[thm1] 미분가능성 강의자료...

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FFinalinal L Lessonesson for 20, 21, 29, 30 for 20, 21, 29, 30

ThemeTheme 01 미분가능성01 미분가능성

수학 영역 B형 2016 대수능 대비

Integral 수학영역 김건우 Tr

직관적 풀이에 논리적 해석을 달다 !!

Theme 01 미분가능성 2

1 구간별로 정의된 함수의 미분가능성T h e m e

Warming Up !!!

1̊ [2005년 10월 교육청]1

삼차함수 에 대하여 함수 를

≦ ≧

로 정의한다. 함수 가 모든 실수 에 대하여 미분 가능 하도록 상수 와 의 값을 정할 때,

의 값을 구하시오.


Final Lession For 20, 21, 29, 303

2̊2 [2013학년도 대수능]

함수 과 실수 에 대하여

곡선 위의 점 에서 축까지의 거리와 축까지의 거리 중 크지 않은 값을

라 하자. 함수 가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 의 최댓값은?

①　

②　

③　

④　 ⑤



3̊3 [2015학년도 대수능]

함수 과 자연수 에 대하여 함수 를

이라 하자.

가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오.



part 02IN T E G R A LOrbi 모의고사에서 찾아본 테마문항

4̊ 4[2015 T.O.P 모의고사 B형 4회 21번]110

최고차항의 계수가 이고, ′ 인 삼차함수 와

양의 실수 에 대하여 구간 에서 삼차함수 의 최댓값을 라 할 때,

다음은 함수 의 그래프의 개형 중 일부를 나타낸 것이다.

구간 ∞ 에서 함수 가 오직 에서만 미분가능하지 않을 때, 의 값은?

①

②

③

④

⑤



5̊5 [2015 T.O.P 모의고사 B형 3회 21번] 108.

사차함수 와 실수 에 대하여 원점과 곡선 위의 점

사이의 거리와 원점과 점 사이의 거리 중 크지 않은 값을 라 하자.

구간 ∞ 에서 함수 가 미분가능하지 않은 점의 개수가 개일 때, 의 최솟값은?

①

② ③

④ ⑤



6̊6 [2016 Hidden Kice 1 모의고사 B형 4회 19번]112.

함수

이 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값은?

(가) ≤ ≤ 이면, 이다.

(나) 함수 은 오직 한 점에서만 미분가능하지 않다.

①

②

③

④

⑤



7̊7 [2015 리듬농구 모의평가 B형 2회 15번] 88.

구간 에서 정의된 함수 에 대하여 함수 를

sin cos

라 하자. 함수 가 미분가능하지 않은 점이 개가 되는 의 최댓값은?

① ② ③

④ ⑤



8̊8 [2016 KU 모의고사 B형 5회 30번] 85.

함수 sin 와 자연수 에 대하여 함수 를

라 하자. ≤ 을 만족하는 어떤 실수 에 대하여 가 실수 전체 집합에서

미분가능하도록 하는 모든 자연수 값들의 합을 구하시오.



11 [정답]

[ Solution ]

함수 는 에서 연속이므로

, ⋯⋯ ㉠

′

′ ′ ≦ ′ ≧

함수 는 미분 가능하므로

′ ′에서 ′ ′

그러므로 ′

′ ′에서 ′ ′

그러므로 ′ 이다.

따라서 ′ 인 이다.

′

따라서 극댓값은 , 극솟값은 이므로

㉠에서 ,

이므로

∴



22 [정답] ⑤

[ Solution 1 ]

＞에서

′

또는 에서 ′

… … …

′

↘ ↗

↘

곡선 위의 점 에서 축까지의 거리와

축까지의 거리 중 크지 않은 값을 라 하므로

곡선 와 직선 , 와 만나는 교점을 찾는다.

이때, 미분가능하지 않은 점이 한 곳만 있으려면

＞에서 곡선 와 직선 가 만나지 않거나 접해야 한다.

접점의 좌표를 라 하면

⋯⋯ ㉠

이고 에서 접선의 기울기가 이므로

⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서

∴

∴

따라서, 의 최댓값은 이다.



[ Solution 2 ]

′ ,

lim → ∞

lim → ∞

,

lim → ∞

lim → ∞

⋅ ∞

이므로 증감표를 그리면 다음과 같다.

(∞ ) ⋯ ⋯ ⋯ (∞ )′

(∞ ) ↘ ↗ ↘ ()

따라서 그래프의 개형은 다음과 같다.

점 에서 축까지의 거리와 축까지의 거리 중

크지 않은 값을 라 하므로 와 의 값 중 작거나

같은 것을 의 값으로 한다.

따라서 좌표평면에서 의 그래프 중

아랫부분에 위치하는 것을 의 그래프로 한다.

위 그림들에서 굵은 실선이 의 그래프이다.

가 미분가능하지 않은 점이 하나만 존재하는 것은

왼쪽 그래프와 같은 꼴이므로 의 그래프는

인 곳에서 보다 접하거나 아래에 위치해야 한다.

접하는 때가 가 최대가 되는 때이다.

접점의 좌표를 ( )이라 하면 이고 ′

⋯⋯ ㉠

⋯⋯ ㉡

㉠에서

㉡에서 ⋅

∴

㉠에서 ⋅⋅ ∴

따라서, 의 최댓값은 이다.



33 [정답]

[ Solution ]

≥

이므로

≥

이다.

따라서, 라 하면 함수 는 에서 미분가능하지 않고.

lim→

′ lim→

′ 이다.

한편, (은 자연수)일 때,

이므로

에서

≥

∴

따라서 이라 하면

함수 는 에서 미분가능하지 않고,

lim→

′

lim→

′ 이다.

또 (은 자연수)일 때,

이므로 모든 실수 에 대하여 이다.

따라서

이므로

따라서 이라 하면

함수 은 실수 전체 집합에서 미분가능하다.

이제 또는 일 때,

함수

를 라 하자. 즉

이때, 함수 가 에서 미분가능하면 함수 는

실수전체의 집합에서 미분가능하다.

≠ 일 때,

′ ′

′

이므로



lim→

′

lim→

′

이때, 함수 가 에서 미분가능하려면

lim→

′ lim→

′즉,

이어야 한다.

에서

따라서 또는 이므로

또는

이다.

따라서 구하는 모든 자연수 의 값의 합은

44 [정답] ③

[ Solution ]

그림과 같이 함수 의 형태를 만족하는 삼차함수 는 두 개가 있다.

하지만 우측의 그래프는 ′ 의 조건에 맞지 않으므로 우리가 원하는 그래프는

좌측의 그래프이다. 좌측의 그래프로 함수 를 그려보면,

, ′ , 임을 알 수 있고, 계산을 통해

임을 알 수 있다.

∴



55 [정답] ②

[ Solution ]

함수 는 과 중에서 크지 않은 값이다.

함수 를 직접 그리기 힘드므로, 추론을 하여 풀어보아야 한다.

문제에서 점 를 다루므로 함수 도 그려주었다.

위의 그림을 통하여 함수 를 그리면 다음과 같다.

∴ ∞에서 함수 가 미분가능하지 않은 점이 개인 조건을

만족하는 의 최솟값은 이다.

(∵ 원점과 점 사이의 거리를 다루므로 함수 도 생각해주어야 한다.)



66 [정답] ②

[ Solution ]

함수

의 그래프는 함수

의 그래프를

축의 양의 방향으로 만큼, 축의 양의 방향으로 만큼 평행 이동한 그래프이다.

우선 이므로 원점대칭이다.

또한 lim→∞

lim→ ∞

이므로 각 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산할 때

함수 의 그래프는 축과 한없이 가까워진다.

함수 의 극점을 알아내기 위해 미분하면,

′ ′

따라서 함수 의 극소점은

이고, 극댓점은

즉, ≤ ≤ 이면

이 때, 조건 (가)에서 ≤ ≤ 이면 라 하였으므로

함수 를 축의 양의 방향으로 만큼 이동시켜야한다.

그러므로,

에 따라 함수 가 미분가능하지 않은 점들의 집합을 생각해보면,

그래프 와 직선 의 각 교점들에서의 함수 의 접선의 기울기가

이 아닌 점들이 해당된다.

(나)에 의하여 그 점이 오직 하나만 존재해야 하므로

이 그 외의 값을 가질 때에는 함수 가 두 점에서 미분가능하지 않거나,

모든 점에서 미분가능하다.

따라서

이므로



77 [정답] ④

[ Solution ]

함수 가 주어진 구간에서 미분가능하므로 방정식 의 한 실근을 라 할 때,

에서 함수 가 에서 로 바뀌거나 에서 로 바뀌면서

함수 가 미분가능하지 않게 되는 점이 발생할 수 있다.

따라서

lim→

≠ lim

→

′≠ ′ ⇔ ′≠

이면 에서 미분불가능하게 되고,

또한 미분가능할 때는 ′ 인 것을 알 수 있다.

배각공식에 의하여

sin

sin

′ cos

방정식 의 실근은

⋯

인데, 일 때, ′ 이므로

에서 함수 가 미분가능하지 않게 되는 점이 개 이므로

를 포함해야 한다.

따라서 의 최댓값은



88 [정답]

[ Solution ]

sin

sin

부터 까지의 홀수의 개수를 , 짝수의 개수를 라 하면

(예: 일 때, , ) 함수 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

sin sin

sin

sin sin

cos

sin sin

sin

sin

이므로

sin sin

sin sin

절댓값 함수는 절댓값 안의 함수의 부호가 바뀔때 미분가능성이

보장되지 못하므로, 절댓값 안의 함수의 부호가 바뀌게 하는 를

찾아준 후, 그 에서 미분가능성을 조사해주면 된다.

≤ ≤

인 범위에서

sin 는

에서 부호가 바뀌고

sin 는

에서 부호가 바뀌므로

등등에서 미분가능성을 조사한다.

(cf, 절댓값 안에 있는 함수들 sin sin

은 주기가 인 함수이고,

이를 절댓값 시킨 함수들 sin sin

은 원래 sin함수의 주기를 절반으로 한

의 주기를 가지므로,

에서 미분가능함을 보이는 것으로 충분하다.)

먼저

에서 미분가능성을 조사하면,

미분계수의 정의에 의해 lim→

이 존재함을 보이면 된다.

충분히 작은 양수 에 대하여

인 경우, sin

sin 이므로

sin sin

sin 이고

인 경우, sin

sin 이므로

sin sin

sin 이다.



(cf.

근방에서는 sin

여서 부호변화 없음.)

표기의 편리성을 위해

sin sin

sin

sin sin

sin

라 하면,

′ lim

→

이 존재하려면

lim→

lim

→

이어야 한다.

lim→

cos×

cos

cos

이고,

lim→

cos×

cos

cos

이므로

따라서 이다.

일 때도, 위와 같은 방법으로 이다.

따라서 이고 는 ≤ ≤ 인 실수이므로

는 이하의 자연수이다.. (cf. 는 홀, 짝의 개수이므로 자연수여야 한다.)

그러므로 자연수 는 이하인 짝수인 자연수이므로

가 실수 전체 집합에서 미분 가능하도록 하는 모든 자연수 의 합은

⋯

[thm1] 미분가능성 강의자료...

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