téma 3 spojitý nosníkfast10.vsb.cz/koubova/sski_tema3_kombi.pdfzákladní vlastnosti spojitého...

Statika stavebních konstrukcí I

Téma 3Spojitý nosník

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Osnova p řednášky

� Základní vlastnosti spojitého nosníku

� Řešení spojitého nosníku silovou metodou

� Využití symetrie spojitého nosníku

� Příčinkové čáry na spojitém nosníku (pohyblivé zatížení)

2Osnova přednášky

Spojitý nosník

Spojitý nosník - staticky neurčitý přímý nosník příčně zatížený

Vazby spojitého nosníku:a) proti svislému posunua) proti svislému posunub) proti pootočení v krajním(ch) podporovém(ých) bodu(ech)

Stupeň statické neurčitosti:

ks vpn +−= 1

3Základní vlastnosti spojitého nosníku

Podepření spojitého nosníku v příčné úlozeObr. 4.1. / str. 95

p … počet polívk … počet vetknutí (0, 1, 2)

Spojitý nosník, odvození t římomentové rovnice

Základní kroky odvození třímomentové rovnice silovou metodou:

1) určení stupně statické neurčitosti ns

2) odebrání ns vnitřních vazeb (vložení kloubů)

3) nahrazení odebraných vazeb momentovými interakcemi, 3) nahrazení odebraných vazeb momentovými interakcemi, případně reakcemi (u vetknutí)

4) formulace přetvárných podmínek

4Řešení spojitého nosníku silovou metodou

První tři kroky silové metody při řešení spojitého nosníkuObr. 4.2. / str. 97

Odvození t římomentové rovnice

11 +− = r,rr,r ϕϕPřetvárná podmínka


K odvození třímomentové rovniceObr. 4.3. / str. 97

Výpočet koncových pooto čení

b,ab,ab,aa,bb,a,b,a

a,bb,aa,ba,ba,b,a,b

αMβM

βMαM

⋅+⋅−=⋅−⋅+=

0

0

ϕϕϕϕ

Pro pravotočivý směr pootočení je:

6Prostý nosník, jako prvek staticky neurčité konstrukce

Koncové deformace prostého nosníkuObr. 3.7. / str. 64

Odvození t římomentové (Clapeyronovy) rovnice

11 +− = r,rr,r ϕϕ

Pro levé pole: Pro pravé pole:Pro levé pole:

1

111

−=−====

ra,brb,a

r,r-b,ar,r-b,ar,r-b,a

MMMM

ββααϕϕPro pravé pole:

1

111

+

+++

−=====

rb,ara,b

r,ra,br,ra,br,ra,b

MMMM

ββααϕϕ

Po dosazení a úpravě:

( ) 0 =+−⋅++⋅+⋅ MMM ϕϕβααβ

1,1.10,1,1, −−−−− ⋅−⋅−= rrrrrrrrrr MM αβϕϕ 111011 +++++ ⋅+⋅+= r,rrr,rr,r,rr,r βMαMϕϕ

7

( ) 0 0,1,0,1,1,11,1,1.1 =+−⋅++⋅+⋅ +−+++−−− rrrrrrrrrrrrrrr MMM ϕϕβααβ

Poznámky:• znaménko ϕr,r-1,0 odpovídá označení na obr. 4.3. a 3.7. (pravotočivé pootočení)• počet rovnic pro spojitý nosník odpovídá jeho stupni statické neurčitosti ns• v každé rovnici jsou maximálně 3 neznámě ohybové momenty

Odvození t římomentové rovnice

( ) 0

00

1

03201212212

231

=+−+⋅===

=

,,,,,,

r

s

ααM

MMMM

n

ϕϕObr. 4.4. (c) / str. 98

( )

( )( )

( ) 0

0

0

0

1

0,1,0,1,1,11,1,1.1

010,11111

0,1,20,3,23233,21,22

11

=+−⋅++⋅+⋅=−++⋅+⋅

=−+⋅++⋅

==−=

+−+++−−−

−++−−−

+

rrrrrrrrrrrrrrr

,p,pp,pp,pp,pp,ppp

,

p

s

MMM

ααMβM

βMααM

MM

pn

ϕϕβααβϕϕ

ϕϕPro levý okraj nosníku

Pro pravý okraj nosníku

Pro podporu r


K úpravě třímomentové rovnice pro kloubové podepření okrajůObr. 4.4. / str. 98

Odvození t římoment. rovnice, nosník s p řevislými konci

Ohybové momenty nosníku nad krajními podporami jsou při zatížení převislých konců nenulové (při daném zatížení na obr. 4.5. záporné). Lze je určit ze zatížení převislých konců.


K úpravě třímomentové rovnice pro převislé konceObr. 4.5. / str. 99

Odvození t římomentové rovnice, vetknutí

Pootočení v místech vetknutí ϕ1,2, ϕp+1,p jsou nulová, ohybové momenty v místech vetknutí jsou nenulové. Lze je určit z řešení třímomentových rovnic.Přetvárná podmínka pro vetknutí (obr. 4.6. (a)):

0021212211 =+⋅+⋅ ,,,, βMαM ϕ

00 021212101111 ====−⋅+⋅ ++++++++++ ,,pp,pp,pp,p,p,ppp,ppp β ααMβM ϕϕ

Stejná podmínka platí pro obr. 4.6. (b) s vloženým tzv. nulovým polem . Je zde α1,0 = β1,0 = ϕ1,0,0= 0.

Pro vetknutí na pravé straně (obr. 4.6. (c),(d)) je obdobně:

021212211 ,,,,


K sestavení přetvárné podmínky na vetknutém okrajiObr. 4.6. / str. 100

Třímomentová rovnice pro pr ůřez po polích prom ěnný

( ) 00,1,0,1,1,11,1,1.1 =+−⋅++⋅+⋅ +−+++−−− rrrrrrrrrrrrrrr MMM ϕϕβααβ

1,1,1,1, ++

++

−−

−− ==== rrrrrrrr llll

βααβ1,

1,1,

1,1,

1,1,

1, 6336 ++

++

−−

−− ⋅⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

=rr

rrrr

rrrr

rrrr

rr IEIEIEIEβααβ

( ) 062 0,1,0,1,1,

1,1

1,

1,

1,

1,

1,

1,1 =+−⋅⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅ +−

+

++

+

+

−

−

−

−− rrrr

rr

rrr

rr

rr

rr

rrr

rr

rrr E

I

lM

I

l

I

lM

I

lM ϕϕ

1,1, 66 +− ⋅⋅⋅

+=⋅⋅⋅

−= rrrr IEZ

IEZ ϕϕ

11

0,1,1,

1,1,0,1,

1,

1,1,

66+

+

++−

−

−− ⋅

⋅⋅+=⋅

⋅⋅−= rr

rr

rrrrrr

rr

rrrr l

IEZ

l

IEZ ϕϕ

021,

1,1,

1,

1,1,

1,

1,1

1,

1,

1,

1,

1,

1,1 =⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅

+

++

−

−−

+

++

+

+

−

−

−

−−

rr

rrrr

rr

rrrr

rr

rrr

rr

rr

rr

rrr

rr

rrr I

lZ

I

lZ

I

lM

I

l

I

lM

I

lM

Předpoklad:

• v celém nosníku je neměnný průřez z hlediska materiálového i geometrického, tj. E·I = konst.

Třímomentová rovnice pro pr ůřez po polích nem ěnný

E·I

Třímomentová rovnice pak má tvar:

( ) 02 1111111111 =⋅+⋅+⋅++⋅⋅+⋅ ++−−+++−−− r,rr,rr,rr,rr,rrr,rr,rrr,rr lZlZlMllMlM

12

Zatěžovací členy Tab. 4.1

Vzorce pro zatěžovací členy třímomentových rovnic.

Pro zatěžovací členy při silovém Pro zatěžovací členy při silovém zatížení a zatížení změnou teploty platí:

0

6

6

a,b

a,b,a,b

a,ba,b

IEZ

l

IEZ

ϕ

ϕ

⋅⋅⋅

−=

⋅⋅⋅

=


Pootočení ϕa,b,0 a ϕb,a,0 seurčí na prostém nosníku.

0b,a,a,b

b,a lZ ϕ⋅−=

Složky vnit řních sil spojitého nosníku

Nosník a-b je částí spojitého nosníku. Je zatížen:

a) jako prostý nosník

b) momenty Ma a Mba b

Pro posouvající síly platí:

baab

a,b

bab,a,

a,b

abb,a,b,ab,a,b,a

a,b

baa,b,

a,b

aba,b,a,ba,b,a,b

MMV

MMVVVV

l

MM V

l

MM VVVV

l

MM V

l

MM VVVV

−−=−+=+=

−−=−+=+=

−−=−+=+=

000

000

∆

∆

∆

14

Pro ohybové momenty platí.a,b

bax,

a,b

abx,b,ax,x l

MMV

l

MMVVVV

−−=−+=+= 000 ∆

( )a,b

ba,bax,a,bax,x l

xMxlMMxVMMM

⋅+−⋅+=⋅++= 00 ∆

Reakce spojitého nosníku

Podpora r odděluje:

a) na levé straně pole r-1, r

b) na pravé stravě pole r, r+1

11 +− +−= r,rr,rr VVR

r, r+1

V nosníku je v bodě r ohybový moment Mr a svislá reakce Rr.

15

Zatěžovací členy p ři poklesu podpor

Třímomentová rovnice pro průřez po polích proměnný:

Při svislém posunu podpor je:( )↓ w

( ) 062 01011

1

1

1

1

1

1

11 =−⋅⋅++

+⋅⋅+ −+

+

+

+

+

−

−

−

−− ,r,r,r,r

r,r

r,rr

r,r

r,r

,rr

,rrr

,rr

,rrr E

I

lM

I

l

I

lM

I

lM ϕϕ

Při svislém posunu podpor je:

Při pravotočivém pootočení levé podpory “1“ ve vetknutí je:

( )↓ rw

0621

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

101

1

101

=

−−−⋅⋅++

+⋅⋅+

−=−=

−

−

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−−

−

−−

+

++

r,r

rr

r,r

rr

r,r

r,rr

r,r

r,r

,rr

,rrr

,rr

,rrr

r,r

rr,r,r

r,r

rr,r,r

l

ww

l

wwE

I

lM

I

l

I

lM

I

lM

l

ww

l

ww ϕϕ

1ϕ− wwll

16

Při pravotočivém pootočení pravé podpory “(p+1)“ ve vetknutí je:

11

1

1

11

1

1 662 ++

+

+

++

+

+ ⋅⋅−=

−−⋅⋅+⋅⋅+ p

p.p

pp

p,p

p,pp

p,p

p,pp E

l

wwE

I

lM

I

lM ϕ

12,1

12

21

212

21

211 662 ϕ⋅⋅=−⋅⋅++⋅⋅ E

l

wwE

I

lM

I

lM

,

,

,

,

1+pϕ

Příklad 3.1

Zadání:

m60

m30

m1040

m106

4321

4432

444321

===

⋅=

⋅==−

−

,h

, hh

I

II

,,

,

,, Zatížení:

� silové

� změnou teploty

kPa104,2

m607

32

⋅=

=

E

,h , � popuštěním podpor


Zadání příkladu 3.1Obr. 4.7. / str. 105

Příklad 3.1, silové zatížení

02

02

3,2

3,23,2

2,1

2,11,2

3,2

3,23

3,2

3,2

2,1

2,12

2,1

2,11

2,1

2,12,1

1,0

1,00,1

2,1

2,12

2,1

2,1

1,0

1,01

1,0

1,00

=⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅

I

lZ

I

lZ

I

lM

I

l

I

lM

I

lM

I

lZ

I

lZ

I

lM

I

l

I

lM

I

lM

( ) 0106

1,3285,5

1040

4,6645,66

106

1,3641,3

106

1,3

1040

4,62

1040

4,6

01040

4,6629,69

106

8,2312,4

1040

4,6

1040

4,6

106

8,22

106

8,2

0106

8,2312,40

106

8,2

106

8,2020

02

44444342

444344241

44241

4,3

4,34,3

3,2

3,22,3

4,3

4,34

4,3

4,3

3,2

3,23

3,2

3,22

=⋅

⋅+⋅

⋅+⋅

⋅−+

⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅

=⋅

⋅+⋅

⋅+⋅

⋅+

⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅

=⋅

⋅++⋅

⋅+

⋅+⋅⋅+

=⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅

−−−−−−

−−−−−−

−−−

MM

MMM

MM

I

lZ

I

lZ

I

lM

I

l

I

lM

I

lM


Řešení příkladu 3.1, silové zatíženíObr. 4.8. / str. 106

kNm233,7kNm774,10kNm231,3

106104010610610401040

321 −=−=+=

⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

MMM


kN08,882

774,10231,308,3

kN92,182

774,10231,308,3

21

210,1,212

21

210,2,12,1

−=+−−=−−=

−=+−=−−=

,l

MMVV

,l

MMVV

,,

,

Posouvající síly a reakce:

kN25,213

641,3233,741,3

kN57,413

641,3233,741,3

kN35,1846

233,7774,109075,18

kN49,2146

233,7774,109325,20

82

430,3434

43

430,4343

32

320,2323

32

320,3232

21

−=+−−−=−−=

=+−−=−−=

−=+−−−=−−=

=+−−=−−=

,l

MMVV

,l

MMVV

,l

MMVV

,l

MMVV

,l

,,

,,,

,,,

,,,

,

kN77,61,12,21,2

kN32,344,11

kN57,29

kN92,1

344

43233

32122

211

=⋅++−==++−=

=+−=−==

,

,,

,,

,

VR

VVR

VVR

VR

19

1343 ,l ,




Řešení příkladu 3.1, silové zatíženíObr. 4.8. / str. 106

Příklad 3.1, zatížení zm ěnou teploty

Lineární oteplení třetího pole po výšce průřezu (∆t1)3,4 = 15°C

První dvě pole nejsou zatížena změnou teploty.

02 2,11,02,12,11,01,0 =⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅l

Zl

Zl

Mll

Ml

M

000106

8,2

106

8,2020

02

02

02

4241

4,3

4,34,3

3,2

3,22,3

4,3

4,34

4,3

4,3

3,2

3,23

3,2

3,22

3,2

3,23,2

2,1

2,11,2

3,2

3,23

3,2

3,2

2,1

2,12

2,1

2,11

2,1

2,12,1

1,0

1,00,1

2,1

2,12

2,1

2,1

1,0

1,01

1,0

1,00

=++⋅

⋅+

⋅+⋅⋅+

=⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅

=⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅

−− MM

I

lZ

I

lZ

I

lM

I

l

I

lM

I

lM

I

lZ

I

lZ

I

lM

I

l

I

lM

I

lM

I

lZ

I

lZ

I

lM

I

l

I

lM

I

lM


kNm402,8kNm318,1kNm659,0

0106

1,36,210

106

1,3

106

1,3

1040

4,62

1040

4,6

0001040

4,6

1040

4,6

106

8,22

106

8,2

106106

321

44444342

4344241

−=+=−=

=⋅

⋅++⋅

⋅+

⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅

=++⋅

⋅+

⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅

⋅ ⋅

−−−−−

−−−−

MMM

MMM

MMM

402,8318,1

kN706,082

318,1659,0

21

21122,1

+−

=−−−=−−==,

,

MM

,l

MMVV



kN225,2519,1706,0

kN706,0

kN710,213

0402,8

kN519,146

402,8318,1

32122

211

43

433443

32

322332

−=−−=+−===

=−−−=−−==

−=+−=−−==

,,

,

,,,

,,,

VVR

VR

,l

MMVV

,l

MMVV

22

kN710,2

kN229,4710,2519,1

344

43233

32122

−=−==+=+−=

,

,,

,,

VR

VVR



Řešení příkladu 3.1, změna teplotyObr. 4.8. / str. 106

Příklad 3.1, popušt ění podpor

Zadán pokles podpor 2 a 3: ( )( )↓=

↓=

mm53

mm2

3

2

,w

w

062 01122,12

2,11,01

1,00 =

−−−⋅⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅l

ww

l

wwE

I

lM

I

l

I

lM

I

lM

( ) 000104,26106

8,2

106

8,2020

062

062

062

74241

3,2

23

4,3

34

4,3

4,34

4,3

4,3

3,2

3,23

3,2

3,22

2,1

12

3,2

23

3,2

3,23

3,2

3,2

2,1

2,12

2,1

2,11

1,02,12,12

2,11,01

1,00

=−⋅⋅⋅+⋅

⋅+

⋅+⋅⋅+

=

−−−⋅⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅

=

−−−⋅⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅

=

−⋅⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅

−− MM

l

ww

l

wwE

I

lM

I

l

I

lM

I

lM

l

ww

l

wwE

I

lM

I

l

I

lM

I

lM

llE

IM

IIM

IM


kNm358,13kNm722,9kNm881,15

04,6

002,00035,0

1,3

0035,00104,26

106

1,3

106

1,3

1040

4,62

1040

4,6

08,2

0002,0

4,6

002,00035,0104,26

1040

4,6

1040

4,6

106

8,22

106

8,2

321

74444342

74344241

+=+=−=

=

−−−⋅⋅⋅+⋅

⋅+

⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅

=

−−−⋅⋅⋅+⋅

⋅+

⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅

−−−−

−−−−

MMM

MMM

MMM

kN5680722935813

kN144982

722988115

32

21

21122,1

,,,MM

VV

,,

,,

l

MMVV

,,

=−=−−==

=+=−−==



kN576856801449

kN1449

kN309413

035813

kN568046

722935813

32122

211

43

433443

32

322332

,,,VVR

,VR

,,

,

l

MMVV

,,

,,

l

MMVV

,,

,

,,,

,,,

−=+−=+−===

−=−−=−−==

=−=−−==

25

kN3094

kN877430945680

344

43233

32122

,VR

,,,VVR

,

,,

,,

=−=−=−−=+−=



Řešení příkladu 3.1, popuštění podporObr. 4.8. / str. 106

Příklad 3.2

Vyřešte spojitý nosník pro zadaný silový zatěžovací stav a vypočtěte průhyb ws uprostřed pravého pole.

kPa104,2m102,1 743 ⋅=⋅= − E I

kNm291,11

04,24822

0102,1

64,4100

102,1

6

102,1

520

02

2

2

3332

3,2

3,23,2

2,1

2,11,2

3,2

3,23

3,2

3,2

2,1

2,12

2,1

2,11

−=

=+⋅

=⋅

⋅+++

⋅+

⋅⋅⋅+

=⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅

−−−

M

M

M

I

lZ

I

lZ

I

lM

I

l

I

lM

I

lM



Příklad 3.2

Využití reduk ční věty � jednotkový virtuální stav vytvořen na prostém nosníku

( )

( ) 35,1702,122055,156

1

35,1055,15057,726

11

⋅⋅⋅++

+⋅⋅+⋅⋅=s EIw


Řešení příkladu 3.2Obr. 4.9. / str. 109

mm813,1

m001813,0104,2102,1

211,5273

=

=⋅⋅⋅

=

−

s

s

w

w

Symetrie spojitého nosníku

Symetrie spojitého nosníku předpokládá:a) symetrii tvaru – souměrná sdružená pole mají shodná rozpětí

a shodné průřezové charakteristiky

b) symetrii podepření – oba konce spojitého nosníku jsou stejné b) symetrii podepření – oba konce spojitého nosníku jsou stejné (kloubově podepřené, vetknuté nebo převislé)

Symetrie nosníku u:a) lichého počtu polí

b) sudého počtu polí

29Využití symetrie spojitého nosníku

Symetrie tvaru a podepření spojitého nosníkuObr. 4.10. / str. 110

b) sudého počtu polí

se liší polohou osy symetrie.

Zatížení symetrického spojitého nosníku

Zatížení symetrického spojitého nosníku může být:a) symetrické – S (zatížení obou polovin tvoří obrazy se stejnými smysly)

b) antisymetrické – A (zatížení obou polovin tvoří obrazy s opačnými smysly)smysly)

c) obecné (nemá rysy symetrie a antisymetrie)

Zkratky:

SL … sym. zatížení, lichý počet polí

AL … antisym. zatížení, lichý počet polí


Symetrické, antisymetrické a obecné zatíženíObr. 4.11. / str. 110

AL … antisym. zatížení, lichý počet polí

SS … sym. zatížení, sudý počet polí

AS … antisym. zatížení, sudý počet polí

Symetrické a antisymetrické zatížení a jeho využití

n

, n´, MMMn

n´M´ , MMM

n

, n´, MMMn

n´M´ , MMM

ss

ss

ss

ss

2

1

2,

2

1

2,

3223322

3223322

−=−==−=−=

+=====

ALAL

SSSLSL

AL

SS

AS


Využití symetrie při symetrickém a antisymetrickém zatížení spojitého nosníkuObr. 4.12. / str. 112

Příklad 3.3

Zatížení symetrického spojitého nosníku se rozloží na zatížení:a) symetrickéa) symetrické

b) antisymteircké

Samostatně se řeší spojitý symetrický nosník pro obě zatížení včetně vyhodnocení průběhů složek vnitřních sil.


Zadání a řešení příkladu 3.3Obr. 4.13. / str. 114

složek vnitřních sil.

Výsledné řešení je dáno superpozicí výsledků řešení sym. a antisym. zatížení stejného symetrického nosník.

Příklad 3.3

Výsledky řešení symetricky zatíženého symetrického nosníku:



Příklad 3.3

Výsledky řešení antisymetricky zatíženého symetrického nosníku:



Příklad 3.3

Výsledné průběhy vnitřních sil získané superpozicemi SL+AL



Definice příčinkové čáry:

Příčinková čára je grafické znázornění funkce, která

vyjadřuje závislost sledované veličiny (např. Ra) na

Příčinkové čáry (pohyblivé zatížení)

a

proměnné poloze bezrozměrné jednotkové síly popsané

nezávisle proměnnou vzdáleností x.

36Příčinkové čáry a nahodilé zatížení na spojitém nosníku

Příčinková čára sleduje proměnlivost statické veličiny (např.

Mb, Ra), která se váže k jedinému průřezu (např. a, b).

Kinematická metoda:Příčinková čára určité silové veličiny je shodná s ohybovou čarou spojitého nosníku způsobenou jednotkovým

Příčinkové čáry na spojitém nosníku

22 22 011 RR ηRηR =⇒=⋅−⋅

čarou spojitého nosníku způsobenou jednotkovým

deformačním impulzem, odpovídajícím sledované veličině.

Dle Bettiho věty platí:


K odvození kinematické metodyObr. 4.16. / str. 119

22


38Pohyblivé zatížení na jednoduchém staticky neurčitém nosníku v příčné úloze

Příčinkové čáry na jednostranně vetknutém nosníkuObr. 3.30. / str. 92


39Pohyblivé zatížení na jednoduchém staticky neurčitém nosníku v příčné úloze

Příčinkové čáry na oboustranně vetknutém nosníkuObr. 3.31. / str. 92



Příčinkové čáry na spojitém nosníkuObr. 4.15. / str. 118

téma 3 spojitý nosníkfast10.vsb.cz/koubova/sski_tema3_kombi.pdfzákladní vlastnosti spojitého...

Documents