to periodiko f

Áãáðçôïß Ößëïé

´Ï,ôé êñáôÜôå óôá ÷Ýñéá óáò áõôÞ ôç óôéãìÞ, èÝëïõìå íá ðéóôåýïõìå êáôáñ÷Þí ðùò

åßíáé ôÝêíï þñéìçò óêÝøçò áëëÜ êáé ðñáãìáôéêÞò êáé áðï ðïëëÝò ðëåõñÝò äéáðéóôùìÝíçò

áíÜãêçò.

Åßíáé ðñïúüí åðéäñÜóåùí êáé åðéññïþí ìáêñü÷ñïíçò êáé ðïëýìï÷èçò ðíåõìáôéêÞò

ðåñéðëÜíéóçò óôç äéåèíÞ âéâëéïãñáößá,ðåñéïäéêÞ êáé ìç, áíáöåñüìåíçò ôüóï ó’áõôü

êáè’áõôü ôï ãíùóôéêü áíôéêåßìåíï ðïõ õðçñåôïýìå üóï êáé óå ü,ôé èá ìðïñïýóå íá

êáôáóôÞóåé ôçí ðñïóðÜèåéá ìáò ðåñéóóüôåñï åðéóôçìïíéêÞ êáé êáôÜ óõíÝðåéá ðåñéóóüôåñï

áðïôåëåóìáôéêÞ. Óå ìåãÜëï ìÝñïò ôçò âéâëéïãñáößáò äåóðüæïõí äõï åñùôÞìáôá:

Ôß ÌáèçìáôéêÜ èá äéäÜîïõìå óôç ÌÝóç Åêðáßäåõóç êáé ðþò èá ôá äéäÜîïõìå;

Ç áíáæÞôçóç áðáíôÞóåùí ó’ áõôÜ ôá æçôÞìáôá ôçí ôåëåõôáßá äåêáåôßá ôïõ 20ïõ áéþíá

áðïôÝëåóå êåíôñéêü Üîïíá ðñïâëçìáôéóìïý ôçò ðáãêüóìéáò ÅêðáéäåõôéêÞò

ÌáèçìáôéêÞò Êïéíüôçôáò.

Ïé ðñïóåããßóåéò ðïõ Ý÷ïõí ãßíåé ôç óõãêåêñéìÝíç ðåñßïäï êáé óõíå÷ßæïõí íá ãßíïíôáé,åßíáé

ðåñéóóüôåñï åðéóôçìïíéêÝò êáé ïëïêëçñùìÝíåò áðï ðïôÝ.Êé áõôü ãéá ðïëëïýò ëüãïõò. Ç

áíÜðôõîç ôùí Ãíùóôéêþí Åðéóôçìþí ôç äåêáåôßá ôïõ ’90-2000,(Ý÷åé ÷áñáêôçñéóôåß ùò

äåêáåôßá ôïõ åãêåöÜëïõ),ç åõ÷Ýñåéá ðïõ ç ôå÷íïëïãßá åîáóöÜëéóå óôçí åêðáéäåõôéêÞ Ýñåõíá

êáé óôçí åðéêïéíùíßá ôùí áðïôåëåóìÜôùí ôçò,áëëÜ êáé ç åêñçêôéêÞ ìåãÝíèõóç ôùí

ðáãêïóìßùí êïéíùíéêþí êáé ïéêïíïìéêþí ðñïâëçìÜôùí, ôùí ïðïßùí ç áíôéìåôþðéóç áðáéôåß

ðëÝïí ðïëý õøçëïý åðéðÝäïõ óôåëÝ÷ç êáé åñãáæüìåíïõò ìå äçìéïõñãéêÞ óêÝøç êáé öáíôáóßá,

åßíáé ìåñéêïß ëüãïé ðïõ åðÝôñåøáí Þ åðÝâáëëáí áíôßóôïé÷á, ðñïóåêôéêüôåñç êáé

åðéóôçìïíéêüôåñç ðñïóÝããéóç ôùí ðñïâëçìÜôùí ôçò ÌáèçìáôéêÞò Åêðáßäåõóçò, (áò ìçí

îå÷íÜìå êáé ôçí ðåñéðÝôåéá ôùí «ÌïíôÝñíùí Ìáèçìáôéêþí» ôïõ ’60 êáé ’70.)

ÁõôÞ ç ðáãêüóìéá,áãùíéþäçò èá ’ëåãå êáíåßò, ðñïóðÜèåéá ôçò ÌáèçìáôéêÞò

Êïéíüôçôáò ãéá áíáæÞôçóç áðáíôÞóåùí óôá êáßñéá åñùôÞìáôá ðïõ áíáöÝñèçêáí

íùñßôåñá, Ý÷åé óõìðáñáóýñåé êáé ôçí ÅëëçíéêÞ ÌáèçìáôéêÞ Êïéíüôçôá.

Ïé ðåñéóóüôåñåò åéóçãÞóåéò êáé åñãáóßåò ôùí Óõíåäñßùí ðïõ ïñãáíþíïíôáé áðï üëïõò

ôïõò öïñåßò (Å.Ì.Å., ÐáíåðéóôçìéáêÜ ÔìÞìáôá êáé Ôïìåßò ÄéäáêôéêÞò ôùí

Ìáèçìáôéêþí, ÔìÞìáôá ÄçìïôéêÞò Åêðáßäåõóçò ê.ô.ë.) ôá ôåëåõôáßá ÷ñüíéá óôç ÷þñá

ìáò, áíôáíáêëïýí ôüóï ôïí ðñïâëçìáôéóìü üóï êáé ôçí áãùíßá üëùí ìáò ãýñù áðï ôá

óõãêåêñéìÝíá æçôÞìáôá.

´Ïìùò áõôüò ï ðñïâëçìáôéóìüò ìÝíåé åêåß. ÊáôáãñÜöåôáé óôá ðñáêôéêÜ üëùí ôùí

Óõíåäñßùí áëëÜ ìÜëëïí ü÷é êáé ó’åêåßíåò ôéò óõíåéäÞóåéò ðïõ èÜðñåðå íá åã÷áñÜóóåôáé.

ÏðïéáäÞðïôå óõíéóôþóá ôçò Ìáèçìáôéêçò ìáò Åêðáßäåõóçò áõôü ìáñôõñåß êáé

êáôáäåß÷íåé. Ôá ÁíáëõôéêÜ ìáò ÐñïãñÜììáôá ãéá ðáñÜäåéãìá, Ýñãï äõóôõ÷þò êëåéóôþí

ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ 3

Áò óõóôçèïýìå...

AÓ ÓÕÓÔÇÈÏÕÌÅ...

åðéôñïðþí, äåí Ý÷ïõí áðïôõðþóåé ïýôå ôï ðáñáìéêñü äåßãìá áðü ôï óýã÷ñïíï

ðñïâëçìáôéóìü. Ôá íÝá âéâëßá ôùí Ìáèçìáôéêùí ôï ßäéï. Áí êáé ç óõããñáöÞ ôïõò óôïé÷ßæåé

ðïëëÝò ÷éëéÜäåò åõñþ, ôï íÝï ðïõ «êïìßæïõí» äåí åßíáé õðåñâïëÞ íá éó÷õñéóôåß êáíåßò, üôé

åîáíôëåßôáé óå ìéá öëýáñç êáé áìöéëåãüìåíç ðïëõ÷ñùìßá. Ç Ýëëåéøç éäåþí êáé öáíôáóßáò,

ç èåïðïßçóç ôçò «ðåðáôçìÝíçò», ôïõ åìðåéñéóìïý êáé ôçò áõôÜñêåéáò, ôï ãýñéóìá ôçò

ðëÜôçò óôá óõìðåñÜóìáôá ôùí óýã÷ñïíùí åñåõíþí êáé ôùí ðñïóðáèåéþí

åêóõã÷ñïíéóìïý ôùí Ìáèçìáôéêþí óôç ÌÝóç Åêðáßäåõóç, áðü ÷þñåò ðïõ äéáèÝôïõí

ïñãáíùìÝíç ÅêðáéäåõôéêÞ ¸ñåõíá, åßíáé óôïé÷åßá ôüóï åìöáíôéêÜ, ðïõ ü÷é ìüíï

åöçóõ÷áóìü äåí äéêáéïëïãïýí, áëëÜ åðéâÜëëïõí êáé íïìéìïðïéïýí ðïëëÝò åðéöõëÜîåéò,

ðíåýìá áíôßóôáóçò êáé õðÝñâáóçò êáé áíÜëçøç ðñùôïâïõëéþí óôçí êáèçìåñéíÞ

äéäáêôéêÞ ðñÜîç.

Ó’ áõôÜ ôá ðëáßóéá, ôï ðáñüí, Ýñ÷åôáé íá óôáèåß äßðëá óôïõò ìá÷üìåíïõò

åêðáéäåõôéêïýò –ìáèçìáôéêïýò ùò Ýíá âÞìá Ýíôéìïõ êáé áêçäåìüíåõôïõ äéáëüãïõ, ìéá

ðýëç áíïéêôÞ óå íÝåò, óýã÷ñïíåò áíôéëÞøåéò ãýñù áðü ôá ÌáèçìáôéêÜ êáé ôç äéäáóêáëßá

ôïõò óôç ÌÝóç Åêðáßäåõóç, óáí Ýíáò öéëüîåíïò ÷þñïò ðïõ åðéèõìåß êáé óôï÷åýåé íá

êáëýøåé ðïëëÝò áíÜãêåò, áíçóõ÷ßåò êáé áíáæçôÞóåéò åðéóôçìïíéêïý, åðéóôçìïëïãéêïý êáé

äéäáêôéêïý åíäéáöÝñïíôïò.

Åßíáé ßóùò ðåñéôôü íá ôïíßóïõìå üôé ç áðüðåéñá ìáò äåí áíôáãùíßæåôáé êáíÝíá Ýíôõðï,

êáíÝíá âïÞèçìá, êáíÝíá åã÷åéñßäéï.

Ðéóôåýïõìå áðüëõôá ðùò õðÜñ÷åé Ýíá êåíü êáé üôé õðÜñ÷ïõí óïâáñïß ëüãïé ãéá íá

êáëõöèåß. Ôï ôé åßäïõò êåíü åííïïýìå êáé ðùò èá åñãáóôïýìå ãéá ôçí êÜëõøÞ ôïõ èá ãßíåé

ðåñéóóüôåñï êáôáíïçôü ìå ìéá ãñÞãïñç ìáôéÜ óôéò óåëßäåò ðïõ áêïëïõèïýí. Êé áõôü ßóùò

êÜíåé ðåñéôôÞ êÜèå ðåñáéôÝñù ðñïóðÜèåéá áõôïóõóôÜóåùí êáé áõôïðñïóäéïñéóìïý...

Ôåëåéþíïíôáò, èåñìÝò åõ÷áñéóôßåò ó’ üëïõò ôïõò ößëïõò - óõíåñãÜôåò ôïõ ðáñüíôïò, ðïõ

÷ùñßò ôçí åíèÜññõíóç êáé ôçí ïõóéáóôéêÞ âïÞèåéÜ ôïõò, ü,ôé êñáôÜôå óôá ÷Ýñéá óáò áõôÞ

ôç óôéãìÞ èá ðáñÝìåíå ãéá ðÜíôá óôï ÷þñï ôçò öáíôáóßáò êáé ôïõ ïíåßñïõ.

Åðßóçò åõ÷áñéóôþ ðïëý ôçí ïéêïãÝíåéÜ ìïõ ãéá ôçí ìåãÜëç êáôáíüçóç üëï ôïí

ôåëåõôáßï ÷ñüíï. Éäéáßôåñá ôïí ËåõôÝñç êáé ãéá ôçí ïõóéáóôéêÞ ôïõ âïÞèåéá óôï äéÜóôçìá

ôçò ðñïåôïéìáóßáò ôïõ ôåý÷ïõò ôïí ôåëåõôáßï ìÞíá.

Èá Þôáí üìùò ðáñÜëåéøç áí îÝ÷íáãá ôïõò (ðéóôïýò) ìáèçôÝò ìïõ, ðïõ êÜèå ÓÜââáôï

ãéá ôñßôç ÷ñïíéÜ öÝôïò ìå áêïýí êáé ôïõò áêïýù ìå áìåßùôï åíäéáöÝñïí. Ôïõò åõ÷áñéóôþ

üëïõò èåñìÜ.

ÔÝëïò èÝëù íá åõ÷áñéóôÞóù ôï ðñïóùðéêü ôùí åêäüóåùí ÄÉÇÍÅÊÅÓ ôçí ê. Êáßôç

Áëåîïðïýëïõ, ôï ê. Íßêï Áëåîüðïõëï, ôïí ê. Íßêï ×áôæüðïõëï, ôïí Ãéþñãï, ôç ÆùÞ êáé

ôç Ìáñßá ãéá ôçí åîáéñåôéêÞ ôïõò ðñïóðÜèåéá óôç äçìéïõñãßá åíüò åíôýðïõ ðïõ êáé

áéóèçôéêÜ íá óÝâåôáé ôïí áíáãíþóôç ôïõ.

Â.Å.ÂéóêáäïõñÜêçò

Ìáèçìáôéêüò, Ì.ed.ÄéäáêôéêÞò êáé Ìåèïäïëïãßáò ôùí Ìáèçìáôéêþí.

Åíéáßï Ðåéñáìáôéêü Ëõê. Éùíéäåßïõ Ó÷ïëÞò ÐåéñáéÜ.

Aò óõóôçèïýìå...

ÐåñéïäéêÞ ¸êäïóç Åðéêïéíùíßáò êáé Äéáëüãïõ óôá ÌáèçìáôéêÜ4

OMarvin Minsky (èåùñåßôáé ï ðáôÝñáò ôçò Ôå÷íéôÞò Íïçìïóýíçò), óôï

ÃëùóóÜñé, óôï ôÝëïò ôïõ âéâëßïõ ôïõ «Ç êïéíùíßá ôçò íüçóçò»

Åêäüóåéò ÊÜôïðôñï êáé óôï ëÞììá Genius (Éäéïöõßá), áíáöÝñåé:

«Íïìßæù ðùò ôçí áðÜíôçóç ðñÝðåé íá ôçí áíáæçôÞóïõìå ü÷é óôéò

åðéöáíåéáêÝò äåîéüôçôåò ôéò ïðïßåò ìáèáßíïõí áõôÜ ôá Üôïìá, áëëÜ óå

êÜðïéá åðåéóüäéá ôçò ðáéäéêÞò ôïõò çëéêßáò ðïõ ôá þèçóáí íá ìÜèïõí

êáëýôåñïõò ôñüðïõò íá ìáèáßíïõí».

ÁíáñùôéÝôáé ëïéðüí êáíåßò, ðïý èá ìðïñïýóáí íá áíáæçôçèïýí áõôÜ ôá

«åðåéóüäéá». ºóùò óôï ðáéãíßäé. Êáé êõñßùò óôá ðáéãíßäéá ðïõ áðáéôïýí

áðü ôïõò ðáßêôåò íá åðéäåßîïõí óôñáôçãéêÞ êáé ìåèïäéêüôçôá. ºóùò ðÜëé

óôá ðíåõìáôéêÜ ðáéãíßäéá, ôá puzzles, ôïõò ãñßöïõò, ôéò óðáæïêåöáëéÝò.

Åßíáé êñßìá ïé ãïíåßò íá åìðéóôåýïíôáé êáé íá åê÷ùñïýí ôçí áíÜðôõîç

ôïõ óçìáíôéêüôåñïõ «êåöáëáßïõ» ôïõò óôç ñç÷Þ êáèçìåñéíüôçôá ôïõ

êáôáíáëùôéóìïý êáé ôçò ôçëåïðôéêÞò áðï÷áýíùóçò. Ãéá ôçí êáôáóôñïöéêÞ

åðßäñáóç ôçò ôåëåõôáßáò, ðïëëÜ ëÝãïíôáé êáé ãñÜöïíôáé áðü ôïõò åéäéêïýò.

ÁëëÜ ôá ðåñéóóüôåñá ìÜëëïí äåí öôÜíïõí óôç ìåãÜëç ðëåéïøçößá ôùí

ãïíéþí. ¹ êáé áí öôÜíïõí, ßóùò äåí óõíåéäçôïðïéåßôáé óå âÜèïò ôï ìÝãåèïò

ôçò êáôáóôñïöéêÞò áõôÞò åðßäñáóçò.

Ãéá ôï ìÝãåèïò ôïõ ðñïâëÞìáôïò åßíáé åíäåéêôéêüò ï ôßôëïò «ÌõáëÜ ðïõ

êéíäõíåýïõí, Ãéáôß ôá ðáéäéÜ ìáò äåí óêÝöôïíôáé», åíüò óõíôáñáêôéêïý

âéâëßïõ ðïõ êõêëïöüñçóå ôï 1990 ãñáììÝíï áðü ôçí Áìåñéêáíßäá

ðáéäáãùãü J.M.Healy, ôï ïðïßï äå óôÝêåôáé ðëÝïí óå öéëïóïößåò Þ

ðñïöçôåßåò áëëÜ ðñï÷ùñÜåé óå ôåêìçñéùìÝíåò (äõóôõ÷þò) äéáðéóôþóåéò. Ç

Healy óôçñéæüìåíç óôç èåùñßá ôïõ íïìðåëßóôá íåõñïëüãïõ Dr. Gerald

Edelman ìéëÜåé ãéá ìéá äéáñêÞ åîÝëéîç ôïõ åãêåöÜëïõ êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò

æùÞò åíüò áôüìïõ óôç âÜóç ôùí íüìùí öõóéêÞò åðéëïãÞò ãéá ôçí áíÜðôõîç

ôùí íåõñþíùí ôïõ áíèñþðéíïõ åãêåöÜëïõ.

Ó’ áõôü ôï óýóôçìá ðïõ äéáñêþò ìåôáâÜëëåôáé, ïìÜäåò íåõñþíùí åìðëÝ-

êïíôáé ó’ Ýíá óõíå÷Þ áíôáãùíéóìü ìåôáîý ôïõò ãéá íá «áé÷ìáëùôßóïõí» Üëëá


ÌáèçìáôéêÜ ãéá üëç ôçí ïéêïãÝíåéá

Â. Å. ÂéóêáäïõñÜêçò

ÅÅééóóááããùùããÞÞ

êýôôáñá ãéá ôçí ïìÜäá ôïõò. Ïé ïìÜäåò ðïõ ðáñïõóéÜæïõí ôç ìåãáëýôåñç

äñÜóç áíáðôýóóïõí äõíáôüôåñåò óõíÜøåéò, ðïõ ðñïóôßèåíôáé óôá äßêôõÜ ôïõò,

êáé åðéâéþíïõí. «ÅðéëÝ÷ôçêáí» åðåéäÞ åßíáé ðéèáíüí íá ÷ñçóéìïðïéçèïýí óå

ìåëëïíôéêÞ óõìðåñéöïñÜ. Ï áíôáãùíéóìüò áõôüò åðéôåëåßôáé åêôüò ôùí Üëëùí

êáé ìå ôçí áðüññéøç åíüò ìåãÜëïõ áñéèìïý êõôôÜñùí êáèçìåñéíÜ.

Ó’ üëç ôçí Ýêôáóç ôïõ âéâëßïõ ôçò ç J.M.Healy õðåñáóðßæåé ôç èÝóç ðïõ

èÝëåé ôï óýã÷ñïíï ôñüðï æùÞò íá åðéöÝñåé óïâáñÝò áëëáãÝò óôïí áíèñþðéíï

åãêÝöáëï. Éó÷õñßæåôáé üôé ï åãêÝöáëïò ôùí óçìåñéíþí ðáéäéþí Ý÷åé äïìçèåß

ðÜíù óå ðñüôõðá ðïõ áíôáãùíßæïíôáé ôéò áîßåò êáé ôïõò óêïðïýò ôçò ôõðéêÞò

åêðáßäåõóçò. Ïé êëáóéêÝò ìÝèïäïé äéäáóêáëßáò êáé ìÜèçóçò áðïôõã÷Üíïõí

ãéáôß ï íåáñüò åãêÝöáëïò äåí Ý÷åé äéáìïñöùèåß âáóéêÜ ùò åñãáëåßï ãéá

áíáëõôéêÞ óêÝøç. Ôá ðáéäéÜ åèéóìÝíá íá áíôáðïêñßíïíôáé óå åñåèéóôéêÜ

ìõíÞìáôá ðáñïõóéÜæïõí ìåéùìÝíç äõíáôüôçôá õðïìïíÞò êáé õðáêïÞò óå

êáíüíåò. Ùóôüóï ç õðïìïíÞ áðïôåëåß ìéá âáóéêÞ éêáíüôçôá áðáñáßôçôç ãéá

ôçí Üóêçóç óôçí Ýììåóç, áöçñçìÝíç êáé áíáëõôéêÞ óêÝøç.

Äõóôõ÷þò ï óýã÷ñïíïò ôñüðïò æùÞò ìå ôïõò îÝöñåíïõò ñõèìïýò ôïõ êáé

åéäéêÜ óôçí ôçëåïðôéêÞ «ôïõ» áðåéêüíéóç, üðïõ ç ôá÷ýôçôá åíáëëáãÞò åéêü-

íùí, óõíáéóèçìÜôùí, êáôáóôÜóåùí ê.ô.ë. åßíáé ôï êýñéï ÷áñáêôçñéóôéêü,

ïäçãåß ôá ðáéäéÜ óå õðåñêéíçôéêüôçôá êáé áäõíáìßá óõãêÝíôñùóçò. Áäõíá-

ìßá íá ðáñáêïëïõèÞóïõí ôï óõëëïãéóìü ôùí Üëëùí, áäõíáìßá óôï äéÜëïãï

êáé ôç óõæÞôçôóç. ÃëùóóéêÞ ðåíßá êáé ìåéùìÝíç áíôáðüêñéóç óôéò áðáé-

ôÞóåéò ôçò ìáèçìáôéêÞò åêðáßäåõóçò.

Õóôåñá áð’áõôÜ, åßíáé öáíåñü ôï ìÝãåèïò ôçò åõèýíçò ôçò ïéêïãÝíåéáò,

ãéá ìéá óùóôÞ êáé éóïññïðçìÝíç ãíùóôéêÞ-ðíåõìáôéêÞ áíÜðôõîç ôùí

ðáéäéþí ôçò, öñïíôéóìÝíç ôïõëÜ÷éóôïí åî’ ßóïõ ìå ôç óùìáôéêÞ ôïõò

áíÜðôõîç. Êáé äõóôõ÷þò (Þ åõôõ÷þò) áõôÞ ç åõèýíç äåí ìïéñÜæåôáé

éóïìåñþò ìåôáîý ïéêïãÝíåéáò êáé Ó÷ïëåßïõ ãéá ðïëëïýò ëüãïõò. ¸íáò

âáóéêüò ëüãïò åßíáé üôé áí êáé ç åîÝëéîç ôïõ áíèñþðéíïõ åãêåöÜëïõ åßíáé

äéáñêÞò ó’ üëç ôç æùÞ åíüò áôüìïõ, ç óýã÷ñïíç íåõñïøõ÷ïëïãßá õðïóôçñßæåé

åðßóçò üôé ç âáóéêÞ äïìÞ ôïõ åãêåöÜëïõ áíáðôýóóåôáé óôçí ðïëý ôñõöåñÞ-

íçðéáêÞ çëéêßá (ìÝóá óôá ðñþôá ðÝíôå ÷ñüíéá ôçò æùÞò ôïõ áôüìïõ).

Ì’ áõôÜ êáôÜ íïõ, ç ðáñïýóá óôÞëç ðñïôåßíåé (êáé èá ðñïôåßíåé óå êÜèå

ôåý÷ïò) ìéá ðñïóåêôéêÜ åðéëåãìÝíç óõëëïãÞ ðñïâëçìÜôùí-íïçôéêþí

ðñïêëÞóåùí, ôá ïðïßá èá ìðïñåß íá ôá êáôáíïåß êáé íá ôá ðñïóåããßæåé êáíåßò

÷ùñßò éäéáßôåñåò ìáèçìáôéêÝò ãíþóåéò Ýôóé ðïõ íá ìðïñïýí íá áðïôåëÝóïõí

áíôéêåßìåíï íïçôéêÞò-äçìéïõñãéêÞò áðáó÷üëçóçò áêüìá êáé ãéá ôçí ðéï

áðëïúêÞ ïéêïãÝíåéá ðïõ üìùò ìðïñåß íá áíôéóôÝêåôáé óôçí ôçëåïðôéêÞ

ëáßëáðá ôùí reality êáé ôùí ðåñß ôá reality åêðïìðþí, ðñïò ÷Üñç ìéáò



éóïññïðçìÝíçò ðíåõìáôéêÞò-íïçôéêÞò áíÜðôõîçò ôùí ðáéäéþí ôçò. ÖõóéêÜ õðü

ôçí ðñïõðüèåóç üôé ïé áíáãíþóôåò èá âïçèÞóïõí íá äéá÷õèåß áõôü ôï õëéêü

åõñýôåñá þóôå íá öôÜóåé (ìÝóù ôùí ðáéäéþí ôçò) êáé óôçí ïéêïãÝíåéá áõôÞ.

¹ôáí ÷áñáêôçñéóôéêÜ èåôéêÞ ç áíôáðüêñéóç ðïõ ðáñáôçñÞóáìå üôáí

ðñéí áñêåôÜ ÷ñüíéá åß÷áìå èÝóåé ôï (ãíùóôü) ðñüâëçìá ìå ôá êáðÝëá óå

Ýíá ôìÞìá ôçò Â’ ãõìíáóßïõ. Ôçí åðüìåíç ìÝñá ðÜíù áðü 6-7 ìáèçôÝò ôï

Ýöåñáí ëõìÝíï ìå ôç âïÞèåéá ôùí ãïíéþí ôïõò. Ìå ôï ðñüâëçìá áõôü

îåêéíÜìå êáé ôçí ðñþôç ìáò óõëëïãÞ (ìáèçìáôéêþí) ðñïêëÞóåùí.



¸÷ïõìå 2 êüêêéíá êáé 3 ìáýñá, ßäéá êáôÜ ôá Üëëá

êáðÝëá. ¸÷ïõìå åðßóçò ôñßá Üôïìá áðï ôá ïðïßá ï Ýíáò

åßíáé ôõöëüò. Áöïý êëåßóïõìå ôá ìÜôéá óôá äýï Üôïìá

ðïõ Ý÷ïõí ôçí üñáóÞ ôïõò, öïñÜìå áðü Ýíá êáðÝëï êáé

óôïõò ôñåßò.

Ôá õðüëïéðá êáðÝëá ôá áðïìáêñýíïõìå (ôá

êñýâïõìå) êáé êáôüðéí áðåëåõèåñþíïõìå ôçí üñáóç ôùí

äýï. Óôç óõíÝ÷åéá ñùôÜìå ôïí ðñþôï ôé ÷ñþìá êáðÝëïõ

öïñÜåé. Åêåßíïò êïéôÜæåé ôïõò Üëëïõò äýï, áëëÜ äåí

âãÜæåé óõìðÝñáóìá, ïðüôå áðáíôÜåé «äåí îÝñù».

ÑùôÜìå ôï äåýôåñï Üôïìï êáé ìåôÜ áðü óêÝøç ëÝåé êé

áõôüò «äåí îÝñù».ÑùôÜìå ôüôå êáé ôïí ôõöëü, êáé ìåôÜ

áðü ëßãï åêåßíïò áðáíôÜåé ìå âåâáéüôçôá «öïñÜù ìáýñï

êáðÝëï». Êáé åß÷å äßêéï. Ðþò Üñáãå ôï âñÞêå;

Ôñåßò ößëïé, ðáßêôåò ôïõ Øåììáëçèåéáêïý (ìéáò

ïìÜäáò ìå ðåñßåñãç óýíèåóç), ï Íßêïò, ï Ãéþñãïò êáé ï

Çëßáò, ðñïðïíïýíôáí êÜðïéá ìÝñá ôñÝ÷ïíôáò ï Ýíáò

ðßóù áðü ôïí Üëëï áðü ôç ìéá Üêñç ôïõ ãçðÝäïõ óôçí

Üëëç, ü÷é üìùò êáô’ áíÜãêç ì’ áõôÞ ôç óåéñÜ. ËÝåé óå

êÜðïéá óôéãìÞ ï ðñþôïò: -Ôï ðáéäß óôç ìÝóç åßíáé ï

Íßêïò, åíþ ï ìåóáßïò äçëþíåé:

– Åãþ åßìáé ï Çëßáò.Êáé ï ôåëåõôáßïò ëÝåé:

– Óôç ìÝóç åßíáé ï Ãéþñãïò.

Áí åßíáé ãíùóôü üôé: Ï Ãéþñãïò ëÝåé ðÜíôá ôçí

áëÞèåéá.Ï Çëßáò Üëëïôå ëÝåé áëÞèåéá êáé Üëëïôå

øÝììáôá,åíþ ï Íßêïò ëÝåé ðÜíôá øÝìáôá ðïéüò åßíáé ôüôå

ï ðñþôïò, ðïéüò ï äåýôåñïò êáé ðïéüò ï ôñßôïò óôç óåéñÜ

êáèþò ôñÝ÷ïõí ï Ýíáò ðßóù áð’ ôïí Üëëï;

2

1

ÁÁëëÞÞèèååééáá -- ØØÝÝììììááôôáá êáé ðþò ï íïýò ôá îå÷ùñßæåé

ÔÔïï ððññüüââëëççììáá ììåå ôôáá êêááððÝÝëëáá(Þ üôáí ï íïõò âëÝðåé áõôÜ ðïõ ôá ìÜôéá ìáò

äåí ìðïñïýí íá äïõí)

¸íá óáëéãêÜñé ðñïóðáèåß í’ áíÝâåé óôçí êïñõöÞ

åíüò äÝíôñïõ ðïõ Ý÷åé ýøïò 10m.ÊÜèå ìÝñá áíåâáßíåé

2m, áëëÜ êÜèå íý÷ôá ìå ôçí õãñáóßá ãëéóôñÜåé ðñïò ôá

êÜôù êáôÜ 1m. Óå ðüóåò ìÝñåò èá öôÜóåé óôçí êïñõöÞ

ôïõ äÝíôñïõ îåêéíþíôáò áðü ôï Ýäáöïò Ýíá ðñùß;

Äýï ößëïé, ìáíéþäåéò êáðíéóôÝò, ÷ùñßò äñá÷ìÞ óôçí

ôóÝðç óêÝöôçêáí Ýíá (ü÷é êáé ôüóï õãéåéíü) ôñüðï ãéá íá

éêáíïðïéÞóïõí ôï ðÜèïò ôïõò. ÌÜæåøáí ï êáèÝíáò 10

áðïôóßãáñá (ãüðåò)êáé Ýöôéáîáí áõôïó÷Ýäéá ôóéãÜñá.

Ãéá êÜèå ôóéãÜñï ÷ñåéáæüôáí 3 ãüðåò. ¼ìùò åêåßíïé

êÜðíéóáí óõíïëéêÜ 9 ôóéãÜñá. Ðþò ôá êáôÜöåñáí;

– Á÷! ëÝåé ï «áäéêçìÝíïò», ìéá ãüðá íá ’÷áìå âñåé

áêüìá,èá êÜðíéæá êé åãþ 5 ôóéãÜñá. Åß÷å äßêéï... áëëÜ

ãéáôß;

¸íáò ñÜöôçò ÷ñåéÜæåôáé 1 ëåðôü ãéá êÜèå êïðÞ åíüò

êïììáôéïý áðü Ýíá ôüðé ýöáóìá. Áí ôï ôüðé ôïõ åßíáé

60m êáé èÝëåé íá ôï êüøåé óå åîÞíôá êïììÜôéá ôïõ åíüò

ìÝôñïõ, ðüóï ÷ñüíï èá ÷ñåéáóôåß;

Áí ðÜëé èÝëåé íá öôéÜîåé áðü ôá êïììÜôéá ôïõ 1m Ýíá

êïììÜôé 7m êáé êÜèå ñáöÞ ôïõ ðáßñíåé 5 ëåðôÜ, ðüóç

þñá èá ÷ñåéáóôåß;

Ðüóá ÷ñüíéá Ýæçóå Ýíá Üôïìï ðïõ ãåííÞèçêåóôéò 30

Éïýíç ôïõ 30 ð.×.êáé ðÝèáíå óôéò 30 Éïýíç ôïõ 30 ì.×;

Ìéá ôÜîç Ý÷åé 25 ìáèçôÝò êáé ìáèÞôñéåò. Ðüóïé

ôïõëÜ÷éóôïí Ý÷ïõí ãåííçèåß ôïí ßäéï ìÞíá;

Ðüóåò ëÝîåéò ðñÝðåé íá ðÜñåé êÜðïéïò óôçí ôý÷ç

áðü Ýíá ëåîéêü ôçò ÅëëçíéêÞò Ãëþóóáò ãéá íá åßíáé

óßãïõñïò üôé äýï ôïõëÜ÷éóôïí áð’ áõôÝò áñ÷ßæïõí ìå ôï

ßäéï ãñÜììá;

8

7

6

5

4

3



ÌÌééáá ïïììÜÜääáá ððññïïââëëççììÜÜôôùùííáðëÞò ëïãéêÞò êáé áðëþí õðïëïãéóìþí:

OO ããïïëëããïïèèÜÜòò ååííüüòò óóááëëééããêêááññééïïýý

««ÐÐååííßßáá ôôÝÝ÷÷ííááòò êêááôôååññããÜÜææååôôááéé»»

ÊÊüüââïïííôôááòò êêááéé ÑÑÜÜââïïííôôááòò

ÌÌééáá ððååññßßååññããçç óóýýììððôôùùóóçç

Ðåñéóóüôåñá (óõíïëéêÜ 73 ðñïôåéíüìåíá

ðñïâëÞìáôá) óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 7-31)

Ôï ïëïêëÞñùìá åßíáé Ýíá éó÷õñü ìáèçìáôéêü åñãáëåßï, ìå

åîáéñåôéêÞ èåùñçôéêÞ êáé ðñáêôéêÞ óçìáóßá. Ïé ôå÷íéêÝò ôùí

õðïëïãéóìþí åßíáé ðïëëÝò öïñÝò åðßðïíåò êáé ìáêñïóêåëåßò. ¼ìùò, ç

÷ñÞóç ôùí çëåêôñïíéêþí õðïëïãéóôþí, Ý÷åé äþóåé ôåñÜóôéåò

äõíáôüôçôåò óôïõò áñéèìçôéêïýò õðïëïãéóìïýò, åðéôñÝðïíôÜò ìáò Ýôóé,

íá áðåëåõèåñþóïõìå ÷ñüíï ðñïò üöåëïò ôçò èåùñçôéêÞò ðñïóÝããéóçò

êáé ôçò êáôáíüçóçò ôùí åííïéþí.

Ôï åéóáãùãéêü ìÜèçìá ðïõ áðïôåëåß ôï 1ï êåöÜëáéï ôïõ ðáñüíôïò

Üñèñïõ Ý÷åé ðñïåôïéìáóôåß ó' áõôü ôï ðíåýìá êáé äéäÜ÷èçêå óôïõò

ìáèçôÝò ôçò Ã ´ ôÜîçò ÈåôéêÞò Êáôåýèõíóçò ôïõ Ðåéñáìáôéêïý Ëõêåßïõ

ôçò Éùíéäåßïõ Ó÷ïëÞò ÐåéñáéÜ óôéò 16 Öåâñïõáñßïõ 2004, ãéá 50 ðåñßðïõ

ëåðôÜ. Óôï 2ï êåöÜëáéï ðåñéÝ÷ïíôáé ïñéóìÝíåò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí

ó÷Ýóç ôïõ ïëïêëçñþìáôïò ùò äéáäéêáóßá Üèñïéóçò êáé ôçò

áíôéðáñáãþãéóçò. Óôï 3ï ðåñéÝ÷åôáé ç ðëÞñçò áðüäåéîç ôïõ

Èåìåëéþäïõò ÈåùñÞìáôïò ôïõ Ïëïêëçñùôéêïý Ëïãéóìïý ãéá óõíå÷åßò

óõíáñôÞóåéò óå êëåéóôü äéÜóôçìá. ÔÝëïò, óôï 4ï êåöÜëáéï ðåñéÝ÷ïíôáé

ôá âáóéêÜ èåùñÞìáôá ôùí óõíå÷þí óõíáñôÞóåùí êáé, ôï êåöÜëáéï

áõôü, ìðïñåß íá äéáâáóôåß áíåîÜñôçôá áðü ôá õðüëïéðá.

Ôï ìüíï ðïõ ÷ñåéÜæåôáé, ãéá íá äéáâÜóåé êÜðïéïò åðùöåëþò ôá äýï

ôåëåõôáßá êåöÜëáéá, åßíáé êáëÞ äéÜèåóç êáé êÜðïéá åîïéêåßùóç ìå ôïõò

å – ä óõìâïëéóìïýò êáé ôá áíôßóôïé÷á åðé÷åéñÞìáôá. Äåí ÷ñçóéìïðïßçóá

ðáñÜ åëÜ÷éóôá ôçí Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò, ìéáò êáé ôï ó÷ïëéêü

ðñüãñáììá ðåñéÝ÷åé åëÜ÷éóôá ðñÜãìáôá ãé' áõôÞí. Ôá êåöÜëáéá áõôÜ

áðåõèýíïíôáé, ðñùôßóôùò, óôïõò åðéìïñöïýìåíïõò åêðáéäåõôéêïýò,

áëëÜ, êáé óå ïðïéïíäÞðïôå Üëëï ìáèçôÞ Þ ü÷é ðïõ Ý÷åé äéÜèåóç íá ôá

ìåëåôÞóåé.


Ôï ÏëïêëÞñùìá

ÓôñÜôïò ÌÜêñáò

Äñ. Ìáèçìáôéêþí ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí

Ðåéñáìáôéêü Ëýêåéï Éùíéäåßïõ Ó÷ïëÞò ÐåéñáéÜ

ÅÅééóóááããùùããééêêüü

ÓÓççììååßßùùììáá

Ç Ýííïéá ôïõ ïëïêëçñþìáôïò ðçãÜæåé áðü ôçí ðñïóðÜèåéá

ðñïóäéïñéóìïý ôïõ åìâáäïý äéáöüñùí åðéðÝäùí ó÷çìÜôùí.

Ãéá ôá åõèýãñáììá ó÷Þìáôá ç äéáäéêáóßá åßíáé áðëÞ: ×ùñßæïõìå ôï

ó÷Þìá óå ðåðåñáóìÝíï ðëÞèïò ôñéãþíùí Þ ïñèïãùíßùí ôá ïðïßá äåí

áëëçëïêáëýðôïíôáé, âñßóêïõìå ôá åìâáäÜ ôïõò êáé ôá áèñïßæïõìå. Ôá

ðñÜãìáôá üìùò äõóêïëåýïõí ìüëéò èåëÞóïõìå íá îåöýãïõìå áðü ôá

åõèýãñáììá ó÷Þìáôá. Ç ãåùìåôñéêÞ åðïðôåßá, ìáò õðáãïñåýåé üôé, óå

êÜèå êëåéóôü ó÷Þìá, åõèýãñáììï Þ ìç, ìðïñåß íá áðïäïèåß êÜðïéï

åìâáäüí. Ðïéá üìùò äéáäéêáóßá ðñÝðåé íá áêïëïõèÞóïõìå ãéá íá

áðïäþóïõìå êÜðïéï åìâáäüí óå ó÷Þìáôá üðùò óôï "êüêêéíï" ÷ùñßï ôïõ

äéðëáíïý ó÷Þìáôïò, ÷ùñßò íá îåöýãïõìå áðü ôïí "öõóéêü" ôñüðï

áðüäïóçò ôïõ åìâáäïý; Ôþñá, äåí ìðïñïýìå íá ÷ùñßóïõìå ôï ó÷Þìá óå

ôñßãùíá Þ ïñèïãþíéá ðïõ äåí áëëçëïêáëýðôïíôáé, áí ðåñéïñéóôïýìå óå

ðåðåñáóìÝíï ðëÞèïò. Ðñïêýðôïõí Ýôóé äéÜöïñá åñùôÞìáôá:

Èá ðñÝðåé íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå Üðåéñï ðëÞèïò ôñéãþíùí êáé

ïñèïãùíßùí;

Ôé óçìáßíåé üìùò Üèñïéóìá ìå Üðåéñïõò ðñïóèåôÝïõò;

Ï ôñüðïò äéáìÝñéóçò ôïõ áñ÷éêïý ó÷Þìáôïò ðáßæåé êÜðïéï ñüëï;

ÁõôÜ åßíáé ìåñéêÜ áðü ôá åñùôÞìáôá ðïõ áðáó÷üëçóáí ãéá áéþíåò

ôïõò ìáèçìáôéêïýò êáé åîáêïëïõèïýí íá ôïõò áðáó÷ïëïýí áêüìá! Ïé

ðñïóðÜèåéåò ãéá íá äïèïýí áðáíôÞóåéò, êáôÝëçîáí, óå èåùñßåò

éäéáßôåñá åíäéáöÝñïõóåò êáé ãüíéìåò.

Ïé ¸ëëçíåò ìáèçìáôéêïß ôçò Áñ÷áéüôçôáò, åß÷áí, Þäç, ëýóåé ôï

ðñüâëçìá ãéá ïñéóìÝíá ìç åõèýãñáììá ó÷Þìáôá, üðùò, ð.÷. ãéá ôïõò

ìçíßóêïõò ôïõ ÉððïêñÜôç. ¼ìùò, ï ðñþôïò ðïõ Ýëõóå ðñáãìáôéêÜ

äýóêïëá ðñïâëÞìáôá áõôïý ôïõ åßäïõò, Þôáí ï Áñ÷éìÞäçò (287 ð.× – 212

ð.×). Ï ôñüðïò ðïõ áêïëïýèçóå ï Áñ÷éìÞäçò ãéá íá õðïëïãßóåé ôï

åìâáäüí åíüò ôìÞìáôïò ôçò ðáñáâïëÞò áëëÜ êáé ôçò óðåßñáò ðïõ öÝñåé

ôï üíïìÜ ôïõ, åìðåñéÝ÷åé ôçí âáóéêÞ éäÝá ðïõ áêïëïõèÞèçêå, ðïëëïýò

áéþíåò áñãüôåñá, ãéá ôçí èåìåëßùóç ôçò óýã÷ñïíçò "Èåùñßáò ÌÝôñïõ".

Áò ðáñáêïëïõèÞóïõìå ëïéðüí, óå áäñÝò âÝâáéá ãñáììÝò, ôïí äñüìï ôïõ

Áñ÷éìÞäç ãéá ôïí "ôåôñáãùíéóìü ôçò ðáñáâïëÞò" äçëáäÞ ãéá ôïí

õðïëïãéóìü ôïõ åìâáäïý åíüò ôìÞìáôüò ôçò.

Ôï ÏëïêëÞñùìá


ÔÏ ÏÑÉÓÌÅÍÏ ÔÏ ÏÑÉÓÌÅÍÏ

ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÏËÏÊËÇÑÙÌÁ

1.

B

b

E M F C

HG

A c

ÅÅééóóááããùùããééêêüü ììÜÜèèççììááóóôôïïõõòò ììááèèççôôÝÝòò ôôççòò ÃÃ´́ ËËõõêêååßßïïõõ

Ó÷Þìá 1

Ðåñéóóüôåñá óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 23-45)

Óôï äéðëáíü ó÷Þìá ôï Oxy åßíáé ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí

ìå →i, →j ôá ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá ôùí áîüíùí x´x ôùí ôåôìçìÝíùí êáé y´y

ôùí ôåôáãìÝíùí áíôßóôïé÷á.

(á) Íá õðïëïãßóåôå ôïõò áñéèìïýò ðïõ áíôéóôïé÷ïýí óôá êåíÜ ðïõ

óçìåéþíïíôáé ðáñáêÜôù ìå....

• Á→Â = (... , ...) , Â

→Ã = (... , ...) , Ã

→Á = (... , ....)

• Á→Â � Â

→Ã = ... , Â

→Ã � Ã

→Á = ... , Ã

→Á � Á

→Â = ...

• (Á→Â � Â

→Ã) � Ã

→Á = (... , ...) , (Â

→Ã � Ã

→Á) � Á

→Â = (... , ...) ,

• (Ã→Á � Á

→Â) � Â

→Ã = (..., ...)


ÈÝìáôá óôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï äéáíõóìÜôùí

Ä. ÍôñßæïòM. ed. ÄéäáêôéêÞò êáé Ìåèïäïëïãßáò ôùí Ìáè/êþí

6ï Åí. Ëýêåéï ÔñéêÜëùí

Óôï Üñèñï áõôü ðáñïõóéÜæïõìå ìéá óåéñÜ èåìÜôùí ðïõ Ý÷ïõí ùò óôü÷ï

ôçí êáôáíüçóç áðü ôïõò ìáèçôÝò ôçò Ýííïéáò ôïõ äéáíýóìáôïò óôï åðßðåäï

- üðïõ Ý÷ïõìå ïñßóåé Ýíá ïñèïêáíïíéêü óýóôçìá óõíôåôáãìÝíùí Oxy.

Ðñþôïí, ùò ãåùìåôñéêü áíôéêåßìåíï (ðñïóáíáôïëéóìÝíï åõèýãñáììï

ôìÞìá ðïõ äçëþíåé ìåôáôüðéóç) êáé äåýôåñïí, ùò Ýíá äéáôåôáãìÝíï æåýãïò

ðñáãìáôéêþí áñéèìþí. Ìå ôçí äéäéÜóôáóç áõôÞ èåþñçóç, ïé ðñÜîåéò

ìåôáîý äéáíõóìÜôùí, ùò ãåùìåôñéêþí áíôéêåéìÝíùí, áíÜãïíôáé óå ðñÜîåéò

ìåôáîý äéáôåôáãìÝíùí æåõãþí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí (áëãåâñéêÞ åêäï÷Þ

ôïõ äéáíýóìáôïò).

Ôá èÝìáôá ðïõ èá äïýìå, äüèçêáí óôïõò ìáèçôÝò ìáò, ôç ó÷ïëéêÞ

÷ñïíéÜ 2003-2004, óôï 6ï Å.Ë. ÔñéêÜëùí, êÜðïéá ùò åñãáóßá ãéá ôï óðßôé,

êáé ìåñéêÜ Üëëá ùò èÝìáôá äéáãùíßóìáôïò, óôá ðëáßóéá ôçò åíüôçôáò ôïõ

åóùôåñéêïý ãéíïìÝíïõ äýï äéáíõóìÜôùí.

ÈÈÅÅÌÌÁÁ 11ïï::

y

xx´

y´

Ï

j

i

Ã

Â

Á

• (Á→Â � Â

→Ã) � Ã

→Á + (Â

→Ã � Ã

→Á) � Á

→Â + (Ã

→Á � Á

→Â) � Â

→Ã = (... , ...)

• ⏐Ã→Á⏐ = ... , ⏐Ã

→Â⏐ = ... , Ã

→Ì � Á

→Â = ..., üðïõ Ì åßíáé ôï ìÝóïí ôïõ

ôìÞìáôïò ÁÂ.

• óõíÃ∧ÁÂ = ... , óõíÃ

∧ÂÁ = ...

(â) Íá åîåôÜóåôå áí åßíáé ÓùóôÞ Þ ËÜèïò êáèåìéÜ áðü ôéò ó÷Ýóåéò ðïõ

áêïëïõèïýí:

• Ã→Á = Ã

→Â

• Ã→Á + Ã

→Â = 2 � Ã

→Ì

• (Ã→Á � Ã

→Â) � Ã

→Ì = Ã

→Á � (Ã

→Â � Ã

→Ì)

• �⏐Á→

Á

Ã

→

⏐

Ã

�

�

⏐

Á→

Á

Â→Â⏐

� = óõíÃ∧ÁÂ

• (Á→Â + Â

→Ã + Ã

→Á)⊥Á

→Â

• ⏐Ã→Á � Ã

→Â⏐ � ⏐Ã

→Á⏐ � ⏐Ã

→Â⏐

(ã) Áí ïé ïñéæüíôéåò êáé êáôáêüñõöåò åõèåßåò ôïõ ðñïçãïýìåíïõ

ó÷Þìáôïò ðáñéóôÜíïõí ôïõò äñüìïõò ìéáò ðëÞñùò äïìçìÝíçò

ðüëçò, ôüôå íá âñåßôå ôï ìÞêïò ôçò åëÜ÷éóôçò äéáäñïìÞò ðïõ èá

äéáíýåé Ýíá ôáîß,

(i) ðïõ îåêéíÜ áðü ôï Á, äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá Â êáé Ã êáé

ðñÝðåé íá åðáíÝëèåé óôï Á.

(ii) ðïõ îåêéíÜ áðü ôï Ã ìå óêïðü íá ðñïóåããßóåé ôï ìÝóïí ôïõ

ôìÞìáôïò ÁÂ.

ÕðïèÝóôå üôé, üëïé ïé äñüìïé ðáñïõóéÜæïõí ôçí ßäéá êõêëïöïñéáêÞ

êßíçóç.

(ä) Íá åîåôÜóåôå áí õðÜñ÷åé éóüðëåõñï ôñßãùíï ôïõ ïðïßïõ ïé ôñåéò

êïñõöÝò ôïõ íá óõìðßðôïõí ìå êïñõöÝò ïðïéùíäÞðïôå ôåôñáãþíùí

ôïõ ó÷Þìáôïò· êáé íá äéêáéïëïãÞóåôå ôï áðïôÝëåóìá ôùí

ðáñáôçñÞóåþí óáò ìå ìáèçìáôéêÜ åðé÷åéñÞìáôá.

ÈÝìáôá óôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï äéáíõóìÜôùí


ÓÓ÷÷üüëëééáá

Ôï åñþôçìá (ã) áíáëýèçêå ðïëý

ðñïóåêôéêÜ óôïõò ìáèçôÝò ï

üñïò "ðüëç ðëÞñùò äïìçìÝíç":

Ôï ôáîß êéíåßôáé, õðï÷ñåùôéêÜ,

üðùò åßíáé öõóéêü, ìüíï åðß ôùí

ðåñéìÝôñùí ôùí ôåôñáãþíùí.

ÄçëáäÞ, ìüíï êáôáêüñõöá Þ

ïñéæüíôéá. ÓõæçôÞóáìå ãéá ôç

ëåãüìåíç "Ãåùìåôñßá ôùí ôáîß"

êáé ôïí ôñüðï ìå ôïí ïðïßï

ìåôñéïýíôáé ïé áðïóôÜóåéò óôç

Ãåùìåôñßá áõôÞ. Åäþ, ï

óõíôïìüôåñïò äñüìïò ìåôáîý äýï

óçìåßùí Á êáé Â äåí åßíáé ç

Åõêëåßäåéá áðüóôáóç (ÁÂ)! ¸íá

Üëëï ðáñÜäåéãìá åöáñìïãÞò ôçò

"Ãåùìåôñßáò ôùí ôáîß" åßíáé ç

äéáäéêáóßá ìå ôçí ïðïßá

ó÷çìáôßæïíôáé, ôåëéêÜ, ïé åéêüíåò

óôïõò äÝêôåò ôçò ôçëåüñáóçò.

Ôï åñþôçìá (ä) üðùò

äéáôõðþíåôáé, ÷áñáêôçñßóôçêå ùò

äýóêïëï áðü ôïõò ìáèçôÝò.

Êõñßùò ãéáôß "îåöåýãåé" áðü ôï

óõíçèéóìÝíï óôéë äéáôýðùóçò êáé

ôá åßäç ôùí èåìÜôùí ðïõ óõíÞèùò

äéáðñáãìáôåõüìáóôå óôçí ôÜîç.

Äüèçêå ãéá åñãáóßá óôï óðßôé,

áöïý ðñþôá åîçãÞèçêáí

ðñïóåêôéêÜ ïé õðïèÝóåéò êáé ôï

æçôïýìåíï. Äýï ìüíï ìáèçôÝò ôïõ

ôìÞìáôïò êéíÞèçêáí ðñïò ôç

óùóôÞ êáôåýèõíóç ðñïóåããßæïíôáò

ôçí éäÝá ôçò ëýóçò· êáé ç áðÜíôçóç

óõìðëçñþèçêå óôçí ôÜîç áðü ôïí

äéäÜóêïíôá óå åðüìåíï ìÜèçìá.

Áíáäýåôáé Ýôóé ôï åñþôçìá:

ôåëéêÜ, ðñÝðåé Þ ü÷é íá èÝôïõìå

óôïõò ìáèçôÝò ìáò êáé ôÝôïéá

åñùôÞìáôá; Ç ÜðïøÞ ìáò åßíáé

ðùò íáé. Êáé áõôü ãéáôß: Ðñþôïí,

ôÝôïéá åñùôÞìáôá áíáäåéêíýïõí

ôçí Üðïøç üôé ôá ÌáèçìáôéêÜ äåí

åßíáé ìüíï åöáñìïãÞ ôýðùí êáé

äéáäéêáóéþí áëãïñéèìéêïý ÷áñá-

êôÞñá.

Äåýôåñïí, êáëëéåñãïýí ôçí

åñåõíçôéêÞ äéÜèåóç óå êÜðïéïõò

(Ýóôù êáé ëßãïõò) ìáèçôÝò

ðáñÝ÷ïíôáò ôïõò ôéò êáôÜëëçëåò

åõêáéñßåò.


ÓÞìåñá ïé Üíèñùðïé ãñÜöïõí êáé ìéëïýí óå ðïëëÝò äéáöïñåôéêÝò

ãëþóóåò, áëëÜ üëïé ÷ñçóéìïðïéïýí ôá ßäéá óýìâïëá ãéá ôïõò

áñéèìïýò êáèþò êáé ôéò ßäéåò õðïëïãéóôéêÝò ìåèüäïõò. Ôï ðáãêüóìéï

áõôü áñéèìçôéêü óýóôçìá ëÝãåôáé éíäï-áñáâéêü. Ïé óçìåñéíïß ìáèçôÝò äåí

ìðïñïýí íá åêôéìÞóïõí ðüóï äýóêïëï Þôáí óôï ðáñåëèüí ôï ðñüâëçìá ôçò

åêôÝëåóçò ôùí ôåóóÜñùí ðñÜîåùí äéüôé äéáèÝôïõí ðëÝïí ôï êáôÜëëçëï

áñéèìçôéêü óýóôçìá êáé ôïõò ãíùóôïýò áëãïñßèìïõò ãéá ôçí åêôÝëåóç ôùí

ôåóóÜñùí ðñÜîåùí. Áíáãíùñßæïõí, ßóùò, üôé ôßðïôá äåí åßíáé ðéï

êïðéáóôéêü êáé áíéáñü óôá ìáèçìáôéêÜ üóï ç åêôÝëåóç

ðïëëáðëáóéáóìþí êáé äéáéñÝóåùí ìå ðïëõøÞöéïõò áñéèìïýò,

üðùò êáé ç åîáãùãÞ ôåôñáãùíéêþí êáé êõâéêþí ñéæþí, ðñÜîåéò

ðïõ åêôüò ôïõ üôé áðáéôïýí ðïëý ÷ñüíï, åßíáé åêôåèåéìÝíåò êáé

óôïí êßíäõíï ëáèþí. Ùóôüóï, ïðïéåóäÞðïôå ðñÜîåéò äåí åßíáé

óïâáñü ðñüâëçìá üôáí äéáèÝôåé êáíåßò Ýíá êïìðéïõôåñÜêé. ÁõôÞ

ç äéáðßóôùóç ðáñáðëáíåß ôïõò ìáèçôÝò êáé õðïíïìåýåé ôçí

ðñáãìáôéêÞ êáôáíüçóç ôïõ ðñïâëÞìáôïò. Ãéá íá êáôáíïÞóïõí ïé

ìáèçôÝò ôï ðñüâëçìá êáé íá ìçí õðïâáèìßóïõí ôéò åðéôõ÷ßåò ôïõ

ðáñåëèüíôïò ðñÝðåé íá ôïõò ðÜñïõìå óå Ýíá öáíôáóôéêü ôáîßäé

óôá ÷ñüíéá åêåßíá ðïõ äçìéïõñãÞèçêáí ïé ðñþôïé ðïëéôéóìïß.

Ðùò êáé ðüôå ôá íÝá óýìâïëá ôùí áñéèìþí ìðÞêáí ãéá ðñþôç öïñÜ óôçí

Åõñþðç äåí åßíáé ãíùóôü ìå âåâáéüôçôá. Ôï âéâëßï ðïõ Üóêçóå

ôçí ìåãáëýôåñç åðéññïÞ óôç äéÜäïóç ôçò ãíþóçò êáé ôçò ÷ñÞóçò ôïõ

éíäï-áñáâéêïý óõóôÞìáôïò åßíáé ôï Liber abaci (Âéâëßï ôïõ Üâáêá) ðïõ

Ýêáíå ôçí åìöÜíéóÞ ôïõ óôçí Éôáëßá ôï 1202. ÓõããñáöÝáò ôïõ âéâëßïõ áõôïý

Þôáí ï Leonardo Fibonacci (1175 – 1250), o ðéï éêáíüò ìáèçìáôéêüò ôïõ


Óôï äñüìï ðñïò ôïõò ëïãÜñéèìïõò

ÅõÜããåëïò Í. ÐáíáãéþôïõM.sc óôçí ÁëãåâñéêÞ Ôïðïëïãßá (Ðáí. Warwick)

M.sc óôçí ÅêðáéäåõôéêÞ Åñåõíá (Åëåýèåñï Ðáí. Âñõîåëëþí)

M.ed óôç ÄéäáêôéêÞ êáé Ìåèïäïëïãßá ôùí Ìáè/êþí (ôì. Ìáè/êþí Ðáí.Áèçíþí

Ðåéñáìáôéêü Ëýêåéï Âáñâáêåßïõ Ó÷ïëÞò Áèçíþí

1.1 ÐñÜîåéò êáé

ÁñéèìçôéêÜ

ÓõóôÞìáôá

Ìåóáßùíá. ÌÝ÷ñé ôüôå äåí åß÷å êáôáíïçèåß áêüìç üôé ç ëïãéóôéêÞ ðïõ

áðïññÝåé áðü ôï éíäï-áñáâéêü óýóôçìá åßíáé êáôÜ ðïëý áíþôåñç áðü áõôÞ

ðïõ óôçñßæåôáé óôï ñùìáúêü óýóôçìá. Óôçí áñ÷Þ ôïõ âéâëßïõ õðÜñ÷åé ï

ðáñáêÜôù óõãêñéôéêüò ðßíáêáò áñéèìþí ðïõ åßíáé ãñáììÝíïé êáé óôá äýï

óõóôÞìáôá þóôå íá öáíåß ç áíùôåñüôçôá ôïõ éíäï-áñáâéêïý óõóôÞìáôïò

óôï óõìâïëéóìü. Óôç óõíÝ÷åéá õðÜñ÷ïõí ðáñáäåßãìáôá åêôÝëåóçò ôùí

ôåóóÜñùí ðñÜîåùí ìå áñéèìïýò áñêåôÜ ìåãÜëïõò ìå ôá ïðïßá

áðïäåéêíýåôáé ç õðåñï÷Þ ôïõ éíäï-áñáâéêïý óõóôÞìáôïò

Ç áðëïðïßçóç ðïõ åðÝöåñå ôï éíäï-áñáâéêü óýóôçìá óôïí ëïãéóìü

åðáñêïýóå óôéò óõíÞèåéò êáèçìåñéíÝò ðåñéóôÜóåéò, ü÷é üìùò êáé ãéá ôéò

áíÜãêåò ôùí áóôñïíïìéêþí õðïëïãéóìþí. ÁíÜãêåò ïé ïðïßåò ìå ôçí ðÜñïäï

ôïõ ÷ñüíïõ áõîÜíïíôáí êáèþò ïé áðáéôÞóåéò áðü ôçí áóôñïíïìßá ãéá üëï

êáé ðåñéóóüôåñï áêñéâÝóôåñåò ðñïâëÝøåéò Ýêáíáí ôïõò õðïëïãéóìïýò

áêüìç ðéï äýóêïëïõò êáé ÷ñïíïâüñïõò. ¸ðñåðå íá âñåèåß ìÝèïäïò ðïõ èá

óõíôüìåõå êáé èá áðëïðïéïýóå ôéò ðéï ðïëýðëïêåò ðñÜîåéò, ôïõëÜ÷éóôïí

áõôÝò ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý êáé ôçò äéáßñåóçò ìå ðïëõøÞöéïõò áñéèìïýò.

Ç äõóêïëßá ðïõ óõíáíôïýóå üëïò ï êüóìïò óôïí ðïëëáðëáóéáóìü

ìåãÜëùí áñéèìþí ïäÞãçóå áñ÷éêÜ óôçí åðéíüçóç ìç÷áíéêþí ôñüðùí ãéá

ôçí åêôÝëåóÞ ôïõ. Ç ðéï äçìïöéëÞò áðü ôéò ìåèüäïõò ðïõ åðéíïÞèçêáí ãéá

ôçí åêôÝëåóç ìåãÜëùí ðïëëáðëáóéáóìþí åßíáé ç ìÝèïäïò ôïõ äéêôõùôïý

ðïõ áíáðôý÷èçêå áñ÷éêÜ óôçí Éíäßá êáé ðÝñáóå óôçí Åõñþðç áðü ôïõò

¢ñáâåò. Åðßóçò, éäéáßôåñá äéÜóçìç óôçí åðï÷Þ ôçò Þôáí êáé ç åðéíüçóç ôïõ

Napier (óôïí ïðïßï èá áíáöåñèïýìå åêôåíÝóôåñá ðáñáêÜôù) ãíùóôÞ óáí

ñÜâäïé Þ êüêáëá ôïõ Napier. Ìå ôïõò ìç÷áíéêïýò áõôïýò ôñüðïõò

õðïëïãéóìïý, ç ìüíç ðñÜîç ðïõ åß÷å íá êÜíåé ôåëéêÜ ï õðïëïãéóôÞò Þôáí ç

ðñüóèåóç.

Ç ìÝèïäïò ôïõ äéêôõùôïý ðåñéãñÜöåôáé óôï ó÷Þìá (1) ìå ôïí

ðïëëáðëáóéáóìü ôïõ 9876 åðß ôï 6789 êáé äßíåé 67.048.164.



ÌÉ

1001

ÌÌÌ××

3020

ÌC×É

1111

MMXXIII

2023

MMMMMDC

5600

ÌCCXXXIII

1234

MMMXXII

3022MMM 3000

MMMMCCCXXI

4321

Ó÷Þìá 1

Ç åðéíüçóç ôïõ Napier óôçñßæåôáé óôçí ßäéá áñ÷Þ ìå ôï éíäéêü äéêôõùôü,

ìå ôç äéáöïñÜ üôé ôþñá ç äéáäéêáóßá ÷ñåéÜæåôáé ïñèïãþíéåò ëùñßäåò áðü

êüêáëï, ìÝôáëëï, îýëï Þ ÷ïíôñü ÷áñôß. Ãéá êáèÝíá áðü ôá äÝêá øçößá

ðñÝðåé íá õðÜñ÷åé Ýíá óýíïëï ëùñßäùí, üðùò áõôÞ ðïõ öáßíåôáé áñéóôåñÜ

óôï ó÷Þìá (2) ãéá ôï øçößï 6, ðïõ ðåñéÝ÷åé ôá ðïëëáðëÜóéá ôïõ øçößïõ. Ãéá

íá åîçãÞóïõìå ôçí ìÝèïäï èá ðÜñïõìå ôï ðáñÜäåéãìá ðïõ äéÜëåîå êáé ï

Napier óôï Ýñãï ôïõ Rabdologiae, ôïí ðïëëáðëáóéáóìü ôùí 1615 êáé 365.

Ôïðïèåôïýìå ôéò ëùñßäåò ôùí øçößùí 1, 6, 1, 5 üðùò öáßíåôáé äåîéÜ óôï

ó÷Þìá (2). Ôá áðïôåëÝóìáôá ôùí ðïëëáðëáóéáóìþí ôïõ 1615 ìå ôï 5, ôï 6

êáé ôï 3 ôïõ 365 ôá äéáâÜæïõìå ùò 8075, 9690 êáé 4845, áöïý êÜíïõìå

ðñþôá ìåñéêÝò äéáãþíéåò ðñïóèÝóåéò äýï øçößùí. Ôï ôåëéêü áðïôÝëåóìá

âñßóêïõìå ìå ìéá ðñüóèåóç, üðùò åîçãåßôáé óôï ó÷Þìá.



Ó÷Þìá 2




ÁÁðü ôç ìéá ç ôñáãéêÞ áðïôõ÷ßá ôùí ìáèçôþí ìáò óôç Ãåùìåôñßá êáôÜ

ôéò ÐáíåëëáäéêÝò ÃåíéêÝò ÅîåôÜóåéò êÜèå ÷ñüíï, êáé áðü ôçí Üëëç

ç áíáêïßíùóç "íÝùí" Áíáëõôéêþí ÐñïãñáììÜôùí, ôüóï áðü ôï Ð.É.

üóï êáé áðü ôçí Å.Ì.Å., óôá ïðïßá áíáðôýóóïíôáé äéÜöïñåò èåùñßåò ãéá ôç

äéäáóêáëßá êáé ôï ñüëï ôçò Ãåùìåôñßáò, ïäçãïýí áíáðüöåõêôá ó' Ýíá

Ýíôïíï óêåðôéêéóìü êáé ðñïâëçìáôßæïõí êáèÝíá ðïõ åìðëÝêåôáé ìå ôïí Ýíá

Þ ôïí Üëëï ôñüðï óôá ôçò ÌáèçìáôéêÞò ìáò Åêðáßäåõóçò.

Ç Ãåùìåôñßá óôç ÷þñá ôïõ Åõêëåßäç êáé ç äéäáóêáëßá ôçò ôá ôåëåõôáßá

25 ÷ñüíéá, äåí èÜôáí õðåñâïëÞ íá ðåé êÜðïéïò üôé Ý÷åé õðïóôåß ìéá âÜíáõóç

ìåôá÷åßñéóç êáé ôï ÷åéñüôåñï ìßá áðáîßùóç, öåõ, óôï üíïìá ôçò

áíáâÜèìéóçò ôïõ ñüëïõ ôçò ùò ðáéäåõôéêïý ãíùóôéêïý áíôéêåéìÝíïõ. ÊÜôé

ôÝôïéï éó÷õñßæïíôáé ðùò åðéäéþêïõí êáé ïé óýã÷ñïíïé "áíáâáèìéóôÝò" êáé

óõíôÜêôåò ôùí "íÝùí" Áíáëõôéêþí ÐñïãñáììÜôùí. Ìðïñïýìå üìùò íá

ðåñéìÝíïõìå Üñáãå ôçí åðéôõ÷ßá ôùí óôü÷ùí ðïõ èÝôïõí êáé ôçí

ðñáãìÜôùóç ôùí (áóöáëþò áãáèþí) ðñïèÝóåùí ôïõò; Åäþ äåí ÷ñåéÜæåôáé

êáíåßò ïýôå ìáíôéêÝò, ïýôå ðñïöçôéêÝò éêáíüôçôåò ãéá íá áðáíôÞóåé. Åßíáé

âÝâáéï üôé ôá ðñÜãìáôá èá áêïëïõèÞóïõí ãéá Üëëç ìéá öïñÜ ôç

"öõóéïëïãéêÞ" ôïõò ðïñåßá· ìå ôç ãíùóôÞ êáé ðÜëé êáôÜëçîç.... Ãéáôß; Ìá,

ãéáôß ïýôå óôïí ðñïâëçìáôéóìü (åêôüò áðü ìéá áíáöïñÜ óôá åðßðåäá Van

Hiele), ïýôå óôéò ôåëéêÝò ðñïôÜóåéò ìðïñåß íá åíôïðéóôïýí íÝá óôïé÷åßá -

ðñïúüíôá óõóôçìáôéêÞò åêðáéäåõôéêÞò Ýñåõíáò, üðùò êáíåßò èá ðåñßìåíå

ìåôÜ áðü ôüóùí åôþí ðáëéíùäßåò. Êáé ôï ÷åéñüôåñï, êÜðïéåò áðü ôéò

áöåôçñéáêÝò óêÝøåéò ðïõ äéáôõðþíïíôáé öáßíåôáé íá åßíáé óå áêñéâþò

áíôßèåôç êáôåýèõíóç áðü áðïôåëÝóìáôá óïâáñþí åñåõíþí êáé áðüøåéò

Ýãêõñùí êáé ìå äéåèíÞ åìâÝëåéá åðéóôçìüíùí - åñåõíçôþí. Êáé âÝâáéá

"Ýíáò áðü ôïõò óðïõäáéüôåñïõò óôü÷ïõò ìéáò åêðáéäåõôéêÞò äéáäéêáóßáò

åßíáé ç áíÜðôõîç õøçëÞò áöáéñåôéêÞò éêáíüôçôáò". Ðþò üìùò ìðïñåß áõôÞ


Áðü ôçí åðßêëçóç ôçò èåùñßáò Van Hiele óå ìéá ðñüôáóç ãéá õëïðïßçóç ôçò


ç éêáíüôçôá íá êáëëéåñãçèåß;

... "ÕøçëÞ áöáéñåôéêÞ óêÝøç åðéôõã÷Üíåôáé ìüíïí üôáí ôá áíôéêåßìåíá ìåëÝôçò

åßíáé éäåáôÜ. Êáé áõôü ìðïñåß íá óõìâåß ìüíï üôáí ïé óõëëïãéóìïß ãßíïíôáé ìå

âÜóç êÜðïéï áîéùìáôéêü óýóôçìá. Ôï ìüíï ìÜèçìá óôç äåõôåñïâÜèìéá

Åêðáßäåõóç ðïõ èåìåëéþíåôáé êáôÜ ôñüðï Üìåóï, ðÜíù óå Ýíá áîéùìáôéêü

óýóôçìá, åßíáé ç ãåùìåôñßá". ÁõôÜ ëÝíå ïé óõíôÜêôåò ôùí "íÝùí"

Áíáëõôéêþí ÐñïãñáììÜôùí !!!

Ùóôüóï ï Von Glaserfelt éó÷õñßæåôáé üôé ç áöáßñåóç áñ÷ßæåé ìå ôçí

ðñÜîç. Ãéá íá "áöáéñÝóåé" ïôéäÞðïôå Ýíá õðïêåßìåíï, èá ðñÝðåé ðñþôá íá

Ý÷åé ôçí åõêáéñßá íá äñÜóåé. ÁëëÜ ïé åõêáéñßåò äñÜóçò áðáéôïýí

áéóèçóéïêéíçôéêü õëéêü êáé êáôáóôÜóåéò êáôÜ ôéò ïðïßåò èá åêäçëùèåß ç

äñÜóç ðÜíù ó' áõôü ôï õëéêü.

Åðßóçò, ó÷åôéêÜ ìå ôçí áöáßñåóç ïé G. Harel êáé D. Tall éó÷õñßæïíôáé üôé

ìéá áöáéñåôéêÞ äéáäéêáóßá óõìâáßíåé üôáí ôï õðïêåßìåíï åóôéÜæåé ôçí

ðñïóï÷Þ ôïõ óå óõãêåêñéìÝíåò éäéüôçôåò åíüò äïóìÝíïõ áíôéêåéìÝíïõ êáé

ìåôÜ èåùñåß áõôÝò ôéò éäéüôçôåò áðïìïíùìÝíåò áðü ôï áñ÷éêü áíôéêåßìåíï.

Ç ôõðéêÞ áöáßñåóç üðùò ðáñáôçñïýí ïé Harel êáé Tall äåí åßíáé åýêïëç

õðüèåóç ãéá ôïõò ìáèçôÝò. ¼óï ãéá ôï ðùò ç áöáéñåôéêÞ éêáíüôçôá ìðïñåß

íá êáëëéåñãçèåß, ïé åí ëüãù åñåõíçôÝò äåí åðéëÝãïõí ïýôå "éäåáôÜ

áíôéêåßìåíá ìåëÝôçò", ïýôå "óõëëïãéóìïýò ðïõ ãßíïíôáé ìå âÜóç êÜðïéï

áîéùìáôéêü óýóôçìá". Áðåíáíôßáò ìéëïýí ãéá óõãêåêñéìÝíï ðáñÜäåéãìá

ðïõ ôï ïíïìÜæïõí generic êáé ôï èåùñïýí ùò áíôéðñüóùðï ôçò áöçñçìÝíçò

éäÝáò, Þ üôé óõìðõêíþóåé ôçí ïõóßá ìéáò (ãåíéêÞò) áðüäåéîçò. ¼óï ãéá ôïí

Von Glaserfelt üðùò áíáöÝñèçêå íùñßôåñá, êáé áõôüò êÜíåé ëüãï ãéá

óõãêåêñéìÝíï áéóèçóéïêéíçôéêü õëéêü (üðùò ìðïñïýìå íá èåùñÞóïõìå üôé

åßíáé ôá ó÷Þìáôá óôç Ãåùìåôñßá ãéá ôïí ìáèçôÞ) êáé ü÷é ãéá "éäåáôÜ

áíôéêåßìåíá ìåëÝôçò".

Ç áíôßèåóç ôùí äýï èåùñÞóåùí åßíáé öáíåñÞ. Êáé üôáí êÜðïéïò

åêöñÜæåé (ðñïóùðéêÝò êáé ü÷é ùò áðïôÝëåóìá Ýñåõíáò) áðüøåéò ôüóï

äéáöïñåôéêÝò áð' áõôÝò ôùí Harel, Tall êáé Glaserfelt åßíáé õðï÷ñåùìÝíïò

ôïõëÜ÷éóôïí íá îáíáóêåöôåß ôá üóá (ìÜëëïí) áâáóÜíéóôá éó÷õñßæåôáé.

ÌåôÜ áðü ôéò ðáñáðÜíù åðéóçìÜíóåéò, áò äïýìå åí óõíôïìßá ôé åßíáé êáé

ôé ëÝåé ç ðåñßöçìç èåùñßá Van Hiele. Ç èåùñßá ëïéðüí áõôÞ îåêßíçóå ùò

äéäáêôïñéêÞ äéáôñéâÞ ôçò Dina van Hiele - Geldof êáé ôïõ óõæýãïõ ôçò Pierre

Van Hiele óôï Ðáí/ìéï ôçò ÏõôñÝ÷ôçò óôçí Ïëëáíäßá ôï 1957. Ç Dina

äõóôõ÷þò ðÝèáíå îáöíéêÜ, óýíôïìá áö' üôïõ åß÷å ïëïêëçñþóåé ôï

äéäáêôïñéêü ôçò êáé ï óýæõãïò ôçò Pierre Þôáí áõôüò ðïõ áíÝðôõîå êáé

äéÝäùóå ðåñáéôÝñù ôçí èåùñßá ôïõò óå åðüìåíåò åêäüóåéò êáé äçìïóéåýóåéò.



ÁÁííááööïïññÜÜ óóôôçç

èèååùùññßßáá VVAANN HHIIEELLEE

Åíþ ç åñãáóßá ôïõ Pierre êõñßùò ðñïóðáèåß íá åîåôÜóåé ãéáôß ïé ìáèçôÝò

áíôéìåôùðßæïõí óïâáñÜ ðñïâëÞìáôá óôç Ãåùìåôñßá (êáé ì' áõôÞ ôçí Ýííïéá

åßíáé åðåîçãçìáôéêÞ êáé ðåñéãñáöéêÞ), ôï äéäáêôïñéêü ôçò Dina âáóßæåôáé óå

ðåéñáìáôéêÞ äéäáóêáëßá (ôçò Ãåùìåôñßáò) êáé ì' áõôÞ ôçí Ýííïéá ç åñãáóßá

ôçò åßíáé ðåñéóóüôåñï ñõèìéóôéêÞ - êáíïíéóôéêÞ üóïí áöïñÜ ôç äéÜôáîç ôïõ

ðåñéå÷ïìÝíïõ (ôçò ýëçò) ôçò Ãåùìåôñßáò áëëÜ êáé ôùí ìáèçóéáêþí

äñáóôçñéïôÞôùí ôùí ìáèçôþí. Ôï ðåñéóóüôåñï ðñüäçëï ÷áñáêôçñéóôéêü ôçò

èåùñßáò ôùí Van Hiele åßíáé ç äéÜêñéóç ôùí ðÝíôå îå÷ùñéóôþí åðéðÝäùí

óêÝøçò êáôÜ ôçí äéáäéêáóßá êáôáíüçóçò ôçò Ãåùìåôñßáò áðü ôïõò ìáèçôÝò.

Ï Usiskin óõíïøßæïíôáò, õðïãñáììßæåé ôÝóóåñá óçìáíôéêÜ

÷áñáêôçñéóôéêÜ ôçò èåùñßáò ôùí Van Hiele:

• Ç óåéñÜ äçëáäÞ ìå ôçí ïðïßá ïé ìáèçôÝò êáôáêôïýí ôá åðßðåäá óêÝøçò

åßíáé áíáëëïßùôç êáé ßäéá ãéá üëïõò. Ìå Üëëá ëüãéá, Ýíáò ìáèçôÞò äåí

ìðïñåß íá âñåèåß óôï åðßðåäï (n) áí äåí Ý÷åé ðåñÜóåé áðü ôï åðßðåäï (n-1).

• Óå êÜèå åðßðåäï óêÝøçò åêåßíï ðïõ óôï ðñïçãïýìåíï åðßðåäï Þôáí

åîùãåíÝò óôï ðáñüí åðßðåäï ãßíåôáé åíãåíÝò.

• ÊÜèå åðßðåäï óêÝøçò Ý÷åé ôá äéêÜ ôïõ ãëùóóéêÜ óýìâïëá êáé ôï äéêü

ôïõ äßêôõï ó÷Ýóåùí ðïõ óõó÷åôßæïõí áõôÜ ôá óýìâïëá.

• Äýï õðïêåßìåíá ðïõ óõæçôïýí áðü äéáöïñåôéêÜ åðßðåäá óêÝøçò äåí

ìðïñïýí íá êáôáëÜâïõí ôï Ýíá ôï Üëëï, äåí ìðïñïýí íá åðéêïéíùíÞóïõí.

Ï âáóéêüò ëüãïò áðïôõ÷ßáò ôùí ðáñáäïóéáêþí Áíáëõôéêþí

ÐñïãñáììÜôùí ôçò Ãåùìåôñßáò êáôÜ ôïõò Van Hiele Ýãêåéôáé óôï ãåãïíüò

üôé áõôÜ äéáðñáãìáôåýïíôáí ôç Ãåùìåôñßá óå åðßðåäï áíþôåñï áð' áõôü

ôùí ìáèçôþí· ìå Üëëá ëüãéá áõôïß äåí ìðïñïýóáí íá êáôáëÜâïõí ôïí

êáèçãçôÞ êáé áõôüò äåí ìðïñïýóå íá êáôáëÜâåé ãéáôß ïé ìáèçôÝò ôïõ äåí

ôïí êáôáëáâáßíïõí.

¸÷ïõìå Üñáãå ðÜåé Ýíá âÞìá ðéï ðÝñá áðü ôüôå ðïõ Ýãéíå áõôÞ ç

äéáðßóôùóç, Þ âñéóêüìáóôå áðëÜ óôç öÜóç ôçò áíáãíþñéóçò ôïõ

ðñïâëÞìáôïò; ¸óôù êé áí åßíáé ðéêñÞ ç áëÞèåéá, èá ðñÝðåé íá ðáñáäå÷ôïýìå

üôé ìå âÜóç ôá ãñáöüìåíá ôùí óõíôáêôþí ôùí "íÝùí" Áíáëõôéêþí

ÐñïãñáììÜôùí, ôüóï ôçò Å.Ì.Å. üóï êáé ôïõ Ð.É. âñéóêüìáóôå ßóùò êáé ðéï

ðßóù áðü ôçí áíáãíþñéóç ôïõ ðñïâëÞìáôïò. Êé áõôü ãéáôß ïé ðñïôÜóåéò "Ýíèåí

êáêåßèåí" äåß÷íïõí üôé áí êáé öáßíåôáé íá áíáãíùñßæåôáé óôá ëüãéá üôé

õðÜñ÷åé ðñüâëçìá, óôçí ðñÜîç ôï ðñüâëçìá öáßíåôáé íá ìçí êáôáíïåßôáé.

Ãéáôß åíþ ôá äåäïìÝíá äåß÷íïõí üôé ïé ìáèçôÝò ìáò óôç Â´ ëõêåßïõ

áíôéìåôùðßæïõí ðïëý óïâáñÜ ðñïâëÞìáôá óôïí ðáñáãùãéêü óõëëïãéóìü, ïé



á) Ôç óôáèåñÞ äéÜôáîç:

â) Ôç äéáäï÷éêüôçôá -

óõíÝ÷åéá:

ã) Ôç Äéáêñéôüôçôá:

ä) Ôç äéá÷ùñçóéìüôçôá:

óõíôÜêôåò ôùí Áí. Ðñïã/ôùí ðñïôåßíïõí íá "êáôÝâåé" ç äéäáóêáëßá ôïõ óôç Ã´

ãõìíáóßïõ!!! Ç ëïãéêÞ áõôÞ èõìßæåé ôï ëáúêü ñçôü ðïõ ëÝåé üôé "ôï êáêü èÝëåé

áíôßêáêï"..... Ôï áí ìéá ôÝôïéá ëïãéêÞ ìðïñåß íá äéêáéùèåß óôï ÷þñï ôçò

Åêðáßäåõóçò, ãñÞãïñá èá ôï äåßîåé ç ðñÜîç.

Áò åðéóôñÝøïõìå üìùò ôþñá óôç èåùñßá ôùí Van Hieles ãéá íá äïýìå

ðïéá åßíáé ôá ÷áñáêôçñéóôéêÜ ôùí åðéðÝäùí É, ÉÉ, ÉÉÉ êáé IV óôá ïðïßá

áíáöÝñïíôáé. Ôï åðßðåäï V äåí èá ôï ó÷ïëéÜóïõìå, ìéáò êáé öáßíåôáé íá

åßíáé éäéáßôåñá áðáéôçôéêü ãéá ôï ìÝóï ìáèçôÞ (èá ëÝãáìå üìùò üôé ç

äéäáóêáëßá ôçò Ãåùìåôñßáò ó' áõôü ôï åðßðåäï, åßíáé éäéáßôåñá áðáéôçôéêÞ

êáé ãéá ôïí äéäÜóêïíôá·) ðÜíôùò ü÷é êáé áðñüóéôç ôüóï ãéá ôïõò

õðïøéáóìÝíïõò ìáèçôÝò üóï êáé ãéá ôïõò åíçìåñùìÝíïõò äéäÜóêïíôåò.

¸ôóé Ý÷ïõìå:




Ç Ýííïéá ôïõ åìâáäïý ùò "ìÝôñï" åðéöáíåéþí ßóùò åßíáé ìßá áðü ôéò

ðñþôåò Ýííïéåò ðïõ åíþ ðñïÝêõøå êÜôù áðü ðñáêôéêÝò áíÜãêåò, åß÷å

ôÝôïéï âÜèïò ðïõ Ýìåëëå íá ðáßîåé, ðáñÜëëçëá ìå ôçí ðñáêôéêÞ ôçò ÷ñÞóç,

ñüëï êéíçôÞñéïõ ìï÷ëïý ãéá ôçí èåùñçôéêÞ áíÜðôõîç ôùí Ìáèçìáôéêþí. Êé

áõôÞ ç ðïñåßá êñÜôçóå 25 ðåñßðïõ áéþíåò. ÈåùñçôéêÜ ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé

ç Ýííïéá ôïõ åìâáäïý ïëïêëçñþèçêå êáôÜ ôïí 20ï áéþíá ìÝóá óôá ðëáßóéá

ôçò ÃåíéêÞò Èåùñßáò ÌÝôñïõ, ìéáò èåùñßáò óôç äçìéïõñãßá ôçò ïðïßáò

óçìáíôéêÞ êáé ðáãêüóìéá áíáãíùñéóìÝíç Þôáí ç óõìâïëÞ ôïõ ìåãáëýôåñïõ

íåïÝëëçíá êáé åíüò áðü ôïõò ìåãáëýôåñïõò ìáèçìáôéêïýò ôïõ 20ïõ áéþíá,

Êùíóôáíôßíïõ ÊáñáèåïäùñÞ.

¼ðùò óõìâáßíåé óõíÞèùò, áðü ôç óôéãìÞ ðïõ ìéá èåùñßá ïëïêëçñùèåß, ôá

ðñïâëÞìáôá ðïõ ó÷åôßæïíôáé ìå áõôÞí üëïé ðñïóðáèïýí íá ôá áíôéìåôùðßóïõí ùò

åöáñìïãÝò ôçò, óôçñéæüìåíïé óôá ðéï ÷åéñïðéáóôÜ áðïôåëÝóìáôá ôçò, îå÷íþíôáò

ôéò áñ÷Ýò êáé ôéò ñßæåò ôçò èåùñßáò. Ôï ßäéï öáßíåôáé ðùò óõìâáßíåé óõíÞèùò êáé

ìå ôïõò óõããñáöåßò ôùí óýã÷ñïíùí åã÷åéñéäßùí Åõêëåßäåéáò Ãåùìåôñßáò, ïé

ïðïßïé ó÷åäüí áìÝóùò ðåñíÜíå óôï ãíùóôü ôõðïëüãéï ôùí åìâáäþí.

Ç ðñïóÝããéóç áõôÞ ôïõ åìâáäïý ôüóï áðü êáèáñÜ óôñïõêôïõñáëéóôéêÞ

Üðïøç üóï êáé áðü ôçí Üðïøç ôçò äéäáêôéêÞò êáé ðáéäáãùãéêÞò, èá ðñÝðåé íá

ðáñáäå÷ôïýìå üôé áðïôåëåß ìéá áíôéäéáëåêôéêÞ áíôéóôñïöÞ (üðùò èá Ýëåãå

êáé ï Freudenthal). Êé áõôü ãéáôß (üðùò êáé óôá "Óôïé÷åßá" ôïõ Åõêëåßäç

ðáñáôçñïýìå), ç óõíèåôéêÞ èåùñçôéêÞ åðåîåñãáóßá êáé ðñïóÝããéóç ôçò

Ýííïéáò ôïõ åìâáäïý, ðñïçãÞèçêå ôçò "ìåôñéêÞò" - áíáëõôéêÞò ðñïóÝããéóçò

êáé ðÜíù óå áõôÝò ôéò éäÝåò (ð.÷. ðñïóèåôéêüôçôá ôïõ åìâáäïý) óôçñß÷èçêå

êáé ç óýã÷ñïíç Èåùñßá ÌÝôñïõ. Ùóôüóï ôï èÝìá äåí ôßèåôáé ãéá ôçí

áðïêáôÜóôáóç ôçò éóôïñéêÞò óõíÝ÷åéáò êáé äéáäï÷Þò. Ðéóôåýïõìå ðùò

áêïëïõèþíôáò ôá âÞìáôá ôïõ Åõêëåßäç óôï ðñþôï âéâëßï ôïõ (ðñïôÜóåéò 35-

45) üðïõ ìå åîáéñåôéêÜ åìðíåõóìÝíï áëëÜ êáé ôáõôü÷ñïíá êáôáíïçôü áðü

êÜèå ìáèçôÞ ôñüðï óôÞíåé óõíèåôéêÜ ìéá Èåùñßá Åìâáäïý "óôï Üøå-óâÞóå",

ç ðïñåßá åßíáé ðåñéóóüôåñï öõóéïëïãéêÞ êáé ìÝóá óå Ýíá ðáñÜäåéóï

åõêáéñåéþí ãéá ðñáãìáôéêÞ ìáèçìáôéêÞ ðáéäåßá. Áò ìçí îå÷íÜìå üôé áõôÞ ç


Ôï åìâáäüí - Ç ðñïóÝããéóç ôïõ Åõêëåßäç óôï É âéâëßï ôùí Óôïé÷åßùí

ÁããåëéêÞ ÓåñáößäïõÌáèÞôñéá ôçò Â´ ôÜîçò

Åí. Ðåéñáìáôéêü Ëýê. Éùíéäåßïõ Ó÷ïëÞò ÐåéñáéÜ

ÅÅééóóááããùùããééêêüü

óóççììååßßùùììáá

Â.Å. ÂéóêáäïõñÜêçò

ðïñåßá êáôáëÞãåé óôçí õøçëüôåñç êïñõöÞ ôùí óôïé÷åéùäþí Ìáèçìáôéêþí, ôï

Ðõèáãüñåéï èåþñçìá (ðñüôáóç É .47).

Ìå áõôÞí ôçí ðåðïßèçóç êáé ôçí åðçóôçìïëïãéêÞ èåþñçóç, ôçí ðåñáóìÝíç

÷ñïíéÜ (2003-2004), äéäÜ÷èçêáí ïé ìáèçôÝò äýï ôìçìÜôùí ôçò Â´ ôÜîçò óôï

Ðåéñáìáôéêü Ëýêåéï ôçò Éùíéäåßïõ Ó÷ïëÞò óôïí ÐåéñáéÜ ôá åìâáäÜ.

Áñ÷éêÜ, ôïõò åß÷å äïèåß ùò åñãáóßá, íá áíáæçôÞóïõí êáé íá ìåëåôÞóïõí

ôéò ðñïôÜóåéò ðïõ áíáöÝñèçêáí ëßãï ðñéí áðü ôá "Óôïé÷åßá" ôïõ Åõêëåßäç. Ìå

ôçí ðßåóç üìùò ðïõ íéþèïõí ïé ìáèçôÝò áðü ôéò áðáéôÞóåéò ôùí Ðáíåëëáäéêþí

åîåôÜóåùí Þôáí öõóéêü íá áíôáðïêñéèåß Ýíá ìÝñïò ìüíï ôùí ìáèçôþí áðü

êÜèå ôìÞìá . Áõôü äåí åìðüäéóå âÝâáéá êáé ôïõò õðüëïéðïõò íá ìðïñÝóïõí

íá ðáñáêïëïõèÞóïõí ÷ùñßò ðñüâëçìá ôçí ðáñïõóßáóç ìéáò-ìéáò ôùí

ðñïôÜóåùí ìå ôéò áðïäåßîåéò ôïõò óôçí ôÜîç .

ÁõôÞ ç ðåñßôå÷íç ïìáëÞ ñïÞ ôùí ðñïôÜóåùí ìå ôçí ðáñáãùãéêÞ äéáäï÷Þ,

Ýêáíå éäéáßôåñç åíôýðùóç óå üëïõò ôïõò ìáèçôÝò Ìå ôç óõììåôï÷Þ ôïõò óôéò

áðïäåßîåéò ôùí ðñïôÜóåùí, Ýííïéùóáí íá ãßíïíôáé êáé ïé ßäéïé êïéíùíïß óå áõôÞí

ôçí êïñõöáßá åêäÞëùóç ôçò ìáèçìáôéêÞò äñáóôçñéüôçôáò, óôï óôÞóéìï äçëáäÞ

ìéáò èåùñßáò. Ìéá ôÝôïéá áßóèçóç äýóêïëá ìðïñåß êáíåßò íá ôçí ðñïêáëÝóåé

óôïõò ìáèçôÝò áêïëïõèþíôáò âÞìá-âÞìá ôá óõíÞèçò öëýáñá êáé "÷ùñßò øõ÷Þ"

åã÷åéñßäéá ôçò Ãåùìåôñßáò (êáé ü÷é ìüíï), ôá ïðïßá ãåíéêÜ äåí åßíáé ðáñÜ

ðñïúüíôá óõìâéâáóìþí ðïëëþí áíôéëÞøåùí êáé ãéá áõôü Üíåõñá êáé Üøõ÷á .

Áíôßèåôá ôá "Óôïé÷åßá" ôïõ Åõêëåßäç (Ýóôù êé áðü ìåôÜöñáóç), áðïðíÝïõí Ýíá

Üñùìá äçìéïõñãßáò, üìïéï ìå áõôü ôïõ æåóôïý öñåóêïîåöïõñíéóìÝíïõ

óôáñÝíéïõ øùìéïý. Êé áò Ý÷ïõí âãåß áðü ôï êáìßíé ôçò ëïãéêÞò åäþ êáé 23 áéþíåò.

Éäéáßôåñç áßóèçóç Ýêáíå óôïõò ìáèçôÝò ç áðïôåëåóìáôéêüôçôá ôçò

èåùñßáò "ìáò" óôçí áðüäåéîç ôïõ Ðõèáãïñåßïõ èåùñÞìáôïò (óôï ïðïßï

åðáíÞëèáìå åð' åõêáéñßá). ÌÜëéóôá óôï åðüìåíï ìÜèçìá ïé ìáèçôÝò

áíôáðïêñßèçêáí óôï óýíïëï ôïõò óôçí åñãáóßá ðïõ ôïõò æçôÞèçêå ãéá åýñåóç

(áðü ôç âéâëéïãñáößá êáé ôï äéáäßêôõï) Üëëùí áðïäåßîåùí ôïõ Ðõèáãïñåßïõ

ÈåùñÞìáôïò . ÁñêåôÝò áðü áõôÝò óõæçôÞóáìå óôçí ôÜîç .

ÌÝóá áðü áõôÞ ôçí åìðåéñßá ðñïÝêõøå ç åñãáóßá ðïõ áêïëïõèåß, áðü ìßá

íåáñÞ ëÜôñéäá ôçò Ãåùìåôñßáò . Áñ÷éêÜ ç ÁããåëéêÞ áíÝëáâå íá ðáñïõóéÜóåé

üðùò åêåßíç Þèåëå (êáé äéÜëåîå ôá ëßãá ëüãéá), ôéò ðñïôÜóåéò ðïõ

áíáöÝñïíôáé óôá åìâáäÜ óôï âéâëßï É ôïõ Åõêëåßäç, ìå óôü÷ï íá ôéò

äéáíÞìïõìå óå üëïõò ôïõò ìáèçôÝò . Ï ÷ñüíïò ôçò üìùò äåí åðÝôñåøå íá

ðñáãìáôïðïéÞóåé áõôÞ ôç óêÝøç Ýãêáéñá . ´Åôóé ìåôÜ ôç äïêéìáóßá ôùí

åîåôÜóåùí ç ÁããåëéêÞ ïëïêëÞñùóå ôçí ðñïóðÜèåéá ôçò êáé ìÜëéóôá

åìðëïõôéóìÝíç ìå ìéá ðñïóåêôéêÜ åðéëåãìÝíç (áðü ôçí ßäéá) óõëëïãÞ

ðñïâëçìÜôùí áðü áõôÜ ðïõ åß÷áìå ëýóåé óôçí ôÜîç (êáé ü÷é ìüíï), ôá ïðïßá

åðéëýïíôáé üëá ÷ùñßò ôýðïõò åìâáäþí ðáñÜ ìïíÜ÷á ìå ôç (óõíèåôéêÞ) èåùñßá

ôùí åìâáäþí ðïõ áêïëïõèåß áìÝóùò. Ãéá ôçí ðñïóðÜèåéá ôçò êáé áðü ôç èÝóç

áõôÞí åõ÷áñéóôïýìå ôçí ÁããåëéêÞ.



Ôá ðáñáëëçëüãñáììá ðïõ Ý÷ïõí ôçí ßäéá âÜóç êáé

ðåñéÝ÷ïíôáé ìåôáîý ôùí ßäéùí ðáñáëëÞëùí, Ý÷ïõí

ðåñéå÷üìåíá (åìâáäÜ) ßóá.

ÁðüäåéîçÁðüäåéîç

ÁÄ = ÂÃ = ÅÆ. ¢ñá ÁÄ = ÅÆ. Óõíåðþò ÁÅ = ÄÆ

¼ìùò áöïý ÁÂ = ÄÃ êáé ãùíßá ÅÁÂ = ãùíßá ÅÄÃ ôüôå

ÁÅÂ = ÄÆÃ. Ïðüôå (ÁÅÂ) = (ÄÆÃ). ¢ñá (ÁÄÇÂ) =

(ÅÆÃÇ) êáé ôåëéêÜ (ÁÂÃÄ) = (ÅÂÃÆ)

Ðáñáëëçëüãñáììá ðïõ Ý÷ïõí ßóåò âÜóåéò êáé ðåñéÝ÷ïíôáé

ìåôáîý ôùí ßäéùí ðáñáëëÞëùí Ý÷ïõí ôï ßäéï åìâáäüí.


Áí ÂÃ = ÆÇ ôüôå ÅÂ = ÈÃ êáé óýìöùíá ìå ôçí ðñüôáóç

35 (ÁÂÃÄ) = (ÂÃÈÅ) êáèþò (ÂÃÈÅ) = (ÅÆÇÈ). ¢ñá

(ÁÂÃÄ) = (ÅÆÇÈ)

Ôñßãùíá ðïõ Ý÷ïõí ôçí ßäéá âÜóç êáé ðåñéÝ÷ïíôáé ìåôáîý

ßäéùí ðáñáëëÞëùí Ý÷ïõí ôï ßäéï åìâáäüí.


Óýìöùíá ìå ôçí ðñüôáóç 35 óôá ðáñáëëçëüãñáììá

ÅÂÃÁ êáé ÄÂÃÆ éó÷ýåé (ÅÂÃÁ) = (ÄÂÃÆ).

¼ìùò åðßóçò (ÅÂÃÁ) = 2(ÁÂÃ) êáé (ÄÂÃÆ) = 2(ÄÂÃ).

¢ñá 2(ÁÂÃ) = = 2(ÄÂÃ). Ïðüôå (ÁÂÃ) = (ÄÂÃ)

Ôñßãùíá ìå ßóåò âÜóåéò ðïõ âñßóêïíôáé ìåôáîý ßäéùí

ðáñáëëÞëùí Ý÷ïõí åìâáäÜ ßóá.



"ÓÔÏÉ×ÅÉÁ" ÔÏÕ ÅÕÊËÅÉÄÇ

ÂÉÂËÉÏ É: ÔÁ ÈÅÌÅËÉÁ ÔÇÓ ÅÕÊËÅÉÄÅÉÏÕ ÃÅÙÌÅÔÑÉÁÓ

Ç ÈÅÙÑÉÁ ÔÙÍ ÅÌÂÁÄÙÍ

Ðñüôáóç 35 (É.35)Ðñüôáóç 35 (É.35)




A Ä Å Æ

B Ã

Ç

A Ä Å

ÆB Ã

È

Ç

A ÄÅ

B Ã

Z


Ó.Í. Êáô' áñ÷Þí èá Þèåëá íá åõ÷çèþ êáèå åðéôõ÷ßá óôçí íÝá óáò

Ýêäïóç 'Ö', êýñéå ÂéóêáäïõñÜêç. ÕðÜñ÷åé ðñÜãìáôé Ýëëåéøç êáé

áíÜãêç ãéá åêäüóåéò ðïõ íá ðáñïõóéÜæïõí ðïéüôçôá, åíäéáöÝñïí êáé

ðñáãìáôéêü ðñïâëçìáôéóìü óôçí ÌáèçìáôéêÞ Åêðáßäåõóç, êáé ç

ðñïóðÜèåéá óáò åßíáé Üîéá êÜèå õðïóôÞñéîçò.

Ï ñüëïò ôïõ äáóêÜëïõ ôùí Ìáèçìáôéêþí åßíáé äéðëüò, ç ðáñï÷Þ êáé

ìåôÜäïóç ôçò ìáèçìáôéêÞò ãíþóçò áöåíüò, êáé ç áðïôåëåóìáôéêÞ

äçìéïõñãßá ôçò áßóèçóçò óôïõò ìáèçôÝò üôé ðñüêåéôáé ãéá ìéá

åðéóôÞìç áíïéêôÞ, æþóá êáé óõíáñðáóôéêÞ ôüóï áðü ìüíç ôçò üóï êáé

óå ó÷Ýóç ìå Ýíá óõíå÷þò äéåõñõíüìåíï öÜóìá Üëëùí åðéóôçìþí,

ðïõ âñßóêïíôáé êáé áõôÝò óôçí äéåèíÞ åðéóôçìïíéêÞ ðñùôïðïñåßá.

¸ôóé ï äÜóêáëïò ðñÝðåé íá åßíáé êáô' áñ÷Þí óå èÝóç íá ìåôáäßäåé

áðïôåëåóìáôéêÜ ôç ìáèçìáôéêÞ ãíþóç óôïõò ìáèçôÝò. Ãéá íá

áíôáðåîÝëèåé ìå åðéôõ÷ßá óå áõôü ôï Ýñãï ï äÜóêáëïò èá ðñÝðåé

áóöáëþò íá Ý÷åé éó÷õñÞ ìáèçìáôéêÞ ãíþóç, ðïëý ìåãáëýôåñç áðü

áõôÞí ðïõ äéäÜóêåé, êáèþò ïé áðïñßåò êáé ïé åñùôÞóåéò ôùí ìáèçôþí

îåöåýãïõí ðïëý åýêïëá áðü ôï ðñïêáèïñéóìÝíï ðëáßóéï, êáé ç

éêáíïðïéçôéêÞ Þ ìç áðÜíôçóç óå áõôÝò èá âáñýíåé óçìáíôéêÜ óôçí

êñßóç êáé áîéïëïãçóÞ ôïõ áðü ôïõò ìáèçôÝò. Åäþ èá ðñÝðåé íá

ôïíéóèåß, áíáëïãéæüìåíïé êáé ôçí áíôßóôïé÷ç óôÜóç ôïõ ÓùêñÜôç, üôé

äåí åßíáé áöáëþò áíáãêáßï ï äÜóêáëïò íá ãíùñßæåé ôá ðÜíôá,


Óõæçôþíôáò ìå ôïí Ó. Íåãñåðüíôç

Êýñéå êáèçãçôÜ, áñ÷éêÜ

èá èÝëáìå íá óáò åêöñÜóïõìå ôéò

èåñìÝò åõ÷áñéóôßåò ìáò ãéá ôçí

åõêáéñßá ðïõ ìáò äßíåôå íá Ý÷ïõìå

áõôÞ ôç óõæÞôçóç ìáæß óáò.

Åßíáé âÝâáéï ðùò ïé áíáãíþóôåò ôïõ

«ö», Üíèñùðïé ðïõ õëïðïéïýí

óÞìåñá ôïõò óôü÷ïõò ôçò ìáè/êÞò

ÌÝóçò Åêðáßäåõóçò êáé ðïëëïß áðü

ôïõò ïðïßïõò Ý÷ïõí õðÜñîåé ìáèçôÝò

óáò, èá Ý÷ïõí ôçí åõêáéñßá íá

÷áñïýí ôç ìÝèåîç ôùí áðüøåùí (áò

ìáò åðéôñáðåß ç Ýêöñáóç) ôïõ

Íåãñåðüíôç óôçí ðéï þñéìç öÜóç

ôçò ÁêáäçìáúêÞò ôïõ êáñéÝñáò.

Ôéìþíôáò ëïéðüí áõôïýò ôïõò

áíèñþðïõò èá èÝëáìå íá ìáò

ìéëÞóåôå ëßãï ãéá ôï ðþò åóåßò

âëÝðåôå ôï ñüëï ôïõ äáóêÜëïõ ôùí

Ìáèçìáôéêþí óÞìåñá, óõãêñéôéêÜ

ßóùò êáé ìå ôï ÷ôåò áëëÜ ãéáôß ü÷é êáé

ìå ôï ñüëï ôïõ óôï Üìåóï ìÝëëïí.

ÓõíáíôÞóáìå ôïí êáèçãçôÞ ÓôÝëéï Íåãñåðüíôç óôï ÔìÞìá Ìáè/êþí óôçí Ðáíåðéóôç-

ìéïýðïëç. Ôï ãñáöåßï ôïõ, Ýíá ìéêñü åíåñãü ïñõ÷åßï åîüñõîçò ðïëýôéìùí ðåôñáäéþí áðü

ôéò âñá÷þäåéò êïñõöÝò ôçò Áñ÷áßáò ÅëëçíéêÞò ÓêÝøçò, ôïí ÐëÜôùíá êáé ôïí Åõêëåßäç,

äåí Üöçíå ðåñéèþñéá ãéá ãåíéêÝò óõæçôÞóåéò. ¸ôóé ç êïõâÝíôá ãñÞãïñá áêïëïýèçóå ôç

äéáäñïìÞ ðïõ ìðïñåßôå êáé óåéò íá åðáíáëÜâåôå áìÝóùò ôþñá ...

19a.qxd 29/1/2008 1:00 �� Page 97

áíôßèåôá ðñÝðåé íá åßíáé óå èÝóç íá äçëþíåé åõèáñóþò 'áõôü äåí ôï

ãíùñßæù'. Èá ðñÝðåé üìùò íá åßíáé óå èÝóç íá äþóåé êÜðïéåò

Ýãêõñåò ðëçñïöïñßåò ãéá ôï ðïý ï ìáèçôÞò èá ìðïñÝóåé íá âñåß

ðåñéóóüôåñá ãéá ôï ôé åßíáé ãíùóôü êáé ôé õðü Ýñåõíá ó÷åôéêÜ ìå ôï

åñùôçìÜ ôïõ. Ãéá íá åßíáé óå èÝóç íá ôï ðñÜîåé áõôü ðñÝðåé ï

äÜóêáëïò íá Ý÷åé êáëÞ ãíþóç êáé åðïðôåßá ôçò âéâëéïãñáößáò, ãéá ôá

âáóéêÜ èÝìáôá ôá ïðïßá äéäÜóêåé.

Åßíáé åðßóçò óçìáíôéêü ï äÜóêáëïò íá åßíáé óå èÝóç íá ðáñïõóéÜóåé ìå

ðåéóôéêü ôñüðï óôïõò ìáèçôÝò ôá ÌáèçìáôéêÜ, ü÷é óáí êÜôé êëåéóôü êáé

ôåëåéùìÝíï áëëÜ, óáí ìéá áíïéêôÞ, óõíå÷þò åîåëéóóüìåíç êáé æùíôáíÞ

åðéóôÞìç, óôçí ïðïßá õðÜñ÷ïõí óçìáíôéêÜ áíïéêôÜ êáé Üëõôá

ðñïâëÞìáôá (ç ëýóç êÜèå åíüò ôùí ïðïßùí èá åðéöÝñåé óôïí ëýôç äüîá

êáé èáõìáóìü), êáé óôçí ïðïßá óõíôåëåßôáé Ýñåõíá óå ðÜìðïëëá èÝìáôá

ôüóï èåùñçôéêÞò üóï êáé åöáñìïóìÝíçò öýóçò. Áõôü Þôáí êÜôé ðïõ åãþ,

ùò ìáèçôÞò áëëÜ êáé áñãüôåñá ùò öïéôçôÞò, åß÷á ìåãÜëç äõóêïëßá íá

áíôéëçöèþ. Ç êáôáíüçóç ôïõ åßíáé åí ôïýôïéò êñßóéìç, êáèþò Ýíáò

ìáèçôÞò äýóêïëá èá åíäéáöåñèåß ãéá êÜôé ðïõ ðéóôåýåé üôé åßíáé

ôåëåéùìÝíï, êáé èá áíáæçôÞóåé áíôßèåôá íá áó÷ïëçèåß ìå êÜôé óôï ïðïßï

ï ßäéïò èá Ý÷åé ôç äõíáôüôçôá íá äçìéïõñãÞóåé êáôé íÝï. Ãéá íá åßíáé óå

èÝóç ï äÜóêáëïò íá åðéôý÷åé ðñïò áõôÞ ôçí êáôåýèõíóç åßíáé óáöÝò üôé

èá ðñÝðåé ï ßäéïò íá äéáôçñåß æùçñü êáé áìåßùôï ôï åíäéáöÝñïí ôïõ ãéá

ôçí åîÝëéîç ôùí Ìáèçìáôéêþí, êáé íá áíáæçôåß âéâëßá Þ êåßìåíá óå

çëåêôñïíéêÞ ìïñöÞ ðïõ ðáñïõóéÜæïõí ìå êáôáíïçôü ôñüðï óçìáíôéêÜ

ìáèçìáôéêÜ ðñïâëÞìáôá. Ðïëëïß êáèçãçôÝò, óôï åîùôåñéêü éäßùò,

äéáôçñïýí êáé óõíå÷þò åìðëïõôßæïõí ìéá äéêÞ ôïõò éóôïóåëßäá ìå

ó÷åôéêÝò ðëçñïöïñßåò, èÝìáôá êáé ðñïâëÞìáôá.

Ó.Í. Äåí åßìáé ï ðéï êáôÜëëçëïò ãéá íá ìéëÞóù ãéá ôïí ñüëï ôùí

çëåêôñïíéêþí õðïëïãéóôþí óôç äéäáóêáëßá ìáèçìÜôùí óôï ó÷ïëåßï.

ÁíáöÝñèçêá ðÜíôùò óå Ýíá ôÝôïéï óçìáíôéêü ñüëï (åíçìåñùôéêÞò

öýóçò) óôçí ðñïçãïýìåíç åñþôçóç. ¸íá Üëëï óçìåßï óôï ïðïßï ïé

õðïëïãéóôÝò ðáñïõóéÜæïõí ðëåïíÝêôçìá åßíáé óôçí äõíáôüôçôá íá

ðñïóäþóïõí, ãéá ðñþôç öïñÜ óôçí éóôïñßá ôïõò, Ýíá ãíÞóéá

ðåéñáìáôéêü ÷áñáêôÞñá óôá ÌáèçìáôéêÜ, êáé íá âçèÞóïõí Ýôóé

óçìáíôéêÜ áêüìç êáé ôïí ìÝóï ìáèçôÞ óôï íá öèÜíåé öõóéïëïãéêÜ

óôçí äéáôýðùóç ìáèçìáôéêþí åéêáóéþí, ðïõ êÜðïôå Þôáí ôï

ðñïíüìéï ôùí ìåãáëïöõþí (üðùò ôïõ Èåáßôçôïõ Þ ôïõ Gauss) Þ ôùí

éäéáßôåñá ðñïéêéóìÝíùí ðáéäéþí.



Ëßãá ÷ñüíéá ðñéí, ðïëëïß

ðßóôåøáí ðùò ï ñüëïò ôïõ äáóêÜëïõ ôùí

Ìáèçìáôéêþí ìå ôçí åêñçêôéêÞ

áíÜðôõîç ôùí Ç/Õ èá õðïâáèìéóôåß,

ìåôáëëáóüìåíïò óôï ñüëï ôïõ

åêðáéäåõôÞ óôç ÷ñÞóç ìáèçìáôéêþí

ðáêÝôùí - ðñïãñáììÜôùí. ÁõôÞ ç

ðñïïðôéêÞ åß÷å ßóùò êáé óáí óõíÝðåéá,

ðïëëïß äÜóêáëïé ôùí Ìáèçìáôéêþí íá

êñáôÞóïõí ìéá åðéöõëáêôéêÞ óôÜóç

áðÝíáíôé óôç ÷ñÞóç ôïõ Ç/Õ óôç

ìáèçóéáêÞ äéáäéêáóßá. Åóåßò âëÝðåôå íá

äéêáéïëïãåßôáé ìéá ôÝôïéá åðéöýëáîç;

19a.qxd 29/1/2008 1:00 �� Page 98

ÌåñéêÝò ðïëý ãåíéêÝò ðáñáôçñÞóåéò åßíáé ïé áêüëïõèåò: áðü ôç

óôéãìÞ ðïõ ç ÷ñÞóç ôïõò Ý÷åé ðÜñåé ôÝôïéá Ýêôáóç óôïí õðüëïéðï

êüóìï êáé Ý÷åé åðåíäõèåß ôåñÜóôéá åíÝñãåéá êáé êåöÜëáéá óå

áõôïýò, ìïõ öáßíåôáé óáöÝò üôé äåí ìðïñïýìå íá ôïõò áðïññßøïõìå

ìå åõêïëßá, ãéáôß ç áðüññéøç ïäçãåß óå áðïìüíùóç êáé ãñÞãïñá óå

Ýëëåéøç áíôáãùíéóôéêüôçôáò. ÈÜ ðñÝðåé ìÜëëïí íá áðïêôÞóïõìå

ïéêåéüôçôá ìå ôç ÷ñÞóç ôïõò þóôå íá åßìáóôå óå èÝóç íá

áîéïðïéÞóïõìå ôá ðëåïíåêôÞìáôá êáé íá áðïöýãïõìå ôá

ìåéíåêôÞìáôá. Äåí ðñÝðåé íá ìåßíïõìå ðßóù áðü ôéò ñáãäáßåò

ôå÷íïëïãéêÝò åîåëßîåéò ìç óõììåôÝ÷ïíôáò óå áõôÝò, áëëÜ âåâáßùò

åßíáé ðïëý èåôéêü, óõììåôÝ÷ïíôåò êáé åõñéóêüìåíïé, ôñüðïí ôéíÜ,

ðÜíù óôï êýìá ôçò åîÝëéîçò, íá èÝôïõìå åñùôÞìáôá êáé íá

ðñïâëçìáôéæüìáóôå ãéá áõôÝò. Ìå áõôÞ ôçí óôÜóç, ç ïðïßá

åðéâåâáéþíåé üôé áêüìç äåí õðÜñ÷åé 'âáóéëéêÞ ïäüò' ðñïò ôç

Ãåùìåôñßá êáé ôá ÌáèçìáôéêÜ, ï ñüëïò ôïõ äáóêÜëïõ äåí

êéíäõíåýåé áðü ôïõò õðïëïãéóôÝò, áíôßèåôá õðïâïçèåßôáé áðü áõôïýò.



Ðåñéóóüôåñç ÓõæÞôçóç ìå ôïí ÓôÝëéï Íåãñåðüíôç

óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 97-112)

19a.qxd 29/1/2008 1:00 �� Page 99

Ç ðáñïýóá åñãáóßá Ý÷åé óôü÷ï íá ðáñïõóéÜóåé Ýíá ôìÞìá, (ôï óýíïëï

åßíáé äýóêïëï, ßóùò êáé áíÝöéêôï), ôïõ ðñïâëçìáôéóìïý ðïõ áíáðôýóóåôáé

ôá ôåëåõôáßá ÷ñüíéá ãýñù áðü ôï æÞôçìá ôçò áíáíÝùóçò êáé ôçò

áíáóõãêñüôçóçò ôùí Áíáëõôéêþí ÐñïãñáììÜôùí óôç ÌÝóç Åêðáßäåõóç.

¸ôóé åðé÷åéñåßôáé íá äéáôõðùèïýí óå ãåíéêÝò ãñáììÝò ôá âáóéêÜ

åñùôÞìáôá ðïõ áíáöýïíôáé óôá ðëáßóéá ìéáò ôÝôïéáò ðñïóðÜèåéáò, íá

áíáæçôçèïýí êáé íá õðïãñáììéóôïýí ðáñÜãïíôåò ðïõ ðåñéïñßæïõí êáé

êáèïñßæïõí ôï ÷áñáêôÞñá ôùí áëëáãþí ôùí Áíáëõôéêþí ÐñïãñáììÜôùí,

êáé ôÝëïò åðé÷åéñåßôáé íá óêéáãñáöçèåß ìéá äéáäéêáóßá ðïõ íá äéáèÝôåé

åêåßíá ôá óôïé÷åßá (ôá ïðïßá êáé áíáöÝñïíôáé) Ýôóé þóôå áõôÞ íá ìðïñåß íá

÷áñáêôçñéóôåß ùò ÅðéóôçìïíéêÞ ÐñïóðÜèåéá áíÜðôõîçò Áíáëõôéêþí

ÐñïãñáììÜôùí.

Åßíáé ãíùóôü üôé ìåôÜ ôçí áðïôõ÷ßá ôïõ åã÷åéñÞìáôïò ôùí "íÝùí

ìáèçìáôéêþí" ôéò äåêáåôßåò ôïõ '60 êáé '70, ç ìáèçìáôéêÞ êïéíüôçôá äåí Ý÷åé

åðé÷åéñÞóåé èåìåëéáêÝò áíáäïìÞóåéò êáé ñéæéêÝò áíáäéáñèñþóåéò ôùí

áíáëõôéêþí ðñïãñáììÜôùí ôùí ìáèçìáôéêþí óôç ìÝóç åêðáßäåõóç. Ôï

êüóôïò ôïõ åã÷åéñÞìáôïò åêåßíïõ Þôáí ôÝôïéï ðïõ íá ëåéôïõñãåß

áðïôñåðôéêÜ áêüìá êáé óÞìåñá ãéá êÜèå áðüðåéñá ðÜíù óôï óõãêåêñéìÝíï

èÝìá. ÂÝâáéá óÞìåñá îÝñïõìå ðïëý ðåñéóóüôåñá ðñÜãìáôá ãéá ôç

ìáèçìáôéêÞ óêÝøç, ôç ìÜèçóç, ôï problem solving áð' üôé óôçí áìÝóùò

ìåôÜ-Sputnic ðåñßïäï. ¸ôóé åßíáé èåìéôÞ ç åðáíáôïðïèÝôçóç ôïõ èÝìáôïò

ôùí áíáëõôéêþí ðñïãñáììÜôùí ôùí ìáèçìáôéêþí, ðÜíù óå íÝåò âÜóåéò êáé

íÝåò áíôéëÞøåéò. [8]

Êáé ðñÜãìáôé, ôçí ôåëåõôáßá 12åôßá öáßíåôáé íá óõæçôåßôáé áñêåôÜ ôï

æÞôçìá êáé íá äéáôõðþíïíôáé ðñïôÜóåéò êáé éäÝåò áðü ðïëëïýò åñåõíçôÝò.

¼ìùò, êáèþò óçìåéþíåé ï Donald Macnab,[11] ðáñÜ ôéò óõíå÷åßò

ðñïóðÜèåéåò ãéá ôç äçìéïõñãßá åíüò ïñÜìáôïò ãéá ôç ÌáèçìáôéêÞ

åêðáßäåõóç (êáé áíáöÝñåé ðñïóðÜèåéåò ôùí Richard (1998), Dossey (1992),


ÓõæÞôçóç ãéá ôá áíáëõôéêÜ ðñïãñÜììáôá Ìáèçìáôéêþí óôç Ì.Å.


ÐÐååññßßëëççøøçç

ÁÁííááööïïññÜÜ óóôôïïííÓÓýýãã÷÷ññïïííïï

ÐÐññïïââëëççììááôôééóóììüü

Greeno (1992), Hoyles-Morgan êáé Woodhouse (eds.) (1999)) äåí Ý÷åé

åðéôåõ÷èåß ìéá óýíèåóç áðüøåùí. Êé áõôü ãéáôß óôçí ðñïóðÜèåéá áõôÞ

åãåßñïíôáé ðïëëÜ æçôÞìáôá (êáé ðñáêôéêÞò öýóçò) ðïõ ðñÝðåé íá

îáíáåéäùèïýí ãéá íá ôåèïýí ïé óôü÷ïé, ôá ðñïãñÜììáôá êáé ç ìåèïäïëïãßá.

Ãéá ðáñÜäåéãìá:

– Ðïéá èá åßíáé ç éóïññïðßá ìåôáîý ðïëéôéóìéêÞò-ðíåõìáôéêÞò êáé

ùöåëéìéóôéêÞò ðñáêôéêÞò èÝáóçò ôùí ìáèçìáôéêþí;

– Ðþò èá óõó÷åôéóèåß ôï èÝìá ìå Üëëåò ðåñéï÷Ýò ôùí áíáëõôéêþí

ðñïãñáììÜôùí;

– Ðïéá èá ðñÝðåé íá åßíáé ç éóïññïðßá êáé ç óõó÷Ýôéóç ìåôáîý

êáôáíüçóçò ôùí ìáèçìáôéêþí äéáäéêáóéþí êáé ôå÷íéêÞò éêáíüôçôáò;

– Ðþò èá ðáñáêéíçèåß ï ìáèçôÞò ãéá ìéá âáèýôåñç êáëëéÝñãåéá;

– Ôé âáèìüò ðñïóï÷Þò ðñÝðåé íá êáôáâëçèåß ãéá íá áíáðôõ÷èåß óôïõò

ìáèçôÝò ìéá êáôáíüçóç ôçò öýóçò êáé ôïõ óêïðïý ôçò ìáèçìáôéêÞò óêÝøçò;

– Ðïéá èá ðñÝðåé íá åßíáé ç éóïññïðßá êáé ç óõó÷Ýôéóç ìåôáîý

åðáãùãéêÞò êáé ðáñáãùãéêÞò üøçò ôçò ìáèçìáôéêÞò óêÝøçò;

Çìéôåëåßò, ðñü÷åéñåò Þ ðñïêáôáóêåõáóìÝíåò áðáíôÞóåéò êáé áíáëýóåéò

áõôþí ôùí åñùôçìÜôùí ïäçãïýí óå áóôÜèåéá êáé óýã÷õóç ôï üñáìá,

ðñïêáëþíôáò åíäå÷ïìÝíùò ìéá ìåãÜëç óåéñÜ áðü áðñüâëåðôåò êáé

áíåðéèýìçôåò óõíÝðåéåò, üðùò:

• ¸ëëåéøç äéáýãåéáò óôçí åðéêïéíùíßá ôïõ ïñÜìáôïò óôïõò äéäÜóêïíôåò

êáèçãçôÝò.

• ¸ëëåéøç äéáýãåéáò óôçí åðéêïéíùíßá ôïõ ïñÜìáôïò óôïõò ìáèçôÝò.

• ¸ëëåéøç óõíåêôéêÞò ó÷Ýóçò ìåôáîý ïñÜìáôïò êáé åöáñìïãÞò ôïõ óôçí

ôÜîç.

• ÕðåñÝìöáóç óõãêåêñéìÝíùí üøåùí ôïõ ðñïãñÜììáôïò Þ ôçò

ðáéäáãùãéêÞò åéò âÜñïò Üëëùí.

• ÕðåñåîÜñôçóç áðü ôá åã÷åéñßäéá Þ áðü åðéíïÞóåéò ïé ïðïßåò

åìöáíßæïíôáé óôçí õëïðïßçóç ôïõ ïñÜìáôïò.

• ÕðåñóõìðéåóìÝíá ðñïãñÜììáôá óôçí ðñïóðÜèåéá íá åöáñìïóôåß ôï

üñáìá ìå ôïõò ðåñéïñéóìïýò ôïõ ÷ñüíïõ ðïõ äéáôßèåôáé êáé ôùí

"ðéóôåýù" ôùí êáèçãçôþí ãýñù áðü ôá åðéäéùêüìåíá standars.

• ÁóôÜèìçôá ðñïãñÜììáôá ðïõ äßíïõí õðåñâïëéêÞ Ýìöáóç óôçí

ðñïóùðéêÞ áíÜðôõîç ôùí ìáèçôþí êáé êáèüëïõ Ýìöáóç óôá

åðéäéùêüìåíá standards.

• Áâåâáéüôçôåò óôïõò êáèçãçôÝò ùò ðñïò ôï ñüëï ôïõò óôçí ôÜîç. ([11],

óåë. 71).



Åßíáé öáíåñü üôé ç óýëëçøç åíüò ïñÜìáôïò ãéá ôç ìáèçìáôéêÞ

åêðáßäåõóç, åßíáé ìüíï ç áñ÷Þ óå ìéá ðïëõåðßðåäç äéáäéêáóßá. Ãéá íá ãßíåé

Ýíá üñáìá åöéêôü, ðñÝðåé íá ìåôáöñáóôåß óå óôü÷ïõò ïé ïðïßïé íá

áðïêñõóôáëëþíïõí áõôü ôï üñáìá. Ïé óôü÷ïé ðÜëé áðü ìüíïé ôïõò äåí

ðáñÜãïõí Ýíá áðïôåëåóìáôéêü áíáëõôéêü ðñüãñáììá ðáñÜ ìüíï üôáí

õðïóôçñßæïíôáé áðü Ýíá óõíåêôéêü êáé óõãêñïôçìÝíï üñáìá.

Ïé ÷þñåò ðïõ óõììåôåß÷áí óôï TIMSS (Third International Mathematics

and Science Survey) óå åêèÝóåéò ôïõò ó÷åôéêÜ ìå ôá ðñïôåéíüìåíá

áíáëõôéêÜ ðñïãñÜììáôá, ðáñáèÝôïõí óå äéÜöïñïõò âáèìïýò Ýìöáóçò

óôü÷ïõò ó÷åôéêïýò ìå:

– ÅêôåëåóôéêÝò äåîéüôçôåò óôá ìáèçìáôéêÜ

– ÂáèéÜ êáôáíüçóç ôùí ìáèçìáôéêþí äéáäéêáóéþí.

– Êáôáíüçóç êáé ÷ñÞóç ôùí ìáèçìáôéêþí óôçí êáèçìåñéíÞ æùÞ.

– Áõôïó÷åäéáóôéêÝò äåîéüôçôåò óôçí åöáñìïãÞ ôùí ìáèçìáôéêþí.

– ÏñãáíùôéêÝò êáé ëïãéêÝò äåîéüôçôåò.

– Ðñùôïâïõëßá êáé åðéíïçôéêüôçôá.

– ÁíÜðôõîç ôçò óõíåñãáôéêüôçôáò.

– ÉóôïñéêÞ êáé ðïëéôéóìéêÞ êáôáíüçóç ôùí ìáèçìáôéêþí. ([11] óåë. 72)

Óôá ðëáßóéá ôçò (ðáãêüóìéáò) ðñïâëçìáôéêÞò ðÜíù óôçí áíáæÞôçóç

åíüò íÝïõ ïñÜìáôïò ãéá ôçí åêðáßäåõóç êáé ôç óõãêñüôçóç íÝùí

áíáëõôéêþí ðñïãñáììÜôùí, ï Áìåñéêáíüò Schmidt êáé ç åðéóôçìïíéêÞ ôïõ

ïìÜäá, èÝôïõí êáßñéá åñùôÞìáôá, üðùò: "Ðþò ìðïñïýìå íá áðïêôÞóïõìå

Ýíá íïçìáôéêÜ óõíåêôéêü ðõñÞíá óôá ìáèçìáôéêÜ áíáëõôéêÜ ìáò

ðñïãñÜììáôá; Ðþò ìðïñïýìå íá áíåâÜóïõìå ôéò ðñïóäïêßåò êáé ôéò

áðáéôÞóåéò áðü ôïõò ìáèçôÝò ìáò; Ðþò ìðïñïýìå íá âïçèÞóïõìå ôïõò

êáèçãçôÝò ìáò íá êÜíïõí ôï êáëýôåñï ðïõ ìðïñïýí äéäÜóêïíôáò

ìáèçìáôéêÜ óôïõò ìáèçôÝò ìáò; Ìðïñïýìå íá âñïýìå Ýíá êáëýôåñï ìïíôÝëï

áíáëõôéêïý ðñïãñÜììáôïò êáé äéäáóêáëßáò - åêðáßäåõóçò; Ìðïñïýìå íá

áíáðôýîïõìå Ýíá íÝï üñáìá ãéá ôï ôé åßíáé íÝï êáé óçìáíôéêü; Ôé åßäïõò

ìáèçìáôéêÞ åêðáßäåõóç èÝëïõìå ùò Ýèíïò ãéá ôá ðáéäéÜ ìáò;". Êáé

ðáñáôçñåß üôé "åíþ áõôü ôï ôåëåõôáßï åñþôçìá åßíáé êåíôñéêü êáé áðáéôåß

åõñý êáé äçìüóéï äéÜëïãï, öáßíåôáé ìÜëëïí üôé èÝëïõìå åêðáßäåõóç ç

ïðïßá íá åßíáé ðåñéóóüôåñï åóôéáóìÝíç åéäéêÜ óå äõíáìéêÝò êåíôñéêÝò

éäÝåò êáé äõíáôüôçôåò, ìå ðåñéóóüôåñï âÜèïò ôïõëÜ÷éóôïí óå êÜðïéåò

ðåñéï÷Ýò, Ýôóé þóôå ôï ðåñéå÷üìåíï íá Ý÷åé êáëýôåñåò åõêáéñßåò ãéá íá

ãßíåé êáôáíïçôü, íá ïñãáíùèåß óõíäåüìåíï ìå Üëëåò éäÝåò ôùí ðáéäéþí êáé

íá ðáñÜîåé ôåëéêÜ ïîõäÝñêåéá êáé åíüñáóç - äéáßóèçóç êáé ü÷é



ðáðáãáëßóôéêç ðñïóðÜèåéá. Íá åöïäéÜóåé ôï ìáèçôÞ ìå êáèáñÝò,

äõíáìéêÝò, ãåìÜôåò íüçìá êáé ðåñéå÷üìåíï ãíþóåéò ðïõ íá áíôÝ÷ïõí óôï

÷ñüíï êáé íá ìçí åßíáé åöÞìåñåò êáé ìüíï ãéá ôéò áíÜãêåò êáé ôéò

áðáéôÞóåéò ôïõ ó÷ïëåßïõ"([11] óåë. 69)

Ôç óôü÷åõóç ôçò åíüñáóçò-äéáßóèçóçò ìå êáôÜëëçëá áíáëõôéêÜ

ðñïãñÜììáôá, õðïóôçñßæåé êáé ï Wilder (1984) åðéóçìáßíïíôáò üôé: ôá íÝá

áíáëõôéêÜ ðñïãñÜììáôá èÜ ’ðñåðå íá ðñïóðáèïýí íá óôñÝøïõí ôç

äéäáóêáëßá áðü ôçí ãíùóéáêÞ óõíéóôþóá óå ìéá äéáäéêáóßá ìÝóá óôçí

ïðïßá ç åíüñáóç ôùí óðïõäáóôþí èá ÷ñçóéìïðïéåßôáé åíåñãÜ êáé èá

áíáðôýóóåôáé ðåñáéôÝñù êáôÜ ôçí áðüêôçóç ôçò íÝáò ãíþóçò. ([9] óåë. 30)

¢ëëåò áðüøåéò ðÜëé, õðïóôçñßæïõí üôé, ìå âÜóç ôç óçìåñéíÞ

ðñáãìáôéêüôçôá ôçò ìáèçìáôéêÞò åêðáßäåõóçò, ôï êÝíôñï âÜñïõò óôïõò

óêïðïýò ôùí áíáëõôéêþí ðñïãñáììÜôùí èá ðñÝðåé íá åßíáé ç áíáæÞôçóç

åêåßíùí ôùí ÷áñáêôçñéóôéêþí ôçò ìáèçìáôéêÞò óêÝøçò êáé äñáóôçñéüôçôáò

ðïõ ðáßæïõí Ýíá áðïöáóéóôéêü ñüëï óôç óýã÷ñïíç ôå÷íïêñáôéêÞ êïéíùíßá.

([13] óåë. 34)




Ôá ôåëåõôáßá ÷ñüíéá äéáðéóôþíåôáé ìéá áõîçôéêÞ ôÜóç óõììåôï÷Þò ôùí

ìáèçôþí (êõñßùò ôïõ Ãõìíáóßïõ) óôïõò Ìáèçìáôéêïýò Äéáãùíéóìïýò ðïõ

äéïñãáíþíåé êÜèå ÷ñüíï ç Å.Ì.Å. ºóùò ç êïéíùíßá (Þ ôïõëÜ÷éóôïí êÜðïéá

êïéíùíéêÜ óôñþìáôá) Ý÷ïõí êáôáíïÞóåé ôïí êõñßáñ÷ï ñüëï ôùí

Ìáèçìáôéêþí óôçí åðï÷Þ ìáò, ìå áðïôÝëåóìá íá ðñïóáíáôïëßæåé êáé íá

ùèåß ôç ìáèçôéêÞ íåïëáßá ðñïò ôçí êáôåýèõíóç ôïõ Ìáñáèþíéïõ Äñüìïõ

ôùí Ìáèçìáôéêþí Äéáãùíéóìþí.

Áõôüò ï äñüìïò ãéá ðïëëïýò ìáèçôÝò óõ÷íÜ áðïäåéêíýåôáé ôñá÷ýò êáé

äýóâáôïò. Ðïëëïß áðïãïçôåýïíôáé áðü ôçí ðñþôç êéüëáò åìðåéñßá ôïõò, ìå

áðïôÝëåóìá íá áðïìáêñýíïíôáé áð' áõôü ôï äýóêïëï ìÝí áëëÜ êáé ìå

åîáéñåôéêÝò ðñïêëÞóåéò äñüìï. Ãéá ôç óôÜóç áõôÞ ïé ìáèçôÝò åëÜ÷éóôá

åõèýíïíôáé. Ï Ìáñáèþíéïò åßíáé ðïëý áðáéôçôéêü Üèëçìá ãéá íá ôá

êáôáöÝñåé êáíåßò íá ôåñìáôßóåé ÷ùñßò ðñïçãïõìÝíùò íá Ý÷åé óõóôçìáôéêÜ

êáé "åðß ìáêñþ" ðñïåôïéìáóôåß. Äåí åßíáé ôõ÷áßï ôï ãåãïíüò üôé êÜèå ÷ñüíï ïé

äéáêñéíüìåíïé ìáèçôÝò óôïõò Ìáèçìáôéêïýò Äéáãùíéóìïýò ðñïÝñ÷ïíôáé óôçí

ðëåéïøçößá ôïõò áðü Ýíá ðïëý ìéêñü áñéèìü áêñéâïðëçñùìÝíùí Éäéùôéêþí

Ó÷ïëåßùí ôùí Âïñåßùí Ðñïáóôßùí ôç ÁèÞíáò êáé ôçò Èåóóáëïíßêçò.

Ãéá ðáñÜäåéãìá, óôï Äéáãùíéóìü "Åõêëåßäç" ôïõ ó÷ïëéêïý Ýôïõò 2001 – 02

áðü ôï óýíïëï ôùí ðñïêñéèÝíôùí ìáèçôþí ôçò ÁôôéêÞò, ãéá ôïí ôåëéêü

Äéáãùíéóìü – ÅèíéêÞ ÌáèçìáôéêÞ ÏëõìðéÜäá "Áñ÷éìÞäçò", ôï 68%

ðñïÝñ÷ïíôáé áðü áõôÜ ôá Ó÷ïëåßá êáé ôï õðüëïéðï 32% áðü üëá ôá

Äçìüóéá Ó÷ïëåßá ïëüêëçñçò ôçò ÁôôéêÞò. Ôï ãåãïíüò áõôü óßãïõñá äåí Ý÷åé

ìïíïóÞìáíôç åñìçíåßá. Åßíáé ðÜíôùò ãíùóôü üôé óå êÜðïéá áðü ôá åí ëüãù


Ìáèçìáôéêïß Äéáãùíéóìïß

Â.Å. ÂéóêáäïõñÜêçò

ÉäéùôéêÜ Ó÷ïëåßá ïé ìáèçôÝò (üëïé) äéäÜóêïíôáé äýï þñåò åâäïìáäéáßá

ÌáèçìáôéêÜ ãéá Äéáãùíéóìïýò. Êáé öáßíåôáé ðùò ç óõóôçìáôéêÞ áõôÞ

âïÞèåéá ðéÜíåé ôüðï.

Ðñïò ôï óõìðÝñáóìá áõôü óõíçãïñåß êáé ôï ãåãïíüò üôé ìáèçôÝò ðïõ

ðáñáêïëïõèïýí áíôßóôïé÷á ìáèÞìáôá óôá êÝíôñá ðïõ ìå ðñùôïâïõëßá ôçò

Å.Ì.Å. ëåéôïõñãïýí ôá äýï ôåëåõôáßá ÷ñüíéá Ý÷ïõí éäéáßôåñç åðéôõ÷ßá óôïõò

Äéáãùíéóìïýò. Ìüíï ðïõ ôá ìáèÞìáôá áõôÜ ôá ðáñáêïëïõèïýí ðïëý ëßãïé

ìáèçôÝò êáôÜ êáíüíá óå êÜèå êÝíôñï. Öáßíåôáé ðùò õðÜñ÷ïõí ðñïâëÞìáôá

ðïõ ðñÝðåé íá îåðåñáóôïýí ãéá íá õðÜñîåé ç åðéèõìçôÞ óõììåôï÷Þ ôùí

ìáèçôþí ó' áõôÞ ôçí ðñïóðÜèåéá.

ÐñïâëÞìáôá ðïõ Ý÷ïõí íá êÜíïõí ôüóï ìå åîùôåñéêïýò ðáñÜãïíôåò üðùò

ð.÷. ç êáôáíüçóç åê ìÝñïõò ôçò Êïéíùíßáò ôçò óçìáóßáò ðïõ ìðïñåß íá Ý÷åé ç

ðíåõìáôéêÞ Üìéëëá, üóï êáé ìå åóùôåñéêïýò ðáñÜãïíôåò ðïõ áöïñïýí óôçí êáëÞ

ïñãÜíùóç êáé ëåéôïõñãßá ôçò üëçò êßíçóçò åê ìÝñïõò ôçò Å.Ì.Å. Êõñßáñ÷ïò üìùò

ó' áõôÞ ôçí êáôçãïñßá ðáñÜãïíôáò, ï ïðïßïò êáé ÷ñÞæåé ðåñáéôÝñù ìåëÝôçò êáé

åðåîåñãáóßáò êáôÜ ôç ãíþìç ìáò, åßíáé ç óõãêñüôçóç åíüò "óþìáôïò" ãíùóôéêïý

õëéêïý ìÝóá áðü ôï ïðïßï èá ìðïñåß íá êåñäçèåß ç áãÜðç ôùí ìéêñþí, éäßùò,

ìáèçôþí ãéá Ýíôïíç ðíåõìáôéêÞ åñãáóßá. Ôï åã÷åßñçìá äåí åßíáé êáèüëïõ åýêïëï

êáé åßôå ôï óõíåéäçôïðïéåß êáíåßò åßôå ü÷é, ç üðïéá áðÜíôçóç ó' áõôü, èá Ý÷åé ôç

óöñáãßäá ôçò öéëïóïößáò êáé ôùí ãåíéêüôåñùí ðéóôåýù ðïõ åìöïñïýí áõôïýò

ðïõ áíáëáìâÜíïõí ôçí åí ëüãù åõèýíç.

Ç åìðåéñßá Ý÷åé äåßîåé üôé ç ðáñáãùãéêÞ ðñïóÝããéóç óôç ÌáèçìáôéêÞ

ãíþóç êáé ç (êáôÜ óõíÝðåéá) ôõðéêÞ êáé ôõðïðïéçìÝíç äéáäéêáóßá,

"ðáñïõóßáóç ôçò èåùñßáò êáé åöáñìïãÞ ôçò óôçí åðßëõóç áóêÞóåùí êáé

ðñïâëçìÜôùí", äåí åßíáé ç ðéï åíäåäåéãìÝíç ìÝèïäïò ãéá õðïêßíçóç óïâáñïý

åíäéáöÝñïíôïò åê ìÝñïõò ôùí ìáèçôþí, éäéáßôåñá óå ìéêñÝò çëéêßåò. Åßíáé

÷áñáêôçñéóôéêÞ ç ðåñéãñáöÞ ôïõ William Thurston (âñáâåßï Öéëíôò),

êáèçãçôÞ ìáèçìáôéêþí óôï Princeton: "¼ôáí Þìïõí ðáéäß, óõ÷íÜ ìéóïýóá

ôçí áñéèìçôéêÞ êáé ôá ìáèçìáôéêÜ óôï ó÷ïëåßï. Óåëßäåò áóêÞóåùí, áíéáñÝò

êáé ðëçêôéêÝò. Äåí Þôáí äéáóêåäáóôéêÝò Þ ðñïêëçôéêÝò· Þôáí áðëþò ìéá

áããáñåßá. ¼ðïôå ìðïñïýóá, Ýâñéóêá êÜôé Üëëï ãéá íá øõ÷áãùãçèþ.

Ìïõíôæïýñùíá, äéÜâáæá âéâëßá êÜôù áðü ôï èñáíßï, áôÝíéæá Ýîù áðü ôï

ðáñÜèõñï ôçò ôÜîçò. ÊáìéÜ öïñÜ ðñïóðáèïýóá íá âñù áðÜíôçóç óå

êÜðïéá óðáæïêåöáëéÜ....."

Ïé åìðåéñéêÝò ðñïóùðéêÝò äéáðéóôþóåéò ìáò áóöáëþò êáé äåí áðïôåëïýí

ôõ÷áßá ãåãïíüôá. Ç Ýíôïíá ðáñáãùãéêÞ ìÝèïäïò óôç ìáèçóéáêÞ äéáäéêáóßá,

óôéò ìÝñåò ìáò áìöéóâçôåßôáé áðü ðïëëÝò ÅêðáéäåõôéêÝò ¸ñåõíåò êáé áðü

ðïëëïýò åîÝ÷ïíôåò, ðáãêüóìéá ãíùóôïýò ÅðéóôÞìïíåò Ìáèçìáôéêïýò,



Øõ÷ïëüãïõò êáé ãåíéêüôåñá Åêðáéäåõôéêïýò åñåõíçôÝò. Óôïí áíôßðïäá, ç

åðáãùãéêÞ ðñïóÝããéóç öáßíåôáé íá êåñäßæåé üëï êáé ðåñéóóüôåñï Ýäáöïò. Êé

áõôü ãéáôß áöÞíåé ðåñéèþñéá óôï ìáèçôÞ íá áíáðôýîåé ôéò äéêÝò ôïõ åíïñÜóåéò,

ôçí áíÜëçøç ðñùôïâïõëßáò, ôç äçìéïõñãéêÞ öáíôáóßá, ôçí éêáíüôçôá

ãåíßêåõóçò, ôïí áíáóôï÷áóìü êáé ôÝëïò ôçí êñéôéêÞ êáé åëåýèåñç óêÝøç.

ÐïëëÝò öïñÝò ìÝóá áðü ðáñáãùãéêÝò ìáèçóéáêÝò äéáäéêáóßåò

áíáäåéêíýïíôáé ìáèçôÝò ðïõ áí êáé ôï Åêð/êü Óýóôçìá êáé ç Êïéíùíßá ôïõò

èåùñåß áêüìá êáé ìåãáëïöõÀåò, äåí åßíáé óôçí ïõóßá ôßðïôá Üëëï ðáñÜ

õðÜêïõá ðíåýìáôá ôá ïðïßá åîáóêïýí óôï ìÝãéóôï âáèìü ôçí éêáíüôçôÜ

ôïõò ãéá áðïìíçìüíåõóç áôÝëåéùôùí èåùñéþí êáé "ìåèïäïëïãéþí" ðïõ ôïõò

ðáñÝ÷ïíôáé Ýôïéìåò.

ÌÝóá áðü ìßá Üêáìðôç ðáñáãùãéêÞ ðñïóÝããéóç ôùí Ìáèçìáôéêþí äåí

åßíáé ìüíï üôé ôñïìïêñáôïýíôáé êáé áðïìáêñýíïíôáé áñêåôÜ ðáéäéÜ ðïõ

áíáìößâïëá Ý÷ïõí Üëëá ôáëÝíôá (ðÝñáí ôçò áðïìíçìüíåõóçò), áëëÜ êáé óå

ðïëëÜ ðïõ ìÝíïõí, õðÜñ÷åé êßíäõíïò óõññßêíùóçò êáé óôåßñùóçò ôçò

åíüñáóçò êáé ôçò äçìéïõñãéêÞò ôïõò óêÝøçò.

Ìéá ôÝôïéá êáôÜóôáóç ðåñéãñÜöåé o Moshe Flato óôï âéâëßï ôïõ "Ç ÉÓ×ÕÓ

ÔÙÍ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÙÍ". Áíáöåñüìåíïò óôçí åðßäñáóç ôçò ó÷ïëÞò

Ìðïõñìðáêß ëååé üôé "åóöáëìÝíá æçôÞèçêå áðü íÝïõò áíèñþðïõò ðïõ

åìöáíßæïõí êÜðïéï éäéáßôåñï ôáëÝíôï óôá ÌáèçìáôéêÜ íá ðñïóáíáôïëßóïõí

êáôáñ÷Üò ôéò ðñïóðÜèåéåò ôïõò óôç äéåýñõíóç ôùí ãíþóåþí ôïõò. Ôïõò æçôÞèçêå

íá äéáâÜóïõí ôåñÜóôéïõò üãêïõò âéâëéïãñáößáò êáé ôïõò åîáíÜãêáóáí íá

áðïêôÞóïõí ôïí áõóôçñüôåñï äõíáôü ôñüðï óêÝøçò". Ìßá ôÝôïéá ðñïóÝããéóç

áíôéêñïýåôáé áðü ôïí Moshe Flato ÷ùñßò íá êáôáäéêÜæåé âÝâáéá ôçí åêãýìíáóç

óôçí åðéóôçìïíéêÞ áõóôçñüôçôá. "¼ôáí üìùò ç ðñïóÝããéóç ðïõ äéäÜóêåé êáíåßò

áêïëïõèåß áêëüíçôá Ýíá ó÷Þìá, ôçí ìåôÜâáóç áðü ôï ãåíéêü óôï åéäéêü, ôçí

ðáñáãùãéêÞ äçëáäÞ ìÝèïäï, ôüôå ç ìåëÝôç ôùí ìáèçìáôéêþí êáôáëÞãåé íá ãßíåé

ìßá êáèáñÜ ôáëìïõäéêÞ Üóêçóç. Ôüôå óôåñåýåé êáé ç æùíôáíÞ öáíôáóßá. ÁëëÜ

áõôü ðïõ ìåôñÜåé óôá ìáèçìáôéêÜ åßíáé ç öáíôáóßá. Ôï ðéï ðïëýôéìï ðñïóüí óôá

ìáèçìáôéêÜ åßíáé ç öáíôáóßá. Ç Ýñåõíá Üëëùóôå ðñáãìáôïðïéåßôáé óõíÞèùò áðü

ôï åéäéêü óôï ãåíéêü". Êáé áõôü õðïäåéêíýåé ðïéá åßíáé ç öõóéêÞ ïäüò ìÝóá áðü

ôçí ïðïßá ïé ìáèçôÝò ìáò èá ìõçèïýí êáé èá êáôáêôÞóïõí ôç ìáèçìáôéêÞ ãíþóç.

Áíôß íá äßíåôáé óôçí áñ÷Þ ìéá ãåíéêÞ äïìÞ – èåùñßá êáé ôá ðáñáäåßãìáôá

íá åìöáíßæïíôáé ìüíï ùò åéäéêÝò åöáñìïãÝò áõôÞò ôçò äïìÞò, åßíáé ÷ñÞóéìï

íá îåêéíÞóåé êáíåßò áðü ðáñáäåßãìáôá, êáé óôçí óõíÝ÷åéá íá åìâáèýíåé ó'

áõôÜ. Ìüíï óôçí âÜóç óõãêåêñéìÝíùí ðáñáäåéãìÜôùí ìðïñåß íá

åðé÷åéñÞóåé êáíåßò íá äå ðïéÜ ãåíéêÞ äïìÞ åßíáé äõíáôüí íá ïéêïäïìçèåß,

ðïéÜ èåùñßá èá ôïõò ôáßñéáæå êáé èá ôá åíïðïéïýóå.



Ï ñüëïò ãåíéêÜ ôïõ óõãêåêñéìÝíïõ õëéêïý äéáðñáãìÜôåõóçò êáôÜ ôç

ìáèçóéáêÞ – äéäáêôéêÞ äéáäéêáóßá üðïõ ïé êáôáóôÜóåéò (ðñïâëÞìáôïò)

åßíáé ÷åéñïðéáóôÝò, ïéêåßåò êáé ðëÞñåéò íïÞìáôïò ãéá ôïõò ìáèçôÝò, Ý÷åé

éäéáßôåñá õðïãñáììéóôåß áðü ôïõò åñåõíçôÝò. Óýìöùíá ð.÷. ìå ôïõò D. Tall

êáé R. Gray ôá óôïé÷åéþäç ìáèçìáôéêÜ áñ÷ßæïõí ìå ôçí áíôßëçøç êáé äñÜóç

åðß ôùí áíôéêåéìÝíùí ôïõ åîùôåñéêïý êüóìïõ, óýìöùíá ìå ôï

ó÷åäéÜãñáììá:

ÊáôÜ ôïí D. Tall, ç ãíùóôéêÞ áíÜðôõîç áðü ôç óôïé÷åéþäç óôçí

ðñï÷ùñçìÝíç ìáèçìáôéêÞ óêÝøç óôï Üôïìï, ìðïñåß íá õðïôåèåß üôé áñ÷ßæåé ìå

ôçí áíôßëçøç êáé ôç äñÜóç åðß ôùí áíôéêåéìÝíùí ôïõ åîùôåñéêïý êüóìïõ êáé

ïéêïäïìåßôáé ìÝóù äýï ðáñÜëëçëùí åîåëéêôéêþí äéáäéêáóéþí: ìéáò

ïðôéêï÷ùñéêÞò óå ëåêôéðáñáãùãéêÞ êáé ìéáò áëëåðÜëëçëçò äéáäéêáóßáò

óõìðýêíùóçò (encapsulation) åííïéþí, ÷ñçóéìïðïéþíôáò äéá÷åéñÞóéìá óýìâïëá.

ÌÝóù áõôþí ôùí äéáäéêáóéþí ôï Üôïìï ïäçãåßôáé óôç äçìéïõñãéêÞ óêÝøç ç

ïðïßá âáóßæåôáé óå ôõðéêÜ ïñéóìÝíá áíôéêåßìåíá êáé óôç óõóôçìáôéêÞ áðüäåéîç.

Ðéï åéäéêÜ, ìéëþíôáò ãéá ðñï÷ùñçìÝíç ìáèçìáôéêÞ óêÝøç, èá ðñÝðåé

ïðùóäÞðïôå íá ìéëÞóïõìå ãéá ãåíßêåõóç êáé áöáßñåóç (áíáóôï÷áóôéêÞ).

Ïé G. Harel êáé D. Tall éó÷õñßæïíôáé üôé ç ðéï åíäåäåéãìÝíç ðñïóÝããéóç

óôç ãåíßêåõóç åßíáé ç ðñüêëçóç åìðåéñéþí ïé ïðïßåò ïäçãïýí óôçí óå âÜèïò

êáôáíüçóç ôçò ôñÝ÷ïõóáò êáôÜóôáóçò, þóôå íá åðéôñáðåß ç ìåôáêßíçóç óå

ðéï ãåíéêÞ ðåñßðôùóç.

Ôçí ßäéá ðñïûðüèåóç èÝôåé êáé ï Von Glaserfeld ãéá ôçí áíáóôï÷áóôéêÞ

áöáßñåóç: ç ìåôáêßíçóç óôï ðñþôï åðßðåäï áöáßñåóçò áðáéôåß óõãêåêñéìÝíç

åìðåéñßá.

ÊáôÜ ôïí Von Glaserfeld, ç äýíáìç ôçò ëïãéêÞò (êáé ôùí ðáñáãùãéêþí

äéáäéêáóéþí ðïõ ôçí áðïôåëïýí) Ýãêåéôáé óôï ãåãïíüò üôé ìðïñåß íá

ïäçãÞóåé ðïëý ðéï ðÝñá áðü ôï ðåäßï ôùí ðñáãìáôéêÜ âéùìÝíùí

óõãêåêñéìÝíùí êáôáóôÜóåùí áëëÜ äåí éó÷ýåé ëéãüôåñï ôï ãåãïíüò üôé ç

áíÜðôõîç áõôÞò ôçò ëïãéêÞò äå ëáìâÜíåé ÷þñá áðïõóßá ôçò åìðåéñßáò.

Ç äñáóôçñéüôçôá ôïõ áíáóôï÷áóìïý êÜðïéïõ ðÜíù óôéò íïçôéêÝò

ëåéôïõñãßåò ôïõ, áñ÷ßæåé ìå ôçí áöáßñåóç ôùí ëåéôïõñãéêþí ó÷çìÜôùí áðü ôéò

áéóèçóéï – êéíçôéêÝò ðñÜîåéò. Ìå Üëëá ëüãéá, ãéá íá áöáéñÝóåé ï,ôéäÞðïôå ôï

õðïêåßìåíï, èá ðñÝðåé íá Ý÷åé ðñþôá ôçí åõêáéñßá íá äñÜóåé. Ùóôüóï ïé

åõêáéñßåò äñÜóçò áðáéôïýí áéóèçóéïêéíçôéêü õëéêü êáé êáôáóôÜóåéò êáôÜ

ôéò ïðïßåò èá åêäçëùèåß ç äñÜóç ðÜíù ó' áõôü ôï õëéêü.

Aíôßëçøç ÓêÝøç ÄñÜóç



Ó÷åôéêÜ ìå ôçí áöáßñåóç ïé G. Harel êáé D. Tall éó÷õñßæïíôáé üôé ìéá

áöáéñåôéêÞ äéáäéêáóßá óõìâáßíåé üôáí ôï õðïêåßìåíï åóôéÜæåé ôçí ðñïóï÷Þ

ôïõ óå óõãêåêñéìÝíåò éäéüôçôåò åíüò äïóìÝíïõ áíôéêåéìÝíïõ êáé ìåôÜ èåùñåß

áõôÝò ôéò éäéüôçôåò áðïìïíùìÝíåò áðü ôï áñ÷éêü áíôéêåßìåíï. Áõôü ìðïñåß

íá ãßíåé, ãéá ðáñÜäåéãìá, ãéá íá êáôáíïÞóåé ôçí ïõóßá åíüò óõãêåêñéìÝíïõ

öáéíïìÝíïõ· ßóùò áñãüôåñá íá ìðïñÝóåé êáé åöáñìüóåé ôçí ßäéá èåùñßá óå

Üëëåò ðåñéðôþóåéò üðïõ áõôÞ åöáñìüæåôáé.

ÔÝôïéá åöáñìïãÞ ìéáò áöçñçìÝíçò èåùñßáò èá Þôáí ìéá ðåñßðôùóç

áíáêáôáóêåõáóôéêÞò ãåíßêåõóçò åðåéäÞ ïé áöçñçìÝíåò éäéüôçôåò åßíáé

áíáêáôáóêåõÝò ôùí áñ÷éêþí éäéïôÞôùí ðïõ ôþñá åöáñìüæïíôáé ó' Ýíá

åõñýôåñï ðåäßï.

Ïé Harel êáé Tall ðáñáôçñïýí üôé ç ôõðéêÞ áöáßñåóç äåí åßíáé åýêïëç

õðüèåóç ãéá ôïõò ìáèçôÝò êáé èÝôïõí ôï åñþôçìá ðùò èá ìðïñïýóáí áõôïß

íá âïçèçèïýí ãéá íá öôÜóïõí óôçí áíáêáôáóêåõáóôéêÞ ãåíßêåõóç ðïõ

áðáéôåßôáé ãéá ôçí ôõðéêÞ áöáßñåóç. Óôï åñþôçìá áõôü ïé ßäéïé åñåõíçôÝò

áðáíôïýí ìå ôçí åóôßáóç óå óõãêåêñéìÝíï ðáñÜäåéãìá ðïõ ôï ïíïìÜæïõí

generic êáé ôï èåùñïýí ùò áíôéðñüóùðï ôçò áöçñçìÝíçò éäÝáò Þ üôé

óõìðõêíþíåé ôçí ïõóßá ìéáò (ãåíéêÞò) áðüäåéîçò. Ãéá ðáñÜäåéãìá ç

áíáæÞôçóç ôïõ ðëÞèïõò, ôùí óçìåßùí ôïìÞò 10 åõèåéþí ðïõ ôÝìíïíôáé áíÜ

äýï, ÷ùñßò íá äéÝñ÷ïíôáé áíÜ ôñåéò áðü ôï ßäéï óçìåßï, Þ ôùí ÷åéñáøéþí óå ìéá

óõãêÝíôñùóç 10 áôüìùí üðïõ üëïé áëëçëï÷áéñåôÞèçêáí, åíþ åßíáé

óõãêåêñéìÝíá ðñïâëÞìáôá ðïõ åðéôñÝðïõí êáé ìéá ðåéñáìáôéêÞ ðñïóÝããéóç,

ç êåíôñéêÞ éäÝá ôçò ëýóçò ôïõò åßíáé ç ßäéá êáé óôçí ðåñßðôùóç ðïõ áíôß ãéá

óõãêåêñéìÝíï áñéèìü åõèåéþí ç áôüìùí Ý÷ïõìå ãåíéêÜ m åõèåßåò Þ m Üôïìá.

¼ëåò ïé ðñïáíáöåñèåßóåò áðüøåéò, åßíáé êáôÜ ôç ãíþìç ìáò, åíôåëþò

áðáñáßôçôï íá ðáñèïýí õðüøç, ãéá íá êáôáñôéóôåß Ýíá ðñüãñáììá êáé Ýíá

óþìá ãíùóôéêïý õëéêïý ðïõ íá âïçèÜåé ðñïò ôçí êáôåýèõíóç íá êåñäéèåß ôï

åíäéáöÝñïí, ç áãÜðç êáé ç åñãáôéêüôçôá ôùí ìáèçôþí, éäßùò ôùí ìéêñþí ïé

ïðïßïé åýêïëá áðïãïçôåýïíôáé üôáí êÜôé äåí ôïõò "ðÜåé êáëÜ"....

¸÷ïíôáò êáôÜ íïõ áõôÝò ôéò óêÝøåéò äýï êáé ðëÝïí ÷ñüíéá ôþñá áðü

ìÜèçìá óå ìÜèçìá, âäïìÜäá ôç âäïìÜäá Ý÷ïõìå ðñïóåêôéêÜ åðéëÝîåé êáé

äéäÜîåé Ýíá åêôåôáìÝíï õëéêü ãéá ðñïåôïéìáóßá ìáèçôþí üëùí ôùí ôÜîåùí

áðü ôç Â' ãõìíáóßïõ ùò ôç Â' ëõêåßïõ óå áíôßóôïé÷á ôìÞìáôá ðñïåôïéìáóßáò

ãéá ìáèçìáôéêïýò äéáãùíéóìïýò (Ô.Ð.Ì.Ä.) (Áðü ôïí Ïêô. 2002 ìÝ÷ñé óÞìåñá,

áñ÷éêÜ óôï 2ï Ëýêåéï Êåñáôóéíßïõ êáé óôç óõíÝ÷åéá óôá Ðåéñ. Ëýêåéá

Éùííéäåßïõ, ÆÜííåéï êáé óôï ÑÜëëåéï Ëýêåéï ÐåéñáéÜ).

Ôï õëéêü áõôü (Þ ãéá ôçí áêñßâåéá ìÝñïò ôïõ õëéêïý), êÜíïõìå

ðñïóðÜèåéá íá ðáñïõóéÜóïõìå üóï ãßíåôáé ôáîéíïìçìÝíï, óôï ðáñüí ôåý÷ïò,



ìå ôç óêÝøç üôé ôüóï áõôü êáè' áõôü ôï õëéêü, üóï êáé ç äïìÞ ôïõ,

ðñïóöÝñïíôáé ùò õëéêü áöåôçñßáò, êáëýðôïíôáò ìéá ðñáãìáôéêÞ áíÜãêç

êáé ãéá Ýíá éêáíü ÷ñïíéêü äéÜóôçìá ôùí óõíáäÝëöùí ðïõ èÝëïõí íá

óõãêñïôÞóïõí Ô.Ð.Ì.Ä., áëëÜ äåí ôï áðïöáóßæïõí ãéáôß ôïõò ëåßðåé Ýíá

óõãêñïôçìÝíï ãíùóôéêü õëéêü ðÜíù óôï ïðïßï èá åñãáóôïýí. Êáé Ý÷ïõí

äßêéï íá åßíáé åðéöõëáêôéêïß. ¼óïé ðÞñáí ôï ñßóêï èá Ý÷ïõí áíôéëçöèåß üôé

ôá ðñÜãìáôá äåí åßíáé êáé ôüóï áðëÜ.

¼óïí áöïñÜ ôéò ëýóåéò ôùí ðñïôåéíïìÝíùí èåìÜôùí, õðÜñ÷ïõí ôñåéò

ëüãïé ãéá ôïõò ïðïßïõò äåí óõìðåñéëáìâÜíïíôáé óôï ðáñüí ôåý÷ïò. Ï ðñþôïò

åßíáé ðñáêôéêüò (Ýëëåéøç ÷þñïõ). Ï äåýôåñïò åßíáé ãéáôß ãéá ôïõò

ðåñéóóüôåñïõò äåí åßíáé áðáñáßôçôåò. Êáé ï ôñßôïò åßíáé ãéá íá ìç

óôåñÞóïõìå áðü êáíÝíá áíáãíþóôç ôç ÷áñÜ ôçò åðßëõóçò, éäéáßôåñá ôùí

êÜðùò áðáéôçôéêþí ðñïâëçìÜôùí.



ÐÐññïïââëëÞÞììááôôáá ããééáá ôôçç ÂÂ´́ êêááéé ÃÃ´́ ÃÃõõììííááóóßßïïõõ......êêááéé üü÷÷éé ììüüííïï

Î åêéíþíôáò êáíåßò íá êÜíåé ìÜèçìá óå (ìéêñÜ) ðáéäéÜ üðùò åßíáé ôçò

Â´, áëëÜ êáé ôçò Ã´ Ãõìíáóßïõ, ÷ñåéÜæåôáé éäéáßôåñç ðñïóï÷Þ. ÐïëëÞ

èåùñßá óßãïõñá äåí îÝñïõí, åîïéêåßùóç ìå óõìâïëéóìïýò äåí Ý÷ïõí,

áðïäåßîåéò (ôõðéêÝò) åðßóçò äåí Ý÷ïõí äéäá÷èåß. ¸÷ïõí üìùò åîïéêåßùóç

ìå ôïõò öõóéêïýò áñéèìïýò êáé óßãïõñá äéáèÝôïõí èåìåëéþäåéò

ëïãéêïìáèçìáôéêÝò éêáíüôçôåò (áõôü ðïõ ìåñéêïß ïíïìÜæïõí öõóéêÞ

óêÝøç). ÐÜíù ó´ áõôÜ ôá äýï óôïé÷åßá åßíáé óêüðéìï íá óôçñßîåé êáíåßò ôç

óõíåñãáóßá ôïõ ìå ìáèçôÝò ôçò Â´ ãõìíáóßïõ óå ÔìÞìáôá Ðñïåôïéìáóßáò

Ìáèçìáôéêþí Äéáãùíéóìþí. Êáé öõóéêÜ ôá õðü äéáðñáãìÜôåõóç

ðñïâëÞìáôá ðÜíôá èá ðñÝðåé íá äéáêñßíïíôáé áðü Ýíá ðñïêëçôéêü –

åëêõóôéêü (êáé Þ äõíáôüí) äéáóêåäáóôéêü ÷áñáêôÞñá. Åðßóçò ðñÝðåé íá

åßíáé óáöÞ êáé ðëÞñç íïÞìáôïò ãéá ôïõò ìáèçôÝò.

Ì' áõôÝò ôéò óêÝøåéò ðÜíôá êáôÜ íïõ, ðñïôåßíïõìå (áí âÝâáéá

óõìöùíåßôå) íá îåêéíÞóïõìå ôï Ìáñáèþíéï ôùí Ìáèçìáôéêþí

Äéáãùíéóìþí áêïëïõèþíôáò ôá ðáñáêÜôù âÞìáôá – ðñïâëÞìáôá:

1. Âñåßôå ôïõò öõóéêïýò áñéèìïýò á, â áí éó÷ýïõí

ïé éóüôçôåò:

(i) (5 – á) � (â – 3) – 12

(ii) (5 – á) � (â : 3) = 12

2. Âñåßôå ôïõò öõóéêïýò á, â, ã áí éó÷ýåé ç éóüôçôá:

á[5 + 3â + ã � (34 – 28)] = 5

3. Ôï ðëÜôïò åíüò ïñèïãùíßïõ åßíáé 4 ìïíÜäåò, ôï

ìÞêïò ôïõ åßíáé (2x + 2) ìïíÜäåò êáé ôï

åìâáäüí ôïõ åßíáé 48 ôåôñáãùíéêÝò ìïíÜäåò.

Ðüóï åßíáé ôï x;

4. Âñåßôå ôçí ôéìÞ ôïõ x áí 3x+2 = 3x + 216.

5. Âñåßôå üëá ôá æåýãç öõóéêþí áñéèìþí á êáé â

ðïõ éêáíïðïéïýí ôéò ó÷Ýóåéò:

6 < 2 + á – â êáé 6 < á < 10.

��

6. Ðüóïé åßíáé üëïé ïé äéøÞöéïé áñéèìïß;

(i) Ðüóïé áð' áõôïýò Ý÷ïõí ßäéá êáé ôá äýï

ôïõò øçößá;

(ii) Ðüóïé äéáöïñåôéêÜ êáé ôá äýï ôïõò

øçößá;

(iii) ÁðáíôÞóôå óôá ßäéá åñùôÞìáôá ãéá

ôñéøÞöéïõò.

7. Ðïéïò åßíáé ï ìéêñüôåñïò êáé ðïéïò ï

ìåãáëýôåñïò áêÝñáéïò ðïõ ìðïñåßôå íá

ãñÜøåôå ìå äýï ìüíï øçößá;

8. ¸íáò áóèåíÞò ðáßñíåé Ýíá ÷Üðé êÜèå 6 þñåò.

Óå ðüóåò þñåò èá ðÜñåé 12 ÷Üðéá;

9. Ðüóïé áêÝñáéïé áñéèìïß õðÜñ÷ïõí ìåôáîý

ôïõ –2000 êáé ôïõ 2000;. Ðüóá øçößá

÷ñåéÜæïíôáé ãéá íá ãñáöôïýí;

10. Ðüóá øçößá èá ÷ñåéáóôåß ï ÄÞìïò óáò ãéá íá

áñéèìÞóåé üëá ôá óðßôéá åíüò äñüìïõ áí åßíáé

óõíïëéêÜ 150;

11. ¸íáò ôõðïãñÜöïò ÷ñåéÜóôçêå 4221 øçößá

ãéá ôçí áñßèìçóç ôùí óåëßäùí åíüò âéâëßïõ.

Ðüóåò óåëßäåò åß÷å áõôü ôï âéâëßï;

12. ÂÜëå ôá øçößá 2,4,6 óôçí êáôÜëëçëç èÝóç

þóôå íá éó÷ýåé ç áíéóüôçôá:

0,� > 0,��

��

13. Âñåßôå ôñåéò äéáäï÷éêïýò öõóéêïýò ìå

Üèñïéóìá 159.

14. ÃñÜøôå ôïí áñéèìü 2002 óáí Üèñïéóìá 13

äéáäï÷éêþí öõóéêþí.

15. ÕðÜñ÷ïõí 10 öõóéêïß áñéèìïß ìå Üèñïéóìá

45; Áí íáé ðïéïß åßíáé áõôïß;

16. ÕðÜñ÷ïõí 14 äéáäï÷éêïß öõóéêïß áñéèìïß ìå

Üèñïéóìá 91; áí íáé ðïéïé åßíáé áõôïß;

17. Íá åîåôÜóåôå áí ï áñéèìüò 32001 ìðïñåß íá

ãñáöåß óáí Üèñïéóìá 3 äéáäï÷éêþí öõóéêþí.

��

18. Ðïéá åßíáé ç ìåãáëýôåñç äõíáôÞ ôéìÞ

ãñáììáôïóÞìïõ ðïõ äåí ìðïñåß íá ðëçñùèåß

ìå íïìßóìáôá áîßáò 2 êáé 5 Åõñþ êáé ìüíï;

19. Ðþò ìðïñïýìå íá ìåôñÞóïõìå 9 ëåðôÜ ìå ôç

âïÞèåéá ìéáò êëåøýäñáò ôùí 5 êáé ìéÜò ôùí 7

ëåðôþí;

20. ¸÷ïõìå óôç äéÜèåóç ìáò êëåøýäñá ôùí 4 êáé

7 ëåðôþí (üóåò ÷ñåéÜæïíôáé áðü ôï êÜèå



Ðåñéóóüôåñá (óõíïëéêÜ 193 ðñïâëÞìáôá)

äåßôå óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 135-149)

Íá äåé÷ôåß üôé ï áñéèìüò �3 ��5��+� 2� – �3 ��5��–�2� åßíáé ñçôüò.

¸óôù á, â, ã, ä èåôéêïß áêÝñáéïé ãéá ôïõò ïðïßïõò éó÷ýåé:

�á

ã� = �

â

ä� = �

áâ

ã

+

ä+1

1� . Íá äåé÷ôåß üôé èá åßíáé á = ã Þ â = ä.

Áí á2 = 7â + 51 êáé â2 = 7á + 51 üðïõ á,â�R ìðïñåßôå íá âñåßôå ôï

ãéíüìåíï áâ;

Áí á, â èåôéêïß ðñáãìáôéêïß êáé ç�N* Ýôóé þóôå:

�(

(

á

á

+

+

â

â

)

)

n

n

+

– (

(

á

á

–

–

â

â

)

)

n

n� = �

á

â�, íá äåé÷ôåß üôé á = â.

Áí éó÷ýïõí ïé ó÷Ýóåéò:

� � íá äåé÷ôåß üôé x = y = z.

Íá ëõèåß óôï R ç åîßóùóç: 2x2 – 3x = 2x�x2� –� 3�x� + 1.

Íá ëýóåôå óôï R ôçí åîßóùóç: (4x2 + 6x + 4) � (4y2 – 12y + 25) = 28

Íá åîåôÜóåôå áí ç åîßóùóç: x2003 = x2004 + 1 Ý÷åé ñçôÞ ñßæá.8.

7.

6.

x + y2 + z4 = 0

y + z2 + x4 = 0

z + x2 + y4 = 0

5.

4.

3.

2.

1.



Tá ðáñáêÜôù èÝìáôá áðåõèýíïíôáé óå ìáèçôÝò Á´, Â´ êáé Ã´ Ëõêåßïõ

ðïõ áãáðïýí ôá ìáèçìáôéêÜ (åßôå áó÷ïëïýíôáé ìå Äéáãùíéóìïýò, åßôå ü÷é).

ÈÈÝÝììááôôáá ÁÁëëããååââññ éé êê ïï ýý ËË ïïãã éé óóìì ïï ýý

Ðåñéóóüôåñá èÝìáôá (óõíïëéêÜ 13 óôïí Áëãåâñéêü Ëïãéóìü, 13

óôéò Áíéóüôçôåò, 29 óôç Ãåùìåôñßá, 33 óôçí Áñéèìïèåùñßá, 19

óôçí Áñ÷Þ Dirichlet êáé 13 óôéò ÓõíáñôçóéáêÝò Åîéóþóåéò) äåßôå

óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 149-164)

Åí ï ÷ ë ç ì Ý í ï é

(üðùò ïé ßäéïé

ïìïëïãïýí), Ýíá

æåõãÜñé óõíôáîéïý-

÷ùí ðáíåðéóôçìéáêþí êáèçãçôþí (Bob êáé Elen Kaplan) êáé Ýíáò öïéôçôÞò

ôïõò (ï Thomas Guillermo), áðü ôç öôù÷Þ ðïéüôçôá êáé ôï ÷áìçëü åðßðåäï

ôçò ìáèçìáôéêÞò åêðáßäåõóçò óôç ÷þñá ôïõò, ôéò ÇíùìÝíåò Ðïëéôåßåò ôçò

ÁìåñéêÞò, ôï Óåðôåìâñßï ôïõ 1994 óõíÝóôçóáí ôïí "Êýêëï ôùí

Ìáèçìáôéêþí".

Óôçí áñ÷Þ íïßêéáóáí êÜðïéï ÷þñï áðü ôçí ôïðéêÞ

åêêëçóßá üðïõ äñáóôçñéïðïéÞèçêáí ãéá Ýíá åîÜìçíï,

ðñïóåëêýïíôáò áõôÞ ôçí ðåñßïäï 29 ìáèçôÝò ïé ïðïßïé êáé

óõíåéóÝöåñáí üðïôå ÷ñåéáæüôáí ãéá ôçí êÜëõøç ôùí åîüäùí

ðïõ ðñáãìáôïðïéïýíôáí.

Ïé ðñþôïé ìáèçôÝò ðñïÝñ÷ïíôáí áðü Ñþóïõò ìåôáíÜóôåò

êáé êÜðïéïõò ðáëáéüôåñïõò ìáèçôÝò ôùí Kaplan. Óôç óõíÝ÷åéá

áðü óôüìá óå óôüìá äéáäüèçêå ç ëåéôïõñãßá ôïõ "Êýêëïõ" êáé

Ýöôáóáí íá ðáñáêïëïõèïýí ôï 2001 ðÜíù áðü 200 ìáèçôÝò,

ðïëëïß áðü ôïõò ïðïßïõò ðñïÝñ÷ïíôáí áðü ðïëý ìáêñéíÝò ðåñéï÷Ýò.

Ç óçìáóßá êáé ç áîßá ôçò ðñïóðÜèåéáò ôùí Kaplan äåí Üñãçóå êáèüëïõ

íá åêôéìçèåß êáé Þäç áðü ôç äåýôåñç ðåñßïäï ëåéôïõñãßáò ôïõ "Êýêëïõ" ôá

ðáíåðéóôÞìéá Northeastern êáé Harvard ôïõò ðáñå÷þñçóáí óôÝãç, ü÷é

ìüíï ãéá ôá ìáèÞìáôá ôïõ ÓáââÜôïõ (ðïõ ôþñá ðëÝïí ãßíïíôáé ÊõñéáêÞ),

áëëÜ êáé ãéá ôá áðïãåõìáôéíÜ ìáèÞìáôá êÜèå Ôñßôç êáé ÔÝôÜñôç ôá ïðïßá

ðáñáêïëïõèïýí êõñßùò ïé íåüôåñïé ìáèçôÝò áðü 5 åþò 11 åôþí (óå 9

ôìÞìáôá êáôÜ ôï 2001).


Ï êýêëïò ôùí Ìáèçìáôéêþí

ôùí Helen êáé Bob Kaplan

Ìéá áîéüëïãç åèåëïíôéêÞ ðñùôïâïõëßá ìå

õðÝñ10åôÞ áäéÜêïðç äñáóôçñéüôçôá ðïõ

êåñäßæåé üëï êáé ðåñéóóüôåñç åêôßìçóç áëëÜ

êáé ìéìçôÝò óå äéåèíÝò åðßðåäï.

«Ï Êýêëïò ôùí Ìáèçìáôéêþí»

Ðåñéóóüôåñá óôï 1ï ôåý÷ïò

ôïõ “ö” (óåë. 165-168)


Ôï ÂÞìá óôïõò ÌáèçôÝò ìáò

H ìáèçìáôéêÞH ìáèçìáôéêÞ

åñìçíåßáåñìçíåßá

ìéáò áôõ÷ßáòìéáò áôõ÷ßáò

áðü ôïí

ÌðÜìðç ÌáíïõóéÜäç

(ìáèçôÞ Â´ ôÜîçò Ãõìíáóßïõ

ó÷. ÷ñïíéÜ 2002 - 2003)

Ìå óêïðü íá ðñïâëçèåß ç ðñïóðÜèåéá ôçò Å.Ì.Å. ãéá ôç ëåéôïõñãßá

êáôÜ ôüðïõò ÊÝíôñùí üðïõ äéåîÜãïíôáé ïñãáíùìÝíá ìáèÞìáôá ãéá

Ìáèçìáôéêïýò Äéáãùíéóìïýò, óôéò 9/5/2003 óôï Ðïëéôéóôéêü ÊÝíôñï

“Ìåëßíá Ìåñêïýñç” ôïõ ÄÞìïõ Êåñáôóéíßïõ, ïñãáíþèçêå ìéá çìåñßäá

ôçí ïðïßá ðáñáêïëïýèçóáí ðïëëïß óõíÜäåëöïé áðü Ó÷ïëåßá ôçò

åõñýôåñçò ðåñéï÷Þò, Åêðñüóùðïé Óõëëüãùí ÃïíÝùí, Åêðñüóùðïò ôïõ

ÕÐÅÐÈ, ï Ðñüåäñïò ôçò Å.Ì.Å., ï ÄéåõèõíôÞò Â´èìéáò Åêðáßäåõóçò ôïõ

ÐåéñáéÜ, ïé Óýìâïõëïé ôùí Ìáèçìáôéêþí ôïõ ÐåéñáéÜ êáé áñêåôïß

ìáèçôÝò. Óå ìéá ôÝôïéá åêäÞëùóç ìå ôÝôïéï óôü÷ï, èá Þôáí ðáñÜäïîï áí ïé

ìáèçôÝò Þôáí áðëþò áêñïáôÝò. ÊÜôé ðáñüìïéï äåí óõíÝâç. Áðåíáíôßáò ïé

ìáèçôÝò «Ýêëåøáí ôçí ðáñÜóôáóç». Êáé ü÷é ìå ëüãéá, áëëÜ ìå Ýñãá.

Ðáñïõóßáóáí åñãáóßåò ôïõò ðÜíù óå ðïëý åíäéáöÝñïíôá ðñïâëÞìáôá ìå

ôá ïðïßá åß÷áí áó÷ïëçèåß êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò ó÷ïëéêÞò ÷ñïíéÜò ðïõ

ôåëåßùíå. Ïé ìáèçôÝò åíèïõóßáóáí ìå ôç óðéñôÜäá êáé ôçí ïñãÜíùóç ôçò

óêÝøçò ôïõò üëïõò ôïõò ðáñéóôÜìåíïõò ìå áðïôÝëåóìá íá åéóðñÜîïõí

åðáßíïõò êáé Ýíá æåóôü ÷åéñïêñüôçìá ï êáèÝíáò ôïõò.

Ôéò åñãáóßåò áõôÝò ðáñïõóéÜæïõìå áðü ôï “ÂÞìá” ìáò åêöñÜæïíôáò

êáé áðü åäþ ôéò èåñìüôåñåò åõ÷Ýò ìáò ðñïò áõôÜ ôá ðáéäéÜ ãéá ëáìðñÞ

åðéóôçìïíéêÞ óôáäéïäñïìßá.

Êáé åßíáé óßãïõñï ðùò Ý÷ïõí ôéò äõíÜìåéò êáé ôç èÝëçóç íá êÜíïõí ôéò

åõ÷Ýò ìáò ðñáãìáôéêüôçôá.

Â. Å. Â.

Äýï ößëïé, ðïõ ï Ýíáò Ýðéáóå ôçí 1ç Éáíïõáñßïõ äïõëåéÜ êáé

ðáßñíåé ñåðü êÜèå 5 åñãÜóéìåò çìÝñåò, êáé Ýíáò Üëëïò ðïõ

Ýðéáóå äïõëåéÜ óôéò 2 Éáíïõáñßïõ êáé ðáßñíåé ñåðü êÜèå 7

åñãÜóéìåò çìÝñåò, èÝëïõí íá ðÜíå åêäñïìÞ ôéò ïéêïãÝíåéÝò

ôïõò ìáæß, èá ôï êáôáöÝñïõí ðïôÝ;

Ôï ÂÞìá óôïõò ÌáèçôÝò ìáò


4

3

2

1

1

√5

√5

2

ËýóçËýóç

Ãéá ôïí ðñþôï, óôéò 6 çìÝñåò ç ìßá åßíáé ñåðü, ãéá ôï äåýôåñï óôéò 8 çìÝñåò

ç ìßá åßíáé ñåðü.

Áí ì êáé í áíôßóôïé÷á, åßíáé ïé "åâäïìÜäåò", äçëáäÞ ôï 6Þìåñï êáé ôï

8Þìåñï áíôßóôïé÷á, ôüôå ìðïñïýìå íá ðïýìå üôé üôáí èá óõíáíôçèïýíå ãéá

ôïí ðñþôï èá Ý÷ïõí ðåñÜóåé áðü ôçí 1/1 ì "åâäïìÜäåò" êáé 5 ìÝñåò, äçëáäÞ:

ïé 6 çìÝñåò x ôéò "åâäïìÜäåò" ðïõ Ý÷åé äïõëÝøåé + 5

Ýôóé ìáèáßíïõìå áí Ý÷åé äïõëÝøåé ì åâäïìÜäåò, ðïéá ìÝñá ôïõ ÷ñüíïõ èá

åßíáé ôüôå, äçëáäÞ 6ì + 5 çìÝñåò.

Ãéá ôïí äåýôåñï áðü ôéò 2/1 èá Ý÷ïõí ðåñÜóåé 8í +7. ¢ñá áðü ôçí 1/1 ìÝ÷ñé

ôçí ðáñáìïíÞ ôïõ êïéíïý ñåðü èá Ý÷ïõí ðåñÜóåé 8í +7+1.

¸ôóé âëÝðïõìå üôé ãéá íá õðÜñîåé êïéíü ñåðü ðñÝðåé: 6ì + 5 = 8í +7+1

äçëáäÞ

6ì + 5= 8í +8

Áõôü êáé áí åßíáé áôõ÷ßá...

Ðåñéôôüò = ¢ñôéïò;;;;

¸÷ïõìå Ýíá ðßíáêá 3 × 4 êáé ðåôÜìå ðÜíù ôïõ 7 êéìùëßåò.

Ãéáôß èá õðÜñ÷ïõí ôïõëÜ÷éóôïí äõï óçìÜäéá ðïõ èá

áðÝ÷ïõí ìåôáîý ôïõò ôï ðïëý ��5��;

ËýóçËýóç

×ùñßæïõìå ôïí ðßíáêá óå Ýîé (6) ßóá ïñèïãþíéá ðáñáëëçëüãñáììá

äéáóôÜóåùí 2 � 1 ôï êáèÝíá, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷Þìá. Ôüôå áöïý åßíáé 6

ôá ðáñáëëçëüãñáììá êáé 7 ôá óçìÜäéá, óå êÜðïéï ðáñáëëçëüãñáììï èá

õðÜñ÷ïõí ôïõëÜ÷éóôïí äýï óçìÜäéá. ¼ìùò ç ìåãáëýôåñç äõíáôÞ áðüóôáóç

ðÜíù ó’ áõôü ôï ðáñáëëçëüãñáììï åßíáé ç äéáãþíéïò ôïõ ðïõ åßíáé ßóç ìå

�22� +� 1�2� = �5�, ïðüôå ôï æçôïýìåíï áðïäåß÷ôçêå.

Äßíåôáé Ýíáò êýâïò óôïí ïðïßï óå üëåò ôéò êïñõöÝò åßíáé

ôïðïèåôçìÝíï ôï 0, åêôüò áðü ìéá óôçí ïðïßá åßíáé

ôïðïèåôçìÝíï ôï 1.¸íá ðáé÷íßäé ,ëïéðüí, Ý÷åé ùò åîÞò: Óå

êÜèå êßíçóç, åðéëÝãåéò ìéá áêìÞ êáé ðñïóèÝôåéò êáé óôá äýï

Üêñá ôçò áðü ìßá ìïíÜäá.

¸íá ðñüâëçìá¸íá ðñüâëçìá

Ðåñéóôåñï-Ðåñéóôåñï-

öùëéÜòöùëéÜò

áðü ôïí

Ãéþñãï Ëýêï


ó÷. ÷ñïíéÜ 2002 - 2003)

¸íá ðñüâëçìá¸íá ðñüâëçìá

áíáëëïéþôùíáíáëëïéþôùí

áðü ôïí

Ðáíáãéþôç Êáíôéþôï


ó÷. ÷ñïíéÜ 2002 - 2003) Ðåñéóóüôåñá óôï 1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 169-176)

(á) Ï ÃéÜííçò êáé ç Ìáñßá ðáßæïõí Ýíá ðáé÷íßäé

áñ÷ßæïíôáò ìå ôï ó÷Þìá ôçò åéêüíáò 1.

Ï ÃéÜííçò áñ÷ßæåé ôï ðáé÷íßäé êüâïíôáò ôï áñ÷éêü ó÷Þìá

êáôá ìÞêïò ôùí ãñáììþí. ¸ðåéôá, äßíåé ôï êïììÜôé, óôï

ïðïßï åìðåñéÝ÷åôáé ôï ìáýñï ôñßãùíï óôç Ìáñßá, ç ïðïßá

êÜíåé ôçí ßäéá áêñéâþò åíÝñãåéá/âÞìá ìå ôïí ÃéÜííç.

×áìÝíïò áíáêõñÞóåôáé ï ðáß÷ôçò, ðïõ üôáí Ýñèåé ç óåéñÜ

ôïõ ôïõ äïèåß ìüíï ôï ìáýñï ôñßãùíï. Áðïäåßîôå üôé ç

Ìáñßá Ý÷åé óôñáôçãéêÞ íßêçò.

(â) Ôþñá ï ÃéÜííçò êáé ç Ìáñßá ðáßæïõí ôï ßäéï

ðáé÷íßäé, áëëÜ ìå äéáöïñåôéêü áñ÷éêü ó÷Þìá. ÁõôÞ ôç


ÌáèçìáôéêÜ ðáé÷íßäéá

åéêüíá 1

12 3

4

1o

Ìáíüëçò Áäáì. ÊñáóáíÜêçòÌáèçôÞò Á´ ÔÜîçò ëõêåßïõ

ÐåéñáéÜò

ËËÕÕÓÓÇÇ

• Ãéá ôçí äéåõêüëõíóç ìáò èá ïíïìÜóïõìå ôá ôñßãùíá ìå áñéèìïýò (üðùò

öáßíåôáé äßðëá).

• ¸ðåéôá, åîåôÜæïõìå ìßá-ìßá ôéò ðåñßðôùóåéò:

1. Áí ï ÃéÜííçò êüøåé ôï ôñßãùíï 1, ôüôå ç Ìáñßá ïöåßëåé íá êüøåé ôï

ôñßãùíï 4 ãéá íá íéêÞóåé. Ôüôå ï ÃéÜííçò ðñÝðåé íá åðéëÝîåé íá êüøåé

áíÜìåóá óôá ôñßãùíá 2 êáé 3 áöÞíïíôáò Ýôóé óôç Ìáñßá íá êüøåé ôï

ôåëåõôáßï ôñßãùíï, ðïõ Ý÷åé ìåßíåé,êáé ôáõôü÷ñïíá íá ðÜñåé ôçí íßêç.

2. Áí ï ÃéÜííçò êüøåé ôá ôñßãùíá 1 êáé 2, ôüôå ç Ìáñßá èá íéêÞóåé

êüâïíôáò ôá ôñßãùíá 3 êáé 4.

3. Ôï ßäéï óõìâáßíåé áí ï ÃéÜííçò îåêéíÞóåé êüâïíôáò áðü ôá äåîéÜ ðñïò

ôá áñéóôåñÜ.

öïñÜ ÷ñçóéìïðïéïýí ôï ó÷Þìá óôçí åéêüíá 2. Aðïäåßîôå

üôé ç Ìáñßá îåêéíþíôáò ôï ðáé÷íßäé Ý÷åé óôñáôçãéêÞ íßêçò.

ÌáèçìáôéêÜ ðáé÷íßäéá


7 1

8 2

9 3

4 5 6

ËËÕÕÓÓÇÇ

• Ãéá íá äéåõêïëõíèïýìå êáôÜ ôçí åîÝôáóç ôùí ðåñéðôþóåùí áò

ïíïìÜóïõìå ôéò ãñáììÝò ìå áñéèìïýò.

• ÅðåéäÞ, ç Ìáñßá åßôå êüøåé ìßá áðü ôéò ãñáììÝò 1,2,3, åßôå áðü ôéò 6,5,4,

åßôå áðü ôéò 9,8,7 óôï ðñþôï âÞìá, èá ðñïêëçèïýí áíôßóôïé÷á ôá ßäéá

áðïôåëÝóìáôá, èá åñãáóôïýìå ðÜíù óå Ýíá æåõãÜñé ãñáììþí áðü ôéò

(1,2,3) (ãéá ôï ðñþôï âÞìá).

• ¸ðåéôá ðáßñíïõìå ìßá-ìßá ôéò ðåñéðôþóåéò:

1. Áí ç Ìáñßá êüøåé ôçí ãñáììÞ 2, ôüôå ï ÃéÜííçò ìðïñåß íá êüøåé ôçí

ãñáììÞ 3,êáé íá ïäçãÞóåé ôçí Ìáñßá óôçí Þôôá (1á).

2. Áí ç Ìáñßá êüøåé ôç ãñáììÞ 3,ôüôå ï ÃéÜííçò ìðïñåß íá êüøåé ôçí

ãñáììÞ 2, êáé íá ïäçãÞóåé ôçí Ìáñßá óôçí Þôôá (1á).

3. Áí ç Ìáñßá êüøåé ôçí ãñáììÞ 1, ôüôå ï ÃéÜííçò Ý÷åé íá åðéëÝîåé

áíÜìåóá óôéò 9,8,7,3,2,4,5,6. ÅÜí ï ÃéÜííçò êáôáëÞîåé óôï íá êüøåé ìßá

áðü ôéò 8,7,3,2,4,5, ç Ìáñßá êüâïíôáò ôéò 7,8,2,3,5,4 áíôßóôïé÷á óå êÜèå

ðåñßðôùóç ìðïñåß íá ôïí ïäçãÞóåé óôçí Þôôá (1á). Åáí, üìùò, ï ÃéÜííçò

êüøåé ìßá áðü ôéò 9 êáé 6,ç Ìáñßá äåí Ý÷åé ðáñÜ íá êüøåé ôçí Üëëç ðïõ

áðÝìåéíå, þóôå íá ôïí ïäçãÞóåé óå ìßá áðü ôéò ðñïãåíÝóôåñåò åðéëïãÝò,

êáé åðïìÝíùò óôçí Þôôá.

• ¢ñá ç Ìáñßá ãéá íá íéêÞóåé äåí Ý÷åé ðáñÜ íá áêïëïõèÞóåé ôá âÞìáôá

ôçò 3çò ðåñßðôùóçò.

åéêüíá 2


Ôá ôåëåõôáßá ÷ñüíéá Ý÷åé êáèéåñùèåß, ôá ðÜóçò öýóåùò âïçèÞìáôá

óôá ÌáèçìáôéêÜ (áëëÜ êáé óå Üëëá ìáèÞìáôá), íá ðñïôåßíïõí

êáé ìéá óåéñÜ áðü äéáãùíßóìáôá ãéá âïÞèåéá óôï Ýñãï ôïõ êáèçãçôÞ.

Äåí åßíáé óðÜíéåò ïé êáëÝò éäÝåò ðïõ ìðïñåß êáíåßò íá åíôïðßóåé ó'

áõôÜ. Óõ÷íÜ üìùò ðñüêåéôáé ãéá ìéá áðëÞ ðáñÜôáîç åñùôçìÜôùí

÷ùñßò äïìÞ êáé óõíï÷Þ, ÷ùñßò åðéóôçìïëïãéêü õðüâáèñï êáé óôü÷ïõò,

ðïõ åîáíôëåßôáé óôç ìïñöïëïãéêÞ áðïìßìçóç ôùí èåìÜôùí ôùí Ãåí.

ÅîåôÜóåùí (áêïëïõèþíôáò ðñïöáíþò ðéóôÜ ôéò íôéñåêôßâåò ôïõ Ð.É.)

êáé óôçí "êáôÜëëçëç" ìïñéïäüôçóç ãéá íá ðñïêýðôåé ðÜíôá ôï ãíùóôü

100Üñé.

Ðáñ' üëá áõôÜ åßíáé óßãïõñï ðùò ðïëëïß óõíÜäåëöïé ÷ñçóéìïðïéïýí

êáé áîéïðïéïýí êáôÜ ôçí êñßóç ôïõò áõôü ôï õëéêü ðåôõ÷áßíïíôáò

ðïëëÝò öïñÝò áîéüëïãåò óõíèÝóåéò. ÁõôÞ ç ðëåõñÜ ôçò äïõëåéÜò ôùí

óõíáäÝëöùí ðéóôåýïõìå ðùò ìðïñåß íá õðçñåôçèåß ìå ôçí ðáñïõóßáóç

ôùí ðáñáêÜôù äéáãùíéóìÜôùí ðïõ ôïõëÜ÷éóôïí Ý÷ïõí ôï ðëåïíÝêôçìá

üôé åßíáé ðñáãìáôéêÜ êáé äïêéìáóìÝíá êáé ìÜëéóôá óå ó÷ïëåßá êáé

ðåñéï÷Ýò ðïëý äéáöïñåôéêÝò ìåôáîý ôïõò. Áò ðïýìå ðùò ì' áõôÜ ôá

äåäïìÝíá ç ðáñïýóá óôÞëç áðïôåëåß Ýíá óçìåßï óõíÜíôçóçò, Ýíá âÞìá

äéáëüãïõ, Ýíá âÞìá åðéêïéíùíßáò ôùí éäåþí ìáò êáé ôùí áíôéëÞøåùí

ìáò üðùò áõôÝò óõìðõêíþíïíôáé Þ áíáäýïíôáé ìÝóá áðü ôá

äéáãùíßóìáôá ìáò.

ÂÝâáéá ãéá ôïí áíáãíþóôç - óõíÜäåëöï ìéá áíáöïñÜ óôï ðíåýìá êáé

ôïõò óôü÷ïõò ôùí äéáãùíéóìÜôùí êáèþò êáé Ýíá óôáôéóôéêü ìå ôá

áíôßóôïé÷á ó÷üëéá ôùí õðïãñáöüíôùí ôá äéáãùíßóìáôá óõíáäÝëöùí, èá


ÊáôÜèåóç Éäåþí ìÝóá áðü ÐñáãìáôéêÜ Äéáãùíßóìáôá

18.qxp 29/1/2008 12:57 �� Page 183

åß÷å ðïëý ðåñéóóüôåñá íá ðñïóöÝñåé. ¼ìùò ï ÷ñüíïò ðïõ æçôÞèçêáí

áõôÜ áðü ôïõò ößëïõò - óõíáäÝëöïõò äåí åõíüçóå ìéá ôÝôïéá

äõíáôüôçôá. Ôï ßäéï éó÷ýåé êáé ãéá ôïí ãñÜöïíôá, ìéáò êáé ôüóï ï ÷ñüíïò

ðïõ áðïöáóßóôçêå íá õðÜñîåé áõôÞ ç óôÞëç óôï ðáñüí, äåí åðÝôñåðå

áíáöïñÝò óå óôáôéóôéêÜ äéáãùíéóìÜôùí ðñïçãïýìåíùí ÷ñüíùí (ïýôå

êáí ôïõ ôñÝ÷ïíôïò) üóï êáé ãéáôß ôá ÷ñïíéêÜ ðåñéèþñéá ðïõ Üöçíå ôï

÷ñïíïäéÜãñáììá ôïõ ôåý÷ïõò Þôáí ðñáãìáôéêÜ áóöõêôéêÜ.

Óôç óõíÝ÷åéá ðáñáôßèåíôáé ôá äéáãùíßóìáôá ðïõ Ý÷ïõìå óôç

äéÜèåóÞ ìáò êáôÜ ôÜîç (ìå áýîïõóá óåéñÜ) êáé óôá ðëáßóéá ôçò êÜèå

ôÜîçò ìå áëöáâçôéêÞ óåéñÜ ìå âÜóç ôï åðþíõìï ôùí äçìéïõñãþí ôïõò.



ÙÑÉÁÉÁ ÃÑÁÐÔÇ ÄÏÊÉÌÁÓÉÁ Á´ ÔÑÉÌÇÍÏÕ

ÓÔÁ ÌÌÁÁÈÈÇÇÌÌÁÁÔÔÉÉÊÊÁÁ

01/12/2003

ÄéäÜóêùí: ÊõñéÜêïò ÊáìðïýêïòM.sc. óôá ÌáèçìáôéêÜ

M. ed. óôç ÄéäáêôéêÞ êáé Ìåèïäïëïãßá ôùí Ìáèçìáôéêþí

Íá óõìðëçñþóåôå ôéò ðáñáêÜôù ôáõôüôçôåò:

á) (á + â) � (á – â) =

â) (á + â)3 =

ã) (á – â)2 =

Íá âñåßôå ôá ðáñáêÜôù áíáðôýãìáôá:

á) (3x2 – 4y3)2 =

â) (2 + x)3 =

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:

á) (3x + 1)2 – (x – 2) � (x + 2) – (4x + 1) � 2x =

â) (4x – 1)2 – (4x + 1)2 = ÅöáñìïãÞ ôáõôïôÞôùí óå ðéïóýíèåôç ìïñöÞ (Ôá á, âáðáíôÞèçêáí áíôßóôïé÷á áðü 4êáé 9 ìáèçôÝò).

ÅöáñìïãÞ ôùí ôáõôïôÞôùí êáééäéïôÞôùí äõíÜìåùí. (Ôá á, âáðáíôÞèçêáí áðü 6 êáé 11ìáèçôÝò).

Êßíçôñï ãéá íá äéáâÜóïõí ôéòôáõôüôçôåò êáé ôüíùóç ôçòáõôïðåðïßèçóçò. (Ôá åñùôÞìáôááðáíôÞèçêáí áíôßóôïé÷á áðü 11,14 êáé 17 ìáèçôÝò).

1ïÃõìíÜóéï Óáëáìßíáò




Óôü÷ïé:

18.qxp 29/1/2008 12:57 �� Page 184

Íá ðáñáãïíôïðïéçèïýí ïé ðáñáêÜôù ðáñáóôÜóåéò:

á) x2(á – â) + 25(â – á) =

â) (x + 1)2 – y2 + 2y – 1 =

ÃÃÅÅÙÙÌÌÅÅÔÔÑÑÉÉÁÁ

ÔÜîç Á´

ÄéäÜóêùí: Ìáíüëçò ÁëéðñÜíôçò

Á. Äåßîôå üôé ç äéÜìåóïò ôïõ ôñáðåæßïõ åßíáé ðáñÜëëçëç ðñïò ôéò âÜóåéò

ôïõ êáé ßóç ìå ôï çìéÜèñïéóìá ôïõòÌïíÜäåò 13

Â. Äßíåôáé ôï ôñáðÝæéï ÁÂÃÄ (ÁÂ//ÃÄ) ìå ÁÂ = 3á êáé ÃÄ = á. Áí Å

êáé Æ åßíáé ìÝóá ôùí ÁÄ êáé ÃÂ êáé Ì ôï ìÝóï ôçò ÅÆ äåßîôå üôé ôï

ôåôñÜðëåõñï ÄÃÌÅ åßíáé ðáñáëëçëüãñáììï.ÌïíÜäåò 12

Óçìåéþóôå óôï ãñáðôü óáò ôçí óùóôÞ áðÜíôçóç.

Á. Óå êÜèå ôñßãùíï ôï óçìåßï ðïõ éóáðÝ÷åé áðü ôéò êïñõöÝò ôïõ åßíáé:

á. Ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí õøþí.

â. Ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí ìåóïêáèÝôùí

ã. Ôï óçìåßï ôïìÞò ôùí äé÷ïôüìùí ä. ÊáíÝíá áðü áõôÜ ôá óçìåßá.

ÌïíÜäåò 5

Â. Áí å1//å2, ∧

Á1 = 2x + 10° êáé ∧

B1 = x – 10° ôüôå ∧

Â2 åßíáé:

á. 130° â. 120° ã. 110° ä. 115° å. 125°

ÌïíÜäåò 5

Ã. Áí åßíáé ÁÂ = ÁÄ = ÄÃ êáé ∧

Á1 = 40° ôüôå ç ∧

Â2 åßíáé:

á. 30° â. 35° ã. 40° ä. 45° å. 50°

ÌïíÜäåò 5

Ä. Áí åßíáé ∧

Á = 90°, ÂÌ = ÌÃ, ∧

Â = 2ù êáé ∧

Ã = ù ôüôå ç ∧

ö åßíáé

á. 50° â. 40° ã. 35° ä. 30° å. 45°ÌïíÜäåò 5

Å. Áí ôï ÁÂÃÄ (ÁÂ//ÃÄ) åßíáé éóïóêåëÝò ôñáðÝæéï ìå ÁÂ = 4x,

ÃÄ = 2x êáé ∧

Â = 45° ôüôå ôï ýøïò ôïõ ôñáðåæßïõ åßíáé:

á. 4x â. 3x ã. 2x ä. x å. 0,5x ôñßãùíï ÁÂÃ

ÌïíÜäåò 5

ÅöáñìïãÞ ôùí ôáõôïôÞôùí óôçíðáñáãïíôïðïßçóç (Ôï ááðáíôÞèçêå ìüíï áðü 1 ìáèçôÞêáé ôï â áðü 3 ìáèçôÝò.



4ïÅíéáßï Ëýêåéï Óåññþí




å1

å2

Á

Â

1

1 2

Á

ÃÂ

Á

ÃÂ Ì

2ù

ö

ù

Ä Ã

Á Â

2x

4x45°

18.qxp 29/1/2008 12:57 �� Page 185

Ná äåßîåôå üôé áí ôá ôñßãùíá ÁÂÃ êáé Á´Â´Ã´ Ý÷ïõí ∧

Á = ∧

Á´, õá = õá´ êáé

õâ = õâ´ åßíáé ßóá.

ÌïíÜäåò 25

Óôï ôñßãùíï ÁÂÃ(ÁÃ > ÁÂ) ç ÁÄ åßíáé äé÷ïôüìïò ôçò ∧

Á. ÖÝñíïõìå ôï

ÂÅ⊥ÁÄ ðïõ ôÝìíåé ôçí ÁÃ óôï Æ. Áí Ì ôï ìÝóï ôçò ÂÃ íá äåßîåôå üôé:

Á. ôï ÁÄ

ÂÆ åßíáé éóïóêåëÝò,

Â. ÅÌ = �ÁÃ –

2

ÁÂ� ,

Ã. Ä∧

ÅÌ = �

∧

Á

2� ÌïíÜäåò 7 + 11 + 7

ÃÃÅÅÙÙÌÌÅÅÔÔÑÑÉÉÁÁ

ÔÜîç Á´

ÄéäÜóê.: Óïößá Áíäñéïðïýëïõ - ÁëéðñÜíôç

á. Íá äåßîåôå üôé:

Ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ðïõ åíþíåé ôá ìÝóá ôùí äýï ðëåõñþí

ôñéãþíïõ åßíáé ðáñÜëëçëï ðñïò ôçí ôñßôç ðëåõñÜ êáé ßóï ìå ôï ìéóü

ôçò.

(Ìïí. 20)

â. Óôï äéðëáíü ó÷Þìá íá õðïëïãéóôïýí ôá x êáé ø áí ÅÄ//ÂÃ.

(Ìïí. 5)

á. Óå êáèÝíá áðü ôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá íá âñåßôå ôá x êáé ø.

(Ç åõèåßá å åßíáé åöáðôïìÝíç óôïí êýêëï)

â. Íá áðïäåé÷èåß üôé êÜèå éóïóêåëÝò ôñáðÝæéï åßíáé åããñÜøéìï.

(Ìïí. 15)

Â

Ã

Ä

Á

Ï

35°50°

x

ø Ï

Á

Â Ã

40°

å

ø

x







ÌïõóéêüËýêåéï Óåññþí

Á

ÃÂ

E2,5

x

ø

Ä

18.qxp 29/1/2008 12:57 �� Page 186

Äßíåôáé ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ (∧

Á = 90°) êáé ç äé÷ïôüìïò ôïõ ÂÄ. Áðü

ôï Ä öÝñíïõìå ÄÅ⊥ÂÃ, ðïõ ôÝìíåé ôçí ÁÂ óôï Æ.

Íá äåßîåôå üôé ÂÆ = ÂÃ.

(Ìïí. 25)

Äßíåôáé ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ (∧

Á = 90°) êáé ôï ýøïò ôïõ ÁÄ.

á. Áí Å, Æ åßíáé ôá ìÝóá ôùí ÁÂ êáé ÁÃ, íá áðïäåßîåôå üôé

ÅÄÆ = Á = 90°.

(Ìïí. 15)

â. Áí Ì åßíáé ìÝóï ôçò ÅÆ, íá áðïäåßîåôå üôé ÄÌ = �Â

4

Ã�.

(Ìïí. 10)

2ùñï ÄÉÁÃÙÍÉÓÌÁ 1ïõ ÔÅÔÑÁÌÇÍÏÕ

ÓÔÇ ÃÃÅÅÙÙÌÌÅÅÔÔÑÑÉÉÁÁ

ÔÜîç Á´ – ÔìÞìá 2ï

11/12/2003

ÄéäÜóêùí: Â. Å. ÂéóêáäïõñÜêçò

Á´ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ

á. Ðüóùí ìïéñþí åßíáé ç ãùíßá ðïõ ó÷çìáôßæïõí ïé äé÷ïôüìïé äýï

åöåîåßò ðáñáðëçñùìáôéêþí ãùíéþí; ÐáñïõóéÜóôå ó÷çìáôéêÜ ôçí

áðÜíôçóÞ óáò, ÷ùñßò íá êÜíåôå áðüäåéîç.

[8 ìïíÜäåò]

â. Íá âñåßôå ôéò ãùíßåò ö, x, y, ù áí Ý÷ïõí Üèñïéóìá ìßá ðëÞñç ãùíßá

êáé éêáíïðïéïýí ôéò ó÷Ýóåéò: �ö

x� = �

y

x� = �

ù

y� = �

1

2�.

[8 ìïíÜäåò]

ã. Ðüóùí ìïéñþí ãùíßá ó÷çìáôßæïõí ïé äåßêôåò ôïõ ñïëïãéïý óáò óôéò 7

áêñéâþò êáé ðüóùí óôéò 7 êáé 20´;

[9 ìïíÜäåò]

á. Ðüóá ôñßãùíá õðÜñ÷ïõí óôï äéðëáíü ó÷Þìá; Ìå âÜóç ðïéï óôïé÷åßï

ôïõò ôá êáôáìåôñÜôå; Áí óôç âÜóç áíôß 5 óçìåßá, åß÷áìå 100, ðüóá èá

Þôáí ôá ôñßãùíá;

â. Íá âñåßôå óå ðïéï ðïëýãùíï ï óõíïëéêüò áñéèìüò ðëåõñþí êáé

äéáãùíßùí ôïõ, éóïýôáé ìå 190.

[12 + 13 ìïíÜäåò]






ÐÅÉÑÁÌÁÔÉÊÏ

ËÕÊÅÉÏ

ÉÙÍÉÄÅÉÏÕ Ó×ÏËÇÓ

ÐÅÉÑÁÉÁ

ÈÈÅÅÌÌÁÁ 22ïï::Á

A1xA2 A3 A5A4

18.qxp 29/1/2008 12:57 �� Page 187

á. Ôñßá ÷ùñéÜ ×1, ×2, ×3 ðñüêåéôáé íá óõíåíùèïýí óå Ýíá ÄÞìï. Ðïõ

èá ðñÝðåé íá ÷ôéóôåß ôï Äçìáñ÷åßï, þóôå êáíÝíá áðü ôá ÷ùñéÜ íá ìçí

áäéêçèåß;

[8 ìïíÜäåò]

â. Óôï äéðëáíü ó÷Þìá ç (ä) åßíáé ìåóïêÜèåôç ôïõ ÁÂ êáé ç (å) ôõ÷ïýóá

åõèåßá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï Á. Ôï Ñ åßíáé ôõ÷üí óçìåßï ôçò (ä) êáé

ôï Ã ç ðñïâïëÞ ôïõ óôçí (å). Ðïéï áðü ôá ÑÂ, ÃÑ åßíáé ìåãáëýôåñï

êáé ãéáôß;

[8 ìïíÜäåò]

ã. Óôï äéðëáíü çìéêýêëéï äéáìÝôñïõ ÁÂ, ïé ÃÇ êáé ÄÆ åßíáé

ìåóïêÜèåôåò ôùí áêôßíùí ÏÁ êáé ÏÂ áíôßóôïé÷á. Íá áðïäåßîåôå üôé:

(i) Á∩

Ã = Â∩

Ä êáé

[4 ìïíÜäåò]

(ii)Áí Ì ôõ÷üí óçìåßï ôïõ Ã∩

Ä ôüôå åßíáé ÌA > R êáé ÌÂ > R

(üðïõ R ç áêôßíá ôïõ çìéêõêëßïõ).

[5 ìïíÜäåò]

á. Óôï ôåôñÜðëåõñï ÁÂÃÄ ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò éó÷ýïõí: ÁÂ = ÃÄ

êáé ÂÃ = ÁÄ. Íá äåßîåôå üôé ïé ÁÃ êáé ÂÄ åßíáé äéÜìåôñïé ôïõ

êýêëïõ.

[12 ìïíÜäåò]

â. Óôï äéðëáíü ó÷Þìá åßíáé R>r. Íá óõãêñßíåôå ôá ìÝôñá ôùí

êõñôïãþíéùí ôüîùí Á�

Â ôïõ ìéêñïý êáé ôïõ ìåãÜëïõ êýêëïõ.

[13 ìïíÜäåò]r KË

Á

Â

R





Á Â

Ä Ã

Ç Æ

ÃÌ

Ä

Á Ï Â

Ã

Ñ

ÂÌÁ

(å)(ä)

X1 X2

X3

Ðåñéóóüôåñá (óõíïëéêÜ 30 äéáãùíßóìáôá), äåßôå óôï

1ï ôåý÷ïò ôïõ “ö” (óåë. 183-218)

18.qxp 29/1/2008 12:57 �� Page 188

Ïé ðëçñïöïñßåò ðïõ äßíïõìå óôïõò ìáèçôÝò êáé óôïõò ãïíåßò ãéá ôçí

åðßäïóç ôùí ðáéäéþí ôïõò ìðïñïýí íá ðáßîïõí ðïëý èåôéêü Þ áñíçôéêü

ñüëï. Ìðïñïýí íá ôïõò áðïèáññýíïõí, íá ôïõò áðïðñïóáíáôïëßóïõí Þ êáé

íá ôïõò öïñôþóïõí ìå Ýíá ïéêïíïìéêü âÜñïò äõóâÜóôá÷ôï ãéá ðïëëÝò

ïéêïãÝíåéåò. Ìðïñïýí üìùò êáé íá åíèáññýíïõí ôá ðáéäéÜ íá äïõëÝøïõí

ðåñéóóüôåñï êáé êõñßùò óùóôÜ óôá ìáèçìáôéêÜ. Íá ôá âïçèÞóïõí, áõôÜ,

áëëÜ êáé ôïõò åíÞëéêåò ðïõ ôá óôçñßæïõí, íá óõíåéäçôïðïéÞóïõí ôéò

áäõíáìßåò ôïõò áëëÜ êáé ôï åßäïò ôçò ðñïóðÜèåéáò ðïõ ðñÝðåé íá êÜíïõí.

ÐïëëÝò öïñÝò ìåôÜ áðü ìéá åêäñïìÞ, üðïõ ìðïñÝóáìå íá óõæçôÞóïõìå ðéï

åëåýèåñá êáé Ýîù áðü ôéò õðï÷ñåþóåéò ôçò ôÜîçò, áëëÜæåé ç ãíþìç ìáò ãéá

êÜðïéï ìáèçôÞ ìáò. Ãéáôß åêôéìÞóáìå êÜðïéá åíäéáöÝñïíôá ôïõ, ãéáôß ìÜèáìå

êÜðïéá ðñïâëÞìáôá ôïõ Þ áêüìá ãéáôß ìáò Ýðåéóå üôé ìðïñåß íá óõíïìéëåß ìáæß

ìáò "óáí ìåãÜëïò".

Ç áëëáãÞ ôçò óôÜóçò ìáò áðÝíáíôé óå Ýíáí ìáèçôÞ ìðïñåß íá åßíáé

êáèïñéóôéêÞ ãéá áõôüí êáé íá ôïí ïäçãÞóåé óå Üëëç áíôéìåôþðéóç ôïõ

ìáèÞìáôïò. Áõôü ãßíåôáé ãéáôß åãêáèßóôáíôáé êáíÜëéá åðéêïéíùíßáò ðïõ äåí

åß÷áí áîéïðïéçèåß ìÝ÷ñé åêåßíç ôçí óôéãìÞ êáé ôá ïðïßá âïçèïýí ôá ìçíýìáôá

ðïõ èÝëïõìå íá ðåñÜóïõí.

ÅðïìÝíùò èá ìðïñïýóáìå íá ðïýìå üôé üëåò ïé ðëçñïöïñßåò ðïõ Ý÷ïõìå

ãéá Ýíáí óõãêåêñéìÝíï ìáèçôÞ åßíáé óçìáíôéêÝò. Ïé âáèìïß ôçò ðñïçãïýìåíçò

÷ñïíéÜò, ç óõíïëéêÞ áðüäïóç ôïõ óôï ó÷ïëåßï, ïé äåîéüôçôåò ôïõ, ôá

ðñïâëÞìáôá ôïõ êëð. ÐïëëÝò öïñÝò ìÝóá áðü ãåãïíüôá, áðü áíåêäïôéêïý

ôýðbbbïõ õëéêü, ìðïñïýìå íá âãÜëïõìå óçìáíôéêÜ óõìðåñÜóìáôá ãéá ôçí

ðñïóùðéêüôçôá ôïõ ôá ïðïßá èá ìáò âïçèÞóïõí íá ôïí ðñïóåããßóïõìå

êáëýôåñá.


Áîéïëüãçóç ôïõ ìáèçôÞ óôá ÌáèçìáôéêÜ

Óáëß÷ïò Ìé÷ÜëçòÓ÷. Óýìâïõëïò Ìáèçìáôéêþí

Äñ Åðéóôçìþí ÁãùãÞò, DEA ÄéäáêôéêÞò Máèçìáôéêþí

ÊÜðïéåò ÊÜðïéåò ãåíéêÝò éäÝåòãåíéêÝò éäÝåò

ÌÌééáá ââááóóééêêÞÞ

ððááññááôôÞÞññççóóçç

ããééáá ôôççíí ááîîééïïëëüüããççóóçç

ôôïïõõ ììááèèççôôÞÞ..

Ïé óêÝøåéò ðïõ áêïëïõèïýí åßíáé âáóéóìÝíåò óå óçìåéþóåéò óõæçôÞóåùí ìå óõíáäÝëöïõò êáèçãçôÝò

Ìáèçìáôéêþí. Ðáñáêáëþ ôïí áíáãíþóôç íá óõã÷ùñÞóåé ôçí åðéãñáììáôéêüôçôá ôïõ êåéìÝíïõ.


ÖÝôïò (2004) óå ðïëëÝò Ó÷ïëÝò óôá Á.Å.É.

ðÝôõ÷áí ðïëëïß õðïøÞöéïé ìå ìÝóï üñï

âáèìïëïãßáò áñêåôÜ êÜôù áðü ôç âÜóç.

¼óï ãéá ôá Ô.Å.É. õðÞñîáí ôìÞìáôá üðïõ

åéóÞ÷èçóáí õðïøÞöéïé ìå ìÝóï üñï âáèìïëïãßáò

ôï 2,4 (óôçí 20-âÜèìéá êëßìáêá)!

Ôéò äéáðéóôþóåéò áõôÝò Ýêáíå ôï ÕÐÅÐÈ, ôï

ïðïßï êáé ðñïâëçìáôßæåôáé éäéáßôåñá ãéá ôçí

êáôÜóôáóç (üðùò äÞëùóå ï Ã. ÃñáììáôÝáò ôïõ

êáôÜ ôçí áíáêïßíùóç ôùí áðïôåëåóìÜôùí ôùí

Ãåíéêþí ÅîåôÜóåùí). ÐÜëé êáëÜ! Ôï ðñüâëçìá

áíáãíùñßæåôáé åðßóçìá. Åßíáé êé áõôü Ýíá âÞìá.

ÁëëÜ ðüóç áéóéïäïîßá ìáò åðéôñÝðåé; Áò ìçí

êÜíïõìå ðñïâëÝøåéò. ¼ìùò ÷ñüíéá ôþñá áí êáé ôá

áðïôåëÝóìáôá ìüíï ìéêñÝò áðïêëßóåéò åß÷áí áðü

ôá öåôéíÜ, Ý÷ïõìå äåé ï ïðïßïò ðñïâëçìáôéóìüò ôùí

üðïéùí õðåõèýíùí íá åîáíôëåßôáé óå ìç÷áíéóôéêÝò

åñìçíåßåò êáé êáôÜ óõíÝðåéá óå ñç÷Ýò êáé

ðñü÷åéñåò Üñá áäýíáìåò ðáñåìâÜóåéò ãéá

ïõóéáóôéêÞ âåëôßùóç ôçò êáôÜóôáóçò. Êõñßùò ïé

ðáñåìâÜóåéò êéíÞèçêáí ðñïò ôçí êáôåýèõíóç ôùí

åêðôþóåùí. Ìåßùóç ôùí åîåôáæïìÝíùí ìáèçìÜôùí

áñ÷éêÜ (óùóôü), êáé óôç óõíÝ÷åéá äñáóôéêÞ ìåéùóç

ôçò åîåôáæüìåíçò ýëçò, ôüóï óôç Â' üóï êáé óôç Ã'

ëõêåßïõ, (áðüöáóç ðïõ åëÝã÷åôáé). ÁëëÜ ôá

ðñÜãìáôá ðÞãáí áðü ôï êáêü óôï ÷åéñüôåñï

öôÜíïíôáò ôåëéêÜ óôï öåôéíü áðáñÜäåêôï åðßðåäï

ðïõ ðåñéÝãñáøå ï Ã.Ã. ôïõ ÕÐÅÐÈ.

Êáé áò ìçí "äéáññéãíýïõìå ôá éìÜôéá ìáò" ìå

áðïñßá. ºóá - ßóá, ç êáôÜëçîç Þôáí áíáìåíüìåíç·

áöïý ùò ãíùóôü "åßíáé êáêü óôçí Üììï íá êôßæåéò

ðáëÜôéá....". Êáé óôï ÷þñï ôçò Ðáéäåßáò ãåíéêÜ, êáé

ôçò ÌáèçìáôéêÞò Ðáéäåßáò åéäéêüôåñá, åßíáé ðïëý

åýêïëï íá ïëéóèÞóåé êáíåßò áðü ôï óôÝñåï óôï

óáèñü êáé áììþäåò õðÝäáöïò óôçí ðñïóðÜèåéá

õëïðïßçóçò åíüò ó÷åäßïõ ðïõ Ýôóé êé áëëéþò Ý÷åé

Ýíôïíï ôï óôïé÷åßï ôïõ ïñáìáôéóìïý.

¸ôóé ãéá íá êÜíåé êÜðïéïò üóï ãßíåôáé ðéï

óßãïõñá âÞìáôá, ìåôáññõèìßóåéò, áëëáãÝò Þ

âåëôéþóåéò, óôï ÷þñï ôçò ÌáèçìáôéêÞò Ðáéäåßáò

êáé Åêðáßäåõóçò äåí Ý÷åé Üëëç åðéëïãÞ ðáñÜ íá

óôçñé÷èåß óôçí ôñÝ÷ïõóá (êõñßùò) ÅêðáéäåõôéêÞ

¸ñåõíá. Áõôü üìùò åßíáé Ýíá ìåãÜëï èÝìá ðïõ

äåí èá åðé÷åéñçèåß åäþ ç áíÜëõóÞ ôïõ. Ùóôüóï èá

ðñÝðåé íá ôïíéóôåß üôé ç ìáêñïóêïðéêÞ

áíáãíþñéóç êáé ðåñéãñáöÞ ôùí ðñïâëçìÜôùí, äåí

åßíáé éêáíÞ íá ïäçãÞóåé óôçí åðßëõóç ôïõò.

×ñåéÜæåôáé ëåðôïìåñåéáêÞ áíÜëõóç êáé ìåëÝôç

áðü ðïëëÝò ðëåõñÝò ôïõ êÜèå ðñïâëÞìáôïò. Êáé

ðÜíù áð' üëá, ÷ñåéÜæåôáé åõñýò äéÜëïãïò ãýñù áð'

üëá áõôÜ êáé óôç óõíÝ÷åéá áîéïëüãçóç êáé

óýíèåóç ôùí äéÜöïñùí áðüøåùí Þ ðñïóåããßóåùí.

Ôçí õðïêßíçóç êáé óôç óõíÝ÷åéá ôï óõíôïíéóìü

ìéáò ôÝôïéáò ðñïóðÜèåéáò åßíáé öõóéêü íá ôçí

áíáìÝíåé êáíåßò áðü ôçí Ðïëéôåßá. Áò ìçí îå÷íÜìå


ÅîåôÜæïíôáò ôéò ãåíéêÝò åîåôÜóåéò


üôé ëåéôïõñãåß (ìå ü÷é áóÞìáíôï êüóôïò) êáé ôï

ãíùóôü Ê.Å.Å. (ÊÝíôñï ÅêðáéäåõôéêÞò ¸ñåõíáò).

¼ìùò åêåßíï "ðåñß Üëëùí ôõñâÜæåé". ÁëÞèåéá èá

ìáò ðåé ðïôÝ (âÜóåé óôïé÷åßùí) ôï Ê.Å.Å. êáôÜ

ðüóïí ï êáñðüò ôçò óõããñáöéêÞò (öéëüôéìçò êáé

áðü áîéüëïãïõò óõíáäÝëöïõò êáôÜ ôá Üëëá) êáé

åêäïôéêÞò ôïõ äñáóôçñéüôçôáò, áíÝâáóå ôï

åðßðåäï ôçò ÌáèçìáôéêÞò ìáò Åêðáßäåõóçò; Åßíáé

ðñïöáíÝò ðùò èåôéêÞ áðÜíôçóç ó' áõôü ôï

åñþôçìá äåí åßíáé óõìâáôÞ ìå ôá áðïôåëÝóìáôá

ôùí Ãåíéêþí ôïõëÜ÷éóôïí ÅîåôÜóåùí.

Åêôüò üìùò áðü ôïõ Ê.Å.Å. (ðïõ ìáò ÷ñùóôÜåé

ôç äéêáßùóç ôïõ ôßôëïõ ôïõ) ôï ßäéï "áüñáôç" åßíáé

êáé ç åñåõíçôéêÞ óõíéóôþóá ôçò ëåéôïõñãßáò ôïõ

Ð.É. (Ðáéäáãùãéêïý Éíóôéôïýôïõ). ÁëëÜ ãéá íá ìçí

ôï áäéêïýìå, ôá ôåëåõôáßá ÷ñüíéá êÜôé áêïýãåôáé

ãéá "Êáéíïôüìåò äñÜóåéò" êáé ãéá "ÄéáèåìáôéêÝò

ðñïóåããßóåéò". ÂÝâáéá óôç äéäáêôéêÞ ðñÜîç, óôï

ìá÷üìåíï åêðáéäåõôéêü, Üãíùóôï ðüôå èá öôÜóïõí

áõôÝò ïé åðåîåñãáóßåò ôïõ Ð.É. Öáßíåôáé ðùò êáé

åäþ "ôï êáëü ðñÜãìá áñãåß íá ãßíåé".....

Èá Þôáí ßóùò åèåëïôõöëßá áí êáíåßò äåí

êáôáëüãéæå ôéò åõèýíåò ðïõ ôïõò áíáëïãïýí ãéá ôçí

ðáñïýóá êáôÜóôáóç ôçò ÌáèçìáôéêÞò ìáò

Åêðáßäåõóçò êáé óå ìç åðßóçìïõò êñáôéêïýò

ïñãáíéóìïýò. Åßíáé éäéáßôåñá áîéïóçìåßùôï ôï

ãåãïíüò üôé ç ÅëëçíéêÞ ÌáèçìáôéêÞ Åôáéñåßá

äéïñãáíþíåé ìüëéò öÝôïò (2004) ôï åôÞóéï

ÓõíÝäñéï ôçò ìå èÝìá "Ôá ÁíáëõôéêÜ

ÐñïãñÜììáôá Ìáè/êþí óôç ÌÝóç Åêðáßäåõóç",

(åíþ åäþ êáé äýï ÷ñüíéá ðñéí Ý÷ïõí ðñïêçñõ÷èåß

ãéá íá ãñáöôïýí ôá íÝá âéâëßá Ìáè/êþí ãéá ôï

ÃõìíÜóéï). Êé áõôü áö' åíüò êÜôù áðü ôçí ðßåóç

ôçò óõíôñéðôéêÞò ðëåéïøçößáò ôùí óõíáäÝëöùí

ìáèçìáôéêþí êáôÜ ôç äéÜñêåéá ôùí äýï ôåëåõôáßùí

Óõíåäñßùí ôçò Å.Ì.Å. óôçí ÊïìïôçíÞ êáé ôç

ÂÝñïéá êáé áö' åôÝñïõ ýóôåñá áðü ðñüôáóç ôïõ

ÐáñáñôÞìáôïò ÔñéêÜëùí ôçò Å.Ì.Å., äéïñãáíùôÞ

ôïõ öåôéíïý Óõíåäñßïõ.

ÂÝâáéá èá ìðïñïýóå êáíåßò íá ðÜñåé õðüøç

ôïõ ôï ãåãïíüò üôé ôïõëÜ÷éóôïí ãéá ôï ÃõìíÜóéï ç

Å.Ì.Å. Ý÷åé åðåîåñãáóôåß åäþ êáé äýï ðåñßðïõ

÷ñüíéá êáé Ý÷åé ðñïôåßíåé äéêü ôçò Áíáëõôéêü

Ðñüãñáììá (Ýóôù êáé ìå åëÜ÷éóôåò

äéáöïñïðïéÞóåéò áð' áõôü ôïõ Ð.É.). Ôï åñþôçìá

üìùò ðïõ ôßèåôáé åßíáé ìÝóá áðü ðïéåò äéáäéêáóßåò

ðñïÝêõøå áõôü ôï Ðñüãñáììá; Êáé äåí

áíáöåñüìáóôå óôç äçìïêñáôéêüôçôá êáé ôá

óõíáöÞ áõôþí ôùí äéáäéêáóéþí. Ôï åñþôçìá

áíáöÝñåôáé óôçí ïõóßá, óôï ôå÷íïêñáôéêü ôïõò

ìÝñïò. Ãéáôß åê ôïõ áðïôåëÝóìáôïò êñßíïíôáò, äåí

èá ðñÝðåé ïé óõíôÜêôåò ôïõ íá õðåñçöáíåýïíôáé

ãéá óýã÷ñïíç åðéóôçìïíéêÞ ìåèïäïëïãßá

ðñïóÝããéóçò ôïõ èÝìáôïò ôïõò, (âë. Üñèñï: "Áðü

ôçí Åðßêëçóç ôçò Èåùñßáò VAN HIELE óå ìéá

ðñüôáóç ãéá õëïðïßçóç ôçò")

Äåí èá åðåêôáèïýìå üìùò óôï ðáñüí

ðåñéóóüôåñï óôï èÝìá ôùí Áíáëõôéêþí

ÐñïãñáììÜôùí êáé ôçí áíôéìåôþðéóç ôïõ áðü ôçí

Å.Ì.Å. ÁíáöåñèÞêáìå ó' áõôü ùò ðåñßðôùóç

÷áñáêôçñéóôéêïý ðáñáäåßãìáôïò ôïõëÜ÷éóôïí

ðñï÷åéñüôçôáò êáé Ýëëåéøçò åðéóôçìïíéêÞò

ðñïóÝããéóçò. Ôï èÝìá ìáò åßíáé ç "ÅîÝôáóç ôùí Ãåí.

ÅîåôÜóåùí" ìå óêïðü ôçí áíÜäåéîç ðñïâëçìÜôùí

êáé ìéá ðñþôç ðñïóðÜèåéá ïõóéáóôéêÞò óõæÞôçóçò

ôïõò. Êáé óå ó÷Ýóç ìå ôçí Å.Ì.Å. åêåßíï ðïõ èá

ðñÝðåé êáíåßò íá ðáñáôçñÞóåé åßíáé ôï ãåãïíüò üôé

êÜèå ÷ñüíï, ó÷ïëéÜæïíôáò ôá èÝìáôá ôùí Ãåí.

ÅîåôÜóåùí ó÷åäüí ìüíï êáëÜ ëüãéá Ý÷åé íá ðåé. Ãéá

ôá áðïôåëÝóìáôá üìùò ôùí åîåôÜóåùí êáé ôéò

åðéäüóåéò ôùí ìáèçôþí ìáò, "ïõäÝí ó÷üëéï".... Ç

ðáñïéìßá üôé "óôï óðßôé ôïõ êñåìáóìÝíïõ äåí ìéëÜíå

ãéá ó÷ïéíß" åðéâåâáéþíåôáé ãéá Üëëç ìéá öïñÜ óôçí

ðñÜîç.



Åðáíåñ÷üìåíïé ôþñá óôï èÝìá ìáò, áíáñù-

ôéÝôáé êáíåßò :

Áí ïé áñìüäéïé öïñåßò (åðßóçìïé Þ ìç) óôÝêïíôáé

áìÞ÷áíá ìðñïóôÜ óå êñáõãáëÝåò áñíçôéêÝò

äéáðéóôþóåéò, ôé èá ìðïñïýóå íá ðåñéìÝíåé êáé áðü

ðïõ ç êïéíùíßá ãéá ôç ÌáèçìáôéêÞ Ðáéäåßá êáé

Åêðáßäåõóç ôùí ðáéäéþí ôçò;

Èá ðñÝðåé íá ðáñáäå÷ôïýìå ðùò ç ðñïóùðéêÞ

- áôïìéêÞ åõèýíç ôïõ åêðáéäåõôéêïý - ëåéôïõñãïý

åßíáé ç ôåëåõôáßá åëðßäá ôçò êïéíùíßáò. Êáé ï

åêðáéäåõôéêüò ïöåßëåé íá ìçí ôçí áðïãïçôåýóåé.

¼ðùò ïöåßëåé êáé íá ìçí ôçí êïëáêåýåé ìå

äéáñêåßò åêðôþóåéò óôéò áðáéôÞóåéò ôïõ åê ìÝñïõò

ôùí ðáéäéþí ôçò Ýóôù êáé áí ïé "åðßóçìåò ïäçãßåò"

õðáãïñåýïõí ìéá ôÝôïéá óõìðåñéöïñÜ. Êáé ì' áõôü

äåí õðïíïåßôáé êáìßá åíèÜññõíóç óå áõèáéñåóßåò.

Áðåíáíôßáò ìéëÜìå ãéá êïðéþäç áíéäéïôåëÞ

õðåñðñïóðÜèåéá ôïõ åêð/êïý óôá ðëáßóéá ôçò

õðÝñâáóçò ôùí ÷áìçëþí ïñßùí ðïõ ïé "ïäçãßåò"

èÝôïõí Þ êáé ðïõ ç ßäéá ç êïéíùíßá êáìéÜ öïñÜ

äéåêäéêåß.

Ìéá ôÝôïéá (çèéêÞ) óôÜóç ôïõ åêðáéäåõôéêïý

ðñïöáíþò åìðåñéÝ÷åé êáé ôï ñßóêï ôùí

óõãêñïýóåùí. Óå ôÝôïéåò ðåñéðôþóåéò ç õøçëÞ

óõãêñüôçóç, ç áíéäéïôÝëåéá êáé ç áãÜðç ôïõ ðñïò

ôïõò ìáèçôÝò ôïõ åßíáé ôá ðéï óßãïõñá óôçñßãìáôá

ðïõ ìðïñïýí ðÜíôá íá ôïõ åîáóöáëßæïõí äéêáßùóç

êáé åðéôõ÷ßá óôï Ýñãï ôïõ. ¼÷é âÝâáéá êáé ÷ùñßò

ðñïóùðéêü êüóôïò. ÁëëÜ áõôü ôï êüóôïò ðïôÝ äåí

ðÜåé ÷áìÝíï. Åßíáé ßóùò ç ðéï óßãïõñç åðÝíäõóç

ôüóï óôç äéáðáéäáãþãçóç üóï êáé ãéá ôçí

êïéíùíéêÞ êáé åðáããåëìáôéêÞ ðñïêïðÞ ôùí

ìáèçôþí ôïõ.

Ì' áõôÝò ôéò óêÝøåéò êáé óôá ðëáßóéá

óõíáßóèçóçò ôçò áôïìéêÞò êáé ðñïóùðéêÞò

åõèýíçò ðñï÷ùñïýìå óôçí áíÜäåéîç êáé ôï

ó÷ïëéáóìü ìåñéêþí æçôçìÜôùí ðïõ Ý÷ïõí íá

êÜíïõí ìå ôéò ÃåíéêÝò ÅîåôÜóåéò ôçò Â' êáé Ã'

Ëõêåßïõ.

Ôá óôïé÷åßá ðïõ ìðïñåß íá óõëëÝîåé êáíåßò áð'

áõôÝò Ý÷ïõí åîáéñåôéêÞ áîßá êáé ìüíï ëüãù ôïõ

ìåãÝèïõò ôïõ äåßãìáôïò ðïõ åßíáé äõíáôüí (ãéá ôï

ÕÐÅÐÈ áí õðÞñ÷å âïýëçóç) íá êáëýðôåé áêüìá

êáé ïëüêëçñï ôï ìáèçôéêü ðëçèõóìü ôùí äýï

ôåëåõôáßùí ôÜîåùí ôïõ Ëõêåßïõ. Äõóôõ÷þò áõôÝò

ïé ÅîåôÜóåéò, ìÝ÷ñé ôþñá ôïõëÜ÷éóôïí, ìüíï ãéá

âáèìïëïãéêÞ êáôÜôáîç ôùí ìáèçôþí

áîéïðïéïýíôáé. Êáé üìùò, èá ìðïñïýóáí íá

ëåéôïõñãïýí ùò ìéá áíåîÜíôëçôç äåîáìåíÞ

áíáôñïöïäüôçóçò ôçò äéäáêôéêÞò ðñÜîçò êáé

ôñïöïäüôçóçò åñåõíçôéêþí äñáóôçñéïôÞôùí ôüóï

ôùí öïñÝùí (Ð.É., Ê.Å.Å., Å.Ì.Å. ê.ô.ë.) üóï êáé

ïóïõäÞðïôå ðëÞèïõò áôïìéêþí åñåõíþí åê ìÝñïõò

ôùí Åêðáéäåõôéêþí. ¸ñåõíåò ðïõ èá

áíáâáèìßóïõí åîáéñåôéêÜ ôüóï ôïí ßäéï ôïí

åêðáéäåõôéêü, üóï êáé ôéò ìåèüäïõò áëëÜ êáé ôï

ðåñéå÷üìåíï ôçò äéäáóêáëßáò ôïõ.

Ãéá ðáñÜäåéãìá áí ôý÷áéíå óå êÜðïéï

âáèìïëïãçôÞ óôá 100 ãñáðôÜ Ãåùìåôñßáò Â'

ëõêåßïõ ôïõ 2001, ôá 51 íá ìçí Ý÷ïõí ëýóåé ôï

æÞôçìá ðïõ Ýäéíå "äýï åöåîÞò ãùíßåò ÁÏÂ êáé

ÂÏÃ ßóåò ìå 120° ç êÜèå ìßá...." ãéáôß ïé ìáèçôÝò

ó÷åäßáæáí åíôåëþò ðñü÷åéñá ôéò ãùíßåò ìå ôñüðï

ðïõ áèñïéóôéêÜ äåí îåðåñíïýóáí ôéò 120°-140°,

äåí èá åðÝìåíå ôéò åðüìåíåò ÷ñïíéÝò ïé ìáèçôÝò

ôïõ íá êáôáíïÞóïõí ôï ìÝôñï ôçò ãùíßáò ùò ìÝôñï

(ðåñé)óôñïöÞò êáé Ýôóé íá ìðïñïýí íá åêôéìïýí

óùóôüôåñá ôá ìÝôñá ôùí ãùíéþí; Êáé ìüíï ç áðëÞ

áíáöïñÜ ó' áõôü ôï óôáôéóôéêü óôïé÷åßï Þôáí éêáíÞ

êÜèå öïñÜ ðïõ áíáöÝñèçêå áðü ôïí



õðïãñÜöïíôá, íá ðñïâëçìáôßóåé êáé íá

ôáñáêïõíÞóåé ïëüêëçñç ôçí ôÜîç. Áêüìá êáé ïé

ðéï áäýíáôïé ìáèçôÝò åîÝöñáæáí êáôÜðëçîç! Êé

áõôü Þôáí ãéá êåßíïõò ìéá êáëÞ áñ÷Þ........

ÁëëÜ üðùò áíáöÝñèçêå íùñßôåñá ïé Ãåí.

ÅîåôÜóåéò åßíáé áíåîÜíôëçôç ðçãÞ

ðñïâëçìáôéóìïý. ¸ôóé ëïéðüí,

Ìåëåôþíôáò ôéò "åðéäüóåéò" óôç Ãåùìåôñßá ôùí

ìáèçôþí ôçò Â' ëõêåßïõ ìÝóá áðü Ýíá (ôõ÷áßï)

äåßãìá 150 ãñáðôþí ðïõ ÂáèìïëïãÞèçêáí áðü ôïí

õðïãñÜöïíôá ìå ðïëý - ðïëý ðñïóï÷Þ êáé ìå ðïëý

- ðïëý èåôéêÞ äéÜèåóç, åßäáìå íá ðñïâÜëëåé ìéá

ïäõíçñÞ ðñáãìáôéêüôçôá, ìéá ðéêñÞ ãõìíÞ

áëÞèåéá:

ÓõãêåêñéìÝíá 57 óôá 150 ãñáðôÜ (ðïóïóôü

38%) âáèìïëïãÞèçêáí ìå âáèìü 13/100 = 2,6 óôçí

åéêïóïâÜèìéá êëßìáêá. Âáèìüò ðïõ áíôéóôïé÷åß

óôá 4 åñùôÞìáôá, ("Äþñï ôïõ Õðïõñãåßïõ

Ðáéäåßáò" êáôÜ ôç ãíþìç ðïëëþí óõíáäÝëöùí),

ôýðïõ Óùóôü - ËÜèïò êáé óôïí ïñéóìü ôïõ

êáíïíéêïý ðïëõãþíïõ. (ÈÝìá: 1Â(á,â,ã,ä,) êáé 1Ã).

Åðßóçò 77 óôïõò 150 åîåôáæüìåíïõò (ðïóïóôü

51,33%) äåí åß÷å êáèüëïõ áêïõìðÞóåé ôï èÝìá 2á

ðïõ åßíáé ìéá áðëÞ åöáñìïãÞ ôïõ íüìïõ ôùí

óõíçìéôüíùí ðñÜãìá ðïõ äéäÜóêåôáé êáé óôç Ã'

Ãõìíáóßïõ. Èá åß÷å åíäéáöÝñïí íá ôåèåß óôïõò

ìáèçôÝò ôçò Á' ëõêåßïõ.....

ÁëëÜ ç ðáôáãþäçò áðïôõ÷ßá óôï èÝìá 1Á.á (ôï

ïðïßï æçôïýóå íá åããñáöåß ôåôñÜãùíï óå äïóìÝíï

êýêëï), èá ìðïñïýóå íá ÷áñáêôçñéóôåß ùò ôï ðéï

ïäõíçñü ñÜðéóìá óôç óõíåßäçóç ôïõ êÜèå

åìðëåêïìÝíïõ ìÝñïõò, óôç ÌáèçìáôéêÞ ìáò

Åêðáßäåõóç: êáèçãçôþí, óõããñáöÝùí, éèõíüíôùí

ôïõ Ð.É. êáé ôïõ ÕÐÅÐÈ, êïéíùíßáò, ïéêïãÝíåéáò

êáé ôåëåõôáßùí ôùí ìáèçôþí. Óôï èÝìá ëïéðüí áõôü

ïé 84 óôïõò 150 åîåôáæüìåíïõò äåí ðÞñáí ïýôå 1

ìüñéï, ðñÜãìá ðïõ óçìáßíåé üôé äåí åß÷áí êÜíåé

ïýôå êáí Ýíá ðñü÷åéñï ó÷Þìá. Åðßóçò ôá 46 áðü ôá

õðüëïéðá ãñáðôÜ ðÞñáí áñêåôÜ ìåéùìÝíç

âáèìïëïãßá. ÔåëéêÜ öáßíåôáé üôé ìüíï 13,4% ôùí

åîåôáæïìÝíùí êáôáíïåß êáé åêôåëåß ôçí åíôïëÞ(;)

"íá åããñÜøåôå óå êýêëï ôåôñÜãùíï"! Ôï 30,6% ôçí

êáôáíïåß ùò "íá æùãñáößóåôå ôåôñÜãùíï ìå

êïñõöÝò ðÜíù óå êýêëï".... êáé ãéá ðïóïóôü ðÜíù

áðü 56% ç åíôïëÞ áõôÞ åßíáé Üíåõ ðåñéå÷ïìÝíïõ.

Äåí óçìáßíåé ôßðïôá......

Óôç óõíÝ÷åéá ðáñáèÝôïõìå ôá èÝìáôá ôïõ 2003

óôç Ãåùìåôñßá êáé ôç âáèìïëïãßá ôïõ äåßãìáôïò

ôùí 150 ãñáðôþí ìå ôçí åëðßäá íá ìáò óôåßëïõí ïé

ößëïé áíáãíþóôåò ôéò áðüøåéò ôïõò êáé ôéò óêÝøåéò

ôïõò ãéá ðÜìðïëëá æçôÞìáôá ðïõ ìðïñïýí íá

áíáäåé÷èïýí ìÝóá áðü áõôÜ ôá óôïé÷åßá.

ÐåñéìÝíïõìå.

(ÐÜíôùò áò óçìåéùèåß üôé äåí Þôáí ìéêñÞ ç

þèçóç ðïõ äÝ÷ôçêå ðñïóùðéêÜ ï õðïãñÜöùí êáé

áð´ áõôÜ ôá óôïé÷åßá óôï íá ðñïêýøåé ç åñãáóßá

ðïõ åìðåñéÝ÷åôáé ôï ðáñüí, ìå ôßôëï:

"Áðü ôçí Åðßêëçóç ôçò Èåùñßáò VAN HIELE

óå ìéá ðñüôáóç ãéá õëïðïßçóç ôçò").



Â. ÂéóêáäïõñÜêç, Ä. ÃáâáëÜ, Ã. Ðïëýæï êáé

Á.ÓâÝñêï" (ôïõò ïðïßïõò áò óçìåéùèåß ìüíï ëüãïé

äéäáêôéêÞò ìåôÜðëáóçò êáé óôñïõêôïõñáëéóôéêÞò

äÝóìåõóçò ïäÞãçóáí óôçí åðéëïãÞ ôïõ ïñéóìïý ôïõ

åóùôåñéêïý ãéíïìÝíïõ ìå ôç âïÞèåéá ôïõ

óõíçìßôïíïõ ôçò ãùíßáò äýï äéáíõóìÜôùí êÜôé ðïõ

ßóùò ðñÝðåé íá îáíáåéäùèåß).

Ïé "èåìáôïëüãïé - åîåôáóôÝò" üöåéëáí íá

ðÜñïõí õðüøç ôïõò áõôÜ ôá (åðéóôçìïëïãéêÜ)

äåäïìÝíá êáé íá áðïöýãïõí íá óôÞóïõí áõôÞ ôçí

ðáãßäá ôüóï óôïõò ìáèçôÝò üóï êáé óôïõò

âáèìïëïãçôÝò.

Êáé ìðïñåß ïé äýï ïñéóìïß ôïõ åóùôåñéêïý

ãéíïìÝíïõ óôïõò ÷þñïõò Rn ìå n= 1, 2, 3 íá åßíáé

éóïäýíáìïé, üìùò óå ìåãáëýôåñåò äéáóôÜóåéò üðïõ

äåí õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá áíáðáñáóôÜóåùí, ç

ãùíßá äýï äéáíõóìÜôùí ïñßæåôáé ìå ôç âïÞèåéá ôïõ

óõíçìéôüíïõ ôçò êáé áõôü ðÜëé ìå ôçí âïÞèåéá ôïõ

åóùôåñéêïý ãéíïìÝíïõ. (âë. Kostikin êáé Manin

óåë. 118), ðñÜãìá ðïõ êáèéóôÜ ôïí (êáôÜ ôïõò

âáèìïëïãçôÝò) "ëÜèïò" ïñéóìü åðéóôçìïíéêÜ êáé

åðéóôçìïëïãéêÜ éó÷õñüôåño. ÐáñÜ ôáýôá, êÜðïéïé

áíÞóõ÷ïé êáé ðéï åíçìåñùìÝíïé ìáèçôÝò, ìå

ðíåýìá áìöéóâÞôçóçò åßíáé ðïëý ðéèáíüí íá Ý÷ïõí

âáèìïëïãéêÜ (ôïõëÜ÷éóôïí) ôéìùñçèåß ãéáôß

åðÝëåîáí áõôüí áêñéâþò ôïí ãåíéêüôåñï êáé

éó÷õñüôåñï ïñéóìü ôïõ åóùôåñéêïý ãéíïìÝíïõ. Äåí

åßíáé êñßìá;



¸íá äåýôåñï ðåñéóôáôéêü

åðéóôçìïëïãéêÞò óýã÷õ-

óçò ôùí "èåìáôïëüãùí - åîåôÜ-

óåùí" åßíáé ôï åîÞò:

Óôéò ÃåíéêÝò ÅîåôÜóåéò ôçò Â´

ëõêåßïõ ôïõ, ôÝèçêå ôï åîÞò èÝìá:

«Íá áðïäåßîåôå üôé ç áêïëïõèßá áí ìå

áí = 2í – 11 åßíáé áñéèìçôéêÞ

ðñüïäïò ìå ðñþôï üñï ôï (– 9) êáé

äéáöïñÜ 2».

Ïé ìáèçôÝò áðÜíôçóáí ôï èÝìá ìå

ôñåéò äéáöïñåôéêïýò ôñüðïõò. Ðïëý

ëßãïé Ýäùóáí ôç ëýóç ðïõ (ìÜëëïí)

åß÷áí óôï íïõ ôïõò ïé åîåôáóôÝò:

«Ãéá í = 1 Ý÷ïõìå

á1 = 2 � 1 – 11 = – 9.

Åðßóçò:

áí+1 – áí=2(í+1) – 11–(2í – 11)=

2í + 2 – 11 – 2í + 11 = 2,

Üñá áí áñéèìçôéêÞ ðñüïäïò ìå

á1 = – 9 êáé ù = 2».

¢ëëïé üìùò ìáèçôÝò (ïé

ðåñéóóüôåñïé) Ýäéíáí ôç ëýóç:

«Áí áí áñéèìçôéêÞ ðñüïäïò ìå

á1 = – 9 êáé ä = 2

ôüôå: áí = – 9 + (í – 1)2 =

= – 9 + 2í – 2 = 2í – 11.

¢ñá ç áêïëïõèßá áí = 2í – 11 åßíáé

ðñÜãìáôé ç áñéèìçôéêÞ ðñüïäïò ìå

á1 = – 9 êáé ä = 2».

Åðßóçò áñêåôïß ìáèçôÝò Ýäéíáí

ôçí åîÞò ëýóç:

«Ãéá ôçí áêïëïõèßá áí = 2í – 11

Ý÷ïõìå:

áí=2í – 11=2í – 2 – 9=– 9+2(í – 1),

Üñá åßíáé áñéèìçôéêÞ ðñüïäïò ìå

á1 = – 9 êáé ù = 2»

Äõóôõ÷þò (ãéá ôç óõíôñéðôéêÞ

ðëåéïøçößá) ôùí ìáèçôþí Þñèå

êÜðïéá óôéãìÞ óôá åîåôáóôéêÜ

êÝíôñá ìéá ðáñáôÞñçóç áðü ôçí

ÊÅÃÅ ðïõ «îåêáèÜñéæå» üôé óôï åí

ëüãù èÝìá æçôåßôáé áðüäåéîç êáé

ü÷é (!) åðáëÞèåõóç. Ôï óýíïëï

ó÷åäüí ôùí âáèìïëïãçôþí èåþñçóå

üôé ç ðáñáôÞñçóç áíáöåñüôáí óôç

äåýôåñç ëýóç êáé ç óõíôñéðôéêÞ

ðëåéïøçößá ôïõò êáé óôçí ôñßôç.

Åäþ ðñáãìáôéêÜ ç åðéóôçìïëïãéêÞ

óýã÷õóç áíáäõêíåßåôáé êáé

åêöñÜæåôáé ó' üëï ôçò ôï ìåãáëåßï. Ôé

åßíáé áðüäåéîç; Ôé åßíáé åðáëÞèåõóç;

Óßãïõñá ôá åñùôÞìáôá áõôÜ åßíáé

áðáíôçìÝíá óå ðïëëÜ ìõáëÜ (ìåôáîý

áõôþí êáé ôùí «èåìáôïëüãùí -

åîåôáóôþí») ìå ôñüðï áôåëÞ êáé

ìïíüðëåõñï, ãéáôß öõóéêÜ êáé ïé ôñåéò

áðáíôÞóåéò óôï èÝìá åßíáé áðïäåêôÝò.

¼ôáí ï ìáèçôÞò åîåôÜæåôáé óôéò

ÃåíéêÝò ÅîåôÜóåéò îÝñåé üôé ìðïñåß

íá ÷ñçóéìïðïéÞóåé üëç ôç èåùñßá

ðïõ Ý÷åé äéäá÷èåß ãéá íá áðáíôÞóåé

óôá èÝìáôá ðïõ ôïõ ôßèåíôáé.

¸ôóé, ãíùñßæïíôáò üôé ìéá

áñéèìçôéêÞ ðñüïäïò êáèïñßæåôáé

ìïíïóÞìáíôá üôáí äïèåß ï ðñþôïò

üñïò êáé ç äéáöïñÜ ôçò êáèþò êáé

üôé ï ãåíéêüò üñïò áí ìéáò

áñéèìçôéêÞò ðñïüäïõ äßíåôáé áðü

ôïí ôýðï

áí = á1 + (í – 1)ù,

åßíáé óßãïõñïò (êáé äéêáßùò) üôé ç

áêïëïõèßá áí ìå

áí = –9 + (í – 1)2=– 9 + 2í – 2 =

= 2í – 11



ÁëÞèåéá:

ôé óçìáßíåé áðüäåéîç;



åßíáé üíôùò (÷ùñßò êáìßá

áìöéóâÞôçóç) ç áñéèìçôéêÞ

ðñüïäïò ìå á1 = –9 êáé ù = 2. Êáé

áõôÞ ç óõëëïãéóôéêÞ äåí åßíáé

åðáëÞèåõóç. Èá Þôáí åðáëÞèåõóç

áí õðÞñ÷áí êáé Üëëåò ðñüïäïé (ìå

äéáöïñåôéêü á1 Þ ù) êáé ìå ãåíéêü

üñï áí = 2í – 11. ¼ìùò äåí

õðÜñ÷ïõí. Ìåôáîý ôùí áñéèìçôéêþí

ðñïüäùí êáé ôùí ðñùôïâÜèìéùí

áêïëïõèéþí ç áíôéóôïé÷ßá åßíáé

áìöéìïíïóÞìáíôç.

Åßíáé öáíåñü üôé ôá

ðñïâëÞìáôá èá Ýðáõáí áõôïìÜôùò

íá õðÜñ÷ïõí áí ôï èÝìá äéíüôáí óôç

ìïñöÞ:

«Íá äåßîåôå üôé ç áêïëïõèßá áí

ìå áí = 2í – 11 åßíáé áñéèìçôéêÞ

ðñüïäïò ôçò ïðïßáò íá âñåßôå ôïí

ðñþôï üñï êáé ôçí äéáöïñÜ». Íá

ðïýìå ðñï÷åéñüôçôá; ºóùò íá

ìðïñïýóáìå. ¼ìùò Þñèå êáé åêåßíç

ç «Ïäçãßá» ìå ôï óáöÝóôáôï (!)

ðåñéå÷üìåíï: «ÈÝëïõìå áðüäåéîç,

ü÷é åðáëÞèåõóç».

Å, ëïéðüí, êáé ìåéò (äéäÜóêïíôåò

êáé ìáèçôÝò), èÝëïõìå áðïäåßîåéò

ãéá ôç óïâáñüôçôá êáé ôçí åðÜñêåéá

üóùí áíáëáìâÜíïõí ôç óýóôáóç

ìéáò ôüóï óçìáíôéêÞò åðéôñïðÞò

üðùò ç Ê.Å.Ã.Å., áëëÜ êáé üóùí

åðáíäñþíïõí ôåëéêÜ ôçí Ê.Å.Ã.Å.

ÆçôÜìå ðïëëÜ; ¼÷é! ôá

áõôïíüçôá æçôÜìå.....

Â.Å.Â.

Äßêôõï - ÅðéëïãÝò


Ç ðáñïýóá óôÞëç öéëïîåíåß áíèïëïãçìÝíåò ðëçñïöïñßåò

áðü ôï äéáäßêôõï (êáé ü÷é ìüíï), ðïõ êáôÜ ôç ãíþìç êÜèå

óõëëÝêôç, Ý÷ïõí áõîçìÝíç âáñýôçôá êáé éäéáßôåñï åíäéáöÝñïí

ãéá ôç ÌáèçìáôéêÞ ìáò Ðáéäåßá êáé Åêðáßäåõóç áëëÜ êáé

åéäéêüôåñá ãéá ôçí åíçìÝñùóç êáé ôïí ðñïâëçìáôéóìü ôùí

êáèçãçôþí ìáèçìáôéêþí. Åßíáé áõôïíüçôï ðùò êáé áõôÞ ç

óôÞëç èá åßíáé áíïéêôÞ óå êÜèå ðëçñïöïñßá ðïõ èá éêáíïðïéåß

óôïí Ýíá Þ ôïí Üëëï âáèìü ôéò ðñïûðïèÝóåéò áõôÝò êáé èá åßíáé

åëåãìÝíç ùò ðñïò ôçí åããõñüôçôá ôçò.

Ó' áõôü ôï ðëáßóéï ìðïñåß êáíåßò íá äåé êáé ìéá óýíôïìç

ðáñïõóßáóç åíüò åíäéáöÝñïíôïò Üñèñïõ áðü êÜðïéï îåíüãëùóóï

ðåñéïäéêü Þ ìéáò online åñãáóßáò. Ìéá ôÝôïéá ðáñïõóßáóç èá

ðñÝðåé íá ðáñÝ÷åé üëåò ôéò áðáñáßôçôåò ðëçñïöïñßåò óôïí

áíáãíþóôç ãéá íá ìðïñåß íá áíáôñÝîåé óôçí ðçãÞ ãéá

ðëçñÝóôåñç åíçìÝñùóç åðß ôïõ èÝìáôïò.

Ì' áõôÝò ôéò óêÝøåéò åðéëÝîáìå êáé ðáñïõóéÜæïõìå åäþ ôá

ðáñáêÜôù èÝìáôá.

Ç ÓïõçäéêÞ ÊõâÝñíçóç áðïöÜóéóå íá

óõóôÞóåé Åèíéêü Åñåõíçôéêü ÊÝíôñï ãéá ôç

ÌáèçìáôéêÞ Åêðáßäåõóç óôï ÐáíåðéóôÞìéï

ôïõ Goteborg (áðü 1/1/1999) ôï ïðïßï óå

óõíåñãáóßá ìå ôï Ôå÷íïëïãéêü ÐáíåðéóôÞìéï

Chalmers áíáëáìâÜíåé ôï üëï åã÷åßñçìá. Ôï

ÊÝíôñï áõôü èá êáôåõèýíåé, èá ðñïùèåß êáé

èá áíáðôýóåé åêåßíåò ôéò óõíåñãáóßåò êáé ôéò

ðñùôïâïõëßåò ðïõ èá ðñïÜãïõí ôç ÓïõçäéêÞ

ÌáèçìáôéêÞ Åêðáßäåõóç áðü ôçí ðñï-

ó÷ïëéêÞ ìÝ÷ñé ôçí ðñïðáíåðéóôçìéáêÞ âá-

èìßäá. Èá ðñï÷ùñÞóåé ðáñáðÝñá áîéïðïéþ-

íôáò ôç óõóóùñåõìÝíç ãíþóç êáé åìðåéñßá

ðïõ Ý÷åé ðñïêýøåé óôá ðëáßóéá ôïõ ðñïãñÜì-

ìáôïò Namnaren ôï ïðïßï îåêßíçóå óáí Ýíá

åðéóôçìïíéêü ðåñéïäéêü ãéá ôç ÌáèçìáôéêÞ

Åêðáßäåõóç ôï 1974.

Ìåôáîý áõôþí ðïõ åñãÜæïíôáé óôá

äéÜöïñá ðñïãñÜììáôá (projects) ôïõ ÍCM,

åßíáé Üíèñùðïé ìå åìðåéñßá áðü ôï Åèíéêü

ÅÈÍÉÊÏ ÊÅÍÔÑÏ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇÓ ÅÊÐÁÉÄÅÕÓÇÓ(National Center for Mathematics Education, NCM) óôç Óïõçäßá:


Äßêôõï åðéëïãÝò

Áíáëõôéêü Ðñüãñáììá Ìáè/êùí, ôçí

áíÜðôõîç êáé ôç äçìéïõñãßá èåìÜôùí êáé

tests, ôçí ïñãÜíùóç åèíéêþí êáé äéåèíþí

Óõíåäñßùí, Üíèñùðïé ðïõ Ý÷ïõí áíáðôýîåé

ðñïãñÜììáôá Ýñåõíáò êáé áîéïëüãçóçò óå

åèíéêü Þ ôïðéêü åðßðåäï, óå ÅêðáéäåõôéêÞ

Ôçëåüñáóç êáé åî' áðïóôÜóåùò äéäáóêáëßá,

ðïõ Ý÷ïõí åñãáóôåß óôçí ðñïó÷ïëéêÞ áãùãÞ,

óôç Óôïé÷åéþäç êáé ôç ÄåõôåñïâÜèìéá

Åêðáßäåõóç, óôçí Åêðáßäåõóç åíçëßêùí,

óôçí ÅéäéêÞ Åêðáßäåõóç. Eðé ðëÝïí,

õðÜñ÷ïõí åñåõíçôÝò óôá ÌáèçìáôéêÜ, ôç

ÌáèçìáôéêÞ Åêðáßäåõóç, ôá ÐáéäáãùãéêÜ,

ôçí Øõ÷ïëïãßá êáé ôçí Åèíïëïãßá, ðïõ

óõììåôÝ÷ïõí óå äéÜöïñá ðñïãñÜììáôá.

ÓõíåñãÜôåò ôïõ NCM óõììåôÝ÷ïõí óå

ðïëëÝò åèíéêÝò åðéôñïðÝò êáé ðñïãñÜììáôá

üðùò ð.÷. ôï äéåèíÝò ðñüãñáììá PISA, ôï

Óõâïýëéï Óõíôïíéóìïý ôçò ÅèíéêÞò

ÐïëéôéêÞò ãéá ôçí Ðáéäåßá êáèþò êáé óôçí

ÅèíéêÞ ÅðéôñïðÞ ËõêåéáêÞò Åêðáßäåõóçò.

Ôï NCÌ áíáöÝñåôáé áð' åõèåßáò óôïí

Ðñýôáíç ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ ôïõ Goteborg

êáé äéåõèýíåôáé áðü ÅèíéêÞ ÅðéôñïðÞ

áðïôåëïýìåíç áðü 7 ìÝëç ì' Ýíá áíôé-

ðñüóùðï áðü ôï Nordic êáé ìéá óýíèåóç áðü

áíèñþðïõò ôçò ðñÜîçò êáé èåùñçôéêïýò ðïõ

åêðñïóùðïýí êáèçãçôÝò, ÅêðáéäåõôÝò

êáèçãçôþí êáé ÄéåõèõíôÝò Ó÷ïëåßùí.

Ðñüåäñïò ôçò ÅðéôñïðÞò åßíáé ï ðñýôáíçò

ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Chalmers.

Åðßóçò ìéá ÓõìâïõëåõôéêÞ ïìÜäá Ý÷åé

ðñïóôåèåß óôç ëåéôïõñãßá ôïõ NCM. Ç

ïìÜäá áõôÞ áðïôåëåßôáé áðü 16 ìÝëç ðïõ

áíôéðñïóùðåýïõí üëåò ôéò ÅêðáéäåõôéêÝò

Âáèìßäåò, ôá êïëÝãéá, ôá ÐáíåðéóôÞìéá, ôï

Åìðüñéï, ôç Âéïìç÷áíßá êáé ôçí Êïéíùíßá,

ìå ìéá êáëÞ ãåùãñáöéêÞ êáôáíïìÞ áð' üëç

ôç ÷þñá êáèþò åðßóçò êáé ìåôáîý ôùí äýï

öýëùí.

Ðåñéóóüôåñåò ðëçñïöïñßåò óôç äéåýèõíóç: http://www.ncm.gu.se/ncm1

ÂëÝðïíôáò ôç óïâáñüôçôá ìå ôçí ïðïßá öáßíåôáé íá áíôéìåôùðßæïõí ôç ÌáèçìáôéêÞ ôïõò

Åêðáßäåõóç äéÜöïñåò ÷þñåò (üðùò ð.÷. åäþ ç Óïõçäßá), äåí ìðïñåß êáíåßò íá áðïöýãåé ôïí

ðåéñáóìü ôçò óýãêñéóçò ìå ôç äéêÞ ìáò ðñáãìáôéêüôçôá.

Óå ìáò, ÷ñüíéá ðïëëÜ ôþñá, ç ÌáèçìáôéêÞ ìáò Åêðáßäåõóç Ý÷åé ó÷åäüí áðïêëåéóôéêÜ óôçñé÷ôåß ó'

üëåò ôéò âáèìßäåò (Äçìïôéêü, ÃõìíÜóéï, Ëýêåéï) óå äýï Þ ôñåßò ðáñÝäñïõò ôïõ Ðáéäáãùãéêïý

Éíóôéôïýôïõ. Ìá êáé "åê èåïý óôáëìÝíïé" íá Þôáí, ðÜëé èá' ôáí ëßãïé ãéá ôï Ýñãï ðïõ ôïõò

áíôéóôïé÷åß. Êáé öõóéêÜ ïé ßäéïé ìåó' ôçí ðõêíÞ ïìß÷ëç ôçò áõôÜñêåéáò, ìðïñåß íá ìçí åßíáé óå èÝóç

íá äïýí ëßãï ðéï ðÝñá áð' üóï ïé äéêïß ôïõò ðñïâïëåßò öùôßæïõí, üìùò ïé õðåýèõíïé ðáñáãùãïß ôùí

áëëåðÜëëçëùí Åêðáéäåõôéêþí ìáò "Ìåôáñõèìßóåùí", äåí èá' ðñåðå íá' ÷ïõí åðéôÝëïõò êáôáëÜâåé

üôé Ýíáò êïýêïò (Üíôå êáé ôñåßò) äåí öÝñíåé ôçí Üíïéîç; Äåí èá' ðñåðå ëïéðüí íá Ý÷ïõí åðéäéþîåé

ìéá óôáèåñÞ êáé èåóìïèåôçìÝíç óõíåñãáóßá ìåôáîý üëùí ôùí öïñÝùí êáé ôùí Ìáèçìáôéêþí

ÔìçìÜôùí ôùí Ðáíåðéóôçìßùí ìáò, ðÝñá áðü êïììáôéêÝò êáé Üëëåò êëßêåò ìå óôü÷ï ìéá

ÌáèçìáôéêÞ Ðáéäåßá ðñáãìáôéêÜ áíôÜîéá ôùí ðáñáäüóåþí ìáò áëëÜ êáé ôïõ ôáëÝíôïõ ôùí

ìáèçôþí ìáò; Ôá åñùôçìáôéêÜ êáé ïé áðïñßåò áôåëåßùôá. ¼óï ãéá áðáíôÞóåéò; ÁõôÝò... äåí åßíáé

ðÜíôá "ôæÜìðá".

Ó÷üëéï:Ó÷üëéï:


Ïé ìáèçìáôéêÝò ðñïêëÞóåéò ãéá íÝïõò

Áõóôñáëéáíïýò áðåõèýíïíôáé ó' Ýíá ðïóïóôü

10% (ðïõ åßíáé áò ðïýìå ç áöñüêñåìá) ôùí

ìáèçôþí ôçò 5çò êáé 6çò ÔÜîçò ôïõ Äçìïôéêïý

êáèþò êáé ó' Ýíá áíôßóôïé÷ï ðïóïóôü ôùí

ìáèçôþí áðü ôç 7ç ìÝ÷ñé ôçí 10ç ÔÜîç ôçò

ÄåõôåñïâÜèìéáò Åêðáéäåýóçò.

Ïé "ðñïêëÞóåéò" ðñïìçèåýïõí õëéêü Ýôóé

þóôå áõôïß ïé êáèçãçôÝò íá ìðïñïýí íá

âïçèïýí ôïõò ôáëáíôïý÷ïõò ìáèçôÝò ôïõò ó'

Ýíá åðßðåäï áíôÜîéï ôùí äõíáôïôÞôùí ôïõò.

ÁëëÜ êáé êáèçãçôÝò áðü ìåãáëýôåñá

Ó÷ïëåßá âñÞêáí áõôü ôï õëéêü áñêåôÜ

áîéïðïéÞóéìï óôçí ðñïóðÜèåéÜ ôïõò íá

äþóïõí êáëýôåñç âïÞèåéá êáé êáëýôåñåò

åõêáéñßåò óôïõò ìáèçôÝò ðïõ äéäáóêïýí.

ÃåíéêÜ óôïõò óôü÷ïõò ôùí "Ìáèçìáôéêþí

ÐñïêëÞóåùí" ðåñéëÜìâáíåôáé:

ÅíèÜññõíóç êáé êáëëéÝñãåéá:

– ìåãáëýôåñïõ åíäéáöÝñïíôïò êáé åîïé-

êåßùóçò ìå ôç äýíáìç ôùí ìáèçìáôéêþí

– èÝëçóçò ãéá áðüêôçóç áðïôåëåóìáôé-

êüôçôáò óôç ëýóç ðñïâëçìÜôùí êáé

– ôçò ÷áñÜò êáé ôçò äéáóêÝäáóçò ðïõ

ìðïñåß íá íïéþóåé êáíåßò ëýíïíôáò

ðñïâëÞìáôá

ÅðéóÞìáíóç ôùí ôáëáíôïý÷ùí ìéêñþí

Áõóôñáëéáêþí ìáèçôþí êáé ôùí

äõíáôïôÞôùí ôïõò óå åèíéêÞ êëßìáêá,

êáé ðáñï÷Þ õðïóôÞñéîçò ç ïðïßá èá

ôïõò åðéôñÝøåé íá ðåôý÷ïõí íá

äéáêñéèïýí, ï êáèÝíáò áíÜëïãá ìå ôï

åðßðåäï ôùí éêáíïôÞôùí ôïõ.

Åöïäéáóìüò ôùí êáèçãçôþí ìå:

– ÅíäéáöÝñïíôá êáé ðñïóéôÜ ðñïâëÞìáôá

êáé áíáëõôéêÝò ëýóåéò ôïõò õðïêéíþíôáò

Ýôóé ôïõò êáèçãçôÝò óå ìéá äéäáóêáëßá

ìå ðïëý ðéï ðëïýóéï õëéêü, êáé

– ÐåñéåêôéêÝò êáé áîéüðéóôåò Ðáíáõ-

óôñáëéáíÝò óôáôéóôéêÝò ìå ôéò åðé-

ôõ÷ßåò ôùí ìáèçôþí óôéò "ÐñïêëÞóåéò".

Ðåñéóóüôåñá óôç äéåýèõíóç: http://www.amt.canberra.edu.au/mcya.html

Ó÷üëéï:Ó÷üëéï:

AYÓÔÑÁËÉÁÍÇ ÐÁÑÁÊÁÔÁÈÇÊÇ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÙÍÌáèçìáôéêÝò ÐñïêëÞóåéò ãéá íÝïõò Áõóôñáëéáíïýò

Õðåýèõíïò: Mr. Bruce Henry

ºóùò, äéáâÜæïíôáò ìåñéêïß ôá "íÝá" áðü ôçí Áõóôñáëßá, íá óêåöôïýí üôé êáé "ìåéò" åäþ êÜôé

êÜíïõìå, åííïþíôáò ôç ëåéôïõñãßá ôçò "ÔñÜðåæáò èåìÜôùí" êáé ôçò óôÞëçò "ç Üóêçóç

ôïõ ìÞíá" ðïõ ìðïñåß êáíåßò íá âñåß óôçí éóôïóåëßäá ôçò Å.Ì.Å. ( www.hms.gr)

Íáé, åßíáé Ýíá âÞìá, áëëÜ ìåôÝùñï. Óêåöôåßôå: ìå ôï õëéêü ðïõ âñßóêåé êáíåßò óôçí éóôïóåëßäá

ôçò Å.Ì.Å. ðüóïé êáé ðïéïß óôü÷ïé áð' áõôïýò ðïõ ïé Áõóôñáëéáíïß óôï÷åýïõí, ìðïñïýí íá

åðéôåõ÷èïýí; ºóùò êáé êáíÝíáò. Åäþ, üëá èõóéÜæïíôáé óôï âùìü ôïõ êáêïý (äçëáäÞ ôùí

åîåôÜóåùí.....)

Äßêôõï - ÅðéëïãÝò

to periodiko f

Documents