théorie de l'Échantillonnage numérisation du signal michel fiocchi novenbre 2003
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Théorie de l'Échantillonnage
Numérisation du signal
Michel Fiocchi Novenbre 2003
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Numérisation Acquisition
Du signal analogique,continu dans le temps et continu en amplitude...
... à un signal définit ponctuellement et quantifié.
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Numérisation
Restitution Du signal numérique,discret et quantifié...
... à un signal continu dans le temps et quantifié en amplitude.
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4
Numérisation
Échantillonnage
s(t) {s(nT)}
Quantification
s(nT) mq
Codagemq i
f(t)f(t)f(t)
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Échantillonnage
Dans l'espace des temps le signal est remplacé par ces valeurs à des instants multiples entiers de la période d'échantillonnage T.
s(t) {s(nT)}
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Échantillonnage Modèle mathématique
kee kTttsts )()(
f(t)
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Échantillonnage Dans le plan des fréquences
kee kTttsts )()(
n eee T
nfT
fSfS 1
neee ffSffS
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Échantillonnage
s t S f
se t S e f
Périodisation du spectre
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Échantillonnage Périodisation du spectre
neee ffSffS
+fe-fe
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Échantillonnage Périodisation du spectre
Pour une fréquence d'échantillonnage trop petite, le phénomène de recouvrement de spectre (ou de repliement ) modifie le signal.
f e 2 f mf e 2 f mf e 2 f m
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Échantillonnage Théorème de Shannon
soit fm la fréquence telle que
fe=2 f
m est la fréquence critique d'échantillonnage (fréquence de Shannon ou de Nyquist)
S f
f m
0,, fSfff m
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Échantillonnage Théorème de Shannon
Un signal qui ne contient pas de fréquences supérieures à f
mest entièrement déterminé par la
suite de ses valeurs prises à des instants régulièrement espacés de la durée
m
e fT
21
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Échantillonnage Exemple:acquisition d’un signal sonore
Le son s(t) est supposé être composé de l’alternance de deux tonnalités placées à 1280 hz et 1620 hz;
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ÉchantillonnageExemple
Application du théorème de Shanon:
fe >3240 hz
fréquence d’échantillonnage 3675 hz
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Échantillonnage Exemple: spectre du signal physique
………Mais des harmoniques hautes fréquences ne sont pas négligeables……
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ÉchantillonnageExemple
Le son se(t) est plus grave que le son réel bien que le chronogramme soit quasiment identique.
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ÉchantillonnageExemple
K=1K=-1K=2K=-2……..
Périodisation du spectre à 3675 hz
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ÉchantillonnageExemple
Des raies apparaissent en basse fréquence
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Échantillonnage Exemple:limite de la bande passante par filtrage
Des raies hautes fréquences sont atténuées,….
….et plus audibles après repliement
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ÉchantillonnageReconstruction
fSe fe
e ff 1,,0
fS
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ÉchantillonnageReconstruction
ttstsffSfSe
ee
e ffe
F
ffe 1,,01,,0
1
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ÉchantillonnageReconstruction
ke
ee
ee
ek
ee
ffe
kTtT
SinckTsts
tfSincf
fkTtkTsts
ttstse
e
1
1,,0
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ÉchantillonnageReconstruction
se t
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ÉchantillonnageReconstruction
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Dans l’espace des Amplitudes, chaque valeur de s(nTe) est approchée par un multiple entier d’une quantité élémentaire q
s(nT) mq
Quantification
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Quantification s(nT) mq
2qnq
2qnq
tetstsq
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Bruit de Quantification
puissance du bruit
si p(e) est uniforme
2q
2q
deepeB
teEB
tstsEB
q
q
q
2
2
2
2
2
12
2qB
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Quantification Dynamique de codage
2 N valeurs sur la dynamique totale du codeur soit:
En exprimant la puissance du signal:
A
A
qA n 12
Ncn
c BPqP 2
21
223
22
76.12.6223log10 2
N
BP N
dB
c
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Numérisation des signaux réels
Signaux de durée limitéeEchantillonnage de durée finieNombre fini de points
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Signaux de durée limitéeDomaine
temporel
1,,TT tsts
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Signaux de durée limitée Domaine fréquentiel
0021 fffffS
0f0f
002ffffTfSinc
TfST
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Signaux de durée limitée Cas
Général
TfSincTfSfST
N’est pas à support borné
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Echantillonnage de durée finie Echantillonneur moyenneur
eT
kee
kTtee
kTee
kT
kTee
kTtttsts
ttskTs
tdttskTs
tdtskTs
e
e
e
e
21
21
1
1
1,,0
1,,0
1,,2
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Echantillonnage de durée finie Echantillonneur moyenneur
k ee
fje T
kfT
efSincfSfS 1
modulation
fS fSincfS
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Nombre fini de points
Soit N le nombre de points régulièrement espacés sur la période d’observation T .
Le signal est défini par une suite de N valeurs sk .
Le spectre du signal est estimé par une suite de N valeurs Sk .
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Nombre fini de points
dtetsfS tfj
2)(
1
0
2)(~ N
k
kTfjek
eekTsfS
1
0
2)(
N
n
Nknj
ene
k enTsNfkS
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Nombre fini de points TDF
TDF
TDF-1
Sk et sk sont N périodiques
1
0
21N
n
Nknj
nNk esN
S
1
0
2N
k
Nknj
kNn eSs
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Echantillonnage du spectre
Sinus à 25,5 hz échantillonné à 100 hz sur 100 pointsSinus à 25 hz échantillonné à 100 hz sur 100 points