CAPTULO III

SUPERFICIE DE SEPARACIN DIELCTRICO-DIELCTRICO

3.1 Condiciones de Contorno

Hasta ahora se han analizado las magnitudes y propiedades necesarias para describir la propagacin de una onda electromagntica en un medio dielctrico homogneo e istropo. A continuacin se tratar lo que ocurre cuando una onda electromagntica al propagarse en un medio dielctrico encuentra una superficie frontera que la separa de otro medio dielctrico. A la onda que llega a la superficie se le denomina onda incidente. La experiencia muestra que generalmente al llegar una onda a la superficie, aparecen dos nuevas ondas, una de ellas se propaga en el mismo medio que la incidente, pero cambiando su direccin o sentido, conocida como onda reflejada, y otra onda que comienza a propagar en el otro medio, llamada onda refractada o transmitida. Como todas estas ondas son electromagnticas, resulta conveniente saber que ocurre con los campos elctricos y magnticos en los puntos de la superficie de separacin. Mantienen su valor o lo cambian?

Para responder esta interrogante es conveniente analizar las condiciones que deben satisfacer estos campos en la superficie de separacin entre los dielctricos, las que se conocen como condiciones de frontera o de contorno y que se deducen de las ecuaciones de Maxwell, aplicadas a los campos resultantes en puntos que se encuentran justo en esta frontera, en cada medio.

Como esta frontera es una superficie, resulta adecuado trabajar con las componentes normales o perpendiculares y con las componentes tangenciales o paralelas a tal superficie. As, para un vector E , en un punto sobre el contorno de uno de los medios, se tienen la componente tangencial ET y la componente normal EN a la superficie.

Luego, aplicando las ecuaciones de Maxwell, se analizar si para cada campo, E y B , al pasar desde un punto que est en la frontera y pertenece a un medio, a otro punto tambin en la frontera, pero que pertenece al otro medio dielctrico, las componentes mantienen su valor, o sea son continuas, o bien cambian su valor, es decir, son discontinuas.

Como en la ley de Gauss o primera ecuacin de Maxwell, se calcula el flujo de D , a travs de una superficie cerrada y ya que se desea encontrar una relacin entre las componentes del campo en puntos de cada medio prximos a la frontera, se elige tal superficie cerrada como un cilindro cuyo manto es perpendicular a la frontera y cada tapa es paralela a la frontera, una en cada medio, a una pequea distancia de la frontera. Luego

S

Dn dS = V (S )

dV (3.1)

Figura 3.1. Componentes tan-gencial y normal del vector E

El flujo del vector D a travs del cilindro es igual a la suma de los flujos a travs de sus tapas y del manto cilndrico. Si h1 y h2 tienden a cero, el flujo en el manto tiende a cero y las tapas quedan muy prximas a la superficie, as se obtiene

D1n1 dS+ D2n2 dS = dSEn general Dn = DN , es la componente del vector D en la direccin de n o componente

normal de D . Adems n2 = n1 . Si la superficie de cada tapa es pequea el valor de cada campo en su centro es aproximadamente el mismo para todos los puntos de esa tapa, luego

(D1ND 2N ) A = A

donde es la densidad de carga libre que pudiera existir en la frontera. EntoncesD1ND2N = o D1N = D2N+ (3.2)

Esto muestra que la componente normal del campo desplazamiento elctrico D , no es continua en general, excepto si =0 , es decir, cuando no hay cargas en la superficie de separacin. Entonces D1N=D2N . Como D= E , al tomar las componentes normales de esta relacin se obtiene que 1E1N=E2N . Ya que para medios dielctricos distintos 12 E1NE2N . Esto significa que las componentes normales del campo elctrico son siempre discontinuas.

Dado que la segunda ecuacin de Maxwell, establece que el flujo de B a travs de cualquier superficie cerrada es siempre cero, un anlisis similar al anterior conduce a que B1N=B2N , es decir, las componentes normales del campo magntico son siempre continuas.

En la tercera ecuacin de Maxwell o ley de Faraday, aparece la circulacin de E , por lo que se requiere calcular una integral de lnea cerrada y un flujo a travs de la superficie cuyo contorno es la curva cerrada

C

Ed l = dd t Bn dS (3.3)

Entonces se elige un rectngulo con un par de lados opuestos paralelos a la superficie frontera de los medios, uno a cada lado de ella y los otros lados perpendiculares a tal superficie.

Si h1 y h2 tienden a cero, la superficie del rectngulo tiende a cero, lo que anula al segundo miembro, y tambin se anulan las integrales de lnea en los lados perpendiculares a la frontera, quedando

E1d l 1+ E2d l 2 = 0Como Ed l = Et dl , y ya que d l 2 = d l 1 , entonces se obtiene

(E1tE2 t )d l 1 = 0lo que concluye en

E1 t = E2 t (3.4)

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vi = vr vt (3.6)

i = r = t = (3.7)

Como para las ondas planas =k v , tomando en cuenta la ecuacin (3.7) y (3.6), se obtiene:

k i = v i

= vr

= kr , k t = v t k i = kr k t (3.8)

Esto significa que el nmero de onda k es el mismo para las ondas incidente y reflejada y distinto para la onda refractada o transmitida, ya que =2 /k , se obtiene tambin

i = r t (3.9)

Suponiendo que las tres ondas estn linealmente polarizadas y que tienen sus respectivos vectores elctricos paralelos al eje x, se han dibujado en la Figura 3.4, los tres vectores k , E y B para cada onda. Las ecuaciones de onda de los vectores elctricos y magnticos de estas ondas son:

Ei = E0i sen (k i z t ) ux (3.10)

Er = E0 r sen (k r z t ) ux (3.11)

Et = E0 t sen (k t z t ) ux (3.12)

B i = B0 i sen (k i z t )u y (3.13)

B r = B0 r sen (kr z t ) u y (3.14)

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B t = B0 t sen (k t z t ) uy (3.15)

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Se define como rayo a la lnea que se encuentra en la direccin de propagacin de un frente de ondas

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Se denomina:

rayo incidente al rayo que viaja o se dirige a una superficie de separacin entre dos medios diferentes.

Punto de incidencia es el punto sobre la superficie de separacin donde llega el rayo incidente.

Normal es la recta perpendicular a la superficie de separacin en el punto de incidencia.

ngulo de incidencia es el ngulo que se forma entre el rayo incidente y la normal, y se mide tomando la normal como recta de referencia. Este ngulo se indicar empleando cualquier letra griega con el subndice i.

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Rayo reflejado es la lnea que se encuentra en la direccin de propagacin de los frentes de ondas reflejados.

ngulo de reflexin es el ngulo que se forma entre el rayo reflejado y la normal. Se mide a partir de la normal. Este ngulo se indica por una letra griega

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con el subndice r.

Rayo refractado es la lnea que se encuentra en la direccin de propagacin de las ondas refractadas o transmitidas.

ngulo de refraccin ongulo de transmisin es el ngulo formado entre el rayo

refractado y la normal. Se mide tomando la normal como recta de referencia. Este ngulo se indica por una letra griega con el subndice t.

a) El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal, siempre se encuentran en un mismo plano, que es el plano de incidencia.

b) Ley de Reflexin: el ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin i = r (3.26)

c) El rayo incidente, el rayo refractado o transmitido y la normal siempre estn en el plano de incidencia.

d) Ley de Refraccin: Los ngulos de incidencia y de refraccin cumplen la siguiente relacin:

sen i v i

= sen t v t

(3.27)

e) Una forma diferente de expresar la ley anterior se obtiene multiplicando la ecuacin anterior por la velocidad c, y aplicando la definicin de ndice de refraccin.

Ley de refraccin o Ley de Snell ni seni = nt sen t (3.28)

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Para esta situacin, grficamente, se observa que cuando incide un rayo en la superficie, el correspondiente rayo transmitido, se acerca a la normal.

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Relaciones de Fresnel para el caso de incidencia oblicua:

a)E

0r E

0i=

tanti

tanti(3.31)

b)E

0 tE

0 i=

2sen t cosisen ticos ti

(3.32)

c)E

0r E

0i =

sen ti

sen ti(3.33)

d)E

0 t E

0 i =

2sen t cos isen ti

(3.34)

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Analizando la relacin (a) de Fresnel

E0r

E0 i=

tanti

tanti(3.31)

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E0r

E0 i

=sen ti

sen ti(3.33)

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R = PrP i

= I r A rI i A i

= I r Asup cosrI i Asup cosi

=

12nr c 0E0 r

2 cos r

12 ni c0 E0 i

2 cosi

Como las ondas incidente y reflejada se propagan en el mismo medio dielctrico, nr = ni . Adems, segn la ley de reflexin r = i . Por lo tanto

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R = (E0 rE0i )2

T = PtP i

= I t A tI i A i

= I t A supcostI i A supcosi

=

12n t c0 E0 t

2 cost

12 ni c0E0 i

2 cosi

T = n t costni cosi ( E0 t

2

E0i2 )

Para el caso de una onda con el vector E paralelo al plano de incidencia PI:

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3.9 Problemas Resueltos.

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