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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Les mathématiques sont d’abord une science qui nous apprend des choses sur le monde.
Expérimenter dans le monde, c’est traduire le réel par des signes.
Traiter ces signes, c’est faire des mathématiques.
Les mathématiques sont d’abord une science qui nous apprend des choses sur le monde.
Expérimenter dans le monde, c’est traduire le réel par des signes.
Traiter ces signes, c’est faire des mathématiques.
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Manipuler et expérimenter en mathématiques
Thierry DIAS, HEP [email protected]
http://perso.orange.fr/dias.thierry/
Perception / Action Question / Réflexion
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
1. POURQUOI1. POURQUOI
http://www.michaelolaf.net/maria.html
http://ecole.decroly.free.fr
Expérimenter en mathématiques ?Expérimenter en mathématiques ?
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
« N'est-il pas indispensable de faire bien saisir à l'enfant,
puis à l'adolescent, les liens étroits qui unissent les
mathématiques au monde sensible.
N'est-ce pas là un moyen pour mettre en confiance le
débutant, pour éviter qu'il ne se sente très vite rebuté par
une étude où il pourrait ne voir qu'une sorte de
jonglerie, souvent purement verbale et sans
signification apparente. »
Un brin d'histoire :Instructions Officielles - France, janvier 1957
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
observation : perception/compréhension
association : faire des liens
expression : narrer, organiser
Ovide Decroly
L’enfant est un savant, un explorateur en herbe.
Son apprentissage est essentiellement sensitif.
« Aide-moi à faire tout seul. »
Maria Montessori
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Le développement cognitif s’appuie sur des intuitions et
construit progressivement l’exactitude.
Il existe des modulateurs très forts de l’apprentissage :• l’action• le plaisir• l’attention• la curiosité
2012…2012…L’apport des neurosciencesL’apport des neurosciences
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
des connaissancesdes connaissances des attitudesdes attitudes
Apprendre en mathématiquesApprendre en mathématiques
Construire uneConstruire une culture scientifiqueculture scientifique
des capacitésdes capacités
savoirssavoirs
savoirs faire
savoirs faire
savoirs être
savoirs être
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
La culture de l’expérience nécessite
des idées,
des questions,
des objets,
des instruments,
et des connaissances !
alors pourquoi pas en mathématiques ?
observationobservation
manipulationmanipulation
réflexionréflexion
questionquestion
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
des idées ? des questions ?
des objets ? des instruments ?
et des connaissances !
Combien pouvez-vous trouver de triangles à l'intérieur
de cette figure ?
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2. COMMENT2. COMMENT
Expérimenter, manipulerExpérimenter, manipuler
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Expérimenter et/ou manipuler ?une dialectique plus qu’une opposition
manipuler:
déplacer, manier, toucher, palper, actionner, utiliser
manipuler:
déplacer, manier, toucher, palper, actionner, utiliser
expérimenter:
contrôler, essayer, tester, vérifier, éprouver
expérimenter:
contrôler, essayer, tester, vérifier, éprouver
fairefaire
raisonnerraisonner
activitésactivités
situations d’apprentissagessituations d’apprentissages
action but
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
https://n2naxw.bay.livefilestore.com
agiragir
diredire
expliquerexpliquer
convaincreconvaincre
prouverprouver
Expérimenter est un projet scientifique ambitieux.Expérimenter est un projet scientifique ambitieux.
Des compétences au service de situations complexes.
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Un raisonnement de type expérimental
Démarche qui comprend plusieurs étapes :
• l'observation de faits, le recueil d'informations,
• le questionnement, la mise en place d'investigations, l'élaboration d'hypothèses,
• la déduction de conséquences à partir des hypothèses,
• la confrontation des prévisions avec les faits observés et avec les expériences menées (vérification, validation).
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Raisonnement expérimentalRaisonnement expérimental
DéductionDéduction
ValidationValidation
QuestionnementQuestionnement
ObservationObservation
• Formulation d'hypothèses• Processus inductifs• Mise en place d'investigations
• Des hypothèses à leurs conséquences
• D'une étape de l'investigation à l'autre
• Confrontation entre les résultats et les attendus
• Vérification des hypothèses• Argumentation et preuve
• Faits et évènements• Recueil d'informations• Prélèvement des données
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Raisonnement
expérimental
Raisonnement
expérimental
LES CARRÉS DE MAC MAHONLES CARRÉS DE MAC MAHON
Combien peut-on trouver de façons différentes de colorier
complètement ce carré avec 3 couleurs différentes ?
Attention, les carrés ne doivent pas être superposables !
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
ACTION
VALIDATION
FORMULATION
INSTITUTIONNALISATION
expériences etmanipulations
mettre en motsdécrire
argumenterprouver
stabilisation du savoir
recherche
mise en commun
agiragirdiredire
prouverprouver
retenirretenirentraînement
Une élaboration didactique possible
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Liste possible :
matériel à manipuler : jetons, cartes, pions, cubes, buchettes, planche de bois + clous + élastiques, les jeux de la classe, Tangrams, matériel fabriqué sur demande des élèves…
supports : calques, feuilles A4, A3, quadrillages, feuilles cartonnées, brouillon, calendrier, grands tableaux, schémas (ou ébauches de schémas), agrandissements
outils : feutres, surligneurs, ciseaux, règles, crayons, colle
instruments : instruments pour tracer, pour mesurer, calculatrices, tables de multiplication, ordinateur
ça demande beaucoup de
matériel ?
ça demande beaucoup de
matériel ?Expérimenter, manipuler…Expérimenter, manipuler…
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Quelques situations mobilisant l’expérimentation en mathématiques
observationobservation
manipulationmanipulation
réflexionréflexionquestionquestion
échangeséchanges
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
4. prévoir le matériel nécessaire :la trousse du laboratoire de mathématiques…
4. prévoir le matériel nécessaire :la trousse du laboratoire de mathématiques…
3. programmer les activités- nombre de séances
- lien avec les autres apprentissages
3. programmer les activités- nombre de séances
- lien avec les autres apprentissages
2. Prévoir des dispositifs
sociaux variés- travail individuel
- binômes
- groupes
2. Prévoir des dispositifs
sociaux variés- travail individuel
- binômes
- groupes
1. faire une analyse didactique
- compétences visées (lien avec les programmes)
- variables d'adaptation et de différenciation(car tout le monde n'apprend pas à la même vitesse…)
1. faire une analyse didactique
- compétences visées (lien avec les programmes)
- variables d'adaptation et de différenciation(car tout le monde n'apprend pas à la même vitesse…)
compétence/connaissance situation problème tâche
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Thierry DIAS – Rouen– dec. 2012
Expérimenter dans l'espace et le planExpérimenter dans l'espace et le plan
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
5 tétraminos
des grilles
tétraminos,
pavages et
raisonnement
Expérimenter dans le plan
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Combien existe-t-il de formes différentes de pentaminos ?
368 solutions pour couvrir complètement une grille de 4 x 15
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Repérer, situer, décrireRepérer, situer, décrire
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Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012
En déplaçant toutes les pièces de ce puzzle, peut-on trouver une autre façon de les agencer dans un carré de même dimension ?
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Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012
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Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012
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Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012
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Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012
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Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012
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Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012Thierry DIAS – Lyon– nov.. 2012
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Expérience géométrique
MémoireAttentionConnaissances
à vous de jouer !
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Expérience géométrique
MémoireAttentionConnaissances
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Expériences courtesExpériences courtesExpériences courtesExpériences courtes
Mettre en mots ses connaissances
Collaborer
Échanger
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Expériences courtesExpériences courtes
carré(s) ?
rectangle(s) ?
triangle(s) ?
parallèle(s) ?
perpendiculaire(s) ?
… etc.
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Expérience
géométrique à deux !
Chacun à son tour, on trace l’une des propositions.
Le binôme qui finit en premier…
… finit en premier !
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
![Page 37: Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012 Les mathématiques sont dabord une science qui nous apprend des choses sur le monde. Expérimenter dans le monde, cest traduire](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da3497959293b8d31d0/html5/thumbnails/37.jpg)
Thierry DIAS – Rouen– dec. 2012
des expériences pour des expériences pour apprendre à raisonnerapprendre à raisonner
La mathématique du chat, Geluck
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
• Deux ronds sont jaunes.
• Il y a une forme verte en haut.
• Il y a un carré.
• Il y a une forme rouge en bas.
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Apprendre à poser des problèmes.
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Simon le dompteur fait marcher ses sept oiseaux bien
en rang les uns derrières les autres.
Range les animaux dans l’ordre en lisant attentivement
les renseignements :
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Niveau 1
Le coq n'a personne derrière lui.
L'oie n'a personne devant elle.
Le canard est entre le cygne et le hibou.
Le cygne n'est pas devant le hibou.
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
![Page 44: Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012 Les mathématiques sont dabord une science qui nous apprend des choses sur le monde. Expérimenter dans le monde, cest traduire](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da3497959293b8d31d0/html5/thumbnails/44.jpg)
Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
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Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012
Apprendre à poser des problèmes.
1. …
2. …
3. …
4. …
5. …
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Thierry DIAS – Rouen– dec. 2012
expérimenter sur expérimenter sur (et avec)(et avec) les nombres les nombres
de l’activité/jeu à la résolution de problème nécessitant
une phase expérimentale : faire beaucoup avec peu !
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Placer les six nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 dans les
cases pour que la somme des trois nombres soit
égale à 10 sur chacun des côtés du triangle.1
2
3
4
5
6
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7 8 94 5 61 2 3
En ajoutant trois jetons à vos six précédents,
pouvez-vous construire un carré magique ?
a + b a – b - c a + c
a – b + c a a + b - c
a - c a + b + c a - b
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44 77
11 99
1717
1313
1515
8
5
6
2
3
FUBUKI facile…
utilise les jetons pour compléter les additions :
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88
11
44
1818
1212
1515
9
5
6
2
3
FUBUKI plus difficile…
utilise les jetons pour compléter les additions :
7
![Page 51: Thierry DIAS – Rouen – dec. 2012 Les mathématiques sont dabord une science qui nous apprend des choses sur le monde. Expérimenter dans le monde, cest traduire](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062511/551d9da3497959293b8d31d0/html5/thumbnails/51.jpg)
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Combien de fois doit-on écrire le chiffre 5 si
on veut écrire tous les nombres de 1 à 999 ?
5
55
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Et les programmes dans tout ça ?Et les programmes dans tout ça ?
Rien de contradictoire, bien au contraire.
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« La résolution de problèmes joue un rôle essentiel
dans l’activité mathématique.
Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à
tous les stades des apprentissages. »
« L’apprentissage des mathématiques développe
l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le
goût du raisonnement. »
extraits des programmes 2008
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CONCLUSIONCONCLUSION3 atouts pour mieux apprendre
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3 atouts pour mieux apprendre
Des situations d'apprentissage avec :
• du matériel pour agir,
• des questions à expérimenter,
• des situations qui ont du sens.
Des connaissances en actes
Favoriserl’action
Favoriserl’action
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3 atouts pour mieux apprendre
De la place pour les activités langagières :
• mettre en mots, décrire,
• faire des hypothèses, confronter des idées
• anticiper les faits.
Des connaissances en mots
VerbaliserReformul
er
VerbaliserReformul
er
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3 atouts pour mieux apprendre
S'entraîner pour :
• "roder son moteur" (faire et refaire)
• travailler à son rythme, à son niveau
de compétence
• se dépasser, défier
Utilisation des connaissances
StabiliserMémorise
r
StabiliserMémorise
r
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Postface… quelques maximes personnellesPostface… quelques maximes personnelles
Tous les élèves ont un potentiel pour apprendre en
mathématiques.
Faire des mathématiques c'est aussi agir, discuter,
penser.
Enseigner les mathématiques par l’expérience c’est
susciter la curiosité, cultiver le doute et exercer à la
rigueur et la précision.
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merci de votre attention
http://perso.orange.fr/dias.thierry