7 GEOMETRIJSKE ZNAČAJKE TIJELA I PLOHA

7.1 TEŽIŠTE

7.1.1 Težište tijela

Za homogeno tijelo gustoće , položaj težišta S tijela u pravokutnom koordinatnom sustavu podudara se s geometrijskim središtem njegova obujma te su njegove koordinate , slika 7.1.Prema momentnom pravilu ili Varignonovom teoremu

općenito vrijedi ,

te radi , ,

slijedi ,

te radi može se pisati

, , te se mogu izračunati skalarne projekcije,

, ,

,

gdje je obujam tijela.

Slika 7.1

Za homogeno tijelo sastavljeno od više elementarnih tijela čija su težišta poznata, koordinate težišta S sastavljenog tijela su (za ):

, ,

gdje su: obujam sastavljenog tijela, Vi je iznos obujma i-tog elementarnog

tijela, a koordinate težišta i-tog tijela su .

7.1.2 Težište ravne ploče (težište površine)

Statički moment površine:

oko osi y: oko osi z:

, ,

Slika 7.15

Za homogenu ravnu ploču čija je debljina znatno manja od drugih dviju dimenzija ( ), zadatak određivanja koordinata težišta S svodi se na određivanje geometrijskog središta površine A, slika 7.2.

Koordinate težišta površine A su:

,

,

,

gdje je ploština površine A jednaka: .

Slika 7.2

Za površinu sastavljenu od više ravnih površina čija su težišta poznata, koordinate

težišta određuju se iz izraza:

, , ,

gdje su: ploština sastavljene površine, Ai je ploština i-te površine, a koordinate

težišta i-te površine su .

a) Težište trokuta

Potrebno je odrediti težište površine omeđene koordinatnim osima i padajućim pravcem koji ih presijeca te oblikuje trokut širine b i visine h.

Jednadžba se pravca može odrediti iz opće jednadžbe: te poznatih koordinata dvije točke pravca.

Za ; slijedi

Za ; slijedi tj. .

Jednadžbe je pravca: .

Površina je trokuta .

Kako je općenita formula za određivanje koordinate težišta S plohe

potrebno je prikladno definirati diferencijal plohe dA. U tu se svrhu može uzeti diferencijalno uski uspravni pojas širine dy koji se može promatrati kao pravokutnik

promjenjive visine čije je težište na koordinatama i

. Dakle

Koordinate težišta su: Veličina se

u računu težišta zanemaruje.

,

,

,

b) Težište kružnom isječka

Potrebno je odrediti težište kružnog isječka polumjera r s vršnim kutom .

Površina kružnog isječka je: . Potrebno je definirati diferencijal dA.

Kako je vrlo mala veličina može se dA računati kao trokut visine r s katetom

tj. Težište ove diferencijalne površine mjereno od

ishodišta koordinatnog sustava. Površina kružnog isječka iznosi:

.

Koordinate težišta su: ;

,

Za slučaj polukruga koordinata težišta iznosi .

c) Težište površine omeđene parabolom II. reda

Potrebno je odrediti težište površine omeđene koordinatnim osima i parabolom II. reda

čije je tjeme na osi z.Jednadžbe se parabole može odrediti iz opće jednadžbe:

te poznatih koordinata dvije točke parabole.

Za ; slijedi

Za ; slijedi tj. .

Jednadžbe je parabole: .

Površina ispod parabole je: . Potrebno je definirati diferencijal dA.

Kako je dy vrlo mala veličina može se dA računati kao pravokutnik visine i širine dy

čije je težište na polovici visine tj. . Sa slike je vidljivo da je

te slijedi: .

Površina ispod parabole je:

.

Koordinate težišta su: ;

;

;

;

Tablica 7.1 Koordinate težišta homogenih tijela

Prizma, valjak(ravni ili kosi)

Stožac, piramida(ravni ili kosi)

Odrezak kugle

Polukugla

Šuplja polukugla:

Isječak kugle Klin

Tablica 7.2 Koordinate težišta ravnih površina

Trokut Paralelogram Trapez Polukrug

Kružni isječak

ili

Četvrt kruga Kružni odsječak Površina omeđena parabolom

7.1.3 Težište linije

Ako su poprečne dimenzije tijela mnogo manje od duljine ( ), npr. kod tanke žice, određivanje položaja težišta S svodi se na određivanje geometrijskog središta linije duljine l, slika 7.3.

Koordinate težišta linije l su:

,

,

,

gdje je duljina linije:

Slika 7.3

Za liniju sastavljenu od više linija čija su težišta poznata, koordinate težišta

određuju se iz izraza:

, , ,

gdje su: duljina sastavljene linije, li je duljina i-te linije, a njene su težišne

koordinate .

b) Težište kružnom luka

Potrebno je odrediti težište kružnog luka polumjera r s vršnim kutom .

Duljina kružnog luka je: . Potrebno je definirati diferencijal .

Kako je vrlo mala veličina može se računati dužina duljine tj. .

Težište ovog diferencijalnog luka je smješteno na samoj sredini diferencijala kružnog luka.

Duljina je kružnog luka: .

Apscisa je težišta: ;

,

Za slučaj polukruga koordinata težišta iznosi .

Tablica 7.3 Koordinate težišta linija

Kružni luk Polukružnica Četvrt kružnice

7.1.4 Pappus - Guldinova pravila

Oplošje plohe nastale rotacijom linije l za kut oko osi z, koja leži u ravnini linije, a ne presijeca je, određeno je izrazom:

gdje je l duljina linije, a udaljenost težišta S linije od osi rotacije z.

Na slici 7.4 dan je primjer za .

Slika 7.4

Obujam tijela nastalog rotacijom ravne površine A za kut oko osi z, koja leži u istoj ravnini, a ne presijeca je, određuje se prema izrazu:

,

gdje je A ploština površine A, a udaljenost težišta S od osi z.

Na slici 7.5 dan je primjer za .

Slika 7.5

Primjer 7.1

Za betonski temelj stroja zadan prema slici 7.6 odrediti koordinate

težišta . Dimenzije na

slici su dane u metrima.

Rješenje:Temelj se smatra homogenim

tijelom te se određivanje težišta svodi na određivanje geometrijskog središta njegovog obujma. Promatraju se pojedini sastavni dijelovi temelja, označeni na slici. Slika 7.6

Obujam i koordinate težišta dijelova su:

i Vi ,m3 xSi ,m ySi ,m zSi ,m1 16,0 2,00 1,00 1,002 3,6 0,75 2,60 1,003 3,2 5,00 1,00 0,40

22,8

Koordinate težišta S temelja u pravokutnom koordinatnom sustavu su:

,

,

, .

Primjer 7.5

Za sastavljenu površinu zadanu prema slici 7.10 odrediti koordinate težišta, ako je zadano: a = 10 cm.

Rješenje:

Ploštine dijelova površina i koordinate njihovih težišta su:

Slika 7.10

Ploština je sastavljene površine:

.

Koordinate težišta sastavljene površine:

,

,

.

Uvrštenjem numeričkih vrijednosti izračuna se:,

,

,

.

Homogena žica savijena je u obliku prema slici 7.12. Treba odrediti koordinate težišta S, ako su dimenzije na slici u centimetrima.

Rješenje:

Duljina žice (linije):

Slika 7.12Koordinate težišta S linije l su:

,

.

, .

, .