toan cao cap c2

TOÁN CAO CẤP C2

Nguyễn Ngọc Vinh

Khoa GD Đại CươngĐại học Quốc Tế Hồng Bàng

Ngày 3 tháng 6 năm 2010

Nguyễn Ngọc Vinh (ĐH Quốc Tế Hồng Bàng) TOÁN CAO CẤP C2 Ngày 3 tháng 6 năm 2010 1 / 99

NỘI DUNG MÔN HỌC

Chương 1 : Ma trận

Chương 2 : Định thức

Chương 3 : Hệ phương trình tuyến tính

Chương 4 : Không gian véctơ

Chương 5 : Ánh xạ tuyến tính

Chương 6 : Dạng toàn phương

Chương 7 : Ứng dụng trong các bài toán kinh tế

GIÁO TRÌNH THAM KHẢO

1 Slide Bài giảng Toán cao cấp A2 - ĐH Bách Khoa TPHCM-TS.Đặng VănVinh.

2 Toán cao cấp C2 - ĐH Ngân Hàng TpHCM- TS Lê Sĩ Đồng.

3 Toán cao cấp - ĐH Khoa học Tự Nhiên TPHCM- PGS.TS Nguyễn Đình Phư.

4 Các giáo trình khác liên quan (Nhà sách ĐH Kinh tế) - Rất nhiều...


CHƯƠNG I: MA TRẬN


Định nghĩa 1.1: Ma trận là gì?

Ma trận cỡ m×n là bảng số (thực hoặc phức) hình chữ nhật có m hàng và n cột.

Ma trận A cỡ m × n với i = 1,m và j = 1, n

A =

a11 ... a1j ... a1n...

......

ai1 ... aij ... ain

......

...am1 ... amj ... amn

m×n

← hàng thứ i

↑cột thứ j

Kí hiệuA = (aij)m×n với i = 1,m, j = 1, n


Ví dụ:

A =

1 2 34 5 67 8 9

3×3

Ma trận thực cỡ 3× 3. Vậy ma trận có 3 hàng và 3 cột.

Phần tử của A là:a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3a21 = 4, a22 = 5, a23 = 6a31 = 7, a32 = 8, a33 = 9

Định nghĩa 1.2:

Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử là không.Ký hiệu: 0, (aij = 0,∀i , j).

Ví dụ:

A =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

3×4


Định nghĩa 1.3:

Ma trận chuyển vị của A = (aij)m×n là ma trận AT = (aij)n×m thu được từ A

bằng cách chuyển hàng thành cột.

Ví dụ:

A =

2 −1 34 0 94 −1 −2

3×3

AT =

2 4 4−1 0 −13 9 −2

3×3

Định nghĩa 1.4:

Ma trận vuông cấp n là ma trận có số hàng và cột bằng nhau và bằng n.

Ví dụ:

A =

2 1 4 21 1 0 11 3 9 30 9 1 2

4×4


Định nghĩa 1.5:

Ma trận vuông A = (aij)nxn được gọi là ma trận tam giác trên nếu:aij = 0,∀i > j

Ví dụ:

A =

2 1 30 3 60 0 1

Định nghĩa 1.6:

Ma trận vuông A = (aij)nxn được gọi là ma trận tam giác dưới nếu:aij = 0,∀i < j

Ví dụ:

A =

2 0 0 01 5 0 03 4 3 03 4 3 0


Định nghĩa 1.7:

Ma trận vuông A được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằm ngoài đườngchéo đều bằng không, tức là: aij = 0, i 6= j .

A =

1 0 00 2 00 0 3

Định nghĩa 1.8:

Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là ma trận đơnvị, tức là: aij = 0, i 6= j và aii = 1,∀i .

A =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Thường kí hiệu là In với n là cấp của ma trận.


Định nghĩa 1.9:

Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với mọi i , j = 1, . . . , n được gọi là ma trận

đối xứng.

Ví dụ:

A =

2 1 01 2 50 5 1

Định nghĩa 1.10:

Ma trận vuông thực A thỏa aij = −aji với mọi i , j = 1, n được gọi là ma trận

phản đối xứng.

Ví dụ:

A =

1 1 2 4−1 1 7 3−2 −7 1 0−4 −3 0 1


Phần tử khác không đầu tiên của một hàng kể từ bên trái được gọi làphần tử cơ sở của hàng đó.


Ma trận bậc thang thỏa các điều sau:

Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng.

Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải (không cùng cột) so với phần tửcơ sở của hàng trên.

Ví dụ:

A =

2 1 0 3 −20 0 7 2 60 4 1 −2 50 0 0 0 0

4×5

Đây không là ma trận bậc thang

A =

1 3 0 2 −20 0 7 1 40 0 0 −2 50 0 0 0 0

4×5

Đây là ma trận bậc thang


Tính chất 1.1: Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng

1 Nhân một hàng tùy ý với 1 số khác không hi → αhi với α 6= 0.

2 Cộng vào một hàng một hàng khác đã được nhân với một số tùy ý kháckhông hi → hi + βhj với β 6= 0.

3 Đổi chổ tùy ý 2 hàng hi ↔ hj .

Ví dụ. Đưa ma trận sau về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp:(Xem file MT0)

1 1 −1 2 12 3 −1 4 53 2 −3 7 4−1 1 2 −3 1

Anh/Chị chú ý !!! ??



Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc thang bằng các phép biến đổisơ cấp đối với hàng.

Chú ý: Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được nhiều ma

trận bậc thang khác nhau.


Hai ma trận A = (aij)nxm và B = (bij)nxm bằng nhau nếu:

Cùng cỡ.

Các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau aij = bij với ∀i , j .Kí hiệu: A = B



Tổng 2 ma trận A = (aij)nxm và B = (bij)nxm , i = 1, n, j = 1,m cùng cấp là matrận C = (cij)nxm với cij = aij + bij , i = 1, n, j = 1,m.Kí hiệu: C = A + B

Ví dụ:

C = A + B =

2 1 41 1 01 3 9

+

2 1 41 4 04 3 2

=

4 2 82 5 05 6 11


Nhân ma trận A = (aij)nxm, i = 1, n, j = 1,m với một số k, ta lấy số k nhân với

tất cả các phần tử của ma trận A. Kí hiệu: kA = (kaij)nxm = B với B = (bij)nxm

Ví dụ:

A =

2 1 41 1 01 3 9

3×3

2A =

4 2 82 2 02 6 18

3×3


Tính chất 1.2:

1 A + B = B + A

2 A + 0 = A

3 k(mA) = (km)A

1 (A + B) + C = A + (B + C )

2 k(A + B) = kA + kB

3 (k + m)A = kA + mA


Nhân 2 ma trận A = (aij)nxp và B = (bij)pxm là ma trận C = (cij)nxm vớicij = ai1b1j + ai2b2j + ...+ aipbpj .

hay

AB =

∗ai1 ai2 ... aip

∗

b1j∗ b2j ∗

...bpj

=

...

... cij ......


Ví dụ. Nhân 2 ma trận:

A =

(2 1 44 1 0

)2x3

B =

1 1 23 0 12 4 3

3x3

Giải:

A× B =

(2 1 44 1 0

)2x3

×

1 1 23 0 12 4 3

3x3

=

(c11 c12 c13c21 c22 c23

)

với

c11 =(2 1 4

)×

132

= 2.1 + 1.3 + 4.2 = 13

tương tự, ta có:

c12 = 18, c13 = 17, c21 = 7, c22 = 4, c23 = 9

A× B =

(13 18 177 4 9

)Nguyễn Ngọc Vinh (ĐH Quốc Tế Hồng Bàng) TOÁN CAO CẤP C2 Ngày 3 tháng 6 năm 2010 15 / 99

Ví dụ. Tìm ma trận X thỏa AX = B , biết: A =

(2 −12 1

)và B =

(13

)Giải: Đặt X =

(ab

), ta có:

AX = B ⇔(

2 −12 1

)(ab

)=

(13

)⇔(

2a− b2a + b

)=

(13

)

⇔{

2a− b = 12a + b = 3

⇔{

a = 1b = 1

Vậy X =

(11

)

Tính chất 1.3:

1 A(BC ) = (AB)C

2 A(B + C ) = AB + AC

3 k(AB) = (kA)B = A(kB)

1 k(A + B) = kA + kB

2 ImA = A = AIm

Chú ý:

AB 6= BA

AB = CB nhưng A chưa chắc bằng C .

AB = 0 không suy ra được A = 0 hoặc B = 0.Nguyễn Ngọc Vinh (ĐH Quốc Tế Hồng Bàng) TOÁN CAO CẤP C2 Ngày 3 tháng 6 năm 2010 16 / 99

Quy ước:

A0 = I ,A2 = A.A, . . . ,An = A · A · · ·A · A︸︷︷︸n

Bài toán. Tính f (x), biết:

f (x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x + a0,A = (aij)n×n

hayf (A) = anA

n + an−1An−1 + ...+ a1A + a0I

Ví dụ : Tính f (A), biết

A =

(2 11 2

)và f (x) = 2x2 + 4x + 3


BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Bài 1. Cho:

A =

[2 1 2−1 1 0

]B =

[0 2 3−1 1 1

]1 Tính A + B .2 Tính 2A− 3B .

Bài 2. Cho:

A =

2 1 2−1 1 0−1 4 1

B =

0 2 3−1 1 11 3 3

1 Tính 3A− B .2 Tính 2A + 5B .

Bài 3. Cho:

A =

2 1 2 2−1 1 0 −2−1 4 1 42 3 4 3

B =

−2 1 0 −1−1 −1 0 −2−1 −4 −1 −42 1 1 −3

C =

1 1 0 1−1 −1 0 −2−1 −4 −1 −41 1 1 6

1 Tính A + B − C .2 Tính −A + 3B − 2C .


Bài 4. Cho:

A =

4 3 32 1 13 4 1

B =

−3 1 3−1 −1 4−1 −4 3

1 Tính A− 2B .2 Tính A.B ,B .A.

Bài 5. Cho:

A =

4 3 3 12 1 1 23 4 1 −1

B =

4 3 22 0 10 4 03 0 −1

1 Tính A2,B2.2 Tính A.B ,B .A.

Bài 6. Cho:

A =

[3 22 1

]1 Tính A2,A3.2 Tính f (A),biết f (x) = x3 − 2x2 − 2x − 1.


Bài 7. Cho:

A =

[2 23 −1

]1 Tính A2,A3.

2 Chứng minh rằng f (A),biết f (x) = x2 + 2x − 11.

Bài 8. Cho:

A =

[1 20 1

]

1 Chứng minh rằng ASk = SkA = Sk+2 với: Sk =

[1 k0 1

]2 Tính An.

Bài 9. Cho:

A =

3 2 21 −2 34 2 0

1 Tính A3.

2 Tính f (A),biết f (x) = x3 − 3.


Bài 10. Cho:

A =

[x yz w

]B =

[5 −14 7

]C =

[1 26 −3

]

1 Tìm A sao cho 2A = 3B − 2C .

2 Tính f (A),biết f (x) = x3 − x2 − 2.

Bài 11. Cho:

A =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

Tính các tích ma trận sau:

1 A2,A3,A4

2 A.AT ,AT .A

Bài 12.Chứng tỏ rằng nếu ma trận S ∈ M2x2(R) thỏa: SA = AS ,∀A ∈ M2x2(R) thì S có

dạng: S =

[a 00 a

]Bài 13. Cho A là ma trận vuông cấp n, có các phần tử đều bằng 1. Tính Ak .


CHƯƠNG II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


Định nghĩa 2.1:

Giả sử Anxm tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E. Khi đó ta gọihạng của ma trận A là số các hàng khác không của ma trận bậc thang E . Kýhiệu: r(A) = "Số hàng khác không của ma trận bậc thang E".

Ví dụ. Dùng các phép biển đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận sau:

A =

1 2 3 32 4 6 92 6 7 6

Tính chất 2.1:

r(A) = 0 khi và chỉ khi A = 0.

A = (aij)nxm, khi đó r(A) ≤ min{n,m}.A bđsc−−→ B thì r(A) = r(B).

Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị thực của m để cho r(A) = 3:

A =

1 1 1 12 3 1 43 3 m m + 1


Định nghĩa 2.2:

Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận In sao choAB = In = BA. Khi đó B được gọi là nghịch đảo của A và ký hiệu là A−1.

Lưu ý: Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch. Có rất nhiều

ma trận vuông không khả nghịch!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Định nghĩa 2.3:

Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến.

Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến.

Sự tồn tại của ma trận khả nghịch:

1 Tồn tại A−1

2 r(A) = n

3 AX = 0, suy ra X = 0

4 ???


Cách tìm A−1

(A|In) bđsc theo hàng−−−−−−−−−−→

(In|A−1)

Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: (Xem file MT)

A =

1 1 11 2 21 2 3

Sau khi biến đổi ta có:

A−1 =

2 −1 0−1 2 −10 −1 1


Định nghĩa 2.4:

Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng:a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2· · · · · · · · ·

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

(1)

1 a11, a12, . . . , amn là hệ số của hệ phương trình.

2 b1, b2, . . . , bm là hệ số tự do của hệ phương trình

Ta có thể viết phương trình (1) về dạng: AX = B Với:

A =

a11 a12 · a1na21 a22 · a2n· · · ·

am1 am2 · amn

X =

x1x2·xn

B =

b1b2·bm


Hệ có ma trận hệ số là:a11 a12 · a1na21 a22 · a2n· · · ·

am1 am2 · amn

Hệ có ma trận mở rộng là:

a11 a12 · a1na21 a22 · a2n· · · ·

am1 am2 · amn

∣∣∣∣∣∣∣∣b1b2·bm

Ghi chú:

Hệ phương trình (1) được gọi là thuần nhất khi b1 = b2 = . . . = bm = 0.

Hệ phương trình (1) được gọi là không thuần nhất khi ∃bi 6= 0, i = 1,m.

Định nghĩa 2.5:

Một phép biến đổi được gọi là tương đương nếu biến một hệ phương trình về mộthệ tương đương.


Tính chất 2.2:

Có 3 phép biến đổi tương đương đối với hệ phương trình:

Nhân hai vế của phương trình với một số tùy ý khác không.

Cộng vào một phương trình một phương trình khác đã được nhân với một sốtùy ý khác không.

Đổi chổ hai phương trình.

Ví dụ. Giải hệ phương trình sau: x + y = 02x − y + 3z = 3x − 2y − z = 3

Hệ có ma trận hệ số là : 1 1 02 −1 31 −2 −1

Hệ có ma trận mở rộng là: 1 1 0

2 −1 31 −2 −1

∣∣∣∣∣∣033


Định nghĩa 2.6:

Ẩn cơ sở là ẩn tương ứng với cột chứa phần tử cơ sở.

Ẩn tự do là tương ứng với cột không có phần tử cơ sở.

Ví dụ. Cho hệ phương trình sau: (Xem file MT1) x1 + x2 − 2x3 +4x4 = 52x1 + 2x2 − 3x3 +x4 = 33x1 + 3x2 − 4x3 −2x4 = 1

Ma trận mở rộng của phương trình là: 1 1 −2 42 2 −3 13 3 −4 −2

∣∣∣∣∣∣531

bđsc theo hàng−−−−−−−−−−−→

1 1 0 −100 0 1 −70 0 0 0

∣∣∣∣∣∣−9−70

x1, x3 là ẩn cơ sởx2, x4 là ẩn tự do


Định lý 2.1:

Nếu r(A|B) 6= r(A) thì hệ (1) vô nghiệm.

Nếu r(A|B) = r(A) thì hệ (1) có nghiệm:

- r(A|B) = r(A) = số ẩn thì (1) có nghiệm duy nhất.

- r(A|B) = r(A) < số ẩn thì (1) vô số nghiệm.

hay còn được gọi là Định lý Kronecker Capelli.

Lưu ý: Cách sử dụng phép biến đổi sơ cấp đối với hàng để giải hệ (1):

Phương pháp Gauss-Jordan:

Lập ma trận mở rộng (A|B).

Dùng biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận mở rộng về ma trận dạng bậcthang. Kiểm tra hệ có nghiệm hay không (Sử dụng ĐL Kronecker Capelli)

Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang vừa tìm được.

Giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm ẩn xn, sau đó xn−1, . . . , x1.


Ví dụ. Giải hệ phương trình sau: (Xem file MT2) x + 2z +t = 1−x − 2y + z +2t = 3x + 3y − z +t = −2

Ma trận mở rộng của phương trình là: 1 0 2 1−1 −2 1 21 3 −1 1

∣∣∣∣∣∣13−2


1 0 0 −50 1 0 30 0 1 3

∣∣∣∣∣∣−312

Ta thấy r(A|B) = r(A) = 3 < số ẩn của phương trình 4.Vậy phương trình có vô số nghiệm.Nghiệm tổng quát của hệ là :Đặt t = a, suy ra z = 2− 3a, y = 1− 3a, x = −3 + 5a


Ví dụ. Giải hệ phương trình sau: (Xem file MT3) y + z = 33x + 5y + 9z = −2x + 2y + 3z = 3

Ma trận mở rộng của phương trình là: 0 1 13 5 91 2 3

∣∣∣∣∣∣3−23


1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣511−8

Ta thấy r(A|b) = r(A) = 3 = số ẩn của phương trình.Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x = 5, y = 11, z = −8


Ví dụ. Giải hệ phương trình sau: (Xem file MT4) x + y + −2z +3t = 42x + 3y + 3z −4t = 35x + 7y + 4z −5t = 5

Ma trận mở rộng của phương trình là: 1 1 −2 32 3 3 −45 7 4 −5

∣∣∣∣∣∣435


1 1 −2 30 1 7 −100 0 0 0

∣∣∣∣∣∣4−5−5

Ta thấy r(A|B) = 3 > r(A) = 2 .Vậy phương trình vô nghiệm.


Xét hệ phương trình gồm n phương trình n ẩn số viết dưới dạng ma trận:

AX = B (2)

Định lý 2.2:

Nếu tồn tại A−1 thì phương trình có nghiệm (2) có nghiệm duy nhất X = A−1B.

Xét lại ví dụ: y + z = 33x + 5y + 9z = −2x + 2y + 3z = 3

Anh/Chị giải xem ??? Chúc may mắn !!!!!!!!!!!! (Xem file MT5)


CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC


Định nghĩa 3.1:

Cho A = (aij)n×n ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số kí hiệu bởi:

detA = |aij |n×n = |A|

Ký hiệu Mij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ jcủa ma trận A.

Định nghĩa 3.2:

Cho A = (aij)n×n ma trận vuông cấp n. Phần bù đại số của (aij) là đại lượngAij = (−1)i+jMij


Định nghĩa 3.3:

A =

a11 a12 · · · a1na21...

an1

a22...

an2

· · ·...· · ·

a2n...

ann

→ detA = a11A11 + a12A12 + · · ·+ a1nA1n

Trong trường hợp A là ma trận vuông cấp 3 thì ta sử dụng quy tắc ”tổng 3đường chéo thuận trừ tổng 3 đường chéo nghịch” .

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

→ detA = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)

− (a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12)

Ví dụ. Tính detA, biết:

A =

[2 11 3

]A =

1 2 12 0 −13 1 2

A =

2 0 2 31 4 0 23 1 5 34 3 6 2


Tính chất 3.1:

1 Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ hàng hoặc cột tùy ýnào đó.

2 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo.

3 Sử dụng bđsc đối với hàng để tính định thức.

4 det(AT ) = detA

5 det(AB) = detA.detB

6 Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì detA = 0.

7 Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì detA = 0.

Chú ý: det(A + B) 6= detA + detB

Ví dụ. Cho 2 ma trận sau:

A =

1 3 −10 1 32 1 2

B =

−1 −2 3−1 0 21 1 2

1 Tính AT và A.B

2 Chứng tỏ det(AT ) = detA và detA.B = detA.detB .


Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp:

1 Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý.2 Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột) ở bước 1. Dùng biến

đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác.3 Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.

Chú ý: Nhân một số với định thức là nhân số đó với 1 hàng (cột) duy nhất trong

định thức. Vì thế, không được dùng phép bđsc: hi → α.hj − hi .

Định lý 3.1:

Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi detA 6= 0.

Công thức tính ma trận nghịch đảo A−1:

A−1 =1

|A|PA với PA =

A11 A12 · · · A1n

A21 A22 · · · A2n

......

...An1 An2 · · · Ann

T

Trong đó: Aij = (−1)i+jMij


Ví dụ. Tìm m để ma trận sau khả nghịch: A =

1 2 12 3 m3 2 −1

Ví dụ. Tìm m để ma trận sau khả nghịch: A =

1 −2 10 3 m3 0 2

Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận: A =

1 1 12 3 13 4 0

Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận: A =

1 1 20 3 13 2 1


Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn số x1, x2, . . . , xn. Dạng ma trận của hệphương trình: AX = B (1)

Định lý 3.2:

Nếu hệ phương trình (1) có định thức ma trận hệ số khác không thì hệ có nghiệmduy nhất và nghiệm duy nhất được biểu thị bằng công thức Cramer:

xi =∆i

∆,∀i = 1, n

Trong đó:

1 ∆ = detA

2 ∆i là định thức của ma trận thiết lập từ ma trận A bằng cách bỏ đi cột i vàthay vào đó là cột của ma trận B.


Ví dụ . Giải các hệ phương trình sau:

1

x + 2z = 1−x − 2y + z = 3x + 3y − z = −2

2

2y + z + 3t = 1

x + 2y + z = 2x + 3y + t = 13x + 2y + z = 3


BÀI TẬP CHƯƠNG 2-3

Bài 1. Tìm hạng của các ma trận sau:

a.

1 2 34 5 67 8 910 11 12

1 3 −2 −12 5 −2 11 1 6 13−2 −6 8 10

0 1 1 0 11 1 0 0 10 1 0 1 11 0 1 0 10 0 1 1 1

b.

0 1 1 0 01 1 0 0 00 1 0 1 11 0 1 0 00 0 a 1 0

1 a −1 2

2 −1 a 51 10 −6 a

2 −1 a 15 b −1 21 −6 10 1


Bài 2. Dùng phép bđsc, tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:

a.

1 1 01 1 10 2 1

1 2 23 1 01 1 1

1 0 00 −3 00 0 2

b.

1 5 32 7 33 9 4

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 0

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss-Jordan:

a.

x1 − 3x2 + 2x3 = 02x1 + x2 + 3x3 = 03x1 + 5x2 + 4x3 = 1

b.

2x1 + 2x2 + x3 = 4x1 + 3x2 + x3 = 10x1 + x2 + 5x3 = −14


c.

x1 + 2x2 + x3 = 32x1 + 5x2 − x3 = −43x1 − 2x2 − x3 = 5

d.

x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1x1 − x2 − x3 − 2x4 = −4x1 + 3x2 − x3 − x4 = −6x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = −4

e.

x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 62x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = −83x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 42x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8

f.

x1 + x2 − 2x3 − 3x4 = 42x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 35x1 + 7x2 + x43 + x4 = 5


Bài 4. Tính các định thức sau:

a.

∣∣∣∣∣∣2 1 10 5 −21 −3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 −2 −42 5 −10 6 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−2 −1 46 −3 −24 1 2

∣∣∣∣∣∣b.

∣∣∣∣∣∣7 6 51 2 13 −2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 −2 −32 5 −42 0 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−2 −3 73 −4 −53 −1 2

∣∣∣∣∣∣c.

∣∣∣∣∣∣−7 −6 −59 4 75 −2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 −4 −92 15 43 11 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 3 7−3 4 53 −1 2

∣∣∣∣∣∣d.

∣∣∣∣∣∣∣∣3 2 4 50 −2 3 4−1 3 7 33 6 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 2 0 −52 −2 11 −4−1 −3 11 −33 6 −3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 2 3 −13 −2 1 −23 −3 1 −33 2 −3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣e.

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −2 −4 152 −2 13 14−1 0 −7 −31 −2 −2 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 0 −54 −2 11 −47 13 1 −131 1 −3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 4 2 −54 −2 2 −47 14 0 −141 2 0 −7

∣∣∣∣∣∣∣∣Nguyễn Ngọc Vinh (ĐH Quốc Tế Hồng Bàng) TOÁN CAO CẤP C2 Ngày 3 tháng 6 năm 2010 46 / 99

f.

∣∣∣∣∣∣∣∣−1 −2 −4 51 −2 1 41 0 0 01 −2 −2 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 0 −52 −2 1 −41 −3 1 −11 −1 −3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 4 2 −52 4 1 −41 2 1 −11 2 −3 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣

g.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 · · · · · · (n − 2) (n − 1) n2 3 4 · · · · · · (n − 1) n n3 4 5 · · · · · · n n n...

......

......

......

...(n − 1) n n · · · · · · · · · n n n

n n n · · · · · · · · · n n n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

h.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a x x · · · · · · · · · xx a x · · · · · · · · · xx x a · · · · · · · · · x...

......

......

......

x x x · · · · · · a xx x x · · · · · · · · · a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 4 · · · · · · n2 2 3 4 · · · · · · n3 3 3 4 · · · · · · n...

......

......

......

n n n n · · · · · · n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Bài 7. Giải các phương trình sau bằng phương pháp Cramer:

a.

x1 + 2x2 + 4x3 = 315x1 + x2 + 2x3 = 293x1 − x2 + x3 = 10

b.

7x1 + 2x2 + 3x3 = 155x1 − 3x2 + 2x3 = 1510x1 − 11x2 + 5x3 = 36

c.

x1 + 2x2 − x3 = 9−3x1 + 2x2 − x3 = 112x1 − x2 + x3 = 6

d.

x1 + 2x2 + x3 − 2x4 = 94x1 + x2 + 3x3 + x4 = 92x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 9x1 + x2 + 5x3 + 4x4 = 9

Bài 8. Dùng phương pháp định thức, tìm ma trận nghịch đảo của các matrận trong bài 2


CHƯƠNG IV: KHÔNG GIAN VÉCTƠ


Định nghĩa 4.1:

Không gian véctơ V là tập V khác rỗng và được trang bị hai phép toán (phépcộng, nhân véctơ với 1 số), thỏa mãn 8 tiên đề.

Tiên đề 4.1:1 x + y = y + x

2 (x + y) + z = x + (y + z)

3 Tồn tại véctơ không, ký hiệu 0 sao cho x + 0 = x

4 Mọi x thuộc V , tồn tại vectơ, ký hiệu ˘x sao cho x + (−x) = 0

5 Với mọi α, β ∈ K và mọi véctơ V : (α + β)x = αx + βx

6 Với mọi α ∈ K và mọi véctơ V : (x + y)α = αx + αy

7 (αβ)x = α(βx)

8 1.x = x


Hỏi các V1 → V5 có phải là không gian véc tơ hay không ?Ví dụ. V1 = { (x1, x2, x3) |xi ∈ R }Ví dụ. V2 =

{ax2 + bx + c |a, b, c ∈ R

}Ví dụ. V3 =

{[a bc d

]|a, b, c , d ∈ R

}Ví dụ. V4 = { (x1, x2, x3) |xi ∈ R ∧ 2x1 + 3x2 + x3 = 0}Ví dụ. V5 = { (x1, x2, x3) |xi ∈ R ∧ x1 + x2 − 2x3 = 1}CHÚ Ý: Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai phép toán trên V1, ( hoặcV2, hoặc V3 ) sao cho V1 ( hoặc V2, hoặc V3 ) là không gian véctơ.


Định nghĩa 4.2:

Cho không gian véctơ V trên trường K và tập con: M = {x1, x2, . . . , xm}.1 Nếu tồn tại α1, α2, . . . , αm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho:α1x1 + α2x2 + . . .+ αmxm = 0 thì ta nói M phụ thuộc tuyến tính.

2 Ngược lại, nếu: α1x1 + α2x2 + . . .+ αmxm = 0 suy ra đượcα1 = α2 = . . . = αm = 0. Ta nói M độc lập tuyến tính.

3 Véctơ x trong V được gọi là tổ hợp tuyến tính M nếu tồn tạiα1, α2, . . . , αm ∈ K suy ra: x = α1x1 + α2x2 + . . .+ αmxm

Cách chứng minh độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính và tổ hợptuyến tính:

1 α1x1 + α2x2 + . . .+ αmxm = 0⇐⇒ AX = 0

Nếu hệ có nghiệm X=0 thì M độc lập tuyến tính.Nếu hệ có nghiệm X khác không thì M phụ thuộc tuyến tính.

2 α1x1 + α2x2 + . . .+ αmxm = x ⇐⇒ AX = B

Nếu hệ có nghiệm thì x là tổ hợp tuyến tính của M.Nếu hệ vô số nghiệm thì x không là tổ hợp tuyến tính của M.


Ví dụ.Trong không gian R3 cho họ véctơ M = {(1, 1, 1); (2, 1, 3), (1, 2, 0)}:1 Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính ?

2 Véctơ x = (2,−1, 3) có là tổ hợp tuyến tính của họ M ?

Lưu ý.

1 Nếu M chứa véctơ 0, thì M phụ thuộc tuyến tính.

2 Thêm một số véctơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu được một họ phụthuộc tuyến tính.

3 Bỏ đi một số véctơ của họ độc lập tuyến tính ta thu được họ độc lập tuyếntính.

4 M = {x1, x2, . . . , xm} phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại xi là tổ hợptuyến tính của các véctơ còn lại trong M.

5 Cho họ véctơ M chứa m véctơ M = {x1, x2, . . . , xm}, họ véctơ N chứa nvéctơ N = {y1, y2, . . . , yn}. Nếu mỗi véctơ yk của N là tổ hợp tuyến tính củaM và n > m, thì N là tập phụ thuộc tuyến tính.


Định nghĩa 4.3:

Cho M = {x1, x2, · · · , xm, · · · } ⊂ V . Hạng của họ M là k0 nếu tồn tại k0 véctơđộc lập tuyến tính của M và mọi tập con của M chứa nhiều hơn k0 véctơ thì phụthuộc tuyến tính.

1 Hạng của họ véctơ M không đổi nếu ta nhân một véctơ của M với một sốkhác không.

2 Cộng vào một véctơ của họ M, một véctơ khác đã được nhân với một số thìhạng không thay đổi.

3 Thêm vào họ M một véctơ x là tổ hợp tuyến tính của M thì hạng không thayđổi.

Định lý 4.1:

Cho A là ma trận cỡ m × n trên trường K.

Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ véctơ hàng A.

Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ véctơ cột của A.


Lưu ý.

1 Nếu hạng của M bằng với m (số véctơ của M) thì M độc lập tuyến tính.

2 Nếu hạng của M nhỏ hơn m (số véctơ của M ) thì M phụ thuộc tuyến tính.

3 Nếu hạng của M bằng với hạng của M thêm véctơ x, thì x là tổ hợp tuyếntính của M.

Ví dụ. Tìm hạng của họ véctơ sau :

M = {(1, 1, 1); (2, 1, 3), (1, 2, 0)}

Ví dụ. Tìm hạng của họ véctơ sau :

M = {(1, 1, 1, 0); (1, 2, 1, 1); (2, 3, 2, 1), (1, 3, 1, 2)}

Ví dụ. Xác định tất cả các giá trị của hằng số thực m, để họ véctơ sau phụ thuộctuyến tính:

M = {(1, 1, 0); (1, 2, 1); (m, 0, 1)}


Định nghĩa 4.4:

Cho M = {x1, x2, · · · , xm, · · · } ⊂ V .Tập hợp M được gọi là tập sinh của khônggian véctơ V nếu mọi véctơ x của V là tổ hợp tuyến tính của M. (hay còn gọilà M sinh ra V hay Kgvt V sinh bởi M).

Ví dụ. Kiểm tra tập sau đây có là tập sinh của không gian R3:

M = {(1, 1, 1); (1, 2, 1); (2, 3, 1)}

Định nghĩa 4.5:

Cho M = {x1, x2, · · · , xm, · · · } ⊂ V . Nếu M độc lập tuyến tính và M sinh raV thì M là cơ sở của V . Ký hiệu là V=<M>.

Lưu ý. Nếu M tập hữu hạn và V là kgvt hữu hạn chiều thì ký hiệu:

dimV= số véctơ trong cơ sở của V

Nếu V không được sinh ra bởi tập hữu hạn, thì V được gọi là không gian vô hạnchiều.


Định nghĩa 4.6:

Cho E = {e1, e2, . . . , em} là cơ sở được sắp xếp theo thứ tự của kgvt V.

∀x ∈ V ⇐⇒ x = x1e1 + x2e2 + . . .+ xmem

Bộ số {x1, x2, . . . , xm} được gọi là tọa độ của véctơ x trong cơ sở E.

[x ]E =

x1x2...xn

Ví dụ. Cho F = {(1, 1, 1); (1, 0, 1); (1, 1, 0)} là cơ sở của R3 và một véctơx = (3, 1,−1) trong không gian R3. Tìm tọa độ véctơ x trong cơ sở F.Ví dụ. Cho F = {(1, 1, 1); (1, 3, 1); (1, 1, 2)} là cơ sở của R3 và một véctơx = (0, 1, 2) trong không gian R3. Tìm tọa độ véctơ x trong cơ sở F.


Định nghĩa 4.7:

Cho V là kgvt. Tập F là tập con khác rỗng của V và trang bị thêm hai phép toántrong V. Ta nói F là không gian con của V.

Định lý 4.2:

Cho F là tập con khác rỗng của kgvt V thì F là kgvt con khi và chỉ khi thỏa:

1 ∀f , g ∈ F : f + g ∈ F

2 ∀f ∈ F , α ∈ K : αf ∈ F

Ví dụ. Cho: F = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 + 2x2 − x3 = 0}1 Chứng tỏ F là không gian con của R3.

2 Tìm cơ sở và số chiều của F.

Ví dụ. Cho: F ={

(x1, x2, x3) ∈ R3 |x1 + x2 − 2x3 = 0}

1 Chứng tỏ F là không gian con của R3.

2 Tìm cơ sở và số chiều của F.


Cho F và G là hai không gian con của kgvt V.

Định nghĩa 4.8:

Giao của hai không gian con F và G là tập hợp con của V, ký hiệu bởi:

F ∩ G = {x ∈ V |x ∈ F và x ∈ G}

Định nghĩa 4.9:

Tổng của hai không gian con F và G là tập hợp con của V, ký hiệu bởi:

F + G = {f + g |f ∈ F và g ∈ G}

Định lý 4.3:

1 F ∩ G và F + G là hai không gian con của V.

2 dim(F + G ) = dimF + dimG − dim(F ∩ G )


*Cách tìm F ∩ G làm theo định nghĩa.*Cách tìm F+G:

Bước 1. Tìm tập sinh của F. Giả sử là: {f1, f2, . . . , fn}Bước 2. Tìm tập sinh của G. Giả sử là: {g1, g2, . . . , gm}Bước 3. F + G =< f1, f2, . . . , fn, g1, g2, . . . , gm >

Ví dụ. Cho F và G là hai không gian con của R3, với:

F = {(x1, x2 , x3)|x1 + x2 − 2x3 = 0} và G = {(x1, x2 , x3)|x1 + 2x2 − x3 = 0}

1 Tìm cơ sở và chiều của F ∩ G .

2 Tìm cơ sở và chiều của F + G .

Ví dụ. Cho F và G là hai không gian con của R3, với:

F = {(x1, x2 , x3)|x1 + x2 + x3 = 0} và G =< (1, 0, 1); (2, 3, 1) >

1 Tìm cơ sở và chiều của F ∩ G .

2 Tìm cơ sở và chiều của F + G .


CHƯƠNG V: KHÔNG GIAN EUCLIDE


Định nghĩa 5.1:

Tích vô hướng trong kgvt V là một hàm thực sao cho mỗi cặp véctơ u và vthuộc V, tương ứng với một số thực ký hiệu (u,v) thỏa 4 tiên đề sau:

1 ∀u, v ∈ V : (u, v) = (v , u)

2 ∀u, v ,w ∈ V : (u + v ,w) = (u,w) + (v ,w)

3 ∀α ∈ R ,∀u, v ∈ V : (αu, v) = α(u, v)

4 ∀u ∈ V : (u, u) ≥ 0, (u, u) = 0⇐⇒ u = 0

Định nghĩa 5.2:

Không gian thực hữu hạn chiều cùng với một tích vô hướng trên đó được gọi làkhông gian Euclide.

Ví dụ. Cho không gian R2 với ∀(x1, x2) và (y1, y2) ∈ R2:

(x , y) = ((x1, x2), (y1, y2)) = x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 10x2y2

1 Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng.2 Tính tích vô hướng của hai véctơ u = (2, 1), v = (1,−1)


Định nghĩa 5.3:

Độ dài véctơ u là số thực dương ký hiệu bởi ||u|| và được định nghĩa như sau:||u|| =

√(u, u)

Định nghĩa 5.4:

Cho hai véctơ u và v của không gian Euclide V, khoảng cách giữa hai véctơ uvà v, ký hiệu bởi d(u,v), là độ dài của véctơ: u - v

d(u, v) = ||u − v ||

Định nghĩa 5.5:

Cho hai véctơ u và v của không gian Euclide V. Góc α giữa hai véctơ u và v là đạilượng thỏa:

cosα =(u, v)

||u||.||v ||


Lưu ý.

Véctơ có độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơn vị.

Chia một véctơ cho độ dài của nó ta được véctơ đơn vị.

Quá trình tạo ra véctơ đơn vị được gọi là chuẩn hóa.

Ví dụ.Cho không gian R3 với ∀(x1, x2, x3) và (y1, y2, y3) ∈ R3:

(x , y) = ((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = 5x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 3x2y2 + x3y3

1 Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng.

2 Tính tích vô hướng của hai véctơ u = (2, 1, 2), v = (1,−1, 0).

3 Tìm độ đài của véctơ u = (2, 3, 2).

4 Tìm khoảng cách giữa u = (1, 2, 2) và v(−1, 1, 2).


Định nghĩa 5.6:

Hai vectơ u và v được gọi là vuông góc nhau, nếu (u,v) = 0, ký hiệu: u⊥v

Định nghĩa 5.7:

Véctơ x vuông góc với tập M nếu ∀y ∈ M thì x⊥y

Định nghĩa 5.8:

Tập hợp con M của không gian Euclide V được gọi là họ trực giao, nếu:

∀x , y ∈ M sao cho x 6= y thì x⊥y

Định nghĩa 5.9:

Tập hợp con M của không gian Euclide V được gọi là họ trực chuẩn, nếu:

1 M trực giao.

2 ∀x ∈ M : ||x || = 1


Định lý 5.1:

Véctơ x vuông góc với không gian con F khi và chỉ khi x vuông góc với tậpsinh của F.

Ví dụ. Trong không gian R3 với tích vô hướng chính tắc cho không gian con:

F = {(x1, x2, x3) ∈ R3|x1 + x2 − x3 = 0 và 2x1 + 3x2 + x3 = 0}và véctơ x = (1, 2,m). Tìm m để x vuông góc với không gian con F.


Cho không con F của không gian Euclide V. Tập hợp:

F⊥ = {x ∈ V |x⊥F}

được gọi là bù vuông góc của không gian con F.

Định lý 5.2:

Cho không con F của không gian Euclide V. Khi đó:

1 F⊥ không gian con của V.

2 dimF + dimF⊥ = dimVNguyễn Ngọc Vinh (ĐH Quốc Tế Hồng Bàng) TOÁN CAO CẤP C2 Ngày 3 tháng 6 năm 2010 66 / 99

Định lý 5.3:

Giả sử E = e1, e2, ..., en là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide V. Khi đó vớimọi ∀x ∈ V , x có thể biễu diễn duy nhất ở dạng x = x1e1 + x2e2 + . . .+ xnen vớixi = (x , ei )

Các bước tìm cơ sở và chiều của không gian F⊥:

Bước 1. Tìm một tập sinh của F. Giả sử đó là: {β1, β2, . . . , βn}Bước 2. Tìm không gian con bù vuông góc.

∀y ∈ F⊥ ⇐⇒ y⊥F ⇐⇒ y vuông góc với tập sinh của F .

⇐⇒

y⊥β1y⊥β2...

y⊥βn

⇐⇒

(y , β1) = 0(y , β2) = 0

...(y , βn) = 0

Ví dụ. Cho không gian con của R3 : F =< (1, 1, 1), (2, 1, 0), (1, 0,−1) >. Tìm cởsở và chiều F⊥.Ví dụ. Cho F = {(x1, x2, x3 ) ∈ R3| x1 + x2 + x3 = 0và2x1 + x2 − x3 = 0

}là

không gian con của R3. Tìm cơ sở và chiều của F⊥.Nguyễn Ngọc Vinh (ĐH Quốc Tế Hồng Bàng) TOÁN CAO CẤP C2 Ngày 3 tháng 6 năm 2010 67 / 99

Cho cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide V:

E = {e1, e2, ..., en}

Cho hai véctơ của V:

x = x1e1 + x2e2 + . . .+ xnen và y = y1e1 + y2e2 + . . .+ ynen

Xét tích vô hướng của x và y:

(x , y) = (x1e1 + x2e2 + . . .+ xnen, y1e1 + y2e2 + . . .+ ynen)

= x1y1(e1, e1) + x2y2(e2, e2) + . . .+ xnyn(en, en)

= x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn

Nhận xét. Việc tính toán tọa độ, tích vô hướng của hai véctơ, độ dài, khoảngcách,... trong không gian Euclide nhanh và gọn hơn nếu dựa vào cơ sở trựcchuẩn. Vậy ta dựa Quá trình Gram – Schmidt (là quá trình đơn giản dùng để tìmmột cơ sở trực giao, sau đó là cơ sở trực chuẩn cho một không gian con củakhông gian Euclide) để tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide V.


Đặt bài toán. Tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide V:

Bước 1. Ta chọn một cơ sở tùy ý E của V.

Bước 2. Dùng quá trình Gram – Schdmidt sau đây đưa E về cơ sở trực giao.

Bước 3. Chia mỗi véctơ cho độ dài của nó ta được cơ sở trực chuẩn.

Định lý 5.4:

Cho E = {e1, e2, . . . en} là họ độc lập tuyến tính của không gian Euclide V. Khi đócó thể xây dựng từ E một họ trực giao:

F = {β1, β2, . . . βn}

Sao cho:< β1, β2, . . . βn >=< e1, e2, . . . en >


Quá trình Gram-Schmidt

Bước 1. Chọn β1 = e1. Tìm β2 = e2 + α1β1. Ta có:

(β2, β1) = (e2, β1) + (α1β1, β1) = (e2, β1) + α1(β1, β1) = 0

=⇒ α1 = − (e2, β1)

β1, β1=⇒ β2 = e2 −

(e2, β1)

(β1, β1)β1

Bước 2. Chọn β3 = e3 + α1β1 + α2β2. Tương tự ta có:

β3 = e3 −(e3, β1)

(β1, β1)β1 −

(e3, β2)

(β2, β2)β2

Bước ... . . . . . . . . . . . .

Bước n.

βn = en −n−1∑k=1

(en, βk)

(βk , βk)βk


Ví dụ.Trong R3 cho họ độc lập tuyến tính E= {(1,0,1), (2,1,1), (1,1,1)}. Dùngquá trình Gram –Schmidt tìm họ trực giao, họ trực chuẩn.Ví dụ.Trong R4 cho họ độc lập tuyến tính E= {(2,0,-1,1), (0,2,-1,1), (1,-1,2,1)}.Dùng quá trình Gram –Schmidt tìm họ trực giao, họ trực chuẩn.Ví dụ. Trong không gian R4 với tích vô hướng chính tắc cho không gian con:

F = {(x1, x2 , x3, x4)

∣∣∣∣ x1 + x2 − x3 + x4 = 02x1 + 3x2 − x3 + 3x4 = 0

}Tìm chiều và một cơ sở trực chuẩn của F.Ví dụ. Trong không gian R4 với tích vô hướng chính tắc cho không gian con:

F = {(x1, x2 , x3, x4)

∣∣∣∣ x1 + x2 − 2x3 + 2x4 = 02x1 + x2 − x3 + x4 = 0

}Tìm chiều và một cơ sở trực chuẩn của F.


Trong không gian Euclide V cho không gian con F và một véctơ v tùy ý.Véctơ v có thể biễu diễn duy nhất dưới dạng:

v = f + g với f ∈ F và g ∈ F⊥

véctơ f được gọi là hình chiếu vuông góc của v xuống F:

f = prF v

Nếu coi véctơ v là một điểm, thì độ dài của véctơ g là khoảng cách từ v đếnkhông gian con F:

d(v ,F ) = ||g || = ||v − prF v ||


Bài toán. Cho không gian con F và một vectơ v.

1 Tìm hình chiếu vuông góc của v xuống F.

2 Tìm khoảng cách từ v đến F.

Giải. Tìm cơ sở của F.Giả sử là {f1, f2, . . . , fm}. Mà: v = f + g = x1f1 + x2f2 + ...+ xmfm + g

x1(f1, f1) + x2(f1, f2) + ...+ xm(f1, fm) + (g , f1) = (v , f1)x1(f2, f1) + x2(f2, f2) + ...+ xm(f2, fm) + (g , f2) = (v , f2)

... ... ...x1(fm, f1) + x2(fm, f2) + ...+ xm(fm, fm) + (g , fm) = (v , fm)

Giải hệ tìm x1, x2, . . . , xm =⇒ prF v = f = x1f1 + x2f2 + ...xmfmVí dụ. Trong không gian R4 với tích vô hướng chính tắc cho không gian con:

F = {(x1, x2 , x3, x4)

∣∣∣∣ x1 + x2 − x3 + x4 = 02x1 + x2 − 3x3 + 3x4 = 0

}

1 Tìm hình chiếu vuông góc của véctơ x = (1, 1, 0, 1) xuống F.

2 Tìm khoảng cách từ véctơ x = (1, 1, 0, 1) đến F.


CHƯƠNG VI: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH


Định nghĩa 6.1:

Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K. Ánh xạ tuyến tínhf : V −→W giữa hai không gian V và W là ánh xạ thỏa:

1 ∀v1, v2 ∈ V : f (v1 + v2) = f (v1) + f (v2)

2 ∀v ∈ V , α ∈ K: f (αv) = αf (v)

Ví dụ. Cho ánh xạ f : R3 −→ R2 xác định bởi:f (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − 3x3, 2x1 + x2).Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.Ví dụ. Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi:f (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − 3x3, 2x1 + x2 − x3, x1 − x2 + 3x3).Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.

Lưu ý. Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của mộttập sinh của V.Thật vậy, cho ánh xạ tuyến tính f : V −→W . Cho E = {α1, α2, . . . , αn} tập sinhcủa V. Giả sử biết f (α1), f (α2), . . . , f (αn). Ta có:

∀x ∈ V =⇒ x = x1α1 + x2α2 + . . .+ xnαn

=⇒ f (x) = f (x1α1 + x2α2 + . . .+ xnαn)

=⇒ f (x) = x1f (α1) + x2f (α2) + . . .+ xnf (αn)Nguyễn Ngọc Vinh (ĐH Quốc Tế Hồng Bàng) TOÁN CAO CẤP C2 Ngày 3 tháng 6 năm 2010 75 / 99

Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R2, biết:

f (1, 1, 0) = (2,−1), f (1, 1, 1) = (1, 2), f (1, 0, 1) = (−1, 1)

1 Tính f (3, 1, 5)

2 Tìm f (x)


f (1, 1, 0) = (2,−1, 0), f (1, 1, 1) = (1, 1, 2), f (1, 0, 1) = (1,−1, 1)

1 Tính f (2, 1, 3)

2 Tìm f (x)


Định nghĩa 6.2:

Cho ánh xạ tuyến tính f : V −→W.

1 Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x của không gianvéctơ V, sao cho f (x) = 0. Ký hiệu:

Kerf = {x ∈ V | f (x) = 0}

2 Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các phần tử y của khônggian véctơ W sao cho tồn tại x ∈ V để y = f (x). Ký hiệu:

Imf = {y ∈W | ∃x ∈ V : y = f (x)}


Định lý 6.1:

Cho ánh xạ tuyến tính f : V −→W.

1 Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của V.

2 Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của W.

3 dim(Kerf ) + dim(Imf ) = dim(V )

Định lý 6.2:

Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một tậpsinh của V.

Các bước tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính:

1 Chọn một cơ sở của V là: E = {α1, α2, . . . , αn}2 Tìm f (α1), f (α2), . . . , f (αn)

3 Imf =< f (α1), f (α2), . . . , f (αn) >


Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3:

f (x) = f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 − x3, 2x1 + 3x2 − x3, 3x1 + 5x2 − x3)

1 Tìm cơ sở và chiều của Kerf.

2 Tìm cơ sở và chiều của Imf.

Định nghĩa 6.3:

Cho ánh xạ tuyến tính f : V −→W với E = {α1, α2, . . . , αn} là cơ sở của V.F = {β1, β2, . . . , βm} là cơ sở của W. Ma trận A cấp n ×m của f trong cặp cơ sởV và W là:

[A]E ,F = ([f (α1)]F [f (α2)]F . . . [f (αn)]F )

Với

[f (αj)]F =

β1β2. . .βm


Ví dụ. Cho ánh xạ f : R3 −→ R2 xác định bởi: f (x) = (x1 + 2x2 − 3x3, 2x1 + x3).Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở:

E = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)};F = {(1, 1), (1, 2)}

Định lý 6.3:

1 Cho ánh xạ tuyến tính f : V −→W. Khi đó tồn tại duy nhất một ma trậnAE ,F cỡ n ×m sao cho:

[f (x)]F = AE ,F [x ]E

Với E và F là hai cơ sở trong V và W tương ứng.

2 Cho ma trận A = (ai j)n×m trên trường số K. Khi đó tồn tại duy nhất mộtánh xạ tuyến tính f : Km −→ K n thỏa:

[f (x)]F = AE ,F [x ]E


Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3. Biết ma trận của f trong cơ sởE = {(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)} là:

AE ,E =

1 0 12 1 41 1 3

1 Tính f (4,3, 5).

2 Tìm cơ sở và chiều của Imf.

Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3. biết ma trận của f trong cơ sởE = {(1, 1, 1); (1, 0, 1); (1, 1, 0)} là :

AE ,E =

1 1 −12 3 31 2 4

1 Tìm f (2,3,-1).

2 Tìm cơ sở và chiều của Kerf.


Định nghĩa 6.4:

Cho hai cơ sở của kgvt V : E = {α1, α2, . . . , αn} và E ′ = {α′1, α′2, . . . , α′n}. Matrận P = ([α′1]E , [α

′2]E , . . . , [α

′n]E ) được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ E sang

E ′, ta có:[x ]E = P .[x ]E ′

Ví dụ. Cho cặp cơ sở trong R3 E = {(1, 1, 1); (1, 0, 1); (1, 1, 0)} vàE ′ = {(1, 1, 2); (1, 2, 1); (1, 1, 1)}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E và E ′.

Định nghĩa 6.5:

Cho ánh xạ tuyến tính f : V −→W.Cho hai cơ sở trong V là E = {α1, α2, . . . , αn} và E ′ = {α′1, α′2, . . . , α′n}.Cho hai cơ sở trong W là F = {β1, β2, . . . , βm} và F ′ = {β′1, β′2, . . . , β′m}.Giả sử P là ma trận chuyển cơ sở từ E vào E ′. Q là ma trận chuyển cơ sở từ Fvào F ′.A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E và F.

[f (x)]F ′ = Q−1AEFP[x ]E ′

Khi đó, Q−1AEFP là ma trận của f trong cặp cơ sở E ′ và F ′.


CHƯƠNG VII: TRỊ RIÊNG VÀ VÉCTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN


Định nghĩa 7.1:

Số λ được gọi là trị riêng của ma trận A nếu tồn tại véctơ x khác không thỏa:Ax = λxKhi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A tương ứng với trịriêng.det(A− λI ) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng.pA(λ) = det(A− λI ) được gọi là đa thức đặc trưng.

Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n:

Bước 1. Lập phương trình đặc trưng det(A− λI ) = 0.

Bước 2. Giải phương trình đặc trưng. Tất cả các nghiệm của phương trìnhđặc trưng là trị riêng λi của A và ngược lại.

Bước 3. Tìm VTR của A tương ứng TR λi bằng cách giải phương trình:(A− λi I )X = 0.

Định nghĩa 7.2:

Không gian nghiệm của hệ (A− λi I )X = 0 được gọi là không gian con riêng ứngvới trị riêng λi . Ký hiệu: Eλi


Định lý 7.1:

Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính.

Ví dụ. Tìm trị riêng, cơ sở, chiều của các không gian con riêng ứng:

A =

3 1 12 4 21 1 3

Ví dụ. Tìm trị riêng, cơ sở, chiều của các không gian con riêng ứng:

A =

−1 1 12 2 11 1 −2


Định nghĩa 7.3:

Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận khả nghịch P saocho: P−1AP = D, trong đó D là ma trận chéo.

Định lý 7.2:

Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại n véctơ riêng độc lậptuyến tính.

Lưu ý. Không phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được.Các bước chéo hóa ma trận vuông A cấp n:(Chéo hóa ma trận A là tìm ra ma trận khả nghịch P và ma trận chéo D)

Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Giải tìm các trị riêng λi . Nếu khôngtồn tại n véctơ riêng độc lập tuyến tính thì A không chéo hóa được.

Bước 2. Giả sử A chéo hóa được. Giải các hệ phương trình tương ứng vớitừng trị riêng λi . Tìm cơ sở của các không gian con riêng.

Bước 3. Ma trận P có các cột là các cơ sở của những không gian con riêng.Các phần tử trên đường chéo chính của D là các trị riêng.


Định nghĩa 7.4:

Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với mọi i = 1,. . . .n và j =1,. . . ,n được gọi là

ma trận đối xứng (tức là: A = AT )

Định nghĩa 7.5:

Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu A−1 = AT

Định nghĩa 7.6:

Ma trận vuông A được gọi là chéo hóa trực giao nếu tồn tại ma trận trực giao Pvà ma trận chéo D sao cho: A = PDP−1 = PDPT

Định lý 7.3:

Cho A là ma trận đối xứng thực. Khi đó các mệnh đề sau đúng:

1 Trị riêng của A là những số thực.

2 Ma trận A chéo hóa trực giao.

3 Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì vuông góc với nhau.


Các bước chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực:

Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng.

Bước 2. Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị riêng. Tìm cơ sở

TRỰC CHUẨN của các không gian con riêng.

Bước 3. Ma trận P có các cột là các cơ sở TRỰC CHUẨN của nhữngkhông gian con riêng. Các phần tử trên đường chéo chính của D làcác trị riêng.

Ví dụ. Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng sau:

A =

3 −2 4−2 6 24 2 3


Định nghĩa 7.7:

Cho V là không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính f : V −→ VSố λ ∈ K được gọi là trị riêng của f, nếu tồn tại véctơ x ∈ V khác không, saocho: f (x) = λxKhi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f tương ứng với trịriêng.

Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f:

Bước 1. Chọn một cơ sở E tùy ý của kgvt V. Tìm ma trận A của f trong cơsở E.

Bước 2. Tìm trị riêng và véctơ riêng của ma trận A.

Bước 3. Kết luận:1 Trị riêng của ma trận là trị riêng của ánh xạ tuyến tính và

ngược lại.2 Nếu véctơ x0 là véctơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ0

thì véctơ x thỏa [x ]E = x0 là véctơ riêng của f ứng với λ0.


Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi:

f (x) = f (x1, x2, x3) = (5x1 − 10x2 − 5x3, 2x1 + 14x2 + 2x3,−4x1 − 8x2 + 6x3)

Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f.Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3, biết:

f (1, 1, 1) = (2, 1, 3); f (1, 0, 1) = (6, 3, 5); f (1, 1, 0) = (−2,−1,−3).

Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f.Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3, biết ma trận của f trong cơ sởE = {(1, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)} là:

A =

2 −2 −1−2 −1 −214 25 14

Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f.Ví dụ. Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3, biết 3 trị riêng là:λ1 = 2, λ2 = 1, λ1 = 0 và 3 véctơ riêng là: (1, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2).


Định nghĩa 7.8:

Ánh xạ tuyến tính f : V −→ V gọi là chéo hóa được nếu tồn tại cơ sở B của V,sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo D.

Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính:

Bước 1. Chọn một cơ sở E của không gian véctơ V.Tìm ma trận A của ftrong cơ sở E.

Bước 2. Chéo hóa ma trận A (nếu được)

Bước 3. Kết luận:1 Nếu A chéo hóa được, thì f chéo hóa được.2 Nếu A không chéo hóa được, thì f không chéo hóa được.

Giả sử A chéo hóa được bởi ma trận P và ma trận chéo D. Khi đó cơ sở B cầntìm có: tọa độ mỗi véctơ của B trong cơ sở E là một cột của ma trận P. Ma trậncủa f trong cơ sở B là ma trận chéo D.



f (x) = (2x1 − 2x2 − x3,−2x1 − x2 − 2x3, 14x1 + 25x2 + 14x3)

Chéo hóa f nếu được.Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3, biết:

f (1, 1, 1) = (1,−7, 9); f (1, 0, 1) = (−7, 4,−15); f (1, 1, 0) = (−7, 1,−12).

Chéo hóa f nếu được.


Định nghĩa 7.9:

Dạng toàn phương trong Rn là hàm thực f : Rn −→ R thỏa:

∀x = (x1, x2, . . . , xn)T : f (x) = xTAx

trong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của dạng toànphương (trong cơ sở chính tắc).

Ta thường xét dạng toàn phương trong f : R3 −→ R xác định bởi:

f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) = Ax21 + Bx2

2 + Cx23 + 2Dx1x2 + 2Ex1x3 + 2Fx2x3

Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứng:

M =

A D ED B FE F C



Dạng toàn phương f (y) = yTDy được gọi là dạng chính tắc của dạng toànphương f (x) = xTAx

Lưu ý.

Dạng chính tắc là dạng toàn phương có các số hạng là các bình phương.

Ma trận A là ma trận của dạng toàn phương f (x) = xTAx trong cơ sở chínhtắc.

Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương f (x) = xTAx trong cơ sởtạo nên từ các cột của ma trận trực giao P.

Dạng toàn phương f (x) = xTAx luôn luôn có thể đưa về dạng toàn phươngchính tắc f (y) = yTDy bằng chéo hóa trực giao ma trận A của dạng toànphương.


Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao:

Bước 1. Viết ma trận A của dạng toàn phương (trong chính tắc)

Bước 2. Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D

Bước 3. Kết luận:1 Dạng chính tắc cần tìm là f (y) = yTDy2 Phép biến đổi cần tìm x = Py

Ví dụ. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trựcgiao. Nêu rõ phép biến đổi:

f (x1, x2, x3) = 3x21 + 6x22 + 3x23 − 4x1x2 + 8x1x3 + 4x2x3


Đưa toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange:

Bước 1. Chọn một thừa số khác không của hệ số x2k . Lập thành hai nhóm:

một nhóm gồm tất cả các hệ số chứa xk , nhóm còn lại khôngchứa số hạng này.

Bước 2. Trong nhóm đầu tiên: Lập thành tổng bình phương. Ta có mộttổng bình phương và một dạng toàn phương không chứa hệ số xk .

Bước 3. Sử dụng bước 1, và 2 cho dạng toàn phương không chứa hệ số xk .

Lưu ý.

Nếu trong dạng toàn phương ban đầu tất cả các hệ số x2k bằng không thì ta

chọn thừa số khác 0 của hệ số xixj .

Biến đổi (∀k 6= i , j) : yk = xk ; xi = yi + yj và xj = yi − yj .

Ví dụ. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổiLagrange. Nêu rõ phép biến đổi:

f (x1, x2, x3) = 3x21 + 6x22 + 3x23 − 4x1x2 + 8x1x3 + 4x2x3

Ví dụ. Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổiLagrange. Nêu rõ phép biến đổi:

f (x1, x2, x3) = 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3



Dạng toàn phươngf (x) = xTAx được gọi là:

1 Xác định dương nếu: ∀x 6= 0 : f (x) > 0

2 Xác định âm nếu: ∀x 6= 0 : f (x) < 0

3 Xác định nửa dương nếu: ∀x 6= 0 : f (x) ≥ 0 và ∃x1 6= 0 : f (x1) = 0

4 Xác định nửa âm nếu: ∀x 6= 0 : f (x) ≤ 0 và ∃x1 6= 0 : f (x1) = 0

5 Không xác định dấu: ∃x1, x2 6= 0 : f (x1) < 0&f (x2) > 0

Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:

f (y) = λ1y21 + λ2y

22 + ...+ λny

2n

1 Nếu ∀k = 1, n : λk > 0 thì dạng toàn phương xác định dương.

2 Nếu ∀k = 1, n : λk < 0 thì dạng toàn phương xác định âm.

3 Nếu ∀k = 1, n : λk ≥ 0và ∃λk = 0 thì dạng toàn phương xác định nửa dương.

4 Nếu ∀k = 1, n : λk ≤ 0và ∃λk = 0 thì dạng toàn phương xác định nửa âm.

5 Nếu ∃λi > 0và λj < 0 thì dạng toàn phương không xác định dấu.



Cho ma trận thực A vuông cấp n:

A =

a11 a12 a13... a1n

a21 a22 a23... a2n

a31 a32 a33... a3n

· · · · · · · · · · · · · · ·

an1 an2 an3

... ann

Tất cả các định thức con tạo nên dọc theo đường chéo chính được gọi là địnhthức con chính cấp 1, 2,. . . , n. Ký hiệu: ∆1,∆2, . . . ,∆n.

Định lý 7.4:

Cho dạng toàn phương f (x) = xTAx

1 f (x) xác định dương khi và chỉ khi ∆i > 0 với ∀i = 1, n.

2 f (x) xác định âm khi và chỉ khi (−1)i ∆i > 00 với ∀i = 1, n.


Ví dụ. Với giá trị nào của m thì dạng toàn phương sau đây xác định dương:

f (x1, x2, x3) = x21 + 4x22 + mx23 − 2x1x2 + 8x1x3 + 4x2x3

Ví dụ. Tìm m để dạng toàn phương không xác định dấu:

f (x1, x2, x3) = x21 + 5x22 + mx23 − 4x1x2 + 6x1x3 + 2x2x3


toan cao cap c2

Documents