thomas telford- eneergy methods in structural mechanics by f guarracino chapter 3-theory of elastic...

48
4. Theory of elastic deformation of beams Introduction Bars and beams are ubiquitous structural elements, acting as parts of frames and grid structures. Essentially a beam, or bar, is a structural component whose length is signi®cantly greater than its breadth and width. Conventionally a bar is an axially loaded element, while a beam has loads applied normal to its longitudinal axis. A beam may be supported at various positions along its length and in various man- ners, as is seen later in the text. Up to this stage we have examined the behaviour of elastic materials, the interpretation of tensile tests and the concept of strain in one, two and three dimensions. Chapter 1 also considered the concept of equi- librium for general systems. Essentially, the objective in structural mechanics is to determine the manner in which speci®c structures or components are deformed by external actions and to enable design cal- culations to evaluate the maximum levels of loading and deformations that can safely be allowed in practice. The analysis of the response of a beam to a speci®c pattern of applied loads requires that . The beam as a whole and all of its parts must be in equilibrium with the applied loading. . The deformations of the beam must be continuous and compa- tible with the restraints of the supports. . The strain energy must conform with the properties relevant to the material (in our case the conditions of elasticity). The exact solution of the deformations of a generic structural ele- ment is, in general, very dicult to achieve for solids with arbitrary shapes. The approach is simpli®ed by de®ning classes of elements, for example bars, beams, plates and shells, whose shapes have generic features which enable us to make assumptions to reduce the complex- ity of the analysis. Of course, the introduction of such assumptions

Upload: nestillo-cesped

Post on 07-Dec-2015

214 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

�� ����� � ��� ��� ����������� ����

�������������� ��� ��� �� ��� ������ ���������� ����� ������ �� ����� ������ ��� ���� ���������� ���������� � ��� �� ���� �� � ����������������� ���� ����� �� ������������ ����� ���� ��� ������ ��������� ������������� � ��� �� �� ������� ����� ���� ���� ��� ��� ����� ������ ����� �� ��� ������������ ����� � �� ��� �������� �� ������� ��������� ����� ��� ����� ��� �� ������� �� ���� �� �� �� ���� �� �� ����

!� �� ���� ���� � ��� ����� �� �������� �� ������ ���������� ������������ �� ����� ���� ��� �� ������ �� ������ �� ��� ������ ��� ��������� ������ " ���� �������� �� ������ �� �� ������ ��� ����� ������ ����������� �� ��#���� �� ����������������� �� �� ����� �� ���� �� ����� ������ ��������� ���������� �� ����� �� ������ ������� ��� �� ���� ����� ��� ��������� �� ������ �� ���� ���� �� ������� ��� �������������� ��� ����� � ������ �� �������� $� �������� �� �� ������ �� ��� �� � ������ ������ �� ������ ����� � ���� ����

� $� �� �� � ���� ��� ��� �� ��� ����� ��� � �� ������������ �� ������ ��������

� $� ���������� �� �� �� ��� � ���������� ��� ���� ���� ���� �� ��������� �� �� ���������

� $� ������ ���� ��� ������ ���� �� �������� ������ ���� ������ %�� ��� ��� �� ���������� �� ���������&�

$� ���� �������� �� �� ���������� �� � ����� ���������� � �� ��� �� ������ ��� ��'���� �� ����� ��� ������ ���� ��������������� $� �������� �� ������� �� ������ ������ �� �������� ���� ����� ���� ����� ��� ������ ���� ����� ��� ����������� ����� ���� �� �� �( ���������� �� ���� �� ����� ��� �� �� ��������� )� ������ �� ������������ �� ���� ����������

Page 2: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

����� � ������ ��� �� ������������� ��� ������ ��� ��������� ����� ���� �� ���������� ����� �� ���������� ��� �� ���� ������ �� ������ ��� ��� ������� ���������� �������� ������ ���������� �������� ��� �������� �������������

*������� �� ���� ���� ��� ���� ����� �� ��������� ������������� ���� ������ ���� ��� ������� � �( �� ������� ���������� �� �� ��������� ����� �� ��� �� ����� ��� �������� �� ������ �� �������� + ������� ��� ������ ��������� ���� ����� ������ �������� ��� ����� ���� ���� ������� �� �� ���� �� ���� �����������

*��� ���������� ����� ���� �� �� �� �� ���� � ��� ������ �������� �� �� ������� �� �� ���� ��� ���� ���������� ����� ��������� ��� ���� ������ �� �������� ����� ��� ����� �� �� ���� �� ������ ��� ��� �� �� �� ����� ��� ������ �� ��� �� ����� ��� ������� ��� �� ���������� �������� ������ ����� �� ����� ������������������ $��� �� ����� �� ,��� -�"�

$� ���� ���������� ���� �� � ������������ ����

� ����� ����� �� ��� �� �� ���� � �� ���� ������ ����� ��� ����� ����� ��������� �

$��� �� ������� ����� ��������.� ��� �� �� ������" ��� ������ ��� �������� ������ �� ������� �� ������ ��� ������������������� �� �� ������� �� ��������� ��� �� ����� ����������� �� �� ���������� ��� � ������� ���� ����� �� ���������� �� �� ������������ ���� �� �� ��� /� ��� ������������� ���� �� �� ��� ������ �� �� ����� ��� �� ������������ ���� ���� �� ���� ��������� �� ���� ������� 0���� ���� ��������� ������� �� ��������� ��� ������ � ��� �� ������������ �����(����� ��� ���� �� �������� �� ����� �� ������ "1�

�� ��������� ��� ��������� �������� �������� �� ������� ����������� ���� ����� �� �� �( � ���������� ��������� ���� ������� �� ������ ������������ ������ �� �� �� ������ �������� ,�� �

q

���� ���

" ��������� 2���� %����� "34- 5 ����� "674&� *���� �����������

�� ��� ������� � ���������� ��������

Page 3: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

������� ����� ��� �� ������ ��� ��������� ������� ����� ���� �� �� ��� �� ����� ��������� �� ����

�� ���� ����� ������� ���� � �� ���� � �� ������ �� ��� ������ � ����� ����� ����

/� ���� � �� ���� ���� ��������� �� �� ���� ������� �� ���������� ��������� �� ���� �������� )� ������ ��� ��� �� ���� �� ������� ���� �� ����� ��������������� �� ������ ��� � ������� �� ��8��� �������� �� ��������� ������� ������������ �� ������ ��� �� � �������� �������� �� ������ ���� ���� �� ���������� ������� �� �� ���� �������� ������� �� ������������ ������ ��� �������� �������� �����

/� �� ��������� ��� ������� � ������� ���� ��� ��� �� ����������� ������9 ���� �� ����� ��� �� ��( �� ���������� ��� �� �������� ��� � ������ �� ��� ��� ��� ����� ���� �� ��������� ���� ������������ ��� �� ����� �� �� ���� �� ������ -�3�

�� ���������� �� ������ ������ ����+ ����� �� ��������� ������ �� �� ��������� �� �� ��� ������ ���� �� ���������� ����� ������� ����� ��� �� ����������� ����� ,�������� ���� ��� �� ���� �� �� ������������ �� ���������� ��� ������� ���� �� ��������� � ��� �� ���� �� �� � ��������� ��� ���� � ������ ����� ������ ��� �� � ������������� :���� �� ���� �� �� � �������� ��� ���� �� � ������������� ���� �� ���� �� �� ���� ������� �� �� �������� ���������� �� �������� �� �� ����� �������� $� � ��� ��� ��������� �� ������� ���� �� ��������� ��� �� ������ �� �� ������������ �� ����� �� ,��� -�1�

x

y

z

N

N

���� ���

����� �� ������� ���������� �� ����� ��

Page 4: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

��������� �� ��������.� ���� � ���� ����� ���� ����������

��� ����� ����� ������ ����� ��� ���� ���� � �� ����� ��������� �� ����������� �� �� �����

������� �� ��� ����� �� ,��� -�;%�&� ����� �� �� �������� ���� ����� ������� ����� ����� � ������ �� �� ����

,���� �� ��� �� �� ����� �������� ���� � ��� ������ �� ����������� �� �� ��� �� ��� �� ��� ���� ����� �� �� � ���� �� ������ ������ ����� ����� ������� �� ������ /� � ��� ���� �� ���� ��� �� �� ��������� �� ���� � ���� �� �� ��� ��� ������� ����� �� ����� �� �� ��� �� ����� ������ � �� �� �� �� �������������� ��� �� �������� �� �� ������� �� ��� �� �� ����� ���� ������� �� ��� ������� $��� ���� ������� ��� ������ %1�44&�

+ ���� ���� ���� ���� ��� ���� �� ��� ������� �������� ��� ������ ��������� ���� $� ����������� �� ���� ��������� �� ����� �������� "1� <��� �� ������ ��� �� ���������� � ��� �������� ���������� �������� ��� ��� �� ���� �� �� ��� ��� ������� ��� �������� � ����������� ����� ������� �� �������� ���� ���� ���� � ,��� -�;%�&�

+ �� �������� ����� �� ��� ���� ������� ������ ������� ������ ����� ���� � (��� ���� �� ����������� ���� �� ������� �� ���������� ����� ���� �� ���������� ��� �� �� ������� ���� �� ������ �� ��� ������ ��� ��� �� ����� ���� ��

NN

dN

dl

dA

dl

dl '

l

l '

(a)

(b)

���� ��

�! ��� ������� � ���������� ��������

Page 5: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

��������� ��� �������� ���� �� ���� �� �� ������

��� ��

" � "

��

��

��� �-�"�

��� �� =����.� ������ ��� �� ������� � ������ %;�"&�/� �� ���� ��� ������ ����� ���� ��� ����� �����

������� ��� �� �� ��������� ����� �� �� ���� ��� �� ����������� ���� ���� ������� ���� ����� $������ ��

� ��

�� �-�1�

���

� ��

�� �-�;�

� ��� �� �� ��� �� ������������� �� �� ����� ������ �� ������

�� � � " �

��

��

��

��

����

��� �

�" � �

��

��� �-�-�

�������� �� ������ ���� �� ��������� $��� ���������� �� ����� ���� ���������� ��� �� ���������� ��� �� �� ��� ���� ������ ��� ����� ������� ���� �� ����� ���� �� �� �� ����� ���� ���������� ��� �� ���� ����� �� �� ���� � ��� ������� ��� ������� � ��� ������ �� ����������� ���� �� ������ ����� ������� �� ��������� �� �� ���� ���

� ��

�� � ��

�" � �

��

��� �

�" � �

��

��

��

��

" � �

��

�� �-�4�

$� ���� ����� �� �� ��� �� ����� ���� �� �� ���( ��� �� ������� ����� � ������ �� ������ �� �������� ���

� �� ����

7

����� ��� �-�3�

��� ����� �� �� ����� ���� ������ �� ������� �������

����� �� ������� ���������� �� ����� �"

Page 6: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

� ������ %-�4& ���� ��

� � �� � � ���

�� �-�6���� � ��� ����� ������ ��������.� ���� ��� ������� ��� ��� �������� � ������ %;�>"&�

� �� � "

1

��

��� � � ��1 �-�?�

��� ���������� �� �����@����� ����� �� �������� �� ����� � ��� ���� ��� �������� ���� ��������� �� ��� ���#��� �� � ������ �� ���� �� ��������*���� �� ���������� � �� �� � ��������� � �������� ������������� �� ������ ����� ������ ������ �� �������� ���� �������� ������ ���� ����� �� ��� ��������� ��� �� ������ �� ������ �� ��� ����� ����� ������� $� ���� ����� ��� �� ���������� �� �������� �� �� � ������ ���� �� �� ����� ����������� ������ ��� ����� �� �� ������������ ���� �� �� ���� ������� � �������� ����� ��� �� ������ ���� �� � ���� ������ ��� ���� �� ���� �� �� ���� ������� �� �� �������� ��� ��������� �������� �� �� ����� ������� ����� �� ��� $� � ��� ������ ��(� ��������� �� ������� ���� �� ��������� ��� �� ������ �� ������� ������� � ,��� -�-�

�� � �� �������� ������� �� ����������� �� ������������ ������� ������ �� ������ ���������� �� � ��� �������� �� ������������ ������� ������� �� �� �������� ��� �� ��( �� ����������� �� ����� �� ,��� -�4�

x

y

My

Sy

Sx

Mx

���� ���

�# ��� ������� � ���������� ��������

Page 7: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

$��� �� �� ���#�� �� �� ������ � ��� �� ����� �� � ���� ���� ��� ��� ����� ��� �� �� ��� ���������� $�� ������ �� ��� �� ������� ��� ������� �� ���� ��� ������ �� ���������$��� �� �� ������ �� ���� �� $��� ������

,�������� �� �� ��� �� �������� ������ ��� �� ������� �������� �� ,��� -�;� ��� ����������� ������� �� �� �� ��� ����� �� �������� ������� � ��� ����� ���� ���� �� �� ������ ��� �������� �� ��� ����� ������ �� �� ���

���� �� ���� ��� � ���� ����� ��������� �� ��������.� ����

�� ��� ����� ����� ������ ����� ��� ���� ���� � �� ��� ���� �� ������������ �������� ��� � �� ����� ������

/� �������� �� �� ��� �� �� ������� ����� ���� ����� �������������� � ���� ���� ���� �� ���� ���

�� ��� �� �� ���� ������� �� ��� �� � ������ ��������� �� ��� ���� ������ �� ����� �� ����� ����� � �� ��� ��� �� �� �� �� ��� ������� �� �� ������ �� ����� �� �� ���� ��� ���������

0�� ������� ,��� -�3� ��� �� ��� �� �� �� ���� �������� ������� �� ������� � �� ������

�� � ���� ��� �� �� ���������� ����� ����� �� �� ����� �������� ��������� ��� �������� �� ����� ��� ��� �� �� ��� ��������� ������� �� ���� �� ����� �� ���� � ������ �� �� ��� ������� /� ���� ������(� �� �� ����� ���� �� ���� �� �� �� ���������� �� ������ ���� ����� �������������� �� ���� ���������� �� � ����� ��������� �� �� ���� ���

�� � � �� � �-�>�

x

z

y

dz

l

M M

���� ���

����� �� ������� ���������� �� ����� ��

Page 8: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

0���� ���� �� ���� ���� �� ���� ��� ������� ���� ������ ���� ���� � ����� ��� ���� ������� ��� �� ����� ���� �� ���� ������ ���� ��� ������ ���� ������ ���� ������ �� ������ ������� � + ��� ��� ��� �� �� ���������� ������ %-�"&� �� ������ ������������ ���� �� ������ ��� % ��� �� ������ �� ����� ��� � �� �� ���� �� �� �� ���� ��������� ��� �������� $������� ������ %-�"& � ���

�� � ��� � � ���

� �� �-�"7���� ���� ��� ���� �� ����� ���� �� ���� �� �� ������� ������������� �� �� ����� ������ ������� ��� �� ��� $� ��������� ���� ���� �� ��������� ������ �� �� ���������� *����������� ������ %-�>& �� ������ %-�"7& � ������

�� � ��

�� �� �-�""�

+ ��� ��� �� ��� �� ������������� �� �� ������ ����� ���� ����� ������ �� ������ �� �������� ����� ���� � ��� ��������� %� $����

� ��

�� ��

��

�� �� � ��

��

�� �-�"1�

� ��

�� ��

1 ��

�� �� � ��

��

1 �� �-�";�

*��� � ����� �� ����� ���� �& �� ��� ��� ������ �� ��������� �� �� ����� ������� ��� ��� ���� ��������� � ����

�� � 7 �-�"-�

z

y

h

dz

���� ��!

�'' ��� ������� � ���������� ��������

Page 9: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

��� ������

� � 7 �-�"4�0���� ���� ��� ��� ��� �� ������ ����� ���� �� �� ��������

��� �� ������������ ���� ����� ���� ��� ��������� ������������ �� ������� �� �� ����� ������ �� �� ��� $� ��������� �� �� ����� ���� ���� �� ������ %-�";& �� ��� �� ���������� �� ���� ��� ����� ����� �� ����� �� �������

�� ��

1 �� �-�"3�

/� ���� ��� �� ����� ��� �� ��� ��� �� ������� ����� �� � ����� $� ������� �� ���� ������ ���� ���� ��������� �� �� ���� ������ �� �� ���� ����� ����� �� ����� ��� �� ��� �� ����������

0��� � ��� ����

� � ��

���� �-�"6�

����� ����� �� ����� ����������� ���� �� ������ ��� %��� �� ������ �� �������� �� �� � ���

��

�� "

�-�"?�

�� �������

���� "

�-�">�

� ������� %-�"6& ��� %-�">& ��������� (� ������������ ��� ������#��� ����� �� � ������ ����

/� �� � ���� ���� �� �������� �� ������ �������� ���� ����� �� �� �� �� ,��� -�4� �� �� ������ ��� �� ��������� ���� ������� ������ %-�"6& ��� �� ���� ����� � �� �� ����� ������

� ���

7

���� � �

���

��

7

� � �

���� �-�17�

$� ������ ���� ����� �� �� �� �� ���� �� �� ���( ��� �� ������� % ������ �� ������ �� ������� ��� ��

� �� ���

7

���� �� �-�1"�

����� �� ������� ���������� �� ����� �'�

Page 10: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

����� � ��� ���� ����� �� ��� �� ������ %-�17& ��� ��������.������ ������ %;�>"&�

� �� � "

1

�����1 �-�11�

*� ��� � ��� ���� ���� � ��� ���#��� �� � �������� ����� ���� ��� ��� ���#��� �� � �������� ������ ��� ����� �� ���� ��

� � � ����� �� ��� �� ���������� ������ ����� ��� ����� ��� �������� ���������� �� � ���� �������� � ��� ����� ����� ��� ���� ����� ��� �� ���������� ��� ���������� �� ���� �� ����� �� �� ���� ���� � ���� �� �� ����� ������

/� �� ��� ������ � ���� � ��� ���� ��� � ������ ��� � �� ������ ����� �� ��� �� �� ������( �� �� ����� �� ��� ��������������� ,�������� ��� ���� ���������� �� �� ���� ���� ���� ������� %-�-&� %-�"6& ��� %-�">& ���� ��� ��� ��� ��� �� ������ ��� ������������ ��� ����� �������� $����� ��� ������� � ������ �� �� �������� �� ��� ���#��� �� ����� ����� ���� ������ ���� % ���� ���� ����� �� ���� ��

��� ��� ������ �� ���� ����� �����������,�������� �� ������� �� �� ������� ������ � ��� ��� ������ ����� �� �� ���������� �� ���� ����� �� ��� ���#����� � ������ �� ���� �� ������� ��� ������������ � ������� ��� ��� ��� ������� �� �������� �� ����� �� ����� �� ����� �������� �� ������� ��� ��� ����� �� (�� ����� ���$��������� ���� �������� ����� �� �)������� ���$��������� /� ���� �� �� ��� ����� ��(�� ����� � �� ��� ���� ����� ���������� �� �� ������� �� ��� ������������ ���� ���� �� ��� ���� ����� "A �� ��������� /� ���� ���� �� ������� ���� ���� �� �� ������ ���� ������ �������� ��������

$��� ����� �� ��� ���� ���������� �� ��������� ���� �� ������������ ����

� �� ���������� �� � ������� ���� �� ��������� ���������� ��������� ���� ��� �������� ��� ������ 8��� ��������� ������� ����� ��� � ���������� ���� ���� ��� �� �� �� �������� ��� ��� �� �� ��� ���� �������

� �� ������� �� �� ������� �� �� ��������� ��� �� ����������� �� �� ���� ��� � ������ ����� �� �� ���������� ���������� �������������

$�� �������� �� ������� ��'������ ������� ��� �� ���� �#�� ��� �� �������� ������������ ��� ����� � ����������� ������������ ������������ ��� ���� �� ���������� ���������� ,�� � ���������

�'� ��� ������� � ���������� ��������

Page 11: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

����� �� ���� �� ���� ��������� ���������� �� �� �������� �� ����� ����� ��� ����� ���� ��� �� �� ��������� �� �� ������������� $��� ����� ��� � �������� ��� ����� ���� ����� �� �� ���� ���� �� �� �������� �� �� ���� �� � ��� /� ����� ���� ����� ��,��� -�6� �� ��

� � ������

�� ��

�� ����������������������1 � ��1

��

������������������������" �

����

�1

"

� ��

��� ��

"������������������������" �

����

�1 � �

�1�

�1���������������������������������" �

����

�1�;

�-�1;�

��� � �� �� ��������� �� �� �� ������� �� �� �������� ����� ������� � �������� �� �� ��� ���� :�� ���� ����������������������(��� ��������� �� �������� �� � ��������

�� ����� ����� ��������� �� �� ��������� �������� ����������� ����� �� �B����� �� ��� ���� "A �� �� ����� ��� �� ���� �� ������������ �� ��������� ���� ������ ���� �� ��� �� ��������� �������� ������� �� ���� ��������� ���� �� � �����

��

�1

" �-�1-�

z

y

ds

dz

uyuy + duy

φ0

���� ��"

����� �� ������� ���������� �� ����� �'

Page 12: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

� ������ %-�1-& ���� �� �� ������������ �� ������ %-�1;&� ��� ���������� ���� �� �� ��

"

� �1�

�1�-�14�

$��� ������������ ��� ���� � ���������� �������� ������ �� ���������� �� �� �� ���� �� ������������� �� �������� ����� � ������ �� ������� �� � 7� ��� �� ����� �� � ���� ���� ���� �� ���� �� ����� � 7 ��� � �� /� ����� ��� �� ��� ���� ����� � � 7� �� ������� ����

� � ���

7

� � � �-�13�

���� ��� � � ��� � ��� %,��� -�6&

� � ���

7

���������������������1 � ��1

��

��

7

������������������������" �

����

�1

� �-�16�

����� ����� �� ������� �� �� ������������ �� �� �� �� ������%-�1-&�

� � ���

7

� � � �-�1?�

$����� �� ��� �� ������ � ��� ��� �� �� ����� �� ��� ��� #����� �� �� � ���� ��� � ��� ������� �� ����C����� ����������� �� ��� �� �� �� �������� �� ,��� -�?� �� � C�� ��� ���#�� �������� �� �� �� ������ ����� %�

$� ����� �� �� �������� ����� ���� ��� � ������� �� ���������� � ��� ������� � ���� � ����� �� ������� ����� ���� �� ���� ����� �� � ����� ����� ���� �� ��������� ��� �������D �� �� ������ � �� ����� �� �� �� ���� ��������� �� ���� ����� ������ ���� �� ��������� ��� ������� �� �� ��� � ������ ������� �� ��������� ������������ �� �� ��� $��� �� ����� �� ,��� -�>�

M

���� ��#

�'� ��� ������� � ���������� ��������

Page 13: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

/� �� ����� ��� ���� ���� ���� �� ���� ����� �� ��� �����8��� %����� �������� ��� �� ���(����& ������ � ��������� ���( ���� �� �������� �� ������ "1 ����� �� ������������ ��������������� �� �� �B������� )��� ����������� ���� � ���������� � ������ �� ����� �� ������� ������

��� ������� ������ ��� ��� ������� �� ���������������

/� �� ������� ������� ��������� ��� �� ����� ��� �� ���������� �� � �� ���� ����� ���� �� ��B��� �� ����� ����� ��������� ����� 0�� � ������� �� ����� ���� ����� � ������� ��� ��������� �� ������ �� �������� �� ������ ������#��� �� ������ ������� ��� ������������ ,�� � ����� ������� ��� ��� �� ��� �������� ��������� �� ���� �������� ������� ���

� �� �� ���� �������� ������� %��������� �� �( �� ������� �� ��������&

� �� �� ��8������ ������� �� �������� ����� ��� ������ ��� �� ����������� ������� ������ %"�1?&�

$� �������� �� �� ����� �������� �� ���� ��� � �������� ��������� �� �� ��8������ ������ ��������� �� �������� ���� �� �� ����� ��� � �������� ����� �� ���� ��� �� ���������� $� ����������� �� ���� ���� ��������� ������� �� ���������� ������� �������� ���������� ��� ���� �� ����� ���������� �� ������� �� �� �� ��� ��� ���� �� ��������� 0�������� �� ������ ���� ��������� ���� ��� �� ������ ��� ��� �� ������ ��� ��� ��� ���� � ������� ���������� �� �� ����� �� �� �� ���� ���� ������ )� ���������� ���� �� �� ���� �������� �� ����8������ ������� �� ���� ���� ������ ������ � �������� ������������ �� ����� ��� ������� �� �������� ��� �� �� ��������������� ���� �� ���� ����� ��������� ����� �� �� �� �������������� ��� ����� ����������

$���� �� �������� ������� �� ���� ��� �� ������ �� ���� �� ���������������� �������� ������� �� ����� �� ���������� �� �� ����

P

N

���� ���

����� �� ������� ���������� �� ����� �'�

Page 14: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

���� �������� ����������� ������ ����� ��� ������� �� ���� ��� ����� ���� ��������� ����� ��� �� ��8������ ������ �� �������� ������ �� ���� ������� $� ���������� �� �� �� ��� ���������� �� �� ����� ��� ������� �� ������� ����������� ��� �� ��������� ������ ���� �� �� ���� ��� ����������� ���� �� ���� ���� ��� �� ���� �������� �� ������� ������������ �� ������ (�� �� � ���������� ������(�

/� �� ���� ������� �� ������ ��������� ��������� ��� �� ��8�� ���� ������ �� �� �������� �� ����� �� ���� �� ���� ��8� ���� $��� ��� � ��� ������� ��� ��������� �������� �� �� ����">;75">47� @����� �� ���� ��� ���� ��� ��������������� �� ���� ��8��� �������� ��� ���������� ��������� ���������� ����� ����� �� ����� ��� ������ ������� �� B��� ��������,�� �� ��( �� ��������� ������ -�6 ������ �� ���� ��8������� �� ������ �� �� �������� �� �� ���������� �� ���� ,��� ����� ��������� ����������� �� �� � ����1 ���� �� ���� ��8� �� ��� �� ���� ��� ����� ��������� ���� �� ���� ���� ������� � �������� �� � ��������� ���� �� ����� ����� �������������� �� ���� ������ �� �� ��������� ������� �� �� ��8������ ������� �� �������� ����� ��� �� ���� ���������� ����� ����� ������ ������� �� �� ���� ������������

/� ���� �� ���� �� ��8������ ������ �� �������� ����������� ��� � ����� �� ��������� ����������� �������� �� ������ ����������� $��� ���� �� ��������� �� �� �� ���� *�������������� ���� %��������� ���� � ��������� �� ��������;&��� �� ������������� �� ���� ������� ��� � ����� �� ����*������� �� ��� ��� �� ���� ������������

������� �� ���� �������� �� ����� �� ,��� -�"7� ���#�� �� ��������� ���������� ������� ���� �� ���� ����� ��

1 ������ 2� ��� +��(�� �� �� ">6" ,���� ��8��� ���� �� � �������� :��C �������+�� ,� �� �� %���� �� "44�; ��������� E���� %<��F ������ "677 5 ����� "6?1&� *���� ���������� ��� ����� ����� ���� �� 2�����

A

By

z

q

���� ���'

�'! ��� ������� � ���������� ��������

Page 15: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

/� ���� �� ����� ��� ���� �� �������� ��� ���������� � ����( ����� �� �� ����� ���������� ������ %"�1?&

�� � ��

��� ���� ���� �� ������� ���� �� ��������� �� �� ���������� ��� �� ��������� �� �� ���( ��� �� �� ������ ���������� �� �� � ������� ��� �� ���������� ���

+������ �� ��������� �� �� ���( ��� �� �� ������ ����� �� ���� ���� ����

�� ���

7

� �� � �-�1>�

��� � ��� �� ������ �� ��������� �� �� �� ���� �� �� ���������

@����� ������� �� ��������� �� �� ������ ���� � ���� � ������� �������� ,�������� �� �������� �� ������� %-�"6& ���%-�11& ��� � �� ���#�� �� �������� ������ ���� � ��� ������ ���� ����� �� �� ������������ ���� ��� �� �� ��

�� �"

1���

�����

1

�-�;7�

����� ����� ��� ������� �� ��������� ��� ������ �� ���������� �� ������� ����� �� ����� ����� �� ��� /� ����� �� ������� ��� ��� ������ �� �������� ����� ����� �� ����� �� ����� $� ���� ����� �� �� ���� ����� �������� �� �� ������ �� �������

� � "

1

��

7

�������1�

�-�;"�

��� ����������

� � "

1

��

7

���

���

�1

� �-�;1�

������ �� ������� �� ������� %-�"?& ��� %-�14&� ����

� � "

1

��

7

���

�"

�1

� � "

1

��

7

���

��1�

�1

�1

� �-�;;�

����� �� ������� ���������� �� ����� �'"

Page 16: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

$� ��������� �� ���� �������� ���� ������ �� �� ��������� ���� ��-

�� ���

7

������ ��

�� � �-�;-�

���� ��� �� ��( �� ������� � �������� ����������� � ��� ������

�1�

�1� ��� �-�;4�

+ ��� ������ ���� �� ��������� �� �������� % ������ %"�1?&&��

��

7

������ ��

�� � �

��

7

� �� � �-�;3�

$��� ����������� �������� ��� � ��������� �� ������ � ������� ������� ��8������ ������� $���� ���������� �� ��� ����

- $� ����������� �� �� �������� �� ���������� ������� � ��� �� ����� �� �������������� ��� �� ������� �� �������� *����� � �� ���� � ���������� � �� ��������� ���

���� ��

���

����� ���

��� �

���

����� ���

���

��� � ��� - �� ��������� �� ���� � � �� ��� . �� �� �������� �� �� ����� ����� /�*����� ���� ���� �� ���������� �� � �� ��(� ���� �� �������� �� �� ������������������� �� ����� �������� ����������

�"��� � 7 �� �"

�1��� � 7 �� �1

��� �" � �1 � ��$��� ��� � ���� �������� ��������� ��� � �� �� �� � ��� �� ������������

���� ��������� �� 0 ��

�� ��

�����

��� ���������� �

�����

�� � � �

���

��

�����

��� ���������� �

�����

�� � � �

���

����� ��� ��� � ��������������� ���� ���������

�'# ��� ������� � ���������� ��������

Page 17: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

�� �� ������ � ������

��

7

������ ��

�� � � ������� ��� �7 �

��

7

������� ��

� � �-�;6�

��� ���������� �� ����� ���� �� �� ������ %-�;6& � ���

��

7

������ ��

�� � � ������� ��� �7 � �������� �� �7 �

��

7

�������� �� �

%-�;?&

0��� ������ ���� � ������� ��������� ��� ��� �� ������������������� ��� �������� ���� �� ����������� �� �� ��� �� ����� � ����� ���( �� �� ��� ���� ����� ���� ���� $� ���� ��� ���

������� ��� �7 �-�;>��� ���������� C��� ���� �� ��������

������� �-�-7��������� �� ������� �� �� ������� %-�14&� %-�"?& ��� %-�"6&� �������� ��� ��� �� �� ��� �� �� ��� /� ����� ��� � ������ ���� �������� �� � ��� � ��� ����� ���� ���� �� �������� ������ �� � ��� � �� ������ ��� �� �� ��� �� C�� ��� ������ %-�;>& �� ������� C���

$� ����� �� �� �� ����� ���� ��� �� ������ %-�;?&� ���

�������� �� �7 �-�-"��� ���� ��� �� C��� �� �� ��������� ��� ������ �� �� ���� ��� ����� �� � ��� � ����� �� ��� ����� ��� ������� ����������

$���� �� ��������� �� �������� % ������ %-�;3&& ����� ��

��

7

�������� �� ��

��

7

� �� � � 7 �-�-1�

������ ���� �� ������� ��������� ��� �� �� ���������� �� ��������� �� ������ ���� ��8������ ������

�������� � � � 7 �-�-;�

$��� ������ �� ������� ����� ����*� �1����� �� ���� ����������2�� ��� �������� ������� �� ����� ������������ �� �� �������� ���� �� ������ ������ ���� ������������ 1� /� �� ��������� �� �� �� ����� �� ,��� -�"7� �� �� ���� ����� ��

����� �� ������� ���������� �� ����� �'�

Page 18: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

������ ����� �� �� 3������ ���4��� �� �� ��� �� � ��������������� �� �������� �� ������ %-�-;& �� ��������� ������� �� ��� ������� ������ %-�-;& ���� ��� �� ���

��� ��-

1-���� �; � �1 � ��� �-�--�

��� 5� 6� 7 ��� 8 �� ��������� �� ����������� 0�� � ���� �� ������ %-�--& �� �������� ��� �������� ����������� %��� ����� �� ���������� ��� ������ ���������& �� �� ���� ��������� ��� �� ����� ������ �� �� ���� �� ��� �� ������� %-�;>& ���%-�-"&� $��� ������ ����� �� ��������� �� �� ��������� �� ������ ����� $�� ����������� � ��� ����

��� � 7 ��� � 7 ��� � � �-�-4���� � ��������� � 7 ��� � 7 ��� � � �-�-3�

$����� � ��� � ��� �������� ����� ���� �� ���� ��������� �� ���� ��(���� ��������� 5� 6� 7 ��� 8� $� ���� ��

��7� � � � 7

�������7� � ���1� � 7

���� ��� -

1-���� �� ; � �� 1 � �� �� � 7

��������� �

�� 1

1� 3����� � 1���� � 7

�������������������

�-�-6�

��� �� ����� ����

7 7 7 "

7 1 7 7

� ; � 1 � "

3� 1 7 7

�����

�����

�����

����� �

7

7

��� -��1-������� 1��1����

�����

����� �-�-?�

��� �����

� � � ��

"1���� � � 7 �-�->�

� � �� ;

1-���� � � 7 �-�47�

,������� � ��

��� ��

1-����- � 1�; � �� ;� �-�4"�

��' ��� ������� � ���������� ��������

Page 19: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

$��� ������ ���� ��������� �������� ������� �� ��� �� ������������������ ���� ����� �� ���� �� �� �� ������� ������ ��� ������������ �� �������� ���� �� ������� ������������������ ���� 1� �� �� ���� ��� ���������� ��������� ������%-�4"& ���� �������� �� ����� ������������ �� �� ��� ������� �� ,��� -�""� $� �������� �� �� ��8������ ������ %-�-;& ������ ��� ������ ������ ��������.� ����������� ���� ���� ���������� ������� ������ �� �B������ �� �� ��������� �������� ���

!� �� ��� � ��� ���������� �� �������� ��� �� �� ��������� ����� ���� � ��� ������ �� ������������ �� �������� �� ����� �������� �� ���� � ������ ��� �� �������� ����������� �� ����� ��������� ������ %"�1?&� /� �� ��� ������ � ����� ���� ����.� ������ ��� �� ���������� ������ %-�-;&� ���� ����� ��� �� ������ �� ��� ���� ����� ���������� ���������� ���������� �������� ���������� �� ��(� ���� ��������

�� ��� �������� ������� �������� !�� ��������"����� �� ���� ����������

,�� �� ��( �� ������� � ��� �������� �� ��� � ����� ����������� @����� �� ������� ����� �� ��� �� ����������� ����� ���� �� �������� % ������ %-�;3&& �� �� ���� ������ �� ���� ���� %-�-;& �� � ����� �� ��� ��� � ������ �� ��� (��� ����������� ���������� ��� $� �������� ��8������ ������ %-�-;&��� ��� ������ ��� �� �������� ���������� �� �� ����� ������� ��8��� ����� $������ �� �� ��� ������� � �������� ���� ������ �������� �� ������� ��������� �� ��������.���� �� ���� �������� ,�� �� ��� �� ������ �� ��� ���������� ��� ������ ������ ������������

������� � �� ���#��� �� � ����� ���������� ������� ���� ������ ����� ���� �� ����� �� ,��� -�"1� $� ���� ��� ��� ���� ����� ������ �� �� �� ��� �� ������ ���������� �� �� ��� �� ��(� �� ��� �� �� ���������

A

By

z

q

l

���� ����

����� �� ������� ���������� �� ����� ���

Page 20: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

/�������� �� �� ��� �� ����������� ������ �� ���� ��� �� ����� �� �� ��������������� �� ���� �� ����� ��������� �� ��������% ������ %"�1?&& �� �� ��� ����� �� ������ %-�;3&� /��������� ������ ����� �� ��� �� �� ��� ���� ��� �� ������ %-�;3& � ������ ������ %-�;?& ���� �� ������ �� ������� ��������� ��� ��� ��� ���������� ��� �������� ���� �� ����������� ������ �� �� ���

G� �� ��� ��� � ����� ���( �� �� ���� ��� ��� �� �� ����� ������� �� ������ %-�;?&� + ������ (��� ����

��� � ��������� �-�41����� �� � ������� ,��� -�";� � ��� ������ ���� ���� �� �� ������� ���������� ����������

��� ����� � � �����

�-�4;�

y

z

q (z)

l

���� ����

y

z

duy

dz

φ

0

���� ���

��� ��� ������� � ���������� ��������

Page 21: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

$��� ��� �� �������� �� � ����� ����� ������ ��� � ������� ���� �������� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ��� $����� � ����������� � ����� �������� ����� �� �� ��� ����� ����� �� ������ %-�;?&� �� �������

������ � �� �-�4-�

��� � ��� �-�44�/� ����� �� ������� �� ����� �� �� ��

������� �� �-�43�

:����� ������ %-�41&� ��� �� ����������� ������ %1�46&������ ���(� �� ���� �� �� ������ ��� ������ �� �� ���� ���� ���� ����� � ���

�����

� �������� �� � � �-�46�$��� �� �� ���� ���� �� ���� ��� ����� ���� ��� �� ������ %-�;?&

�� C�� ������ �� ����������� ������ �� �� ��.� ���� $��� �������� �� � ���� ��������� �� ����� �� ,��� -�"-� + ��� ���� ��� ���� ���

���7� � 7 ��� ���7� � �����7� � 7 �-�4?���� �� �� ����� ���� ��

���� � ���������� � 7 ��� ���� � �������� ��� � 7 �-�4>��� ���� ���� ���

������� ��� �7 ��� �������� �� �7 �-�37��� C��� $������ ���� �� ���� ��� ����.� ������ �� �� �� ������ %-�-;& �� ������ )� ������ ���� ���������� �� ��8������

y

z

q (z)

���� ����

����� �� ������� ���������� �� ����� ��

Page 22: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

������ �� ��������� ������ %-�-;&� � ��� ��( ���� ������� ������������ �������� ����������� ��� ������� %-�4?& ��� %-�4>&� �������� �� ��������� �� ����������� $� ���� �� ��� �� ��������� ����� ���� �� ��� �� ������ %-�37& ������ ��� ��� �� �� �� 5� ���� ���� ������� ����������� �� �� ���� ������� �� �� ������ ��� �� �� ��� �� ����� ��� �������� �� � ����� �����4

������ ��������� ���� �� ���� ���� �� ,��� -�"4� $��� �� � ������� �� �� ��� ���� �� ��� ����� �������� �� �� ����� ������� /� �� ���#�� �� � ����� ���� 9 �� �� ���� �� �� ����� /����� �� ���� �� �������� ��� ��� �B������ �� �� �������� ������� �� ���� ���� ���� ��� ���� ����� �� ����� ��1� G� �� ��������� ��� ���� ����� �������� ��� ���� �� ������� ��������� ����� �� ���� ���� ���� �� �" ��� ���� �� �� ����� �� �� �1� $���������� �� �������� %"�1?& ��� � ������ �� �������

���1

7

������" ��

��" ��

��

��1

������1 ��

��1 � � ������1� �-�3"�

���� �� ������ �� ��������� �� �� �� ����� �� �� ���� ���� ����� � ��� �� ����� �� �"���1� � �1���1� � ����1��

���� ���������� ������ %-�3"& ���� �� ������ �� �������� ������ ��

�������" ���" ��17 ��������1 ���1 ���1���������" ��" ��17 ���������1 ��1 ���1

����1

7

��������" ��" ��

��

��1

��������1 ��1 � � ������1� �-�31�

A B

P

l / 2l / 2

���� ����

4 /� �� ����� �������� ��� ���� ��� �� �������� �� ,��� -�?� ����� �������� ������������ �� ��������� �� ,��� -�4� �� �� ����� ���� � � ����1���1� $��� ������� �� ����� � ����� ���� ���� �� ���������� �� ���� ��������� ����� ������ �������� -�;�

��� ��� ������� � ���������� ��������

Page 23: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

0��� ��(��� ���� ������� �� ��������� �������� ����������

��"�7� � 7 ��� ���7� � ���"�7� � 7 �-�3;���"���1� � ��1���1� �-�3-���"���1� � ��1���1� � ���"���1� � ���1���1� �-�34��"���1� ��1���1� � �������"���1� � �������1���1� �-�33�����

���"���1� � �������1���1� � � �-�36�

��1��� � 7 ��� �1��� � �������1��� � 7 �-�3?������ ���� �� �������� ��� �������� ������ �� �� ��� �������� �� ���� ��� �� �� �� ��� � ��� �� ���������� �� ���� ����� �� �� ����� � �� �� �� �� ������

���1

7

��������" ��" ��

��

��1

��������1 ��1 � � 7 �-�3>�

$��� �������� �� ������ ������� �� �� ��������� �� �� ��8������ �������

��������" � 7 ��� �

�7��

1

��-�67�

��������1 � 7 ��� �

��

1� �

��-�6"�

������� �� ���������� ���� �� ������� %-�3;&5%-�3?& �� ������ ���� ����� ���������

�"�� � �; � �1 � ��� ��� ��7��

1

��-�61�

�1�� � �; � �1 � ��� ��� ���

1� �

��-�6;�

�� ���� �� ��� �� ���� �� �� ���� ��������� 55:� /� ������ ����

�"�7� � 7 ��� ��7� � ��"�7� � 7 �-�6-��"���1� � �1���1� �-�64��"���1� � �1���1� � ��"���1� � ��1���1� �-�63��"���1� ��1���1� � � ������"���1� � �������1���1� �-�66�

����� �� ������� ���������� �� ����� ���

Page 24: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

�������"���1� � �������1���1� � � �-�6?�

�1��� � 7 ��� �1��� � �������1��� � 7 �-�6>�,������� � ��� ����

�"�� �""

>3

���; � ;

;1

��

���1 ��� �

�7��

1

��-�?7�

�1�� � � 4

>3

���; � 4

;1

��

���1 � �� 1

?���� �� ;

-?���

��� ���

1� �

��-�?"�

$�� ��� ��������� ������� ��� �� ������ ��������� ����� �� ������ �������� ���� ��������� 0���� ���� �� ����������������� ��� � ����� �� � ��������������� ���� �� ������� �� ���������� ������

��# ������� �� �������� �� ������� ������ �� �������������� ��� � ���� !�� � ������� �����

+ ��� �� ���� ���� �� �� ������ ��������������� �� ������ �� ��� ������� �������� �� ����.� ��8������ ������ %-�-;& ��� � �� ���� ������� B����� ���8��� ���� $� �������� ���� �� ������������ � ������� ��� ���� ������� ������� ��� ������ �� �������������� �� ����� �� ��������� �������� �������� � �������� ����� ������� ������� ���� ���#��� �� � ���� �� ��� ���� �� ����� ��,��� -�"3�

$� ���� ����� ���� �� �������� ��� � ����� ���� �� ����� �� ���� ���� �� �� ������ �� �" ��� �� �� ��� �� ���� �� �1� $� ������

P

z

y

l

d1 d2

dx

���� ���!

��! ��� ������� � ���������� ��������

Page 25: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

������ �� �� �� �� �� �� ���� �� ����� ��� �� ��� �� �� ����������� �� �� �������� � ����� �� �� ��

���� ���;��

"1�-�?1�

$� ���� �� �������� � ��

��� � �" � ��1 � �"�

��-�?;�

�� ����������� �� ��� ��������� �������� � � �1��" ��� � ���� ��� ����

��� �� � �"�" � ��� "� �-�?-���� � �7� " � ���� ����� ���� ��� � ����� �������� � ��� ��������� ���

��

�� ��

�� "

��

��-�?4�

,�� �� ���������� ��� �� �� ���� ��� ����� ������� ��������� � � ��� ������� �� ���� �� �������� ��� � ��� ������( ����� �� ��������.� ��� �� �� ��������� ����������� ������ -�1� :������� �� ���� �� ������ -�-� � ��� ������ ������ ��8������ ������ �������� �� ��������� �� �� �� ��

"

� 1�

�1

������� 1

�1����1

�� ��� �-�?3�

�� �� �� ����� ��� �� ���������� ���� ��� �� ������ %� ��������� ����� �� �� �������� �������� �� ��������� �� �� ���������� 9&� �� ���������� ���� ������ %-�?3& � ��

"

������� 1

�1����1

�� �� �-�?6�

������� 1

�1����1

�� �� 1 � �� �-�??�

$� �������� �������� ���������� ��

��"� � � "

������� 1

�1����1

�� � �-�?>�

��"� � �������� 1

�1����1

�� 7 �-�>7�

����� �� ������� ���������� �� ����� ��"

Page 26: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

���� ���� ������ � ���

��� � � � � � ���

�-�>"�

��� � �� � 7 � � � � �-�>1��� ����

������� 1

�1����1

�� ���" � � �-�>;�

�� ����� �� ������� %-�?1& ��� %-�?-& � ��� ����

"

� 1�1���

�1� ��

������" � � � "1��

�� �;"

�" �

�" � ��� "� ;�

�-�>-�

$� ���� �� �� �� ��� � ������� �� ���������� ������ %-�>-&�� �������

��� � � "

�����

�� "1�� 1

�� �;"

�1 � �� 1� � 1

1��� "�1�" � � � �1 � ��

�-�>4�

$� �������� � �� ������� ����� �� ��������� ������� �����������������

��� � � "

�����

� 7 �� � 7 �-�>3�

@��� � ���

� � � �1 � ��1��� "�1 �-�>6�

��� ������ %-�>4& ����

��� �� � � "

�����

� � "1�� 1

�� �;"

��1 � �� 1�1�" � �� �1

��-�>?�

$� �B����� �������� ��� �� �� �� ������� ��� ������ %-�>?&��� ����� �� ����������� ����

��� �� �"1�� ;

�� �;"

��"�� ���1�� ��

���

�-�>>�

��# ��� ������� � ���������� ��������

Page 27: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

���

�"�� �� � �;1 � �1 � -�11 � 4�1 � ;� � �� 11 � 1

� 1�" � � � 1� ���" � � � ��1�� �� � 1�" � � � ���� "�;

�-�"77�

���������� �� �������� � ��� �� �������� ���������

��7� �� � 7 �-�"7"�� ���

� � � �

1��� "�; �-�"71�

�� ���� ������ %-�>>& ��

��� �� �"1�� ;

�� �;"

��; � -�1 � 4�� 1�1 � 1�" � ���1�" � � � � ���" � � � �1�" � � � ���� "�;

���

��� �-�"7;�

$� ��� ����� �������� ����� ��� ������ %-�"7;& �� �� ������ �� �B����� �� �� ��� �� � �������� ���� � ������ ���� �"� /������ ��� � " ��� � � " ������ %-�"7;& ����

��"� "� �-�� ;

���;"

�-�"7-�

,����� -�"6%�&5%�& ���� ������� ������ ��� �� �B����� ����� ���� ��� ����� �� � � "� 7�4 ��� 7�74� ����������

/� ��� ����� �� ���� �� �� �B����� ��� �� �������� ��������� �� �� �B����� �� �� ��� �� � �������� ���� � ������ ��������� �� ��� �� ��������� ����� ��� �� ������ �� ������ %-�"7-&�$� ���� � � 7�74 ��� �� ����� ���� �� ���� �� � � 7 ����� ����� �� �� �������� �� ��� �� ���� ��� ������ �� �B��������� �������������� ���� �� �� ����

$� ��������� �� �� �������� �B����� �� �� ��� �� �� ������������ �� ������ � �� ���� ��

���"� �� � ;

��; � -�1 � ;�� 1� �����

1���� "�;�

�-�"74�

,���� -�"? ����� ������ ��� ������ %-�"74&�/� �� ���� ���� ��� ��8��� ��� �� �������� ���������� �� ��

���� �� �� ������ ����� �� �� ����� �� ���������� �� �� ��8� ����� ������ ��� ��� �� ������� /� ���� � ���� �� � ������ ����� ������� �� ������ �� �������� ���������� @�����

����� �� ������� ���������� �� ����� ���

Page 28: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

1·0

0·8

0·6

0·4

0·2

00 0·2 0·4 0·6 0·8 1·0

ζ

u (ζ

)

(a)

α = 1

2·0

1·5

1·0

0·5

00 0·2 0·4 0·6 0·8 1·0

ζ

u (ζ

)

(b)

α = 0·5

6

5

4

3

2

1

00 0·2 0·4 0·6 0·8 1·0

ζ

u (ζ

)

(c)

α = 0·05

���� ���"

��' ��� ������� � ���������� ��������

Page 29: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

��������� ���� �� �������� � ���� ������ ��� �� �� ����� ������� ����� ����� ��� � ������ ��������� $� ��� ������ ����� �� ���� ����� �������� �� ��������� � �������� �� �� ���� ��8������ ������ �� ����������

��$ %��������� ������� �� ������� �"����� �� �������������� ���& ��� ������ �� '��� �(������

/� �� ��� ������� ��� ���� ���� � ������� �� �� ������� ���� ���� �� ����� ���������� ��������� �� ���� �� ���� ����� /����� ���� ����� ���� ��� �� ���� ���� ��� �� ��� �������� ����������� �� ���������� �� ���� ����� ��� ����� ���� ������������� �� ������ �������� ���������� ��� �������� *���� �������������� ���������� ������� ��� ������� �������� ���������� ����������� �� �� ��8������ ������� �� �������� ����� ��� �������������� ���� �������� ��� ���� ����� ��� ����� ��� ��� ��� ������� ���������� ��� ���������� �� ���� ��� �������������� ��� �� ������� ��� �� ����� �� �������� �� �� �������/� �� �������� ��������� �� ������ ��������� ��������� ��� ����8������ ������� �� �������� ��� � ������ �� ������ ���������� ����������� $��� ��� � ������ ����� �� ���� ��8�������� 0������� ���� ���� �� ��� ��� ����� �� ��������� ����� ��� ����� ��������� ������ ����� �� �� ����� ���������� �� �� ������� ���� ��� �� ���� ���� �� �������� ������� ���� �� ������� ���� ���������� �� ���� ��� �����

@����� ��� �� ��( �� �������� �� ���� ���� �� ����������� ������ �� ����� �� �� ��8��� ���� ��� ������ ����� ��� �� ���������� �� �� ���������� �� ��� ���� �� ������ ������ �� ���������

���� ���#

����� �� ������� ���������� �� ����� ���

Page 30: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

,���� -�"> ����� �� ���� �� � �������� �;�< �� � ������� �� $����� �� �� ���� �� �� �������� � �� ������� ������������ �� ��8� �������� �� �� ��������� ���

� ���� � �� �����

�-�"73�$� ���� ��� � ���������� �� �������� $� ���� �� �� �������� ����� ������ �� ��� � ���� �� ���� ����� �� ���� ��������� ����������� $� ���� �� �������� ��� ��� ���������� ������������ ��� ����� /� �� ���� �� ���� �� ������� �� � ��������� $� ���� �� �� �������� �� ��� �� �� ��� �� ���� �� ������� �� ���������� ��

� ������ �"

1�� ���" � ���" �-�"76�

/���������� �� �� ���� ��� ��� ������ ������ ��� �� 7� ����������� ���� ��� �� ���� ��������� �� ���������� ����� $������ ���� ��������� ��� � ������� ����� �� �� ���������,�� ����� �� ����� �������� �� ������ �� �� ����� ������ ������ �� �� ���� �������� ���� �� �� ������ �� ������ �� "� � ��� �� �� " ��� �� ������� �� ����

� ��� ��� ��

��

�� �����

�����

������" � ��

����� � ���"

����

� "

�1� ���" � 1�� � ���" �-�"7?�

h

x

f (x)

(n–1) (n)

(n+1)

���� ����

��� ��� ������� � ���������� ��������

Page 31: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

$� ������ �������� �� ���������� ��

� ����� � "

�1� � ����" � 1� ��� � � ����"

� "

�-� ���1 � -���" � 3�� � -���" � ���1 �-�"7>�

$� ���� ��8��� ���� �� ������ �� �� ����������� �� ��� ���� ������ ����� ������� ����� �������� �� ���� ��� ������#��� �� � �������� ���������� ���� 1� $� �������� �� ������� �� #���� �� ��������� �� �� ���� �� �� �� ���� �B��������� �� ������������ ���� ��� �� ���������� �������� �� �� ������������� ������� � ������ %-�4"&�

��

1

�� 4�� -

;?-���� �� -

63�?���

����� �������� ���� ,���� -�17 ����� �� �������� �� �� ���� ����� �� ��� �� ������� �� ��� ������� ��� ������� ����� ��� ���� �� ���������� ����������� $� �������� ���������� �� ����� �� ���� ��� ������ �� �� �������� �� C�� �� � 7 ��� � ��� ���� �� ������� ������ �� ��������� �� ���� C�� �� ��� ����������

$���

��7 � ��- � 7 ��� ���" � ���"� ��4 � ���; �-�""7�$� ���� ������ %-�-;& ��� � ������ �� ��� �� ���� ��8���� ��

l

EI

zy

q

–1 0 1 2 3 4 5

h = l4

���� ���'

����� �� ������� ���������� �� ����� ��

Page 32: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

��� �� �� ������� ���� �� ����� �� ������ %-�"7>&� @���

���� �

���" � -��7 � 3��" � -��1 � ��; ���-

���

��� �� ������

� � �

-� � � �� -

143���

� ���� ��(��� ���� ������� ������ %-�""7&�

4��" � -��1 � ��; � �

*��������

���� �

�-��" � 3��1 � -��; � �

����

��" � -��1 � 4��; � �

$� ������� ��������� �� ������������ ���� �� �B������ ���� ���� ��� �� ������ ������� ��� � ��� ���� ����� ���� ��

�� ���� � ��� �-�"""����

�� �4 �- "

�- 3 �-

" �- 4

��

�� ��� �

��"

��1

��;

��

�� ��� � �

"

"

"

��

�� �-�""1�

$� ����� �� �� �B������ �� �� ���� �� � ������� ��� �� ���� %-�"""& �� ���������� �� ������ ��

���� � �� �"��� ����� ����

��"

��1

��;

��

�� � �

1�4

;�4

1�4

��

��

��� �� �B����� �� �� �� ���� ��

��1 �;�4

143

�� -

���� �� -

6;�"���

$��� �� ������ ����� 4A �� �� ���������� ����� ����� �����

��� ��� ������� � ���������� ��������

Page 33: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

���� �������� ���� � ���� � ���� �����$� �������� �� �� ������� �������� ��� � ������� �� � ������� ��������� �� ���� �� ���� ������� �� �� ���� @��������� ���� ������ �� ������� 8��� ��� �� ������� � ����8��� �� �� ��������� �� �� ��� ��� �� ������ ����� �������� ����� �� �� ��� $��� �� ���������� �� ���� ���� �� ����������� ���� �� ������� ���� �� �� ��� �� ������������� ����� ������������ �� �� �� ����� $� �������� �� �� ���� ��8������ �� ����� �� ,��� -�1"�

$� ����� �� ������ ����������� �� ���������

��- � ��1� ��4 � ��"

0��

� � �

3� � � �� -

"1>3���

$���� ������ ���� ��� �� �� ���� �� ����� � ����� ������� �������� ������ %-�"""&� ��� � �������� /� ���� ���

�� �4 �- "

�- 6 �-

1 �? 3

���

���

��� �� �������� ��

���� � �

?�64

"4�7

"6�14

���

���

$� �B����� �� �� ���� ��

��; �"6�14

"1>3

�� -

���� �� -

64�"���

–1 0 1 2 3 4 5 6 7

Symmetry

���� ����

����� �� ������� ���������� �� ����� ���

Page 34: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

����� �� ������ 1A �� �� ���� ���������� ���� ���� ����� ������ ��� ����� �� �� ����� ��� �� �������� ��� � ������� ����������� �� ���� �� ���� �� �� ����

��) %����� ����������� ��� �������� ������������� ����� �� ������� ������ �� ��������� ���������� �� ��������������� �� ��� ���������� @����� ��� ������� ������ � ������ �� �� ����� �� ����� ����� ��� ��� ��� � �������� �� �$$�������$��������� /� ���� �� �� ��� ����� �� �� ������� �� ������ ����� �� ��� ����� �� ,��� -�11�

+ ���� ���� �� ��� ������� ������������ �� �� �� ���������� � �������� �� C�� ���� �� �� ���� �� ���� ������� G� ����� ������ ���� �� ���� �� �� ������� ������� �� ����� �� �� 6�� ����� �� ������ � ������� ��������� ����� ��� � �������������� �� ����� �� ,��� -�1;�

��� �� �� ����� �� ������ ������ �� �� �� ���� ����� ������ � ����� ������������� $� ���������� ��� � �������� ������� ����� �� ��� �� ����.� ������ �� �� ���������%-�-;& �� ��� �������� ���� ���� ��

�������� � 7 �-�"";�

������� �� ��������� �������� ���������� �� �����

��7� � 7 ��� ����� � 7 �� � �-�""-����� � �� ��� ������ � �� �� � �-�""4�

A B

���� ����

A

Buy

φ

���� ���

��! ��� ������� � ���������� ��������

Page 35: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

���� �� ���� ���������� ��� ��������� �� �� ���������� � ��

��� � �� ��

� 1� 1��

� ;

�; �

� ��

�� ;��

� 1

�1 �-�""3�

)� ������� �� ���� ��������� �� �� ���� ������ � ������ ����� ������ ���� 0� $��� ��� � ��������� ����� �� �������� �� ������ %-�;;&

� � "

1

��

7

������

1 �

������ �� ��� �� ������ %-�""3& �����

� � "

1���

�- ��1

�� "1 ����

� 1� "1��1

� ;

��-�""6�

@����� �� ����� ��#�� ���� �� �������� �� �� ������� ����% ������ %-�""6&& ������ �������� � C��� �� �� �������� �� ������� ���� �� ���� � ���� ����

�� � � �� �-�""?���� �� ��� ��� ��� �� �� �������� ������ ������ ��� �� �� ������

� � 7 �-�"">���� ��������� ���� �� ��� ����� �� ������ ���������� /� ����� � ������� �� ������ �� ��� ����������� � ���� �� �������� �� ���� ������� ������������� :����� ���� ��� �� ������ �������� 1� ������ 1�;� � ��� ��� ��� ����� ����

%�& �� ���� �� ���������� �������� ��� �� ����������� ���������� ���� ��'���� �� ����� ��� ����� ���� ����������%��� �� �� �������� �����������&

%�& �� ���� �� ���������� ���������� ��� ��� �� ������������� ���� ���� �� ���� %�� ����������� ����������&�

/� �� ���� ��� ��� ��������� �� ��(� ����� =������ ��������2 ����������� �� �� (������� �� ����� ����� ������ �� ������ 1�$��� �� �� ��� ����� �� ,��� -�1-�

)� ����� �� ������� �� ������� �� �� ���� ��� ����� ����� ������������ ����.� ������ �� �� ��������� ���� �� ���������

����� �� ������� ���������� �� ����� ��"

Page 36: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

�������� ����������

��7� � 7 ��� ������ � 7 �� � �-�"17�

���� � �� ��� ��������� � 7 �� � �-�"1"�

+ (��� �� ��� ����� �� ���� ���� �� �� ����� �� ������ ����� ���������� �� ����������� �� C�� %������ 1�;& ��� �������� �� 8� ����� C��� $� ��� �� �� �������� �� ,��� -�11 ��� -�1; ��� �� ����������� ���� �� � ���������� ��������� ����� /� ���� ��� ���� �� ����������� �� �������� ��� � ����� ���� ��������� ��������� ��( ����� �� ����� ��������� ���H�� �������� �� ������� �� �� 6 ��� ���� ����� �� ��� �� � ��������� �� �� ����� ���� I������ � ������� ���� �� 6 � ��� ��� C�� ����� �� �������� ��� ��� �� �� ���� ����� ����� ������ �� ���������� �� ����������� $���� � ���

����� ����� � ���������� � ���

�3��

� 1� - ��

��� 7 �-�"11�

� ��� � ���� � �������� ��� � ���

�"1��

� ;� 3 ��

� 1

��� 7 �-�"1;�

0���� ���� ���� �� 5� ��� ��� � 7� � ���� ��� ��� C�� ����� ����� �������� �� �� ��� ���� $�� ��

����� � ���7� � �������7� � ���

�3��

� 1� 1 ��

��� 7 �-�"1-�

� ��� � ���7� � ������� �7� � ���

�� "1��

� ;� 3 ��

� 1

��� 7 �-�"14�

+ ���� ��� � ���� �� �B����� �� �� �� ��� � ����� �� ���������� ������� �� �� ������������ ,���� �� ��� �� ��� � ������ ������� �� ����� ������������ �� �� �� �� �� �� �� ����� ���������� �� ���������� � �������� ��� �� 5 ��� ���#�� �� � ���� � ��� � ����� �� �� �� �� 6� ��� �� ����� �� �� ��� ��� ������ ���� �� ������� %-�"11& ��� %-�"1;&� $��� ����� ��� ��������� ������� �� ��������� ��� �������� ���������� �� 6 ������

uy

���� ����

��# ��� ������� � ���������� ��������

Page 37: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

�� �� ��� �������� ���������� % ������ %-�""4&&

���������� � ����� � ���

�3��

� 1� - ��

��-�"13�

�������� ��� � � ��� � ���

�"1��

� ;� 3 ��

� 1

��-�"16�

��� �� ����� ����� ��� �� �� �� � ��������� ����� �� ���������� �� �� ������ �� ������ ���� ��� �� �� ����� �� ,���-�14� ����� �� ������ ������� ������� �� �� �� �� ,��� -�1;�

+ ���� �� ��������.� ����

� � "

1� ��� "

1�� ��

� "

1���

�"1��

� ;� 3 ��

� 1

���� "

1���

�3��

� 1� - ��

��� �-�"1?�

��� ���� � ����� ������

� � "

1���

�- ��1

�� "1 ����

� 1� "1��1

� ;

��-�"1>�

$��� �������� ����� ��� �� � �������� �� ���� �� ������ %-�""6&�/� �� ��� ���� ����

�� ���� ���� � ����� � �� ������� ��������� ���� ��� �� ������ � �� ��� ���� �� �� ������� �� �� �������� ���� �� ��������� ��������

/� ���� ������ �� ������ ���� ����� �� �� �� ������ ��� �����( ���� � ��� ����� ������� �� ���8��� �� �� �� �� ������ ����� � ���� ��������� �� �� ����� �� 6� $����� 0 �� ���C��� ��� �� �������� �� ����������� �� ���� �� ��� ������� ��> �� ���� ��� C���

/� ������ � ���� ���� �� �������� �� �� ��������� �������%-�"11& ��� %-�"1;&� �� ����� ��������� �� �� ������ ���8��� ������ � ���� ���� ��� ����� ��������� ����� ��� ���� ����� ���� ������ ���� ��� ���� ������ �� ��� ��� ���� ������� ��� �� �� ������������ �� �� �� �� ���� ������ � ����� ����

R

M

���� ����

����� �� ������� ���������� �� ����� ���

Page 38: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

�� �������� �� �� �������� �������� ��� � ������� ��������������� ��� � �������� ������ �� ������ �� �� ��5 �� �� �� ����� ��,��� -�13�

$��� �� � ��������� ����� ��������� �� ���� ����� �� ,��� -�1;��� ��� �� ���� ���� �� �� ������� ����������� @���� ���������� �������� �������� ��� �� �� �� ���������� �������� ��� �� ����������� �� ���� ����� � ���� ����� �� ������ > ��� �� �� ��� ��� ������� �� ���� ������� �� ����� �� �� ���� ������������ �� �� ������

+ ��� ��� �� ���� ��������

������ � ���7� � ���

�� 3���

� 1� - ���

��-�";7�

�� ��� � ���7� � ���

�"1���

� ;� 3���

� 1

��-�";"�

������ ����� � ���

�� 3���

� 1� 1 ���

��-�";1�

�� ��� � ���� � ���

�� "1���

� ;� 3���

� 1

��-�";;�

��* �(��� �� ����������� ���&��/� ����� �� ���� ������ �� ���� ������� � ���� �� ��� ���B� ���� ��8��� �� ������� ������ �� ���� ��� ���� /� ������ "�1 ������� �� �������� �� �� ���� �� � ��� ����� � ���� �� �� �������� ���� �� ������� �� ��� ��� ������� ����� ������ ����� ��� � ������� ������ �! � ! � !7� $��� ��� � ������

A

B

uy

φ

���� ���!

� ' ��� ������� � ���������� ��������

Page 39: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

%"�";&�

��! � � �� � ��! � !7� � "1 "��

1 � "�����! � !7�+ �������� �� C�� ���� �� ���� �� �� ���� ���� �� ! � !7

��� � � � �� $� ����������� ���� �� ��������� �� � � � � � ����� ������ ����� ��� ��������� �� ������� �� ���� �� ������%"�"1&

�� � �

"� ���! � !7�

��� ? �� �� ����� ���8��� �� �� ��� ��� � �� �� ��'���� �� ���������� ��������� ����� ��� ���� ������ �� ������� ��� ��������� ��������� ��� �� ������ ��� �� ���� + ��� ������ � �� ����� ����� �� �� ����� ���8��� ? �� �� ��� ���������� ������ %-�4&� ����

��! � � �� � ��! � !7� �"

1

��

���1 � ��

������! � !7� �-�";-�

����������� ������ %-�";-& �� �� ���� ���� �� ���� �� �� �� ��������� ��� �� ���� ������� ���� ��

��! � !7� �-�";4�������� �� ��� ����� �� �� ��� ��� �� ������� ����� �� �� ���� ����� �� ������� �! � ! � !7� $� ����� ��� ����� ���� ���

"

1

��

��� 1 � ��

������! � !7� �-�";3�

������ �� ��8��� ���� �� ������ %-�?& ��� �� ���������� 0 ����� ����� ��� �� ����� �� �� ��� �� �� ����������� � � � � � ��� �� � ���� ��� �� �� ����������� �� ���� ������� ����� � ��� �� ��� � ��������� ��� $��� �� ��� � ��� ����� ��

��

������! � !7� � ����! � !7� �-�";6�

��� �� �� �� ������ �� ���( ��� �� �� ����� ���� � �� �� 8���� ���� ���� �� �� ��������� �� �� �� ����� �������� ����� $������( �� ��� �������� ����� �� ������ ���� �� �� ��� ��� �� ������������ ������ %-�?&� $� ���� �� ���� �� � �� �������� ��������� �� (����� ���� � ��� C�� ����� $������ ��� ������ (������ ����� �� ��� �� 8�� �� �� ������� �������! � ! � !7 ��� � ����� �� �� ���������

���! � !7� �-�";?�

����� �� ������� ���������� �� ����� � �

Page 40: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

�� �� �� ������ ;�1� �� ��������� ����� �� ����� �� ������%-�";?& ���������� � ����� )��� =���� ���� �� ��$�� � ��� �$$���������� *��� ������� �� ������� ����� �������� ������� /� �� ��� ������� ������� � ��� ����� ���������� �� ����� �� ������������� �� ������ �� ��������� ��� ��� �� �� ����� �������� ���� ���� �� ��� ���������� $��� � ��� ��� ���� �� ����� �� �� ��' ���� �� ����� ����� �������� � �� ���� ��� � ���� ��� �� ��������� ����� ������ ������� �� ��� ��������� �� ��� �� �� ���� ��

�� � � � ��! �-�";>�/� �� ���� �� �� �� ����� ���� ���� �� ������ �� ��� ��������� ����

������ ���� ��� �� ���� ���� ����� �� �� �� ������� �� �� ��������� �� ������ %-�";4&� $� ���� ����� �� ���� #� �� ���� ���� ��������

# � �� � � � ;��! �-�"-7�@����� � �� ��� ���� ������� ���� �� ���� �� ��� �� �������� ,�� ����� �� �� ��� �� �� ��� ����� �� ,��� -�16� $������ �� ����� �� ��� �� ��� �� ���#�� �� � ������� �������! � ! � !7� $� �� ����������� ����� ��� ������ �� �������� ���� ���� �� ������ � ���� �� ������ ������ �������� �� ������� ������� �(� �� ����� ������ ��� �� C��� ,�� � ��� ������ �������� � ���

�� � ���! � �

��� � 7 �-�"-"�

��� � �� �� ����� ���� ������ �� �� ��� �� �� �� ���������� ��� ������ �� ����� �� ,��� -�1?�

$� ���� �� �� ����� ���� �� �� �� �

� � ���! �� �-�"-1����� �� � �������� ���� ����� ������� �� ����� ��������� �� ���� ���� ��� ������� �� ���� �� ���� ������ �� �� ����� ���� ����� $� ���� �� �� ��� ��!� ��

��!� � ��! � !7� �"

1

��

����! � !7�� 1 �-�"-;�

ΔT = T – T0

l

���� ���"

� � ��� ������� � ���������� ��������

Page 41: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

��� �� ������� � �������� ���� �� �� ������� � %�� ����� � �����&� $� ������� �� �� ������ ����� ���� �� �������� �� � ������ ������ �� � ��� ����D ���� �� ������ �� � ��� ���7�4 ����� ���� �������� ��� �� 14771� /� � ��� ���� ��� ��� ������� ��� ���� ��� ������ �� ���� � ���� �� ������%-�"-1& �� ��� �� 1-- (0 %��� ��� ����� ���� 7 �� ��� "77 ���� ��'���� � ��� � ��(� ��� �� ""�3 � "7�3 ���" ��� �� �� ���� ��� ��(� �� 1�" � "74 0H1&� ,�� ���� ����� �� ����� �������� ����� ������� ��� ������ � �������� ������� �� ��� ���� ����� ���� ���� �� ����� �� ����� ��������� ��( ������ ��� ���� ����������

�� � ����� �� ������ "� ��� ����� �� ����� ����� �� �� ���� ���� �������� �� ������ $����� � �� ��� ������ ������� ������ ��� ������� ���� �� �������� ��� �� ���� ���� ��� ������ ������� ��� �� �������������� ��( ���� ��� ������ ��� ������ ����� �� ��� ���� �� �� ������� �� �� ���������$��� ��������� �� ������� ��� ����������� ��� �� ��������� �� ������������� ������� ��� � ��� ���� ������� �� �� (������ 8����� ������� ������� ��� �� �������� ��� ����� ������� ����� ���� ����� /� ���� ���� � ��� ����� ����� �� ��������� �� � ���� �������� �� ����� �� ����� �� ����� �������� ���� �� �� ����� �� ,��� -�1>�

,�� �� ��( �� ���������� ������� � ���������� ����� ������ ��������� ���� �� ������� �� �� ���� ��� �� �� ��� ����� ��������� ����� �� �� ���� �� !1� ���� �� ������� �� �� ����

N N

l

l + αl ΔT

���� ���#

l

AB

T2

T1

���� ����

����� �� ������� ���������� �� ����� �

Page 42: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

��� �� !"� ���� ����

!1 � !" � !7 �-�"--�!7 ��� �� ������ �� ����� ��������

+ ������ ���� ���� �� ������� ������� �� �������� ��������� ���� �� �� ����� ������� ���� �� �� ������� ����� ����������� �� ���� �� � ���1 ��� �� ���� �� � ��1� �� ������� ,��� -�;7�

/� �� �������� �� ����( �� ���� � ���� �� ����� ������ �� ���� ������� �� �� �� �� � ������ ������� ���������� ���� ��

�! � !" � !1

1�-�"-4�

��� � ����� ������� ��������� ���� �� ����� ��! ��� � ��! � ���

��! � !1 ��!" � !1�

1� !1 � !"

1�-�"-3�

� ��! � !" ��!" � !1�

1� !" � !1

1�-�"-6�

�� ���1 ��� ��1� ���������� $� ��������� �� ������� �� ,��� -�;"�

Hx

yT1

T2

���� �� '

T1

T2

= +

T +T

–T

T =

=

–T =

T1 + T2

2

T2 – T1

2

T1 – T2

2

T

���� �� �

� � ��� ������� � ���������� ��������

Page 43: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

+��� ����� �� �� ������ ������� ��������� �! � � ��� �������� �� �������� ����� ������� �� ������ ������� �� ���� �� ���� ��� � ���

� � �! �-�"-?�)� �� ���� ����� ���� ����� �� �� ����� ������� ������������� ��! ��� � ��! � � ��� ���� �� ����� ������� ���� ���� �������������� �� ���� �� �� �� ��� � ���

� �� ��!1

��-�"->�

/� �� ���� ���� ���� �������� ���������� �� � �������� �� �������������� ���� �� �� �� ���� ��

"

� �� ��!

"

��-�"47�

����� �� �������� ����� �� ������������ ���� �� �� ��� $������� ����� �������� �� ���� �������� �� ����� �� �������� �� ������� ��������� �� ����� �� ,��� -�;1� ��� �� ������� ��� �� 5 ��� 6 ��

���� � 7 ���� ���

7

� �! � � � �!� �-�"4"�

���� ����1

7

� ��!"

�� � � ��!

1��-�"41�

���� ����1

7

�� ��!"

�� � �� ��!

1��-�"4;�

/� �� ����� ������ ���� �� �� ��� ��� �� �� ��������� �� � ������ �� ������ �� � ��� ��� �� %,��� -�;;& �� ����������������� �� ������� %-�"4"&5%-�"4;& �� ��� ������ ��� ���

AB

T1

T2

���� �� �

����� �� ������� ���������� �� ����� � �

Page 44: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

/� ���� �� ������ �� �������� ���� ���� �� �� ���� � ��� �������� ����� �� ����� ������� �� ���� �� �� �� �� �� �������� ����� �� ������� %-�"->& ��� %-�"47&� +��� ����� �� �� ����������� ������ ���� ������ %-�"->&� � ��� ������ ����� ���� �� ��� ������� �������� �� ������� �� �� �����

��� � �� �! �� ��� � ��� �! �� �-�"4-�+��� ����� �� �� ����� ������ ���� ������ %-�"->&� �� �������� ������ %-�;;& � ��� ���� �� ������ ���� �� �� �� ��

� � "

1

��

7

���

�"

� � ��!

"

�1

� "

1

��

7

���

����� � � ��!

"

�1

� �-�"44�

��� �� �� ���� ����(�� �� �� ������ ��������� ��� ���������� ��8��� ���� �� ����� �������� ��� �� ����� ���

$� ��������� �� �������� ��

�� ���

7

���

����� � � ��!

"

����� � � 7 �-�"43�

���� ��������� �� �� ������� �� ������ �� ������ -�-� � ���� �� �� ���������� ���� ���� ��������� �� ������� �� �� ���������� ��8������ ������

���

����� � � ��!

"

���� 7 �-�"46�

$� ����� �������� �� ���� ������ �� �� �� ���

��� � �; ���� � ��!

"

�1 � ��� �-�"4?�

l

A BT1

T2

���� ��

� ! ��� ������� � ���������� ��������

Page 45: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

��� �� ������� �� �� �������� ����������

��� � 7 ��� � 7 ��� � � �-�"4>���� � ����� � 7 ��� � 7 ��� � � �-�"37�

�������

��� � 7 �-�"3"�$��� ��� ���� ��������� �� �� ��� ��� ������ ��� ����

������ /� ������ �� ������ ������� ������� ������ �� �������� �� ��� ����� �� �� ��� $� ������ ��� �������� ��� ������ %-�"46& �� �� �� � �������� ��� ��� �� �� ���� �� �������� ���� �� �� ����������� 5 ��� 6� ���� ��

���� � ���7� � �������7� � ����

��!"

��-�"31�

���� ����� � ��������7� � ����� ��!"

��-�"3;�

+�&&����� ������ ��������"� � ������ ������� �� �������� ����(��� ���� �� � �� ����� ��

������ �������� �� �������� ������ �� ����� �� ,��� -�;-�$� ���� �� ���#��� �� �� ������ �� �� ����� /������� ��8��� �� �� �� ���������� �� �� �� � ��� �( �� ������� ��� �� �� �� �B����� �� �� ��� �� �� �� ���� ����� � ���� ������� �� ����� �������� ���� �B����� � ������� �� ������������� ������ �� �� �������� ������ �� �$ � -7 (0H1�J���9 � � ""�- K

35 m

3 m

40 m

Δ

���� �� �

����� �� ������� ���������� �� ����� � "

Page 46: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

1� � ����� �������� �� ��� ������������ ������ #���� �� � ����� ��� �� �������� �� ����� $� ������� �� �� ������ ��� �������� �� �� ������ ���������� ���� ����� �� ,���-�;4%�&� $� ������ ��� �� ����� ������ ����� ����� ��,��� -�;4%�& ��� �� �� ��� ��� ���� � ������ �� 174 (0H1� $� ����� B���� �� �� ������ �� �������� �� ������ ��� �� ����(��� ��� 17 �� �17 � %� �� ���� �� ������� ����� ������ �� �� B��� �� �� �� ������ �������� � �� ,���-�;4%�&� �� ��� �� �� ������ �� �� ����� ������ �������� � ��,��� -�;4%�&�

�������� �� � ���� ����(��� � �� �� ��������� ��� ������ �������� �� �� �B����� ���� ���� ����� ��� ������ ������������ �����J���9 % � 1;�>� �� �� ���� �B����� �� �� �������� ���� 63A �� �� �� ������� ���������K

;� $� ��� �� �� � ����� �� �������� �� �� ���� �� � ������������ �� �� ������ ����������� �� ����� �� ,��� -�;3%�&� $��� �� ������� �� �� ����������� ����� �� ,��� -�;3%�& ��� ������� �� ������� �� � ������ ���� � ���8��� �� ? J0HK�

A B

q

D

C

D

15 m

30 m

7·5 m10 m

20 mm

20 mm

400 mm

1·5 m

t

(a) (b)

20 mm

���� �� �

(a) (b)

q

kEI

EIq

���� �� !

� # ��� ������� � ���������� ��������

Page 47: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

E���� �� �������� ��� �� ������� �B����� �� �� �� ������ �� ����� ��(� ������� �� �B����� �� �� B����� ���8���+� �� ����� �� ��� �� ������ ���������� ���� 1�J���9 � � 4�� -��;?-�� � ?"� ;�K

-� � ��� �������� B��� ���� � ���� ������ �� � "" 7770H;� ��� �������� ����� �� " ��� � ���� ����(��� �� "4� $� ��� ���������� �� ;7 �������� �� ����� �� ,��� -�;6� $� B��� B���������� �� ��� ���� ���� �� ���� ���� �� ���� $� B��� ��� � � ������ �� ?7 �� ��� �� �� � ����� ���� �� ���������� �� ����� ��� �� B��� �� �� ������� ������� �� ��� �� ���� ������ ������� ����� ������� ��� ?7 �� �� �� ����� �� �� ����� ����� ������� �� 17 �� �� �� ���� �� �� 5�

�������� �� �B����� �� �� ��� �� �� ���� ��� �� �� ������������ ���� �� ���� ����� �� ��� �� �� � 66 777 0H;��������� ���� �� ����� �� �B����� �� �� B��� B��� ��������� ��� ��� �� ������� ����� �� �� �������� ����� ����� ������ �����J���9 �" � 3�; � �1 � ";K

4� � �������� ������� ������� ��� �������� ���� #����������� �� 6� $� ��� 67 �� ���#��� �� � �������� ��������������� � � 1777 0H� �� ����� �� ,��� -�;?� ���� ���� �� ��

30 m 30 m 30 m

B A

Direction of fluid flow

���� �� "

50 mm diameter

2 m

3 m

A

B C

q

���� �� #

����� �� ������� ���������� �� ����� � �

Page 48: Thomas Telford- Eneergy Methods in Structural Mechanics by F Guarracino CHAPTER 3-Theory of Elastic Deformation of Beams

��� 47 ����� ����� ��� ��� ��� �� ������� �� ���������������� �� 5� 6 ��� 7� $� ������ ��� ��� �� 174 (0H1� E���� � �������� �� ���� �� ��������� �� �� ����������$ �� �� #���� �� 7� ������� ���� �� ���� ������ & ���� ��� �� �� ���� �� �� ���������J���9 �$ � 7�71> ���� & � "�>" � "7�;K

��' ��� ������� � ���������� ��������