théorie des circuits linéaires - exercices résolus

Yverdon-les-Bains, le 13 septembre 2012

Département TIN

(Techniques industrielles)

Filière

Microtechnique

Exercices résolus

Théorie des Circuits Linéaires

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Bernard Schneider

Copyright © Bernard Schneider, 2009-2012

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Théorie des circuits linéaires HEIG-VD

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des erreurs ou lui proposeront des améliorations.

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HEIG-VD Théorie des circuits linéaires

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Table des matières Chapitre 1 Bases de l’électricité ................................................................................................................... 4

1.1 L’électricité ... virtuelle ou réelle ? ..................................................................................................... 4

1.2 Les emplois de l’électricité ................................................................................................................. 4

1.3 Règles de notations et unités .............................................................................................................. 4

1.4 Grandeurs physiques de base de la mécanique ................................................................................... 5

1.5 Grandeurs de base de l’électricité ..................................................................................................... 16

Chapitre 2 Théorie des circuits linéaires .................................................................................................... 26

2.1 Principes généraux ........................................................................................................................... 26

2.2 Circuits électriques ........................................................................................................................... 26

2.3 Combinaisons simples de résistances ............................................................................................... 29

2.4 Sources de tension et de courant ...................................................................................................... 34

2.5 Méthode de réduction des circuits .................................................................................................... 40

Chapitre 3 Alimentation électriques ........................................................................................................... 74

3.1 Alimentations à tension continue – piles et batteries ....................................................................... 74

3.2 Alimentations à tension continue – moteurs DC .............................................................................. 77

3.3 Alimentations à tension alternative .................................................................................................. 81

3.4 Alimentations à tension alternative triphasée ................................................................................... 86

3.5 Conception de l’alimentation des machines ..................................................................................... 96

Chapitre 4 Régimes sinusoïdaux ................................................................................................................ 98

4.1 Représentation complexe des signaux sinusoïdaux .......................................................................... 98

4.2 Les condensateurs ........................................................................................................................... 100

4.3 Les inductances .............................................................................................................................. 101

4.4 Calculs d’impédance ...................................................................................................................... 101

4.5 Fonction de transfert et diagramme de Bode .................................................................................. 120

Chapitre 5 Régimes transitoires ............................................................................................................... 141

5.1 Régime transitoire de systèmes électriques .................................................................................... 141

5.2 Modélisation de phénomènes non électriques ................................................................................ 158

Chapitre 6 Annexe .................................................................................................................................... 162



Chapitre 1 Bases de l’électricité

1.1 L’électricité ... virtuelle ou réelle ?

(Pas d’exercices spécifiques.)

1.2 Les emplois de l’électricité

(Pas d’exercices spécifiques.)

1.3 Règles de notations et unités

Exercice 1.3.1 Notations

a) Exprimer sous forme décimale les expressions suivantes :

103 10

-2 4 · 10

5 3 · 10

-3 5,1 · 10

-2 980 · 10

-1 7,21 · 10

6

b) Convertir les nombres suivants en utilisant des exposants et un seul chiffre avant la virgule :

38’000 43'300’000 0,000 3 0,000 000 752 10,000 435

c) Convertir les nombres suivants en utilisant des exposants multiples de 3 :

38’000 43'300’000 0,000 3 0,000 000 752 10,000 435

Réponse – a

1'000 0,01 400’000 0,003 0,051 98 7'210'000

Réponse – b

3,8 · 104 4,33 · 10

7 3 · 10

-4 7,52 · 10

-7 1,000 04 · 10

1



Réponse – c

38 · 103 43,3 · 10

6 300 · 10

-6 752 · 10

-9 10,000 04 · 10

0

Exercice 1.3.2 Préfixes d’unités

Quelle valeur est associée aux préfixes SI suivants ?

kilo micro milli méga nano giga

Réponse

103 10

-6 10

-3 10

6 10

-9 10

9

Exercice 1.3.3 Conversion en unités SI de base

Exprimez le cheval-vapeur en unités SI de base

Réponse

[C ] 3 [ ] 3 [

s ] 3 [

m

s] 3 [

m

s m

s] 3 [

m

s3]

1.4 Grandeurs physiques de base de la mécanique

Exercice 1.4.1 Vitesse moyenne

Pour se rendre d’Yverdon à Lausanne, villes distantes de 3 , m l’une de l’autre, un camion met 43

minutes.

a) Quelle a été sa vitesse moyenne, exprimée en km/h ?

b) Et en m/s ?



Réponse – a

Conversion des unités :

= 43 min = 0,717 h

= 37,2 km

Il est possible de calculer en une seule étape en convertissant directement les unités

Remarque : En écrivant systématiquement les unités et en les simplifiant, comme on le ferait avec

des coefficients multiplicateurs qui apparaîtraient au numérateur et au dénominateur, il

est possible de vérifier que le calcul al ébrique a été correctement posé. L’unité du

résultat doit correspondre à celle de la grandeur calculée.

Réponse – b

m m m

min s min

m m min

min m s m s

Exercice 1.4.2 Durée d’un déplacement

A l’aide d’une rue, on souhaite transporter une palette de briques sur une distance de m. Le moteur

permet d’accélérer et de freiner à 0, m s2.

a) Combien de temps durera le déplacement si la vitesse est limitée à vmax_a = 0,8 m/s ?

b) Combien de temps durerait le déplacement si la vitesse n’était pas limitée par le moteur ?

c) Quel serait alors la vitesse maximum atteinte à mi-chemin ?

Réponse – a

On calcule d’abord la durée de l’accélération :

La distance parcourue pendant l’accélération vaut alors :

Le freina e dure le même temps que l’accélération. La distance parcourue au freina e est égale à celle

parcourue pendant l’accélération .

La distance qui reste à parcourir alors que la vitesse est constante vaut :



Le temps nécessaire pour parcourir cette distance à vitesse constante vaut :

On obtient ainsi la durée totale du déplacement :

Réponse – b

Si la vitesse était illimitée, la rue accélérerait d’abord pendant une certaine durée, puis freinerait

immédiatement pendant une durée identique. La distance parcourue pendant l’accélération serait donc

la moitié de la distance totale à parcourir, soit 6 m.

Soit la vitesse atteinte à la fin de l’accélération. Elle dépend de la durée de l’accélération comme

suit :

Par ailleurs, la nouvelle distance parcourue pendant l’accélération peut être calculée à partir de

et comme suit :

On obtient ainsi un système de 2 équations à 2 inconnues. En remplaçant dans la 2ème

équation par sa

valeur de la 1ère

équation, nous avons :

( )

On peut ainsi calculer la durée de l’accélération :

√

√

Le freina e durera le même temps que l’accélération. Le déplacement durera ainsi :

Réponse – c

La vitesse maximum atteinte à mi-chemin vaut :

Vérification :

qui est bien la distance totale parcourue.



Exercice 1.4.3 Distance parcourue

La même grue (Exercice 1.4.2), dont la vitesse est limitée à 0,8 m/s, déplace une charge en 8 secondes. En

admettant qu’elle accélère et freine à 0, m s2, quelle distance a-t-elle parcouru ?

Réponse

Durée de l’accélération :

Le freina e dure le même temps que l’accélération. En 8 secondes, la rue a exactement le temps d’accélérer

à sa vitesse max. de 0,8 m s, puis de freiner. La distance parcourue pendant l’accélération vaut alors :

La distance parcourue au freina e est é ale à celle parcourue pendant l’accélération. Comme le freina e suit

immédiatement l’accélération, la distance parcourue vaut :

Exercice 1.4.4 Vitesse moyenne, vitesse max.

A Atlanta en 1996, le canadien Donovan Bailey a battu le record olympique du 100 mètres en 9,84 secondes.

a) Quelle était sa vitesse moyenne ?

b) En admettant qu’il lui ait fallu ,8 secondes pour atteindre sa vitesse maximale, puis qu’il ait couru

toujours à la même vitesse, quelle fut sa vitesse maximale ?

Réponse – a

Vitesse moyenne :

Réponse – b

Vitesse maximale :

Soit sa vitesse maximale, qu’il s’a it de calculer. La distance parcourue pendant son accélération

vaut :

Distance qu’il lui reste à parcourir après son accélération :



Temps nécessaire pour parcourir cette distance :

Or, peut être calculé à partir du temps total et de la durée de l’accélération qui sont connus :

Des deux équations ci-dessus on tire :

Et finalement :

Exercice 1.4.5

volontairement laissé vide

Exercice 1.4.6 Poids d’une masse

Un bloc de ciment a une masse m de 40 kg. Quelle force faut-il exercer pour la tenir en l'air (à l'arrêt) ?

Réponse

Exercice 1.4.7 Couple, moment d’une force

Pour assembler un moteur, il ne faut pas serrer les boulons avec un couple de serrage supérieur à 110 Nm

sous peine d’endomma er les filets. En supposant que l’on dispose d’une clé de 3 cm de lon ueur, quelle

force maximum peut-on exercer à son extrémité sans dépasser le couple de serrage autorisé ?

Réponse

m

m



Exercice 1.4.8 Couple d’un treuil

Le cylindre d’un treuil a un diamètre de 30 cm. Quel couple faut-il exercer pour lever une charge de 200 kg ?

Réponse

La force exercée sur le câble du treuil correspond au poids de la charge :

Le rayon r du cylindre est égal au demi-diamètre, soit 0,15 m.

Le couple T vaut donc :

Exercice 1.4.9 Énergie potentielle 1 – travail

Imaginons un treuil levant une masse de 50 kg sur une hauteur de 10 mètres. Calculer le travail que doit

exercer un ouvrier pour faire monter la masse.

Réponse

Pour élever une masse de 50 kg, il faut lui appliquer une force égale à son poids, exprimé en [N] :

Le travail exercé vaut:

Exercice 1.4.10 Énergie potentielle 2

Le lac de la Grande Dixence contient 339 millions de mètres cubes d’eau. La différence d’altitude entre la

surface du lac et les turbines au bord du Rhône est de '884 mètres. Quelle est l’éner ie potentielle

disponible pour la fabrication d’électricité ?

r

F

3

0 c

m



Réponse

L’éner ie potentielle de cette eau correspond au travail qu’il aurait fallu pour l’élever de la hauteur donnée.

La masse d’un mètre cube d’eau est de tonne, soit '000 . Son poids s’obtient en multipliant sa masse par

l’accélération terrestre. On obtient ainsi :

( )

Remarque : Dans ce calcul, on n’a pas tenu compte des pertes, et supposé un rendement de 00 %.

Exercice 1.4.11 Puissance d’une grue

Une rue élève une caisse de 600 d’une hauteur de 0 m en s. Quelle est la puissance développée ?

Réponse

Exercice 1.4.12 Couple d’un moteur

Selon le catalo ue, le moteur d’une voiture a une puissance de 9 à 4’000 r min. Quel est la valeur du

couple correspondant ?

Réponse

Vitesse angulaire du moteur en rad/s :

On en déduit :

Exercice 1.4.13 Énergie cinétique – 1

Un tennisman expédie une balle de tennis à 30 m h. Sachant qu’une telle balle a une masse de 8 , quelle

est son énergie cinétique juste après le lancer ?

Réponse

Vitesse de la balle en m/s :



L’éner ie cinétique vaut :


Un TG d’une masse totale de 490 tonnes est lancé à 300 m h. Calculer son éner ie cinétique.

Réponse

Vitesse du TGV en m/s :

L’éner ie cinétique du TG vaut :


a) Une voiture de 1,5 t est lancée à 50 km/h. Quelle est son énergie cinétique ?

b) Supposant qu’elle accélère à 60 m h. Que devient son éner ie cinétique ?

c) Comparer l’au mentation de vitesse et celle de l’éner ie, exprimées en %, et expliquer la différence.

Réponse – a

Vitesse initiale de la voiture en m/s :

Énergie cinétique :

Réponse – b

Vitesse après accélération :

Énergie cinétique :



Réponse – c

Augmentation de vitesse :

Au mentation de l’inertie :

Quand la vitesse au mente de 0%, alors l’éner ie cinétique au mente de 44%.

On constate que l’éner ie cinétique au mente avec le carré de la vitesse.

Exercice 1.4.16 Vitesse d’une boule de billard au retour

Dans un bowling automatique, un dispositif renvoie la boule en lui imposant une vitesse v. On suppose que

celle-ci roule sans aucun frottement jusqu’à l’arrivée, vers les joueurs, et que cette vitesse est constante

pendant tout le trajet. A l’arrivée, la boule franchit un seuil de hauteur h avant de s’arrêter.

La boule a une masse m = 6 kg. Son diamètre vaut d = 22 cm. Son inertie vaut J = 0,029 kgm2. Sa vitesse

v = 2,2 m/s.

a) Quelle est son énergie cinétique de translation (déplacement linéaire) ?

b) Quelle est son énergie cinétique de rotation (sur elle-même) ?

c) Quelle est l’éner ie potentielle disponible à l’arrivée pour franchir le seuil ?

d) Quelle est la hauteur max. h du seuil que la boule pourra franchir à l’arrivée ?

Réponse – a

Réponse – b

L’éner ie cinétique de la boule comporte un terme de translation et un terme de rotation. La vitesse de

rotation vaut :

v h

ω



Réponse – c

Réponse – d

m

Exercice 1.4.17 Énergie d’une pile

Sachant qu’une pile neuve serait capable d’alimenter une ampoule électrique de , pendant , heure,

calculer l’éner ie disponible.

Réponse

h s

h

Exercice 1.4.18 Rendement d’un moteur

Un moteur électrique développe une puissance mécanique de , alors qu’il absorbe une puissance

électrique de 24 kW. Calculer son rendement.

Réponse

Exercice 1.4.19

volontairement laissé vide

Exercice 1.4.20 Rendement d’une centrale nucléaire

La puissance électrique fournie par une centrale nucléaire comme celle de Gösgen est de 1'165 MW. Son

rendement vaut approximativement 33%. Quelle puissance Thermique faut-il lui fournir ?



Réponse

Ce qui correspond à l’éner ie produite par la fission nucléaire.

Exercice 1.4.21 Production électrique d’une éolienne

Une éolienne produit une puissance de 2,3 MW lorsque le vent est optimum. La production d’éner ie

mesurée pendant une année est de 3,0 GWh.

a) Quelle serait l’éner ie produite en une année, si la vitesse du vent était toujours optimale ? Exprimez

cette énergie en [J], en [kWh] et en [tep], ou leurs multiples.

b) Pourquoi l’éner ie produite mesurée en une année est-elle beaucoup plus faible que celle calculée ci-

dessus ?

c) Quelle devrait être la puissance d’une installation qui produirait la même éner ie annuelle, mais de

manière constante ?

d) Combien faudrait-il d’éolienne de ce type pour fournir la totalité de l’éner ie consommée en Suisse

en 2011, soit 852 1015

J ?

Réponse – a

Une année de 365 jours compte 8'760 heures, et chaque heure compte 3'600 secondes. Si la puissance fournie

de 2,3 était constante, l’éner ie produite en une année vaudrait :

4, 868 0 0

Réponse – b

Le vent n’est pas toujours optimum. Par faibles vents, la puissance de l’éolienne diminue très fortement. Lors

de vents tempétueux, elle doit être bloquée pour éviter des dégâts et des risques dus à une vitesse de rotation

trop élevée.

Réponse – c

L’éner ie produite en une année est donc de 3,0 G h au lieu des 0, G h calculés plus haut. Cela

correspond à une puissance constante égale à la puissance moyenne, calculée comme suit :



Réponse – d

La consommation d’éner ie en Suisse s’est élevée à 8 1015

J en 2011. Pour produire cette énergie avec des

éoliennes de ce type, il en faudrait :

La superficie de la Suisse étant de 41'285 km2, cela correspond à une éolienne tous les 3,66 km

2.

Exercice 1.4.22 Comparaisons énergétiques

En vous référant aux informations données aux chapitres 1.1.2.11 et 1.1.2.12 du polycopié, exprimer en [tep]

l’éner ie consommée en 0 1 en Suisse, sous forme de combustibles pétroliers et de carburants (ensembles).

En estimant que les wagons-citernes contiennent en moyenne 46 tonnes de tels produits, et que leur longueur

est en moyenne de 12 m, déterminer quelle longueur aurait un train fournissant cette énergie.

Réponse

En 0 , l’éner ie totale consommée en Suisse était de 8 0’000 T , dont 8, % sous forme de combustibles

pétroliers et 35,0% sous forme de carburants. Cela correspond à :

( )

4, 868 0 0

Cela correspond au nombre de wagons-citernes suivants :

Un train avec autant de wagons aurait la longueur suivante :

Par comparaison, le réseau ferroviaire suisse compte un peu plus de 5'000 km.

1.5 Grandeurs de base de l’électricité

Exercice 1.5.1 Charge des électrons

Combien d’électrons faut-il déplacer pour créer une charge de 1 C ?



Réponse

Charge de 1 électron : Qe- = 1,602 · 10-19

C

Pour obtenir une charge de 1 C, il faut :

Exercice 1.5.2 Courant et charge

a) Quel courant correspond à un transfert de charge de 0,36 C en 9 secondes ?

b) Que devient ce courant si le transfert a lieu en 3 secondes seulement ?

Réponse – a

C

s A mA

Réponse – b

C

s A mA

Exercice 1.5.3 Loi d’Ohm – 1

Quelle est la résistance d’un chauffe-eau qui absorbe un courant électrique de 4, A lorsqu’on lui applique

une tension de 230 V ?

Réponse

De la loi d’Ohm U R I on déduit :


Une ampoule électrique absorbe 0,17 A sous 230 V. Quelle est sa résistance ?

Réponse




Calculer le courant circulant dans le corps de chauffe d’une plaque électrique ayant une résistance de 0 Ω,

alimentée par une tension de 400 V.

Réponse

A


Un fer à souder dont la résistance est de 3, Ω est alimenté sous 4 . Quel courant tirera-t-il de la source ?

Réponse

A


On désire faire circuler un courant de 4 A dans un corps de chauffe de Ω. Quelle tension doit-on lui

appliquer ?

Réponse


Calculer la chute de tension dans un conducteur de 8 mΩ lorsqu’il est parcouru par un courant de A.

Réponse

m


Dans un éclair moyen circule un courant de 20 kA à un potentiel de 200 MV. Calculer la valeur de la

résistance offerte au passage du courant.



Réponse

Exercice 1.5.10 Résistivité et résistance – 1

a) Quelle est la résistance d’un barreau en fer de 0 m de lon ueur, mm d’épaisseur et 0 cm de

lar eur lorsqu’une tension est appliquée entre ses deux extrémités ?

b) Quelle serait sa résistance si la tension était appliquée entre ses faces supérieure et inférieure ?

Réponse – a

Résistance entre les deux extrémités :

Réponse – b

Résistance entre les faces supérieures et inférieures :

Remarque : Cette réponse est illusoire, car elle suppose que le courant se répartit uniformément sur

toute la surface du barreau. En réalité, il se focalise à proximité de la zone où le fil

d’amenée du courant est soudé. Ainsi, seule une partie des ,0 m2 du barreau est

parcourue par le courant. C’est un exemple typique d’un système réel pour lequel on

ne peut appliquer aveuglément un modèle.


Quelle est la résistance d’un fil d’installation en cuivre de m de lon ueur et mm2 de section ?

Réponse

Ω

10 m 20 cm

5 mm




On désire réaliser un corps de chauffe dont la résistance soit 3, Ω avec du fil de constantan de 0, mm de

diamètre. Quelle longueur de fil faudra-t-il ?

Réponse

La résistance R de ce fil est donnée par la relation ci-dessous en fonction de sa longueur l :

D’où on tire :

( )


Un tronçon de ligne aérienne en cuivre, d’une section de , mm2, a été brûlé lors d’un incendie, et doit être

replacée d’ur ence pour les opérations de déblaiement. On ne dispose que de fil de fer de 3 mm de diamètre.

Que faire ?

Réponse

Le fer est é alement conducteur de l’électricité, et pourrait être utilisé comme solution de secours. Par

contre, sa résistivité ρFe = ~100 · 10-9

, soit , fois moins bonne que celle du cuivre. Il faudra donc s’assurer

en tirant plusieurs fils de fer en parallèle que la section de l’ensemble soit au moins , fois supérieure à celle

du fil de cuivre remplacé, soit 14,3 mm2.

La section du fil de fer vaut :

( )

Il faudra donc tirer 2 fils de fer en parallèle pour obtenir une section suffisante, donc une résistance à peu

près équivalente à celle du fil de cuivre.

Exercice 1.5.14 Chute de tension dans la caténaire d’un chemin de fer

Une locomotive tire un train à la montée sur une ligne de montagne. La puissance électrique consommée est

de 4,0 MW sous une tension de 14,8 kV.

La caténaire (fil aérien alimentant la locomotive) est constituée d’un fil de cuivre de 0 mm de diamètre

(ρ = 17,5 · 10-9

Ωm). La voie est constituée de rails en acier (ρ = 100 · 10-9

Ωm), dont la section est de

49 cm2.

En admettant que la locomotive se trouve à 4 km de la sous-station qui alimente la ligne, calculer la chute de

tension provoquée par la circulation du courant dans la caténaire et dans les rails.



Réponse

Courant approximatif consommé par la locomotive :

Résistance de la caténaire (1 fil, en cuivre) pour une distance de 4 km) :

( )

Résistance de la voie (2 rails en fer, en parallèle) pour une distance de 4 km) :

Chute de tension provoquée par la circulation du courant dans la caténaire en série avec la voie :

( )

Exercice 1.5.15 Tuyau utilisé comme parafoudre

On souhaite utiliser un tuyau en fer comme conducteur électrique, par exemple pour une protection en cas de

coup de foudre. Les caractéristiques de ce tuyau sont les suivantes :

Longueur : L = 25 m

Diamètre extérieur : De = 35 mm

Diamètre intérieur : Di = 29 mm

Résistivité du fer : ρ = 100 · 10-9

Ωm

a) En supposant que le tuyau est vide, quelle est la résistance R de ce tuyau ?

b) Lors d’un ora e, un éclair y fait circuler un courant de 0 A. Quelle est la tension entre ses deux

extrémités ?

Réponse – a

(

)

( )

Réponse – b



Exercice 1.5.16 Puissance et rendement d’un moteur

a) Évaluer la puissance consommée par un moteur qui tire 15 A sous 24 V.

b) Sachant qu’il délivre un couple utile de m à 3’000 min-1, calculer son rendement.

c) On inverse son fonctionnement en lui fournissant une puissance mécanique de 300 W. Quel

puissance électrique délivre-t-il alors en régime de freinage ?

Réponse – a

La puissance consommée correspond à la puissance électrique :

Réponse – b

La puissance utile est la puissance mécanique à l’arbre :

(

)

Rendement :

Réponse – c

Au freina e, c’est la puissance mécanique qui est la puissance fournie, et la puissance électrique qui est la

puissance utile. La valeur du rendement peut être considérée comme identique, puisque le moteur est un

dispositif réversible, et qu’il travaille approximativement dans les mêmes conditions de vitesse et de couple,

aux signes près. Nous avons donc :

Exercice 1.5.17 Puissance dissipée par une ligne électrique

Un courant de 3 A circule entre deux points d’une installation électrique, et dissipe une puissance de 18 W.

Quelle est la tension entre ces deux points ?

Réponse

Entre les deux points de l’installation, c’est la « résistance de li ne » qui provoque la dissipation de 8 .

Cela correspond à une chute de tension de :



Exercice 1.5.18 Puissance d’une ampoule électrique

a) Évaluer le courant consommé par une ampoule électrique de 60 W sous 230 V.

b) Quelle est sa résistance ?

c) Que deviennent le courant et la puissance de cette ampoule si sa résistance est réduite de moitié ?

d) Quel est son rendement, sachant que l’éner ie lumineuse utile est de 0 ?

Réponse – a

Réponse – b

Réponse – c

Si R est diminué de moitié :

Le courant double, la puissance aussi.

Réponse – d

Exercice 1.5.19 Puissance et énergie consommée – 1

a) L’éclaira e d’une maison est assuré par 9 lampes de 60 . Quelle est l’éner ie (en h)

consommée par ces lampes en 4 heures.

b) Sachant que l’électricité coûte 6 centimes (suisses) par ilowattheure, et supposant que ces lampes

brûlent chaque nuit pendant une année, que coûtera cet éclairage ?

c) Quel serait le gain si elles sont remplacées par des lampes dites économiques, fournissant la même

lumière tout en ne consommant que 15 W ?



Réponse – a

Éner ie consommée pour l’éclaira e en 4 heures:

Réponse – b

En admettant qu’elles sont allumées heures par nuit pendant une année, elles consomment :

( )

Dépense pour l’éclaira e :

Réponse – c

Avec des lampes économiques de 15 W, la consommation baissera à ¼ de la consommation des lampes

traditionnelles. L’économie réalisée sera de :

Exercice 1.5.20 Puissance et énergie consommée – 2

Un grille-pain branché sur 230 V consomme 3 A. Quelle est sa puissance et quelle énergie (en kWh)

consomme-t-il pour faire des toasts en 5 minutes ?

Réponse

Puissance de l’appareil :

Energie consommée :

Exercice 1.5.21 Puissance, rendement et consommation électrique d’un treuil

Avec le treuil de l’Exercice 1.4.8, on lève une charge de 200 kg sur une hauteur de 20 m, en 10 s. Quelle

puissance mécanique devra fournir le moteur d’entraînement ?

En admettant que le rendement du système moteur-réducteur-treuil est de 60%, et que le moteur est alimenté

sous 230 V, quel courant consommera-t-il ?

Cette opération est répétée 90 fois par heure, 16 heures par jour. Quelle sera la consommation journalière ?



Réponse

Puissance mécanique du treuil :

Puissance électrique :

Courant consommé :

En un jour, la durée de fonctionnement est :

Énergie consommée par jour, exprimée en [kWh] :

ou, exprimée en [J] :

( )

Exercice 1.5.22 Consommation moyenne d’un téléviseur

Un poste de télévision est utilisé 3 heures par jour et consomme alors 120 W. Le reste du temps, il reste en

« stand-by » et consomme 7 W.

a) Quelle énergie, exprimée en kWh, consomme cet appareil en 1 année ?

b) De combien baisserait cette consommation, en %, si on retirait systématiquement la prise de cet

appareil au lieu de le laisser en « stand-by » ?

Réponse – a

Consommation en 1 jour :

( )

Réponse – b

Consommation en 1 jour :

L’économie est de 4 h.



Chapitre 2 Théorie des circuits linéaires

2.1 Principes généraux

(Pas d’exercices spécifiques)

2.2 Circuits électriques

Exercice 2.2.1 Loi de Kirchhoff sur les nœuds – 1

Trouver la valeur et le sens réel du courant I pour les nœuds ci-dessous :

a) b) c)

Réponse – a

I + 7 – 2 = 0, donc : I = –5 A

Réponse – b

I + –[(–9)] + (–4) = 0, donc : I = –5 A

Réponse – c

–I + 8 + (–2) + (–4) + 3 = 0, donc : I = 5 A



Exercice 2.2.2 Loi de Kirchhoff sur les nœuds – 2

Dans le circuit représenté ci-dessous, calculer le courant I en appliquant les lois de Kirchhoff.

Réponse

Dans un premier temps, il convient de mettre en cause la modélisation proposée pour le système en question.

Il n’est pas nécessaire de représenter les 4 résistances de la maille, alors qu’on ne s’intéresse pas du tout aux

courants qui les traversent. Il est préférable de les remplacer par un « ros nœud ». On pourra alors y

appliquer la loi de Kirchhoff sur les nœuds.

Pour appliquer cette loi, les 4 références de courant doivent être orientées vers le nœud. On obtient ainsi :

( ) ( )

Donc :

A

I1 = -3 A

I2 = 2 A

I = ?

I3 = 4 A

I1 = -3 A

I2 = 2 A

I’ = ?

I3’= -4 A

I1 = -3 A

I2 = 2 A

I = ?

I3 = 4 A



Exercice 2.2.3 Lois de Kirchhoff sur les nœuds et les mailles

Dans le circuit représenté ci-dessous, calculer les courants I1, I2 et I3 ainsi que les tensions U1, U2 et U3 en

appliquant les lois de Kirchhoff.

Réponse

Pour les 3 courants, on prend en considération les 3 nœuds mis en évidence ci-dessous. Dans chaque nœud,

on corrige le sens de référence pour avoir tous les courants « entrants », ou tous les courants « sortants ».

Chaque valeur de courant dont on a dû inverser le sens de référence est alors inversé. Ces cas sont soulignés

dans la figure ci-dessous. On calcule ainsi successivement :

(–0,3 A) + 0,1 A + I1 = 0, donc : I1 = +0,2 A

0,2 A + I2 + 0,2 A = 0, donc : I2 = –0,4 A

0,2 A + 0,5 A + (–I3) + (–0,3 A) = 0, donc : I3 = +0,4 A

0,3 A I1 300 mA

I2 I3

200 mA

500 mA 100 mA

U1 U2

U3

4 V

5 V

-4 V 6 V

-0,3 A I1 -300 mA

I2 -I3

200 mA

500 mA 100 mA

U1 U2

U3

4 V

5 V

-4 V 6 V



Pour les 4 tensions, on prend en considération les 3 mailles mises en évidence ci-dessous. Dans chaque

maille, on corri e le sens de référence pour avoir toutes les tensions orientées dans le même sens lorsqu’on

parcourt la maille. Chaque valeur de tension dont on a dû inverser le sens de référence est alors inversée. Ces

cas sont soulignés dans la figure ci-dessous. On calcule ainsi successivement :

(–4 V) + (–5 V) + U1 = 0, donc : U1 = 9 V

9 V + (–4 V) + U2 = 0, donc : U2 = –5 V

(–5 V) + U3 + (–6 V) = 0, donc : U3 = 11 V

0,3 A I1 300 mA

I2 I3

200 mA

500 mA 100 mA

U1 U2

U3

-4 V

-5 V

-4 V -6 V

2.3 Combinaisons simples de résistances

Exercice 2.3.1 Résistances en série

Calculer la valeur de la résistance équivalente du groupement de résistances ci-dessous. Calculer la tension

aux bornes de chaque résistance.

Réponse

Re 3 0 Ω

U120 Ω = 3,2 V

U40 Ω = 1,1 V

U150 Ω = 4,0 V

120 40 150

8,3 V



Exercice 2.3.2 Résistances en parallèle

Calculer la valeur de la résistance équivalente du groupement de résistances ci-dessous. Calculer le courant

parcourant chacune des branches.

Réponse

Re , Ω

U70 Ω = U40 Ω = 89 mV

I40 Ω = 2,2 mA

I70 Ω = 1,3 mA

Exercice 2.3.3 Calcul d’une résistance équivalente – 1

Calculer la valeur de la résistance équivalente du groupement de résistances ci-dessous.

Calculer le courant de chacune des branches, ainsi que la tension aux bornes de l’ensemble.

Réponse

Re 68 Ω

U70 Ω = U30 Ω = 1,89 V

I30 Ω = 63 mA

I47 Ω = 90 mA

U47 Ω = 4,23 V

Uensemble = 6,12 V

40

70

3,5 mA

30

70

47

27 mA




Calculer la résistance équivalente du montage suivant :

2

1

3 5

6

4

Réponse

On calcule successivement (toutes les valeurs ci-dessous en [Ω]) :

2 // 4 = 2 · 4 / (2 + 4) = 1,33

1 + 1,33 = 2,33

2,33 // 3 = 1,31

5 + 1,31 = 6,31

Re 6,3 6 3,08 Ω


On désire introduire une résistance additionnelle de , Ω dans un circuit afin de limiter l’intensité de

courant. On ne dispose toutefois que de résistances de 0 Ω. Que faire ?

Réponse

Il faut mettre 8 résistances de 0 Ω en parallèle.


On utilise 6 isolateurs en porcelaine pour fixer les câbles d’une li ne à haute tension de 132 kV à un pylône.

En considérant que ces isolateurs sont tous identiques, calculer la valeur de la tension aux bornes de chaque

isolateur.

Réponse

On peut considérer chaque isolateur comme une résistance de valeur très élevée. Les 16 isolateurs sont en

série.

Chacun d’eux est soumis à une tension U = 132 kV / 16 = 8,25 kV.




Déterminer la résistance équivalente au circuit suivant :

R1 00 Ω

R2 0 Ω

R3 0 Ω

R4 80 Ω

R5 0 Ω

R6 00 Ω

R7 330 Ω

R8 33 Ω

Réponse

et sont en parallèle :

et sont en parallèle :

et sont en série :

R5 et R6 sont en série :

, et sont en parallèle :

et sont en série :



Exercice 2.3.8 Calcul d’un circuit avec potentiomètre

Donner la fonction de la valeur de la résistance équivalente Re = f(R; α) du schéma ci-dessous, qui dépend de

la position α du potentiomètre. Cette position α varie de 0,0 à 1,0. Calculer quelques points particuliers et

dessiner la fonction pour l'intervalle 0 ≤ α ≤ .

R

R

R 0

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Re

Réponse

Si l'on remplace le potentiomètre par 2 résistances de valeur α · R et (1 – α) · R, le schéma peut être redessiné

comme représenté plus bas. On peut calculer alors la résistance équivalente de l'ensemble comme suit :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

)

(

)

( ) ( )

R

RR

R

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Re

2 R

1,5 R

a Re / R

0% 2.00

25% 1.95

50% 1.83

75% 1.68

100% 1.50



2.4 Sources de tension et de courant

Exercice 2.4.1 Modélisation d’une batterie par une source réelle de tension

La batterie d'une automobile a une tension à vide de 14,2 V. Lorsqu'on active le démarreur, celui-ci

consommant 22 A, on constate que la tension aux bornes de la batterie n'est plus que de 11,6 V.

Quelle est la résistance interne de cette batterie ?

Réponse

A

En négligeant les autres consommateurs, on peut dire que lorsque la résistance interne est chargée à 22 A, la

chute de tension à ses bornes vaut :

La résistance interne vaut donc :

Exercice 2.4.2 Source réelle de tension en court-circuit

Quel courant peut théoriquement débiter la batterie de l'exercice précédent si on court-circuite

malencontreusement ses bornes avec une clé à fourche ?

Est-ce que le matériau de la clé joue un grand rôle sur ce courant de court-circuit ?

Justifiez votre réponse.

Réponse

En admettant que la résistance du court-circuit Rcc est nulle, le courant n'est limité que par la résistance

interne de la batterie. On a donc :

Nous faisons les hypothèses suivantes :

- la clé à fourche est en acier (ρAc 00 0-9

Ωm),

- sa section A est de 1 cm2,

- la distance d entre les 2 bornes de la batterie est de 20 cm.



La résistance de la clé vaut alors :

mΩ

En comparant : mΩ mΩ, nous en concluons que son influence sur le courant de

court-circuit est négligeable.

Exercice 2.4.3 Cas de charge d’une source réelle de tension

Une pile a une tension à vide de 4, et une résistance interne de Ω. Après y avoir connecté une ampoule

de caractéristique inconnue, on ne mesure plus que 4,45 V.

a) Quelle est la résistance électrique de cette ampoule ?

b) Quelle est la précision de cette valeur si la mesure de tension se fait avec un appareil qui garanti une

erreur de mesure inférieure à 1 mV et que la résistance interne est donnée avec une précision de

±0,1% ?

Réponse – a

U0 = 4,5 V

Ri Ω

Ucharge = 4,45 V

La chute de tension sur la résistance interne provoquée par le courant de charge est :

Donc le courant de charge vaut :

La résistance de cette ampoule vaut :

Réponse – b

L’incertitude, ou erreur absolue, du résultat du calcul de la chute de tension aux bornes de la résistance

interne est égale à la somme de la valeur absolue des erreurs de chaque mesure :

(| | |

|) ( )

Donc :

L’erreur relative sur ce résultat vaut :



L’erreur relative sur le calcul de la résistance de l’ampoule Rampoule est égale à la somme des erreurs relatives

sur les variables :

L’erreur absolue sur la valeur de la résistance est de :

On écrira donc que la résistance vaut 89 ± 3, Ω.

Exercice 2.4.4 Modélisation d’une source réelle de tension à partir de 2 essais

Des mesures réalisées sur une source réelle de tension ont donné une tension de 100 V aux bornes pour une

résistance de char e de 00 Ω, et 0 pour une char e de 0 Ω. Établir le modèle de cette source par voie

analytique (en appliquant les formules), puis par voie graphique (en raisonnant sur la caractéristique d'une

source réelle de tension).

Réponse

On a 2 cas de charge distincts, pour lequel on peut calculer le courant que la source fournit à la charge ;

La tension à vide et la résistance interne de la source de tension sont des inconnues. Il s'agit donc de résoudre

le système de 2 équations à 2 inconnues suivant :

En résolvant ce système, on obtient Ri et Uo :



On obtient le même résultat par voie graphique, en considérant que la droite caractéristique de la source

passe par les 2 points (1 A; 100 V) et (0,5 A; 105 V).

La pente de cette droite vaut :

Ce qui fixe la résistance interne .

L'intersection de cette droite avec l'axe des ordonnées se calcule alors par :

Exercice 2.4.5 Sources réelles de tension mises en parallèle

Une batterie de voiture est chargée à 4 . Celle d’une autre voiture en panne est totalement déchar ée.

Lorsqu’on ponte les deux batteries, on constate que la tension baisse de 30% environ. Expliquer ce

phénomène. Quelles pourraient être les raisons qui expliquent que la baisse n’est pas de 50 % ?

Réponse

Chaque batterie peut être assimilée à une source réelle de tension, dont les tensions à vide valent 14 V et 0 V

respectivement. Si leurs résistances internes sont identiques et si on néglige la résistance du câble de

pontage, la tension aux bornes devrait être de 50%, soit 14 V (diviseur de tension).

Si l’on tient compte de la résistance du câble de ponta e, et si l’on admet que la batterie déchar ée est

dé radée, donc que sa résistance interne est plus élevée qu’une batterie neuve, la tension aux bornes de la

batterie chargée est plus élevée que 50%, et pourrait atteindre 70%. Cela correspond à une baisse de tension

de 30% par rapport à la tension sans câble de pontage.

Exercice 2.4.6 Source réelle de tension en charge

La tension de sortie d’une alimentation électrique baisse de 0% lorsqu’on la char e avec une résistance de

1 Ω. Quelle est sa résistance interne ?

95

100

105

110

0 0.5 1 1.5

U [V]

I [A]

U(I)

(I;U)



Réponse

RL Ω

UL = (1 – 0%) U0 0,8 U0 V

Par l’équation de la source réelle de tension et la loi d’Ohm, nous avons équations avec 3 inconnues, soit la

tension en charge UL, la tension à vide U0 et la résistance interne RL, qui seule nous intéresse.

De la 2ème équation on tire :

En remplaçant I dans la 1ère

équation :

En simplifiant par :

Et finalement :

Exercice 2.4.7 Modélisation d’une source réelle de courant avec 2 essais

Une source réelle de courant délivre un courant de 190 mA en court-circuit. A vide, on mesure à ses bornes

une tension de 52 V. Quelles sont ses caractéristiques ?

Réponse

Le courant de court-circuit est donné :

I0 = 190 mA

Comme la tension à circuit ouvert vaut 52 V, on obtient :



Exercice 2.4.8 Caractérisation d’une source réelle de tension

On souhaite caractériser une source réelle de tension, caractérisée par U0 et Ri. Pour ce faire, on procède à 2

essais, qui fournissent les résultats suivants :

Si on y applique une résistance RL Ω, on mesure U = 14,9 V à ses bornes.

Si on y applique une résistance RL , Ω, on mesure U = 14,5 V à ses bornes.

a) Quelles sont les caractéristiques U0 et Ri de la source réelle de tension ?

b) Que vaudrait la tension U si on applique une résistance RL = 4,7 kΩ ?

Réponse – a

Le courant fournit par la source se calcule par :

Suite aux 2 essais dont nous connaissons les résultats, nous pouvons en tirer un système de 2 équations à 2

inconnues :

En résolvant ce système, par exemple en faisant soustrayant la 2ème

de la 1ère

équation, nous obtenons :

En introduisant cette valeur dans l’une ou l’autre équation, nous obtenons :

Réponse – b

Connaissant le modèle de la source réelle de tension, on peut calculer d’abord le courant fourni :

On en déduit alors la tension aux bornes de la charge RL :

Remarquons qu’en appliquant l’équation d’un diviseur de tension, on obtient directement le même résultat :



2.5 Méthode de réduction des circuits

Exercice 2.5.1 Analyse d’un circuit électrique – 1

Si la tension entre les points 1 et 2 du circuit ci-dessous est de 40 V, quelle est la tension entre les points 2 et

4 ?

Et entre les points 3 et 4 ?

Réponse

Il convient de redessiner le circuit, par exemple comme suit :

1 = 3 = 4

2

R1 R2

U

Les réponses deviennent alors évidente : les points , 3 et 4 sont confondus (même nœud), ils sont tous les

trois au même potentiel.

La différence de potentiel entre les points 4 et 2 est donc égale à U, soit 40 V.

La différence de potentiel ou tension entre ces 3 points est donc nulle.




Le schéma ci-dessous représente un réseau de distribution d'électricité.

a) Proposer une représentation qui fasse mieux apparaître les nœuds et les mailles.

b) Calculer la puissance fournie à chacune des charges X et Y.

c) Calculer la puissance fournie par chaque centrale (chaque source réelle).

Réponse – a

Il faut représenter les 2 sources réelles de courant en parallèle, chargés par les 2 résistances de charge en

parallèle.

Réponse – b

Nous obtenons une source de courant équivalente caractérisée par :

Nous pouvons déterminer une source de tension équivalente :

La charge équivalente vaut :

Nous avons un diviseur de tension, et la tension aux bornes des charges vaut :

Centrale B Centrale A

Charge X

Charge Y

60 A 12 A

30

0 Ω

15

00 Ω

36

00 Ω

60

00 Ω



Les puissances fournies aux charges valent ainsi :

Réponse – c

Il faut calculer la puissance fournie par chaque source idéale, puis en soustraire la puissance consommée par

la résistance shunt correspondante. Seule la différence « sort » de la source réelle de courant.


Dans le circuit suivant, calculer les courants traversant R pour R Ω, 0 Ω, 00 Ω.

Réponse

On reconnaît un diviseur de tension en char e, et il suffit d’appliquer la formule du cours.

I2 Ω = 1,5 A

I10 Ω = 0,5 A

I100 Ω = 0,05 A




Calculer la tension aux bornes de chacune des résistances du circuit ci-dessous :

Réponse

U1kΩ = 10 V

U2kΩ = 2,22 V

U3kΩ = 3,33 V

U4kΩ = 4,44 V


Calculer les courants passant par chacune des résistances du circuit ci-dessous :

Réponse

I1kΩ = 5,2 mA

I2kΩ = 2,4 mA

I3kΩ = 1,6 mA

I4kΩ = 1,2 mA



Exercice 2.5.6 Puissance 1cbvdissipée par une résistance dans un circuit

Les résistances de charges ci-dessous ont été conçues pour supporter en permanence une puissance spécifiée

dans leur fiche de caractéristiques. Sont-elles adaptées pour être connectées aux bornes AB de la source ci-

dessous, et en particulier:

a) si chaque résistance est connectée séparément ?

b) si toutes les trois résistances sont connectées ensemble ?

Réponse – a

Avec 2 kΩ :

( )

( )

( )

Ces 3 résistances sont surchargées.

Réponse – b

Résistance équivalente aux 3 résistances de charge mises en parallèle :

En appliquant la formule de l’effet Joule, on obtient pour chaque résistance :

Ri=2000 A

B

100V R1 2k

1W

R2 10k

½W

R3 30k

¼W




Le circuit ci-dessous est raccordé à une batterie. On mesure alors à ses bornes. On constate que si l’on

ajoute la résistance R de 4 Ω, la tension aux bornes de cette batterie baisse de 00 m .

Calculer la tension à vide et la résistance interne de la batterie, puis le courant et la tension pour chacun des

éléments du circuit.

Indice : Il existe solutions. L’une est plus plausible que l’autre. Laquelle ?

Réponse

Sans résistance R additionnelle, la résistance équivalente :

En utilisant l’équation du diviseur de tension on obtient :

Avec la résistance R additionnelle, la résistance équivalente :

En utilisant l’équation du diviseur de tension on obtient :



Nous avons 2 inconnues, avec 2 équations. En éliminant U0 de ces 2 équations, nous obtenons

successivement :

( )

( )

( ) ( )

Nous pouvons maintenant en tirer la valeur de la tension à vide :

Contrôle :

En ajoutant la résistance R en parallèle, nous obtenons bien :


Déterminer la source de tension U0 pouvant injecter un courant de mA dans la résistance de 3 Ω du circuit

mentionné ci-dessous.

Réponse

( ) ( )

A

A

A

( ) ( )

R1 = 8 Ω

U0 = ? R3 = 7 Ω

R4 = 4 Ω

R5 = 6 Ω R7 = 3 Ω

R2 = 12 Ω R8 = 2 Ω

R6 = 1 Ω

I7 = 75 mA




Dans le circuit ci-dessous, la résistance de 00 Ω dissipe 4 fois plus de chaleur que la résistance R. Calculer

la puissance de la source de tension, et la valeur de R, sachant que la source débite un courant de 6 A.

Réponse

La loi de Kirchhoff sur les mailles nous donne :

La loi de Kirchhoff sur les nœuds nous donne :

Nous en tirons :

La loi de Joule nous donne :

Comme , nous en tirons successivement :

( )

100 Ω

R

U

6 A



En combinant avec la valeur de R obtenue plus haut, nous obtenons, successivement :

( )

( )

( )

De là, nous pouvons calculer la puissance dans , puis celle dans , et finalement la puissance totale

fournie par la génératrice :

La valeur de R est donnée par :

Exercice 2.5.10 Diviseur de tension (en charge)

Le circuit ci-dessous représente un diviseur de tension permettant d’alimenter la char e R 00 Ω à une

tension de 10 V, 20 V, 30 V et 40 V. Déterminer les valeurs des quatre résistances du diviseur. Le cahier des

charges précise également que la puissance consommée par le diviseur non chargé ne doit pas dépasser 8 W.

Nous désignons les 4 résistances, du bas vers le haut, par R1, R2, R3 et R4.



Réponse

Pour respecter le critère de puissance, on fixe la somme des 4 résistances à 00 Ω. En effet :

∑ ∑

On reconnaît un diviseur de tension en charge. Comme la somme des résistances est constante, et que seul le

rapport de résistance varie, on peut calculer comme si nous avions un potentiomètre de 00 Ω, le rapport α

devant être calculé pour chacune des positions. En partant de l’équation qui donne la tension de sortie sur un

diviseur de tension en charge, nous obtenons successivement :

⏟

[ ] [( ) ]

[ ] [( ) ]⏟

⏟

( )

( )

( )

(

)

(

)

En résolvant cette équation du 2ème

degré pour les 4 cas de figure, nous obtenons les 4 valeurs de α

nécessaires, et les valeurs des 4 résistances :

Pour :

(

)

√

Pour :

(

)

√



Pour :

(

)

( )

√

Pour :

Dans ce cas, le curseur est tout en haut ( ). Il n’y a même pas besoin de résoudre l’équation.

Exercice 2.5.11 Calcul d’erreur sur un circuit

Considérant le diviseur de tension de l’Exercice 2.5.10, quelle est l’erreur de tension pour chaque position,

exprimées en %, si la charge RL varie de 5 % ?

Réponse

Calculons le premier cas, avec :

( )

[ ( )

]

( )

( )

Il suffit de procéder de même pour obtenir :

Pour le dernier cas, il n’y a pas de différence, puisque le curseur est tout en haut, et que la char e est alors

reliée directement à la source idéale de tension. Donc : .



Exercice 2.5.12 Analyse d’un circuit électrique – 9 (pont de Wheatstone)

Considérant le circuit ci-dessous, prouver que, si le courant dans R3 est nul, les résistances R1 et R2 d’une

part, R4 et R5 d’autre part, sont dans le même rapport.

Réponse

Si le courant dans R3 est nul, on a 2 diviseurs de tension sans charge. Nous avons donc bien :


Dans le circuit ci-dessous, la puissance dissipée par la résistance de 6 Ω est de 0 . Calculer tous les

courants et tensions.

R 1 R 4

R 2 R 5

R 3

10 30

6



Réponse

√

√

Exercice 2.5.14 Analyse d’un circuit électrique – 11 (calcul de puissance)

Une résistance de Ω est connectée en série avec la bobine d’un relais dont la résistance est de 80 Ω. Si une

tension de 48 V est appliquée à cet ensemble, quel sera le courant dans la bobine ? Quelle sera la puissance

dissipée dans la résistance de Ω ?

Réponse

Ω Ω A

=16,7 W

Ω =5,2 W

Exercice 2.5.15 Analyse d’un circuit électrique – 12 (calcul de puissance)

Calculer la puissance fournie par la source idéale de courant I au circuit ci-dessous.

I

R1

5

R2

4

R3

2

4A



Réponse

A

A

Exercice 2.5.16 Puissance dissipée dans un circuit avec résistance variable

Dans le circuit ci-dessous, on sait que U = 15 V et R2 900 Ω. De plus, R1 est une résistance variable (voir

symbole), dont la valeur dépend d'une grandeur x comprise entre 0 et 2/3, avec la relation suivante :

( )

Calculer la fonction P2(x) correspondant à la puissance dissipée dans la résistance R2 en fonction de x.

Calculer quelques points et dessiner la courbe P2(x).

Réponse

Il faut calculer tout d'abord le courant traversant ces 2 résistances, en fonction de x :

On peut alors calculer la puissance dissipée dans R2 :

( ) (

)

(

)

(

)

( )

R2

R1(x)

TE22_02.dsf

U

0 10,5

x

P2(x)



Nous pouvons calculer les points demandés et tracer la courbe.

x [%] P2(x)

0% 0,09

25% 0,12

50% 0,18

66,7% 0,25

Exercice 2.5.17 Puissance fournie à une charge de résistance variable – 1

Une source de tension de 00 possède une résistance interne de 0 Ω. Elle alimente une char e R.

Déterminer la valeur du courant I et de la tension U aux bornes de la charge, à mesure que sa résistance varie

de zéro à l’infini.

Pour quelle valeur de R la dissipation de puissance dans la charge est-elle maximale ?

Que vaut alors cette puissance ?

Réponse

( )

Graphiquement, on constate que la puissance dissipée dans R est maximum lorsque R 0 Ω. Elle est alors

de 250 W.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.000 0.250 0.500

P2

(x)

[W]

x [%]



Nous pouvons le démontrer en calculant la dérivée de la puissance relativement à R, puis en cherchant la

valeur de R qui l’annule :

( ) ( )

( )

( )

( )

Cette dérivée s’annule lorsque le numérateur est nul, donc lorsque :

√

Évidemment, seule la solution positive est valable.

Pour cette valeur de R, la puissance qu’elle dissipe vaut :

( )


Une source d’alimentation donne une tension de 4 à circuit ouvert. Lorsqu’on lui applique une char e de

10 A, la tension à ses bornes baisse de 100 mV.

a) Calculer la résistance interne de cette source.

b) Quelle est la puissance maximale qu’elle peut débiter dans une char e dont la résistance est

variable ?

Réponse – a

ous partons de l’équation d’une source réelle de tension :

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 5 10 15 20 25P

[k

W]

R [Ω]



Réponse – b

Le courant dans une charge RL vaut :

Nous en tirons, successivement :

(

)

Nous constatons que, si et si , , alors que pour des valeurs intermédiaires, .

Il y a donc au moins un maximum, lorsque la dérivée de PL et fonction de RL est nulle.

(

)

(

) ( )

Cette dérivée s’annule lorsque le numérateur est nul, soit pour :

Donc, pour .

Dans ce cas, la puissance débitée dans la charge vaut :

(

)

Remarque : La conclusion de cet exercice est importante. La puissance max. que peut délivrer une

source réelle de courant est obtenue lorsque la résistance de charge est égale à la

résistance interne.


Déterminer la valeur de la résistance variable (potentiomètre) R, pour un transfert de puissance maximale

aux bornes AB du circuit ci-dessous.

R1

10

U

100V R

A

B

R2

15

R3

5



Réponse

En application du théorème de Thévenin, nous pouvons déterminer une source réelle de tension équivalente

au circuit à gauche des points A et B. La résistance interne de cette source équivalente est égale à la

résistance équivalente de cette partie du circuit, la source de tension étant désactivée, donc remplacée par un

court-circuit. Nous avons ainsi :

En utilisant la conclusion de l’exercice précédent, la puissance max. que peut débiter cette source dans la

charge est obtenue lorsque :

Exercice 2.5.20 Puissance dissipée par les composants d’un circuit

Déterminer la puissance totale délivrée par la source de 60 V du circuit ci-dessous. Calculer ensuite la

puissance consommée par chaque résistance.

Réponse (sans détail des calculs)

En calculant les courants circulant dans chacune des résistances, nous obtenons finalement :

Ptotal = 360 W

P1 = 252 W

P2 = 27 W

P3 = 54 W

P4 = 15,8 W

P5 = 11,2 W

R1

7

U

60V

R2

12

R3

6

R4

7

R5

5



Exercice 2.5.21 Puissance fournie par un amplificateur à des haut-parleurs

Un amplificateur fournit une tension à vide de 1 V et un courant de court-circuit de 125 mA. On relie à cet

amplificateur un haut-parleur qui a une résistance de 0 Ω. Que valent la tension et la puissance délivrées à

la charge ?

Que deviennent la tension et la puissance si 2 haut-parleurs sont connectés en parallèle ?

Et si ces 2 haut-parleurs étaient connectés en série ?

Quelle variante permet d’obtenir la plus grande puissance acoustique ?


Pour un haut-parleur seul : P = 30,9 mW.

Pour 2 haut-parleurs en parallèle, la puissance totale (2 HP) vaut : P2HP série = 29,6 mW.

Pour 2 haut-parleurs en série, la puissance totale (2 HP) vaut : P2HP parallèle = 25,5 mW.

La puissance acoustique est donc la plus rande lorsqu’on utilise seul haut-parleur.

Exercice 2.5.22 Puissance et rendement d’un moteur et de son câble

a) Quelle est la puissance électrique perdue en chaleur dans une ligne électrique de 100 m, alimentant

un moteur, qui fournit un couple de 6 m à ’4 0 t min, dont le rendement vaut 93%, sachant que

la tension est de 400 V, et que la ligne est réalisée en fil de cuivre de 10 mm2 ?

b) Quel est le rendement de l’ensemble (li ne et moteur) ?

Réponse – a

La puissance mécanique fournie par le moteur vaut :

(

)

Tenant compte du rendement, la puissance électrique qu’il absorbe alors vaut :

Il faut maintenant calculer la résistance de la ligne électrique. Comme le courant doit aller et revenir, il doit

parcourir 2 fois la distance, soit 200 m.

Admettons que le moteur se comporte comme une résistance R. Nous nous trouvons dans le cas d’une source

idéale de tension, chargée par 2 résistances en série. Nous avons alors 2 équations :



On peut en tirer :

√

√

On a solutions. Toutefois, la plus élevée n’est pas plausible. Elle impliquerait que la résistance du moteur

valle 8,5 mΩ, soit 41 fois moins que celle de la ligne. Donc :

La puissance perdue en chaleur dans la ligne vaut :

Réponse – b

Le rendement vaut :

Exercice 2.5.23 Source réelle équivalente – 1

Calculer et représenter la source réelle de tension équivalente aux systèmes ci-dessous :

a) b)

5 V

60 Ω

10 V

40 Ω

60 Ω

10 V 5 V

40 Ω



Réponse – a)

Les sources sont en série. Il suffit d’additionner les tensions et les résistances :

U0 = 15 V ; Ri 00 Ω

Réponse – b

Les 2 sources réelles de tension sont en parallèle. Il faut calculer des sources réelles de courant équivalentes :

Il est maintenant possible de calculer une source réelle de courant équivalente à ces 2 sources en parallèle :

La source réelle de tension équivalente à l’ensemble vaut alors :


Calculer et représenter la source réelle de tension équivalente au système ci-dessous :

a) b)

Réponse – a

Les 2 sources réelles de courant sont en série. Il faut calculer des sources réelles de tension équivalentes :

30 Ω

1,5 A

0,5 A

70 Ω

20 Ω

8 V

0,2 A

80 Ω



Il est maintenant possible de calculer une source réelle de tension équivalente à ces 2 sources en série :

Réponse – b

Il faut calculer d’abord la source réelle de courant équivalente à la source de tension de auche :

On a maintenant 2 sources réelles de courant en parallèle, dont la source équivalente vaut :



Calculer et représenter la source réelle de tension équivalente au système ci-dessous :

a) b)

Réponse – a

Les 2 sources réelles de courant sont en série. Il faut calculer des sources réelles de tension équivalentes, en

faisant attention au signe de la source de 0,5 A, qui serait négatif si le sens de référence était orienté vers le

haut :

1,5 A

0,5 A

10 V

30 Ω 300 Ω

70 Ω

5 V 8 V

10 V 10 Ω

20 Ω



Il est maintenant possible de calculer une source réelle de tension équivalente à ces 2 sources en série :

Nous avons maintenant 2 sources réelles de tension en parallèle. Il faut calculer des sources réelles de

courant équivalentes :

Il est maintenant possible de calculer une source réelle de courant équivalente à ces 2 sources en parallèle :


Réponse – b

La source idéale de tension (8 V) impose la tension à ses bornes. Vis-à-vis de la charge (à droite), la source

réelle de gauche (5 V) ne peut avoir aucune influence. On se retrouve dans la situation de deux sources de

tension en série. En faisant attention au signe de la source de droite, on obtient :


Pour le circuit représenté ci-dessous, calculer les tensions et les courants indiqués.

Réponse

1ère

étape : On remplace la source réelle de tension de gauche par une source réelle de courant :

10 V 4 V

0,2 A

U 1

U 2

I 10 Ω 10 Ω 10 Ω

80 Ω



Comme elle est en parallèle avec la résistance de 80 Ω, on peut calculer une source réelle de courant

équivalente :

Comme elle est en série avec d’autres sources, on la transforme avec une source réelle de tension

équivalente :

2ème

étape : On remplace la source réelle de courant, qui est au milieu du circuit, par une source réelle de

tension, en faisant attention au signe :

On constate que l’on obtient 3 sources réelles de tension en série, qui forment une maille.

3ème

étape : Tenant compte des 3 tensions et des 3 résistances en série, on peut calculer le courant I, en faisant

attention à leurs signes :

4ème

étape : Connaissant I, on peut calculer U1 et U2 :

( )

( ) ( )


Pour le circuit représenté ci-dessous, calculer les tensions et les courants indiqués.


Les branches de gauche et de droites peuvent être considérées comme des sources réelles de tension, leurs

résistances internes étant calculées sur la base des paires de résistances en parallèle. Attention aux signes des

sources de tension !

12 V 10 V

U

I 1 I

2

15 Ω 40 Ω

20 Ω

5 Ω 20 Ω



On peut alors calculer 2 sources réelles de courant équivalentes, qui se trouvent en parallèle entre elles, et

avec la résistance médiane.

L’ensemble peut être remplacé par une source réelle de courant, non char ée. La tension à ses bornes est

égale à la tension en circuit ouvert de cette source.

Connaissant cette tension, et en revenant au circuit initial, on peut calculer les deux courants.

Les résultats :

U = 6 V

I1 = 200 mA

I2 = 100 mA

Exercice 2.5.28 Théorème de Thévenin – 1

Calculer et représenter la source réelle de tension équivalente au système ci-dessous, vis à vis de la charge

RL.


A vide (en retirant la résistance RL), on peut calculer la tension à vide de la source réelle de tension

équivalente : U0 = 48 V.

En désactivant la source de courant, donc en la remplaçant par un circuit ouvert, on peut calculer la

résistance interne : Ri 4’ 00 Ω

12 mA

R L

A

B

200 Ω

4 kΩ





RL.


Les résistances à droite de la source de tension consomment du courant, mais n’influencent en aucune

façon ce qui se passe dans la partie de gauche. On peut donc ne pas en tenir compte, comme si elles

n’existaient pas.

A vide (en retirant la résistance RL), on peut calculer la tension à vide de la source réelle de tension

équivalente : U0 = 4 V.

En désactivant la source de tension, donc en la remplaçant par un court-circuit, les 2 résistances de 4 Ω se

trouvent en parallèle. On peut calculer la résistance interne : Ri Ω.



RL.

A

B

8 V

R L

4 Ω 2 Ω

2 Ω 4 Ω

A B 72 V

R L

6 Ω 4 Ω

3 Ω 4 Ω



Réponse

La source idéale de tension impose la tension à ses bornes. On peut alors faire comme s’il y en avait deux,

Chacun de ces deux

systèmes peut alors être remplacé par une source réelle de tension.

A gauche :

A droite : U2 = 72 V · 4/8 = 36 V, Ri2 4 Ω 4 Ω Ω

Ces 2 sources réelles de tension sont en série. On réduit alors en une seule source réelle de tension :


Calculer la puissance dissipée dans la résistance RL Ω du circuit ci-dessous :


Il serait possible de résoudre ce problème en remplaçant les sources réelles de tension, qui sont en parallèle,

par 2 sources réelles de courant.

Si l’on préfère appliquer le théorème de Thévenin, il faut considérer que la résistance RL se trouve entre 2

points A et B.

En déconnectant cette résistance, on peut calculer la tension à vide :

U0 = 3,18 V (attention au signe de la source de 15 V !!!)

5 V

RL +15 V

100 1 k



En désactivant les 2 sources de tension, donc en les remplaçant par des courts-circuits, il reste 2 résistances

en parallèle. On obtient :

Ri 90,9 Ω

A partir de là, on peut calculer le courant circulant dans RL, puis la puissance qu’elle consomme :

P = 4,6 mW


Dans le circuit de l’Exercice 2.5.31, quelle résistance faudrait-il mettre en parallèle avec la résistance de

1 Ω si l’on désire que le courant dans la résistance RL soit nul ?

Réponse

S’il n’y a aucun courant circulant dans RL, c’est que la tension à ses bornes est nulle. Le sachant, on peut

calculer le courant débité par la source de 5 V :

Pour que ce courant circule dans la source de droite, il faut modifier la valeur de la résistance. Il faudrait que

celle-ci valle :

Pour obtenir cette résistance équivalente, il faut placer, en parallèle à la résistance de 1 kΩ, une résistance

additionnelle qui vaut :


Dans le circuit de l’Exercice 2.5.31, on ajoute une résistance de 00 Ω entre les bornes supérieures des deux

sources. Quel sera le courant dans cette résistance ? De combien changera la puissance dissipée dans la

résistance RL ?

Réponse

Cette résistance est reliée directement aux bornes des deux sources idéales. Son courant est de 40 mA, mais

il n’a aucune influence sur ce qui se passe dans la char e RL.


Dans le circuit de l’Exercice 2.5.31, on intervertit la polarité de la source de 15 V. Que devient la puissance

dissipée dans la résistance RL ?




En refaisant tous les calculs, on obtient :

P = 16,0 mW

Exercice 2.5.35 Théorème de superposition – 1

Déterminer le courant I dans le circuit ci-dessous en utilisant le théorème de superposition.


Avec l’alimentation de auche seule, donc celle de droite remplacée par un court-circuit :

I21V seul = 1,79 mA

Avec l’alimentation de droite seule, donc celle de auche remplacée par un court-circuit :

I46V seul = 2,79 mA

En faisant la somme de ces deux contributions :

I = 4,58 mA

Exercice 2.5.36 Analyse d’un circuit par la méthode des courants de maille

La méthode dite des « courants de maille » permet de calculer tous les courants du circuit de l’Exercice

2.5.35. Elle consiste à définir les courants IA, IB et IC circulant respectivement dans chacune des 3 mailles,

puis à appliquer la loi de Kirchhoff sur les mailles (somme des tensions = 0).

Établir et appliquer cette méthode.

21 V 46 V

I

6 kΩ 4 kΩ 2 kΩ

3 kΩ 7 kΩ

1 kΩ



Réponse

On parcourt chaque maille en additionnant les tensions. Leurs sommes sont nulles. Pour ces 3 mailles, on

obtient ainsi 3 équations, avec les 3 inconnues IA, IB et IC :

Remarque : Pour simplifier, on utilise les valeurs en Ω et en mA.

On obtient successivement :

( )

( )

( )

On résout et obtient :

Le courant


Pour le circuit représenté ci-dessous, utiliser le théorème de Thévenin pour calculer U = f(R). Représenter

ces fonctions et indiquer numériquement la valeur de U pour R valant 0 Ω, Ω, Ω, 0 Ω, 0 Ω ou ∞.

Réponse

Comme pour un exercice précédent, nous pouvons considérer que la tension aux bornes des 2 diviseurs

résistifs (20 Ω et 60Ω à auche, respectivement 15 Ω et R à droite) est identique, soit 60 V.

Nous pouvons aussi considérer que la résistance R est alimentée par 2 sources en parallèle :

A gauche : Une source réelle de tension équivalente à l’ensemble constitué de la source de 60 , du

diviseur résistif de gauche (20 Ω et 60Ω), et de la résistance médiane de 15 Ω.

A droite : Une source réelle de tension de 60 V avec la résistance de 15 Ω de droite.

60 V

R U

20 Ω 15 Ω

15 Ω

60 Ω



En appliquant le théorèmes de Thévenin au diviseur résistif de gauche, on obtient tout d’abord :

Cette source équivalente est en série avec la résistance de 15 Ω. On obtient ainsi la source équivalente de

gauche :

ous nous retrouvons ainsi avec un circuit similaire à celui de l’Exercice 2.5.31. Pour calculer la tension aux

bornes de la résistance R, nous devons remplacer les 2 sources réelles de tension par 2 sources réelles de

courant :

Les 2 sources de courant sont en parallèle. Nous obtenons la source réelle de courant équivalente :

Cette source réelle de tension peut être remplacée par la source de courant équivalente :

Nous obtenons finalement un diviseur de tension. La tension aux bornes de la résistance R vaut :

Les valeurs numériques sont les suivantes :

R [Ω] 0 2 5 10 20 ∞

U [V] 0 9,17 18,3 27,5 36,7 55

Exercice 2.5.38 Sources réelles de tension et de courant

On connecte en parallèle, l’une contre l’autre, une source réelle de tension (U0 ; Ri) et une source réelle de

courant (I0; Rsh). Indiquer quelles doivent être les conditions pour que la puissance échangée par ces deux

sources soit nulle.




On transforme par exemple la source de courant en source de tension. Le courant I échangé est nul si :

U0 = Rsh · I0

Exercice 2.5.39 Analyse d’un circuit avec choix de la méthode

Calculer les grandeurs indiquées dans le circuit ci-dessous, en utilisant la méthode de votre choix.


U = 4,63 V et I = 154 mA

Exercice 2.5.40 Application du théorème de Thévenin à un circuit

En utilisant aussi souvent que nécessaire le principe d’équivalence entre sources réelles de tension et de

courant, déterminer la source réelle de tension équivalente au circuit ci-dessous, vu des points A et B.

Remarque : Ce problème pourrait aussi être résolu en utilisant le principe de superposition. Si vous y

tenez, essayez les 2 méthodes. Vous constaterez que la méthode des équivalences est plus

rapide.

Conseil : Dessinez autant de figures intermédiaires que nécessaire pour montrer les transformations.

6 V 7 V 8 V

U

I

50 Ω 56 Ω 40 Ω

30 Ω



Valeurs numériques :

U1 = 6,8 V ; R1 8, Ω

I2 = 420 mA ; R2 , Ω

I3 = 600 mA ; R3 Ω

U4 = 5,4 V ; R4 Ω

R5 , Ω

R6 8 Ω

R7 , Ω

Réponse

En premier lieu, il faut constater que les sources U1 et I2 avec les résistances R1 et R2 ne sont connectées au

reste du circuit que par un seul nœud. Elles ne peuvent donc en aucun cas influencer le fonctionnement du

reste du circuit, ni les sorties A et B.

Il ne reste donc que les sources I3 et U4, ainsi que les résistances R3 à R7, à analyser.

Source réelle de tension équivalente à I3 ; R3 :

Résistance équivalente à R3 et R5 :

Source réelle de courant équivalente à U3 ; R3-5 :

B

A

R1 R2

R5 R4

R6

R7

I2

U4

R3

I3

U1



Source réelle de courant équivalente à U4 ; R4 :

Nous avons maintenant 2 sources réelles de courant en parallèle. Leur source équivalente est donnée par :

Cette source est en parallèle avec R6. C’est comme si nous n’avions qu’une source réelle de courant

caractérisée par :

Pour tenir compte de la dernière résistance, nous devons convertir cette source de courant en source de

tension :

C’est la source réelle de tension équivalente au circuit.



Chapitre 3 Alimentation électriques

3.1 Alimentations à tension continue – piles et batteries

Exercice 3.1.1 Modèle d’une pile

La tension aux bornes d’une pile est de , à circuit ouvert. Elle est de , quand une résistance de 6 Ω

est connectée à ses bornes. Quelle est la résistance interne de la pile ?

Réponse

Tension à vide U0 = 1,5 V

Tension avec charge RL 6 Ω, comme pour un diviseur de tension non chargé :

Donc :

( )

Exercice 3.1.2 Alimentation d’une ampoule électrique par des piles

On veut alimenter une ampoule avec un courant de 300 mA pendant une semaine. La résistance de l’ampoule

est de 0 Ω. Combien de piles de , d’une capacité de 30 Ah sont nécessaires et comment doit-on les

connecter ?

Réponse

Tension nécessaire aux bornes de l’ampoule :



Chaque pile se comporte comme une source de tension Us = 1,5 V. Pour obtenir la tension sur la charge il

faut mettre en série plusieurs piles :

Ces 4 piles sont en série, et sont parcourue par le même courant. Si celui-ci vaut 0,3 A alors que la capacité

d’une pile est de 30 Ah, ces piles fourniront ce courant pendant 100 heures.

On souhaite que l’ampoule reste allumée pendant une semaine, soit pendant 68 heures. Pour y parvenir, il

faut mettre en parallèle 2 ensembles de 4 piles. Ainsi, chaque ensemble ne devra fournir que 0,15 A, et

pourra le faire pendant 200 heures, soit plus d’une semaine.

Conclusion : Il faut mettre en parallèle 2 groupes de 4 piles en série.

Exercice 3.1.3 Équivalence du « cheval-vapeur »

Un cheval pesant 0 peut débiter une puissance de C pendant 8 heures. Calculer la masse d’une

batterie au nickel cadmium pouvant débiter la même quantité d’éner ie avant qu’il faille la rechar er. On

admettra que ce type d’accumulateur peut stoc er 00 par .

Réponse

L’éner ie fournie par le cheval vaut :

Le poids de l’accumulateur équivalent vaut donc :

Exercice 3.1.4 Capacité d’une pile à fort courant

Une pile est considérée comme usée quand sa tenson chute au-dessous de 1,0 V. La même pile peut débiter

un courant de 19,5 A pendant 8 heures ou 940 A pendant 5 secondes.

Calculer et comparez la capacité en [Ah] dans ces deux cas, expliquez la différence.

Réponse

La capacité de cette pile vaut dans le 1er cas (à 19,5 A) :

Et dans le 2ème

cas (à 940 A) :

La très rande différence s’explique par le fait qu’à très fort courant, la pile sort de son domaine de

fonctionnement linéaire.



Exercice 3.1.5 Alimentation de secours par accumulateurs

On doit prévoir une source d’éner ie de secours pouvant donner une puissance de 500 kW à 240 V pendant

6 heures.

a) Si l’on utilise des accumulateurs au plomb dont l’éner ie volumique est de 00 dm3, quel est le

volume des accumulateurs ?

b) Supposant que la tension aux bornes d’un élément d’accumulateur est de et sa capacité de

150 Ah, combien d’élément seront nécessaires et comment faudra-t-il les grouper ?

Réponse – a

Énergie nécessaire :

Volume des accumulateurs :

Réponse – b

On souhaite obtenir une tension de 240 V avec des éléments de 2 V chacun. Il faut mettre n éléments en

série, avec :

Pour avoir une puissance de 500 kW sous 240 V, il faut débiter un courant de :

La capacité nécessaire pour délivrer ce courant pendant 6 heures est de :

Chaque branche de 120 éléments ayant une capacité de 150 Ah, il en faudra donc m = 84 en parallèle, avec :

La batterie d’accumulateurs comprendra donc 84 branches en parallèle de 0 piles en série.



3.2 Alimentations à tension continue – moteurs DC

Exercice 3.2.1 Vitesse max. d’un moteur DC

Un moteur DC à aimants permanents a comme caractéristiques :

kE = 50 V par 1000 tr/min

kT = 0,48 Nm/A

Ra = 0,9 Ω

a) Calculer la vitesse max. qu'il peut atteindre avec un variateur pouvant fournir au maximum 150 VDC

lorsqu'il est à vide.

b) Que devient cette vitesse lorsque le moteur est chargé à son couple nominal de 5 Nm ?

Réponse – a

A vide et en négligeant les frottements internes :

0

00

0,48Ae

T

TI

k

Le variateur de tension peut fournir au max. 150 V. La vitesse max. à vide vaut:

1000E i

NU k R I

Donc :

0 0150 50 0,9 0 501000 1000

N N

' '

On en tire :

0

1000 1503'000

50tr/min

'N

Remarque : En utilisant kT, on obtient un résultat très proche, la différence étant due à la marge

d'erreur sur les coefficients kT et kE :

60 150 60312,5 2 984

2 0,48 2tr/minN '

Réponse – b

En charge et en négligeant les frottements internes :

510,4

0,48Ae

C

T

TI

k



Le variateur de tension peut fournir au max. 150 V. La vitesse max. en charge vaut alors :

50 50150 0,9 10,4 9,375

1000 1000

c cN N

' '

On en tire :

1000 150 9,3752 812

50tr/minc

'N '

Remarque : En utilisant kT, on obtient un résultat très proche, la différence étant dû à la marge

d'erreur sur les coefficients kT et kE :

150 9,37560 60293,0 2 798

2 0,48 2tr/mincN '

Exercice 3.2.2 Vitesse et consommation d’un moteur DC

Un petit ventilateur est entraîné par un moteur à courant continu à aimants permanents. Alimenté à 24 VDC, il

tourne à 2'950 tr/min et consomme 55 W. Sa résistance interne vaut 0,4 Ω.

À quelle vitesse tournerait-il dans le vide ?

Réponse

Le courant consommé en charge vaut :

A3,224

55

U

PI

La chute de tension interne provoquée par ce courant vaut :

V92,04,03,2 iRIU

Comme on connaît la tension aux bornes du moteur, on a :

V08,2392,024' airldansiU

Si le ventilateur fonctionne dans le vide, il n'a presque plus de couple à fournir, car on peut négliger les

frottements des roulements. On a donc :

V24024 videledansiU

La f.e.m. étant proportionnelle à la vitesse, on peut procéder par la règle de 3 :

airldansi

videledansi

airldans

videledans

U

U

n

n

''

On en tire :

'

'

242'950 3'065

23,08tr/min

i dans le vide

dans le vide dans l air

i dans l air

Un n

U



Exercice 3.2.3 Moteur DC fonctionnant en générateur

Le même moteur à courant continu que celui de l’exercice précédent est entraîné mécaniquement, par une

petite éolienne, et alimente un circuit électrique. On constate que pour un régime de vent établi et constant

qui entraîne le moteur exactement à 2'950 tr/min, la tension électrique vaut 24 VDC, et le courant délivré vaut

2,3 ADC.

a) En supposant que les frottements à l’intérieur du moteur sont né li eables, et en ne tenant compte

que des pertes ohmiques dans l’enroulement du moteur, déterminer le rendement du moteur à ce

régime de fonctionnement.

b) Déterminer le couple mécanique fourni par la micro-éolienne au moteur.

Réponse – a

La puissance électrique délivrée vaut :

Les pertes ohmiques dans le moteur valent :

La puissance mécanique nécessaire pour obtenir cette puissance électrique vaut :

Le rendement vaut :

Réponse – b

Le couple mécanique se calcule à partir de la puissance mécanique et de la vitesse (exprimée en rad/s) :



Exercice 3.2.4 Caractérisation d’un petit moteur DC

On souhaite caractériser un petit moteur DC à aimants permanents. Pour ce faire, on procède à 2 essais

successifs :

Le moteur est chargé, à l'arrêt, par un couple de 0,105 Nm. Il est alimenté par une source de 6,4 V, et on

mesure son courant Ia = 910 mA.

Le moteur à vide est alimenté par une source de 24 VDC. On mesure alors son courant Ib = 60 mA, et sa

vitesse qui vaut 1'940 tr/min.

a) Déterminer sa résistance Ri, sa constante de couple kT et sa constante de vitesse kE, ainsi que le

couple de frottement Tfr à 1'940 tr/min.

b) Déterminer la tension qu’il faut fournir au moteur lorsqu’il fournit un couple de 0, 0 m à la

vitesse de 1'940 tr/min.

c) Dans ces conditions, déterminer ses pertes et son rendement.

Réponse – a

L'essai en charge à l'arrêt permet de déterminer les caractéristiques suivantes :

6,47,0

0,91Ωa

a

UR

I

0,1050,115

0,91Nm/Aa

T

a

Tk

I

L'essai à vide permet de déterminer :

Remarque : La petite différence est généralement considérée comme normale, car les mesures de

tension, de courant, de couple et de vitesse sont toujours entachées d'une marge

d'erreur.

L’essai à vide permet de déterminer aussi le couple de frottement :

Réponse – b

Couple électromagnétique nécessaire :

Courant d’induit nécessaire :

Tension nécessaire :



Réponse – c

Puissance électrique fournie :

Pertes ohmique :

Pertes mécaniques :

Puissance mécanique à l’arbre :

Nous constatons que

Rendement :

3.3 Alimentations à tension alternative

Exercice 3.3.1 Courant efficace

Quelle est la valeur efficace d’un courant sinusoïdal dont la valeur crête est de A ?

Réponse

√

Exercice 3.3.2 Calcul de fréquence

Une spire de cuivre tourne à 3'600 tours par minute dans un champ magnétique constant. Quelle est la

fréquence de la tension ainsi produite ?

Réponse

La période de variation de la tension est égale à un tour de spire. La fréquence vaut donc :



Exercice 3.3.3 Calcul de période

Quelle est la période d’une tension alternative dont la fréquence est de 6 3 Hz ?

Réponse

Exercice 3.3.4 Valeur instantanée d’une tension alternative

Une tension alternative sinusoïdale a une valeur efficace de 100 V et une fréquence de 50 Hz.

a) Quelle est sa valeur instantanée, 1,7 ms après le début de la période ?

d) Après combien de temps la tension instantanée atteint-elle la valeur opposée ?

Réponse – a

Fonction de la tension instantanée : ( ) ( )

La tension de crête vaut : √

La tension à l’instant vaut :

( ) ( ) ( )

Réponse – b

La période de cette tension est de 0 ms (l’inverse de la fréquence). Après 1,7 ms, la tension passe pour la

1ère

fois par la valeur de 72 V. Elle continue à monter, puis redescend, passe à nouveau par 72 V, puis par

0 V, puis devient négative. Elle atteindra -72 V après une demi-période, soit 10 ms.

Nous remarquons que la tension passe 2 fois par 72 V, et 2 fois par -72 V. Les temps de passage sont :

pour +72 V : , ms et 8,3 ms (s’obtient en revenant de , ms en arrière depuis la demi-période)

pour -72 V : 11,7 ms et 18,3 ms

Cette remarque montre qu’il fallait vérifier si, à , ms, la tension passait par à la montée ou à la

descente. Si, par exemple, on avait demandé de calculer la tension pour , la réponse à la question

b n’aurait pas été un délai de 0 ms, mais bien de 3,4 ms ( , – 8,3).

Exercice 3.3.5 Puissances active, apparente et réactive

Un appareil alimenté au réseau alternatif 230 V / 50Hz consomme 0,6 A, avec un déphasage de 30°, le

courant étant en retard sur la tension. Calculer sa puissance active, sa puissance apparente et sa puissance

réactive, et faire une représentation vectorielle.



Réponse

( )

( )

Pour cette dernière réponse, on aurait aussi pu calculer : √ √ .

Exercice 3.3.6 Consommation d’un moteur

La plaquette si nalétique d’un moteur de , nominal (à l’arbre) fournit les indications suivantes :

tension nominale : 230 V / 50 Hz

rendement : 72%

cosφ : 88%

Calculer sa puissance active, ainsi que le courant consommé lorsqu’il est char é à sa puissance nominale.

Réponse

A

Exercice 3.3.7 Compensation du facteur de puissance d’un éclairage

L’éclaira e d’un rand ma asin, alimenté en 30 0 Hz est enclenché en moyenne 12 heures par jour,

25 jours par mois, consomme ’400 h par mois.

Le fournisseur d’électricité, après avoir fait des mesures, se plaint que le facteur de puissance est de 0,63, ce

qui est inférieur à la limite qu’il impose pour le tarif convenu.

a) Calculer la puissance de cette installation.

e) Quelle est la puissance réactive consommée ?

f) Si l’on souhaite ramener le facteur de puissance au-dessus de 0,85, de combien faut-il diminuer la

puissance réactive consommée ?

S

P

Q



Réponse – a

Les 2'400 kWh par mois correspondent à une utilisation de heures. Donc :

Réponse – b

Si le cosφ vaut 0,63, cela si nifie que la puissance apparente vaut :

La puissance réactive vaut alors :

√ √

Réponse – c

Si l’on avait un facteur de puissance de 0,8 , ces mêmes calculs auraient donnés :

et

√ √

Pour ne pas compenser plus d’éner ie réactive, il faut donc réduire la consommation réactive de 4,90 kvar.

On peut le faire en connectant des condensateurs en parallèle avec les tubes néon, pour des raisons qui seront

expliquées ultérieurement.

Exercice 3.3.8 Superposition d’une tension AC et d’une tension DC

Un dispositif électronique comporte 2 sources idéales de tension, à savoir une source de 15 V DC et une

source de 3 Vrms sinusoïdale à 50 Hz.

Ces sources de tension sont connectées en série, et on mesure la tension aux bornes de l’ensemble.

a) Représenter graphiquement cette tension au cours du temps.

b) Exprimer cette tension en fonction du temps (forme numérique).

c) Quelles sont les valeurs instantanées max. et min. de cette tension ?

g) Déterminer la valeur r.m.s. de cette tension.



Réponse – a

Réponse – b

Réponse – b

( ) ( ) ( ) ( )

avec :

√

Réponse – c

Réponse – d

Nous devons partir de la définition de la tension r.m.s. :

√

∫ [ ( ) ( )]

√

∫ [

( ) ( ) ( ) ( )]

Où T est la période du signal sinusoïdal. En continuant les calculs, nous obtenons successivement :

√

∫ [

( )]

⏟

√

∫ [ ( ) ( )]

√

∫ [

( )]

⏟

√∫

[ ( ) ( )]

u1(t)

u2(t)

u(t)

t

Û2



Or :

∫

[ ( ) ( )]

∫

[ ( )]

∫ ( )

Donc :

3.4 Alimentations à tension alternative triphasée

Exercice 3.4.1 Tensions simple et composée

Considérant le réseau triphasé européen (Usimple = 230 Vrms), calculer la valeur exacte de sa tension composée

Ucomposée, puis la valeur crête de ces 2 tensions.

Réponse

√

√

√

Exercice 3.4.2 Consommation d’un chauffage électrique

On considère un chauffage électrique de 10 kW alimenté en 400 V~ triphasé. Il est constitué de 3 résistances

identiques connectées en étoile. On admet que son facteur de puissance vaut 1.

a) Calculer l’intensité du courant absorbé par ce chauffage.

h) Que se passerait-il si l’on connectait ces 3 résistances en trian le ?

Réponse – a

La puissance est répartie de manière égale sur chaque phase, chacune fournissant :

Un chauffage étant constitué de résistances, on admet que le facteur de puissance cosφ = 1. Chaque

résistance est soumise à la tension simple de 230 V. Le courant circulant dans chaque phase est ainsi :



Réponse – b

Si on connecte ces 3 résistances en trian le, chacune d’entre elles se retrouve soumise à la tension composée.

De ce fait, chaque résistance consomme :

(√ )

La puissance totale (3 phases) serait alors de 30 kW. Les courants de phase seraient également 3 fois plus

importants. Les résistances ne supporteraient probablement pas un tel échauffement. Peut-être même que

l’alimentation ne supporterait pas ce courant et que les fusibles fondraient.

Exercice 3.4.3 Influence des fluctuations de tension

On considère le chauffa e de l’exercice précédent.

a) Calculer la variation de puissance si la tension d’alimentation est à sa tolérance maximum (+ 0 %).

i) Faire de même pour la tolérance minimum (-10%).

Réponse – a

Pour la tension nominale de 400 V, la puissance est de 10 kW.

Pour la tolérance max., la tension vaut 440 V. Comme la puissance est proportionnelle au carré de la tension,

la puissance vaut alors 12,1 kW.

Réponse – b

Pour la tolérance min., la tension vaut 360 V, et la puissance vaut 8,1 kW.

Exercice 3.4.4 Combinaisons possibles de 3 résistances pour du chauffage

Un four est chauffé par 3 résistances de 100 Ω. Quelles sont les puissances totales que l’on peut obtenir par

différents couplages sur un réseau triphasé en Europe ? Établir la liste de toutes les combinaisons possibles

d’alimentation des résistances entre phase et neutre ou entre phases. Indice : Il y a au moins 8

combinaisons possibles.

Réponse

Il est possible de connecter 1, 2 ou 3 résistances, entre phase et neutre (étoile) ou entre 2 phases (triangle).

Chaque résistance connectée entre deux phases est soumise à la tension composée, soit 400 V, et dissipe :



On peut aussi connecter les résistances en série entre 2 phases, voire en combinant 1 résistance en série avec

les 2 autres mises en parallèle. On obtient ainsi :

Chaque résistance connectée entre une phase et le neutre est soumise à la tension de ligne, soit 231 V, et

dissipe :

On peut aussi connecter les résistances en série entre une phase et le neutre, voire en combinant 1 résistance

en série avec les 2 autres mises en parallèle. On obtient ainsi :

Si l’on exploite toutes les combinaisons possibles, on peut ainsi chauffer ce four avec les puissances

suivantes, dans l’ordre croissant de puissance :

R+R+R entre 1 phase et neutre : 178 W

R+R entre 1 phase et neutre : 267 W

R+R//R entre 1 phase et neutre : 356 W

R entre 1 phase et neutre (ou R+R+R entre 2 phases) : 533 W

R+R et R, chacun entre 1 phase et neutre (ou R+R entre 2 phases) : 800 W

R et R, chacun entre 1 phase et neutre (ou R+R//R entre 2 phases) : ’06

R entre 1 phase et neutre, avec R+R entre 2 phases : ’333

R et R et R, chacun entre 1 phase et neutre (ou R entre 2 phases) : ’600

R+R entre 1 phase et neutre, avec R entre 2 phases : ’86

R entre 1 phase et neutre, avec R entre 2 phases : ’ 33

R+R et R, chacun entre 2 phases : ’400

R et R, chacun entre 1 phase et neutre, avec R entre 2 phases : ’66

R et R, chacun entre 2 phases : 3’ 00

R entre 1 phase et neutre, avec R et R, chacun entre 2 phases : 3’ 30

R et R et R chacun entre 2 phases : 4’800

Avec un commutateur adéquat, on peut ainsi régler la puissance du four parmi 15 valeurs possibles.

Exercice 3.4.5 Puissance admissible avec conducteurs imposés

Avec du fil électrique en cuivre de 2,5 mm2 de section, on est autorisé à laisser circuler au maximum 16 A.

Quelle est la puissance max. que peut consommer un appareil 400 V triphasé sans dépasser le courant

autorisé ?



Réponse

La puissance correspondant à chaque tension de phase vaut :

Avec les 3 phases, on transmet ainsi :

Exercice 3.4.6 Courant avec 3 lampes identiques

Trois lampes de 60 sont branchées, chacune entre une phase et le neutre d’une alimentation triphasée

standard en Europe. Quels sont les courants qui circulent dans chacune des phases et dans le neutre ?

Réponse

Le courant circulant dans chaque phase vaut :

Les 3 lampes étant identiques, elles constituent une charge équilibrée. Le courant de neutre est nul.

Exercice 3.4.7 Inversion de branchement terre - neutre

Par erreur, un installateur a branché la phase L2 d’une alimentation triphasée à la terre, au lieu du neutre.

Quelle est la tension max. qui apparaît sur les deux autres phases relativement à la terre ?

Réponse

Normalement, la tension qui apparaît entre chaque phase et la terre est égale à la tension simple (par exemple

30 ~). Suite à l’erreur de mise à terre, la tension entre la phase L et la terre est toujours nulle. ais la

tension entre les 2 autres phases et la terre est égale à la tension composée (par exemple 400 V~).

Exercice 3.4.8 Effet de l’interruption du neutre

Une lampe de est branchée entre la phase L et le neutre d’une alimentation triphasée standard en

Europe. Une autre lampe de 100 W est branchée entre la phase L2 et le neutre. Quelles tensions apparaissent

aux bornes de chaque lampe si la connexion avec le neutre est accidentellement interrompue ?

Quelles sont les conséquences prévisibles ?



Réponse

Il faut tout d’abord calculer la résistance de chaque lampe, en tenant compte que chacune est prévue pour

fonctionner sous 230 V (tension simple) :

Si le neutre n’est plus connecté, ces deux lampes sont connectées en série entre les phases L et L , et se

partagent la tension composée (400 V~). Pour calculer la tension aux bornes de chacune d’elles, on peut

calculer d’abord le courant qui les traverse :

Les tensions à leurs bornes valent :

La lampe de 25 W se trouve ainsi alimentée à une tension largement supérieure aux 230 V~ pour laquelle

elle est conçue. Elle sera très rapidement détruite. Dans le cas d’une lampe, la surchar e a it comme sur un

fusible, et ouvre le circuit. Il n’y aura alors plus aucun courant circulant dans les lampes, et celle de 100 W

s’éteindra aussi.

A remarquer qu’un appareil électronique soumis ainsi à une telle surtension provoquerait plutôt un court-

circuit. La lampe de 100 W se trouverait alors alimentée à la tension composée (400 V) et serait détruite à

son tour.

Exercice 3.4.9 Calcul d’une ligne d’alimentation de 3 km

On désire alimenter en électricité la station supérieure d’un nouveau téléphérique par une li ne aérienne

triphasée. La consommation de cette station peut atteindre 500 kW, avec un cosφ égal à 1. La ligne a une

longueur de 3 km, et on souhaite limiter la chute de tension à 2% de la tension nominale.

a) Quel serait le poids des fils de cuivre par mètre de ligne si celle-ci est conçue pour 400 V~ triphasé ?

j) Quel sera leur poids si l’installation est équipée de transformateurs en aval et en amont, et que la

tension sur la ligne est portée à 20 kV~ triphasé ?

Réponse – a

Avec une tension composée nominale de 400 V~ (tension simple 230 V~) diminuée de 2%, le courant dans

chaque phase vaut :

La chute de tension admissible, fixée à 2%, correspond à : . La résistance du fil de cuivre

(pour 1 phase) ne doit donc pas excéder :



On en déduit donc la section minimum :

La masse volumique du cuivre est de 8,9 kg/dm3, chaque mètre de ligne pèserait :

Réponse – b

Avec une tension composée nominale de 20 kV~ (tension simple 11,5 kV~) :

La chute de tension admissible, fixée à 2%, correspond à :

La résistance du fil de cuivre (pour 1 phase) ne doit donc pas excéder :

On en déduit donc la section minimum :

La masse volumique du cuivre est de 8,9 kg/dm3, chaque mètre de ligne pèserait :

En élevant la tension d’un facteur de 0, on au mente la résistance admissible de 02 = 2'500. Le poids du

cuivre est diminué d’autant, alors que son diamètre est divisé par 0.

Exercice 3.4.10 Consommation de 3 lampes différentes alimentées en triphasé

On connecte une lampe de 40 entre la phase L et le neutre d’une alimentation triphasée, une lampe de

60 W entre la phase L2 et le neutre, et une lampe de 100 W entre la phase L3 et le neutre. Que valent les 3

courants de phase et le courant de neutre ?

Réponse

Les courants de phase se calculent simplement à partir de la puissance de chaque lampe :



La charge est déséquilibrée, mais, sachant que les 3 courants sont déphasés de 120°, on peut calculer

approximativement le courant de neutre par voie graphique :

Exercice 3.4.11 Consommation d’un moteur triphasé

Un moteur triphasé de (puissance nominale à l’arbre) entraîne une pompe hydraulique. Son

rendement est de 83% et son cosφ vaut 0,85. Il est alimenté en 400 V triphasé.

a) Quelles sont les puissances actives et réactives consommées à charge nominale ?

k) Que valent les courants de phase ?

l) Souvent, cette pompe ne fonctionne qu’à 0% de sa puissance nominale. Sachant que la puissance

réactive reste pratiquement inchangée et que seule la puissance active diminue en fonction de la

charge, que valent le cosφ et le courant dans ce cas de charge.

m) Que pensez-vous de ce enre d’application ? Que chercheriez-vous à améliorer, et comment ?

Réponse – a

A charge nominale :

√ √

Réponse – b

√

√



Réponse – c

A charge réduite (diminuée de 80%) :

(inchangé)

√ √

√

√

Réponse – d

On constate que si la puissance utile diminue de 80%, la puissance apparente et le courant ne diminuent que

de 45%. Les circuits d’alimentation seront donc char és inutilement. Le distributeur d’électricité facturera

certainement un supplément pour l’éner ie réactive.

Pour éviter ce problème, on pourrait entraîner ce moteur avec un variateur de fréquence. Certains de ces

appareils, équipés d’un redresseur d’entrée, ne consomme pratiquement aucune éner ie réactive. De plus, le

débit de la pompe pourra facilement être ajusté en fonction du besoin.

Exercice 3.4.12 Charge d’un moteur triphasé

Un moteur électrique triphasé est alimenté par le réseau industriel 400 0 Hz triphasé. Alors qu’il

entraîne une char e à '440 tours par minute, à vitesse constante, on mesure qu’il consomme un courant de

19,1 Arms dans chacune des phases.

Dans sa fiche technique, on relève que son facteur de puissance cos = 0,83 et que son rendement η = 91%.

a) Quel est le couple qu’il transmet à la char e ?

Le même moteur est utilisé en mode générateur (il tourne en sens inverse et freine la charge, comme pour un

ascenseur à la descente). On constate que sa vitesse de rotation est alors de 1'560 tours par minute, alors que

le couple qui entraîne ce moteur est identique à la valeur obtenue précédemment.

n) Quel est le courant (valeur efficace) qui circule dans chacune des phases ?

Réponse – a

La puissance active fournie au moteur vaut :

√ √

Tenant compte de son rendement, la puissance mécanique qu’il délivre à l’axe vaut:



Sa vitesse est alors de ’440 t min, qu’il faut convertir en rad/s:

Le couple délivré vaut donc :

Réponse – b

Au freina e, la vitesse vaut ’ 60 t min, qu’il faut convertir en rad s:

Au freinage, la puissance mécanique fournie au moteur vaut :

La puissance électrique que le moteur restitue au réseau vaut :

Remarque : Au freinage, la puissance électrique est plus faible que la puissance mécanique.

Son courant de phase vaut donc :

√

Exercice 3.4.13 Mise en parallèle de deux moteurs

Une machine est équipée de 2 moteurs triphasés, alimentés en 400 V / 50 Hz triphasé, dont les

caractéristiques nominales (à l’arbre) sont les suivantes :

oteur A : , , 44 tr min, cosφ 0,8 , rendement η 88%

oteur B : 4,4 , 39 tr min, cosφ 0, , rendement η 6%

a) Calculer la puissance active, la puissance réactive et le courant efficace consommés par chacun de

ces moteurs.

o) Calculer la puissance active, la puissance réactive et le courant efficace consommés par la machine

(les 2 moteurs ensembles).



Réponse – a

Pour le moteur A :

√

√

Pour le moteur B :

√

√

Réponse – b

La consommation de la machine se fait en additionnant les puissances actives et réactives, et non pas en

additionnant les courants efficaces, ni les puissances apparentes :

√

Le courant consommé par la machine peut se calculer soit à partir de la puissance active, soit à partir de la

puissance apparente, comme suit :

√

√

Nous remarquons que cette valeur est légèrement différente de la somme des courants consommés par les

moteurs individuellement :

La différence est faible, mais elle ne résulte pas d’erreurs d’arrondis !



3.5 Conception de l’alimentation des machines

Exercice 3.5.1 Calcul d’un transformateur

Un transformateur monophasé prévu pour être alimenté sous 230 Vrms / 50 Hz, délivre une tension de

19 Vrms. On le char e d’une résistance de 00 Ω.

Quel est le courant consommé, vu du primaire, supposant que le rendement de ce transformateur est idéal

(100%).

Réponse

Sous 19 Vrms, la résistance consomme un courant de :

Comme le transformateur est supposé idéal, on a :

Donc :

On constate que, dans ce cas :

La tension primaire est imposée par le réseau d’alimentation.

La tension secondaire correspond à la tension primaire, corrigée du rapport de transformation.

Le courant secondaire est déterminé par la charge.

Le courant primaire correspond au courant secondaire, corri é de l’inverse du rapport de transformation.

Exercice 3.5.2 Autotransformateur

Une machine est conçue pour une alimentation monophasée de 230 V / 50 Hz, mais devrait pouvoir

également être alimenté entre 2 phases (400 V), ainsi que sous des tensions de 115 V, 380 V, 480 V et 500

V. La machine consomme 3 kW. Que proposez-vous ?

Réponse

Une solution économique consiste à ajouter un autotransformateur. Celui-ci sera prévu pour une tension

primaire de 500 V, et comportera au primaire des prises intermédiaires correspondant à 480, 400, 380, 230 et

115 V.

Le primaire sera connecté sur les bornes de valeur correspondante. La machine sera connectée aux bornes

« 230 V ».



Si la puissance consommée sous 230 V vaut 3 kW, elle est identique sous chacune des autres tensions

d’alimentation. La relation fournissant le courant primaire est :

Pour U = 500 V, Iprim = 6,0 A.

Pour U = 480 V, Iprim = 6,25 A.



Pour U = 230 V, Iprim = 13 A.

Pour U = 115 V, Iprim = 26 A.

Exercice 3.5.3 Exercice 3.5.3.

Un convertisseur alimenté sous 400 V / 50 Hz / 3~ est conçu pour délivrer une tension continue de 24 VDC

et fournir 30 ADC.

Admettant que son rendement est de 94%, calculer le courant consommé sur le réseau.

Réponse

La puissance de sortie vaut :

La puissance d’entrée vaut :

Vu du réseau triphasé, un tel convertisseur se comporte comme une charge équilibrée. Son courant de phase

vaut donc :

√

√ rms



Chapitre 4 Régimes sinusoïdaux

4.1 Représentation complexe des signaux sinusoïdaux

Exercice 4.1.1 Détermination de tensions et courants complexes

On mesure à l’oscilloscope la tension et le courant aux bornes d’une char e, et on constate :

qu’ils sont tout deux d’allure sinusoïdale, leur période valant ; que la tension à une amplitude de 18 V crête-à-crête, sans offset ;

que le courant à une amplitude de 54 mA crête-à-crête, sans offset ;

que courant est en retard de par rapport à la tension.

a) Exprimer la tension et le courant sous forme instantanée complexe.

b) Les exprimer sous forme complexe.

c) Calculer l’impédance de la char e.

Réponse – a

La valeur efficace de la tension et du courant valent :

√

√

La fréquence des deux signaux vaut :

Leur pulsation vaut :

ous pouvons admettre que le déphasa e de la tension est nul, puisque l’ori ine de l’échelle des temps peut

être fixée librement. Nous avons donc, pour la tension :

( ) √



Le déphasa e du courant est né atif, puisqu’il est en retard sur la tension. Il vaut :

Il en résulte :

( ) √ ( ) ( )

Réponse – b

La tension et le courant complexes valent :

Réponse – c

L’impédance de la char e vaut :

Exercice 4.1.2 Calcul du courant de neutre

On considère la charge triphasée non-équilibrée de l’Exercice 3.4.10.

Déterminer le courant de neutre en calculant les courant complexes dans les 3 phases.

Réponse

Les courants complexes des 3 phases, déphasés de 0 de rés l’un par rapport à l’autre, sont :

Il en résulte :

( )

Remarquons que -0,714 [rad] = -41º. ous obtenons bien le même résultat qu’à l’Exercice 3.4.10.



4.2 Les condensateurs

Exercice 4.2.1 Calcul d’un condensateur à partir de ses dimensions

Deux plaques de 00 x 00 mm sont distantes de cm dans l’air.

a) Calculer la capacité de ce condensateur.

b) Que devient cette capacité si les deux plaques sont collées de part et d’autre d’une plaque de mica de

0, mm d’épaisseur, dont la permittivité relative ?

Réponse – a

En appliquant la formule :

Réponse – b

n

Exercice 4.2.2 Trois condensateurs en série et en parallèle

On dispose de 3 condensateurs dont la capacité vaut 150 nF, 1 μF et 15 μF respectivement.

a) Quelle est la capacité équivalente de ces 3 condensateurs si on les monte en série ?

b) Et si on les monte en parallèle ?

Réponse –a

Réponse – b



4.3 Les inductances

Exercice 4.3.1 Charge d’une inductance idéale

Déterminer la courbe du courant en fonction du temps d’une inductance idéale de 4 H branchée sur une

source idéale de tension de 12 V.

Combien de temps faudra-t-il pour atteindre un courant de 27 A ?

Réponse

La fonction de courant est :

( )

Le courant atteint 27 A après :

Exercice 4.3.2 Bobines en série

On dispose en série 2 bobines identiques qui ont une inductance de 2 mH et une résistance de 10 Ω. Calculer

le modèle de la bobine équivalente.

Réponse

La bobine équivalente a une inductance caractérisée par :

4.4 Calculs d’impédance

Exercice 4.4.1 Impédance d’un condensateur réel (résistances fuite et série)

Calculer l’impédance à 00 Hz d’un condensateur de 4' 00 μ , dont la résistance de fuite Rf vaut Ω et la

résistance série Rs vaut 40 mΩ.



Réponse

L’impédance de ce condensateur à 00 Hz vaut :

(

)

( )

Exercice 4.4.2 Impédance d’une bobine

L’impédance d’une bobine à 0 Hz est donnée par son module Z = 33 Ω et son déphasage φ = 30º. Calculer

sa résistance, sa réactance et son inductance.

Réponse

| | ( ) √

| | ( )

Exercice 4.4.3 Courant sinusoïdal dans une bobine

Une bobine de 4 mH et 0,7 Ω est alimentée par une tension alternative de 12 Vrms / 50 Hz.

a) Quelle est l’impédance Z de cette bobine à cette fréquence, sous forme cartésienne ?

b) Exprimer cette impédance sous forme d’Euler.

c) Quel est le courant traversant cette bobine (amplitude et déphasage) ?

Réponse – a



Réponse – b

( ) √

( ) (

)

Réponse – c

Le courant vaut :

Le déphasage est de -1,06 [rad]. Le signe négatif montre que le courant est en retard sur la tension.

Exercice 4.4.4 Caractéristiques d’une bobine en régime sinusoïdal

On alimente une bobine sous 10 Vrms Hz et on mesure la tension et le courant à l’aide d’un oscilloscope.

On constate :

Î = 6,3 mA

le déphasage correspond à un laps de temps de 83,3 μs, le courant étant en retard sur la tension.

Calculer les caractéristiques (L et R) de cette bobine.

Réponse

Le déphasage correspond à un laps de temps de 83,3 μs pour une période de 1 ms. En radian, il vaut donc :

Les amplitudes complexes de la tension et du courant valent :

√

L’impédance vaut ainsi :

Sous forme cartésienne :

La bobine a une résistance de 1'944 Ω et une réactance de 1'122 Ω. Connaissant la fréquence, on obtient :



Exercice 4.4.5 Courant fourni à 3 résistances et 1 inductance

Déterminer le courant i(t) en fonction du temps pour le circuit ci-dessous :

Réponse

Il faut tout d’abord calculer l’impédance équivalente à la char e, constituée des 3 résistances et de

l’inductance. Celle-ci vaut :

[ ( )] [ ( )]

Calcul complet de l’impédance équivalente :

( ) ( )=

( ) ( )

( )

Sachant que la tension complexe vaut , on peut calculer le courant complexe :

La valeur instantanée du courant vaut alors :

( ) √ ( ) ( )

Exercice 4.4.6 Effet de la fréquence sur le courant dans une impédance

Pour le circuit de l’exercice précédent (Exercice 4.4.5), représenter l’amplitude et le déphasa e du courant

complexe, lorsque la fréquence de l’alimentation varie de 0 (DC) à l’infini.

Réponse

Pour résoudre ce problème, il faut refaire le calcul de l’exercice précédent, mais sous forme analytique

puisque la fréquence n’est a priori pas connue.

Pour une fréquence nulle, le calcul est relativement simple, car l’inductance peut alors être remplacée par un

court-circuit. On obtient ainsi :

[ ( )] [ ( )]



Le courant à fréquence nulle est en phase avec la tension.

Pour une fréquence infinie, l’inductance peut alors être remplacée par un circuit ouvert. On obtient ainsi :

[ ( )] [ ]

Le courant à fréquence infinie est aussi en phase avec la tension.

Pour représenter le courant complexe en fonction de la fréquence, il est préférable d’utiliser un outil comme

ATLAB. On peut alors représenter l’amplitude et le déphasa e du courant. Dans les fi ures ci-dessous,

l’abscisse est le lo arithme (base 10) de la fréquence.

Amplitude du courant en fonction de la fréquence

Déphasage du courant en fonction de la fréquence

-2 -1 0 1 2 3 40.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

-2 -1 0 1 2 3 4-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0,726 mA

101,27

= 16,7 Hz

101,27

= 16,7 Hz

-9,9 °



Exercice 4.4.7 Compensation de puissance réactive

Une rampe d’éclaira e équipée de tubes au Néon alimenté en 230 Vrms / 50 Hz consomme 600 W. Le

distributeur d’électricité a mesuré un facteur de puissance de 0,6 et annonce qu’il majorera son tarif de 0

centimes / kvarh.

a) Calculer quel condensateur devrait être connecté en parallèle avec cet éclairage pour ramener le

facteur de puissance à 1,0.

b) Ce condensateur coûte CH 0.00, monta e inclus. En combien d’heures de fonctionnement sera-t-

il amorti (pour ne pas compliquer, on suppose que le taux d’intérêt est nul) ?

Réponse – a

Le courant consommé est égal à :

Le déphasage est négatif, puisque le courant est en retard sur la tension. Il vaut :

( )

On peut exprimer la tension et le courant en grandeurs complexes :

En connectant un condensateur en parallèle avec l’éclaira e, le courant consommé total vaut :

On veut obtenir un facteur de forme au niveau de l’alimentation de ,0. Donc, sa partie ima inaire doit être

nulle. On doit donc choisir le condensateur de manière à ce que :

( )



On en déduit :

La réactance du condensateur vaut ainsi :

Comme la fréquence étant celle du réseau, donc 50 Hz. On obtient donc pour le condensateur :

On choisira un condensateur avec la valeur normalisée de 47 μF.

Réponse – b

Si la puissance active est de 600 W avec un cosφ = 0,6, la puissance apparente vaut :

Donc, la puissance réactive vaut :

√ √

Une heure de fonctionnement coûte donc 8 centimes, soit 0,08 CHF.

Le condensateur sera donc amorti en 3'125 heures, ce qui représente environ 8 heures de fonctionnement

chaque jour pendant 1 année.

Exercice 4.4.8 Influence de la fréquence sur les impédances

Refaire l’exercice précédent (Exercice 4.4.7) pour une installation fonctionnant sous 115 Vrms / 60 Hz (aux

USA, par exemple).

Réponse – a

En répétant les mêmes calculs que pour l’exercice précédent, nous obtenons :

( )

La réactance du condensateur vaut ainsi :



Comme la fréquence étant celle du réseau, donc 60 Hz. On obtient donc pour le condensateur :

On choisira un condensateur avec la valeur normalisée de 150 μF.

Réponse – b

Les calculs d’amortissement sont identiques à ceux du problème précédent, pour autant que le prix du

condensateur ne soit pas différent.

Exercice 4.4.9 Simplification d’un circuit à fréquence nulle

Déterminer la valeur de la tension U, en régime continu, pour le circuit ci-dessous.

Réponse

En régime continu, les condensateurs se comportent comme des interrupteurs ouverts, et les inductances

comme des courts-circuits. Le circuit se simplifie donc comme suit :

Les 5 résistances restantes peuvent être remplacées par une résistance équivalente :

[ ( ) ]



La tension U vaut ainsi :

Exercice 4.4.10 Impédance d’un circuit avec 2 bobines et 1 condensateur

Calculer l’impédance du circuit ci-dessous, pour une fréquence de 50 Hz.

a) Si ce système est connecté au réseau 230 Vrms /50 Hz, quelle sera le courant consommé ?

b) Tenant compte du déphasage cosφ, quelle est la puissance absorbée ?

Réponse – a

On calcule d’abord l’impédance de chaque branche :

On calcule alors l’impédance équivalente comme suit, successivement :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

La charge est inductive (φ > 0). Le courant est donc en retard sur la tension, et vaut :



Réponse – b

Le facteur de puissance vaut :

( )

La puissance absorbée vaut donc :

Exercice 4.4.11 Impédance d’un circuit avec 2 bobines et 1 condensateur

Calculer l’impédance du circuit du problème précédent (Exercice 4.4.10), mais cette fois pour une fréquence

de 60 Hz.

Réponse

On calcule d’abord l’impédance de chaque branche :

On calcule alors l’impédance équivalente comme suit, successivement :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )



Exercice 4.4.12 Impédance d’un circuit avec 2 alimentations et 1 condensateur

Calculer et représenter la formule analytique du courant i(t) du circuit ci-dessous, en tenant compte des 2

alimentations qui ont des fréquences différentes.

Remarque : Lorsque la 1ère

alimentation (50 Hz) est à 0 V par pente positive, la 2ème

alimentation

(150 Hz) est aussi à 0 V pente positive.

Réponse

Comme les fréquences sont différentes, on est obli é d’utiliser le principe de superposition.

Ont peut admettre que l’alimentation 4 Vrms / 50 Hz a un déphasage nul. Comme elle passe par zéro, par

pente croissante, au moment où l’alimentation 3 rms / 150 Hz en fait de même, on peut conclure que le

déphasage de la 2ème

alimentation est également nul.

Lorsque la 1ère

alimentation seule est active :

( ) ( )

Lorsque la 2ème

alimentation seule est active :

( ) ( )

Lorsque les 2 alimentations sont actives :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Remarque : Comme les 2 sources ont des fréquences différentes, le courant résultant est la somme

de sinusoïdes de fréquences différentes. Seule l’expression temporelle (au cours du

temps) a un sens. Il serait complètement erroné d’exprimer un courant complexe.

Une représentation raphique de ces tensions, au cours du temps, peut se faire aisément à l’aide de

MATLAB.



La 1ère

fi ure montre l’allure des tensions d’alimentation et de la tension résultante. La ème

figure montre

les 2 courants résultants et le courant résultant. On remarque qu’au cours d’une période, les tensions

passent 2 fois par zéro simultanément. Par contre, comme les déphasages des courants dépendent des

fréquences, les courants ne s’annulent jamais simultanément.

Tensions

Courants

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-30

-20

-10

0

10

20

30



Exercice 4.4.13 Théorème de Thévenin appliqué à une source de tension

alternative

On alimente une char e électrique monophasée inconnue par une source de tension inconnue. A l’aide d’un

oscilloscope, on visualise cette tension, ainsi que le courant consommé par cette charge. On fait les

constatations suivantes :

La tension et le courant ont une allure sinusoïdale, sans composante continue.

La valeur crête de la tension vaut 13,8V.

Le laps de temps entre 2 passages successifs par zéro, par pente positive, vaut 100 µs.

Le courant est en retard sur la tension : μs après le passa e de la tension par zéro (pente positive), la

valeur du courant est nulle (pente positive).

Lorsque la tension passe par zéro, par pente négative, la valeur du courant vaut exactement 120 mA.

Si on déconnecte la charge (courant nul), la valeur crête de la tension atteint 14,6 V.

Si on connecte une résistance de 1,0 Ω, on constate que la tension de crête diminue, et que le courant est

en phase avec la tension.

a) Déterminer la fréquence de la source de tension.

c) Déterminer la valeur complexe de la tension mesurée.

d) Déterminer la valeur complexe du courant mesuré.

e) Déterminer l’impédance de la char e inconnue.

f) Déterminer un modèle de cette charge ne comportant que 2 composants idéaux en série.

g) Déterminer la source de tension équivalente selon Thévenin.

Réponse – a

La fréquence vaut :

Réponse – b

La valeur efficace de la tension mesurée vaut :

√

En l’absence d’autres informations, nous pouvons fixer arbitrairement le déphasage de la tension à vide à

zéro. La tension complexe vaut donc :

Réponse – c

Le courant est en retard de μs sur la tension. ous pouvons donc en déduire le déphasa e du courant, qui

est négatif :



La valeur du courant en fonction du temps est du type :

( ) ( )

Le courant vaut 0,2 A lorsque la tension passe par zéro, par pente négative, donc lorsque . Nous

pouvons en déduire :

[ ( ) ( ) ] ( )

Nous en déduisons que :

Le courant efficace vaut donc :

√

Le courant complexe vaut donc :

Réponse – d

Réponse – e

La charge est inductive puisque l’ar ument de son impédance est positif. Elle peut être modélisée par une

résistance et une inductance en série. En mettant son impédance sous forme cartésienne, nous obtenons :

La résistance vaut donc Ω.

L’inductance se calcule par :

( )

Réponse – f

La tension à vide est celle que l’on mesure lorsque la char e est déconnectée. Nous avons donc :

√

Nous pouvons alors exprimer les tensions et le courant comme suit :

( )



Cette fois, en l’absence d’autres informations, nous avons fixé arbitrairement le déphasa e de la tension à

zéro. Rien ne nous permet d’affirmer que la tension aux bornes est en phase avec la tension , aussi, nous

admettons qu’elle est déphasée de l’an le . Ce déphasa e est a priori inconnu. ous verrons qu’il n’est

même pas nécessaire d’en déterminer la valeur.

Tenant compte de toutes les informations à disposition, nous pouvons poser, successivement :

( )

( ) [ ( )]

[( ) ]

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) √( ) ( )

La source est donc caractérisée par et , sa fréquence étant de 10 kHz.

Remarque : Dans le cas le plus général, la source réelle de tension pourrait avoir une impédance

interne au lieu d’une résistance interne .Pour en déterminer le module et

l’ar ument, il faudrait faire une expérience supplémentaire, comme par exemple une

mesure de la tension aux bornes lorsque la charge inductive est remplacée par la

résistance de 1,0 Ω. En procédant de la même manière que ci-dessus, nous

disposerions alors de 2 équations à 2 inconnues, et nous pourrions déterminer le

module et l’ar ument de l’impédance interne.

Exercice 4.4.14 Impédance caractéristique d’un câble

Un câble comporte 2 conducteurs en parallèle. Ce peut être 2 fils torsadés, ou une structure coaxiale (1

conducteur externe cylindrique creux + conducteur à l’intérieur). Les caractéristiques constructives de ce

câble (dimensions, matériaux) permettent de le caractériser comme suit, pour chaque mètre de longueur :

R’ = Résistance linéique du cuivre (somme de la résistance des 2 conducteurs pour une longueur de 1 m)

G’ Conductance linéique de l’isolant (inverse de la résistance de l’isolant, pour une lon ueur de m)

L’ = Inductance linéique (inductance de la boucle formée par les 2 conducteurs, sur 1 m)

C’ = Capacité du condensateur formé par les 2 conducteurs en parallèle, sur une longueur de 1 m)

Si on alimente un câble de lon ueur infinie par l’une de ses extrémités avec une tension alternative

sinusoïdale, et que l’on mesure le courant ainsi fourni à ce câble, on peut calculer l’impédance de ce câble.

Si on coupe mètre de ce câble, et qu’on alimente tout le reste du câble avec la même tension alternative, on

doit logiquement retrouver le même courant, donc la même impédance. En effet, le reste du câble est

toujours de longueur infinie. Cette impédance est appelée impédance caractéristique du câble.



a) Représenter le schéma équivalent d’une lon ueur dx de câble à l’aide des 4 composants R’, G’, L’ et

C’.

b) Considérant que l’on connecte à l’extrémité droite de ce mètre de câble une impédance é ale à ,

calculer l’impédance de l’ensemble vu de l’extrémité auche.

c) Considérant que la valeur ainsi obtenue doit être égale à , en calculer sa valeur en fonction des 4

composants R’, G’, L’ et C’.

d) Que devient cette valeur si la résistance et la conductance sont négligeables ?

Réponse – a

Réponse – b

Posons :

( )

( )

Nous obtenons :

( )

Réponse – c

Nous avons successivement :

( )

( ) ( )

√

L’ R’

G’ C’



En remplaçant ces impédances par leurs valeurs en R’, G’, L’ et C’, nous obtenons :

( ) √[( ) ] ( ) ( )

Si dx tend vers zéro, nous obtenons finalement :

√( )

( )

Réponse – d

√

Exercice 4.4.15 Vitesse de l’électricité dans un câble

En utilisant le modèle d’une lon ueur dx de câble vu à l’Exercice 4.4.14, et en supposant qu’il n’y a pas de

pertes (R’ = 0 et G’ = ∞) déterminer la vitesse de propa ation d’une tension électrique sinusoïdale dans un

câble bifilaire.

Pour 2 fils de diamètre d, distants de D, l’inductance et la capacité par unité de longueur sont donnés par :

(

)

(

)

a) Déterminer la variation de tension et de courant pour une longueur dx de câble.

b) En déduire l’équation du télé raphiste, qui lie la dérivée seconde de la tension par rapport à la

longueur de câble , et la dérivée seconde de la même tension par rapport au temps .

c) Montrer que la solution de cette équation est du type

( ) (

)

d) Calculer la vitesse de propagation v en fonction des caractéristiques du câble.

Ce calcul peut être résolu en modélisant une longueur dx du câble comme suit :

Pour plus de renseignements, entre autre sur le calcul des câbles avec pertes ohmiques, consulter http://www-

lemm.univ-lille1.fr/physique/ondes_enligne/chapitre5/ch5_2_2.htm.

C’·d

x

L’·dx i(x) i(x+dx)

u(x+dx) u(x)

http://www-lemm.univ-lille1.fr/physique/ondes_enligne/chapitre5/ch5_2_2.htm

http://www-lemm.univ-lille1.fr/physique/ondes_enligne/chapitre5/ch5_2_2.htm



Réponse – a

La variation de tension est causée par l’effet combiné du courant sinusoïdal et de l’inductance L’ :

( ) ( ) ( ) ( )

La variation de courant est causée par l’effet combiné de la tension sinusoïdale et de la capacité C’ :

( ) ( ) ( ) ( )

Nous en tirons le système de deux équations aux dérivées partielles suivant :

( )

( )

( )

( )

Réponse – b

En dérivant la 1ère

équation relativement à la distance et la 2ème

équation par rapport au temps, nous

obtenons :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

inalement, nous obtenons l’équation du télégraphiste :

( )

( )

Réponse – c

Supposons que la solution de l’équation différentielle du télé raphiste soit la suivante, la vitesse de

propagation v restant encore indéterminée :

( ) (

)

Dérivons cette solution supposée deux fois par rapport au temps :

( )

( )

( )

( )

( )

Dérivons la solution supposée deux fois par rapport à la distance :

( )

(

)

( )

( )

(

)

(

)



En remplaçant dans l’équation du télé raphiste, nous obtenons :

( ) (

) (

)

(

)

( ) (

) (

)

Dans la solution supposée, nous choisissons la vitesse de propagation v comme suit :

√

Pour cette valeur particulière, la solution supposée satisfait bien l’équation du télé raphiste. Il s’a it donc

bien de LA solution de l’équation du télé raphiste. C.Q.F.D.

Réponse – d

En remplaçant L’ et C’ par leur valeurs (voir donnée), nous obtenons :

√[ (

) ]⏟

[

(

)]

⏟

√

Dans le calcul du produit ci-dessus, les grandeurs géométriques, qui dépendent de la forme des deux

conducteurs (2 fils parallèles) se simplifient fort joliment, et la vitesse de propagation ne dépend finalement

que de la permittivité et de la perméabilité des matériaux entre les conducteurs et autour d’eux. Ce serait

é alement le cas pour d’autres formes de conducteurs (câbles coaxiaux, etc.).

Cette relation peut être développée en faisant apparaître les valeurs absolues et relatives de la permittivité et

de la perméabilité :

√

√( ) ( )

En général, la perméabilité relative vaut 1, car il est rare que des câbles contiennent des matériaux

ferromagnétiques. Par ailleurs, le produit est lié à la vitesse de la lumière dans le vide c. Nous

obtenons ainsi :

√ ⏟

√ ⏟

√

Avec des isolants en plastic dont la permittivité relative est souvent comprise entre 2,0 et 2,5, la vitesse de

propa ation de l’électricité dans ce câble vaut donc, approximativement, 00'000 m s.

Si ces conducteurs étaient placés dans l’air ou dans le vide ( ), la vitesse de propa ation de l’électricité

serait égale à celle de la lumière.



4.5 Fonction de transfert et diagramme de Bode

Remarque : Il est recommandé d’utiliser du papier quadrillé spécial, avec abscisse lo arithmique et

ordonnée linéaire, pour faire cette représentation. Quelques pages ainsi pré imprimées

sont disponibles à la fin de ce document. Voir Chapitre 6.

Exercice 4.5.1 Décomposition d’une fonction de transfert en éléments simples

Un circuit est caractérisé par la fonction de transfert suivante :

( )

a) Mettre cette expression sous la forme de produits d’éléments simples.

b) Combien y a-t-il de fréquences caractéristiques, et que valent-elles ?

c) Que vaut ( ) si la fréquence tend vers zéro ?

d) Que vaut ( ) si la fréquence tend vers l’infini ?

e) Démontrer que l’ar ument est toujours négatif, quelle que soit la valeur de .

Réponse – a

( )

(

)

(

)

( ) ( )

( )

Réponse – b

Il y a 2 fréquences caractéristiques, qui valent :

Hz

Hz

Réponse – c

Si la fréquence tend vers zéro, le gain tend vers 0,0683, ce qui correspond à -23,3 dB.

Réponse – d

Si la fréquence tend vers l’infini, le ain tend vers 0,03 , ce qui correspond à -29,1 dB.



Réponse – e

L’ar ument du numérateur, qui vaut , et toujours inférieur à celui du dénominateur, qui vaut

. L’ar ument de la fonction de transfert, qui est é al à la différence entre ces ar uments est

donc toujours négatif.

Exercice 4.5.2 Circuit C – R

Une résistance de 10 Ω est connectée à une alimentation sinusoïdale de 10 Vrms par l’intermédiaire d’un

condensateur C = 15 µF.

a) Quelle est l’impédance de ce circuit ?

h) Calculer la tension (représentation complexe) aux bornes de la résistance pour des fréquences de 10

à 00'000 Hz. Représenter le rapport complexe entre cette tension et la tension d’entrée.

i) Pour quelle fréquence la tension aux bornes du condensateur et la tension aux bornes de la résistance

ont-elles même amplitude (même module) ?

Réponse – a

L’impédance du condensateur seul, en fonction de la fréquence, vaut :

[ ]

L’impédance du circuit complet vaut donc :

[ ]

Réponse – b

La tension aux bornes de la résistance se calcule comme pour un diviseur de tension :

( )

[ ( ) ][ ]

Le rapport entre tension de sortie et tension d’entrée vaut :

( ) ( )

[ ( ) ]



Le tableau ci-dessous fourni la fonction de transfert. La tension de sortie s’obtient simplement en multipliant

le module de ( ) par la tension d’entrée, donc par 0.

On constate qu’à fréquence nulle ou faible, le condensateur se comporte comme un circuit ouvert.

L’impédance a un module très élevé (pratiquement infini). Le courant est presque nul. La tension aux bornes

de la résistance aussi.

Par contre, à très haute fréquence, le condensateur se comporte comme un court-circuit ; l’impédance est

pratiquement é ale à la résistance seule, sur laquelle on retrouve pratiquement toute la tension d’alimentation

f w Re(num) Im(num) mod(num) arg(num) Re(dén) Im(dén) mod(dén) arg(dén) mod(H)arg(H)

[rad]

arg(H)

[degrés]

10 63 0.0000 0.0094 0.0094 1.5708 1.0000 0.0094 1.0000 0.0094 0.0094 1.5614 89.4600

32 199 0.0000 0.0298 0.0298 1.5708 1.0000 0.0298 1.0004 0.0298 0.0298 1.5410 88.2929

100 628 0.0000 0.0942 0.0942 1.5708 1.0000 0.0942 1.0044 0.0940 0.0938 1.4768 84.6159

316 1'987 0.0000 0.2980 0.2980 1.5708 1.0000 0.2980 1.0435 0.2897 0.2856 1.2811 73.4040

1'000 6'283 0.0000 0.9425 0.9425 1.5708 1.0000 0.9425 1.3741 0.7558 0.6859 0.8150 46.6962

3'162 19'869 0.0000 2.9804 2.9804 1.5708 1.0000 2.9804 3.1437 1.2471 0.9481 0.3237 18.5480

10'000 62'832 0.0000 9.4248 9.4248 1.5708 1.0000 9.4248 9.4777 1.4651 0.9944 0.1057 6.0566

31'623 198'692 0.0000 29.8038 29.8038 1.5708 1.0000 29.8038 29.8205 1.5373 0.9994 0.0335 1.9217

100'000 628'319 0.0000 94.2478 94.2478 1.5708 1.0000 94.2478 94.2531 1.5602 0.9999 0.0106 0.6079



Réponse – c

La lecture du tableau montre que le module de l’impédance du condensateur est é al à la résistance lorsque

f ~ '000 Hz. C’est la même valeur que dans l’exercice précédent. Plus exactement :

Les tensions aux bornes du condensateur et aux bornes de la résistance ont même module lorsque la

fréquence est égale à .

0.010

0.100

1.000

10 100 1'000 10'000 100'000

module

0

45

90

10 100 1'000 10'000 100'000

argument



Exercice 4.5.3 Circuit avec 2 condensateurs et 2 résistances

Calculer le rapport (nombre complexe) entre la tension de sortie et la tension d’entrée du circuit ci-

dessous. Représenter le module et l’ar ument de ce rapport en fonction de la fréquence, de fmin = 0,01/RC à

fmax = 100/RC.

Remarque : On suppose qu’il n’y a aucune char e connectée à la sortie ( )

Réponse

On a diviseurs de tension non char és, qui se calculent comme de la même manière que si l’on avait que

des résistances.

1ère

branche :

2ème

branche :

On calcule alors la tension de sortie :

( )

(

)

Ce rapport de fréquence varie entre 0,01 et 10, et on obtient les valeurs suivantes :

ωCR Re(num

)

Im(num

)

mod(num

) arg(num) Re(dén) Im(dén)

mod(dén

) arg(dén)

mod(H

)

arg(H)

[rad]

arg(H)

[degrés]

0.01 1.0000 -0.0100 1.0000 -0.0100 1.0000 0.0100 1.0000 0.0100 1.0000 3.1216 178.8541

0.03 1.0000 -0.0316 1.0005 -0.0316 1.0000 0.0316 1.0005 0.0316 1.0000 3.0784 176.3775

0.10 1.0000 -0.1000 1.0050 -0.0997 1.0000 0.1000 1.0050 0.0997 1.0000 2.9423 168.5788

0.32 1.0000 -0.3162 1.0488 -0.3063 1.0000 0.3162 1.0488 0.3063 1.0000 2.5290 144.9032

1.00 1.0000 -1.0000 1.4142 -0.7854 1.0000 1.0000 1.4142 0.7854 1.0000 1.5708 90.0000

3.16 1.0000 -3.1623 3.3166 -1.2645 1.0000 3.1623 3.3166 1.2645 1.0000 0.6126 35.0968

10.00 1.0000 -10.0000 10.0499 -1.4711 1.0000 10.0000 10.0499 1.4711 1.0000 0.1993 11.4212

31.62 1.0000 -31.6228 31.6386 -1.5392 1.0000 31.6228 31.6386 1.5392 1.0000 0.0632 3.6225

100.00 1.0000

-

100.000

0 100.0050 -1.5608 1.0000

100.000

0 100.0050 1.5608 1.0000 0.0200 1.1459



Le module est toujours égal à 1. Seul l’ar ument varie avec la fréquence. Si on calcule cet argument à partir

de la fonction de transfert, on constate qu’il vaut -180º lorsque ωCR est nul, et -360º lorsque ωCR tends vers

l’infini.

Si la fréquence est nulle, on annule tous les termes en et on obtient . On obtient la même

conclusion en assimilant les condensateurs à des contacts ouverts.

Si la fréquence est infinie, on obtient la tension en divisant le numérateur et le dénominateur par , puis en

faisant tendre vers l’infini. Les termes s’annulent, et il ne reste plus que :

On obtient la même conclusion en assimilant les condensateurs à des courts-circuits.

0

1

10

0.01 0.10 1.00 10.00 100.00

module (en fct. de ωCR)

-360

-330

-300

-270

-240

-210

-180

0.01 0.10 1.00 10.00 100.00

argument (en fct. de ωCR)



Exercice 4.5.4 Impédance d’une bobine (L – R)

Une bobine dont l’inductance est de 200 mH et la résistance de 10 Ω est alimentée par un courant dont on

fait varier la fréquence. Calculer et représenter le module et l’ar ument (en de rés) de son impédance pour

diverses fréquences comprises entre 0, et ’000 Hz.

Réponse

f w Re(Z) Im(Z) mod(Z)arg(H)

[rad]

arg(H)

[degrés]

0.10 0.63 10.0000 0.1257 10.0008 0.0126 0.7200

0.32 1.99 10.0000 0.3974 10.0079 0.0397 2.2756

1.00 6.28 10.0000 1.2566 10.0786 0.1250 7.1625

3.16 19.87 10.0000 3.9738 10.7606 0.3782 21.6721

10.00 62.83 10.0000 12.5664 16.0597 0.8986 51.4881

31.62 198.69 10.0000 39.7384 40.9773 1.3243 75.8750

100.00 628.32 10.0000 125.6637 126.0610 1.4914 85.4501

316.23 1'986.92 10.0000 397.3835 397.5093 1.5456 88.5585

1'000.00 6'283.19 10.0000 1'256.6371 1'256.6768 1.5628 89.5441

10

100

1'000

0 1 10 100 1'000

module

0

45

90

0 1 10 100 1'000

argument



Exercice 4.5.5 Bobine (L – R) avec résistance en parallèle

Une bobine dont l’inductance est de 00 mH et la résistance de Ω est mise en parallèle avec une

résistance de 100 Ω. Calculer et représenter le module et l’ar ument de l’impédance équivalente pour

diverses fréquences comprises entre 0, et ’000 Hz.

Réponse

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Tableau de valeurs :

f w Re(num) Im(num) mod(num) arg(num) Re(dén) Im(dén) mod(dén) arg(dén) mod(H)arg(H)

[rad]

arg(H)

[degrés]

1.00 6.3 1'200.00 125.66 1'206.56 0.10 112.00 1.26 112.01 0.01 10.77 0.09 5.34

2.15 13.5 1'200.00 270.73 1'230.16 0.22 112.00 2.71 112.03 0.02 10.98 0.20 11.33

4.64 29.2 1'200.00 583.28 1'334.25 0.45 112.00 5.83 112.15 0.05 11.90 0.40 22.94

10.00 62.8 1'200.00 1'256.64 1'737.57 0.81 112.00 12.57 112.70 0.11 15.42 0.70 39.92

21.54 135.4 1'200.00 2'707.34 2'961.37 1.15 112.00 27.07 115.23 0.24 25.70 0.92 52.51

46.42 291.6 1'200.00 5'832.79 5'954.95 1.37 112.00 58.33 126.28 0.48 47.16 0.89 50.86

100.00 628.3 1'200.00 12'566.37 12'623.53 1.48 112.00 125.66 168.33 0.84 74.99 0.63 36.25

215.44 1'353.7 1'200.00 27'073.41 27'099.99 1.53 112.00 270.73 292.99 1.18 92.50 0.35 19.94

464.16 2'916.4 1'200.00 58'327.90 58'340.24 1.55 112.00 583.28 593.93 1.38 98.23 0.17 9.69

1'000.00 6'283.2 1'200.00 125'663.64 125'669.37 1.56 112.00 1'256.64 1'261.62 1.48 99.61 0.08 4.55



Exercice 4.5.6 Circuit C – R – L

Un circuit comporte un condensateur et une bobine en série. Le condensateur a une capacité de 1,5 μF. La

bobine a une résistance de 10 Ω et une inductance de 15 mH.

a) Calculer la fréquence de résonance.

b) Ce circuit est alimenté avec une tension de 1 Vrms sinusoïdal, dont on peut faire varier la fréquence

de Hz à Hz. Calculer la tension aux bornes de la bobine lorsque l’alimentation est ré lée à la

fréquence de résonance.

c) Représenter la tension aux bornes de la bobine en fonction de la fréquence (module et argument).

10

100

1 10 100 1'000

module

0

45

90

1 45

argument



Réponse – a

Fréquence de résonance :

√

√

Réponse – b

Nous avons à faire à un diviseur de tension :

( )

(

)

( )

( )

En introduisant les valeurs numériques :

( ) ( )

[ ( )] ( )

( )

A la fréquence de résonance , la tension aux bornes de la bobine est 10 fois plus élevée que la tension

d’alimentation, et déphasée de -84,3º. En effet :

( )

[ ]

[ ] [ ]

A fréquence nulle, l’inductance se comporte comme un court-circuit et le condensateur comme un

interrupteur ouvert. La tension aux bornes de la bobine est donc nulle. L’équation de confirme ce

fait.

A fréquence infinie, l’inductance se comporte comme un interrupteur ouvert et le condensateur comme un

court-circuit. La tension aux bornes de la bobine est donc é ale à la tension d’alimentation. L’équation de

confirme ce fait.



Réponse – c

Tableau de valeurs :

f w Re(num) Im(num) mod(num) arg(num) Re(dén) Im(dén) mod(dén) arg(dén) mod(U)arg(U)

[rad]

arg(U)

[degrés]

106.1 666.7 -0.010 0.010 0.014 2.36 0.990 0.010 0.990 0.01 0.014 2.346 134.42

152.6 959.0 -0.021 0.014 0.025 2.53 0.979 0.014 0.979 0.01 0.026 2.519 144.35

219.5 1'379.4 -0.043 0.021 0.048 2.69 0.957 0.021 0.957 0.02 0.050 2.670 152.97

315.8 1'984.2 -0.089 0.030 0.093 2.82 0.911 0.030 0.912 0.03 0.102 2.785 159.56

454.3 2'854.2 -0.183 0.043 0.188 2.91 0.817 0.043 0.818 0.05 0.230 2.860 163.85

653.4 4'105.7 -0.379 0.062 0.384 2.98 0.621 0.062 0.624 0.10 0.616 2.882 165.11

939.9 5'905.8 -0.785 0.089 0.790 3.03 0.215 0.089 0.233 0.39 3.393 2.639 151.19

1'061.0 6'666.7 -1.000 0.100 1.005 3.04 0.000 0.100 0.100 1.57 10.050 1.471 84.29

1'197.7 7'525.6 -1.274 0.113 1.279 3.05 -0.274 0.113 0.297 2.75 4.313 0.302 17.31

1'352.0 8'495.2 -1.624 0.127 1.629 3.06 -0.624 0.127 0.637 2.94 2.558 0.123 7.06

1'944.9 12'219.9 -3.360 0.183 3.365 3.09 -2.360 0.183 2.367 3.06 1.422 0.023 1.32

2'797.6 17'577.7 -6.952 0.264 6.957 3.10 -5.952 0.264 5.958 3.10 1.168 0.006 0.36

4'024.2 25'284.6 -14.384 0.379 14.389 3.12 -13.384 0.379 13.390 3.11 1.075 0.002 0.11

5'788.6 36'370.6 -29.763 0.546 29.768 3.12 -28.763 0.546 28.769 3.12 1.035 0.001 0.04

8'326.6 52'317.3 -61.585 0.785 61.590 3.13 -60.585 0.785 60.590 3.13 1.017 0.000 0.01

11'977.3 75'255.8 -127.427 1.129 127.432 3.13 -126.427 1.129 126.432 3.13 1.008 0.000 0.00

0

0

1

10

100 1'000 10'000

module

0

45

90

135

180

100 1'000 10'000

argument



Exercice 4.5.7 Circuit R – R – C

Calculer et représenter la fonction de transfert du circuit ci-dessous :


Réponse

On applique la formule du diviseur de tension :

( )

(

)

( )

Il y a 2 fréquences caractéristiques distinctes, une pour le numérateur et l’autre pour le dénominateur :

( )

On remarque que .

On peut représenter cette fonction de transfert à l’aide des asymptotes :



Exercice 4.5.8 Circuit R – C – R



Réponse

On applique la formule du diviseur de tension :

( )

(

)

( )

Il y a fréquences caractéristiques distinctes, une pour le numérateur et l’autre pour le dénominateur :

( )

On remarque que .




Exercice 4.5.9 Circuit R – C // R



Réponse

On applique la formule du diviseur de tension, en calculant d’abord l’impédance équivalente à C et R2 en

parallèle :

( )

( )

( )

On peut faire apparaître :

Alors :

( )

Il n’y a qu’une fréquence caractéristique, au dénominateur :




Exercice 4.5.10 Circuit R // C – R



Réponse

On applique la formule du diviseur de tension, en calculant d’abord l’impédance équivalente à C et R1 en

parallèle :

( )

( )

( )

( )

( )

On peut faire apparaître :

Alors :

( )



Il y a fréquences caractéristiques distinctes, une pour le numérateur et l’autre pour le dénominateur :

Comme , on a .


Exercice 4.5.11 Circuit équivalent à un circuit R – L

Proposer un circuit composé d’une résistance et d’une inductance ayant la même fonction de transfert que le

circuit ci-dessous. Est-ce que cette équivalence est possible dans tous les cas ?


Réponse

La fonction de transfert du circuit R – C est :

( )

Un circuit L – R équivalent aurait la même constante de temps si :



Donc :

La fonction de transfert devient :

( )

Cette fonction de transfert correspond bien à un diviseur de tension composé de l’inductance L et de la

résistance R, comme suit :

Attention : Ces 2 circuits ont la même fonction de transfert. Toutefois, ils ne sont pas équivalents

si on en charge la sortie, par exemple avec une résistance. Il suffit de calculer la

tension de sortie pour une fréquence nulle ou pour une fréquence infinie pour s’en

convaincre.

Exercice 4.5.12 Représentation asymptotique d’une fonction de transfert

Un quadripôle est caractérisé par la fonction de transfert suivante :

( ) ( )

( )

Dans laquelle :

a) Représenter le module de cette fonction, en [dB], en fonction de la pulsation , en traçant

précisément les asymptotes.

b) Représenter approximativement l’ar ument de cette fonction, en fonction de la pulsation .

Réponse – a

Nous avons 3 pulsations de coupures, qui valent :



Remarquons que .

Par ailleurs, le 1er élément simple ( ) correspond à un gain statique de -20 dB.

Nous pouvons ainsi tracer les asymptotes de chaque élément de cette fonction, puis, par addition, le gain de

la fonction complète :

gain

+20 dB

-20 dB

0 dB ω

102

107

106

105 10

4

e 10

3

k

1er

élément 2

ème élément

3ème

élément



Réponse – b

Exercice 4.5.13 Quadripôles en série – 1


Réponse

Calculons l’impédance des condensateurs :

argument

+90º

-90º

0º ω

102

107

106

105 10

4

e 10

3

k

1er

élément

2ème

élément

3ème

élément

R1 R2

C1 C2 Uin U

out

Iout = 0

Ux



Les deux circuits RC sont caractérisés par :

[( ) ]

[( ) ]

( )

[( ) ] ( )

( )

Nous en déduisons successivement :

( )

( )

[( ) ] ( )

[( ) ] ( )

( ) ( ) [ ( ) ]

ous constatons que cette fonction de transfert n’est pas le produit des fonctions de transfert des circuits

RC pris individuellement :

( ) ( ) [ ⏟ ( )

]

La différence provient du fait que le courant qui passe dans R2 et C2 est une charge pour le 1er circuit RC, et

que ce courant modifie ainsi sa fonction de transfert. Toutefois, si nous avions , la différence serait

très faible. Cela correspond au fait que le courant dans R2 et C2 serait tellement faible qu’il n’influencerait

plus le 1er circuit RC de manière significative.

Exercice 4.5.14 Quadripôles en série – 2

On place en série quadripôles, dont les ains valent 3 dB et 3 dB respectivement. Le si nal d’entrée a

une amplitude de 100 mVrms.

Calculer l’amplitude du si nal de sortie.



Réponse

Les gains des quadripôles se multiplient. Exprimés en [dB], leurs ains s’additionnent. ous avons donc :

ain total dB

Cela correspond à un gain de :

L’amplitude du si nal de sortie vaut donc :

rms



Chapitre 5 Régimes transitoires

5.1 Régime transitoire de systèmes électriques

Exercice 5.1.1 Énergie stockée dans un condensateur

Dans un servo amplificateur, un condensateur de 220 µF est chargé à 565 V.

a) Quelle est l’éner ie emma asinée ?

b) Par inadvertance, on laisse tomber sur les bornes de ce condensateur un morceau de fil à souder de 1

mm de diamètre et 10 cm de longueur, qui provoque un court-circuit. Quel est l’échauffement de ce

fil ? On suppose par simplification que toute l’éner ie du condensateur est transformée en chaleur

dans le fil. La chaleur massique de la soudure vaut 90 •K·, et sa masse spécifique vaut 8’6 0

kg/m3.

Réponse – a

En appliquant la formule :

Réponse – b

Toute cette énergie est dissipée en chaleur dans le fil. Tout de suite après le court-circuit, l’éner ie thermique

passant du fil vis à l’air ambiant (convection) est né li eable. On peut donc admettre que toute l’éner ie

thermique est utilisée pour élever la température du fil (échauffement adiabatique).

La masse du fil est :

Son élévation de température est donc :

La température de fusion de la soudure est ainsi atteinte !



Exercice 5.1.2 Décharge d’un condensateur

Un condensateur de 470 µF chargé à une tension de 48 V se décharge complètement dans une résistance de

1,2 MΩ.

a) Après combien de temps la tension aura-t-elle diminué de moitié ?

b) Quelle est l’éner ie qui sera transformée en chaleur dans la résistance pendant ce temps ?

Réponse – a

La constante de temps vaut :

564 s

Tension initiale :

Tension finale :

Équation de la tension pendant la décharge :

( ) ( ) ( ) ( ) (

)

On demande combien de temps il faut pour que le condensateur soit déchargé de 50%. Il faut donc résoudre

l’équation :

Donc :

[ (

)]

Réponse – b

Lorsque le condensateur est chargé à 48 V, son énergie vaut :

Lorsque le condensateur est chargé à 24 V, son énergie vaut :

L’éner ie qu’il délivre pendant la déchar e de 48 à 4 vaut donc :

( )

Cette énergie est intégralement dissipée dans la résistance, ce qui répond à la question.



Exercice 5.1.3 Condensateur comme réserve d’énergie

Un condensateur est utilisé dans un petit automate programmable alimenté en 24 VDC pour le rendre

insensible à des brèves coupures d’alimentation.

La consommation de l’automate est de 0 mA. Le cahier des char es précise qu’une coupure d’alimentation

durant 100 ms ne doit pas perturber le fonctionnement.

Admettant qu’une baisse momentanée de tension de est acceptable, quel est la capacité minimum requise

pour ce condensateur ?

Réponse

Lorsque l’alimentation fonctionne correctement, le condensateur est char é à 4 DC. Quand l’alimentation

fournit le courant nécessaire au fonctionnement de l’automate, le condensateur est inactif (pas de courant).

Dès le moment où l’alimentation ne parvient plus à l’automate, c’est le condensateur qui va fournir le

courant à l’automate, soit 0 mA, et sa tension va donc baisser. On souhaite que, fournissant ce courant

pendant 100 ms, la tension ne chute que de 2 V.

Formule liant le courant, la capacité et la variation de tension :

Donc :

Exercice 5.1.4 Charge d’un condensateur

On souhaite char er un condensateur de '000 µ à 4 . La résistance interne de l’alimentation vaut 0, Ω.

Après combien de temps le condensateur sera-t-il chargé (à 99%) ?

Réponse


La tension aux bornes du condensateur pendant le processus de charge est donnée par :

( ) ( ) ( ) ( ) (

) (

)

Le condensateur sera chargé à 99% lorsque :

[ (

)]



Exercice 5.1.5 Caractérisation d’un condensateur réel

Avec un condensateur électrolytique, on fait les constations suivantes :

Lorsqu’on le connecte à une alimentation (source réelle de tension) de 4 DC ayant une résistance

interne valant exactement 40 mΩ, la tension mesurée aux bornes du condensateur saute presque

immédiatement à 18,0 VDC, puis continue à croître exponentiellement.

Après 500 μs, cette tension vaut 22,5 V.

Après plusieurs millisecondes, elle atteint 24,0 V (à 0,01% près).

Lorsqu’on le déconnecte de l’alimentation, sa tension chute de moitié après 8 secondes.

Déterminer sa résistance série, la valeur exacte de la capacité et sa résistance de fuite de ce condensateur. On

suppose pour ces calculs que le voltmètre utilisé n’influence pas la mesure.

Réponse

uste après la fermeture de l’interrupteur, le condensateur C est encore totalement déchar é. C’est comme si

la résistance était connectée directement au pôle négatif de la source de tension. On peut calculer la

tension à partir de U comme pour un diviseur de tension. Comme la mesure montre que vaut alors

75% de U, la résistance série du condensateur est égale au triple de la résistance interne de

l’alimentation :

La tension se stabilise si proche des 4,0 que l’influence de la résistance de fuite ne peut pas être mesurée.

On peut donc supposer, à ce stade, qu’elle est infinie (sa valeur sera déterminé lors de la déchar e).

On peut donc considérer que la charge du condensateur de 18 à 24 V est un régime transitoire, caractérisé par

une constante de temps , telle que :

( ) (

)

La durée de cette charge étant connue, on en tire :

(

)

On en tire alors la valeur de la capacité :

( )



Au déclenchement, seule la résistance de fuite intervient. En effet, la résistance série et la résistance interne

de l’alimentation sont déconnectées par l’interrupteur. La tension que l’on mesure aux bornes du

condensateur est égale à la tension au borne de la capacité. La décharge est alors exponentielle :

( ) ( ) (

)

Sachant que la tension chute de moitié après 28 secondes, on en tire successivement :

( )

Remarque : Cette valeur est 111'000 fois plus élevée que la somme des résistances interne (de

l’alimentation) et série (du condensateur). Cela explique pourquoi, lors de la charge, la

tension s’est stabilisée tellement près de 4,0 que l’on ne pouvait mesurer la très

légère différence (24 / 45'000 = ~0,0005 V).

Exercice 5.1.6 Courant dans une inductance idéale

Déterminer la courbe du courant en fonction du temps d’une inductance idéale de 4 H branchée sur une

source idéale de tension de 12 V.

Combien de temps faudra-t-il pour atteindre un courant de 27 A ?

Réponse

La fonction de courant est :

( )

[ ]

Le courant atteint 27 A après :

[ ]

Exercice 5.1.7 Courant dans une inductance réelle

Une bobine ayant une inductance de 4 H et une résistance de 0,7 Ω est connectée sur une batterie de 12 V

dont la résistance interne est de 0,3 Ω.

a) Quelle est la constante de temps à l’enclenchement?

b) Quelle est l’allure du courant en fonction du temps ?

c) Après combien de temps le courant atteint-il 10 A ?

d) A cet instant la bobine est court-circuitée et l’alimentation est déclenchée, quelle est l’allure du

courant dans la bobine ?



Réponse – a

Il y a 2 résistances en série dans le circuit, celle de la source idéale de tension et celle de l’inductance. La

résistance équivalente vaut :


Réponse – b

Nous admettons que le courant est nul avant que la bobine soit connectée à la batterie.

La valeur du courant en régime permanent atteint :

En supposant que la connexion est établie au temps , la courbe du courant vaut :

( ) ( ) (

) ( ) (

) (

) (

)

Réponse – c

La valeur du temps pour laquelle le courant atteint 0 A est donnée par l’équation :

( )

Il en résulte :

[ (

)]

Réponse – d

Dès le moment où la bobine est court-circuitée, le circuit est décrit par l’équation différentielle suivante :

( )

( )

La valeur initiale du courant est égale au 10 [A] (réponse – c). La valeur finale du courant est nulle. En

admettant que nous remettions l’ori ine des temps à zéro au moment du court-circuit, nous en obtenons :

( ) ( ) (

) ( ) (

)

Le courant décroît exponentiellement vers zéro, avec la constante de temps :



Exercice 5.1.8 Constante de temps d’une bobine

Une bobine a une inductance de 500 μH. Un essai a permis de constater que sa constante de temps est de

5 ms.

a) Que vaut la résistance de cette bobine ?

b) Que devient cette constante de temps si l’on double le diamètre du conducteur ?

Réponse – a

De la constante de temps vaut :

On peut calculer :

Réponse – b

En doublant le diamètre du conducteur, sa section quadruple et sa résistance est divisée par 4. La nouvelle

résistance vaut ainsi .

La nouvelle constante de temps est multipliée par 4, et vaut :

Exercice 5.1.9 Ouverture d’un circuit inductif

Soit une bobine de 2 H et 20 Ω. On l’alimente avec une source de tension de 24 V. En parallèle avec la

bobine, en aval de l’interrupteur, on a disposé une résistance de 00 Ω.

a) Quelle est la tension maximale aux bornes de la bobine au moment de l’ouverture de l’interrupteur ?

b) Quelle est alors la tension aux bornes de l’interrupteur.

Réponse – a

Le courant dans la bobine en régime permanent vaut :

Après ouverture de l’interrupteur, le courant de la bobine traverse la résistance de 100 Ω. u l’orientation du

courant, la tension aux bornes de cette résistance vaut :

Cette tension est également celle qui apparaît aux bornes de la bobine.



Réponse – b

La tension aux bornes de l’interrupteur vaut :

( )

Exercice 5.1.10 Bobines en série

On dispose en série 2 bobines. La première a une inductance de 2 mH et une résistance de 10 Ω, et la

seconde a une inductance de 1 mH et une résistance de20 Ω.

a) Calculer la bobine équivalente.

b) Comparer la constante de temps de la bobine équivalente et celle de chaque bobine.

Réponse – a

La bobine équivalente a une inductance de :

Sa résistance équivalente vaut :

Réponse – b

Sa constante de temps vaut :

La constante de temps de la 1ère

bobine prise individuellement vaut :

Celle de la 2ème

bobine prise individuellement vaut :



Exercice 5.1.11 Charge d’une inductance avec réduction de circuit

Déterminer la valeur du courant qui circule dans l’inductance en fonction du temps, lorsqu’on ferme

l’interrupteur du circuit ci-dessous.

Réponse

On suppose tout d’abord que l’interrupteur était ouvert depuis très lon temps, donc que le courant dans

l’inductance juste avant la fermeture de l’interrupteur est nul.

En premier lieu, la résistance de 10 Ω n’influence en aucune manière le courant circulant dans l’inductance

lorsque le contact est fermé. On peut donc l’i norer pour l’étude du courant à la fermeture de l’interrupteur.

Dès le moment où l’interrupteur est fermé, le circuit composé de la source de tension et des résistances de

12 Ω et de 68 Ω peut être remplacé par une source équivalente de tension, selon le théorème de Thévenin,

dont les caractéristiques sont :

Le courant dans l’inductance au moment où l’interrupteur est fermé vaut :

Le courant en régime permanent vaut :


La fonction du courant pendant le régime transitoire est :

( ) ( ) ( ) ( ) (

)



Exercice 5.1.12 Inductance idéale avec alimentation variable

Une bobine a une inductance de 20 mH. On la soumet à une tension qui suit le profil décrit ci-dessous. On

suppose que les résistances de la bobine, de la source de tension et de tous les fils sont nulles.

Au départ t = 0, la tension et le courant sont nuls.

La tension passe à et s’y maintient pendant 3 millisecondes.

Elle passe alors à 3 et s’y maintient pendant 0 millisecondes.

Elle passe alors à -50 V. Combien de temps faudra-t-il pour que le courant s’annule ?

Réponse

1ère

partie du cycle (A):

Au temps , le courant vaut

Le courant augmente linéairement :

Après 3 ms, le courant vaut :

2ème

partie du cycle (B):


Le courant augmente linéairement :


3ème

partie du cycle (C):


Le courant décroît linéairement :


Le temps nécessaire pour que le courant diminue de 3,75 A à 0 A vaut ainsi :

Exercice 5.1.13 Inductance réelle avec alimentation variable

La bobine de l’exercice précédent (Exercice 5.1.12) était supposée idéale. En fait, sa résistance est de 5 Ω.

Calculer et représenter l’allure du courant lorsqu’on y applique le même cycle de tension.



Réponse

On obtient une succession de régimes transitoires successifs. La constante de temps du circuit vaut :

Pour cette raison, on définit l’échelle de temps en millisecondes.

1ère

partie du cycle (A):


Le régime transitoire vers lequel tend le courant est :

Pendant ce régime transitoire, l’équation du courant est :

( ) ( ) ( ) ( ) (

) (

)


( )

2ème

partie du cycle (B):

Attention : Au début de cette partie du cycle, on remet à 0 l’échelle de temps !


Le régime transitoire vers lequel tend maintenant le courant est :

Pendant ce 2ème

ré ime transitoire, l’équation du courant est :

( ) ( ) ( ) ( ) (

) (

)


( ) ( )

3ème

partie du cycle (C):

Attention : Au début de cette partie du cycle, on remet à 0 l’échelle de temps !


Le régime transitoire vers lequel tend maintenant le courant est :

Pendant ce 3ème

ré ime transitoire, l’équation du courant est :

( ) ( ) ( ) ( ) (

)

(

)



On peut calculer le temps nécessaire pour que ce courant atteigne exactement 0 A :

(

)

[ (

)]

Exercice 5.1.14 Régimes sinusoïdal et transitoire

Une bobine, caractérisée par et par , est connectée en parallèle avec une

résistance . L’ensemble est alimenté (interrupteur fermé) par une source idéale de tension

alternative sinusoïdale, caractérisée par , et .

a) Que vaut le courant complexe qui traverse l’inductance (valeur numérique).

b) Exprimer le courant ( ), en fonction du temps (valeur numérique).

c) Quelle est la valeur de l’éner ie qui est stoc ée dans l’inductance lorsque le courant qui la traverse

est à sa valeur maximale ?

Après avoir laissé le contact fermé pendant plusieurs minutes, on ouvre l’interrupteur à l’instant précis où le

courant dans la bobine est maximum.

d) Exprimer le courant ( ) à partir de cet instant.

e) Après combien de temps le courant sera-t-il inférieur à 10 µA ?

Réponse – a

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

Remarque : Lorsque le contact est fermé, la résistance n’influence pas du tout le courant de la

bobine.

Réponse – b

( ) √ ( ) ( )

u(t) R

RB

L

bobine

iB(t)



Réponse – c

A

( ) m

Réponse – d

Dès l’instant où l’interrupteur est ouvert, la bobine est soumise à un régime transitoire. Le courant de

l’inductance circule par celle-ci et par la résistance de roue-libre. Il décroit exponentiellement de la valeur

max. à zéro.

Par soucis de simplification, on « remet le chronomètre à zéro » à ce moment précis. Nous avons alors :

( ) ( )

avec :

A

A

( ) µs

Donc :

( )

Réponse – e

Il faut résoudre l’équation :

Donc :

( )

ms

Exercice 5.1.15 Alimentation d’un petit moteur DC

Un moteur DC (Maxon A-MAX26-110208) est caractérisé comme suit :

kT = kE = 0,0212 Nm/A

Ra = 4,99 Ω

La = 0,528 mH

Avant l’expérience, il n’est pas alimenté, et son courant est nul.



A l’instant t 0, alors que son rotor est bloqué, on l’alimente par une source idéale de tension de +

pendant 25 µs. Puis, cette source de tension saute à -15 V pendant 25 µs, et revient à + 15 V pendant 25 µs,

et ainsi de suite de manière cyclique.

a) Déterminer l’allure du courant lors du er enclenchement sur +15 V, et sa valeur après 25 µs.

b) Déterminer l’allure du courant lorsque la tension saute à -15 V, et sa valeur après 25 µs.

c) On constate que la valeur du courant après le 1er cycle est légèrement négative. Quelle valeur aurait-

elle dû avoir à l’instant t 0 pour que l’on retrouve exactement la même valeur après le er cycle ?

d) Exprimer l’ondulation résiduelle du courant, en valeur « peak-peak », puis en valeur « r.m.s. ».

e) Refaire les calculs a) et b), mais avec des durées d’enclenchement de 40 µs à + 15 V et 10 µs à -15 V.

f) Refaire les calculs d) et e) avec ces nouvelles durées d’enclenchement.

g) Quelle est la valeur moyenne du courant ainsi obtenu, après stabilisation ?

h) Calculer la tension constante qu’il aurait fallu appliquer au moteur pour obtenir un courant dont la

valeur soit égale à la valeur moyenne obtenue sous g) ? Montre que cette tension constante est égale à

la valeur moyenne de la tension commutée (+15 / -15 V).

Réponse – a

Le courant croît exponentiellement à partir de 0 :

( ) ( )

avec :

A

μs

Après 25 μs, le courant atteint:

( ) (

) A

Réponse – b

Le courant décroît exponentiellement à partir de A, et tend vers A :

( ) ( ) ( )

Pour l’équation ci-dessus, nous avons « remis l’horlo e à zéro » : Le temps t est compté à partir de l’instant

où la tension a été inversée.

Numériquement, nous avons :

( ) ( ) ( ) (

)

Après 25 μs, le courant atteint:

( ) (

) A



Réponse – c

Il faut résoudre l’équation suivante :

( ) ( )

Nous en tirons successivement :

( ) ( )

( ) (

)

( )

A

Le courant oscille donc entre -0,353 et +0,353 A.

Réponse – d

L’ondulation de courant peut s’exprimer comme suit :

A

Pour en calculer la valeur r.m.s., on peut considérer, par approximation, que le courant varie linéairement

entre -0,3 3 et +0,3 3 A, et présente donc l’allure de trian les isocèles. Si nous considérons que au

moment où le courant passe par zéro, par pente positive, et pendant les µs qui suivent, sa valeur

vaut approximativement :

( ) | |

La valeur r.m.s. de ce courant, pendant ces 12,5 µs, se calcule par :

√

∫ (| |

)

| | √

∫

| | √

|

|

| | √

| | √

√

Arms

Réponses – e

Après 40 μs, le courant atteint :

( ) (

) A



Pendant les 10 μs suivantes, le courant est donné par :

( ) ( ) ( ) (

)

( ) (

) A

Comme cette valeur est plus élevée que la valeur initiale, le courant va atteindre une valeur plus élevée que

lors des 40 μs suivantes. A force de répéter cette séquence d’alimentation, le courant se rapproche de .

Réponses – f

Le courant valant au départ, juste avant une phase où U = 15 V, de durée tON, il atteint à la fin de cette

phase :

( ) ( )

(

)

A la fin de la phase où U = -15 V, de durée tOFF, le courant atteint à la fin de cette phase :

( ) ( )

(

)

Pour que le courant attei ne la même valeur à la fin qu’au début de la période, nous devons avoir :

Tenant compte que , nous avons :

Nous en tirons successivement :

[ (

)

⏟

] (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) (

)



Finalement :

(

)

( )

Avec nos valeurs numériques, nous obtenons :

(

)

(

)

Nous obtenons ensuite :

(

)

(

)

Le courant oscille donc entre 1,566 et 2,020 A. Sa valeur moyenne vaut 1,793 A.

Réponses – f

Pour obtenir ce courant avec une source de tension DC, et tenant compte de la résistance Ra 4,99 Ω, sa

tension devrait valoir :

La valeur moyenne de la tension calculée sur une période vaut :

Il est intéressant de constater que le courant dans le moteur est pratiquement identique si l’on applique une

tension « découpée » ou si l’on applique une tension DC é ale à sa valeur moyenne. La petite différence qui

subsiste dans l’exemple serait encore moindre si le rapport entre la constante de temps du circuit et la période

T était plus élevé. Ce constat est à la base théorique des alimentations à découpage, utilisées autant pour

l’alimentation DC des circuits et appareils électroniques, que pour celle des moteurs.



5.2 Modélisation de phénomènes non électriques

Exercice 5.2.1 Réservoir d’eau avec écoulement

Un réservoir a une surface au sol rectan ulaire, de x , m, et une hauteur de 4 m. Il est rempli d’eau par

un robinet situé au-dessus de son niveau le plus haut, dont le débit est de ’800 litres par minute. Par ailleurs,

un tuyau d’écoulement laisse échapper depuis le fond du réservoir un débit d’eau supposé proportionnel à la

pression, donc à la hauteur du niveau, et qui atteindrait 3’600 litres par minute si le réservoir était plein à raz

bord.

a) Au temps , le réservoir étant vide, on ouvre le robinet de remplissage. Selon quelle formule

mathématique la hauteur d’eau dans le réservoir évolue-t-elle ?

b) Après combien de temps le réservoir est-il plein à 33% ?

c) Après combien de temps y aura-t-il autant d’eau qui s’échappe par le tuyau que d’eau fournie par le

robinet (à 1% prés) ?

Réponse – a

Soit h(t) la hauteur d’eau dans le réservoir. A l’instant , elle vaut 0 m.

Soit v(t) le volume d’eau dans le réservoir :

( ) ( ) ( ) [ ]

Le débit de remplissage est constant et vaut :

[ ]

Le débit de vidage vaut :

( )

( )

( ) [ ]

Cette relation exprime bien la proportionnalité avec la hauteur h(t), et le débit max. de 3'600 l/min lorsque

h(t) = 4 m.

La variation du volume d’eau au cours du temps est liée au débit de remplissa e et au débit de vida e par la

relation suivante :

( )

( )

D’où l’on déduit :

( )

( )

C’est une équation différentielle, que l’on peut écrire sous la forme :

( )

( )

La solution est de la forme :

( ) ( ) ( )



Condition initiale :

(le bassin est vide au départ).

Condition finale :

Constante de temps :

s

Finalement :

( ) (

)

Réponse – b

Le réservoir sera plein à 33% lorsque :

(

)

Donc :

[ (

)] s min

Réponse – c

Le niveau se stabilise à m. Il atteint 1% de cette valeur après 5 fois la constante de temps, soit après

10'800 s ou 3,0 h.

Exercice 5.2.2 Modélisation thermique d’un four électrique

Un four électrique présente les caractéristiques thermiques suivantes :

Capacité thermique = 150 kJ/K

Résistance thermique (intérieur – extérieur) = 0,1 K/W

Son corps de chauffe est alimenté par le réseau 230 V / 50 Hz.

a) Quelle doit être la valeur ohmique de ce corps de chauffe pour que l’on puisse obtenir un

échauffement de 20 ºC à 365 ºC en 90 minutes ?

b) Quelle température atteindrait-on si on laissait l’alimentation branchée en permanence ?



Réponse – a

On peut procéder par analogie électrique :


Lorsqu’on enclenche le corps de chauffe, la température croît exponentiellement :

(

)

avec

On doit ainsi résoudre l’équation :

( ) (

)

( ) ( )

Donc :

( )

Comme l’alimentation électrique est à Urms = 230 V, la résistance du corps de chauffe doit valoir :

Réponse – b

Si l’alimentation reste connectée en permanence, la température atteinte vaut :



Exercice 5.2.3 Modélisation thermique d’un moteur électrique

Le couple produit par un servomoteur DC est proportionnel au courant qui le traverse. De plus, et par

approximation, on considère que l’échauffement d’un moteur électrique DC résulte exclusivement de la

circulation du courant dans sa résistance interne. Il en résulte que les pertes thermiques à l’intérieur de ce

moteur sont proportionnelles au carré du couple.

On suppose qu’un moteur est utilisé de manière cyclique, de la manière suivante :

15,5 Nm pendant 100 ms ;

2,5 Nm pendant 200 ms ;

-14,5 Nm pendant 100 ms ;

1 Nm pendant 300 ms ;

puis reprise du cycle.

On suppose également que la constante de temps thermique de ce moteur est très grande (env. 10 minutes),

et que son couple nominal est de 10,2 Nm.

Expliquer pour quelle raison on peut estimer que ce moteur conviendra sur le plan thermique.

Réponse

La durée du cycle (700 ms) est beaucoup plus faible que la constante de temps thermique du moteur (10

minutes). On peut donc se permettre de calculer la valeur moyenne de la puissance thermique produite.

En fait, plutôt que de calculer cette puissance thermique, on peut calculer quel couple constant produirait le

même échauffement. Appelons celui-ci « couple équivalent » ou « couple rms » :

⏟

( )⏟

⏟

⏟

( ) ⏟

⏟

On en tire :

√ ( )

( )

Ce couple équivalent est inférieur au couple nominal (marge de ~20%). Son échauffement produit par ce

cycle d’utilisation est inférieur à celui qu’il subirait en étant utilisé en permanence à son couple nominal. On

peut donc affirmer qu’il conviendra.



Chapitre 6 Annexe

Plusieurs pages pré imprimées avec échelle logarithmique figurent ci-après.

théorie des circuits linéaires - exercices résolus

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