tm. xxii - zacoeb.lecture.ub.ac.id · dengan sudut kemiringan lendutan sebesar a. • sedangkan...
TRANSCRIPT
11/24/2014
1
TKS 4008 Analisis Struktur I
TM. XXII : METODE CROSS
Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT.
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Outline Metode Distribusi
Momen
Momen Primer
(M’ij)
Faktor Kekakuan
(Kij)
Faktor Distribusi
(FDij)
Tabel Distribusi
Momen (Cross)
11/24/2014
2
Pendahuluan
• Pertama kali diperkenalkan oleh Hardy Cross (1993)
dalam bukunya yang berjudul Analysis of Continuous
Frames by Distributing Fixed End Moments.
• Sebagai penghargaan, metode distribusi momen juga
dikenal dengan metode Cross.
• Salah satu metode yang digunakan dalam analisis
struktur balok dan portal statis tak tentu.
Pendahuluan (lanjutan)
Metode distribusi momen didasarkan pada asumsi sebagai
berikut :
1. Perubahan bentuk (deformasi) akibat gaya normal dan
gaya geser diabaikan, sehingga panjang batang-
batangnya tidak berubah (konstan).
2. Semua titik simpul (buhul) dianggap kaku sempurna.
11/24/2014
3
Pendahuluan (lanjutan)
• Proses analisis dilakukan dengan distribusi momen dan
induksi (carry over) terhadap momen primer (fixed end
moment) sebanyak beberapa putaran (iterasi) sehingga
diperoleh keseimbangan di setiap titik simpul.
• Hal ini dilakukan karena momen primer yang bekerja
di setiap simpul suatu struktur tidak sama besar
nilainya, sehingga simpul dalam keadaan tidak
seimbang.
Pendahuluan (lanjutan)
• Untuk mencapai kondisi seimbang, simpul melakukan
perputaran sehingga momen primer di masing-masing
simpul sama dengan nol.
• Proses distribusi dan induksi secara manual biasanya
dilakukan sebanyak 4 putaran (iterasi), sehingga semua
simpul dianggap sudah dalam keadaan seimbang atau
mendekati nol.
11/24/2014
4
Definisi
Ada beberapa definisi yang digunakan dalam metode
distribusi momen, yaitu :
1. Momen Primer (M’ij)
2. Faktor Kekakuan (Kij) dan Momen Induksi (MIij)
3. Faktor Distribusi (FDij)
M’ij
1. Momen Primer
• Momen primer adalah momen yang terjadi pada
ujung batang sebagai akibat dari beban-beban yang
bekerja di sepanjang batang.
• Besarnya momen primer sama dengan momen jepit
(momen reaksi) dengan tanda atau arah yang
berlawanan (dengan kata lain, momen jepit atau
momen rekasi merupakan kebalikan dari momen
primer dan disebut juga dengan momen perlawanan).
11/24/2014
5
M’ij (lanjutan)
• Momen primer biasanya digambarkan melengkung ke
luar pada bagian dalam ujung batang dengan arah
tertentu sesuai dengan pembebanan.
• Arah momen primer didasarkan pada kecenderungan
melenturnya batang (seolah-olah batang akan patah
akibat momen yang bekerja di ujung batang), untuk
lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 1.
M’ij (lanjutan)
Gambar 1. Momen Primer dan Momen Reaksi
11/24/2014
6
Kij
2. Faktor Kekakuan dan Momen Induksi
• Untuk mengetahui faktor kekakuan dan momen
induksi, dapat diuraikan berdasarkan persamaan
slope deflection (sudut kemiringan lendutan) pada
masing-masing jenis batang seperti ditunjukkan pada
Gambar 2 untuk kondisi jepit-jepit dan Gambar 3
untuk kondisi jepit-sendi.
Kij (lanjutan)
Gambar 2. Batang Jepit-Jepit
11/24/2014
7
Kij (lanjutan)
• Gambar 2, batang prismatis AC dengan tumpuan
jepit-jepit.
• Di ujung A (simpul) bekerja momen distribusi momen
sebesar MAC dengan sudut kemiringan lendutan
sebesar A.
• Sedangkan ujung B (tumpuan jepit) berhak menerima
momen induksi sebesar MCA dengan arah yang sama.
• Sehingga diperoleh persamaan :
A2 - A1 = A dan C2 - C1 = 0
Kij (lanjutan)
• Akibat pengaruh momen distribusi MAC akan
menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan
pada kedua ujung batang sebesar :
𝛉𝐀𝟏 =𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂
𝟑𝐄𝐈 dan 𝛉𝐂𝟏 =
𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂
𝟔𝐄𝐈
• Selanjutnya pengaruh momen induksi MCA akan
menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan
pada kedua ujung batang sebesar :
𝛉𝐀𝟐 =𝐌𝐂𝐀𝐋𝐀𝐂
𝟔𝐄𝐈 dan 𝛉𝐂𝟐 =
𝐌𝐂𝐀𝐋𝐀𝐂
𝟑𝐄𝐈
11/24/2014
8
Kij (lanjutan)
• Dengan demikian :
C2 - C1 = 0
𝐌𝐂𝐀𝐋𝐀𝐂
𝟑𝐄𝐈−
𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂
𝟔𝐄𝐈= 𝟎 → 𝐌𝐂𝐀 =
𝟏
𝟐𝐌𝐀𝐂
A1 - A2 = A
𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂
𝟑𝐄𝐈−
𝐌𝐂𝐀𝐋𝐀𝐂
𝟔𝐄𝐈= 𝛉𝐀
𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂
𝟑𝐄𝐈−
𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂
𝟏𝟐𝐄𝐈= 𝛉𝐀
𝟑𝐌𝐀𝐂𝐋𝐀𝐂
𝟏𝟐𝐄𝐈= 𝛉𝐀 → 𝐌𝐀𝐂 =
𝟒𝐄𝐈
𝐋𝐀𝐂𝛉𝐀
Kij (lanjutan)
• Jika A = 1 rad, maka :
𝐌𝐀𝐂 =𝟒𝐄𝐈
𝐋𝐀𝐂
• Nilai momen ini disebut kekakuan batang AC yang
diberi notasi KAC.
• Dengan demikian kekakuan batang untuk tumpuan
jeit-jepit dapat dihitung dengan rumus :
𝐊𝐢𝐣 =𝟒𝐄𝐈
𝐋𝐢𝐣
11/24/2014
9
Kij (lanjutan)
Gambar 3. Batang Jepit-Sendi
Kij (lanjutan)
• Gambar 3, batang prismatis AD dengan tumpuan
jepit-sendi.
• Di ujung A (simpul) bekerja momen distribusi momen
sebesar MAD dengan sudut kemiringan lendutan
sebesar A.
• Sedangkan ujung D tidak berhak menerima momen
induksi karena tumpuan sendi atau MDA = 0.
• Sehingga diperoleh persamaan :
A2 - A1 = A
11/24/2014
10
Kij (lanjutan)
• Akibat pengaruh momen distribusi MAD akan
menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan
pada ujung batang A sebesar :
𝛉𝐀 =𝐌𝐀𝐃𝐋𝐀𝐃
𝟑𝐄𝐈
• Jika A = 1 rad, maka :
𝐌𝐀𝐃 =𝟑𝐄𝐈
𝐋𝐀𝐃
• Nilai momen ini disebut kekakuan batang AD yang
diberi notasi KAD.
Kij (lanjutan)
• Dengan demikian kekakuan batang untuk tumpuan
jepit-sendi dapat dihitung dengan rumus :
𝐊𝐢𝐣 =𝟑𝐄𝐈
𝐋𝐢𝐣
Sehingga dapat disimpulkan bahwa :
1. Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-jepit adalah :
𝐊 =𝟒𝐄𝐈
𝐋.
2. Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-sendi adalah :
𝐊 =𝟑𝐄𝐈
𝐋.
11/24/2014
11
FDij
3. Faktor Distribusi
• Jika pada struktur portal bekerja momen primer
sebesar M’ di simpul A (lihat Gambar 4), maka
masing-masing ujung batang simpul A akan terjadi
distribusi momen sebesar MAB, MAC, dan MAD
dengan arah berlawanan dengan momen primer M’.
• Hal ini akibat simpul A dianggap kaku sempurna
(perfect rigid), sehingga batang-batang berputar
menurut garis elastisnya untuk mendapatkan kondisi
keseimbangan (equilibrium).
FDij
• Untuk mencari besarnya faktor distribusi dan momen
distribusi dapat dihitung berdasarkan Gambar 4.
Gambar 4. Distribusi Momen
11/24/2014
12
FDij (lanjutan)
Dari Gambar 4 :
• Pada batang AB terjadi rotasi sebesar A akibat
pengaruh MAB.
• Pada batang AC terjadi rotasi sebesar A akibat
pengaruh MAC.
• Pada batang AD terjadi rotasi sebesar A akibat
pengaruh MAD.
• Jadi keseimbangan simpul A adalah :
M’ = MAB + MAC + MAD
FDij (lanjutan)
Jika KAB, KAC, dan KAD merupakan faktor kekakuan
masing-masing batang AB, AC, dan AD, maka :
MAB = KABA ; MAC = KACA ; MAD = KADA
Jadi :
𝐌′ = 𝐊𝐀𝐁 + 𝐊𝐀𝐂 + 𝐊𝐀𝐃 𝛉𝐀
𝐌′ = 𝐊𝐀 𝛉𝐀
𝛉𝐀 =𝐌′
𝐊𝐀
11/24/2014
13
FDij (lanjutan)
Dengan demikian akan diperoleh :
𝐌𝐀𝐁 =𝐊𝐀𝐁
𝐊𝐀𝐌′
𝐌𝐀𝐂 =𝐊𝐀𝐂
𝐊𝐀𝐌′
𝐌𝐀𝐃 =𝐊𝐀𝐃
𝐊𝐀𝐌′
FDij (lanjutan)
Sehingga dapat disimpulkan bahwa :
1. Faktor distribusi (FD) adalah perbandingan kekakuan
batang (K) dengan kekakuan batang total di titik
simpul (K).
𝐅𝐃 =𝐊
𝐊
2. Momen distribusi (MD) adalah hasil perkalian faktor
distribusi (FD) dengan momen primer (M’).
MD = M’FD
11/24/2014
14
Prosedur
Langkah-langkah analisis struktur dengan metode Cross :
1. Carilah momen primer, M’ untuk masing-masing
bagian batang.
2. Tentukan faktor kekakuan, K (stiffness factor).
3. Tentukan faktor distribusi, FD (distribution factor).
4. Buat tabel Cross.
5. Sebagai kontrol, momen pada satu titik berlawanan
tanda atau jumlahnya sama dengan 0.
Prosedur (lanjutan)
6. Pada penggambaran bidang momen, tanda
penggambaran berlawanan dengan hasil perhitungan
momen untuk sebelah kiri titik dukung.
7. Sedangkan untuk daerah momen sebelah kanan titik
dukung , pada gambar selalu bertanda sama dengan
hasil perhitungannya.
11/24/2014
15
Contoh
Diketahui struktur balok menerus 3 bentang seperti pada
gambar berikut :
Contoh (lanjutan)
1. Momen Primer :
𝐌𝐀𝐁 = −𝐌𝐁𝐀
=𝟏
𝟏𝟐𝐪𝐋𝟐 =
𝟏
𝟏𝟐𝟒. 𝟔𝟐 = 𝟏𝟐 kNm
𝐌𝐁𝐂 = −𝐌𝐂𝐁
=𝐏𝐚𝐛𝟐
𝐋𝟐+
𝟏
𝟏𝟐𝐪𝐋𝟐 +
𝐏𝐚𝟐𝐛
𝐋𝟐
=𝟒.𝟑.𝟗𝟐
𝟏𝟐𝟐+
𝟏
𝟏𝟐𝟏. 𝟏𝟐𝟐 +
𝟒.𝟑𝟐.𝟗
𝟏𝟐𝟐= 𝟐𝟏 kNm
𝐌𝐂𝐃 =𝐏𝐚 𝐋𝟐−𝐚𝟐
𝟐𝐋𝟐=
𝟏𝟎.𝟔 𝟗𝟐−𝟔𝟐
𝟐.𝟗𝟐= 𝟏𝟑, 𝟑𝟑 kNm
11/24/2014
16
Contoh (lanjutan)
2. Faktor Kekakuan dan Faktor Distribusi :
Simpul B
• Kekakuan batang :
𝐊𝐁𝐀 =
𝟒𝐄𝐈
𝐋=
𝟒𝐄𝐈
𝟔= 𝟎, 𝟔𝟕𝐄𝐈
𝐊𝐁𝐂 =𝟒𝐄𝐈
𝐋=
𝟒𝐄𝐈
𝟏𝟐= 𝟎, 𝟑𝟑𝐄𝐈
𝐊𝐁 = 𝟏𝐄𝐈
Faktor distribusi :
𝐅𝐃𝐁𝐀 =
𝐊𝐁𝐀 𝐊𝐁
=𝟎,𝟔𝟕𝐄𝐈
𝟏,𝟎𝟎𝐄𝐈= 𝟎, 𝟔𝟕
𝐅𝐃𝐁𝐂 =𝐊𝐁𝐂 𝐊𝐁
=𝟎,𝟑𝟑𝐄𝐈
𝟏,𝟎𝟎𝐄𝐈= 𝟎, 𝟑𝟑
𝐅𝐃𝐁 = 𝟏
Contoh (lanjutan)
Simpul C
• Kekakuan batang :
𝐊𝐂𝐁 =
𝟒𝐄𝐈
𝐋=
𝟒𝐄𝐈
𝟏𝟐= 𝟎, 𝟑𝟑𝐄𝐈
𝐊𝐂𝐃 =𝟑𝐄𝐈
𝐋=
𝟑𝐄𝐈
𝟗= 𝟎, 𝟑𝟑𝐄𝐈
𝐊𝐂 = 𝟎, 𝟔𝟔𝐄𝐈
• Faktor distribusi :
𝐅𝐃𝐂𝐁 =
𝐊𝐂𝐁 𝐊𝐂
=𝟎,𝟑𝟑𝐄𝐈
𝟎,𝟔𝟔𝐄𝐈= 𝟎, 𝟓
𝐅𝐃𝐂𝐃 =𝐊𝐂𝐃 𝐊𝐂
=𝟎,𝟑𝟑𝐄𝐈
𝟎,𝟔𝟔𝐄𝐈= 𝟎, 𝟓
𝐅𝐃𝐂 = 𝟏
11/24/2014
17
Contoh (lanjutan)
3. Distribusi Momen • Untuk mendapatkan kondisi seimbang, dilakukan distribusi
momen pada masing-masing simpul dengan bantuan tabel
(Tabel Cross).
• Diusahakan Tabel Cross dibuat sedemikian rupa sesuai
kebutuhan (penempatan titik simpul dan batang dengan posisi
yang tepat pada tabel), sehingga memudahkan proses
distribusi dan induksi momen.
• Posisi batang yang sejenis sedapat mungkin diusahakan
berdampingan agar tidak menyulitkan proses induksi.
• Dalam hal ini, proses distribusi dan induksi momen cukup
dilakukan hingga 4 kali iterasi dengan hasil mendekati nol.
Contoh (lanjutan)
4. Tabel Cross