tjedan 5 dodatak

Tjedan 5 dodatak: Kvantitativne metode Strojarski fakultet u Slavonskom Brodu

Sara Havrlišan, mag. ing. mech. 1/11

3.3.2.1 Simplex metoda za traženje minimuma funkcije cilja

Na Primjeru 3.4.1, bit će prikazan način rješavanja matematičkog modela simplex metodom.

Primjer 3.4.1

a) Definirani problem s prikupljenim podacima

U jednom poduzeću proizvode se dvije vrste proizvoda: A i B. Razlika prihoda od prodaje i

dobiti - troškovi proizvodnje, za proizvod A iznose 200 n.j., a za proizvod B 450 n.j.. Na

tokarilici proizvod A se obrađuje 1,5 v.j., a proizvod B 3 v.j.. Raspoloživo radno vrijeme

tokarilice iznosi 2700 v.j.. Tržište zahtijeva minimalno 600 komada proizvoda B. Da bi

uspješno poslovalo, poduzeće mora ostvariti najmanje 720000 n.j. ukupne dobiti. Za proizvod

A očekuje se dobit od 450 n.j., a za proizvod B 900 n.j.

Potrebno je odrediti optimalni plan proizvodnje s ciljem postizanja minimalnih troškova.

b) Raščlanjivanje problema

1. O čemu se odlučuje (varijable)?

Treba odlučiti koliko proizvesti proizvoda A i B, te će realne (stvarne, strukturne) varijable

biti A i B.

2. Što je cilj (funkcija cilja)?

U ovom problemu cilj je ostvariti minimalan trošak proizvodnje. Ako je cilj minimalni trošak,

koeficijenti koji će se nalaziti uz varijable A i B u funkciji cilja, bit će jedinični troškovi po

svakom proizvodu, a to su za proizvod A 200 n.j./kom., a za proizvod B 450 n.j./kom..

Dakle, funkcija cilja će glasiti:

200 · A + 450 · B min

ili

200 · A + 450· B min

3. Što ograničava (ograničenja)?

Kapacitet tokarilice, tržište te ukupna dobit predstavljaju ograničenja. Tokarilica je na

raspolaganju maksimalno 2700 v.j.. Dakle, s desne strane nejednadžbe ograničenja za

tokarilicu bit će: ≤ 2700 . Lijeva strana ograničenja ovisit će o dvije varijable A i B,

koje imaju jedinicu mjere . Dakle, da bi lijeva i desna strana ograničenja imale iste

jedinice mjere, koeficijenti aij moraju imati jedinicu mjere , a to su zapravo normativi

Riješeni%20zadaci/Primjer3_3_Simplex_računalom_graficki.doc



izrade, tj. koliko je potrebno vremenskih jedinica da se određeni proizvod obrađuje na

tokarilici. Nakon ovog može se napisati ograničenje za tokarilicu:

Tokarilica: 1,5 · A + 3 · B ≤ 2700

Kapacitet tržišta predstavlja drugo ograničenje, koje slijedi:

Tržište: B ≥ 600

Poduzeće zahtijeva minimalnu dobit od 720000 n.j.. Dakle, s desne strane nejednadžbe

ograničenja za dobit bit će: ≥ 720 000 . Lijeva strana ograničenja ovisit će o dvije

varijable A i B, koje imaju jedinicu mjere . Dakle, da bi lijeva i desna strana

ograničenja imale iste jedinice mjere, koeficijenti aij moraju imati jedinicu mjere , a to

su jedinične dobiti po svakom proizvodu. Nakon ovog može se napisati ograničenje za dobit:

Dobit: 450 · A + 900 · B ≥ 720 000

Nakon raščlanjivanja problema može se napisati cjeloviti matematički model.

c) Matematički model

Funkcija cilja:

FC = 200A + 450B min

Ograničenja:

1,5A + 3B ≤ 2700

B ≥ 600

450A + 900B ≥ 720000

Uvjeti nenegativnosti:

A, B ≥ 0

Prilikom pretvaranja matematičkog modela u kanonski oblik, kada se nejednadžbe pretvaraju

u jednadžbe, uz dopunske (izjednačavajuće) varijable, pojavljuju se i tzv. umjetne varijable

(engl. artifficial variable). Umjetne varijable se pojavljuju u ograničenjima tipa ≥, jer su

dopunske varijable tada s predznakom “-“ i za prvo osnovno moguće rješenje bile bi

negativne, što je nemoguće. Stoga se uvode umjetne varijable. U funkciji cilja, koja treba biti

minimalna, ispred umjetnih varijabli se stavlja veliki koeficijent M (engl. big M) s

predznakom +, koji će funkciju cilja u prvom osnovnom mogućem rješenju učiniti velikom, a

u svakom sljedećem koraku (iteraciji), funkcija cilja će se smanjivati i doći do minimalne

vrijednosti. U funkciji cilja, koja treba biti maksimalna, ispred umjetnih varijabli se stavlja

veliki koeficijent M (engl. big M) s predznakom -, koji će funkciju cilja u prvom osnovnom



mogućem rješenju učiniti jako malom, a u svakom sljedećem koraku (iteraciji), funkcija cilja

će se povećavati i doći do maksimalne vrijednosti.

Dakle, u ograničenjima tipa ≥ ili uz stvarne (realne, strukturne) i dopunske (izjednačavajuće)

varijable (s predznakom “-“), postoje i umjetne varijable. Obrnuto, u ograničenjima tipa ≤ uz

stvarne (realne, strukturne) varijable, postoje samo dopunske (izjednačavajuće) varijable, koje

su s predznakom “+“, te se ne moraju uvoditi umjetne varijable. Za primjer 3.4 dopunske

varijable označene su slovom y, a umjetne varijable označene su slovom w.

Matematički model: Kanonski oblik matematičkog modela:

Funkcija cilja:

FC = 200A + 450B min

Ograničenja:

1,5A + 3B ≤ 2700

B ≥ 600

450A + 900B ≥ 720000


A, B ≥ 0

Funkcija cilja:

FC = 200A + 450B + 0 · (y1 + y2 + y3) + M · (w1+w2) min

Ograničenja:

1,5A + 3B + y1 = 2700

B - y2 + w1 = 600

450A + 900B - y3 + w2 = 720000


A, B, y1, y2, y3 ≥ 0

Dopunska varijabla y1 ima fizikalno značenje neiskorištenja kapaciteta tokarilice. Ona

kazuje koliko vremenskih jedinica manje tokarilica radi od raspoloživog vremena.

Ukoliko je vrijednost nula, tada je tokarilica 100% zauzeta. Dopunska varijabla y2

predstavlja koliko će na tržište biti plasirano proizvoda B više od minimalnog zahtjeva.

Ukoliko je vrijednost dopunske varijable y2 nula, tada je na tržište plasirana minimalna

količina proizvoda B koja se zahtijevala. Dopunska varijabla y3 predstavlja koliko će biti

veća dobit poduzeća od minimalnog zahtjeva. Ukoliko je vrijednost dopunske varijable

y3 nula, tada je ostvarena minimalna dobit poduzeća koja se zahtijevala. Kako dopunske

varijable ne pridonose smanjenju niti povećanju funkcije cilja, ispred njih se nalazi

koeficijent 0.

Prva simplex tablica

U prvoj simplex tablici nalazi se najnepovoljnije rješenje za konkretni problem. Kako su u

ovom problemu cilj minimalni troškovi, tada će funkcija cilja u prvoj simplex tablici biti jako

velika (najnepovoljnije rješenje), a u svakoj sljedećoj tablici ona će se smanjivati

(poboljšavati) do svoje minimalne vrijednosti. To se događa kada se u bazi nalaze umjetne

varijable, jer one u funkciji cilja imaju velike koeficijente M, te će i prva funkcija cilja biti

jako velika. Pri tome će tablica imati 11 stupaca i 6 redaka, prema izrazima (3.2) i (3.3).

Ukupni broj stupaca svake tablice = 4 opća stupca + ukupni broj varijabli (realne, dopunske

i umjetne) = 4+2+3+2 = 11 stupaca

Ukupni broj redaka svake tablice = 3 opća retka + broj ograničenja = 3+3 = 6 redaka



Slijedi:

- za A=0 i B=0, dopunske varijable y2 i y3 bi imale negativne vrijednosti, te se neće

nalaziti u prvoj simplex tablici, nego će u bazi biti dopunska varijabla y1 i umjetne

varijable w1 i w2, te vrijedi:

1,5A + 3B + y1 = 2700 y1 = 2700

B - y2 + w1 = 600 w1 = 600

450A + 900B - y3 + w2 = 720000 w2 = 720000

Stoga, dopunska varijabla y1 i umjetne varijable w1 i w2 ulaze u prvu simplex tablicu (tablica

3.10) u bazu vektorskog prostora (xB i xBO). Koeficijenti cB u funkciji cilja uz umjetne varijable

su M, a uz dopunsku varijablu 0.

Tablica 3.10 Prvo osnovno moguće rješenje

cj 200 450 0 0 0 M M xBO/aij

cB xB xBO A B y1 y2 y3 w1 w2

0 y1 2700 1,5 3 1 0 0 0 0 2700/3=900

M w1 600 0 1 0 -1 0 1 0 600/1=600

M w2 720000 450 900 0 0 -1 0 1 720000/900=800

zj – cj 720600M 450M-

20

901M-

450 0 -M -M 0 0

Nakon popunjavanja koeficijenata aij uz varijable u ograničenjima, pristupa se izračunavanju

posljednjeg retka zj – cj kako bi se izabrala varijabla za ulazak u bazu vektorskog prostora u

sljedećem koraku, tj. u sljedećoj simplex tablici. Cilj je izabrati varijablu koja će brže

poboljšavati vrijednost funkcije cilja (koja će ju brže smanjivati). To je varijabla B, jer

vrijednost zj – cj iznosi 901M – 450 i veća je od vrijednosti zj – cj za varijablu A. Dakle

značajni stupac (narančasto označeno) će biti stupac s najpozitivnijom vrijednosti zj – cj

(suprotno od traženja maksimuma funkcije cilja).

U bazu vektorskog prostora će ući varijabla B, ali koja će izaći? Ona varijabla koja za prirast

ulazne varijable B prva padne na nulu, ali ne smije biti negativna vrijednost , tj.

min > 0. To je varijabla w1, jer bi varijabla B imala maksimalnu vrijednost 600, za koju

ostale varijable ne bi bile negativne vrijednosti, te je to značajni redak (žuto označeno).

U sljedećoj simplex tablici, u bazi će biti varijable B (umjesto varijable w1), te y1 i w2.

Druga simplex tablica

Sada se pristupa izračunavanju novih vrijednosti xBO i aij prema sljedećim pravilima:

Vrijednost iz značajnog retka prethodne tablice podijeli se s vrijednosti na presjecištu

značajnog retka i stupca (broj 1), te se dobiju nove vrijednosti u odgovarajućem retku.



Nove vrijednosti vezane za odgovarajući značajni stupac iz prethodne tablice, stave se na

nulu, jer pripadajuća varijabla više ne može ulaziti u bazu vektorskog prostora.

Ostale vrijednosti izračunavaju se na osnovi izraza 3.5.

Tako je vrijednost označena sa *, dobivena na sljedeći način:

Novi aij = stari aij - =

=

Vrijednost označena sa **, dobivena je na sljedeći način:


=

itd.

Tablica 3.11 Drugo osnovno moguće rješenje

cj 200 450 0 0 0 M M xBO/aij


0 y1 900* 1,5 0 1 3 0 -3 0 900/3=300

450 B 600 0 1 0 -1 0 1 0 -

M w2 180000** 450 0 0 900 -1 -900 1 180000/900=200

zj – cj 180000M

+270000

450M-

200 0 0

900M-

450 -M

450-

901M 0

Može se primijetiti, da se vrijednost funkcije cilja smanjila (poboljšala) sa 720600M (tablica

3.10 – prva simplex tablica) na 180000M+270000 (tablica 3.11 – druga simplex tablica).




smanjivati vrijednost funkcije cilja. To je varijabla y2. Dakle, značajni stupac (narančasto

označen) će biti stupac s najpozitivnijom vrijednosti zj – cj.

U bazu vektorskog prostora će ući varijabla y2, ali koja će izaći? Ona varijabla koja za prirast

ulazne varijable y2 prva padne na nulu, ali ne smije biti negativna vrijednost , tj.

min > 0. To je varijabla w2, jer za vrijednost varijable y2 (200), nijedna varijabla ne bi

bila negativna, to je značajni redak (žuto označeno).

U sljedećoj simplex tablici, u bazi će biti varijable y2 (umjesto varijable w2), te B i y1.



Treća simplex tablica

Sada se pristupa izračunavanju novih vrijednosti xBO i aij prema pravilu:


značajnog retka i stupca (broj 900), te se dobiju nove vrijednosti u odgovarajućem retku.






=



=

itd.

Tablica 3.12 Treće osnovno moguće rješenje

cj 200 450 0 0 0 M M xBO/aij


0 y1 300* 0 0 1 0 0,0033 0 -0,0033 300/0=∞

450 B 800 0,5 1 0 0 -0,0011 0 0,0011** 800/0,5=1600

0 y2 200 0,5 0 0 1 -0,0011 -1 0,0011 200/0,5=400

zj – cj 360000 25 0 0 0 -0,5 -M 0,5-M

Može se primijetiti, da se vrijednost funkcije cilja smanjila (poboljšala) sa 180000M+270000

(tablica 3.11 – druga simplex tablica) na 360000 (tablica 3.12 – treća simplex tablica).




smanjivati vrijednost funkcije cilja. To je varijabla A. Dakle, značajni stupac (narančasto

označen) će biti stupac s najpozitivnijom vrijednosti zj – cj.

U bazu vektorskog prostora će ući varijabla A, ali koja će izaći? Ona varijabla koja za prirast

ulazne varijable A prva padne na nulu, ali ne smije biti negativna vrijednost , tj.



min > 0. To je varijabla y2, jer za vrijednost varijable A (400), nijedna varijabla ne bi

bila negativna, to je značajni redak (žuto označeno).

U sljedećoj simplex tablici, u bazi će biti varijable A (umjesto varijable y2), te B i y1.

Četvrta simplex tablica

Sada se pristupa izračunavanju novih vrijednosti xBO i aij prema pravilu:


značajnog retka i stupca (broj 0,5), te se dobiju nove vrijednosti u odgovarajućem retku.






=



=

itd.

Tablica 3.13 Četvrto osnovno moguće rješenje

cj 200 450 0 0 0 M M xBO/aij


0 y1 300 0 0 1 0 0,0033 0 -0,0033* 300/0=∞

450 B 600 0 1 0 -1** 0 1 0 800/0,5=16

00

200 A 400 1 0 0 2 -0,0022 -2 0,0022 200/0,5=40

0

zj – cj 350000 0 0 0 -50 -0,4444 50

-M

0,4444-

M

Može se primijetiti, da se vrijednost funkcije cilja smanjila (poboljšala) s 360000 (tablica 3.12

– treća simplex tablica) na 350000 (tablica 3.13 – četvrta simplex tablica).

Kako nema više pozitivnih vrijednosti zj – cj, postupak je završen (funkcija cilja ne može se

više smanjivati) i iz baze vektorskog prostora može se očitati optimalno rješenje:



A = 400 komada proizvoda A

B = 600 komada proizvoda B

y1 = 300 v.j. tokarilica na raspolaganju ima još 300 v.j.

y2 = 0 kom. (ova varijabla nije u bazi, te joj je vrijednost 0) na tržište je plasiran minimalan

broj komada proizvoda B (600 kom.)

y3 = 0 n.j. (ova varijabla nije u bazi, te joj je vrijednost 0) poduzeće je ostvarilo minimalnu

dobit od 720000 n.j.

FC = 350000 novčanih jedinica su minimalni troškovi proizvodnje proizvoda A i B.



VJEŽBA (ponavljanje pred prvi kolokvij)

ZADATAK 1.5 (55 bodova)

Na osnovi troškova materijala, troškova rada, troškova kooperacije i dodatnih troškova

(proračunatih u odjelu tehnološke pripreme proizvodnje), izračunata je prodajna cijena

proizvoda koja iznosi 10 n.j./kom. Procijenjena potreba tržišta je najviše 20000 komada toga

proizvoda kvartalno.

Zbog kratkog vremena isporuke, u poduzeću je odlučeno da se proizvod mora proizvesti na

dvije vrste kapaciteta: univerzalna tokarilica i CNC tokarilica, jer se može postići ista razina

kvalitete. U odjelu tehnološke pripreme proizvodnje, razrađeni su tehnološki postupci za

proizvodnju ovog proizvoda na univerzalnoj i na CNC tokarilici. Produktivnost, raspoloživo

radno vrijeme, te cijene rada strojeva po vremenskoj jedinici, prikazani su u tablici 1.1.

Tablica 1.1 Produktivnost, raspoloživost i cijena rada strojeva

kom./v.j. Proizvod Raspoloživost strojeva,

v.j./dnevno

Cijena rada strojeva, n.j.

/v.j.

Univerzalna tokarilica 5 15 10

CNC tokarilica 10 15 15

Troškovi materijala iznose 1,5 n.j./kom. Procijenjeni škart na univerzalnoj tokarilici iznosi

5%, a na CNC tokarilici 3%, a prihod od prodaje škarta se može zanemariti.

Inženjeri u odjelu tehnološke i operativne pripreme proizvodnje trebaju dogovorno odlučiti na

kojim kapacitetima i u kojoj količini treba proizvesti promatrani proizvod po kvartalu (90

radnih dana), ako se želi ostvariti maksimalna dobit.

U zadatku je potrebno:

a) Napisati matematički model problema (funkcija cilja, ograničenja, uvjeti

nenegativnosti). (20%)

b) Zadatak riješiti grafički i prokomentirati ograničenja. (45%)

c) Koliko bi bilo osnovnih mogućih, a koliko osnovnih nemogućih rješenja? (15%)

d) Odrediti početno rješenje simplex postupkom (prva simplex tablica), te na grafičkom

rješenju označiti na koji način će se uz manje iteracija izračunati optimalno rješenje.

(20%)

ZADATAK 1.6 (45 bodova)

Poduzeće proizvodi dva proizvoda P1 i P2 koristeći dva stroja S1 i S2. Za strojeve postoje

normativi kad određeni proizvod dođe na taj stroj, kao i raspoloživi kapaciteti strojeva. Po

svakom proizvodu očekuje se neka dobit. Podaci su zadani u tablici 2.1.



Tablica 2.1 Podaci

Normativ izrade, v.j./kom. Proizvod P1 Proizvod P2 Raspoloživi kapacitet, v.j.

Stroj S1 2 4 2400

Stroj S2 6 2 2400

Dobit, n.j./kom. 4 3

U zadatku je potrebno:

a) Napisati matematički model problema za slučaj da želimo odrediti optimalni

program proizvodnje poduzeća sa stajališta maksimalne dobiti (ograničenja, uvjeti

nenegativnosti i funkcija cilja). (15%)

b) Grafički riješiti slučaj pod a) i prokomentirati ograničenja. (45%)

c) Kakav bi bio optimalni proizvodni program za slučaj da se doda ograničenje da

tržište može primiti maksimalno 550 komada proizvoda P2? (15%)

d) Kakav bi bio optimalni proizvodni program za slučaj da se doda ograničenje da

tržište može primiti maksimalno 400 komada proizvoda P2? (15%)

e) Pripremiti zadatak za rješavanje simplex postupkom (dopunske varijable) i

popuniti prvu simplex tablicu. (5%)

f) Kolika bi bila vrijednost funkcije cilja u sljedećem koraku? (5%)

NAPOMENA koja vrijedi za oba zadatka:

U grafičkom načinu rješavanja potrebno je:

a) označiti područje mogućih rješenja

b) označiti osnovna rješenja simbolom + (i brojevima koji će biti isti kao u analitičkom

načinu rješavanja)

c) označiti osnovna moguća rješenja simbolom

d) označiti i izračunati (ne očitati) optimalno rješenje simbolom

Za pozitivnu ocjenu potrebno je minimalno 50 bodova.



ZADACI ZA SAMOSTALNU VJEŽBU PRED KOLOKVIJ:

Primjer 2.1 s predavanja (Tjedan 1), za koji je postavljen matematički model, treba riješiti

analitički, simplex postupkom i grafički, te napraviti analizu.

Primjer 3.1 s predavanja (Tjedan 2), za koji je postavljen matematički model i koji je riješen

analitički, treba riješiti simplex postupkom i grafički, te napraviti analizu.


grafički, treba riješiti analitički i simplex postupkom, te napraviti analizu.


simplex postupkom, treba riješiti analitički i grafički, te napraviti analizu.

Primjer 3.4.1 s predavanja (Tjedan 5 dodatak), za koji je postavljen matematički model i koji

je riješen simplex postupkom, treba riješiti analitički i grafički, te napraviti analizu.

Zadatke 1.1 do 1.6 treba riješiti osim grafičkom metodom i ostalim metodama, koje su

usvojene.

tjedan 5 dodatak

Documents