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How to measure and record?Error propagation

誤差分析簡介

The Tutorial of Error Analysis

吳明頤

2012/9/27

吳明頤誤差分析簡介


大綱

1 How to measure and record?

2 Error propagation



如何測量取值？(Analog)

紀錄值: 128.9 ± 0.1cm



如何測量取值？(Digital)

誤差值應該要查儀器的手冊。如果沒有手冊可查，一般的規則是:「取最後一位數的一半」

紀錄值: 138.2 ± 0.05 lb



如何測量取值？(其他)

如無法準確估計誤差值時，該怎麼辦？例如: 單擺的擺動時間,儀器跳動的數值。

常用方法: 多次測量，取平均值及標準差。

No. 1 2 3 4 5時間 T (s) 3.9 3.5 3.7 3.4 3.5

T = 3.6 ± 0.2 s

注意

比較 Excel 中的 stdev(), stdevp() 兩個函數的差別！



誤差值的兩種表示法

1 絕對誤差 (absolute error).

128.9 ± 0.1cm138.2 ± 0.05 lb3.6 ± 0.2s

2 相對誤差 (relative error)

10 MHz ± 0.5%20 kΩ ± 1%12V ± 0.1%



為何要考慮誤差傳遞？

簡單的例子

測量一個長桿子:1 用一把 30cm 的尺，最小刻度 0.5 mm。(測量了 33 次 +

10cm)2 用一把 5m 的捲尺，最小刻度 1mm。(測量了 2 次)3 用一把 20m 的捲尺，最小刻度 5mm。(直接讀值)請問誰量到的距離比較可信？

1 33 × (30cm ± 0.5mm) + (10cm ± 0.5mm) = 10m ±mm

2 2 × (5m ± 1mm) = 10m ±mm

3 10m ±mm




簡單的例子

測量一個長桿子:1 用一把 30cm 的尺，最小刻度 0.5 mm。(測量了 33 次 +

10cm)2 用一把 5m 的捲尺，最小刻度 1mm。(測量了 2 次)3 用一把 20m 的捲尺，最小刻度 5mm。(直接讀值)請問誰量到的距離比較可信？

1 33 × (30cm ± 0.5mm) + (10cm ± 0.5mm) = 10m ± 17mm

2 2 × (5m ± 1mm) = 10m ± 2mm

3 10m ± 5mm




想想看

用減法運算能否降低誤差？用 20m 的尺，量到 20m 後，再往回量 10m.

(20m ± 5mm) − (10m ± 5mm) =

10m ± 10mm



誤差傳遞(加法與減法)

(A± ∆a) + (B ± ∆b) = (A + B) ± (∆a + ∆b)

(A± ∆a) − (B ± ∆b) = (A−B) ± (∆a + ∆b)

注意

這裡是用「絕對誤差」做計算。



為何要考慮誤差傳遞？(2)



為何要考慮誤差傳遞？(2)子彈速度為何？

P1 = 23.0 ± 0.5cm, P2 = 37.5 ± 0.5cm, T =1.00 ± 0.03ms

V =S

T=

14.5cm ± 7%

1ms ± 3%= 14.5cm/ms ±

通則: 「相對誤差」直接相加。

= (7%) + (3%) = 10%

V = 14.5cm/ms ± 10%

= 14.5 ± 1.5 cm/ms



誤差傳遞(乘法與除法)

*嚴謹的計算法是平方和相加開根號.

(A± ∆a

A

)×

(B ± ∆b

B

)= (A×B) ±

((∆a

A

)+

(∆b

B

))(A± ∆a

A

)÷(B ± ∆b

B

)=

A

B±((

∆a

A

)+

(∆b

B

))

注意

這裡是用「相對誤差」做計算。



誤差傳遞(常數項)

k (A± ∆a) = kA± k∆a

例如:3 × (5 ± 0.1cm) = 15 ± 0.3cm



誤差傳遞(次方項)

(A± ∆a

A

)×(A± ∆a

A

)= A2 ±

(2

(∆a

A

))例如:

(5 ± 0.1cm)2 = 25cm2 ±(

2 ×(

0.1

5

))= 25cm2 ± (4%)

= 25 ± 1cm2



電子實驗會用到的...

R = R1 + R2 + R3 + ...

R =V

I

P = I × V




10kΩ(5%) + 10kΩ(1%) =?(?%)

R =12V (0.5%)

10mA± 0.1mA=?±?

P = (10 ± 0.1mA) × (0.5V ± 0.5%) =?W±?

f =1

10 ± 0.1ms=?±? Hz




10kΩ(5%) + 10kΩ(1%) = 20kΩ(3%)

R =12V(0.5%)

10mA ± 0.1mA= 1.2kΩ ± 1.5%

P = (10 ± 0.1mA) × (0.5V ± 0.5%) = 5W ± 1.5%

f =1

10 ± 0.1ms= 100 ± 1 Hz



參考資料

Error Analysis Tutorial, http://phys.columbia.edu/~tutorial/Bevington, Philip R., Data reduction and error analysis for thephysical sciences , McGraw-Hill, c2003., ISBN 0072472278


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