théophib f. hammann
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THESE PRÉSENTÉE A LA
FACULTÉ DES SCIENCES DE L'UNIVERSITÉ DE STRASBOURG
POUR OBTENIR
LE GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES PHYSIQUES
PAR
Théophib F. HAMMANN
SUJET. _ Forces réalistes non locales,et leur importance pour la connaissance des propriétés microscopiquesdclamaoére nucléaire et des noyaux.
Soutenue le juillet 1970 devant la commission d'examen.
G MONSONEGO Président
P.CHEVAIXIER Examinateurs H.BEAUMEVIELLE. }
4-
ruxvn des âcmras de I'WOTOSITB a* STRASBOURG
Boyon : Professeur J.H. VllUM
Borons Honoraires : A. m U t t l i l , P. U C M U n , B.J . MAK9Q0KUX, G. MEUAT
Professeurs Honoraires : P. SB BUOCBAMP, L. BOISSHIT, H. CARTA», G. CBBF,
c. CBABAWÎ, A. CBPJTXM, j . n , a», BOOBUM, ». PMCBCT, Mie s. GHHI, A. HBB, H. BOCART, A. K U B M S W , G. UMBt, P. Z'BHBITm, A. U C — W I C Z , H.J. MMOaqinUI, L. MOI., Ch. S A M » , F. TB«ODa, H. TIUAT, R. «KISS, te. wtrr, j . ÏTOM v
Maître de Cyrférançes Honoraire : H. VOL.
Chisde générale Physique du Globe Astronomie Zoologie et Knbryologie expérimentale Physiçochisde du Pétrole Physique générale «t Physique nucléaire Mécanique des Fluides Chimie Physique Chimie nucléaire Minéralogie et Pétrographie Biologie générale Physicochimie macromoléculaire Physique générale et Physique corpusculaire Géologie et Paléontologie Physique du Globe Minéralogie Chisde minérale Botanique Physique générale Physiologie générale Chimie biologique nectrockUde Chisde Physique nucléaire Physique générale Mathématiques Physique Physique Chisde Chisde physique Physique Physique du Globe Microbiologie
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A. SIOOT P S.C. Zoologie A. FBCBS 1. Mécanique rat ionnel le A. GAUttUM T.T.P. Physique P. MtAUE T.T.P. Physiologic aniaale j , r . H T. Chiade biologique J . PAHHD T.T.P. Chiade *.mc T.T.P. Chiade M M 9 . MAOttC T.T.P. Physique M. BADMI P.S.C. Physique J .P . AUOtF T.T.P. Chimie nucléaire B. M K D T.T.P. Méthodes mathématiques de l a Physique «. BalOn. T. Physique expérimentale P. OBTAIUn T. Physique
j . ammun T.T.P. Mécanique de* Fluides P. CMT3W T. Mathématiques
c m s T. Topologie
j . wcam P.S.C. Physique Mac MtlKIM. T.T.P. Chimie H. BWAMTOX T.T.P. Botanique K. nass T.T.P. Chimie P. FBDKUUW T.T.P. Ciiiade J . IJB1AI ^ P.S.C. Physique J .P . SGMuMG P.S.C. Chiade M. sisaKns P.S.C. Physique G. MOKSOMGO T. Physique Théorique P. GABRIK. T.T.P. Mathématiques c. uppuot T. Physicochisde des Hauts Polymères iad P.A. MDBt T.T.P. Mathématiques 0. « U , P.S.C. Physique J.M. «LOCH T. Chiaie A. CUOSS P.S.C. Chiade « . FOUJDmH P.S.C. Zoologie J . I0CAS T.T.P. Géologie j . j . wamaut P.S.C. Bio log ie animale C. G L U » T. Mathekatdques J.H. VOL r .S .C. Chiade biologique B. POATA P.S.C. Mathéaatiques H. PANAX P.S.C. Physique X. 1—1QU* P.S.C. Mathématiques
r. wmm P.S.C. Physique
G. i m t P.S.C. Physique électronique T. AYAMSSIAK Aoalyi.^ sapérieure
T. uaaoTX T. Biologie végétale J . F . EBBHAKT F.S.C. Minéralogie M M » . CAGKÏAKT F.S.C. Chimie j . STREtTH F.S.C. Chimie J.M. unm F.S.C. Chiaie c i . BOBEAT F.S.C. Physique A. GHAIDIE F.S.C. Biologie animale F . BICKER F.S.C. Physique mathématique M. KAMDBI F.S.C. Mathématiques Â. MXGNQT F S.C. Mathématiques appliquées
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MM VOTRE Chr Physique M. oamoi Botanique j . DBHAND Chimie minérale J . PRADINES Mathématiques R. GERARD Mathématiques J . BOW Botanique K. TOLTZ Physique théorique A. MXCHARD Géologie T . BOOIARCER Chimie biologique S . BACOMHA-CASneUX Mathématiques j . p . BRETACMUX Mathématiques J . j . HTML Chimie
Mathématiques Chimie Physique J . FAtKE Mathématiques Chimie Physique
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Secrétaire aénéral de la Faculté ; M. M....
l i l l l D E S M A T I E R E S
Introduction . 1
CEAPITII I DEFmiTIOM DU POTENTIEL
1.1. Un potentiel «Sparable non local 11
1.2. Résolution de l'équation de Schrôdinger 16
1.3. Analyse en déphasage 18
1.4. Détermination des paramètres 22
1.5. Discussion des résultats 23
C1APITEE II LA MATIERE kTUCLEAIXE
II. 1. Propriétés générales 25
11.2. Calcul de l'énergie de liaison en théorie per-
turbativs 28
à.)- KppH.oxliMuU.on dt t'tipctct dt pkcut iphlKiqut tt b)~ Mltkodt dt* polynSmti dt Ltgtndxt ........ $0
11.3. Matrice de réaction 31
11.4. Energie de symétrie 33
11.5. Résultats numérises 34
CIAPITRE III LES VOYAUX SPHERIQUES
111.1. Introduction 38
111.2. La méthode Hartree-Fock 39 a . , . ' . ' • .
111.3. Calcul du 2 • ordre 40
111.4. Calcul de la matrice de réaction C dans les
noyaux ......;..... 43
111.5c Késultats et discussions 46
CHAPITRE IT FORCES MOU LOCALES IT TRANSITIONS DIPOLAIKES
DAKS LES NOYAUX LOURDS
IT.l. Giniralitis - Caè des forces conventionnelles .. 49
IT.2. Forces non locales ", 50
XT.3. RCsultats numtriques -Discussion 52
CHAPITRE Y FORCES «01 LOCALES ET SPECTROSCOPIE NUCLEAIRE
T.l. Les noyaux A»4 53
T.2. Lea isotope* de l'oxygène 56
T.3. Les noyaux de la rCgion A»50 58
a)- te icandium 5* b)- le calcium et It titane 6t ci- Conclusion* 6$
CHAPITRE TI OISCUSSIOH DU POTENTIEL
TI.l. Domaine de validitC du potentiel 66
TI.2. Importance des ondes niglig£es i 66
VI.3. Comportement a longue distance 67
TI.4. Importance de la non localitt 67
COKCLUSIOM 69
APPENDICES 72
Appendice A -Set* l'approximation de l 'espace de pfuut *pkHUqut 72
AppemUceB - Calcul de t'tntigit de ifmttuit . . . . . . . 75 TABLEAUX ET FIGURES 77 BIBLIOGRAPHIE . . . . . . . . . . . . . . . ^ 118
/
IMTKOBUCTXOH
L'étude et la détermination, tant expérimentale que thé
orique, de la nature de la force existant entre deux nucléons
isolés ou influencé» par la présence d'autre» nucléon», eat
l'un dea problèmes le» plu» fascinants et les plus fondamen
taux de la Physique Contemporaine . Jusqu'à très recensent ,1a
connaissance de ce» forces nucléaires se limitait à la mesu
re des sections efficaces de diffusion élastique et 3 l'énon
cé' de quelques regies (impies de conservation et de symétrie.
On postulait en outre l'existence d'un potentiel nucléaire at
la prépondérance, dans un système de fermions, dea interac
tions 3 deux corps . Ces postulats constituent encore là bas*
de la Physique Nucléaire actuelle *: on admet que dans le do
maine des énergies non-relativistes de 0 3 400 MeV l'ef
fet moyen de tous les phénomènes complexe» ayant lieu entre
deux nucléons, eat convenableaent traduit par un potentiel et
que lea interactions à trois corps sont négligeables .
Peu après la découverte expérimentale du neutron par Chad-
wick , Heiaenbarg, Wigner st Majorana proposeront le pre
mier modèle de potentiels nucléaires .Ce type de potentiel
simplifié reste 1» plus utilisé dans les calculs de spectros
copic nucléaire . Sa forme générale eat :
V<r)-V w(r) +V J J(r)P 0+V M(r)P H +V H(r)P MP a .
Les opérateurs P u et P„ , dits da Major ana «it de Bartlett
respectivement, échangent les coordonnées et les spine des
deux nucléons en interaction . Les paramètres du potentiel
sont choisis de façon phénoménologique en astreignant le po
tentiel i reproduire certains résultats expérimentaux, choisi*
- 2 -
arbitrairement . Cas potentiels phénoménologiques, servant es
sentiellement d'interaction effective dans le modèle an couches,
ont l'avantage d'etre slaplea 1 utiliser, de permettre da corri
ger de manière phénoménologique: lea erreurs dues aux simplifica-
tioaa at aux approximations d.a modèle utilisé, et enfin de per-
aettre de.simuler l'effet moyen des teraes d'ordre supérieur né"
gligés daaa les dSveloppeaents perturbatifs • Ils ont cependant
plusieurs inconvenient» grave» :
d'abord, pour une même foraa de potentiel, les paramètres
changeât suivant qu'ils sont déterminés par des considérations
de saturation de la matière nucléaire, de diffusion nucléon'
nucléon, ou de spectroscopic des noyaux légers .
Ensuite, cas Mélanges des différentes forces d'échanges;
doivent être changés quand on passe d'un noyau 2 un autre, et
marne pour le aime noyau, ils n'expliquent habituellement qu'une
catégorie limitée de propriétés .
Par ailleurs, ces potentiels sont habituellement purement
centraux et doivent être complétés, dans les calculs spectros-
copiques, par de plus ou moins nombreuses valeurs numériques
(Expérimentales, telles que énergies individuelles, espacement
des niveaux . . . .
Enfin, 2 part le fait qu'ils respectent les lois de conserva
tion, les potentiels phénoménologiques n'ont aucun fondement
théorique ou expérimental valable . Four ces raisons essentiel
lement, Dirac et Texmi ont élaboré des théories simples de l'in-
; teraction nucléaire, inspirées notamment par les interactions
électt «ngnétiques . Yukawa V ' admit (1935) que, pendant leur
interaction, les nucléons échangeaient "des quanta , qui corres
pondent sax photons des champs électromagnétiques, les "aésons".
De nombreuses études théoriques et expérimentales ont confirmé
.ce point de vue =:.!:° 7 •- -3 •• . : ' ; • - . . . . - . - • • •<; • . • ' . : .
ttap nucléons interagissant par l'échange de diverses sortes
de mésons scalaires, paeudo-scalaires où vectoriels . A une dis*
tance supérieure a deux fm , deux; nucléons interagissent par .
_ . — l!échange d'un meson H .Le couplage de ce méson avec le nu-
- 3 -
cléoa est bien connu et la contribution da cat «chance d'un
pioa (OPIC) peut donc <tr« calculée correctement . Malbeu-
reusemeatalla n'est valable que pour des momenta orbitaux
relatifs supérieurs >. 4 et les oades correspondantes sont
toujours négligées dans les calculs nucléaires, c'eat-I-di-
re que la présence du terne 0P1C a longue distance n'est
vraiment conséquente que si on utilise les ondes H, I, ...
Il semble cependant que ce tèrsaia favorise un bon comporte-*
aent hors de la.couche d'énergie . Les portées intermédîai-
res, de l'ordre de un fa , soat caractérisées par l'échan
ge des pesons vectoriels p, M et v ou de deux, trois,
... X-méseae non corrélés . Plusieurs essais ont été faits
réceaaent pour en tenir compte dans la déterainatioa des
forces nucléaires, àais les auteurs, partant d'hypothèses
différentes aboutissent souvent a des résultats contradic
toires et la situation deaenre confuse . " ' En fait, l'état
da la théorie des misons est tel qu'elle est, pour le aoaent
encore incapable de prédire la forne aêae approchée, des for
cée nucléaires a moyenne portée . Les distancée relatives in
férieures'! 0.5 fa sont caractérisées expérimentalement par
une forte répulsiea, maia du point de vue théorique on ignore
coaplitement ce qui s'y passe . " Tous les potentiels nu
cléaires existants peuvent 2tre classés suivant leurs hypothè
ses sur cette régies : les potentiels Hi coeur dur" admettent
uae répulsion infinie pour r"W).3 J 0.8 fa , les potentiels
1 "coeur mou" supposent qu*i la répulsion est forte mais finie,
locale en' aoa-locale, enfift, la plupart des potentiels effec
tifs ignorent complètement le problème.-.
Les aeillaures forces aéseaiques ne- contiennent qu'une di
zaine de paramétrée ajustables sur l'expérience, mais' elles
reproduiaent presque toujours beaucoup moins bien les courbes
de déphasage expérimentales peur les diverses ondes S, T et
D . ( > ) Le théoricien en Physique Bfecleéire préfère utiliser
«ae forcé contanent trois eu quatre fois plus de paramétres
ajuste* sur l'expérience, pourvu qu'elle reproduise fidèle
ment les nombreuses données expérimentales du problème ît deux
corps . One telle force est dite réaliste .
Les premiers potentiels réalistes qui aient été détermi
nés soat locaux , c'est-a-dire purement diagonaux dans l'es-
psee des configurations ou des impulsions
•erJwIr^-ffCrWr-r') .
Ils dependent éventuellement de la vitesse par un terme spin-
orbite . Des potentiels réalistes locaux, sont caractérisé*
par un coeur central fortement répulsif, nécessaire peur ren
dre compte des donates expérimentales de la diffusion 1 hauts
énergie . Ainsi, par exemple, les potentiels de Hamada-Johas-
ton et Gamael-Tbaler * ont un coeur dur, infiniment ré
pulsif, de 0.3 a 0.5 fm . Ils conduisent a des éléments
de matrice infinis et leur utilisation dans les calculs-des
propriétés, des systèmes nucléaires, exige le recours aux mé
thodes de Irueckner-Bethe-Coldstone (BBG) **' .De nombreux
calculs numérique» ont également montré que les potentiels à
rCpulsion forte mais finie (coeur mou) st les potentiels du
type Creen qui sont des fonctions quadratiques de l'impulsion,
conduisent fi une divergence, ou une convergence trop lente, de
la série ùe perturbation habituelle; ' ils do-.vent donc aussi
être traités par la méthode BBG t l , J . Les potentiels 1 coeur
dur reproduisent habituellement mieux les données expérimenta
les de la diffusion élastique, que les potentiels a coeur mou,
cependant,aime utilisas «*e 1» méthode BBG. ils ne saturent
généralement p>s dans la matlire nucléaire et donnent seulement
50Z de l'énergie de liaison expérimentale par particule "*' .
Four éviter ces méthodes et dans l'espoir de pouvoir utiliser
les techniques de perturbation usuelles, certains auteurs ont
suggéré de remplacer les potentiels a coeur répulsif par dés
potentiels non locaux, c'est-à-dire non diagonaux dans l'espace
des configurations ou des vitesses, ou par des potentiels dépen-
- 5 -
dant explicitement de l'impulsion . Ainsi, le potentiel de
Green, fonction quadratique de l'impulsion, reproduit assez
correctement les déphasages â hautes energies, mais il a été
montré que la convergence de la série de perturbation est
trop lente dans la matière nucléaire..infinie . En 1964,
Tabakin a proposé comme interaction nucléon-nucléon, une som
me de potentiels séparables décrivant la diffusion libre de
deux nucléons jusqu'au-delà de 300 HeV ; ce potentiel
sature la matière nucléaire, dans un calcul du premier ordre,
à un moment de Fermi de 1.6 fm ' et pour une énergie moyen
ne par particule de -8 MeV . Des calculs des propriétés de
la MH 1 3 ,, ont montré que les corrections du second ordre étaient extrêmement importantes, c'est-à-dire que, si le
potentiel de Tabakin n'engendre pas les corrélations â courte
portée caractéristiques des interactions fortement singuliè
res aux petites distances, il n'assure pas pour autant une
convergence rapide de la série de perturbation; en outre, il
ne peut pas rendre compte â la fois de l'énergie de liaison
par particule et de la densité de saturation de la matière nu
cléaire :<£—16 HeV a k£-1.38 fm- 1) V
Ce qui est vrai pour la HN demeure habituellement vrai
pour les noyaux finis, 3 ceci près, que les calculs sont beau
coup plus compliqués . . . • • '
Pendant longtemps, les seules interactions utilisées dans
les calculs des propriétés des noyaux, étaient les interac
tions effectives . Elles ont permis de comprendre, essentielle
ment dans le cadre du modèle en couches, un nombre considéra
ble de propriétés nucléaires .Par exemple elles ont été très
utiles pour connaître la nature des spectres d'énergies (mou
vements collectifs ou excitations d'un nombre limité de parti
cules) , dés transitions électromagnétiques et des résonances
et réactions nucléaires . En dépit d'un succès réel, cette mé
thode demeure très insatisfaisante, non seulement parce que
- 6 -
l'origine dec forces effectives est souvent des plus obs
cures (il arrive que les paramètres soient déterminés de ma
nière a donner précisément les résultats numériques qu'on
cherche â expliquer), mais encore parce qu'elles ne sont
plus valables en dehors du domaine précis dans lequel elles
ont été définies . En principe, l'interaction effective en
tre deux nucléons d'un système nucléaire fini ou infini,peut
être déduite du potentiel d'interaction entre deux nucléons
libres; si ce dernier est réaliste et local la méthode BBG
doit être utilisée, et ceci pose de graves problêmes mathé
matiques dans la MH et encore bien plus dans les noyaux fi
ni* . Trois techniques, principalement, ont été proposées
pour le traitement du coeur dur :
le modèle de la condition aux limites a été proposé par
H. Feshbach et E. Lomon (1964) ( l l > . C'est un modèle semi-phénoménologique (une vingtaine de paramètres sont fixés
phCnoménologiquement) dans lequel l'interaction, dans tout
état à deux nucléons, est représentée par une condition à
la limite du coeur dur, de la dérivée logarithmique de la
fonction d'onde . Cette condition aux limites et le coeur
dur, sont indépendants de l'énergie . Joint â la méthode
BBG, ce modelé conduit 3 un pseudo-potentiel en général re
lativement simple, et totalement indéterminé â l'intérieur
du coeur dur .
La méthode de séparation de Scott-Koszkovski ( t s consis
te 2 éliminer la partie î courte portée du potentiel,la distance de séparation étant choisie de manière phénoménologi
que ou de manière a annuler le déphasage d'une diffusion li
bre .
La transformation unitaire du potentiel réaliste en un
potentiel non-local équivalent permet éventuellement, suivant
le choix de la transformation unitaire U-e , (s hermitien)
d'obtenir un nouveau potentiel suffisamment régulier pour
qu'il soit utilisable en calcul* HF . Ainsi, on peut montrer
" q u e le transformé unitaire du potentiel réaliste de Gam-
ael-Christian-Thaler (1957) dans la transformation par
ticulière t , , > :
S-IC^r)^ + |-T(r)]t
où F peut être une exponentielleï'éat suffisamment régu
lier aux courtes distances, pour qu'un traitement BBG ne
soit plus nécessaire, la technique HF usuelle conduisant à
d'excellentes valeurs pour l'énergie de liaison, la densité 4 16 et lé spectre des energies individuelles dans He, 0,
2 8Si, 3 2 S et *°C. '. <»>
Hull et Shakin. ' (1965) obtiennent par une transfor
mation similaire du même potentiel, des éléments de matrice
tr£s comparables a ceux que donne la matrice de réaction de
BBG . Enfin, récemment, il a Eté établi qu'il existe une
transformation canonique permettant de passer d'un potentiel
réaliste a la combinaison hermitique (G+G )/2 de la matri
ce de réaction G de Brueckner **•' .
Ces diverses tentatives pour extraire une force effecti
ve d'une force réaliste ont donné des résultats très inéga
lement valables . Les approxiaations faites sont souvent su
jettes a critique . Une analyse comparée des diverses techni
ques et approxiaations utilisées dans le cadre du modeJe BBG,
a été faite par D.W. Wong l l ' qui arrive a la conclusion que,
ai aucun calcul numérique n'est vraiment satisfaisant pour le
aoaent, nous avons cependant de bonnes raisons de croire que
cela sera possible un jour . Le premier calcul important ef
fectué dans cet esprit est celui de Dawaon-Talmi-Walecka 18 (1962) qui considèrent 0 comme étant formé, en première
approximation d'un coeur inerte ( 0) et de deux neutrons
dans la couche' (ls,0d) et qui déterminent le spectre 2 deux
particules à partir du potentiel .réaliste, à coeur dur, de
Gammel-Thaler l 7 . Ils retrouvent l'ordre des cinq premiers
niveaux connus . Cependant, plusieurs de leurs hypothèses sim-
- 8
plificatricea «ont injustifiées, en particulier, coaae l'ont
montr.£ Kuo at Brown (1966) den* tin calcul similaire avec
le potentiel réaliste de Raaada-Johnaton \ » le coeur 0
n'eat pa* vraiment inerte mais interagit avec le* neutrons
en dehors de la couche pleine, via les excitations particule-
trou (configuration 3 particules- 1 trou) . Mais même si
on tient compte de la polarisation du coeur, le spectre thé
orique reste tris loin du spectre expérimental, en particulier,
le premier niveau (0 ) est de 1.5 HeV plus haut rue le ni
veau expérimental, ce qui est Énorme si on se rappelle que les
cinq {.ramiers niveaux II"+1 sont tous situés entre 0 et
-4 MeV .
La situation actuelle du problème peut être résumée et sché
matise^ de la façon suivante : pour rendre utilisable un po
tentiel réaliste, S forte singularité â l'origine, on lui fait
subir une transformation ponctuelle unitaire qui le transforme
en potentiel non singulier, de répulsion variable â courtes
distances, suivant la nature de la transformation . ta matrice
de réaction BBG n'est qu'un cas particulier de transformé uni
taire 2* . En fait, tous les potentiels réalistes et même
tous les potentiels satisfaisant â l'ensemble des données ex
périmentales de la diffusion de nucléons libres, peuvent être
considérés comme des transformes unitaires les uns des autres,
au moins en premiere approximation • La question qui se pose
alors est la suivante : est-il possible de trouver, sous forme
analytique simple, un potentiel régulier effectif, qui soit le
transformé unitaire d'un potential réaliste singulier ? Les
approximations longues et compliquées «souhait, que nous avons
brièvement décrites plus haut, et, dont la validité reste a prou
ver, seraient parfaitement inutiles si on pouvait obtenir di
rectement un potentiel 1 la fois suffisamment réaliste pour ren
dre compte des données expérimentales de la diffusion nucléon-
nucléon et suffisamment régulier et effectif pour, Stre utilisé
dans des calculs HF dans les systèmes de plusieurs nucléons .
•• 9 -
loua avons vu plus haut qua les potentiels locaux at eaux
du typa Crean *ont incapable* da satisfaire 1 ces exigences.
Il testa donc les potentiels non locaux W(r,r'> . Seuls, à
ce jour, des. potentiels qui sont de plus «(parable*, c'est-
â-dire de la forme W(r,r*)»v(r)v(r') , ont Été envisages,
le preaier par Taaaguchi l ï I'(I954), le plus Elaboré et so
phistique et aussi la plus utilise, par ï. Tabakin. > î î .
Mous avons déjà signalé ses insuffisances dans la Mil . D'a
bondants calculs effectués par A. K. Karaan et M. et S. Ba-
ranger ***-**' o n t aontré que lea aSaes lacunes se aanifes
tant dans les noyaux finis : énergie* de liaisons insuffi
santes au preaier ordre et trop grande contribution du se
cond ordre .Las énergies potentielles de liaison du second
ordre obtenues pour 0 et Ca représentent respecti
vement 64.2 X et 66 X de l'énergie de liaison totale
calculée ''"') et 54.2 X et 84.3 X de l'énergie de liai-
apn expérimentale . Les énergies des états 2 deux ou plu
sieurs particules ***•' ne supportent aucune comparaison â-
vec les spectres expérimentaux . D'autres auteurs, et F. Ta
bakin lui-rîm* **•'', on tenté de nouveaux essais •
Vous proposons, dans ce travail, un nouveau potentiel se
parable, non local, de forme analytique simple, reproduisant
correctement les courbes de déphasage expérimentales dan*
toutes les onde* S, P et D de 0 â 400 M»V , et. pré
disant correctement les propriétés de saturation de la MM au
preaier ordre . Les longueurs de diffusion et les portées ef
fectives sont également correcte* dans les états singulet et
triplet . Le potentiel est ensuite testé dans lea noyaux sphé-
riques oit il prédit correctement les principales propriétés
de saturation et de spectroscopic .
Âpres une définition générale du potentiel utilisé (Chap.I)
nous présentons une application a la MM (Chap. II) et un calcul
HF dans 0 et Ca (Chap. Ill). L'importance de la non lo
10
caliti at son influence sur les transitions dipolàires *-
lectriques est exposédans la Chapitra IV . Plusieurs Ctu-
des spectroscopiquet aontrent la similitude de comportèrent
de notre potentiel avec l'opérateur de réaction G déduit
d'un potentiel 1 coeur dur (Chap. V) . Nous concluons par
une analyse détaillée du potentiel â la luaiëre de ces ré
sultats (Chap. VI) .
CHAUT*! 1
DEJIMITIOtf DP yOTIMTIIL MODELE
Cn potentiel d'interaction non-relativiste et indépendant de charge , entra deu;: nucléons 1 et 2 de posi-tions at d'impulsions r,, p. at r„, P, respectivement, eat soumis aux condition» suivante*
il est invariant par translation, donc une fonction spatiale de la coordonnée relative r»r.-r, uniquement .
Il est invariant dans une transformation galiléenne,donc indépendant de l'impulsion totale P,+P, et fonction de
• ' + 1 + : • l'iapulaion relative ""T^Pi",^' * Il est symétrique par rapport 1 l'échange-des deux nu
cléons et invariant par rotation dana l'espace total, e'cet-â-dire que le moment cinétique total Î-Î+? est conservé pendant l'interaction . Un potentiel nucléon-nucléon est invariant par rapport au renversement du temps, donc hermiti-q u a • ; ! ' • • • . :
Un potentiel nucléaire reproduit en outre les valeurs numérique* éxpériaentales do la diffusion de nucléons libres . Mous verrons cependant que ces conditions sont insuffisantes pour déterminer de façon unique le potentiel nucléaire .
I.I.- On potential separable et non local.
Un potentiel dépendant dés Vitesses n'est en fait qu'un cas particulier de potentiel non local. '*' . Nous choisissons donc un potentiel non local H(r,r') , défini par l'in-Cëgrele •.
- 12 -
Cette équation implique que la fonction d'onde <Kr) en un
point r da l'espacé né.dépend pas seulement du potentiel
en ce point, aais aussi, via le noyau W(r,r') , de tout
autre point de l'espace; et l'énergie E d'une particule
en r ne dCpend pas seulement de la valeur de la fonction
d'onde en r , mais de la valeur que prend cette fonction
d'onde en chaque point de l'espace :
- |̂ - V2*(r)+/«(r,r')*(r')î3r'-E*(r) . (1.2)
Des effets de non localité apparaissent, par exesple, si on
tient compte de la dimension non nulle des nucléons, dans
les calculs d'interaction, si on inclut des corrections re
lativist** ou si on traite correctement des effets retardés
ou de recul de la source dans les théories mésoniques. L'u
tilisation d'un potentiel non local est grandement simpli
fiée si les variables relatives r et r' se séparent
•.•<r.» ,)-» l-<$)» 1(r,> .
On tel potentiel est dit separable .
Il est bien connu par ailleurs que pour un état de diffusion
(l,S,J,M) la partie angulaire :
|i,S;JH>- ï . <tmtSm |JM>|im,>|Sm > (1.3)
V. se factorisa avec la partie radiale <r|v> .
Mous désignons par i,S, et J le moment orbital, le spin
total et le moment cinétique total des deux nucléons dan* le
système de leur centre de massa . Le potentiel d'interaction
le plus générai commute avec J et s et, dans l'bypo-
thtse dé l'indépendance de charge, avec le spin isotopigue
total t :,' .
Tout potentiel peut s'écrire sous la forme tris générale an
représentation {r}-{0 }{i,} : °
- 13 -
<r|w|r»>-S- t V.-g- t I *iii.«»T
< t l v i A S J T > < v i i » S J T l r , > < 0 r l t ' S ; J M > < t , ' 8 s J M l n r , > P T ( 1 ' 4 )
-E W.t,(r,r') it» l %
P T est le projecteur sur l'itat de spin isotopique T .
La principe da Fauli, joint a dee considerations de
conservation de parité, imposa :
La somme de potentiels «(parable* (i-l,2) a ite choisie
pour permettre dans certaines ondes, d'avoir simultanément
una attraction a longue distança.. (B,<0) et une répulsion
a courte distance (B_>0) . •
Las fonctions radiales viisj * o n t d* t i f tias par ;
dans l'espace des configurations, ou d'une façon équivalente par : -..
^Usit*" 1^'*USJT<*>i*<W>* 2«r
( k +* iiSJT> •
dans l'espace des impulsions . (1.5b)
Les paramètres « H J J T ^ ^ J . . ' ••" U s inversée das portée»
«Y fotalatial et les paramètres * i % M 3 T sont làa intensi
té» dm potentiel, dans les,états (tSJT) . Si Iff ils
caractérisent de la mtme manière la force tenseur couplant
les ondes t-J+1 et i'-JT-l .., Kappeloas que les premiers
État» permis a 2 particules sont, avec la notation
, : . ' • *
14 -
fj i-o S-l
\ v\ t-p
% \
h >.,.>«,
.'• V - ;•
T-l 'S; 5 ' 3
Laa iatemsitts at laa portées du potentiel dana cea t-tata paraia, doivent ttra dCterainCee a partir das reaul-
tata expâriaemtaux sur la diffusion do nucléons libraa,'
c'est-a-dire lea dtphssaces 5t(k) at les couplages tj(k>.
Bona aoaa préposons dome, am resolvant 1'equation do gchrS-
diager (1.2) dé calculer cos dernières quant it it s am fonc
tion des paraaultraa «£»«jT .•* ^Ui'SJT *fc • n»» i t« *• dtteraimer mmaeriqaeaent ces pairaaetres d« façoa 1 repro-
dmire am aiamx las comrbss expCriàentalee'dee déphasages at
iaa comptages .Ceci'mous assura urn coaporteaent correct
das aaplitadaa da diffusion sur la couch* d'Énergie reconsi
dérons en effet une ondade diffusion, solution de (1.2) ,
quiait ma cemperteaemt aayaptotique correct
"A * • •'•-'it f" * * .--A.:* *(?)-•*"r*HÎ,î')S—— (l.«)
alora l'aaplitmde de dlffusiom satisfait 1'equation de Lip-
paaaa-teawiager
:(«.{•)-»-({,{•)• KS »<M?*!l *<1.*'? 4* k*-qz*ie
(1.7)
- 15 -
os !•.y °' mais t «t î peuvent ïtre arbitraire* .
Bans c« caa t(î,î') «at 1'amplitude de diffusion hors de
la conch* d'énergie . Elle décrit l«s can d* diffusion iné-
laatique o& l'énergie n'est pas conservée at, «ous In nom
de matrice de rfact ion de Brmeckmer, lea (tats stationnai-
raa (*"0) dsas nn milieu aacUiirt où la somme d«» iner
tia* du dénominateur «at modifiée par In présence d'autres
particule* ou troua . Il est (vident que nous ne pouvons
pas déduire ces amplitudes-de diffusion & partir du dépha
sage experimental, l'inergie étant toujours conservée dans
un* collision de deux nucléons libres
k 2-k' 2-^ . (1.8)
La fonction t(k,k*) pour laquelle la reaction (1.8) eat
satisfait*, est dit* amplitude de diffusion sur la couche
d'énergie .Tous les potentiels réalistes, ont donc un com
portement correct et tris similaire sur la couche d'énergie
mais peuvent donner des matrices de diffusion (e>0) ou de
reaction (e-0) tris différentes si elles sont calculées
hors de la couché d'énergie .
En tant que fonction de l'énergie E , l'amplitude hors
d* la couche d'énergie a une coupure sur l'axe E réel £0
(voir équation (1.7)) . la discontinuité sur cette coupure
est donné* par la relation d'unitarité hore de la couche
d'énergie, qui s'écrit, pour les oncles partielles couplées
t et 1' (pour les ondas non couplées, il suffit de poser
1 - 1 » ) • • « • . . • • • .
I. t i i t(k,k').-»^E Bt W H(k,k o)^(k 0.k') .
Dana la région E réel <0 nous pouvons avoir évaatuelle-
meat des pSles, chacun d'eux correspondant 1 un état lié des
d'eux particules; les fonctions ȣggjj(*> ȥ comportent corn-
- 16 -
• —JL—2 •a k at k quand k tand vara 0 et l'infini n i -
pectiveaent, an accord avac laa propriitts analytiques pr<-
dita* par la théorie relativists .
I.2.- Msolutioa da 1'equation da Schrôding*?.
DCcoaaocons la fonction d'onda stationnaira da diffusion,
solution da l'fquation da Schrodinger (1.2) an ondas par
tielles oft la parti* radiala at la partie angulaire sa fac
torisent ;
• ulSJT { r > . MT +M n_(*>" Z T <O rl^;JM>X T • (1.9)
H*"ï i,S,J,T r r * .
X_ est la fonction das' variables de l'isospin .
boit 21- ^ 1'énergie cinitique de la particule inciden
te dans le cystine dn laboratoire . En portant (1.9) dans
l'tqaatioa de Scarodinger (1.2) et en utilisant la forae
générale d'un potentiel separable (1.4) , noua obtenons
pour chaque onde partielle (l,S,J,T) 1'equation radiale
2 (i-y - iii^H •k2)u1(r)-IBiJlr v.Jl(r)-FJl(r) . (1.10)
L'Ctat de spin et d'isospin et le nonsent cinftique total t-tant conservas 'wi une diffusion, les indices correspondants
S,T et J »r des constantes et seront omis par la suite <
•oas avons déliai
'uml*m>hi> ci.ii)
ou les constantes 1,,, sont les intégrales, encora inconnues
*i*'"/ô' v i t ' i t } "t' < r ) r d r (1.12)
et oft la sommation sur t' est liaitie par la condition tri-
- 17 -.
angulaire :
|J-S|$*'$|J+S| . (1.13)
La solution de l'équation radiale (1.10) qui est réguliè
re à l'origine :
ut(0)-0 (1.14)
est la combinaison linéaire suivante des fonctions sphêri-
ques de Bessel j,(kr) et de von Neumann n,(kr) :
•ut(r)-xt('k)r J'jtCkr)*/" G^(r,r,)FJl(r')dr' (1.15)
où la fonction de Green G,(r,r') est cone d'habitude, dé
finie par : ;j
Gt(r,r*)-k r r' [0jl(kr)j j(kr')6(r-r')+njj(kr') J4(kr)8(r '-r)]
8 est la fonction saut di'Heaviside,
x,(k) désigne une constante d'intégration qui reste â déter-
ainer . Le déphasage est lié au comportement asymptotique de
la solution (1.15) :
u ! < r ) ? ï £ x t ( k ) r ii(kr)?+k r nt(kr)/"Ft(r')Jt(kr')r'dr*
' ' .'/ - x t ( k ) r j 2 ( icr)+k r n J t ( k r ) S e i J t P i J t ( k ) (1 .16)
;l •ï
oû vi»( k) désigne la transformée de Hankel (1.5b) de la
fonction v.,(r) (1.5a) .
Il est maintenant possible de relier les paramètres x.(k), i •• .
S-, et v£«( k) » u déphasage 5,(k) et au coefficient de
couplage E,(k) . Il est important de noter que les calculs
précédents peuvent être effectués analytiquement en toute gé-
- 18 -
néralité 2 cauae de la aéparabilité du potentiel et du choix
dea fonctiona (1.5)
I.3.- Analyse an déphasage.
Moue calculons dans ce paragraphe, en fonction des inten
sités >•••• e t des inveraea des portées a., du potentiel
1." le déphasage des ondes non couplées J-A-t'X) et J-0 ,
t«l'»l qui englobent tous les états singulet . Nous trai
tons dans l'approxiaation "non-couplée" les ondes F et 3 ' " •
D qui sont couplées 2 des ondes de aoaent orbital supé
rieur 2 2 .
2. Le déphasage et le couplage pour les cndes £«J-1 . Seul 3 • 3 le cas iaportant dea ondes couplées S, + D. , est ê-
tudié nuaériqueaent .
1. Ondaa non couplées —
Dans le cas particulier t»t' dea ondes siaples, le dé
phasage est lié 2 la-forae asyaptotique de la fonction d'on
de (1.16) par la relation :
x^tg 5t(k)—fc/" rtir)v j,(kr)dr—kZ *£#,*!#,?£.,(*>• (1.17) i
D'apr&s (1.12) les coefficients X., sont proportionnels
2 * É C O ; il reste donc siapleaent (en posant par exeaple
tg o t(k)—kï B i J t Pi£<k> • (1.18)
2. Ondaa couplées -
La plupart dea étata tripleta da spin, caractérisés par
un aoaent cinétique J et une parité (-1) peuvent Être '
décrits coaae une superposition de daux ondes da aoaents or-
- IS -
bitaux J±l (cf. équ. (1.21)) . Lee proportions dan* les
quelles ces ondes se mélangent» dépendent de l'énergie de
la particule relative, et peuvent Stre caractérisées par le
paramètre E,(k) dit de couplage . Les proportions de ces
ondes ne sont,en général, pas conservées pendant la diffu
sion, ce qui signifie par axeaple que la partie tensorielle 3 du potentiel peut faire sauter des particules de l'état S-
3 2 l'état D- et vice versa . Les coefficients des combinaisons linéaires des amplitudes des ondes JÎ1 peuvent être considérés coaae les éléaents d:une aatrice 2x2 , la aatrice de diffusion S :
-S (1-19)
Las coefficients A. et B. sont les amplitudes des ondes i l
d'entrée et de sortie respectivement . La aatrice S doit satisfaire aux lois de conservation et
da symétrie suivantes
- alla doit Stre unitaire pour assurer la conservation du
flux total dé particules dans les 2 voies;
- elle doit Stre symétrique pour satisfaire a l'invariance
par rapport au renversement du sens du temps .
La matrice S ne peut dépendre que de 3 paramètres indé
pendants, dont deux sont requis pour les éléments de la dia-
gonale quand S est mise sous forme diagonale e , avec
pour éléments, de la matrice diagonale A , les déphasages
propres dans l'état J
S est diagonaliste par une transformation orthogonale ' U dé
pendant d'un seul paramètre réel, la coefficient de couplage
USB^-a 2 1 4 (1.20a)
- 20 -
f cot t . ait» e, A
\-ain C j
c o « e j / (1.20b)
A grand* distance du centre diffuseur, chaque fonction d'on
de radiale u.(r) de la fonction d'onda totale de diffusion s J J
* - ^ 4 — • j - i . i ^ ^ r - ^ i . i . j « • " >
ast una superposition d'une onde divergente et d'une onde
convergente :
-ijkr-^ir] i[ kr-^iir]
u J - l ( r ) " A l * ~ B1 •••'
**.%' t i 1 • (1.22) - i f k r - ^ w ] i f r r - ^ * ] '
° j + l < r > - * 2 * - * 2 ••-:•'
Dana le but d'identifier les équations (1.22) aux equations
(1.16) exprimons cas dernières par l'intermédiaire des fonc
tions de Hankel d* premier* et second* espice (ondes divergen
tes respectivement) dont les formas aaymptotiqu'ea sont bien
connues s ^ t + 1
h* 1 }"^ + i«irSfcfe-i t > r - ^ * l
1+1 , •• < 1 > 2 3 >
ht 2 )"-it- l B*r5fekT-
Mous avons
(xi(k)4-ikSeiJt PiJt(k)> . (1.24)
In utilisant dans (1.24) laa formas ssymptotiques (1.23)
puis en identifiant (1.24) et . (1.22) , nous obtenons t
- 21
Al " * XJ-1 "•? Bi J-l pi J-l l
Bl - * *J-1 + ? Vw'i J-l l
A 2 ' l XJ+1 " ? ^i J+l pi J+l i
B2 - i *J+1 + J Bi J+l pi J+l
* - X» ou nous avons pose x«.'v— •• Si nous definitions une ««trice réelle R par
(1.25)
? eii Pit""Ji *»* *ii' (1.26)
on voit que les equations (1.25) s'écrivent
D'après (1.19), il vient
•-at •• *"U
•(i-R)(i+R) -1
(1.27)
(1.28)
R est donc la aatrice de réaction dont on sait qu'elle est
réelle et symétrique :
.D-i T W I ° \ \ ° tg « J + 1y
On en tire immédiatement les risultats fondamentaux suivants
J
- 22 -
*« » "«, -', 2 R j - v ^ J *J-1 J-l -J+l J+l
•>"•* RJ-1 J-l^J+l J+l . RJ-1RJ-1~RJ+1 J+l t g fiJ-l 4 • •-,, + . 2 cos 2 E j
... * RJ-1 J-i^J+l J+l RJ-1 J-1~RJ+1 J+l ,. ,„. t 8 *J+1 ~" ™ — " 2 cos 2 6 j -(1-29)
1.4.- Déteraination nuaérique das paraaëtres.
Pana la caa das ondes siaplas, las constantes Bi«. sont
déterninées de façon unique lorsque les portées a., sont
fixées et que l'on iapose les valeurs nuaSriques du déphasa
ge 6,(10 pour deux valeurs distinctes de l'énergie . En
faisant —arier ensuite les portées a., , on trouve rapide-
aent le aeilleur accord avec laa résultats expériaentaux
pour une énergie variant de 0 à 400 HeV .
Pour chaque onde, nous avons coaparé les déphasages thé
oriques 1 vingt-sept valeurs nuaériques du déphasage corres
pondant a une énergie de 0 * 400 MeV * 7 , en calculant
et en cherchant le aiciaua pour :
2ri«^ p(ï i)-«' h i o r-<E t)i / i-l l ^ x / 1 ; ^,;-.v - ' ' ? ^ ,'•:•'• •
Lea longueurs de diffusion et lcj portées effectives ont é-
galaaent été calculées pour les ondes S .
Les paraaitres des ondes couplées S-+ i), ont d'abord
été approxiaés coaae plus haut an prenant un couplage nul,
(B. 0 2"» î 2 0»0, i»l ,2) .'Ceci peraet en particulier d'obtenir .
les aeilleures portées a,, .En introduisant ensuite,dans
une deuxitne étape, des paraaëtres B.,,, non nuls, on ar
riva, laborieuseaent il eat vrai, au aeilleur accord possi
ble avec las résultats expériaentaux . Pour cas damiers,
nous avons pria les courbas ds fcichard A. Arndt at Malcola
23 -
H. Mac Gregor • •.*' (1966) , qui étaient alors les plus récen
tes et les meilleures et qui tenaient coapte de la quasi to
talité des sections efficaces expérimentales disponibles .
Les résultats d'analyses en déphasage plus récentes 2* ,
n'en différent pas sensiblement, sauf peut-être pour des ë-
nergies supérieures a 200 MeV . Hais dan* cette région
l'imprécision sur*les déphasages demeure énorme . Une carac
téristique de ces résultats est que les déphasages corres
pondant aux ondes qui sont physiquement les plus importan
tes, sont entachés des plus'grandes incertitudes . A titre
d'indication nous rapportons ici quelques valeurs des dé-• - - 3 3
phasages (en.degrés) des ondes ~ S. et D. et du coefficient de couplage (en degrés) e. , avec leurs incertitudes respectives :
25 MeV 50 MeV 95 MeV
S 7 6 . 3 1 î 6 . 0 0 6 2 . 1 5 ± 3 . 9 2 4 4 . 4 7 ± 1 . 8 5
€ 1 7 . 0 9 ± 1 . 8 0 1 2 . 7 7 Î 4 . 1 6 Cf. 28 t 1 . 6 7
s - 2 . 6 4 ± 01.30 - 7 . 3 2 î 2 . 3 7 - 1 0 . 9 5 . ± 0 . 7 8
142 MeV 210 MeV 330 MeV
3 * 1 2 9 . 5 8 î 0 . 9 7 1 8 . 2 3 ± 3 . 1 0 - 1 0 . 3 2 ± 9 . 0 3
e l 0 . 9 9 t 0 . 9 3 3 . 1 3 ± 2 . 8 7 2 8 . 1 2 ± 5 . 3 4
\ - 1 5 . 1 4 ± 0 . 7 4 - 2 2 . 9 8 ± 4 . 0 4 -20 . -10 ± 2 . 9 8
I.5.- Discussion des résultats.
Dans les figures 1-8 les courbes de déphasage théori
ques sont comparées aux résultats déduits des sections ef
ficaces expérimentales par Arndt et Me Gregor V* .
< • ; * * :
<? ,. » '•',.:
- 24 -
"' 3 3
Sauf dans la eaa daa onde* couplées S.+ D. il n'y a
guire da difference sensible inîr: lti covrbti calculées at
axpiriaantalai .En fait, aSae dans la eaa. de eaa onde» cou-
pUti, not deviation* dea courbe» de Arndt et Me Gr.egor aont
iafirieurc» ans incertitudes lite» 2 ce» dernières .
Plusieurs astres jeux de parsaitres donnant ••nsibleaent
Sae» re*ultata avec les ataes precisions . Certaines
d'autre*
•s precisions .
^1 " 3 p i J
'2* c2' ' Ï P ' a.':*utte." • n £i»» dont le déphasage changé gCneralaaent de signa, aont attrac-
nergie at deviennent forteaent répulsives 1 *S XP 3P 3D Y
Ces résultat» sent probableaent la* Bailleurs obtenus 2 ce
a
ondes sont purcaent repulsive* i\ 1 * 3
pureaeat attractives ( D,, P
tive* S faible t
haute énergie (
jour, sur une aussi vaste Cçhelle (0 400 KeV) . 1 "
- -i I ••': " à r theor. •XV. ThCor. tX9.
l »v. 0
li-23a* • -23.74'* 2.62 2.67
X! \- 4.0 5.39 i .70 1.704
* Ce rCsultat est valable pour le aysteae n-p . Pour une
diffusion p-p ,'indCpendaaaent de Ta correction coulonbien-
ne, on obtient a.«-16 a -17 fa a «^16 c
Les longueurs de collision a ; et les portCes effectives
r_ . calculées, sont coaparCee aux, valeur» expCriaentaléa .
Toutes les valeurs sont expriaCes en fa
CHAPITU II
LA MATIHti «UCLEAIRC
II.1.- Propriétés générales.
On appall* aatiire nucléaire (Mit) un systiae nucléaire i-
déal form* d'unnonbre égal da neutrons at da protons at dans
laquai n'existeraient ni effets couloabiens ni cffats da sur
face . Pour traduira cette dernière condition on dit habituel-
leaent qu'on considéra un système nucléaire infini .
L'énergie de liaison d'un noyau réel _A eat donn£e par
la formula aeai-eapirique de tfeissacker :
B<«,Z)-EA+ZA2/3+C Z 2 A " l , 3 * S ( 9 - z y 2 à ~ 1 (2.1)
dans laquelle le premier terae, ditvoluaique, expriae le fait
expérimental que les noyaux, incoapressibles ccaae une goutta
liquida, ont un voluae et une énergie de liaison proportionnels
A A , le deuxième torae? proportionnel à la surface est la di-
ainution de 1'énergie de liaison due A la tension de surface,le
troisième est simplement la répulsion couloabienné des Z pro-
tons et la dernier terne, nul pour K-Z , sert 1 favoriser l'é
nergie de liaison des noyaux i noabre égal de neutrons et de pro
tons . Les valeurs numériques couraaaent admises sont 1—16 Me?,
E-13.1 MeV, C-0.6 MeT, S-30 MeV .
La MU est donc un enaeable de nucléons pour lesquels l'éner
gie da liaison est pureàent voluaique . La densité de particules
est sensiblement celle qui existe A l'intérieur des noyaux lourds
coaate tenu de la correction couloabienné •'. Elle est liée au ra-
26
Q étant le voluae occupé par A. nucléons .
Pana l'espace das iapulsions, la densité d'états, soit la noa-ara d'états par volume î k .eat 4 « coapte tenu da la dé-
": " C 2*) 'gCaCreeceace da spin et d'isospiar'••••. at daaa tout la volume
aoit p — £ » k?, . (2.3)
Os admet géafraîemeat qua daaa la MR, r -1.12 fay, «oit p-0;ï.*f* at kj-1.36 fm"1 *
M. Baraager at al oat montré **' qu'une condition foadaaaatale pour qa'ua potaacial aoit utilisable dans daa calcula U1 daaa laa noyaux fiais, est qu'il saturecorrectement la MR. La calcul de l'éaergie de liaison E par particule, fournira donc.un bon taat de la qualité dâ notre potentiel . Parai laa différents jeux de paraattres, reproduisant ïfvee ia ataa précision laa courba* da dépkaeage expériaeatales l > 7 ' , certain*correspondent i de* for-caa extrtmemeat répulsive* et dt court* portée ce qui exclut évidemment l'aaplai daa méthodes pertûxbativee habituelles . L'aaa-liaa de ce* potentiel* a été faite aillaur» ( l , ) . L'éaergie da liaiaoa at la densité, calculées au premier ordre avec la aatricâ da réaction G da BBC, sont de l'ordre de -20 M*V et ky-l.CSfa' 1
resptctiveaeat . L a * calcule avec le aatrice C dans las noyaux fiai* étaat exorbitants, notre bat, donc, aat da trouver un potantial «ai prédiee exactement les donnéesexpériaeatalea dâ problème I daux corpe, et qui aoit suffisamment régulier pour permettra an calcal IF . 7 ' . •-;! k F * 2 2V - "i 2k 2
L'éaergie cinétique aoyenue par nucléon est çfg =Kjp4*k 2dk-| - J Y " « j t~ oft 0^«fc r eat le volume de la sphere de Ferai et k_ le
set de Fermi .,
L'éaergie de liaison par particule aat donnée par la séria de par-turbatiaa !
- 27 -
"-••-"' A , B
'"<«k..Ja>fAB><AB|v|ab>. r F ^ — — * • • . . . <2.«>
La* (tats non perturbde, occupis (*,b,...) ou non occupeVe(a.,B,...)
IMt r*iiiititii par des ondes plates . La tern* du second ordra
ast calculd dans,l'approximation das Mik*>effectives .
11.2.- Calcal da l'daergie de liaison aa théorie da perturbation.
Moyennant la definition habitue 11a das variables relatives et
du centre de «esse
^ 1 ^ 2 ? » 2 f " e l _ { 2
et le'panaage au continu :
S---3-W 3V ..-,:. (2.6) .•;•. a < ; : * ) 3 : • * . . . • • • . ' . ; • •
le recoavraaent de deux surfaces de Ferpi dont lea centrea sont
diataats da 2k est
' * ; î 3 * K r 3 2 , r k f M Ï 7 + T r ï > • ••".'•" • • ' c * . 7 y .
ifitfck, V
lief conditions pour qua les deux particules 1 at 2 se trou
vent dant 1» Mar da ferai, soit î x<f, it î ^ ? r s écrivent
d'une façon équivalente, aoyeanant la transformation (2.5) :
- 28 -
L'éaergie potantialla du praaiar ordra s'obtient alors par un calcul sans diff iculty at i l vient
T M T „ 5 T
C 2 J + X ) ( 2 T + 1 > ? Bi*MJT '!* k 2 d k
(2.9)
&-ffc + ir^l ' i t S J i<«l 2 • F
La sommatioa sur las spins conduit * i»t* an sorte que las
forças tansorielles n'interviennent pas au praaiar ordra; aus
si pour jugar da laur importance, faut-il calculer la contri
bution du second ordra .
Dams son Ctat initial at final, la paire da particules en in
teraction se trouve dans la Mer de Ferai c'est-l-dire que l'é
quation (2.8) daaeure valable, aaia elle doit être complétée
par une condition sur lesétats intermédiaires, qui, en vertu
dm principe de Fauli, ne peuveet se trouver qu'en dehors de la
Mer de Ferai
t j * * ; ou llîtî'l^k, . (2.10)
Les équations (2.8) et (2.10) impliquent que la sommation sur
lea états de la Mer de Tarai, sur las états intermédiaires et
sur l'impulsion totale ï , se fasse de telle aanilre qt t k
•«a? trouve 1 1 'intérieur du volume de recouvrement de deux ipM-
res d'à Ferai dont les centres sont distants de K , et que 4**
soit toujours en dehors de cas deux sphSras *'•' .
Ceci conduirait lune sextuple intégrale avec des conditions
compliquées sur les angles d'intégration . Four contourner cet
te difficulté, nous avons utilisi deux approximations différen
t e s : •. .
* ) - L'AypKox.iMU.tio*. dt I'tioact. dt ofuut apfccVttme -
I. Ille consiste 1 substituer aux conditions angulaires • / ' • ' • • , . - . • - • • • • • • . • ' • • • •
(2.8 et 2.10) lea conditions de symétrie sphériqne suivantes t
- 29
•«Ik--*'fi
k'»|kF+u f I (2.11)
où les paramètres u at V ont été déterminés ^ l i } (0.40 et
0.65 respectivement) de Manière à égaliser les volumes
4^(k -v £ ) 3 et 4^(k„m 4 ) 3 aux volumes réels dans l'espa-
ce des phases, pour]la valeur la plus probable du mouvement
du centre de masse K-k_
L'énergie potentielle du second ordre par particule, s'écrit
alors : ,'
FE2.M 3 % 2 (2J+1)(2T+1)/ F dK K 2 î A K * Mk; It'SJT ° ij
(2.12a)
k F - V f ,. . 2
F: ̂ 2 " ""
Cette équation se ramené, après intégration par parties, 3 l'in
tégrale sur K d'une somme de produits de parties principales :
- 30 -
2k.
£|i-M -| l!_ 2 <2J+1)(2T+1)/ F l K2dKC4 q! A M *ZMk~ JTS o i l
< D J T S ( 5
+ » 3 - ) - I W 5 - ) ) 3 ( 2 - 1 2 b )
où q+-kF+u|,q_-kF-v|,q+-kr(l+u) et q_-§(l-\>)
Lea partie» principales P
J T S
e t DJT<; **-n*i que le detail du
calcul «ont donne» an appendice .
6J- la mtthodt. du ooliinômti de LtatndJit - .
C'eat una aéthode générale pour potentiel* non locaux .Utili 1? aant un spectre da reference m te + g et l'approximation de*
aasses effective&,l'énergie a de liaison du 2 a e
ordre par particule s'écrit
*¥-* s — r r r z (2i+i)///d3Kd3kd3k' A M " * kf' B TSMgM'
- r-i- I|<SM s|f i l,(ï,î«)-{-l)S + T£ w, ({,-{') JSMS>1
2 (2.13)
.vac « . . . ( ^ ^ ' " ^ « « ' « ' « W ^ M ' S J I
<B lt,S;JM><t*,S;JM|G ,>. (2.14)
S. JK
On voit que la terae d'échange est figal au terae diract. Soaaant
aur lea noabre* qùantiques aagiêtiques, il vient
*l2" 3 l i t" * (2J+1)(2J+1)(2T+1)(2L+1)-1
* 16**k„ H STJMJ
i t ' T T» <A0lb I L0>(<i ' 0T' 01 L0>W(JJtT; LS ) à *
W(JJJt'I';L5)jf//d % \ k ^ 2
k ' Y L Û > Y L ( k , ) £ j t , ( k , k , ) f f ï * ( k , k ' ) ,
(2 .15)
- 31 -
où f ^ , ( k , k ' ) - ? B m , p l M J T ( k > / u , g J I < k ' > . (2 .16) î
La triple integration dans (2.15) peut Stre effectuée de la Ma
nière suivante ^ i l } :
soient les vecteurs sans dimension x,y et y :
î-yîp, Ê'-y'icF et S>2xÊ F , et la fonction JT(x,y,s) dCfinie par :
J^(x,y,x)-///dQxdnydQzYL<y)YL (y'> ' < 2' 1 7>
En prenant la direction de x pour axe des z , 1'integration M sur fi et fi t se fait facilement et on peut exprimer J. y y L
comme un produit de deux intégrales d'un polynôme de Legendre
PL(u) :
M 2 b b' j"(x.y.y,)-16ir''«Mj0(2L+l)/o PL(u)du fo PL(u')du' , (2.18)
b et b* sont des bornes supérieures d'intégration . L'équa
tion (2.18) est nulle si L impair . Après un calcul un
peu long mais sans difficulté , on obtient finalement :
£|2— 2 * l _ k * j (2T+l)(2J+l)(2J+l)«,f ?• A * 2 M *!1'SJT
Iï'j
<10lo|LO><*'OÏ,0|LO>W(jJtï;LS)W(JJl'ï';LS)
x/Zdydy'i-f-y IL(y,y')f^,(kFy,kFy')f^,(kFy.kFy') ,
(2.19)
I.(y.y') est une intégrale calculable numériquement pour
L»0,2,4,...
II.3.- Matrice de réaction.
Un calcul détaillé de la matrice d« réaction a été rappor
té dans la référence 13 . Voici l'essentiel a quelques varian
tes dans les approximations pris . La matrice de réaction 6
satisfait l'équation de Bethe-Goldstone *•' »
- 32 -
<ï G±|k'>-<S W|k'>-/d^ • •»..»»- S • (2.20)
* P •(!,?,£')
Dans les Stats intermédiaires, les particules ne pouvant se
trouver qu'au-dessus de la Mer de Ferai, l'opSrateur de Fauli
est défini par : -
(2.21)
(2.22)
Q(Î:,P)-1 si !p+iî| >k F
•0 sinon .
Le dénominateur d'énergie est donné par
e(t,p,î')-c(p+|t)+e(p- |î)-c(î,+ 5*)
-e(î'-^t) .
Les énergies individuelles satisfont
£ . 4 H k.+ U<k.> k.< kF • 2 (2.23)
6 A " I M kA k A > k F
B(k ) • S <ab|G|ab-ba> est déterminé de Manière self-consis-
•*kF tante .
En approxinsnt l'opérateur d< Fauli par la moyenne s
Q(*,P)-1 si p>kF+^C
2 1 2 2 2 1 2 ' 1
-Çv'*$ir-k*)/»k: si (k*-£fz) *p$kF+|*
-o si p < ( k ^ 2 ) 1 / 2 <2-2*>
et en utilisant encore un spectre de référence quadratique ,
dont les constantes-sont déterminées de manière a rendre les
énergies individuelles consistantes avec la définition (2.23),
les équations (2.22) deviennent ( l * :
(2.25)
- 33 -
La matrice de rtaction peut Stre décomposée suivent le type
(1.4) et on obtient après un peu d'algèbre ( l l ) :
x<k|GiJt|k> . (2*26)
Le potentiel par particule est * x l' :
4(kF+k ) ' D(k,)- I (2t+l)(2J+i)2/; ' * Vdk<k|G, t k>q(k,k ),(2.27)
* iSJT ° ** *
k^-^k-k,) 2
ou q(k,ka) vaut i k l [ si (k)p-kji)^2k<kF+ka
et 2 si 2k<kp-k
II.4.- Energie de ara*trie.
Hous nous proposons de calculer dans cette section une ap
proximation au premier ordre de perturbation (SEl) i l'énergie
de symétrie S de l'équation de tfeissâcker (2.1) . Cet effet
de symétrie corrige l'énergie de volume en favorisant, parmi
les noyaux légers, ceux pour lesquels Z-N . Va calcul élémentaire '*, montre que l'énergie de symétrie augmente comme
2 (Z-W) , et qu'elle est inversement proportionnelle. 1 A (cf.
-équation (2.1)) . Elle est en partie due au principe d'exclu
sion de Fauli . Comparons par exemple l'énergie totale des sei
ze nucléons dans .0 " "
1-0 ls i-2
*-l
t-0 —•0 1 M protons Ineutrons protons | neutrons
16 0 16 B
- 34 -
In Tartu du princip» da Pauli, la dernier neutron da tu ne pent aa trouver qua dana la coucha la-Od at aon énergie ci-
nCtique eat aupCriaura 2 celle du proton Op qui lui corres
pond dana jO . Par «illeur» la neutron Od interagit moins
avec lea 15 nuclCona restants qua le proton Op aon énergie
potentielle eat donc plu» faible et finalement l'Énergie de
liaison de ^0. eat aupCriaura a celle de 5N .
Soit. H-Z-A.A l'excft» de neutron» dana un systëae de A nu
clCona .En admettant que neutron* et proton» occupant la aS-
ae voluae, I'énergie cinétique aoyenne par nuclCon a'Ccrit
j-fo-c r[(l*A)S / 3+(l-A) 5 /^I«f e f+| A
2 c F ... (2.28)
où y c_ représente l'énergie cinétique de syaCtrie par nu
clCon . Moyennant un calcul siaple, esquisse «n appendice, on
obtient l'énergie de aymCtrie totale par particule
¥-f V l A .S,(2^1H2X+X)/^3-^ «4
Tf" tSJT
•**Ï »UtSJTl»itSJT(k>l
(2.29)
II.5.- KCeultate auaCriquaa.
Le» contribution» de chaque onde partialis 1 1'énergie de
liaiaon du preaier ordre, «ont reprCaentCea aur lea courbe»
(8,9) en fonction de l'iapulsion de Ferai k_ . Lea énergie»
daa Ctata relatif» « 1 et ?1 jouent un rSle predominant
quantitativeaent . Lear contribution eat considérable -34.20
MaV et 18.0 MeV respactivenent a là densité de aaturation —1 '3 '
(kF-1.45 fa ) . La première ( Sj,) , fortement attractive
décroît quasi linéairement en fonction du moment de Ferai ,
tandia que la deuxiiae ( Pj,) e»t très rapidement croiaaante
i de ky , se qi convenable
- 23 -
La contribution globale des ondes P ut utturat positi
va, an accord arec la quaai totalité des récents calcula nuné-
' 3
Tiquas utilisant daa.força* réalistes . L'onde P. est habi
tua llaaant pureaent attractive; noua obtenons pour cette onde
uaa énergie négative jusqu'à k_»î.37: fa~ puis positive at
rapideaeat croissant», plus en conformité avec la courba de
déphasage qui indiqua una faible attraction jusqu'à 200 H»V
(laboratoire) at una fort» répulsion au-dell . D'autres jeux
de paramétres disponibles pour .P n ne possédant pas catta
propriété u • Les ondes D , sauf7 D - , donnent una
contribution négative mais sansibla saulaaant pour das « -
laurs da k_ supérieure* 1 la valeur d'équilibre, c'est-X-
dira pour das énergies supérieures 2 160 K«V . Ça phénoaéne
aara évideaaent encore plus accusé pour las états da aoaents
orbitaux relatifs supérieurs -.2 2 , en sorte qu'il aat par-
faiteaent légitime da les négliger .
L'onda p. est fortement répulsive mais li aussi, l'ef
fet n'est important que si les nucKons sont proches l'un de
l'autre . La soaae de toutes les énergies potentielles par
tielles et de l'énergie cinétique, tend 1entenant vers an mi-
niaua de -15.5 M»V * la densité de kw-1.45 -fat"*1 etaagmen-
ta ensuite rapidement . Le système n'est plus lié au-dell da .
k_-1.92 fa~ . La technique de calcul et las résultats pour
les corrections du second ordre par la méthode da l'espace da
phase sphirique, ont été analysés dans là référence 33 .En
fait, catta approximation, si elle est valable pour las ondes
S , ne l'-est pas pour les ondas P et . B* . Ceci est ancora /'-'' - " K r^ ' 3 • "
illustré par le fait qu'on obtient pour l'onda ?' , qui
est fortement repulsive, una contribution positiva 2 la correc
tion da second ordre de l'énergie potentielle . Ce fait a aussi
* - Je aai* Ktdtvtbtt S. f. Ttbtkin, J. Lt Touxntut, S. Ztubtn. ltQ.StMnitH.pouA it i*.u£tuttati dlàciuiloiu A et tfijtt .
\ l'idlt qui itttt a.ppK0XÂmi£Lvn ne Âoii peu valable pou* tti onde* nan ipklKiqut* vient dt FAuutfc Tt.bt.ki*. . •:-
- 36 -
été ait en évidence par J.P. Illiott et B. Rouben V 3*' .£e fait,
l'énergie totale du second ordra est trop faibla .
L'approximation b) aaabla meilleure, dan* ca sanc qu'aux
tarac* L-0 , on ajouta aaintanant las teraes L»2 at k Mais la conclusion qui s'impose d'eablée est qu'un potentiel,
construit pour être utilisé au preaier ordre de perturbation,
comme, la nStré, ni paut pas être utiliué dans la calcul das
ordres supérieurs pour lesquels il ast beaucoup trop lié .
Las corrections du second ordre ainsi obtanuaa sont représen
tâmes dans la figure 12 en fonction da k_ . La saturation
a liau 1 una trop forte densité . L'énergie da liaison ast
trop grande en sorte que le taux de convergence de la série
pertmrbative est aédiocra. Cas déficiences sont en fait com
munes a. la plupart des potentiels non locaux, la principale
raison semblant être une force tensorielle trop faible ' .
Cas potentiels doivent être considérés coaae effectifs, dans
la sens d'utilisables au premier ordre de perturbation .
Ces conclusions sont corroborées par l'étude de la matri-
ce de réaction . Vous obtenons en effet -29 MeV par parti
cule X k_-l.*5 fa"1 et avec M*/M-0.5 et c"—123 .
Rappelons quela Bailleur potentiel 4 coeur dur 1 J don
nait une énergie de liaison par particule de -18 MeV a une
densité de saturation k_—1.65 fa . La conclusion géné
rale est que le potentiel actuelleaent étudié, est un potan
tial effectif utilisable au premier ordre de perturbation .
Lea divers résultets obtenus au l'T ordre dans la Ml sa
coaparint avantageusement a ceux obtenus pour d'autres poten--
tiels . AimaiTabakin obtient, au premier ordre, une énergie
par nucléon de -8 MeV à unaoaant de Ferai de saturation
de 1.61 fa"1 , et au danxjéaa ordre -14.1 KeT » ky-1.8 fa.„
Lea énergies, même au deuxième ordre, demeurent bien en deçà
de la valeur expérimentale (-16 MeV) et les densités corres
pondantes sont aussi prohibitives (k_ expérimental «l.*8fm~ ).
- 37 -
SE1 L'inertie da ;syaCtrie par naelloi -j— est representee, «n fonction dit aoaent da Tztiài k_ , dan» la figura 10 . Ella aat rapideaent croissante at linfaire an fonction da k_ jua-
— 1 " • • " - 1
qu'l »1.6 fa> i at passe par un aaxiaua a k_»1.92 fa , valaur 1 partir da laquelle la tysteae coaaanca 1 na plu» St re lit . Tabakin obtient una variation linfaire jusqu'au-delà d* 2.* f m " 1 .•'.,,'
Noua obtenons, "1 la saturation (k-*l.45 fa ) aanaiblaaant 1» alae tnarfie (53.2 MeV) que Tabakin (48 HaV a kF«1.8fa~ ca qui aat biensupérieur a lavalaur azpariaantala ("30 MaV) Cette dtfaillance du potential peut ae rCpercuter dan» laa calcula da «tructure nucléaire,aaia aucune etude systiaetique de catta question n'a f t< entreprise 2 ce jour . Houa espfrons la faire par la suite .
ClAPIItl III
LI» 10TABX SFHExIQPtS
III.l. Introduction -
L* W) l'ititt qi'un aodila aathtaatique coasode daa greeds
aoyaax, il faat s'attendre 1 tronTcr dim laa noyaux fiaia las
afaaa caracttrietiquea -coapta tenu daa effets da surface-
que daaa la MX .
Mous aous proposoas daaa ca chapitra d'étudier la coaportaaant
da potential coaaidïrC, dans das calcula da type HF puis da
type lr«eckner-HF (adthode 11C) .
Four das raisoas da eiaplicitC (videates, la bat da ca calcul
6taat aoina da presenter un calcul HF qua dar tester la potaa
tial par da cala calcula, nous aous liaitons aux noyaux sphd-
riques, doublement aaciqicae, 0 at Ca , lesquels oat
l'a»aata»a,d*a«tra part, d'avoir *t< aouyant dtudiis, taat
da point de vue thdorlque qu'expiriaental .
L* kypatbftae.de départ de tout calcul IF, ast l'axiataaca
d'un cheap da potential aoyea, epkdrique ou difora<, dfi > toa-
taa laa interactioae poaaihles entre tous les aucKone, at
calcalekle en principe ft partir dee forces l deux corps .On
adatat, qu'an koaue approxiaation, les auclaona ae aeuveat daaa
ce çkaap aeyéa, iudependaaeteat lea ama das autres . La adthade
•F conetitue uae approche self-eoasisteate du calcul de ce
chaap aoyca at ua iateraadieire entre lea deecriptioae aicroa-
copiques at macroacopiquea daa priacipalea proprittda d'dqui-
libra dea neyaax .'-;:
Apr*a uaa hrtve deecriptioa de la adthode HF cleaeiqae,a*«aj;
iadiquoas la pracCdura d'un calcul da second ordre at expeas-asu
- 3»
una aétfcode originale pour la calcul exact da la matxica da rC-
actio* . ?inalemertt'nous discutons laa résultat» numériques ob
tenus at las comparcna 1 citi di divers auteurs .
III.2. Méthode HF -
Ou choisit coutae fonction d'onde nucllairt un déterminant da
Slat*.- |*>»C1 C, ... Cj | > . Laa opérateurs da création da 1 2 A • far» .ona C* , satisfaisant aux relations
d'av:icoaamtatioa habituelles, créant das particules dans laa
ét»;s HI inconnus |X>
Développons laa fonctions d'oada HF |A> sur la basa orthonor-
aée bian connus da modèle an coucbaa ;
n- at A désignant la noabre quantique principal et la aoaant
orbital da la particule a t j_ •"* son aoaant cinétique da
projection n_ at T_ eat l'iaoapin .
te calcul daa fonctions d'onde inconnues |A> revient a la de
termination da leura composantes <o|A> dans la base (3.1)
|»-Z|a><a|A> . (3.2) • - o
tes deux bases |«> et |A> . se déduisent l'une de l'autre par
transformation, unitaire, soit :
ï<x)o>*a|A'>-«AVf
(*•*> i<a|A><A|»'>-« ,.,
. - ' # ; , ; % [ - : . ' ; i : : : • • - . " • . - • • • • • : ' ' ; • • $ • • : > • - • - . . > . ; , : . : • - ,
lès fonctions d'onde |X> sont telles que l'énergie du niveau
fond&aeatal du noyau :
: T*W-*CM+«c •'• (3.4) \, •
- 40 -
aat aininal* . Ceci détermine entièrement las coefficients du
développement (3.2) . Poor les noyaux sphériquea considérés,
U tonutioi dut (3.2) sa fait uniquement sur le nombre quanti—
que principal .La.sonne de l'énergie cinétique et de l'inertie
potentielle eat :
T+W-Î<X111X>+4l <X|l|w|Xu> , (3.5) * AU
les éléments de matrice étant convenablement antisymétrisés
Lea ternes I-j. et E. représentent l'énergie cinétique du
centre de nasse et l'énergie couloabienne das Z protans«res
pect ivemeut .
L'inertie dn fondamental (3.4), les fonctions d'onde (3.2) sont
calculées suivant la procédure itérative habituelle . Hous avons
tenu compte de la fovce de Coulomb entre les protons a et 6 :
et retranché 1'inertie.dn centre de masse jfet»
III.3. Calcul dn 2*** ordre -
L'énergie du fondamental, obtenue par le calcul HF précédant!
••t exacte jusqu'au, premier ordre inclus . La correction suivan
te a l'énergie dn fondamental aat dénuée par les diagrammes do
second ordre (et leurs échangea) dn type
<»b{wl*»>, .-, 1, , <Ai|»|ab> (3.7) V f l ca cl
dont la sommation ne présente aacune difficulté de principe
4E. £ . £
< : b l H l - ê > - > > | w | a h > . «••> agb *(B eA eI ca eb
Cependant des approximations peuvent ttre utilisées pour rendra
la temps de calcul sur ordinateur un peu moins exerbitant^1**'1*'t
- 41 -
on remplace les fonction d'onde HF inconnues des états intermé
diaires |AB> par des ondes planes • Les conditions d'exclusion
angulaires -ie type (2.8 et 2.1Q) sont approximées par un o-
pérateur de Pauli de symétrie sphérique . Le dénominateur d'é
nergie est pris simplement e-E-T . Cette approximation est va
lable si la quasi totalité des nucléons diffusé* hors de la Mer
de Fermi, demeurent au voisinage de la surface de Fermi, ce
qui n'est réalisé pour aucun potentiel réaliste . Four le poten
tiel étudié, l'amplitude de diffusion décroît lentement lorsque
l'impulsion k augmente (fc>k_) . Far ailleurs, la notion de
surface et de moment de Fermi, qui intervient entre autres dans
la définition de l'opérateur de Fauli, n'a plu* beaucoup de sens
pour des noyaux moyens et légers dont on sait qu'ils sont entiè
rement "surface" . Four réduire le nombre d'intégrations numé
riques on meintient constante la somme des énergies des parti
cules dans la Her de Fermi, a et b l ï :
E *e.mA a D
Le choix de A est justifié diversement, mais pratiquement A
devient un paramètre ajustable •
Il semble donc préférable d'utiliser pour les états intermédiai
res, des états de l'oscillateur harmonique * . L'opérateur
de Fauli, supposé diagonal en bonne approximation, est approxi-
•é de manière statistique
<ML;n't'SJ|Q|HL;n£SJ>-|^^j- -Q(p,ir) (3.9)
où p-2n+t+2»+L et w-(-l) 1
tip,*) est le nombre total d'états â deux particules ayant la
même valeur de p et * et A(p,w) est le nombre de ces états
qui me violent pac le principe de Fauli,. c'est-à-dire pour les
quels amcume particule ne se trouve dans un état déjà occupé .
Foar ma aoyau doublement magique, ïe calcul des éléments de ma
trice (3.9) est élémentaire . Vous donnons, S titre d'exemple,
«e premières valeurs pojr Ca
- 42
P Q(p,+) Q(P , - ) P Q(P,+) Q(P,->
1 0 . 0 . 18 0.822 0.823 2 0 . 0 . 19 0.843 0.843 3 0 . 0 . 20 0.860 0.860 4 0 . 0 . 21 0.875 0.875 5 0 . 0 . 22 0.888 0.888 6 0 . 0 . 23 0.899 0.899 7 0 . 0 . 24 0.909 0.909 8 0.184 0.165 25 0.917 0.917 9 0.315 0.315 26 0.925 0.925
10 0.430 0.422 27 0.931 0 .931 11 0.516 0.516 28 0.937 0.937 12 0.591 0.587 29 0.943 0.943 13 0.648 0.648 30 0.947 0.947 14 0.698 0.696 31 0.951 0 .951 15 0.737 0.737 32 0.955 0.955 16 0.771 0.770 33 0.958 0.958 17 0.799 0.779 34 0.961 0 .961
La variation de* élément» de matrice (3.9) avec la parité
spaciala relative ir est insignifiante . Dans l'ensemble,cet
te méthode statistique donne les mêmes résultats que la métho
de globale de Wong (1967) z > . Dans cette approximation ,
l'élément de matrice réduit au second ordre s'écrit
<(nts)JT|w|(n'i's)JT>
. _ <(nls)JT|w|(n'<lws)JT>Q(p',.y»)<(n"£"s)JT|w|(n't's)JT> *n„l. JfcinUn+l.inUl'J-f^"**")^» *
(3.10)
Les états intermédiaires doivent et.* de même parité relative
que les états initiaux et finaux et le dénominateur en énergie
demeure, évidemment, toujours négatif, ce qui conserve l'hermi-
ticité de la matrice W . Probablement que l'inconvénient ma
jeur de cette approximation réside dans le fait qu'elle ne tient
pas compte des poids inégaux de3 divers éléments de matrice . Le
tableau.VII montre l'influence du terme du second ordre sur des
éléments de matrice réduits calculés pour le calcium avec un ra
yon de l'oscillateur harmonique de 1.69 fm . Les variations du
terme du second ordre en fonction des nombres quantiquea M et
L du centre de masse, sont relativement importantes, aussi, a-
vons-nous recalculé ce terme pour chaque valeur de H et de L
ri Mi J * N e. y\ CL e t a M o* M l B. O r t B a n r* 0 A •+ n p a r t • B o O a B O H- B U> 1 C • fX B a • • • a 8 B a B a e a a i t « m f r t r t 1 B n a a « r t a t O
e S a- • » l i4 • a • G •a a r t M l a r t B r» • H • ^ — a i 0 . a M- 0 • ! • * a H» a • H» f> rt * n i-» B o n a o B o a r t M- a M w a • «tt 0 P. a •a B O B a n f t
M , • • o B • e O & •a a f t f t r- a 4
» ft • B 0* a O •a H- & r i r » r i a t a M M B n r i n c« a I I f f t t t o o. O <* r- n .•» •o 0 n • •4 r t a a t rt M « B (» t r t B a *-* £ n H . v B a a> a c> o a * • » • a r-" f n
e o* • a o. f t « t S B M a r i H- s-n e • • n « S B. O. « B • a a a
M '**s r" •o n a a f t a « <^ rt a a a •a C • • • M H« K H M- o a r t o* H-M •O • B • B o r t H . a o. B >a o. r- « o t • t r t f t a t B rt a B a Bu B o. B a a H f e rt i M r t a a r t a a a B a
a H a H - * H - w> H - *•• • f a 0 . m r* n M n •a B r t O » H - •a o* a M l a M • - • t v • • • a B r t • t B r o B o a n a B H a • • H » a • < • B a a B. B a o • * • a s ^
«r • rt •d M a a o H > n a B r t 0 M i • * T H o • M - < • * r* H> 4 O. !-• >o r i H B CL S* o a a a r - f r-» B. M l a B a G n S • H o n • <« f a. à e t o a r» O • * • rt a o a e a n r i M - X 6 r" n A r» H a a •c •à B rf a a O. a » B 0 e • « n f a a M B a r i a a • O r» B B « a B f o a a t r n n
e H O • B a a r i a M a H» ^ a e» M o A S • a o a a H > eu a A H »
• • 1 B S • B* 0 M» B* e n B D n
s .M f. *• • B a a B « a B M a e t B
a O M» «3 f t M r t o ,.* a •a o* B f D* • as e •a . a rt a • a f a a B
•a n f B a n o a n o a a i a» n M O. *t 0 o. • • r — i» o a • » • « H> B r t M a a » a o M • C) n a B M H - a c M a H-0» # ^rr o • a a f M •a •O r i a n a B r^ M M H» 0 o a t r" • a c a a a B t" a 5 • •B • T O m 0 r t a a v o •a r t a g o. a *• o" a B •a a a B* S a • • B 4 f f t B m B a B r-» f a O. » a • t - R B a O r i r i B a t a o a r t
< * S* » a M f t a o B •a a o. M
S* e • f f 8 a a r t a n a a M r i a H-
• • n V » r t n • a a 0 a a a t a n • m o H v r t • B r t B a M» •a o r-« •a a
o H» B • a a r i a a M l r-" « t a •a 5. « 2 « »« B a r t M - 1 B s. a M n. r-*
s i t i r-« • r— f t e. r- M- r i n a a O a 2 B C e t r* a O f t a o B B N c t t t * B f t »* Bu r i 6 w B a t i t O M- r i
** a e t r» »^a •a a a a H» «4 a a t
• 4 •> H- B a B M M - a O a a a H •g i i i * a o. a B f r f a a rr 0 6 f t n g H • • • H « a t r - « a r t 0 B M M> r t
i • •a M ** 6 C a r i f t o H <
* r- a a B B B e t H> M l B O i • B
i a r"
1 a o
a . 5 1
a
• B
R
M a a r* M l B flu eu M H - O a M« a a t a H O * B a r t B a • M o 01 a M o a • • a O. o B B M« a • ' a » B •a r t a t" H"
a r t ^ N B a
S B r i B P. o. a S r t H M- s a a r t o f t ot a* * » f a a a B* r-" o 6 • •a B • • • O a f t ? ••Î a t H o B. M> ? a r t B a r i a O M B a eu M
a r t B *«N a r t « H • «< B r i a e t eu M o B. a B a A o *-c B̂ M - a a
e •à B M eu o. n r t S ^ 0 r t M e t a B a a + B a H - B tt n *• n r i a a a B a a r i
O • a r-> a t e. M f M • a Pu a M -
a a. a B> H « a a C ' a
r t
6 M«
a M>
a B ^̂ a a M • ou o < n a M> a r- a
«4 0 o o r t a O a M> B 0 a w f B M a B a H-M H- O. ' a B a a
n O. 6 M 6 K> 1 o a t o •a a M a
B rt M e t a a 0 O a a P. r i a a B a a a" n M " f t B r - B r^ a a a r t t . f» f t a B a a c a o» r i a r* M>
ri a rt r-"
a r t rt a r-
a a « o. M» •a a M a a « t a H " H- o a o B eu n a a a a a r t B M- r i B m a n -* M l 09 3 a a r t
•a H - M - a B 1 a
rt a a
t t
r t r t C
a a p. a •O C M B a < B o rt a *\ a t a a a a c Ut H a •a B -
H « S' r" a t eu
#
a a H» r" a r" a 1 S M T B m r*
U l B l
M l 1
et i
a
- 44 -
M at L aont laa noabrea quantiques du centre de ttut et
a-(»SKT) avec
41 D
c d (3.12) t +î„-î'*î-î' c a
î+î-t'+î-t
Les coefficients de cette combinaison linéaire sont pureaent
f,éoa£triques, indépendants du potentiel ou de la «atrice de
réaction utilisés . Le détail des calculs est donné aux réfé
rencée 33 et 51
Si noua réécrivons l'équation (1.4) sou» la forae
«<*•*'>-£ ̂ fgT^ S J(k)^** s J(k') (3.13) SJT
on voit que l'éléaent de aatrice réduit de l'opérateur de ré
action G peut s'écrire sous la forae
^ A « l l c l n , * , a " > • < l « ^ l • + B h > ^ l • + c h S t 8 n • t • + < i h ^ t • •
(3.15)
Les coefficients . *-»B,C et D dépendent uniqueaent des fac
teurs de forae s «t h des états particule-particule inter-
aédiairas dans lesquels le systtae est excité, des énergies E
de ces états intermédiaires (cf. équations 3.7 et 3.8) et
de l'opérateur de projection de Pauli Q-l-P
* * •
- ¥ O - y / (3.16)
» - ( A-(l*a)(l-b)+cd
•5 -
où l«a soaaaa a,b,c,d «ont, dana una notation «Vidante
pour d«» ondei eiaplea :
î» n"lï— E tîl «T n"' ni n"'1 —» _ . — —. E-E
n nlE-E ni n n' ni n'1 E-E n n'
c~Eh _L- g •£ h g £i£îïliïil fi--, n nlE-E ni n n* ni n'1 Ë-E n n
(3.17)
d-I g_-L-h_ +_i:_ g_ h '<»«'*"•> 6_ _ n nlE-E ni n n' ni n'1 Ï-E n n*
et pour de» ondea couplé»»
a—Eh h +ïh n t(n I n' T'KL)fi
T E-E n T û" T n'T' Î"-E E E'
b - ï g _ _ ^ g + r g g PCS' T n' I'NL)g_ _ n X E-E n i ' n i n'ï' E-E E E*
C - Z n _ J L g _ +Sh_ _g_ _ P<° Y °''T,,L)6__ n ï Î"-E n T n 1 n'IV f-E E E*
d - j ; g _J_ h + ï g h_ P<â T n' I'K1) 6_ _ n" X E-E n T n î n*T' E-E E E'
(3.18)
La facteur da Pauli, t K at S fixfa, aat aiaplcaent donnS
par :
P(n" T n' T'HL)-<-) (2S+DE | j £ £
J
Ï(2X+1)W(LÏJS,XK)Z ( 2 X , + 1 ) M ( L X ' J S , X ' K )
(*a *b X ] f*. *b X ' ] ï (2j + 1 H 1 / 2 1/2 S>(2j .+1) < l / 2 1/2 S /
V . (i . Jb JJ ^ . i b
J j V b
- 46 -
I <nT»LX|n t n.t.Xxn'T'llLX'la.in.i.X^ _ _ ' a a o b ' a a D o n. nb
**U,V.-nb*bV (3.19)
où f(«,b)-fa*fb-fafb , (3.20)
£ et f. désignant les proportions selon lesquelles les ni
veaux individuels a et b sont remplis (*"(n t j ),...) Les equations 3.12 a 3.20 résolvent entiereaent le problè
me du calcul de la aatrice de reaction dans les noyaux finis .
III.5. Résultats et discussions
Dans la soaaation sur le nombre quantique principal dans
l'équation 3.2 , nous nous sommes limités à 4 termes pour
l'oxygène, et 1 3 pour le calcium . Pour les deux novaux
considérés nous avons effectué 10 itérations pour une va
leur de b donnée . Les résultats, rapportés dans les tableaux
IV à VI , se comparent bien 2 ceux obtenus dans des calculs
similaires . Nous obtenons pour l'oxygène une énergie de
liaison de -120. MeV pour N-l (b-1.54 fa) et de -140 MeV
pour N-4 et b-1.6 fa . De fait l'énergie est pratiqueaent
indépendante de b , dans ce dernier cas . Le gain en énergie,
dû au développement des fonction* d'onde RF sur la base de l'os
cillateur harmonique, est de 20 MeV . Il s'explique par le
fait que les éléments de matrice réduits avec n et n'>4 aont
très grands pour <n 1P 1|w|n'1P 1> , <n 3P 0|w|n'
3P 0> et
<n Sjlwjn' Sj> , surtout aux faibles valeurs de b . Les rayons
quadratique* moyens sont respectivement de 2.31 et 2.28 fm .
Four le calcium les énergies de liaison sont de -307.2 MeV
(b-1.77, KMS-3.1 fm) et de 335. MeV (b-2. fa, RMS-3.01 fa)
pour N-l et N«3 respectivement . Ces résultats se comparant
étonnamment bien aux données expérimentale* »*•' , Le calcul de
la.densité, radiale protonique et de masse (voir figure 13) mon-
-47 -
tira qua las deux noyaux sont presque entièrement "surface", ce
qui correspond bien aux courbas empiriques "X doubles paramé
trée" de Hofatadtar • "^ . Avec un potentiel complètement dif
ferent, laramger arriva a la ai» conclusion" .
l?6ur i'oxyfJca, la correction du CM. est presqua entièrement
compensée par la répulsion coùloabianne . Las énergies de sépa
ration apin-orbita sa comparant bien aux valeurs expérimenta-3
lès . Il semble que l'onde S. soit trop attractive et les on-•3- -1 - •
des ?„ et F- trop répulsives . - — - An
Les fonctions d'onde individuelles du Ca sont données dans
le tableau VI . L'importance des trois premières composantes C
du développement, expliqua la gain an énergie quand on passa d'u
ne a trois composantes.
Incluant l'énergie du sacond ordre via l'équation 3.10 , nous
obtenons des minimums d'énergies 1 des densités plus fortes
b»1.40 fa pour 0 et b«1.63 fm pour Ca , ce qui corres
pond évidemment à des rayons quadratiques moyens plus faibles :
R.MS-2.11 fm ( 1 60) et RMS-2.83 fa (*°Ca) Les énergies obte
nues sont trop fortes :-177.4 et -453.6 MeV respectivement .
Ces résultats sont comparés aux valeurs expérimentales " d a n s
la tableau VIII, et montrent l'importance de la correction du
second ordre . Ces résultats (voir aussi les énergies individuel
les- au tableau TIV) concordent bien avec ceux obtenue, également
au second ordre, dans la HI,les xapportries termes du second or
dre â ceux du premier ordre, étant .comparables daAS les deux cas.
Les cortactions du sacond ordre étant importantes, il faut
s'attendre a ce que l'utilisation de la matrice de réaction G ,
conduise également a trop de liaison . Ses calcula, actuellement
en cours , ont montré que du point de vue des énergies de
liaiaon, la matrice G donne des résultats intermédiaires entre
ceux du 1 . et du 2 ordre, mais proches de ceux du 2
ordre .
Le potentiel na doit donc pas être utilisé au 2 ordre ou
avec la matrice de réaction, ayant plutSt été conçu comme un po-
kl -
temtiel "effectif utilisable au premier ordre de perturbation. Il ne semble pas qu'on puisse trouver un potentiel donnant suffisamment d'inergie de liaison au premier ordre, dans la MM ou les noyaux, ef pour lequel les corrections d'ordre supérieur soient négligeables- *1*'
CMAPXTII IT
FOKCES MOM LOCAL» IT TEAMSITIOMS DIPOLÀHES
PAM8 LEI.MOTABX LOOM g
I.- Généralités - Cas das forças conventionnelle* -
La fore* d'oscillateur pour una transition dipolaire photo
électrique entre l'état fondamental |o> d'un noyau et un état
excité |m> , est définie par **** :
f o .^p < ' » - , o ) =i*° i . i ! M > i 2 < 4 - l J
où 0 est l'opérateur dipolaire habitual A
D- £ (s.-Z)(t .+ 4) , (4.2) i-i "V **-^* •
z. et t_._ indiquant la position at l'isospin du nucléon i
et Z >t iif)ri 1 la position du centre de maase des A nu
cléons, soit "•:•'"•'
1
i x •'" . -.» i
Là section efficace intégrée d'absorption de photon» d'énergie
"a*» pax un noyau dans l'état 10> , se relie naturellement ,
dans l'approximation dipolairc électrique, a la somme des for
ces d'oscillateurs f des transitions àv fondamental vers
Z-7" Ss. . En introduisant T -tt ".• l'équation (2) s'é-*• s *• - • s . a i •' •
01 tous lès états finaux permis |m> Ut)
- 50 -
°int »/o(ii»)d«-2ir2a§- I * 0 B—ry<0|[j[H,D],D]|0> . (4.4) • n •'
Vous désignons par a at H laconstante da structura fin»
at l'hamiltonien du système .
Si nous ioai limitons 1 das transitions dipolairea dans las
aoyaux lourds (2^40) et i des énergies "kw n» dépassant
pas 40 Me* •"'.,- la M < I 1 » d* |t( da Farad constitua una bona*
approximation , Par ailleurs, sauf aux basses Cnargias, les
affata da corrélation antra nuclions soat relativement peu
importants .
Compta taaa das charges effectivea m— at ~*T pour las
neutrons at protons, la tarsia ciattiq.ua dans H , donna.
"0--2(II/A)2*«<-Z/A>2-|£ . (4.5)
Ainsi, pour W-Z-TT , la soana daa forças d'oscillateurs éat Z
» , la raata'-provoquant das vibrations collectives sans absorp
tion das photons . La aactioa efficace intégrée d'absorption de
photons est daas ce cas "*'**'
.. -4̂ 'iat lu Î" 1 5 k H * V " » b V <*'6>
Ca risultat demeura encore valabla si le potentiel nucléaire est
dû type local/ statique, habituel, celui-ci commutant avec les
coordoaaées daa nuclfons . Suivant las noyaux, ce ritultit rs-
or'seate seulemeat de 30 1 60 Z de la valeur expérimentale,
la seul moyen de majorer le résultat (4,6) est d'utiliser un po
tentiel aucKaira ne commutant pas avec l'opérateur D .
II.- Farces aoa locales. - '• ; r • • . "•••• •. -. .•
Si la force nucléon-nucléon ne commuta paa avec 1'opérateur
dipolaira, il «pparaît, dans l'expression de la sectioa effica
ce, un t arma supplémentaire h , mesurant l'importance du ca
ractère d'échange de la forer t
: ? t : : t s : ï i s t : a ^ * : E > E t i & i i : * ** a M * : E > E t i & i i : * i» a rk * : E > E t i & i i : * • o 0 » a a » * o a a o a . r t O 0 * • a • a a a a a « n » * r » a it a — HI + a* - a o o * a r- n
m f + at r - a a a a 4 » a n H» «•• - + e y a r - - a a a a a a _ p
a a o n + a a a a it n a -a a r» H- t *
la a M n ar a a a a n la •a n ' t a. M » • M i t r * a *% u v . f f . p s " . : : »-, r» M U|K* u v . f f . p s " . : : r- a «M "Si
Ï : H l f f H Ê • • + e n Ï : H l f f H Ê «<• M •a Ï : H l f f H Ê s-» a) s ^ »r Ï : H l f f H Ê i * H a. •» M 0 r» a rt a A i t «• r" *• . H» H* a n - a n
"»• * • * a S S a S a S Ê a t " -1» M a S S a S a S Ê a t " -
a M M)U»
r k , «« «t 1 - O 0 n t i M)U» " f t S r . ^ ï î S - f r & S l S H , " f t S r . ^ ï î S - f r & S l S r* •> l a . Jf • - H i a a» a ** * a
•> l a . Jf a -s a ai • n n a * a r* * a
•> l a . Jf a M i t « H • a a a a t •> l a .
**ff • . a a t a r a a -a o r» i * •»™» w r- a * rr rr 0. r- r- a a 2 ^ •a w| w a. >- • i t a a r 1 a r * 0 a i t » r" •a w| w K. H. v. » a o a H-a «•
•a w| w « « • a o r t a a • a -a o
i t M m -a a H> e a. a o a •* Ci H * a > e o n a •- r, e a 0 H o •• r- - N p a a a r i a .r^ • H » M * • H 4 o a a* • - * H - • ~ • a * • i - o
s ^ r » . o - j r o « a a s o . o » B ^^ at a s- . a a
4 M e a» -a a a a. H» a •*• o a a • w e - a o a r» o a w o /-v n » g • 2 • r» • f i - o a a o a w o a r a a a a i M i o n a i t a s ^ ïntzii'iiïî 5 a M H- a a a - « wa H M o 0 a a - a a a e a e - n
. » rt a. a r* o a a a a a - a i t ^-S t S 'V& S " a. 'g " 'Sr . . r - l t 0 O 0 B . . P . - O
•• £ , n a . i > 0 0 a a o a o •• H> ' * S ar r- a o a 0 s
tr .*• o - r * • * » n a. a * . » • « " H a t - a - a H. M a a a a
f . «1 a a a rt 0 . 0 M rt • S»*
• •,?£"« I ( |
•ilWWI^'^WMi'|l«l-kM-lii.'JWWWBWWWW!g*WWIH#WBilW
H - a a a a a a i - a a a a a o n rr rt c a t o n a a> -a rt n S a; HI q H x i « t a f a ^ a c o r* a a 5 a. a a a. M a a •->• a H a a -m a - • a m • n c a r » rt
•a it a H . a a o -a n a • •* a n a a rt » H o a HI a> a H at H rr a a a o M O - - ' n i a * a n a ai . a a O ' O o o i t r t o M a i
•a ar s * * J . ** a »•• » a « I N a - a a . * a t n f . o i - > i-> A> a ^ o a r i r t a a a -a a a a a a M a . o s ^ a a * a + a "'• J> a a at a*
8 « ru a a <-* o o H»
a ft a a. a a - a- •* n a • r> < K « • o M o n ai <a
^ . O p H r r r t o a a . rt • O a
: : ? ï a s * » s ? « ? iM.ni:i.»n
l! i;»!!! s u r B ! - 5 5 H î s t
vrfïfriiiH-f: n a -a a rt a a n "
t & .s ? s u? & 3 - y g fa
B, bi. rt > . ai a o a* n *
a r- r " tr . * 7 5 '~ï & 2
o a 0 n p. a o a a a a 0 H» B I t n PC r rr 0 e a a rt a i - s*. B a «-< a o rt n >»
n rt a o a a H-e i i r* »
- 52 -
Compta tann da (4.4) at (4.7) on' obtlant
h-«MJT-^ J ?<2 j^>^US^ 2 /o^ 2^-t7>l'it SJT<
k'| 2 •
-, -- ' <*V°>
XXI.- Meuitata auaariqaes - Diaeaaaion -
Nona avons calculé laa effete d'(change at da non localitf,
aeaare* par laa acalaira* njjfjT , pour lea ondes relatives
S_. *_ at D_ pour différentes valeurs du rayon nucléaire
(peraaetre r ) . La a ondaa da aoaeat oibital reletix' supé
rieur 1 2 ont itS ntgliseee . Laa résultats (II) aont reau-
a*a dans la tableau X at coaparts X ceux obtenus pour la
potentiel rtaliate a coaur dur de la riftrence 13 , at notfs
Tour les deux potentiels considCrCs, laa qnantitCa aana dinen-aion n- g J T obtanuaa aont supérieures a la plupart déa rCsnl-
tate obtenus dana des calcula siailairea, aaia cependant en
bon accord avec 1'experience . Les daux potantial* donnant daa
résultats coaparableaaauf dan* l'état S. ou la potantial
le plue répaleif (I) donna daa Taleura da h( S.) aoins gran
dee qua la potentitf aana singularité (it) étudié dana ça tra
vail . Laa ondaa S, sont cependant prCdoainantee pour "«•
daax potentiels . L'pude F^ (pot. II) a una contribution
d'abord négative puia poaitive at rapidement eraisjanta avec
ky , ca qui esV.a coaparer 1 ua coaporteaent a&ailaire dana
las calculs d'énergie de liaison par nucléon dang la MR i
Cas réauitats aontrant qua la non localitC joue un rSla im
portant dana lèa rtaction* photonuciéairea at paraat d'obtaniv
dee aectioaa efficaces d'absorption da photon* comparables 1
l'expérience, contr«ireaeat aux potentiel* conventionnel* qui
donnent de* sections efficaces trop faibles .
s
A « O a M B O 1 a a a a. B Ml f
- # B a- «t F - O f « a a a a H ' a W r t a A • a a i B a a n M W a a O" • a r t C r t n H> M K
a i « r t a. 1 a a a a F * m M a 0 a r t 4 r t •« a B H •a a r t a B
m a i » F - a t t n F > B F" M 6 <• a i a lr" F» 0 •»• a 0 B F* B. r t
M 0 . a B B A • a M a Ml a 4 a a a i a i a r t F- B a •a a F- B f 4 r t «t i a a M a F> B a a B. a H . e a B. a B F - a B 0 M •» F« • 0 a.. H a F" r t r t A a 6 6 a a a a • a <a F ' M« B F » *• a F» a a a
H. « « o •a a F- B. m a a r t B. B o ce B B w a a a F> a t t o * a i B c a F > a a o M a «r
B a a •*< n a a a a r»^ «4 B B r t B 0 « 0 «4 a o r t a n # a û . » H a a • a . 0 0 B r t m a a M a a « H o «•* a i t t • n S •B B •B *0 < a 11 r t •a r t a M a a a i o a O 6 • • f o f F- B a o o rt a •o w B F» a a O a r t •a «t H* m o (A n a H» M a a B. M e « a. a B 1 a \ a w '* F - F - B a B a a a > o. O r t H> r t rt
0 B B a a a a i M F- •a. F-a IT f f» a r» o r t d a a i 0 a F» B a M B e t «4 B • a n r t a • F * B Ml a • 8 F» a a a F- 0 a a • a 0 e a « »t M M a 4 • ¥t F» ^ a i a u B « B* m r t F- •4
a l a r t B 4 B. a r» •a a i a «o F- B. M
» d a a H- • a a a a • M B a 6 «r H- r t •B r t e* O • r t a 2 a •••• a F" a B o « r t 4 a r t • n r t » M a 5" a O. B a H . F ' a i F » « a r t B M a r t a D. d n « B. a
O F- f» « a a F" C • • a r t
» 6 4 F- M F> a a a • a a r t
• » • r t a n Ml a a a - * > B F»
s. » a i a - r) Ml r t o- ^ H O a o" a g H a a a B ' B a a r t 0 F« B N F > a i •0 M r t a- o F- M 8 r> a i H ' a f a F- M •a « o 8 a
o. 5* a> n B n a F» a M B a 6 a F» H* a a r t a r t •a F« B 0 a a 4 n 0* a B F ' a i s* «t M a- a • a H ' F -a i a "2 » 0 . Ml n a i a i F > o* M M B a B » a B a F> M w m B F> • F* a H M- a H . ^\ a i B a a H» a i a f •a «"B» a i •0 i 04 a a r t B
a. 2 B a F> B M a a. •a a a B
*5 a a i a a •a a 00 n • H- a f
s e> t a w • a a H M r t 0 B M • r t w a « w M •a • a f | 1 O o H n B 0 . a a p . 0 . M
E* a + a r- 0 B w n rt a H* 4fe
g K » •o H a B a H a r t 0 Ml I I
S • a w 1 a 1 •0 a i H- d a I a < i "Î a a
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M B. n F» F ' r t a F<
"l a a a F'
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o a i n 0 s s t» f r t »• m o N a a i -a a M a a a n a 0 tt n 4 *b a a/
H ' F ' a F . pr a. r t » a a r t F 1 a e B 0 M B a r» M F"
«4 •a a F« r» o. o a a a M B fK a a B a a B. a i C r>| M B a a 0 * ft Pi B a i
M" a a M o 0 r t m F » F» (M f t >4 B
>• n o a a ft W a B. 1 a a • H* H B a *• a F» a a r>J n M a » n •a a d
n B a r t n Cw a a o F" n M « •a o £ a r t 0 , a i a- F ' n n a H» o m f t a* a 0 M B- f i a a a a a F- B< a 0 a i H B A a
i o r t K i * B a. a •a a n a a et B •a F ' M f f a •4
•a a • A a. •a H o F- B a a o M a B B o a. r t B a a •a B a i a O M 0 o" ta M a F* 4 r t F" N» a r t m F" a a a
a •• a B • a H F ' F ' f t r t a a a a M a a F- a o
a a Ml A r t F ' o •a F» B. M f t 0 a /• B o • B n a • a a B. O t t « a a B M a pr F ' O o F- F-
• , » , ,4- B a a • * r t a a a a O B «4
• o. «4 a •a o a » a a. a a a !-• e N a a V
a r t •a F» a a O a a o. a H a « I a A • a M F- 0 a F" a . i O
rfl F» B 0 a r* B « a a « M a
» B B a i B. tt a. F» B a F» a
» a a a a
O n a i
F< n l f S
s - 5* -
meilleure compréhension du potentiel réaliste présenté dane ce
travail .
Fi la force nucléaire eat purement du type Wigner et Majora-
maa la fonction d'onde du système ae factoriae en un terme d'es-
pace et un terme epin-isospin . Lea symétries de ce dernier ter
me peuvent aervir a la claaaification dea étata **•' . ta fonc
tion dependant dea spins ae traaaforme comme la baae d'eae re
présentation du groupe SU(4) ; ce» représentations «ont d'or
dre [l] (fondamental), [0• •** * Dana la creation dea états
a une particule - tin trou, la fonction d'onde ae transforme aui-
vant la representation :
lea indicea p et t ae référant aux fonctions de spin-isoapin
de la particule et du trou, respectivement . La representation
irréductible [l] correspond 2 l'fitat fondamental, et la repré
sentation £15} décrit lea premiers étata excitée (Os) (Op) et
forme le supermultiplet de Wigner
[(2T+1) 0 (2S+l)]-[3 Qf 1] ® f l ® 3} © [ 3 ® 3j
L'utilisation d'une force réaliste comme la nStre, prëaentant 2
côté des termes de Wiener, dea termes apin-orbite et tenaoriels,
permet de déterminer dans quelle meaure la théorie du supermul
tiplet est valable .
Voua effectuons le calcul dans l'approximation de Tamm-Dan-
cof f :
(: -s)-- <$ oil : (5.2)
»JT D A a , I b " < c A ~ e a ) 4 A * 6 a b + < A * ; J * . ™ « T I W I B D îJM.THj* .
(5.3)
Les e. et e sont lea énergies individuelles dea particulea
A ou daa troua a .
- 55 -
Les CICaents de matrice particule-trou de (5.3) s'expriment en fonction des Cléments de matrice particule-particule: per la relation de conjugaison :
<ab~ 1;JT|w|cd" l;JT>—/(l+S a d)(l+o 1 ) C)
{j- J b J* /l/2 1/2 ï Y * ° } 4 V<ad;J,T' W cb;J'T'>
J c j a J'J (l/2 1/2 T'J • .' i. (5.4)
In fait, dans le cas qui nouainteresse nous ne pourons. crier des trous que dans l'orbite "(Os) et, nous nous limitons a des excitations d'ordre IBe) , donc ignorons la couche Os-ld . L'équation (S.2) peut se rCsoadra analytiquamant n o difficult* •
Parmi les états ï-0 , des excitations:spurious n'appa- -raissent que dans l'état P. qui n'appartient d'ailleurs pas a la representation [l5] . Les trois autres Ctats T-0 , soit 3 3 3 . • • ' . — •
P_, P. et P, a ont un couplage L-S pur « Les,Ctats 0,T«1 et 2 ,T»1 ont simultanément un couplage L-S. pur et un couplage j-j pur, leurs fonctions d'onde respectives étant les aimes dans les deux aodes de coupla:*;* l*e-»TJ . j, c s cinq Ctats cités sont donc dCterainCs d'une façon unique par les nombres quanti-quef T et J . Il existe cependant deux Ctats indépendants J-T-l , qui ne sont pas Ctats propres de l'namiltonien total,et qne noua diagonalisons dens la base
ls Pi/2» J" 1 * •' !•" p3/2' J" 1~* , n prenant :
e -e.«4iM-21. A MeV . P •
L'Cnergia de separation spin-orbit* dépend uniquement des Ctats "triolet-impair"
pl/2 p3/2 8 ° X 2
- 56 -
oil noua notons lea * Usent» de ««trice réduits
<2S*1£*]J»-<(n-0*S)JT|w|(n«OiS)JT>
Cette inertie de séparation dépend fortement du paramètre b
de l'oscillateur harmonique **7' (voir figure 14) , dépendance
qui s'explique si on sait: que lea éléments de matrice (5.6) dé
pendent eux-mêmes forteaent de b . Il est probable que le
choix des fonctions d'onde individuelles (oscillateur harmoni
que) soit critiquable pour un noyau aussi léger . Cependant la
situation s'améliore nettement pour les grandes valeurs de b ,
la position théorique du centre de gravité des énergies, corres
pond i la position'expérimentale pour b»1.65 fa (en négligeant
le second ordre) .Le "splitting" spin-orbite est alors de 5.5MeV„
un peu supérieur 2 la valeur expériaentale (4 MeV) et les.niveaux
calculés correspondent 2 un MeV pris aux niveaux expérimentaux * .
Tous ces résultats sont encore sensiblement améliorés pour une on-3 3
de S. moins attractive et une onde P. aoins répulsive .
II.- Les isotopes de l'oxygène.
Mous nous proposons dans ce paragraphe d'effectuer un calcul
dans la couche Od-ls et de calculer 2 la fois avec le potentiel
étudié V et la aatrice de réaction G " " de Kuo-Brown déduite
du potentiel HJ ( , ) , les preaiers niveaux de l 8 0 , 1 8 ï , 1 9 0 et
0 . Roua utilisons, pour le calcul des éléments de aatrice ré
duits, un paramètre de l'oscillateur harmonique tel que TitJ-14 HeV.
Nous considérons pour ce test, 0 comme un noyau inerte, ce
qui n'est vrai qu'en première approximation . Noua obtenons les 18 18 états de parité plus de 0 et t par diagonalisation da
l'interaction neutron-neutron, et proton-neutron, dans l'espace
< 0 d5/2* X'l/2« 0d3/2> !
- 57 -,
Od 3 / 2 — • — ~ C d 3 / 2 - 5.08
•i'«j>2 —';.''. - •— — c, • 0.87
^S/i ; E d 5 / 2 " ° '
La figura 22 montre qua l'ordre at l'espacement des niveau*
T-l , obtanua pour la potantial W ***' at l'opérateur G "*
aont id«atiquaa . Un examen daa éléments de miti-ice» calculé! a-
vec daa fonctions d'onde coupler* à J et T .montra qu'ils
aont tria voisina pour Coûta la .couche, (Od-ls) . . Le premier ni
veau 0 sa trouva aaaas loin au-deaaua du niveau expérimental
parce que noua avona tenu pour negligible la polarisation du
coaur ' 0 . Remarquons que le deuxième niveau 0 , la deuxiè
me niveau 2 , et le deuxième niveau 4 peu affectés par cet
te correction, se trouvent en étonnant .accord avec l'expérience,
tant pour W que pour G
18 L'accord est moins bon pour le apectre du F . L'ordre des
premiers niveaux eat encore celui de l'expérience avec W alora
que ce n'est plus le cas avec G ; le premier 1 (fondamental)
aat trop bas avec V et trop haut avec G . Il semble que lea
corrections 4 particules - 2 trous soient vraiment importantea .
Dans le calcul des spectres de 0 et 0 noua avona à
considérer respectivement troit et quatre neutrons en dehors du
coaur 0 y et devons donc utiliser les coefficients de paren
té fractionnelle (c p f) - * pour le calcul des éléments de
matrice . Dana le but de simplifier les calcula noua noua sommes
limités a l'espace (*i/2»d5/2^ ' •PPCoximation qui nous semble
raisonnable et qui read poacible la construction analytique expli
cite des matrices de l'heailtonian pour lea premiers états t trois
et quatre nucléons . Les résultats sont rapportés dans les figu
rée'1 24 '.et "25 .
- 58
19 Four 1* 0 , le* deux premier* niveaux sont interverti*
par rapport a l'expérience, tant avec H qu'avec G , et *e
trouvent trop haut .11 aernble impossible d'obtenir correc
tement le niveau 1/2 dans le cadre du modèle en couche* u-
tiliaé . De fait, de* calcula tant microscopique» (HF) que ma
croscopiques (modèle de Xilston) actuellement en. cour*, mon
trent que ce noyau est fortement déformé .
"* 20
Lee mêmes constatations t'imposent pour 0 . Il est pos
sible d'obtenir avec G et H , un spectre en excellent ac
cord avec l'expérience en tenait compte des déformations du
noyau *••''' .
III.- Les noyaux de la region A-50.
Mous étudions dans ce paragraphe les noyaux de la region
A-50 ***' tt plu* spécialement le Se pour lequel aucun
£tude détaillée n'a été 'faite avec des forces réalistes .
«)- Lt ic.an.ditm . . , . A part le calcul de Kuo-Brown (KB) l**'uti-
lisant le potentiel de Hamada-Johnston (HJ), toutes le* étude*
qui ont été faites *ur le Se sont purement phénoménologiques.
Vervier ***' détermine les élément* de matrice diagonaux de
l'interaction proton-neutron dans la configuration réduite £ 7 / 2 ^ ' p 3 / 2 ^ ' ' l " c t " " ' niveaux expérimentaux ;
( f7/2 H/2y d u 27 C o29 " d t t 27 C o31 '
San* un calcul ultérieur * , il étend '.'«space de configu
ration aux orbite* Pi/2^n^ m t fS/2^ n^ * T « C une interac
tion de type; 6 ... Ohnuma et Sasaki '* fixent le* para
mètre* d'une force phénoménologique 2 partir des données ex
périmentales sur le Co it la Se . Borie, Oda et/Oga-
va '*•''déterminent les éléments non diagonaux 2 partir d'un
grand nombre de données expérimentales par un procédé du
59
•oindra carré . Hugues at Soga * , f' utiliaant dei mélanges de
Soper at Kosenfeld complétés par daa interaction» particule-
trou tirées da l'expérience . KB "*' ont utilisé récemment
le spectra du Se comme teat de leura éléments de matrice
de reaction diduits du potentiel de HJ * . lia ne tiennent
cependant compte de* configuration* particule-trou que par la to
renormalisation due 2 la polarisation du coeur Ca . L'ef
fet global de* G, •-. est plutôt faible . Tous nos résultats
expérimentaux sont pris dans les references 5 7/ et K**' .
5 0 S 2 1 2 9 48
des orbite* pleine* du 20C*28 ' *** prettier* niveaux de pa
rité plu* «ont bien décrits par la modelé en couches et les
rifCrences citëcs donnent successivement pour les premiers ni
veaux, 5 , 2 , 3 et 4 , en bon accord avec l'expérience.
Ces niveaux sont détermine» essentiellement par le couplage £7/2^ p^~ p3/2^ n^ * c*Pendànt des modèles ou da* força* aussi
•impies expliquent difficilement le 1 trouvé expérimentale
ment 2 1.84310.001 HeV du fondamental, ou le niveau obtenu 2 + +
3.1 HeV et qui eat soit le premier 0 , soit le deuxième 1 .
KB par exemple obtiennent ce* deux niveaux aux environ* de
4.5 MeV au-dessus du fondamental . Dans le but de clarifier cet
te situation, nous avons effectué un calcul sana paramètres
adaptables, avec des forces réalistes, et où le* saule* quanti
té* tirées de l'expérience sont lea énergie* individuelles daa 48 • '
neutrona et proton* en dehor* du Ca . Le* énergie* de separation, évaluées % partir daa mas*** nucléaire* empirique* sont 9.623 MeV pour le proton 0f 7 /, du *9Sc et 5.144 MeV pour le neutron l.p . '<'du Ca . Les énergie* d'excitation des proton* varient considérablement d'un auteur %. l'autre (voir le tableau XIV) ce qui affacta évidemment certain* niveaux du spectre théorique . tes états propres du scandium ont T«4 ou 5 avec T "-4
1 • " •
(t.'-y) , pour un neutron) et comprennent le* composantes suivan
te» s .
- 60
L-
Lea état* T-* sont preponderant* par lac etat* :
Jl>-|f7/2,i2;JM>- S <JMlJ •1j2«2>cj(|ai1)c*<j2»2)j48Ca>.(5.8)
"l m2
|n>-|j1J2;JM>-
rmn^r^ l <JM|j
1"1J2"2'
{^^Jl«l ) Cn (J2»2 )* Cp^2-2> Cn (il ,»l>>| 4 8 c« >
oft C_ at C aont reapectiveaant laa opérateur* da ctCation p n d'un proton at d'un neutron . La» opiratauri d'annihilation cor"
reapondant* «ont C at C «La fonction d'onda II> dtcrit P nf »
laa calcula daa references ***'**' *t |ll> décrit laa coupla
ge* neutron-proton T-0 . En accord avec le* r{suitat s de KB
** aoua obtenons des coaposantea particule-trou relativeaent
faiblea . La tableau XVI indiqua lea coapoeantea dee fonction*;
d'onde aur les (tat* :
im>-Vf _ , (5.9)
I iv>-
j-a
qui conduisent a des ileaent* da aatrice du type
•l H I ' 0
II IT
(5.10)
f*jj <JÏ1(P>J(«*)J|«'I«7/2(P)£7/2C*)J>
•HMWi*., , ) • « , , (-1) l 2 <J 2
1 <p) j<n) j |wf f"J 2 (p ) f 7 / 2 U)J>] .
>* .-S * • $
- 61 -
La correction Ae. 2 l'énergie individuelle expérimentale
e . du neutron j , et qui apparaît aur la diagonale de la
sous-matrice H__ I V peut ître tirée de 1'expérience . La
difference d'énergie entra lea Stats où l'analogue d'un neu-48
troa j est couplé 1 Ca et où un neutron j eat couplé 48 2 l'analogue du Ca est égale 1 la aoitiC du rapport antre
l'énergie de symétrie de l'état j et l'isospin du Ca .
Cette difference vaut aussi -Ac • • Mou» avons préféré la
calculer en fonction de la force réaliste étudiée W :
A cj"ï73FT7 s
t <2 J , + 1 >C < f 7/2< B ) i< B > J , |w|f 7 / 2 <p>J<»>J'>
•J
•<f~J2(n)j(n)J'|w|f~J2(n)j(n)J'>3 . (5.11)
Pour les orbites fe/» *' f'i/2 n û u * obtenons sensiblement
la «laie correction avec notre potentiel qu'avec celui de HJ
•"** . Ae(p, / 2) est par contre plus important pour notre
potentiel que pour la matrice de réaction . (Voir tableau XT).
La figure 17 montre lei> spectre» obtenu» avec trois choix dif-
f"Srents d'énergies individuelle» expérimentale» : EMS *•** ,
Kl '' et ES (**> . L'effet est surtout sensible pour les
deux praaiers niveaux 1 et le premier 0 .
Il est possible (EKS) d'avoir un niveau 0 aux environs de
-13 Me? , où sa situe aussi un niveau expérimental 0 ou
1 , mais alors le premier V <tst trop baa d'environ 0.6
KeV .11 semble difficile d'obtenir simultanément le 1 et
le 0 .En effectuant le même calcul avec lea éléments de
matrice de réaction de KX • *' (potentiel de HJ) nous ob-,
tenons «a résultat similaire; le premier niveau 1 et le
demxiftme ,4 «ont cependant plu» proches de l'expérience
peur W que pour G . Lea spectre» de W et G sont de
plus tris proches da celui obteau par KB avec G + C3,i|, » S»*
l'inclusion des corrections particule-trou ne sa fait que via
1* ranormalisatioa 3 particulas- 1 trou : las 16 praaiers
niveaux se trouvent dàne-1» mima ordre et pratiquement aax ut-
62
•ea énergies, ca qui noua fait conclura qua l'effet des coafi*
gurations particulaMrous étudiées eat équivalent es moyenne
X la renormalisation S, ,. da KB . Tous ces calculs prédi-+ 3pin
aant un niveau 6 vara -16 MeV at qui n'a pu être pauplé
par la réaction Ca( He.p) Se .
+ 2 La premier 0 ait essentiellement (P*/?) tandis que le»
niveaux 1 ont un tria grand mélange de configuittiont. La
fondamental aat du typa (£7/2»p3/2^ preaque pur . Un te»t de
ce» fonctions d'onde aat par exemple la valeur leg ft pour
la transition p. 5 0Cà<0 +)+ 5 0Sc(l +) . L'Élément de matrice
de Camov-Teller M„_ s'exprime aisément, via des coefficients
géométriques de couplage de moments cinétiques, «n fonction
des éléments de matrice <jfi jo"| | j,> et on obtient finalement
pour Î
log10ft*log106132-log10(1.39 M*T>
la valeur de 3.2 , ce qui se compare assez favorablement a
la valeur de 3-5 obtenue par KB ( <"' et a l'évaluation semi-
empirique de *.* < * , ) .
bi- C*lC4MM tt tltMMt -
Le spectre des neutrons de valence du Ca , calculé ave?
les énergies d'excitations KB du tableau XIV, est représenté
dans la figure 18 pour le potentiel V et la matrice da réac
tion G . Las fonctions d'onde obtenues par diagonalisati'oa
dans l'espèce IP3/2» ^5/2' 1 ?3/2 ** t r o u Y , n t dans le tableau
XVII. Pour les premiers uiveaux, l'accord avec l'expérience est
bon, pour les autres, mime l'inclusion de G. J t , n'améliora
guère la situation .
Pour le Xi (2 protons) le potentiel W et la matrice
G donnent des résultats identiques . L'inclusion de* correc
tions 3 particules- 1 trou permet d'obtenir un bon tecord avec
0 ( j ' , T ) « 2 S T X s i
s i i j
- 1 s i j s i j
63
1'experience pour les premiers niveaux . Les fonctions d'onde ob
tenues sont reproduites dans le tableau XVIIt
49 Les niveaux 2 un nevtron du Ca ont été calculés à partir
des niveaux expérimentaux '•'•' du Ca , ceux 2 un proton du
Se 2 partir des niveaux expérimentaux **•' du Se par la
relation :
(5.12)
contient uniquement des neutrons et
est un neutron ou un trou de neutron .
contient uniquement des neutrons et
est un proton ou un trou de proton .
Par ailleurs, bien «fir, on a :
6(j',T}-2T*l si l'orbite j* contient des protons et des
neutrons .
On a J'=Of 7 / 2
49 et j={lp 3 / 2, Of 5 / 2, lP 1 / 2* pour le Ca
j={0£ 7 / 2, lp 3 / 2, M 5 / 2 »
l pl/2* p o u t l e S c *
Les spectres obtenus avec le potentiel étudie W , sont plu»
proches des spectres expérimentaux que ceux obtenus avec lea
éléments de matrice de KB , ce qui semble du au fait que soi
éléments de aatrice T-l soient légèrement; plus répulsifs que
ceux de KB .
c)- Comcttuloiu -
•ous venons de montrer qu'il est possible de trouver un po
tentiel nucléaire réaliste sans coeur dur, de comportement si
milaire 2 la matrice de réaction G déduite d'un potentiel 2
ipe
- 64 -
coeur dur, dans des calculs de spectroscopic et de structure nu
cléaires . Dn tel potentiel régulier peut être considéré cou*
le txansforaf unitaire d'un potentiel rëaliste à forte singula
rité a l'origine **») .
Les noyaux de la région A»50 présentent des composantes par
ticule-trou non négligeables . L'inclusion des configurations 2
un trou de neutron permet d'obtenir pour le Se un spectre en
bon accord avec l'expérience .
CHAPITKI VI
DISCUSSIOM DU POTEMTIEL
La tendance actuelle de la Physique Nucléaire, consiste 2 cher
cher a expliquer les propriétés aicroscopiques et macroscopiques
de la MN et des noyaux, a partir des potentiels d'interaction nu-
cléou-n<jcî.<îs>u qui rendent correctement coapte -les données expéri
mentales de la diffusion de nucléons libres . Ces potentiels nu-
clëon-nucléda sont généralement tris fortement répulsifs (coeur
mou) ou infiniaent répulsifs (coeur dur), pour des distances in
ternucléaires inférieures 2 0.5 fm et doivent être remplacés
par des interactions effectives, telles la aatrice de réaction
de BBG, le pseudopotentiel de Feshbach Loaon , le potentiel
effectif transformé unitaire *" *•' du potentiel réaliste .
Toutes ces transformations sont sujettes 2 critique , et
surtout suffisamment compliquées en elles-mêmes pour ne plus
permettre ie giii'i calculs de structure ou de spectroscopic
nucléaires . La méthode la plus simple nous a semblé être celle
qui consiste X trouver directement, sous forme analytique, un
potentiel régulier, £-partir des données du problême 2 deux
corps, potentiel qui peut être considéré comme le transformé
unitaire d'un potentiel réaliste ayant des corrélations 2 cour
te portée . Les calculs de MH et de structure nucléaire sont
alors grandement nimplifiés, et les résultats sont sensiblement
plus proches des données expérimentales que pour les autres mé
thodes .
Examinons, pour finir, les différentes approximations et hy
pothèses faites sur le nouveau potentiel présenté dans c* tra
vail :
- 66 -
VI.1. Domaine de validitC du potentiel -
Le potentiel a «té construit de Manière a reproduire les dé
phasages des ondes relatives S,F et D jusqu'à 400 MeV
Il est donc clair qu'il ne peut être utilisé pour des interac
tions faisant intervenir des énergies supérieures â 400 MeV
D'ailleurs nous somme* 12 en doaaine relativiste où la notion
de potentiel traduisant l'effet moyen des nuages •ésonique» en
interaction et impliquant une transmission instantanée du champ
nucléaire, n'a plus de sens . Dans les noyaux cependant, la qua
si totalité des interactions implique des énergies comprises
dans le domaine de validité de notre potentiel .
VI.2. Importance des ondes négligées -
Dans les calculs qui précèdent nous avons négligé les ondes
de moment orbital relatif .supérieur a deux . Il nous semble que
cette approximation ne prête pas X conséquence . D'abord les dé
phasages entre 0 et 400 MeV des ondes f et G sont négli
geables * . De récentes expériences de diffusion de nucléons
X haute énergie ** .confirment que les onde* F ne sont impor
tantes qu'à partir de 600 MeV . Il semble donc que les moments
orbitaux relatifs supérieurs a 2 n'interviennent pas dans les
interactions i\ l'intérieur de la MM ou des noyaux . Far ailleurs
les incertitudes dans la détermination des déphasages de ces on
de*, sont tellement énormes x 7 , 1 >'' que les paramètres du poten
tiel que l'os pourrait en tirer, n'auraient plu* de signification.
De plus, le fait d'avoir obtenu de bonnes énergies de liaison de
0 et Ca par exemple, semble confirmer que les ondes t>3
étaient vraiment négligeables .Quoiqu'il en soit, du fait que
la quasi totalité des auteurs se limitent, dans leurs calcul*
aux ondes relatives S, F et D,. il ne semblait pas nécessaire
d'en inclure 4*'autres dans no* calcul* .
* ... et que les ondes H na sont huiles qu'à partir de 900 MeV.
- 67 -
VI.3. Comportement 1 longue distance -
Noua n'avons paa ajoute explicitement un terme O.P.E.P. prédo
minant a longue distança, X notre potentiel, pour la simple rai
son que 1'(change d'un seul v-aCson ne se fait qu'à partir d'u
ne distance de 2 fm , ce qui correspond X un nouent orbital
l>4 , et les ondes correspondantes ont précisément été né
gligées . Cependant les ondes S ont un comportement correct de
type Yukawa '*' .
VI.4. Importance de la non localité -
Quoique à ce jour nous n'ayiona encore aucune information ex
périmentale quantitative sérieuse sur la non localité des inte
ractions nucléaires, il était intéressant de savoir si pour le
potentiel en question, elle est importante ou non . On bon test
de l'importance de la non localité nous est fourni par la règle
de somme dipolaire électrique .
Un calcul de la section efficace intégrée d'absorption de pho
tons pour tes noyaux lourds permet de conclure 2 une non locali
té relativement importante mais en excellent accord avec les ré
sultats d'expériences de transitions dipolaire» .
Une forte non localité signifie que dans le développement du po
tentiel non local par rapport ï l'impulsion, les termes quadra
tiques {de type Creen) sont importants, ce qui explique probable
ment l'étalement <J'i spectre I une particule (2ëm« ordre) .
Vous avons, bien s6r, sous-entendu d'autres hypotheses sur la
nature des forces nucléaires .D'abord nous avons déterminé une
força ï deux corps, mais les rorces i trois corps peuvent jouer
un rSle non négligeable .A en juger d'après les conclusions
contradictoires publiées récemment * la question reste ouverte .
Ensuite nous avons admis une parfaite indépendance de charge,quoi
que des mesures récente» '*•*/ indiquent une dépendance de 3 * 5Z
(indépendamment de la force de Coulomb) .Si nécessaire, ces pe-
- 68
tites correction* peuvent facilement être apportée* au potentiel
présenté ici . Si le potentiel a un comportement suffisamment
"effectif" au 1 ordre, cela e«t dû essentiellement â l'onde
S, qui est très ou trop attractive . Au 2 *' ordre l'onde P n, 1 et h un degré moindre P. , jouent également un role important,
généralement défavorable,(trop de répulsion) .Ces caractéristiques
ae répercutent dans tout calcul nucléaire . Si on modifie le po
tentiel dans le sens de ce* remarque*, il a un comportement plu*
satisfaisant, surtout en.spectroscopic "'' . Cependant:, mSme tel
quel, les éléments de matrice de la couche Of-lp sont très voi
sins des éléments de matrice de réaction obtenus par Kua-Brown
pour le potentiel de Bamada-Johnston . Une conséquence en est que
les spectres des noyaux de la région A»50 aont identiques pour
le potentiel W et la matrice G
Il nous semble que le potentiel présenta dans ce travail, sa
tisfait X toutes les conditions importantes requises par la plu
part des auteurs : il décrit correctement la diffusion libre nu
cléon-nucléon jusqu'à 400 MeV , il sature 2 la bonne densité
dans la MK , au l f t f ordre, conduit par des techniques HF a de
bonnes énergies de liaison dans les noyaux et explique correcte
ment dans l'ensemble divers types de spectres nucléaires .
CONCLUSION
Noua avons determine un potentiel réaliste, «Sparable et non
local qui rend correctement compte du déphasage dan» les ondes
S, P et D jusqu'à 400 MeV . Les écarts entre les courbes
de déphasage calculées et expérimentale» sont de l'ordre des
incertitudes expérimentale» . Ce potentiel est sans singulari
té 1 courte portée et suffisamment régulier pour assurer une
convergence adéquate 2 la série de perturbation .
Appliqué 1 la Matière Nucléaire, ce potentiel donne une ë-
nergie de liaison par particule au 1 e r ordre de -15.5 M«v 1 la densité de saturation k_-1.45 f» , soit les valeurs
expérimentales . Ce trop bon accord est cependant spolié au
second ordre où nous obtenons une énergie de liaison considéra
blement plus grande, et du même ordre de grandeur que celle ob
tenue par la matrice de réaction G .
La séparàbilité du potentiel et le choix particulier des fonctions v.,(r) (équation 1.5) .permet d'utiliser les méthodes
• XX'
de trueckner-Bethe-Goldstone sans trop de difficulté .
La méthode de Hartree-Fock donne pour 0 et Ce des
énergies de liaison et des densités en bon accord arec les ré
sultats expérimentaux et en harmonie, d'autre part, avec ceux
obtenus aa premier ordre de perturbation dans la Matière Nuclé
aire . Nous calculons l'énergie du secoad ordre en prenant pour
fonctions d'onde des états intermédiaires, les fonctions d'onde
de l'oscillateur harmonique et ea «pproximaat l'opérateur de ?au-
li d'une manière statistique .. Les énergies ainsi obtenues sont
légèrement supérieures aux valeurs expérimentales, compte ténu
de l'excitation du centre de masse et de la répulsion de Coulomb.
- 70 -
Le* rayons calculi* sont trop faible* pour let deux noyaux .
Le* densité* radiais* d« neutron* et de proton*, calculée* avec
le* fonctions d'onde individuelles HF, «ont en excellent accord
arec la* résultats des expériences de Hofstadter . Hou* avons
calculi analytiquement la matrice de rSaction 6 dans le* noy
aux . Le* foraules finales sont indiquées a" la fin du Chapitre
III . L'opérateur d» Pauli est, dans ce cas, calculi exacteaent.
L'importance de la non localité «t du caractère d'échange du po
tentiel est évaluée par le calcul de la section efficace inté
grée de transitions dipolaire* du fondamental d'un noyau ver*
le* état* finaux permis . Le choix d'un détsrainant de Slater
de fonction* d'ondes planes, pour la fonction d'onde du fonda
mental , rend ce calcul surtout valable pour les noyaux lourd* .
I! s'avère que le caractère d'{change du potentiel est extrê-
aeaent iaportant et permet d'obtenir des sections efficaces de
r{actions photonucléairas de l'ordre des valeurs «xpiriaentales. 3 3
Quoique l'onde S, soit trop attractive et l'onde F. trop
répulsive, le potentiel étudié permet d'expliquer le spectre de
pariti aoins de He . Les niveaux de 0, 0 et °0 cal
culi* dans le cadre du modèle en couche* classique avec le po
tentiel considéré K et la matrice de réaction déduite du po
tentiel de HJ , se comparent assex bien è l'expérience, sauf
pour 0 , pour lequel 1* aodèle utilisé est aoins valable .
Vous avons enfin calculi les.spectres des noyaux de la ré
gion A-50 et montré; dans 1*: cas du Se que l'inclusion
des configurations è une particule-1 trou, les plus probables,
est équivalente è la correction perturbativ* "3 particules -
1 trou". (C, ,.) . Le* fonctions d'onde ont été testées par 3pin - ço * *n +
le calcul d« log ft de la transition S Ca(0 )+/°Sc(l ) .
Dam* tous ces calculs spectroscopiques, le potentiel; conaidi
ri a lia coaportémnt vraiment similaire à celui de la matrice
de riactio» de M .
De fait cet accord est d'autant meilleur que b eat plus grand.
Par exemple dams la couche Of-lp , (Ttu'10.5 MeV) les résul-
- 71 -
tats «ont meilleur* que dans la couche Od-ls (%u«14 HeV) et dans l'Étude de He l'accord avec le spectre exp&rimental n'est obtenu que pour les grandes valeurs de b . Ceci se comprend aisément sachant que les disants de aetrice rCduits, surtout ceux correspondant aux ondes les plus critiquables 3 3 ( S-, P.), diminuent rapidement en valeurs absolues quand b
augmente . Utilisé comme potentiel effectif, (calcul au l*r
ordre) le potentiel itudii, ou éventuellement corrige dans le sens indique, est un excellent instrument de travail en ph-si-que nucKairc .
AFYMBXCKI
Afin da"ne pas. alourdir inutileaeat l'exposé de ce travail
aoàe donaona ici «a appendice quelque* interatdiaires at ré
sultats da calculs utiles •
A?PI1IDIC1 A
Sur l'approximation do l'espace da phase sphérique
La contribution du second ordre t l'énergie de liaison par
particala dans'-'la MX a été faite dans 1'approxiaatibh da l'espace
de phase sphérique, dans laquelle on raaplaca la condition poor
K da se trouver dans le volune coaaun 1 deux spheres de Ferai,
distantes de K , et la condition pour k' de se trouver hors
daa deux sphtree (cf. 2.8 et 2.10) par" las deux conditions
(2.11) aatreigaant k 1 deaearer a l'intérieur d'une sphere
da rayon kp~Vy , et k' 1 deaeurer a l'extérieur d'une sphe
re da rayon k»+VT
Si noua définissons les fonctions
(A.l)
DJTI - , k dk"k"'vi.t(k"ïv,.,(k")
( k ' k , ) " u ' {/««••if»* *U« f c ,>'j*» ,>»'. "â_~,S ] t
(A. 2)
ou F / désigne la partie principale au sans de Caucav, la correc
tion da second ordre aat
FI2M -fjj- jr ï(2T +l)(2J +l)/ o
2 k' Jc 2-K[vf,fD J T J(, + .,_)
- 73 -
•uf^>(«l.,q+)-v|q?PJTS\(q.)+k|(l-v)3(î>JTS(q+.;.)-PJls(;.»] ,
a.3) où : q -k.+Uy q+-k_<l+u)
s_-5:r-v| q_»f(i-v)
Las parties principals» da (A.l) s'obtiennent an utilisant le thé
orise des résidus dans una integration la long d'un demi-cercle
dont le diamètre «»t sur l'axé rial et dont on fait tendre le rayon
T«ri 1' infini . Las parties principales des intégrales (A.2) se
déduisent des précédentes si k*>k+S ou k'<k-6 par integration
numérique de 0 a k eu de k l » , respectivement .
3i |k-k'j<o, alors j<« , c'esE-adire que l'intégrale sur K
tend ver*, 0 . Des teats numériques out montré que tous les ré-
sultats numériques demeurent inchangés quand 5 varie de 10
a 10"* .
L»;.s intégrales 's
^ j t ' S j ' P j i i ' s r ^ i ' S J ^ X - r T - vii'SJ ( k ) < A* 5> k'-k'+ie o
ont été utilisées . L*infiniment petit s définit une onde de
diffusion . fi e«0 on a une onde stationnaire et p.. inter
vient dans le calcul de la matrice G de BIG
°i "j 1 pj.CL-O)-—a—•• x—a x—* • -* x ik— -* x x x
1 3 (a*-ap<az+k*) (oJ-«r)(af+k*) -«J»***.) (•*•*;>
P^a-D-L-Ca.,*».)^ (a.5a.)-*ik* - • - 1 x x "L. (*,6> 1 O J Or
4 J 2 i 3 2 j i o { a Z + v 2 ) ^ * k ^3
ifï
- 74 -
£>V«C : 2 a i r*°i 2 ° i i <Bi V ( a i * V Wi °j V k o -
»a. T 60a 2 20<x? ^ ( « i . g j ) - * S « ; V 15- - j — y - - y—j
( a £ - o . ) {a£+ko> J. a . -a . a ^ ^
4«o£ 24af 8a* "I
* (a"j-a?) * <a 2-a 2><k 2+a 2> * <k 2*a?) 2J
Si a.-a.«a , cas equations deviennent k 2 - « 2 i k o
2 o ( « Z + k „ ) ( « * k „ ) o , o
1 1 3 1 a 2 + 3 k o * i k o P < W > ^ ? T & % + fS® "2° ;*w ' ^ky
© . . o o o
* a 3 (a^*kp 2 ?
3 (a 2 +k*) z " <a z+k z> 3
- f M _ _ 2 _ * 160 a 3 64 a 5 _ . . i k o O. '•' . - . .O' O O
A7PEVDICE B
Calcul de l'énergie de symétrie ~ -
A—. est l'excès relatif de neutrons dans le système de Z A fermions . Les densités de protons p "sr et de neutrons
H p A 3A p »jr sont reliées a la densité totale p« n—' -•• par :
p -U+A>f « 2 (B.l)
p p-(l-A)| .
2 1 Les moments de Ferai pour neutrons et protons, soit k -(3ir p )?
2 1/3 n n
et k«(3» pp) sont reliés au moment de Fermi total kF-(|ir
2p)1/3 p a r
.V k.-a*-) 1' 3*. ou e n - ^ - e F ( l + A )
2 / 3
Aj2k2 (B.2)
k p-(l-A)1 / 3k F ou «p'TB* " e F « - A )
2 / 3 -
L'énergie cinétique totale T-̂ -£ke + Z E J prend alors la forme
(2.28) .
La contribution à l'énergie potentielle du 1 e r ordre, due aux
ondes T»l , s'obtient aisément, par des calculs similaires â
ceux conduisant au résultat (2.9), soit
n ^ (B.3)
- 76 -
La contribution due aux interactions n-p est : k +k
^ 7 ^ iLr*"* 1"» k 2 d k pi««Tl'it S JT< k>| 2^ „ *'* " (2*) ASJT x \tt**t[*lLn
(B.«) * est l'impulsion totale de la paire n-p , et k leur iapulsion relative . Le roluae c.oaaun a 2 spheres de rayons k et k ,
p n dont les centres sont distants de 2k , s'écrit, en supposant V L
P
:
3|îkJ ,i a$k*(«vV / z
K
p si Ckn-kp)/2$kS<ka+kp)/2
(B.5) En soaasnt tous les teraes on obtient une Énergie par particule (au preaier ordre) :
« • « ! * * • . . . (,.6)
Le preaier terae a déjà été calculé (cf. 2.9) «t 1* 2 est don* ne par (2.29> .
1.00
0.50
a , • I.5F"'
B, »-12.65 F*1
Oc --23.74 F
a t - 3.5 F"1
B t-119.9 F - '
ftff . 2.62 F
o
- 0 . 5 0 -ter -ter ToT 400
FI0 1
-0.20
I S
or
-0.40
-o.eo
•o.sol
a , • t.S6 K s, « «N.M F"1
HO 2
0.20
0.10 -
a,» 1.33 F - l a t • 3.43 F -I
B, >-0i25. F*7 B , »-»36.7 F*7
200 F I 0 3
300 400
*«Hte»
0.20
-0.20
-0.40 nte
a ( -2.0F-' a t - 3 . o r ' B| —aS2 F'» B, —166.20 F*
. a, « 1.75 F-' a , » 4.60 r ' \ \ B | i - à » f ' B, «33400 F"*
no 4
Ikutai-^itfirtV*-."^^ *ifc'.-i.'-.;a.U
-0.20 -
û~ « -0.40
-O.eo (00
:XMjm^
490
:^i x--ï--^<~ . : .^asI:•ai '^-^î^>l" l*. ," .-
.«I--1.90 F"1 04 -228 F"1
B, —0.06 F ' r B , —».2 F"' t
100 SOO
FI6«
300 400
% 'l
1.00 *
0.30>
0 -
-0 .50 400
JÉO. 1.00 LÉO 1.40 : I.ÏO 140 2 0 0
FI610
< * H K 2 )
MN ( 2 e ordre) . Domaine d'intégration
Fig 11
1. 1.2 1.4 1.6 1.8 k F ( f« -1 ) i I l l
- 4 0
- 8 0
•120 - V
• \
SH MN ( 2 e ordre)
i r • 1 Fig 12
, e o Dantitai radlaUi d* man* a» da chart*
( b a t e i m ,10 Mirations)
FK»U»a
40, Ça
Daatilai radialas 4a matta ai a*a charga
(aa2. fm , 10 llarallam)
FIG 13»
20 4 H e
\ \ — 16 . \ > \ . \ 1 12 " ^ v v ^ • • - ^ ^ t ^ V
•+• 8 ^ ^ s >
^ ^ * * * * * ^ , » ^̂ *""̂ o o
13 15 U
Fit 14
19 24
1«r ordre
. 2 * «réV»
Fit 15
\ , ,
E (M«V)
40 K
36
32
28
24
20
. — . 1 "
$
40
36
132
28
24
-120
1 * r «r«1r«
- i l i !«{. 1.3 1.6 17 « 4 »™
2«*r4r«
- , —L I I I j . I I I I
1.9 23 v 1.3 1.5. 1.7 1.9 § T
b(lm>
Flf16
liiitei'' y-rojitiffVmW- 'irii
MeV
Fig 17
I
"Se KUV
-1 — - P l / 2 _
Pl/2
——fs/2
—Pt/2
- 3 §5/2 =
P3/2
- 5
-—07/2
- 7 §7/2
_ f 7 / 2 -91
Exp W G
Fi* 21
M*V
MeV
18 f
' - 1 . 3 * ' 3*
3 2 *
• 1 2*
o -
- 1 -
1*
Exp W
fia 2 3
. 1 *
-4*
D -J ' — - 1 *
— 3* _ _ 1 * ?*T-1 - 2 . . 2*T=1 f _ 2 *
•̂ — 2 # ' j 1
0*T=1
- 3
- 4
— 2- ! 2 * . .
1* ' • P* J ' -: —/,o- i
- = = 0* T = 1 : 3*.
3*
5*
- 5
j ' • 5 *
- 6 • ! - 1 -
leV
, 9 0 1/2* 5/2*
9/2*
3/2* 1/2*
5/2*
- 1 -
512* 3/2*
• 1/2* - 5/2* 5/2*
- 2
1/2*
3/2* 5/2*
- 3
3/2* 5/2*
3/2*
- 4 l Exp W
i i« 24
MeV
TABLEAU I
0*de a l «2 •l
B2
V 1.5 3.5 -12.65 119.90
V 1.5* 2.55 -8.89 601.87
\ : 1.33 3.45 -0.247 -1035.7
\ 1.75 4.60 -29.35 33400.
V 1.50 3.50 4.72 1816.5
\ 2.00 3.00 -8.523 -166.20
-»2 1.22 2.48 -0.45 -169.0
V 1.30 2.28 -0.06 -15.20
\ 1.5 3«5 -19.2 124.0
\ 1.32 2.65 t.O 448.0
S+D -0.40 -70.
Paramètres do potential utilisé', pour les ondes
S,P at 0 . Les inyerses des portées a. sont expri-—1 —f2t+3ï
mie» an fm at las intensités » i t en fm v ' .
W.
TÀILIÀD II
Contribution, an M«V, daa divers étati 3 deux particules, an l"r ordra dana la MH . La «osant de Tarsi 2 la densitC de aatutation .
k_ correspond
V s S S \ \ Tabakin 1.60 -20. 6. -4. -25. 8. Ce travail 1.45 -17.«9 5.88 -3.38 -34.20 2.39
k * S \ \ s S Tabakin 1.60 -11 22. -13 -6. -2.5 Ce travail 1.45 0.46 17.95 -8.49 -4.70 -0.80
i ' . • • • • •
1
i TA1LIAB I I I
•' . • . • i i ' . - • • • i
1 . . . • : . . ' • • ' , . ' ' . " ' ' j Contributions J PE2/A (an MaV) calculi par la I
! • . . - î i
afthoda daa polynômes da Lagandra (k_"l.*5 £• ) . J
S f, *' ,T ' ' j • •~T V 1 ^ - . .
0 0 0 ir 0T 0 •ot- 0 0 —1.161
0 0 0 i 0 2 2 2 -0 .023 0 1 l 0 1 1 I 1 o -7 .046
o 1 î 0 l 1. 1 1 2 -0 .306
0 2 2 1 ' 2 0 , ' O •- ' 0 2 -0 .023 0 2 2 1 • ' 2 ' : ' r 2 2 0 -0 .191 0 2 2 1 2 2 2 2 2 -0 .6S3 0 ,2 2 1 2 2 2 2 -, -0 .001
1 0 0 0 1 0 0 1 0 -4 .799 1 0 , t« ' 0 1 2 » 2 1 2 0.069 1 0 0 b 1 2 2 2 2 -0 .085 i 0 0 0 1 -J2- 2 3 2 -0 .017 i 0 2 o 1 0 2 1 0 -0 .529 i 0 2 " o 1 2- 0 1 2 -0.007v 1 0 2 6 1 Q i 2 - , • • ' - . 2 . " 2 2 - 0 . 0 1 4 1 '•i\. l=v . l 0 ' • • • I t ' - : 1 -0 0 -20 .087 . l î 1 i . 0 1 i 2 2 0.044 l î 1 1 1 1 ï ' ; 1 0 -10:648 l i 1 . 1 1 î 1 2 -0 .111
TABLEAU IV
16-
Energie* individuelles HF.
Present travail '.*"•'" Ejco|ri«nc« •
protons neutrons protons neutrons
€ . -64.51 -70.59 -34
£_ V3/2 - * _ . •'•''
pl/2
-27.73 -32.30 -18 -21.81 £_ V3/2 - * _ . •'•''
pl/2 -15.72 -1?9.35 -13 -15.65
d5/2 -4.44 -8.20 -5.02
b-1.6 fi 10 iterations N-4
TABLEAU V
40. Ce
Energies individuelle* HF.
Present tr^ i v * i l .•'•'. Exs£rience
protons neutrons protons neutrons
£ o . -8pî 31 , •••-92--.%i\:<
S/2 -51;36 -60.98 -45 ?
e „ "••-pl/2
-41.51 - 4-50.04 -33 Î
^ 5 / 2 -24.43 -31.67 -14.5 -22.8
cls -13.91 -20.55 -1D.6 -18.4
*3/2 -12.45 -18.38 -8.3 -15.8
b-2. fm - 10 iteration» - H-3
TABLEAU VI Zrt
Fonctions d'ondes individuelle» pour Cm (protons)
Itat Dimension ,c .. • • : - : • ? o "
Cl C2 °» "-.'•'•'• 4 ' ' : ^ ' -
6 8 10
-76.11 -79.05 -80.00 -80,31
0.9823 '. 0.9794 0.9784 0.9780
0.1860 0.2007 0.2054 0.2068
0.0198 0.0234 0.0246 0.0249
°»3/2 4 6 8 10
-48.89 -50,62 -51.18 -51.36
0.9591 0.9521 0.9496 0.9489
0.2741 0.2944 0.3009 0.3030
0*0703 0,0828 0.0871 0.0885
0 l ,l/2 4 6 8, 10
-39.78 -40.99 -41.39 -41.51
0.9921 +0.9902 0.9895 0.9893
0.0873 0.1103 0.1179 0.1203
-0.0902 -0.0850 -0.0830 -0.0823
0 d5/2 4 6 8 10
-23.64 -24.21 -24.38 -24.43
0.9539 0.9463 p.9437 0.9429
0.2821 0.3C15 0.3075 0.3094
0.1021 0.1166 0.1215 0.1231
la 4 6 8 10
-14.46 -14.11 -13.96 -13.91
-0.1858 -0.2006 -0.2054 -0.2069
0.9584 0.9524 0.9506 0.9501
0.2168 0.2294 0.2326 0.2336
0 d3/2 4 6 8 10
-12.57 -12.50 -12.46 -12.45
0.9970 0.9958 0.9954 0.9953
0.0655 0.0831 0.0886 0.0904
-0.0417 -0.0369 -0.0351 -0.0345
La fonction d'onde «at notCe |X>- S CA(Jtj) |nij»t> .
TABLEAU VII
-.
* . - • r i 1 1' • f s I l«r ordra l«r + 2tm« ordre 0 0 0 0 0 0 0 9 - 6 . 6 6 0 - 0 . 0 2 0 - 6 . 6 8 0 0 0 1 0 0 0 0 [ 0 -0 .029 -6 .689 0 0 2 0 0 0 0 0 - 0 . 0 6 0 - 6 . 7 2 0 « 0 0 0 1 0 0 - 0 . 0 6 6 - 6 . 7 2 0 0 2 0 0 I 0 0 - 0 . 1 6 0 - 6 . 8 2 0 o * 0 0 '.'- 0 . 0 0 - 0 . 1 6 0 - 6 , 8 2 0 0 1 0 0 2 0 0 - 0 . 2 1 3 -6 .875 0 0 3 0 0 I 0 0 - 0 . 2 1 5 -6 .875 0 o 5 0 0 0 o 0 -0 .215 -6 .875 0 0 i 0 0 : 1 0
. ' • ' > : ' -0 .082 -6 .742
0 0 0 0 o 2 0 0 - 0 . 1 6 - 6 . 8 2 0 0 0 0 0 0 -12 .340 -0 .195 -12 .736 0 0 i 0 0 0 - 0 . 2 7 6 -12 .816 0 0 2 0 0
' • • • • ' -0 .491 -13 .031
0 o 3 0 0 , 0 -0 .646 -13 .186 0 0 2 0 o ; 1 X ' -1 .076 -13 .617
0 3 0 0- :•'.. 1 -1 .387 -13 .927 0 0 1 o 0 2 -1 .387 -13 .927 0 0 5 o 0 0 -1 .387 -13 .927
0 0 0: 0 , -r * • ' * * * -
- 0 . 1 5 3 3.281 1 0 0 0 -0 .231 3.203 0 0 0 0 P 0 3*344 -0 .337 3.007 X 0 0 0 0 1 -0 .302 2.8J12
1 I 0 o o \&\ o • • - ' . •
- 0 . 5 0 2 2.842
E16a«mC« 4« matric* («a •oaxtfonnias relatives) d* Ca. b-1.69fa .
TABLEAU VIII
•>V.; " " ' / - . • -
j d L - * . SMS •• . E
1 6 0 j2" B *ordre (Exp.
* u C a « " * o r * r e fexp.
1.54 1.40
1.77 1.63
17.42 20.98
13.23 15.58
2.314 2.109 2.64 3.07 2.83 3.52
-120 .03 -177.37 -127 .6 -307 .15 -453 .6 - 3 4 2 .
+ i " ordre s • - ] s eu l taent . • Toutes les valenrs de b correspondent au miniaua de
l'Caergie de liaison .
TABLEAU VIT
Energies individuelles (en MeV) obtenues par un calcul au 2>ae ordre
"l ? **c - • ; . . : .
•rotons neutrons protons' neutrons' Os -74 .87 -79 .36 -92 .65 -102 .42 0 p 3 / 2 -36 .68 -40 .84 -61 .66 -69 .92 0 p l / 2 - i e . 4 7 -22 .62 -47 .94 -56 .20 M 5 / 2 l s
- 4 . 4 4 7 . 5 »
-8 .18 3.15
-33 .61 -21 .41
-40 .65 -29 .26
° é 3 / 2 16.81 , 13.07 -14 .85 -21 .89
Le rayon ie 1' O.H. correspond au ainiaua de l'Caergie de liaisen, soit b-1.40 ( 1 60) et b-1.63 (*°Ca)
TABLEAU X
kF 0.95 1.05 1.15 1.25 1.35 1.45 1.55 1.65 1.75
r o 1.60 1.45 1.32 1.22 1.13 1.05 .983 .923 .870
\ I II
.110
.110 .13» .134
.162 ' .158
.188
.182 .213 .204
.238
.225 .260 .244
.281
.262 .299 .277
\ I,II .142 .187 .234 .281 .325 .363 .394 .416 .428
X I, II -.026 -.031 -.034 -.036 -.039 -.041 -043 -.046 -.049
\ I II
.275
.517 ,34» .631
.428
.747 .512 .860
.598
.970 .685
1.074 .770
1.170 .854
1.258 .933
1.336
\ 1,11 .0S2 .097 .110 .120 .128 .134 .137 .138 .137
\ I.II .012 .025 .042 o064 .089 .118 .149 .182 .216
\ I II
.107
.110 .124 .125
.138
.139 .151 .151
.162
.160 .171 .168
.178
.173 .182 .176
.185
.177
\ I.II -.057 -.067 -.077 -.085 -.091 -.096 -.098 -.097 -.095
X 1,11 -.108 -.121 -.130 -.135 -.136 -.135 -.131 -.124 -.115
X I,II -.020 -.024^ -.029 -.032 -.035 -.037 -.038 -.038 -.037
a Z II
.518
.7*1 1
.674
.956 .846
1.161 1.027 1.370
1.213 1.575
1.398 1.773
1.578 1.957
1.746 2.126
1.902 2.275
°iat'* I II
22.77 26.41
25.11 29.34
27.69 32.41
30.40 35.55
33.19 38.62
35.97 41.59
38.67 44.35
41.19 46.89
43.53 49.12
Contribatioa * h daa différant» <tata 00j « 1 , u r 'oaaa poar difftraataa valaara da aoaaat da Farai k_ at du rayon nucliaira
1/3 . r -(9») /(2k.) . Laa aaetioaa afficacaa intCgrfca d'absorption da pho-• o r /s [̂ teaa par aacKoa aaat donaiaa aa MaV-ab
ÏABESAV XI (Iv i t* . . . )
•V ':" • ï l l . t t Takaki» i . f • -2.54 2^522 -3.604
<o 3 Ï 0 | W | O \ > 1.5 -2.57 1.300 -3.167 1.6 -2.46 0.584 -2.74
1.6 3,97 7. 012 5.49 <o ^Jwlo 3 Ï X > 1.5 3.14 5.432 4.254
1.6 2.54 4.257 3.33
1.4 -2.33 -2.053 -1.93
<O \\v\o *r2> 1.5 -1.85 -1.574 -1.471 1.6 v, -1.48 -1.21 S, -1.13
1.4 3.83 . 6.556 9.52 <o 3 » 1 | H | O 3 D 1 > 1.5 3.04 S.058 7.70
1.6 2.37 3.935 6,235
1.4 -5.29 -5 .0 -4.68 <0 3D 2 |W|0 3l>2> 1.5 -4.36 -3.940 -3.56
1.6 -3.46 -3.130 -2.72
1.4 -0.48 -0.699 -1.623 <0 3 D 3 | » | 0 3D 3> 1.5 -0.35 -0.534 -1.23
1.6 -0.26 -0.410 -0.938
1.4 0.41 -2.584 -4.109 <Q HX\V\\ 3 $j> 1.5
1.6 -0.56 -1.28
-2.072 -1.674
-3.625 -3.163
TABLEAU XII
Propriétés du fondamental de la particule a : énergie
de liaison, paramètre de l'oscillateur harmonique, rayon qua
dratique moyen, et section efficace intégrée d'absorption de
photons •
Energie b JLMStL
KMS JLÊSL
a
Calculé
Ezp.
-43.75
-28.3
1.10
1.31
1.35
1.63
2.32
2.4
TABLEAU XIII
Xapport des probabilités de transition El des états 4
, T-l de Be vers le fondamental .
b 1er ordre 2èae ordre
P« _ — . '<*_llpi> '
1.40 1.48 2.73 P« _ — . '<*_llpi> ' 1.65 1.89 5.07
AE. 3 1.40 3.27 5.39 AE. 3
1.6S 2.93 8.07
Le niveau 1
férieur -
supérieur est noté , le niveau in
TABLEAU XIV
Energies individuelles des neutrons et protons
(Coeur * 8Ca)
3 £7/2 P3/2 f5/2 *l-/2 Réf.
»* 7 8 9 10
protons
neutrons
-9.623
0.
-6.083
-5.144
-4.933
-1.18"
-3.583
-3.116
EMS
protons
«entrons
-9.623
0.
-5.223
-5.144
-3.723
^1.188
-2.723
-3.116
KB
protons
neutrons
-9.623
0.
-5.703
-5.144
-3.841
-1.185
-4.589
-3.116
HS
EMS Kéférence (si)
KB Energies EMS avec correction d'isospin . Utilisée» par
Kuo-Brovn, réf£rence
HS Kéférence (s*)
,49, Lex énergies de separation sont 9.623 MeV (Of / 2<p)/"Sc) et
5.144 MeV (lp i / 2<n)/*9Ca) .
TABLEAU XV
Corrections en MeV aux energies des neutrons dans
la fonction d'onde de type IV .
j P3i/2 f5/2 pl/2 U f Crences
a 9 10
Aen(j) -Oil 501
-0^343
-0.735
-0.S70
-0.443
-0.378 HJ(KB)
Les élénents de statrice du potentiel W étudié, ainai que
les iltsients de aatrice de réaction, calculés par KB (pot. HJ)
ont un paraaStrc de l'oscillateur harsionique tel que TSn"10.5MeV.
.11!
TABLEAU XVI
50, Val«urt *t fonction* propre* du Se .
Jïï 0 + V 2 +
3 +
E -11.980 -14.234 -11.544 -15.817 -12.261 -11.047 -13.687 -13.464 -12.437
£7/2 p3/2 7 8 0.932 -0.266 -0.100 0.930 0.352 -0.051
I £7/2 £5/2
,£7/2 pl/2
7 9
7 10
0.655 0.673 0.204 0.858 0.115 -0.055
-0.299
0.154
0.848
-0.313
0.428
P3/2 p3/2 8 8 -0.540 0.583 0.179 -0.356 0.834
P3/2 £5/2 8 9 0.077 0.301 0.182 0.178 -0.058 -0.039 0.063 0.006
P3/2 pl/2 8 10 0.505 -0.265 0.109 0.380 -0.134
II £5/2 f5/2 9 9 0.039 0.007 -0.030 -0.009 0.054
f5/2 pl/2
•pl/2 pl/2
9 10
10 10 0.055 -0.168
-0.133 -0.056 0.023 -0.042 -0.047 -0.008
p3/2 p3/2 8 8 0.951 0.065 -C.045 0.908
P3/2 £5/2 8 9 0.014 0.016 0.061 0.019 0.030 -0.001 -0.001 -0.008
P3/2 Pl/2 8 10 -0.016 -0.014 0.044 -0.011 0.277
III £5/2 £5/2 9 9 0.095 0.049 0.033 0.028
£S/2 pl/2
.Pl/2 pI/2
9 10
10 10 0.224
0.084 0.010 0.026 0.006 0.007 0.001
fP3/2 P3/2 8 8 -0.184 0.090 -0.109 -0.092 0.095 -0.225 -0.080 0.005 -0.12? .
IV f5/2 £5/2 pl/2 pl/2
9 9
10 10
-0.021
-0.041
0.060
0.031
0.061
-0.034
-0.017 -0.022 -0.017 -0.005 0.004 -0.015
TABLEAU XVI ( S u i t s . . . )
J* 4 + 5 + . 6 +
B -15 .083 1 -13 .764 -11 .650 -16 .032 -11 .238 -12.919
' 7 / 2 ' 7 / 2
' 3 / 2 ' 5 / 7
7 8 0.952 -0.2&O 0.077 0.999 . 0 .040 I
' 7 / 2 ' 7 / 2
' 3 / 2 ' 5 / 7 7 9 0.131 0.249 0.941 -0 .043 0.984 1.000
. ' 7 / 2
' 3 / 2
' 1 / 2
' 3 / 2
7 10
8 8
0 .220 0.901 - 0 . 3 1 0 . - • '
' 3 / 2 ' 3 / 2
' 5 / 2 ' 1 / 2
8 9 8 10
0.131 0.202 0.089
I I ' 5 / 2 ' 5 / 2 , P l / 2
' 3 / 2
' 5 / 2 ' 1 / 2 ' l / 2
' 3 / 2
9 9 9 10
10 10
8 8
-0 .011 -0 .173
*
' 3 / 2 ' 5 / 2 8 9 0.098 0.079 0.048 I I I ' 3 / 2 ' l / 2 8 10
f 5 / 2 £ 5 / 2 i ' l / 2
' 3 / 2
' 5 / 2 ' l / 2 ' 1 / 2
' 3 / 2
9 9 9 10
10 10
3 8
0.026 0.033 0.030
IV f 5 / 2 , ' l / 2
' 5 / 2 ' 1 / 2
9 9 10 10
-0 .008 - 0 . 0 1 3 -0 .038 -0 .Q00, 0.018
TABLEAU XVII 50, Valeurs et fonctions propres du Ca (2 neutrons)
8 8 8 9 8 10 9 9 9 10 10 10 J * E p3/2 p3/2 P3/2 f5/2 p3/2 pl/2 £5/2 f5/2 £5/2 pl/2 pl/2 pl/2 0* -11.466 0.965 0.063 0.254
-5.594 -0.253 -0.024 0.967 1 + -7.887
-5.921 0.083 0.997
0.997 -0.083
2 + -10.871 0.948 0.013 0.316 0.018 0.029 -8.898 -0.317 0.077 0.943 0.016 0.059 -6.253 0.012 0.994 -0.082 -0.008 0.077
3 + -6.43 0.999 -0.050 4 + -6.684 1.000 -0.007
TAIL'XAB XVI11
Valturs «t fonctions propres du Ti (2 p otons)
7. 7 7 8 7 9 7 10 8 8
J * E '?/* £7/2p3/2 £7/2f5/2 f7/2pl/2 p3/2
0 + -20.111 -11.542
0.976 -0.085
0.060 0.97O
1 + -12.562 -8.569 -7.527
0.999 -0.036 0.038
2 + -'.9.775 -15.581 -13.315
0.993 -0.099 -0.Ô41
0.090 0.980 -0.001
0.032 -0.016 0.991
0.019 0.073 0.037
3 + -14.973 -13.421
0.992 -0.111
0.118 0.978
0.032 -0.176
4 + -19.447 -15.190
0.994 -0.068
0.049 0.969
0.070 0.111
0.050 0.155
5 + -14.783 -13.479
0.997 -0.074
0.074 0.997
6 + -19.391 -14.562
0.992 -0.125
0.125 0.992
1 8 9 8 10 9 9 9 10 10 10
J* E p3/2f5/2 p3/2pl/2 f2 f5/2
1 F5/2pl/2
pl/2
0 + -20.111 -11.542
0.202 C.081
0.044 0.213
I* -12.562 -8.569 -7.527
0.042 0.986 -0.163
-0.031 0.164 0.986
2 + -19.775 -15.581 -13.313
0.020 0.078 0.071
0.022 0.047 0.030
0.057 0.058 0.076
0.034 0.109 0.060
3 + -14.973 -13.421
-0.001 0.030
0.011 -0.001
4 + -19.477 -15.190
0.025 0.133
0.030 0.034
5 + -14.785 -13.479
6 + -19.391 -14.562
REFERENCES
BRMX,D.M. , laclear forças (I965), Pergaaon Press (Oxford,
Eagland) .
CHADWICC.J., Battre 129 (1932) 312 .
YUKAWA,!.. Prae. Math. foe. Japaa \]_ (1935) 48 .
Cllli;i.l.t., fAWADA.T., Rev. of Mod. Phys. 39 (1967) 594,
at WOMC,David fi 622 .
TAMACAKI.R., Rev. of Mod.Pays. 39. (1967) 629 .
HAMAD A, T., JOMSTON, I.D., Hucl. Phys. 34 (1962) 382 .
CAMMIL.J.L., THALER,E., Pays. Rav. 107 (1957) 291, 1337 .
BKUECKRKE.K.A., LEVINSOM.C.A., Phys. Rev. £7 (1955) 1344,
BETHE.H.A., Phys. EaV. 103 (1956) 1353,
COLDSTONE.J., Proc. Roy. Soc. A239 (1957) 267 .
SPROMC.D.W.L., Mil Report n*2098-201 (1965),non publU;
GREEM,A,M.,>ucl. Phys. 33_ (1962) 218; Da PEOVIDEHCIA.J.,
ibid. 40 (1963) 321 ,
LETIVCEK.J.S., RAZAvY,M., R0J0.0., WEBRE.N.,Fhys. Ray. 119
(I960) 230, « i (1961) 1863 .
BHADDRI.R.K., PRESTOX.M.A., Can. Journ. Phyr. 42 (1964) 69 .
BROWI.G.E., SCHAPPERT.a.T., WOHG.CW., Hucl. Phys. 56 (1964)191.
TABARmfP., Ann. of Phys. 30 (1964) 51 .
HAMMAVM.T.F., OBERLSCHHER,G., TRAPP.G., Ï0CC07..J., La Journal da
Physique 28,(1967) 755 .
FESHBACH.H., LOMOK.I.L.. Ann. Phys. ,29, (1964) 19, Rev. of Mod.
Phys. 39 (1967) 611 .
15. MOSZKOWSKI.S.A., SCOTT.B.L., Ann. Phya. U_ (I960) 65 . I
16. KSHL.WVH.. STOCKKlt.W.. 2*it. Phya. 212 (1968) 477 . |
17. RISTIC.M.. Zeit. Phya. 199 (1967) 325 . . j
18. BELL.I.S., Lecturee note on the «any-body problen, Bergen 1961,
p. 214, Maw York, Benjaain . j
19. HOLL.M.H. Jr., SHAKIMVC., Phya. Letter» 19_ (1965) 506 . j.
20. GRUMBERG.H. von, Zait> Phya. 215 (1968) 359 . j
21. VOMC.C.W., M«cl. Phya. ASH (1967) 399; A10* (1967) 417; U08
(1968) 481 .
22. YAMAGUCHI, Phya. Bay. 95 (1954) 1628 . j
23. L_E,C.W., BARAMGER.E., Mucl. Phya. 79 (1966) 3*v ,
' KDO.T.T.S., BABABCER.E..BARABCER.K., Duel. Phya. 81. (1965) 241 .
24. B_SSICHIS,W.H.t ICEEMAM.A.K., SVEKME.J.P., Phya. Ray. 160 (1967)
• 7 * 6 » •''" ' '1 "
KEEMAB.A.K., PAL.M.K., Thya. «ay. 162 (1967) 970 .
25. TABAKIH.F., DAVIES.K.T.E., Phya. Bay. 150 (1966) 793 .
26. MOIATCSZK.M.J., Bay. Mod. Phya. 39. 11967) 670 .
27. ABBDT.Bichard A., Mac CBICOt,Malcolm H., Phya. Rev. 141. (1966)
»':3 . ' V \ • V •"• ' " , • . - " • ' • : . " ' • • ' : ' i
28. ARMDT.Ricbari A., Ray. of Mod. Phya. 39 (1967) 710 ,
DUCROS.T., »iy. of Mod. Phyai^J. (1967) 531 :
29. DAV1ES.K.T.B., KBIEGBE.S.J.,BARABGER.M., Hucl. Phya. 8_4 (1966)545.
30. BABABCER.M., Varenna Lecture* 19*7, Acadeaic Preai, Maw York I968.
31. DAVIES.K.T.R., BARAVCER.M., Nucl. Phya'. A120 (1968) 254 .
32. B^ATT.J.M., «EISSKOPPpV.P..Theoretical Huclear Phya. (John Wiley0
• '-' and aona, Inc. Mew Tork, 1952) .
33. (AMMAVM.T.P., The a a de Doctorat,' tfniveraité Laval,Québec, Canada,
BAMMAMMrT.P., HO-KIM Q., Muovo Cimento 64B (1969) 367 .
34. ELLIOTT,J.P., Rapport oral, ft la Conférence Internationale aur Ian
propriété» dea étata nucléaire», Montréal (I969),
B00BE£,B, Communication privée ._̂ __ _ _; ' ""•-"__ '>'• " T V ' ~ . • i.." ~ V ,•'•• " • V s'.,'.'iii'Ki^»? \
CLEMENT,D.M., SERDUKE,F.J.D., AFNA»,1.R., Muel. Phys. A139 (1969)
407 .
Da TAKACST.N., Can. Journ. Phys. 46_ (1968) 2091 .
ABCRALL.T., M0NS0NEG0,G., Nucl. Phys. 7±. (1966) 632 , . KESHAN,A.K., SVENNE.J.P., VILLARS,F.M.H., Phys. Rev. 147 (1966)
710,
MEDJADI.D.E., These da 3eae cycle, Université1 d'Alger (I970) .
HOFSÏADTER,R., Ann. Rev. Nucl. Sci. 7. (1957) 231 ,
HOFSTADTER,R., Nuclear and Nucléon Structure, H.A. Benjaain.M.T.
(1963) ,''.'•.
COHEN,B.L., Phys. Rev. 130(1963) 227 ,
JACOB,C, Th.-A.J. Maris, Rev. Mod. Phys. 38(1966) 121 .
DAVIES.K.T.R., KRIEGER.S.J., BARANGER.M., Nucl. Phys. 84 (1966)
545,. '. ";,',/" . -. . .'.
DÏÏTHUKRISHNAN.R., BARAHGER.M., Phys. Lett. 1£ (1965) 160 .
HAMMAM*,T.F., ALLARD,J.F., MONSONEGO.G., 2 paraître .
KEKKAN.A.K., Communication orale a la Conférence Internationale
sur les propriétés des états nucléaires, Montréal (I969) ,
LETOURMEUX.J., SAU»1ER,C., PEARSON,J.M., Coaaunications privées.
LEVIRGER.J.S., Nuclear Photodisintegration (Oxford University
Press, 1960) .
LEVINGER.J.S., BETHE.H.A., Phys. Rev. 78 (1950) 115 .
DOHMERT.L.. R0J0.0.. Phys. Rev. 113» (1964) 396 .
KETEKHOF,V.E., TOMSSILLO,T.A., Nucl. Phys. A10» (1968) 1 ,
TOMBRELtO.t.A., Phys. Rev. 138 (1965) B40 et 143 (1966) 772 .
De SHALIT.A.,WALECKA,J.D., Phys. Rev. 147 (1966) 763.
BARRETT,B.R., Phys. Rev. 154 (1967) 955 .
HAaKAMI,T.F., BO-KIM,Q., MONSOMEGOiG., a paraître .
KUO.T.T.S., BRÔWM.G.E., Kiicl. Phys. A114 (1968) 241 .
De BHALIT.A., TALMI,I., Nuclear Shell Theory, Acadeaic Press,
(1963) .
50. ABCRALL.Y., 1AR0M,C., CAURIER,E., H0NS0HEG0.G., Unci. Phya. A131 (1969) 609 , 1 ALLARD,J.F., FELLAH,M., Communication privCa . i
51. HAMKAHII.T.F., MOMSOHECO.G., a paraîtra . § 52. YERTIER.J., Phy». Latt. 7 (1963) 200 . I 53. TIRVIU.J., Hucl. Phya. 78 (1966) 497 . I
"" I 54. OHXUMA.H., SASAKI,K., Phya. Latt. 17, (1965) 126 . | 55. HORIE,H., ODA,T., OGAWA,K., Proc. Int. Conf. on Mucl. Structura,
Tokyo, 196? . 56. HUGUES,!.A., SOGA,M., Proc. int. Conf. on Nucltar Structura,
Tokyo, 1967, at Hucl. Phya. A116 (1968) 33 . :
57. LACET,J.M., VIRTUE, J., BRUCE,G., LOISEAUX,J.M., VALENTIN,L., Hue J,. Phya. A125 (1969) 481 . MOAZED.Cyrua, «AGATANI K., BERWSTSIS.A.M.> Nucl. Phya. A139 , (1969) 1 .
58. ERSKIHE.J.R., MARINoV.A., SCHIFFER,J.P., Phya. Rav. 142 (1966) 633 .
59. SHIDA.T., at al., Phya. Latt. 13. (1964) 59 . 60. COHEH.B.L,, FULMER.R.H., Mc CARTHT,A.L., MUKHERJEE,P., Rayi Mod.
Phya. 3i (1963) 332 . 61. SLATTS.IYO, RaV. of Mod. Phya. 39, (1967) 575 ,
SLOBODKIAM.R., Coaauaication privCa .
f
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