Cc chuyn Hnh hc 12 Chng trnh Nng cao Trang 1 Gio vin: HUNH VN KHNH Mob: 0985.804.279 Chuyn I:T TH H T T C CH H K KH H I I A A D DI I N N A. TM TT L THUYT PHNG PHP GII TON. 1. Cc cng thc th tch. a. Th tch khi hp ch nht:V abc = , trong a, b,c l di ba kch thc. b. Th tch khi lp phng: 3V a = , trong a l di cnh.c. Th tch khi chp: 1.3V B h = , trong B l din tch y, h l di ng cao. d. Th tch khi lng tr:. V B h = , trong B l din tch y, h l di ng cao. 2. Cc khi chp c bit. a. Khi chp c mt cnh bn vung gc vi y: ng cao ca khi chp chnh l cnh bn . b.Khichpu:ngcaocakhichpulonthngninhvtmcaa gic y. 3. Cng thc t s th tch. Cho hnh chp S.ABC. Gi', ', ' A B Cln lt nm trn cc cnh SA, SB v SC. Khi , ta c: . ' ' '.' ' 'SA B CSABCV SA SB SCV SA SB SC= (1) Cng thc (1) c gi l cng thc t s th tch. 4. Kin thc lin quan. a. Cng thc tnh din tch hnh vung, hnh ch nht, hnh thang. b. Cc cng thc tnh din tch tam gic (ch cc cng thc ng cao v din tch ca tam gic u). c. Cc h thc lng trong tam gic vung. d. nh l hm s sin v nh l hm s cosin. B. BI TP P DNG. I. TH TCH KHI CHP. Bi 1. Tnh th tch ca khi t din u ABCD cnh a. Bi 2. Cho hnh chp tamgic u S.ABC c y ABC l tamgic u cnh a. Cnh bn hp vi y mt gc . Tnh . SABCVtheo a v .Bi3.ChohnhchptamgicuS.ABCcyABCltamgicucnha.Mtbnhp vi y mt gc . Tnh . SABCVtheo a v . Bi 4. Cho hnh chp t gic u S.ABCD c y ABCD l hnh vung cnh a. Cnh bn hp vi y mt gc . Tnh . SABCDVtheo a v .Bi5.ChohnhchptgicuS.ABCDcyABCDlhnhvungcnha.Mtbnhp vi y mt gc . Tnh . SABCDVtheo a v . Bi 6. Tnh th tch khi chp t gic u S.ABCD c cnh y bng a v gc ASB = . p dng: Tnh . SABCDVtrong trng hp 060 = .Cc chuyn Hnh hc 12 Chng trnh Nng cao Trang 2 Gio vin: HUNH VN KHNH Mob: 0985.804.279 Bi 7. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh thoi cnh a, 0120 ABC = . Cho SA vung gc vi y v2 . SC a = Tnh th tch hnh chp S.ABCD. Bi8.ChohnhchpS.ABCDcyABCDlmthnhthangcn(AB//CD)vi 20 , 15 , 25 . AC cmBC cmAB cm = = = ChoSAvunggcviyv18 . SA cm = Tnhthtch ca khi chp. Bi 9. Cho hnh chp S.ABC c SAvunggcvi y. Mt bn SBCl tamgic u cnh a. Cho 0120 BAC = . Tnh . SABCV . Bi10.ChokhichpS.ABCcngcaoSAbnga,yltamgicvungcnc AB BC a = = .Gi' B ltrungimcaSB,' C lchnngcaohtAcatamgic S.ABC. a. Tnh th tch khi chp S.ABC. b. Chng minh SC vung gc vi( ' ') AB C . c. Tnh th tch khi chp. ' '. S AB CBi 11. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh bnh hnh. Gi M l trung im SC. Mt phng (ADM) ct SB ti N. Tnh t s th tch ca hai khi chp S.ADMN v S.ABCD. Bi12.ChoimMtrncnhSA,imNtrncnhSBcakhichptamgicS.ABCsao cho 1, 22SM SBMA NB= = . Mt phng (P)qua MNv song songviSC chia khi chp thnhhai phn. Tm t s th tch ca hai phn . Bi 13. Chohnh chp S.ABCD c yABCDl hnh bnhhnh. Gi Gl trng tm ca tam gic SBC. Mt phng (ADG) ct SB ti N v ct SC ti M. Tnh t s th tch ca hai khi chp S.ADMN v S.ABCD. Bi 14. Chohnh chpS.ABCD c yABCDlhnh bnhhnh tm O. Ml trung im ca cnh SC. Mt phng (P) qua AM v song song vi BD ct SB ti' Bv ct SD ti' D . Tnh t s ca hai khi chp. ' ' S AB MDv S.ABCD. Bi15.ChohnhchpS.ABCDcyABCDlhnhbnhhnhtmO.Iltrungimca SO. Mt phng (Q) qua AI v song song vi BD ct SB ti' B , ct SC ti' C v ct SD ti' D . Tnh t s ca hai khi chp. ' ' ' S AB CDv S.ABCD. Bi 16. Cho tamgicABCvung cn A v. AB a =Trn ng thng qua Cvvunggc vi mp (ABC) ly im D sao choCD a = . Mt phng qua C vung gc vi BD ct BD ti F v ct AD ti E. Tnh th tch khi t din CDEF theo a. Bi17.ChohnhchptamgicS.ABCcyABCltamgicucnha.SAbnghv vung gc vi y. Gi H v I ln lt l trc tm ca cc tam gic ABC v SBC. a. Chng minh IH vung gc vi mp(SBC). b. Tnh th tch t din IHBC theo a v h. Bi18.ChohnhchptgicuS.ABCD,ylhnhvungcnha,cnhbntoviy mt gc 600. Gi M l trung im ca SC. Mt phng i qua M v song song vi BD ct SB ti E v ct SD ti F. Tnh th tch khi chp S.AEMF. Bi 19. Cho hnh chp tam gic O.ABC c ba cnh OA, OB, OC i mt vung gc vi nhau v, , OA aOB bOC c = = = . Cc chuyn Hnh hc 12 Chng trnh Nng cao Trang 3 Gio vin: HUNH VN KHNH Mob: 0985.804.279 a. Tnh . OABCVv ng cao OH theo a, b v c. b. Tnh din tch tam gic ABC. Bi20.ChohnhchpS.ABCcSAvunggcviy.ABCltamgicvungtiB, 3, 2 . AB a AC a = =Gc gia hai mp (SBC) v (ABC) bng 600. Gi M l trung im ca AC. Tnh . SBCMVv khong cch t M n (SBC). Bi 21. Chohnh chpS.ABC c yABC l tamgic vung cn tiB,, ( ) AB aSA ABC = v2 SA a = . Gi H, K ln lt l hnh chiu ca A ln SB v SC. Tnh SC v . SAHKVtheo a. Bi22.ChohnhchpS.ABCDcyABCDlhnhchnht,SAvunggcviyv , , . AB a AD b SA c = = =Ly', ' B Dtheo th t thuc SB, SD sao cho' AB SB v' AD SD . Mt phng( ' ') ABDct SC ti' C . a. Chng minh' . AC SC b. Tnh th tch cc khi chp S.ABCD v. ' ' '. S AB CDBi 23. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh ch nht tm O,6 , 8 . AB a BC a = = Cc cnh bn bng nhau v bng 13a.a. Chng minh( ) SO ABCD . b. Tnh . SABCDVtheo a. c. GiKltrng tm ca tamgic SAC.Mtmt phng( ) quaBKv song songvi AC ct SA, SC v SD ln lt ti M, P v N. Tnh . SBMNPVtheo a. Bi 24. Cho hnh chp tam gic u S.ABC c cnh AB bng a. Cc cnh bn SA, SB, SC to vi y mt gc 600. Gi D l giao im ca SA vi mp qua BC v vung gc vi SA. a. Tnh t s th tch ca hai khi chp S.DBC v S.ABC. b. Tnh th tch ca khi chp S.DBC. Bi25.ChohnhchptamgicS.ABCc5 , 6 , 7 . AB a BC aCA a = = = Ccmtbn(SAB), (SBC) v (SCA) to vi y mt gc 600. Tnh th tch khi chp . Bi 26. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh thang cn (AB//CD),4 , 8 AB a DC a = =v 060 ADC = . Cho( ). SD ABCD a. Tnh . SABCDV . b. Mt phng( ) qua AB v trung im M ca SC ct SD ti N. Tnh . SABMNV . Bi 27. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh vung cnh a. SA vung gc vi y v 2 . SC a =a. Tnh . SABCDV . b. Ly M ty trn cnh BC. Tnh . SAMDVtheo a. c.Mtphng( ) quaAvvunggcSCti' C ctSBti' B vctSDti' D .Tnh . ' ' ' SAB CDVtheo a. d. K SH vung gc vi DM ti H. Tm v tr ca M trn BC sao cho . SADHVl ln nht. Bi 28. Chohnh chpS.ABC c yABC lmt tamgicvung cn tiB,2 AB a = . Cho ( ) ( ) SAC ABC , trong SAC l tam gic cn ti S v 0120 ASC = . Cc chuyn Hnh hc 12 Chng trnh Nng cao Trang 4 Gio vin: HUNH VN KHNH Mob: 0985.804.279 a. Gi H l trung im ca AC. Chng minh( ) SH ABC . b. Tnh . SABCV . Bi 29. Cho hnh chp S.ABC c y ABC l tam gic cn ti A, SA vung gc vi y. Gi G l trng tm ca tam gic SBC. Cho, 2 , 3 . SA a AB a BC a = = =a. Chng minh. AG BC b. Tnh th tch ca khi chp G.ABC. Bi30.ChohnhvungABCDcnha.Trnngthngdvunggcvimp(ABCD)tiO ly im S sao cho 62aSO = Mt phng( ) qua A v vung gc vi SC ct SB, SC v SD ln lt ti', ', '. B C Da. Tnh' AC . Chng minh' ', ' ' '. SC CC BD AC = b. Tnh th tch khi chp. ' ' '. S AB CD II. TH TCH KHI LNG TR. Bi31.Cholngtrtamgic. ' ' ABC AB C cyABCltamgicvungtiC.Cho 2 , 3 AB a AC a = =vgc to bi cnh bnvmt y bng450. Tnhth tch khilng tr bit hnh chiu ca' Axung mp(ABC) trng vi trng tm G ca tam gic ABC. Bi 32.Cho lng tr. ' ' ABC AB Cc tt c cc cnh u bng a. a. Tnh th tch khi t din' ' A BB C. b. Mt phng i qua' ' A Bv trng tm G ca tam gic ABC ct AC v BC ln lt ti E v F. Tnh th tch khi chp. ' ' . C A B FEBi33.Cholngtrngtamgic. ' ' ' ABC A B C cyltamgicABCvungtiA, 0, 60 AC b ACB = = . ng thng' BCto mi(AA' ' ) C Cmt gc 300. a. Tnh di on thng' AC . b. Tnh th tch khi lng tr. Bi 34. Cho khi lng tr tam gic. ' ' ' ABC A B Cc y l tam gic u cnh a, im' Acch u ba im A, B, C. Cnh bnAA'to vi y mt gc 600. a. Tnh th tch khi lng tr. b. Chng minh mt bn' ' BCCBl hnh ch nht. c. Tnh din tch xung quanh ca khi lng tr. Bi 35. Cho khilng tr ng. ' ' ' ABC A B Cc din tch ybng SvAA' h = . Mt phng (P) ct cc cnhAA', BB', CC'ln lt ti A1, B1, C1. Bit 1 1 1AA , , . aBB bCC c = = =a. Tnh th tch hai phn ca khi lng tr c phn chia bi mp(P). b. Vi iu kin no ca a, b, c th tch hai phn bng nhau. Bi 36. Cho khilng tr tamgic u . ' ' ' ABC A B Cv M l trung im ca AB. Mt phng ( ' ' ) B CMchia khi lng tr thnh hai phn. Tnh t s th tch ca hai phn . Bi 37.Cho hnh hp. ' ' ' ' ABCD A B CD . Gi E, F ln lt l trung im ca' BBvDD' . Mt phng (CEF) chia khi hp trn thnh hai khi t din. Tnh t s ca hai khi t din . Bai. Cho khi lng tr tam gic u. ' ' ' ABC A B C . Gi M l trung im caAA' . Chng minh rng mt phng i qua, ', MB C chia khi lng tr thnh hai phn c th tch bng nhau. Cc chuyn Hnh hc 12 Chng trnh Nng cao Trang 5 Gio vin: HUNH VN KHNH Mob: 0985.804.279 Bi38.Chohnhlpphng. ' ' ' ' ABCD A B CD cnha.GiMltrungimca' ' A B ,Nl trung im ca BC. a. Tnh th tch khi t din ADMN. b. Mt phng (DMN) chia khi lp phng cho thnh hai khi a din. Gi (H) l khi a din cha nh A,( ') Hl khi a din cn li. Tnh t s ( )( ')VHVHBi 39. Chohnhhp chnht. ' ' ' ' ABCD A B CDc4 , 2 , AA' 6 AB aBC a a = = = . GiM, N, P ln lt l trung im ca, ABBC v' DD .a. Tnh th tch khi chp P.AMNCD. b. Mt phng(MNP) ctAA', ' CClnlt tiE vF. Xc nh E,Fv tnh di cc on thng AE v CF. c. Mt phng (MNP) chia hnh hp ch nht thnh hai phn. Gi (H1) l phn cha nh D v (H2) l phn cn li. Tnh t s 12( )( )VHVHC. BI TP NNG CAO. Bi 40. Cho hnh chp S.ABCD c y l hnh bnh hnh v M thuc SA sao cho SMkSA= . Xc nh k mp(MBC) chia khi chp thnh hai phn c th tch bng nhau. Bi 41.Cho khi chp tam gic S.ABC c y ABC l tam gic vung cn nh C, SA vung gcviyvSC a = .Hyxcnhgc giahaimtphng(SCB)v(ABC)thtch khi chp ln nht. Bi 42. Cho khi chp t gic u S.ABCDm khong cch tA nmp(SBC) bng 2a. Gi l gc to bi mt bn v mt y. Xc nh khi chp c th tch nh nht. Bi43.KhichpS.ABCcSAvunggcviy.yABCltamgiccntiA,di trung tuyn AD bng a. Cnh bn SB to vi y mt gcv to vi mp(SAD) mt gc .a. Hy xc nhv . b. Tnh th tch khi chp S.ABC theo a, v . Bi 44. Cho khi lng tr tam gic u. ' ' ' ABC A B Cc cnh y bng a v chiu cao bng h. Tnh th tch khi chp. ' ' A BCA . Bi 45. Cho ng trn ng knh2 AB R =nm trong mp(P) v mt im M nm trn ng trn sao cho MAB = . Trn ng thngvung gcvi (P) sao choSA h = . GiH, Kln lt l hnh chiu vung gc ca A ln SM v SB. a. Chng minh( ) SB KHA . b. Xc nhgiao imI caHKv (P). ChngminhAIl tip tuyn ca ng trn cho. c. Cho 02 , 30 h R = = . Tnh th tch khi chp S.KHA. Bi 46.Cho t din ABCD. Gi H l chn ng cao h t A. a.ChoAB AC .ChngminhrngnuHtrngvitrctmcatamgicBCDth AC AD v. AD AB Cc chuyn Hnh hc 12 Chng trnh Nng cao Trang 6 Gio vin: HUNH VN KHNH Mob: 0985.804.279 b.GisBC=CD=DB,AB=AC=AD.GiJlhnhchiucaHxungAD.t , AH hHJ d = = . Tnh th tch khi t din theo d v h. Bi47.ChohnhchpS.ABCDcSAvunggcviyvylhnhvungcnha.Trn AD ly im M v tAM x = , vi0 x a s s . ChoSA y =vi0. y >a. Chng minh (SBA) vung gc vi (SBC). b. Tnh khong cch t M n mp(SAC). c. Tnh th tch cc khi chp S.ABCD v S.ABCM theo a, x v y. d. Vi gi thit 2 2 2. x y a + = Xc nhx, y theo a th tch khi chp S.ABCM t gi tr ln nht. Tnh gi tr ln nht . Bi 48. Cho t din OABC vung ti O. Gi S, S1, S2 v S3 ln lt l din tch ca cc tam gic ABC, OBC, OCA v OAB. a. Chng minh 2 2 2 21 2 3S S S S + + = . b. Chng minh 1 1 2 33S S S S > + + . c.Bit, OA aOB OC k = + = .tOB x = .Tnh OABCV theoa,kvx.Tmiukinca OB v OC OABCVt gi tr ln nht. D. CC BI TON THI. Bi 49. (TNTHPT - 2009) Cho hnh chp S.ABC c mt bn SBC l tam gic u cnh a, cnh bn SA vung gc vi mt phng y. Bit gc, tnh th tch ca khi chp S.ABC theo a.Bi 50. (TNBT - 2009) Chohnh chp S.ABC c y ABCl tamgicvung tiB, AB=av 3 AC a = ;cnhbnvunggcvimtphng(ABC)v2 SA a = .Tnhthtchcakhi chp S.ABC theo a. Bi 51. (H Khi A - 2009) Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh thang vung ti A vD,AB=AD=2a,CD=a;gcgiahaimtphng(SBC)v(ABCD)bng600.GiIltrung im ca cnh AD. Bit hai mt phng (SBI) v (SCI) cng vung gc vi mt phng (ABCD). Tnh th tch khi chp S.ABCD theo a. Bi52.(HKhiB-2009)Cholngtr. ' ' ' ABC A B C c' BB a = .Gcgiangthng ' BBvmp(ABC) bng 600. Tamgic ABCvung ti C v 060 BAC = . Hnh chiuvunggc ca' B lnmp(ABC)trngvitrngtmcatamgicABC.Tnhthtchkhitdin '. AABC. Bi 53. (H Khi D - 2009) Cho lng tr ng. ' ' ' ABC A B Cc y ABC l tam gic vung tiB,, AA' 2 , ' 3 . AB a a A C a = = = GiMltrungimca' ' A C ,IlgiaoimcaAMv ' A C . Tnh th tch khi t din IABC theo a v khong cch t A n mp(IBC). Bi54.(CKhiA,B,D-2009)ChohnhchptgicuS.ABCD, 2 AB aSA a = = . GiM,N,PlnltltrungimcaSA,SBvCD.ChngminhrngMNvunggcvi SP. Tnh th tch khi t din AMNB theo a. Bi 55. (H Khi A - 2008) Cho lng tr ABC.A'B'C' c di cnh bn bng 2a, y ABC l tam gic vung ti A, AB = a, AC = 3a v hnh chiu vung gc ca nh A' trn mt phng (ABC) l trung im ca cnh BC. Tnh theo a th tch khi chp A'.ABC v tnh cosin ca gc gia hai ng thng AA', B'C'. Cc chuyn Hnh hc 12 Chng trnh Nng cao Trang 7 Gio vin: HUNH VN KHNH Mob: 0985.804.279 Bi 56. (H KhiB 2008) Chohnh chpS.ABCD c yABCDlhnhvung cnh 2a, SA = a, SB = 3a v mt phng (SAB) vung gc vi mt phng y. Gi M, N ln lt l trung im ca cc cnh AB, BC. Tnh theo a th tch ca khi chp S.BMDN v tnh cosin ca gc gia hai ng thng SM, DN. Bi 57. (H Khi D 2008) Cho lng tr ng ABC.A'B'C' c y ABC l tam gic vung, AB =BC = a, cnh bnAA' = 2a. Gi Ml trungim ca cnhBC.Tnh theo a th tch ca khi lng tr ABC.A'B'C' v khong cch gia hai ng thng AM, B'C. Bi58.(CKhiA,B,D2008)ChohnhchpS.ABCDcyABCDlhnhthang, 090 BAD ABC = = ,AB=BC=a,2 AD a = ,SAvunggcviyvSA= 2a.GiM,Nln ltl trung im ca SA, SD. ChngminhrngBCNMlhnh chnhtv tnhth tch ca khi chp S.BCNM theo a. Bi 59. (H KhiA 2007) Chohnh chpS.ABCD c ylhnhvung cnh a,mt bn SAD l tam gic u v nm trong mt phng vung gc vi y. Gi M, N, P ln lt l trung im ca cc cnh SB, BC, CD. Chng minh AM vung gc vi BP v tnh th tch ca khi t din CMNP. Bi 60. (H Khi B 2007) Cho hnh chp t gic u S.ABCD c y l hnh vung cnh a. Gi El imixng ca D qua trungim ca SA, Ml trung im caAE,Nl trung im ca BC. Chng minh MN vung gc vi BD v tnh (theo a) khong cch gia hai ng thng MN v AC. Bi61.(HKhiD2007)ChohnhchpS.ABCDcylhnhthang,BA=BC=a, 090 BAD ABC = = , AD = 2a. Cnh bn SA vung gc vi y v SA = 2a. Gi H l hnh chiu vung gc ca A trn SB. Chngminh tam gic SCD vung v tnh (theo a) khong cch t H n mt phng (SCD). Bi62.(HKhiB2006)ChohnhchpS.ABCDcyABCDlhnhchnhtvi AB=a, AD=2a , SA = a v SA vung gc vi mt phng (ABCD). Gi M v N ln lt l trung im ca AD v SC; I l giao im ca BM v AC. Chng minh rng mt phng (SAC) vung gc vi mt phng (SMB). Tnh th tch ca khi t din ANIB. Bi63.(HKhiD2006)ChohnhchptamgicS.ABCcyABCltamgicu cnha,SA=2avSAvunggcvimtphng(ABC).GiMvNlnltlhnhchiu vung gc ca A trn cc ng thng SB v SC. Tnh th tch ca khi chp A.BCNM. --------------------------------------------------------------------------------------------------