téma 5: kroucenífast10.vsb.cz/krejsa/studium/pp_tema05.pdfkatedra stavební mechaniky fakulta...
TRANSCRIPT
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia
Téma 5Kroucení
• Základní principy a vztahy• Smykové napětí a přetvoření• Úlohy staticky určité a staticky neurčité
2 / 31
Kroutící moment
Základní principy a vztahy
Kroutící (torzní)moment T 0
+y
+z +x
1
2 3
F1
F2F3
Vnitřní síly:N, T (vždy),Vy, Vz, My, Mz (prut rovnoběžný s osou x)Vx, Vz, Mx, Mz (prut rovnoběžný s osou y)Vx, Vy, Mx, My (prut rovnoběžný s osou z)
nv = 6 Např. prostorově lomený nosník
3 / 31
Prosté kroucení
Základní principy a vztahy
Ukázka prvku namáhaného kroucením –dřevěný rumpál
4 / 31
Prosté kroucení
Základní principy a vztahy
Jediná nenulová složka vnitřních sil v libovolném průřezu prutu je kroutící (torzní) moment T = Mx.
0 zy VV 0 zy MM0N
Nejjednodušší řešení lze získat u prutů rotačně symetrického průřezu – kruhového a mezikruhového.
ddt
5 / 31
Základní předpoklady
a) osa prutu zůstane i po deformaci přímá
b) průřezy zůstávají rovinnými i po deformaci a vzájemně se nevzdálí
c) jednotlivé průřezy se otáčejí jako tuhé celky (průvodiče se nezkřiví)
00 xx
xMT
x
xd
Smykové napětí a přetvoření
6 / 31
Prosté kroucení přímého prutu kruhového průřezuxd
xMT
xx
x
xx d
AC
BD
AC
BD
xdx
- průřez x se pootočí o x AA xxx .tan
- průřez x+dx se pootočí o xx d BB
- původně pravoúhlý prvek ABDC se zkosí o
x
x
dd.
xx
dd ... poměrný úhel zkosení [m-1]
Smykové napětí a přetvoření
7 / 31
d dd
Ad.Ad
ST
r
r,0
ST r
max
rsr
t
max
... GG ... dle Hookova zákona ve smyku
pAA A
x IGAGAGdAMT ..d..d..... 2 ... polární moment setrvačnosti ke středu kruhu [m4]pI
32.
2. 44 drII tp
... moment tuhosti v kroucení [m4]tI... platí u kruhového průřezu
4444 .32
.2 sstp ddrrII
... platí u mezikruhového průřezu
Smykové napětí a přetvoření
Prosté kroucení přímého prutu (mezi)kruhového průřezu
8 / 31
d dd
Ad.Ad
ST
r
r,0
ST r
max
rsr
t
max
px IGMT .. ..G tp
x
IM
,
.
tp
x
IrM
,max
.
... maximální smykové napětí (po obvodu) [MPa]
Smykové napětí a přetvoření
Smykové napětí prutu (mezi)kruhového průřezu
9 / 31
Deformace prutu kruhového průřezu x [rad]
Smykové napětí a přetvoření
r
x
zy
x
xMT
l
CxIG
MCxxxtp
xx d.
.d.
,
okrajová podmínka: 00 xx
pro Ip = konst. a zatížení koncovým kroutícím momentem T:
tptptp
x IGxTx
IGTx
IGTx
,,, ..d.
.d
.
tpx IG
lTlx,
max, ..
rozvinutý plášť:
l
lr. xr x.x
10 / 31
Kroucení prutů obecného průřezu
Dochází k deplanaci – porušení rovinnosti průřezu. Pokud nenídeplanaci bráněno, vzniká volné kroucení (x=0) jinak vázanékroucení.
U prutů obecného průřezu vzniká kroucení k ose, jež je spojnicí středůsmyků, které nemusí být shodné s těžištěm. U masivních průřezů nenítento rozdíl významný, respektuje se u tenkostěnných průřezů.
Předpoklady:
a) příčný tvar průřezů se nemění, každý průřez se pootáčí kolem osy prutu jako tuhý celek.
b) x=0 , vzniká však deplanace, jež je shodná ve všech řezech.
Smykové napětí a přetvoření
11 / 31
Kroucení prutů obecného průřezu
A A
B
B
b
h
B
max
t
x
WM
max průřezový modul v kroucení [m3]tW
Pro :hbIt .. 3 ... [m4]
hbWt .. 2 ... [m3]
bezrozměrné součinitele [-] (tab.5.1) ,
vzniká ve středu delší strany obdélníka
max
...
...
...
Smykové napětí a přetvoření
12 / 31
Kroucení tenkostěnných prutů otevřeného průřezu
Často nelze zanedbat vliv vázaného kroucení
ht
t
hmax
htIt ..31 3
tIhtW t
t ..31 2
Složené průřezy
n
iii
n
iitt htII
1
3
1, ..
3.
... korekční součinitel, dle zkoušek (tab.5.2)
vzniká v části s největší tloušťkou, takže maxmax
min, tIW t
t
Smykové napětí a přetvoření
13 / 31
PříkladZadání: m2,3l
kNm6,0, dxMVálcovaný profil U160
MPa791,8410.10.07619,7
10.6,0 66
3,
max
t
dx
WM
369
max
m10.07619,70105,0
10.3,74
tIW t
t
49 m10.3,74 tI m10.5,10 3max
tt f
Z tabulek válcovaných profilů – pro profil U160
Smykové napětí a přetvoření
14 / 31
Kroucení tenkostěnných prutů uzavřeného průřezuNapř. mezikružný průřez. Při malé tloušťce je = konst.
Smykový tok: výslednice smykových napětí v řezu napříč tloušťkou průřezu.
max vzniká v nejužším místě průřezu.
min..2 tAW kt
plocha ohraničená střednicí průřezu [m2]
kA ...
nejužší místo průřezu [m]mint ...
Tuhost v kroucení:
s
kt
stdsAI
2.4
n
i i
i
kt
th
AI
1
2.4... křivkový integrál, vztahující se na celou délku střednice průřezu
... pro průřezy po částech konstantní
Smykové napětí a přetvoření
15 / 31
PříkladZadání:
?tW ?tI
1 2,0.75,11 A
2 25,0.50,22 A
3 2,0.546,13 A
2m1875,32
75,15,2.5,1
kA
Plocha omezená střednicí:
3min m275,1..2 tAW kt
44
1
2
m187918,121165,3464063,40.4
i i
i
kt
th
AI
Smykové napětí a přetvoření
16 / 31
Mimoúrovňové křížení dálnice D47, Rudná, Ostrava
Ukázky konstrukcí namáhaných kroucením
17 / 31
Mimoúrovňové křížení dálnice D47, Rudná, Ostrava
Ukázky konstrukcí namáhaných kroucením
18 / 31
Mimoúrovňové křížení dálnice D47, Rudná, Ostrava
Ukázky konstrukcí namáhaných kroucením
19 / 31Ukázky konstrukcí namáhaných kroucením
Mimoúrovňové křížení dálnice D47, Rudná, Ostrava
20 / 31Ukázky konstrukcí namáhaných kroucením
Mimoúrovňové křížení dálnice D47, Rudná, Ostrava
21 / 31Ukázky konstrukcí namáhaných kroucením
Most přes řeku Odru, Rudná, Ostrava
22 / 31Ukázky konstrukcí namáhaných kroucením
Most přes řeku Odru, Rudná, Ostrava
23 / 31Ukázky konstrukcí namáhaných kroucením
Most přes řeku Odru, Rudná, Ostrava
24 / 31Ukázky konstrukcí namáhaných kroucením
Most přes řeku Odru, Rudná, Ostrava
25 / 31Ukázky konstrukcí namáhaných kroucením
Most přes řeku Odru, Rudná, Ostrava
26 / 31Ukázky konstrukcí namáhaných kroucením
Most přes řeku Odru, Rudná, Ostrava
27 / 31
Průřezové charakteristiky vybraných obrazců
Průřezové charakteristiky v
kroucení vybraných obrazců:(tab.5.3)
Smykové napětí a přetvoření
28 / 31
Návrh a posudek prutu namáhaného kroucením
Posouzení návrhudle MS únosnosti
Návrh nosné konstrukce
Realizace
Dimenzování
maxmin, ,, dtEd fWT
tdRdEd WfTT .
RdTzvětšit
Smykové napětí a přetvoření
1Rd
Ed
TT
29 / 31
Návrh a posudek prutu namáhaného kroucením
Podmínka spolehlivé únosnosti:
RdEd TT
na úrovni vnitřních sil
index Ed ... návrhové zatíženíindex Rd ... návrhová pevnost (resistance)
Mezní stav použitelnosti: limmax
ty
tdRd Wf
WfT .3
.
(od charakteristických hodnot zatížení!!!)
3yd
d
ff
... napětí na mezi kluzu ve smyku [MPa]
Smykové napětí a přetvoření
1Rd
Ed
TT
Ocel:
30 / 31
Staticky neurčité případy kroucení
Úlohy staticky určité a staticky neurčité
Předpoklad řešení:pružné chování materiálu
Neznámé v úloze: 2,,1,, , xbxxax MMMM
Podmínka rovnováhy: 0,,, cxbxax MMM :0,ixM
Podmínka deformační:0
..2
1 ,
, i iti
iix
IGlM
:0 i
Oboustranně vetknutá hřídel
l
ba
1l 2l
cxM ,
c
bxM ,axM ,
TaxM ,
bxM ,
31 / 31
Okruhy problémů k ústní části zkoušky
1. Prosté kroucení, výpočet napětí a přetvoření prutus rotačně symetrickým průřezem
2. Kroucení prutů obecného průřezu3. Kroucení prutů s tenkostěnným průřezem4. Návrh a posudek prutu namáhaného kroucením5. Staticky neurčité případy kroucení
Podklady ke zkoušce