1 Flujo del campo elctrico

Ley de Gauss

El nmero de lneas de campo que atraviesan una determinada superficie depende de laorientacin de esta ltima con respecto a las lneas de campo.

dS~ es un vector de mdulo el elementode rea infinitesimal de la superficie,direccin perpendicular a la misma ysentido hacia afuera de la curvatura.

El flujo del campo elctrico es una magnitud escalar que se define mediante el productoescalar:

E=

S

dS~ .E~

Flujo del Campo Elctrico

El flujo (denotado como ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a unasuperficie hipottica que puede ser cerrada o abierta. Para un campo elctrico, el flujo ( E) se mide por el nmero de lneas de fuerza que atraviesan la superficie.

Para definir al flujo elctrico con precisin considrese la figura, que muestra una superficiecerrada arbitraria ubicada dentro de un campo elctrico.

La superficie se encuentra dividida encuadrados elementales S , cada uno delos cuales es lo suficientemente pequeocomo para que pueda ser considerado comoun plano. Estos elementos de rea pueden

ser representados como vectores S , cuyamagnitud es la propia rea, la direccin esperpendicular a la superficie y hacia afuera.

Flujo del Campo Elctrico

En cada cuadrado elemental tambin esposible trazar un vector de campo elctrico

E~ . Ya que los cuadrados son tan pequeoscomo se quiera, E~ puede considerarseconstante en todos los puntos de uncuadrado dado.

E~ y S caracterizan a cada cuadrado yforman un ngulo entre s. La figura

muestra una vista amplificada de doscuadrados.

El flujo, entonces, se define como sigue:

(1)E=

E~ S~

En el lmite:

(2)E=SE~ dS~

Ley de Gauss

Teorema 1. El flujo del campo elctrico a travs de cualquier superficie cerrada S es igual

a la carga Q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante 0

s

dS~ .E~ =Q

0

La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo elctrico se denominasuperficie gaussiana.

Angulo Slido

El ngulo slido que es subtendido por A sobre una superficie esfrica, se definecomo: =

A

r2siendo r el radio de la esfera.

Como el rea total de la esfera es 4r2 el ngulo slido para toda la esfera es:

=A

r2=

4pir2

r2=4 La unidad de este ngulo es el estereorradin (sr)

Si el rea A no es perpendicular a las lneas que salen del origen que subtiende a ,se busca la proyeccin normal, que es:

=A n r

r2=

A cos

r2

=S

R2

Figura 1. Para calcular el ngulo slido de un superficie, se proyecta el objeto sobre una esfera de radio

conocido R

Flujo debido a una carga puntual

Consideremos una carga puntual q rodeada por una superficie cualquiera S. Para calcular

el flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrarE~ n A para cada elementode rea de la superficie, para luego sumarlos. Usando la ley de Coulomb se tiene:

=E~ n A=kq

r2r nA=kq

De esta manera es el mismo ngulo slido subentendido por una superficie esfrica.como se mostr un poco ms arriba =4 para cualquier esfera, de cualquier radio.Alsumar todos los flujos que atraviesan la superficie queda:

=

S

E~ n dA=kq

0

4pi

d=4kq=q

0

Flujo de varias cargas puntuales

Recordemos que el campo elctrico satisface el principio de superposicin:

Si E~ i(x~ ) es el campo elctrico debido a una carga qi en el punto x~ , el campo elctricoen x~ debido a todas las cargas es:

E~ (x~ )=i

E~ i(x~ )

Lo mismo pasa con el flujo del campo elctrico a travs de una superficie S

=

S

dS~ .E~ (x~ )=

S

dS~ .i

E~ i(x~ )=i

i

Por lo tanto:

=i

i=1

0

i

qi

Implicancias

La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo elctrico dentro deuna jaula de Faraday(Un volumen V sin carga elctrica rodeado por una superficie conductoracerrada S).

El potencial en el interior del conductorcumple la ecuacin de Laplace: 2 =0 rV

Dado que el conductor est en equilibrioen su superficie no hay corrientes, demodo que el potencial en su superficie esconstante:|S=0. En virtud del teoremade unicidad del potencial el potencial quecumple tales condiciones es nico y puedeverse que la solucin es trivialmente: =0 rR. Por lo tanto E==0

De modo que el campo elctrico en el

interior del conductor es nulo.

Figura 2. Una Jaula de Faraday en el Deutsches

Museum.

Jaula de Faraday

Evitar el ruido molesto de las interferencias entre el telfono mvil y su altavoz.

Dejar sin seal: (telfonos mviles, mdems, etc.)

Evitar interferencias entre altavoces y una frecuencia de radio.

Lineas de fuerza

La ley de Gauss puede interpretarse,entendiendo el flujo como una medida delnmero de lneas de campo que atraviesanla superficie S. Para una carga puntualeste nmero es constante si la carga estcontenida por la superficie y es nulo si estfuera (ya que hay el mismo nmero de lneasque entran como que salen). Adems, alser la densidad de lneas proporcionales a lamagnitud de la carga, resulta que este flujoes proporcional a la carga, si est encerrada,o nulo, si no lo est.

Cuando tenemos una distribucin decargas, por el principio de superposicin,

slo tendremos que considerar las cargasinteriores, resultando la ley de Gauss.

Ambito de validez

Aunque la ley de Gauss se deduce de la ley de Coulomb, es ms general que sta, ya que setrata de una ley universal, vlida en situaciones no electrostticas en las que la ley de Coulombno es aplicable. Como tal forma parte de las Ecuaciones de Maxwell.

Forma diferencial de la ley de Gauss

Consideremos una densidad de carga (x) contenida al interior de un volumen V rodeadopor una superficie cerrada S.

La ley de Gauss se escribe como:

S

dS~ .E~ =

V

d3x~ .E~ =1

0

V

d3x(x)

Hemos usado el teorema de la divergencia para transformar el flujo del campo elctrico enuna integral de volumen. Como V es arbitrario, se sigue que:

~ .E~ (x~ )=(x)

0

Esta es la forma diferencial de la ley de Gauss. Es una de las ecuaciones de Maxwell.

Ejemplos

Campo elctrico de una carga puntualq.E =

q

4pi0r2. Superficie esfrica

centrada en q

=E(r)4r2=q

0E(r)=

q

40r2

Campo elctrico de una lnea infinita

cargada uniformemente con densidadlineal R: E=

2pi0r.

Figura 3. Superficie cilndrica centrada en el

alambre.

Densidad superficial de carga elctrica

Consideremos una superficie S que es la frontera entre dos regiones don de los campos

elctricos valen E~1y E~2 respectivamente. Sobre la superficie S hay una carga superficial decarga . Consideremos un cilindro infinitesimal cuyo manto es perpendicular a la superficie Sen un punto x~ , la tapa superior del cilindro est totalmente contenida en la regin 1 mientrasque la tapa inferior del cilindro est totalmente contenida en la regin 2. Ambas tapas tienerea A. El manto contenido en la regin 1 y 2 tiene longitud L y radio R. La normal al mantoes r . La normal a las tapas es n y n.

Aplicando la ley de Gauss al cilindro obtenemos:

cilindro

dS n.E~ = n.(E~1E~2

)A+ r .

(E~1+E~2

)2RLL0 n.

(E~1E~2

)A

n.(E~1E~2

)A=

A

0

Al cruzar una superficie S donde hay una densidad superficial de carga , la componente

normal del campo elctrico es discontinua: n.(E~1E~2

)=

0

Ejemplos

Se tiene un plstico conformado por unparaleleppedo recto de ancho d, quese extiende indefinidamente en las otrasdirecciones. En el volumen del plstico hayuna carga elctrica con densidad uniforme. Encuentre el campo elctrico en todo elespacio.

Es necesario distinguir dos situaciones:

a) -d/2

Ejemplos

CAMPO ELECTRICO EN LA SUPERFICIE DE UN CONDUCTOR

NOTA: Al interior de un conductor E~ =0~

=AE=A

0, E=

0

Ejemplos

Conductor aislado

E~ =0~ al interior del conductor, debido aF~ =0~ , en equilibrio electrosttico.

E~ tangencial a la superficie del

conductor=0~ , por la misma razn.

Slo existe la componente de E~ normala la superficie en cada punto.

Usando la ley de Gauss se muestra queno hay cargas al interior del conductor.Indic: Usar una superficie cerrada Sinfinitesimalmente cercana a la superficiedel conductor, pero sumergido en ste.

E~ =0~ en S.

Todas las cargas estn sobre la superficie

del conductor. Se tiene que n.E~ =

0

Figura 4. Superficie gaussiana al interior de un

conductor.

Aplicaciones Ley de Gauss

Esfera de radio R con distribucinuniforme de carga . Encontrar E~ .Tomemos como superficie gaussiana Suna esfera centrada en el origen, de radior(rR, con q=

4

3

Campo elctrico de un plano infinitocargado uniformemente con densidadsuperficial R: E =

20sign(z).

Figura 5.

Superficie cilndrica con tapas paralelasal plano. Las lineas de fuerza se alejandel plano por ambos lados.

Franja conductora infinita, cuyasuperficie exterior (dos planos paralelos)est uniformemente cargada condensidad superficial .

Usar la ley de Gauss directamente

Resolver primero el caso de un planoinfinito uniformemente cargado: E=

20sgn(z)

Usar el principio de superposicinpara encontrar la solucin alproblema original.

Un conductor con una cavidad

Figura 6. Un conductor

slido con una cavidad tiene una cargatotal Q. Al interior de la cavidad y aisladadel conductor hay una carga puntual q.

Encontrar :

1. La carga q1 contenida en la superficieinterior del conductor. Usemos lasuperficie gaussiana punteada de la fig.6. El flujo del campo elctrico sobre lasuperficie es nulo (E=0). Por lo tanto:q+ q1=0, q1=q.

2. La carga q2 contenida en la superficieexterior del conductor.q2+ q1= Q, q2=Q q1=Q+ q.

Campo elctrico de la Tierra

La Tierra es un conductor, que en su superficie tiene un campo elctrico cuyo valor medio esE= 150N/C y est dirigido hacia el centro de la Tierra. Encontrar:

1. La densidad superficial de carga de la Tierra.

= 0E~ .r =0E=1.33 109C/m2

2. La carga elctrica total Q contenida en la superficie de la Tierra. El radio de la Tierra esR= 6.38 106m

Q=4R2=6.8 105C

El nmero de electrones en exceso en la superficie de la Tierra es N =Q

e= 4.2 1024,

recordando que e = 1.6 1019C. Este exceso de carga es compensado por unadeficiencia igual de electrones en la alta atmsfera, de tal manera que la Tierra y suatmsfera es elctricamente neutra.

Verificacin experimental de la ley de Gauss

Figura 7. Una pelota conductora cargada con una

carga positiva, en presencia de un balde conductor

Figura 8. La esfera conductora se baja al interior del

balde. Induce sobre l cargas positivas y negativas.

Figura 9. La pelota conductora entra en contacto

con la pared interior del balde. Toda su carga se

transfiere al balde. Slo hay carga en la pared

exterior del balde

En este experimento se verifica la ley deGauss, midiendo la carga contenida alinterior del balde conductor.

Figura 10. Versin moderna del experimento de

Faraday del balde conductor.

Un generador de voltaje se aplica a lapared exterior de la esfera conductora. Unelectrmetro, que mide la carga elctrica,se conecta a la pared interior de la esferaconductora. A medida que crece el voltaje enla pared exterior de la esfera, el electrmetropermanece sin cambios, mostrando queno hay carga en la pared interior.Esteexperimento permite verificar la ley deGauss y por ende la ley de Coulomb conprecisin extrema. Se encuentra que la ley deCoulomb depende de

1

r2(1+). Con

Figura 11. Campo elctrico creado por una celda

de Faraday. El campo elctrico en la zona interior

al conductor se anula.

Figura 12. La celda de Faraday protege a la persona

al interior de la celda de voltajes extremadamente

altos en el exterior.

Ver Faraday_cage_-_FISL_14_-_2013-07-03

VandeGraaff

Figura 13. Generador Electrosttico de Van De

Graaff.

Dos rodillos conectados por una bandaaislante permiten transportar carga desde laregin inferior donde se sacan electrones dela banda, con lo cual sta queda cargadapositivamente. En el rodillo superior, labanda entra en contacto con la superficieconductora, que recibe una carga positiva.

A una distancia R de una carga puntual el campo elctrico es E0. A qu distancia de la cargael campo elctrico es

1

3E0?