titresimsunum cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/titresimsunum.pdf ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/1.jpg)
MEKANİK TİTREŞİMLERMEKANİK TİTREŞİMLER
![Page 2: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/2.jpg)
• Titreşim nedir?
Bir sistemin denge konumu civarında yapmış olduğu l h k ti tit i d isalınım hareketine titreşim denir.
Eğer yapılan salınım hareketi T saniyede kendini tekrar ediyorsa böyle hareketlere peryodik hareket denir. En basit peryodik hareket harmonik hareket adını alır. p y
x(t)=x(t+nT)x=Yer değiştirme m, rad
İ İ İ
ğ ş ,t=Zaman sT=Peryod sn=Peryod sayısı adet
DAVULUN TİTREŞİMİ
![Page 3: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/3.jpg)
Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler
ve sistemin bu dış kuvvetlere cevap ve sistemin bu dış kuvvetlere cevap verme özelliğinden kaynaklanır.
Dış Kuvvetler: Dış Kuvvetler: Sistemin bağlı olduğu temelden gelen
kuvvet kuvvet Dönen sistemlerde dengelenmemiş
kütleler,üt e e , Motorlarda gidip-gelen kütleler, Darbe deprem vb nedenlerle oluşan Darbe, deprem, vb. nedenlerle oluşan
herhangi bir kuvvet olabilir.
![Page 4: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/4.jpg)
Titreşim kaynakları:Titreşim kaynakları: Her türlü
endüstriyel makine Karayolu ve raylı
l l ulaşım araçları, Binalarda
kullanılan makine kullanılan makine ve teçhizat, vb. hareketli sistemlertitreşim
kaynakları olarak görülmelidir görülmelidir.
![Page 5: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/5.jpg)
Tit i l i Etkil iTitreşimlerin Etkileri: Gürültü
Yük k il l Yüksek gerilmeler Aşınma Malzeme yorulması gibi istenmeyen sonuçlara
neden olurlar.
![Page 6: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/6.jpg)
M ki l d tit i l ld Makinalarda titreşim olması genelde istenmez. Çünkü titreşimler sırasında makina parçalarına uygulanan makina parçalarına uygulanan kuvvetler gürültü, yüksek gerilmeler, aşınma, malzeme yorulması gibi istenmeyen davranışlara sebep olur istenmeyen davranışlara sebep olur. Ancak titreşimden yarlanan bazı makinalar da vardır. Günlük hayatta ysık sık karşılaştığımız titreşimli yol silindirleri, titreşimli konveyörler, darbeli matkaplar masaj darbeli matkaplar, masaj makinaları,elektrikli traş makinaları bunlar arasındadır.
![Page 7: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/7.jpg)
Titreşime maruz kalan insanlarda:Titreşime maruz kalan insanlarda:
Fi ik l ik l jik Fiziksel ve psikolojik rahatsızlıklar (yorgunluk, dikkat azalması dikkat azalması, ortopedik rahatsızlıklar, sakatlıklar, iş kazaları, , ş ,vb. )
Yaşam kalitesinde olumsuz etkiler
Çalışma performansının azalması
![Page 8: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/8.jpg)
Tit i Si t l i i El lTitreşim Sistemlerinin Elemanları
Kütle x
Yay
Sönüm
Kuvvet x
![Page 9: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/9.jpg)
S b tlik D iSerbestlik Derecesi
H k t h li d ki bi i t i l l d Hareket halindeki bir sistemin elemanlarının durum vekonumlarını belirleyen parametrelere koordinat denir.
Bir sistemin bütün parçalarının her hangi bir zamanda Bir sistemin bütün parçalarının her hangi bir zamandakonumlarının tamamen belirli olması için gereklibirbirinden bağımsız minimum koordinat sayısınaserbestlik derecesi denir.
![Page 10: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/10.jpg)
T k S b tlik D li Si t lTek Serbestlik Dereceli Sistemler
x
x
x
![Page 11: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/11.jpg)
İki S b tlik D li Si t lİki Serbestlik Dereceli Sistemlerx
1
x1
2
x2
1 2
![Page 12: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/13.jpg)
Example of the modeling of a p gforging hammer:
13
![Page 14: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/14.jpg)
A k Sü kli Si t lAyrık ve Sürekli Sistemler
S l d b tlik d li i t l k i t Sonlu sayıda serbestlik dereceli sistemlere ayrık sistemdenir.
Serbestlik derecesi sonsuz olan sistemlere sürekli sistem Serbestlik derecesi sonsuz olan sistemlere sürekli sistemdenir.
Sürekli sistem
![Page 15: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/15.jpg)
SI Birim SistemiSI Birim Sistemi
İİsim Birim SembolUzunluk Metre mKütle Kilogram kgKütle Kilogram kgZaman Saniye sKuvvet Newton N (kg.m/s2)Gerilme Pascal Pa (N/m2)Gerilme Pascal Pa (N/m )İş Joule J (N.m)Güç Watt W (J/s)Frekans Hertz Hz (1/s)e a s e t ( /s)Moment M N.mKütlesel Atalet Momenti J kg.m2
Kesit Atalet Momenti I m4
![Page 16: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/16.jpg)
Titreşim Nedir?Titreşim Nedir?
![Page 17: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/17.jpg)
Harmonik Hareket
t2sinAx
x=Yerdeğiştirme (m,rad)
A=Genlik (m,rad)
T2sin Ax
t=Zaman (s)
T=Peryot (s)
x
A
t
T
![Page 18: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/18.jpg)
Titreşim genliği üç farklı biçimde ifade edilir.
k t k (P P)(İki t d ki kl k) Kütl i tit i peak to peak (P-P)(İki tepe arasındaki uzaklık): Kütlenin titreşim esnasında ulaştığı iki uç nokta arasındaki uzaklıktır. Değeri 2a'dır.
Zero to peak (0-P): Denge konumu ile tepe noktası arasındaki uzaklıktır. Değeri a'dır.
RMS (Root mean square)(Kareler toplamının karekökü): RMS (Root mean square)(Kareler toplamının karekökü): Titreşimin efektifdeğeridir. Elinizi titreşim yapan makina üzerine koyduğunuzda hissettiğiniz titreşim seviyesidir. Basit harmonik harekette 0-P değerinin 0.7071 katıdır.
![Page 19: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/19.jpg)
Daire Üzerinde Hareketli Bir Noktanın H ik Gö t i iHarmonik Gösterimi
2
PA A
x
t
t sinA
O
2 2 fT
22
x Asin tx Acos t Asin t /2
2sin sin( )2x ‐ A t A t
![Page 20: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/20.jpg)
Harmonik Harekette Yerdeğiştirme Hız İ V ktö l i i Gö t i ive İvme Vektörlerinin Gösterimi
2A x
x180
AA t x
t90
180
xx
![Page 21: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/21.jpg)
Euler Denklemi Yardımı ile Döner Bi V ktö ü Gö t i iBir Vektörün Gösterimi
sin i cose iEuler Denklemi
eAeAz i t i yxA 22 t
iy xzt sin A i t cos Az
xytan
yxA
1
t
A t ie Az
![Page 22: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/22.jpg)
Graphical representation of the ti f h i ill tmotion of a harmonic oscillator.
![Page 23: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/23.jpg)
Yay ElemanlarıYay Elemanları
l l lHelisel Yaylar
![Page 24: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/24.jpg)
Yaprak YaylarYaprak Yaylar
![Page 25: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/25.jpg)
Y K kt i tikl iYay Karakteristikleri
F (N) F (N)
X (m) X (m)X (m) X (m)
Lineer (doğrusal) yay karakteristiği
Non-Lineer (doğrusal olmayan) yay karakteristiği
![Page 26: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/26.jpg)
Y K tYay Katsayısı
Kuvvet
(N/m) Ftank ( )x
Yerdeğiştirme
![Page 27: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/27.jpg)
Y K t T blYay Katsayısı TablosuIE
LIEk
AEkL
k
I Gk p
4d Gk
Lk
3R n64k
EI3k 3Lk
![Page 28: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/28.jpg)
IE48
L/2
3LIE48k
3LIE192k
L/2
L
3L 7IE768k
L/2
![Page 29: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/29.jpg)
a b
y 222x22 bxL
L I E 6xbPy
baLIE3k
x
EI L IE12k 3Lk
![Page 30: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/30.jpg)
2
IE3k 2aaL
L a
IE24k a 8L3a
k 2
L a
![Page 31: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/31.jpg)
Y l P l l B ğlYayların Paralel Bağlanması
m m xx
k1 k2 keş
n
kkkkkk
1i
nn321eş kk......kkkk
![Page 32: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/32.jpg)
Y l S i B ğlYayların Seri Bağlanması
m xm x
k1keş
k2
n
111111
1i in321eş k
1k1.....
k1
k1
k1
k1
![Page 33: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/33.jpg)
ÖRNEKÖRNEK:
k1 k2 ğk1 k2
m x
Yandaki sistemin eşdeğer yay katsayısını hesaplayınız.
k3
k44
![Page 34: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/34.jpg)
ÖRNEKÖRNEK:
kç1
ğk1kç2
Yandaki sistemin eşdeğer yay katsayısını hesaplayınız.
k2
m x
![Page 35: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/35.jpg)
ÖRNEKÖRNEK:
G3,Ip3,L33, p3, 3G1,Ip1,L1 G2,Ip2,L2
J
Yukarıdaki burulma sistemin eşdeğer yay katsayısını hesaplayınız.
![Page 36: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/36.jpg)
Sö ü El lSönüm Elemanları
Viskoz sönüm Viskoz sönümDamping force is proportional to the
velocity of the vibrating body in a fluid velocity of the vibrating body in a fluid medium such as air, water, gas, and oil.
Coulumb (kuru sürtünme) sönümü Coulumb (kuru sürtünme) sönümüDamping force is constant in magnitude
but opposite in direction to that of the but opposite in direction to that of the motion of the vibrating body between dry surfacesdry surfaces
![Page 37: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/37.jpg)
Malzeme (histeresiz) sönümEnergy is absorbed or dissipated by
l d d f dmaterial during deformation due to friction between internal planesEl k ik d Elekro-manyetik damper
Elektro-viskoz damper Piezo-elektrik damper
![Page 38: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/38.jpg)
Kütl At l t El lKütle ve Atalet ElemanlarıBir cismin bir dönme eksenine göre kütlesel atalet momentinin Bir cismin bir dönme eksenine göre kütlesel atalet momentinin tanımı:
Ddm
2dmrJ
r
D
dönme ekseni
![Page 39: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/39.jpg)
Problem: Orta noktasından mafsallı ve sabit kesitli bir çubuğunProblem: Orta noktasından mafsallı ve sabit kesitli bir çubuğun kütlesel atalet momentinin bulunması
y
A
yx
xA
dxL/2
L
![Page 40: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/40.jpg)
Çözüm:
dxAdV Elemanter hacim dxAdV dV dm
2dmrJ
Elemanter hacim
Elemanter kütle
Kütlesel atalet momentinin tanımından D
2L
2L
22 dxxA dxx A J
2L
2L-
32L
3
LA1xAJ bulunur
2L
LA123
A J
2Lm1JLAm
bulunur.
burada Lm12
J LAm burada,
![Page 41: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/41.jpg)
Problem: Bir diskin dönme eksenine göre kütlesel atalet momentininProblem: Bir diskin dönme eksenine göre kütlesel atalet momentinin bulunması.
drd
r
dA
R
L
![Page 42: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/42.jpg)
Çözüm:
Elemanter alan drdsinrdA Elemanter alan
Elemanter hacim
Elemanter kütle
dr.dsin.rdA
dr.d sin r.L.dA.LdV drdL r sindVdm Elemanter kütle dr .dL.r.sin.dV.dm
dr.d.Lr.dm bulunur. dd sin2 R
2
0
R
0
43
D
2 R..L.21dr.d.r.L.dmrJ
22 R.m21J L.R..V.m 2
![Page 43: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/43.jpg)
TİTREŞİM PROBLEMLERİNİN DOĞRUSALLAŞTIRILMASI Ü Ü Ğİ İ(KÜÇÜK YER DEĞİŞTİRMELER)
Titreşim problemleri, ötelemeler ve dönmelerin küçük olduğu kabulü ile doğrusal diferansiyel denklemler ile incelenmektedir. Büyük yer değiştirmeler söz konusu olduğunda doğru çözüm için Büyük yer değiştirmeler söz konusu olduğunda doğru çözüm için diferansiyel denklemlerin nonlinear formları göz önünde bulundurulmalı ve çözümler bu şekilde yapılmalıdır.
![Page 44: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/44.jpg)
![Page 45: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/45.jpg)
Sö ü ü S b t Tit iSönümsüz Serbest TitreşimDüşey konumda kütle-yay sisteminin hareket denklemi:ş y y y
x
t
L0
stk
kk
x
Statik denge konumu
![Page 46: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/46.jpg)
k stk
Serbest cisim diyagramı
g.mG
St tik d k 0F kG Statik denge konumu: 0Fy 2n
st
st
gmk
.kg.mG
stn
gmk
Burada, n sistemin tabii frekansıdır.
![Page 47: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/47.jpg)
Newton’un 2 kanunu uygularsak )x(k Newton un 2. kanunu uygularsak,
x
)x(k st
xm
GxkxmamF
g.mG
Gx-k xm a.mF st
st.kg.mG olduğundan,
0xk x m bulunur.
![Page 48: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/48.jpg)
Yatay konumda kütle-yay sisteminin hareket denklemi:y y y
x
k
x
x k
N ’ 2 k l k
m
xm
m
Newton’un 2. kanunu uygularsak,
a.mF
0xk x m x-k x m
b lbulunur.
![Page 49: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/49.jpg)
Hareketin Diferansiyel Denkleminin Enerji Metodu ile Bulunması
Bu metoodun kullanılabilmesi için titreşim sisteminin;ç ş ;
• Sönümsüz
• Tek serbestlik dereceli olması gerekir.
sabitCEE pk pk
d 0EEdtd
pk
![Page 50: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/50.jpg)
Sönümsüz Serbest Titreşim Hareket Denkleminin Bulunması
0k 0xk x m Bu diferansiyel denklemin çözümünün
tsA tse Ax biçiminde olduğunu biliyoruz. Burada, A ve s integrasyon sabitleridir Çözüm kabulünü türetirsek sabitleridir. Çözüm kabulünü türetirsek,
ts2
ts
A
e A sx
ts2 e Asx Bulunur. Bunlar yukarıdaki diferansiyel denklemde yerine konursakonursa,
![Page 51: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/51.jpg)
0eAksm st2 0eA k s m s
Burada, 0e ,A ts dır.,
0ks m 2
Bulunur, bu denkleme karakteristik denklem denir. Karakteristik denklemin kökleri,
n2,1 imks
dir.
![Page 52: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/52.jpg)
Bu durumda, hareket denklemi: ,
ti2
ti1
ts2
ts1
nn21 eAeAeAeA)t(x
A1 ve A2 başlangıç şartlarından bulunacak katsayılardır.
t.sin.it.cose ti eşitliği kullanılırsa, ş ğ ,
tsin it cosAtsin it cosA)t(x nn2nn1 tsin AAitcosAA)t(x n21n21
AAB B A A i olmak üzere 211 AAB ve 2 1 2B A A i olmak üzere,
![Page 53: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/53.jpg)
tsinBtcosB)t(x olurtsinBtcosB)t(x n2n1 olur.
B l tl
0xx(0)0t lBaşlangıç şartları
0x)0(x 0t
olsun.
Bu durumda, , xB 01
n
02
xB
bulunur.
Buradan başlangıç şartlarına bağlı hareket denklemi aşağıdaki şekilde bulunur.
tix
t)t( 0
tsintcosx)t(x nn
0n0
![Page 54: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/54.jpg)
Problem: Aşağıdaki sarkacın diferansiyel denklemini çıkarınız TabiiProblem: Aşağıdaki sarkacın diferansiyel denklemini çıkarınız. Tabii frekansını ve periyodunu hesaplayınız.
L uzunluğunda ağırlıksız bir ipin ucuna m kütlesi asılmıştır.
Çözüm:
L J
gm
![Page 55: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/55.jpg)
Newton’un 2 kanunu uygulanırsaNewton un 2. kanunu uygulanırsa,
TopJM
sin g.L -m J 2LJ i02L mJ sin 0 alınabilir.
0g0LgmLm 2 buradan0L
0LgmL m buradan,
gk rad/s
12T
sLmn rad/s
nn fT
s
![Page 56: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/56.jpg)
Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyelProblem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız.
Lm,L
M
k
![Page 57: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/57.jpg)
Çözüm:
Sistemin denge konumunu bir miktar bozalım ve Sistemin denge konumunu bir miktar bozalım ve oluşan kuvvetleri gösterelim.
k
mJ
x.kg.m
MJg.M
M
![Page 58: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/58.jpg)
Newton’un 2 kanunu uygulanırsa
TopJMNewton un 2. kanunu uygulanırsa,
L cos x.Lk - sin g.L M- sin
2Lg. mJJ Mm
1i0 1cos sin 0 alınabilir.
Yaydaki sıkışma miktarı Lsin.Lx
0 Lk g.L Mg.L m21 L ML m
31 222
23
![Page 59: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/59.jpg)
LMJL1J 22 di LMJ ,L m3
J 2M
2m dir.
sadeleştirme yapılırsa,
0 Lk g Mg m21 L M m
31
23
Lk g Mg m21
k
LMm31
2mk
n
![Page 60: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/60.jpg)
Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyelProblem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız
m,L M x
k
![Page 61: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/61.jpg)
Çözüm:
xM
xmJ
xM
M
xkm,L
![Page 62: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/62.jpg)
Newton’un 2 kanunu uygulanırsa
TopJMNewton un 2. kanunu uygulanırsa,
x.L-k .Lx MJ m
1i0 1cos sin 0 alınabilir.
Yaydaki sıkışma miktarı L sin.Lx
2m L m
31J
Lx Lx
3
![Page 63: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/63.jpg)
Yukarıdaki denklemi düzenleyelim.Yukarıdaki denklemi düzenleyelim.
0 Lk L ML m31 222
3
sadeleştirme yapılırsa,
0k M m31
bulunur.
M3m k3
1k
mk
n rad/s
M 3mMm31m
![Page 64: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/64.jpg)
Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyelProblem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız
m,r
k
M x
![Page 65: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/65.jpg)
Çözüm:
J
mJ
xkM xM
xM
![Page 66: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/66.jpg)
Newton’un 2 kanunu uygulanırsaNewton un 2. kanunu uygulanırsa,
TopJM1
x.r-k .rx MJ m
1i0
2m rm
21J
r sin.rx
1cos sin 0
rx rx yazılabilir.
![Page 67: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/67.jpg)
düzenleme yapılırsadüzenleme yapılırsa,
x.r-k .rx M rm21 2
2
0k r rM rm21 222
0k Mm21
M2m k2
M1k
mk
n
rad/s
M 2mMm2
m
![Page 68: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/68.jpg)
Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyelProblem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız
x
km rm,r
![Page 69: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/69.jpg)
Çözüm:
xxm
xkJ
mJ
T
r
![Page 70: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/70.jpg)
Newton’un 2 kanunu uygulanırsaNewton un 2. kanunu uygulanırsa,
2m rm
21J a mF , JM Top
rJ T r
T= /
m x k x T m x k x /
m
m
J T
J r
J r
m
m x -k x-T m x -k x- /
Jm x k x 0
mJ r
r
r
rx r sin.rx
yazılabilir.
rx
rx
![Page 71: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/71.jpg)
m
2 2 2
J m r k r r = 0
1 r r k r 02
m m
n
2
3 2 k k 0 2 3 m
kmm
rad/s
![Page 72: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/72.jpg)
Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyelProblem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız
x
k kM
m,r m,r
y
![Page 73: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/73.jpg)
Çözüm:
x
M
y
![Page 74: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/74.jpg)
y2x ry r2x y2x
ry
ry
r2x r 2xr 2x
0EEdtd
pk r 2x
222k
1111
J21 2y m
21 2x M
21E
22
222222k
3
rm21
21 2 rm
21 2 r4 M
21E
22k rm
23M 2E
![Page 75: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/75.jpg)
k1112k k
k1
k1
k1
eşeş
k11 22222eşp rk r4
2k
21xk
21E
3d
0EEdtd
pk
0rk2rm3M4
r kr m 23M 2
dtd
22
2222
0 olmalı,
0rk 2rm 3M4
![Page 76: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/76.jpg)
0k23M4
k2k
0k 2m 3M4
m 34Mk2
mk
n
![Page 77: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/77.jpg)
Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyelProblem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız
x2
x1
k2 k3
m2
2h
k1
m1
2
h
![Page 78: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/78.jpg)
Çözüm:
x2
x1
122 xxk
m2
23xk 122 xxk
22xm
m1
m2
2h
11xk11xm
h
![Page 79: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/79.jpg)
Newton’un 2 kanunu uygulanırsaNewton un 2. kanunu uygulanırsa,
JM Top
hxxkhxk2
h2.xxkh.xkh2.xmh.xm 12212211
h.xxkh.xk2 12223
koordinatları1x ve 2x genelleştirilmiş Koordinatı cinsinden
hx
hx
1
1
h2x
h2x
2
2yazılırsa,
hx1 h2x2
![Page 80: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/80.jpg)
hkhm4hm 222
hhh2khk4hhh2k2
hkhm4hm
22
32
121
0 k4kk m4m 32121
k4kkk
21
321n m4m
k4kkmk
rad/s
![Page 81: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/81.jpg)
d
22 11
0EEdtd
pk
222
222
211k
xk1xxk1xk1E
xm21xm
21E
2312211p xk2
xxk2
xk2
E
koordinatları1x ve 2x genelleştirilmiş koordinatı cinsinden
hx
hx
1
1
h2x
h2x
2
2yazılırsa,
hx1 h2x2
![Page 82: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/82.jpg)
2222 h4m1hm1E
222
222
221k
hm2hm1E
h4m2
hm2
E
223
222222
221p
21k
h4k1hh2k1hk1E
hm2hm2
E
22
32
22
1p
321p
hk2hk21hk
21E
222
p 22
![Page 83: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/83.jpg)
d 0EEdtd
pk
111d 2222222
0hk2hk
21hk
21hm2hm
21
dtd 22
32
22
122
22
1
hkhkhkhh 22222 0hk4hkhkhm4hm 23
22
21
22
21
0 olmalı, bu durumda parantez içi sıfıra eşit olmalıdır.
0 k4kk m4m 32121
![Page 84: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/84.jpg)
Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyelProblem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız
k
M
yr
x m
![Page 85: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/85.jpg)
Çözüm:
xxx
k r y r yx
2y
2y
2y
M 2r
x 2rx
2rx
yr
x m
![Page 86: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/86.jpg)
J1yM1xm1E 222k
x M163m
21
r4x rM
21
21
4xM
21x m
21E
J2
yM2
x m2
E
22
22
22
k
k
x k81
4x k
21 yk
21E
162r422422
22
2p
13
0x k81x M
163m
21
dtd 0EE
dtd 22
pk
kk0xkxM34m
0x 0xxk41xM
83m
M234mm
0xk xM2
4m n
![Page 87: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/87.jpg)
Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,
x
1T
m 1-Tx m a mF 1
x m
k yk
J21 TT-k yy M a mF 2
1, 2 ’nin içine konursa,
yM
2Tx mk yy M 3
rTrTJJM 41T 2T
y M rTrTJ JM 21T 4
![Page 88: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/88.jpg)
1 ve 3, 4 ‘ün içine konursa,, ç ,
rxmxkxM-rxmxrM1 rx mk yy M- rx -m J
2
x m-x k21-x M
21-x mx M
41
rxm2
k2
Mrxmr2
rM2
0x k21x M
43m 2
224
M34
kmk 0xk x M
23m 4 n
M23m4m2
![Page 89: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/89.jpg)
Problem:Aşağıdaki titreşim sisteminin üzerine m kütlesi hyüksekliğinden düşüp yapışıyor M kütlesinin hareket denkleminiyüksekliğinden düşüp yapışıyor. M kütlesinin hareket denkleminiyazınız.
m
h
M xM
k
x
k
![Page 90: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/90.jpg)
Çözüm:
m
gh2m
x mM
h
M xm
gh2V mMgh2m
Vx 00
M
k
x
k
M x
kmgx0
k kk
kx
![Page 91: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/91.jpg)
m kütlesi ile M’nin çarpıştığı andaki momentumunu yazalım m kütlesi ile M nin çarpıştığı andaki momentumunu yazalım.
mMgh2m
x V VmM2gh m Vm)(M Vm 0000
m kütlesinden dolayı k yayı bir miktar sıkışır.
mg
kgx0st
Newton’un 2 kanunu uygulanırsaNewton’un 2. kanunu uygulanırsa,
0xk x mM x-k x mM a mF
![Page 92: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/92.jpg)
Sistemin tabii frekansı.Sistemin tabii frekansı.
mMk
mk
n
mMm
Sönümsüz serbest titreşim hareketinin başlangıç şartlarına bağlı hareket denklemi aşağıdaki gibiydi:
t sinx
t cosx)t(x nn
0n0
d ğ l i k ldeğerler yerine konulura;
t
Mksin
Mkgh2mt
Mkcos
kmgtx
mMmMkmMk
![Page 93: TitresimSunum Cihan 2 son.ppt - yildiz.edu.tryildiz.edu.tr/~cdemir/TitresimSunum.pdf · Titreşimlerin Nedenleri: Sistemlerdeki titreşimler, dış kuvvetler ve sistemin bu dış](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020105/5cdc606088c9934c738bfb84/html5/thumbnails/93.jpg)
2cos sin mg k gh kx t t m t
k M m k M m M m
2cos sin mg k gh kx t t m tk M m k M m M m
k M m k M m M m
0.01
0.015
0.01
0.015
k M m k M m M m
0 005
0
0.005
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.005
0
0.005
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-0.015
-0.01
-0.005
-0.015
-0.01
0.005