ti i-locus guía docente

8/9/2019 TI i-Locus Gua Docente

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1. El tringulo en el tringulo 2

2. Ortolocus 8

3. El tringulo en el crculo 10

4.

La parbola como envolvente 13

5. La elipse como envolvente 16

6. La curva de Wittgenstein 18

ndice


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JOS LORENZOSNCHEZ ALAVEZ

SITUACIN PROBLEMTICA:

Sea ABC un tringulo cualesquiera.Con el mismo lado BC se construye otro tringulo cuyo tercer vrtice M se desplaza por el permetro de ABC.Sea la altura del tringulo MBC y el rea del tringulo MBC en funcin de

Cul es el lugar geomtrico del punto P cuyas coordenadas son (,)?

Tiempo de la actividad: 50 minutos

Tecnologa: TI Nspire touch

Apps: Cabri

Software: TI-Nspire Edicin para el profesor

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MANUAL DEL FACILITADOR

EL TRINGULO EN EL TRINGULO

SINOPSIS

En esta actividad, se orienta al estudiante durante la exploracin

de la relacin funcional altura-rea de un tringulo cualesquiera.Se espera que el estudiante experimente corporalmentconceptos como dominio, contradominio y lugar geomtrico.

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1. Pida a los estudiantes que abran una nueva hoja de trabajo seleccionando AnadirGrficos

2. Defina un tringulo cualesquiera ABC

Actividades


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3. Defina con Punto en, un punto M sobre el lado AB del tringulo.

4. Tomando como vrtice a M, construya un tringulo MBC. Opcionalmente, puede ocultar losejes.


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5. Defina una perpendicular a BC que pase por M, marque como punto(s) de interseccin, elpie de la altura sobre el lado BC, y obtenga la longitud de MN

6. Obtenga el rea del tringulo MBC


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7. Realice un poco d edicin de la pgina para mostrar la construccin junto a los ejescoordenados. Transfiera el valor de la altura sobre el eje X, y el valor del rea sobre el ejeY.

8. Trace perpendiculares a los ejes que pasen por los valores transferidos respectivamente.Determine el punto P de interseccin de las dos perpendiculares.


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9. Desplace el punto M por el permetro del tringulo ABC. Pregunte a los estudiantes Qulugar geomtrico describe P cuando M se desplaza por ABC?

10. Pida que expliquen el lugar geomtrico descrito a partir de la situacin problemtica inicial.11. Solicite que utilicen la herramienta lugar, para determinar el locus de P cuando M se

desplaza. Opcionalmente puede utilizarconfiguracin de ventana, pidiendo, por ejemplo,que el valor mnimo de Y sea -2; de esta manera se apreciar mejor el lugar geomtrico

obtenido.

12. Pida a los estudiantes que confronten sus respuestas de las actividades 9 y 10, con elresultado obtenido en la actividad 11.

13. Solicite una conclusin de la actividad en un reporte de media cuartilla, tomando comopreguntas orientadoras las siguientes:

Cul es el valor mximo que alcanza h? Cul el rea mnima que alcanza MBC? Es proporcional el rea de MBC con respecto a h? Qu cambios se produce en la grfica si el punto A se cambia de posicin? Qu cambios hay en la grfica cuando ABC es escaleno y adems obtusngulo?


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ORTOLOCUS

SINOPSIS

En esta actividad, se orienta al estudiante durante la exploracin

del comportamiento del ortocentro de una familia de tringulocon la misma rea. El lugar geomtrico de este punto notablebajo estas condiciones, es elegante e inesperado

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14. Pida a los estudiantes que creen un nuevo documento de Geometra (2: AadirGeometra).

15. Pida que construyan una recta L1 (Men, 7: Puntos y rectas, 4: Recta).16. Solicite la construccin de una recta L2 paralela a L1 por un punto exterior a sta. (Men,

A: Construccin, 2: Paralelo)17. Pida la construccin de un tringulo con un vrtice en L2 y dos vrtices sobre L1 ( Men, 9:

Formas, 2: Tringulo)18. Pida que nombren los vrtices como C el que est en L2 y como A y B los que quedan

sobre L1. (Men, 1: Accin, 6:Texto) (Fig. 1)

19. Pida que arrastren C sobre la recta L2 para que comprueben la validez de la construccin.Puede plantear, al mismo tiempo, preguntas como:

Qu comportamiento se observa en la familia de tringulos? Cambia el rea de los tringulos? Por qu? cmo se comporta la altura de los tringulos que conforman esta familia?

20. Permita que los estudiantes exploren el comportamiento del rea utilizando la herramientaMedida. (Men, 8: Medida, 2: rea)

21. Indique a los estudiantes que tracen las alturas desde los tres lados del tringulo (Men, A:Construccin, 1; Perpendicular) y que al punto de interseccin (Men, 7: Puntos y rectas,3: Punto(s) de interseccin) le nombren O, en alusin a su nombre: ortocentro. (Fig. 2)

Actividades


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Sea C una circunferencia con centro OAB dimetroQ en AB

Por Q se traza una perpendicular a ABy las intersecciones con la circunferenciase denominan M y NSea el tringulo AMN con altura h

Encuentre la posicin exacta de Q para que el rea del tringulo AMN sea mxima.



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EL TRINGULO EN EL CRCULO

SINOPSIS

En esta actividad, los estudiantes se enfrentarn a un luga

geomtrico desconcertante. Aunque el problema es relativamentsencillo de comprender, las implicaciones son valiosas para eestudio de conceptos como mximo, mnimo y punto de inflexin.

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22. Pida a los estudiantes que abranun documento nuevo a partir de

Agregar Grficos.23. Pida que realicen la construccin

de acuerdo a la situacinproblemtica inicial. (Fig. 1).

24. Obtengan la longitud de la altura del tringulo y del rea deltringulo AMN. Regstrelo sobrela hoja de trabajo.

25. Pida que desplacen el punto Qpara explorar el comportamientodel rea del tringulo AMN

cuando se desplaza Q.

26. Haga preguntas como: Cul el valor mnimo para en trminos del radio de C? Cul es el valor mximo de en trminos del radio de C? Para qu se alcanza el rea mnima de AMN? Habr dos valores distintos para de manera que el rea sea la misma?

27. Pida que con la herramienta

Transferir medida, transfieran elvalor numrico de en el eje X, y quelo nombren cono h

28. Pida que, con la herramientaTransferir medida, transfieran elvalor numrico del rea al eje Y, yque lo nombren como rea

29. Pida que tracen una paralelaa l eje X que pase por rea y unaparalela a Y que pase por h.

30. Pida que marquen el puntode interseccin de estas dos rectas yque lo nombren como P. Laconstruccin deber tener el aspectoque muestra la Figura 2:

Actividades


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31. Pida que desplacen nuevamente el punto Q. Plantee las siguientes cuestiones: Cmo es el comportamiento del punto P? Es lineal el lugar geomtrico de P cuando Q se desplaza? Por qu? Cmo es el lugar geomtrico de P? en qu valor aproximado de h se alcanza el valor mximo del rea? En qu valor de h se alcanza el valor mnimo para el rea?

32. Pida que utilicen la herramienta Lugar, para que se muestre el lugar geomtrico de Pcuando Q se mueve.

33. Vuelva a plantear las mismas preguntas de la seccin 10. Ahora pida que lo comprueben atravs del lugar geomtrico de P. Tambin puede preguntar:

En qu momento la curva deja de ser cncava hacia arriba, para ser cncavahacia abajo?

qu significado tiene esta situacin en el contexto del problema? Cul es el dominio de la funcin que a cada altura h le asocia un rea A(h) del

tringulo AMN?

34. Pida un informe del experimento de una cuartilla de extensin.


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LA PARBOLACOMO ENVOLVENTE

SINOPSIS

En esta actividad, a travs de una exploracin grfica, e

estudiante descubrir a la parbola como una curva que etangente a una familia de rectas.

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35. Pida a los estudiantes que en su TI Nspire Touchpad, abran un documento nuevo a travsde AadirGeometra, y que sigan esta secuencia de construccin:

Trace una recta y nmbrela L Coloque un punto arbitrario ajeno a la recta L, y nmbrelo S

Determine un punto Q sobre la recta L Trace una recta que pase por S y Q Trace una perpendicular a la recta SQ por el punto Q

36. Pida que realicen la prueba del arrastre, desplazando Q sobre L. Plantee: Qu sucede con la recta perpendicular a SQ? Se describe alguna curva conocida? Describa las caractersticas de este lugar.

37. Pida que activen la herramienta 5: Representar grficamente, con el comando 4:Representacin geomtrica y que con ella seleccionen la recta L1 e inmediatamentedespus desplacen el punto Q.

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8. La representacin se muestra en la FIGURA 2. Plantee algunas preguntas como: Qu curva de genera? Qu sucede con la representacin geomtrica cuando S se acerca a la recta L?

(Fig 3) qu sucede con la representacin grfica de L1 cuando S se coloca debajo de la

recta L? (Fig 4)

Actividades

Fig. 1


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Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4


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39. Pida a los estudiantes que en un documento nuevo, configure Aadir geometra.Proponga los siguientes pasos de construccin:

Trace una circunferencia cualesquiera y marque un punto A sobre ella. Coloque un punto F arbitrario al interior de la circunferencia. Obtenga la mediatriz del segmento AF. (aunque el segmento son sea explcito en

la construccin). En la barra de herramientas, tendr que accionar A:Construccin, 3: bisectriz.

Pida que realicen la prueba del arrastre para verificar que la mediatriz se desplazaen relacin al movimiento de A. (Fig. 1)



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LA ELIPSE COMO ENVOLVENTE

Actividades

SINOPSIS

En esta actividad, le estudiante construir a la elipse com

envolvente de una familia de rectas.

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40. Pida que usen la herramienta Representacin geomtrica para dejar la traza de lamediatriz mientras se desplaza el punto A. Se obtendr la siguiente imagen:

41. Pida que exploren algunas posibilidades del locus. Por ejemplo, cuando F coincide con el

centro de la circunferencia (Fig. 2), cuando F est sobre la circunferencia o bien, cuando Fes un punto externo a la circunferencia (Fig. 3)

Fig. 1

Fig. 2 Fig. 3


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42. Pida a los estudiantes que en su TI Nspire Touchpad, creen un documento como Aadirgeometra. Proponga los siguientes pasos de construccin:

Trece una circunferencia de centro O y radio r. Marque unpunto sobre la circunferencia. Llamado A Construya una semirrecta desde O que pase por un punto M sobre la

circunferencia distinto de A. Dibuje un segmento RS y localice un punto T sobre l. Con ayuda de la herramienta comps ( A: Construccin, 7: Comps) traslade la

longitud RT al punto A (dando clic en R, luego en T y finalmente en A)

Construya un punto N sobre la semirrecta OM Trace una semirrecta desde A que pase por N Determine la interseccin de la circunferencia/comps con la semirrecta AN. Llame

P a este punto. Oculte la semicircunferencia/comps (botn derecho, 4: Ocultar) Obtenga el locus ( A: construccin, 6: Lugar), de P cuando A se mueve por la

circunferencia inicial.



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LACURVA DE WITTGENSTEIN

Actividades

SINOPSIS

En esta actividad, el estudiante construir una curva maravillosaadjudicada a Ludwing Wittgenstein.

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43. Un poco de edicin sobre los elementos de la construccin permitir una mejorconstruccin de sus propiedades. (Fig. 1)

44. Pida que desplacen A y que observen el comportamiento de P45. Pida tambin que muevan el punto T sobre el segmento RS y que observen las

implicaciones sobre el locus:

46. Tambin puede pedir que modifiquen el radio de la circunferencia inicial:


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Simmons, George (1985). Calculus with analytic geometry.

McGraw-Hill. EEUU

Yates, Robert (1974). Curves and their properties. National Council

of Teachers of Mathematics. EEUU

Rutter, John (2000). Geometry of curves. Chapman & Hall/CRC. EEUU

Lawrence, Dennis 1972). Special plane curves. Dover publications,

Inc. EEUU

bibliografa

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