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Théorie des supercordesDe la gravitation quantique aux théories de jauge
Adel Bilal
Laboratoire de Physique Théorique, Ecole Normale Supérieure
Présentation Master de Physique, FRIF, 23 janvier 2007
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Plan
En route vers les cordes : les ingrédientsParticules et interactionsThéorie quantique des champsSymétrie de jauge et SupersymétrieGrande unificationGravité
Théorie des supercordesThéories conformesle spectresupercordesinteractionscohérence : dimension d’espace-temps et groupe de jaugecompactifications et T-dualitéD-branesdualité entre différentes théories de supercordesM-théorieAdS/CFTtrous noirs et cordes
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Plan
En route vers les cordes : les ingrédientsParticules et interactionsThéorie quantique des champsSymétrie de jauge et SupersymétrieGrande unificationGravité
Théorie des supercordesThéories conformesle spectresupercordesinteractionscohérence : dimension d’espace-temps et groupe de jaugecompactifications et T-dualitéD-branesdualité entre différentes théories de supercordesM-théorieAdS/CFTtrous noirs et cordes
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Particules connues
La matière est constituée de particules élémentaires fermioniques
regroupées en trois familles, “copies" l’une de l’autre
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Les interactions
Les interactions sont véhiculées par des bosons :
interaction portée boson associée masse
électromagnétique ∞ γ (photon) 0
faible ∼ 10−17m W±, Z ∼ 100 GeV
forte ∼ 10−15m π0, π±,. . . ∼ 140 MeVg (gluons) 0
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Théorie quantique des champs
La théorie quantique des champs permet de calculer ces interactionsà partir d’une action relativement simple à l’aide de diagrammes deFeynman composés de
I propagateursI vertex
comme une somme des amplitudes associées.
Figure: Diagrammes de Feynman p.ex. pour e+e−− > µ+µ−aux arbres et àune et deux boucles
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Calculs aux boucles / Corrections radiatives
Figure: Corrections radiatives en QED
I chaque boucle = une intégrale sur des moments “internes"I divergences aux grandes valeurs des moments internesI renormalisation = résultats finis exprimés à partir d’un petit
nombre des paramètres mesurables (masses, charges, etc)I Précisions fantastiques en accord avec l’expérience en QED
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Calculs aux boucles / Corrections radiatives
Figure: Corrections radiatives en QED
I chaque boucle = une intégrale sur des moments “internes"
I divergences aux grandes valeurs des moments internesI renormalisation = résultats finis exprimés à partir d’un petit
nombre des paramètres mesurables (masses, charges, etc)I Précisions fantastiques en accord avec l’expérience en QED
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Calculs aux boucles / Corrections radiatives
Figure: Corrections radiatives en QED
I chaque boucle = une intégrale sur des moments “internes"I divergences aux grandes valeurs des moments internesI renormalisation = résultats finis exprimés à partir d’un petit
nombre des paramètres mesurables (masses, charges, etc)
I Précisions fantastiques en accord avec l’expérience en QED
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Calculs aux boucles / Corrections radiatives
Figure: Corrections radiatives en QED
I chaque boucle = une intégrale sur des moments “internes"I divergences aux grandes valeurs des moments internesI renormalisation = résultats finis exprimés à partir d’un petit
nombre des paramètres mesurables (masses, charges, etc)I Précisions fantastiques en accord avec l’expérience en QED
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Symétrie de jauge et Supersymétrie
I La renormalisabilité n’est possible que grâce aux symétries dejauge de la théorie SU(2)× U(1) - même si cette symétrie estbrisée !
I autres symétries utiles ?I bosons et fermions contribuent avec des signes opposés à
chaque boucleI cancellations (partielles) si chaque fermion a un partenaire
bosonique et vice versaI théories avec une symétrie entre bosons et fermions :
supersymétrieI Cette symétrie n’est pas observée⇒ au mieux une symétrie
approchée de la nature (comme la symétrie de jauge)
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Symétrie de jauge et Supersymétrie
I La renormalisabilité n’est possible que grâce aux symétries dejauge de la théorie SU(2)× U(1) - même si cette symétrie estbrisée !
I autres symétries utiles ?
I bosons et fermions contribuent avec des signes opposés àchaque boucle
I cancellations (partielles) si chaque fermion a un partenairebosonique et vice versa
I théories avec une symétrie entre bosons et fermions :supersymétrie
I Cette symétrie n’est pas observée⇒ au mieux une symétrieapprochée de la nature (comme la symétrie de jauge)
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Symétrie de jauge et Supersymétrie
I La renormalisabilité n’est possible que grâce aux symétries dejauge de la théorie SU(2)× U(1) - même si cette symétrie estbrisée !
I autres symétries utiles ?I bosons et fermions contribuent avec des signes opposés à
chaque boucleI cancellations (partielles) si chaque fermion a un partenaire
bosonique et vice versa
I théories avec une symétrie entre bosons et fermions :supersymétrie
I Cette symétrie n’est pas observée⇒ au mieux une symétrieapprochée de la nature (comme la symétrie de jauge)
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Symétrie de jauge et Supersymétrie
I La renormalisabilité n’est possible que grâce aux symétries dejauge de la théorie SU(2)× U(1) - même si cette symétrie estbrisée !
I autres symétries utiles ?I bosons et fermions contribuent avec des signes opposés à
chaque boucleI cancellations (partielles) si chaque fermion a un partenaire
bosonique et vice versaI théories avec une symétrie entre bosons et fermions :
supersymétrie
I Cette symétrie n’est pas observée⇒ au mieux une symétrieapprochée de la nature (comme la symétrie de jauge)
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Symétrie de jauge et Supersymétrie
I La renormalisabilité n’est possible que grâce aux symétries dejauge de la théorie SU(2)× U(1) - même si cette symétrie estbrisée !
I autres symétries utiles ?I bosons et fermions contribuent avec des signes opposés à
chaque boucleI cancellations (partielles) si chaque fermion a un partenaire
bosonique et vice versaI théories avec une symétrie entre bosons et fermions :
supersymétrieI Cette symétrie n’est pas observée⇒ au mieux une symétrie
approchée de la nature (comme la symétrie de jauge)
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Figure: Les particules connues et leurs superpartenaires
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Evolution des constantes de couplage
Figure: L’évolution des constantes de couplage sous le groupe derenormalisation dans une théorie supersymétrique
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Les échelles d’énergie
Figure: Les différentes échelles d’énergie
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Gravité
I La gravitation semble jouer un rôle à part:
I théorie géométrique : relativité généralel’espace temps plat→ l’espace-temps courbe
I métrique gµν , symbole de Christoffel Γρµν , connections, tenseur
de courbure Rλµρν , tenseur de Ricci Rµν
I équations d’Einstein: Rµν − 12Rgµν = GN
8π Tµν
la distribution d’énergie-impulsion (et donc des masses)détermine la courbure de l’espace-temps
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Gravité
I La gravitation semble jouer un rôle à part:I théorie géométrique : relativité générale
l’espace temps plat→ l’espace-temps courbe
I métrique gµν , symbole de Christoffel Γρµν , connections, tenseur
de courbure Rλµρν , tenseur de Ricci Rµν
I équations d’Einstein: Rµν − 12Rgµν = GN
8π Tµν
la distribution d’énergie-impulsion (et donc des masses)détermine la courbure de l’espace-temps
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Gravité
I La gravitation semble jouer un rôle à part:I théorie géométrique : relativité générale
l’espace temps plat→ l’espace-temps courbeI métrique gµν , symbole de Christoffel Γρ
µν , connections, tenseurde courbure Rλ
µρν , tenseur de Ricci Rµν
I équations d’Einstein: Rµν − 12Rgµν = GN
8π Tµν
la distribution d’énergie-impulsion (et donc des masses)détermine la courbure de l’espace-temps
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Gravité
I La gravitation semble jouer un rôle à part:I théorie géométrique : relativité générale
l’espace temps plat→ l’espace-temps courbeI métrique gµν , symbole de Christoffel Γρ
µν , connections, tenseurde courbure Rλ
µρν , tenseur de Ricci Rµν
I équations d’Einstein: Rµν − 12Rgµν = GN
8π Tµν
la distribution d’énergie-impulsion (et donc des masses)détermine la courbure de l’espace-temps
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Figure: Une grande masse courbe l’espace-temps
I trajectoires des particules : géodésiques: d2
dτ2 xµ = −Γµνρ
dxν
dτdxρ
dτ
I la “force" gravitationnelle vient de la difference gµν − ηµν .I On peut essayer de quantifier ce champ:I action d’Einstein-Hilbert : S ∼ 1
GN
∫d4x√−g R[gµν ]
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Figure: Une grande masse courbe l’espace-temps
I trajectoires des particules : géodésiques: d2
dτ2 xµ = −Γµνρ
dxν
dτdxρ
dτ
I la “force" gravitationnelle vient de la difference gµν − ηµν .
I On peut essayer de quantifier ce champ:I action d’Einstein-Hilbert : S ∼ 1
GN
∫d4x√−g R[gµν ]
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Figure: Une grande masse courbe l’espace-temps
I trajectoires des particules : géodésiques: d2
dτ2 xµ = −Γµνρ
dxν
dτdxρ
dτ
I la “force" gravitationnelle vient de la difference gµν − ηµν .I On peut essayer de quantifier ce champ:I action d’Einstein-Hilbert : S ∼ 1
GN
∫d4x√−g R[gµν ]
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Gravité quantique ?
I particules associée à gµν : le graviton
I on peut ainsi calculer p.ex. la diffusion graviton- graviton commeune somme de diagrammes de Feynman
I problème aux boucles: chaque nouveau calcul amène denouvelles divergences
I impossible à éliminer par un nombre fini de paramètresphysiques
I la gravitation quantique (perturbative) est non-renormalisableI Que faire ?
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Gravité quantique ?
I particules associée à gµν : le gravitonI on peut ainsi calculer p.ex. la diffusion graviton- graviton comme
une somme de diagrammes de Feynman
I problème aux boucles: chaque nouveau calcul amène denouvelles divergences
I impossible à éliminer par un nombre fini de paramètresphysiques
I la gravitation quantique (perturbative) est non-renormalisableI Que faire ?
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Gravité quantique ?
I particules associée à gµν : le gravitonI on peut ainsi calculer p.ex. la diffusion graviton- graviton comme
une somme de diagrammes de FeynmanI problème aux boucles: chaque nouveau calcul amène de
nouvelles divergencesI impossible à éliminer par un nombre fini de paramètres
physiques
I la gravitation quantique (perturbative) est non-renormalisableI Que faire ?
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Gravité quantique ?
I particules associée à gµν : le gravitonI on peut ainsi calculer p.ex. la diffusion graviton- graviton comme
une somme de diagrammes de FeynmanI problème aux boucles: chaque nouveau calcul amène de
nouvelles divergencesI impossible à éliminer par un nombre fini de paramètres
physiquesI la gravitation quantique (perturbative) est non-renormalisable
I Que faire ?
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Gravité quantique ?
I particules associée à gµν : le gravitonI on peut ainsi calculer p.ex. la diffusion graviton- graviton comme
une somme de diagrammes de FeynmanI problème aux boucles: chaque nouveau calcul amène de
nouvelles divergencesI impossible à éliminer par un nombre fini de paramètres
physiquesI la gravitation quantique (perturbative) est non-renormalisableI Que faire ?
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I A) Rien : On ne quantifie pas la gravitation
I L’existence de trous noirs en relativité génerale en présence dematière quantifiée conduit à des contradictions
I B) Réécrire la relativité générale en termes de variablesappropriées qui permettent une quantification non-perturbative
I Programme ambitieux de la loop quantum gravityMais: manipulation d’objets mals définis, pas de contact avecdes solutions semiclassiques ...
I C) Théorie des cordes (supercordes):I contient la relativité générale comme limite de basse énergieI incorpore les théories de jauge non-abéliennesI le problème des divergences disparait : amplitudes finies ...
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I A) Rien : On ne quantifie pas la gravitationI L’existence de trous noirs en relativité génerale en présence de
matière quantifiée conduit à des contradictions
I B) Réécrire la relativité générale en termes de variablesappropriées qui permettent une quantification non-perturbative
I Programme ambitieux de la loop quantum gravityMais: manipulation d’objets mals définis, pas de contact avecdes solutions semiclassiques ...
I C) Théorie des cordes (supercordes):I contient la relativité générale comme limite de basse énergieI incorpore les théories de jauge non-abéliennesI le problème des divergences disparait : amplitudes finies ...
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I A) Rien : On ne quantifie pas la gravitationI L’existence de trous noirs en relativité génerale en présence de
matière quantifiée conduit à des contradictionsI B) Réécrire la relativité générale en termes de variables
appropriées qui permettent une quantification non-perturbative
I Programme ambitieux de la loop quantum gravityMais: manipulation d’objets mals définis, pas de contact avecdes solutions semiclassiques ...
I C) Théorie des cordes (supercordes):I contient la relativité générale comme limite de basse énergieI incorpore les théories de jauge non-abéliennesI le problème des divergences disparait : amplitudes finies ...
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I A) Rien : On ne quantifie pas la gravitationI L’existence de trous noirs en relativité génerale en présence de
matière quantifiée conduit à des contradictionsI B) Réécrire la relativité générale en termes de variables
appropriées qui permettent une quantification non-perturbativeI Programme ambitieux de la loop quantum gravity
Mais: manipulation d’objets mals définis, pas de contact avecdes solutions semiclassiques ...
I C) Théorie des cordes (supercordes):I contient la relativité générale comme limite de basse énergieI incorpore les théories de jauge non-abéliennesI le problème des divergences disparait : amplitudes finies ...
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I A) Rien : On ne quantifie pas la gravitationI L’existence de trous noirs en relativité génerale en présence de
matière quantifiée conduit à des contradictionsI B) Réécrire la relativité générale en termes de variables
appropriées qui permettent une quantification non-perturbativeI Programme ambitieux de la loop quantum gravity
Mais: manipulation d’objets mals définis, pas de contact avecdes solutions semiclassiques ...
I C) Théorie des cordes (supercordes):
I contient la relativité générale comme limite de basse énergieI incorpore les théories de jauge non-abéliennesI le problème des divergences disparait : amplitudes finies ...
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I A) Rien : On ne quantifie pas la gravitationI L’existence de trous noirs en relativité génerale en présence de
matière quantifiée conduit à des contradictionsI B) Réécrire la relativité générale en termes de variables
appropriées qui permettent une quantification non-perturbativeI Programme ambitieux de la loop quantum gravity
Mais: manipulation d’objets mals définis, pas de contact avecdes solutions semiclassiques ...
I C) Théorie des cordes (supercordes):I contient la relativité générale comme limite de basse énergieI incorpore les théories de jauge non-abéliennesI le problème des divergences disparait : amplitudes finies ...
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CordesL’objet de base n’est plus une particule ponctuelle mais un objet avecune extension unidimensionnelle : une corde
I deux variétés de base: corde ouverte ou corde ferméeI une corde a une tension et peut vibrer avec des modes bien
définisI elle peut aussi se déplacer dans l’espace
Figure: Une corde ouverte (G) et une corde fermée (D) se propagent
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CordesL’objet de base n’est plus une particule ponctuelle mais un objet avecune extension unidimensionnelle : une corde
I deux variétés de base: corde ouverte ou corde fermée
I une corde a une tension et peut vibrer avec des modes biendéfinis
I elle peut aussi se déplacer dans l’espace
Figure: Une corde ouverte (G) et une corde fermée (D) se propagent
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CordesL’objet de base n’est plus une particule ponctuelle mais un objet avecune extension unidimensionnelle : une corde
I deux variétés de base: corde ouverte ou corde ferméeI une corde a une tension et peut vibrer avec des modes bien
définis
I elle peut aussi se déplacer dans l’espace
Figure: Une corde ouverte (G) et une corde fermée (D) se propagent
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CordesL’objet de base n’est plus une particule ponctuelle mais un objet avecune extension unidimensionnelle : une corde
I deux variétés de base: corde ouverte ou corde ferméeI une corde a une tension et peut vibrer avec des modes bien
définisI elle peut aussi se déplacer dans l’espace
Figure: Une corde ouverte (G) et une corde fermée (D) se propagent
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Théorie conformeI Chaque point sur la corde est répéré par un paramètre σ.I Au cours du temps une corde décrit une surface bidimensionnlle
= surface d’univers plongée dans l’espace-temps decoordonnées Xµ.
I On paramétrise la surface par σ et τ et l’évolution est donnée parXµ(σ, τ).
I La dynamique d’une corde libre se déduit de l’action d’unethéorie des champs bidimensionnelle
S =1
2πα′
∫dσdτ
(∂Xµ
∂τ
∂Xµ
∂τ− ∂Xµ
∂σ
∂Xµ
∂σ
)une théorie libre : donne le propagateur des cordes
I Si l’espace-temps est courbe avec métrique gµν(X ) on a
S =1
2πα′
∫dσdτ gµν(X )
(∂Xµ
∂τ
∂X ν
∂τ− ∂Xµ
∂σ
∂X ν
∂σ
).
Ici déjà ce terme est compliquéI → sujet important des théories conformes
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Théorie conformeI Chaque point sur la corde est répéré par un paramètre σ.I Au cours du temps une corde décrit une surface bidimensionnlle
= surface d’univers plongée dans l’espace-temps decoordonnées Xµ.
I On paramétrise la surface par σ et τ et l’évolution est donnée parXµ(σ, τ).
I La dynamique d’une corde libre se déduit de l’action d’unethéorie des champs bidimensionnelle
S =1
2πα′
∫dσdτ
(∂Xµ
∂τ
∂Xµ
∂τ− ∂Xµ
∂σ
∂Xµ
∂σ
)une théorie libre : donne le propagateur des cordes
I Si l’espace-temps est courbe avec métrique gµν(X ) on a
S =1
2πα′
∫dσdτ gµν(X )
(∂Xµ
∂τ
∂X ν
∂τ− ∂Xµ
∂σ
∂X ν
∂σ
).
Ici déjà ce terme est compliquéI → sujet important des théories conformes
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Théorie conformeI Chaque point sur la corde est répéré par un paramètre σ.I Au cours du temps une corde décrit une surface bidimensionnlle
= surface d’univers plongée dans l’espace-temps decoordonnées Xµ.
I On paramétrise la surface par σ et τ et l’évolution est donnée parXµ(σ, τ).
I La dynamique d’une corde libre se déduit de l’action d’unethéorie des champs bidimensionnelle
S =1
2πα′
∫dσdτ
(∂Xµ
∂τ
∂Xµ
∂τ− ∂Xµ
∂σ
∂Xµ
∂σ
)une théorie libre : donne le propagateur des cordes
I Si l’espace-temps est courbe avec métrique gµν(X ) on a
S =1
2πα′
∫dσdτ gµν(X )
(∂Xµ
∂τ
∂X ν
∂τ− ∂Xµ
∂σ
∂X ν
∂σ
).
Ici déjà ce terme est compliqué
I → sujet important des théories conformes
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Théorie conformeI Chaque point sur la corde est répéré par un paramètre σ.I Au cours du temps une corde décrit une surface bidimensionnlle
= surface d’univers plongée dans l’espace-temps decoordonnées Xµ.
I On paramétrise la surface par σ et τ et l’évolution est donnée parXµ(σ, τ).
I La dynamique d’une corde libre se déduit de l’action d’unethéorie des champs bidimensionnelle
S =1
2πα′
∫dσdτ
(∂Xµ
∂τ
∂Xµ
∂τ− ∂Xµ
∂σ
∂Xµ
∂σ
)une théorie libre : donne le propagateur des cordes
I Si l’espace-temps est courbe avec métrique gµν(X ) on a
S =1
2πα′
∫dσdτ gµν(X )
(∂Xµ
∂τ
∂X ν
∂τ− ∂Xµ
∂σ
∂X ν
∂σ
).
Ici déjà ce terme est compliquéI → sujet important des théories conformes
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le spectre
I le mouvement du centre de masse de la corde est décrit par unmoment pµ. La masse d’un état est pµpµ = −M2
I la corde peut vibrer dans les différentes directions del’espace-temps et dans différentes harmoniques: caractérisé pardes entiers
I contrainte:M2 ∼ 1
α′(N − 2)
N = 0,1,2, . . . compte les modes d’oscillateur excités.I 1
α′ ≡ l−2s est la tension de la corde, ls est l’échelle de corde.
I Le fondamental N = 0 est un tachyon ! -> Problème
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le spectre
I le mouvement du centre de masse de la corde est décrit par unmoment pµ. La masse d’un état est pµpµ = −M2
I la corde peut vibrer dans les différentes directions del’espace-temps et dans différentes harmoniques: caractérisé pardes entiers
I contrainte:M2 ∼ 1
α′(N − 2)
N = 0,1,2, . . . compte les modes d’oscillateur excités.I 1
α′ ≡ l−2s est la tension de la corde, ls est l’échelle de corde.
I Le fondamental N = 0 est un tachyon ! -> Problème
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le spectre
I le mouvement du centre de masse de la corde est décrit par unmoment pµ. La masse d’un état est pµpµ = −M2
I la corde peut vibrer dans les différentes directions del’espace-temps et dans différentes harmoniques: caractérisé pardes entiers
I contrainte:M2 ∼ 1
α′(N − 2)
N = 0,1,2, . . . compte les modes d’oscillateur excités.I 1
α′ ≡ l−2s est la tension de la corde, ls est l’échelle de corde.
I Le fondamental N = 0 est un tachyon ! -> Problème
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le spectre
I le mouvement du centre de masse de la corde est décrit par unmoment pµ. La masse d’un état est pµpµ = −M2
I la corde peut vibrer dans les différentes directions del’espace-temps et dans différentes harmoniques: caractérisé pardes entiers
I contrainte:M2 ∼ 1
α′(N − 2)
N = 0,1,2, . . . compte les modes d’oscillateur excités.I 1
α′ ≡ l−2s est la tension de la corde, ls est l’échelle de corde.
I Le fondamental N = 0 est un tachyon ! -> Problème
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vers les supercordesI Comment éliminer le −2 ?
I On ajoute un +2I Le miracle est accompli par la supersymétrie. Mais c’est d’abord
une supersymétrie de la théorie bidimensionnelle:
S =1
2πα′
∫d2σ
(∂Xµ
∂σα
∂Xµ
∂σα+ ψµγα ∂ψµ
∂σα
)L’analyse est compliquée mais on trouve à la fin :
I Il y a deux conditions de bord possibles pour les ψµ et il fautgarder les deux secteurs à la fois: secteur de Neveu-Schwarz etsecteur de Ramond.
I Dans chaque secteur on ne garde que la moitié des états(projection)
I La théorie qui résulte est: supersymétrique dans l’espace-tempset n’a plus de tachon
I les états de masse nulle contiennent un graviton et tout lesupermultiplet de la supergravité!
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vers les supercordesI Comment éliminer le −2 ?I On ajoute un +2
I Le miracle est accompli par la supersymétrie. Mais c’est d’abordune supersymétrie de la théorie bidimensionnelle:
S =1
2πα′
∫d2σ
(∂Xµ
∂σα
∂Xµ
∂σα+ ψµγα ∂ψµ
∂σα
)L’analyse est compliquée mais on trouve à la fin :
I Il y a deux conditions de bord possibles pour les ψµ et il fautgarder les deux secteurs à la fois: secteur de Neveu-Schwarz etsecteur de Ramond.
I Dans chaque secteur on ne garde que la moitié des états(projection)
I La théorie qui résulte est: supersymétrique dans l’espace-tempset n’a plus de tachon
I les états de masse nulle contiennent un graviton et tout lesupermultiplet de la supergravité!
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vers les supercordesI Comment éliminer le −2 ?I On ajoute un +2I Le miracle est accompli par la supersymétrie. Mais c’est d’abord
une supersymétrie de la théorie bidimensionnelle:
S =1
2πα′
∫d2σ
(∂Xµ
∂σα
∂Xµ
∂σα+ ψµγα ∂ψµ
∂σα
)L’analyse est compliquée mais on trouve à la fin :
I Il y a deux conditions de bord possibles pour les ψµ et il fautgarder les deux secteurs à la fois: secteur de Neveu-Schwarz etsecteur de Ramond.
I Dans chaque secteur on ne garde que la moitié des états(projection)
I La théorie qui résulte est: supersymétrique dans l’espace-tempset n’a plus de tachon
I les états de masse nulle contiennent un graviton et tout lesupermultiplet de la supergravité!
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vers les supercordesI Comment éliminer le −2 ?I On ajoute un +2I Le miracle est accompli par la supersymétrie. Mais c’est d’abord
une supersymétrie de la théorie bidimensionnelle:
S =1
2πα′
∫d2σ
(∂Xµ
∂σα
∂Xµ
∂σα+ ψµγα ∂ψµ
∂σα
)L’analyse est compliquée mais on trouve à la fin :
I Il y a deux conditions de bord possibles pour les ψµ et il fautgarder les deux secteurs à la fois: secteur de Neveu-Schwarz etsecteur de Ramond.
I Dans chaque secteur on ne garde que la moitié des états(projection)
I La théorie qui résulte est: supersymétrique dans l’espace-tempset n’a plus de tachon
I les états de masse nulle contiennent un graviton et tout lesupermultiplet de la supergravité!
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vers les supercordesI Comment éliminer le −2 ?I On ajoute un +2I Le miracle est accompli par la supersymétrie. Mais c’est d’abord
une supersymétrie de la théorie bidimensionnelle:
S =1
2πα′
∫d2σ
(∂Xµ
∂σα
∂Xµ
∂σα+ ψµγα ∂ψµ
∂σα
)L’analyse est compliquée mais on trouve à la fin :
I Il y a deux conditions de bord possibles pour les ψµ et il fautgarder les deux secteurs à la fois: secteur de Neveu-Schwarz etsecteur de Ramond.
I Dans chaque secteur on ne garde que la moitié des états(projection)
I La théorie qui résulte est: supersymétrique dans l’espace-tempset n’a plus de tachon
I les états de masse nulle contiennent un graviton et tout lesupermultiplet de la supergravité!
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Il y a plusieurs variantes pour la théorie bidimensionnelle:I corde ouverte ou ferméeI différentes projections : corde orientée ou non orientéeI choix des chiralités dans la supercorde ferméeI propriétés de transformation non-triviales sous un group
attribuées aux extrémités des cordes ouvertes : groupe de jauge
Il en résultent plusieurs types de supercordes:I type I : cordes ouvertes et fermées, groupe de jauge GI type IIA : cordes ferméesI type IIB : cordes fermées, théorie chiraleI hétérotiqe avec groupe de jauge G
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Il y a plusieurs variantes pour la théorie bidimensionnelle:I corde ouverte ou ferméeI différentes projections : corde orientée ou non orientéeI choix des chiralités dans la supercorde ferméeI propriétés de transformation non-triviales sous un group
attribuées aux extrémités des cordes ouvertes : groupe de jaugeIl en résultent plusieurs types de supercordes:
I type I : cordes ouvertes et fermées, groupe de jauge GI type IIA : cordes ferméesI type IIB : cordes fermées, théorie chiraleI hétérotiqe avec groupe de jauge G
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Il y a plusieurs variantes pour la théorie bidimensionnelle:I corde ouverte ou ferméeI différentes projections : corde orientée ou non orientéeI choix des chiralités dans la supercorde ferméeI propriétés de transformation non-triviales sous un group
attribuées aux extrémités des cordes ouvertes : groupe de jaugeIl en résultent plusieurs types de supercordes:
I type I : cordes ouvertes et fermées, groupe de jauge GI type IIA : cordes ferméesI type IIB : cordes fermées, théorie chiraleI hétérotiqe avec groupe de jauge G
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Interaction entre cordes
L’interaction entre cordes est géométrique :
Pas de point d’interaction bien défini -> absence de divergences UV
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Figure: Les amplitudes entre cordes fermées sont données par des surfacesde Riemann où chaque bord représente une corde externe
A =∑g≥0
gs2g−2
∑l≥0
Ag,l(α′)n
I Un seul diagramme pour chaque gI En pratique, dur au delà d’une boucle ...I analyse des divergences possible -> “amplitudes finies"
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Figure: Les amplitudes entre cordes fermées sont données par des surfacesde Riemann où chaque bord représente une corde externe
A =∑g≥0
gs2g−2
∑l≥0
Ag,l(α′)n
I Un seul diagramme pour chaque gI En pratique, dur au delà d’une boucle ...I analyse des divergences possible -> “amplitudes finies"
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Conditions de cohérence
Plusieurs conditions nécessaires et suffisantes pour une théoriecohérente:
I la dimension de l’espace-temps doit être D = 10 : les 4dimensions ordinaires plus 6 autres !
I en général il y a des anomalies de gauge et gravitationnelles. Ona cancellation quasi miraculeuse de toutes les anomalies pourG = SO(32) ou G = E8 × E8
I Les plus:I C’est la première fois que la cohérence de la théorie dicte le
groupe de jauge -> “première révolution des supercordes 1984"I SO(32) et E8 × E8 contiennent des groupes de grande
unification SO(10) ou E6, etcI Les moins:I les groupes sont grands et prédisent une quantité de bosons de
jauge bien au dela de ceux connusI 10 dimensions est un peu trop pour notre monde ...
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Conditions de cohérence
Plusieurs conditions nécessaires et suffisantes pour une théoriecohérente:
I la dimension de l’espace-temps doit être D = 10 : les 4dimensions ordinaires plus 6 autres !
I en général il y a des anomalies de gauge et gravitationnelles. Ona cancellation quasi miraculeuse de toutes les anomalies pourG = SO(32) ou G = E8 × E8
I Les plus:I C’est la première fois que la cohérence de la théorie dicte le
groupe de jauge -> “première révolution des supercordes 1984"I SO(32) et E8 × E8 contiennent des groupes de grande
unification SO(10) ou E6, etc
I Les moins:I les groupes sont grands et prédisent une quantité de bosons de
jauge bien au dela de ceux connusI 10 dimensions est un peu trop pour notre monde ...
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Conditions de cohérence
Plusieurs conditions nécessaires et suffisantes pour une théoriecohérente:
I la dimension de l’espace-temps doit être D = 10 : les 4dimensions ordinaires plus 6 autres !
I en général il y a des anomalies de gauge et gravitationnelles. Ona cancellation quasi miraculeuse de toutes les anomalies pourG = SO(32) ou G = E8 × E8
I Les plus:I C’est la première fois que la cohérence de la théorie dicte le
groupe de jauge -> “première révolution des supercordes 1984"I SO(32) et E8 × E8 contiennent des groupes de grande
unification SO(10) ou E6, etcI Les moins:I les groupes sont grands et prédisent une quantité de bosons de
jauge bien au dela de ceux connusI 10 dimensions est un peu trop pour notre monde ...
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Compactifications
Les 6 dimensions supplémentaires constituent un espace compactde très petite taille en chaque point de l’espace-tempsquadridimensionnel
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Spectre de Kaluza-KleinI Les compactifications les plus simples sont sur des circles
(tores).
I Les composantes de l’impulsion dans les directions compactessont discrètes et contribuent des niveaux équidistants n/R auxspectres des masses.
I Des espaces de compactification plus compliqués sont desespaces de Calabi-Yau.
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Spectre de Kaluza-KleinI Les compactifications les plus simples sont sur des circles
(tores).I Les composantes de l’impulsion dans les directions compactes
sont discrètes et contribuent des niveaux équidistants n/R auxspectres des masses.
I Des espaces de compactification plus compliqués sont desespaces de Calabi-Yau.
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Spectre de Kaluza-KleinI Les compactifications les plus simples sont sur des circles
(tores).I Les composantes de l’impulsion dans les directions compactes
sont discrètes et contribuent des niveaux équidistants n/R auxspectres des masses.
I Des espaces de compactification plus compliqués sont desespaces de Calabi-Yau.
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Etats d’enroulement
Une corde fermée peut être enroulée m fois autour d’un circle del’espace compact, contribuant mR aux spectres des masses:
M = longueur de la corde× tension ∼ mR × 1l2s
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T-dualité
I Les cordes peuvent aussi vibrer : modes harmoniques.I Les vibrations d’une corde fermé sont caractérisées par deux
entiers : NL (modes gauches) et NR (modes droits).
I La masse carrée d’un tel état de corde fermée est
M2 ∼ 1l2s
(n2 l2s
R2 + m2 R2
l2s+ NL + NR
)
I Symétrie R ↔ l2s /R et n ↔ m : T-dualitéI Un grand circle est équivalent à un petit circle. ⇒ Il y a une taille
minimale ∼ ls.I C’est une symétrie de la théorie conforme.I Ce qui est important est la théorie conforme, l’interpretation
comme espace-temps n’émerge souvent que dans certaineslimites.
I La même théorie conforme peut décrire plusieurs géométriesdifférentes dans différentes limites!
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T-dualité
I Les cordes peuvent aussi vibrer : modes harmoniques.I Les vibrations d’une corde fermé sont caractérisées par deux
entiers : NL (modes gauches) et NR (modes droits).I La masse carrée d’un tel état de corde fermée est
M2 ∼ 1l2s
(n2 l2s
R2 + m2 R2
l2s+ NL + NR
)
I Symétrie R ↔ l2s /R et n ↔ m : T-dualitéI Un grand circle est équivalent à un petit circle. ⇒ Il y a une taille
minimale ∼ ls.I C’est une symétrie de la théorie conforme.I Ce qui est important est la théorie conforme, l’interpretation
comme espace-temps n’émerge souvent que dans certaineslimites.
I La même théorie conforme peut décrire plusieurs géométriesdifférentes dans différentes limites!
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T-dualité
I Les cordes peuvent aussi vibrer : modes harmoniques.I Les vibrations d’une corde fermé sont caractérisées par deux
entiers : NL (modes gauches) et NR (modes droits).I La masse carrée d’un tel état de corde fermée est
M2 ∼ 1l2s
(n2 l2s
R2 + m2 R2
l2s+ NL + NR
)
I Symétrie R ↔ l2s /R et n ↔ m : T-dualitéI Un grand circle est équivalent à un petit circle. ⇒ Il y a une taille
minimale ∼ ls.
I C’est une symétrie de la théorie conforme.I Ce qui est important est la théorie conforme, l’interpretation
comme espace-temps n’émerge souvent que dans certaineslimites.
I La même théorie conforme peut décrire plusieurs géométriesdifférentes dans différentes limites!
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T-dualité
I Les cordes peuvent aussi vibrer : modes harmoniques.I Les vibrations d’une corde fermé sont caractérisées par deux
entiers : NL (modes gauches) et NR (modes droits).I La masse carrée d’un tel état de corde fermée est
M2 ∼ 1l2s
(n2 l2s
R2 + m2 R2
l2s+ NL + NR
)
I Symétrie R ↔ l2s /R et n ↔ m : T-dualitéI Un grand circle est équivalent à un petit circle. ⇒ Il y a une taille
minimale ∼ ls.I C’est une symétrie de la théorie conforme.I Ce qui est important est la théorie conforme, l’interpretation
comme espace-temps n’émerge souvent que dans certaineslimites.
I La même théorie conforme peut décrire plusieurs géométriesdifférentes dans différentes limites!
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D-branesUn autre ingrédient dans la théorie des cordes: les D-branes surlequelles des cordes ouvertes peuvent terminer:
I N D-branes parallèles⇒ symétrie de jauge SU(N).I les D-branes ont un masse (tension) et charge⇒ sources pour
la gravitation et les différents champs de flux
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D-branesUn autre ingrédient dans la théorie des cordes: les D-branes surlequelles des cordes ouvertes peuvent terminer:
I N D-branes parallèles⇒ symétrie de jauge SU(N).I les D-branes ont un masse (tension) et charge⇒ sources pour
la gravitation et les différents champs de flux
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Supercordes
Il y a 5 théories de supercordes cohérentes à 10 dimensions:
I type I : cordes ouvertes et fermées + D-branes, SO(32)
I type IIA : cordes fermées + D-branes avec cordes ouvertesattachées
I type IIB : cordes fermées + D-branes avec cordes ouvertesattachées , théorie chirale
I hétérotiqe SO(32) ou E8 × E8
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Dualités entre différentes théories
Différentes théories sont équivalentes : différentes formulations de lamême physique
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M-théorie
Les différentes théories de supercordes ne sont que des limitesdifférentes d’une théorie unique : “Deuxième révolution dessupercordes"
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Dualité entre théorie de jauge et gravité (AdS/CFT)
I à basse énergie le couplage gravitationnel devient négligeableI les cordes fermées decouplent du système “D-branes plus
cordes ouvertes"I description effective ?I à faible couplage, gsN � 1 : théorie de super-Yang Mills N = 4
(conforme!) avec groupe de jauge SU(N) et g2YM ∼ gs
I à fort couplage gsN � 1: la masse/tension des D-branescourbent l’espace-temps et on a une théorie de cordes ferméesdans cette géométrie: à basse énergie c’est une supergravité surAdS5 × S5 avec R4 ∼ gsN l4s .
I en variant le couplage gsN on interpole entre deux descriptionscomlètement différentes: “CFT"↔ “AdS"
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Dualité entre théorie de jauge et gravité (AdS/CFT)
I à basse énergie le couplage gravitationnel devient négligeableI les cordes fermées decouplent du système “D-branes plus
cordes ouvertes"I description effective ?
I à faible couplage, gsN � 1 : théorie de super-Yang Mills N = 4(conforme!) avec groupe de jauge SU(N) et g2
YM ∼ gs
I à fort couplage gsN � 1: la masse/tension des D-branescourbent l’espace-temps et on a une théorie de cordes ferméesdans cette géométrie: à basse énergie c’est une supergravité surAdS5 × S5 avec R4 ∼ gsN l4s .
I en variant le couplage gsN on interpole entre deux descriptionscomlètement différentes: “CFT"↔ “AdS"
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Dualité entre théorie de jauge et gravité (AdS/CFT)
I à basse énergie le couplage gravitationnel devient négligeableI les cordes fermées decouplent du système “D-branes plus
cordes ouvertes"I description effective ?I à faible couplage, gsN � 1 : théorie de super-Yang Mills N = 4
(conforme!) avec groupe de jauge SU(N) et g2YM ∼ gs
I à fort couplage gsN � 1: la masse/tension des D-branescourbent l’espace-temps et on a une théorie de cordes ferméesdans cette géométrie: à basse énergie c’est une supergravité surAdS5 × S5 avec R4 ∼ gsN l4s .
I en variant le couplage gsN on interpole entre deux descriptionscomlètement différentes: “CFT"↔ “AdS"
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Dualité entre théorie de jauge et gravité (AdS/CFT)
I à basse énergie le couplage gravitationnel devient négligeableI les cordes fermées decouplent du système “D-branes plus
cordes ouvertes"I description effective ?I à faible couplage, gsN � 1 : théorie de super-Yang Mills N = 4
(conforme!) avec groupe de jauge SU(N) et g2YM ∼ gs
I à fort couplage gsN � 1: la masse/tension des D-branescourbent l’espace-temps et on a une théorie de cordes ferméesdans cette géométrie: à basse énergie c’est une supergravité surAdS5 × S5 avec R4 ∼ gsN l4s .
I en variant le couplage gsN on interpole entre deux descriptionscomlètement différentes: “CFT"↔ “AdS"
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Dualité entre théorie de jauge et gravité (AdS/CFT)
I à basse énergie le couplage gravitationnel devient négligeableI les cordes fermées decouplent du système “D-branes plus
cordes ouvertes"I description effective ?I à faible couplage, gsN � 1 : théorie de super-Yang Mills N = 4
(conforme!) avec groupe de jauge SU(N) et g2YM ∼ gs
I à fort couplage gsN � 1: la masse/tension des D-branescourbent l’espace-temps et on a une théorie de cordes ferméesdans cette géométrie: à basse énergie c’est une supergravité surAdS5 × S5 avec R4 ∼ gsN l4s .
I en variant le couplage gsN on interpole entre deux descriptionscomlètement différentes: “CFT"↔ “AdS"
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l’entropie des trous noirs en théorie des cordesCertaines configurations ont une description en termes de D-branespour en couplage faible mais sont décrites comme un trou noir encouplage fort
⇒ Possibilité de compter les degrés de liberté microscopique et decalculer l’entropie statistique:
S =1
4GNA
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Conclusion
Il y a beaucoup à apprendre, mais ...
Peut-être c’est vous qui allez déclencher la“troisième révolution des supercordes"
Merci de votre attention
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Conclusion
Il y a beaucoup à apprendre, mais ...
Peut-être c’est vous qui allez déclencher la“troisième révolution des supercordes"
Merci de votre attention
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Conclusion
Il y a beaucoup à apprendre, mais ...
Peut-être c’est vous qui allez déclencher la“troisième révolution des supercordes"
Merci de votre attention
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Conclusion
Il y a beaucoup à apprendre, mais ...
Peut-être c’est vous qui allez déclencher la“troisième révolution des supercordes"
Merci de votre attention