tilauserän€koon€optimointi€eoqmallin...
TRANSCRIPT
TEKNILLINEN KORKEAKOULU
Systeemianalyysin laboratorio
Mat2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö
Tilauserän koon optimointi EOQmallin
avulla huomioiden myös paljousalennukset ja
tilarajoitteet
Petri Holappa
67793B
Espoo, 28. Marraskuuta 2007
1
SISÄLTÖ
1. JOHDANTO .................................................................................................. 2
2. TILAUSPISTE ................................................................................................. 3
3. OPTIMAALINEN TILAUSERÄN KOKO ............................................................ 6
3.1 YLEINEN EOQMALLI ..................................................................................... 6
3.2 EOQ JA MÄÄRÄALENNUS .............................................................................. 11
3.3 EOQ JA TILARAJOITTEET ................................................................................ 14
4. EOQMALLIN HERKKYYSANALYYSI ............................................................. 15
4.1 POIKKEAMINEN OPTIMIERÄKOOSTA .................................................................. 15
4.2 KULUJEN KASVAMINEN ................................................................................. 16
4.3 PARAMETRIEN MUUTTUMINEN ....................................................................... 17
5. TULOKSET .................................................................................................. 19
6. YHTEENVETO ............................................................................................. 23
7. LÄHDELUETTELO ........................................................................................ 25
2
1. Johdanto
Teollisuuden tukkuliikkeiden katteet ovat pienentyneet viime vuosina. Tähän on
vaikuttanut useat toimijat alalla ja voimakas kilpailu asiakkaista. Pienentyneiden
katteiden vuoksi teollisuuden tukkuliikkeissä on kiinnitettävä yhä enemmän huo
miota siihen, miten yritys saadaan kilpailukykyisemmäksi toimialallaan. Samalla
kun nimikkeiden myyntihinnat laskevat tai ainakin pysyy nykyisellä tasollaan,
voittoa on lähdettävä kasvattamaan karsimalla toimitusketjussa syntyviä kustan
nuksia palveluasteen kuitenkaan heikentymättä.
Kustannuksia toimitusketjussa voi karsia monella eri tavalla. Tässä työssä keskity
tään yhteen toimitusketjun osaalueeseen – ostoon. Optimoimalla ostoerien koot
saadaan suoraa kustannussäästöä toimitusketjussa. Voidaan pitää myös yleisenä
sääntönä, että oston ostaessa nimikkeitä oikeaan aikaan ja optimaalisen määrän
yrityksen palveluaste ja asiakastyytyväisyys tulevat kasvamaan (Stevenson,
2005).
Teollisuuden tukkuliikkeessä x, jonka dataa on hyödynnetty tässä työssä, tuli tar
vetta optimaalisen tilauserän määrittelemiselle, koska tällä hetkellä kyseisellä yri
tyksellä ei ole määritelty tarkempiin laskelmiin perustuvaa tilauserän kokoa ostet
taessa nimikkeitä. Tässä työssä pyritään löytämään optimaalinen tilauserän koko
hyödyntäen EOQmallia ja samalla otetaan huomioon määräalennukset sekä tila
rajoitteet.
3
2. Tilauspiste
Jotta pääsee optimoimaan tilauserän kokoa, täytyy selvittää miten ja milloin tila
ustarve syntyy. Silloin kun tilaustarve syntyy, ostetaan ostoerän Q verran nimik
keitä. Seuraavissa kappaleissa selitetään optimaalinen päätösmuuttuja Q siten, että
kokonaiskustannukset minimoituvat ja samanaikaisesti otetaan huomioon tilara
joitteet.
Tutkimuksen kohteena olevalla teollisuuden tukkuliikkeellä x on tällä hetkellä
käytössä oston välineenä tilauspistejärjestelmä. Nimikkeen saldon laskiessa alle
kyseisen nimikkeen tilauspisteen, kyseiselle nimikkeelle syntyy ostoehdotus. Os
taja käsittelee näitä tilauspisteen alittaneita ja siten ostoehdotuksen omaavia ni
mikkeitä esimerkiksi toimittajakohtaisesti kerran viikossa tai tapauskohtaisesti
(Tekninen tukkuliike, 2007). Tilattavat nimikemäärät ostaja päättää itse perustaen
päätöksensä kyseisen nimikkeen aiempaan menekkiin ja omaan kokemukseensa.
Tilauspisteet on määritelty tutkittavassa yrityksessä varastoohjautuville nimik
keille (Tekninen tukkuliike, 2007). Tilauspisteen hyödyntäminen on sellaista, jos
sa siirrytään kiinteästä tilausvälistä vaihtelevaan tilausväliin. Tällaisen tilaustavan
käyttö on perusteltua yrityksessä, jossa eri nimikkeitä on paljon ja useiden nimik
keiden menekki on suhteellisen vaihtelevaa (Tuominen, 2005).
Yrityksen käyttämässä toiminnanohjausjärjestelmässä varastoohjautuville nimik
keille on määritelty tilauspiste seuraavan kaavan mukaisella tavalla (Tekninen
tukkuliike, 2007):
ctbkak pl ++30
)( , jossa (1)
a = lyhyen ajan kulutuksen kerroin
b = pitkänajan kulutuksen kerroin
kl = lyhyen ajan kulutus (kpl)
kp = pitkän ajan kulutus (kpl)
4
t = hankintaaika (tilauksen tekemisestä nimikkeen ollessa varaston saldoilla ku
luva aika päivissä)
c = varmuusvarasto, puskurivarasto
Tersine tuo kirjassaan esille, että vaihteleva kysyntä ja kiinteä hankintaaika ovat
usein realistinen toteuma. Tämä on havaittavissa myös tutkimuksen kohteena ole
vassa yrityksessä. Kun hankintaajan vaihtelu on pientä keskimääräiseen hankin
taaikaan verrattuna, voidaan hankintaajan olettaa olevan vakio (Tersine R. J.,
1982).
Varmuusvarastoa ei tarvita silloin, jos tiedetään varmuudella menekin ja hankinta
ajan olevan vakioita. Tällöin uuden varastotäydennyksen saapuessa viimeiset
kappaleet tätä kyseistä nimikettä on juuri myyty varastosta. Perinteiset varasto
mallit usein olettavat, asian olevan tällä tavalla. Käytännön elämässä suurimmassa
osassa tapauksista on kuitenkin pidettävä jonkinlaista varmuusvarastoa, jotta
riittävä palveluaste saavutettaisiin. Tilauspisteellä ja varmuusvarastolla
pyritäänkin minimimoimaan varastoinnista ja varaston loppumisesta syntyvät
kulut. Varmuusvaraston kasvaessa varastointikustannukset tulevat nousemaan,
mutta toisaalta samanaikaisesti varaston loppumisesta syntyvät kustannukset
tulevat pienenemään. Varastontavaran loppumisen riski ajoittuu pääsääntöisesti
hankintaajan tienoille. Siten hankintaaika tulisi pystyä identifioimaan
mahdollisiman tarkasti (Tersine R. J., 1982).
Kuviossa 1 on havainnollistettu klassista varastomallia. Tästä kuviosta selviää
pääpiirteittäin, miten varastosaldon tulisi käyttäytyä pidemmällä aikavälillä yksit
täisen nimikkeen osalta (Tersine R. J., 1994).
5
Kuvio 1
Kuvion 1 avaintiedot:
Q = Eräkoko
2Q = Keskimääräinen varaston koko
a, c, e = Tilauspiste
VV = Varmuusvarasto
ac = ce = Aikajakso tilausten välillä
ab = cd = ef = hankintaaika
6
3. Optimaalinen tilauserän koko
Optimaalisen tilauserän kokoa on tutkittu paljon. Perusmallina voidaan pitää
Economic Order Quantity (EOQ)mallia, jonka kehitteli ja julkaisi F. W. Harris
vuonna 1915. EOQmalli on tunnettu myös neliöjuurikaavana (Virtanen, 2001) ja
Wilsonin kaavana (Sakki, 1999). EOQmallin kaavaa on tosin arvosteltu sen tu
loksen tarkkuudesta, koska käytännössä EOQmallin avulla saatu optimaalinen
tilauserä koko voidaan parhaassa tapauksessa joutua jakamaan kolmella oikean
tuloksen saamiseksi (http://www.uku.fi/avoin/tuta/j4_sisallys.htm, 2007). Jotkut
ovat jopa kyseenalaistaneet koko EOQ:n käytön ja väittävät sen menettäneen
käytettävyytensä (Woolsey, 1988).
Nimikkeiden vuosittainen kysyntä on joko determinististä tai stokastista. Deter
ministisessä kysynnässä etukäteen tunnettu kysyntä voi olla tasaista, monotonises
ti muuttuvaa eli staattista tai esimerkiksi dynaamista kausivaihtelua sisältävää.
Stokastinen kysyntä on taas satunnaisuutta sisältävää (Virtanen, 2001). Taha käyt
tää stokastisesta kysynnästä hieman lievempää nimitystä eli todennäköistä kysyn
tää (Taha, 2007). EOQmalli antaa kaikesta kritiikistä huolimatta hyvän lähtökoh
dan ja approksimaation siitä, minkä verran tulisi kutakin nimikettä tilata kummas
sakin tapauksessa (Tersine R. J., 1982).
Yksinkertaistettua EOQmallia joudutaan usein laajentamaan esimerkiksi ottamal
la tilarajoitteet, paljousalennukset tai puutekustannukset huomioon. Esimerkiksi
varastoon ei useinkaan mahdu kerralla niin paljon tuotteita, mitä perus EOQ
mallilla saatu optimaalinen tilauserän koko antaisi olettaa tilattavaksi. (Virtanen,
2001).
Määriteltäessä optimaalista tilauserän kokoa on huomattava, että tilaus ja toimi
tuserän koot tarkoittavat eri asioita (Sakki, 1999). Kuitenkin käsiteltävänä olevas
sa yrityksessä on ollut tapana pitää toimituserän kokona tilauserän kokoa. Tämän
vuoksi tässä työssä tilaus ja toimituserän oletetaan olevan yhtä suuria.
3.1 Yleinen EOQmalli
7
Optimaalinen tilauserän koko heijastuu kuljetus ja tilauskustannusten tasapai
noon. Tilauserän koon vaihdellessa yhden tyyppinen kustannus laskee, kun taas
toisentyyppinen nousee mutta ei samassa suhteessa. EOQmallissa pyritään löy
tämään näille tasapaino. Esimerkiksi tilauserän koon ollessa pieni vuosittaiset
hallinnointikustannukset ovat suhteellisen pienet, mutta pienten tilauserien vuoksi
kuljetustiheys nousee, joka taas nostaa vuosittaisia tilauskustannuksia. Ja vastaa
vasti voidaan ajatella esimerkki toisin päin: tilauserän koon kasvaessa vuosittaiset
tilauskustannukset pienenevät, mutta hallinnointikustannukset taas kasvavat. Näin
ollen ideaalitilanne löytyy jostakin näiden välimaastosta (J.Stevenson, 2005).
EOQperusmallin olettamukset (Virtanen, 2001) (Stevenson, 2005) (Taha, 2007):
Pelkistykset ja rajaukset
täydennykset kertasuorituksina (täydennysnopeus = )
toimitusaika vakio (voidaan olettaa = 0, vrt. ennakointi)
pitkä suunnittelukausi
yksi varastoitava tuote
ei tilarajoituksia
osto ja myyntihinnat vakioita (esimerkiksi paljousalennuksia)
puutetta ei sallita
Mallin parametrit
[ ]v
kplD = , kysyntä D on tunnettu ja vakio
[ ]kpl
P €= , nimikkeen yksikkökohtaiset hankintakustannukset P
[ ]v
F %= , ylläpitokustannusten tekijä F, (yleensä 10–15% hankintakustan
nuksista, vaikkakin voi saada arvoja väliltä 0:sta 1:een)
[ ] vkpl
H €= , varaston ylläpitokustannus H = P*F on vakio
8
[ ]erä
C €= , tilauskustannus C on vakio ja tilausmäärästä riippumaton
Mallin päätösmuuttujat
[ ] kplQQ =*, , tilauserän koko Q ja optimieräkoko Q* on vakio
[ ] vT = , tilausväli T, määräytyy kysynnän ja eräkoon perusteella (ts. vaih
toehtoinen riippumaton päätösmuuttuja q:lle)
Kokonaiskustannukset = hankintakustannukset + tilauskustannukset + ylläpito
kustannukset:
2)( PFQ
QCDPDQTC ++= (2)
Optimaalinen tilauserän koko löytyy derivoitaessa kustannusfunktio tilausmäärän
suhteen:
0)2
()(=++=
PFQQ
CDPDdQd
dQQdTC (3)
Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisuksi saadaan:
02 2 =−
QCDPF (4)
Ratkaistaan Q, jolloin optimaaliseksi tilauserän kooksi saadaan:
HCD
PFCDQ 22* == (5)
EOQmallia käytetään identifioimaan kiinteä tilauserän koko. Tällä tavalla pääs
tään minimoimaan vuosittaisten kustannusten summa niin hallussapito kuin tila
uskustannustenkin osalta. Nimikkeen yksikköhankintahintaa ei yleensä sisällytetä
kokonaiskustannuksiin, koska yksikkökustannukset ovat muuttumattomia tilaus
kokoon nähden niin kauan, kun määräalennukset eivät ole tekijänä (Stevenson,
2005).
EOQmallin käyttö tilauserän optimoinnissa on nykyään heikentynyt. Huolimatta
varastoriskeistä näyttää siltä, että EOQmalli on kuitenkin parempi kuin esimer
9
kiksi QuickResponsemalli. EOQmallin paremmuus syntyy siitä, että se optimoi
kokonaiskustannukset, kun taas QRmalli keskittyy ainoastaan minimoimaan hal
lussapitokustannukset (Zinn & Charnes, 2005).
Hallussapito ja tilauskustannukset sekä vuosittainen menekki ovat tyypillisem
min esimerkiksi tilintarkastuksesta estimoituja arvoja kuin tarkkoja arvoja. Hal
lussapitokustannukset ovat useimmin arvioitu liikkeenjohdollisesti kuin laskettu.
On huomioitava, että EOQmalli on pikemminkin suuntaa antava kuin tarkka ar
vo. Näin ollen lasketun arvon pyöristäminen on täysin hyväksyttävä keino. Saatu
tulos on yleensä suhteellisen lähellä todellista optimaalista tilauserän kokoa. Pyö
ristys huomioonottaen on usein hyvin perusteltua kasvattaa tilauserän kokoa, kos
ka kokonaiskustannukset eivät kasva kovinkaan jyrkästi tilauserän koon kasvaessa
EOQkaaviossa (Stevenson, 2005).
Tilauskustannukseen sisällytetään tilauksen teosta aiheutuva kertakustannus eli
tilauskustannukset on määritelty sisältämään kaikki välittömät kustannukset, jotka
liittyvät tiettyyn nimikkeeseen. Seuraavassa on määritelty tarkemmin tilauskus
tannuksia (Zinn & Charnes, 2005) (Piasecki, 2006):
lähetekustannukset
lähetyksen vastaanottokustannukset
varastoon hyllyttämisen kustannukset
laskun käsittelyn kustannukset
rahdin ja rahdintarkistuskustannukset
laskutuksen käsittelykustannukset
vastaanotetun tavaran tarkistamiskustannukset
myyjänpalkkiot
Rahdin kustannukset on kuitenkin äärimmäisen hankala selvittää, joten siksi ehdo
tetaan, että ne otetaan huomioon vain, jos ne on merkittävä osa tilausta (Piasecki,
2000,2001).
Tilauskustannuksiin ei sisällytetä (Piasecki, 2000,2001):
10
materiaalien pakkaamiseen käytetty aika
kuorman purku
edelleenkuljetus seuraavalle osastolle
ennusteiden tutkiminen
valmistuskomponenttien hankkiminen
tarjousten hankinta (ellei hankita tarjousta jokaisen tilauksen yhteydessä)
uusien nimikkeiden asettaminen näytteille.
Piaseckin mukaan tehokkain tapa määritellä tilauskustannukset on laskea
prosenttiosuus kunkin yksikön käyttämästä ajasta määritellyihin toimintoihin ja
kertomalla tämä prosenttiosuus niihin käytetyillä työvoimakustannuksilla
esimerksi kuukauden ajalta. Saatu luku jaetaan sitten käsitellyillä tilausmäärillä ja
tästä saadaan tilaukselle hinta (Piasecki, 2006).
Parmetrin H selvittämiseksi määritellään varaston ylläpitokustannukset, jotka
sisältävät (Virtanen, 2001) (Piasecki, 2006):
pääomakustannukset
varastointikustannukset
käsittelykustannukset
pilaantumisen kustannukset
hävikin kustannukset
verot ja vakuutukset
Varaston ylläpitokustannuksiin ei pidä lisätä sellaisia kustannuksia, jotka eivät
muutu nimikemäärän muuttuessa eli huomioon otetaan vain varastotason mukaan
muuttuvat kustannukset. Ylläpitokustannuksiin ei lisätä keräilypaikkojen kustan
nuksia vaan ainoastaan reservipaikkojen kustannukset. Vaihtuvat varastopaikat
otetaan mukaan kustannuksiin, mutta lähetys ja vastaanottopisteiden kustannuk
sia ei ole yleensä lisätty ylläpitokustannuksiin (Piasecki, 2006).
11
Varaston kustannukset tuotteen hinnasta voidaan jaotella karkeasti seuraavalla
tavalla (Tuominen, 2005):
Varastotoiminnat
o Tilauskustannukset 15 %
o Työkustannukset 15 %
o Varastotekniikan kustannukset 28 %
o Hallintokustannukset 12 %
Pääomakustannukset
o Tuotteisiin sidotun pääoman kustannukset 12–25 %
Häviökustannukset
o Hävikkikustannukset 25 %
o Puutekustannukset 15 %
Yhteensä tavaran arvosta 2055 %.
3.2 EOQ ja määräalennus
Toimittajan tarjotessa nimikkeistä paljousalennuksia kasvavien tilauserien johdos
ta, ostajan tulisi hyödyntää pienentynyt hankintahinta parhaansa mukaan ja näin
ollen keskittyä useimmissa tapauksissa tilaamaan kerralla aikaisempaa suurempia
eriä. Kasvaneiden tilauserien kokojen johdosta keskimääräinen varastosaldo tulee
kohoamaan, mutta kokonaiskustannukset tulevat oletettavasti pienenemään. Osta
jan tehtäväksi jääkin minimoida kokonaiskustannukset (Kuvio 2), jotka koostuvat
kuljetus, tilaus – ja ostamiskustannuksista (Stevenson, 2005).
Perus EOQmalli ei ota huomioon nimikkeen yksikkökohtaisia hankintakustan
nuksia. Perustelu tälle löytyy siitä, että oletusarvoisesti määräalennuksia ei ole,
joten nimikkeen yksikköhinta on sama kaikille tilausmäärille. Ottamalla hankinta
kustannukset mukaan tarkasteluun optimaalinen tilauserän koko pysyy samana.
Ainoastaan kustannusmääräkoordinaatistossa optimaalisen tilauserän kustannuk
set nousevat kappalemäärä kertaa nimikkeen yksikköhinta (Stevenson, 2005)
(Kuvio 2).
12
Kuvio 2
Otettaessa nimikekohtaiset määräalennukset huomioon, jokaiselle nimikkeen eri
yksikköhinnalle tulee oma käyränsä kustannusmääräkoordinaatistoon ja sitä
myötä jokaiselle yksikköhinnalle tulee oma optimaalinen tilauserän koko. On kui
tenkin havaittava se seikka, että jokaisella nimikkeen eri yksikköhinnalla on käy
tettävissä vain osa piirretystä käyrästä. Kuljetuskustannusten ollessa vakio kaikille
nimikemäärille, on olemassa vain yksi minimipiste, joka on kaikille nimikkeen
yksikköhinnoille sama. Kuljetuskustannusten ollessa prosentuaalinen osuus tila
uksen nimikemäärästä, jokaisen yksikköhinnan muodostamalla käyrällä on oma
optimaalinen tilauserän koko. Pienemmät yksikköhinnat merkitsevät pienempiä
kuljetuskustannuksia nimikettä kohdin ja siten suurempia tilauserien kokoja
(Stevenson, 2005).
Toimintatapa, kun kuljetuskustannukset pysyvät muuttumattomina riippumatta
tilauserän koosta (Stevenson, 2005) (Virtanen, 2001) (Sahu, 2003):
1. MääritetäänHCDQ 2
0 = (6)
2. Lasketaan
DQpHQQCDQTCTC )(
2)( 0
0
000 ++== (7)
DpHQQCDQTCTC i
i
iii 12)( +++== (i=1,2,… , n1) (8)
13
3. Verrataan kokonaiskustannuksia. Optimaalinen Q on se, jolla TC on pie
nin kohdassa 2. Vain yhdellä yksikköhinnalla on minimikohta, joka osuu
omalla käyrällään toteuttamiskelpoiseen kohtaan, jossa eri käyrien toteut
tamiskelpoiset kohdat eivät voi osua päällekkäin. Identifioidaan tämä alue.
a. Jos toteuttamiskelpoinen minimikohta osuu edullisimman yksikkö
hinnan omaavalle käyrälle, tämä on optimaalinen tilauserän koko.
b. Jos toteuttamiskelpoinen minimikohta on jonkun toisen yksikkökus
tannuksen omaavan toteuttamiskelpoisella käyrän alueella, laske
taan kokonaiskustannukset kyseisessä kohdassa ja kaikissa alem
man yksikköhinnan taitekohdissa (minimierä, jolla nimike saadaan
kyseiseen hintaan). Tämän jälkeen verrataan kokonaiskustannuk
sia; alhaisimman kokonaiskustannuksen saavuttama tilauserän ko
ko on optimaalinen tilauserän koko.
Toimintatapa Stevensonin mukaan, kun kuljetuskustannukset ovat prosentuaali
nen osuus nimikkeen kappalemäärästä (Stevenson, 2005)(Kuvio 3):
1. Aloitetaan nimikkeen halvimmasta yksikkökustannushinnasta laskemalla
tälle optimaalinen tilauserän koko. Saatua optimaalista tilauserän kokoa
verrataan kyseisen hinnan muodostaman käyrän käytettävissä olevaan alu
eeseen. Jos optimaalinen tilauserän koko ei osu käytettävissä olevaan alu
eeseen, jatketaan seuraavaksi halvimman yksikkökustannuksen omaavan
käyrän laskemista ja taas verrataan onko saatu tulos käytettävällä alueella.
Tätä jatketaan niin kauan, että löydetään toteuttamiskelpoinen kohta.
2. Jos minimikohta alhaisimmalle yksikkökustannushinnalle on toteuttamis
kelpoinen, tämä on optimaalinen tilauserän koko. Jos minimikohta ei ole
toteuttamiskelpoinen alhaisimmalla yksikköhinnalla, toteuttamiskelpoisen
hinnan minimikohdan kokonaiskustannuksia verrataan kaikkien alempien
hintojen rajahintoihin. Määrä, joka antaa alhaisimmat kokonaiskustannuk
set, on optimaalinen tilauserän koko.
14
Kuvio 3
3.3 EOQ ja tilarajoitteet
Lagrangen kertojamenetelmää käytetään usein, kun EOQmallia laajennetaan
tilarajoituksilla. Tämän mallin olettamukset ovat samat kuin EOQperusmallin
olettamukset, mutta varastoitavia nimikkeitä oletetaan olevan kaksi tai useampi ja
varastotila voi osoittautua optimipolitiikkaa rajoittavaksi tekijäksi. Jos saadut op
timaaliset ostoerät eivät täytä tilarajoitusehtoa, ns. sidottu ääriarvo joudutaan et
simään Lagrangen kertojamenetelmällä. Käytettäessä Lagrangen kertoja
menetelmää yhtälöryhmien laskutoimituksista tulee verraten monimutkaisia
(Virtanen, 2001)(Alstrøm, 2001) (Sahu, 2003).
Lagrangen kertojamenetelmää ei sovelleta tässä työssä, koska varaston tilarajoite
käsiteltävässä yrityksessä x on määrätty lavapaikkakohtaisesti ja yhdelle lavapai
kalle laitetaan vain yhtä nimikettä eli eri nimikkeet eivät siten voi kilpailla toisille
nimikkeille varatusta varastotilasta. Optimiostoerä voi siten löytyä joko optimaali
sen ostoerän koon kohdalta, jos se alittaa lavapaikan koon tai optimiostoerä voi
olla vaihtoehtoisesti täysi lavallinen silloin, jos saadaan paljousalennus ostettaessa
vähintään lavallinen kerralla.
Varaston tilarajoite ei ole aivan absoluuttinen. Esimerkiksi, jos nimikkeelle vara
tulla paikalla on uuden erän saapuessa vielä nimikkeitä, saapuva erä siirretään ns.
reservipaikalle. Lava siirretään myöhemmin reservipaikalta keräilypaikalle keräi
lypaikan saldon mennessä nollaan.
15
4. EOQmallin herkkyysanalyysi
Herkkyysanalyysin tehtävänä on tarkastella kuinka virheellisesti syötettyjen pa
rametrien arvot vaikuttavat lopputulokseen. Annettaessa laajalla skaalalla para
metrien arvoja mallin voidaan todeta olevan virheellinen tai ainakin vähintään
puutteellinen, jos annetut arvot eivät heilauta ulostuloa kovinkaan paljon. Vastaa
vasti pienten muutosten aiheuttaessa huomattavaa vaihtelua ulostulossa, voidaan
sanoa mallin olevan herkkä. EOQperusmalli olettaa vuosittaisen tarpeen D, hal
lussapitokustannuksien H ja tilauskustannusten C olevan deterministisiä ja ilman
vaihtelua. Virheet näiden parametrien identifioinnissa tulee aiheuttamaan mahdol
lisesti suuriakin virheitä lopputulokseen (Tersine R. J., 1994).
Herkkyysanalyysillä voidaan myös luoda mahdollisia skenaarioita optimaalisen
tilauserän määrittelemisessä. Parametrien arvot voivat vaihdella yllättävästi vuo
den aikana ja niissä voi muutenkin olla epätarkkuutta mahdollisten estimointivir
heiden vuoksi. Näiden syiden vuoksi herkkyysanalyysi on välttämätön, jotta voi
daan varmistua edes jollain tavalla tulosten oikeellisuudesta ja niiden mahdollises
ta käytettävyydestä optimaalisen tilauserän määrittelyssä.
Optimaalisen tilauserän määrittelyssä tulee ottaa huomioon yleiset olosuhteiden
määräämät rajoitukset. Rajoituksia voi tulla esimerkiksi tilanpuutteen, kuljetusten
suorituskyvyn tai pakkausrajoitteiden osalta (Tersine R. J., 1994).
4.1 Poikkeaminen optimieräkoosta
Tilaus ja ylläpitokustannukset tulevat kasvamaan Virtasen mukaan seuraavasti,
jos tilauserän kooksi Q0:n sijasta valitaankin Q’= Q0:
HQQ
CDQTC21)( += (9)
===
=
000
0
2)(
2
HQCDHQTCTCHCDQ
(10)
Ratkaistava: TC’= TC0; = TC’/TC0
16
+=
+=
+=+=+=
+=+
==
αα
β
121'
'21
'21
'21'
21
'2
2'
21
2'
'21
'
'''
0
0
0
0
00
0000
QHCD
hCDHQ
CD
QHQCD
HQ
HQQ
CD
TCTC
(11)
Mallin ratkaisusta on laskettavissa, että tilaus ja ylläpitokustannukset tulevat nou
semaan 8 %, kun eräkoko kasvaa 50 % ja vastaavasti kustannukset nousevat
25 %, kun eräkoko pienenee 50 %. Malli on huomattavasti herkempi poikkeamille
optimiratkaisuista alaspäin kuin ylöspäin. Tämä johtuu tavoitefunktion laakeudes
ta optimiratkaisun oikealla puolella (Virtanen, 2001).
Tulokset ovat yleispäteviä EOQmallille, koska ne eivät riipu ollenkaan paramet
rien K, D ja H arvoista. Toisaalta on huomioitava, että herkkyysanalyysi pätee
vain optimin välittömässä läheisyydessä (Virtanen, 2001).
4.2 Kulujen kasvaminen
Edellä olevista kaavoista on esimerkiksi laskettavissa ääriarvot, joiden välillä tila
userän koko voi vaihdella siten, että tilaus ja ylläpitokustannukset nousevat mak
simissaan 10 % optimista (Virtanen, 2001):
+=
αα 1
21
0TCTC (12)
Vaatimus:
PpTCTC
=
+≤
1001
0
(13)
Saadaan rajaluku P:lle:
P=
+
αα
121 |2 (14)
17
0122 =+− αα P (15)
12 −±= PPα (16)
ð
12
0
−±= PPQQ
−+=
−−=
02
2
02
1
1
1
qPPQ
qPPQ(17)
P=1.10
=−+=
=−−=
54.1110.110.1
64.0110.110.1
02
2
02
1
QQ(18)
Eräkoko saa kasvaa korkeintaan 54 % tai laskea korkeintaan 36 % optimista, jotta
kokonaiskustannukset eivät ylittäisi 10 %.
4.3 Parametrien muuttuminen
EOQmallia voidaan myös tarkastella siten, että kuinka paljon optimaalinen erä
koko tulee muuttumaan, kun jotakin mallin parametreista C, D tai H muutetaan
toisten pysyessä muuttumattomana (Virtanen, 2001). Tällainen tarkastelu on hyö
dyllistä esimerkiksi tilanteessa, jossa on hankala ennustaa kysyntää tai mallin pa
rametrien määrittelyt ovat hieman virheellisiä.
Pienille (infinitesimaalisille) muutoksille pätee (Virtanen, 2001): D/D dD/D
Saadaan:
( )00
0
0
000
// QE
QD
dDdQ
QD
DQ
DDQQ
D=≈∆∆
=∆
∆ (19)
( )0QED tarkoittaa Q0:n joustoa D:n suhteen. Tästä käytetään myös nimitystä erä
koon kysyntäjousto.
Kun kaavaan 19 sijoitetaan
18
HCDQ 2
0 = (20)
ja
HC
HCDdD
dQ 222
10 = (21)
EOQmallin kysyntäjoustoksi saadaan:
21
2
2
21
222
2)(0
00 ====
HCDHCD
HCDD
HCDH
CqD
dDdqqED (22)
Havaitaan, että optimaalisen ostoerän suhteellinen muutos on vakio ja likiarvoi
sesti puolet D:n suhteellisesta muutoksesta. Malli pitää paikkaansa sitä paremmin
mitä pienempi suhteellinen muutos on. Esimerkiksi, jos kysyntä D nousee kym
menen prosenttia, niin optimaalinen tilauserän koko kasvaa likimain 5 %. Sama
kysyntäjousto saadaan myös parametrin C arvon muutoksille. Parametrin H koh
dalla eräkoon kysyntäjoustoksi sen sijaan saadaan 0.5. Tämä tarkoittaa sitä, että
tilaus ja ylläpitokustannusten vähentyessä esimerkiksi 10 % optimaalinen eräko
ko kasvaa 5 % (Virtanen, 2001).
19
5. Tulokset
Optimaalisen ostoerän määrittelyä varten yrityksen x tietokannasta on otettu pieni
määrä dataa sellaisten nimikkeiden osalta, joiden hankinnassa on käytössä pal
jousalennus. Näillä nimikkeillä kuljetuskustannukset pysyvät muuttumattomina
riippumatta siitä, kuinka paljon nimikkeitä tilataan. Tämän vuoksi optimaalisen
tilauserän määrittelyssä on lähdetty liikkeelle kaavojen 6, 7 ja 8 mukaan.
Käsiteltävänä olevan yhtiön EOQmalliin tarvittavien parametrien arvoiksi esti
moitiin seuraavat luvut:
[C] 30€/tilaus ja keskimäärin 7,50€/rivi
[F] 12,5 % (Luvussa ei ole otettu huomioon tuotteisiin sidotun pääoman kustan
nuksia)
Taulukossa 1 on lueteltuna laskelmissa käytettyjen lyhenteiden kuvaukset.
P1 Nimikkeen hinta €/kplP2 Nimikkeen hinta €/kpl paljousalennuksinL Lavakoko kplD Vuosittainen menekki kplEOQ1 Optimiostoerä ilman alennuksiaEOQ2 Optimiostoerä alennushinnallaPS PakkauskokoIC NimiketunnusTC0 Kokonaiskustannukset ilman paljousalennuksiaTC1 Kokonaiskustannukset paljousalennuksillaTC2 Kokonaiskustannukset lavoittain ostettunaSC0 Tilaus ja ylläpitokustannukset ilman paljousalennuksiaSC1 Tilaus ja ylläpitokustannukset paljousalennusten kanssaSC2 Tilaus ja ylläpitokustannukset lavoittain ostettuna
Taulukko 1
Taulukosta 2 on havaittavissa, että optimaalista tilauserää käytettäessä vain kol
mella eri nimikkeellä kokonaiskustannukset ovat suuremmat verrattuna siihen,
että nimikettä ostettaisiin lavoittain. Esimerkiksi nimikkeen 1329 kohdalla on lä
hestulkoon sama kumpaa toimintamallia käyttää; ostaako lavoittain vai optimaali
sen ostoerän verran. Toisaalta on otettava huomioon kuitenkin se, että yhtiöllä on
20
pääsääntöisesti ollut tapana tilata korkeintaan lavallinen, joten nimikkeen 1329
kohdalla on syytä päätyä ostamaan lavallinen kerrallaan.
Nimikkeiden 1026 ja 1328 kohdalla kannattaa soveltaa optimaalista tilauserän
kokoa, koska ostettaessa optimaalisen tilauserän verran päästään minimikustan
nuksiin ja lisäksi tavaraa ei osteta liikaa kerrallaan ja siten tavara ei pääse vanhe
nemaan varaston hyllyllä. Lisäksi optimiostoerää kannattaisi soveltaa myös ni
mikkeen 4090kohdalla vaikka kokonaiskustannukset tulevatkin hieman kalliim
maksi verrattuna siihen, että ostettaisiin lava kerrallaan. Jos nimikettä ostettaisiin
lavallinen kerrallaan kyseisessä tapauksessa, se olisi likimain kahden vuoden tar
ve. Riski mahdollisesta menekin laskemisesta tai tuotteen pilaantumisesta olisi
liian suuri.
Nimikkeen 1025 kohdalla kannattaisi myös käyttää optimaalista tilauserää, vaikka
kokonaiskustannukset tulisivat vuositasolla noin 30€ kalliimmaksi. Tällöin jäisi
varastossa olevien nimikkeiden pilaantumisen riski pienemmäksi ja mahdollinen
menekin väheneminenkään ei toisi tappiota.
IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC0 SC1 SC2 TC0 TC1 TC2
1025 48 0,47 2304 0,44 1840 672 720 40,28 NA 69,35 905,08 NA 878,95
1026 36 0,63 1728 0,59 494 324 324 24,19 NA 65,86 335,23 NA 357,151328 24 0,96 1152 0,89 466 240 240 28,97 NA 67,12 476,61 NA 482,11
1329 24 1,25 864 1,17 7539 840 888 NA 128,61 128,63 NA 8949,74 8949,764104 12 2,03 432 1,87 731 204 216 52,77 NA 63,19 1537,57 NA 1430,96
4090 12 2,69 432 2,5 247 108 108 35,30 NA 71,79 699,35 NA 688,93
Taulukko 2
Poikkeaminen optimiostoerästä 50 % suuntaan tai toiseen aiheuttaa taulukoiden 3
ja 4 mukaiset hinnankorotukset. Taulukossa 3 EOQ ja EOQ2 on kerrottu 0,5:llä ja
vastaavasti Taulukossa 4 EOQ ja EOQ2 on kerrottu 1,5:llä.
Tilaus ja ylläpitokustannusten muutos toteutuu likimain tämän erikoistyön kappa
leen 4.1 mukaisesti. Poikkeaman tarkasta arvosta aiheuttaa se, että optimaalinen
tilauserän koko on jouduttu pyöristämään lähimpään pakkauskokoon sen sijaan,
että käytettäisiin tarkkoja optimaalisen tilauserän kokoja. Nimikkeitä ostettaessa
poikkeaminen optimaalisesta tilauserän koosta näyttäisi vahvistavan sitä, että ni
mikkeet kannattaa ostaa lavoittain. Taulukoista on selkeästi nähtävissä, että ostoti
21
lausten suuruuksissa on aina parempi poiketa ylöspäin kuin alaspäin siten, että
varastorajoitteet otetaan kuitenkin huomioon.
IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC0 SC1 SC2 TC0 TC1 TC2
1025 48 0,47 2304 0,44 1840 336 360 50,94 NA 69,35 915,74 NA 878,95
1026 36 0,63 1728 0,59 494 162 162 29,24 NA 65,86 340,28 NA 357,151328 24 0,96 1152 0,89 466 120 120 36,34 NA 67,12 483,98 NA 482,11
1329 24 1,25 864 1,17 7539 420 444 167,45 NA 128,63 9591,73 NA 8949,764104 12 2,03 432 1,87 731 102 108 66,72 NA 63,19 1551,52 NA 1430,96
4090 12 2,69 432 2,5 247 54 54 43,36 NA 71,79 707,41 NA 688,93
Taulukko 3
IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC0 SC1 SC2 TC0 TC1 TC2
1025 48 0,47 2304 0,44 1840 1008 1080 43,30 NA 69,35 908,10 NA 878,951026 36 0,63 1728 0,59 494 486 486 26,76 NA 65,86 337,80 NA 357,15
1328 24 0,96 1152 0,89 466 360 360 31,31 NA 67,12 478,95 NA 482,111329 24 1,25 864 1,17 7539 1260 1332 NA 139,85 128,63 NA 8960,99 8949,76
4104 12 2,03 432 1,87 731 306 324 56,75 NA 63,19 1541,55 NA 1430,964090 12 2,69 432 2,5 247 162 162 38,66 NA 71,79 702,71 NA 688,93
Taulukko 4
Kysynnän laskiessa 50 % taulukosta 5 on pääteltävissä, että tällöin kannattaa tilata
pääsääntöisesti optimaalisen tilauserän verran. Vain nimikkeiden 1329 ja 4104
osalta kannattaa nimikkeet tilata lavoittain. Nimikkeen 1329 kysyntä D ylittää
moninkertaisesti kyseisen nimikkeen lavakoon, mutta optimaalinen tilauserä ei
ylitä sitä. Tässä tapauksessa paljousalennusta ei saada ja nämä yhdessä vaikuttavat
siihen, että nimike 1329 kannattaa tilata lavoittain. Nimikkeen 4101 kohdalla ni
mikkeen vuosittainen kysyntä lähentelee yhtä lavakokoa. Lavallisen ostosta on
tarjolla hyvät alennukset, jonka vuoksi kokonaiskustannukset menevät alhaisim
maksi ostettaessa koko lava kerrallaan. Edelleen on kuitenkin otettava huomioon
mahdolliset nimikkeiden parasta ennen päiväykset.
IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC0 SC1 SC2 TC0 TC1 TC2
1025 48 0,47 2304 0,44 920 480 480 28,48 NA 66,35 460,88 NA 471,151026 36 0,63 1728 0,59 247 216 216 17,08 NA 64,79 172,60 NA 210,44
1328 24 0,96 1152 0,89 233 168 168 20,49 NA 65,60 244,31 NA 273,101329 24 1,25 864 1,17 3770 600 624 94,00 NA 95,90 4806,14 NA 4506,47
4104 12 2,03 432 1,87 366 144 156 37,32 NA 56,84 779,72 NA 740,724090 12 2,69 432 2,5 123 72 72 24,96 NA 69,64 356,99 NA 378,21
Taulukko 5
22
Taulukosta 6 on nähtävissä miten nimikkeet tulisi tilata ennakoidun kysynnän
kaksinkertaistuessa. Taulukon 6 perusteella nimikettä 1329 kohdalla tulisi tilata
optimaalisen tilauserän verran, mutta varastorajoitteet huomioon ottaen päädytään
tämänkin nimikkeen kohdalla lavoittain ostoon. Nimikettä 1026 kannattaisi kui
tenkin tilata optimaalisen tilauserän verran, koska tilattaessa lavallinen kerralla
kyseistä nimikettä, saataisiin liki kahden vuoden oletettu tarve yhdellä kertaa.
IC PS P1 L P2 D EOQ EOQ2 SC0 SC1 SC2 TC0 TC1 TC2
1025 48 0,47 2304 0,44 3680 960 1008 56,95 NA 75,34 1786,55 NA 1694,54
1026 36 0,63 1728 0,59 987 432 432 34,15 NA 68,01 656,23 NA 650,591328 24 0,96 1152 0,89 933 336 360 40,98 NA 70,15 936,24 NA 900,14
1329 24 1,25 864 1,17 15079 1200 1248 NA 181,88 194,07 NA 17824,14 17836,344104 12 2,03 432 1,87 1463 300 312 74,63 NA 75,89 3044,23 NA 2811,43
4090 12 2,69 432 2,5 494 144 156 49,92 NA 76,07 1378,02 NA 1310,36
Taulukko 6
23
6. Yhteenveto
Tässä sovelletun matematiikan erikoistyössä tarkasteltiin EOQmallin käyttöä
huomioiden myös paljousalennukset ja tilarajoitteet teollisuuden tukkuliikkeessä
x. Nimikkeitä tilattaessa tilarajoitteena yrityksessä x on pääsääntöisesti ollut yksi
lavallinen nimikettä kohden. Tätä rajoitusta käytettiin myös mallinnuksessa. Mal
linnuksessa paljousalennukset tulivat kysymykseen silloin, kun tilattiin vähintään
yksi lavallinen kerrallaan.
Tutkittavista nimikkeistä määriteltiin optimaalinen tilauserän määrä ilman pal
jousalennusta ja paljousalennuksen kanssa kokonaiskustannusten laskemista var
ten. Kokonaiskustannusten laskemiseen otettiin mukaan myös sellainen vaihtoeh
to, jossa tilattiin nimikkeitä täysin lavoin. Saaduista kokonaiskustannuksista muo
dostettiin kolme eri päätösmuuttujaa nimikettä kohden. Pienimmän päätösmuuttu
jan arvon saanut tilaustapa oli pääsääntöisesti optimaalisin tilauspa.
Tuloksista on pääteltävissä se, että nimikkeitä kannattaa pääasiassa tilata lavoit
tain, jos kyseisen nimikkeen ennustettu kysyntä ylittää lavakoon tai on ainakin
hyvin lähellä sitä sekä silloin, jos nimikkeelle annetaan paljousalennus. Tätä toi
mintatapaa kannatti soveltaa myös siinä tapauksessa vaikka optimaalinen tilaus
erän koko ei ylittänyt lavakokoa, mutta vuosittainen kysyntä ylitti. Optimaalisessa
ostoerässä kannattaa pysytellä silloin, kun vuosittainen kysyntä on reilusti alhai
sempi kuin yhden lavallisen sisältämä nimikkeiden määrä. Vaikka täyden lavalli
sen osto saattaisi tulla hieman edullisemmaksi joissakin tapauksissa, on otettava
huomioon mahdolliset nimikkeiden parasta ennen päiväykset. Lisäksi varastoita
essa nimikkeitä pitkään on hyvin todennäköistä, että kustannustekijä F kasvaa
mahdollisten nimikkeiden vioittumisen ja samalla käytettävyyden menettämisen
johdosta.
EOQmallia eri rajoitusehdoin ja kokonaiskustannusten minimointia eri mallien
suhteen tullaan soveltamaan tutkittavana olevan yrityksen nimikkeiden oston yh
teydessä. Ostoa pyritään tällä tavalla nopeuttamaan ja tilauskustannuksia pienen
tämään. Näin nimikkeet saadaan ostettua pienemmin ponnisteluin. Työmäärän
24
vähentyessä ja tilausten kokonaiskustannusten minimoituessa kokonaiskustannuk
set alenevat ja yritys tulee sitä myötä saamaan enemmän katetta nimikettä kohden.
25
7. Lähdeluettelo
Alstrøm, P. (2001). Int. J. Production Economics 71. Numerical computation of
inventorypolicies, based on the EOQ/ value for orderpoint systems, (ss. 235245).
Piasecki, D. (13. 9 2006). Optimizing Economic Order Quantity (EOQ). Noudettu
osoitteesta Inventoryops.com:
http://www.inventoryops.com/economic_order_quantity.htm
Sahu, K. (2003). Inventory management. Noudettu osoitteesta
http://www1.ximb.ac.in/users/fac/Kaushik/kaushik.nsf/bdedfca988b2db3c852562
07004f45a9/564dc3628f53b0c765256c87003afd1e/$FILE/InventoryMgmt1.ppt
Sakki, J. (1999). Logistinen prosessi Tilaustoimitusketjun hallinta. Espoo.
Stevenson, J. W. (2005). Operation Management. McGrawHill Irvin.
Taha, H. A. (2007). Operation Research an intoduction. Pearson Prentice Hall.
Tekninen tukkuliike, x. (2007).
Tersine, R. J. (1982). Principles of inventory and material management. New
York: North Holland.
Tersine, R. J. (1994). Principles of inventory and materials management. Upper
Saddle River: PrenticeHall.
Tuominen, A. (2005). Elektroniikan komponentit ja materiaalit I Materiaalien
varastointi ja toimitukset. Turku: University of Turku.
Tuotannon suunnittelu ja ohjaus. (2007). Noudettu osoitteesta
http://www.uku.fi/avoin/tuta/j4_sisallys.htm
Virtanen, I. (10. 04 2001). Mallintamisesta, esimerkkinä varastomallit. Noudettu
osoitteesta Talousmatematiikan perusteet: www.uwasa.fi/~itv/TMPslide.pdf
Woolsey, G. (1988). A Requiem for the EOQ: An Editioral. Production and
Inventory Management Journal , Vol. 26, No. 3, 6872.