tiếp tuyến của các đường cônic · 3 mục lục lời nói đầu trang mục lục 2...

1

Trường đại học sư phạm hà nội 2

khoa toán -----****-----

Trần Huy Mạnh

Tiếp tuyến của các đường cônic

Tóm tắt Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Hình học

Giáo viên hướng dẫn:

Phan hồng trường

Hà Nội -2007

2

Lời nói đầu

Trong chương trình toán phổ thông trung học mới được thực hiện từ năm

2006, phương pháp toạ độ trong mặt phẳng được đưa vào hình học lớp 10. Tiếp

tuyến của các đường cônic xét trước đây trong hình học 12 được trình bày nhờ

khái niệm đạo hàm và tiếp tuyến với đồ thị hàm số, đã chưa được đề cập tới trong

chương “Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng” trong hình học 10. Vậy nhằm

để gới thiệu với các em học sinh lớp 10 về khái niệm tiếp tuyến của các đường

cônic, cũng như phương pháp để xác định tiếp tuyến của các đường cônic nên

em đã chọn đề tài:

“Tiếp tuyến của các đường cônic”

Và thực hiện đề tài trên cơ sở đưa ra khái niệm tiếp tuyến của ba đường

cônic ((E), (H), (P)) chỉ dựa vào phương trình đại số và các tính chất hình học

của ba đường này.

Đây là lần đầu tiên em làm quen với việc NCKH. Nên bản thân em dù đã

rất cố gắng nhưng sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được

sự góp ý, nhận xét, đánh giá của thầy cô và bạn đọc.

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong

khoa, trong tổ, đặc biệt là sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy Phan Hồng

Trường đã giúp em hoàn thành khoá luận này.

3

Mục lục

Lời nói đầu Trang

Mục lục 2

Chương 1: tiếp tuyến của đường elip 3

1.1. Elip 3

1.2. Tiếp tuyến của đường elip 3

1.3. Phương trình tiếp tuyến của đường elip 5

A. Cách xác định 5

B. Các ví dụ 7

C. Bài tập đề nghị 10

Chương 2:tiếp tuyến của đường hypebol 12

2.1. Hypebol 12

2.2. Tiếp tuyến của đường hypebol 13

2.3. Phương trình tiếp tuyến của đường Hypebol 14


B. Các ví dụ 16


Chương 3: tiếp tuyến của đường parabol 21

3.1. Parabol 21

3.2. Tiếp tuyến của đường parabol 22

3.3. Phương trình tiếp tuyến của đường parabol 23


B. Ví dụ 25


Chương 4: Bài tập thêm 29

4.1. Kiến thức cơ bản 29

4.2. Bài tập 30

A. Elip 30

B. Hypebol 33

4

C. Parabol 34

Chương 1: tiếp tuyến của đường elip

1.1. elip

1.1.1. Định nghĩa đường elip

Cho hai điểm cố định 1F và

2F với 1 2 2F F c (c>0). Đường elip (còn gọi là

elip) là tập hợp các điểm M sao cho 1 2 2MF MF a , trong đó a là số cho trước

lớn hơn c. Kí hiệu elip bởi (E)

Hai điểm 1F ,

2F gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là

tiêu cự của elip.

1.1.2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip (E) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy gốc là

trung điểm của đoạ thẳng 1 2F F và

2F nằm trên tia Ox.

Điểm 2 2

2 2, 1

x yM x y E

a b (1)

(2 2 2b a c ) .(1) được gọi là phương trình

chính tắc của elip đã cho.

Lưu ý: Elip (E) : 2 2

2 21, 0

x yb a

a b có hai tiêu điểm

1F , 2F nằm trên

trục lớp Oy

1.2. Tiếp tuyến của đường elip

1.2.1. Định nghĩa

Cho elip (E) và đường thẳng d. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của

elip (E) nếu d và (E) có một điểm chung duy nhất.

Khi đó ta cũng nói d tiếp xúc với (E) hay d và (E) tiếp xúc nhau. Điểm

chung duy nhất của d và (E) gọi là tiếp điểm

1.2.2. Định lí

O F1 F2

x

y

. .

5

Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2

2 21

x y

a b và đường thẳng

d: Ax+By+C=0 (A2+B

2>0).

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d và elip (E) tiếp xúc nhau là:

A2a

2+B

2b

2=C

2

Chứng minh:

Xét hệ phương trình tạo bởi d và (E) là

2 2

2 21

0

x y

a b

Ax By C

(I)

Vì A2+B

2>0 nên A 0 hoặc B 0, không mất tính tổng quát giả sử B 0.

Khi đó rút y từ (2) thay vào (1), ta được:

B2b

2x

2+a

2(-Ax-C)

2=a

2b

2B

2

(B2b

2+A

2a

2)x

2+2a

2ACx+a

2c

2-a

2b

2B

2=0 (3)

Đường thẳng d tiếp xúc với elip (E) khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy

nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Suy ra

2 2 2 2 2' 0 C A a B b

Nhận xét :

Mặc dù lời giải trên vai trò của x và y là bình đẳng, nhưng sự bình đẳng

này không được xem xét một cách đầy đủ trong suốt quá trình giải. Vì vậy theo

hướng trên ta nhận được lời giải đúng nhưng không đẹp.

Để khắc phục được tình trạng trên, chúng ta sử dụng phương pháp sau:

Viết lại hệ (I) dưới dạng:

2 2

1

0

x y

a b

x yaA bB C

a b

6

Đặt x aX

y bY

Ta được:

2 2 1

0

X Y T

aAX bBY C d

Khi đó hệ có nghiệm duy nhất d tiếp xúc (T)d(O,d)=1 (O là tâm đường

tròn (T)) A2a

2+B

2b

2=C

2

Như vậy ta có một lời giải hoàn toàn mới, trong lời giải trên sự bình đẳng của

x và y được duy trì trong suốt quá trình giải .

Hệ quả 1: Đường thẳng y=kx+m là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi

k2a

2+b

2=m

2

Hệ quả 2. Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2

2 21

x y

a b . Phương trình tiếp

tuyến với (E) tại M0(x0,y0) thuộc (E) có dạng:

d0:0 0

2 21

x x y y

a b

Chứng minh:

Hiển nhiên đường thẳng d0 đi qua M0(x0,y0). Mặt khác

2 20 0

2 2

x ya b

a b

2 2

0 0

2 21

x y

a b .

Theo định lí 1.2.2, đường thẳng 0 0

2 21 0

x x y y

a b tức d0, là tiếp tuyến của

elip (E). Vậy d0 là tiếp tuyến của elip (E) tại M0(x0,y0) thuộc (E).

Phương pháp thành lập phương trình d0 dạng trên gọi là phương pháp phân

đôi toạ độ.

7

1.3. phương trình tiếp tuyến của đường elip

A. Cách xác định

Cho elip (E): 2 2

2 21

x y

a b

Để lập phương trình tiếp tuyến d của elip (E) ta có thể lựa chọn một trong

hai cách sau:

Cách 1: Ta thực hiện các bước sau:

b1, Dựa vào điều kiện K ta giả sử đường thẳng d có phương trình

d: Ax+By +C=0

b2, Xác định điều kiện tiếp xúc của d và (E)

b3, Kết luận về tiếp tuyến đó

Chú ý. Điều kiện K thường gặp là:

1. Tiếp tuyến đi qua một điểm M cho trước, khi đó:

a. Nếu M0(x0,y0) thuộc (E) ta có ngay phương trình tiếp tuyến

bằng phương pháp phân đôi toạ độ

b. Nếu M0(x0,y0) không thuộc (E) ta giả sử

d : A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A2+B

2>0)

d: Ax+By – (Ax0+By0)=0 (2)

2. Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước

a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng : 0Ax By C .

Khi đó d: Ax+By+C’=0

b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 0Ax By C .

Khi đó d: Bx-Ay+C’=0

c. Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng một góc . Khi đó linh hoạt

vận dụng công thức

.

.

u vcos

u v

, với ,u v

thứ tự là vectơ chỉ phương của d và .

8

1 2

1 2

tan1

k k

k k

, với

1 2,k k thứ tự là hệ số góc của d và .

Cách 2. Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải

Ta thực hiên theo các bước sau:

b1, Giả sử M0(x0,y0) là tiếp điểm, khi đó phương trình tiếp tuyến có

dạng: 0 0

2 21

x x y y

a b (1)

Điểm M0(x0,y0) thuộc (E) nên 2 2

0 0

2 21

x y

a b (2)

b2, Sử dụng điều kiện K của giả thiết ta thiết lập thêm một phương trình

theo x0, y0 (3).

b3, Giải hệ tạo bởi (2) và (3) ta được toạ độ điểm M0 , từ đó thay vào (1) ta

được phương trình tiếp tuyến cần xác định.

Nhận xét: Trong những trường hợp riêng cách 2 tỏ ra hiệu quả hơn

B. Các ví dụ

VD1. Cho elip (E): 2 2

18 2

x y . Viết phương trình tiếp tuyến của (E)

đi qua điểm M(2,1).

Giải

Nhận xét rằng điểm M(2,1) thuộc elip, do đó phương trình tiếp

tuyến d của (E) có dạng

d: 2 1

1 : 2 4 08 2

x yd x y

VD2. Cho điểm M(3,-4) và elip (E): 2 2

19 4

x y .

a. Chứng minh rằng: Qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến

(E).

b. Xác định phương trình hai tiếp tuyến và lập phương trình

9

đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của (E) với hai tiếp tuyến trên.

Giải

a. Với M(3,-4) và elip (E): 2 2

19 4

x y . Ta có 5 1

M EP M nằm

ngoài (E). Suy ra qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến (E).

b. Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1. Đường thẳng d qua M có dạng d: A(x-3)+B(y+4)=0

d: Ax+By-3A+4B=0

Đường thẳng d là tiếp tuyến của elip (E) khi và chỉ khi

9 A2+4B

2= (-3A+4B)

2

12B2-24AB=0

0

2

B

B A

Với B=0 ta được tiếp tuyến d1: x-3=0 và toạ độ của điểm M1 là nghiệm

của hệ

2 2

1

313,09 4

03 0

x yx

My

x

Với B=2A ta được tiếp tuyến d2: x+2y+5=0 và toạ độ của điểm M2 là

nghiệm của hệ

2 2

2

9

1 9 85,9 4

8 5 52 5 0

5

xx y

M

yx y

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M1, M2 là:

1 2 : 3 3 0M M x y .

Cách 2. Gọi M0(x0,y0) là tiếp điểm của (E) với tiếp tuyến d cần tìm. khi đó

M0(x0,y0) thuộc (E) khi và chỉ khi 2 2

0 0 19 4

x y (1) và đường thẳng d có phương

trình d: 0 0 19 4

x x y y

10

Vì M thuộc d nên 0 00 0

3 41 3 3

9 4

x yx y .(*) Thay vào (1) ta

được 1 3,0M , 2

9 8,

5 5M

Với 1 3,0M ta được tiếp tuyến d1: x-3=0 .

Với 2

9 8,

5 5M

ta được tiếp tuyến d2: x+2y+5=0

Nhận xét rằng toạ độ hai tiếp điểm đều thoả mãn phương trình (*). Do đó

phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm có dạng x-3y-3=0

Nhận xét. Với đòi hỏi của bài toán trên việc lựa chọn cách giải 2 lời giải đơn

giản hơn.

VD3. Cho elip (E): 2 2

116 9

x y . Viết phương trình tiếp tuyến d của

(E) biết :

a. Tiếp tuyến song song với đường thảng : 2 6 0x y

b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 0x y

Giải

a.Gọi d là tiếp tuyến của (E) song song với đường thẳng

: 2 6 0x y

d song song với đường thẳng : 2 6 0x y nên có phương trình

: 2 0d x y C

d là tiếp tuyến của (E) nên suy ra 1.16+4.9=C2

52

52

C

C

Vậy ta có hai tiếp tuyến là 1 : 2 52 0d x y , 2 : 2 52 0d x y thoả

mãnn yêu cầu bài toán

b. Gọi d là tiếp tuyến của (E) vuông góc với đường thẳng

: 0x y

11

d vuông góc với đường thẳng : 0x y nên có phương trình

: 0d x y C

d là tiếp tuyến của (E) nên suy ra 1.16+1.9=C2

5

5

C

C

Vậy ta có hai tiếp tuyến 1 : 5 0d x y ,

2 : 5 0d x y thoả mãnn yêu

cầu bài toán.

VD4. Viết phương trình tiếp tuyến của elip (E) : 2 2

19 4

x y . Biết tiếp

tuyến tạo với đường thẳng : 2 0x y một góc 450.

Giải

Giả sử tiếp tuyến d của (E) có hệ số góc k. Khi đó phương trình của

đường thẳng d có dạng: d: y=kx+m kx-y+m=0

d tạo với đường thẳng một góc 450 nên suy ra

0 2 2tan 45 1

1 2 1 2

1

2 1 2 3

3

k k

k k

kk k

k

Với 1

3k ta được phương trình đường thẳng d1: x-3y+3m=0

d1 là tiếp tuyến của (E) khi 1.9+9.4=9m2

5

5

m

m

Vậy ta được hai tiếp tuyến d1,1: x-3y+3 5 =0, d1,2: x-3y-3 5 =0

Với k=-3 ta được phương trình đường thẳng d2: 3x+y-m=0

d2 là tiếp tuyến của (E) khi 9.9+1.4=m2

85

85

m

m

Vậy ta được hai tiếp tuyến d2,1: 3x+y+ 85 =0, d2,2: 3x+y- 85 =0

12

Kết luận. Tồn tại bốn tiếp tuyến d1,1, d1,2, d2,1, d2,2 tới (E) thoả mãn yêu cầu

bài toán.

C. Bài tập đề nghị

1. Cho elip (E): 2 2

125 16

x y . Lập phương trình tiếp tuyến của (E), biết

tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 2 0x y một góc 450

Đáp số:1,1

1,2

:3 2 13 0

:3 2 13 0

d x y

d x y

;

2,1

2,2

:3 241 0

:3 241 0

d x y

d x y


19 4

x y . Viết phương trình tiếp tuyến của (E)

biết

a. Tiếp tuyến qua điểm A(3,0).

b. Tiếp tuyến đi qua B(4,2).

c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng : 6 0x y

d. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 2 2 0x y

Đáp án: a. x-3=0; b. y-2=0 và 16x-7y-50=0; c. x-y- 41=0 và

x-y+ 41=0: d. x+2y+5=0 và x+2y-5=0

3. Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 2 2

19 16

x y . Biết tiếp tuyến

tạo với đường thẳng : 2 0x y một góc 600.

13

Chương2: tiếp tuyến của đường hypebol

2.1. Hypebol

2.1.1 Định nghĩa đường Hypebol

Cho hai điểm cố định 1F và

2F với 1 2 2F F c (c>0). Đường hypebol (còn

gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M sao cho 1 2 2MF MF a , trong đó a là số

cho trước nhỏ hơn c. Khí hiệu hypebol bởi (H)

Hai điểm 1F ,

2F gọi là các tiêu điểm của hypebol.

Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của hypebol.

2.1.2. Phương trình chính tắc của hypebol

Cho hypebol (H) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy

gốc là trung điểm của đoạ thẳng 1 2F F và

2F nằm trên tia Ox.

Điểm 2 2

2 2, 1

x yM x y H

a b (1)

. . .

F1

M

F2

. . .

F1(-

c,0)

M(x,

y)

F2(c,

0)

O

14

Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol

Gốc toạ độ O là tâm đối xứng của hypebol

Ox, Oy là hai trục đối xứng của hypebol

Trục Ox (chứa hai tiêu điểm) gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo của

hypebol. Người ta cũng gọi đoạn thẳng nối hai đỉnh của hypebol là trục thực,

khoảng cách 2a giữa hai đỉnh là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo

Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là một nhánh

của hypebol.

Hai đường thẳng bx+ay=0 và bx-ay=0 là hai đường tiệm cận của

hypebol

Lưu ý: Với hypebol cho bởi phương trình 2 2

2 21

y x

b a thì Oy là trục thực

2.2. Tiếp tuyến của đường Hypebol


Cho hypebol (H) và đường thẳng d. Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến của

hypebol (H) nếu d không song song với các tiệp cận của (H) và d có một điểm

chung duy nhất với (H).

Khi d là tiếp tuyến của (H), ta cũng nói d tiếp xúc với (H) hay d và (H) tiếp

xúc nhau. Điểm chung duy nhất của d và (H) gọi là tiếp điểm.

2.2.2. Định lí

Trong mặt phẳng Oxy cho hypebol (H): 2 2

2 21

x y

a b . Và đường thẳng

d: Ax+By+C=0 (A2+B

2>0).

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d và hypebol (H) tiếp xúc nhau là:

A2a

2-

B

2b

2=C

2

Chứng minh:

Do d không song song với các tiệm cận nên suy ra 2 2 2 2 0a A b B

15

Đường thẳng d tiếp xúc với (H) khi và chỉ khi hệ sau :

(I)

2 2

21 1

0 2

x y

a b

Ax By C

có nghiệm duy nhất và 2 2 2 2 0a A b B .

Do A2+B

2>0 không mất tổng quát ta giả sử 0B , từ (2) ta suy ra

Ax Cy

B

Thế vào (1) ta được

22 2 2 2 2 2 2B b x a Ax C a b B

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 0B b A a x a ACx a b B a C (3)

Hệ (I) có nghiêm duy nhất và 2 2 2 2 0a A b B khi và chỉ khi (3) có

nghiệm duy nhất 2 2 2 2 0a A b B

Suy ra 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

' 0a A C a b B a C B b a A

A a B b C

Hệ quả 1. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d: y=kx+m tiếp xúc với (H) là:

k2a

2-

b

2=m

2.

Hệ quả 2 . Cho hypebol (H): 2 2

2 21

x y

a b . Khi đó tiếp tuyến với (H) tại

M0(x0,y0) thuộc (H) có dạng: d0:0 0

2 21

x x y y

a b

Chứng minh:

Hiển nhiên d0 đi qua M0(x0,y0). Mặt khác

2 2 2 22 20 0 0 0

2 2 2 21

x y x ya b

a b a b

Theo định lí 2.2.2, đường thẳng 0 0

2 21 0

x x y y

a b tức d0, là tiếp tuyến của

hypebol (H). Vậy d0 tiếp xúc với (H) tại M0(x0,y0) thuộc (H)

Phương pháp tìm ra phương trình đường thẳng d0 có dạng trên gọi là

phương pháp phân đôi toạ độ

16

2.3. phương trình tiếp tuyến của đường Hypebol


Cho hypebol (H): 2 2

2 21

x y

a b . Để xác định phương trình tiếp tuyến của

(H) ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1. Ta thực hiện theo các bước sau:

b1, Dựa vào điều kiện K của giả thiết, ta giả sử được đường thẳng d có

phương trình : 0d Ax By C

b2, Giải điều kiện tiếp xúc A2a

2-

B

2b

2=C

2

b3, Kết luận về tiếp tuyến d

Chú ý: Điều kiện K thường gặp là:


a. Nếu M0(x0,y0) thuộc (H) ta có ngay phương trình tiếp tuyến bằng


b. Nếu M0(x0,y0) không thuộc (H) ta giả sử

d : A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A2+B

2>0)

d: Ax+By – (Ax0+By0)=0 (2)






c.Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng một góc . Khi đó linh

hoạt vận dụng công thức

.

.

u vcos

u v

, với ,u v


17

1 2

1 2

tan1

k k

k k

, với


Cách 2. Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải

Ta thực hiên theo các bước sau:

b1, Giả sử M0(x0,y0) là tiếp điểm, khi đó phương trình tiếp tuyến có

dạng d0:0 0

2 21

x x y y

a b (1)

Điểm M0(x0,y0) thuộc (H) nên 2 2

0 0

2 21

x y

a b (2)

b2, Sử dụng điều kiện K của giả thiết ta thiết lập thêm một phương

trình theo x0, y0 (3).

b3, Giải hệ tạo bởi (2) và (3) ta được toạ độ điểm M0 , từ đó thay vào

(1) ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định.

B. Các ví dụ

VD1. Cho hypebol (H): 2

2 12

yx . Xác định phương trình tiếp tuyến của

(H) đi qua 2, 6M

Giải:

Dễ dàng kiểm tra được điểm 2, 6M thuộc (H), khi đó sử dụng

phương pháp phân đôi toạ độ, ta được phươnng trình tiếp tuyến của (H) tại M là:

6

: 2 1 : 4 6 2 02

d x y d x y .

VD2. Cho đường thẳng và hypebol (H) có phương trình:

2 2

: 2007 0

: 18 4

x y

x yH

a. Lập phương trình tiếp tuyến của (H) song song với

18

b. Lập phương trình tiếp tuyến của (H) vuông góc với

Giải:

a. Ta có thể chọn một trong hai cách sau:

Cách 1. Đường thẳng d song song với có phương trình:

: 0d x y C

d là tiếp tuyến của (H) khi :

22

1.8 1.42

CC

C

Với C=2 ta có tiếp tuyến d1: x-y+2=0.

Với C=-2 ta có tiếp tuyến d2: x-y-2=0.

Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán.

Cách 2. Giả sử tiếp điểm cần tìm là M0(x0,y0), khi đó phương trình tiếp

tuyến có dạng:

0 00 0: 1 2 8 0

8 4

x x y yd x x y y (1)

2 2

0 00 0 0, 1

8 4

x yM x y H (2)

Đường thẳng d// khi và chỉ khi 0 00 0

22

1 1

x yx y

(3)

Giải hệ phương trình tạo bởi (2) và (3) ta được:

0

0 1

20

0

4

2 4,2

4, 24

2

x

y M

Mx

y

Với 1 4,2M thay vào (1) ta được tiếp tuyến d1: x-y-2=0

Với 2 4, 2M thay vào (1) ta được tiếp tuyến d2: x-y+2=0

Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán

19

Nhận xét: Nếu ta chọn cách 2 thì từ (3) ta có ngay phương trình đường

thẳng đi qua hai điểm M1, M2 tức là: 1 2 : 2 0M M x y . Tuy nhiên khi bài toán

không đòi hỏi tới tiếp điểm thì cách 2 lại trở lên cồng kềnh, dễ gây nhầm lẫn khi

giải toán.

b. Ta cũng có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau

Cách 1. Đường thẳng d có phương trình: : 0d x y C

Đường thẳng d tiếp xúc với (H) khi và chi khi

22

1.8 1.42

CC

C

Với C=2 ta có tiếp tuyến d1: x+y+2=0.

Với C=-2 ta có tiếp tuyến d2: x+y-2=0.


Cách 2. Giả sử tiếp điểm cần tìm là M0(x0,y0), khi đó phương trình tiếp

tuyến có dạng:

0 00 0: 1 2 8 0

8 4

x x y yd x x y y (1)

2 2

0 00 0 0, 1

8 4

x yM x y H (2)

Đường thẳng d khi và chỉ khi: 0 00 0

22

1 1

x yx y

(3)

Giải hệ phương trình tạo bởi (2) và (3) ta được:

0

0 1

20

0

4

2 4,2

4, 24

2

x

y M

Mx

y

Với 1 4,2M thay vào (1) ta được tiếp tuyến d1: x+y+2=0

Với 2 4, 2M thay vào (1) ta được tiếp tuyến d2: x+y-2=0

Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán

20

VD3. Cho hypebol (H) có phương trình 2 2

: 016 9

x yH . Viết phương

trình tiếp tuyến của (H) biết:

a. Tiếp tuyến đi qua điểm A(2,1).

b. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 2 2007x y một góc 450

Giải:

a. Đường thẳng d qua A(2,1) có phương trình:

: 2 1 0 2 0d A x B y Ax By A B

d là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi:

22 2

2 2

16 9 2

6 2 5 0

1 31

6

1 31

6

A B A B

A AB B

A B

A B

Với 1 31

6A B

ta được tiếp tuyến

1 : 1 31 6 8 2 31 0d x y

Với 1 31

6A B

ta được tiếp tuyến

2 : 1 31 6 8 2 31 0d x y


b. Giả sử tiếp tuyến d có hệ số góc k. Khi đó:

0

12

tan 45 31 2

3

kk

kk

21

Với 1

3k ta có phương trình tiếp tuyến

1

1: 3 3 0

3d y x m x y m

d1 là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi: 1.16-32=(3m)

2 phương trình này

vô nghiệm

Với 3k ta có phương trình tiếp tuyến

2 : 3 3 0d y x m x y m

d2 là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi:

32.16-1.9=m

2

135

135

m

m

Với 135m ta được tiếp tuyến 2,1 :3 135 0d x y

Với 135m ta được tiếp tuyến 2,2 :3 135 0d x y

Vậy tồn tại hai tiếp tuyến 2,1d và 2,2d tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán.


1. Cho hypebol 2 2

: 19 16

x yH . Lập phương trình tiếp tuyến của (H),

biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 3 2007 0x y một góc 450

Đáp số:3x-y- 65 =0 và 3x-y+ 65 =0

2. Lập phương trình tiếp tuyến của 2 2: 4 4H x y tại 2, 12M

Đáp án: 8 12 4 0x y

3. Cho hypebol 2 2

: 1100 64

x yH . Lập phương trình tiếp tuyến của (H),

biết

a. Tiếp tuyến đi qua điểm A(1,-1).

b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng 1 :3 2 2007 0x y .

22

c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng2 :5 10 2007 0x y .

Đáp án: b. 3 2 2 161 0x y và 3 2 2 161 0x y

c. 2 4 21 0x y và 2 4 21 0x y

Chương 3: tiếp tuyến của parabol

3.1. Parabol

3.1.1. Định nghĩa đường parabol

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi qua F.

Tập hợp các điểm M cách đều F và được

gọi là đường parabol (hay parabol).Khi hiệu (P)

Điểm F được gọi là tiêu điểm của Parabol.

Đường thẳng được gọi là đường chuẩn

của parabol.

Khoảng cách từ F đến được goị là tham số tiêu của

parabol

3.1.2. Phương trình chính tắc của parabol

Cho parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn , kẻ FP vuông góc với

( P ), đặt FP=p (tham số tiêu). Ta chọn hệ toạ độ Oxy sao cho O là trung điểm

của của FP và điểm F nằm trên tia Ox. Như vậy ta có: ,02

pF

, ,02

pP

và

phương trình của đường thẳng là 02

px .

Điểm 2, 2M x y P y px (p>0) (1)

. . . M

F

. .

. M

F

P

x

y

O

23

Phương trình (1) được gọi là phương trình

chính tắc của parabol.

Từ phương trình chính tắc ta nhận thấy:

Parabol nằm về phía phải trục Oy

Nhận Ox làm trục đối xứng.

Parabol cắt Ox tại O và đó cũng là điểm duy nhất của trục Oy thuộc

Parabol. Gốc toạ độ O gọi là đỉnh của parabol.

Chú ý: Ngoài phương trình có dạng chính tắc (1), parabol còn có các dạng

phương trình sau: y2=-2px (p<0); x

2=2py (p>0); x

2=-2py (p<0).

3.2. Tiếp tuyến của đường parabol


Cho parabol (P) và đường thẳng d. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến

của parabol (P) nếu d không song song với trục của (P) và d có điểm chung duy

nhất với (P).

Khi d là tiếp tuyến của parabol (P), ta cũng nói d tiếp xúc với (P) hay d và

(P) tiếp xúc nhau.

3.2.2. Định lí

Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y2=2px (p>0). đường thẳng d:

Ax+By+C=0 là tiếp tuyến của parabol (P) khi và chỉ khi:

pB2=2AC.

Chứng minh:

Do d không song song với trục của parabol (P) suy ra 0A

Ta xét hệ phương trình 2 2 (1)

0(2)

y px

Ax By C

(I)

Đường thẳng d tiếp xúc với parabol (P) khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm

duy nhất và 0A . Từ phương trình (2) ta suy ra By C

xA

, thế vào (1) ta

24

được Ay2+2pBy+2pC=0 (3). Vậy d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi (3) có nghiệm

duy nhất và 0A . Tức là

2 2 2' 2 0 2p B pAC pB AC

Hệ quả 1: Đường thẳng d: y=kx+m tiếp xúc với parabol (P) khi và chỉ khi

p=2km.

Chú ý: Bằng cách chứng minh tương tự đối với các parabol có dạng:

(P1): y2=-2px d tiếp xúc với (P1) khi và chỉ khi 2 2pB AC .

(P2): x2=2py d tiếp xúc với (P2) khi và chỉ khi 2 2pA BC .

(P3): x2=-2py d tiếp xúc với (P3) khi và chỉ khi 2 2pA BC .

Hệ quả 2. Cho parabol (P): y2=2px (p>0), đường thẳng d0 tiếp xúc với

parabol (P) tại M0(x0,y0) P khi và chỉ khi d0 có phương trình dạng

d0: y0y=p(x+x0).

Chứng minh:

Viết lại phương trình của d0 : px-y0y-px0=0.

Dễ thấy d0 đi qua M0(x0,y0) , mặt khác

2 2

0 0 0 02 2p y py p px p px .

Theo định lí 3.2.2 ta suy ra d0 là tiếp tuyến của (P). Vậy d0 tiếp xúc với

parabol (P) tại M0(x0,y0)

Chú ý: Bằng cách tương tự đối với các parabol có dạng:

(P1): y2=-2px tiếp tuyến tại M0(x0,y0) 1P có dạng

d: y0y=-p(x+x0).

(P2): x2=2py tiếp tuyến tại M0(x0,y0) 2P có dạng

d: x0x=p(y+y0).

(P3): x2=-2py tiếp tuyến tại M0(x0,y0) 3P có dạng

d: x0x=-p(y+y0).

25

3.3. phương trình tiếp tuyến của đường parabol


Cho parabol (P): y2=2px. Để xác định phương trình tiếp tuyến của (P) ta

có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1. Ta thực hiện theo các bước sau:

b1, Dựa vào điều kiện K của giả thiết, ta giả sử được đường thẳng d có

phương trình : 0d Ax By C

b2, Giải điều kiện tiếp xúc dựa vào dạng của Parabol

b3, Kết luận về tiếp tuyến d

Chú ý: Điều kiện K thường gặp là:


a. Nếu M0(x0,y0) thuộc (P) ta có ngay phương trình tiếp tuyến bằng


b. Nếu M0(x0,y0) không thuộc (P) ta giả sử

d : A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A2+B

2>0)

d: Ax+By – (Ax0+By0)=0 (2)






c. Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng một góc . Khi đó linh hoạt

vận dụng công thức

.

.

u vcos

u v

, với ,u v


1 2

1 2

tan1

k k

k k

, với


26

Cách 2. Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải.

Ta thực hiện theo các bước sau:

b1, Giả sử M0(x0,y0) là tiếp điểm, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

0 0y y p x x (1)

Điểm M0(x0,y0) thuộc (P) nên 2

02oy px (2)

b2, Sử dụng điều kiện K của giả thiết ta thiết lập thêm một phương trình

theo x0, y0 (3).

3b, Giải hệ tạo bởi (2) và (3) ta được toạ độ điểm M0 , từ đó thay vào (1)

ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định.

B. Ví dụ

VD. Cho Parabol 2: 2p y x . Viết phương trình tiếp tuyến của (P) trong

các trường hợp sau:

a. Qua điểm A(2,-2).

b. Đi qua điểm B(1,2).

c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

1 : 2 2007 0x y .

d. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng 2 : 2 2007 0x y một góc 45

0

e. Tiếp tuyến song song với đường thẳng

3 : 2006 2006 2007 0x y

Giải:

a. Dễ dàng kiểm tra thấy điểm A(2,-2) thuộc Parabol. Suy ra phương

trình tiếp tuyến tại A có dạng

: 2 1. 2 : 2 2 0d y x d x y

b. Phương trình đường thẳng d qua B có dạng

d: A(x-1)+B(y-2)=0d: Ax+By-A-2B=0.

Tiếp xúc với Parabol (P) khi và chỉ khi;

27

2

2 2

1. 2 2

2 4 0

2 2

2

2 2

2

B A A B

A AB B

A B

A B

Với 2 2

2A B

, ta có phương trình tiếp tuyến

1 : 2 2 2 2 2 0d x y

Với 2 2

2A B

, ta có phương trình tiếp tuyến

2 : 2 2 2 2 2 0d x y

Vậy có hai tiếp tuyến d1, d2 tới (P) thoả mãnn yêu cầu bài toán

c. Đường thẳng 1d có phương trình d: x+2y+C=0.

d tiếp xúc với Parabol (P) khi và chỉ khi 1.4=2.1.CC=2.

Vậy tiếp tuyến d có dạng d: x+2y+2=0.

d. Giả sử đường thẳng d có hệ số góc k và có tạo với đường thẳng 2 một

góc 450

Ta có: 0

12

tan 45 2 1 2 31 2

3

kkk k

kk

Với 1

3k đường thẳng d1 có dạng

1 1

1: : 3 3 0

3d y x m d x y m

d1 tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi 1.(-3)2=2.1.3m

3

2m

Vậy tiếp tuyến d1 có phương trình 1 : 2 6 9 0d x y

28

Với 3k đường thẳng d2 có dạng

2 2: 3 :3 0d y x m d x y m

d2 tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi 1.12=2.(-3)(-m)

1

6m

Vậy tiếp tuyến d2 có phương trình 2 :18 6 1 0d x y

e. Đường thẳng d//3 có phương trình d: x+y+C=0

d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi 1.12=2.1.C

1

2C

Vậy tiếp tuyến d có phương trình : 2 2 1 0d x y

Chú ý: Với phần b ta có thể giải theo cách sau:

Giả sử M0(x0,y0) là tiếp điểm của đường thẳng d và parabol (P). Khi đó

phương trình đường thẳng d có dạng

d: y0y=1.(x+x0) 0 0: 0d x y y x (1)

Điểm M0(x0,y0) thuộc (P) 2

0 02y x (2)

Đường thẳng d qua B(1.2) khi và chỉ khi

0 9 0 01 2 0 2 1y x x y (3)

Giải hệ tạo bởi (2) và (3) ta được :

0

10

0 2

0

3 2 2

3 2 2,2 22 2

3 2 2 3 2 2,2 2

2 2

x

My

x M

y

Với 1 3 2 2,2 2M thay vào (1) ta được tiếp tuyến

1 : 2 2 2 2 2 0d x y

Với 2 3 2 2,2 2M thay vào (1) ta được tiếp tuyến

2 : 2 2 2 2 2 0d x y

29

Vậy có hai tiếp tuyến d1, d2 tới (P) thoả mãnn yêu cầu bài toán

Nhận xét: Với cách giải 2 này, lời giải quá cồng kềnh và phức tạp, dễ gây

nhầm lẫn khi tính toán, tuy nhiên nếu bài toán có yêu cầu tìm tiếp điểm, hay viết

phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm thì cách giải này có ưu diểm hơn.

Vậy tuỳ yêu cầu bài toán mà ta chọn cách giải sao cho đơn giản.


1. Cho parabol (P) có phương trình (P): y2=9x. Lập phương trình tiếp

tuyến của (P) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 2 2007 0x y một góc

600

2. Cho parabol (P): y2=8x. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết

a. Tiếp tuyến đi qua điểm A(2,4) .

b. Tiếp tuyến đi qua điểm B(-3,0).

c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng1 : 2007 0x y

d. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng2 : 2007 0x y

e. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng3 : 2 2007 0x y một góc 45

0

3. Cho elip 2: 2P y x và điểm A(0,6). Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

độ dài AM nhỏ nhất. Chứng minh rằng với vị chí đó của M, AM vuông góc với

tiếp tuyến của (P) tại M.

Đáp án: 2: a. x-y+2=0; b. 6 3 3 6 0x y và

6 3 3 6 0x y ; c. x-y+2=0; d. x+y+2=0; e. 9x+3y+2=0 và x-3y+18=0

30

Chương 4: Bài tập thêm

4.1. Kiến thức cơ bản

Định lí . Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Cho đường cônic (C) và đường

thẳng d có phương trình: d: Ax+By+C=0 (A2+B

2>0). Điều kiện cần và dủ để d

tiếp xúc với (C) là

Phương trình của (C) Điều kiện cần và dủ để d tiếp xúc với (C)

Elip 2 2

2 2: 1

x yE

a b

A2a

2+B

2b

2=C

2

Hypebol

2 2

2 2: 1

x yH

a b

A2a

2-

B

2b

2=C

2

Parabol 2: 2P y px pB2=2AC

Hệ quả. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Cho đường cônic (C), phương trình

tiếp tuyến với (C) tại M0(x0,y0) (C) tương ứng với các dạng phương trình của

(C) như sau:

Phương trình của (C) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại

31

M0(x0,y0) (C)

Elip 2 2

2 2: 1

x yE

a b

0 0

2 21

x x y y

a b

Hypebol

2 2

2 2: 1

x yH

a b

0 0

2 21

x x y y

a b

Parabol 2: 2P y px 0 0y y p x x

Nhận xét: Bằng phép tịnh tiến hệ trục toạ độ ta dễ dàng chứng minh được

tiếp tuyến với (C) tại M0(x0,y0) (C) tương ứng với các dạng phương trình của

(C) như sau:

Phương trình của (C) Phương trình tiếp tuyến với (C)

tại M0(x0,y0) (C)

Elip

2 2

2 2: 1

x yE

a b

0 0

2 21

x x y y

a b

Hypebol

2 2

2 2: 1

x yH

a b

0 0

2 21

x x y y

a b

Parabol

2

: 2P y p x

0 0 2y y p x x

* Cách lập phương trình tiếp tuyến chung

Để lập phương trình tiếp tuyến chung của hai cônic (C1 ) và (C2 ), ta

thực hiện các bước:

32

b1, Giả sử đường thẳng d có phương trình

d: Ax + By + C = 0

b2, Thiết lập điều kiện tiếp xúc của d với (C1 ) và (C2 )

b3, Kết luận về tiếp tuyến chung d

4.2. Bài tập

A. Elip

1. Cho đường thẳng và elip (E) có phương trình

2 2

: 2 2007 0

3: 1

1 21

x y

x yE

.

Lập phương trình tiếp tuyến của (E) song song với

2. Cho Elip (E): 2 2

150 32

x y . Lập phương trình tiếp tuyến của (E) biết

a. Tiếp tuyến đi qua điểm A(5,6)

b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

1 : 2007 2007 2006 0x y

c. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng 2 : 2007 0x y một góc 45

0

3. Hình chũ nhật được gọi là ngoại tiếp elip nếu mỗi cạch của nó đều tiếp

xúc với elip. Cho elip (E): 2 2

16 3

x y . Viết phương trình các cạnh của hình

vuông ngoại tiếp elip.

4. Cho hai elip (E1) : 2 2

116 1

x y và (E2) :

2 2

19 4

x y . Viết phương trình

các tiếp tuyến chung của hai elip.


2 21

x y

a b (a>b>0). Chứng minh rằng: Tích các khoảng

cách từ các tiêu điểm tới một tiếp tuyến bất kì của (E) bằng bình phương độ dài

nửa trục nhỏ.

33

6. Một đường kính bất kì cửa elip (E): 2 2

2 21

x y

a b cắt elip tại M và N.

Chứng minh rằng các tiếp tuyến của elip tại M và N song song với nhau.


2 21

x y

a b . Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ được hai tiếp

tuyến vuông góc với nhau tới (E).

8. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai elip

2 2

1 : 15 4

x yE và

2 2

2 : 14 5

x yE

9. Chứng minh rằng tiếp tuyến của elip tại điểm M0(x0,y0) thuộc elip là

phân giác ngoài của tam giác MF1F2 (F1, F2 là các tiêu điểm của elip)

10. Cho elip (E): 2 2

19 5

x y .Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp

elip (E).

a. Xác định hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất

b. Xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

12. Cho elip (E): 2 2

2 21

x y

a b (a>b>0). Tiếp tuyến tại M của elip (E) cắt

các trục toạ độ tại A và B. Xác định toạ độ M để OAB có diện tích nhỏ nhất. 1

13. Cho elip (E): 2 2

2 21

x y

a b (a>b>0). Gọi A1A2 là trục lớn của elip.

Dựng các tiếp tuyến At1, At2. Một tiếp tuyến đi qua T E cắt At1,

At2 tại M, N

a. Chứng minh các tiêu điểm 1 2,F F của (E) nhìn đoạn MN dưới góc vuông.

b. Chứng minh rằng tích A1M.A2N không phụ thuộc vào T

c. Xác định tiếp tuyến sao cho FMN có diện tích nhỏ nhất, trong đó F

là một trong hai tiêu điểm của (E)

d. Tìm quỹ tích giao điểm I của A1M và A2N khi T thay đổi.

34

14. Cho elip (E):

2 22 1

15 4

x y

a. Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ngoại tiếp (E) có diện

tích bằng 4 5

b. Viết phương trình các cạnh của hình vuông ngoại tiếp (E) .

B. Hypebol

1. Cho điểm M(-2,9) và hypebol (H):

2 21 1

19 16

x y . Lập phương

trình tiếp tuyến của hypebol (H) đi qua điểm M.

2. Hypebol (H) có các trục trùng với các trục toạ độ và tiếp xúc với các

đường thẳng d1: 5x-6y-16=0 và d2: 13x-10y-48=0 . Hãy xác định phương trình

của (H).

3. Cho hypebol (H): 2 2

2 21

x y

a b và một tiếp tuyến bất kì của (H) là

d: Ax+By+C=0 tiếp xúc với hypebol (H) tại T. Gọi M, N là các giao điểm của

tiếp tuyến d với các đường tiệm cận của (H)

a. Chứng minh T là trung điểm doạn MN

b. Chứng minh rằng diện tích OMN không phụ thuộc tiếp tuyến d


2 21

x y

a b .

a. Tiếp tuyến với (H) tại M0(x0,y0) nào đó nằm trên (H) cắt hai đường tiệm cận

tại A và B . Tìm toạ độ của A và B.

b. Chứng minh rằng: M0 là trung điểm đoạn AB .

c. Chứng minh rằng: diện tích OAB không phụ thuộc vào vị trí của M0


15 4

x y . Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ được hai

tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (H).

6. Tiếp tuyến của hypebol tại M0(x0,y0) thuộc hypebol cắt hai tiệm cận tại

35

A và B. Chứng minh rằng MA=MB

7. Lập phương trình tiếp tuyến chung của

2 2

: 19 4

x yE và

2 2

: 18 27

x yH


2 2

1 : 19 4

x yH và

2 2

2 : 14 9

x yH


2 2

: 19 4

x yH và 2: 2P y x

C. Parabol

1. Cho parabol 2

: 1 16 2P y x . Viết phương trình các tiếp

tuyến của (P) biết:

a. Tiếp tuyến đi qua điểm A(3,-3).

b. Tiếp tuyến đi qua điểm B(0,0).

c. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng :3 2 2007 0x y một góc 900

2. Cho parabol (P): y=x2-2x+3 và đường thẳng d cùng phương với đường

thẳng : 2 0x y sao cho d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B

a. Viết phương trình các tiếp tuyến của (P) tại A và B

b.Viết phương trình đường thẳng d khi hai tiếp tuyến của (P) tại A và B

vuông góc với nhau

3. Cho parabol (P): 2

2

xy và điểm

15 27,

8 8A

.

a. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1

11,

2M

và vuông góc với

tiếp tuyến của (P) tại M1.

36

b. Tìm các điểm M trên (P) sao cho AM vuông góc với tiếp tuyến của (P)

tại M.

4. Cho (P): y2=2px. Chứng minh rằng: Hai tiếp tuyến tại hai đầu mút của

dây cung qua tiêu vuông góc với nhau tại một điểm trên đường chuẩn.

5. cho parabol (P): x2=4y.

a. Chứng minh rằng: Từ một điểm N tuỳ ý trên đường chuẩn của (P) có

thể kẻ được hai tiếp tuyến đến (P) mà hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau.

b. Gọi T1, T2 là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói trên. Chứng minh

rằng: T1, T2 luôn đi qua một điểm cố định khi N thay đổi trên đường chuẩn của

(P)

c. Cho M là điểm thuộc (P) (M khác đỉnh của (P)). Tiếp tuyến tại M của

(P) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi M

thay đổi trên (P).


2 2

: 19 4

x yE và 2: 12P y x


2: 2P y x và 2 2

: 19 4

x yH


2

1 : 2 2P y x x và 2

2 :P y x

4.3. Hướng dẫn và đáp số

A. Elip

1. 1 : 2 1 0d x y và 2 : 2 11 0d x y

2. a. Phương trình tiếp tuyến qua A(5,6) có dạng

6 2 25.: 1 : 4 5 50

50 32

yxd d x y

b. d có phương trình : 0d x y C

37

d tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi: 2 2 282

1 .50 1 .3282

CC

C

Vậy có hai tiếp tuyến:

1

2

: 82 0

: 82 0

d x y

d x y

c. Có hai tiếp tuyến:

1

2

: 32 0

: 32 0

d y

d y

5. Giả sử hình vuông ABCD ngoại tiếp elip (E). Khi đó:

1

2

3

, , 4

AB BC

BCtx E

ABtx E

d O AB d O BC

Dễ thấy AB không thể song với Oy, nên có dạng

AB: y=kx+a AB: kx-y+a=0

Từ (1) suy ra đường thẳng

1

: : 0BC y x b BC x ky bkk

Từ (2) suy ra: 6+3k2=b

2k

2 (5)

Từ (3) suy ra: 6k2+3=a

2 (6)

Từ (4) suy ra: 2 2 2

2 21 1

a bka b k

k k

(7)

Giải hệ tạo bởi (5), (6), (7), ta được 1k

Với k=1 3a . Ta được phương trinh AB: x-y+3=0 và

CD: x-y-3=0

Với k=-1 3a . Ta được phương trinh BC: x+y-3=0 và

AD: x+y+3=0

38

4. Có bốn tiếp tuyến chung

1

2

3

4

: 3 7 55 0

: 3 7 55 0

: 3 7 55 0

: 3 7 55 0

d x y

d x y

d x y

d x y

6. Đường kính của (E) cắt (E) tại M, N nên M, N đối xứng nhau qua gốc

toạ độ O. Vậy nếu M(x0,y0) thì N(-x0,-y0)

Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M(x0,y0) thuộc (E) có dạng

0 01 2 2: 1

x x y yd

a b

Phương trình tiếp tuyến của (E) tại N(-x0,-y0) thuộc (E) có dạng

0 01 2 2: 1

x x y yd

a b

Từ (1) và (2) cho thấy d1//d2

7. Giả sử từ điểm M(x0,y0) kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến (E)

Hai đường thẳng qua M vuông góc với nhau

1 0 0 1 0 0: : 0d y k x x y d kx y kx y

và 2 0 0 2 0 0

1 1: : 0d y x x y d x ky x y

k k

Điều kiện để d1 và d2 tiếp xúc với (E) là

22 2 222 2 20 0

0 02 2

22 2 2 2 2

0 0 0 0

1 1

k a b y kxk a b y kx

a b y x a k b x kyk k

(1)

Khử k từ hệ ta được 2 2 2 2

0 0x y a b

10. Để lập phương trình các cạch của hình chữ nhật ngoại tiếp (E) ta thực

hiện theo các bước sau:

39

b1, Không mất tổng quát ta có thể giả sử phương trình hai cạnh của

hình chữ nhật là: 0Ax By C . 2 2 1A B

Điều kiện tiếp xúc là A2a

2+B

2b

2=C

2(1)

b2, Phương trình hai cạnh còn lại của hình chữ nhật là

0Bx Ay D .

Điều kiện tiếp xúc là B2a

2+A

2b

2=D

2(2)

b3, Lấy (1)+(2) với 2 2 1A B . Ta được 2 2 2 2a b C D

b4, Kết luận: Với các điều kiện 2 2 1A B và 2 2 2 2a b C D ta có

phương trình bốn cạnh của hình chữ nhật ngoại tiếp (E) là

0Ax By C và 0Bx Ay D .

áp dụng :

Ta có phương trình bốn cạnh của (E) là 0Ax By C

và 0Bx Ay D .

Khoảng cách giữa hai cạnh đối 0Ax By C

là 2 2

22

CC

A B

Khoảng cách giữa hai cạnh đối 0Bx Ay D

là 2 2

22

DD

A B

Vậy diện tích của hình chữ nhật ngoại tiếp (E) được cho bởi

2 .2 4S C D CD

a. S đạt giá trị nhỏ nhất khi CD đạt giá trị nhỏ nhất hay 2 2C D đạt giá trị

nhỏ nhất. Xét

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21C D A a B b B a A b a b a b A A

vì 2 2 1A B

40

2 2C D đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

2

2 2

2

0

101 0

11

0

A

BAA A

AA

B

Khi đó cách cạnh của hình chữ nhật song song với các trục của elip, suy

ra S=4ab=180(đơn vị diện tích).

b. 2 2C D đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

2 2 2 21 11

2 2A A A B và 2 2C D .

Khi đó hình chữ nhật là hình vuông, suy ra

2

2 2 2 214 4 2039

4S a b a b

11. Lấy M(x0,y0) thuộc elip (E) với x0>0, y0>0, ta có

2 2

0 0

2 21

x y

a b (1)

Phương trình tiếp tuyến tại M dạng 0 0

2 2: 1

x x y yd

a b

Giả sử d Ox A toạ độ của A là nghiệm của hệ

2 20 0

2 2

0 0

1,0

0

x x y ya a

A OAa bx x

y

d Oy B toạ độ của B là nghiệm của hệ

2 20 0

2 2

0 0

10,

0

x x y yb b

B OBa by y

x

Khi đó 2 2

0 0

1 1.

2 2ABC

a bS OAOB

x y (2)

41

Từ (1) ta suy ra 2 2

0 00 00 02 2

21

2

x yx y abx y

a b ab (3). Thay (3) vào (2)

ta được ABCS ab

Vậy Smin=ab đạt được khi

1

2 2

0 02

2 2

0 03

4

,2 2

,12 2

,2 2

,2 2

a bM

a bx y Ma b

x y a bM

a b

a bM

Vậy Smin=ab đạt được tại một trong bốn điểm trên.

B. Hypebol

1: 1

2

: 2 0

:5 3 17 0

d x

d x y

3: a. Đường thẳng 2 2: 0 0d Ax By C A B tiếp xúc với hypebol

(H) khi và chỉ khi A2a

2-

B

2b

2=C

2

Toạ độ tiếp điểm T là nghiệm của hệ

22 2

2 200 0

2 2

2

0 0 0

1,

0

a Axx y

a A b BCTa b

C Cb BAx By C y

C

Toạ độ giao diểm M của d và đường tiệm cận b

y xa

là nghiệm của

hệ

42

,

0

MM M

M M M

aCb x

y x aC bCaA bBMa

bC aA bB aA bBAx By C y

aA bB

Toạ độ giao diểm N của d và đường tiệm cận b

y xa

là nghiệm

của hệ

,

0

NN N

N N N

aCb x

y x aC bCaA bBMa

bC aA bB aA bBAx By C y

aA bB

Nhận xét rằng

2

0

2

0

22

22

N M

N M

aC aC a Ax x x

aA bB aA bB C

bC bC b By y y

aA bB aA bB C

.

Suy ra T là trung điểm MN

b. Ta có: 1

. .sin 22

ABCS OM ON , trong đó

2 2 22 2

2

2

2 2 22 2

2

2

2

3

C a baC bCOM

aA bB aA bB aA bB

C a baC bCON

aA bB aA bB aA bB

là góc tạo bởi đường tiệm cận b

ya

với trục Ox , suy ra:

tanb

a và

2 2 2

2tan 22

1 tan

absin

a b

Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được

2 2 2 2

2 2

1 2. .

2OMN

C a b C a b abS ab

aA bB aA bB a b

Nghĩa là diện tích tam giác OMN không phụ thuộc tiếp tuyến d

43

5. Trong mặt phẳng Oxy. Giả sử qua điểm M(x0,y0) kẻ được hai tiếp tuyến

tới (H) vuông góc với nhau là d1 và d2 . Ta có :

1 0 0 1 0

2 0 0 1 0

: : 0

1: : 0

o

o

d y k x x y d kx y kx y

d y x x y d x ky x kyk

d1 và d2 tiếp xúc với (H) khi :

22

0 0 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 022

0 0

5 45 1 4 1 1 1

5 4

k y kxk k x k y x y

k x ky

Vậy quỹ tích M là đường tròn 2 2 1x y

C. Parabol

2: a. Đường thẳng d cùng phương với có phương trình

d: 2x-y+C=0

d cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi hệ sau có nghiệm

(I)

2 2 3 1

2 0 2

y x x

x y C

Rút y từ (2) thế vào (1) ta được x2-4x+3-C=0 hệ (I) có nghiệm khi

C>-1(1)

Gọi hai giao điểm là A, B, khi đó:

,2 , ,2A A B BA x x C B x x C

Parabol 22: 2 3 : 1 2P y x x P x y

Suy ra phương trình tiếp tuyến tại A, B là:

1: 1 1 4 : 2 1 1 4

2

1: 1 1 4 : 2 1 1 4

2

A A A A A A A

B B B B B B B

d x x y y d y x x x y

d x x y y d y x x x y

b. A Bd d

44

2 1 .2 1 1

4 1 1

4 4 3 1 1

1

4

A B

A B A B

x x

x x x x

C

C

Vậy phương trình của đường rhẳng d là: :8 4 1 0d x y

3: a. Nhập thấy M1 thuộc (P), suy ra tiếp tuyến tại M1 có hệ số góc k=-1

Gọi d là đường thẳng đi qua 1

11,

2M

và vuông góc với tiếp tuyến

của (P) tại M1 ta có: 1

: 1 : 2 2 3 02

d y x d x y

b. Lấy ,M MM x y P . Suy ra: 2

MM

xy

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng M Mx x y y . Suy ra hệ số

góc của tiếp tuyến tại M là k=xM

Đường thẳng AM có hệ số góc 227 4

15 8

A M MM

A M M

y y xk

x x x

Vậy AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M khi và chỉ khi

1

2

2

3

11,

1 2

27 4 3 3 9. 1 . 1 ,

15 8 2 2 8

5 5 25,

2 2 8

M

MM M M

M

M

Mx

xk k x x M

x

x M

Vậy tồn tại ba điểm M1, M2, M3 thuộc (P) thoả mãnn yêu cầu bài toán

d. Phương trình đường thẳng d đi qua tiêu điểm ,02

pF

của (P) có

45

dạng d: 2Ax+2By-pA=0. toạ độ giao điểm , , ,A A B BA x y B x y của (P) và d là

nghiệm của hệ 2 2

2 2 0

y px

Ax By pA

thế x theo y ta được

2 22 0 1Ay pBy p A .

Phương trình (1) có hai nghiệm yA, yB thoả mãn 2

2A B

A B

pBy y

A

y y p

Phương trình tiếp tuyến tA của (P) tại điểm ,A AA x y có dạng :

:A A At y y p x x . Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại A là A

A

pk

y

Phương trình tiếp tuyến tB của (P) tại điểm ,B BB x y có dạng

:B B Bt y y p x x . Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại B là B

B

pk

y

Ta có 1A B A B

A B

p pk k t t

y y . Vậy hai tiếp tuyến tại A,B vuông góc

với nhau. Toạ độ giao điểm I của tA và tB là nghiệm của hệ phương trình:

46

Tài liệu tham khảo

1. Lê Hồng Đức (chủ biên)-Đào Thiện Khải-Lê Bích Ngọc-Lê Hữu Trí:

Các phương pháp giải Ba đường cônic - NXB Hà Nội

SGK hình học nâng cao 10 - NXBGD 2006

2. Nguyễn Minh Hà (chủ biên)-Nguyễn Xuân Bình: Bài tập nâng cao và

một số chuyên đề hình học 10

3. Trần Phương-Lê Hồng Đức : Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại

học môn toán Hình học giải tích - NXB Hà Nội

4. Đoàn Quỳnh(tổng chủ biên)-Văn Như Cương(chủ biên)-Phạm Vũ

Khúc-Bùi Văn Nghị: Hình Học 10 nâng cao

tiếp tuyến của các đường cônic · 3 mục lục lời nói đầu trang mục lục 2...

Documents