ساخت حساب دیفرانسیل و انتگرالساخت حساب دیفرانسیل و انتگرال

تاریخ علم ریاضیتاریخ علم ریاضیدکتر مجتبی آقاییدکتر مجتبی آقایی

کیوان شیخان – علی فاطمی – محمدرضا کیوان شیخان – علی فاطمی – محمدرضا رستگاریرستگاری

در پی تالشهایی که برای پیدا کردن مفهوم تابع انجام

گرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال به وجود آمد.

.این بزرگترین یافته بشر در تمام طول تاریخ بوده است

تا حدی به مسائلی که توسط یونانیان مطرح شده بود

پاسخ داد.

حساب دیفرانسیل و انتگرال مقدماتی برای مسائل

طراحی شد. 17بزرگ قرن

( چهار مسئله 17در آن زمان )قرن مهم وجود داشت:

پیدا کردن فرمولی برای جابه جایی یک جسم به عنوان

تابعی از زمان

یافتن سرعت و شتاب لحظه ای

از فرمول شتاب یک جسم به عنوان تابعی از زمان بتوان

سرعت و جابه جایی آن جسم را به دست آورد.

به مطالعه حرکت برمی گردد و وقتی دشوار Nاین مسئله مستقیما

می شود که سرعت و شتاب هر دو متغیر با زمان باشند.

در محاسبه سرعت لحظه ای در یک لحظه مشخص هم جابه جایی و

بی معناست در حالی که واضح است که 0/0هم زمان صفر هستند و

هر جسم متحرک دارای سرعت است.

.یافتن جابه جایی وقتی که سرعت لحظه ای را داشته باشیم

اگرچه مفهوم مماس به عنوان خطی که منحنی

را تنها در یک نقطه قطع کند و در یک سمت

منحنی قرار می گیرد توسط یونانیها مطرح شده

بود اما این تعریف در منحنی های پیچیده تری که

استفاده می شد قابل استفاده نبود.17در قرن

:یافتن مماس بر منحنی از دو نظر اهمیت دارد

.از مسائل هندسه محض است

.از نظر عملی کاربرد فراوان دارد

:)کاربرد اول )طراحی لنز بود. طراحی لنز از 17اپتیک از مسائل مهم قرن

عالیق فرما، دکارت، هویگینز و نیوتن بود.

با یافتن مماس برمنحنی عمود هم پیدا می شود.

:)کاربرد دوم )مطالعه مسیر حرکت جهت حرکت در طول مسیر در هر لحظه بر مسیر

مماس است.

پیدا کردن حداکثر برد پرتابه.برد به زاویه پرتابه بستگی دارد

گالیله دریافت که ماکزیمم برد 17در ابتدای قرن

درجه رخ می دهد.45پرتابه در خأل در زاویه

پیدا کردن حداکثر و حداقل فاصلهسیاره ها از خورشید

مسافت طی شده توسط سیاره در یک محدوده

زمانی مشخص

مساحت محصور توسط چند منحنی

حجم محصور توسط چند سطح

یافتن مرکز ثقل اجسام

یافتن نیروی گرانش بین اجسام

دانشمندان زیادی روی حساب 17در اوایل قرن

دیفرانسیل و انتگرال کار کردند. حد نهایی موفقیت

این دانشمندان در کارهای نیوتن و الیبنیز خالصه می

شود.

( روبروالRoberval در کتاب )Traite des indivisibles روش

ارشمیدس را در پیدا کردن منحنی مارپیچ ارشمیدس

تعمیم داد. همانند ارشمیدس روبروال یک منحنی را به

عنوان مکان هندسی یک نقطه متحرک که تحت تاثیر دو

سرعت یکی در راستای افقی و دیگری در راستای

قائم است در نظر گرفت.

روبروال راستایPM را به عنوان مماس

در نظرگرفت. Pبر منحنی در نقطه

( تریسلیTorricelli از روش روبروال برای به )

دست آوردن مماس بر منحنی هایی که معادالت

آنها به فرم است استفاده کرد.

هنگامی که تریسلی روش روبروال را ادامه می

داد از این قانون استفاده کرد که سرعتهای

افقی و عمودی مستقل از یکدیگر عمل می

کنند. این قانون توسط گالیله اثبات شده است.

( روش فرماFermat در سال )ساخته و 1629

در دست نوشته ای با عنوان 1637در سال

Methodus ad Disquiredam Maximam et Minimam

)روشهای پیدا کردن مقدار ماکزیمم و

مینیمم( پیدا شد.

TP را به عنوان مماس بر

در نظر می Pمنحنی در نقطه

Subtangentرا TQگیریم. طول

می نامیم. روش فرما راهی

است. TQبرای پیدا کردن طول

را بدانیم Tدر صورتی که مکان

را رسم TPمی توان مماس

کرد.

اگرQQ1 را نموTQ به اندازه

E در نظر بگیریم مثلثهای

TQP وPRT1 : متشابه اند. لذا

اما فرماRT1 Nرا تقریبا

در نظر گرفت: RP1مساوی

PQ در نامگذاری مدرنF(x) نامیده

می شود:

به سادگی واضح است که می توان

تقسیم Eصورت و مخرج را بر

Eکرد. فرما در ادامه با حذف

را بدست آورد.TQتوانست

با اضافه کردن تئوری حد به روش فرما به فرم

استاندارد محاسبه مشتق در حال حاضر می رسیم.

پیدا کردن مماس بر منحنی برای دکارت هم مهم بود

زیرا او را قادر می ساخت خصوصیات منحنی )به

عنوان مثال زاویه تقاطع دو منحنی( را بدست آورد.

دکارت روش خود را در جلد دوم کتابLa Géométrie

بیان کرد. این کتاب جبر خالص بود و شامل هیچ

مفهومی از حد نبود.

: مقایسه روش فرما و دکارت

در حقیقت روش دکارت مشابه روش فرما است با این تفاوت که

روش دکارت به شدت فرمول بندی شده است.

روش دکارت تنها برای معادالت به فرمy=f(x) کهf(x) یک چندجمله ای

ساده است مفید بود.

هرچند روش فرما عمومیت داشت اما دکارت تصور می کرد روش

او بهتر است.

دکارت مدعی بود حذف کردن پارامترE در روش فرما توجیه

ریاضی ندارد.

فرما هم مدعی بود روش او بهتر است و حذف نمو کوچکE

مزایای زیادی دارد.

( ایزاک باروIsaac Barrow:)

.استاد ریاضی دانشگاه کمبریج بود

.برخی کارهای اقلیدس را ترجمه کرده است

چندی از ترجمه های کارهای اقلیدس، آپولونیوس و

تئودوسیوس را بهبود داده است.

در محاسبه مماس بر منحنی یک روش هندسی دارد

که او را مجبور به استفاده از منحنیهای کمکی کرد.

او با مثلثPRQ شروع کرد که در

است. با استفاده از PRنتیجه نمو

این حقیقت که:

بارو در ادامه بیان می کند که

خیلی کوچک است و ‘PPکمان

PQمی توان آن را با پاره خط

معادل دانست.

او از معادله استفاده

کرد.

x را باx+e وy را با y+a جایگزین

کرد.

سپس از توانهای باالترa و e

صرفه نظر کرد.

: از شکل داریم

از آنجایی کهPM برابرy

NMاست او توانست

(subtangent) را محاسبه و

را پیدا کند.Nمکان

گفته می شود پیدا کردن ماکزیمم و مینیمم توابع با

مشاهدات کپلر آغاز شد.

او در کتابStereometria Doliorum نشان داد که 1615در سال

از بین همه متوازی السطوحها با پایه مربع که در یک کره

محاط هستند مکعب بزرگترین است.

.روش او محاسبه حجم برای انتخاب خاصی از ابعاد بود

این روش به خودی خود مهم نیست اما او به حجم

ماکزیمم دست یافت و بیان کرد تغییر حجم برای میزان

ثابت تغییر در ابعاد به مرور کوچکتر و کوچکتر می شود.

فرما در کتاب Methodus ad Disquirendam روشش

را ارائه داد. روش او نشان دهنده مثال زیر

است:

یک پاره خط در نظر می گیریم. می خواهیم

نقطه او روی آن انتخاب کنیم که مستطیلی که از

دو قطعه خط بدست می آید حداکثر شود.

سپس اوA را با A+E جایگزین کرد. بنابراین قسمت دوم B-

A+E:خواهد شد

)او دلیل آورد که در ماکزیمم مقدار دو تابع )دو مساحت

باید برابر باشند. لذا با مساوی قرار دادن دو مساحت

داریم:

اوE را مساوی صفر قرار داد. بنابراین مستطیل ماکزیمم

یک مربع است.

عمومی بود. وی آن را Nروشی که فرما بیان کرد کامال

به صورت زیر شرح داد:

اگرAیک متغیر مستقل باشد. اگر A به A+E افزایش یابد و

بینهایت کوچک باشد، وقتی تابع از ماکزیمم یا مینیمم Eمقدار

می گذرد، مقادیر دو تابع برابرند. بنابراین این دو مقدار را

تقسیم می کنیم. در Eمساوی قرار می دهیم و معادله را بر

را حذف می کنیم.Eنهایت

فرما الزم ندید در نظر گرفتن مقدار ناصفر E ، تقسیم

کردن بر آن و درنهایت صفر قرار دادن آن را توجیه

کند.

با 17پیدا کردن مساحت ، حجم ، مرکز جرم ، طول منحنی در قرن

کپلر شروع شد .

او به مسئله حجم بسیار عالقه نشان می داد زیرا معتقد بود که روش

هایی که دالالن شراب برای پیدا کردن بطری ها بکار می بردند بی

دقت است.

از کارهای او میتوان به پیدا کردن مساحت دایره و حجم کره اشاره

کرد .

برای محاسبه مساحت دایره او ابتدا دایره را به بی نهایت مثلث افراز

کرد که راس همگی آنها در مرکز و قاعده آنها روی محیط قرار داشت

سپس با استفاده از مساحت چند ضلعی های محاط شده نشان داد که

مساحت دایره برابر نصف شعاع ضرب در محیط است

او بیان کرد که حجم کره برابر مجموع حجم های مخروط

های کوچکی است که رأس آنها در مرکز کره و قاعده آنها

روی سطح کره قرار داد با این روند او نشان داد که حجم

شعاع ضرب در مساحت آن است . 1/3کره برابر

ماهیت روش کپلر را در تشخیص مساحت و حجم جمع تعداد

نامحدودی از المان ها با بعد مشابه تشکیل می دهد .

در کتابTwo new sciences گالیله در مبحث حرکت شتاب ثابت

مساحت را به روش کپلر بدست آورد او با استدالل نشان داد

که مساحت زیر منحنی سرعت زمان برابر جابه جایی است .

فرض کنیم یک جسم با سرعت متغیرv=32t . حرکت کند

جابجایی جسم در زمانOA برابر مساحت مثلث OAD

را به عنوان یک جابجایی بی نهایت کوچک در 'A'Bاست .گالیله

'A'B از خط های OABنظر گرفت . سپس اثبات کرد که مساحت

برابر کل جابجایی OABساخته می شود . بنابراین مساحت

است .

دلیل گالیله برای اینکه مثلثOAB از بی نهایت

ساخته شده ’A’B واحد غیر قابل تقسیم مانند

است واضح نبود. این موضوع در ذهن گالیله

توسط مالحظات فلسفی توجیه می شد .

گالیله مدت زیادی برای حل موضوع صرف کرد

اما نتوانست آن را حل کند.

کاوالیری(Bonaventura Cavalieri ) (1647- 1598 شاگرد گالیله و )

استاد دانشگاه بلونیای ایتالیا بود .او توسط کپلر و گالیله تحت

تأثیر قرار گرفت و آنها او را به بررسی مسائل حساب

دیفرانسیل و انتگرال برانگیختند.

کاوالیری تفکرات گالیله و سایرین را در مورد غیر قابل تقسیم

ها در روش های هندسی توسعه داد و کتابی در این مورد با

نوشت . Geometria Indivisibilibus Continurum Nova quadam Rotione Promotoنام

او مساحت را تشکیل شده از تعداد نامتناهی پاره خط موازی

دارای مسافت مساوی )بخش غیر قابل تقسیم مساحت( و حجم

را تشکیل شده از تعداد نامتناهی صفحه موازی )بخش غیرقابل

تقسیم حجم( در نظر گرفت.

کاوالیری تشخیص داد که تعداد بخش های غیر قابل

تقسیم که مساحت یا حجم را شکل می دهند باید بی

نهایت باشند اما تالشی برای شرح دادن آن نکرد.

او بیان کرد: یک خط مانند یه رشته از مهره از نقاط

تشکیل شده، صفحه مانند نخهای یک پارچه از خطها

تشکیل شده و جسم مانند ورق های یک کتاب از

صفحه ها تشکیل شده است، با این تفاوت که تعداد

المان ها در خط ،صفحه وجسم بی نهایت است.

:اصل کاوالیری

مساحت متوازی االضالعABCD دو برابر مساحت هر یک از

, GD = BEاست وی اثبات کرد که: BCDو ABDمثلث های GH = FE

بنابراین مثلث هایBCD , ABD از تعداد برابر خط هم اندازه

تشکیل شده اند. لذا دارای مساحت های EF,GHهمانند

برابر می باشند.

:اصل کاوالیری در مورد حجم کاوالیری اصل مشابهی در مورد حجم دارد که در کتابهای هندسی سه

بعدی به قضیه کاوالیری شهرت دارد، این اصل بیان می کند که اگر دو جسم دارای ارتفاع برابر باشند و اگر مقطع ایجاد شده که بوسیله

صفحات موازی با پایة و در فاصله مساوی از پایه دارای یک نسبت ثابت باشند آنگاه حجم آنها دارای همین نسبت است.

با استفاده از این اصل کاوالیری اثبات کرد که حجم مخروط محدوددر یک استوانه یک سوم حجم استوانه است.

او همچنین مساخت زیر دو منحنی که در نمایش کنونی به صورتy=g(x) وy=f(x) نشان داده می شوند را در یک بازه مشابه ازx مورد

بررسی قرار داد. مساحت را جمع عرض ها در نظر گرفت. اگر عرض یکی از دو منحنی نسبتی از دیگری باشد، مساحت آن دو نیز

دارای همین نسبت است.

او با این روش درCentrio di varii problemi :نشان داد

غیر قابل تقسیم های کاوالیری توسط معاصرانش مورد

انتقاد قرار می گرفت کاوالیری تالش می کرد که به آنها

پاسخ دهد اما نتوانست به طور دقیق دلیل آورد.

او بارها ادعا کرد که روش او یک وسیله عملی در برابر

روش های قدیمی است. با این وجود عده زیادی از

ریاضی دانان از روش او ایراد می گرفتند.

سایر ریاضی دانان همانند فرما،پاسکال و روبروال از این

روش استفاده می کردند با این تفاوت که آنها مساحت را جمع

بی نهایت مستطیل کوچک در نظر می گرفتند، نه جمع خطوط

روبروال بیان کرد که با استفاده از ماهیت 1634در سال

روش غیر قابل تقسیم ها توانسته است مساحت زیر قوس

سیکلوئید )شبه دایره( را بدست آورد. او برخی اوقات ادغان

می کرد که مستقل از روش غیر قابل تقسیم ها مساحت را

بدست آورده است، ما در واقع او به بی نهایت خطوط،

سطوح و حجم های غیر قابل دیدن که به بخش های جزئی تر

تقسیم نمی شوند اعتقاد داشت.

.او روش خود را » روش بی نهایت ها« نامید

روش روبروال در به دست آوردن مساحت زیر

سیکلوئید آموزنده است.

در نظر بگیریم کهOABP مساحت

زیر نصف قوس سیکلوئید باشد،

OC قطر دایره مولد وP یک نقطه

در PQ=DF روی قوس باشد و نیز

نظر بگیریم. اگر مبدأ مختصات را

ها را xو محور OQBوسط منحنی

در نظر بگیریم، OAبموازات

است که ، OQBمنحنی

a.شعاع دایره مولد است

روبروال اظهار کرد که منحنیOQB

را به دو قسمت مساوی DABCمستطیل

در DQتقسیم می کند زیرا هر خط مانند

OQBC متناظر با خطRS درOABQ است

لذا با استفاده از اصل کاوالیری دو

مساحت فوق مساوی اند.

ارتفاع مستطیلOABC برابر قطر دایره

مولد و طول آن برابر نصف محیط دایره

مولد است بنابراین مساحت آن برابر

مساحت دایره مولد است، لذا مساحت

OABC .برابر مساحت دایره مولد است

چونDF = PQ با استفاده از

اصل کاوالیری نشان داده

و OQBمیشود که مساحت بین

OPB برابر مساحت نیم دایره

OFC .است

پس مساحت زیر نیم قوس

برابر نصف مساحت دایره

مولد است.

روش های مهم و جدید محاسبه سطح، حجم و ... با

تغییراتی که در روش های قدیمی یونانی داده می

شد شروع می شد.

به عنوان مثال در نظر داریم مساحت زیر منحنی

را از تا بدست آوریم.

ازO تاB را بهn قسمت مساوی به طولd .تقسیم می کنیم

جمع توانm ازn عدد طبیعی متوالی که از یک شروع شود

بوسیله پاسکال و فرما بدست آمده بود لذا:

پس دلیل آوردند که می توان از دو ترم آخر وقتی که n بی

نهایت باشد، صرفه نظر کرد. از آنجایی که مفهوم حد هنوز

معرفی نشده بود یا تنها یک درک خام از آن داشتند صرفه

نظر کردن از دو ترم آخر توجیهی نداشت.

قبل از نیوتن والینیز کسی که بیشترین تالش را در

معرفی روش های تحلیلی در حساب دیفرانسیل

بود . ( John wallis 1616 – 1703)وانتگرال داشت جان والیز

وی در حدود بیست سالگی شروع به یادگیری ریاضی

کرد .) رشته تحصیلی و در دانشگاه کمبریج الهیات

بود (

. او استاد هندسه در آکسفورد شد

والیز بعد از نیوتن با استعداد ترین ریاضی دان

بریتانیایی قرن خود بود .

یکی از نتایج برجسته والیز که در حین کوشش برای

محاسبه تحلیلی مساحت دایره بدست آمد یک عبارت

ها x بود او مساحت محدود به محور πجدید برای

محاسبه کرد .x تا 0ومنحنی با توابع زیر را بین

:و به ترتیب به مساحتهای زیر رسید

وقتیx=1: باشد این مساحتها عبارت اند از

حال اگر دایره با معادله داده شدهباشد با استفاده از استقرار و دروی یابی والیز

او با استداللی پیچیده مساحت آن را محاسبه کرد .تر به عبارت زیر دست یافت :

کار روی حساب دیفرانسیل و انتگرال در دو سوم

خودش را در جزئیات گم کرد .17اول قرن

در تالش هایشان برای بدست آوردن روابط دقیق از

طریق هندسه باعث شد که بساری از بکار کردو و

کاوش در مفاهیم جدید جبر و هندسه مختصاتی

قصور ورزند.

نیوتن کارهایی را در مکانیک فضایی ، نور ، شیمی ، هیدرو

استاتیک ، هیدرودینامیک ، میرایی آونگ و سقوط اجسام کروی در

آب و هوا انجام داد.

از آنجایی که حساب دیفرانسیل و انتگرال اهمیت داشت ، نیوتن

ایده هایی را که قبالN توسط تعداد زیادی پیش برده شده بود تعمیم

داد و روش های تکامل یافته ای را ساخت .

( اگر چه او به عنوان دانشجو چیزهای زیادی را از باروBarrow )

آموخت اما در جبر و دیفرانسیل و انتگرال او تحت تأثیر کارهای

والیز بود .

تفکرات نیوتن در دیفرانسیل و انتگرال تحلیلی بود اما او می

پنداشت که برای اثبات دقیق مسائل، هندسه الزم است .

مقاله ای را با عنوان 1669وی در سال De Aralysi per

Aequationes Numero Terminovum Inhinitas تحلیل بوسیله (

معادالت با بی نهایت جمله ( به دوستان خود فرستاد

چاپ نشد . وی فرض کرد 1711. این مقاله تا سال

است داشته zکه یک منحنی که سطح زیر آن

باشیم :

m عدد صحیح یا کسری

او بیان کرد که با یک افزایش بی اندازه کوچک درx نمو( x )

نشان داده شد در مورد مساحت محصور بوسیله oکه با

که آن را با x+oها و خط عمود در yها محور xمنحنی ، محور

z+oy ( نشان دادoy :داریم )نمو مساحت است

او از قضیه دو جمله ای در طرف راست استفاده کرد و به

کسری باشد دست یافت . با mیک سری بی نهایت وقتی که

و صرفه نظر o( و تقسیم کردن آن بر 2( از )1کم کردن )

هستند او به رابطه زیر oکردن از ترم هایی که هنوز شامل

دست یافت :

نتیجه می شود اگر منحنی باشدمساحت زیر آن عبارت است از:

در این فرآیند نه تنها به یک روش عمودی برابر پیدا

کردن نسبت تغییر یک متغییر در برابر یک متغییر

در مثال قبل ( دست یافت ، بلکه x در برابر zدیگر )

نشان داد که مساحت را می توان با فرآیندهای

معکوس پیدا کردن نسبت تغییر بدست آورد .

پس از نشان دادن اینکه مشتق مساحت مقادیرy

است و اثبات اینکه عکس این قاعده هم صحیح است

، نیوتن این قاعده را ارائه داد که : اگر مقداریy به صورت جمع تعدادی جمله باشد آنگاه

مساحت نیز جمع مساحت ناشی از هر یک از آن جمالت

است . ) در بیان کنونی ، انتگرال نا معین جمع توابع برابر

جمع انتگرال تک تک آن توابع است (

در قسمت بعدی مقاله نیوتن از سری های بی

نهایت برای محاسبه انتگرال استفاده کرد.

برای انتگرال گیری از او را بر

تقسیم کرد و به عبارت زیر دست یافت :

سپس او توانست با استفاده از انتگرال گیری از تک

تک جمالت ، مقدار انتگرال را بدست آورد

همچنین برای انتگرال گیری از او از بسط دوجمله ای استفاده کرد و نوشت:

و سپس از تک تک جمالت انتگرال گرفت. وی همچنین بیان کرداگر به صورت داده شده باشد با استفاده از بسط

دو جمله ای می رسیم به :

او اظهار داشت هنگامی کهx به اندازه کافی کوچک است از بزرگ است باید xبسط اول باید استفاده کرد اما هنگامی که

از بسط دوم بهره جست.

بنابراین او تا حدی از آن چیزی که ما آن را همگرایی می نامیمآگاه بود اما نماد دقیقی برای آن نداشت .

نیوتن در راه رسیدن به حساب دیفرانسیل و انتگرال ازچیزی استفاده کرد که می توان آن را روش بی نهایت

کوچک ها نامید . نموها مقادیر بی نهایت کوچک هستند . البته منطق نیوتن واضح نبود . او در کتاب خود بیان کرد که روش او بیشتر از اینکه به دقت نشان داده شده باشد

مختصراN توضیح داده شده است . نیوتن در کتابMethoelus Fluxionum et serierum Infinitarum

تفسیر وسیع تر و صریح تر از ایده خود را ارائه داد . چاپ نشد .1736 نوشته شد ام تا سال 1671این کتاب در سال در این کتاب نیوتن بیان کرد که متغیرهای او از حرکت پیوسته

نقاط ، خطوط و صفحه ها به دست می آیند نه از جمع استاتیک المان های بی نهایت کوچک که در مقاله اول بیان شده بود .

( او مقدار متغیر را سیالfluent و نرخ تغییرات را فلو )(fluxion.نامید )

او نماد و را برای فلوها و و را برای سیال ها به کاربرد .

در مقاله دوم نیوتن توانست تا حدی به صورت واضح تررابطه میان دو سیال داده شده باشد ، رابطه میان مسئله اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را بیان کند :

فلو آنها را بیابیم و بالعکسرابطه میان دو سیال داده شده باشد ، رابطه میان

فلو آنها را بیابیم و بالعکس

یک نیوتن به تغییر زمان هم فکر کرد . بنابراین اگر

بازه بی نهایت کوچک از زمان باشد، آنگاه و

( y وx )نمو y وxافزایش بی نهایت کوچک در

به عنوان y و x هستند . برای پیدا کردن رابطه میان

مثال فرض کنید سیال باشد . نیوتن در ابتدا نشان

داد :

و سپس معادله قبل را مانند مقاله اولش پیش برد . او

سمت راست معادله قبل را به وسیله قضیه دوجمله ای

گسترش داد . سپس را از آن کم کرد و حاصل

تقسیم کرد . در نهایت از جمالتی که هنوز oرا به

صرفه نظر کرد و به عبارت زیر رسید:o شامل

که در نمایش کنونی نتیجه را می توان به شکل زیرنوشت :

لذا نیوتن در یافتن نسبت به ) نسبت

به ( توانست را نیز پیدا کند .

و را وقتی رابطه میان و یافتن رابطه میان

داشته باشیم بسیار سخت تر از انتگرال گیری تابعی

تنها از متغیر است . در این مورد نیوتن در چند مورد

بحث کرد :.وقتی ، و یا موجود باشند

.وقتی ، ، و موجود باشند

.وقتی ، ، و و سیالها موجود باشند

نوع اول از همه ساده تر است که در نمایش کنونی

حل نامیده می شود.

در مورد نوع دوم نیوتن را با یک

پروسه موفق تقریب حل کرد . او ابتدا با

به عنوان اولین تقریب شروع کرد و را به عنوان تابعی

از بدست آورد در نهایت این مقدار را در سمت راست

معادله اصلی به کار برد . نیوتن پروسه فوق را توضیح داد

اما آن را توجیه نکرد.

،در مورد نوع سوم او در مورد بحث کرد

به صورت باشد. او ابتدا فرض کرد رابطه میان و

بنابراین لذا معادله تبدیل می شود به

، لذا رابطه میان و به صورت است .

نیوتن به استفاده از سری های بی نهایت اهمیت

می داد زیرا به وسیله آن میتوانست تابعی همچون

را هم مورد بررسی قرار دهد . در حالیکه

دانشمندان قبل از او خودشان را به کل تابع جبری

گویا محدود می کردند .

سومین مقاله را حساب دیفرانسیل و انتگرال در کتابTractatus

de Quadratura Curvarum 1676) یک چهارم منحنی ها ( در سال

منتشر شد . نیوتن این بار 1704نوشت . این مقاله در سال

مقادیری بی نهایت کوچک را رها کرده است . او می گوید :

در ریاضی از کوچکترین خطا هم نمی توان چشم پوشی کرد . من «

در اینجا کمیت های ریاضی را تشکیل شده از اجزای خیلی کوچک در

نظر نمی گیرم بلکه آنها را به عنوان یک حرکت پیوسته توصیف می

کنم .«

البته منطق این مقاله بهتر از دو مقاله قبلی نبود . با این

وجود نیوتن می گفت روش او با هندسه و یافته های قبلی

هماهنگی دارد و نیازی به معرفی مقادیر خیلی کوچک نیست .

در کتاب method of fluxions نیوتن به معرفی تعدادی از کاربرد

فلو ها پرداخت : مشتق گیری ضمنی از توابع ، یافتن مماس بر

منحنی ، پیدا کردن ماکزیمم و می نیمم توابع ، انحنای منحنی

ها و نقطه عطف منحنی ها . او همچنین مساحت و طول

منحنی ها را هم بدست آورد . در ارتباط با انحنا او توانست

فرمولی صحیح برای شعاع انحنا ارائه دهد .

او همچنین تعادیر مشابهی را در دستگاه قطبی ارائه داد. در

پایان یک جدول از انتگرال را اضافه کرد .

در کتابprincipia نیوتن از روشهای هندسی برای اثبات نظریاتش

استفاده کرد . هر چند در مقاالتی که او آنها را مقاالت پورت موث

نامید از روش های تحلیلی برای یافتن برخی قضیه ها استفاده

کرد .

: دالیلی که او برای اثبات قضیه ها به سراغ هندسه رفت

. اثبات های هندسی برای هم دوره هایش بیشتر قابل درک بود

( او کارهای هندسی هایگزHuyens را بی اندازه تحسین می کرد و )

امیدوار بود که بتواند مشابه آن کار را انجام دهد .

در اثبات های هندسی نیوتن از مفاهیم پایه حد استفاده کرد . به

عنوان مثال مساحت زیر منحنی را به عنوان حد مجموع مستطیل

های تقریبی در نظر گرفت .