toa do-trong-mat-phang
TRANSCRIPT
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 1- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
MỤC LỤC Trang
CHUYÊN ðỀ 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ TRONG MẶT PHẲNG Phương trình ñường thẳng………………………………………………………........……. 4 Phương trình ñường tròn…………………………………………………………….......… 17 Ba ñường Cônic………………………………………………………………….........…... . 26 CHUYÊN ðỀ 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ TRONG KHÔNG GIAN Phương trình mặt phẳng………………………………………………………..…….......... 36 Phương trình ñường thẳng ……………………………………………………...........…… 56 Phương trình mặt cầu………………………………………………………….…..........…. 70 CHUYÊN ðỀ 3: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN……………………….......……… 73 Thể tích của khối ña diện......................................................................................................88 Chứng minh ñường thẳng vuông góc mặt phẳng...................................................................92 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc..................................................................................94 Dựng ñường cao của hình chóp.............................................................................................96 Dựng một mặt phẳng vuông góc với một mặt bên của hình chóp.......................................102 Cách dựng hình chiếu của một ñiểm lên một mặt phẳng.....................................................104 Tìm góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng.............................................................................107 Xác ñịnh góc giữa hai mặt phẳng ........................................................................................111 Tính các khoảng cách...........................................................................................................103
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 2- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
A. TOÏM TÀÕTA. TOÏM TÀÕTA. TOÏM TÀÕTA. TOÏM TÀÕT LYÏ THUYÃÚT LYÏ THUYÃÚT LYÏ THUYÃÚT LYÏ THUYÃÚT::::
HÃÛ TRUÛC TOAÛ ÂÄÜHÃÛ TRUÛC TOAÛ ÂÄÜHÃÛ TRUÛC TOAÛ ÂÄÜHÃÛ TRUÛC TOAÛ ÂÄÜ 1. Biểu thức toạ ñộ của vectơ:
jyixuyxu +=⇔= ),(
với )0,1(=i và )1,0(=j là các vectơ ñơn vị. 2. Các tính tính chất của vectơ
Cho ),( yxu = , )','( yxv = và số thực k. Ta có:
)','( yyxxvu ±±=± ),( kykxuk =
22 yxu +=
==
⇔='
'
yy
xxvu
3. Tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai vectơ:
Cho hai vectơ ),( yxu = và )','( yxv = . Ta có:
• ''. yyxxvu +=
• 2222 ''
''),cos(
yxyx
yyxxvu
++
+=
HQ: 0. =⇔⊥ vuvu 4. Toạ ñộ của vectơ xác ñịnh bởi hai ñiểm: Cho A(xA, yA) và B(xB,, yB). Khi ñó toạ ñộ vectơ AB là:
),( ABAB yyxxAB −−= 5. Hai vectơ cùng phương – Ba ñiểm thẳng hàng:
• ),( yxu = cùng phương )','( yxv = khi vku = • Ba ñiểm A, B, C thẳng hàng khi AB cùng phương AC .
6. Tọa ñộ trung ñiểm I của ñoạn AB:
+=
+=
2
2
BAI
BAI
yyy
xxx
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 3- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
7. Xác ñịnh các yếu tố trong tam giác:
a) Trọng tâm G của tam giác ABC
Toạ ñộ trọng tâm G của tam giác ABC:
++=
++=
3
3
CBÁG
CBAG
yyyx
xxxx
b) Trực tâm H của tam giác ABC:
H là trực tâm tam giác ABC khi:
=
=
0.
0.
ACBH
BCAH
c) Tâm I ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
I là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
==
22
22
ICIB
IBIA
d) Chân ñường phân giác của tam giác:
D là chân ñường phân giác hạ từ ñỉnh A khi DCAC
ABDB −=
e) Diện tích tam giác ABC:
• 222 ).(.
2
1ACABACABS −=
• BCAHS .2
1= ( AH là ñường cao hạ từ ñỉnh A)
• Giả sử ),( baAB = và )','( baAC = thì:
baabS ''2
1 −=
(Công thức này chỉ sử dụng ñể kiểm tra kết quả) 8. Một số tr ường hợp ñặc biệt lưu ý: • ðiểm M∈ Ox thì toạ ñộ M có dạng M(x, 0) • ðiểm M∈ Oy thì toạ ñộ M có dạng M(0, y) • Với ñiểm M(x, y) ta có: + ðiểm M’ ñối xứng với M qua Ox thì M’(x, –y) + ðiểm M’ ñối xứng với M qua Oy thì M’(– x, y)
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 4- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
PHÆÅNG TRÇNH ÂÆÅÌNG THÀÓNGPHÆÅNG TRÇNH ÂÆÅÌNG THÀÓNGPHÆÅNG TRÇNH ÂÆÅÌNG THÀÓNGPHÆÅNG TRÇNH ÂÆÅÌNG THÀÓNG A. TA. TA. TA. TOÏM TÀÕT:OÏM TÀÕT:OÏM TÀÕT:OÏM TÀÕT: I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ðƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG 1. Phương trình tổng quát của ñường thẳng:
ðường thẳng (d) qua M(x0, y0) nhận ),( BAn = làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: A(x – x0) +B(y – y0) = 0
2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của ñường thẳng:
ðường thẳng (d) qua M(x0, y0) nhận ),( baa = làm vectơ chỉ phương có
∗∗∗∗ PT tham số
+=+=
btyy
atxx
0
0
∗∗∗∗ PT chính tắc: b
yy
a
xx 00 −=
− (ab ≠ 0)
∗∗∗∗ Chú ý: ðường thẳng AB là ñường thẳng qua ñiểm A và nhận vectơ AB làm vectơ chỉ phương.
3. ðường thẳng (d) qua M(x0, y0) có hệ số góc k có phương trình: )( 00 xxkyy −=−
4. Quan hệ về vuông góc và song song của hai ñường thẳng: Cho ñường thẳng (d) có phương trình: Ax + By + C = 0.
+ ðường thẳng (∆) vuông góc với (d) có dạng: –Bx + Ay + m = 0 + ðường thẳng (∆) song song với (d) có dạng: Ax + By + m = 0 (m ≠ C) Nếu biết thêm (∆) ñi qua ñiểm M(x0, y0) thì thế toạ ñộ M vào các ñường thẳng trên ñể tìm m.
4. ðể tính khoảng cách từ một ñiểm M(xo,yo) ñường thẳng ( ∆ ): Ax + By + C = 0 ta dùng công thức :
d(M,∆ ) = 22
00
BA
CByAx
+
++
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 5- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
5. Góc giữa hai ñường thẳng :
1∆ : A1x + B1y + C1 = 0
2∆ : A2x + B2y +C2 = 0
Công thức : cos( 1∆ , 2∆ ) = 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A A B B
A B A B
++ +
6. Phương trình của hai ñường ñường phân giác của các góc hợp bởi 1∆ và 2∆ :
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
Ax By C Ax By C
A B A B
+ + + += ±
+ +
II. KIẾN THỨC LIÊN QUAN ðẾN TAM GIÁC - TỨ GIÁC I. Tr ọng tâm G của tam giác ABC: • G là giao ñiểm của ba ñường trung tuyến AA’, BB’ và CC’
• 2
' ' ' 3AAAG BG CG
BB CC= = =
• Tọa ñộ trọng tâm G:
A B C
G
B CÁ
G
x x xx
3y y y
x3
+ + = + + =
• Do AA’ = 3GA’ và 'AA�����
cùng hướng 'GA����
nên 'AA
����� = 3 'GA����
II. Tr ực tâm H của tam giác ABC: • H là giao ñiểm của ba ñường cao AM. BN và CK. • Nếu có tọa ñộ A, B và C. Muốn tìm H ta dùng
hệ: AH BC
BH AC
⊥ ⊥
III. Tâm I c ủa ñường tròn ngoại ti ếp tam giác ABC: • I là giao ñiểm của ba ñường trung trực của ba cạnh. • M, N, K là các trung ñiểm các cạnh AB, BC và CA thì: IM ⊥ AB, IN ⊥ BC và IK ⊥ AC
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 6- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
• Nếu có tọa ñộ A, B và C muốn tìm I ta dùng hệ IA = IB = IC IV. Tâm J của ñường tròn nội ti ếp tam giác ABC: • J là giao ñiểm ba ñường phân giác trong của tam giác. • Gọi M , N và K là hình chiếu vuông góc của J lên các cạnh AB, BC và CA thì JM = JN = JK
V. Tính chất tia phân giác của góc: Cho Oz là tia phân giác của góc �xOy . Hai tính chất hay dùng là: + Nếu M thuộc tia Ox và N là ñiểm ñối xứng với M qua Oz thì N thuộc tia Oy. + Nếu A thuộc tia Oz thì d(A, Ox) = d(A, Oy)
VI. Tam giác cân: Tam giác ABC cân tại A thì: + AB = AC, � �ABC ACB= + ðường trung tuyến hạ từ ñỉnh A vừa là ñường cao, ñường phân giác, ñường trung trực. CB
A
VII. Tam giác ñều: + Ba ñường trung tuyến ñồng thời là ba ñường cao, ba ñường phân giác, ba ñường trung trực. + Trọng tâm cũng chính là trực tâm, tâm ñường tròn nội tiếp, tâm ñường tròn ngoại tiếp.
VIII. Tam giác vuông: Tam giác ABC vuông tại A thì: + Tâm ñường tròn ngoại tiếp là trung ñiểm cạnh huyền. + M là trung ñiểm cạnh huyền BC thì MA = MB = MC IX. Hình bình hành ABCD: • AB = CD, AD = BC • AB //CD và AD // BC • Tâm I là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD
IA = IC và IB = ID
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 7- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
X. Hình thoi ABCD: • Có các tính chất của hình bình hành • AB = BC = CD = DA • Hai ñường chéo vuông góc với nhau. • Mỗi ñường chéo là một ñường phân giác của hai góc nó ñi qua
XI. Hình chữ nhật ABCD • Có các tính chất của hình bình hành • Hai cạnh liên tiếp vuông góc với nhau. • Hai ñường chéo bằng nhau. • I là tâm của hình chữ nhật thì IA = IB = IC = ID
XII. Hình vuông ABCD: • Có bốn cạnh bằng nhau. • Hai ñường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau • Mỗi ñường chéo là một ñường phân giác hai góc mà nó ñi qua.
B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA: Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của ñường thẳng (∆) qua ñiểm
M(7; 2) và có vectơ pháp tuyến ( ; )n= −4 1�
. Giải: ðường thẳng (∆) qua ñiểm M(7; 2) và có vectơ pháp tuyến ( ; )n= −4 1
�
có phương trình tổng quát là: –4(x – 7) + 1.(y – 2) = 0
⇔ –4x + y + 26 = 0 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hai ñường thẳng (d1): 4x + 3y + 3 = 0 và (d2): x + 7y + 1 = 0 a) Tính khoảng cách từ ñiểm M(1; 2) ñến ñường thẳng (d1). b) Tính khoảng cách từ ñiểm N(2;–1) ñến ñường thẳng (d2).
Giải a) Khoảng cách từ ñiểm M(1; 2) ñến ñường thẳng (d1) là
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 8- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
1 2 2
| 4.1 3.2 3| 13d(M,d )
54 3
+ += =+
b) Khoảng cách từ ñiểm N(2; –1) ñến ñường thẳng (d2) là
2 2 2
|1.2 7.( 1) 1| 4 2 2d(M,d )
55 21 7
+ − += = =+
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hai ñường thẳng (d1): 2x – y + 3 = 0, (d2): 2x – 4y + 1 = 0 và (d3): x – y – 2 = 0. a) Tìm ñiểm M ∈ (d1) sao cho khoảng cách từ ñiểm M ñến (d3) bằng 2 . b)Tìm ñiểm A thuộc ñường thẳng (d3) sao cho khoảng cách từ M ñến (d1) bằng 2 lần khoảng cách từ M ñến (d2).
Giải a) Do M ∈ (d1): y = 2x – 3 nên M(a; 2a – 3)
3 2 2
| a (2a 3) 2 |d(M,d ) 2 |1 a | 2
1 1
1 a 2 a 3 M(3;3)
1 a 2 a 1 M( 1; 5)
− − −= = ⇔ − =+
− = = ⇒ ⇔ ⇔ − = − = − ⇒ − −
b) Ta có (d3): y = x – 2 ⇒ A(a; a – 2) ∈ (d3)
.
1 2
| 2a (a 2) 3 | 2 | 2a 4(a 2) 1|d(A,d ) 2d(A;d )
5 20
a 5 2a 9| a 5 | | 2a 9 |
a 5 ( 2a 9)
4 4 2a A ;
3 3 3
a 14 A(14;12)
− − + − − += ⇔ =
+ = − +⇔ + = − + ⇔ + = − − +
= ⇒ − ⇔ = ⇒
Vậy có hai ñiểm thỏa mãn ñề toán là 4 2
A ;3 3
−
và A(14; 12).
Ví dụ 4: Trong màût phàóng Oxy cho ba ñiểm A(1; –2), B(0; 2) và C(–1; – 3). a) Viết phương trình ñường cao hạ từ A của tam giác ABC. b) Tìm toạ ñộ ñiểm A’ ñối xứng với A qua ñường thẳng (BC).
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 9- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
Giải:
a) ðường cao AH ñi qua ñiểm A, có vectơ pháp tuyến n = BC =(–1; –5) ⇒⇒⇒⇒ (AH): –1(x – 1) – 5( y + 2) = 0 ⇔ x + 5y + 9 = 0
b) + ðường thẳng (BC) ñi qua ñiểm B có vectơ pháp tuyến n = (5 ; –1) ⇒⇒⇒⇒ (BC) : 5x – (y – 2) = 0 ⇔ 5x – y + 2 = 0 + Toạ ñộ hình chiếu H của A lên ñường thẳng (BC) là :
195 9 0 26
5 2 0 4326
xx y
x yy
= −+ + = ⇔ − + = = −
⇒⇒⇒⇒ H( 26
43;
26
19 −− )
+ A’ ñối xứng với A Qua ñường thẳng (BC) ⇔ H là trung ñiểm AA’.
⇒⇒⇒⇒ A’(13
17;
13
32 −− )
Ví dụ 5: Trong màût phàóng Oxy cho âæåìng thàóng (d): x + y – 2 = 0, (d’) : 3x – y + 8 = 0. Viết phương trình ñường thẳng (∆ ) cắt (d), (d’) lần lượt M, N sao cho I(1 ; 2) là trung ñiểm MN.
Giải : Ta có : (d) : y = 2 – x ⇒⇒⇒⇒ M(a ; 2–a) ∈ (d) (d’) : y = 3x + 8 ⇒⇒⇒⇒ N(b ; 3b + 8) ∈(d’)
I là trung ñiểm MN ⇔
−==
⇔
=+−=+
⇔
+=
+=
1
3
4103
2
2
2b
a
ab
ba
yyy
xxx
NMI
NMI
Vậy M(3; –1) và N(–1; 5) ⇒⇒⇒⇒ MN =(–4; 6) . Do ñó vectơ pháp tuyến
n =(6 ; 4). ⇒⇒⇒⇒ ∆ : 6(x – 3) + 4(y + 1) = 0 ⇔ 6x + 4y – 14 = 0 ⇔ 3x + 2y – 7 = 0
Ví dụ 6: Trong màût phàóng Oxy cho tam giaïc ABC cán taûi A, coï B nàòm trãn âæåìng thàóng (d): x + y – 2 = 0, âènh A(2; –1) vaì troüng tám tam giaïc ABC laì G(–1; – 2). Xaïc âënh toaû âäü caïc âènh B vaì C.
Giải
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 10- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
Goüi M(x; y) laì trung âiãøm cuía BC ta coï:GM = (x + 1; y + 2), AG����
= (–3; –1)
G laì troüng tám tam giaïc ABC nãn: AG= 2GM . Do âoï M(5
2
−;
5
2
−)
Tam giaïc ABC cán nãn BC ⊥ AG. Do âoï phæång trçnh âæåìng thàóng (BC) laì (BC): 3x + y + 10 = 0 B laì giao âiãøm cuía (BC) vaì (d) nãn B(– 6; 8). Tæì âoï ta coï C(1; – 13)
Ví dụ 7: Trong màût phàóng Oxy cho âæåìng thàóng (d): 2x – 3y + 1 = 0 vaì âiãøm M(3; –2). Tam giaïc ABC vuäng taûi B, coï trung âiãøm cuía âoaûn AC laì I(3; 1), âènh A nàòm trãn truûc hoaình vaì caûnh AB nàòm trãn âæåìng thàóng (d). Xaïc âënh toaû âäü A, B vaì C.
Giải
Ta có : (AB): 2x – 3y + 1 = 0 vaì A ∈Ox nãn A(1
2− ; 0). Trung âiãøm I
cuía AC laì I(3 ; 1), suy ra C(2
13 ; 2). Âæåìng thàóng (BC) ⊥ (AB) nãn (BC):
6x + 4y – 47 = 0. Tæì âoï B
13
50;
26
137.
Ví dụ 8 : Trong màût phàóng Oxy cho tam giaïc ABC coï âènh A nàòm trãn âæåìng thàóng (d): x – 4y – 2 = 0, caûnh BC song song våïi (d), phæång trçnh âæåìng cao BH: x + y + 3 = 0 vaì trung âiãøm caûnh AC laì M(1; 1). Tçm toaû âäü âènh A, B vaì C.
Giải
Vç AC ⊥ BH nãn coï VTPT laì n = (1; – 1).
Phæång trçnh caûnh AC: x – 1 – (y – 1) = 0 ⇔ x – y = 0 Toaû âäüü âènh A laì nghiãûm cuía hãû :
=−=−−
0
024
yx
yx ⇔⇔⇔⇔
−=
−=
3
23
2
y
x
⇒⇒⇒⇒ A(–2
3; –
2
3)
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 11- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
Vç M laì trung âiãøm cuía AC nãn C8 8
;3 3
Caûnh BC song song våïi (d) nãn (BC): x – 4y + m = 0 ( m ≠ – 2).
Vç C8 8
;3 3
∈ BC nãn 3
8 –
3
32 + m = 0 ⇒⇒⇒⇒ m = 8
Phæång trçnh caûnh BC: x – 4y + 8 = 0
Toaû âäü B laì nghiãûm cuía hãû:
=++=+−03
084
yx
yx ⇔⇔⇔⇔
=−=1
4
y
x ⇒⇒⇒⇒ B( – 4; 1)
Ví dụ 9 : Trong mp Oxy cho ba ñiểm A(2 ; 1), B(1 ; –1) và C(2 ; –1) a) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm A và cách ñều hai ñiểm B và C. b) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm B và cách ñiểm C một ñoạn bằng 1.
Giải
a) + Gọi n =(a ; b) là vectơ pháp tuyến của ñường thẳng ∆ cần tìm. ⇒⇒⇒⇒ (∆ ) : a(x – 2) + b(y – 1) = 0 ⇔ ax + by – 2a – b = 0.
+ d(B; ∆ ) = d(C; ∆ ) ⇔ 2222
222
ba
baba
ba
baba
+
−−−=
+
−−−
⇔ |–3a – 2b| = |–2b| ⇔ –3a – 2b = –2b ∨ –3a – 2b = 2b
⇔ a = 0 ∨ b = – 4
3a.
• Với a = 0, chọn b = 1 ta có (∆ ) : y – 1 = 0
• Với b = – 4
3a, chọn a = 4, b = – 3 ta có (∆ ): 4x – 3y = 5 = 0.
b) + Gọi n =(a ; b) là vectơ pháp tuyến của ñường thẳng ∆ ’ cần tìm. ⇒⇒⇒⇒ (∆ ) : a(x – 1) + b(y + 1) = 0 ⇔ ax + by – a + b = 0.
+ d(C; ∆ ’) = 1⇔ 22
22|2|1
22bab
ba
baba+=−⇔=
+
−−−
baba 33 22 ±=⇔=⇔ • Với a = 3 b, chọn a = 3, b = 3 ta có
( ∆ ’): 3x + 3 y – 3 + 3 = 0 • Với a = – 3 b, chọn a = 3, b = – 3 ta có
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 12- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
( ∆ ’): 3x – 3 y – 3 – 3 = 0
Ví dụ 10: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), ñường trung trực cạnh BC và ñường trung tuyến kẻ từ B lần lượt nằm trên hai ñường thẳng (d1): 2x – 4y – 7 = 0 và (d2): x – y – 2 = 0. Tìm tọa ñộ hai ñỉnh B và C.
Giải Gọi B(a; a – 2) ∈ (d2) và C(b; c). Khi ñó: Tọa ñộ trung ñiểm cạnh BC là
2;
2 2a b a c
M+ + −
.
Tọa ñộ trung ñiểm cạnh AC là 1 2;
2 2b c
N+ +
.
Vec tơ chỉ phương của ñường thẳng (BC) là: ( ; 2)BC b a c a= − − +����
.
Vectơ chỉ phương của ñường trung trực cạnh BC là (2;1)u =�
. Ta có: Ta có:
1
2
1
( ) 2( 2) 7 0( )
1 2( ) 2 0
2 2( ) 2( ) 1( 2) 0
2 3 3
5 4
3 2 2 1
a b a cM d
b cN d
BC d b a c a
a b c a
b c b
a b c c
+ − + − − =∈ + + ∈ ⇔ − − = ⊥ − + − + =
− + − = = ⇔ − = ⇔ = − + + = − = −
Vậy B(3; 1) và C(4; –1). Ví dụ 11: Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm (1;0)H , chân ñường cao hạ từ ñỉnh B là (0; 2)K , trung ñiểm cạnh AB là (3;1)M .
Giải + ðường thẳng AC qua K và nhận
( 1; 2)HK = −����
làm vec tơ pháp tuyến nên ( ) : 2 4 0.AC x y− + =
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 13- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
+ Phương trình ñường thẳng BK là: ( ) : 2 2 0BK x y+ − = .
+ Do ,A AC B BK∈ ∈ nên (2 4; ), ( ; 2 2 ).A a a B b b− −
Mặt khác (3;1)M là trung ñiểm của AB nên:
2 4 6 2 10 4.
2 2 2 2 0 2
a b a b a
a b a b b
− + = + = = ⇔ ⇔ + − = − = =
Suy ra: (4; 4), (2; 2).A B −
+ ðường thẳng AB qua A có vectơ chỉ phương là ( 2; 6)AB = − −����
, suy ra: ( ) :3 8 0AB x y− − = .
+ ðường thẳng BC qua B nhận (3; 4)HA =����
làm vectơ pháp tuyến nên: ( ) :3 4 2 0.BC x y+ + = Vậy phương trình các cạnh của tam giác ABC là: ( ) : 2 4 0,AC x y− + = ( ) :3 8 0AB x y− − = , ( ) :3 4 2 0.BC x y+ + = C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(2
1, 0),
phương trình ñường thẳng AB là: x – 2y + 2 = 0 và BC = 2AB. Tìm toạ ñộ các ñỉnh hình chữ nhật biết rằng A có hoành ñộ âm. HD: + Gọi M là trung ñiểm AB thì M là hình chiếu của I lên (AB) ⇒ Tọa ñộ M. + Do BC = 2AB nên AB = IM. Do ñó A, B là các giao ñiểm của ñường tròn (C) tâm M ñường kính AB. + A, B là giao ñiểm của (C) và ñường thẳng (AB). Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ ñộ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(2; 1), cạnh BD của hình vuông nằm trên ñường thẳng (d): x – y + 3 = 0. Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh B, C và D. HD: + Tâm I của hình vuông là hình chiếu của A lên (BD). + Tính IA suy ra IB. Hai ñỉnh B, D là giao ñiểm của ñường tròn tâm I bán kính IB với ñường thẳng (d).
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 14- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có phương trình ñường trung tuyến hạ từ A là (d): x + y – 1 = 0, phương trình cạnh BC là 2x – y + 3 = 0 và ñỉnh C thuộc trục Oy. Viết phương trình cạnh AB của tam giác. HD: + Gọi I là trung ñiểm BC thì I là giao ñiểm của (d) và (BC). + C là giao ñiểm của Oy và (BC). + I là trung ñiểm BC nên tìm ñược B. + A ∈ (d) và 2AI = BC suy ra ñược A. Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các ñường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên ñường thẳng (d): x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC. HD + ðỉnh B = AB ∩ BC. + ðỉnh A = AB ∩ (d). + Gọi B’ là ñiểm ñối xứng với B qua ñường thẳng (d) thì B’ ∈ (AC) (Vì (d) là phân giác trong góc A) + ðường thẳng AC qua A và M. Từ ñó tìm ñược C. Bài 5: Cho tam giác ABC có ñỉnh A(2; 1), phương trình hai ñường cao hạ từ B và C lần lượt là (d1): x – y + 1 = 0 và (d2): 2x + y + 2 = 0. Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh B, C và viết phương trình cạnh BC. HD: + ðường thẳng AC qua A và vuông góc (d1). Suy ra tọa ñộ ñỉnh C = (AC) ∩ (d2). + ðường thẳng AB qua A và vuông góc (d2). Suy ra tọa ñộ ñỉnh C = (AB) ∩ (d1). Bài 6: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 2x – y + 1 = 0, AC: x + y + 2 = 0 và trọng tâm G(1; –3). Xác ñịnh tọa ñộ trực tâm tam giác ABC. HD: + B(b; 2b + 1) ∈ (AB) và C(c; –c – 2) ∈ (AC). + G là trọng tâm ∆ABC ⇒ b và c. Từ ñó tìm ñược B và C.
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 15- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
+ H(x; y) là trực tâm ∆ABC ⇔ AH ⊥ BC và BH ⊥ AC ⇒ H. Bài 7: Cho tam giác ABC có phương trình các ñường phân giác trong hạ từ ñỉnh B là (d): x – y + 1 = 0, ñường cao hạ từ ñỉnh C là (d’): x + 2y + 2 = 0 và ñỉnh A(–2; –1). Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh B và C của tam giác ABC. HD: + Viết phương trình ñường thẳng (AB) qua A và vuông góc với (d’). + B = (AB) ∩ (d). + Gọi A’ là ñiểm ñối xứng với A qua (d) thì A’ ∈ (BC). Từ ñó viết ñược phương trình ñường thẳng (BC). + C = (BC) ∩ (d’). Bài 8: Cho hai ñiểm A(2; 1), B(–4; 3) và ñường thẳng dm : x + 2y – 3+ m = 0. Xác ñịnh m ñể trên ñường thẳng dm có ñúng một ñiểm N sao cho tam giác ABN vuông tại N. HD: +Gọi M(3 – m – 2a; a) ∈ (dm). + Tam giác ABN vuông tại N ⇔ AN ⊥ BN. Ta ñược phương trình bậc hai ẩn a, tham số m. + Tồn tại một ñiểm N thỏa ñề bài ⇔ Phương trình bậc hai trên có ñúng 1 nghiệm. Bài 9: Cho hai ñường thẳng (d): 2x – y + 3 = 0, (d’): x – y – 2 = 0 và ñiểm A(–3; 6). Viết phương trình ñường thẳng cắt ñường thẳng (d) và (d’) lần lượt B, C sao cho ñiểm G(–1; 2) là trọng tâm của tam giác ABC. HD: + Gọi B(b; 2b + 3) và C(c; c – 2). + G là trọng tâm ∆ABC suy ra b và c. Do ñó tìm ñược B và C. + ðường thẳng (d) ñi qua B và C. Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB, AD thứ tự là: x + 2y – 2 = 0 và 2x + y + 1= 0. Cạnh BD chứa ñiểm M (1; 2) . Tìm toạ ñộ các ñỉnh của hình thoi. HD: + A = AB ∩ AD. + Gọi B(2b – 2; b) và D(d; –2d –1). Do ∆ABD cân tại A và M ∈ BD nên AB = AD và M, B, D thẳng hàng suy ra ñược b và d. Từ ñó tìm ñược B và D.
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 16- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
+ Gọi I là trung ñiểm BD ta tìm ñược I. Từ ñó tìm ñược C. Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, xác ñịnh toạ ñộ các ñiểm B và C của tam giác ñều ABC biết A (3;– 5) và trọng tâm G(1; 1). HD: + Gọi M là trung ñiểm BC. Suy ra tọa ñộ M và ñộ dài ñoạn thẳng AM, MB. + ðường thẳng BC qua M và ⊥ AM. + B, C thuộc ñường tròn tâm M, bán kính MB. Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC với
5AB = , C(–1; –1), ñường thẳng AB có phương trình x + 2y – 3 = 0 và trọng tâm G của tam giác ABC thuộc ñường thẳng x + y - 2 = 0. Hãy tìm toạ ñộ các ñiểm A và B. Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao ñiểm của hai ñường thẳng (d1): x – y – 3 = 0 và (d2): x + y – 6 = 0. Trung ñiểm M của cạnh AD là giao ñiểm của ñường thẳng (d1) với trục Ox. Tìm toạ ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật. HD:
+ Tìm ñược I = (d1) ∩ (d2) và M = Ox ∩ (d1) ⇒ 9 3; , (3;0)
2 2I M
+ AB = 2IM = 3 2 + SABCD = AB.AD =12 ⇒ AD = 2 2 + Viết phương trình ñường thẳng AD và ñường tròn ñường kính AD. Suy ra hai ñiểm A và D. Bài 14: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết toạ ñộ các ñỉnh A(2; 0) , B (3;0) và I là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD, I nằm trên ñường thẳng x – y = 0. Xác ñịnh toạ ñộ các ñiểm C, D. HD:
+ SIAB = 14
SABCD = 1 và AB = 1.
+ Do SIAB = 1 nên d(I, AB) = 2. + Gọi I(a; a). Dùng d(I, AB) = 2 ⇒ a = 2, a = – 2. ⇒ I ⇒ C và D. Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có ñỉnh A(2; 1), trực tâm H(–1; 2) và trọng tâm G(4; – 1). Tìm tọa ñộ các ñỉnh B, C.
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 17- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
ÂÆÅÌNG TROÌNÂÆÅÌNG TROÌNÂÆÅÌNG TROÌNÂÆÅÌNG TROÌN A. TOÏM TÀÕT PHÆÅNGA. TOÏM TÀÕT PHÆÅNGA. TOÏM TÀÕT PHÆÅNGA. TOÏM TÀÕT PHÆÅNG PHAÏP:PHAÏP:PHAÏP:PHAÏP: 1. Phương trình ñường tròn : (C): (x – a )2 + ( y – b )2 = R2 là ñường tròn có tâm I(a,b) , bán kính R. Dạng khác của ñường tròn: x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 ( A2 + B2 – C > 0 )
là phương trình ñường tròn tâm I(–A,– B) , bán kính R= 2 2A B C+ − 2. Phương trình ti ếp tuyến của ñường tròn a) ðiều kiện tiếp xúc giữa ñường thẳng và ñường tròn: ðường thẳng (∆) tiếp xúc ñường tròn (C) ⇔ d(I, ∆) = R b) Phương pháp viết phương trình ti ếp tuyến của ñường tròn: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của ñường tròn (C) tại ñiểm M(x0, y0) thuộc (C): Tiếp tuyến của (C) tại M là ñường thẳng qua M nhận vectơ IM làm vectơ pháp tuyến. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của ñường tròn(C) qua ñiểm M(x0 ;y0).
+ ðường thẳng (∆) qua M(x0, y0) nhận ),( BAn = có phương trình: A(x – x0) + B(y – y0) = 0 + ðiều kiện (∆) tiếp xúc ñường tròn (C) ⇔ d(I, ∆) = R. Từ ñó tìm A và B, suy ra phương trình tiếp tuyến (∆) của (C). Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của ñường tròn (C) song song ( hoặc vuông góc) với ñường thẳng (d) cho trước. + Viết dạng phương trình ñường thẳng (∆) song song ( hoặc vuông góc) với (d). + Dùng ñiều kiện tiếp xúc ñể suy ra ñường thẳng (∆). 3. ðiều kiện tiếp xúc của hai ñường tròn: Cho hai ñường tròn C(I, R) và C(I’, R’) ta có: + (C) tiếp xúc ngoài (C’) ⇔ R + R’ = II’ + (C) tiếp xúc trong (C’) ⇔ R – R' = II’
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 18- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
4. Lưu ý: • ðiểm M nằm ngoài ñường tròn (C) thì từ M kẻ ñược ñến (C) hai tiếp tuyến. Gọi MA, MB là các tiếp tuyến thì ta có các tính chất sau: + MA = MB + AB ⊥ IM + IA ⊥ MA và IB ⊥ MB. + IM là ñường phân giác của góc �AMB và cũng là ñường phân giác của góc �AIB • Nếu ñiểm A thuộc hai ñường tròn
(C1): x2 + y2 + 2A1x + 2B1y + C1 = 0
và (C2): x2 + y2 + 2A2x + 2B2y + C2 = 0
thì tọa ñộ A cũng thỏa (x2 + y2 + 2A1x + 2B1y + C1) – (x2 + y2 + 2A2x + 2B2y + C2) = 0 ⇔ 2(A1 – A2)x + 2(B1 – B2)y + (C1 – C2) = 0
nên A thuộc ñường thẳng (∆):2(A1 – A2)x + 2(B1 – B2)y + (C1 – C2) = 0 Vận dụng: Nếu hai ñường tròn (C1): x
2 + y2 + 2A1x + 2B1y + C1 = 0 và (C2): x
2 + y2 + 2A2x + 2B2y + C2 = 0 cắt nhau tại hai ñiểm A, B thì lập luận như trên ta ñược A, B ∈ (∆):2(A1 – A2)x + 2(B1 – B2)y + (C1 – C2) = 0 nên ñường thẳng (AB) chính là (∆).
B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:
Ví duï 1: Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC bieát A(–1;2) , B(2;0) , C(–3;1). Vieát phöông trình ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam
giaùc ABC.
Giaûi:
Phöông trình ñöôøng troøn coù daïng: 2 2( ) : 2 2 0C x y ax by c+ − − + =
5 2 4 0(1)
, , ( ) 4 4 0(2)
10 6 2 0(3)
a b c
A B C c a c
a b c
+ − + =∈ ⇔ − + = + − + =
11
1413
14100
14
a
b
c
= −
⇒ = − = −
Vaäy (C) : 014
100
7
13
7
1122 =−−−+ yxyx
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 19- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh A(2; –1), B(0; 1) và C(1; 3). a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của ñiểm B lên ñường thẳng AC. Tìm tọa ñộ ñiểm H và viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. b) Viết phương trình ñường tròn tâm thuộc trục hoành, tiếp xúc ñường thẳng (∆): 3x + 4y + 10 = 0 và ñi qua ñiểm C.
Giải a) ðường thẳng (AC) ñi qua A và có vectơ chỉ phương la AC ( 1;4)= −
���� nên
có phương trình là x 2 t
y 1 4t
= − = − +
4(x – 2) + (y + 1) = 0 ⇔ 4x + y – 7 = 0 ðường thẳng (BH) qua B và vuông góc ñường thẳng (AC) nên có phương trình là (x – 0) – 4(y – 1) = 0 ⇔ x – 4y + 4 = 0 Tọa ñộ ñiểm H thỏa hệ phương trình
24x
4x y 7 0 24 2317 H ;x 4y 4 0 23 17 17
y17
=+ − = ⇔ ⇒ − + = =
Gọi I là trung ñiểm BC thì 1
I ;22
. Do tam giác HBC vuông tại H nên
ñường tròn (C) ngoại tiếp tam giác HBC có tâm là 1
I ;22
và bán kính
là 1 5
R BC2 2
= = . Vậy phương trình ñường tròn (C) là
2
21 5(C) : x (y 2)
2 4 − + − =
b) Gọi I(a; 0) ∈ (Ox) là tâm của ñường tròn (C). ðường tròn (C) qua C và tiếp xúc (∆)
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 20- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
2 2
2
2
| 3a 10 |d(I, ) IC (a 1) ( 3)
5
| 3a 10 | 5 a 2a 10
a 516a 110a 150 0 15
a8
+⇔ ∆ = ⇔ = − + −
⇔ + = − +=
⇔ − − = ⇔ =
+ Với a = 5 thì (C) có tâm I(5; 0) và bán kính R = 5 nên (C): (x – 5)2 + y2 = 25
+ Với 15
a8
= thì (C) có tâm 15
I ;08
và bán kính 5 2
R d(I, )4
= ∆ = nên
2
215 25(C) : x y
8 8 − + =
Ví dụ 3: Trong màût phàóng Oxy cho âæåìng troìn (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 vaì âæåìng thàóng (∆): 3x + 4y + 13 = 0 a) Viãút phæång trçnh tiãúp tuyãún cuía âæåìng troìn (C) song song våïi âæåìng thàóng (∆ ). b) Viãút phæång trçnh âæåìng thàóng âi qua âiãøm M(4; 0) càõt âæåìng troìn (C) theo mäüt dáy cung coï âäü daìi bàòng 4 2
Giải:
a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 coï tám I(2 ; –1), R = 3vaì âæåìng thàóng (∆): 3x + 4y + 13 = 0. Âæåìng thàóng (d) // (∆) ⇒ (d) : 3x + 4y + m = 0. (d) tiãúp xuïc våïi âæåìng troìn (C) ⇔ d(I ; d) = R. Tæì âoï tçm âæåüc m = 13 hoàûc m = –17. Do âoï hai tiãúp tuyãún cáön tçm laì : 3x + 4y – 17 = 0 ( Âthàóng 3x + 4y + 13 = 0 bë loaûi) b) Goüi A, B laì giao âiãøm cuía d våïi âæåìng troìn vaì K laì trung âiãøm AB khi âoï IK = 1. Do âoï d laì âæåìng thàóng qua âiãøm M caïch tám I âæåìng troìn mäüt khoaíng bàòng 1.
Goüi n = (A ; B) laì vectå phaïp tuyãún cuía (d).
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 21- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
Khi âoï (d) : Ax + By – 4A = 0.
d(I ; d) = 1 ⇔ | –2A – B| = 22 BA + ⇔ 3A2 + 4B = 0 ⇔ A = 0 hoàûc 3A = – 4B. Tæì âoï ta âæåüc hai âæåìng thàóng laì: y = 0 vaì 4x – 3y – 16 = 0
Ví dụ 4: Trong maët phaúng vôùi heä truïc toïa ñoä Oxy cho hoï ñöôøng troøn 2 2 2( ) : 2 4 5 1 0mC x y mx my m+ − + + − =
a) Chöùng minh raèng hoï ( )mC luoân luoân tieáp xuùc vôùi hai ñöôøng thaúng coá
ñònh.
b) Tìm m ñeå ( )mC caét ñöôøng troøn 2 2( ) : 1C x y+ = taïi hai ñieåm phaân
bieät A vaø B.
Giải: a) Caùch 1:
Phöông trình (Cm) laø ( ) ( )2 22 1x m y m− + + = Taâm I(m, –2m) vaø R = 1. Goïi ñöôøng thaúng luoân tieáp xuùc (Cm) laø: Ax + By + C = 0 ( )∆ Ta coù: d(I, ( )∆ ) = R, ∀ m
2 2( 2 ) ,m A B C A B m⇔ − + = + ∀ 2 0 2
2 2 5.
A B A B
C BC A B
− = = ⇔ ⇔ = ±= +
Vaäy (Cm) tieáp xuùc vôùi 2 ñöôøng thaúng coá ñònh laø: 2 5 0x y+ ± = Caùch 2:
Vì hoï (Cm) coù baùn kính R = 1 baènh nhau vaø taäp hôïp taâm I laø ñöôøng thaúng d:2x + y = 0 neân luoân toàn taïi 2 ñöôøng thaúng ( )∆ coá ñònh tieáp xuùc vôùi (Cm). Ñöôøng thaúng ( )∆ ôû treân song song vôùi d vaø caùch d moät ñoaïn baèng 1. ( )∆ // d ⇒ ( )∆ : 2x +y + C = 0
d( ( )∆ / d)=1 14 1
C⇔ =
+ 5C⇔ = ±
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 22- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
Vaäy (∆): 2 5 0x y+ + ± = b) (Cm) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B. (C) coù taâm O vaø baùn kính R'=1
Ta coù OI= 2 24 5m m m+ =
(Cm) caét (C) taïi 2 ñieåm phaân bieät ' 'R R OI R R⇔ − < < +
0 5 2 0m m⇔ < < ⇔ ≠ vaø2
5m <
Ví dụ 5: Trong maët phaúng Oxy cho hai ñöôøng troøn:
2 21( ) : 2 4 4 0C x y x y+ − + − = ,
2 22( ) : 4 4 56 0C x y x y+ + − − = .
Chöùng minh 1( )C tieáp xuùc vôùi 2( )C .Vieát phöông trình toång quaùt cuûa taát
caû caùc tieáp tuyeán chung cuûa(C1 ) vaø 2( )C .
Giải : Ta coù ( )
1C coù taâm I (1;–2) vaø baùn kính R1 =3, ( )
2C coù taâm J(–2,2) vaø
baùn kính 2
R = 8. Ta coù: IJ= 9 16+ = 5 = 2 1R R−
Vaäy ( )1
C vaø ( )2
C tieáp xuùc trong taïi ñieåm coù toïa ñoä thoûa
142 2 2 4 4 0 52 2 224 4 56 0
5
xx y x y
x y x y x
= + − + − = ⇔ + + − − = = −
Tiếp tuyến chung ñi qua ñiểm M( )5
22;
5
14 − và vuông góc IM nên phöông
trình tieáp tuyeán chung laø: 3x – 4y – 26 = 0. Ví dụ 6: Cho hai ñường tròn (C) : x2 + y2 – 8x + 4x – 4 = 0 và (C’) : x2 + (y – 1)2 = 1 Chứng minh rằng (C) và (C’) tiếp xúc ngoài nhau. Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp ñiểm.
Giải ðường tròn (C) có tâm I(4 ; –2) và bán kính R = 4. ðường tròn (C’) có tâm I’(0; 1) bán kính R’ = 1.
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 23- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
2 2II ' ( 4) 3 5= − + = và R + R’ = 5 ⇒ II’ = R + R’ Do ñó (C) và (C’) tiếp xúc ngoài. Tọa ñộ tiếp ñiểm M mãn hệ phương trình
2 2 2 2
2 2 2 2
2 22 2
x y 8x 4y 4 0 x y 8x 4y 4 0
x (y 1) 1 x y 2y 0
4x 28x 6y 4 0 y
3x y 2y 0
x y 2y 0
(laáy (1) - (2))
+ − + + = + − + + = ⇔ + − = + − =
−− + + = = ⇔ ⇔ + − = + − =
22
2
4x 2y
344x 2 xy4x 2 4x 2 53x 2 023 3
y25x 40x 16 05
− = −⇔ = =− − + − = ⇔ ⇔ =− + =
⇒ 4 2
M ;5 5
Tiếp tuyến chung của (C) và (C’) tại M ñi qua M và có vectơ pháp tuyến là n II ' ( 4;3)= = −� ���
nên có phương trình là
4 2
4 x 3 y 0 4x 3y 2 05 5
− − + − = ⇔ − + + =
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy , cho ñường tròn (C): (x – 4)2 + y2 = 4 và ñiểm E(4 ; 1). Tìm tọa ñộ ñiểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ ñược 2 tiếp tuyến MA , MB của ñường tròn (C) với A, B là các tiếp ñiểm sao cho ñường thẳng AB qua ñiểm E.
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 24- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
ðường tròn (C) có tâm I(4 ; 0) bán kính R = 2 Gọi M(0 ,m ) thuộc trục tung . 2 16IM m R= + > Vậy qua M có 2 tiếp tuyến ñến (C) Do A và B cùng nhìn ñoạn IM dưới một góc vuông nên A, B thuộc ñường tròn (C’) ñường kính IM.
ðường tròn (C’) có tâm là 2;2
mJ
và bán kính 21 116
2 2R IM m= = +
(J là trung ñiểm IM) nên có phương trình:
( )2 2
2 2 216( ') : 2 4 0
2 4
m mC x y x y x my
+ − + − = ⇔ + − − =
Tọa ñộ A và B thỏa mãn hệ phương trình:2 2
2 2
4 0 1)
8 12 0 (2)
(x y x my
x y x
+ − − =
+ − + =
Lấy (1) trừ (2) ta ñược: 4x – my – 12 = 0 (*) Tọa ñộ các tiếp ñiểm A, B ñều thỏa (*) nên ñường thẳng AB là:
4x – my – 12 = 0 Do E thuộc AB nên: 16 –m – 12 = 0 ⇔ m = 4 Vậy M(0 ; 4 ).
C. C. C. C. BAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN:BAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN:BAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN:BAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN: Bài 1: Cho ñường tròn (C): 25)2()1( 22 =−+− yx và ñiểm A(–3, –2). Viết phương trình ñường thẳng (d) qua ñiểm A cắt (C) tại hai ñiểm M và N sao cho MN = 8.
Bài 2: Cho ñường tròn (C): 066222 =+−−+ yxyx và ñiểm M(2, 4). a) Viết phương trình ñường thẳng (d) cắt (C) tại hai ñiểm A và B sao
cho M là trung ñiểm AB. b) Gọi I là tâm ñường tròn (C), tính diện tích tam giác IAB. c) Viết phương trình ñường tròn (C’) ñối xứng với (C) qua ñường
thẳng (d) 2x – y – 1 = 0. Bài 3: Cho ñường tròn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 và ñiểm A(3 ; 5). Hai tiếp tuyến qua A của (C) tiếp xúc với (C) tại M, N. Viết phương trình ñường thẳng MN. Bài 4: Lập phương trình ñường tròn ñi qua các ñiểm A(–1, 1) và B(1, –3) có tâm nằm trên ñường thẳng ∆: 2x – y + 1 = 0
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 25- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) : x2 + y2 = 1. ðường
tròn (C') tâm I (2,2) cắt (C) tại các ñiểm A, B sao cho AB 2= . Viết phương trình ñường thẳng AB.
. Baìi 6: Cho ñường tròn (C): 03422 =+−+ xyx . a) Viết phương trình ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm M(1, 1) và cắt
ñường tròn (C) tại A, B sao cho tam giác IAB vuông, với I là tâm của (C).
b) Tìm ñiểm N trên ñường thẳng (d): x – y + 2 = 0 sao cho từ N kẻ ñược ñến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 7: Cho hai ñường tròn
(C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9 và (C’) : (x + 2) + y2 = 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’).
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 26- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
BA ðƯỜNG CÔNIC A. TOÏM TÀÕT I. I. I. I. ÂÆÅÌNG ELIPÂÆÅÌNG ELIPÂÆÅÌNG ELIPÂÆÅÌNG ELIP 1. ðịnh nghĩa: (E) = {M(x; y)/ MF1 + MF2 = 2a}
2. Phương trình chính tắc: 12
2
2
2
=+b
y
a
x (b2 = a2 – c2, a > b > 0)
3. Các yếu tố của Elíp: • Tiêu ñiểm: F1(–c; 0), F2(c; 0) • Tiêu cự: F1F2 = 2c • ðỉnh: A1(–a; 0), A2(a; 0),
B1(0; –b), B2(0; b). • ðộ dài trục lớn: A1A2 = 2a ðộ dài trục bé: B1B2 = 2b • Trục ñối xứng: Ox, Oy • Tâm ñối xứng: O • Hình chữ nhật ñược giới hạn bởi các ñường thẳng x = ± a, y = ± b gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E).
• Tâm sai: e = a
c (e < 1)
• Bán kính qua tiêu: MF1 = a + exM , MF2 = a – exM
• Phương trình các ñường chuẩn: x = c
a
e
a 2
±=±
4. Phương pháp vẽ (E): + Xác ñịnh các ñỉnh và vẽ hình chữ nhật cơ sở(vẽ bằng bút chì) + Vẽ (E) ñi qua các ñỉnh và nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở theo hình dạng ñã học. 5. Phương pháp tìm các yếu tố của (E): Tìm các hệ số a, b, c. 6. Phương pháp lập phương trình chính tắc của (E): Tìm a2, b2.
II. II. II. II. ÂÆÅÌNG HYPEBOLÂÆÅÌNG HYPEBOLÂÆÅÌNG HYPEBOLÂÆÅÌNG HYPEBOL
1. ðịnh nghĩa: (H) = { M | |MF1 – MF2| = 2a } ( 0 < a < c )
2. Phương trình chính tắc: 12
2
2
2
=−b
y
a
x
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 27- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
• c2 = a2 + b2 • Tiêu ñiểm: F1 ( – c, 0) , F2 (c, 0) • Tiêu cự: F1F2 = 2c .
• Tâm sai: e = ac
> 1.
• ðộ dài trục thực: A1A2 = 2a • ðộ dài trục ảo: B1B2 = 2b • ðỉnh: A1 ( – a, 0) , A2 ( a, 0)
• Tiệm cận : xa
by ±=
3. Bán kính qua tiêu: Nếu M(x; y) ∈ (H) thì MF1 và MF2 gọi là bán kính qua tiêu của (H):
xa
caMFr +== 11
xa
caMFr −== 22
5. Phương trình ñường chuẩn:
∗ ∆1 : c
a
e
ax
2
−=−= ( ứng với F1 )
∆2 : c
a
e
ax
2
== ( ứng với F2)
∗ Khoảng cách giữa hai ñường chuẩn e
a2
∗ Khoảng cách từ gốc O ñến ñường chuẩn e
a
III. ÂÆÅÌNG PARABOLPARABOLPARABOLPARABOL 1.Âënh nghéa: (P) = { M / MF = d(M, ∆) }
∗ F: Tiãu âiãøm. ∗ (∆) : âæåìng chuáøn. ∗ Tám sai: e = 1.
2. Phæång trçnh chênh tàõc y2 = 2px (p > 0)
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 28- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
p : goüi laì tham säú tiãu
∗ Tiãu âiãøm : F(2
p, 0)
∗ Âæåìng chuáøn : 2
px −=
∗ Baïn kênh qua tiãu cuía âiãøm M thuäüc (P) : 2
pxMFr +==
B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:B. VÊ DUÛ MINH HOÜA:
Ví dụ 1 : Cho elip (E) : 2 2
14 1
x y+ = và ñường thẳng (d) : 2x - y + m = 0
a) Xác ñịnh toạ ñộ tiêu ñiểm, tiêu cự, tâm sai và phương trình ñường chuẩn của (E). b) Xác ñịnh m ñể (d) cắt (E) tại hai ñiểm phân biệt. Giải: a) a = 2, b = 1 và c = 3 nên : + Tiêu ñiểm F1( - 3 ; 0), F2( 3 ; 0) + Tiêu cự F1F2 = 2 3
+ Tâm sai: e =a
c = 2
3
+ Phương trình các ñường chuẩn: x = e
a± = 3
4.
b) Ta có: (d): y = 2x + m. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm:
04416174)2(411
)2(
42222
22
=−++⇔=++⇔=++ mmxxmxxmxx
(*)
(d) cắt (E) tại hai ñiểm phân biệt ⇔ pt (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ’ > 0 ⇔ 16m2 - 17(4m2 - 4) > 0
⇔ - 52m2 + 68 > 0 ⇔ 13
17
13
17 <<− x
Ví dụ 2: Cho elip (E) : 2 2
14 1
x y+ = . Gọi F1, F2 là hai tiêu ñiểm của (E)
và M, N là hai ñiểm thuộc (E) thoả mãn MF1 + 2NF2 = 3, tính MF2 + 2NF1. a) Vì M, N ∈ (E) nên: MF1 + MF2 = 2a = 4 (1)
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 29- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
NF1 + NF2 = 2a = 4 ⇒⇒⇒⇒ 2NF1 + 2NF2 = 8 (2) Cộng (1) và (2) ta có: MF1 + MF2 + 2NF1 + 2NF2 = 12 ⇔ MF2 + 2NF1 + MF1 + 2NF2 = 12 ⇔ MF2 + 2NF1 = 9.
Ví dụ 3: Cho (H) coï phæång trçnh 2 2
19 4
x y− =
a) Xaïc âënh tiãu âiãøm, tiãu cæû, phæång trçnh caïc âæåìng tiãûm cáûn cuía (H). b) Tìm hai ñiểm M, N ∈(H) ñối xứng nhau qua trục hoành sao cho tam giác OMN vuông cân tại O. Giải: a) a = 3, b = 2 ⇒ c = 10 + Tiêu ñiểm F1( – 10; 0), F2( 10; 0) + Tiêu cự F1F2 = 2 10.
+ Tâm sai:2
3
by x x
a= ± = ±
b) Gọi M(a; b) thì N(a; – b) và ta có :2 2
19 4
a b− = (1)
Tam giác OMN vuông cân tại O ⇔ OM ⊥ ON ⇔ a2 – b2 = 0 ⇔ a2 = b2 (2) Thay (2) vào (1) ta có: a2 = 5 ⇔ a = 5± Vậy các cặp ñiểm cần tìm là:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
5; 5 , 5; 5 5; 5 , 5; 5
5; 5 , 5; 5 5; 5 , 5; 5
hoaëc
hoaëc hoaëc
M N M N
M N M N
− −
− − − − − −
Ví dụ 4: Cho parabol (P): y2 = 4x và ñường thẳng (d): x + y + m = 0. a) Xác ñịnh tiêu ñiểm, phương trình ñường chuẩn của (P). b) Xác ñịnh m ñể (d) cắt (P) tại hai ñiểm A, B sao cho OA ⊥ OB. Giải : a) p = 2 ⇒⇒⇒⇒ tiêu ñiểm F(1 ; 0) và phương trình ñường chuẩn: x = –1 b) Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (P) và (d): (– x – m)2 = 4x ⇔ x2 + 2(m – 4)x + m2 = 0 (1) (d) cắt (P) tại hai ñiểm A, B ⇔ pt(1) có hai nghiệm phân biệt
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 30- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
⇔ (m – 4)2 – m2 > 0 ⇔ – 8m + 16 > 0 ⇔ m < 2. Khi ñó ta có : xA+ xB = – 2(m – 4) xAxB = m2
và A(xA ; –xA – m), B(xB ; – xB – m).
Do ñó : OA =(xA ; –xA – m), OB =(xB ; –xB – m)
Vậy, OA ⊥ OB ⇔ OA OB = 0 ⇔ xAxB + (– xA – m)(– xB – m) = 0
⇔ 2xAxB + (xA + xB)m + m2 = 0
⇔ 2m2 - 2(m - 4)m + m2 = 0 ⇔ m2 + 8m = 0 ⇔ m = 0 ∨ m = -8 (thoả mãn ñiều kiện có nghiệm) Ví dụ 5: Cho ñiểm A(0; 3), parabol (P): y2 = x và ñiểm M ∈ (P) sao cho yM = a. Xác ñịnh M ñể AM ngắn nhất. Giải: M ∈(P) nên M(a2; a). Do ñó ñộ dài AM là:
AM = 4 2 4 2( 3) 6 9a a a a a+ − = + − +
Xét 4 2( ) 6 9f a a a a= + − + , ta có:
3
4 2
4 2 6'( )
2 6 9
a af a
a a a
+ −=+ − +
f’(a) = 0 ⇔ a = 1 Bảng biến thiên :
x –∞ 1 +∞ y’ – 0 +
y 5
⇒ min(AM) = 5 khi a = 1. Vậy ñiểm M(1 ; 1).
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 31- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
C. C. C. C. BAÌI TÁÛPBAÌI TÁÛPBAÌI TÁÛPBAÌI TÁÛP TÆÛ LUYÃÛN: TÆÛ LUYÃÛN: TÆÛ LUYÃÛN: TÆÛ LUYÃÛN: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình chính tắc của Elip có ñộ
dài trục lớn bằng 24 , các ñỉnh trục nhỏ và các tiêu ñiểm cùng nằm trên một ñường tròn.
Bài 2: Cho (E) 1916
22
=+ yx và ñiểm I(1; 2) .
a) Tìm ñộ dài các trục, tiêu ñiểm và tâm sai. b) Tìm ñiểm M thuộc (E) sao cho MF1 = 2MF2. c) Viết phương trình ñường thẳng (d) qua I cắt (E) tại A và B sao cho
I là trung ñiểm của AB.
Bài 3: Trong mp Oxy cho C(2; 0) và (E): 114
22
=+ yx. Tìm toạ ñộ các
ñiểm A, B thuộc (E), biết rằng hai ñiểm A và B ñối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác ñều.
Bài 4: Cho hybebol (H) có phương trình 14
22
=− yx
a) Xác ñịnh tiêu ñiểm, tiêu cự, phương trình các ñường tiệm cận của (H). b) Gọi M(x0, y0) thuộc (H). Chứng minh tích các khoảng cách từ M ñến hai tiệm cận của (H) không phụ thuộc vị trí M.
Bài 5: Cho hybebol (H): 154
22
=− yx và ñường thẳng ∆ : x – y + m = 0
a) Chứng minh rằng ∆ luôn cắt (H) tại hai ñiểm N, M thuộc hai nhánh của (H). b) Giả sử xM < xN và F1, F2 là hai tiêu ñiểm của (H). Tìm m ñể
F2N = 2F1M c) Viết phương trình chính tắc của elip nhận hai ñỉnh của (H) làm tiêu
ñiểm và hai tiêu ñiểm của (H) làm hai ñỉnh.
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 32- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
ðỀ THI TUY ỂN SINH ðẠI H ỌC (TỪ NĂM 2003 ðẾN NĂM 2009)
Khối B– 2003: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB = AC, BAC = 900. Biết
M(1,–1) là trung ñiểm của cạnh BC và G(3
2, 0) là trọng tâm tam giác.
Tìm toạ ñộ các ñỉnh A, B và C. Khối D– 2003:
Trong mp Oxy cho ñường tròn (C): 4)2()1( 22 =−+− yx và ñường
thẳng (d): 01 =−− yx . a. Viết phương trình ñường tròn (C’) ñối xứng với (C) qua (d). b. Tìm toạ ñộ giao ñiểm của (C) và (C’). Khối A – 2004: Trong mp Oxy cho A (0, 2) và B (– )1,3 − . Tìm tọa ñộ trực tâm và tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Khối B – 2004: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho cho hai ñiểm A(1, 1), B(4, –3). Tìm ñiểm C thuộc ñường thẳng 012 =−− yx sao cho khoảng cách từ C ñến ñường thẳng AB bằng 6. Khối D – 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho cho tam giác ABC có A(–1, 0), B(4, 0) và C(0, m). với m≠ 0. Tìm ñiểm toạ ñộ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác ñịnh m ñể tam giác GBC vuông tại G. Khối A – 2005: Trong mp Oxy cho hai ñường thẳng
(d1): x – y = 0 và (d2): 2x + y – 1 + 0 Tìm toạ ñộ các ñỉnh hình vuông ABCD biết rằng A thuộc (d1), C thuộc (d2) và các ñỉnh B, D thuộc trục hoành. Khối B – 2005: Trong mp Oxy cho A (2, 0) và B(6, 4). Viết phương trình ñường tròn (C) tiếp xúc trục hoành tại ñiểm A và khoảng cách từ tâm của (C) ñến ñiểm B bằng 5.
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 33- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
Khối D – 2005:
Trong mp Oxy cho C(2; 0) và (E): 114
22
=+ yx. Tìm toạ ñộ các ñiểm A,
B thuộc (E), biết rằng hai ñiểm A và B ñối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác ñều. Khäúi A – 2006: Trong mp Oxy cho ba ñường thẳng:
d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0, d3: x – 2y = 0. Tìm toạ ñộ ñiểm M trên ñường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M
ñến ñường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M ñến ñường thẳng d2. Khäúi B – 2006: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và ñiểm M(–3; 1). Gọi T1, T2 là các tiếp ñiểm của các tiếp tuyến kẻ từ M. Viết phương trình ñường thẳng T1T2. Khäúi D – 2006: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 và ñường thẳng d: x – y + 3 = 0. Tìm M trên d sao cho ñường tròn tâm M bán kính gấp ñôi bán kính ñường tròn (C) tiếp xúc ngoài với (C). Khäúi A – 2007: Trong mặt phẳng Oxy cho ta m giác ABC coa A(0; 2), B(–2; –2) và C(4; 2). Gọi H là chân ñường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình ñường tròn ñi qua các ñiểm H, M và N. Khäúi B – 2007: Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm A(2; 2) và các ñường thẳng d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0 Tìm toạ ñộ ñiểm B và C lần lượt thuộc d1, d2 sao cho tam giác ABC vuôn cân tại A. Khäúi D – 2007: rong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 và ñường thẳng d: 3x – 4y + m = 0. Tìm m ñể trên d ñể có duy nhất một
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 34- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
ñiểm P mà từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là tiếp ñiểm) sao cho tam giác PAB ñều. Khäúi A – 2008: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của
elíp (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng 3
5và hình chữ nhật cơ sở của (E)
có chu vi bằng 20. Khäúi B – 2008: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, hãy xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên ñường thẳng AB là ñiểm H(−1;−1), ñường phân giác trong của góc A có phương trình x − y + 2=0 và ñường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y −1=0. Khäúi D – 2008: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho parabol (P) : y2 =16x và ñiểm A(1; 4). Hai ñiểm phân biệt B, C (B và C khác A) di ñộng trên (P) sao cho góc BAC = 900. Chứng minh rằng ñường thẳng BC luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. Khäúi A – 2009
Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ cho hình chữ nhật ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có ñiểm là giao ñiểm của hai ñường chéo là I(6;2) . ðiểm M(1; 5) thuộc ñường thẳng AB và trung ñiểm E của cạnh CD thuộc ñường thẳng x + y – 5 = 0 . Viết phương trình ñường thẳng AB. Khäúi B – 2009
Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ cho ñường tròn ,Oxy ñường tròn (C): (x – 2)2 + y2 = 4/5 và hai ñường thẳng d1: x – y = 0, d2: x – 7y = 0. Xác ñịnh tọa ñộ tâm K và bán kính của ñường tròn (C1), biết rằng (C1) tiếp xúc d1, d2 và tâm K thuộc ñường tròn (C). Khäúi D – 2009
TRUNG TÂM BDVH & LUY ỆN THI THÀNH ðẠT “ Vì chất lượng thật trong giáo dục”
727– 583 TRẦN CAO VÂN – ðÀ NẴNG *ðT: 3759.389 – 3711.165 * thanhdat.edu.vn - 35- Ths. Nguy ễn Văn Bảy
Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ ,Ox cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung ñiểm của cạnh AB. ðường trung tuyến và ñường cao qua ñỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0, 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình ñường thẳng AC.