thomas telford- eneergy methods in structural mechanics by f guarracino chapter 3-theory of elastic...
TRANSCRIPT
�� ����� � ��� ��� ����������� ����
�������������� ��� ��� �� ��� ������ ���������� ����� ������ �� ����� ������ ��� ���� ���������� ���������� � ��� �� ���� �� � ����������������� ���� ����� �� ������������ ����� ���� ��� ������ ��������� ������������� � ��� �� �� ������� ����� ���� ���� ��� ��� ����� ������ ����� �� ��� ������������ ����� � �� ��� �������� �� ������� ��������� ����� ��� ����� ��� �� ������� �� ���� �� �� �� ���� �� �� ����
!� �� ���� ���� � ��� ����� �� �������� �� ������ ���������� ������������ �� ����� ���� ��� �� ������ �� ������ �� ��� ������ ��� ��������� ������ " ���� �������� �� ������ �� �� ������ ��� ����� ������ ����������� �� ��#���� �� ����������������� �� �� ����� �� ���� �� ����� ������ ��������� ���������� �� ����� �� ������ ������� ��� �� ���� ����� ��� ��������� �� ������ �� ���� ���� �� ������� ��� �������������� ��� ����� � ������ �� �������� $� �������� �� �� ������ �� ��� �� � ������ ������ �� ������ ����� � ���� ����
� $� �� �� � ���� ��� ��� �� ��� ����� ��� � �� ������������ �� ������ ��������
� $� ���������� �� �� �� ��� � ���������� ��� ���� ���� ���� �� ��������� �� �� ���������
� $� ������ ���� ��� ������ ���� �� �������� ������ ���� ������ %�� ��� ��� �� ���������� �� ���������&�
$� ���� �������� �� �� ���������� �� � ����� ���������� � �� ��� �� ������ ��� ��'���� �� ����� ��� ������ ���� ��������������� $� �������� �� ������� �� ������ ������ �� �������� ���� ����� ���� ����� ��� ������ ���� ����� ��� ����������� ����� ���� �� �� �( ���������� �� ���� �� ����� ��� �� �� ��������� )� ������ �� ������������ �� ���� ����������
����� � ������ ��� �� ������������� ��� ������ ��� ��������� ����� ���� �� ���������� ����� �� ���������� ��� �� ���� ������ �� ������ ��� ��� ������� ���������� �������� ������ ���������� �������� ��� �������� �������������
*������� �� ���� ���� ��� ���� ����� �� ��������� ������������� ���� ������ ���� ��� ������� � �( �� ������� ���������� �� �� ��������� ����� �� ��� �� ����� ��� �������� �� ������ �� �������� + ������� ��� ������ ��������� ���� ����� ������ �������� ��� ����� ���� ���� ������� �� �� ���� �� ���� �����������
*��� ���������� ����� ���� �� �� �� �� ���� � ��� ������ �������� �� �� ������� �� �� ���� ��� ���� ���������� ����� ��������� ��� ���� ������ �� �������� ����� ��� ����� �� �� ���� �� ������ ��� ��� �� �� �� ����� ��� ������ �� ��� �� ����� ��� ������� ��� �� ���������� �������� ������ ����� �� ����� ������������������ $��� �� ����� �� ,��� -�"�
$� ���� ���������� ���� �� � ������������ ����
� ����� ����� �� ��� �� �� ���� � �� ���� ������ ����� ��� ����� ����� ��������� �
$��� �� ������� ����� ��������.� ��� �� �� ������" ��� ������ ��� �������� ������ �� ������� �� ������ ��� ������������������� �� �� ������� �� ��������� ��� �� ����� ����������� �� �� ���������� ��� � ������� ���� ����� �� ���������� �� �� ������������ ���� �� �� ��� /� ��� ������������� ���� �� �� ��� ������ �� �� ����� ��� �� ������������ ���� ���� �� ���� ��������� �� ���� ������� 0���� ���� ��������� ������� �� ��������� ��� ������ � ��� �� ������������ �����(����� ��� ���� �� �������� �� ����� �� ������ "1�
�� ��������� ��� ��������� �������� �������� �� ������� ����������� ���� ����� �� �� �( � ���������� ��������� ���� ������� �� ������ ������������ ������ �� �� �� ������ �������� ,�� �
q
���� ���
" ��������� 2���� %����� "34- 5 ����� "674&� *���� �����������
�� ��� ������� � ���������� ��������
������� ����� ��� �� ������ ��� ��������� ������� ����� ���� �� �� ��� �� ����� ��������� �� ����
�� ���� ����� ������� ���� � �� ���� � �� ������ �� ��� ������ � ����� ����� ����
/� ���� � �� ���� ���� ��������� �� �� ���� ������� �� ���������� ��������� �� ���� �������� )� ������ ��� ��� �� ���� �� ������� ���� �� ����� ��������������� �� ������ ��� � ������� �� ��8��� �������� �� ��������� ������� ������������ �� ������ ��� �� � �������� �������� �� ������ ���� ���� �� ���������� ������� �� �� ���� �������� ������� �� ������������ ������ ��� �������� �������� �����
/� �� ��������� ��� ������� � ������� ���� ��� ��� �� ����������� ������9 ���� �� ����� ��� �� ��( �� ���������� ��� �� �������� ��� � ������ �� ��� ��� ��� ����� ���� �� ��������� ���� ������������ ��� �� ����� �� �� ���� �� ������ -�3�
�� ���������� �� ������ ������ ����+ ����� �� ��������� ������ �� �� ��������� �� �� ��� ������ ���� �� ���������� ����� ������� ����� ��� �� ����������� ����� ,�������� ���� ��� �� ���� �� �� ������������ �� ���������� ��� ������� ���� �� ��������� � ��� �� ���� �� �� � ��������� ��� ���� � ������ ����� ������ ��� �� � ������������� :���� �� ���� �� �� � �������� ��� ���� �� � ������������� ���� �� ���� �� �� ���� ������� �� �� �������� ���������� �� �������� �� �� ����� �������� $� � ��� ��� ��������� �� ������� ���� �� ��������� ��� �� ������ �� �� ������������ �� ����� �� ,��� -�1�
x
y
z
N
N
���� ���
����� �� ������� ���������� �� ����� ��
��������� �� ��������.� ���� � ���� ����� ���� ����������
��� ����� ����� ������ ����� ��� ���� ���� � �� ����� ��������� �� ����������� �� �� �����
������� �� ��� ����� �� ,��� -�;%�&� ����� �� �� �������� ���� ����� ������� ����� ����� � ������ �� �� ����
,���� �� ��� �� �� ����� �������� ���� � ��� ������ �� ����������� �� �� ��� �� ��� �� ��� ���� ����� �� �� � ���� �� ������ ������ ����� ����� ������� �� ������ /� � ��� ���� �� ���� ��� �� �� ��������� �� ���� � ���� �� �� ��� ��� ������� ����� �� ����� �� �� ��� �� ����� ������ � �� �� �� �� �������������� ��� �� �������� �� �� ������� �� ��� �� �� ����� ���� ������� �� ��� ������� $��� ���� ������� ��� ������ %1�44&�
+ ���� ���� ���� ���� ��� ���� �� ��� ������� �������� ��� ������ ��������� ���� $� ����������� �� ���� ��������� �� ����� �������� "1� <��� �� ������ ��� �� ���������� � ��� �������� ���������� �������� ��� ��� �� ���� �� �� ��� ��� ������� ��� �������� � ����������� ����� ������� �� �������� ���� ���� ���� � ,��� -�;%�&�
+ �� �������� ����� �� ��� ���� ������� ������ ������� ������ ����� ���� � (��� ���� �� ����������� ���� �� ������� �� ���������� ����� ���� �� ���������� ��� �� �� ������� ���� �� ������ �� ��� ������ ��� ��� �� ����� ���� ��
NN
dN
dl
dA
dl
dl '
l
l '
(a)
(b)
���� ��
�! ��� ������� � ���������� ��������
��������� ��� �������� ���� �� ���� �� �� ������
��� ��
" � "
�
��
��
��� �-�"�
��� �� =����.� ������ ��� �� ������� � ������ %;�"&�/� �� ���� ��� ������ ����� ���� ��� ����� �����
������� ��� �� �� ��������� ����� �� �� ���� ��� �� ����������� ���� ���� ������� ���� ����� $������ ��
� ��
�
�� �-�1�
���
� ��
�
�� �-�;�
� ��� �� �� ��� �� ������������� �� �� ����� ������ �� ������
�� � � " �
��
��
�
��
��
����
��� �
�" � �
��
��� �-�-�
�������� �� ������ ���� �� ��������� $��� ���������� �� ����� ���� ���������� ��� �� ���������� ��� �� �� ��� ���� ������ ��� ����� ������� ���� �� ����� ���� �� �� �� ����� ���� ���������� ��� �� ���� ����� �� �� ���� � ��� ������� ��� ������� � ��� ������ �� ����������� ���� �� ������ ����� ������� �� ��������� �� �� ���� ���
� ��
�
�� � ��
�
�" � �
��
��� �
�" � �
��
��
�
��
��
" � �
��
�� �-�4�
$� ���� ����� �� �� ��� �� ����� ���� �� �� ���( ��� �� ������� ����� � ������ �� ������ �� �������� ���
� �� ����
7
����� ��� �-�3�
��� ����� �� �� ����� ���� ������ �� ������� �������
����� �� ������� ���������� �� ����� �"
� ������ %-�4& ���� ��
� � �� � � ���
�� �-�6���� � ��� ����� ������ ��������.� ���� ��� ������� ��� ��� �������� � ������ %;�>"&�
� �� � "
1
��
��� � � ��1 �-�?�
��� ���������� �� �����@����� ����� �� �������� �� ����� � ��� ���� ��� �������� ���� ��������� �� ��� ���#��� �� � ������ �� ���� �� ��������*���� �� ���������� � �� �� � ��������� � �������� ������������� �� ������ ����� ������ ������ �� �������� ���� �������� ������ ���� ����� �� ��� ��������� ��� �� ������ �� ������ �� ��� ����� ����� ������� $� ���� ����� ��� �� ���������� �� �������� �� �� � ������ ���� �� �� ����� ����������� ������ ��� ����� �� �� ������������ ���� �� �� ���� ������� � �������� ����� ��� �� ������ ���� �� � ���� ������ ��� ���� �� ���� �� �� ���� ������� �� �� �������� ��� ��������� �������� �� �� ����� ������� ����� �� ��� $� � ��� ������ ��(� ��������� �� ������� ���� �� ��������� ��� �� ������ �� ������� ������� � ,��� -�-�
�� � �� �������� ������� �� ����������� �� ������������ ������� ������ �� ������ ���������� �� � ��� �������� �� ������������ ������� ������� �� �� �������� ��� �� ��( �� ����������� �� ����� �� ,��� -�4�
x
y
My
Sy
Sx
Mx
���� ���
�# ��� ������� � ���������� ��������
$��� �� �� ���#�� �� �� ������ � ��� �� ����� �� � ���� ���� ��� ��� ����� ��� �� �� ��� ���������� $�� ������ �� ��� �� ������� ��� ������� �� ���� ��� ������ �� ���������$��� �� �� ������ �� ���� �� $��� ������
,�������� �� �� ��� �� �������� ������ ��� �� ������� �������� �� ,��� -�;� ��� ����������� ������� �� �� �� ��� ����� �� �������� ������� � ��� ����� ���� ���� �� �� ������ ��� �������� �� ��� ����� ������ �� �� ���
���� �� ���� ��� � ���� ����� ��������� �� ��������.� ����
�� ��� ����� ����� ������ ����� ��� ���� ���� � �� ��� ���� �� ������������ �������� ��� � �� ����� ������
/� �������� �� �� ��� �� �� ������� ����� ���� ����� �������������� � ���� ���� ���� �� ���� ���
�� ��� �� �� ���� ������� �� ��� �� � ������ ��������� �� ��� ���� ������ �� ����� �� ����� ����� � �� ��� ��� �� �� �� �� ��� ������� �� �� ������ �� ����� �� �� ���� ��� ���������
0�� ������� ,��� -�3� ��� �� ��� �� �� �� ���� �������� ������� �� ������� � �� ������
�� � ���� ��� �� �� ���������� ����� ����� �� �� ����� �������� ��������� ��� �������� �� ����� ��� ��� �� �� ��� ��������� ������� �� ���� �� ����� �� ���� � ������ �� �� ��� ������� /� ���� ������(� �� �� ����� ���� �� ���� �� �� �� ���������� �� ������ ���� ����� �������������� �� ���� ���������� �� � ����� ��������� �� �� ���� ���
�� � � �� � �-�>�
x
z
y
dz
l
M M
���� ���
����� �� ������� ���������� �� ����� ��
0���� ���� �� ���� ���� �� ���� ��� ������� ���� ������ ���� ���� � ����� ��� ���� ������� ��� �� ����� ���� �� ���� ������ ���� ��� ������ ���� ������ ���� ������ �� ������ ������� � + ��� ��� ��� �� �� ���������� ������ %-�"&� �� ������ ������������ ���� �� ������ ��� % ��� �� ������ �� ����� ��� � �� �� ���� �� �� �� ���� ��������� ��� �������� $������� ������ %-�"& � ���
�� � ��� � � ���
� �� �-�"7���� ���� ��� ���� �� ����� ���� �� ���� �� �� ������� ������������� �� �� ����� ������ ������� ��� �� ��� $� ��������� ���� ���� �� ��������� ������ �� �� ���������� *����������� ������ %-�>& �� ������ %-�"7& � ������
�� � ��
�� �� �-�""�
+ ��� ��� �� ��� �� ������������� �� �� ������ ����� ���� ����� ������ �� ������ �� �������� ����� ���� � ��� ��������� %� $����
� ��
�
�� ��
�
��
�� �� � ��
��
�
�
�� �-�"1�
� ��
�
�� ��
�
1 ��
�� �� � ��
��
�
�
1 �� �-�";�
*��� � ����� �� ����� ���� �& �� ��� ��� ������ �� ��������� �� �� ����� ������� ��� ��� ���� ��������� � ����
�
�� � 7 �-�"-�
z
y
h
dφ
dz
���� ��!
�'' ��� ������� � ���������� ��������
��� ������
� � 7 �-�"4�0���� ���� ��� ��� ��� �� ������ ����� ���� �� �� ��������
��� �� ������������ ���� ����� ���� ��� ��������� ������������ �� ������� �� �� ����� ������ �� �� ��� $� ��������� �� �� ����� ���� ���� �� ������ %-�";& �� ��� �� ���������� �� ���� ��� ����� ����� �� ����� �� �������
�� ��
�
1 �� �-�"3�
/� ���� ��� �� ����� ��� �� ��� ��� �� ������� ����� �� � ����� $� ������� �� ���� ������ ���� ���� ��������� �� �� ���� ������ �� �� ���� ����� ����� �� ����� ��� �� ��� �� ����������
0��� � ��� ����
� � ��
���� �-�"6�
����� ����� �� ����� ����������� ���� �� ������ ��� %��� �� ������ �� �������� �� �� � ���
��
�� "
�-�"?�
�� �������
�
���� "
�-�">�
� ������� %-�"6& ��� %-�">& ��������� (� ������������ ��� ������#��� ����� �� � ������ ����
/� �� � ���� ���� �� �������� �� ������ �������� ���� ����� �� �� �� �� ,��� -�4� �� �� ������ ��� �� ��������� ���� ������� ������ %-�"6& ��� �� ���� ����� � �� �� ����� ������
� ���
7
�
���� � �
���
��
7
� � �
���� �-�17�
$� ������ ���� ����� �� �� �� �� ���� �� �� ���( ��� �� ������� % ������ �� ������ �� ������� ��� ��
� �� ���
7
���� �� �-�1"�
����� �� ������� ���������� �� ����� �'�
����� � ��� ���� ����� �� ��� �� ������ %-�17& ��� ��������.������ ������ %;�>"&�
� �� � "
1
�����1 �-�11�
*� ��� � ��� ���� ���� � ��� ���#��� �� � �������� ����� ���� ��� ��� ���#��� �� � �������� ������ ��� ����� �� ���� ��
� � � ����� �� ��� �� ���������� ������ ����� ��� ����� ��� �������� ���������� �� � ���� �������� � ��� ����� ����� ��� ���� ����� ��� �� ���������� ��� ���������� �� ���� �� ����� �� �� ���� ���� � ���� �� �� ����� ������
/� �� ��� ������ � ���� � ��� ���� ��� � ������ ��� � �� ������ ����� �� ��� �� �� ������( �� �� ����� �� ��� ��������������� ,�������� ��� ���� ���������� �� �� ���� ���� ���� ������� %-�-&� %-�"6& ��� %-�">& ���� ��� ��� ��� ��� �� ������ ��� ������������ ��� ����� �������� $����� ��� ������� � ������ �� �� �������� �� ��� ���#��� �� ����� ����� ���� ������ ���� % ���� ���� ����� �� ���� ��
��� ��� ������ �� ���� ����� �����������,�������� �� ������� �� �� ������� ������ � ��� ��� ������ ����� �� �� ���������� �� ���� ����� �� ��� ���#����� � ������ �� ���� �� ������� ��� ������������ � ������� ��� ��� ��� ������� �� �������� �� ����� �� ����� �� ����� �������� �� ������� ��� ��� ����� �� (�� ����� ���$��������� ���� �������� ����� �� �)������� ���$��������� /� ���� �� �� ��� ����� ��(�� ����� � �� ��� ���� ����� ���������� �� �� ������� �� ��� ������������ ���� ���� �� ��� ���� ����� "A �� ��������� /� ���� ���� �� ������� ���� ���� �� �� ������ ���� ������ �������� ��������
$��� ����� �� ��� ���� ���������� �� ��������� ���� �� ������������ ����
� �� ���������� �� � ������� ���� �� ��������� ���������� ��������� ���� ��� �������� ��� ������ 8��� ��������� ������� ����� ��� � ���������� ���� ���� ��� �� �� �� �������� ��� ��� �� �� ��� ���� �������
� �� ������� �� �� ������� �� �� ��������� ��� �� ����������� �� �� ���� ��� � ������ ����� �� �� ���������� ���������� �������������
$�� �������� �� ������� ��'������ ������� ��� �� ���� �#�� ��� �� �������� ������������ ��� ����� � ����������� ������������ ������������ ��� ���� �� ���������� ���������� ,�� � ���������
�'� ��� ������� � ���������� ��������
����� �� ���� �� ���� ��������� ���������� �� �� �������� �� ����� ����� ��� ����� ���� ��� �� �� ��������� �� �� ������������� $��� ����� ��� � �������� ��� ����� ���� ����� �� �� ���� ���� �� �� �������� �� �� ���� �� � ��� /� ����� ���� ����� ��,��� -�6� �� ��
� � ������
�� ��
�
�
�� ����������������������1 � ��1
��
������������������������" �
����
�1
�
"
� ��
��� ��
�
"������������������������" �
����
�1 � �
�1�
�1���������������������������������" �
����
�1�;
�-�1;�
��� � �� �� ��������� �� �� �� ������� �� �� �������� ����� ������� � �������� �� �� ��� ���� :�� ���� ����������������������(��� ��������� �� �������� �� � ��������
�� ����� ����� ��������� �� �� ��������� �������� ����������� ����� �� �B����� �� ��� ���� "A �� �� ����� ��� �� ���� �� ������������ �� ��������� ���� ������ ���� �� ��� �� ��������� �������� ������� �� ���� ��������� ���� �� � �����
��
�
�1
" �-�1-�
z
y
ds
dz
uyuy + duy
φ0
���� ��"
����� �� ������� ���������� �� ����� �'
� ������ %-�1-& ���� �� �� ������������ �� ������ %-�1;&� ��� ���������� ���� �� �� ��
"
� �1�
�1�-�14�
$��� ������������ ��� ���� � ���������� �������� ������ �� ���������� �� �� �� ���� �� ������������� �� �������� ����� � ������ �� ������� �� � 7� ��� �� ����� �� � ���� ���� ���� �� ���� �� ����� � 7 ��� � �� /� ����� ��� �� ��� ���� ����� � � 7� �� ������� ����
� � ���
7
� � � �-�13�
���� ��� � � ��� � ��� %,��� -�6&
� � ���
7
���������������������1 � ��1
��
��
7
������������������������" �
����
�1
� �-�16�
����� ����� �� ������� �� �� ������������ �� �� �� �� ������%-�1-&�
� � ���
7
� � � �-�1?�
$����� �� ��� �� ������ � ��� ��� �� �� ����� �� ��� ��� #����� �� �� � ���� ��� � ��� ������� �� ����C����� ����������� �� ��� �� �� �� �������� �� ,��� -�?� �� � C�� ��� ���#�� �������� �� �� �� ������ ����� %�
$� ����� �� �� �������� ����� ���� ��� � ������� �� ���������� � ��� ������� � ���� � ����� �� ������� ����� ���� �� ���� ����� �� � ����� ����� ���� �� ��������� ��� �������D �� �� ������ � �� ����� �� �� �� ���� ��������� �� ���� ����� ������ ���� �� ��������� ��� ������� �� �� ��� � ������ ������� �� ��������� ������������ �� �� ��� $��� �� ����� �� ,��� -�>�
M
���� ��#
�'� ��� ������� � ���������� ��������
/� �� ����� ��� ���� ���� ���� �� ���� ����� �� ��� �����8��� %����� �������� ��� �� ���(����& ������ � ��������� ���( ���� �� �������� �� ������ "1 ����� �� ������������ ��������������� �� �� �B������� )��� ����������� ���� � ���������� � ������ �� ����� �� ������� ������
��� ������� ������ ��� ��� ������� �� ���������������
/� �� ������� ������� ��������� ��� �� ����� ��� �� ���������� �� � �� ���� ����� ���� �� ��B��� �� ����� ����� ��������� ����� 0�� � ������� �� ����� ���� ����� � ������� ��� ��������� �� ������ �� �������� �� ������ ������#��� �� ������ ������� ��� ������������ ,�� � ����� ������� ��� ��� �� ��� �������� ��������� �� ���� �������� ������� ���
� �� �� ���� �������� ������� %��������� �� �( �� ������� �� ��������&
� �� �� ��8������ ������� �� �������� ����� ��� ������ ��� �� ����������� ������� ������ %"�1?&�
$� �������� �� �� ����� �������� �� ���� ��� � �������� ��������� �� �� ��8������ ������ ��������� �� �������� ���� �� �� ����� ��� � �������� ����� �� ���� ��� �� ���������� $� ����������� �� ���� ���� ��������� ������� �� ���������� ������� �������� ���������� ��� ���� �� ����� ���������� �� ������� �� �� �� ��� ��� ���� �� ��������� 0�������� �� ������ ���� ��������� ���� ��� �� ������ ��� ��� �� ������ ��� ��� ��� ���� � ������� ���������� �� �� ����� �� �� �� ���� ���� ������ )� ���������� ���� �� �� ���� �������� �� ����8������ ������� �� ���� ���� ������ ������ � �������� ������������ �� ����� ��� ������� �� �������� ��� �� �� ��������������� ���� �� ���� ����� ��������� ����� �� �� �� �������������� ��� ����� ����������
$���� �� �������� ������� �� ���� ��� �� ������ �� ���� �� ���������������� �������� ������� �� ����� �� ���������� �� �� ����
P
N
���� ���
����� �� ������� ���������� �� ����� �'�
���� �������� ����������� ������ ����� ��� ������� �� ���� ��� ����� ���� ��������� ����� ��� �� ��8������ ������ �� �������� ������ �� ���� ������� $� ���������� �� �� �� ��� ���������� �� �� ����� ��� ������� �� ������� ����������� ��� �� ��������� ������ ���� �� �� ���� ��� ����������� ���� �� ���� ���� ��� �� ���� �������� �� ������� ������������ �� ������ (�� �� � ���������� ������(�
/� �� ���� ������� �� ������ ��������� ��������� ��� �� ��8�� ���� ������ �� �� �������� �� ����� �� ���� �� ���� ��8� ���� $��� ��� � ��� ������� ��� ��������� �������� �� �� ����">;75">47� @����� �� ���� ��� ���� ��� ��������������� �� ���� ��8��� �������� ��� ���������� ��������� ���������� ����� ����� �� ����� ��� ������ ������� �� B��� ��������,�� �� ��( �� ��������� ������ -�6 ������ �� ���� ��8������� �� ������ �� �� �������� �� �� ���������� �� ���� ,��� ����� ��������� ����������� �� �� � ����1 ���� �� ���� ��8� �� ��� �� ���� ��� ����� ��������� ���� �� ���� ���� ������� � �������� �� � ��������� ���� �� ����� ����� �������������� �� ���� ������ �� �� ��������� ������� �� �� ��8������ ������� �� �������� ����� ��� �� ���� ���������� ����� ����� ������ ������� �� �� ���� ������������
/� ���� �� ���� �� ��8������ ������ �� �������� ����������� ��� � ����� �� ��������� ����������� �������� �� ������ ����������� $��� ���� �� ��������� �� �� �� ���� *�������������� ���� %��������� ���� � ��������� �� ��������;&��� �� ������������� �� ���� ������� ��� � ����� �� ����*������� �� ��� ��� �� ���� ������������
������� �� ���� �������� �� ����� �� ,��� -�"7� ���#�� �� ��������� ���������� ������� ���� �� ���� ����� ��
1 ������ 2� ��� +��(�� �� �� ">6" ,���� ��8��� ���� �� � �������� :��C �������+�� ,� �� �� %���� �� "44�; ��������� E���� %<��F ������ "677 5 ����� "6?1&� *���� ���������� ��� ����� ����� ���� �� 2�����
A
By
z
q
���� ���'
�'! ��� ������� � ���������� ��������
/� ���� �� ����� ��� ���� �� �������� ��� ���������� � ����( ����� �� �� ����� ���������� ������ %"�1?&
�� � ��
��� ���� ���� �� ������� ���� �� ��������� �� �� ���������� ��� �� ��������� �� �� ���( ��� �� �� ������ ���������� �� �� � ������� ��� �� ���������� ���
+������ �� ��������� �� �� ���( ��� �� �� ������ ����� �� ���� ���� ����
�� ���
7
� �� � �-�1>�
��� � ��� �� ������ �� ��������� �� �� �� ���� �� �� ���������
@����� ������� �� ��������� �� �� ������ ���� � ���� � ������� �������� ,�������� �� �������� �� ������� %-�"6& ���%-�11& ��� � �� ���#�� �� �������� ������ ���� � ��� ������ ���� ����� �� �� ������������ ���� ��� �� �� ��
�� �"
1���
�����
1
�-�;7�
����� ����� ��� ������� �� ��������� ��� ������ �� ���������� �� ������� ����� �� ����� ����� �� ��� /� ����� �� ������� ��� ��� ������ �� �������� ����� ����� �� ����� �� ����� $� ���� ����� �� �� ���� ����� �������� �� �� ������ �� �������
� � "
1
��
7
�������1�
�-�;"�
��� ����������
� � "
1
��
7
���
���
�
�1
� �-�;1�
������ �� ������� �� ������� %-�"?& ��� %-�14&� ����
� � "
1
��
7
���
�"
�1
� � "
1
��
7
���
��1�
�1
�1
� �-�;;�
����� �� ������� ���������� �� ����� �'"
$� ��������� �� ���� �������� ���� ������ �� �� ��������� ���� ��-
�� ���
7
������ ��
�� � �-�;-�
���� ��� �� ��( �� ������� � �������� ����������� � ��� ������
�1�
�1� ��� �-�;4�
+ ��� ������ ���� �� ��������� �� �������� % ������ %"�1?&&��
��
7
������ ��
�� � �
��
7
� �� � �-�;3�
$��� ����������� �������� ��� � ��������� �� ������ � ������� ������� ��8������ ������� $���� ���������� �� ��� ����
- $� ����������� �� �� �������� �� ���������� ������� � ��� �� ����� �� �������������� ��� �� ������� �� �������� *����� � �� ���� � ���������� � �� ��������� ���
���� ��
�
�
���
����� ���
��� �
�
�
�
���
����� ���
���
��� � ��� - �� ��������� �� ���� � � �� ��� . �� �� �������� �� �� ����� ����� /�*����� ���� ���� �� ���������� �� � �� ��(� ���� �� �������� �� �� ������������������� �� ����� �������� ����������
�"��� � 7 �� �"
�1��� � 7 �� �1
��� �" � �1 � ��$��� ��� � ���� �������� ��������� ��� � �� �� �� � ��� �� ������������
���� ��������� �� 0 ��
�� ��
�
�����
��� ���������� �
�����
�� � � �
���
��
�
�����
��� ���������� �
�����
�� � � �
���
����� ��� ��� � ��������������� ���� ���������
�'# ��� ������� � ���������� ��������
�� �� ������ � ������
��
7
������ ��
�� � � ������� ��� �7 �
��
7
������� ��
� � �-�;6�
��� ���������� �� ����� ���� �� �� ������ %-�;6& � ���
��
7
������ ��
�� � � ������� ��� �7 � �������� �� �7 �
��
7
�������� �� �
%-�;?&
0��� ������ ���� � ������� ��������� ��� ��� �� ������������������� ��� �������� ���� �� ����������� �� �� ��� �� ����� � ����� ���( �� �� ��� ���� ����� ���� ���� $� ���� ��� ���
������� ��� �7 �-�;>��� ���������� C��� ���� �� ��������
������� �-�-7��������� �� ������� �� �� ������� %-�14&� %-�"?& ��� %-�"6&� �������� ��� ��� �� �� ��� �� �� ��� /� ����� ��� � ������ ���� �������� �� � ��� � ��� ����� ���� ���� �� �������� ������ �� � ��� � �� ������ ��� �� �� ��� �� C�� ��� ������ %-�;>& �� ������� C���
$� ����� �� �� �� ����� ���� ��� �� ������ %-�;?&� ���
�������� �� �7 �-�-"��� ���� ��� �� C��� �� �� ��������� ��� ������ �� �� ���� ��� ����� �� � ��� � ����� �� ��� ����� ��� ������� ����������
$���� �� ��������� �� �������� % ������ %-�;3&& ����� ��
��
7
�������� �� ��
��
7
� �� � � 7 �-�-1�
������ ���� �� ������� ��������� ��� �� �� ���������� �� ��������� �� ������ ���� ��8������ ������
�������� � � � 7 �-�-;�
$��� ������ �� ������� ����� ����*� �1����� �� ���� ����������2�� ��� �������� ������� �� ����� ������������ �� �� �������� ���� �� ������ ������ ���� ������������ 1� /� �� ��������� �� �� �� ����� �� ,��� -�"7� �� �� ���� ����� ��
����� �� ������� ���������� �� ����� �'�
������ ����� �� �� 3������ ���4��� �� �� ��� �� � ��������������� �� �������� �� ������ %-�-;& �� ��������� ������� �� ��� ������� ������ %-�-;& ���� ��� �� ���
��� ��-
1-���� �; � �1 � ��� �-�--�
��� 5� 6� 7 ��� 8 �� ��������� �� ����������� 0�� � ���� �� ������ %-�--& �� �������� ��� �������� ����������� %��� ����� �� ���������� ��� ������ ���������& �� �� ���� ��������� ��� �� ����� ������ �� �� ���� �� ��� �� ������� %-�;>& ���%-�-"&� $��� ������ ����� �� ��������� �� �� ��������� �� ������ ����� $�� ����������� � ��� ����
��� � 7 ��� � 7 ��� � � �-�-4���� � ��������� � 7 ��� � 7 ��� � � �-�-3�
$����� � ��� � ��� �������� ����� ���� �� ���� ��������� �� ���� ��(���� ��������� 5� 6� 7 ��� 8� $� ���� ��
��7� � � � 7
�������7� � ���1� � 7
���� ��� -
1-���� �� ; � �� 1 � �� �� � 7
��������� �
�� 1
1� 3����� � 1���� � 7
�������������������
�-�-6�
��� �� ����� ����
7 7 7 "
7 1 7 7
� ; � 1 � "
3� 1 7 7
�����
�����
�
�
�
�
�����
����� �
7
7
��� -��1-������� 1��1����
�����
����� �-�-?�
��� �����
� � � ��
"1���� � � 7 �-�->�
� � �� ;
1-���� � � 7 �-�47�
,������� � ��
��� ��
1-����- � 1�; � �� ;� �-�4"�
��' ��� ������� � ���������� ��������
$��� ������ ���� ��������� �������� ������� �� ��� �� ������������������ ���� ����� �� ���� �� �� �� ������� ������ ��� ������������ �� �������� ���� �� ������� ������������������ ���� 1� �� �� ���� ��� ���������� ��������� ������%-�4"& ���� �������� �� ����� ������������ �� �� ��� ������� �� ,��� -�""� $� �������� �� �� ��8������ ������ %-�-;& ������ ��� ������ ������ ��������.� ����������� ���� ���� ���������� ������� ������ �� �B������ �� �� ��������� �������� ���
!� �� ��� � ��� ���������� �� �������� ��� �� �� ��������� ����� ���� � ��� ������ �� ������������ �� �������� �� ����� �������� �� ���� � ������ ��� �� �������� ����������� �� ����� ��������� ������ %"�1?&� /� �� ��� ������ � ����� ���� ����.� ������ ��� �� ���������� ������ %-�-;&� ���� ����� ��� �� ������ �� ��� ���� ����� ���������� ���������� ���������� �������� ���������� �� ��(� ���� ��������
�� ��� �������� ������� �������� !�� ��������"����� �� ���� ����������
,�� �� ��( �� ������� � ��� �������� �� ��� � ����� ����������� @����� �� ������� ����� �� ��� �� ����������� ����� ���� �� �������� % ������ %-�;3&& �� �� ���� ������ �� ���� ���� %-�-;& �� � ����� �� ��� ��� � ������ �� ��� (��� ����������� ���������� ��� $� �������� ��8������ ������ %-�-;&��� ��� ������ ��� �� �������� ���������� �� �� ����� ������� ��8��� ����� $������ �� �� ��� ������� � �������� ���� ������ �������� �� ������� ��������� �� ��������.���� �� ���� �������� ,�� �� ��� �� ������ �� ��� ���������� ��� ������ ������ ������������
������� � �� ���#��� �� � ����� ���������� ������� ���� ������ ����� ���� �� ����� �� ,��� -�"1� $� ���� ��� ��� ���� ����� ������ �� �� �� ��� �� ������ ���������� �� �� ��� �� ��(� �� ��� �� �� ���������
A
By
z
q
l
���� ����
����� �� ������� ���������� �� ����� ���
/�������� �� �� ��� �� ����������� ������ �� ���� ��� �� ����� �� �� ��������������� �� ���� �� ����� ��������� �� ��������% ������ %"�1?&& �� �� ��� ����� �� ������ %-�;3&� /��������� ������ ����� �� ��� �� �� ��� ���� ��� �� ������ %-�;3& � ������ ������ %-�;?& ���� �� ������ �� ������� ��������� ��� ��� ��� ���������� ��� �������� ���� �� ����������� ������ �� �� ���
G� �� ��� ��� � ����� ���( �� �� ���� ��� ��� �� �� ����� ������� �� ������ %-�;?&� + ������ (��� ����
��� � ��������� �-�41����� �� � ������� ,��� -�";� � ��� ������ ���� ���� �� �� ������� ���������� ����������
��� ����� � � �����
�-�4;�
y
z
q (z)
l
���� ����
y
z
duy
dz
φ
0
���� ���
��� ��� ������� � ���������� ��������
$��� ��� �� �������� �� � ����� ����� ������ ��� � ������� ���� �������� ���� �� �� ���� �� �� ���� �� �� ��� $����� � ����������� � ����� �������� ����� �� �� ��� ����� ����� �� ������ %-�;?&� �� �������
������ � �� �-�4-�
��� � ��� �-�44�/� ����� �� ������� �� ����� �� �� ��
������� �� �-�43�
:����� ������ %-�41&� ��� �� ����������� ������ %1�46&������ ���(� �� ���� �� �� ������ ��� ������ �� �� ���� ���� ���� ����� � ���
�����
� �������� �� � � �-�46�$��� �� �� ���� ���� �� ���� ��� ����� ���� ��� �� ������ %-�;?&
�� C�� ������ �� ����������� ������ �� �� ��.� ���� $��� �������� �� � ���� ��������� �� ����� �� ,��� -�"-� + ��� ���� ��� ���� ���
���7� � 7 ��� ���7� � �����7� � 7 �-�4?���� �� �� ����� ���� ��
���� � ���������� � 7 ��� ���� � �������� ��� � 7 �-�4>��� ���� ���� ���
������� ��� �7 ��� �������� �� �7 �-�37��� C��� $������ ���� �� ���� ��� ����.� ������ �� �� �� ������ %-�-;& �� ������ )� ������ ���� ���������� �� ��8������
y
z
q (z)
���� ����
����� �� ������� ���������� �� ����� ��
������ �� ��������� ������ %-�-;&� � ��� ��( ���� ������� ������������ �������� ����������� ��� ������� %-�4?& ��� %-�4>&� �������� �� ��������� �� ����������� $� ���� �� ��� �� ��������� ����� ���� �� ��� �� ������ %-�37& ������ ��� ��� �� �� �� 5� ���� ���� ������� ����������� �� �� ���� ������� �� �� ������ ��� �� �� ��� �� ����� ��� �������� �� � ����� �����4
������ ��������� ���� �� ���� ���� �� ,��� -�"4� $��� �� � ������� �� �� ��� ���� �� ��� ����� �������� �� �� ����� ������� /� �� ���#�� �� � ����� ���� 9 �� �� ���� �� �� ����� /����� �� ���� �� �������� ��� ��� �B������ �� �� �������� ������� �� ���� ���� ���� ��� ���� ����� �� ����� ��1� G� �� ��������� ��� ���� ����� �������� ��� ���� �� ������� ��������� ����� �� ���� ���� ���� �� �" ��� ���� �� �� ����� �� �� �1� $���������� �� �������� %"�1?& ��� � ������ �� �������
���1
7
������" ��
��" ��
��
��1
������1 ��
��1 � � ������1� �-�3"�
���� �� ������ �� ��������� �� �� �� ����� �� �� ���� ���� ����� � ��� �� ����� �� �"���1� � �1���1� � ����1��
���� ���������� ������ %-�3"& ���� �� ������ �� �������� ������ ��
�������" ���" ��17 ��������1 ���1 ���1���������" ��" ��17 ���������1 ��1 ���1
����1
7
��������" ��" ��
��
��1
��������1 ��1 � � ������1� �-�31�
A B
P
l / 2l / 2
���� ����
4 /� �� ����� �������� ��� ���� ��� �� �������� �� ,��� -�?� ����� �������� ������������ �� ��������� �� ,��� -�4� �� �� ����� ���� � � ����1���1� $��� ������� �� ����� � ����� ���� ���� �� ���������� �� ���� ��������� ����� ������ �������� -�;�
��� ��� ������� � ���������� ��������
0��� ��(��� ���� ������� �� ��������� �������� ����������
��"�7� � 7 ��� ���7� � ���"�7� � 7 �-�3;���"���1� � ��1���1� �-�3-���"���1� � ��1���1� � ���"���1� � ���1���1� �-�34��"���1� ��1���1� � �������"���1� � �������1���1� �-�33�����
���"���1� � �������1���1� � � �-�36�
��1��� � 7 ��� �1��� � �������1��� � 7 �-�3?������ ���� �� �������� ��� �������� ������ �� �� ��� �������� �� ���� ��� �� �� �� ��� � ��� �� ���������� �� ���� ����� �� �� ����� � �� �� �� �� ������
���1
7
��������" ��" ��
��
��1
��������1 ��1 � � 7 �-�3>�
$��� �������� �� ������ ������� �� �� ��������� �� �� ��8������ �������
��������" � 7 ��� �
�7��
1
��-�67�
��������1 � 7 ��� �
��
1� �
��-�6"�
������� �� ���������� ���� �� ������� %-�3;&5%-�3?& �� ������ ���� ����� ���������
�"�� � �; � �1 � ��� ��� ��7��
1
��-�61�
�1�� � �; � �1 � ��� ��� ���
1� �
��-�6;�
�� ���� �� ��� �� ���� �� �� ���� ��������� 55:� /� ������ ����
�"�7� � 7 ��� ��7� � ��"�7� � 7 �-�6-��"���1� � �1���1� �-�64��"���1� � �1���1� � ��"���1� � ��1���1� �-�63��"���1� ��1���1� � � ������"���1� � �������1���1� �-�66�
����� �� ������� ���������� �� ����� ���
�������"���1� � �������1���1� � � �-�6?�
�1��� � 7 ��� �1��� � �������1��� � 7 �-�6>�,������� � ��� ����
�"�� �""
>3
�
���; � ;
;1
��
���1 ��� �
�7��
1
��-�?7�
�1�� � � 4
>3
�
���; � 4
;1
��
���1 � �� 1
?���� �� ;
-?���
��� ���
1� �
��-�?"�
$�� ��� ��������� ������� ��� �� ������ ��������� ����� �� ������ �������� ���� ��������� 0���� ���� �� ����������������� ��� � ����� �� � ��������������� ���� �� ������� �� ���������� ������
��# ������� �� �������� �� ������� ������ �� �������������� ��� � ���� !�� � ������� �����
+ ��� �� ���� ���� �� �� ������ ��������������� �� ������ �� ��� ������� �������� �� ����.� ��8������ ������ %-�-;& ��� � �� ���� ������� B����� ���8��� ���� $� �������� ���� �� ������������ � ������� ��� ���� ������� ������� ��� ������ �� �������������� �� ����� �� ��������� �������� �������� � �������� ����� ������� ������� ���� ���#��� �� � ���� �� ��� ���� �� ����� ��,��� -�"3�
$� ���� ����� ���� �� �������� ��� � ����� ���� �� ����� �� ���� ���� �� �� ������ �� �" ��� �� �� ��� �� ���� �� �1� $� ������
P
z
y
l
d1 d2
dx
���� ���!
��! ��� ������� � ���������� ��������
������ �� �� �� �� �� �� ���� �� ����� ��� �� ��� �� �� ����������� �� �� �������� � ����� �� �� ��
���� ���;��
"1�-�?1�
$� ���� �� �������� � ��
��� � �" � ��1 � �"�
��-�?;�
�� ����������� �� ��� ��������� �������� � � �1��" ��� � ���� ��� ����
��� �� � �"�" � ��� "� �-�?-���� � �7� " � ���� ����� ���� ��� � ����� �������� � ��� ��������� ���
��
�� ��
�
�
�� "
�
��
��-�?4�
,�� �� ���������� ��� �� �� ���� ��� ����� ������� ��������� � � ��� ������� �� ���� �� �������� ��� � ��� ������( ����� �� ��������.� ��� �� �� ��������� ����������� ������ -�1� :������� �� ���� �� ������ -�-� � ��� ������ ������ ��8������ ������ �������� �� ��������� �� �� �� ��
"
� 1�
�1
������� 1
�1����1
�� ��� �-�?3�
�� �� �� ����� ��� �� ���������� ���� ��� �� ������ %� ��������� ����� �� �� �������� �������� �� ��������� �� �� ���������� 9&� �� ���������� ���� ������ %-�?3& � ��
"
�
�
�
������� 1
�1����1
�� �� �-�?6�
������� 1
�1����1
�� �� 1 � �� �-�??�
$� �������� �������� ���������� ��
��"� � � "
�
�
�
������� 1
�1����1
�� � �-�?>�
��"� � �������� 1
�1����1
�� 7 �-�>7�
����� �� ������� ���������� �� ����� ��"
���� ���� ������ � ���
��� � � � � � ���
�-�>"�
��� � �� � 7 � � � � �-�>1��� ����
������� 1
�1����1
�� ���" � � �-�>;�
�� ����� �� ������� %-�?1& ��� %-�?-& � ��� ����
"
� 1�1���
�1� ��
������" � � � "1��
�� �;"
�" �
�" � ��� "� ;�
�-�>-�
$� ���� �� �� �� ��� � ������� �� ���������� ������ %-�>-&�� �������
��� � � "
�
�����
�� "1�� 1
�� �;"
�1 � �� 1� � 1
1��� "�1�" � � � �1 � ��
�-�>4�
$� �������� � �� ������� ����� �� ��������� ������� �����������������
��� � � "
�
�����
� 7 �� � 7 �-�>3�
@��� � ���
� � � �1 � ��1��� "�1 �-�>6�
��� ������ %-�>4& ����
��� �� � � "
�
�����
� � "1�� 1
�� �;"
��1 � �� 1�1�" � �� �1
��-�>?�
$� �B����� �������� ��� �� �� �� ������� ��� ������ %-�>?&��� ����� �� ����������� ����
��� �� �"1�� ;
�� �;"
��"�� ���1�� ��
���
�-�>>�
��# ��� ������� � ���������� ��������
���
�"�� �� � �;1 � �1 � -�11 � 4�1 � ;� � �� 11 � 1
� 1�" � � � 1� ���" � � � ��1�� �� � 1�" � � � ���� "�;
�-�"77�
���������� �� �������� � ��� �� �������� ���������
��7� �� � 7 �-�"7"�� ���
� � � �
1��� "�; �-�"71�
�� ���� ������ %-�>>& ��
��� �� �"1�� ;
�� �;"
��; � -�1 � 4�� 1�1 � 1�" � ���1�" � � � � ���" � � � �1�" � � � ���� "�;
���
��� �-�"7;�
$� ��� ����� �������� ����� ��� ������ %-�"7;& �� �� ������ �� �B����� �� �� ��� �� � �������� ���� � ������ ���� �"� /������ ��� � " ��� � � " ������ %-�"7;& ����
��"� "� �-�� ;
���;"
�-�"7-�
,����� -�"6%�&5%�& ���� ������� ������ ��� �� �B����� ����� ���� ��� ����� �� � � "� 7�4 ��� 7�74� ����������
/� ��� ����� �� ���� �� �� �B����� ��� �� �������� ��������� �� �� �B����� �� �� ��� �� � �������� ���� � ������ ��������� �� ��� �� ��������� ����� ��� �� ������ �� ������ %-�"7-&�$� ���� � � 7�74 ��� �� ����� ���� �� ���� �� � � 7 ����� ����� �� �� �������� �� ��� �� ���� ��� ������ �� �B��������� �������������� ���� �� �� ����
$� ��������� �� �� �������� �B����� �� �� ��� �� �� ������������ �� ������ � �� ���� ��
���"� �� � ;
��; � -�1 � ;�� 1� �����
1���� "�;�
�-�"74�
,���� -�"? ����� ������ ��� ������ %-�"74&�/� �� ���� ���� ��� ��8��� ��� �� �������� ���������� �� ��
���� �� �� ������ ����� �� �� ����� �� ���������� �� �� ��8� ����� ������ ��� ��� �� ������� /� ���� � ���� �� � ������ ����� ������� �� ������ �� �������� ���������� @�����
����� �� ������� ���������� �� ����� ���
1·0
0·8
0·6
0·4
0·2
00 0·2 0·4 0·6 0·8 1·0
ζ
u (ζ
)
(a)
α = 1
2·0
1·5
1·0
0·5
00 0·2 0·4 0·6 0·8 1·0
ζ
u (ζ
)
(b)
α = 0·5
6
5
4
3
2
1
00 0·2 0·4 0·6 0·8 1·0
ζ
u (ζ
)
(c)
α = 0·05
���� ���"
��' ��� ������� � ���������� ��������
��������� ���� �� �������� � ���� ������ ��� �� �� ����� ������� ����� ����� ��� � ������ ��������� $� ��� ������ ����� �� ���� ����� �������� �� ��������� � �������� �� �� ���� ��8������ ������ �� ����������
��$ %��������� ������� �� ������� �"����� �� �������������� ���& ��� ������ �� '��� �(������
/� �� ��� ������� ��� ���� ���� � ������� �� �� ������� ���� ���� �� ����� ���������� ��������� �� ���� �� ���� ����� /����� ���� ����� ���� ��� �� ���� ���� ��� �� ��� �������� ����������� �� ���������� �� ���� ����� ��� ����� ���� ������������� �� ������ �������� ���������� ��� �������� *���� �������������� ���������� ������� ��� ������� �������� ���������� ����������� �� �� ��8������ ������� �� �������� ����� ��� �������������� ���� �������� ��� ���� ����� ��� ����� ��� ��� ��� ������� ���������� ��� ���������� �� ���� ��� �������������� ��� �� ������� ��� �� ����� �� �������� �� �� �������/� �� �������� ��������� �� ������ ��������� ��������� ��� ����8������ ������� �� �������� ��� � ������ �� ������ ���������� ����������� $��� ��� � ������ ����� �� ���� ��8�������� 0������� ���� ���� �� ��� ��� ����� �� ��������� ����� ��� ����� ��������� ������ ����� �� �� ����� ���������� �� �� ������� ���� ��� �� ���� ���� �� �������� ������� ���� �� ������� ���� ���������� �� ���� ��� �����
@����� ��� �� ��( �� �������� �� ���� ���� �� ����������� ������ �� ����� �� �� ��8��� ���� ��� ������ ����� ��� �� ���������� �� �� ���������� �� ��� ���� �� ������ ������ �� ���������
���� ���#
����� �� ������� ���������� �� ����� ���
,���� -�"> ����� �� ���� �� � �������� �;�< �� � ������� �� $����� �� �� ���� �� �� �������� � �� ������� ������������ �� ��8� �������� �� �� ��������� ���
� ���� � �� �����
�-�"73�$� ���� ��� � ���������� �� �������� $� ���� �� �� �������� ����� ������ �� ��� � ���� �� ���� ����� �� ���� ��������� ����������� $� ���� �� �������� ��� ��� ���������� ������������ ��� ����� /� �� ���� �� ���� �� ������� �� � ��������� $� ���� �� �� �������� �� ��� �� �� ��� �� ���� �� ������� �� ���������� ��
� ������ �"
1�� ���" � ���" �-�"76�
/���������� �� �� ���� ��� ��� ������ ������ ��� �� 7� ����������� ���� ��� �� ���� ��������� �� ���������� ����� $������ ���� ��������� ��� � ������� ����� �� �� ���������,�� ����� �� ����� �������� �� ������ �� �� ����� ������ ������ �� �� ���� �������� ���� �� �� ������ �� ������ �� "� � ��� �� �� " ��� �� ������� �� ����
� ��� ��� ��
�
��
�� �����
�����
������" � ��
�
����� � ���"
�
����
� "
�1� ���" � 1�� � ���" �-�"7?�
h
x
f (x)
(n–1) (n)
(n+1)
���� ����
��� ��� ������� � ���������� ��������
$� ������ �������� �� ���������� ��
� ����� � "
�1� � ����" � 1� ��� � � ����"
� "
�-� ���1 � -���" � 3�� � -���" � ���1 �-�"7>�
$� ���� ��8��� ���� �� ������ �� �� ����������� �� ��� ���� ������ ����� ������� ����� �������� �� ���� ��� ������#��� �� � �������� ���������� ���� 1� $� �������� �� ������� �� #���� �� ��������� �� �� ���� �� �� �� ���� �B��������� �� ������������ ���� ��� �� ���������� �������� �� �� ������������� ������� � ������ %-�4"&�
�
��
1
�� 4�� -
;?-���� �� -
63�?���
����� �������� ���� ,���� -�17 ����� �� �������� �� �� ���� ����� �� ��� �� ������� �� ��� ������� ��� ������� ����� ��� ���� �� ���������� ����������� $� �������� ���������� �� ����� �� ���� ��� ������ �� �� �������� �� C�� �� � 7 ��� � ��� ���� �� ������� ������ �� ��������� �� ���� C�� �� ��� ����������
$���
��7 � ��- � 7 ��� ���" � ���"� ��4 � ���; �-�""7�$� ���� ������ %-�-;& ��� � ������ �� ��� �� ���� ��8���� ��
l
EI
zy
q
–1 0 1 2 3 4 5
h = l4
���� ���'
����� �� ������� ���������� �� ����� ��
��� �� �� ������� ���� �� ����� �� ������ %-�"7>&� @���
���� �
���" � -��7 � 3��" � -��1 � ��; ���-
���
��� �� ������
� � �
-� � � �� -
143���
� ���� ��(��� ���� ������� ������ %-�""7&�
4��" � -��1 � ��; � �
*��������
���� �
�-��" � 3��1 � -��; � �
����
��" � -��1 � 4��; � �
$� ������� ��������� �� ������������ ���� �� �B������ ���� ���� ��� �� ������ ������� ��� � ��� ���� ����� ���� ��
�� ���� � ��� �-�"""����
�� �4 �- "
�- 3 �-
" �- 4
��
�� ��� �
��"
��1
��;
��
�� ��� � �
"
"
"
��
�� �-�""1�
$� ����� �� �� �B������ �� �� ���� �� � ������� ��� �� ���� %-�"""& �� ���������� �� ������ ��
���� � �� �"��� ����� ����
��"
��1
��;
��
�� � �
1�4
;�4
1�4
��
��
��� �� �B����� �� �� �� ���� ��
��1 �;�4
143
�� -
���� �� -
6;�"���
$��� �� ������ ����� 4A �� �� ���������� ����� ����� �����
��� ��� ������� � ���������� ��������
���� �������� ���� � ���� � ���� �����$� �������� �� �� ������� �������� ��� � ������� �� � ������� ��������� �� ���� �� ���� ������� �� �� ���� @��������� ���� ������ �� ������� 8��� ��� �� ������� � ����8��� �� �� ��������� �� �� ��� ��� �� ������ ����� �������� ����� �� �� ��� $��� �� ���������� �� ���� ���� �� ����������� ���� �� ������� ���� �� �� ��� �� ������������� ����� ������������ �� �� �� ����� $� �������� �� �� ���� ��8������ �� ����� �� ,��� -�1"�
$� ����� �� ������ ����������� �� ���������
��- � ��1� ��4 � ��"
0��
� � �
3� � � �� -
"1>3���
$���� ������ ���� ��� �� �� ���� �� ����� � ����� ������� �������� ������ %-�"""&� ��� � �������� /� ���� ���
�� �4 �- "
�- 6 �-
1 �? 3
���
���
��� �� �������� ��
���� � �
?�64
"4�7
"6�14
���
���
$� �B����� �� �� ���� ��
��; �"6�14
"1>3
�� -
���� �� -
64�"���
–1 0 1 2 3 4 5 6 7
Symmetry
���� ����
����� �� ������� ���������� �� ����� ���
����� �� ������ 1A �� �� ���� ���������� ���� ���� ����� ������ ��� ����� �� �� ����� ��� �� �������� ��� � ������� ����������� �� ���� �� ���� �� �� ����
��) %����� ����������� ��� �������� ������������� ����� �� ������� ������ �� ��������� ���������� �� ��������������� �� ��� ���������� @����� ��� ������� ������ � ������ �� �� ����� �� ����� ����� ��� ��� ��� � �������� �� �$$�������$��������� /� ���� �� �� ��� ����� �� �� ������� �� ������ ����� �� ��� ����� �� ,��� -�11�
+ ���� ���� �� ��� ������� ������������ �� �� �� ���������� � �������� �� C�� ���� �� �� ���� �� ���� ������� G� ����� ������ ���� �� ���� �� �� ������� ������� �� ����� �� �� 6�� ����� �� ������ � ������� ��������� ����� ��� � �������������� �� ����� �� ,��� -�1;�
��� �� �� ����� �� ������ ������ �� �� �� ���� ����� ������ � ����� ������������� $� ���������� ��� � �������� ������� ����� �� ��� �� ����.� ������ �� �� ���������%-�-;& �� ��� �������� ���� ���� ��
�������� � 7 �-�"";�
������� �� ��������� �������� ���������� �� �����
��7� � 7 ��� ����� � 7 �� � �-�""-����� � �� ��� ������ � �� �� � �-�""4�
A B
���� ����
A
Buy
φ
���� ���
��! ��� ������� � ���������� ��������
���� �� ���� ���������� ��� ��������� �� �� ���������� � ��
��� � �� ��
� 1� 1��
� ;
�; �
� ��
�� ;��
� 1
�1 �-�""3�
)� ������� �� ���� ��������� �� �� ���� ������ � ������ ����� ������ ���� 0� $��� ��� � ��������� ����� �� �������� �� ������ %-�;;&
� � "
1
��
7
������
1 �
������ �� ��� �� ������ %-�""3& �����
� � "
1���
�- ��1
�� "1 ����
� 1� "1��1
� ;
��-�""6�
@����� �� ����� ��#�� ���� �� �������� �� �� ������� ����% ������ %-�""6&& ������ �������� � C��� �� �� �������� �� ������� ���� �� ���� � ���� ����
�� � � �� �-�""?���� �� ��� ��� ��� �� �� �������� ������ ������ ��� �� �� ������
� � 7 �-�"">���� ��������� ���� �� ��� ����� �� ������ ���������� /� ����� � ������� �� ������ �� ��� ����������� � ���� �� �������� �� ���� ������� ������������� :����� ���� ��� �� ������ �������� 1� ������ 1�;� � ��� ��� ��� ����� ����
%�& �� ���� �� ���������� �������� ��� �� ����������� ���������� ���� ��'���� �� ����� ��� ����� ���� ����������%��� �� �� �������� �����������&
%�& �� ���� �� ���������� ���������� ��� ��� �� ������������� ���� ���� �� ���� %�� ����������� ����������&�
/� �� ���� ��� ��� ��������� �� ��(� ����� =������ ��������2 ����������� �� �� (������� �� ����� ����� ������ �� ������ 1�$��� �� �� ��� ����� �� ,��� -�1-�
)� ����� �� ������� �� ������� �� �� ���� ��� ����� ����� ������������ ����.� ������ �� �� ��������� ���� �� ���������
����� �� ������� ���������� �� ����� ��"
�������� ����������
��7� � 7 ��� ������ � 7 �� � �-�"17�
���� � �� ��� ��������� � 7 �� � �-�"1"�
+ (��� �� ��� ����� �� ���� ���� �� �� ����� �� ������ ����� ���������� �� ����������� �� C�� %������ 1�;& ��� �������� �� 8� ����� C��� $� ��� �� �� �������� �� ,��� -�11 ��� -�1; ��� �� ����������� ���� �� � ���������� ��������� ����� /� ���� ��� ���� �� ����������� �� �������� ��� � ����� ���� ��������� ��������� ��( ����� �� ����� ��������� ���H�� �������� �� ������� �� �� 6 ��� ���� ����� �� ��� �� � ��������� �� �� ����� ���� I������ � ������� ���� �� 6 � ��� ��� C�� ����� �� �������� ��� ��� �� �� ���� ����� ����� ������ �� ���������� �� ����������� $���� � ���
����� ����� � ���������� � ���
�3��
� 1� - ��
�
��� 7 �-�"11�
� ��� � ���� � �������� ��� � ���
�"1��
� ;� 3 ��
� 1
��� 7 �-�"1;�
0���� ���� ���� �� 5� ��� ��� � 7� � ���� ��� ��� C�� ����� ����� �������� �� �� ��� ���� $�� ��
����� � ���7� � �������7� � ���
�3��
� 1� 1 ��
�
��� 7 �-�"1-�
� ��� � ���7� � ������� �7� � ���
�� "1��
� ;� 3 ��
� 1
��� 7 �-�"14�
+ ���� ��� � ���� �� �B����� �� �� �� ��� � ����� �� ���������� ������� �� �� ������������ ,���� �� ��� �� ��� � ������ ������� �� ����� ������������ �� �� �� �� �� �� �� ����� ���������� �� ���������� � �������� ��� �� 5 ��� ���#�� �� � ���� � ��� � ����� �� �� �� �� 6� ��� �� ����� �� �� ��� ��� ������ ���� �� ������� %-�"11& ��� %-�"1;&� $��� ����� ��� ��������� ������� �� ��������� ��� �������� ���������� �� 6 ������
uy
���� ����
��# ��� ������� � ���������� ��������
�� �� ��� �������� ���������� % ������ %-�""4&&
���������� � ����� � ���
�3��
� 1� - ��
�
��-�"13�
�������� ��� � � ��� � ���
�"1��
� ;� 3 ��
� 1
��-�"16�
��� �� ����� ����� ��� �� �� �� � ��������� ����� �� ���������� �� �� ������ �� ������ ���� ��� �� �� ����� �� ,���-�14� ����� �� ������ ������� ������� �� �� �� �� ,��� -�1;�
+ ���� �� ��������.� ����
� � "
1� ��� "
1�� ��
� "
1���
�"1��
� ;� 3 ��
� 1
���� "
1���
�3��
� 1� - ��
�
��� �-�"1?�
��� ���� � ����� ������
� � "
1���
�- ��1
�� "1 ����
� 1� "1��1
� ;
��-�"1>�
$��� �������� ����� ��� �� � �������� �� ���� �� ������ %-�""6&�/� �� ��� ���� ����
�� ���� ���� � ����� � �� ������� ��������� ���� ��� �� ������ � �� ��� ���� �� �� ������� �� �� �������� ���� �� ��������� ��������
/� ���� ������ �� ������ ���� ����� �� �� �� ������ ��� �����( ���� � ��� ����� ������� �� ���8��� �� �� �� �� ������ ����� � ���� ��������� �� �� ����� �� 6� $����� 0 �� ���C��� ��� �� �������� �� ����������� �� ���� �� ��� ������� ��> �� ���� ��� C���
/� ������ � ���� ���� �� �������� �� �� ��������� �������%-�"11& ��� %-�"1;&� �� ����� ��������� �� �� ������ ���8��� ������ � ���� ���� ��� ����� ��������� ����� ��� ���� ����� ���� ������ ���� ��� ���� ������ �� ��� ��� ���� ������� ��� �� �� ������������ �� �� �� �� ���� ������ � ����� ����
R
M
���� ����
����� �� ������� ���������� �� ����� ���
�� �������� �� �� �������� �������� ��� � ������� ��������������� ��� � �������� ������ �� ������ �� �� ��5 �� �� �� ����� ��,��� -�13�
$��� �� � ��������� ����� ��������� �� ���� ����� �� ,��� -�1;��� ��� �� ���� ���� �� �� ������� ����������� @���� ���������� �������� �������� ��� �� �� �� ���������� �������� ��� �� ����������� �� ���� ����� � ���� ����� �� ������ > ��� �� �� ��� ��� ������� �� ���� ������� �� ����� �� �� ���� ������������ �� �� ������
+ ��� ��� �� ���� ��������
������ � ���7� � ���
�� 3���
� 1� - ���
�
��-�";7�
�� ��� � ���7� � ���
�"1���
� ;� 3���
� 1
��-�";"�
������ ����� � ���
�� 3���
� 1� 1 ���
�
��-�";1�
�� ��� � ���� � ���
�� "1���
� ;� 3���
� 1
��-�";;�
��* �(��� �� ����������� ���&��/� ����� �� ���� ������ �� ���� ������� � ���� �� ��� ���B� ���� ��8��� �� ������� ������ �� ���� ��� ���� /� ������ "�1 ������� �� �������� �� �� ���� �� � ��� ����� � ���� �� �� �������� ���� �� ������� �� ��� ��� ������� ����� ������ ����� ��� � ������� ������ �! � ! � !7� $��� ��� � ������
A
B
uy
φ
���� ���!
� ' ��� ������� � ���������� ��������
%"�";&�
��! � � �� � ��! � !7� � "1 "��
1 � "�����! � !7�+ �������� �� C�� ���� �� ���� �� �� ���� ���� �� ! � !7
��� � � � �� $� ����������� ���� �� ��������� �� � � � � � ����� ������ ����� ��� ��������� �� ������� �� ���� �� ������%"�"1&
�� � �
"� ���! � !7�
��� ? �� �� ����� ���8��� �� �� ��� ��� � �� �� ��'���� �� ���������� ��������� ����� ��� ���� ������ �� ������� ��� ��������� ��������� ��� �� ������ ��� �� ���� + ��� ������ � �� ����� ����� �� �� ����� ���8��� ? �� �� ��� ���������� ������ %-�4&� ����
��! � � �� � ��! � !7� �"
1
��
���1 � ��
������! � !7� �-�";-�
����������� ������ %-�";-& �� �� ���� ���� �� ���� �� �� �� ��������� ��� �� ���� ������� ���� ��
��! � !7� �-�";4�������� �� ��� ����� �� �� ��� ��� �� ������� ����� �� �� ���� ����� �� ������� �! � ! � !7� $� ����� ��� ����� ���� ���
"
1
��
��� 1 � ��
������! � !7� �-�";3�
������ �� ��8��� ���� �� ������ %-�?& ��� �� ���������� 0 ����� ����� ��� �� ����� �� �� ��� �� �� ����������� � � � � � ��� �� � ���� ��� �� �� ����������� �� ���� ������� ����� � ��� �� ��� � ��������� ��� $��� �� ��� � ��� ����� ��
��
������! � !7� � ����! � !7� �-�";6�
��� �� �� �� ������ �� ���( ��� �� �� ����� ���� � �� �� 8���� ���� ���� �� �� ��������� �� �� �� ����� �������� ����� $������( �� ��� �������� ����� �� ������ ���� �� �� ��� ��� �� ������������ ������ %-�?&� $� ���� �� ���� �� � �� �������� ��������� �� (����� ���� � ��� C�� ����� $������ ��� ������ (������ ����� �� ��� �� 8�� �� �� ������� �������! � ! � !7 ��� � ����� �� �� ���������
���! � !7� �-�";?�
����� �� ������� ���������� �� ����� � �
�� �� �� ������ ;�1� �� ��������� ����� �� ����� �� ������%-�";?& ���������� � ����� )��� =���� ���� �� ��$�� � ��� �$$���������� *��� ������� �� ������� ����� �������� ������� /� �� ��� ������� ������� � ��� ����� ���������� �� ����� �� ������������� �� ������ �� ��������� ��� ��� �� �� ����� �������� ���� ���� �� ��� ���������� $��� � ��� ��� ���� �� ����� �� �� ��' ���� �� ����� ����� �������� � �� ���� ��� � ���� ��� �� ��������� ����� ������ ������� �� ��� ��������� �� ��� �� �� ���� ��
�� � � � ��! �-�";>�/� �� ���� �� �� �� ����� ���� ���� �� ������ �� ��� ��������� ����
������ ���� ��� �� ���� ���� ����� �� �� �� ������� �� �� ��������� �� ������ %-�";4&� $� ���� ����� �� ���� #� �� ���� ���� ��������
# � �� � � � ;��! �-�"-7�@����� � �� ��� ���� ������� ���� �� ���� �� ��� �� �������� ,�� ����� �� �� ��� �� �� ��� ����� �� ,��� -�16� $������ �� ����� �� ��� �� ��� �� ���#�� �� � ������� �������! � ! � !7� $� �� ����������� ����� ��� ������ �� �������� ���� ���� �� ������ � ���� �� ������ ������ �������� �� ������� ������� �(� �� ����� ������ ��� �� C��� ,�� � ��� ������ �������� � ���
�� � ���! � �
��� � 7 �-�"-"�
��� � �� �� ����� ���� ������ �� �� ��� �� �� �� ���������� ��� ������ �� ����� �� ,��� -�1?�
$� ���� �� �� ����� ���� �� �� �� �
� � ���! �� �-�"-1����� �� � �������� ���� ����� ������� �� ����� ��������� �� ���� ���� ��� ������� �� ���� �� ���� ������ �� �� ����� ���� ����� $� ���� �� �� ��� ��!� ��
��!� � ��! � !7� �"
1
��
����! � !7�� 1 �-�"-;�
ΔT = T – T0
l
���� ���"
� � ��� ������� � ���������� ��������
��� �� ������� � �������� ���� �� �� ������� � %�� ����� � �����&� $� ������� �� �� ������ ����� ���� �� �������� �� � ������ ������ �� � ��� ����D ���� �� ������ �� � ��� ���7�4 ����� ���� �������� ��� �� 14771� /� � ��� ���� ��� ��� ������� ��� ���� ��� ������ �� ���� � ���� �� ������%-�"-1& �� ��� �� 1-- (0 %��� ��� ����� ���� 7 �� ��� "77 ���� ��'���� � ��� � ��(� ��� �� ""�3 � "7�3 ���" ��� �� �� ���� ��� ��(� �� 1�" � "74 0H1&� ,�� ���� ����� �� ����� �������� ����� ������� ��� ������ � �������� ������� �� ��� ���� ����� ���� ���� �� ����� �� ����� ��������� ��( ������ ��� ���� ����������
�� � ����� �� ������ "� ��� ����� �� ����� ����� �� �� ���� ���� �������� �� ������ $����� � �� ��� ������ ������� ������ ��� ������� ���� �� �������� ��� �� ���� ���� ��� ������ ������� ��� �� �������������� ��( ���� ��� ������ ��� ������ ����� �� ��� ���� �� �� ������� �� �� ���������$��� ��������� �� ������� ��� ����������� ��� �� ��������� �� ������������� ������� ��� � ��� ���� ������� �� �� (������ 8����� ������� ������� ��� �� �������� ��� ����� ������� ����� ���� ����� /� ���� ���� � ��� ����� ����� �� ��������� �� � ���� �������� �� ����� �� ����� �� ����� �������� ���� �� �� ����� �� ,��� -�1>�
,�� �� ��( �� ���������� ������� � ���������� ����� ������ ��������� ���� �� ������� �� �� ���� ��� �� �� ��� ����� ��������� ����� �� �� ���� �� !1� ���� �� ������� �� �� ����
N N
l
l + αl ΔT
���� ���#
l
AB
T2
T1
���� ����
����� �� ������� ���������� �� ����� �
��� �� !"� ���� ����
!1 � !" � !7 �-�"--�!7 ��� �� ������ �� ����� ��������
+ ������ ���� ���� �� ������� ������� �� �������� ��������� ���� �� �� ����� ������� ���� �� �� ������� ����� ����������� �� ���� �� � ���1 ��� �� ���� �� � ��1� �� ������� ,��� -�;7�
/� �� �������� �� ����( �� ���� � ���� �� ����� ������ �� ���� ������� �� �� �� �� � ������ ������� ���������� ���� ��
�! � !" � !1
1�-�"-4�
��� � ����� ������� ��������� ���� �� ����� ��! ��� � ��! � ���
��! � !1 ��!" � !1�
1� !1 � !"
1�-�"-3�
� ��! � !" ��!" � !1�
1� !" � !1
1�-�"-6�
�� ���1 ��� ��1� ���������� $� ��������� �� ������� �� ,��� -�;"�
Hx
yT1
T2
���� �� '
T1
T2
= +
T +T
–T
T =
=
–T =
T1 + T2
2
T2 – T1
2
T1 – T2
2
T
���� �� �
� � ��� ������� � ���������� ��������
+��� ����� �� �� ������ ������� ��������� �! � � ��� �������� �� �������� ����� ������� �� ������ ������� �� ���� �� ���� ��� � ���
� � �! �-�"-?�)� �� ���� ����� ���� ����� �� �� ����� ������� ������������� ��! ��� � ��! � � ��� ���� �� ����� ������� ���� ���� �������������� �� ���� �� �� �� ��� � ���
� �� ��!1
��-�"->�
/� �� ���� ���� ���� �������� ���������� �� � �������� �� �������������� ���� �� �� �� ���� ��
"
� �� ��!
"
��-�"47�
����� �� �������� ����� �� ������������ ���� �� �� ��� $������� ����� �������� �� ���� �������� �� ����� �� �������� �� ������� ��������� �� ����� �� ,��� -�;1� ��� �� ������� ��� �� 5 ��� 6 ��
���� � 7 ���� ���
7
� �! � � � �!� �-�"4"�
���� ����1
7
� ��!"
�� � � ��!
�
1��-�"41�
���� ����1
7
�� ��!"
�� � �� ��!
�
1��-�"4;�
/� �� ����� ������ ���� �� �� ��� ��� �� �� ��������� �� � ������ �� ������ �� � ��� ��� �� %,��� -�;;& �� ����������������� �� ������� %-�"4"&5%-�"4;& �� ��� ������ ��� ���
AB
T1
T2
���� �� �
����� �� ������� ���������� �� ����� � �
/� ���� �� ������ �� �������� ���� ���� �� �� ���� � ��� �������� ����� �� ����� ������� �� ���� �� �� �� �� �� �������� ����� �� ������� %-�"->& ��� %-�"47&� +��� ����� �� �� ����������� ������ ���� ������ %-�"->&� � ��� ������ ����� ���� �� ��� ������� �������� �� ������� �� �� �����
��� � �� �! �� ��� � ��� �! �� �-�"4-�+��� ����� �� �� ����� ������ ���� ������ %-�"->&� �� �������� ������ %-�;;& � ��� ���� �� ������ ���� �� �� �� ��
� � "
1
��
7
���
�"
� � ��!
"
�
�1
�
� "
1
��
7
���
����� � � ��!
"
�
�1
� �-�"44�
��� �� �� ���� ����(�� �� �� ������ ��������� ��� ���������� ��8��� ���� �� ����� �������� ��� �� ����� ���
$� ��������� �� �������� ��
�� ���
7
���
����� � � ��!
"
�
����� � � 7 �-�"43�
���� ��������� �� �� ������� �� ������ �� ������ -�-� � ���� �� �� ���������� ���� ���� ��������� �� ������� �� �� ���������� ��8������ ������
���
����� � � ��!
"
�
���� 7 �-�"46�
$� ����� �������� �� ���� ������ �� �� �� ���
��� � �; ���� � ��!
"
�
�1 � ��� �-�"4?�
l
A BT1
T2
���� ��
� ! ��� ������� � ���������� ��������
��� �� ������� �� �� �������� ����������
��� � 7 ��� � 7 ��� � � �-�"4>���� � ����� � 7 ��� � 7 ��� � � �-�"37�
�������
��� � 7 �-�"3"�$��� ��� ���� ��������� �� �� ��� ��� ������ ��� ����
������ /� ������ �� ������ ������� ������� ������ �� �������� �� ��� ����� �� �� ��� $� ������ ��� �������� ��� ������ %-�"46& �� �� �� � �������� ��� ��� �� �� ���� �� �������� ���� �� �� ����������� 5 ��� 6� ���� ��
���� � ���7� � �������7� � ����
��!"
��-�"31�
���� ����� � ��������7� � ����� ��!"
��-�"3;�
+�&&����� ������ ��������"� � ������ ������� �� �������� ����(��� ���� �� � �� ����� ��
������ �������� �� �������� ������ �� ����� �� ,��� -�;-�$� ���� �� ���#��� �� �� ������ �� �� ����� /������� ��8��� �� �� �� ���������� �� �� �� � ��� �( �� ������� ��� �� �� �� �B����� �� �� ��� �� �� �� ���� ����� � ���� ������� �� ����� �������� ���� �B����� � ������� �� ������������� ������ �� �� �������� ������ �� �$ � -7 (0H1�J���9 � � ""�- K
35 m
3 m
40 m
Δ
���� �� �
����� �� ������� ���������� �� ����� � "
1� � ����� �������� �� ��� ������������ ������ #���� �� � ����� ��� �� �������� �� ����� $� ������� �� �� ������ ��� �������� �� �� ������ ���������� ���� ����� �� ,���-�;4%�&� $� ������ ��� �� ����� ������ ����� ����� ��,��� -�;4%�& ��� �� �� ��� ��� ���� � ������ �� 174 (0H1� $� ����� B���� �� �� ������ �� �������� �� ������ ��� �� ����(��� ��� 17 �� �17 � %� �� ���� �� ������� ����� ������ �� �� B��� �� �� �� ������ �������� � �� ,���-�;4%�&� �� ��� �� �� ������ �� �� ����� ������ �������� � ��,��� -�;4%�&�
�������� �� � ���� ����(��� � �� �� ��������� ��� ������ �������� �� �� �B����� ���� ���� ����� ��� ������ ������������ �����J���9 % � 1;�>� �� �� ���� �B����� �� �� �������� ���� 63A �� �� �� ������� ���������K
;� $� ��� �� �� � ����� �� �������� �� �� ���� �� � ������������ �� �� ������ ����������� �� ����� �� ,��� -�;3%�&� $��� �� ������� �� �� ����������� ����� �� ,��� -�;3%�& ��� ������� �� ������� �� � ������ ���� � ���8��� �� ? J0HK�
A B
q
D
C
D
15 m
30 m
7·5 m10 m
20 mm
20 mm
400 mm
1·5 m
t
(a) (b)
20 mm
���� �� �
(a) (b)
q
kEI
EIq
���� �� !
� # ��� ������� � ���������� ��������
E���� �� �������� ��� �� ������� �B����� �� �� �� ������ �� ����� ��(� ������� �� �B����� �� �� B����� ���8���+� �� ����� �� ��� �� ������ ���������� ���� 1�J���9 � � 4�� -��;?-�� � ?"� ;�K
-� � ��� �������� B��� ���� � ���� ������ �� � "" 7770H;� ��� �������� ����� �� " ��� � ���� ����(��� �� "4� $� ��� ���������� �� ;7 �������� �� ����� �� ,��� -�;6� $� B��� B���������� �� ��� ���� ���� �� ���� ���� �� ���� $� B��� ��� � � ������ �� ?7 �� ��� �� �� � ����� ���� �� ���������� �� ����� ��� �� B��� �� �� ������� ������� �� ��� �� ���� ������ ������� ����� ������� ��� ?7 �� �� �� ����� �� �� ����� ����� ������� �� 17 �� �� �� ���� �� �� 5�
�������� �� �B����� �� �� ��� �� �� ���� ��� �� �� ������������ ���� �� ���� ����� �� ��� �� �� � 66 777 0H;��������� ���� �� ����� �� �B����� �� �� B��� B��� ��������� ��� ��� �� ������� ����� �� �� �������� ����� ����� ������ �����J���9 �" � 3�; � �1 � ";K
4� � �������� ������� ������� ��� �������� ���� #����������� �� 6� $� ��� 67 �� ���#��� �� � �������� ��������������� � � 1777 0H� �� ����� �� ,��� -�;?� ���� ���� �� ��
30 m 30 m 30 m
B A
Direction of fluid flow
���� �� "
50 mm diameter
2 m
3 m
A
B C
q
���� �� #
����� �� ������� ���������� �� ����� � �
��� 47 ����� ����� ��� ��� ��� �� ������� �� ���������������� �� 5� 6 ��� 7� $� ������ ��� ��� �� 174 (0H1� E���� � �������� �� ���� �� ��������� �� �� ����������$ �� �� #���� �� 7� ������� ���� �� ���� ������ & ���� ��� �� �� ���� �� �� ���������J���9 �$ � 7�71> ���� & � "�>" � "7�;K
��' ��� ������� � ���������� ��������