théorie du contrôle optimal et applications en aéronautique

Introduction Théorie Méthodes numériques Transfert orbital Problème des 3 corps

Théorie du contrôle optimal et applications enaéronautique

Emmanuel Trélat

Séminaire du LJLL7 octobre 2011

E. Trélat Théorie du contrôle optimal et applications en aéronautique


Le problème de transfert orbital à poussée faible

Equation de Kepler contrôlée

q = −qµ

r3+

Fm

q ∈ IR3 : position, r = |q|, F : poussée, m masse :

m = −β|F |

Contrainte de poussée maximale

|F | = (u21 + u2

2 + u23)1/2 6 Fmax ' 0.1N

Transfert d’orbite :

D’une orbite initiale excentrique etinclinée vers une orbite géostationnaire.



Le problème de transfert orbital à poussée faible

Equation de Kepler contrôlée

q = −qµ

r3+

Fm

q ∈ IR3 : position, r = |q|, F : poussée, m masse :

m = −β|F |

Contrainte de poussée maximale

|F | = (u21 + u2

2 + u23)1/2 6 Fmax ' 0.1N

Transfert d’orbite :

D’une orbite initiale excentrique etinclinée vers une orbite géostationnaire.

Contrôlabilité : étudiée dans

B. Bonnard, J.-B. Caillau, E. Trélat, Geometric optimal control of elliptic Keplerian orbits, Discrete Contin.Dyn. Syst. Ser. B 5, 4 (2005), 929–956.

B. Bonnard, L. Faubourg, E. Trélat, Mécanique céleste et contrôle de systèmes spatiaux, Math. & Appl. 51,Springer Verlag (2006), XIV, 276 pages.



Modélisation sous forme d’un problème de contrôleoptimal

Etat : x(t) =

„q(t)q(t)

«Contrôle : u(t) = F (t)

Problème de contrôle optimal

x(t) = f (x(t), u(t)), x(t) ∈ IRn, u(t) ∈ Ω ⊂ IRm,

x(0) = x0, x(T ) = x1,

min C(T , u), où C(T , u) =

Z T

0f 0(x(t), u(t))dt




x(t) = f (x(t), u(t)), x(0) = x0 ∈ IRn, u(t) ∈ Ω ⊂ IRm,

x(T ) = x1, min C(T , u), où C(T , u) =

Z T

0f 0(x(t), u(t))dt .

Définition

Application entrée-sortie

Ex0,T : L∞([0,T ],Ω) → IRn

u 7→ xu(T , x0).





x(T ) = x1, min C(T , u), où C(T , u) =

Z T

0f 0(x(t), u(t))dt .

Définition


Ex0,T : L∞([0,T ],Ω) → IRn

u 7→ xu(T , x0).

−→ Problème d’optimisation

minEx0,T

(u)=x1C(T , u)





x(T ) = x1, min C(T , u), où C(T , u) =

Z T

0f 0(x(t), u(t))dt .

Définition


Ex0,T : L∞([0,T ],Ω) → IRn

u 7→ xu(T , x0).

Définition

Le contrôle u (ou la trajectoire xu(·)) est singulier si

rang dEx0,T (u) < n.



Multiplicateurs de Lagrange (ou KKT en général)

Le contrôle u (ou la trajectoire xu(·)) est singulier si rang dEx0,T(u) < n.

Problème d’optimisation

minEx0,T

(u)=x1C(T , u)

Multiplicateurs de Lagrange (si Ω = IRm)

∃(ψ,ψ0) ∈ IRn × IR \ 0 | ψdEx0,T (u) = −ψ0dCT (u).

En termes du Lagrangien LT (u, ψ, ψ0) = ψEx0,T (u) + ψ0CT (u),

∂LT

∂u(u, ψ, ψ0) = 0.



Principe du maximum de Pontryagin



x(T ) = x1, min C(T , u), où C(T , u) =

Z T

0f 0(x(t), u(t))dt .


Toute trajectoire minimisante x(·) est la projection d’une extrémale(x(·), p(·), p0, u(·)) solution de

x =∂H∂p

, p = −∂H∂x

, H(x , p, p0, u) = maxv∈Ω

H(x , p, p0, v),

où H(x , p, p0, u) = 〈p, f (x , u)〉+ p0f 0(x , u).




H(x , p, p0, u) = 〈p, f (x , u)〉+ p0f 0(x , u).



x =∂H∂p

, p = −∂H∂x

, H(x , p, p0, u) = maxv∈Ω

H(x , p, p0, v).

Remarque : lien entre les deux approches

(p(T ), p0) = (ψ,ψ0) à scalaire multiplicatif près.

Une extrémale est dite normale si p0 6= 0, et anormale if p0 = 0.

Les trajectoires singulières sont les projections des extrémales anormalest.q. ∂H

∂u = 0.




H(x , p, p0, u) = 〈p, f (x , u)〉+ p0f 0(x , u).



x =∂H∂p

, p = −∂H∂x

, H(x , p, p0, u) = maxv∈Ω

H(x , p, p0, v).

u(t) = u(x(t), p(t))

“localement, e.g. sous l’hypothèse de Legendre

stricte :∂2H∂u2

(x , p, u) défini négatif”



Flot extrémal

Hamiltonien réduit :Hr (x , p) = H(x , p, u(x , p)).

Alors toute extrémale est solution de

x =∂Hr

∂p(x , p), x(0) = x0

p = −∂Hr

∂x(x , p), p(0) = p0

(1)

Définition

Application exponentielleexpx0

(t , p0) = x(t , x0, p0),

où (x(t , x0, p0), p(t , x0, p0)) est la solution de (1) partant de (x0, p0) en t = 0.

(flot extrémal)



Conditions d’ordre deux

(cas sans contrainte sur le contrôle)

Lagrangien LT (u, ψ, ψ0) = ψEx0,T (u) + ψ0CT (u).

Problème d’optimisation

minEx0,T

(u)=x1C(T , u)

• Condition nécessaire d’ordre un :

∂LT

∂u(u, ψ, ψ0) = 0.

• Conditions d’ordre deux :

Dérivée seconde intrinsèque

QT = ∂2LT∂2u

(u, ψ, ψ0)| ker

∂LT∂u

Condition nécessaire

QT positive.

Condition suffisante

QT définie positive.



Conditions suffisantes d’ordre 2 : points conjugués

Sous l’hypothèse de Legendre stricte :

∂2H∂u2

(x , p, u) défini négatif,

QT est définie positive pour T > 0 assez petit.

Définition

Premier temps conjugué le long de x(·) :

tc = inft > 0 | Qt a un noyau non trivial.

Sous l’hypothèse de Legendre stricte, on a tc > 0.

Théorème

x(·) est localement optimale (en topologie L∞) sur [0, t]⇐⇒ t < tc .

Théorème

tc est un temps conjugué le long de x(·)⇐⇒ expx0(tc , ·) n’est pas une immersion en p0



Système de contrôle

x(t) = f (x(t), u(t)) (2)

Coût

C(T , u) =

Z T

0f 0(x(t), u(t))dt


Déterminer les trajectoires x(·) solutions de (2), telles que x(0) ∈ M0, x(T ) ∈ M1, etminimisant le coût C(T , u).

↓Méthodes numériques

1 méthodes directes2 méthodes indirectes



Méthodes directes

1. Discrétisation totale

On discrétise l’état et le contrôle⇒ problème d’optimisation non linéaire en dimension finie

ming(Z )=0h(Z )60

F (Z ),

où Z = (x1, . . . , xN , u1, . . . , un).

→ Résolution numérique : Méthodes de gradient, de pénalisation, méthodes SQP(sequential quadratic programming), etc. Exemple : AMPL combiné avec IPOPT.

2. Résolution numérique de l’équation d’Hamilton-Jacobi

∂S∂t

+ H1(x ,∂S∂x

) = 0,

où H1(x , p) = maxu∈U〈p, f (x , u)〉 − f 0(x , u).

→ Résolution numérique : Méthodes explicites, méthodes de front d’onde, ...



Méthodes indirectes

→ Emploi préalable du Principe du Maximum.

- Méthode de tir simple

Les extrémales (x , p) sont solutions de

x =∂H∂p

, x(0) = x0, x(T ) = x1,

p = −∂H∂x

, p(0) = p0,

où le contrôle optimal maximise le Hamiltonien.

−→ Méthode de tir : déterminer p0 t.q. x(T ) = x1.

(intégration numérique EDO + méthode de Newton)

- Méthode de tir multiple



Logiciel : COTCOT (Conditions of Order Two and COnjugate Times)

http ://www.n7.fr/apo/cotcot/

génération automatique en Fortran des équations du principe du maximum(différentiation automatique, Adifor ) ;

création automatique de fichiers mex pour Matlab ;

codes Fortran pour l’intégration numérique, la méthode de tir, et le calcul detemps conjugués, interfacés avec Matlab.

B. Bonnard, J.-B. Caillau, E. Trélat, Second order optimality conditions in the smooth case and applicationsin optimal control , ESAIM Control Optim. Calc. Var. (2007).

B. Bonnard, J.-B. Caillau, E. Trélat, Cotcot : short reference manual , Technical report RT/APO/05/1,http ://www.n7.fr/apo/cotcot.




Discrétisation

Euler, Runge-Kutta, etc.

↓Dualisation

Kuhn-Tucker,puis méthode de Newton

méthodes directes

Dualisation

Principe du maximum

↓Discrétisation

Euler, Runge-Kutta, etc,puis Newton (méthode de tir)

méthodes indirectes




Discrétisation

Euler, Runge-Kutta, etc.

↓Dualisation

Kuhn-Tucker,puis méthode de Newton

méthodes directes

?←→

Dualisation

Principe du maximum

↓Discrétisation

Euler, Runge-Kutta, etc,puis Newton (méthode de tir)

méthodes indirectes

Pas de commutation en général.Commutation pour les méthodes de Runge-Kutta à coefficients > 0 (cf Hager, 2000).



Méthodes directes Méthodes indirectes

mise en oeuvre simple,sans connaissance a priori

connaissance a priori de lastructure de la trajectoire

optimalepeu sensibles au choix de la

condition initialetrès sensibles au choix de la

condition initialefacilité de la prise en compte

de contraintes sur l’étatdifficulté théorique de la prise encompte de contraintes sur l’état

contrôles (globalement) optimauxen boucle fermée

contrôles (localement) optimauxen boucle ouverte

précision numérique basse ou moyenne très grande précision numériqueefficaces en basse dimension efficaces en toute dimension

gourmandise en mémoire calculs parallélisablesproblème des minima locaux petit domaine de convergence

Ici, on utilise les méthodes de tir, plus précises mais moins faciles à faire converger.

Problème

Comment faire converger la méthode de tir ?

Différents outils :1 application préalable d’une méthode directe2 méthode de continuation (→ transfert orbital)3 étude géométrique (→ rentrée atmosphérique)



Transfert orbital, temps minimalPrincipe du maximum⇒ les extrémales (x , p) sont solutions de

x =∂H∂p

, x(0) = x0, x(T ) = x1, p = −∂H∂x

, p(0) = p0,

avec un contrôle optimal qui sature la contrainte : ‖u(t)‖ = Fmax .

−→ Méthode de tir : déterminer p0 t.q. x(T ) = x1,

couplée à une homotopie sur Fmax 7→ p0(Fmax )

Heuristique sur tf :

tf (Fmax ) · Fmax ' cste.

(les trajectoires optimales sont des "droites",

Bonnard-Caillau 2006–2011)

(Caillau, Gergaud, Haberkorn, Martinon, Noailles, ...)



Transfert orbital, temps minimal

Fmax = 6 Newton P0 = 11625 km, |e0| = 0.75, i0 = 7o , Pf = 42165 km

−40

−20

0

20

40

−40−30

−20−10

010

2030

−202

q1

q2

q 3

−60 −40 −20 0 20 40

−40

−20

0

20

q1

q 2

−50 0 50−5

0

5

q2

q 30 100 200 300 400 500

!1

0

1x 10!4

t

arcs

h de

t(! x

)

0 100 200 300 400 5000

1

2

3

4

5

6x 10!3

t

"n!

1

Temps minimal : 141.6 heures (' 6 jours). Premier temps conjugué : 522.07 heures.

(simulations obtenues avec COTCOT)



Outil utilisé : la méthode de continuation→ continuité de la solution optimale par rapport à un paramètre λ

Cadre théorique (analyse de sensibilité) :

minEx0,T ,λ

(uλ)=x1C(T , u, λ)

La convergence est assurée :

1 en l’absence de trajectoires singulières,2 en l’absence de points conjugués.

En effet, pour faire l’analyse de sensibilité, on a besoin d’inverser la matrice„QT dE(u)T

dE(u) 0

«→ OK si dE(u) surjective et QT non dégénérée.



Outil utilisé : la méthode de continuation→ continuité de la solution optimale par rapport à un paramètre λ

Cadre théorique (analyse de sensibilité) :

minEx0,T ,λ

(uλ)=x1C(T , u, λ)

La convergence est assurée :

1 en l’absence de trajectoires singulières,2 en l’absence de points conjugués.

→ absence de singulière minimisante pour des

systèmes génériques ayant plus de 3 contrôles

(Chitour-Jean-Trélat, J. Diff. Geom., 2006)

En effet, pour faire l’analyse de sensibilité, on a besoin d’inverser la matrice„QT dE(u)T

dE(u) 0

«→ OK si dE(u) surjective et QT non dégénérée.



Etudes actuelles sur le problème du transfert orbital(avec EADS - Astrium les Mureaux) :

Transfert à consommation minimale sur les lanceurs Ariane V(troisième phase atmosphérique, poussée forte)

continuation sur la courbure de la Terre (terre plate –> terre ronde)

M. Cerf, T. Haberkorn, E. Trélat, Continuation from a flat to a round Earth model in the coplanar orbittransfer problem, Opt. Cont. Appl. Methods (2011).

contraintes d’éclipses→ contraintes sur l’état, systèmes hybrides

T. Haberkorn, E. Trélat, Convergence results for smooth regularizations of hybrid nonlinear optimalcontrol problems, SIAM J. Control Optim. (2011).



Etudes actuelles sur le problème du transfert orbital(avec EADS - Astrium les Mureaux) :

Collecte des débris spatiaux :

22000 débris de plus de 10 cm(catalogués)

500000 débris entre 1 et 10 cm(non catalogués)

des millions de débris plus petits

En orbite basse Autour de l’orbite géostationnaire

→ Thèse en cours de Max Cerf (ingénieur Astrium) au LJLL



Le problème circulaire restreint des 3 corpsDynamique d’un corps de masse négligeable dans le champ gravitationnel de 2masses m1 et m2 (primaires) ayant des orbites circulaires :

Equations du mouvement (repère tournant)

x − 2y =∂Φ

∂x

y + 2x =∂Φ

∂y

z =∂Φ

∂z

avec

Φ(x , y , z) =x2 + y2

2+

1− µr1

+µ

r2+µ(1− µ)

2,

etr1 =

q(x + µ)2 + y2 + z2,

r2 =q

(x − 1 + µ)2 + y2 + z2.

les trajectoires du problème des 2corps sont coûteuses enconsommation

but : élaborer des trajectoires detransfert peu coûteuses

missions interplanétaires

sites d’observation (SOHO, NGST)



Le problème circulaire restreint des 3 corpsDynamique d’un corps de masse négligeable dans le champ gravitationnel de 2masses m1 et m2 (primaires) ayant des orbites circulaires :

Equations du mouvement (repère tournant)

x − 2y =∂Φ

∂x

y + 2x =∂Φ

∂y

z =∂Φ

∂z

avec

Φ(x , y , z) =x2 + y2

2+

1− µr1

+µ

r2+µ(1− µ)

2,

etr1 =

q(x + µ)2 + y2 + z2,

r2 =q

(x − 1 + µ)2 + y2 + z2.

Références principales

Equipe américaine :Koon, Lo, Marsden, Ross...

Equipe espagnole :Gomez, Jorba, Llibre, Masdemont, Simo...



Points de LagrangeIntégrale première de Jacobi J = 2Φ− (x2 + y2 + z2)

→ variété d’énergie de dimension 5

La dynamique a 5 points d’équilibre :3 points colinéaires : L1, L2, L3 (instables) ;2 points équilatéraux : L4, L5 (stables).

(voir Szebehely 1967)

Extension d’un théorème de Lyapunov (Moser)⇒ même comportement que lesystème linéarisé autour des points de Lagrange



Points de Lagrange dans le système Terre-Soleil

L1, L2, L3 : instables.

L4, L5 : stables.



Points de Lagrange dans le système Terre-Lune

L1, L2, L3 : instables.

L4, L5 : stables.



Exemples d’objets aux points de Lagrange

Points L4 et L5 (stables) dusystème Soleil-Jupiter :astéroïdes troyens



Exemples d’objets aux points de Lagrange

SystèmeSoleil-Terre :

Point L1 : SOHO

Point L2 : JWST Point L3 : planète X...



Orbites périodiquesPar un théorème de Lyapunov-Poincaré, il existe :

une famille à 2 paramètres d’orbites périodiques autour de L1, L2, L3,une famille à 3 paramètres d’orbites périodiques autour de L4, L5.

Parmi elles :des orbites planes appelées orbites de Lyapunov ;des orbites 3D difféomorphes à des cercles appelées orbites de halo ;d’autres orbites 3D avec des formes plus compliquées appelées orbites deLissajous.

(a) orbites de Lyapunov (b) orbites de halo

(voir Richardson 1980, Gomez Masdemont Simo 1997 1998)



Exemples d’utilisation d’orbites de halo :

Orbite de Soho autour de L1 Orbite de la sonde Genesis (2001–2004)

(requiert du contrôle par stabilisation)



Variétés invariantesVariétés invariantes (stables et instables) des orbites périodiques :tubes de dimension 4 (S3 × IR) dans la variété d’énergie de dimension 5.(jouent le rôle de séparatrices)

–> "tubes" invariants, sortes de "couloirs de gravité"⇒ trajectoires gratuites



Variétés invariantesVariétés invariantes (stables et instables) des orbites périodiques :tubes de dimension 4 (S3 × IR) dans la variété d’énergie de dimension 5.(jouent le rôle de séparatrices)

–> "tubes" invariants, sortes de "couloirs de gravité"⇒ trajectoires gratuites

Cartographie⇒ missions interplanétaires à bas coût



En attendant...

Retour sur la Lune

⇒ base lunaire : point intermédiaire pour desmissions interplanétaires

D’où la nécessité de construire des orbites (lesplus économiques possibles) survolantl’ensemble de la surface de la Lune.



Orbites de Lissajous en 8(thèse de G. Archambeau)Orbites périodiques autour de L1 et L2 (système Terre-Lune) ayant la forme d’un 8 :

Elles sont difféomorphes à la courbe paramétrique3D :

x(t) = cos(2t)

y(t) = sin(2t)

z(t) = sin(t)



Variétés invariantes des orbites en 8

En tout point P de l’orbite, on calcule les vecteurs propres associés aux valeurs propresde la matrice de monodromie qui sont < 1 et > 1, puis on propage X0 = P + εV (P).

⇒ Tubes en forme de 8 :



Variétés invariantes des orbites en 8On observe numériquement deux bonnes propriétés :

1) Stabilité en temps long des variétés invariantes

Variétés invariantes d’une orbite en 8 :

→ structure globale conservée

Variétés invariantes d’une orbite de halo :

→ structure chaotique en temps long

(vérification numérique par calcul d’exposants de Lyapunov locaux)



Variétés invariantes des orbites en 8On observe numériquement deux bonnes propriétés :

2) Survol de la quasi-totalité de la surface de la Lune

Variétés invariantes d’une orbite en 8, autour de laLune :

oscillations autour de la Lune

stabilité globale en temps long

distance minimale à la Lune :1500 km.

G. Archambeau, P. Augros, E. Trélat,Eight Lissajous orbits in theEarth-Moon system,MathS in Action, 2011.



Perspectives

Mission design utilisant les bonnes propriétés des orbites de Lissajous en 8, oud’autres orbites

Optimisation pluridisciplinaire :

missions interplanétaires : compromis entre bas coût et temps de parcourslong ; effets gravitationnels (swing-by)→ thèse de M. Chupin (à partir de 2012 au LJLL), avec P. Augros (Astrium)

dimensionnement de véhicules spatiaux

ramassage des débris spatiaux→ thèse en cours de M. Cerf au LJLL

problèmes d’optimal design (conception de véhicules, capteurs)

Problèmes inverses : reconstruction d’environnement thermique, acoustique,électromagnétique (couplage EDO / EDP)

Problèmes de robustesse



Editors in chief :

L. Desvillettes, E. Trélat

Corresponding editors :

M. Diehl, A. Figalli, G. Kutyniok,A. Kyprianou, G. Naldi, P. Zhang

Associate editors :

K. Aoki, S. Boyarchenko, E. Carlen,J.A. Carrillo, Y. Chitour, M. Chyba,J. Correa, R. Dalang, R. Donat, M. Feldman,G. Gomez, A. Grothey, Y. Guo, E. Hairer,B. Hambly, Y. Huicheng, P. Jorgensen,A. Kohatsu-Higa, I. Kontoyiannis,K. Kunisch, U. Ledzewicz, D. Levy, S. Micu,C. Mouhot, H. Rauhut, H. Schättler,V. Schulz, S. Serfaty, Y. Shkolnisky, S. Sorin,G. Steidl, X.J. Wang, X. Zhang



Variétés invariantes d’orbites de Lissajous en 8

Φ(·, t) : matrice de transition le long d’une trajectoire x(·) de référence.∆ > 0.

Exposant de Lyapunov local

λ(t ,∆) =1∆

ln„

valeur propre maximale deq

Φ(t + ∆, t)ΦT (t + ∆, t)«

Simulations avec ∆ = 1 jour.



LLE d’une orbite de Lissajous en 8 :

LLE d’une variété invariante d’orbite deLissajous en 8 :

LLE d’une orbite de halo :

LLE d’une variété invariante d’orbite de halo :


théorie du contrôle optimal et applications en aéronautique

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