The Nuclear force from lattice QCDThe Nuclear force from lattice QCD

石井理修 ( 筑波大 )

青木慎也 （筑波大）初田哲男 （東京大）

★ Plan of the talk:

Introduction and Backgroud

Formalism

Lattice QCD results

Summary

For detail, see N.Ishii, S.Aoki, T.Hatsuda, nucl-th/0611096.

See alsoF.Wilzcek, Nature 445(Jan.11,2007) p.156.

START

Introduction

核力は核物理においてもっとも重要な基本概念の一つ。

中間距離から長距離の引力は原子核が 束縛するために必須。

近距離の斥力芯は、テンソル力、交換力と相俟って、　原子核の安定性に重要。

核力 ( 特に近距離の斥力芯 ) は超新星爆発や高密度星の 上限質量の議論において重要な影響力をもつ。

湯川秀樹の最初の論文以降 H. Yukawa, Proc. Math. Phys. Japan 17, 48 (1935)

非常に多くの研究が精力的になされ続けている 重要なターゲット。

The nuclear force

AV16 is fromR.B.Wiringa et al., PRC51, 38 (1995).

Reid93 is fromV.G.J.Stoks et al., PRC49, 2950 (1994).

Introduction (cont’d)

核力の性質は空間的に 3 つの領域に分割されて理解される。 長距離領域 (r > 2fm) OPEP （ one pion exchange ）が支配的。

中間距離領域 (1fm < r < 2fm) 中間子論の立場からアクセス可能。

— heavier meson exchanges such as “σ”, ρ, ω,...

— multi pion exchange

近距離領域 (r < 1fm) この領域の理解は遅れている。

— 斥力芯の物理的起源は未だ決着がついていない (1) phenomenological repulsive core model (2) vector meson exchange model (3) constituent quark model Pauli forbidden states color magnetic interaction (4) その他

— この領域では核子が重なり合うため、 quark/gluon の自由度に基づいた核子の内部構造 の情報を反映するはずである。

— このため、 QCD に基づいた核力の理解が長い間望まれていた。 .

～ 2π

The nuclear force

AV16 is fromR.B.Wiringa et al., PRC51, 38 (1995).

Reid93 is fromV.G.J.Stoks et al., PRC49, 2950 (1994).

ポテンシャルに対する格子ＱＣＤからの従来のアプローチ static qqbar ポテンシャル （格子 QCD で最も成功している方法の一つ）

q と qbar の位置を固定するため、質量無限大の二つの static quark (Wilson line) を導入する。

NN ポテンシャルへの拡張はすでに試みられている。 核子の位置を固定するため、それぞれの核子 cf) T.T.Takahashi et al., AIP Conf.Proc.842,246(2006). 中に static quark を一つづつ導入する。

この方法は直感を刺激するうまい方法であるが、現在のところあまりうまくいっていない。

この手の static quark を駆使する方法では、現実的な核力には到達できない。 ( 散乱長や位相差を正しく出せるとは期待できない )

mmvx as0/from G.S.Bali et al., PRD46,2636(’92)

potentialqq

★ meson 間ポテンシャルや color SU(2) まで含めると かなりたくさんの研究がある。 ( 出版されているもののみ ) D.G.Richards et al., PRD42, 3191 (1990). A.Mihaly et la., PRD55, 3077 (1997). C.Stewart et al., PRD57, 5581 (1998). C.Michael et al., PRD60, 054012 (1999). P.Pennanen et al, NPPS83, 200 (2000). A.M.Green et al., PRD61, 014014 (2000). H.R Fiebig, NPPS106, 344 (2002); 109A, 207 (2002). T.Doi et al., AIP Conf. Proc. 842, 246 (2006).

我々は全く違う方法を用いる。CP-PACS collaboration により ππ 散乱の研究で以下の論文中で用いられた方法

CP-PACS collab., S. Aoki et al., PRD71,094504(2005)

を核子系に拡張する。

特徴

前のスライドのような static quark を駆使する方法では、現実的な NN ポテンシャルには到達できない。 .

我々の方法は、これとは全く異なる。

近い将来実験に忠実な NN ポテンシャルを提供できる可能性を秘めている。

)(

)(

2

1)(

2

x

xErV

Symbolic な表式

Sketch of our method:

(1) 格子 QCD を用いて、 NN の波動関数を構成する。

(2) NN の波動関数が Schrodinger 方程式を満たすことを要請して、波動関数から NN のポテンシャルを逆算する。

The Formalism

☆ Effective Schroedinger eq. for NN system.

☆ 導出については、 S.Aoki et al., CP-PACS Collab., PRD71, 094504 (2005) 。

☆ k は相互作用が切れた領域における” asympototic momentum” みたいなもの。

☆ 相互作用 kernel U(r-r’) は一般には non-local で、” asymptotic momentum” k(⇔total energy E) に依存する。

☆ 相互作用 kernel U(r-r’) に、様々な対称性の要請を課す。 低エネルギーで derivative展開する。

⇒ NN の Schrodinger 方程式 :

☆ 波動関数 φ(r) があらかじめ分かっている場合 , ポテンシャルは次のように書ける。

)()()( 322 rrrUrdmrk N

).()()()(

).()(),(2

12

OSLrVSrVrVV

rrUrrrV

LSTCNN

NN

)()()(2

2

rErVr NN

)(

)(

2

1 2

r

rEVNN

←schematical ∵ VNN は微分や行列構造を含んでいるので、

このままの形では使えない！

2,

2

2Nmk

E

reduced mass

★ L=0, S=0 V⇒ C(r) しか残らない !

★ 最も普通の Schroedinger 方程式に帰着する。

★ VC(r) は通常の関数である。 ⇒ VC(r) は次のように表せる。

1S0 channel ( この channel に 注目すると、先の問題はおこらない )

)(

)(

2

1)(

2

r

rErVC

)(

)()()()( 212

rV

OSLrVSrVrVV

C

LSTCNN

)()()()(2 C

2

rErrVr

今度は正しい

あらかじめ φ(r) が知られている場合、この式を使って、ＮＮポテンシャルを計算できる。

★ 3D1 と結合し、すべての成分が生き残る。

★ これらを求めるためには、 3 本方程式を連立させて求める。例えば、

3S1, 3D1, 3D2

⇒ VC(r), VT(r), VLS(r) すべてが一度に求まる ( はずである ) 。

★ 今回は、簡単のため、 1S0 と全く同じやり方を 3S1 に適用する。 3S1 の波動関数は exact なものを使っていることに注意。

　　⇒ ◎ 結果として求まるもの : 核構造で ” effective central force” と呼ばれているもの。 ⇔ 3D1 が VT(r) で結合する効果を繰り込んだ VC(r)

3S1 channel (deuteron の channel)

)()()()( 212

OSLrVSrVrVV LSTCNN

QCD では、 non-rela. の NN 波動関数は本当は近似的な概念である。 この概念に最も近いものは、

同時刻 Bethe-Salpeter(BS) 波動関数

標準的な proton operator と neutron operator

これらの operator は、 x の proton と、 y の neutron を probe するために用いる。

baryon # = 2 sector における最低エネルギー状態 ( 要するに、 pn state)

最も素朴には、次のようなものを image する :

BS amplitude を使って、 non-rela の波動関数部分 φ(x,y) を |pn〉から引き出せる。

NN の波動関数

pnynxpyx )()(0)(

,5)( cbaabc udCuxp ,5)( cbaabc ddCuyn

pn

)()()(33 yxynxpydxdpn

the state, where proton is located at xand neutron is located at y.

a weight, which plays a role of the non-rela wave function

Degrees of freedomnot attributed to NN

k

ttkEkpn

ttE

m

NN

kpnyxeA

npmemynxp

tntptyntxp

ttyxF

pn

m

))(;(

0)0()0()()(0

0),0(),0(),(),(0

);,,(

)()()(

)(

00

0

02

0

格子 QCD による BS 波動関数 :

m

mm1

);( myx

mANN 以外の中間状態

★ 十分大きな t では、励起状態からの寄与は指数関数的に suppress される。 基底状態の NN系の BS 波動関数を取り出せる。

)()()(0))(;( groundground kpnynxpkpnyx

これを先ほどの式に代入して

NN ポテンシャルを求める。)(

)(

2

1)(

2

r

rErVC

proj. wave func.

1. Quenched QCD is used.

2. Standard Wilson gauge action. β= 6/g2 = 5.7 (⇔ ゲージ結合定数 )

格子間隔 : a ～ 0.14 fm（ from ρmass in the chiral limit ）

体積 : 324 lattice (L ～ 4.4 fm)

統計 : 500－ 1900 gauge configs(3000 sweeps for thermalization. The gauge config is separated by 200 sweeps)

3. Standard Wilson quark action κ=0.1665 (⇔u, d のクォーク質量 )

mπ ～ 0.53 GeV, mρ ～ 0.88 GeV, mN ～ 1.34 GeV （ strange quarkより少し軽いくらい）( 格子 QCD Monte Carlo計算は、クォーク質量が軽くなるにつれて計算量が膨大になる )

Dirichlet BC along temporal directionWall source on the time-slice t = t0 = 5NN wave function is measured on the time-slice t-t0 = 6

4. Blue Gene/L at KEK has been usedfor the Monte Carlo calculations.

Lattice QCD parameters

cf) M.Fukugita et al., Phys. Rev. D52, 3003 (1995).

真空中の qqar 対生成を抑制する近似

The Lattice QCD result for NN wave function

★ 近距離での shrink

⇒ 斥力の存在

★ 波動関数の３D プロット

r > 0.7 fm では、座標軸の nearest neighbor のみで計算が行われている。 ( 足が４本でているのはその為。 全ての点を計算すると 60倍大変になる !)

波動関数の回転対称性が見える。

★ 長距離で dominant になる diagram は現在の計算に 取り込まれている。

長距離で one π exch に対応。

★ iso-scalar qqbar 交換の方には quench 近似に起因するいびつ 性が入る。

The Lattice QCD result of NN potentialThe effective central force for 3S1.

ｔ に関する収束性

近距離の斥力芯 ～ 500 ～ 600MeV

constituent quark model によると、軽い quark mass 領域で enhance される。

中間距離の引力 ～ 30 MeV

重い mπ のせいで引力が弱くなっている。 .

⇒ mπ が軽くなると、 virtual pion は 長距離を propagate できるようになる。 ⇒ stronger attraction.

3S1 の有効中心力は 1S0より若干つよい。 （ deuteron に都合がよい）

quark mass 依存性

近距離の斥力芯が急激に成長。

中間距離の引力が若干成長？ ( 深さはあまり変わらず、幅が広がる？この部分は収束が遅いのでもっと統計が必要 )

軽い quark mass で Monte Carlo 計算することが、 実験と比較できる核力を得るために絶対必要。（今後の課題）

PRELIMIN

AR

Y

このポテンシャルは”正しい散乱長” を出す (by construction)

⇔ 次の二つが L→∞ で等価であることを示せる。 この方法で作ったポテンシャルに 通常の散乱理論を適用して求めた散乱長。

Luescher の有限体積の方法を使って直接求められる散乱長。

★ Luescher の有限体積の方法

1. 波動関数 φ(x) を相互作用の range の外で C と k を fitparameter として左の表式で fit する。

2. 求まった k を次の表式に代入して散乱長を求める。

結果 : a=0.123(39) fm

)(4)(

lim00

00 kg

k

k

ka k

★ 通常の散乱理論を使った方法

1. まず次の表式に注意する。

2. 波動関数 φ(x) を E=0 の波動関数と identify して r×φ(x) を相互作用のrange の外で線形 fit

結果 : a=0.066(22) fm

arkAk

kkrk

kAkxrGxr

)0(

)(sin)();()(

0

★ comments:(1) 正味の相互作用は引力である。(2) 実験値 a ～ 20fm と比べて非常に小さいのは、　 pion が重く引力が稼げないため

相互作用が切れた領域では波動関数は漸近的にHelmholz 方程式

のグリーン関数で表せる。

)();()( 22 xkxGk L

00

000

00

)(223

)(sin)(

)sin()()cos(4

1

)()()(4)(4

1);(

32

l

l

llml

l

lmxlm

p

xpi

kkrkr

kA

krkgkrk

kr

krjkgYkrnk

kp

e

LkxG

L

Z

)())(tan(

,)()(

11)(

000

200

2

223003

kg

kk

kgkkA

kpLkg

Lp

Z

0)()( 22 xk

);()( kxGCx

★ Locality of our NN potential:

この研究では NN のポテンシャルに次の Ansatz を使った :

ポテンシャルが local であるとするこの Ansatz は、仮定である。 でも、これは一個だけの波動関数からポテンシャルを再構成している限り避けられない。

将来的には複数の波動関数を使ってポテンシャルを再構成することにより、 non-locality も研究する。

Uncertainties of our potential

★ Interpolating field 依存性 :

◎ standard nucleon operators:

これらの operator は核子の excited state とも overlap をもつ。 ⇒ “ inelastic contribution” （← non rela. の NN 波動関数との関係を損ねる危険性をもつ）

interpolating field依存性は近い将来調べなければならない。

p

m

I(x-y)NNynpNpNxp

NNynmmxpNNynxp

)()()()(0

)()(0)()(0

“inelastic” contribution 長距離で指数関数的に減少。

非常に rough な評価では、低エネル ギーであまりきかない。

MeV140

MeV)9402/()MeV2()2/(

elastic

Inelastic 22

m

mpR

,5,5 )(,)( cbaabccbaabc ddCuynudCuxp

).()()()( 212

OSLrVSrVrVV LSTCNN

Summary1. 格子 QCD を用いて NN potential を計算した。

最近 CP-PACS collaboration によって ππ 散乱長の研究に用いられた方法をNN に拡張した。

2. 核力の定性的な部分は再現されていた。 近距離（ r < 0.5 fm ）の斥力芯（～ 600 MeV ） .

中間距離 (0.5 fm < r < 1.2 fm) の引力 ( ～ 30 MeV). (The attraction is weak due to the heavy pion (mπ ～ 530 MeV).)

3. クォーク質量依存性の preliminary な結果から、小さいクォーク質量領域では 近距離の斥力芯が成長

中間距離の引力が成長（深さはあまり変化せず、幅が広がる？もっと統計が必要）

4. 将来計画： 斥力芯の物理的起源

(dependences on the quark mass, the flavor structure, ...)

ハイペロン相互作用 (ΣN, ΛN, ΛΛ, ΞN, etc.) 、 mson-baryon 系。NΞ系、 H-particle channel等 [根村さん ]

LS 力、テンソル力 ( そして、 3体力 )

ポテンシャルの E依存性、非局所性。その他方法論としての整備。

unquenched QCD, physical quark mass, large spatial volume,finer discretization, chiral quark actions, ...

http://www.jldg.org

ILDG (International Lattice Date Grid)

and

JLDG (Japan Lattice Data Grid) PROJECT 目的：

一旦生成されたゲージ配位を グリッドテクノロジーを用いて 世界 /日本国内で share する。

⇒ high quality なゲージ配位が 我々の手の届くところに。。。

秋口にグリッド運用開始予定。

地球シミュレータで JLQCD +CP-PACS が生成したゲージ 配位が download 可能予定。

非常に近い将来、 physical quark mass のゲージ配位が提供される 可能性が大きい。