Time­Series Analysis Project 

The following is a time­series analysis report on the number of employed persons 

in Australia per month from Feb 1978 until April 1991. This data comes from the 

Australian Bureau of Statistics and was provided by the Time Series Data Library. This 

data has 159 observations and each population value is in thousands, as shown in 

Exhibit 1. From this data, we then generated a time­series plot, shown in Exhibit 2. 

From this plot, we can see that the series shows a strong increasing trend that may be 

linear or curved.  

At this point, we begin to work on fitting the data to a model. After converting the 

data to time series data in R, the first thing that needed to be done was to fit the data to 

a linear regression model. The summary for this data gave the following output: 

Call: lm(formula = Population ~ time(popts)) Residuals:     Min      1Q  Median      3Q     Max  ­435.56 ­130.54   19.95  135.83  365.58  Coefficients:              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   (Intercept) 5785.3774    29.1055  198.77   <2e­16 *** time(popts)   12.5220     0.3156   39.68   <2e­16 *** ­­­ Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 182.6 on 157 degrees of freedom Multiple R­squared:  0.9093,    Adjusted R­squared:  0.9088  F­statistic:  1575 on 1 and 157 DF,  p­value: < 2.2e­16 With a multiple R­squared value of 91% and highly significant regression coefficients, 

this seems like an excellent model for the data. However, the plot of the residuals 

(shown in Exhibit 3), does not appear to be very random, which would imply that we 

should instead try and quadratic fit for the data. Doing this gives us: 

Call: lm(formula = Population ~ time(popts) + I(time(popts)2)) Residuals:     Min      1Q  Median      3Q     Max  ­336.51  ­71.57   12.83   94.33  230.32   

 

    

Coefficients:                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   (Intercept)      6.097e+03  2.900e+01 210.273   <2e­16 *** time(popts)      9.011e­01  8.367e­01   1.077    0.283   I(time(popts)2) 7.263e­02  5.066e­03  14.338   <2e­16 *** ­­­ Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 120.3 on 156 degrees of freedom Multiple R­squared:  0.9609,    Adjusted R­squared:  0.9604  F­statistic:  1916 on 2 and 156 DF,  p­value: < 2.2e­16 Once again, with a multiple R­squared value of 96% and highly significant regression 

coefficients, this again seems like an excellent model for the data. However, once again 

the plot of the residuals (shown in Exhibit 4), does not appear to be very random. Since 

the data did not appear to be random, it was decided that a 

Kwiatkowski­Phillips­Schmidt­Shin (KPSS) test should be performed to determine 

stationarity of the data and whether or not differencing would be required. This gave the 

output: 

        KPSS Test for Level Stationarity data:  popts[, 2] KPSS Level = 5.0025, Truncation lag parameter = 2, p­value = 0.01 Warning message: In kpss.test(popts[, 2]) : p­value smaller than printed p­value Since the p­value is less than 0.05, we can say without a doubt that the data is not 

stationary and that differencing will be required. 

The first step in this process is to determine the “best” lambda value for a power 

transformation of this data. To do this, Box­Cox analysis was performed as shown in 

Exhibit 5, giving us a lambda value of 0.04. Using this value, we can see the 

transformed values in the time series plot given by Exhibit 6. This appears to have 

stabilized the variance, but there is still a strong increasing trend that must be 

accounted for. We account for this trend by taking the difference of the transformed 

values to give us the plot in Exhibit 7. However, while the trend is gone, it appears that 

there may be seasonality in December of each year. However, since it only occurs in 

 

    

one month of the year rather than the entire “season”, the outlier will only create a bit of 

drift in the model, rather than seasonality. From here we will begin to find an acceptable 

ARIMA model based on the ACF and PACF, which are shown in Exhibit 8. 

The significant spikes at lag 3 and 5 in the ACF suggests either a MA(3) or MA(5) 

component. Therefore, we will compare the AIC values of the different ARIMA models. 

The AIC of ARIMA(0,1,3) is 1780.831, and ARIMA(0,1,5) is 1765.55. Since 

ARIMA(0,1,5) gives the smaller AIC value, it is the model we chose. Additionally, it’s 

residuals are plotted in Exhibit 9. Now, all the spikes before lag 12 are within the 

significance limits, however, after lag 12 it exceeds significance limits. This makes 

sense since, according to the plot in Exhibit 7, there was a large jump every twelfth 

point. To double check this result, a Box­Ljung test was performed which yielded the 

following result: 

        Box­Ljung test 

 

data:  res 

X­squared = 11.106, df = 6, p­value = 0.08516 

Since the p­value is greater than 0.05, that shows that all lags beyond this point are 

insignificant and we were correct in not being concerned with the spike at lag 12. Since 

we now have our model, the next step is to calculate the estimated values. 

The first method used was the method­of­moments estimate, which gave the output: 

Coefficients: 

          ma1      ma2     ma3      ma4     ma5 

      ­0.5645  ­0.1440  0.4102  ­0.2659  0.3320 

s.e.   0.0773   0.0817  0.0869   0.0816  0.0657 

 

sigma2 estimated as 3669:  log likelihood=­873.44   AIC=1760.88 

Next, the conditional least squares estimate was used, which resulted in: 

Call: 

arima(x = popts[, 2], order = c(0, 1, 5), method = "CSS") 

 

    

 

Coefficients: 

          ma1      ma2     ma3      ma4     ma5 

      ­0.5289  ­0.1213  0.4046  ­0.2310  0.3589 

s.e.   0.0774   0.0785  0.0854   0.0771  0.0670 

 

sigma2 estimated as 3859:  part log likelihood = ­876.59 

The values here are close to the values generated using method­of­moments, but 

smaller sigma squared value hints that the method­of­moments value may be a better 

fit. Lastly, a Maximum­Likelihood estimate was computed to be: 

Call: 

arima(x = popts[, 2], order = c(0, 1, 5), method = "ML") 

 

Coefficients: 

          ma1      ma2     ma3      ma4     ma5 

      ­0.5289  ­0.1223  0.4158  ­0.2322  0.3555 

s.e.   0.0774   0.0797  0.0861   0.0791  0.0664 

 

sigma2 estimated as 3823:  log likelihood = ­876.78,  aic = 

1763.55 

While the MLE and least squares estimate are both close in their values, the 

method­of­moments estimate has the lowest AIC value. Therefore, it was determined 

the method­of­moments estimate was very likely the most accurate measure of the 

values. 

The final step is to now attempt to forecast the next five observations of this data 

series. Utilizing the forecast function built into R gave us the following output: 

    Point Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95 

160       7707.165 7612.882 7801.449 7562.971 7851.359 

161       7676.880 7576.026 7777.734 7522.638 7831.122 

 

    

162       7649.566 7538.754 7760.377 7480.094 7819.037 

163       7624.930 7501.260 7748.601 7435.792 7814.068 

164       7602.711 7463.936 7741.487 7390.473 7814.950 

This indicates the the next five observations should show a downward trend. This is 

shown in Exhibit 10. Unfortunately, the fact that drift exists means that this forecast is 

not entirely reliable. Because of this unreliability, the potential values for the next five 

observations have a much larger spread than would normally be desired. However, 

despite this unreliability, all of the projected values indicate a downward trend, which 

means that even if the first observation is off, it is very likely that all the subsequent 

observations will have a lower value. 

In conclusion, we can safely say that this time series follows an ARIMA(0,1,5) 

model that follows the equation 

Additionally we.5645e .144e .4102e .2659e .332e .Y t = Y t−1 + et + 0 t−1 + 0 t−2 − 0 t−3 + 0 t−4 − 0 t−5  

predicted the next five observations to be 7707.165, 7676.88, 7649.566, 7624.93, and 

7602.711. However, as previously stated, these values may not be very accurate on 

account of the drift. The drift in the data set proved to be a very frustrating component 

since all the previous sets we had worked with had been very “clean” data sets that 

didn’t include drift or seasonality. Because of this, a great deal of time was wasted in 

trying to determine an accurate model simply because of a lack of knowledge. 

Originally, I thought that, because of what I thought was seasonality, that I was going to 

have to start all over with a new data set, but once I determined that what I was dealing 

with wasn’t seasonality, it became much easier. While the tip to avoid forecasting 

financial series was appreciated, it might also help in the future if either there is a tip to 

be wary when dealing with employment numbers or perhaps if there is a bit more time 

devoted to explaining drift and seasonality so that, if encountered, it doesn’t cause 

future students so much issue. 

   

 

    

Exhibit 1 

Feb 1978 5985.7    March 

1980 6278.

7  

April 1982  6431.6    May 1984  6489.7 

March 1978  6040.6   April 1980 

6224.9 

 May 1982  6440.9    June 1984  6499 

April 1978 6054.2   

May 1980 6273.

4  

June 1982  6414.3    July 1984  6528.7 

May 1978 6038.3   

June 1980 6269.

9  

July 1982  6425.9    Aug 1984  6466.1 

June 1978 6031.3   

July 1980 6314.

1  

Aug 1982  6379.3    Sept 1984  6579.8 

July 1978 6036.1   

Aug 1980 6281.

4  

Sept 1982  6443.5    Oct 1984  6553.2 

Aug 1978  6005.4    Sept 1980  6360    Oct 1982  6421.1    Nov 1984  6576.1 

Sept 1978 6024.3   

Oct 1980 6320.

2  

Nov 1982  6367    Dec 1984  6636 

Oct 1978  6045.9    Nov 1980  6342    Dec 1982  6370.2    Jan 1985  6452.4 

Nov 1978 6033.8   

Dec 1980 6426.

6  

Jan 1983  6172.2    Feb 1985  6595.7 

Dec 1978 6125.4   

Jan 1981  6253  

Feb 1983  6264.1   March 1985  6657.4 

Jan 1979 5971.3   

Feb 1981 6356.

5  

March 1983  6310.4    April 1985  6588.8 

Feb 1979 6050.7    March 

1981 6428.

1  

April 1983  6254.5    May 1985  6658 

March 1979  6096.2   April 1981 

6426.3 

 May 1983  6272.8    June 1985  6659.4 

April 1979 6087.7   

May 1981 6412.

4  

June 1983  6266.5    July 1985  6703.4 

May 1979 6075.6   

June 1981 6413.

9  

July 1983  6295    Aug 1985  6675.6 

June 1979 6095.7   

July 1981 6425.

3  

Aug 1983  6241.1    Sept 1985  6814.7 

July 1979 6103.9   

Aug 1981 6393.

7  

Sept 1983  6358.2    Oct 1985  6771.1 

Aug 1979 6078.5   

Sept 1981 6502.

7  

Oct 1983  6336.2    Nov 1985  6882 

Sept 1979  6157.8    Oct 1981  6445.   Nov 1983  6377.5    Dec 1985  6910.8 

 

    

3 

Oct 1979  6164  

Nov 1981 6433.

3  

Dec 1983  6456.4    Jan 1986  6753.6 

Nov 1979 6188.8   

Dec 1981 6506.

9  

Jan 1984  6251.4    Feb 1986  6861.9 

Dec 1979 6257.2   

Jan 1982 6355.

5  

Feb 1984  6365.4   March 1986  6961.9 

Jan 1980 6112.9   

Feb 1982 6432.

4  

March 1984  6503.2    April 1986  6997.9 

Feb 1980 6207.2    March 

1982 6497.

4  

April 1984  6477.6    May 1986  6979 Exhibit 1 (Cont.) 

June 1986  7007.7    July 1988  7383.1    Aug 1990  7825 

July 1986  6991.5    Aug 1988  7353.4    Sept 1990  7925.5 

Aug 1986  6918.6    Sept 1988  7503.2    Oct 1990  7870.5 

Sept 1986  7040.6    Oct 1988  7477.3    Nov 1990  7849.9 

Oct 1986  7030.4    Nov 1988  7508.7    Dec 1990  7941.2 

Nov 1986  7034.2    Dec 1988  7622.9    Jan 1991  7668.8 

Dec 1986  7116.8    Jan 1989  7424.9    Feb 1991  7739.3 

Jan 1987  6902.5    Feb 1989  7569.7    March 1991  7746.5 

Feb 1987  7022.3    March 1989  7638.3    April 1991  7750.5 

March 1987  7133.4    April 1989  7683.2       

April 1987  7109.6    May 1989  7729.3       

May 1987  7103.6    June 1989  7720.5       

June 1987  7128.9    July 1989  7751.8       

July 1987  7175.6    Aug 1989  7727.6       

Aug 1987  7092.3    Sept 1989  7854.4       

Sept 1987  7186.5    Oct 1989  7817.8       

Oct 1987  7177.4    Nov 1989  7870.7       

Nov 1987  7182.2    Dec 1989  7941.6       

 

    

Dec 1987  7330.7    Jan 1990  7712.6       

Jan 1988  7169.4    Feb 1990  7809.1       

Feb 1988  7247.4    March 1990  7877.5       

March 1988  7397.4    April 1990  7894.3       

April 1988  7383.4    May 1990  7916.1       

May 1988  7354.9    June 1990  7910       

June 1988  7378.3    July 1990  7932.9       Exhibit 2 

 Exhibit 3 

 

    

  

Exhibit 4 

 Exhibit 5 

 

    

  

Exhibit 6 

 Exhibit 7 

 

    

 

 

 

 

    

 Exhibit 10