , determine el área lateral en función de x .

R/ xx /6002 2



2) Una ventana presenta la forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero de

lado x . Si el perímetro de la ventana es m4 , determine el área en función de x .

R/ xx 24

63 2

Figura 2.18 Figura 2.19 3) Para la figura 2.18, escriba el ángulo en función de x

R/

8

2tan

2

1

x

x

4) Para la figura 2.19, escriba el área de la figura sombreada en función de

R/ )cos(1)(2 sen

5) Se tiene un triángulo isósceles en el que la medida de los lados iguales es x . Determine el

área en función de x sabiendo que el perímetro del triángulo es cm20 .

R/ 55102 xx

6) Un grabado rectangular tiene un área de 600 2cm . Se desea enmarcarlo de tal forma que

tenga márgenes iguales a 5 cm . Determine el área total del cuadro en función de una de las

dimensiones del grabado.

R/

x

xx 601010

7) Un depósito cónico con el vértice hacia abajo tiene un radio en la base cm30 y una altura

cm90 . El tanque, inicialmente lleno de agua, empieza a vaciarse por un orificio practicado en

el vértice. En cierto momento la altura del líquido por encima del orificio es y . Determine el

volumen del líquido en función de la altura.

R/ 27

3y

8) Se tiene un depósito cilíndrico sin tapa con radio en la base x . Determine el área total en

función de x sabiendo que el volumen del cilindro es 3400 cm .

R/

x

x 8003

9) Para la figura 2.18, determine el área del triángulo ABC en función de x

R/ x

10) Un almacén vende diariamente cierto artículo. El precio de venta por artículo es de $100 cuando se venden entre cero y 50 unidades. Para ventas superiores a las 50 unidades el precio



unitario es de $80 por artículo adicional. Determine la venta total en función del número de artículos y represente gráficamente.

R/

5010080

500100

xsix

xsix

11) Se desea cercar un terreno rectangular de 600 metros cuadrados de área, con una división como la ilustrada en la figura 2.17. El costo por metro del cercado exterior es 20 mil pesos, mientras que el costo por metro de la división es de 10 mil pesos. Determine el costo total, en miles de pesos, del cercado total en función de x .

R/ x

x 2400050 2

12) Un equipo de fútbol juega en un estadio con capacidad para 20.000 espectadores en las tribunas populares. La asistencia promedio es de 14.000 cuando la boleta tiene un costo de $10.000. Un estudio de mercadeo indica que por cada $1.000 que se rebaje a la boleta la asistencia se incrementa en 2000 personas. Determine el recaudo en términos del precio de la boleta.

R/ xxxR 170002)(

EJERCICIOS 2.2 Para cada una de las siguientes funciones: a) Determine el dominio b) Represente gráficamente y determine el rango.

1) 82)( 2 xxxf

,fD

,9fR

2) 44)( 2 xxxf

,fD

,0fR

3) 22)( 2 xxxf

,fD

,1fR

4) 1)( 23 xxxxf

,fD

,fR

5)1

1)(

2

x

xxf

,11,fD

,fR

6)4

32)(

2

2

x

xxxf

,22,22,fD



,fR

7) 1)( 2 xxf

,11,fD

,0fR

8)3 2)( xxf

,fD

,0fR

9) 2)( 2 xxxf

,21,fD

,0fR

10) 22)( xxxf

2,1fD

,0fR

EJERCICIOS 2.3

1) Considere la función: 12

2)(

xxf

a) Determine el dominio de la función. ,fD

b) Con base en la gráfica indique el rango. 2,0fR

2) Considere la función: 1)( xexf

a) Determine el dominio de la función. ,fD

b) Con base en la gráfica indique el rango. ,1fR

3) Determine el dominio de la función

1

2ln1)(

x

xxf ,21,fD

4) Represente gráficamente las siguientes funciones en el intervalo indicado.

a) ,00,;)cot()( xxf



b) ,00,;)csc()( xxf

c) 2/3,2/2/,2/;)sec()( xxf

EJERCICIOS 2.4 Represente gráficamente las siguientes funciones y escriba el rango de cada una:

1)

10

121

20

)(

xsi

xsix

xsi

xf

2,0fR



2)

22

221

20

)(

xsi

xsix

xsi

xf

3,1fR

3)

23

222

20

)( 2

xsi

xsix

xsi

xf

32,2 fR



4)

30

312

12

22

)(

xsi

xsix

xsix

xsi

xf

21,2 fR

5) 2

20

2)cos(

20

)(

xsi

xsix

xsi

xf

1,1fR

6)

10

112

11

)(

xsi

xsi

xsi

xf x

012,2/1 fR




20;2)( xxxxf

Represente gráficamente las siguientes funciones:

a) )(xf

b) )( xf

c) 2)2( xf

d) 3)2/( xf

e)

1)2(2 xf

f) )12/( xf

g) 1)12/(2 xf

h) 2)2/(3 xf


20;4)( 2 xxxf




11;)( xxxxf


11;2)( xxf x




10;)()( xxsenxf


x

xxg

xxf

1)(

1)( 2


a) ))(( xgf

b) ))(/( xgf

c) ))(/( xfg

Solución.

a) 1,00,11

1))(( 2

gfDx

xxxgf



b) 1,00,1)1(

1

/)1(

1))(/( /

22

gfD

x

xx

xx

xxgf

c) 1,00,11

)1(

1

/)1())(/( /

22

fgD

xx

x

x

xxxfg


2)(

)( 2

xxg

xxxf


a) ))(( xgf

b) ))(( xfg

Solución.

a) ,23,65))(( 2

gfDxxxgf

b) ,01,2))(( 2

fgDxxxfg


xxg

xxf

4)(

9)( 2


a) ))(( xgf

b) ))(( xfg

Solución.

a) 5,5))(( gfDxxgf

b) 5,33,594))(( 2 fgDxxfg


xxg

xsix

xsixxf

)(

21

232)(


a) ))(( xgf

b) ))(( xfg

Solución.

a)

,0

21

2032))(( gfD

xsix

xsixxgf



b)

,2/3

21

22/332))(( fgD

xsix

xsixxfg


xxg

xxf

2)(

)(

a) Determine ))(( xgf y su dominio

b) Determine y su dominio

Solución.

a) ,22))(( 2/

gf

xx Dxgf

b) ,02))(( fg

x Dxfg

6) Repita el numeral anterior para las siguientes funciones:

)tan()(

)(

xxg

xxf

Solución.

a) ZnnnDxxgf gf ;2/2,2)tan())((

b)

2

2

2

12/tan))((

nxRxDxxfg fg

EJERCICIOS 2.9 1) Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

12 2 tyttx


b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva Solución. a) Se elabora la tabla de valores, así:

t 0 1 2 3 4 x 0 1 0 -3 -8 y -1 0 1 2 3

La figura resultante se ilustra a continuación.

))(( xfg



b) 04322 yxx


ttytx 232 2



t 0 1 2 3 4 x -3 -1 1 3 5 y 0 -1 0 3 8


b) 012 yx


)(3)cos(2 tsenytx





Solución. a) Se elabora la tabla de valores, así:

t 0 4/ 2/ 4/3

x 2 2 0 2 -2

y 0 2/23 3 2/23 0


b) 03649 22 yx


)(2;)cos(2 2 tsenytx



t 0 4/ 2/ 4/3

x 2 2 0 2 -2

y 0 1 2 1 0 La figura resultante se ilustra a continuación.



b) 0422 yx


ttytx



t 0 1 2 3 4 x 0 1 2 3 4 y 0 1 22 33 8


b) 0 xxy

EJERCICIOS 2.10 Determine la fórmula para la inversa para cada una de las siguientes funciones en el dominio dado.

1) 0;1)( xxxf 1;)1()( 21 xxxf

2) 1;1)( 2 xxxf

0;1)(1 xxxf

3) Rxxxf ;1)( 3

Rxxxf ;1)( 31

4) 0;1

)(

xx

xxf

1;1

1)(1

x

xxf

5) 0;1

)(

xx

xxf 10;

1)(

2

1

x

x

xxf

6) 0;1

1)(

2

x

xxf

10;1

)(2

1

xx

xxf



7) 0;1

)(2

xx

xxf 10;

1)(

2

1

xx

xxf

8) Rxxxxf ;1)( 2

0;

2

1)(

21

x

x

xxf

9)

1

2

1

112

)(xsi

x

xsix

xf

112

12

1

)(

xsix

xsix

xf

10)

1

12

11

)(

2

xsix

x

xsix

xf

20

2

1

01

)(xsi

x

xsix

xf

EJERCICIOS 2.11 1) Resuelva para x las siguientes ecuaciones:

a) 42 42

x 6x

b) 72932

xx

23 xx

c) 442

x 1x

d) 27392

xx

13 xx

e) 1255

253

2

x

x

22/3 xx

f) 2/3)(log 2 x

22x

g) 2)4(log3 x 3/2x

h) 1)12(log3 x

1x

i) )2log()1log()log( xx

1x

j) 100/20040 xe )5ln(100x



12)( xx eexg

11

ln)(

x

xxh

xx eexu 2ln)(

a) Determine el dominio de cada función b) Determine las intersecciones con el eje de abscisas Solución.


a) ,2fD

b) 31x

12)( xx eexg



a) ,fD

b) )2ln(x

11

ln)(

x

xxh

a) ,01,fD

b) 1

1

ex

xx eexu 2ln)(

a) ,2/)2ln(fD

b) )2ln(x

3) Determine la inversa para cada una de las siguientes funciones

1;1log2)( 2

3 xxxf

Rxxf x ;31)( 2/1

Rxexg x ;32)( 1

3;

2

3ln1)(1

x

xxg

0;41

10)(

2

x

exh

x 100;

10

4ln

2

1)(1

x

x

xxh

4) En una misma figura represente gráficamente las parejas de funciones:

a) 2;)/1()(;)( bbxgbxf xx

b) 2;)(log)(;)(log)( /1 bxxgxxf bb

PROBLEMAS 2.11 1) El tiempo de vida media del Radio es de 1700 años. Dada una muestra de dicho elemento, determine el porcentaje de la misma después de 100 años. R/ 66.52% 2) Un isótopo radioactivo tiene un tiempo de vida media de 25 minutos. Si se tiene una muestra de 100 miligramos, determine: a) La cantidad que se ha desintegrado al cabo de una hora.



b) El tiempo requerido para que la muestra se reduzca en un 30%. R/ a) 81 gramos b) 12.86 minutos 3) La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente a la cantidad de habitantes en todo instante. Si en 20 años pasa de 40 mil a 90 mil, determine la población al cabo de 30 años. R/ 134812 4) Un cultivo de bacterias aumenta proporcionalmente a la cantidad presente en todo instante. Si en cuatro horas la cantidad original se incrementa en un 50%, determine el tiempo necesario para que la cantidad original se triplique. R/ 10.83 horas 5) En el año 2000 una ciudad intermedia tenía 300 mil habitantes, mientras que en el 2005 la cantidad de habitantes era de 350 mil. Algunos estudios muestran que la la cantidad de habitantes no superará el tope de los 800 mil habitantes. Determine la población proyectada para el 2020. R/ 503000 6) Se desea calentar un cuerpo en un horno precalentado a 300 °C. Si al momento de introducirlo tiene una temperatura de 30 °C y la constante de tiempo es de 20 minutos, determine el tiempo necesario para que el cuerpo alcance los 290 °C. R/ 65.9 minutos


xsenxf 22)(

12/)( xarcsenxg

xxh cos2)(

2)2/tan()( xxu

a) Determine el intervalo principal de inversión. b) Calcule la inversa. c) Represente gráficamente las funciones junto con sus inversas.

xsenxf 22)(

a) 4/3,4/ I

b) )2/(2

1)(1 xarcsenxf

c)



12/)( xarcsenxg

a) 4,0I

b) )(12)(1 xsenxg

c)

xxh cos2)(

a) 2,1I

b) )2/arccos(1

1)(1 xxh

c)



2)2/tan()( xxu

a) ,0I

b) )2arctan(2/)(1 xxu

c)


)cos()( xarcsenxf

2/1)( xarcsenxg

)arccos(2cos)( xxh

))(tan()( xarcsenxu

a) Muestre que )(xf se puede escribir en la forma xxf 2/)(

2/)2/()2/()cos(

)()2/cos()cos()2/()2/(

xxsenarcsenxsenx

xsenxsenxsen

b) Determine las intersecciones de )(xg con el eje de abscisas en el intervalo 4,0

R/ x=2

c) Muestre que )(xu se puede escribir en la forma 21/)( xxxu



21)cos(

)()tan()()(

x

xsenxsenxarcsen

d) Represente gráficamente )(xu

e) Muestre que )(xh se puede escribir en la forma 12)( 2 xxh

121)(cos2)2cos(

)cos()arccos(

22

x

xx

g) Represente gráficamente la función )(xh en el intervalo 1,1

CUESTIONARIO



EJERCICIOS 3.4 De manera intuitiva, determine la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto dado.

1) )1,1(;)( 3 Pxxf R/ 3

2) )2,4(;)( Pxxf R/ 1/4

3) )4,2/1(;)( 2 Pxxf R/ --16

4) )1,3/(;)cos(2)( Pxxf R/ 2/3


a)

1

1lim

3

1 x

x

x

R/ 3

b)

1

1lim

1 x

x

x

R/ -1/2

c)

12

2lim

3

23

1 xx

xx

x R/ 1

d)

2

2

0

24lim

x

x

x

R/ 4/1

e)

4

26lim

2

3

2 x

x

x

R/ 48/1



f)

1

1lim

3

2

1 x

x

x

R/ 6


322 )(;)(;)(;)( xxwxxuxxgxxf

Calcule:

a)

h

xfhxf

h

)()(lim

0

R/ x2

b)

h

xghxg

h

)()(lim

0

R/ 32 x

c)

h

xuhxu

h

)()(lim

0

R/ x2/1

d)

h

xwhxw

h

)()(lim

0

R/ 3/2

3

1 x

EJERCICIOS 3.7

Dadas las funciones: 1)(;)( 2 xxgxxf

Calcule, si existen, los siguientes límites:

a)

1)(

)(lim

1 xf

xg

x

R/ No existe

b) )(2)((lim2

xgxfx

R/ 6

c)

)1(

4)(lim

2 xg

xf

x

R/ 0

d)

1)(

)3()(lim

2

1 xf

xgxf

x

R/ 3/2

EJERCICIOS 3.8 1) Calcule, si existen, los siguientes límites:

a)

1

1lim

3

1 x

x

x

R/ 3

b)

1

1lim

21 x

x

x

R/ 1/2

c)

xx

x

x 0lim

R/ -1

d)

23

1lim

1 x

x

x

R/ No existe

e)

3 22 4

2lim

x

x

x R/ 0



f)

x

x

x 1

1lim

2

1

R/ 0


6451

42

2211

)(

xsix

xsix

xsix

xf

a) Haga una gráfica de la función

b) Calcule los siguientes límites:

i) )(lim2

xfx

R/ -2

ii) )(lim2

xfx

R/ 0

iii) )(lim2

xfx

R/ 2

iv) )(lim4

xfx

R/ 4

v) )(lim4

xfx

R/ 2


111

12)(

2 xsix

xsiaxxf

a) Determine un valor de a de tal manera que 1x sea una discontinuidad removible.

R/ -1

b) Redefina la función de tal manera que sea continua en su dominio.

R/

111

11

112

)(2 xsix

xsi

xsix

xf

2) Repite el ejercicio anterior para la función:

112

1)(

2

2

xsix

xsiaxxxf

a) R/ 1



b)

112

12

1

)(2

2

xsix

xsi

xsixx

xf


3

3121

11

)(

xsiax

xsix

xsi

xf


R/

2)(lim

1)(lim

1

1

xf

xf

x

x

b) Determine el valor de a de tal manera que 3x sea una discontinuidad removible

R/ 2/3


1

10)cos(

01

)(

xsiax

xsix

xsi

xf

a) Muestre que f es continua en 0x

1)0(

1)(lim

1)(lim

0

0

f

xf

xf

x

x

b) Determine el valor de a de tal manera que f sea continua en 1x R/ -1 5) Considere la función:

xx

xxf

2

3 1)(

a) Muestre que 1x es una discontinuidad removible de la función y redefínala.

R/

13

11

)(

2

xsi

xsix

xxxf

b) Muestre que 0x es una discontinuidad esencial de la función.

)(lim

)(lim

0

0

xf

xf

x

x

EJERCICIOS 3.12

1) Considere la ecuación 2

1)(

x

xxf




)(lim

)(lim

2

2

xf

xf

x

x

b) Determine, si es posible, un valor de x tal que la función evaluada en el punto sea tres.

R/ 5/2

2) Considere la función: 432)( 23 xxxxf

a) Elabore una tabla de valores de la función en el intervalo: 33 x

b) Ubique las raíces reales de la ecuación: 0)( xf

2,1raíz

3) Repita el ejercicio anterior para la función: )4/()3()( 23 xxxxf

2,1raíz

4) Repita el mismo procedimiento para la ecuación: 2)cos(2)( 2 xxxxf

0,11 raíz

2,12raíz

5) Repita el mismo procedimiento para la función: )2/332ln()( 2xxxf

1,01raíz

2,12raíz

6) Determine, si es posible, dos valores de la variable independiente tales que la gráfica de la

función corte a la recta:

R/ -1,3

7) Determine si la ecuación 02)cos( xx tiene una solución en el intervalo ,0

R/ no EJERCICIOS 3.13 1) Dada la función:


22y x x 3y

1

4)(

2

2

x

xxf



)(lim

)(lim

1

1

xf

xf

x

x

)(lim

)(lim

1

1

xf

xf

x

x


a) Determine el dominio de la función

2,2fD


)(lim

)(lim

2

2

xf

existenoxf

x

x



1)(lim

1)(lim

xf

xf

x

x


2

9)(

2

x

xxf


3,22,3 fD


existenoxf

existenoxf

x

x

)(lim

)(lim



,22,00,fD


1)(lim

1)(lim

xf

xf

x

x

EJERCICIOS 3.15

2

4)(

2

x

xxf

1

4)(

2

2

x

xxf

2

13)(

2

xx

xxxf



Determine las asíntotas oblicuas para las siguientes funciones:

a)

2 xy

b)

22 xy

EJERCICIOS 3.16. MISCELÁNEA 1) Calcule, si existen los siguientes límites:

a) R/ 75

b) R/ 1/2

c) R/ -7

d) R/ 4/2

e) R/ 3/4

f) R/ 6/1

g) R/ 16

h) R/ 3/1

i) R/ 3

j) R/ 3


Determine R/ 4


127

12

132

)(

xsix

xsi

xsix

xf

4

32)(

2

23

x

xxxxf

21

42)(

2

x

xxf

325lim 2

4

xx

x

34

2lim

21 xx

x

x

3

12lim

2

3 x

xx

x

x

x

x

22lim

0

1

1lim

3

4

1 x

x

x

9

3lim

9 x

x

x

3/4

35lim x

x

1

1lim

3

1 x

x

x

1

31lim

1 x

xx

x

1

31lim

1 x

xx

x

632)( xxf

)(lim2

xfx



Determine los límites siguientes, si existen y represente gráficamente la función en el intervalo

3,1

a) 5)(lim1

xfx

b) 5)(lim1

xfx

c) 5)(lim1

xfx


12

11

11

)( 2

xsix

xsix

xsix

xf

Determine los siguientes límites, si existen y represente gráficamente la función en el intervalo

3,3

a) 0)(lim1

xfx

b) 1)(lim1

xfx

c) existenoxfx

)(lim1

d) 1)(lim1

xfx

e) 1)(lim1

xfx

f) 1)(lim1

xfx

5) Evalúe los siguientes límites:



a) R/

b) R/

c) R/

d) R/

e) R/ existeno

f) R/

g) R/ 12/611

h) R/ 0

i) R/ 2

j) R/

6) Determine las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las gráficas de cada una de las funciones siguientes.

a)

R/ Verticales: 2x

Horizontales: 0y

Oblicuas: No tiene

b)

R/ Verticales: 2x

Horizontales: 1y

Oblicuas: No tiene

c)

R/ Verticales: 2x

Horizontales: 1y

xx 2

1lim

0

2

3lim

2 xx

23

2

0

3lim

xx

x

x

3

9lim

2

3 x

x

x

3

9lim

2

3 x

x

x

xx

xx

x 4

23lim

3

2

0

x

xx

x

61156lim

2

0

52

4lim

2 xx

x

x

x

x

x 4

41lim

2

xxxx

22lim 2

42)(

x

xxf

2

3)(

x

xxf

145

49)(

2

2

xx

xxf



Oblicuas: No tiene

d)

R/

Verticales: 2x

Horizontales: 1y

Oblicuas: No tiene

e)

R/

Verticales: 3x

Horizontales: No tiene

Oblicuas: xy 2

f)

R/ Verticales: No tiene Horizontales: No tiene

Oblicuas: xy

g)

R/ Verticales: No tiene

Horizontales: xsiy 1

Oblicuas: xsixy 2

h)

R/ Verticales: No tiene Horizontales: No tiene

Oblicuas:

xsixy

xsixy

3

EJERCICIOS 3.17 Evalúe los siguientes límites.

1) R/ 0

2) )sec(lim2/

xx

R/

3) )cot(2lim0

xx

R/

4) R/ 3/5

5) R/ 0

2

4)(

2

2

x

xxf

3

2)(

2

2

x

xxf

2)(

2

2

x

xxxf

xxxxf 2)( 2

14)( 2 xxxf

xx

tanlim0

)3(

)5(lim

0 xsen

xsen

x

x

xsen

x 2

)(1lim

2/



6) R/ 2/

7)

x

x

x 3

)3cos(1lim

3/ R/ 0

8)

3/

2/1)cos(lim

3/ x

x

x R/ 2/3

9) R/ )cos(x

10) R/ 2


a) R/ 3

b) R/ 6

c) R/

d) R/1

e) R/ 2/1

f) R/ 2

2) Considere la función: x

exf

x 1)(

a) Complete la tabla de valores:

x -0.1 -0.01 0.01 0.1

)(xf 0.9516 0.9950 1.0050 1.0517

b) Intuitivamente calcule el límite de la función cuando R/1

c) Con base en lo anterior redefina la función y represente gráficamente en el intervalo 2,2

01

01

)(

xsi

xsix

e

xf

x

x

x

x 1

)2/cos(lim

1

h

xsenhxsen

h

)()(lim

0

)(

)tan(lim

0 tsen

tt

t

x

xe

36lim

0

x

xe

36lim

x

xe

36lim

x

x

x e

e

21

2lim

0

x

x

x e

e

21

2lim

x

x

x e

e

21

2lim

0x




42)(log

202

0

)(

2 xsix

xsi

xsix

xf x


R/

R/ 0

R/1

)(lim2

xfx

R/ 4

)(lim2

xfx

R/1

b) Analice la continuidad de la función.

R/ f es discontinua en 2,0 xx

c) Represente gráficamente la función en el intervalo 4,2

4) Considere la función: xxxxf 2ln)(


R/ 0

)(lim xfx

R/

)(lim xfx

)(lim0

xfx

)(lim0

xfx

)(lim1

xfx



R/ )2ln(


a) Muestre que la función tiene una raíz en el intervalo 4,3

R/ 0)4(;0)3( ff

b) Muestre que la recta 3 xy es una asíntota oblicua de la gráfica de la función cuando

R/ 1)(

lim

x

xfm

x 3)(lim

xxfb

x

CUESTIONARIO


112

10/1)(

2 xsix

xsixxf


R/

1)(lim

1)(lim

1

1

xf

xf

x

x


R/ 4)1('

1)1('

f

f

c) Diga si la función es o no es diferenciable en 1x R/ No d) Represente gráficamente la función.

)(lim xfx

( ) 3 xf x x e

x




125

12)(

2 xsixx

xsixxf


R/

3)(lim

3)(lim

1

1

xf

xf

x

x


R/ 1)1('

1)1('

f

f

c) Diga si la función es o no es diferenciable en 1x R/ Si d) Represente gráficamente la función.

EJERCICIOS 4.3

1) Usando la definición, determine la primera derivada de la función xxxf )( y

represente, en una misma figura, la función y la derivada.

R/ 0;2

11)(' x

xxf




34

311

11

)('

xsix

xsi

xsix

xf


b) Si la función: f pasa por el origen, determine la ecuación de la recta tangente.

R/ xy


la función: f es cóncava hacia arriba.

R/ ,31,


11

112

cos1

1

)('

xsi

xsix

xsix

xf




b) Si la función: f pasa por el punto 3,2 , determine la ecuación de la recta tangente.

R/ 1 xy


la función: f es cóncava hacia abajo.

R/ 0,

EJERCICIOS 4.5 1) Usando las diferentes reglas, determine la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a)

R/ )cos()()(' xxsenexf x

b)

2

)cos()()('

x

xxxsenxf

c)

)ln(1

)(' xx

xxf

d)

21

3)('

x

x

e

exf

e)

22 4

6)('

x

xxf

f)

)(ln

)ln(1)ln(1)('

22 xx

xxxf

g)

)cos()( xexf x

x

xxf

)cos()(

)ln()1()( xxxf

x

x

e

exf

1

2)(

4

1)(

2

2

x

xxf

)ln(

1)ln()(

xxxxxf

)cos()( xxxf



x

xxxsenxf

2

)cos()(2)('

h)

1

)ln(1)('

2

22

xx

xxxxf

i)

)()()cos()(' xsenxxsenxxexf x

j)

2)1(

)cos()()cos()('

x

xxxsenxxexf

x



xexf x 25)('


35 xy



)()cos()(' xxsenxxf

b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa xy

EJERCICIOS 4.6 Encuentre la derivada con respecto a x para cada una de las siguientes funciones:

1)

)2(12' 2 xxey x

2)

12' 22

xxey x

3)

32' 2 xey x

4)

132

163'

3

x

xey

x

5)

x

xxxy

)2ln(424'

22

6)

)ln(1)( 2 xxxf

)()( xsenxexf x

1

)()(

x

xsenexf

x

xexxf )32()(

3,0

)cos()( xxxf

x

xexy 22)1(

22 xexy

xx exey 22

133 xey x

)2ln(12 2 xxy

xx eey /1/1



2

/1/1

'x

eey

xx

7)

)tan()(sec' 2 xxey x

8)

)tan(' xy

9)

22

2 12'

x

x

ex

xey

10)

)1tan()1sec(' xxx eeey

11)

x

xxxy

1ln2

12

1'

2

12)

x

x

x

xy

2

21ln

21

2'

13)

2)ln(1

3'

xxy

14)

2

2

)ln(

)(ln'

xxx

xeey

xx

15)

)ln(2)ln(' xxy

16)

)ln(23)(ln' 2 xxxy

17)

)()cos()cos(cos' xxsenxxxy

18)

)()(cos2' 22 xsenxxseny

19)

)cos(sec)(' 2 xxseny

20)

)tan(xey x

)cos(2ln xy

x

x

ex

ey

2

2

xey 1sec

xxy 1ln2

xxy 21ln

)ln(1

)ln(2

x

xy

)ln(

)ln(

xe

xey

x

x

)(ln 2 xxy

)(ln32 xxy

)cos(xxseny

)cos()(2 xxseny

)cos(tan xy

1ln 2 xxy



1

1'

2

xy

21)

112

'2

2

xx

xy

22)

112

'4

24

xx

xxy

23)

)(sec))(tan()cos(2' 2 xsenxsenxy

24)

1)(cos

)('

2

x

xseny

EJERCICIOS 4.7 1) Encuentre la derivada 'y para cada una de las funciones siguientes.

a)

123

32'

yx

yxy

b)

xy

xy

xe

yexy

1

2'

c)

)cos(2

1)cos(2'

xyxy

xyyxy

d)

)cos()cos(

)()('

xyx

ysenxyseny

e)

2

2

cos2)cos(

)('

yxx

ysenxyseny

f)

1)cos(

1'

)(

yseneyy

g)

2

2

221

122'

yxy

xyxy

1ln2

1)ln( 2 xxy

1ln2

11ln

2

1)ln( 22 xxxy

)(tan2 xseny

)cos(1

)cos(1ln

x

xy

033 22 yyxyx

032 xyeyx

0)(22 xxysenyx

02)cos()( xyyxsen

02)cos()( 2 xyyxsen

)( yseneyx

22)ln( yxyx



h)

x

yy

'

i)

x

yy '

j) yxyysen 2)(

12)cos(

2'

xy

yy

2) Considere la curva del plano 1022 22 yxyx


punto

yx

yxy

2'

b) Encuentre los puntos de abscisa uno

4,1

2,1

c) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en cada uno de los puntos hallados previamente.

3

10

3

2

3

10

3

4

xy

xy

d) Exprese la curva mediante dos funciones explícitas de x

2

2

10

10

xxy

xxy

e) Represente gráficamente la curva y las dos rectas halladas en c)

EJERCICIOS 4.8

Calcule para cada una de las siguientes funciones:

1)

)1(2

1'

xxy

2)

21)(

1'

xxarcseny

3)

)(ln1

1'

2 xxy

4)

1)cos()( xyxysen

1)/cos()/( yxyxsen

),( yxP

dx

dy

1 xarcseny

)(ln xarcseny

)ln(arctan xy

xx eearcseny



xx

xx

ee

eey

223'

5)

)arccos( 2xy

41

2'

x

xy

6)

21)arctan(

1'

xxy

7.

211'

x

x

e

ey

8) )1arccos( xey

xx

x

ee

ey

22'

9.

)(cos1

)('

2 x

xx

e

eseney

10)

))(arctan( xeseny

)(cos2

)cos('

2 x

xx

e

eey

EJERCICIOS 4.9 Determine las dos primeras derivadas para cada una de las siguientes funciones:

1) )arctan( 2xy

24

4

4

1

312''

1

2'

x

xy

x

xy

2)

2/32

2

1''

1

1'

x

xy

xy

3)

2/32/1

2/12/1

2

1

4

15''

2

15'

xxy

xxy

4)

)arctan(ln xy

1arctan xey

xey cosarctan

1ln 2 xxy

2/12/3 25 xxy

)(2 xsenxy



)cos(4)(2)(''

)(2)cos('

2

2

xxxsenxsenxy

xxsenxxy

5)

)(3)cos(4''

)(2)cos('

2

2

xsenxey

xsenxey

x

x

6) )arccos(xy

32

2

1

''

1

1'

x

xy

xy

7)

22

2

1

2''

)arctan(1

'

xy

xx

xy

8)

)()cos(2''

)cos(2'

xsenxey

xey

x

x

9)

22

2

4

8''

4

4'

x

xy

xy

10)

)(arctan1

1)arctan(2''

)arctan(1

1'

222

2

xx

xxy

xxy

EJERCICIOS 4.10 Usando derivación logarítmica, determine la primera derivada para cada una de las siguientes expresiones:

1)

)ln()()cos(

'

)ln()()cos(

/')ln()cos()ln(

xxsenx

xyy

xxsenx

xyyxxy

2)

)(2 xseney x

)arctan(xxy

)cos()( xxseney x

2

2ln

x

xy

)arctan(ln xy

)cos(xxy

)cos()( xxseny



))(ln()()(cos

'

))(ln()()(

)cos()cos(/'))(ln()cos()ln(

2

xsenxsenx

xyy

xsenxsenxsen

xxyyxsenxy

3) )(1 xsenxy

)ln()cos()(1

'

)ln()cos()(1

/')ln()(1)ln(

xxx

xsenyy

xxx

xsenyyxxseny

4)

)1ln(1

1'

)1ln(1

1/')1ln(1)ln(

xx

xyy

xx

xyyxxy

5)

1

2

)cot(

)(csc

)cos(

)(2'

1

2

)cot(

)(csc

)cos(

)(2/'1ln)cot(ln))ln(cos(2)ln(

2

2

2

22

x

x

x

x

x

xsenyy

x

x

x

x

x

xsenyyxxxy

6)

)(1

)cos(

)cot(

)(2

2'

)(1

)cos(

)cot(

)(2

2/')(1ln)cos(ln2)ln(2)ln(

xsen

x

x

xsen

xyy

xsen

x

x

xsen

xyyxsenxxxy

7) )()( xsenxxseny

)ln()cos()(

)(

)cos('

)ln()cos()(

)(

)cos(/')ln()())(ln()ln(

xxx

xsen

xsen

xyy

xxx

xsen

xsen

xyyxxsenxseny

8)

1)1( xxy

1

)cot()(cos2

2

x

xxy

)(1

)cos(22

xsen

xexy

x

x

xsen

xsen

xy

)(

)(



)(ln)(

)cos()ln()cos(

)('

)(ln)(

)cos()ln()cos(

)(/')(ln)ln()()ln(

xsenxsen

xxxx

x

xsenyy

xsenxsen

xxxx

x

xsenyyxsenxxxseny

9)

)(1

)cos(

)tan(

)(sec2

2'

)(1

)cos(

)tan(

)(sec2

2/')(1ln)tan(ln2)ln(2)ln(

2

2

xsen

x

x

x

xyy

xsen

x

x

x

xyyxsenxxxy

10)

)(

)cos()ln(ln

)ln(

1'

)(

)cos()ln(ln

)ln(

/1/')(ln)ln(ln)ln)

xsen

xx

xyy

xsen

xx

x

xxyyxsenxxy

CUESTIONARIO

EJERCICIOS 5.3. 1) Considere la función:

2/71782

10)(

2 xsixx

xsixxf

a) Muestre que es continua en su dominio

1)(lim

1)(lim

1

1

xf

xf

x

x

b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los números críticos.

2/7184

101)('

xsix

xsixf

)(1

)tan(22

xsen

xexy x

)()ln( xsenxy x



4)('lim

1)('lim

1

1

xf

xf

x

x

Los números críticos son: 2,1 xx

c) Represente gráficamente la función y la primera derivada

d) Encuentre los extremos absolutos de la función.

Valor máximo: 1)1( f

Valor mínimo: 1)2( f

2) Considere la función

2143

11)(

3

xsix

xsixxf

a) Muestre que es continua en su dominio

1)(lim

1)(lim

1

1

xf

xf

x

x

b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los números críticos.

213

113)('

2

xsi

xsixxf

3)('lim

3)('lim

1

1

xf

xf

x

x

Los números críticos son: 0,1 xx

c) Represente gráficamente la función y la primera derivada



d) Encuentre los extremos absolutos de la función.



3) Considere la función

21;2)( 34 xxxxf

a) Determine los extremos absolutos de la función.


Valor mínimo: 16/27)2/3( f

b) Determine los intervalos en los que f es creciente.

Crece en: ]2,2/3(

c) Determine los puntos de inflexión de la gráfica de f.

Puntos de inflexión: 1,1;0,0

d) ¿habrá puntos en la gráfica de f en los que la pendiente de la recta tangente sea -1? Hay 3 puntos de acuerdo con la figura


xxxxf 0;)cos()(cos)( 2


Valor máximo: 2)( f

Valor mínimo: 4/1)3/( f

b) Determine los intervalos en los que f es decreciente.

Crece en: ],3/(

c) Calcule la concavidad de la curva en el punto de abscisa 4/x

2/2)4/('' f


31;)( 2 xexxf x


Valor máximo: ef )1(





Decrece en: 3,20,1

c) Determine la abscisa de los puntos de inflexión en el intervalo.

24x


5.21;)136214ln()( 23 xxxxxf


Valor máximo: 1023.3)5.2( f

Valor mínimo: 9957.2)1( f


Crece en: ]5.2,2(5.1,1


a) Redefina la función sin la barra de valor absoluto y muestre que es continua en su dominio

5186

212

10

2 xsixx

xsix

xsix

y

b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los puntos críticos.

5162

211

101

'

xsix

xsi

xsi

y

Números críticos:

2

1

x

x

c) Represente gráficamente la función y la primera derivada.

2

1 1 0 2( )

6 8 2 5

x si xf x

x x si x



d) Determine los extremos absolutos de la función.

3

1

Min

Max


a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva y encuentre los intervalos en los que la curva es creciente y en los que es decreciente.

3

3

3

2,:

,2:

84'

decrece

crece

xy

b) Determine la concavidad de la curva y muestre que no tiene puntos de inflexión.

xxy 012'' 2


a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto y encuentre los intervalos en los que la curva es creciente y en los que es decreciente.

0,2:

2,0:

4'

2/32

decrece

crece

x

xy

b) Determine la concavidad de la curva y muestre que no tiene puntos de inflexión.

2,20

4

42''

2/52

2

x

x

xy

10) Dada la función

xxxsenxf 0;)()(

a) Muestre que tiene extremos relativos en el intervalo.

Puesto que 0)()0( ff y la función es diferenciable, la curva debe tener un extremo

relativo en el intervalo abierto ,0

b) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa 2/x xy

c) Determina la concavidad de la curva en el punto de abscisa 2/x

2/)2/('' y

EJERCICIOS 5.4 Con base en las pautas presentadas, represente gráficamente cada una de las siguientes funciones.

1)

4 8y x x

2

1

4y

x

22 1y x x



2)

3)

4)

2

1

xy

x

3

2 1

xy

x

2

2

1

1

xy

x



5) 3 2 xxy

6) ze

y

21

6

7) 2/2 xexy



8)

9)

10)

)ln(2 xxy

)6ln( 2xxy

20;)()(2 2 xxsenxseny

texto calculo diferencial - norman mercado universidad nacional de colombia 2011

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