ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRỊNH THU TRANG

TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊNTRONG TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán

Mã số: 60460106

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS. TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

HÀ NỘI- 2014

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới GS TSKH Đặng Hùng Thắng người thầy đã tận tình hướng

dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo

trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc

Gia Hà Nội, và các thầy giảng dạy cao học ngành Toán học đã dạy bảo tôi

tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè

những người đã luôn bên cạnh cổ vũ, động viên và giúp đỡ.

Đặc biệt cho tôi gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình những người

luôn chăm lo, động viên và cổ vũ tinh thần cho tôi.

Hà Nội,ngày 20 tháng 12 năm 2014

Học viên

Trịnh Thu Trang

Mục lục

Mở đầu 5

1 Cơ sở của tính toán ngẫu nhiên 7

1.1 Chuyển động Brown và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Biến phân và biến phân bậc hai . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 Chuyển động Brown nhiều chiều . . . . . . . . . . . . 10

1.1.4 Biến phân chéo của chuyển động Brown . . . . . . . . 11

1.1.5 Nhận diện chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.6 Nguyên lý phản xạ cho chuyển động Brown . . . . . . 15

1.2 Tích phân Itô, công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1 Xây dựng tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bậc thang . . . . . 19

1.2.3 Một số tính chất về tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên

bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.4 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 21

1.2.5 Tính chất về tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên . . . . 21

1.2.6 Biến phân bậc hai của tích phân Itô . . . . . . . . . . 22

1.2.7 Công thức Itô hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 22

2

1.2.8 Giá trị trung bình và phương sai của quá trình Cox-

Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.9 Công thức Itô nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 27

1.3.2 Tính chất Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.3 Mật độ chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.4 Phương trình lùi Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.5 Liên hệ giữa tính toán ngẫu nhiên và phương trình lùi

Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3.6 Định lý Girsanov và độ đo trung hòa rủi ro . . . . . . 32

1.3.7 Biểu diễn Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3.8 Định lý biểu diễn Martingale nhiều chiều . . . . . . . 39

2 Tính toán ngẫu nhiên trong một số mô hình tài chính 41

2.1 Mô hình Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Mô hình thị trường nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1 Mô hình thị trường d-chiều . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.2 Mô hình thị trường hai chiều . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 Quyền mua kiểu châu Âu up and out . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Quyền chọn kiểu châu Á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.4.1 Định lý Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4.2 Xây dựng bảo hộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.4.3 Tiền chi trả bình quân cho quyền chọn Châu Á . . . . 63

2.5 Lý thuyết độ chênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.5.1 Mô hình nhị thức, phương án đầu tư có bảo hộ . . . . 64

2.5.2 Thiết lập mô hình liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.5.3 Định giá trung hòa rủi ro và bảo hộ . . . . . . . . . . 69

2.5.4 Thực hiện định giá trung hòa rủi ro và bảo hộ . . . . 72

3

2.6 Quyền chọn ngoài rào cản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.6.1 Tính toán các giá trị của quyền chọn . . . . . . . . . . 76

2.6.2 Các phương trình vi phân ngẫu nhiên cho quyền chọn

ngoài rảo cản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.6.3 Bảo hộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Kết luận 82

4

Mở đầu

Toán tài chính là một ngành toán học ứng dụng nghiên cứu thị

trường tài chính. Toán tài chính đi nghiên cứu các thành phần, đặc điểm,

cấu trúc của thị trường tài chính, nhằm xây dưng các mô hình toán học và

ứng dụng chúng và việc tính toán trong thị trường tài chính thực. Đây cũng

là một lĩnh vực còn khá mới ở Việt Nam.

Nội dung của luận văn này sẽ đi trình bày về một số lý thuyết của giải

tích ngẫu nhiên và ứng dụng của nó vào lĩnh vực tài chính. Luận văn được

chia làm hai chương:

Chương 1: Cơ sở của tính toán ngẫu nhiên

Chương 2: Tính toán ngẫu nhiên trong một số mô hình tài chính

Trong chương 1, là các kiến thức cơ bản về giải tích ngẫu nhiên nhằm

chuẩn bị cho luận văn. Ở đây, tôi đi trình bày về chuyển động Brown, tích

phân Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên, tính chất Markov, phương trình

lùi Kolmogorov, định lý Girsanov, độ đo trung hòa rủi ro, lý thuyết biểu diễn

martingale.

Trong chương 2, tôi đi trình bày về các ứng dụng của giải tích ngẫu

nhiên vào tài chính, cụ thể ở đây là mô hình Black-Sholes, mô hình thị trường

hai chiều, quyền chọn châu Âu up and out, quyền chọn kiểu châu Á, lý thuyết

độ chênh thị giá, quyền chọn ngoài rào cản

Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không thể tránh được những

5

thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của thầy cô và bạn

đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

6

Chương 1

Cơ sở của tính toán ngẫu

nhiên

1.1 Chuyển động Brown và các tính chất

1.1.1 Chuyển động Brown

Định nghĩa 1.1.1. Cho (Ω,F ,P) là không gian xác suất, quá trình ngẫu

nhiên B(t, w) : [0,∞)× Ω→ R thỏa mãn các điều kiện sau:

i) B(0) = 0, tức là Pω : B(0, ω) = 0 = 1,

ii) B(t) là một hàm liên tục theo t,

iii) Nếu

0 = t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn,

Y1 = B(t1)− B(t0), . . . , Yn = B(tn)− B(tn−1),

thì các gia số Y1, Y2, . . . , Yn là các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân

phối chuẩn Yj ∼ N(0, tj − tj−1) ∀j

7

1.1.2 Biến phân và biến phân bậc hai

Biến phân bậc hai là một thước đo cho sự biến động. Đầu tiên ta sẽ xem

xét về biến phân (hay biến phân bậc nhất), FV (f) của một hàm f(t).

Hình 1.1: Hàm f(t)

Đối với hàm f(t) trong hình trên, biến phân trong khoảng [0, T ] được cho

bởi:

FV[0,T ](f) = [f(t1)− f(0)]− [f(t2)− f(t1)] + [f(T )− f(t2)]

=

∫ t1

0

f′(t)dt+

∫ t2

t1

(−f′(t))dt+

∫ T

t2

f′(t)dt.

=

∫ T

0

|f′(t)|dt.

Như vậy biến phân đo tổng lượng biến động lên và xuống của một quỹ đạo

chuyển động. Định nghĩa chung về biến phân như sau:

Định nghĩa 1.1.2. Cho phân hoạch π = t0, t1, ...tn của đoạn [0, T ], sao

cho:

0 = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn = T

||π|| = maxk=0,...,n−1

(tk+1 − tk)

8

Biến phân của một hàm f trên đoạn [0, T ] xác định bởi:

FV[0,T ](f) = lim||π||→0

n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)|.

Giả sử f khả vi. Định lý giá trị trung bình ở đây nghĩa là trong mỗi đoạn

con [tk, tk+1] có một điểm t∗k để mà

f(tk+1)− f(tk) = f ′(t∗k)(tk+1 − tk).

Nênn−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)| =n−1∑k=0

|f ′(t∗k)| (tk+1 − tk),

và

FV[0,T ](f) = lim||π||→0

n−1∑k=0

∣∣∣f ′(t∗k)∣∣∣ (tk+1 − tk)

=

∫ T

0

∣∣∣f ′(t)∣∣∣ dt.Định nghĩa 1.1.3. (Biến phân bậc hai) Biến phân bậc hai của hàm f

trên đoạn [0, T ] xác định bởi công thức:

〈f〉(T ) = lim||π||→0

n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)|2.

Nhận xét. Nếu f là hàm khả vi thì 〈f〉(T ) = 0 bởi vì:

n−1∑k=0

|f(tk+1)− f(tk)|2 =n−1∑k=0

|f ′(t∗k)|2(tk+1 − tk)2

≤ ‖π‖n−1∑k=0

|f ′(t∗k)|2(tk+1 − tk).

và

〈f〉(T ) ≤ lim‖π‖→0

‖π‖. lim‖π‖→0

n−1∑k=0

|f ′(t∗k)|2(tk+1 − tk)

= lim‖π‖→0

‖π‖∫ T

0

|f ′(t)|2dt

= 0.

9

Định lý 1.1.1. 〈B(t)〉(T ) = T hay chính xác hơn

Pw ∈ Ω, 〈B(., w)〉 (T ) = T = 1.

Đặc biệt, những quỹ đạo của chuyển động Brown là không khả vi.

Nhận xét (Biểu diễn vi phân): Ta biết rằng

E[(B(tk+1)− B(tk))2 − (tk+1 − tk)

]= 0.

Từ trên ta thấy,

V ar[(B(tk+1)− B(tk))2 − (tk+1 − tk)

]= 2(tk+1 − tk)2.

Khi hiệu (tk+1 − tk) nhỏ thì (tk+1 − tk)2 là rất nhỏ, vì thế ta có thể lấy xấp

xỉ bằng

(B(tk+1)− B(tk))2 ' tk+1 − tk,

hay dB(t)dB(t) = dt.

1.1.3 Chuyển động Brown nhiều chiều

Định nghĩa 1.1.4. Một chuyển động Brown-d chiều là một quá trình

B(t) = (B1(t),B2(t) . . .Bd(t))

thỏa mãn các tính chất sau:

i) Mỗi Bk(t) là chuyển động Brown một chiều;

ii) Nếu i 6= j thì hai quá trình Bi(t) và Bj(t) là độc lập.

Kết hợp với một chuyển động Brown-d chiều chúng ta có một bộ lọc

F(t) cho như sau:

i) Với mỗi t, vectơ ngẫu nhiên B(t) là F(t)-đo được;

10

ii) Với mỗi t ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn, các gia số

B(t1)− B(t), . . . ,B(tn)− B(tn−1)

là độc lập đối với bộ lọc F(t).

1.1.4 Biến phân chéo của chuyển động Brown

Vì mỗi thành phần Bi là một chuyển động Brown một chiều, nên ta có

dạng thức sau

dBi(t)dBi(t) = dt.

Định lý 1.1.2. Nếu i 6= j thì dBi(t)dBj(t) = 0

Chứng minh. Lấy π = t0, . . . tn là một phân hoạch của [0, T ]. Với mỗi i 6= j

ta định nghĩa biến phân chéo của Bi và Bj trên đoạn [0, T ] là:

Cπ =

n−1∑k=0

[Bi(tk+1 − Bi(tk)

][Bj(tk+1)− Bj(tk)

].

Các gia số xuất hiện bên vế phải của phương trình trên là độc lập với nhau

và tất cả có giá trị trung bình bằng 0. Do đó

ECπ = 0

Ta đi tính

C2π =

n−1∑k=0

[Bi(tk+1)− Bi(tk)

]2[Bj(tk+1)− Bj(tk)]

2

+2n−1∑l<k

[Bi(tl+1)−Bi(tl)

][Bj(tl+1)−Bj(tl)

].[Bi(tk+1)−Bi(tk)

][Bj(tk+1)−Bj(tk)

].

Các gia số xuất trong tổng thứ hai của vế phải độc lập với nhau và có giá trị

trung bình bằng 0.

11

Vì thế,

V ar(Cπ) = EC2π

= En−1∑k=0

[Bi(tk+1)− Bi(tk)

]2[Bj(tk+1 − Bj(tk)

]2.

Mặt khác[Bi(tk+1 − Bi(tk)

]2 và[Bj(tk+1 − Bj(tk)

]2 là độc lập và có kỳ vọng

bằng (tk+1 − tk).

Do đó,

V ar(Cπ) =n−1∑k=0

(tk+1 − tk)2 ≤ ‖π‖n−1∑k=0

(tk+1 − tk) = ‖π‖.T

Cho ‖π‖ → 0, ta có V ar(Cπ)→ 0 vì vậy Cπ hội tụ đến hằng số ECπ = 0.

1.1.5 Nhận diện chuyển động Brown

Định lý 1.1.3. (Levy) Cho B(t), 0 ≤ t ≤ T là một quá trình trên không

gian xác suất (Ω,F , P ) thích nghi với bộ lọc F(t), 0 ≤ t ≤ T , thỏa mãn

i) Quỹ đạo của B(t) là liên tục.

ii) B là martingale.

iii) 〈B〉 (t) = t, 0 ≤ t ≤ T,

thì B là một chuyển động Brown.

E

[eu(B(t)−B(s))

∣∣∣∣F(s)

]= e

12u

2(t−s).

Xác định các biến và mối tương quan

Cho B1 và B2 là các chuyển động Brown độc lập và

dS1

S1= rdt+ σ11dB1 + σ12dB2

dS2

S2= rdt+ σ21dB1 + σ22dB2,

12

Xác định

σ1 =√σ2

11 + σ212,

σ2 =√σ2

21 + σ222,

ρ =σ11σ21 + σ21σ22

σ1σ2.

Quá trình W1 và W2 cho bởi công thức

dW1 =σ11dB1 + σ12dB2

σ1

dW2 =σ21dB1 + σ22dB2

σ2.

Thì W1 và W2 có quỹ đạo liên tục, là martingale và

dW1dW1 =1

σ21

(σ11dB1 + σ12dB2)2

=1

σ21

(σ211dB1dB1 + σ2

12dB2dB2)

= dt,

tương tự

dW2dW2 = dt.

Vì vậy, W1 và W2 là chuyển động Brown. Giá cổ phiếu có các biểu diễn sau

dS1

S1= rdt+ σ1dW1,

dS2

S2= rdt+ σ2dW2.

Chuyển động Brown W1 và W2 có tương quan. Thật vậy

dW1dW1 =1

σ1σ2(σ11dB1 + σ12dB2)(σ21dB1 + σ22dB2)

=1

σ1σ2(σ11σ21 + σ12σ22)dt

= ρdt.

13

Đảo ngược quá trình

Giả sử ta có

dS1

S1= rdt+ σ1dW1,

dS2

S2= rdt+ σ2dW2,

ở đây W1 và W2 là chuyển động Brown với hệ số tương quan ρ. Ta muốn tìm

Σ =

σ11 σ12

σ21 σ22

để

ΣΣ′ =

σ11 σ12

σ21 σ22

σ11 σ21

σ12 σ22

=

σ211 + σ2

12 σ11σ21 + σ12σ22

σ11σ21 + σ12σ22 σ221 + σ2

22

=

σ21 ρσ1σ2

ρσ1σ2 σ22

Một lời giải cho phương trình này là

σ11 = σ1, σ12 = 0,

σ21 = ρσ2, σ22 =√

1− ρ2σ2.

Điều này tương ứng với

σ1dW1 = σ1dB1 ⇒ dB1 = dW1,

σ2dW2 = ρσ2dB1 +√

1− ρ2σ2dB2

⇒ dB2 =dW2 − ρdW1√

1− ρ2, (ρ 6= ±1)

14

Nếu ρ = ±1, thì không có B2 và dW2 = ρdB1 = ρdW1.

Tính tiếp trong trường hợp ρ 6= ±1 , ta có

dB1dB1 = dW1dW1 = dt,

dB2dB2 =1

1− ρ2

(dW2dW2 − 2ρdW1dW2 + ρ2dW2dW2

)=

1

1− ρ2(dt− 2ρ2dt+ ρ2dt)

= dt,

vì vậy cả B1 và B2 là chuyển động Brown.

Hơn nữa,

dB1dB2 =1√

1− ρ2(dW1dW2 − ρdW1dW1)

=1√

1− ρ2(ρdt− ρdt) = 0

Bây giờ chúng ta có thể áp dụng một mở rộng của định lý Levy để nói rằng

một chuyển động Brown nếu không có biến đổi chéo là độc lập, để kết luận

rằng B1 và B2 là chuyển động Brown độc lập.

1.1.6 Nguyên lý phản xạ cho chuyển động Brown

Xác định

M(T ) = max0≤t≤T

B(t).

Ta có:

PM(T ) > m,B(T ) < b = P (B(T ) > 2m− b)

=1√2πT

∫ ∞2m−b

exp − x2

2Tdx, m > 0, b < m.

15

Vì vậy mật độ đồng thời là:

PM(T ) ∈ dm,B(T ) ∈ db=− ∂2

∂m∂b

(1√2πT

∫ ∞2m−b

exp − x2

2Tdx

)dmdb

=− ∂

∂m

(1√2πT

exp − (2m− b)2

2T)dmdb,

=2(2m− b)T√

2πTexp − (2m− b)2

2Tdmdb,

vớim > 0, b < m.

Hình 1.2: Chuyển động Brown không có hệ số dịch chuyển

Trường hợp có hệ số dịch chuyển: Đặt

B(t) = θt+ Bt,

với B(t), 0 ≤ t ≤ T là một chuyển động Brown (không có hệ số dịch chuyển)

trên không gian xác suất (Ω,F ,P).

16

Ta có:

Z(T ) = exp −θB(T )− 1

2θ2T

= exp −θ (B(T ) + θT ) +1

2θ2T

= exp −θB(T ) +1

2θ2T,

P (A) =

∫A

Z(T )dP, A ∈ F .

Đặt

M(T ) = max0≤t≤T

B(T ).

Dưới độ đo P , B là chuyển động Brown (không có hệ số dịch chuyển), vì

PM(T ) ∈ dm, B(T ) ∈ db =2(2m− b)T√

2πTexp − (2m− b)2

2Tdmdb,

với m > 0, b < m.

Lấy h(m, b) là một hàm hai biến. Thì

Eh(M(T ), B(T )) = Eh(M(T ), B(T ))

Z(T )

= E[h(M(T ), B(T )) exp θB(T )− 1

2θ2T]

=

∫ m=∞

m=0

∫ b=m

b=−∞h(m, b) exp θb− 1

2θ2T

.PM(T ) ∈ dm, B(T ) ∈ db.

Mặt khác:

Eh(M(T ), B(T )) =

∫ m=∞

m=0

∫ b=m

b=−∞PM(T ) ∈ dm, B(T ) ∈ db.

Vì h tùy ý nên

PM(T ) ∈ dm, B(T ) ∈ db= exp θb− 1

2θ2TPM(T ) ∈ dm, B(T ) ∈ db

= exp θb− 1

2θ2T.2(2m− b)

T√

2πT

. exp − (2m− b)2

2Tdmdb, m > 0, b < m.

17

1.2 Tích phân Itô, công thức Itô

1.2.1 Xây dựng tích phân Itô

Hàm dưới dấu tích phân là chuyển động Brown B(t), t ≥ 0 với bộ lọc

F(t), t ≥ 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:

i) s ≤ t thì F(s) ⊂ F(t),

ii) B(t) là F(t)-đo được với mọi t,

iii) Cho 0 = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn, thì các gia số B(t1) − B(t0), . . . ,B(tn) −

B(tn−1) là độc lập trong F(t).

Khi đó tích phân f(t), t ≥ 0 thỏa mãn:

i) f(t) là F(t)-đo được ∀t

ii) f là bình phương khả tích, tức là:

E∫ T

0

f2(t)dt <∞ ∀T.

Khi đó tích phân Itô xác định bởi:

I(t) =

∫ t

0

f(u)dB(u), ∀t ≥ 0.

Nhận xét. Nếu g(t) là một hàm khả vi, thì ta có thể xác định∫ t

0

f(u)dg(u) =

∫ t

0

f(u)g′(u)du.

Điều này sẽ không còn đúng khi tích phân là chuyển động Brown vì quỹ đạo

của chuyển động Brown không khả vi.

18

1.2.2 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bậc thang

Cho π = t0, t1, . . . , tn là phân hoạch của đoạn [0, T ], tức là

0 = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tn = T.

Giả sử f(t) là không đổi trên mỗi đoạn con [tk, tk+1] (như hình 1.3). Ta gọi

f như vậy là hàm ngẫu nhiên bậc thang.

Hình 1.3: Hàm ngẫu nhiên bậc thang f

Cụ thể hơn

• Coi B(t) là một đơn giá cổ phiếu của tài sản tại thời điểm t.

• Các giá trị t0, t1, . . . , tn là ngày giao dịch đối với tài sản.

• Còn f(tk) là số cổ phần của tài sản được giao dịch ở thời điểm tk và

giữ cho đến giao dịch ngày tk+1.

19

Khi đó tích phân Itô I(t) được hiểu là lợi tức đạt được từ giao dịch tại thời

điểm t; lợi tức này là:

I(t) =

f(t0)[B(t)− B(t0)︸ ︷︷ ︸=B(0)=0

0 ≤ t ≤ t1

f(t0)[B(t1)− B(t0)] + f(t1)[B(t)− B(t1)], t1 ≤ t ≤ t2

f(t0)[B(t1)− B(t0)] + f(t1)[B(t2)− B(t1)]

+f(t2)[B(t)− B(t2)], t2 ≤ t ≤ t3.

Trường hợp tổng quát, nếu tk ≤ t ≤ tk+1,

I(t) =

k−1∑j=0

f(tj)[B(tj+1)− B(tj)] + f(tk)[B(t)− B(tk)].

1.2.3 Một số tính chất về tích phân Itô của hàm ngẫu

nhiên bậc thang

Với mỗi t, I(t) là F(t)-đo được. Giả sử

I(t) =

∫ t

0

f(u)dB(u), J(t) =

∫ t

0

g(u)dB(u)

thì

I(t)± J(t) =

∫ t

0

(f(u)± g(u))dB(u),

cI(t) =

∫ t

0

cf(u)dB(u).

và I(t) là một martingale.

Định lý 1.2.1. Tính chất martingale

I(t) =

k−1∑j=0

f(tj) [B(tj+1)− B(tj)] + f(tk)[B(t)− B(tk)], tk ≤ t ≤ tk+1

là một martingale.

Định lý 1.2.2. Tính đẳng cự Itô

EI2(t) = E

∫ t

0

f2(u)du.

20

1.2.4 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên

Định lý 1.2.3. Cố định T, cho δ là một hàm ngẫu nhiên, thỏa mãn:

• δ(t) là F(t)-đo được, ∀t ∈ [0, T ],

• E∫ T

0δ2(t)dt <∞.

Khi đó tồn tại một dãy các hàm ngẫu nhiên bậc thang δn∞n=1 thỏa mãn

limn→∞

E

∫ T

0

|δn(t)− δ(t)|2 dt = 0.

Từ đó ta có thể định nghĩa tích phân Itô cho hàm ngẫu nhiên như sau:

Định nghĩa 1.2.1. Tích phân Itô cho hàm ngẫu nhiên được xác định bởi

công thức: ∫ T

0

δ(t)dB(t) = limn→∞

∫ T

0

δn(t)dB(t).

Ký hiệu I(t) =∫ T

0δ(t)dB(t)

1.2.5 Tính chất về tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên

Cho I(t) =∫ T

0δ(t)dB(t)

Tính thích nghi: Với mỗi t, I(t) là F(t)-đo được.

Tính tuyến tính: Nếu

I(t) =

∫ t

0

δ(u)dB(u), J(t) =

∫ t

0

γ(u)dB(u).

thì

I(t)± J(t) =

∫ t

0

(δ(u)± γ(u))dB(u),

và

cI(t) =

∫ t

0

cδ(u)dB(u).

Tính martingale I(t) là một martingale.

Tính đẳng cự Itô EI2(t) = E∫ t

0δ2(u)du.

21

1.2.6 Biến phân bậc hai của tích phân Itô

Định lý 1.2.4. Cho I(t) =∫ t

0δ(u)dB(u) thì biến phân bậc hai của tích phân

Itô là

〈I〉(t) =

∫ t

0

δ2(u)du.

Thông thường ta có thể viết

dI(t)dI(t) = δ2(t)dt.

Hoặc dB(t)dB(t) = dt.

1.2.7 Công thức Itô hàm ngẫu nhiên

Hàm f(B(t)) khả vi, với B(t) là một chuyển động Brown. Khi đó biến

ngẫu nhiên Y (t) = f(B(t)) có vi phân ngẫu nhiên:

dY (t) = f ′(B(t))dB(t) +1

2f ′′(B(t))dt

Do đó tích phân Itô của Y (t) xác định bởi:

f(B(t))− f(B(0)) =

∫ t

0

f ′(B(u))dB(u) +1

2

∫ t

0

f ′′(B(u))du.

f(B(t)) =

∫ t

0

f ′(B(u))dB(u) +1

2

∫ t

0

f ′′(B(u))du do f(B(0)) = 0.

Xét công thức Itô cho hàm hợp.

Giả sử u(t,X(t)) là hàm hợp với các đạo hàm riêng ut, ux, uxx liên tục.

X(t) có vi phân ngẫu nhiên:

dX(t) = f(t, ω)dt+ g(t, ω)dB(t),

khi đó quá trình ngẫu nhiên Y (t) = u(t,X(t)) có vi phân Itô cho bởi:

dY (t) =

(ut(t, ω)+ux(t, ω)f(t, ω)+

1

2uxx(t, ω)g2(t, ω)

)dt+ux(t, ω)g(t, ω)dB(t).

22

Công thức có thể viết gọn:

dY (t) =(ut(t, ω) +

1

2uxx(t, ω)g2(t, ω)

)dt+ ux(t, ω)dX(t).

Đây là công thức vi phân Itô cho hàm hợp.

Ví dụ 1.2.1. Cho hàm ngẫu nhiên của Y (t) = W 2(t).

Chọn X(t) = B(t), u(x) = x2.

Khi đó f(t, ω) = 0, g(t, ω) = 1.

Vi phân Itô của dY (t) = du(t,X(t)) = dt+ 2B(t)dB(t).

Ví dụ 1.2.2. (Chuyển động Brown hình học)

Chuyển động Brown hình học được cho bởi biểu thức

S(t) = S0exp[(µ2 − σ2

2)t+ σB(t)

]trong đó µ, σ > 0 là hằng số.

Đặt

u(t, x) = S0exp[(µ2 − σ2

2)t+ σx

]thì

S(t) = u(t,B(t))

Ta có

ut = (µ2 − σ2

2)u, ux = σu, uxx = σ2u.

Áp dụng công thức Itô, vi phân của S(t) là:

dS(t) = du(t,B(t))

= (µ2 − σ2

2)udt+

1

2σ2udt+ σudB(t)

= µS(t)dt+ σS(t)dB(t).

Vì vậy vi phân Itô của chuyển động Brown hình học là:

dS(t) = µS(t)dt+ σS(t)dB(t),

23

và chuyển động Brown hình học có dạng:

S(t) = S0 +

∫ t

0

µS(s)ds+

∫ t

0

σS(s)dB(s).

Biến phân bậc hai của chuyển động Brown hình học

Biến phân bậc hai của chuyển động Brown hình học được xác định như

sau:

S(t) = S(0) +

∫ t

0

µS(u)du+

∫ t

0

σS(u)dB(u),

Tích phân Riemman F (t) =∫ t

0µS(u)du có đạo hàm F ′(t) = µS(t) và có biến

phân bậc 2 bằng 0.

Khi đó tích phân Itô G(t) =∫ t

0σS(u)dB(u) có biến phân bậc hai

〈G〉(t) =

∫ t

0

σ2S2(u)du.

Như vậy dS(t)dS(t) = (µS(t)dt+ σS(t)dB(t))2 = σ2S2(t)dt

1.2.8 Giá trị trung bình và phương sai của quá trình

Cox-Ingersoll-Ross

Mô hình Cox-Ingersoll-Ross cho lãi xuất là:

dr(t) = a(b− cr(t))dt+ σ√r(t)dB(t),

trong đó a, b, c, σ và r(0) là các hằng số dương. Lấy tích phân của phương

trình trên ta được:

r(t) = r(0) + a

∫ t

0

(b− cr(u))du+ σ

∫ t

0

√r(u)dB(u).

24

Áp dụng công thức Itô để tính dr2(t).

Đặt f(x) = x2.

dr2(t) = df(r(t))

= f ′(r(t))dr(t) +1

2f”(r(t))dr(t)dr(t)

= 2r(t)

[a(b− cr(t))dt+ σ

√r(t)dB(t)

]+

[a(b− cr(t)) + σ

√r(t)dB(t)

]2

= 2abr(t)dt− 2acr2(t)dt+ 2σr32 (t)dB(t) + σ2r(t)dt

= (2ab+ σ2)r(t)dt− 2acr2(t)dt+ 2σr32 (t)dB(t)

Giá trị trung bình của r(t). Do kỳ vọng của tích phân Itô bằng 0 nên

Er(t) = r(0) + a

∫ t

0

(b− cEr(u))du.

Vi phân của lợi tức này là:

d

dtEr(t) = a(b− cEr(t)) = ab− acEr(t).

Như vậy,

d

dt

[eactEr(t)

]= eact

[acEr(t) +

d

dtEr(t)

]= eactab.

Tích phân của lợi tức là:

eactEr(t)− r(0) = ab

∫ t

0

eacudu =b

c(eact − 1).

Suy ra

Er(t) =b

c+ e−act

(r(0)− b

c

).

Nếu r(0) = bc thì Er(t) = b

c với mọi t.

Nếu r(0) 6= bc thì

limt→∞

Er(t) =b

c.

Phương sai của r(t). Dạng tích phân cho phương trình từ dr2(t) là:

r2(t) = r2(0) + (2ab+ σ2)

∫ t

0

r(u)du− 2ac

∫ t

0

r2(u)du+ 2σ

∫ t

0

r32 (u)dB(u).

25

Er2(t) = r2(0) + (2ab+ σ2)

∫ t

0

Er(u)du− 2ac

∫ t

0

Er2(u)du.

Vi phân của lợi tức này là:

d

dtEr2(t) = (2ab+ σ2)Er(t)− 2acEr2(t),

d

dte2actEr2(t) = e2act

[2acEr2(t) +

d

dtEr2(t)

]= e2act(2ab+ σ2)Er(t).

Thay giá trị Er(t) đã biết vào phương trình vi phân trên ta tính được:

Er2(t) =bσ2

2ac2+b2

c2+

(r(0)− b

c

)(σ2

ac+

2b

c

)e−act

+

(r(0)− b

c

)2σ2

ace−2act +

σ2

ac

(b

2c− r(0)

)e−2act.

V ar r(t) = Er2(t)− (Er(t))2

=bσ2

2ac2+

(r(0)− b

c

)σ2

ace−act +

σ2

ac

(b

2c− r(0)

)e−2act.

1.2.9 Công thức Itô nhiều chiều

Cho u(t, x1, x2..., xn) là hàm liên tục xác định trên [0, T ] ∈ Rn với các đạo

hàm riêng ut, uxi , uxixj liên tục với mọi i, j ≤ n. ĐặtX(t) = (X1(t), . . . , Xn(t)).

Xét hàm ngẫu nhiên Y = Y (t), t ∈ [0, T ] xác định bởi

Y (t) = u(t,X(t)).

Khi đó Y(t) có vi phân ngẫu nhiên

dY (t) =

[ut(t,X(t)) +

n∑i=1

uxi(t,X(t))(t)fi(t)

+1

2

n∑i=1

n∑j=1

uxiuxj (t,X(t))gi(t)gj(t)

]dt

+

n∑i=1

uxi(t,X(t))gi(t)dB(t).

26

Công thức có thể viết gọn

dY (t) = ut(t,X(t))dt+n∑i=1

uxi(t,X(t))dXi(t)

+1

2

n∑i=1

n∑j=1

uxiuxj (t,X(t))gi(t)gj(t)dt.

hoặc

dY (t) = ut(t,X(t))dt+

n∑i=1

uxi(t,X(t))dXi(t)

+1

2

n∑i=1

n∑j=1

uxiuxj (t,X(t))dXi(t)dXj(t),

Ví dụ 1.2.3. Xét hàm u(t, x, y) = xy. Nếu

dX1(t) = f1(t, w)dt+ g1(t, w)dB(t),

dX2(t) = f2(t, w)dt+ g2(t, w)dB(t),

thì áp dụng công thức Itô tổng quát ta được:

d[X1(t)X2(t)] = X1(t)dX2(t) +X2(t)dX1(t) + g1(t, w)g2(t, w)dt.

1.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên

1.3.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDE) cho bởi công thức:

dX(t) = µ(t,X(t))dt+ σ(t,X(t))dB(t), (SDE)

trong đó µ(t, x), σ(t, x) là hàm xác định, liên tục theo (t, x) và thỏa mãn điều

kiện liên tục Lipschitz, tức là với hằng số L thì :

|µ(t, x)− µ(t, y)| ≤ L|x− y|, |σ(t, x)− σ(t, y)| ≤ L|x− y|, ∀t, x, y.

27

Giả sử (t0, x) cho trước, A là một nghiệm của phương trình vi phân ngẫu

nhiên với điều kiện ban đầu (t0, x) thì A là một quá trình X(t)t≥t0 thỏa

mãn:

X(t0) = x,

X(t) = X(t0) +

∫ t

t0

µ(s,X(s))ds+

∫ t

t0

σ(s,X(s))dB(s), t ≥ t0.

Nghiệm của quá trình X(t)t≥t0 sẽ thích nghi với bộ lọc Ft≥0 của chuyển

động Brown. Nếu biết được quỹ đạo của chuyển động Brown đến thời điểm

t, thì có thể ước lượng được X(t).

Ví dụ 1.3.1. Lấy µ là một hằng số và σ = 1 để

dX(t) = µdt+ dB(t).

Nếu (t0, x) là xác định và với điều kiện ban đầu

X(t0) = x,

thì

X(t) = x+ µ(t− t0) + (B(t)− B(t0)) , với t ≥ t0.

Ví dụ 1.3.2. Chuyển động Brown hình học

dX(t) = µX(t)dt+ σX(t)dB(t),

nhận giá trị ban đầu X(t0) = x.

Nghiệm của phương trình vi phân trên là:

X(t) = x expσ(B(t)− B(t0)) + (µ− 1

2σ2)(t− t0).

Thật vậy, coi t0 và B(t0) như hằng số.

Chọn u(t, z) = x expσ (z − B(t0)) + (µ− 12σ

2)(t− t0).

Áp dụng công thức vi phân Itô, ta có:

dX(t) = du(t,B(t)) = (µ− 1

2σ2)X(t)dt+

1

2σ2X(t)dt+ σX(t)dB(t)

= µX(t)dt+ σX(t)dB(t).

28

1.3.2 Tính chất Markov

Giả sử 0 ≤ t0 ≤ t1, lấy h(y) là một hàm. Ta ký hiệu

Et0,xh(X(t1))

là kỳ vọng của h(X(t1)), với X(t0) = x. Bây giờ lấy một giá trị bất kỳ ξ ∈ R

và với điều kiện ban đầu X(0) = ξ.

Ta có tính chất Markov sau:

E0,ξ

[h(X(t1))

∣∣∣∣F(t0)

]= Et0,X(t0)h(X(t1)).

1.3.3 Mật độ chuyển

Ký hiệu p(t0, t1;x, y) là hàm mật độ của X(t1), với điều kiện X(t0) = x.

Nói cách khác,

Et0,xh(X(t1)) =

∫Rh(y)p(t0, t1;x, y)dy.

Từ tính chất Markov, với 0 ≤ t0 ≤ t1 và mọi ξ ta có:

E0,ξ

[h(X(t1))

∣∣∣∣F(t0)

]=

∫Rh(y)p(t0, t1;x, y)dy.

Ví dụ 1.3.3. Cho phương trình vi phân ngẫu nhiên

dX(t) = adt+ dB(t).

Điều kiện X(t0) = x, các biến ngẫu nhiên X(t1) là phân bố chuẩn với giá trị

trung bình là x+ a(t1 − t0) và phương sai là (t1 − t0).

Như vậy

p(t0, t1;x, y) =1√

2π(t1 − t0)exp

− (y − (x+ a(t1 − t0)))2

2(t1 − t0)

.

Lưu ý rằng p phụ thuộc vào t0 và t1 chỉ thông qua hiệu t1 − t0. Điều này là

tất yếu khi a(t, x) và σ(t, x) không phụ thuộc vào t.

29

1.3.4 Phương trình lùi Kolmogorov

Xét phương trình vi phân

dX(t) = a(t,X(t))dt+ σ(t,X(t))dB(t),

và đặt p(t0, t1;x, y) là mật độ chuyển thì phương trình lùi Kolmogorov (KBE)

là:

− ∂

∂t0p(t0, t1;x, y) = a(t0, x)

∂

∂xp(t0, t1;x, y)+

1

2σ2(t0, x)

∂2

∂x2p(t0, t1;x, y).(KBE)

Giá trị t0 và x trong (KBE) được gọi là giá trị lùi.

Trong trường hợp a và σ là hàm chỉ phụ thuộc vào x, p(t0, t1;x, y) phụ thuộc

vào t0 và t1 thông qua hiệu τ = t1 − t0. Ta có thể viết p(τ ;x, y) thay cho

p(t0, t1;x, y) và (KBE) trở thành:

− ∂

∂τp(τ ;x, y) = a(x)

∂

∂xp(τ ;x, y) +

1

2σ2(x)

∂2

∂x2p(τ ;x, y). (KBE′)

Ví dụ 1.3.4. Hệ số dịch chuyển của chuyển động Brown hình học

dX(t) = adt+ dB(t)

p(τ ;x, y) =1√2πτ

exp

− (y − (x+ aτ))2

2τ

.

pτ =

(∂

∂τ

1√2πτ

)exp

− (y − x− aτ))2

2τ

−(∂

∂τ

(y − x− aτ))2

2τ

)1√2πτ

exp

− (y − x− aτ))2

2τ

=

[1

2τ+a((y − x− aτ)

τ+

(y − x− aτ)

2τ2

]p.

px =y − x− aτ

τp.

pxx =

(∂

∂

y − x− aττ

)p+

y − x− aττ

px

= −1

τp+

(y − x− aτ)2

τ2p.

30

Do đó

apx +1

2pxx =

[a(y − x− aτ)

τ− 1

2τ+

(y − x− aτ)2

2τ2

]p

= pτ .

Đây chính là phương trình lùi Kolmogorov.

Ví dụ 1.3.5. Chuyển động Brown hình học

dX(t) = rX(t)dt+ σX(t)dB(t),

p(τ ;x, y) =1

σy√

2πτexp

− 1

2τσ2

[log

y

x− (r − 1

2σ2)τ

]2.

Tính toán cho thấy p thỏa mãn phương trình (KBE).

pτ = rxpx +1

2σ2x2pxx.

1.3.5 Liên hệ giữa tính toán ngẫu nhiên và phương trình

lùi Kolmogorov

Xét

dX(t) = a(X(t))dt+ σ(X(t))dB(t).

Đặt h là một hàm. Ta định nghĩa:

v(t, x) = Et,xh(X(T )), với 0 ≤ t ≤ T (1.1)

Ta sẽ có

v(t, x) =

∫h(y)p(T − t;x, y)dy,

vt(t, x) = −∫h(y)pτ (T − t;x, y)dy,

vx(t, x) =

∫h(y)px(T − t;x, y)dy,

vxx(t, x) =

∫h(y)pxx(T − t;x, y)dy.

31

Do đó phương trình lùi Kolmogorov là

vt(t, x) + a(x)vx(t, x) +1

2σ2(x)vxx(t, x) =

∫h(y)

[−pτ (T − t;x, y)

+ a(x)px(T − t;x, y) +1

2σ2(x)pxx(T − t;x, y)

]dy = 0

Cho (0, ξ) là điều kiện ban đầu của phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.1. Để

đơn giản ký hiệu ta sẽ viết E thay cho E0,ξ.

Định lý 1.3.1. Bắt đầu với giá trị X(0) = ξ, quá trình v(t,X(t)) thỏa mãn

tính chất martingale.

E

[v(t,X(t))

∣∣∣∣F(s)

]= v(s,X(s)), 0 ≤ s ≤ t ≤ T. (1.2)

Định lý 1.3.2. (Feynman-Kac) Cho

v(t, x) = Et,xh(X(T )), 0 ≤ t ≤ T,

với

dX(t) = a(X(t))dt+ σ(X(t))dB(t).

Thì

vt(t, x) + a(x)vx(t, x) +1

2σ2(x)vxx(t, x) = 0, (FK)

và

v(T, x) = h(x).

Phương trình Black-Scholes ta sẽ nghiên cứu ở chương 2 là trường hợp

riêng của định lý này.

1.3.6 Định lý Girsanov và độ đo trung hòa rủi ro

Cho B(t), 0 ≤ t ≤ T là một chuyển động Brown trên không gian xác suất

(Ω,F , P ) có lọc. Định lý Girsanov cung cấp cho chúng ta một phương tiện

để thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất, từ một độ đo P đã cho sang

32

độ đo P mới ( tương tương với P ) sao cho dưới độ đo mới này thì một quá

trình nào đó sẽ trở thành một martingale. Điều này cho phép ta tìm ra một

độ đo xác suất trung hòa rủi ro P biến đổi một quá trình Xt không phải

martingale dưới độ đoP trở thành quá trình Xt là martingale dưới độ đo P .

Định lý 1.3.3. (Girsanov một chiều) Cho B(t), 0 ≤ t ≤ T là một chuyển

động Brown trên không gian xác suất (Ω,F , P ). Cho F(t), 0 ≤ t ≤ T là bộ lọc

và cho θ(t), 0 < t < T là một quá trình thích nghi với bộ lọc. Từ 0 < t < T ,

ta định nghĩa:

B(t) =

∫ t

0

θ(u)du+ B(t),

Z(t) = exp

−∫ t

0

θ(u)dB(u)− 1

2

∫ t

0

θ2(u)du

,

và định nghĩa một độ đo xác suất như sau:

P (A) =

∫A

Z(T )dP, ∀A ∈ F .

dưới độ đo P , quá trình B(t), 0 ≤ t ≤ T là một chuyển động Brown.

Chú ý: Định lý này đòi hỏi một điều kiện kỹ thuật về cỡ của θ. Nếu

E exp

1

2

∫ T

0

θ2(u)du

<∞,

thì mọi trường hợp đều thỏa mãn.

Ta có những nhận xét sau đây Z(t) là một martingale thì:

dZ(t) = −θ(t)Z(t)dB(t) +1

2θ2(t)Z(t)dB(t)dB(t)− 1

2θ2(t)Z(t)dt

= −θ(t)Z(t)dB(t).

P là một độ đo xác suất.

Từ Z(0)=1, chúng ta có EZ(t) = 1 với t ≥ 0 bất kỳ. Trong trường hợp đặc

biệt

P (Ω) =

∫Ω

Z(T )dP = EZ(T ) = 1,

33

vì P là một độ đo xác suất. E nằm trong E. Lấy E là kỳ vọng dưới độ đo

xác suất P . Nếu X là biến ngẫu nhiên, thì

EZ = E[Z(T )X].

Để thấy điều này, xem xét trường hợp đầu tiên X = 1A, với A ∈ F . Ta có

EX = P (A) =

∫A

Z(T )dP =

∫Ω

Z(T )1AdP = E[Z(T )X].

Nhận thấy rằng

P (A) =

∫A

Z(T )dP ∀A ∈ F

là điều chúng ta muốn để có

P (w) = Z(T,w)P (w),

nhưng từ P (w) = 0 và P (w) = 0 không đem lại kết quả hữu ích về P . Do đó

chúng ta sẽ xét các tập con của Ω, hơn là từng phần tử riêng lẻ của Ω.

Xét phân phối của B(T ). Nếu θ là hằng số thì

Z(T ) = exp −θB(T )− 1

2θ2T

B(T ) = θT + B(T ).

Dưới độ đo P , B(T ) là chuyển động Brown chuẩn với giá trị trung bình bằng

0 và phương sai T , vì vậy B(t) là chuẩn tắc với giá trị trung bình là θT và

phương sai là T.

P (B(T ) ∈ db) =1√2πT

exp

− (b− θT )2

2T

db.

Nếu bỏ qua hệ số dịch chuyển từ B(T ). Xét sự thay đổi của độ đo từ P tới

P bỏ qua hệ số dịch chuyển từ B(T ).

34

EB(T ) = E[Z(T )(θT + B(T ))]

= E[exp −θB(T )− 1

2θ2T(θT + B(T ))]

=1√2πT

∫ +∞

−∞(θT + b) exp −θb− 1

2θ2T exp − b2

2Tdb

=1√2πT

∫ +∞

−∞(θT + b) exp − (b+ θT )2

2Tdb

(y = θT + b) =1√2πT

∫ ∞−∞

y exp

−y

2

2

dy thay y = θT + b

= 0.

Tính toán trực tiếp từ công thức mật độ ta có EB(T ) = 0

PB(t) ∈ db =1√2πT

exp

− (b− θT )2

2T

db

bởi vì

Z(T ) = exp −θB(T )− 1

2θ2T

= exp −θ(B(T )− θT )− 1

2θ2T

= exp −θB(T ) +1

2θ2T,

Như vậy ta sẽ

PB(T ) ∈ db =1√2πT

exp

− b2

2T

db.

Dưới độ đo P , B(T ) là chuyển động Brown chuẩn với giá trị trung bình bằng

0 và phương sai T. Còn dưới độ đo xác suất P , B(T ) là chuẩn với giá trị

trung bình θT và phương sai T .

Kỳ vọng có điều kiện dưới độ đo P

Bổ đề 1.3.1. Cho 0 ≤ t ≤ T . Nếu X là F(t)− đo được, thì

EX = E[XZ(t)].

35

Bổ đề 1.3.2. (Luật Baye) Nếu X là F(t)− đo được và 0 ≤ s ≤ t ≤ T , thì

E

[X

∣∣∣∣F(s)

]=

1

Z(s)E

[XZ(t)

∣∣∣∣F(s)

].

Bổ đề 1.3.3. Dùng kết quả của định lý Girsanov ta có tính chất martingale

sau:

E

[B(t)

∣∣∣∣F(s)

]= B(s), 0 ≤ s ≤ t ≤ T.

Định nghĩa 1.3.1. (Độ đo tương đương)Hai độ đo trên một không gian

xác suất, có cùng tập độ đo-không được gọi là tương đương.

Hai độ đo xác suất P và P trong định lý Girsanov là tương đương.

Thật vậy, độ đo P xác định bởi

P (A) =

∫Z(T )dP, A ∈ F .

Nếu P (A) = 0 thì∫AZ(T )dP = 0. Vì Z(T ) > 0 với mọi w, ta có thể đảo

ngược lại công thức tính của P để được

P (A) =

∫A

1

Z(T )dP , A ∈ F .

Nếu P (A) = 0 thì∫A

1

Z(T )dP = 0.

Độ đo trung hòa rủi ro

Định nghĩa 1.3.2. Độ đo trung hòa rủi ro (hay độ đo martingale) là một

độ đo xác suất nào đó tương đương với độ đo xác suất P của thị trường mà

giá chiết khấu của các tài sản trên thị trường này là martingale.

Ví dụ 1.3.6. Cho cổ phiếu sau:

dS(t) = µ(t)S(t)dt+ σ(t)S(t)dB(t).

36

Quá trình µ(t) và σ(t) thích nghi với bộ lọc F(t).

Gọi r(t), 0 ≤ t ≤ T là lãi xuất, X(0) = x.

dX(t) = ∆(t)dS(t) + r(t)[X(t)−∆(t)S(t)]dt

= r(t)X(t)dt+ ∆(t)σ(t)S(t)

[µ(t)− r(t)

σ(t)dt︸ ︷︷ ︸

phí rủi ro =θ(t)

+dB(t)

]

Quá trình chiết khấu:

d

(e−

∫ t0r(u)duS(t)

)= e−

∫ t0r(u)du[−r(t)S(t)dt+ dS(t)]

d

(e−

∫ t0r(u)duX(t)

)= e−

∫ t0r(u)du[−r(t)X(t)dt+ dX(t)]

= ∆(t)d

(e−

∫ t0r(u)duS(t)

).

Đặt

β(t) = e∫ t0r(u)du,

1

β(t)= e−

∫ t0r(u)du

dβ(t) = r(t)β(t)dt, d

(1

β(t)

)= − r(t)

β(t)dt.

Do đó

d

(S(t)

β(t)

)=

1

β(t)[−r(t)S(t)dt+ dS(t)]

=1

β(t)[(µ(t)− r(t))S(t)dt+ σ(t)S(t)dB(t)]

=1

β(t)σ(t)S(t)[θ(t)dt+ dB(t)],

d

(X(t)

β(t)

)= ∆(t)d

(S(t)

β(t)

)=

∆(t)

β(t)σ(t)S(t)[θ(t)dt+ dB(t)].

Thay đổi độ đo. Ta xác định độ đo mới như sau:

B(t) =

∫ t

0

θ(u)du+ B(t).

37

Khi đó

d

(S(t)

β(t)

)=

1

β(t)σ(t)S(t)dB(t),

d

(X(t)

β(t)

)=

∆(t)

β(t)σ(t)S(t)dB(t).

Vì vậy dưới độ đo xác suất P , S(t)β(t) và S(t)

β(t) là martingale.

Định lý Girsanov nhiều chiều

Định lý 1.3.4. (Định lý Girsanov d-chiều)

• Cho B(t) = (B1(t), . . . ,Bd(t)), 0 ≤ t ≤ T , gọi là một chuyển động

Brown d-chiều trên không gian xác suất (Ω,F , P );

• F(t), 0 ≤ t ≤ T là một bộ lọc đi kèm, có thể rộng hơn bộ lọc được xây

dựng bởi B ;

• θ(t) = (θ1(t), . . . , θd(t)), 0 ≤ t ≤ T là một quá trình thích nghi d-chiều.

Cho 0 ≤ t ≤ T , xác định

Bj(t) =

∫ t

0

θj(u)du+ Bj(t), j = 1, . . . , d.

Z(t) = exp

−∫ t

0

θ(u).dB(u)− 1

2

∫ t

0

‖θ(u)2du‖,

P (A) =

∫A

Z(T )dP.

thì dưới độ đo P , quá trình

B(t) = (B1(t), . . . , Bd(t)), 0 ≤ t ≤ T,

là một chuyển động Brown d-chiều.

38

1.3.7 Biểu diễn Martingale

Định lý biểu diễn Martingale một chiều

Định lý 1.3.5. Cho B(t), 0 ≤ t ≤ T là một chuyển động Brown trên không

gian xác suất (Ω,F , P ) thỏa mãn bộ lọc F(t), 0 ≤ t ≤ T . Lấy X(t), 0 ≤ t ≤ T

là martingale dưới độ đo P . Khi đó tồn tại một quá trình thích nghi δ(t), 0 ≤

t ≤ T , sao cho:

X(t) = X(0) +

∫ t

0

δ(u)dB(u), 0 ≤ t ≤ T.

Đặc biêt quỹ đạo của X là liên tục.

Nhận xét. Nếu X(t) là một quá trình thỏa mãn

dX(t) = X(0) + δ(u)dB(u), 0 ≤ t ≤ T.

thì X(t) là một martingale. Ngược lại nếu X(t) là một martingale thích nghi

với bộ lọc được xây dựng của chuyển đông Brown B(t), tức là chuyển động

Brown B(t) là nguồn duy nhất của quá trình ngẫu nhiên X(t) thì

dX(t) = δ(t)dB(t).

1.3.8 Định lý biểu diễn Martingale nhiều chiều

Định lý 1.3.6. (Biểu diễn Martingale d- chiều)

• Cho B(t) = (B1(t), . . . ,Bd(t)), 0 ≤ t ≤ T , gọi là một chuyển động

Brown d-chiều trên không gian xác suất (Ω,F , P );

• F(t), 0 ≤ t ≤ T là một bộ lọc đi kèm, có thể rộng hơn bộ lọc được xây

dựng bởi B ;

Nếu X(t), 0 ≤ t ≤ T là một martingale dưới độ đo P và bộ lọc F(t), 0 ≤ t ≤ T ,

thì có một quá trình thích nghi d-chiều θ(t) = (θ1(t), . . . , θd(t)), thỏa mãn

X(t) = X(0) +

∫ t

0

δ(u).dB(u), 0 ≤ t ≤ T.

39

Hệ quả 1.3.1. Nếu có một quá trình thích nghi d-chiều θ(t) = (θ1(t), . . . , θd(t)),

ta sẽ xác định được các giá trị B , Z, P như trong định lý Girsanov. Nếu

Y (t), 0 ≤ t ≤ T là một martingale dưới độ đo P thích nghi bộ lọc F(t), 0 ≤

t ≤ T thì tồn tại quá trình thích nghi d-chiều γ(t) = (γ1(t), . . . , γd(t)) thỏa

mãn

Y (t) = Y (0) +

∫ t

0

γ(u).dB(u), 0 ≤ t ≤ T.

40

Chương 2

Tính toán ngẫu nhiên

trong một số mô hình tài

chính

2.1 Mô hình Black-Scholes

Năm 1973, hai nhà toán học Mỹ là Fisher Black và Myron Scholes đã công

bố một bài báo quan trọng về định giá quyền chọn. Từ đó ra đời mô hình

Black-Scholes để định giá tài sản không rủi ro trong một thị trường với thời

gian liên tục. Mô hình Black-Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân

ngẫu nhiên tuyến tính sau:

dS(t) = rS(t)dt+ σS(t)dB(t).

Nhà đầu tư có tài sản ban đầu X0 ở mỗi thời điểm t mua ∆(t) cổ phiếu. Giá

cổ phiếu được mô hình bởi chuyển động Brown hình học sau:

dS(t) = µS(t)dt+ σS(t)dB(t).

41

Phương án đầu tư có lãi suất vay hoặc cho vay r. Gọi X(t) là tài sản của

phương án đầu tư tại thời điểm t. Thì

dX(t) = ∆(t)dS(t) + r[X(t)−∆(t)dS(t)]dt

= ∆(t)[µS(t)dt+ σS(t)dB(t)] + r[X(t)−∆(t)dS(t)]dt

= rX(t)dt+ ∆(t)S(t) (µ− r)︸ ︷︷ ︸phí rủi ro

dt+ ∆(t)S(t)σdB(t).

Giá trị của một quyền chọn. Xét một quyền chọn kiểu châu Âu với giá

g(S(T )) tại thời điểm T. Lấy v(t, x) biểu thị giá của quyền chọn tại thời điểm

t nếu giá cổ phiếu S(t) = x. Nói cách khác giá trị của quyền chọn tại mỗi

thời điểm t ∈ [0, T ] là:

v(t, x) = v(t, S(t)).

Vi phân của giá trị này là:

dv(t, S(t)) = vtdt+ vxdS +1

2vxxdSdS

= vtdt+ vx[µS(t)dt+ σSdB ] +1

2vxxσ

2S2dt

= [vt + µSvx +1

2σ2S2vxx]dt+ σSvxdB .

Với một phương án đầu tư có phòng hộ khởi điểm với một vài tài sản ban

đầu là X0 và phải đầu tư sao cho tài sản là X(t) tại mỗi thời điểm giá trị

v(t, S(t)). Từ trên ta thấy:

dX(t) = [rX + ∆(µ− r)S] + σS∆dB ,

để cho X(t) = v(t, S(t)) với mọi t,ta cân bằng các hệ số của hai phương trình.

Cân bằng hệ số của dB ta tính được :

∆(t) = vx(t, S(t)),

được gọi là luật phòng hộ-∆.

Cân bằng hệ số của dt ta tính được:

vt + µSvx +1

2σ2S2vxx = rX + ∆(µ− r)S.

42

Từ trên ta có, ∆ = vx, và ta đang cần X = v. Như vậy,

vt + µSvx +1

2σ2S2vxx = rv + vx(µ− r)S,

trong đó v = v(t, S(t)) và S = S(t). Do đó

vt + rSvx +1

2σ2S2vxx = rv.

Tóm lại, ta coi v là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes

vt(t, x) + rxvx(t, x) +1

2σ2x2vxx(t, x) = rv(t, x).

thỏa mãn điều kiện cuối là

v(T, x) = g(x).

Một phương án đầu tư nếu bắt đầu với X0 = v(0, S(0)) và dùng bảo hộ

∆(t) = vx(t, S(t)) thì với mọi giá trị t, X(t) = v(t, S(t)). Đặc biệt tại T,

X(T ) = g(S(T )).

Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên:

dS(t) = rS(t)dt+ σS(t)dB(t),

với điều kiện ban đầu là:

S(t) = x.

Nghiệm của phương trình là:

S(u) = x exp σ(B(u)− B(t)) + (r − 1

2σ2)(u− t), u ≥ t.

Như vậy,

v(t, x) = Et,xh(S(T ))

= Eh

(x exp

σ(B(T )− B(t)) + (r − 1

2σ2)(T − t)

),

trong đó h là một hàm được xác định sau.

43

Bổ đề 2.1.1. (Tính độc lập) Nếu G là một σ−trường, X là G-đo được và

Y là độc lập trong G thì:

E

[h(X,Y )

∣∣∣∣G]= γ(X),

trong đó γ(x) = Eh(x, Y ).

Với một chuyển động Brown hình học, cho 0 ≤ t ≤ T , ta có:

S(t) = S(0) exp σB(t) + (r − 1

2σ2)t,

S(T ) = S(0) exp σB(T ) + (r − 1

2σ2)T,

= S(t)︸︷︷︸F(t)−đo được

exp σ(B(T )− B(t)) + (r − 1

2σ2)(T − t)︸ ︷︷ ︸

độc lập trongF(t)

Do đó,

S(T ) = XY,

trong đó

X = S(t)

Y = exp σ(B(T )− B(t)) + (r − 1

2σ2)(T − t).

Ta có

Eh(xY ) = v(t, x).

Theo bổ đề tính độc lập ta có:

E

[h(S(T ))|F(t)

]= E

[h(XY )|F(t)

]= v(t,X)

= v(t, S(t)).

Ta thấy rằng

v(t, S(t)) = E

[h(S(T ))|F(t)

], 0 ≤ t ≤ T.

44

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên h(S(T )) không phụ thuộc vào t nên v(t, S(t)), 0 ≤

t ≤ T là martingale.

Cho 0 ≤ s ≤ t ≤ T,

E

[v(t, S(t))|F(s)

]= E

[E

[h(S(T ))|F(t)

]|F(s)

]= E

[h(S(T ))|F(s)

]= v(s, S(s)).

Vì v(t, S(t)) là martingale nên tổng của các nhóm chứa dt trong vi phân

dv(t, S(t)) phải bằng 0. Ta có

dv(t, S(t)) =

[vt(t, S(t))dt+ rS(t)vx(t, S(t)) +

1

2σ2S2(t)vxx(t, S(t))

]dt

+ σS(t)vx(t, S(t))dB(t).

Do đó

vt(t, x) + rxvx(t, x) +1

2σ2x2vxx(t, x) = 0, 0 ≤ t < T, x ≥ 0.

Với phương trình đạo hàm riêng trên, ta có các điều kiện

v(T, x) = h(x), 0 ≥ 0.

Hơn nữa, nếu S(t) = 0 với mọi t ∈ [0, T ], thì ta cũng sẽ có S(T ) = 0. Từ đó

ta có điều kiện biên

v(t, 0) = h(0), 0 ≤ t ≤ T.

Vì vậy, ta thấy rằng giá trị của một hợp đồng phái sinh phải trả h(S(T )) tại

thời điểm t là

u(t, x) = e−r(T−t)Et,xh(S(T ))

= e−r(T−t)v(t, x)

45

tại thời điểm t nếu S(t) = x. Do đó

v(t, x) = er(T−t)u(t, x),

vt(t, x) = −rer(T−t)u(t, x) + er(T−t)ut(t, x),

vx(t, x) = er(T−t)ux(t, x)

vxx(t, x) = er(T−t)uxx(t, x).

Đưa các phương trình này vào phương trình đạo hàm riêng cho v, ta tính

được phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes sau:

−ru(t, x)+ut(t, x)+rxux(t, x)+1

2σ2x2uxx(t, x) = 0, 0 ≤ t < T, x ≥ 0. (BS)

Từ có mật độ chuyển của chuyển động Brown hình học

p(t, T ;x, y) =1

σy√

2π(T − t)exp

− 1

2(T − t)σ2

[log

y

x− (r − 1

2σ2)(T − t)

]2.

Ta có biểu diễn ngẫu nhiên sau:

u(t, x) = e−r(T−t)Et,xh(S(T )) (SR)

= e−r(T−t)∫ ∞

0

h(y)p(t, T ;x, y)dy.

Xét với một quyền chọn mua,

h(y) = (y −K)+

và

u(t, x) = xN

(1

σ√T − t

[log

x

K+ r(T − t) +

1

2σ2(T − t)

])− e−r(T−t)KN

(1

σ√T − t

[log

x

K+ r(T − t)− 1

2σ2(T − t)

]).

Nếu h(y) là một hàm khác (ví dụ như h(y) = (K − y)+ thì ta vẫn tìm được

u(t, x) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes (BS) như ở trên.

46

2.2 Mô hình thị trường nhiều chiều

2.2.1 Mô hình thị trường d-chiều

Cho B(t) = (B1(t), . . . ,Bd(t)), 0 ≤ t ≤ T là một chuyển động Brown d-

chiều trên không gian xác suất (Ω,F , P ), và F(t), 0 ≤ t ≤ T là một bộ lọc

xây dựng bởi B . Như vậy, một mô hình thì trường nhiều chiều được xác định

như sau:

Cổ phiếu

dSi(t) = µi(t)Si(t)dt+ Si(t)

d∑j=1

σij(t)dBj(t), i = 1, . . . ,m.

Hệ số tích lũy (Accumulation factor)

β(t) = exp

∫ t

0

r(u)du

.

Ở đây µj(t), σi,j(t) và r(t) là các quá trình thích nghi.

Giá cổ phiếu chiết khấu

d(Si(t)

β(t)) = (µi(t)− r(t))︸ ︷︷ ︸

phí rủi ro

Si(t)

β(t)dt+

Si(t)

β(t)

d∑j=1

σij(t)dBj(t)

=Si(t)

β(t)

d∑j=1

σij(t) [θj(t) + dBj(t)]︸ ︷︷ ︸dBj(t)

(2.1)

Để công thức 2.1 được thỏa mãn, ta cần chọn θ1(t), . . . , θd(t), để

d∑j=1

σij(t)θj(t) = µi(t)− r(t), i = 1, . . . ,m. (MPR)

Giá thị trường của rủi ro: giá thị trường của rủi ro là một quá trình thích

nghi θ(t) = (θ1(t), . . . , θd(t)) thỏa mãn hệ các phương trình (MPR) ở trên.

Có ba trường hợp xảy ra sau:

Trường hợp 1: (MPR) có nghiệm là duy nhất θ(t). Áp dụng định lý Girsanov

47

d- chiều, ta xác định được duy nhất một độ đo xác suất trung hòa rủi ro P .

Dưới độ đo P , mọi giá cổ phiếu chiết khấu là martingale. Điều này nghĩa là

thị trường thừa nhận không có độ chênh thị giá. Cuối cùng, định lý biểu diễn

Martingale có thể được sử dụng để chứng mình rằng mỗi hợp đồng phái sinh

có bảo hộ thì thị trường là đầy đủ.

Trường hợp 2: (MPR) không có nghiệm; nghĩa là không có độ đo xác suất

trung hòa rủi ro và thị trường thừa nhận có độ chênh thị giá.

Trường hợp 3: (MPR) có nhiều nghiệm; nghĩa là có nhiều độ đo xác suất

trung hòa rủi ro. Thị trường thừa nhận không có độ chênh thị giá, nhưng có

những hợp đồng phái sinh không có bảo hộ; thị trường là không đầy đủ.

Định lý 2.2.1. i) Nếu một thị trường có một độ đo xác suất trung hòa

rủi ro thì thị trường đó thừa nhận không có độ chênh thị giá.

ii) Độ đo trung hòa rủi ro là duy nhất khi và chỉ khi mọi hợp đồng phái

sinh có bảo hộ.

Sau đây ta đi vào nghiêm cứu chi tiết mô hình này trong trường hợp hai

chiều.

2.2.2 Mô hình thị trường hai chiều

Đặt B(t) = (B1(t),B2(t)), 0 ≤ t ≤ T là chuyển động Brown hai chiều trên

không gian xác suất (Ω,F ,P) thích nghi với bộ lọc F(t), 0 ≤ t ≤ T .

Cổ phiếu:

dS1(t) = S1[µ1dt+ σ1dB1]

dS2(t) = S2[µ2dt+ ρσ2dB1 +√

1− ρ2σ2dB2].

48

Giả sử σ1 ≥ 0, σ2 ≥ 0,−1 ≤ ρ ≤ 1. Chú ý rằng

dS1dS1 = S21σ

21dB1dB1

dS2dS2 = S22ρ

2σ22dB1dB1 + S2

2(1− ρ2)σ22dB2dB2

= σ22S

22dt

dS1dS2 = S1σ1S2ρσ2dB1dB1 = ρσ1σ2S1S2dt.

Nói cách khác,

dS1

S1có phương sai tức thời là σ2

1

dS2

S2có phương sai tức thời là σ2

1

dS1

S1,dS2

S2có hệ số tương quan tức thời là ρσ1σ2

Hệ số tích lũy

β(t) = exp

∫ t

0

rdu.

Phương trình giá thị trường của rủi ro là:

σ1θ1 = µ1 − r,

ρσ2θ1 +√

1− ρ2σ2θ2 = µ2 − r. (MPR)

Nghiệm của phương trình rủi ro này là:

θ1 =µ1 − rσ1

,

θ2 =σ1(µ2 − r)− ρσ2(µ1 − r)

σ1σ2

√(1− ρ2)

, với− 1 < ρ < 1.

Giả sử −1 < ρ < 1 thì phương trình MPR có nghiệm duy nhất (θ1, θ2); ta

xác định:

Z(t) = exp

−∫ t

0

θ1dB1 −∫ t

0

θ2dB2 −1

2

∫ t

0

(θ21 + θ3

2)du

,

P (A) =

∫A

Z(T )dP, A ∈ F .

49

P là độ đo trung hòa rủi ro duy nhất. Ta có:

B1(t) =

∫ t

0

θ1du+ B1(t),

B2(t) =

∫ t

0

θ2du+ B2(t).

thì

dS1 = S1[rdt+ σ1dB1],

dS2 = S2[rdt+ ρσ2dB1 +√

1− ρ2σ2dB2].

Do đó ta được sự thay đổi về tỉ lệ trung bình của lợi nhuận trong giá cổ

phiếu.

Sự bảo hộ (Hedging) khi −1 < ρ < 1

dX = ∆1dS1 + ∆2dS2 + r(X −∆1S1 −∆2S2)dt

d(X

β) =

1

β(dX − rXdt)

=1

β∆1(dS1 − rS1dt) +

1

β∆2(dS2 − rS2dt)

=1

β∆1S1σ1dB1 +

1

β∆2S2[ρσ2dB1 +

√1− ρ2σ2dB2].

Xét V là F(T )- đo được. Ta xác định P -martingale :

Y (t) = E

[V

β(T )| F(t)

], 0 ≤ t ≤ T.

Y (t) = Y (0) +

∫ t

0

γ1dB1 +

∫ t

0

γ2dB2.

Ta có:

d

(X

β

)=

(1

β∆1S1σ1 +

1

β∆2ρσ2

)dB1 +

1

β∆2S2

√1− ρ2σ2dB2,

dY = γ1dB1 + γ2dB2.

50

Giải phương trình :

1

β∆1S1σ1 +

1

β∆2S2ρσ2 = γ1,

1

β∆2S2

√1− ρ2σ2 = γ2.

cho phương án đầu tư bảo hộ (∆1,∆2).

Với cách chọn này, ta đặt:

X(0) = Y (0) = EV

β(T ),

Khi đó X(t) = Y (t), 0 ≤ t ≤ T và X(T ) = V. Vì vậy với mọi giá trị F(T )- đo

được được bảo hộ nên thị trường là đầy đủ.

Sự bảo hộ khi ρ = 1

Trường hợp ρ = −1 tương tự.

Xét ρ = 1. Cổ phiếu

dS1 = S1[µ1dt+ σ1dB1]

dS2 = S2 [µ2dt+ σ2dB1] .

Cổ phiếu tương quan hoàn toàn.

Phương trình giá thị trường của rủi ro là:

σ1θ1 = µ1 − r

σ2θ1 = µ2 − r. (MPR)

Quá trình này không phụ thuộc vào θ2. Ta có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1:µ1 − rσ1

6= µ2 − rσ2

.

Khi đó MPR không có nghiệm, tức là không có độ đo trung hòa rủi ro. Thị

trường này chấp nhận có độ chênh thị giá. Thật vậy,

d

(X

β

)=

1

β∆1(dS1 − rS1dt) +

1

β∆2(dS2 − rS2dt)

=1

β∆1S1 [(µ1 − r)dt+ σ1dB1] +

1

β∆2S2 [(µ2 − r)dt+ σ2dB1] .

51

Giả sửµ1 − rσ1

≥ µ2 − rσ2

.

Đặt

∆1 =1

σ1S1, ∆2 = − 1

σ2S2.

thì

d

(X

β

)=

1

β

[µ1 − rσ1

dt+ dB1

]− 1

β

[µ2 − rσ2

dt+ dB1

]=

1

β

[µ1 − rσ1

− µ2 − rσ2

]dt > 0

Trường hợp 2:µ1 − rσ1

=µ2 − rσ2

.

Phương trình giá thị trường của rủi ro:

σ1θ1 = µ1 − r

σ2θ1 = µ2 − r. (MPR)

có nghiệm là:

θ1 =µ1 − rσ1

=µ2 − rσ2

,

Bảo hộ

d

(X

β

)=

1

β∆1S1 [(µ1 − r)dt+ σ1B1] +

1

β∆2S2 [(µ2 − r)dt+ dB1]

=1

β∆1S1σ1 [θ1dt+ B1] +

1

β∆2S2σ2 [θ1dt+ dB1]

=

(1

β∆1S1σ1 +

1

β∆2S2σ2

)dB1.

Nhận xét thấy, B2 không xuất hiện trong công thức trên.

Xét V là một giá trị bất kỳ F(T )-đo được. Nếu V phụ thuộc B2 thì h.c.c nó

không được bảo hộ.

Ví dụ 2.2.1. Nếu

V = h(S1(T ), S2(T )),

52

và σ1 hoặc σ2 phụ thuộc vào B2, điều này là mâu thuẫn.

Chính xác hơn, ta xác định P -martingale

Y (t) = E

[V

β(T )|F(T )

], 0 ≤ t ≤ T.

Hay

Y (t) = Y (0) +

∫ t

0

γ1dB1 +

∫ t

0

γ2dB2,

vì vậy

dY = γ1dB1 + γ2dB2.

để d(X

β

)khớp với dY , ta phải có γ2 = 0.

2.3 Quyền mua kiểu châu Âu up and out

Đặt 0 < K < L. Chi trả tại thời điểm T là:

(S(T )−K)+1S∗(T )<L,

trong đó

S∗(T ) = max06t6T

S(t).

Để đơn giản các ký hiệu, đặt P là xác suất trung hòa rủi ro. Vì vậy giá trị

tại thời điểm 0 của quyền chọn là

v(0, S(0)) = e−rTE[(S(T )−K)+1S∗(T )<L.

Bởi vì P là xác suất trung hòa rủi ro, nên ta có

dS(t) = rS(t)dt+ σS(T )dB(t)

S(t) = S0 exp σB(t) + (r − 1

2σ2)t

S(t) = S0 exp σdB(t) + (r

σ− σ

2)t︸ ︷︷ ︸

θ

e

= S0 expσB(t),

53

trong đó

θ = (r

σ− σ

2),

B(t) = θt+ B(t).

Do đó

S∗(t) = S0 exp σM(t),

với

M(t) = max0≤u≤t

B(u).

Ta tính được

v(0, S(0)) = e−rTE[(S(T )−K)+1S∗(T )<L]

= e−rTE[(S0 exp σB(t) −K)+1S0 exp σM(t)<L]

= e−rTE

[(S0 exp σB(t) −K

)+

.1B(t)>

1

σlog

K

S(0)︸ ︷︷ ︸b

,M(T )<1

σlog

L

S(0)︸ ︷︷ ︸m

]

Chỉ xét trường hợp

S(0) ≤ K ≤ L, vì 0 ≤ b < m.

vì trong trường hợp K < S(0) ≤ L sẽ dẫn đến b < 0 ≤ m. Tương tự với các

trường hợp khác.

54

Ta có: v(0, S(0))

= e−rT∫ m

b

∫ m

x

(S(0) exp σx −K)2(2y − x)

T√

2πT

. exp

− (2y − x)2

2T+ θx− 1

2θ2T

dydx

= e−rT∫ m

b

(S(0) exp σx −K)1√2πT

exp

− (2y − x)2

2T+ θx− 1

2θ2T

∣∣∣∣y=m

y=x

dx

= e−rT∫ m

b

(S(0) exp σx −K)1√2πT

[exp

− x

2

2T+ θx− 1

2θ2T

− exp

− (2m− x)2

2T+ θx− 1

2θ2T

]dx

=1√2πT

e−rTS(0)

∫ m

b

exp

σx− x2

2T+ θx− 1

2θ2T

dx

− 1√2πT

e−rTK

∫ m

b

exp

− x

2

2T+ θx− 1

2θ2T

dx

− 1√2πT

e−rTS(0)

∫ m

b

exp

σx− (2m− x)2

2T+ θx− 1

2θ2T

dx

+1√2πT

e−rTK

∫ m

b

exp

− (2m− x)2

2T+ θx− 1

2θ2T

dx.

Tính toán cho tích phân đầu tiên ta có:

σx− x2

2T+ θx− 1

2θ2T

= − 1

2T(x− σT + θT )2 +

1

2σ2T + σθT

= − 1

2T(x− rT

σ− rT

σ− σT

2)2 + rT.

Đặt y =(x− rT

σ− σT

2)

√T

, dy =dx√T,

55

Ta được

1√2πT

e−rTS(0)

∫ m

b

exp σx− x2

2T+ θx− 1

2θ2Tdx

=1√2πT

S(0)

∫ m

b

exp

− 1

2T(x− rT

σ− rT

σ− σT

2)2

dx

=1√2πT

S(0)

∫ m√T− r√Tσ −

σ√T

2

b√T− r√Tσ −

σ√T

2

exp −y2

2dy

= S(0)

[N(

m√T− r√T

σ− σ√T

2)−N(

b√T− r√T

σ− σ√T

2)

].

Trong đó,

N(µ) =1√2π

∫ µ

−∞e−

12x

2

dx =1√2π

∫ ∞−µ

e−12x

2

dx.

Tương tự cho các tích phân khác ta được:

v(0, S(0)) = S(0)

[N(

m√T− r√T

σ− σ√T

2)−N(

b√T− r√T

σ− σ√T

2)

]

− e−rTK

[N(

m√T− r√T

σ− σ√T

2)−N(

b√T− r√T

σ− σ√T

2)

]

− S(0)

[N(

m√T− r√T

σ− σ√T

2)−N(

b√T− r√T

σ− σ√T

2)

]

+ exp

−rT + 2m(

r

σ− σ

2)

[N(

m√T− r√T

σ− σ√T

2)

−N(b√T− r√T

σ− σ√T

2)

],

với b = 1σ log K

S(0) , m = 1σ log L

S(0) .

56

Hình 2.1: Điều kiện ban đầu và điều kiện biên

Cho L→∞ ta được công thức Black-Scholes cổ điển.

v(0, S(0)) = S(0)

[1−N(

b√T− r√T

σ− σ√T

2)

]

− e−rTK

[1−N(

b√T− r√T

σ+σ√T

2)

]

= S(0)N(1

σ√T

logS(0)

K+r√T

σ+σ√T

2)

− erTKN(1

σ√T

logS(0)

K+r√T

σ+σ√T

2).

Nếu thay thế T bởi T − t và thay S(0) bởi x trong hàm v(0, S(0)), ta có một

hàm cho v(t, x), chính là giá trị của quyền chọn tại thời điểm t nếu S(t) = x.

Ta thu được công thức gốc dưới giả thiết x ≤ K ≤ L, nhưng cũng có một

công thức tương tự bắt nguồn từ giả thiết K < x ≤ L. Ta xét công thức sau:

v(t, x) = Et,x[e−r(T−t)(S(T )−K)+1S∗(T )<L], 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ L

Công thức này thỏa mãn điều kiện cuối

v(T, x) = (x−K)+, 0 ≤ x < L

57

và các điều kiện biên

v(t, 0) = 0, 0 ≤ t ≤ T,

v(t, L) = 0, 0 ≤ t ≤ T.

Vì vậy v thỏa mãn phương trình Black-Scholes

−rv + vt + rxvx +1

2σ2x2vxx, 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ L.

Lấy S(0) > 0 để đưa ra và xác định thời gian dừng.

τ = min t ≤ 0;S(t) = L.

Định lý 2.3.1. Quá trình

e−r(t∧τ)v(t ∧ τ, S(t ∧ τ)) 0 ≤ t ≤ T,

là một martingale.

Chứng minh. Đầu tiên chú ý rằng

S∗(T ) < L⇔ τ > T.

Lấy w ∈ Ω và chọn t ∈ [0, T ] . Nếu τ(w) ≤ t, thì

E

[e−rT (S(T )−K)+1S∗(T )<L

∣∣∣∣F(t)

](w) = 0.

nhưng khi τ(w) ≤ t, ta lại có

v(t ∧ τ(w), S(t ∧ τ)) = v(t ∧ τ(w), L) = 0.

Vì vậy ta có thể viết

E

[e−rT (S(T )−K)+1S∗(T )<L

∣∣∣∣F(t)

](w) = e−r(t∧τ(w))v(t∧τ(w), S(t∧τ(w), w)).

58

Mặt khác, nếu τ(w) > t, thì tính chính Markov có nghĩa là

E

[e−rT (S(T )−K)+1S∗(T )<L

∣∣∣∣F(t)

](w)

= Et,S(t,w)

[e−rT (S(T )−K)+1S∗(T )<L

]= e−rtv(t, S(t, w))

= e−r(t∧τ(w))v(t ∧ τ, S(t ∧ τ(w), w)).

Trong cả hai trường hợp, ta đều có:

e−r(t∧τ)v(t ∧ τ, S(t ∧ τ)) = E

[e−rT (S(T )−K)+1S∗(T )<L

∣∣∣∣F(t)

].

Giả sử 0 ≤ u ≤ t ≤ T thì

E

[e−r(t∧τ)v(t ∧ τ, S(t ∧ τ))

∣∣∣∣F(u)

]= E

[E

[e−rT (S(T )−K)+1S∗(T )<L

∣∣∣∣F(t)

]∣∣∣∣F(u)

]= E

[e−rT (S(T )−K)+1S∗(T )<L

∣∣∣∣F(u)

]= e−r(u∧τ)v(u ∧ τ, S(u ∧ τ)).

Cho 0 ≤ t ≤ T , ta tính được sự khác nhau sau :

d(e−rtv(t, S(t))) = e−rt(−rv + vt + rSvx +1

2σ2S2vxx)dt+ e−rtσSvxdB .

Tích phân từ 0 tới t ∧ τ :

e−r(t∧τ)v(t ∧ τ, S(t ∧ τ)) = v(0, S(0))

+∫ t∧τ

0e−ru(−rv + vt + rSvx +

1

2σ2S2vxx)du

+

∫ t∧τ

0

e−ruσSvxdB︸ ︷︷ ︸martingale dừng là martingale

.

vì e−r(t∧τ)v(t ∧ τ, S(t ∧ τ)) cũng là một martingale, nên tích phân Riemann:∫ t∧τ

0

e−ru(−rv + vt + rSvx +1

2σ2S2vxx)du

59

là một martingale. Do đó

−rv(u, S(u)) + vt(u, S(u)) + rS(u)vx(u, S(u)) +1

2σ2S2(u)vxx(u, S(u)) = 0,

với0 ≤ u ≤ t ∧ τ. thì phương trình đạo hàm riêng

−rv + vt + rxvx +1

2σ2x2vxx = 0, 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ L,

Bảo hộ

d(e−rtv(t, S(t))) = e−rtσS(t)vx(t, S(t))dB(t), 0 ≤ t ≤ τ.

Cho X(t) là một quá trình tài sản tương ứng với danh mục đầu tư ∆(t) thì

d(e−rtX(t)) = e−rt∆(t)σS(t)dB(t).

Ta nên lấy

X(0) = v(0, S(0))

và

∆(t) = vx(t, S(t)), 0 ≤ t ≤ T ∧ τ.

Do đó

X(T ∧ τ) = v(T ∧ τ, S(T ∧ τ))

=

v(T, S(T )) = (S(T )−K)+ nếu τ > T

v(τ, L) = 0 nếu τ ≤ T.

2.4 Quyền chọn kiểu châu Á

Cho cổ phiếu

dS(t) = rS(t)dt+ σS(t)dB(t).

Giá chi trả

V = h(

∫ T

0

S(t)dt)

60

Giá trị phải trả tại thời điểm 0:

X(0) = E

[e−rTh

(∫ T

0

S(t)

)dt

].

Xác định một quá trình bổ trợ Y (t) như sau:

dY (t) = S(t)dt.

Với các điều kiện ban đầu

S(t) = x, Y (t) = y,

Ta có nghiệm

S(T ) = x exp σ(B(T )− B(t)) + (r − 1

2σ2)(T − t),

Y (T ) = y +

∫ T

t

S(u)du.

Xác định được kỳ vọng của thu hoạch không có chiết khấu

u(t, x, y) = Et,x,yh(Y (T )), 0 ≤ t ≤ T, 0 ≥ 0, y ∈ R.

2.4.1 Định lý Feynman-Kac

Hàm u thỏa mãn của phương trình đạo hàm riêng

ut + rxux +1

2σ2x2uxx + xuy = 0 0 ≤ t ≤ T, 0 ≥ 0, y ∈ R,

với điều kiện cuối là

u(T, x, y) = h(y), x ≥ 0, y ∈ R,

và điều kiện biên

u(t, 0, y) = h(y), 0 ≤ t ≤ T, y ∈ R.

Phương trình này có thể giải được. Khi đó

v(t, S(t),

∫ t

0

S(u)du)

61

là giá tại thời điểm t của quyền chọn này.

Với

v(t, x, y) = e−r(T−t)u(t, x, y).

Phương trình đạo hàm riêng cho v là

−rv + vt + rxvx +1

2σ2x2vxx + xvy = 0, (2.2)

v(T, x, y) = h(y),

v(t, 0, y) = e−r(T−t)h(y).

Người ta thường giải phương trình đạo hàm riêng với v hơn là đối với u.

2.4.2 Xây dựng bảo hộ

Bắt đầu với giá cổ phiếu S(0). Vi phân của X(t) với danh mục đầu tư

∆(t) là

dX = ∆dS + r(X −∆S)dt

= ∆S(rdt+ σdB) + rXdt− r∆Sdt

= ∆σSdB + rXdt.

Ta muốn có

X(t) = v(t, S(t),

∫ t

0

S(u)du),

để

X(T ) = v(T, S(0),

∫ T

0

S(u)du),

= h(

∫ T

0

S(u)du).

62

Vi phân giá của quyền chọn này là

dv

(t, S(t),

∫ t

0

S(u)du

)= vtdt+ vxdS + vySdt+

1

2vxxdSdS

= (vt + rSvx + Svy +1

2σ2S2vxx)dt+ σSvxdB

= vr(t, S(t))dt+ vx(t, S(t))σS(t)dB(t)

(từ phương trình(2.2)).

So sánh với

dX(t) = rX(t)dt+ ∆(t)σS(t)dB(t).

Đặt ∆(t) = vx(t, S(t)). Nếu X(0) = v(0, S(0), 0) thì

X(t) = v(t, S(t),

∫ t

0

S(u)du), 0 ≤ t ≤ T,

Vì cả hai quá trình này cùng đáp ứng phương trình vi phân ngẫu nhiên với

cùng điều kiện ban đầu.

2.4.3 Tiền chi trả bình quân cho quyền chọn Châu Á

Giá tại thời điểm t

V = h(

∫ T

τ

S(t)dt),

với 0 < τ < T . Ta tính được

v(τ, x, y) = Eτ,x,ye−r(T−τ)h(Y (T )).

Cho 0 ≤ t ≤ τ , ta tính giá trị tiếp theo của chứng khoán phái sinh được trả

v(τ, S(τ), 0)

tại thời điểm τ . Giá trị này là

w(t, x) = Et,xe−r(τ−t)v(τ, S(τ), 0).

63

Hàm w trên thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes

−rw + wt + rxwx +1

2σ2x2wxx = 0, 0 ≤ t ≤ τ, x ≤ 0,

với điều kiện ban đầu

w(τ, x) = v(τ, x, 0), x ≥ 0,

và điều kiện biên

w(t, 0) = e−r(T−t)h(0), 0 ≤ t ≤ T.

bảo hộ được cho bởi

∆(t) =

wx(t, S(t)), nếu 0 ≤ t ≤ τ ,

vx(t, S(t),∫ τtS(u)du), nếu τ < t ≤ T .

2.5 Lý thuyết độ chênh thị giá

2.5.1 Mô hình nhị thức, phương án đầu tư có bảo hộ

Cho Ω là tập hợp tất cả các khả năng của dãy n biến cố ngẫu nhiên.Ta

không có xác suất tại một điểm. Lấy r ≥ 0, u > r+ 1, d = 1/u. Như hình 2.2

sau. Giá trị của một danh mục đầu tư:

Xk+1 = ∆kSk+1 + (1 + r)(Xk −∆kSk).

Với một phái sinh được đảm bảo kiểu châu Âu V (w1, w2), ta muốn bắt đầu

với một biến không ngẫu nhiên X0 và dùng một quá trình đầu tư

∆0,∆1(H),∆1(T )

để

X2(w1, w2) = V (w1, w2) w1, w2.

64

Hình 2.2: Mô hình nhị thức qua 3 giai đoạn của một đồng xu

Ở đây có 4 dữ kiện chưa biết là X0,∆0,∆1(H),∆1(T ). Giải phương trình

trên, ta tính được

X1(w1) =1

1 + r

1 + r − du− d

X2(w1, H)︸ ︷︷ ︸V (w1,H)

+u− (1 + r)

u− dX2(w1, T )︸ ︷︷ ︸V (w1,T )

,X(0) =

1

1 + r

[1 + r − du− d

X1(H) +u− (1 + r)

u− dX1(T )

],

∆1(w1) =X2(w1, H)−X2(w1, T )

S2(w1, H)− S2(w1, T ),

∆0 =X1(H)−X1(T )

S1(H)− S1(T ).

Xác suất của đường quỹ đạo giá cổ phiếu là không thích hợp, bởi vì có bảo

hộ. Nhìn từ một góc độ thực tế, cái quan trọng nhất là quỹ đạo của mô hình

bao gồm tất cả các khả năng có thể có. Ta muốn tìm ra một biểu diễn các

65

quỹ đạo của mô hình. Tất cả chúng đều có thuộc tính:

(logSk+1 − logSk)2 = (logSk+1

Sk)2

= log(u)2.

Đặt σ = log u > 0. Thì

n−1∑k=0

(logSk+1 − logSk)2 = σ2n.

Nhắc lại

Xk+1 = ∆kSk+1 + (1 + r)(Xk −∆kSk).

Đặt

βk = (1 + r)k.

Do đóXk+1

βk+1= ∆k

Sk+1

βk+1+Xk

βk−∆k

Skβk,

Xk+1

βk+1− Xk

βk=Xk

βk(Sk+1

βk+1− Skβk

).

Trong quá trình liên tục, ta có phương trình tương đương sau

d(X(t)

β(t)) = ∆(t)d(

S(t)

β(t)).

Nếu ta chỉ ra một độ đo xác suất P , mà dưới độ đo nàySkβk

là một martingale,

thìXk

βkcũng sẽ là một martingale, bất kể danh mục đầu tư đã sử dụng. Thật

vậy,

E

[Xk+1

βk+1

]= E

[Xk

βk+ ∆k(

Sk+1

βk+1− Skβk

)

∣∣∣∣Fk]=

Xk

βk+ ∆k

(E

[Sk+1

βk+1

∣∣∣∣Fk]− Skβk

)︸ ︷︷ ︸

=0

.

66

Giả sử ta muốn có X2 = V , trong đó V là một biến ngẫu nhiên F2-đo được

thì ta phải có:

1

1 + rX1 =

X1

β1= E

[X2

β2

∣∣∣∣F1

]= E

[V

β2

],

X0 =X0

β0= E

[X1

β1

]= E

[V

β2

].

Để tìm xác suất trung hòa rủi ro dưới độ đo P , để choSkβk

là martingale. Ký

hiệu p = Pwk = H, q = P wk = T, và tính được

E

[Sk+1

βk+1

∣∣∣∣Fk] = puSkβk+1

+ qdSkβk+1

=1

1 + r[pu+ qd]

Skβk.

Chúng ta cần chọn p và q thỏa mãn

pu+ qd = 1 + r,

p+ q = 1.

Như vậy, các nghiệm của phương trình này là

p =1 + r − du− d

, q =u− (1 + r)

u− d.

2.5.2 Thiết lập mô hình liên tục

Bây giờ, nếu giá cổ phiếu S(t), 0 ≤ t ≤ T là hàm liên tục theo t. Chúng

ta muốn có sự bảo hộ cho mọi quỹ đạo có thể của S(t), nhưng điều này là

không thể. Dựa vào mô hình nhị thức, ta chọn được σ > 0 và cố đặt sự bảo

hộ cho mọi quỹ đạo của S(t), để mà biến phân bậc hai của logS(t) hội tụ tới

σ2 theo đơn vị thời gian. Đây là những con đường biến đổi theo σ2 .Để xây

dựng những quỹ đạo này, ta sử dụng chuyển động Brown. Để chỉ ra chuyển

động Brown này, ta cần một độ đo xác suất. Tuy nhiên, vấn đề duy nhất về

độ đo xác suất này là tập hợp các quỹ đạo mà nó gán xác suất bằng 0. Đặt

67

B(t), 0 ≤ t ≤ T , là một chuyển động Brown xác định trên không gian xác

suất cơ sở (Ω,F , P ). Cho mọi ρ ∈ R, quỹ đạo của

ρt+ σB(t)

hội tụ tới σ2 theo đơn vị thời gian. Ta muốn xác định được

S(t) = S(0) exp ρt+ σB(t),

để quỹ đạo của

logS(t) = logS(0) + ρt+ σB(t)

hội tụ tới σ2 theo đơn vị thời gian. Tuy nhiên, việc chọn ρ theo các định

nghĩa này lại không thích hợp.

Thật vậy,

Chọn w1 ∈ Ω thì cho ρ1 ∈ R,

ρ1t+ σB(t, w1), 0 ≤ t ≤ T,

là một hàm liên tục theo t. Nếu thay ρ1 bởi ρ2 thì ρ2t + σB(t, w1) là một

hàm xác định. Tuy nhiên, tồn tại w2 ∈ Ω để mà

ρ1t+ σB(t, w1) = ρ2t+ σB(t, w2), 0 ≤ t ≤ T.

Nói cách khác, bất kể chúng ta dùng ρ1 hay ρ2 trong định nghĩa của S(t), ta

đều có cùng một quỹ đạo. Kết quả toán học chính xác như sau: Nếu một tập

quỹ đạo giá của cổ phiếu có xác suất dương khi S(t) xác định bởi công thức

S(t) = S(0) exp ρ1t+ σB(t),

thì tập hợp các quỹ đạo có xác suất dương khi S(t) được xác định bởi

S(t) = S(0) exp ρ2t+ σB(t).

Vì chúng ta đang quan tâm đến sự bảo hộ cho mọi quỹ đạo, ngoại trừ một

tập hợp các quỹ đạo có xác suất bằng 0, lựa chon ρ là không thích hợp. Sự

68

lựa chọn thích hợp nhất cho ρ là

ρ = r − 1

2σ2,

để

S(t) = S(0) exp

rt+ σB(t)− 1

2σ2t

,

và

e−rtS(t) = S(0) exp

σB(t)− 1

2σ2t

là một martingale dưới độ đo xác suất P , với cách chọn ρ này ta có,

dS(t) = rS(t)dt+ σS(t)dB(t)

và P là độ đo trung hòa rủi ro. Nếu một cách chọn ρ khác được thực hiện,

ta có

S(t) = S(0) exp ρt+ σB(t),

dS(t) = (ρ+1

2σ2)︸ ︷︷ ︸

µ

S(t)dt+ σS(t)dB(t).

= rS(t)dt+ σ

[µ− rσ

dt+ dB(t)

]︸ ︷︷ ︸

dB(t)

.

B cũng có quỹ đạo như B . Chúng ta có thể thay đổi độ đo trung hòa rủi ro

P , theo đó B là một chuyển động Brown và sau đó tiến hành chọn ρ để bằng

r − 1

2σ2.

2.5.3 Định giá trung hòa rủi ro và bảo hộ

Lấy P là độ đo trung hòa rủi ro. Thì

dS(t) = rS(t)dt+ σS(t)dB(t),

69

trong đó B là chuyển động Brown dưới độ đo P . Đặt

β(t) = ert.

Thì

d(S(t)

β(t)) = σ

S(t)

β(t)dB(t),

vìS(t)

β(t)là martingale dưới độ đo P .

Giá của một phương án đầu tư:

dX(t) = ∆(t)dS(t) + r(X(t)−∆(t)S(t))dt, (2.3)

tương đương với

d(X(t)

β(t)) = ∆(t)d(

S(t)

β(t)) (2.4)

= ∆(t)σS(t)

β(t)dB(t).

Bất kể các danh mục đầu tư đã dùng ta đều cóX(t)

β(t)là một martingale dưới

xác suất P . Bây giờ giả sử biến ngẫu nhiên V F(T )-đo được là thu hoạch

của một bảo hộ phái sinh đơn giản kiểu Châu Âu. Ta muốn tìm được một

quá trình đầu tư ∆(T ), 0 ≤ t ≤ T và một giá trị đầu tư ban đầu X(0) để

X(T ) = V . Bởi vìX(t)

β(t)phải là một martingale nên ta có

X(t)

β(t)= E

[V

β(T )

∣∣∣∣F(t)

], 0 ≤ t ≤ T. (2.5)

Đây chính là công thức định giá trung hòa rủi ro. Ta có trình tự các bước

sau đây:

1. V xác định

2. X(t), 0 ≤ t ≤ xác định bởi công thức 2.5.

3. Xây dựng ∆(t) để 2.4(hoặc tương đương với 2.3) thỏa mãn X(t), 0 ≤

t ≤ T, xây dựng ở bước 2.

70

Để thực hiện bước 3, đầu tiên ta dùng tài sản tháp để thấyX(t)

β(t)xác định

bởi 2.5 là một martingale dưới xác suất P . Tiếp theo ta dùng kết quả của lý

thuyết về biểu diễn Martingale để thấy

d(X(t)

β(t)) = γ(t)dB(t) (2.6)

đối với một số quá trình γ. So sánh công thức 2.6 và công thức 2.4 ta có

∆(t) =β(t)γ(t)

σS(t). (2.7)

Như vậy thì 2.6 kéo theo với 2.4, mà công thức 2.4 kéo theo 2.3, kéo theo

X(t), 0 ≤ t ≤ T là một giá trị của quá trình đầu tư ∆(t), 0 < t < T. Từ 2.5

và định nghĩa X, ta thấy rằng phương án đầu tư phòng hộ phải bắt đầu với

giá trị

X(0) = E

[V

β(T )

],

và kết thúc với giá trị

X(T ) = β(T )E

[V

β(T )

∣∣∣∣F(T )

]= β(T )

V

β(T )= V.

Nhận xét. Mặc dù ở đây ta chọn r và σ là hằng số, công thức định giá

trung hòa rủi ro vẫn hợp lệ khi r và σ là quá trình thích nghi với bộ lọc được

tạo ra bởi B . Nếu hai giá trị này phụ thuộc vào một trong hai giá trị B hoặc

S, thì chúng vẫn thích nghi với bộ lọc của B . Các giá trị của công thức định

giá trung hòa rủi ro có nghĩa là:

1. Nếu giá trị ban đầu là

X(0) = E

[V

β(T )

],

thì đó là phương án đầu tư bảo hộ ∆(t), 0 ≤ t ≤ T để X(T ) = V ;

2. Tại mỗi thời điểm t, giá trị X(t) của phương án đầu tư bảo hộ trong

(1) thỏa mãnX(t)

β(t)= E

[V

β(T )

∣∣∣∣F(t)

].

71

2.5.4 Thực hiện định giá trung hòa rủi ro và bảo hộ

Để có một kết quả tính toán từ công thức chung định giá trung hòa rủi

roX(t)

β(t)= E

[V

β(T )

∣∣∣∣F(t)

],

Áp dụng tính chất Markov, ta cần xác định một vài biến trạng thái, giá cổ

phiếu và các biến khác nữa, để

X(t) = β(t)E

[V

β(T )

∣∣∣∣F(t)

]là công thức của các biến này.

Ví dụ 2.5.1. Giả sử r và σ là hằng số và V = h(S(T )). Chúng ta có thể lấy

giá cổ phiếu là biến trạng thái. Xác định

v(t, x) = Et,x[e−r(T−t)h(S(T ))

].

Thì

X(t) = ertE

[e−rth(S(T ))

∣∣∣∣F(t)

]= v(t, S(t)),

vàX(t)

β(t)= e−rtv(t, S(t)) là martingale dưới độ đo P .

Ví dụ 2.5.2. Giả sử r và σ là hằng số.

V = h(

∫ T

0

S(u)du).

Đặt S(t) và Y (t) =∫ t

0S(u)du là biến trạng thái. Xác định

v(t, x, y) = Et,x,y[e−r(T−t)h(Y (T ))

],

trong đó

Y (T ) = y +

∫ T

t

S(u)du.

72

Thì

X(t) = ertE

[e−rTh(S(T ))

∣∣∣∣F(t)

]= v(t, S(t), Y (t))

vàX(t)

β(t)= e−rtv(t, S(t), Y (t))

là một martingale dưới xác suất P .

2.6 Quyền chọn ngoài rào cản

Cho một quá trình có rào cản:

dY (t)

Y (t)= λdt+ σ1dB1(t).

Một quá trình chứng khoán:

dS(t)

S(t)= µdt+ ρσ2dB1(t) +

√1− ρ2σ2dB2(t),

ở đây σ1 > 0, σ2 > 0,−1 < ρ < 1 và B1 và B2 là chuyển động Brown độc lập

trên không gian xác suất (Ω,F , P ). Quyền chọn phải trả:

(S(T )−K)+1Y ∗(T )<L

tại thời điểm T và 0 < S(0) < K, 0 < Y (0) < L,

Y ∗(T ) = max0≤t≤T

Y (t).

Nhận xét. Các quyền chọn chi trả phụ thuộc vào cả hai quá trình Y và

S. Để có sự phòng hộ cho quyền chọn này, ta cần thị trường tiền tệ và hai

loại tài sản khác, mà ở đây xem là Y và S. Các độ đo trung hòa rủi ro phải

làm cho giá chiết khấu của mỗi tài sản được giao dịch là một martingale, mà

73

trong trường hợp này là quá trình chiết khấu Y và S. Ta cần tìm θ1 và θ2 và

xác định

dB1 = θ1dt+ dB1 dB2 = θ2dt+ dB2,

Để

dY

Y= rdt+ σ1dB1

= rdt+ σ1θ1dt+ σ1dB1,

dS

S= rdt+ ρσ2dB1 +

√1− ρ2σ2dB2

= rdt+ ρσ2θ1dt+√

1− ρ2σ2θ2dt

+ρσ2dB1 +√

1− ρ2σ2dB2.

Chúng ta phải có

λ = r + σ1θ1, (0.1)

µ = r + ρσ2θ1 +√

1− ρ2σ2θ2. (0.2)

Ta giải được

θ1 =λ− rσ1

,

θ2 =µ− r − ρσ2θ1√

1− ρ2σ2

.

Chúng ta sẽ thấy rằng công thức cho θ1 và θ2 là không quan trọng. Cái quan

trọng là trong công thức (0.1) và (0.2) thì θ1 và θ2 xác định duy nhất. Điều

này cho thấy sự tồn tại duy nhất của độ đo trung hòa rủi ro.

Ta xác định được

Z(T ) = exp

−θ1B1(T )− θ2B2(T )− 1

2(θ2

1 + θ22)T

,

P (A) =

∫A

Z(T )dP, ∀A ∈ F .

Dưới xác suất P , B1 và B2 là chuyển động Brown độc lập (theo định lý

Girsanov). P là độ đo trung hòa rủi ro duy nhất.

74

Nhận xét. Dưới cả P và P , Y có hệ số biến động là σ1, S có hệ số biến

động là σ2 vàdY dS

Y S= ρσ1σ2dt,

nghĩa là giữadY

Yvà

dS

Scó hệ số tương quan là ρ. Giá trị của quyền chọn tại

thời điểm 0 là

v(0, S(0), Y (0)) = E[e−rT (S(T )−K)+1Y ∗(T )<L

].

Ta cần tìm được một mật độ để tính được giá trị vế phải.

Từ quá trình có rào cản (barrier process )

dY

Y= rdt+ σ1dB1,

để

Y (t) = Y (0) exp

rt+ σ1B1(t)− 1

2σ2

1t

.

Đặt

θ =r

σ1− σ1

2,

B(t) = θt+ B1(t),

M(T ) = max0≤t≤T

B(t).

Thì

Y (t) = Y (0) expσ1B(t)

,

Y ∗(T ) = Y (0) exp σ1M(T ).

Mật độ chung của B(T ) và M(T )

PB(T ) ∈ db, M(T ) ∈ dm

=2(2m− b)T√

2πTexp

− (2m− b)2

2T+ θb− 1

2θ2T

dbdm,

m > 0, b < m.

75

Quá trình cổ phiếu:

dS

S= rdt+ ρσ2dB1 +

√1− ρ2σ2dB2,

như vậy

S(T ) = S(0) exp

rT + ρσ2B1(T )− 1

2ρ2σ2

2T

+√

1− ρ2σ2B2(T )− 1

2(1− ρ2)σ2

2T

= S(0) exp

rT − 1

2σ2

2T + ρσ2B1(T ) +√

1− ρ2σ2B2(T )

.

Từ trên ta có,

B1(T ) = −θT + B(T ),

vì vậy

S(T ) = S(0) exp

rT − 1

2σ2

2T − ρσ2θT + ρσ2B1(T ) +√

1− ρ2σ2B2(T )

.

2.6.1 Tính toán các giá trị của quyền chọn

v(0, S(0), Y (0)) = E[e−rT (S(T )−K)+1Y ∗(T )<L

]= e−rT E

[(S(0) exp

(r − 1

2σ2

2 − ρσ2θ)T + ρσ2B(T )

+√

1− ρ2σ2B2(T )−K

)+

1Y (0) exp σ1M(T )<L

].

Ta tính được mật độ chung của B(T ) và M(T ). Mật độ của B2(T ) là

PB2(T ) ∈ db =1√2πT

exp

− b2

2T

db, b ∈ R.

Hơn nữa các cặp biến ngẫu nhiên (B(T ), M(T )) là độc lập của B2(T ) bởi vì

B1 và B2 là độc lập dưới xác suất P . Vì thế, mật độ chung của các vector

76

(B2(T ), B(T ), M(T )) là

PB2(T ) ∈ db, B(T ) ∈ db, M(T ) ∈ dm

= PB2(T ) ∈ db.PB(T ) ∈ db.PM(T ) ∈ dm.

Giá của quyền chọn tại 0 là

v(0, S(0), Y (0))

= e−rT∫ 1

σ1log L

Y (0)

0

∫ m

−∞

∫ +∞

−∞

(S(0) exp

(r − 1

2σ2

2 − ρσ2θ)T + ρσ2b

+√

1− ρ2σ2b

−K

)+1√2πT

exp

− b2

2T

2(2m− b)T√

2πT

. exp

− (2m− b)2

2T+ θb− 1

2θ2T

dbdbdm,

từ trên ta thấy được sự phụ thuộc vào T, S(0) và Y (0). Nó cũng phụ thuộc

vào σ1, σ2, ρ, r,K và L. Nó không phụ thuộc vào λ, µ, θ1, và θ2. Tham số θ

xuất hiện trong câu trả lời là

θ =r

σ1− σ1

2.

Nhận xét. Nếu ta không coi Y như một tài sản được giao dịch, thì cũng

không cần phải cố gắng để bằng r.Ta sẽ chỉ có một phương trình (xem phương

trình (0.1), (0.2))

µ = r + ρσ2θ1 +√

1− ρ2σ2θ2 (1.1)

để xác định θ1 và θ2. Tính không duy nhất của phương trình cảnh báo cho

ta biết rằng một vài quyền chọn không thể được bảo hộ. Thật vậy, những

quyền chọn chi trả (payoff) phụ thuộc vào Y không thể có bảo hộ khi ta chỉ

được cho phép mua bán cổ phiếu. Nếu ta có một quyền chọn chi trả chỉ phụ

thuộc vào S, thì Y là không cần thiết. Trở lại với những phương trình ban

đầu cho S.dS

S= µdt+ ρσ2dB1 +

√1− ρ2σ2dB2,

77

ta nên đặt

dW = ρdB1 +√

1− ρ2dB2,

vì thế W là một chuyển động Brown dưới độ đo P (theo định lý Levy) và

dS

S= µdt+ σ2dW .

Bây giờ chúng ta chỉ có duy nhất một chuyển động Brown, nên có duy nhất

một θ, cụ thể là

θ =µ− rσ2

,

để với dW = θdt+ dW , ta có

dS

S= rdt+ σ2dW ,

2.6.2 Các phương trình vi phân ngẫu nhiên cho quyền

chọn ngoài rảo cản

Quay lại với trường hợp của quyền chọn với chi trả

(S(T )−K)+1Y ∗(T )<L,

ta có một công thức cho

v(t, x, y) = e−r(T−t)Et,x,y[(S(T )−K)+1maxt≤u≤T Y (u)<L

],

bằng cách thay thế T , S(0) và Y (0) bởi T − t, x, y tương ứng trong các công

thức cho v(0, S(0), Y (0)). Bây giờ bắt đầu tại thời điểm 0 với giá trị S(0) và

Y (0). Sử dụng tính chất Markov, ta có thể thấy quá trình ngẫu nhiên

e−rtv(t, S(t), Y (t))

là một martingale dưới xác suất P . Ta tính được

d[e−rtv(t, S(t), Y (t))]

= e−rt[(−rv+ vt + rSvx + rY vy +1

2σ2

2S2vxx + ρσ1σ2SY vxy +

1

2σ2

1Y2vyy)dt

+ ρσ2SvxdB1 +√

1− ρ2σ2SvxdB2 + σ1Y vydB1]

78

Hình 2.3: Điều kiện biên cho lựa chọn ngoài rào cản (t ∈ [0, T ] là cố định)

Đặt dt bằng 0, ta có PDE

− rv + vt + rxvx + ryvy +1

2σ2

2x2vxx + ρσ1σ2xyvxy +

1

2σ2

1y2vyy = 0,

với 0 ≤ t < T, x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ L.

Điều kiện cuối là

v(T, x, y) = (x−K)+, x ≥ 0, 0 ≤ y < L,

và điều kiện biên là

v(t, 0, 0) = 0, 0 ≤ t ≤ T,

v(t, x, L) = 0, 0 ≤ t ≤ T, x ≥ 0.

79

x = 0 y = 0

−rv + vt + ryvy +1

2σ2

1y2vyy = 0 −rv + vt + rxvx +

1

2σ2

2x2vxx = 0

Đây là công thức Black-Scholes Đây là công thức Black-Scholes

dùng trong y. dùng trong x.

Điều kiện biên là Điều kiện biên là

v(t, 0, L) = 0, v(t, 0, 0) = 0; v(t, 0, 0) = e−r(T−t)(0−K)+ = 0;

Điều kiện cuối là Điều kiện cuối là

v(T, 0, y) = (0−K)+ = 0, y ≥ 0. v(T, x, 0) = (x−K)+, x ≥ 0.

Trên biên x = 0, giá trị quyền chọn Trên biên y = 0, rào cản là không

là v(t, 0, y) = 0, 0 ≤ y ≤ L. thích hợp, và các giá quyền chọn

được cho bởi công thức

Black-Scholes thường cho quyền chọn

mua kiểu châu Âu.

(Call European)

2.6.3 Bảo hộ

Sau khi đặt dt bằng 0, ta có phương trình

d[e−rtv(t, S(t), Y (t))]

= e−rt[ρσ2SvxdB1 +√

1− ρ2σ2SvxdB2 + σ1Y vydB1],

80

trong đó vx = vx(t, S(t), Y (t)), vy = vy(t, S(t), Y (t)) và B1, B2, S, Y là hàm

của t. Chú ý rằng

d[e−rtS(t) = e−rt[−rS(t)dt+ dS(t)]

= e−rt[ρσ2S(t)dB1(t) +√

1− ρ2σ2S(t)dB2(t)].

d[e−rtY (t) = e−rt[−rY (t)dt+ dY (t)]

= e−rtσ1Y (t)dB1(t).

Do đó

d[e−rtv(t, S(t), Y (t))] = vxd[e−rtS] + vyd[e−rtY.]

Lấy ∆2(t) biểu thị số lượng cổ phiểu nắm giữ tại thời điểm t, và đặt ∆1(t)

biểu thị số lượng cổ phiếu của quá trình có rào cản Y . Giá trị của X(t) của

danh mục đầu tư có vi phân

dX = ∆2dS + ∆1dY + r[X −∆2S −∆1Y ]dt.

Điều này tương đương với

d[e−rtX(t)] = ∆2(t)d[e−rtS(t)] + ∆1(t)d[e−rtY (t)].

Để X(t) = v(t, S(t), Y (t)) cho mọi t, ta phải có

X(0) = v(0, S(0), Y (0))

và

∆2(t) = vx(t, S(t), Y (t)),

∆1(t) = vy(t, S(t), Y (t)).

81

Kết luận

Luận văn này đã trình bày về một số lý thuyết của giải tích ngẫu

nhiên và ứng dụng của nó vào lĩnh vực tài chính. Luận văn được chia làm hai

chương:

Trong chương 1, là các kiến thức cơ bản về giải tích ngẫu nhiên nhằm

chuẩn bị cho luận văn. Ở đây, tôi đi trình bày về chuyển động Brown và

các tính chất quan trọng của nó, tích phân Itô,phương trình vi phân ngẫu

nhiên,tính chất Markov, phương trình Kolmogorov, định lý Girsanov một và

nhiều chiều, độ đo trung hòa rủi ro, lý thuyết biểu diễn martingale và các ví

dụ để làm rõ hơn những khái niệm này.

Trong chương 2, tôi đi trình bày về các ứng dụng của giải tích ngẫu

nhiên vào tài chính, cụ thể ở đây là các mô hình tài chính như mô hình

Black-Scholes, mô hình thị trường hai chiều, quyền chọn mua kiểu châu Âu

up and out, quyền chọn kiểu châu Á, quyền chọn ngoài rào cản, lý thuyết độ

chênh thị giá.

Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không thể tránh được những

thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của thầy cô và bạn

đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

82

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bản Đại học

Quốc gia Hà Nội.

[2] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, Nhà xuất bản

Khoa học và Kỹ thuật.

[3] Trần Hùng Thao (2013), Toán tài chính căn bản, Nhà xuất bản Văn

hóa thông tin.

Tiếng Anh

[4] Steven E. Shreve (1997), Stochastic Calculus and Finance , Carnegie

Mellon University.

83