BAB I

BAB I

PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

ORDE PERTAMA

1.1 Konsep Dasar

Persamaan differensial biasa adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari y (x) yang tidak diketahui dan dapat mengandung y (x) itu sendiri, fungsi x tertentu lainnya dan konstanta. Dengan menyelesaikan presamaan differensial tersebut kita akan dapat menentukan y (x). Sebagai berikut:

y' = sin x

(1)

y + 6y = 0

(2)

x2 y''' y' + 4 ex y'' = (x2 + 4)y2

(3)

Adalah persamaan differensial biasa. Kata biasa membedakannya dari persamaan differensial parsial, dimana fungsi yang tidak diketahui terdiri dari dua peubah bebas atau lebih sebagai contoh:

= 0

Adalah persamaan differensial persial, karena mengandung dua peubah bebas, yaitu x dan y.

Suatu persamaan differensial dikatakan mempunyai orde ke n jika turunan ke n dari y merupakan turunan tertinggi pada persamaan itu. Persamaan (1) adalah persamaan differensial orde lama, persamaan (2) adalah persamaan differensial orde kedua dan persamaan (3) adalah orde ketiga.

Contoh 1.2

Selesaikan persamaan differensial 9 y y' + 4 x = 0

Penyelesaian :

9 y y' + 4 x = 0 9 y y' = -4 x

9 y (dy/dx) = -4 x 9 y dy = -4 x dx

Contoh 1.3

Selesaikan persamaan differensial y' = 1 + y2

Penyelesaian :

y' = 1 + y2

= 1 + y2dy = (1 + y2) dx

= dx

arc tan y = x + c y = tan (x + c)

Dalam penerapan di bidang rekayasa, kita sering memerlukan penyelesaian khusus y (x) yang memenuhi kondisi awal tertentu, misalnya y (xo) = yo (baca " untuk x = xo, maka y = yo "). Suatu persamaan differensial dengan kondisi awal tertentu disebut masalah atau persoalan nilai awal. Untuk menyelesaikan persoalan nilai awal, terlebih dahulu kita selesaikan persamaan umum. Selanjutnya dengan menggunakan kondisi awal kita dapat mencari penyelesaian khusus.

Contoh 1.4

Selesaikan persoalan nilai awal berikut ini

y =

y (1) = 3

Pers. Diffkondisi awal

Penyelesaian :

y' =

y2 x2 = 2 c

Syarat : y (1) = 3 9 1 = 2 c

c = 4

Jadi penyelesaian khusus adalah : y2 x 2 = 8

1.2 Reduksi menjadi Persamaan Differensial dengan Peubah Terpisah

Persamaan differensial order pertama tertentu dapat diubah menjadi persamaan differensial dengan peubah terpisah melalui perubahan peubah yang sederhana yang berbentuk

y' = g

Persamaan (1,4) sering disebut persamaan homogen. Untuk mentransformasikan persamaan (1,4) menjadi persamaan differensial dengan peubah terpisah, maka kita gunakan sebuah peubah baru u, yaitu:

u =

dimana y dan u adalah fungsi x.

Sehingga

y = u . x

Dengan differensiasi kita dapatkan

y = u x' + u x'

Bila persamaan (1.5) dimasukkan ke persamaan (1,4), maka:

u' x + u x' = g (u)

x du + u dx = g (u) dx

Jika kita lakukan integrasi dan mengganti u dengan y/x, maka kita peroleh penyelesaian umum dari persamaan (1.4).

Contoh 1.5

Selesaikan 2 xyy' y' + x2 = 0

Penyelesaian :

Dengan membaginya dengan x2 didapat:

2

u =

y' = u' x + u x'

2 u (u' x + u x') u2 + 1 = 0

2 x u u' + 2 u2 x' u2 + 1 = 0 ( x' =

2 x u u' + u2 + 1 = 0

2 x u + u2 + 1 = 0

2

In (u2 + 1) = - ln |x| + ln c

u2 + 1 = ( + 1 =

y2 + x2 = c x

1.3 Persamaan Differensial Eksak

Suatu persamaan differensial orde pertama yang berbentuk

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

(1,6)

dikatakan eksak jika ruas kiri persamaan tersebut merupakan differensial total atau differensial eksak

du = dx +dy

(1.7)

dari suatu fungsi u (x,y) sehingga persamaan (1.6) dapat ditulis:

du = 0

(1.8)

dengan jalan integrasi, kita dapat memperoleh penyelesaian umum dari persamaan (1.8) dalam bentuk

u (x,y) = c1

(1.9)

dari persamaan (1.6) dan (1.7) maka :

= M

(1.10)

= N

(1.11)

Selanjutnya :

sehingga :

Dari persamaan (1.10) dan (1.11) didapat :

u =

u =

Jika , maka persamaan differensial tidak eksak.

Contoh 1.6

Selesaikan (x3 + 3 xy2) dx + (3 x2 y + y3) dy = 0

Penyelesaian :

M = x3 + 3 xy2 ( = 6 xy

N = 3 x2 + y + y3 ( = 6 xy

Karena =, maka persamaan differensial adalah eksak

u =

= x4+x2 y2 + k (y)

= 3x2 y + = N

3x2 y + = 3x2 y + y3

EMBED Equation.3 dk = y3 dy

k = y4 + c*

u =

dari persamaan (1.9)

u = c1

sehingga,u =

1.4 Faktor Integrasi

Jika persamaan differensial tidak memenuhi persyaratan sebagai persamaan differensial eksak, maka persamaa differensial tersebut harus dikalikan dengan faktor integrasi agar menjadi eksak.

Misal persamaan differensial

M (x,y) dx + N(x,y)

(1.13)

tidak eksak. Oleh karena kita harus menentukan faktor integrasi F(x,y) dan menggalikannya dengan persamaan (1.13), sehingga didapat :

F M dx + F N dy = 0

(1.14)

Agar dapat memenuhi persamaan differensial eksak, maka ;

(FM) = (FM)

(1.15)

M FF

(1.16)

Ada dua cara untuk menentukan faktor integrasi, yaitu faktor integrasi yang hanya terdiri dari peubah x saja atau peubah y saja.

Jika kita menginginkan faktor integrasi hanya merupakan fungsi x, maka persamaan (1.16) menjadi.

FF

N

Jika dimisalkan maka :

dx

F(x) = e

Jika kita menginginkan faktor integrasi sebagai fungsi y, maka persamaan (1.16) menjadi

M

Jika maka :

dy

F(y) = e

Contoh 1.6

Selesaikan persoalan nilai awal berikut ini

3 y dx + 2 x dy = 0 ; y(1) = 4

Penyelesaian :

M = 3 y

N = 2 x

tidak aksak

P = 3 y

Q = 2 x

R =

=

F(x) =

F(x) =

Selanjutnya F(x) dikalikan dengan persamaan differensial :

F(x) (3y) dx + F(x) 2x dy = 0

3 y dx + 2 dy = 0

M = 3 y

N = 2

eksak

u = y) dx + k (y) = c1

2x3/2 + k' (y) = 2 x3/2

( k' (y) = 0

k' (y) = c*

jadi u = 2 x3/2 y + c* = c1

2 x3/2 y + c1- c* = c2y =

Kondisi awal : y (1) = 4

4 =

Sehingga : y =

1.5 Persamaan Differensial Linear Orde Pertama

Persamaan differensial yang mempunyai bentuk,

y' + p (x) y = r (x)

(1.21)

disebut persamaan differensial linear orde pertama. Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi,

(p y r) dx + dy = 0

(1.22)

Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan (1.22) adalah dengan jalan mengalikannya dengan faktor integrasi F. Dengan mengacu pada persamaan (1.13)(1.18) maka didapat,

F =

(1.23)

=

= p = p F

(1.24)

Dengan mengalikan pers. (1.23) didapat,

F+ y= F r

F y = dx + c

Contoh 1.8

Selesaikan persamaan

Penyelesaian :

p = 1 ; r = exF = = = = exF y = dx + c

ex y = dx + c

=

y = e-x1.7 Persamaan Bernoulli-Reduksi menjadi Persamaan Linear

Persamaan yang berbentuk,

y' + p (x) y = g (x) ya

(1.26)

adalah persamaan Bernoulli, dimana a adalah bilangan riil sembarang. Jika a = 0 atau 1, maka pers. (1.26) adalah linear. Akan tetapi a 0 atau 1 maka pers.(1.26) non linear.

Untuk menyelesaikan persamaan (1.26), kita harus menentukan,

u' = y1-a

(1.27)

Setelah melakukan differensiasi persamaan (1.27) didapat,

u' = (1-a) y1-a y'

(1.28)

Dari persamaan (1.26),

u' = (1 a) y-a (g ya p y)

= (1 a) (g p y1-a)

= (1 a) (g p u)

= (1 a) g (1 a ) p u

u' + (1 a) p u = (1 a) g

Contoh 1.9Selesaikan persamaan : y' + y = y2Penyelesaian :

p = 1 ; g = 1 ; a = 2

( u = y1-a = y-1 =

u' u = -1 (

ln (u 1) = x + c1u 1 = c2 ex ( =c2 ex + 1

y =

1.8 Trayektori Ortogonal dari Rumpun Kurva

Jika diberikan suatu rumpun kurva, maka kita dapat menentukan rumpun kurva lainnya yang memotong secara tegak lurus dari rumpun kurva yang diberikan. Rumpun kurva tersebut dinamakan trayektori ortogonal dari rumpun kurva yang diberikan.

Jika suatu rumpun kurva diberikan oleh persamaan,

F (x, y, c) = 0

(1.29)

maka harus ditentukan persamaan differensial dalam bentuk :

y' = f (x, y) = 0

(1.29)

Persamaan (1.30) disebut juga kemiringan rumpun kurva pada persamaan (1.29).

Selanjutnya ditentukan harga c dari persamaan (1.29) dan kemudian dimasukkan ke persamaan (1.30). Kemiringan trayektori ortogonal adalah berbanding terbalik negatif dari persamaan (1.30), yaitu:

y' = -

(1.30)

Contoh 1.10

Gambarkan rumpun kurva serta trayektori ortogonal dari persamaan:

y = c x2Penyelesaian :

y = c x2 ( c =y/x2y' = 2 c x = y' + = 0

2y dy + x dx = 0

y2 + =c*

BAB II

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINEAR

ORDE KEDUA

2.1 Persamaan Linear Homogen

Suatu persamaan differensial orde kedua yang memenuhi persamaan

y" + p(x) y' + q (x) y = r (x)

(2.1)

disebut linear, jika tidak maka disebut non linear. Cirri khs persamaan (2.1) adalah linear pada fungsi y yang tidak diketahui dan turunannya. Sedangkan, p, q, dan r dapat merupakan fungsi sembarang dari peubah x. jika suku pertama pertama mempunyai bentuk f (x) y", maka harus kita bagi dengan (f(x) agar dapat dicapai bentuk standar seperti persamaan (2.1).

Jika r (x) pada persamaan (2.1) sama dengan nol maka,

y" p (x) y' q (x) y = 0

(2.2)

dan disebut homogen. Jika r (x) 0 maka dikatakan tak homogen. Sebagai contoh,

y" + 9 y = e-x cos x

adalah persamaan differensial homogen.

Suatu persamaan differensial orde kedua yang tidak dapat ditulis dalam bentuk persamaan (2.1) disebut persamaan differensial orde kedua tak linear. Sebagai contoh,

y" y + y' = 0

y" -

adalah persamaan-persamaan differensial orde kedua tak linear.

2.2 Persamaaan Linear Homogen dengan Koefisien Konstan

Persamaan,

y" + a y = b y = 0

(2.3)

adalah persamaan linear homogen dimana a dan b mempunyai harga yang konstan.

Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan (2.3) adalah dengan jalan menggunakan notasi operator D, dimana

D =

; D2 =

Oleh karena itu persamaan (2.3) dapat ditulis menjadi,

(D2 + a D + b) y = 0

(2.4)

Jika kita ganti D dengan r maka,

(r2 + a r + b) y = 0

(2.5)

Persamaan (2.4) (2.5) hanya dapat dipenuhi jika,

D2 + a D + b = 0

(2.6)

dan

r2 + a r + b = 0

(2.7)

Persamaan (2.7) disebut persamaan karakteristik dari persamaan (2.3).

Setelah ditentukan akar-akarnya, yaitu r1 dan r2, maka persamaan (2.7) dapat ditulis menjadi,

r2 + a r + b = (r-r1) (r-r2)

(2.8)

sedangkan persamaan (2.6) menjadi,

D2 + a D + b = (D r1) (D r2)

(2.9)

Berdasarkan persamaan (2.9), maka persamaan (2.4) dapat ditulis menjadi,

(D r1) (D r2) y = 0

(2.10)

Jika dimisalkan

( D r2) y = u

(2.11)

maka, menjadi persamaan (2.10( menjadi

( D r1) y = 0

(2.12)

Persoalan Nilai Awal

_945134130.unknown

_1272974854.unknown

_1272975885.unknown

_1272976964.unknown

_1272977185.unknown

_1272977946.unknown

_1272978072.unknown

_1272978789.unknown

_1272978815.unknown

_1272978078.unknown

_1272977975.unknown

_1272977384.unknown

_1272977813.unknown

_1272977244.unknown

_1272977093.unknown

_1272977137.unknown

_1272977006.unknown

_1272976145.unknown

_1272976423.unknown

_1272976639.unknown

_1272976178.unknown

_1272976039.unknown

_1272976095.unknown

_1272976033.unknown

_1272975518.unknown

_1272975775.unknown

_1272975865.unknown

_1272975645.unknown

_1272975091.unknown

_1272975121.unknown

_1272974897.unknown

_1272973338.unknown

_1272973680.unknown

_1272973779.unknown

_1272974795.unknown

_1272974810.unknown

_1272974690.unknown

_1272973715.unknown

_1272973410.unknown

_1272973548.unknown

_1272973366.unknown

_945134976.unknown

_1272973072.unknown

_1272973243.unknown

_1272973327.unknown

_1272973232.unknown

_945135980.unknown

_1272534858.unknown

_1272535358.unknown

_945136050.unknown

_945136065.unknown

_945136179.unknown

_945136236.unknown

_945136132.unknown

_945136051.unknown

_945135753.unknown

_945135851.unknown

_945135908.unknown

_945135930.unknown

_945135838.unknown

_945135710.unknown

_945135716.unknown

_945135743.unknown

_945135572.unknown

_945134453.unknown

_945134869.unknown

_945134949.unknown

_945134512.unknown

_945134312.unknown

_945134343.unknown

_945134178.unknown

_945130962.unknown

_945131533.unknown

_945131942.unknown

_945132010.unknown

_945134054.unknown

_945131982.unknown

_945131765.unknown

_945131906.unknown

_945131715.unknown

_945131301.unknown

_945131348.unknown

_945131490.unknown

_945131325.unknown

_945131145.unknown

_945131185.unknown

_945131116.unknown

_945122308.unknown

_945126848.unknown

_945130503.unknown

_945130765.unknown

_945130875.unknown

_945130604.unknown

_945127743.unknown

_945130183.unknown

_945130316.unknown

_945128333.unknown

_945128354.unknown

_945128002.unknown

_945127094.unknown

_945127235.unknown

_945127061.unknown

_945126053.unknown

_945126178.unknown

_945126202.unknown

_945126083.unknown

_945125475.unknown

_945125505.unknown

_945122348.unknown

_945121255.unknown

_945122195.unknown

_945122267.unknown

_945121751.unknown

_945121188.unknown

_945121232.unknown

_945119208.unknown