Capítulo 3A. Mediciones y cifras significativas

Presentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State University

© 2007

NASA

PARCS es una misión de reloj atómico programada para volar a la Estación Espacial Internacional (EEI) en 2008. La misión, costeada por la NASA, implica un reloj atómico de cesio de láser

frío para mejorar la precisión de la toma de tiempo en la Tierra.

Objetivos: Después de completar este módulo, deberá:

• Mencionar y dar las unidades SI de las siete cantidades fundamentales.

• Escribir las unidades base para masa, longitud y tiempo en unidades SI y USCU.

• Convertir una unidad a otra para la misma cantidad cuando se dan definiciones necesarias.

• Discutir y aplicar convenciones para dígitos significativos y precisión de mediciones.

Cantidades físicas

Una cantidad física es una propiedad cuantificable o asignable adscrita a un fenómeno, cuerpo o sustancia particular.

TiempoCarga

eléctricaLongitud

Una unidad es una cantidad física particular con la que se comparan otras cantidades del mismo tipo para expresar su valor.

Unidades de medición

Medición del diámetro del disco.

Un metro es una unidad establecida para medir longitud.

Con base en la definición, se dice que el diámetro es 0.12 m o 12 centímetros.

Unidad SI de medición para longitud

Un metro es la longitud de la ruta recorrida por una onda luminosa en el vacío en un intervalo de tiempo de 1/299,792,458 segundos.

1 m

1segundo

299,792,458t

Unidad SI de medición de masa

El kilogramo es la unidad de masa – es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo.

Este estándar es el único que requiere comparación para validar un artefacto. En la Oficina Internacional de Pesos y Medidas hay una copia del estándar.

Unidad SI de medición de tiempo

El segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado base del átomo de cesio 133.

Reloj atómico de fuente de cesio: El tiempo primario y la frecuencia estándar para el USA (NIST)

Siete unidades fundamentales

Cantidad Unidad Símbolo

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Corriente eléctrica Ampere a

Temperatura Kelvin K

Intensidad luminosa Candela cd

Cantidad de sustancia

Mol mol

Website: http://physics.nist.gov/cuu/index.html

Sistemas de unidades

Sistema SI: Sistema internacional de unidades establecido por el Comité Internacional de Pesos y Medidas. Dichas unidades se basan en definiciones estrictas y son las únicas unidades oficiales para cantidades físicas.

Unidades usuales en EUA (USCU): Unidades más antiguas todavía de uso común en Estados Unidos, pero las definiciones se deben basar en unidades SI.

Unidades para mecánica

En mecánica sólo se usan tres cantidades fundamentales: masa, longitud y tiempo. Una cantidad adicional, fuerza, se deriva de estas tres.

Cantidad Unidad SI Unidad USCS

Masa kilogramo (kg) slug (slug)

Longitud metro (m) pie (ft)

Tiempo segundo (s) segundo (s)

Fuerza newton (N) libra (lb)

Procedimiento para convertir unidades

1. Escriba la cantidad a convertir.

2. Defina cada unidad en términos de la unidad deseada.

3. Por cada definición, forme dos factores de conversión, uno como recíproco del otro.

4. Multiplique la cantidad a convertir por aquellos factores que cancelarán todo menos las unidades deseadas.

Ejemplo 1: Convertir 12 in. a centímetros dado que 1 in. = 2.54 cm.

Paso 1: Escriba la cantidad a convertir. 12 in.

Paso 2. Defina cada unidad en términos de la unidad deseada.

1 in. = 2.54 cm

Paso 3. Para cada definición, forme dos factores de conversión, uno como el recíproco del otro.

1 in.

2.54 cm

2.54 cm

1 in

Ejemplo 1 (cont.): Convertir 12 in. a centímetros dado que 1 in. = 2.54 cm.

Del paso 3. o1 in.

2.54 cm

2.54 cm

1 in

2.54 cm12 in. 30.5 cm

1 in.

21 in. in.12 in. 4.72

2.54 cm cm

¡Mala elección!

Paso 4. Multiplique por aquellos factores que cancelarán todo menos las unidades deseadas. Trate algebraicamente los símbolos de unidades.

¡Respuesta correcta!

Ejemplo 2: Convertir 60 mi/h a unidades de km/s dado 1 mi. = 5280 ft y 1 h = 3600 s.

Paso 1: Escriba la cantidad a convertir.

Paso 2. Defina cada unidad en términos de las unidades deseadas.

mi60

h

Nota: Escriba las unidades de modo que los numeradores y denominadores de las fracciones sean claros.

1 mi. = 5280 ft

1 h = 3600 s

Ej. 2 (cont): Convertir 60 mi/h a unidades de km/s dado que 1 mi. = 5280 ft y 1 h = 3600 s.

Paso 3. Para cada definición, forme dos factores de conversión, uno como recíproco del otro.

1 mi = 5280 ft

1 h = 3600 s

1 mi 5280 ft or

5280 ft 1 mi

1 h 3600 s or

3600 s 1 h

El paso 3, que se muestra aquí por claridad, en realidad se puede hacer mentalmente y no se necesita escribir.

Ej. 2 (cont.): Convertir 60 mi/h a unidades de ft/s dado que 1 mi. = 5280 ft y 1 h = 3600 s.

Paso 4. Elija factores para cancelar las unidades no deseadas.

mi 5280 ft 1 h60 88.0 m/s

h 1 mi 3600 s

Tratar algebraicamente la conversión de unidades ayuda a ver si una definición se usará como multiplicador o como divisor.

Incertidumbre de medición

Todas las mediciones se suponen aproximadas con el último dígito estimado.

0 1 2

Aquí, la longitud en

“cm” se escribe como:

1.43 cmEl último dígito “3” se estima como

0.3 del intervalo entre 3 y 4.

Mediciones estimadas (cont.)

0 1 2Longitud = 1.43 cm

El último dígito es estimación, pero es significativo. Dice que la longitud real está entre 1.40 cm y 1.50 cm. Sin embargo, no sería posible estimar otro dígito, como 1.436.

Esta medición de longitud se puede dar a tres dígitos significativos, con el último estimado.

Dígitos significativos y números

Cuando se escriben números, los ceros que se usan SÓLO para ayudar a ubicar el punto decimal NO son significativos, los otros sí. Vea los ejemplos.

0.0062 cm 2 cifras significativas

4.0500 cm 5 cifras significativas

0.1061 cm 4 cifras significativas

50.0 cm 3 cifras significativas

50,600 cm 3 cifras significativas

Regla 1. Cuando se multiplican o dividen números aproximados, el número de dígitos significativos en la respuesta final es el mismo que el número de dígitos significativos en el menos preciso de los factores.

245 N 6.97015 N/m

(3.22 m)(2.005 m)PEjemplo:

El factor menos significativo (45) sólo tiene dos(2) dígitos, así que sólo se justifican dos en la respuesta.

La forma correcta de escribir la respuesta es:

P = 7.0 N/m2

Regla 2. Cuando se suman o restan números aproximados, el número de dígitos significativos será igual al número más pequeño de lugares decimales de cualquier término en la suma o diferencia.

Ej: 9.65 cm + 8.4 cm – 2.89 cm = 15.16 cm

Note que la medición menos precisa es 8.4 cm. Por tanto, la respuesta debe estar a la décima de cm más cercana aun cuando requiera 3 dígitos significativos.

La forma correcta de escribir la respuesta es:

15.2 cm

Ejemplo 3. Encuentre el área de una placa metálica que mide 95.7 cm por 32 cm.

A = LW = (8.71 cm)(3.2 cm) = 27.872 cm2

Sólo 2 dígitos justificados: A = 28 cm2

Ejemplo 4. Encuentre el perímetro de la placa que mide 95.7 cm de largo y 32 cm de ancho.

p = 8.71 cm + 3.2 cm + 8.71 cm + 3.2 cm

Respuesta a décimas de cm:

p = 23.8 cm

Redondeo de números

Recuerde que las cifras significativas se aplican al resultado que reporte. Redondear sus números en el proceso puede conducir a errores.

Regla: Siempre retenga en sus cálculos al menos una cifra significativa más que el número que debe reportar en el resultado.

Con las calculadoras, usualmente es más fácil conservar todos los dígitos hasta que reporte el resultado.

Reglas para redondeo de números

Regla 1. Si el resto más allá del último dígito a reportar es menor que 5, elimine el último dígito.

Regla 2. Si el resto es mayor que 5, aumente el dígito final por 1.

Regla 3. Para evitar sesgos de redondeo, si el resto es exactamente 5, entonces redondee el último dígito al número par más cercano.

Ejemplos

Regla 1. Si el resto más allá del último dígito a reportar es menor que 5, elimine el último dígito.

Redondee lo siguiente a 3 cifras significativas:

4.99499

0.09403

95,632

0.02032

se vuelve 4.99

se vuelve 0.0940

se vuelve 95,600

se vuelve 0.0203

Regla 2. Si el resto es mayor que 5, aumente el dígito final por 1.

Redondee lo siguiente a 3 cifras significativas:

Ejemplos

2.3452

0.08757

23,650.01

4.99502

se vuelve 2.35

se vuelve 0.0876

se vuelve 23,700

se vuelve 5.00

Regla 3. Para evitar sesgos de redondeo, si el resto es exactamente 5, entonces redondee el último dígito al número par más cercano.

Redondee lo siguiente a 3 cifras significativas:

Ejemplos

3.77500

0.024450

96,6500

5.09500

se vuelve 3.78

se vuelve 0.0244

se vuelve 96,600

se vuelve 5.10

Trabajar con números

El trabajo en clase y el de laboratorio se deben

tratar de modo diferente.

En clase, por lo general no se conocen las incertidumbres en las cantidades. Redondee a 3 cifras significativas en la mayoría de los casos.

En laboratorio, se conocen las limitaciones de las mediciones. No se deben conservar dígitos que no estén justificados.

Ejemplo para salón de clase: Un auto que inicialmente viaja a 46 m/s experimenta aceleración constante de 2 m/s2 durante un tiempo de 4.3 s. Encuentre el desplazamiento total dada la fórmula.

210 2

2 212

(46 m/s)(4.3 s) (2 m/s )(4.3 s)

197.8 m + 18.48 m 216.29 m

x v t at

Para el trabajo en clase, suponga que toda la información dada es precisa a 3 cifras significativas.

x = 217 m

Ejemplo de laboratorio: Una hoja metálica mide 233.3 mm de largo y 9.3 mm de ancho. Encuentre su área.

Note que la precisión de cada medida está a la décima de milímetro más cercana. Sin embargo, la longitud tiene 4 dígitos significativos y el ancho sólo 2.

¿Cuántos dígitos significativos hay en el producto de longitud y ancho (área)?

Dos (9.3 tiene menos dígitos significativos).

Ejemplo para laboratorio (cont.): Una hoja metálica mide 233.3 mm de largo y 9.3 mm de ancho. Encuentre su área.

Área = LA = (233.3 mm)(9.3 mm)

Área = 2169.69 mm2

Pero sólo se pueden tener dos dígitos significativos. Por ende, la respuesta se convierte en:

Área = 2200 mm2

L = 233.3 mm

A = 9.3 mm

Ejemplo para laboratorio (cont.): Encuentre el perímetro de la hoja metálica que mide L =233.3 mm y A = 9.3 mm. (Regla de la suma)

p = 233.3 mm + 9.3 mm + 233.3 mm + 9.3 mm

p = 485.2 mm

Note: The answer is determined by the least precise measure. (the tenth of a mm)

Perímetro = 485.2 mm

L = 233.3 mm

A = 9.3 mm

Nota: En este caso, el resultado tiene másdígitos significativos que el factor ancho.

Notación científica

0 000000001 10

0 000001 10

0 001 10

1 10

1000 10

1 000 000 10

1 000 000 000 10

9

6

3

0

3

6

9

.

.

.

, ,

, , ,

La notación científica proporciona un método abreviado para

expresar números o muy pequeños o muy grandes.

Ejemplos:

93,000,000 mi = 9.30 x 107 mi

0.00457 m = 4.57 x 10-3 m

2

-3

876 m 8.76 x 10 m

0.00370 s 3.70 x 10 sv

53.24 x 10 m/sv

Notación científica y cifras significativas

Con la notación científica uno puede fácilmente seguir

la pista de los dígitos significativos al usar sólo aquellos

dígitos necesarios en la mantisa y dejar que la potencia

de diez ubique el decimal.

Mantisa x 10-4 m

Ejemplo. Exprese el número 0.0006798 m, preciso a tres dígitos significativos.

6.80 x 10-4 m

El “0” es significativo, el último dígito en duda.

Siete unidades fundamentales

Cantidad Unidad Símbolo

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Corriente eléctrica Ampere a

Temperatura Kelvin K

Intensidad luminosa Candela cd

Cantidad de sustancia Mol mol

RESUMEN

Resumen: Procedimiento para convertir unidades

1. Escriba la cantidad a convertir.

2. Defina cada unidad en términos de la unidad deseada.

3. Para cada definición, forme dos factores de conversión, uno como el recíproco del otro.

4. Multiplique la cantidad a convertir por aquellos factores que cancelarán todo menos las unidades deseadas.

Regla 1. Cuando se multipliquen o dividan números aproximados, el número de dígitos significativos en la respuesta final es igual al número de dígitos significativos en el menos preciso de los factores.

Regla 2. Cuando se sumen o resten números aproximados, el número de dígitos significativos debe ser igual al número más pequeño de lugares decimales de cualquier término en la suma o diferencia.

Resumen –Dígitos significativos

Reglas para redondeo de números

Regla 1. Si el resto más allá del último dígito a

reportar es menor que 5, elimine el último dígito.

Regla 2. Si el resto es mayor que 5, aumente el dígito final por 1.

Regla 3. Para evitar sesgos de redondeo, si el resto es exactamente 5, entonces redondee el último dígito al número par más cercano.

El trabajo en el salón y en el laboratorio se deben tratar de modo diferente a menos que se diga lo contrario.

Trabajo con números

En el salón, se supone que toda la información dada es precisa a 3 cifras significativas.

En el laboratorio, el número de cifras significativas dependerá de las limitaciones de los instrumentos.

Conclusión del módulo de dígitos significativos en las mediciones