titranje
TRANSCRIPT
Titranje
Titranje (oscilatomo gibanje) je jednood najčešćih gibanja u prirodi. To jegibanje pri kojemu materijalna čestica(oscilator) prevaljuje određeni putizmeđu dvaju krajnjih položaja, vraćase istim putem, nakon čega se togibanje periodički ponavlja. Titratimože materijalna točka, kruto tijelo,pa i tekućina u posudi. Primjerititranja su, na primjer, njihanje malekuglice na dugoj nerastezljivoj niti(Sl. 1),
/I{t~
?
Slika 1.njihanje tijela bilo kojeg oblikaobješenog izvan težišta (Sl. 2),
~:::=======~Slika 2.
ili titranje utega obješenog narastegnutu ili stisnutu oprugu (Sl. 3).
Slika 3.
Tijelo koje pliva na površini fluidatitra ako ga gumemo dublje, ili gadijelom izvučemo iz fluida na kojemupliva (Sl. 4).
U svim OVIm pnmjenma uzroktitranja usko je povezan sgravitacijskom silom, a pravac titranjaima komponentu u smjeru vertikale.Neka tijela titraju i bez utjecajagravitacije, u horizontalnoj ravnini,primjerice tijelo pričvršćeno nahorizontalno položenu oprugu iliplosnati predmet obješen na usukanu(tordiranu) nit (Sl. 5).
Slika 5.
U širem smislu, titranjem možemonazvati i svako periodičko gibanje pozatvorenoj stazi, primjerice gibanječestice po kružnici. Pri tome se nesamo položaj čestice, nego i njezinabrzina i akceleracija periodičkiponavljaju u određenim vremenskimrazmacima. Takvo periodičko gibanjeizvode planeti gibajući se po elipsamaoko Sunca (Sl. 6).
1
Slično se ponaša i sfemo njihalo,kuglica obješena na napetu nit, akojojgibanje nismo strogo ograničili navertikalnu ravninu (Sl. 7).
Slika 7~~ .. __••..~---.,Periodičko gibanje čestice u ravrurune mora nužno pretpostavljatizakrivljenu stazu, već staza može bitii poligon. Takav je slučaj kad sečestica nađe u omeđenojdvodimenzionalnoj udubini, tzv.biljaru, i giba se jednoliko, sve dok neudari u tvrdu stijenku, te se od njeodbije istom brzinom s kojom je došla(Sl. 8).
Slika 8.
Pri tome je kut upada, gledano premaokomici, jednak kutu odbijanja. Akose kuglica nakon nekoliko odboja opetnađe na prvotnoj stazi, njezino jegibanje periodično.
Harmoničko titranje
Harmoničko je titranje jedan posebnopravilan način titrajnog gibanja.Česticu koja harmonički titranazivamo harmonički oscilator. Kao
pnmjer, zamislimo uteg mase mobješen na stisnutu ili rastegnutuoprugu konstante k. Gibanjuharmoničkog oscilatora uzrok jeelastična (harmonička) sila. Ona utegnastoji vratiti u položaj ravnoteže, aopruzi vratiti ravnotežni oblik.Elastična sila je povratna sila, uvijekusmjerena suprotno od smjera pomakačestice iz ravnotežnog položaja.
Slika 9. m
Na Sl. 9 a prikazana je opruga bezutega. Ona nij e ni stisnuta nirastegnuta, i to je njezin ravnotežnioblik kad nema utega. Objesimo liuteg, opruga će se rastegnuti zaodređenu duljinu lo, to veću što jemasa utega veća (Sl. 9b). Naime,elastična sila želi oprugu vratiti uprvotni oblik i na prvotnu duljinu, alijoj se suprotstavlja težina utega. Akouteg miruje, on je u ravnoteži, štoznači da su se elastična sila Fe/ = kl.; itežina utega G = mg uzajamnoponištile. Stisnemo -li sada ilirastegnemo oprugu, tako da položajutega I bude veći ili manji od lo, utegje od položaja ravnoteže udaljen zas=l-ls (Sl. 9c), a elastičnu silu koja sepri tome javlja možemo pisati kao
Fe' = -k(l-Io) = -ks. (1)
2
Negativan predznak iskazuje da je silapovratna. Ako je uteg ispod položajaravnoteže, sila ima smjer prema gore,a ako je iznad položaja ravnoteže, silaima smjer prema dolje. Napomenimoda uteg ne mora vi sjeti na opruzi, većmože biti i učvršćen na gornjem krajuvertikalno postavljene opruge (Sl. 10).
Ta su dva načina najčešće zastupljenau pokusima koje s oprugom radimo uškolskom laboratoriju.
No moguće je zamisliti i oprugupoloženu vodoravno (Sl. 11).
U tom slučaju ne moramo voditiračuna o težini utega, jer je onauravnotežena reakcijom podloge, agibanje se zbiva u vodoravnoj ravnini.I sad djeluje elastična sila (1), uvijekusmjerena suprotno od produljenjaopruge. No ovako zamišljen pokus ulaboratoriju će biti mnogo teže izvesti:tu se naime gotovo uvijek javlja silatrenja koja se suprotstavlja gibanjuutega. Dakle i u slučaju horizontalnopoložene opruge možemo govoriti oharmoničkom titranju, ali samo ako setrenje između utega i podloge možesmatrati zanemarivim.
Vratimo se gibanju utega obješenogna oprugu. Ako smo stisnuli oprugutako da je uteg iznad ravnotežnogpoložaja, i zatim pustili uteg da segiba, on će se iz mirovanj apočetiubrzavati, a najveću će brzinu postićiupravo kad dosegne položajravnoteže. No baš zbog te velikebrzine doći će do izražaj a inercij a,stoga se uteg neće zaustaviti,već ćenastaviti svoje gibanje. Pri tome će sezbog povratne sile postepenousporavati, sve dok se opet nezaustavi. Povratna sila izazvat ćegibanje u suprotnom smjeru, i uteg ćese vratiti u položaj iz kojega jekrenuo. Nakon toga cijelo će segibanje ponavljati na potpuno istinačin. Kažemo da je gibanjeperiodično. Treba naglasiti da postojerazni načini periodičnog gibanja,ovisno o vrsti povratne sile koj adjeluje na tijelo. Svako se takvogibanje može protumačiti uz pomoćdrugog Newtonovog zakona(jednadžbe gibanja), ili polazeći odzakona očuvanja energije i količinegibanja.
Harmoničko je titranje samo jedno,najpravilnije, od mnogih vrstatitrajnih gibanja. Prije nego što seupustimo u rješavanje jednadžbigibanja, pokušajmo povezatiharmoničko titranje s jednom vrstomgibanja koju smo već ranije upoznali:s jednolikim gibanjem po kružnici.Može se , naime, pokazati da jeharmoničko titranje projekcijajednolikog gibanja po kružnici.
Harmoničko titranje kao projekcijajednolikog gibanja po kružnici
Zamislite da se čestica mase m gibajednoliko kutnom brzinom OJ = tp]: uvertikalnoj ravnini po kružnicipolumjera A, a obasjava jehorizontalni snop svjetlosti (Sl. 12).Na okomito položenom zastoru
3
projekcija čestice (njezina sjena) titragore - dolje. Tu ćemo projekcijuodsad zvati oscilator, za razliku odčestice koja se vrti po kružnici. Iztrokuta na Sl. 12 vidljivo je da jeudaljenost oscilatora od ishodišta
s = Asinmt. (2)
Brzina gibanja čestice po kružnici je
V ć = Am (3)
a njezina projekcija (brzina oscilatora)Je
v = Am cosmt . (4)
Akceleracija oscilatora projekcija jecentripetalne akce1eracije čestice
v2a . = - (5)C A
koja česticu drži u gibanju po
Vc ~"
.-''\.,> .C
A Fc - .. <b .• ,
c
a sila koja djeluje na oscilator
v2F = -m- sin ax .
A(8)
Usporedba s izrazom (2) pokazuje daje sila
(9)
Sila koja djeluje na oscilator(projekciju čestice) razmjerna jeudaljenosti s oscilatora od točke O, aima negativan predznak. Riječ jedakle o povratnoj sili, i to onajpravilnijem obliku povratne sile -elastičnoj ili harmoničkoj sili. Onaima oblik (pri čemu je s elongacija):
F = -ks . (10)
Zaključujemo da se oscilatorharmonički giba po dijelu pravca
/\o·
\/----=::::::----.------- -A
Slika 12.
kružnici. (Pornnoženo masom, to namdaje centripetalnu silu koja djeluje načesticu
v2F = m- ) (6)
ć ABudući da su centripetalnaakceleracija i centripetalna silausmjerene prema središtu C, njihovesu projekcije usmjerene premaishodištu O. Stoga je akceleracijaoscilatora
v 2 •
a = - A sm mt , (7)
između s = -Ai s = A poddjelovanjem harmoničke sile (10), pričemu je
(11)
ili
(12)
Period T titranja oscilatora jednak jeperiodu T kružnog gibanja čestice, zakoji otprije znamo da je
4
T = 2ff.OJ
(13)
Kad je njec o titranju, veličinu OJ
nazivamo kružnom frekvencijom.Oscilator dakle titra s periodom
(14)
i frekvencij om
(15)
Jednadžbe (2), (4) i (7) kazuju kako seosnovne kinematičke veličine, položajs, brzina vi akceleracija a, pri titranjumijenjaju s vremenom. Položaj sčestice, tj. njezinu udaljenost odravnotežnog položaja, u bilo kojemtrenutku zovemo elongacijom, anajveća moguća udaljenost A jeamplituda titranja.
Na Sl. 13 a, b i c prikazano je (punomcrtom) kako položaj s, brzina v iakceleracija a ovise o vremenu.Vidimo da su to krivulje tipasinusoide, koje sve imaju jednakperiod T. Najveća moguća elongacija,kako smo već naglasili, je A. Najvećamoguća brzina ima iznos V max = AOJ,
a iznos najveće moguće akceleracijeje amax = AOJ
2• Usporedbom Sl. 1(3 a
i 13 b uočavamo da je brzina najvećau trenutku kad čestica prolazi krozpoložaj ravnoteže. Kad je unajudaljenijim točkama A i -A, česticamijenja smjer gibanja, te joj je u timpoložajima brzina jednaka nuli. To sutzv. zaokretne točke. U našem smoprimjeru smatrali da je u trenutku t=Očestica u ravnotežnom položaju s=O.To ne mora nužno biti tako, već seona može nalaziti na nekom drugommjestu između krajnjih točaka. Tada
se vremensko ponašanje čestice možeopisati izrazom
s = Asin(cut + q>o)' (16)
U trenutku t=O čestica se nalazi upoložaju So = Asinq>o' a q>onazivamo početnom fazom. Položaj,brzina i akceleracija oscilatora spočetnom fazom q>o različitom odnule u ovisnosti o vremenu prikazanisu crtkanom linijom na Sl. 13 a, b i c.
Jednadžba gibanja harmonič-kog oscilatora
Česticu koja harmonički titra poddjelovanjem harmoničke silenazivamo harmoničkim oscilatorom.Poznajemo li silu, drugi Newtonovzakon omogućuje nam da doznamoponašanje čestice u bilo kojemtrenutku: njezinu akceleraciju, brzinui položaj. Kao primjer uzimamo utegmase m ovj ešen na oprugu konstante k(Sl. 3). Smatramo da je riječ omaterijalnoj točki.
Najprije moramo napisati drugiNewtonov zakon
ma=F (16)
uvrstivši harmoničku silu (10). DrugiNewtonov zakon tada glasi
ma =-ks (17)
ili
(18)
Podijelimo li taj Izraz s m I svečlanove prebacimo na lijevu stranu,dobivamo
5
(19)
Ovo je diferencijalna jednadžba.Njezino rješenje je funkcija srt), kojanam daje vremensku promjenupoložaja čestice. Ovdje nećemopotanko ulaziti u metode rješavanjatakvih diferencijalnih jednadžbi.Umjesto toga, pretpostavit ćemo da jerješenje moguće napisati u obliku
s = Asin(lUt + <Po). (20)
Taj smo oblik naslutili promatrajućititranje kao projekciju kružnoggibanja. Sad ćemo provjeritizadovoljava li funkcija (20)jednadžbu(19) i raspraviti o značenju konstanataA, mi<po.Najprije ćemo izračunati prvuderivaciju
ds = AlUCOS(lUt+ <Po), (21)dt
a zatim drugu derivaciju
(22)
Uvrstimo li to u jednadžbu (19),dobivamo
- Am2 sin(mt + <Po)+ ~ Asin(lUt + <Po) = Om
(23)Izlučit ćemo zajedničke faktore, padobivamo
A( _lU2 + ~ }in(lUt + <Po) =O. (24)
Ova jednadžba mora biti zadovoljenau svakom trenutku. Kako funkcij asinus mijenja vrijednost i ne možeuvijek biti jednaka nuli, to znači da jejednadžba ispunjena samo ako je prvazagrada jednaka nuli:
2 k- m + - = O. (25)m
Iz tog uvjeta dobivamo vezu kružnefrekvencije titranja ca s masom česticem i konstantom opruge k. Periodtitranja T, frekvencija v i kružnafrekvencija ai povezani su izrazima
2:rco= 2:rv = T' (26)
odakle dobivamo period
T = 2:rR (27)
i frekvenciju titranja
v = 2~ ff . (28)
Egzaktno rješavanje drugogNewtonovog zakona dovelo nas je doizraza koji smo naslutili promatrajućititranje kao projekciju kružnoggibanja. Funkcija (20) prikazujevremensko ponašanje čestice, tj.promjenu njezinog položaja(elongacij e) s u vremenu. Pri tomekonstanta A ima značenje amplitude,tj. najveće udaljenosti čestice odpoložaja ravnoteže, konstanta oi jekružna frekvencija, a konstanta <Po jefaza titranja u početnom trenutku.Grafički prikaz te funkcije je upravoonaj prikazan na S1.13 a.
Obrnutim postupkom, poznajemo lipoložaj u ovisnosti o vremenu,možemo naći i brzinu kao prvuderivaciju
v = AlUcos(mt + <Po) (29)
i akceleraciju kao drugu derivacijupoložajaa = -Am2 sin(lUt + <Po) . (30)
I te funkcije vidimo na Sl. 13.b) i c).
6
Slika 13.(a) Položaj x Im (b) Brzina vi (m/s) (c) Akceleracija a I(m/s'-)
2.0 10 60
1.0 5 30
0.0 O O
-1.0 -5 -30
-2.0 -10 -60O 1 2 O 1 2 O 1 2
tIT tIT tIT
Slika 14.Ep(x)/J i Ek(x)/J
Slika 15.Ep(t)/J i Ek(t)/J60 .---.------,--.------,
40 40
20 20
O O-Ep -Ep-Ek -Ek
-20 -20-1 O 1 O 1x/A tiT
2
Slika 17.Ep(x) u molekuli
o~·········rr-D 1------------. - anh. -
; - harm.
I
O 1 2x/xo
3
7
Energija harmoničkog titranja
Harmonička sila jest konzervativnasila. Konzervativne sile su one sile zakoj e rad ne ovisi o putu, već samo opočetnom i konačnom položaju. Zatakve je sile moguće definiratipotencijalnu energiju Ep i izračunati,za gibanje duž osi x, njezinu ovisnosto položaju X polazeći od izraza
dEp(x)
dxF(x) = (31)
Treba izračunati integral
Ep(x)=- f F(~)d~+Ep(XR)' (32)R
pri čemu je XR referentna točka.Sjetimo se da smo referentnomtočkom nazvali točku u kojoj znamovrijednost potencijalne energije. Upromatranom slučaju pretpostavilismo da je to ujedno i točka u kojoj jepotencijalna energija jednaka nuli.Treba voditi računa o tome da sereferentna točka i vrijednostpotencijalne energije u referentnojtočki svaki puta moraju iznovadefinirati.
Uz pretpostavku daje u našem slučajureferentna točka ishodište X R = O i daje to ujedno ravnotežna točka, te da jeu njoj potencijalna energija jednakanuli Ep(xR) = O, elongacija je s = x,a za potencijalnu energiju harmo-ničkog oscilatora dobivamo
Ukupna je energija harmoničkogoscilatora zbroj kinetičke ipotencijalne energije
(35)
1 212E=-mv +-kx .2 2 (36)
Uvrstimo li u (36) prije nađene izrazeza položaj X i brzinu v, dobivamo
1E = -mA2al cos2(mt + <Po)+
2
+!kA2sin 2 (mt + <Po)2
ili
E = !mm2A2 = !kA2
.
2 2
(37)
(38)
Ukupna je energija (38) konstantna,što smo i očekivali za konzervativnusilu. Ona linearno ovisi o konstantiopruge k, a razmjerna je i s kvadratomamplitude A. To je ujedno i najvećamoguća potencijalna energija kojumože poprimiti oscilator, naimepotencijalna energija u najudaljenijempoložaju, kad je brzina jednaka nuli.To se zbiva u zaokretnim točkama,gdje se čestica zaustavlja, a brzinamijenja smjer. Za vrijeme titranja,kako se čestica udaljava odravnotežnog položaja, njezinapotencij alna energij araste, a kinetičkase smanjuje. Kad je potencijalnaenergija najveća, kinetička je jednakanuli, a nakon toga ponovno sekinetička energij a povećava, apotencijalna smanjuje. Kinetička jeenergija najveća kad čestica prolazikroz položaj ravnoteže, a tada jepotencijalna jednaka nuli. To jeujedno položaj ravnoteže u kojem nedjeluje sila. Čestica se ipak nezaustavlja, jer ima inerciju, te senastavlja gibati na suprotnu stranu. NaSl. 14. prikazane su potencijalna ikinetička energija čestice koja
8
hannonički titra u ovisnosti opoložaju, a na Sl. 15. prikazana jenj ihova ovisnost o vremenu.
U stvarnosti su mnoga gibanja samopribližno hannonička. Javljaju se silekoje odstupaju od linearnog izrazaF = -la, i potencijalne energije kojese, prikažemo li ih grafički, više ilimanje razlikuju od parabole na Sl. 14.Valja naglasiti da će do periodičkogtitrajnog gibanja doći uvijek kadpotencij alna energij a ima minimum.
Ep
Slika 16.
Na Sl. 16. prikazana je potencijalnaenergija loptice koja se elastičnoodbija od tvrde podloge. Grafičkiprikaz je udo lina sastavljena od dvapravca, vertikalnog na x=O,uzrokovanog tvrdom podlogom, inagnutog, koji je zapravogravitacijska potencijalna energijaEp = mgx. Zanemarimo li gubitkeenergije, loptica bačena na pod odbijatće se od tvrde podloge i zboggravitacije svaki puta ponovno pastina tlo. To se gibanje između točakax=O i x=h periodički ponavlja.
U drugom primjeru, dva atoma udvoatomnoj molekuli međusobno sepribližavaju i udaljavaju, titrajući okoravnotežne udaljenosti x = Xo poddjelovanjem sile koja se razlikuje odhannoničke, pa je zovemoanharmoničkom silom. Potencijalna
energija takve sile u ovisnosti oudalj enosti x među atomima prikazanaje na Sl. 17. Za energije koje se malorazlikuju od najniže moguće, krivuljapotencijalne energije približno semože poistovjetiti s parabolom, te ćetitranje s malim amplitudama bitipribližno hannoničko. Ovdje jeparabola, kojom približno opisujemotitranje molekule s malimamplitudama, dana jednadžbom
Za veće amplitude titranje Jeanhannoničko. Dovede li se takvomtitrajnom sustavu, sastavljenom oddva atoma, dovoljna količina energijeD (energija disocijacije) molekula ćese raspasti na dva nepovezana atoma.Mogli bismo navesti i mnogo drugihprimjera hannoničkih ianhannoničkih gibanja u prirodi, odatoma do svemira, a sve nam toukazuje na važnost i univerzalnosttitrajnih pojava u svijetu oko nas.
Matematičko njihalo
Njihala su titrajni sustavi koje čestosusrećemo u svakidašnjem životu.Njihalo ćemo jednostavno načiniti akona kraj duge i tanke nerastezljive nitiobjesimo kuglicu ili neki drugi sitanpredmet. Time smo se dosta dobropribližili onome što se zovejednostavno ili matematičko njihalo.Matematičko je njihalo idealan sustav:na kraju savršeno tanke nerastezljiveniti duljine I nalazi se materijalnatočka mase m, koju u mislimamožemo zamijeniti sasvim malomkuglicom iste mase.Kad kuglicu pomaknemo izravnotežnog položaja i pri tomedržimo nit napetom (Sl. 18.), kuglicazbog svoje težine i novog položajaima potencijalnu energiju. Pustimo lije, ona će njihati oko ravnotežnog
9
položaja, otklanjajući se na jednu i nadrugu stranu za neki maksimalni kutotklona 90. Je li takvo titranjeharmoničko?
Da bismo odgovorili na to pitanje,postavimo jednadžbu gibanja. Prijesvega, moramo uočiti da staza kojomse kuglica giba sad više nije pravackao kod titranja mase na opruzi, većdio kružnice. Zbog napete niti duljineI, kuglica je prisiljena gibati se pokružnici polumjera I. Za takvo gibanjeupotrijebit ćemo drukčiji oblik drugogNewtonovog zakona, onaj koji smonaučili prilikom uvođenja u zakonevrtnje krutog tijela oko čvrste osi. Tajzakon glasi
M=la. (40)
gdje je a kutna akceleracija, Mmoment sile, a I moment tromosti. Zamaterijalnu točku onje
(41)
Kutna je akcerelacija druga derivacijakuta po vremenu, a moment sile kojiuzrokuje titranje potječe odgravitacijske sile. Na Sl. 18. vidimo..;....da se težina kuglice G može rastavitie,na dvije komponente: Ff, usmjerenutangencijalno na kružnicu prema
~položaju ravnoteže, i drugu Pn, usmjeru niti. Ova druga sila bit će
-;;
uravnotežena napetošću niti N, teneće utjecati na gibanje. Preostajetangencij alna sila iznosa
F, = mg sin 9 (42)
koja stvara moment sile
M = -mglsin9. (43)
Zato jednadžbu gibanja možemonapisati kao
d29-lmgsin9 = mt? -2-. (44)dt
Nakon dijeljenja s mz2 i prebacivanjasvih članova na lij evu stranu,dobivamo diferencijalnujednadžbu
d29 g. n O-- + - SIn t7' = .dt" I
(45)
Riješimo li ovu jednadžbu, doznatćemo kakvo je ponašanje kuta 9 uovisnosti o vremenu. Pogledajmoj ednadžbu i pri sjetimo se one koj a sepojavila kod titranja mase na opruzi.Hoće li i ovo titranje biti harmoničko?Uočimo razlike i sličnosti izmeđujednadžbi (45) i (19). Umjestoelongacije s, u prvom članu za njihalose pojavljuje kut otklona 9. Umjesto
faktora !, sad imamo g. U tim jem I
dijelovima jednadžbi lako postavitianalogiju. Najveća je razlika u tomešto se sad u drugom članu umjesto 9pojavljuje sin 9. Kad bismo smjelisin9 zamijeniti sa 9 i smatrati daje
sin 9 == 9, (46)
dobili bismo jednadžbu harmoničkogtitranja za kut otklona. Pokazuje se daza male kutove to zaista smij emo
10
učiniti. Napiše li se kut uradijanima,vrijednosti kuta i njegovog sinusagotovo se podudaraju zakutove.9 ~ 60• Jednadžba dakle glasi
(47)
a njezino rješenj e možemo pisati kao
.9=.90 sin(aJt + (jJo), (48)
pri čemu smo po analogiji s rješenjemjednadžbe za titranje opruge zaključilida vrijedi
(49)
i daje kružna frekvencija
aJ=ff· (50)
Period je titranja
T ~2"ff. (51)
a frekvencija
(52)
Za male otklone, kod koj ih kutnaamplituda ne premašuje 6°, periodtitranja ne ovisi o masi. To je osobinatitrajnih sustava kod kojih je uzroktitranju gravitacija.
(Ako su otkloni mali, dio kružnice pokojem se giba kuglica može sesmatrati približno dijelom pravca, aelongacija je
s = l sin .9 == [.9 (53)
(54
pri čemuje amplituda
(55)
Izjednačimo li dobiveni izraz za ca sonim koji poznajemo iz jednadžbeharmoničkog titranja
2 g kaJ =-=-[ m
(56)
vidimo da je za matematičko njihalokonstanta povratne sile
k = mg.)[
(57)
Ne smijemo zaboraviti da njihalo titraharmonički samo za male kutoveotklona. Ako su kutovi otklona veći ,tada je jednadžbu (45) nrrnogo težeriješiti. Period titranja u tom seslučaju ne može napisati jednostavnimkratkim izrazom, već je dan u oblikureda, u kojem su članovi parne
potencije izraza sin .90 • Taj red glasi2
T~2"H x
[1 1 . 2.90 9. 4.90 ]
x +4sm 2+ 64 sm 2+···(58)
Slijede daljnji članovi, a ako kut nijeprevelik, možemo se zaustaviti nanekom od prvih članova u redu.Posebno, za granične kutove za kojetitranje prestaje biti harmoničko, tj..9 == 6 o , možemo se zadržati nadrugom članu u uglatoj zagradi i..90 .....90 .sm- zamijemtr s -, te dobivamo2 2
(59)
11
Kut je ovdje dan uradijanima, aperiod, za razliku od ranij e opisanihharmoničkih titranja, ovisi oamplitudi.
Fizičko njihalo
Svako kruto tijelo može biti njihalo,ako ga objesimo oko čvrste osi kojane prolazi njegovim teži štern, i tadaga nazivamo fizičkim njihalom.Prepustimo li takvo njihalo samomsebi, ono će mirovati, jer se težinauravnoteži la sa molekulskim silamakoj e čine tij elo krutim.
U ravnotežnom položaju moment silekoji uzrokuje težina jednak je nuli.Pomaknemo li njihalo iz položajaravnoteže (Sl. 19.),
L
r .'
// Slika
19.
tad će samo dio težine bitiuravnotežen. Spojnica izmeđuobjesišta O i težišta T , koja imaduljinu L, sad zatvara s težinom ~kut.9, a rezultantni moment sile jerazličit od nule i iznosi
M = -Lmgsin.9 (60)
Za kruto tijelo jednadžba gibanja imaisti oblik kao i u slučajumatematičkog njihala
M=la. (61)
gdje je kutna akceleracija
(62)
Stoga sad jednadžbu gibanja možemopisati kao
(63)
Urednije prepisano, to je
(64)
Ponovno smo se suočili s j ednadžbomu kojoj se pojavljuje sin.9, i za kojuznamo da nema jednostavno :tješenje.No ako i sada pretpostavimo da suotkloni mali, te da je sin.9 == .9,jednadžbu možemo napisati kao
(65)
To je jednadžba harmoničkog titranjas kružnom frekvencijom
OJ = ~LmgI '
(66)
a kut .9ovisi o vremenu po formuli
.9= .90 sin(OJl+ rpo). (67)
Zanimljivo je uočiti da se kružnafrekvencija i sad može napisati uobliku sličnom onom koji smo imalikod matematičkog njihala:
w~ftUveli smo novu duljinu
(68)
12
i =_1-r mL (69)
i nazvali je reduciranom duljinomnjihala. To je ona duljina koju bimoralo imati matematičko njihalo dabi titralo s istim periodom kao fizičkonjihalo koje upravo opisujemo. Periodi frekvenciju titranja fizičkog njihalamožemo dakle opisati izrazima
T = 2ff J I = 2ff [l:Lmg ~g
(70)
Svaki kruti predmet može biti fizičkonjihalo: štap, valjak ili tijelo nekogdrugog pravilnog oblika obješenoizvan svog težišta, ali i neko sasvimnepravilno tijelo: stolac, stol, ilivišetonski sanduk ovješen na brodskojdizalici. Izraz (70) kaže nam da uovim slučajevima period titranja ovisio masi, zapravo o prostornomrasporedu mase koj ije opisanmomentom tromosti I Čak i malakuglica ovješena o beskonačno tankunerastezljivu nit predstavlja fizičkonjihalo, a jedino u graničnom slučajukad je njezin promjer tako malen da jemožemo smatrati materijalnomtočkom, postaje matematičkimnjihalom, te se izraz (70) svodi na(51).
U izrazu (69) uveli smo reduciranuduljinu ir fizičkog njihala. Ta duljinaprikazana je na Sl. 19, i na osi kojaspaja težište T i objesište O određujemjesto koje smo označili s O'. Ovatočka zove se centar titranja i imavažno fizikalno značenje. Naime, akona osi koja spaja težište i objesište
odredimo bilo koju točku i kroz njuprobodemo novu os, opet ćemo dobitifizičko njihalo. Za razne točke na osiperiodi titranja razlikovat će se.Jedino za točku O', period će bitiidentičan onom koji je njihalo imalokad se njihalo oko osi O. Za svakimogući period titranja postoje takvedvije točke O i O' na osi, oko kojih superiodi njihanjajednaki.
Vidjeli smo da u svim izrazima kojiopisuju fizičko njihalo važnu uloguima moment tromosti I tijela. Kad jeriječ o pravilnim tijelima, momentetromosti često znamo izračunati. Kakoos ne smije prolaziti kroz težište, jerbi tada tijelo u svakom položaju bilo uindiferentnoj ravnoteži, momenttromosti računamo služeći seSteinerovim poučkom. Pomoćupoznatog momenta tromosti i masetijela, te mjerenjem udaljenostiizmeđu težišta i objesišta, možemo ibez pokusa utvrditi kojim ćeperiodom njihati takvo tijelo. Drukčijeje kod nepravi Inih tijela kojimamoment tromosti ne znamo izračunati.Kod njih ćemo se poslužiti pokusom ukojem ćemo mjeriti period ilifrekvenciju njihanja, da bismo mogliizračunati moment trornosti. Timesmo dobili eksperimentalnu metoduza mjerenje momenta tromosti tijelaoko osi koja ne prolazi kroz težište.
Torzijsko njihalo
Torzijsko je njihalo primjer titranjakoja nisu uzrokovana gravitacijom.Torzija je deformacija koja nastajekad na valjkasti predmet tangencijalnona kružnicu presjeka djelujemo paromsila (Sl. 20.).
Povratna sila ovdje je molekulska silakoja usukanu (tordiranu) nit odelastičnog materijala nastoji vratiti upočetni oblik. Torzijsko se njihalosastoji od duge valjkaste niti, na koju
13
Slika 20.
..-.1.-.
je u težištu učvršćen plosnati predmetmase m i momenta tromosti I (Sl. 21).Ovisno o jačini vanjskog para sila, nitse može tordirati za bilo koji po voljiveliki kut .9, no čim sila prestanedjelovati, elastična sila stvara momentsile
M =-D.9 (72)
koji vraća nit u početni oblik.
Slika21.
«z; __.~
Zbog inercije nit se nastavlja uvijatina suprotnu stranu, i ako nemanikakvog trenja, dolazi doharmoničkog titranja. Veličina D jekoeficijent torzije i karakteristična jeza pojedinu nit. Jednadžba gibanja
M=la (73)
sad izgleda
(74)
ili
(75)
i predstavlja jednadžbu harmoničkogtitranja kružne frekvencije
0)= (D~I' (76)
perioda
(77)
te frekvencije
(78)
Vremenska ovisnost kuta otklonajest
.9 = .90 sin(mt + ((Jo) (79)
Uočimo da je, za razliku odmatematičkog i fizičkog njihala,torzijsko njihanje harmoničko bezobzira na kut. Jednadžba (75) naimevrijedi za sve, a ne samo za malekutove.
Torzijsko nam njihalo može poslužitiza eksperimentalno određivanjemomenta tromosti I nepoznatogplosnatog tijela oko osi koja prolazikroz njegovo težište. Najprije moramoodrediti koeficijent D torzije niti, a toćemo učiniti tako da ovjesimo na nitpravilnu ploču poznatog momentatromosti 10. Mjereći period titranja To,odredimo D, a zatim to isto učinimo snepoznatim tijelom. Iz izmjerenogtitrajnog vremena T i poznatog D
14
izračunamo, pomoću izraza (77),nepoznati moment tromosti I.
Prigušeno titranj e
U dosadašnjim primjerima titranjasvaki smo puta zanemarili trenje iotpor zraka. U stvarnosti trenjenajčešće nije zanemarivo. Kakav godpripremili pokus s masom koja titraovješena na oprugu ili njihalimarazličitih vrsta, opazit ćemo daoscilator titra sa sve manjom imanjom amplitudom, dok na kraju,poslij e dulj eg ili kraćeg vremena,titranje potpuno ne utrne. Iz poglavljao energiji sjećamo se da je ukupnaenergija ovisila o amplitudi. Ako seamplituda titranja smanjuje, znači dase energija gubi u okolinu. Uzroktome može biti otpor zraka ili drugogsredstva u kojem titra ili se njišetijelo, trenje na samom objesištu nitinjihala, ili to što nit njihala nijesasvim nerastezljiva, pa ona i samaizvodi složene oscilacij e na koj e setroši energija. Kod mase ovješene naoprugu najvažniji uzrok gubitakaenergij e (disipacij e) j est otpor
sredstva.
Na Sl. 22 na uteg uronjen u viskoznutekućinu djeluje sila otpora znatnoveća nego na uteg u zraku. Kod malihtijela možemo pretpostaviti da silaotpora ovisi line arno o brzini v, i da
naravno Ima smjer suprotan smjerugibanja
Fo = -bv, (80)
gdje je b neka konstantakarakteristična za oblik i ostalasvoj stva tij ela. Napišemo li drugiNewtonov zakon, sad osim elastičnesile moramo uzeti u obzir i silu otporazraka. Jednadžba gibanj a sad glasi
(81)
pri čemu znamo da j e brzina
dsV--- .
dt(82)
Jednadžba gibanja sada glasi
d?s dsm-+b-+ks = O.
dt2 dt(83)
Prikladno je uvesti nove konstantey imo , definirane relacijama
b2y=-
m(84)
(85)
Primjećujemo da y karakterizira ja-kost sile otpora sredstva, a mo jevlastita kružna frekvencija kojom bioscilator titrao da nema trenja.Jednadžba gibanj a izražena pomoćunovih konstanata j e
d2s ds 2-+2y-+m s=Odt2 dt o
(86)
Njezino je rješenje
15
Slika 23.Elongacija i amplituda kod prigušenog titranja
1.0
0.5
-0.5
-1.0 0.0 4.0 6.0 8.0 10.02.0tiT
Slika 24.Amplituda prisilnog titranja u ovisnosti o frekvenciji i otporu sredstva20181614
~ 12""s:::
~ 10~q: 8
64
2
OO
K: 0.05
K: 0.02
K: 0.1K: 0.2=0.4
2
16
(87)
Možemo reći da je rješenje poprimilooblik (20), ali s nekim bitnimrazlikama. Frekvencija co razlikuje seod frekvencije aJoi nešto je manja:
(88)
Dvije frekvencije jače se razlikuju ako.je veća sila otpora zraka, ali ta razlikanajčešće nije znatna. No najveća serazlika primjećuje u amplitudi. Novaamplituda
A - A -roi- oe (89)
eksponencijalno se smanjuje svremenom (Sl. 23). Masa i dalje titraovješena na oprugu, ali pri svakomsljedećem titraju amplituda joj jemanja. Nove amplitude slijedeeksponencijalnu krivulju, i nakonnekog vremena utmu. Koliko brzo ćese to dogoditi, nakon više titraja,nakon samo jednog cijelog titraja iličak i prije nego što se obavi cijelititraj, to ovisi o konstanti y, dakle oomjeru jakosti sile otpora i mase.
Prisilne oscilacije. Rezonancija
Govoreći o energiji, naglasili smo daje energija dana kvadratom amplitude.Kod prigušenog titranja amplituda sesmanjuje, dakle energija se gubi uokolinu. Često međutim želimo da setitranje nastavi, da ostane harmoničko,da amplituda bude konstantna. Toznači da djelovanjem neke vanjskesile moramo nadoknaditi energijuizgubljenu trenjem ili otporomsredstva. To je najjednostavnijeučiniti pomoću vanjske periodičnesile, koju ćemo predočiti u obliku
(90)
Jednadžba gibanja sad glasi
ma=-ks-bv+FocosaJl (91)
ili
Nećemo detaljno opisivati postupak,već ćemo navesti osnovna svoj stvarješenja ove jednadžbe. U početnimtrenucima nakon t = O javlja seprolazno nepravilno titranje, koje senakon nekoliko titraja ustali i postajeharmoničko. Takav sustav ne titra nivlastitom frekvencijom (85), nifrekvencijom prigušenog titranja (88),već frekvencijom vanjske sile (90)tor: Sustav je prisiljen titratinametnutom frekvencijom, a titranjemožemo opisati izrazom
(93)
Amplituda je stalna, dakle riječ je oneprigušenom titranju. Međutim, taamplituda ima zanimljiva svojstva.Ona ovisi o tome kakva je nametnutafrekvencija i koliko se razlikuje odvlastite frekvencije sustava.Deriviramo li dvaput rješenje (93) iuvrstimo li prvu i drugu derivaciju ujednadžbu (92), dobit ćemo daamplituda ovisi o vanjskoj frekvencijiprema izrazu
r,A = A(aJf)= m .
~(m/ -mo2j +4y2m/(94)
U broj niku je konstantan izraz. Unazivniku ispod korijena se međutimnalazi kvadrat razlike kvadratanametnute i vlastite frekvencije. Titrali nametnuti sustav zanemarivo
17
malom frekvencij om OJ f == O,amplituda prisilnog titranja jednaka jeFo / k . Ako je koeficij ent b sile otporaveći od granične vrijednosti
bg = -J2mk, povećanj em nametnutefrekvencije amplituda se smanjuje.Međutim, ako je b ~ -J2mk,
odnosno ako Je L s fI, sOJa ~2
povećanjem vanjske frekvencije OJ f
amplituda raste do maksimalnevrijednosti AR' a daljnjim sepovećanjem vanjske frekvencije opetsmanjuje Na Sl. 24. prikazana jeovisnost amplitude o vanjskojfrekvenciji za nekoliko vrijednostiomjera r /OJa •
Kako se povećanjem vanjskefrekvencije približavamo vlastitoj
frekvenciji, tako razlika OJ / - OJa 2 U
(94) postaje sve manja i manja, sve jemanji i njezin kvadrat, sve manjidakle i cijeli nazivnik, a amplituda sveveća i veća. Najveću vrijednostamplituda postiže kadje
i tada iznosi
(96)
Pojava izrazitog povećanja amplitudena određenoj frekvenciji naziva serezonancijom, ili preciznijeamplitudnom rezonancijom, afrekvencija (95) rezonantnomfrekvencijom. Ako se otpor sredstvamože zanemariti, tada će biti b == O.Rezonantna je frekvencija, kako jevidljivo i iz (94) i iz (95), tadajednaka vlastitoj frekvenciji sustava, a
amplituda će porasti iznad svakegranice: A ~ 00 •
U stvarnosti .otpor sredstva može bitimalen, ali nikad nij e sasvimzanemariv. Amplituda stoga možepostati dovoljno velika da je realnititrajni sustav ne može ostvariti, zbognedovoljne čvrstoće materijala odkojeg je načinjen. Tako ste vjerojatnoveć znali da pravilno stupanje vojnikapreko mosta ili periodični udari vjetramogu izazvati rezonantno titranjemosta tolikom amplitudom da se mostsruši. Poznate su i scene iz filmovakad zvuk trube ili ljudski glas kojiizvodi visoki ton pobudi na titranjestaklenu čašu, a ona zatim zbogprejakih vibracija pukne. Da bismopobudili sustav na harmoničkotitranje, treba djelovati vanjskomperiodičnom silom frekvencije bliskeonoj kojom bi sustav titrao da nemaprigušenja ni vanjske sile. To ste, i neznajući, činili ako ste ikada njihalimalo dijete na ljuljačci u parku.
Prisilne oscilacij e temelj su satnihmehanizama. Vanjska sila jegravitacija kod satova s njihalom iutezima, a elastična sila kod satova soprugom. Razvoj suvremene fizikepočeo je tek nakon što su GalileoGalilei (1564-1642) i ChristianHuygens (1629-1695) svojimotkrićima i izumima omogućili izradui široku upotrebu preciznih uređaj a zamjerenje vremena. Naime, pokusi saslobodnim padom i različitimgibanjima tijela nisu bili mogući dokse vrijeme mjerilo samo sunčanim ipješčanim satovima. Legenda kaže daje Galileo Galilei pri prvim pokusimasa slobodnim padom vrijeme mjeriootkucajima vlastitog pulsa. Kasnije je,promatravši njihanje lustera u crkvi,opazio pojavu da period njihanja ovisio duljini njihala, i na temelju togaGalilei i kasnije Huygens konstruiralisu prve točne satove.
18
19
Zbrajanje oscilacija
Kad neki titrajni sustav titra samojednim tipom oscilacija, tada možemopočetni trenutak odabrati tako da nampočetna faza u (20) bude jednaka nuli.No ponekad na isti sustav istodobnodjeluju dvije harmoničke sile, dvauzroka koji izazivaju dva različitatitranja. Konačno će titranje b*superpozicija, tj. zbroj tih dvajutitranja. U tom slučaju titranja se,osim u amplitudama i frekvencijama,mogu razlikovati također i u fazititranja, a te će razlike značajnoutj ecati na konačno rezultantnotitranje.
Razmotritj ednostavnij eoscilacij a.
ćemo nekeslučajeve
tipičnezbrajanja
Zbrajanje oscilacija jednakihfrekvencija na istom pravcu
Sustav koji je pobuđen da istodobnotitra dvjema različitim amplitudamaAl i A2 i dvjema početnim fazama o,i lP2' a jednakim frekvencijama OJ,tako da su mu elongacije
Sl = Al sin (OJ t + lPl)1
S2 = A2 sin(OJ t + lP2)'
(97)
(97')
izvodit će gibanje iste frekvencije ali snovom amplitudom i novompočetnom fazom
S = Asin(OJt + lP). (98)
Do tog se gibanja moralo doćizbrajanjem dviju elongacija (97) i(97'):
(99)
teje
Asin(OJt + lP) = Alsin(mt + lPl) + .(100)+ Az sin(OJt + lP2)
Kako naći rezultantnu amplitudu inovu fazu? Upotrijebit ćemo teoremadicije za funkcije sinus i kosinus, tegornji izraz možemo pisati
A(sin OJtcos tp + cos mt sin lP) == Al(sinOJtcoslPl + cosOJtsinlPJ+·+ A2 (sin mt cos lP2 + cos OJtsin lP2)
(101)
Dvije strane moraju biti jednake usvakom trenutku t, a to je mogućejedino ako su koeficijenti uzsin mt i cos OJtna obje strane identični.To nas vodi na izraze
AcoslP = Al COSlPl+ A2 COSlP2 (102)
AsinlP = Al sin o, + A2 sinlP2· (103)
Riješimo te dvije jednadžbe i nađemonepoznanice A i lP:
A = ~Al2 + A22 + 2Al A2 COS(lP2 -lPl)(104)
(105)
Funkcije (97), (97') i (98) prikazanesu na Sl. 25.
Metoda rotirajućih vektora
Isti rezultat dobit ćemo i ako seposlužimo metodom rotirajućihvektora. Ranije smo pokazali da se
19
3
2
e 1
~ O~......,;..cl)
-1
-2
Slika 25.Zbrajanje titraja jednake frekvencije na istom pravcu
-30.0 1.0 2.0 3.0 4.0tiT
Slika 27.Promjenljiva amplituda zbroja titraja različitih frekvencija
40
321
~ OCIJ-1-2-3
O
20
~A1-A2
20 ~~--~~--~--~~--~~--~--~~~O 1 2 4 5 6
Slika 28.Udari pri zbrajanju titranja bliskih frekvencija
I I
<,
/-,
-~-- - - ~~ - - - - ~iI- - - - ~iI- -
~ [)'''lJ ~/
I I I
10 20tiT
4030
21
titranje može shvatiti kao projekcijakružnog gibanja. To nam je naročitokorisno pri zbrajanju oscilacija sjednakim frekvencijama.
Svaku pojedinu oscilaciju prikažemokao projekciju vektora na os y (Sl.26). Vektori se razlikuju po iznosima(amplitudama) i početnim fazama, alitijekom cijelog kruženja međusobnozatvaraju isti kut rp2 - rpl . Time tvoreparalelogram, a vektorski zbroj,rezultanta, dijagonala je togparalelograma i ona jednakom kutnombrzinom OJ kruži oko ishodišta.Njezin iznos A i faza rp dani suizrazima (104) i (105).
Zbrajanje oscilacija različitihfrekvencija na istom pravcu
Zbog jednostavnosti promatrat ćemoslučaj da su obje početne faze titranjajednake nuli, tako da zbrajamoelongacije
(106)
I
(107)
U ovom slučaju rezultantno titranje
(108)
nije harmoničko, većamplituda pravilnovremenom po zakonu
se njegovamijenja s
A = JAI2 + A22 + 2AIA2 cos(OJI- m2 ~
(109)
Kažemo da je titranje modulirano.Amplituda A se smanjuje i povećava,oscilirajući između minimalne imaksimalne vrijednosti (Sl. 27):
(110)
y
Slika 26.
U posebnom slučaju jednakihamplituda A1=A2=A titranje se možeopisati izrazom
(OJ -m ). (m +m )s = 2Acos I 2 2 t SIn I 2 2 t .
(111)
Frekvencij a uz kosinus manj aje odfrekvencij e uz sinus, tako da izraz(111) možemo shvatiti kao titranjefrekvencijom (OJI+ mJ/ 2 imoduliranom rezultantnom amplitu-dom
(OJ + O) )AR = 2A cos I 2 2 t . (112)
U slučaju da su dvije frekvencije vrlobliske, pa je
(113)
vrlo malo, elongacijaje
s ~ 2A cos("; }in[ (@, + "; H(114)
Prikazujemo je na Sl. 28. Rezultat sutzv. udari, koje možemo čuti,primjerice, ako istodobno zatitramo
21
22
dvije jednake glazbene viljuške, odkojih smo jednoj sasvim malopromijenili frekvenciju nalijepivši nanju komadić plastelina. Pojava udaračesto se javlja i kod električnih titraja,pa je opažamo kad, tražeći stanicu naradioaparatu, naiđemo na dvaodašiljača bliskih frekvencija.
Zbrajanje titranja na među-sobno okomitim pravcima
Titranja koja smo dosad opisivalizbivala su se u jednoj dimenziji.Čestica je putovala po dijelu krivuljenajprije u jednom a zatim usuprotnom smjeru. Matematičkonjihalo titralo je po dijelu kružnice uvertikalnoj ravnini, a uteg na opruzipo dijelu pravca u horizontalnoj ilivertikalnoj ravnini.
Zamislimo sada da na česticu djelujudvije međusobno okomite harmoničkesile, jedna u smjeru osi x, a druga usmjeru osi y. U svakom od dvajusmjerova rezultantno je titranjeharmoničko, ali se razlikuje i uamplitudama, i u frekvencijama, i ufazi. Kako nije bitna svaka pojedinapočetna faza, već njihova razlika 5, tatitranja možemo opisati sljedećimdvama izrazima:
(115)
(116)
Rezultantno će se gibanje odvijati u x-y ravnini, a čestica će opisivatikrivulju. Njezinu jednadžbu dobijemoako iz (115) i (116) isključimovrijeme t. Rezultat izrazito ovisi oomjeru dviju frekvencija OJ2 / OJI i orazlici faza 5. Dobivene staze pokojima se čestica giba nazivaju seLissajousove krivulje. Ako je omjer
frekvencij a racionalan broj, to suzatvorene krivulje. Među njima imaravnih crta, osmica, elipsa i kružnica,kakve dobivamo kad se frekvencijeodnose kao mali cijeli brojevi, do vrlolijepih šara koje postaju sve složenije,kako omjer dviju početnih frekvencijapostaje složeniji. Na Sl. 29. prikazanoje nekoliko osnovnih Lissajousovihkrivulja za jednake amplitudeAI = Az = A. Uz svaku krivuljuoznačene su vrijednosti OJ2 / OJI 1
razlike faza 5.
Jednostavan pokus kojim možemopromatrati Lissajousove krivuljenačinit ćemo pomoću vrećicenapunjene pijeskom i obješene na nit.Vrećica obješena na nit može senjihati u svim smjerovima. Na stolispod tako dobivenog njihala stavimobijeli papir, a na dnu vrećiceprobušimo rupicu, tako da pijesakmože istjecati i padati na papir. Dokvrećica miruje, pijesak stalno pada uistu točku na papiru. Zanjišemo livrećicu, ovisno o početnoj brzini i opočetnom smjeru gibanja vrećice,budemo li dovoljno pažljivi, pijesakće iscrtavati različite Lissajousovekrivulje.
Vezani oscilatori
U prirodi i tehnici naći ćemo mnogoprimjera gdje su dva titrajna sustava,ili više njih, međusobno povezanielastičnom vezom. Zatitramo li jedanod dvaju oscilatora, on može drugomepredavati dio svoje energije. Pri tomese amplituda prvog titrajnog sustavasmanjuje, dok se amplituda drugogpovećava, i obrnuto. Za cijeli titrajnisustav energija je očuvana, dok sesvakome oscilatoru zasebno energij amože mijenjati.
Zamislimo vezani titrajni sustav kojinastaje kad dva jednaka utega masa m
22
Slika 29.1:1,o
1:2, o
1:3, o
Lissajou-ove krivulje1:1, nl4 1:1, nl2
1:2, nl4
1:3, nl4
1:2, n/2
1:3, n/2
23
24
pričvršćena jednakim oprugamakonstante k, na suprotne čvrstezidove, povežemo oprugom konstantek (Sl. 30).
oscilatora XI i X2. Taj se član nazivaenergijom vezanja, i omogućujeprijelaz energije s jednog sustava nadrugi. Taj je prijenos veći ako je
Slika 30.
Ako je u nekom trenutku gibanj a prviuteg pomaknut udesno za udalj eno stXI od svog ravnotežnog položaja, adrugi za udaljenost X2, lijeva seopruga produljila za XI, srednja za X2-XI, a desna se skratila za X2. Uoprugama sada djeluju elastične sile.Rezu1tante tih sila djeluju na utege, tecijeli sustav sada ima potencijalnuenergiju
(117)
Ep = ~(kl +k)XI2 +~(kl +k)x/ =kx.x;
(118)
Taj izraz ima karakterističnustrukturu, kakva se pojavljuje u svimvezanim titrajnim sustavima, odstrojnih dijelova do oscilacija usvijetu atoma. Prvi je član energijaprvog oscilatora, drugi je energijadrugog oscilatora, a treći sadrži u sebikonstantu vezanja k i elongacije obaju
x2
konstanta k veća pa, ovisno o njezinojveličini, govorimo o jakom ili oslabom vezanju.
Za svaki od utega sada možemonapisati jednadžbe gibanja - drugiNewtonov zakon. Za elongaciju XIprvog utega vrijedi
a za elongaciju X2 drugog utega
Uredimo li jednadžbe, dobivamo
di x, k, +k k--+--Xl =-X2dt? m m
(121)
(122)
24
25
Dobili smo sustav vezanihdiferencijalnih jednadžbi. Njihovarješenja mogu se podijeliti u dvijegrupe, i predstavljaju dva načinagibanja sustava. Postoje dakle dva tiparješenja. U prvom načinu gibanjejednog utega utječe na drugi,amplitude njihovih titranja semijenjaju, a tijekom gibanja utezijedan drugome predaju energiju.Drugi tip rješenja su tzv. normalnimodovi (načini gibanja), kod kojih sesvaki uteg giba neovisno o onomedrugome i nema prijenosa energije,Normalni su modovi vrlo posebnarješenja jednadžbi (119) i (120). Zaprvi normalni mod dobiju seelongacije
(123)
(124)
Dva utega titraju u fazi. Frekvencijatog titranjaje
(125)
i ne ovisi o konstanti vezanj a k.
Drugi normalni mod opisan Jeelongacijama
XI = A2 sin(a>2t + ((J2)I
(126)
(127)
Utezi titraju u protufazi. Frekvencijatog titranja
(128)
je veća od one prve, a OVISI I okonstanti k opruge koja povezuje dvaoscilatora.
Oberbeckova njihala
Pokus kojim ilustriramo ponašanjevezanih oscilatora izvodi se pomoćutzv. Oberbeckovih njihala (Sl. 31).
Slika 31.
To su dva identična fizička njihala, odkojih se svako sastoji od metalnogštapa na kraju kojegaje metalni valjakNjišemo li ih svakog zasebno s malimamplitudama, oni će izvoditi,neovisno jedan od drugog,harmoničke titraje. No ta se dvanjihala mogu povezati oprugom.
Ako sad zanjišemo prvo njihalo,njegova će se amplituda postupnosmanjivati, dok će drugo njihalopočeti njihati sve jače i jače. Pokusilustrira prijenos energije s jednognjihala na drugo. Pri tome seamplitude obaju njihala stalnomijenjaju. Postoje međutim dvanačina, normalna moda, kakomožemo zanjihati vezanaOberbeckova njihala, a da amplitudesvakoga od njih ostanu stalne i da nebude prijenosa energije s jednognjihala na drugo. Prvi je kad njihalazanjišemo potpuno paralelno, u fazi, adrugi kad su faze suprotne (Sl. 32).
25
26
001
Zanimljivo je da frekvencije tih dvajumodova, dane izrazima (125) i (128),nisu jednake.
Titranje atoma i molekula
Poznato je da molekule zračeelektromagnetske valove umikrovalnom i infracrvenom područjuelektromagnetskog spektra.
Cl
<Slika33.
< '>
Za potpuno razumijevanje gibanja izračenj a atoma potrebno je poznavatijoš mnogo činjenica koje nismo učiliu mehanici. Ipak, treba reći da se nekasvojstva molekula i njihovih zračenjamogu razumjeti ako se molekulepredoče kao klasični mehaničkisustavi sastavljeni od oscilatora.Primjerice, molekula HCI sastoji se odatoma vodika i atoma klora, koji senalaze na ravnotežnoj udalj enosti od0,13 nm (Sl. 33).
002
Slika 32.
Ta udaljenost nije čvrsta, već se atomipribližavaju i udaljavaju jedan oddrugoga pod djelovanjem sile koja jeslična harmoničkoj. Potencijalnaenergija takve sile u ovisnosti oudaljenosti među atomima prikazanaje na Sl. 17. Za razliku od harmoničkepotencijalne energije (parabola na Sl.17), titranje oko ravnotežnog položajasamo je za male energije simetrično.Za nešto veće energij e ono jenesimetrično, a za još veće atomi semogu otrgnuti jedan od drugoga idolazi do disocijacije molekule. Uslučaju molekule HCI kružnafrekvencija titranja jeOJ = 5,6.1014 S-I, a energijadisocijacije 4,6 eVo I molekula od triili više atoma može predstavljativezani titrajni sustav. Na Sl. 34prikazana je molekula CO2 i trimoguća načina njezinog titranja.Izmjerene frekvencije tih titranjaOJ =44·1014
S-1 OJ =25·1014
S-1
l' '2'
i m3 = 1,3 . 1015S -1 mo gu se izračunati
pomoću jednadžbi gibanja. Ovaj namprimjer ukazuje na važnost zakonatitranja za razumijevanje strukture isvojstava tvari.
26
27
o c o001
002
003
Slika 34.
Zadaci:
1. Vodoravno položena daska titra uhorizontalnoj ravnini s amplitudom 1,5 m.Ako je frekvencija 12 titraja u minuti,izračunajte najmanju vrijednost koeficijentatrenja potrebnu da tijelo koje leži na dasci nesklizne s nje prilikom titranja.
2. Nacrtaj te grafički prikaz ovisnostielongacije o vremenu za česticu koja titra pozakonu
S = O05mSin(Jr ~ + Jr)., 6 S 4
3. Bakrena kugla obješena na oprugu izvodivertikalne oscilacije. Kako će se promijenitiperiod titranja, ako tu kuglu zamijenimoalurninijskom kuglom jednakog polumjera?Gustoća bakra je 8900 kg/nr', a aluminija2700 kg/nr'.
4. Četiri jednake opruge, svaka konstantek=100 N/m, ovješene su jedna ispod druge, ana najnižu je obješen uteg nepoznate mase.Kad se taj sustav izvuče iz položaja ravnotežei pobudi na titranje, opažamo da načini 120titraja u jednoj minuti. Kolika je masa utega?
5. Kocka stranice a=10 cm, načinjena oddrveta gustoće 400 kg/rrr' , pliva na vodi. Akoje potisnemo dublje u vodu i pustimo, ona ćepočeti titrati. Izračunajte period i frekvencijukojom titra kocka.
6. Homogena okrugla ploča polumjera 99,3cm predstavlja fizičko njihalo, ako jezanjišemo oko vodoravne osi paralelne s osisimetrije ploče. Izračunajte i grafički prikažitekako period tog titranja ovisi o udaljenosti rosi od središta ploče.
7. Koliki je period fizičkog njihala u oblikuhomogenog štapa duljine 1 m, ako se taj štapnjiše oko osi koja prolazi jednim njegovimkrajem?
8. Amplituda matematičkog njihala kojeprigušeno titra, smanji se na polovicu zavrijeme od jedne minute. Koliko će sesmanjiti za tri minute?
9. Prikažite grafički ovisnost potencijalne ikinetičke energije čestice mase 10 g kojaharmonički titra s amplitudom 2 cm ifrekvencijom 4 Hz, s početnom fazomjednakom nuli: a) o položaju, b) o vremenu.
. 10. Otpor pri gibanju utega kroz sredstvo danje zakonom Fi=bv, gdje je b=3kg s:'. Utegima masu 1 kg i obješen je na oprugukonstante k=100N/m. Na uteg djeluje vanjska
periodična sila F = Fo cos o)l .a) Izračunajte vlastitu frekvenciju 0)0 sustava.
b) Izračunajte rezonantnu frekvenciju o)f irezonantnu amplitudu AR, ako je amplitudavanjske sile jednaka Fo=2N. c) Nađitepripadne frekvencije viperiode T.
27