toán giải tích 1 tác giả: gs. dương minh Đức, trường Đại học khoa học, Đhqg...

8/12/2019 Toán giải tích 1 Tác giả: GS. Dương Minh Đức, Trường Đại học Khoa Học, ĐHQG Tp.HCM, 2010

http://slidepdf.com/reader/full/toan-giai-tich-1-tac-gia-gs-duong-minh-duc-truong-dai 1/480

GIAI TICH 1 - CHUONG 1

TOAÙN GIAÛI T

Ñaây laø caùc slides baøi giaûng mdaønh cho sinh vieân naêm thöù ntröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc, ÑaïiPhoá Hoà Chí Minh, nieân hoïc 2naøy ñöôïc soaïn theo quyeån : GiTích 1, cuûa GS Döông Minh ÑThoáng Keâ, 2006.

DÖÔNG MINH ÑÖ

w




vấn đề thực tiển

mô hìnhtoán học

k ết luậntoán học

TOÁN HỌC VÀ THỰ C TIỂ N

diễn giảik ết luận

CHÖÔNG MOÄTTAÄP HÔÏP VAØ LYÙ LUAÄ

w




Moät vaán ñeà coù theå giaûi quyeduøng toaùn ñeå moâ hình vaán ñe

duøng caùc phöông phaùp toaùn ñtrong moâ hình.dieãn giaûi keát quaû toaùn hoïc b

Thí duï1. Giaù moät cuoán taäp laøcoù 3.500.000$, hoûi coù theå muacho hoïc sinh ngheøo?Chuùng ta moâ hình vaán ñeà naøylaø moät soá nguyeân lôùn hôn hay chi traû chæ coù theå laø caùc soá tösoá taäp mua ñöôïc laøn thì soá tieàn phaû

w




Chuùng ta moâ hình vaán ñeà naøylaø moät soá nguyeân lôùn hôn hay

chi traû chæ coù theå laø caùc soá tösoá taäp mua ñöôïc laøn thì soá tieàn phaûChuùng ta thaáy trong moâ hình

vaán ñeà raéc roái nhö : quó töø thi

hoïc sinh ngheøo.Vaø vaán ñeà bieán thaønh : tìm sonsao cho 3000n 3500000.Duøng kyõ thuaät laøm toaùn thoânthaønh tìm soá n lôùn nhaát sau chon 1166Vaäy ta coù lôøi giaûi laø 1166 quy

w




ÑaëtC vaøF laø soá ño nhieät ñoä cuûvaät trong heä Celcius vaø heä Fahr

Ta bieát:C=0 khiF= 32, vaøC=100 khi.Ta phaûi tínhF töông öùng vôùi caùcC töø -20 ñeán 70.

Ta ñeå yù

Vaäy hay

0 32100 0 212 32C F

32

180 100F C 18

10 32F C

C -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 F -4 5 14 23 32 41 50 59 68 77 86 C 40 45 50 55 60 65 70F 104 113 122 131 140 149 158 w




A. TAÄP HÔÏP

Thí duï : trong baøi tính soá caây pcaùc con ñöôøng, ta phaûi tìm lôøi gsoá nguyeân döôngÕ

Trong vieäc moâ hình nhö ôû caùccaàn quan taâm ñeán moät vaøi soáphaûi taát caû caùc soá nguyeân). Tcuõng vaäy, ta phaûi quan taâm ñeáchung vaøi tính chaát naøo. Moät tavaät nhö treân ñöôïc goïi laø moättaäp hôïp, vañoù ñöôïc goïi chung moät teân l phaàhôïp ñoù .

w




Cho moät taäp hôïp E vaømoät phaàn t xñaây x coù theå laø moät soá, mo

lieäu), luùc ñoù ta noùi x E .

Thí duï: Trong caùc baøi toaùn vechuùng ta quan taâm ñeán caùc yeá

vaø khoaûng ñöôøng di chuyeån, chuùng ta phaûi xeùt taäp hôïp caùc

Duøng lyù thuyeát taäp hôïp chuùndaøng moät soá söï vieäc trong toaùta coù theå khaûo saùt cuøng moäkhaùc bieät nhau baèng caùch söû dtaäp hôïp vaø aùnh xaï.

w




Thí duï. Ñeå xeùt caùc nghieäm cuû x3+ 4 x2 - 5 = 0,

Ta xaùc ñònh taäp hôïp E = x : x3

+ 4 x2

-Ta coù caùc taäp hôïp thoâng duïng

taäp hôïp caùc soá nguyeân döông Õ =taäp hôïp caùc soá nguyeânŸ = ....,-3,-2,-taäp hôïp caùc soá höõu tæ– = : m Ÿ taäp hôïp caùc soá thöïc — ,taäp hôïp caùc soá phöùc¬ = x+iy : x vaø ytaäp hôïp troáng laø taäp hôïp khoân

naøo caû

mn

w




Ta thöôøng moâ hình taäp hôïp caùhôïp caùc ñieåm ôû treân moät ñöô D

gaùn cho moät ñieåm A treân ñöôøng D, döông x ñöôïc gaùn cho moät ñieåm M nphaûi A treân ñöôøng D vôùi khoaûng c moät soá thöïc aâm y ñöôïc gaùn cho m

phía beân traùi A treân ñöôøng D vôùi kho-y

A N

y 0

w




Naêm 1881, oâng John Venn (nhaAnh) ñeà xuaát vieäc moâ hình moä

phaàn A cuûamaët phaúng giôùi haïn b

Ta gaùn caùc phaàn töû cuûa X nhö laø caùñaùnh daáu trong mieàn A .Tuy nhieân nhmoâ hình X nhö mieàn A, maø khoâncaùc ñieåm ñöôïc gaùn trong A .

A X

w




Moâ hình taäp hôïp nhö oâng Vennbaøi toaùn, thí duï moät mieàn A trong maët

moâ hình moät taäp hôïp Xcoù vaøi phaàncoù raát nhieàu phaàn töû nhö —.ÔÛ ñaây chuùng ta thaáy toaùn hoïccaùch, neáu theo moät caùch naøo ñ X vaø—nhìn theo yù nghóa taäp hôïp, thì chsöõ nhö nhau vaø moâ hình nhö nhaChuùng ta seõ thaáy nhôø tính ñoànvieäc khaùc nhau nhö vaäy, trong tokhaùi nieäm chung cho caùc söï vaäphaàn hoäi cuûa caùc taäp hôïp .

w




F = x : x A hoaëc x B ,F laøphaàn hôïpcuûa A vaø B vaø kyù hi

Cho hai taäp hôïp A vaø B. Ta ñaët E = x : x A vaø x B , E laøphaàn giaocuûa A vaø Bvaø kyù hieäu laø A B

w




Ñaët X vaøY laø caùc ñoà thò cuûa caùvaø y = sin x , vôùi x [0,6 ]. Luùc ñoù X Ygoàm caùc ñieåm A , B , C , D , E vaøF . Caùccuûa caùc ñöôøng thöôøng ñöôïc go

5

0

y x=cos y x= sin

AC

D

B

E F

w




Cho hai taäp hôïp A vaø B. Ta ñaëtG = x : x A vaø x B .

Ta kyù hieäuG laøA \ B.

w




Ñònh nghóa. Cho hai taäp hôïp A vaø B. T

A baèng B neáu vaø chæ neáu A B vaø Bluùc ñoù ta kyù hieäu A = B.

A chöùa trong B neáu vaøchæ neáu moïi phaàn töû cuûa A ñeàu thuoäc B (luùc ñoù tanoùi A laøtaäp concuûa B vaøkyù hieäu A B)

A vaø B rôøinhau neáu vaø chæneáu A B = f ,

A B

A

w




Thí dụ . Gọi A laø tập hợ p tất cảcaùc linmột cửa haøng maùy tính trong moät

maùy tính ñöôïc laép raùp baèng caùcoi nhö moät taäp con cuûa A, hay laø moP ( A). ÑaëtM laø taäp hôïp caùc maùybaùn ra trong ngaøy hoâm ñoù. LuùM laø

cuûaP

( A).Thí duï. Ñaët A = {0,1,2, . . .,9}. Luùcmoät taäp con cuûa A, nhöng soá 1924 k

moät taäp con cuûa A.

w




Ñeå khaûo saùt thieát keá heä thoánñöôøng naøy, chuùng ta ño nhieät ñogiaõng ñöôøng naøy (goïi A laø taäp hôïp casoá thôøi ñieåm töø 7.00 giôø saùngmoät ngaøy naøo ñoù. Luùc ñoù chuluùc ñeán hai taäp hôïp : A vaø [6,18] (caùño nhieät ñoä). Ta moâ hình vieäc naøÑònh nghóa.Cho A vaø B laø hai taäpcuûa A vaø B laø hoï taát caû caùc caë x, y) vvaø y B vaø kyù hieäu noù laø A B.

Thí duï: A = { 2 , } vaø B = {@,# A B = {(2, @), (2, #), (2, &), ( , @), ( B A = {(@, 2), (@, ), (#, 2), (#, ), (&,

w




Thí duï: A = { 2 , } vaø B = {@,#,&}, l A B = {(2, @), (2, #), (2, &), ( , @), ( ,

B A = {(@, 2), (@, ), (#, 2), (#, ), (&,

2

@

• ( , )@ • (

( , )@ 2 ( #

A

B A

B2

#

@

&

•

( , )2 &

( , )2 #

( , )2 @

( , )• &

( , )• #

( , )• @w




Thí duï: C = { m, n } vaø D = {a,i,oâ}, D C = {(a,m), (a,n), (i,m), (i,n), (oâ,m)

C D = {(m,a), (m,i), (m,oâ), (n,a), (n,i),

an

im oâm

a

am

i

in

oâ

oân

m

n

C

D

a

i

oâ

C

D

w




Thí duï: C = { 1 , 2 } vaø D = {-1,-2,-3}C D = {(1,-1), (1,-2), (1,-3), (2,-1), (2,-2

D C = {(-1,1), (-1,2), (-2,1), (-2,2), (-3

w




Neáu B = A, ta thöôøng kyù hieäu A Alaø A2. Luùc ñoù A2 laø hoï taát caû caù( x, y) vôùi moïi x A vaø y A, ta phaûi löyù trong tröôøng hôïp naøy laø ( x, y) coùtheå khaùc ( y, x), thí duï nhö M = (1,2)khaùc N = (2,1) trong —2.

a

c

d[ ]x[ a,b c,

Duøng bieåu dieån theo tích Descar

a b

c

d

( )a,c

( )b,d

w




Coù hai baøi toaùn cô baûn lieân quñònh moät taäp hôïpvaø chöùng minhtaäp h

trong moät taäp hôïp khaùc. Chuùng ta xemphaùp thoâng duïng sau ñaây duøngvaán ñeà naøy .

A.1. Xaùc ñònh moät taäp hôïpÑeå xaùc ñònh moät taäp hôïp E ta coù c

phaùp sau : Lieät keâ taát caû caùc phaàn töû E

Ñònh nghóa laïi taäp hôïp E moät caùc Duøng ñoà hoïa ñeå dieãn taû taäp E

w




Lieät keâ taát caû caùc phaàn töû E

Thí duï.Xaùc ñònh caùc taäp hôïp :F = x Õ : 4 x 4- 4 x 3 - x 2 + x =G = x Ÿ : 4 x 4 - 4 x 3 - x 2 + x = H = x – : 4 x 4 - 4 x 3 - x 2 + x = K = x —: 4 x 4 - 4 x 3 - x 2 + x =

4 x 4 - 4 x 3 - x 2 + x = x( x - 1)(2 x -Phöông trình 4 x 4 - 4 x 3 - x 2 + x = 0 cnghieäm x = 0 , 1 , , .1

2

1

2F = 1 , G = 0, 1 ,

H = 0, 1, , vaø K = 0, 1,12

12

12 w

Ñònh nghóa laïi taäp hôïp E moät caùchThí duï. Cho A vaø B laø hai ñieåm tron

P. Xaùc ñònh taäp hôïp E= M P :

AMB

ÑaëtO laø trung ñieåm cuûa AB.Duøng catrong hình hoïc phaúng ta thaáy E laø ñöôøbaùn kínhOAôû trongP hay E = M P :Thí duï. Xaùc ñònh taäp hôïp E= x — : x2

Duøng phöông phaùp xeùt daáu cuûcoù x2 + x - 2 = ( x - 1)( x +2 ) < 0

Vaäy E laø khoaûng môû (-2, 1)w




Duøng ñoà hoïa ñeå dieãn taû ta

Duøng phöông phaùp giaûi heä bphöông trình baäc moät ôû chöôntrình trung hoïc ta thaáy E laø mieàntam giaùc ñöôïc toâ maøu vaøng tro

hình veõ.

Thí duï.Xaùc ñònh taäp hôïp E = ( x, y) — — : 2 x > y > va

2 x

12

0

w




A.2. Chöùng minh taäp hôïp A chöùa tronCho hai taäp hôïp E vaøF, ñeå chöùng m

coù theå laøm nhö sauCho x trong E , chöùng minh x thuoäcBaøi toaùn 1 . Cho A, B vaø C laø ba taä B vaø B C. Chöùng minh A C.Cho x trong A , chöùng minh x thuoäcC Cho x trong A , ta coù x thuoäc BCho x trong B , ta coù x thuoäcC

Vôùi A={oâng Socrate}, B laø taäp hôïpvaøC laø taäp hôïp caùc sinh vaät cChöùng minh treân laø maåu cuûa tw




Trong noâng laâm ngö nghieäp cvieäc thöôøng tuøy vaøo thôøi vuï,

luùa vaøo caùc muøa quaù khoâ haïvaán ñeà naøy chuùng coù theå laøvò laø thaùng, vaøm va ø nlaø hai thaùngloaïi thôøi vuï, ta phaûi coù moät

aâmk sao chon – m = 12k .Nhö vaäy chuùng ta phaûi xeùtñöông treân taäp hôïp:

n m neáu vaø chæ neáu coùk Ÿ ñeå chon

w




Cho A laø moät taäp theå nho nhngöôøi. Trong taäp hôïp A coù theå coù

khaùc nhau, coù theå coâ x vaø anh y trongcoù dính daùng vôùi nhau trong mochaúng dính daùng vôùi nhau trong

Ñeå moâ hình mtrong taäp A, ta laøma vaøb lieân heä vôñieåm (a,b) leân treNhö vaäy moät m A coù theå moâ hcon trong A×A

w

Ñònh nghóa. Cho moät taäp hôïp A khaùc B laø moät taäp con khaùc troáng tro A A.

x R y neáu vaø chæ neáu x, y)Luùc ñoù ta goïi R laømoät quan heätron

B={( x, y) : x< y}a R b a < b

B={( x, y) : x y}a R b a b

B=a R

ab

a

( )a,b B a

b

a

B

( )a,b

w

B

a R b |a|=|b|

B

a R a R b |a|<|b|

B1

-1

-11

a R b 2| | 1a b

B1

-1

a R b a

w




Trong thöïc teá ta haàu nhö khoângñònh nghóa moät quan heä. Thí duï X lakhaùc troáng. Ñaët A laø P ( X ), hoï caùc taäTa coù theå ñaët quan heä sau ñaâC R D

Tuy nhieân, vôùiñònh nghóa quan heäbaèng caùc taäp hôïp Btrong A A, ta coùcaùc quan heä khoângthoâng thöôøng.

a R bm , a = b + m

B1

0

Quan heä R töông öùng taäp B = (C,D) A

w




Quan heä R phaûn xaïneáu vaø chæ n“ x R x vôùi moïi x A”

B

a R b |a|=|b|phaûn xaï

B

a

b ( , )a b

a R b a bphaûn xaï

a R bkhoâ

Ñeå cho quan heä R phaûn xaï, ta thaáñöôøng cheùo cuûa A A .

(-2,-2)

-

w




Quan heä R phaûn ñoái xöùngneáu vaø c“ x R y vaø y R x thì x= y”

a R b a bphaûn ñoái xöùng

a R b m ,khoângphaûn ñoái

Ñeå cho quan heä R phaûn ñoái xöùn, tphaûi chöùa trong ñöôøng cheùo c A A ñoái xöùng cuûa B qua ñöôøng cheùo cuû A A

B

2

32

0

B x

y

( ) x,y

( ) y,x

x

y

w




Quan heä R truyeànneáu vaø chæ ne“ x R y vaø y R z thì x R z”

a R

b a btruyeàn B

x y y

z

(x,y)

(y,z)(x,z)

a R bkhoâng truyeàn

2| | 1a b y

( ) y,z

R truyeàntrongtröôøng hôïp B coùtính chaát nhö sau

a b

b

c

B

w




Quan heä R toaøn phaànneáu vaø chævaø y trong A thì hoaëc x R y hoaëc y R

Ñeå cho quan heä R toaøn phaàn, ta thabaèng A A , ôû ñaây B’ laø ñoái xöùng cheùo cuûa A A .

B

a

b ( , )a b

a R b a btoaøn phaàn

a R b ma = b + mkhoângtoaøn

B 1

1

2,6 (

w

Quan heä R laø moätquan heä thöù töïneáuphaûn xaï, phaûn ñoái xöùng vaø t

B

a

b ( , )a bB

a

b ( , )a b

a R b a < bkhoâng laøquan heä thöù töï

a R b a blaøquan heä thöù töï

a R

a = b

khoquan

w




Quan heä R laø moätquan heä thöù töïvaø chæ neáu R phaûn xaï, phaûn ñoái

toaøn phaàn.B

a

b ( , )a b

a R b a = b

hoaëc 0 a b laøquan heä thöù töïkhoângtoaøn phaà

a R b a blaøquan heä thöù töïtoaøn phaàn

B B

-1

2(-1,2)

(2,-1)

-12

w




Quan heä R laø moätquan heä töông ñöôneáu R phaûn xaï, ñoái xöùng vaø tru

a R bm ,

a = b + m

laø moätquanheä töôngñöông

B

a R b |a|=|b|laø moätquan heätöông ñöông

a R

khquñö

BB

0 1 2 3

12

3

w

Moät meänh ñeàP coù yù nghóatoaùn honeáu hoaëc laøP ñuùng hoaëc laøP sai (ngcoù tröôøng hôïpP vöøa ñuùng vöøa sacoù tröôøng hôïpP vöøa khoâng ñuùng vCho x — vaø ñaëtP laø“x7 + x + 7 = 0”,

meänh ñeà toaùn hoïc.

C. Meänh Ñeà toaùn hoïc

Cho laø moät soá thöïc döông, cho x va ø ytñaëtP laø“| y – x | < ”, thìP laø moät me

Sau khi moâ hình toaùn hoïc, chuùtrôøi thöïc tieån vaø böôùc vaøo thchuùng ta phaûi duøng ngoân ngöõ

w




Xeùt meänh ñeà R la ø “Toâi noùi doái”.

Meänh ñeà R khoâng theå ñuùng ( vìñang noùi moät söï thaät, laøm saoMeänh ñeà R cuõng khoâng sai ( vì nekhoâng noùi doái, vaø caâu noùi “T

thaät vaø phaûi ñuùng).NeáuP laø moät meänh ñeà toaùnsai” cuõng laø moät meänh ñeà toaùlaø ~P.

Ta goïi ~P laø phuû ñònhcuûaP.

w




Cho A laø moät taäp hôïp. Ta kyù h“vôùi moïi phaàn töû x trong A”laø“ “coù moät phaàn töû x trong A”laø “

Q : “ x A thìP ñuùng ñoái vôùi x ”.~Q : “ x A sao cho ~P ñuùng ño

Cho A laø moät taäp con cuûa — , vaøP laQ : “ x A thì x § 4 ”.

~Q : “ x A sao cho x > 4 ”.

Ta thöû xem taùc ñoäng cuûa phuû

w

R : “ x A sao choP ñuùng ñoái

~ R : “ x A thì~P ñuùng ñoái v x

Cho A laø moät taäp con cuûa — , vaøP la

R : “ x A thì x < 4”.

~R : “ x A sao cho x ¥ 4 ”.

w

~S :“ x A z B sao cho ~P( x ) ñuù

S : “ x A sao choP( x) ñuùng ñoái v zÔÛ ñaâyP( x) laø moät meänh ñeà ñöôï

caùc giaù trò cuûa x

Cho B laø moät taäp khaùc troáng tro— , AP( x) laø “ < x “

S : “ x A sao cho z < x , z B

~S : “ x A z B sao cho z ¥ x

w




Caùch vieát moät meänh ñeà U thaønh d

É Ñeå yù ñeán caùc cuïm töø“vôùi moïi”vaø“trong U, vaø vieát chuùng thaønh mneâu treân. Neáu caàn ta ñaët theâmCho caùc taäp hôïp C, D, E, F vaø G, ta ñaë

A = C D vaø B = E F G“ x C, y D ” thaønh“ ( x, y)

“ u E , v F vaø t G” thaønh“

É Gom caùc meänh ñeà toaùn coønmeänh ñeàP.É VieátU thaønh caùc daïng cô baûw




Caùch phuû ñònh caùc meänh ñ

ñoåi thaønh

ñoåi thaønh

ñoåiP thaønh~Pñeå nguyeân “”

ñeå nguyeân“ ñuùng vôùi”

w

P( ) laø : “|am- an | < “

(0,

), N Õ sao choP( ) ñuùng vôùi moïim , n k Õ

C ( N ) = k Õ : k ¥ N k Õ

(0, ), N Õ sao choP( ) ñuùng vôùi (m, n) (m, n

(0, ) sao cho N Õ , (mñeå cho ~P( ) ñuùng vôùi (m, n)

w




Baøi toaùn 3.Vieát meänh ñeà sau ñaâ“ coù moät soá thöïc döông M sao cho vcoù x§ M ”.

Suy ra phuû ñònh cuûa noù.

P (M ) laø “ x § M ” M (0, ) sao cho x A thìP( M )

vôùi x

M (0, ) , x A ñeå cho ~P( M ) ñu

~ P (M ) laø “ x > M ” M (0, ) , x A ñeå cho x > M w




Caùc töông quan suy luaän ,giaû söû P ñuùng thì Q phaûneáu P ñuùng thì Q phaûi ñuùQ ñuùng khi P ñuùng

Taát caû caùc caâu naøy ñeàuP Q

Q P

Neáu“P Q” vaø“Q P” ta noùiP vañöông vôùi nhau

P Q w




Phaûn chöùngñeå chöùng minh“P ñuùng”. ta chæ caànkhoâng theå naøo ñuùng ñöôïc

Giaû söû~P ñuùng,coi nhö ñaây laøbaøi toaùn. Giaû thieát môùi naøy thöthieát phaûn chöùng.

Keát hôïp giaû thieát môùi vôùicuûa baøi toaùn chuùng ta coá tìm rvôùi caùc giaû thieát cho saün cuthuaãn vôùi caùc ñònh nghóa hoatröôùc.

w




Baøi taäp. Cho A laø moät taäp hôïp . CTa duøng phaûn chöùng. Giaû söû« A”

Ta phuû ñònh “« A”

“« A” “ x « : x A”

Phuû ñònh “« A” “ x « Vaäy giaû thieát phaûn chöùng

x « sao cho x A.Vieäc x « maâu thuaãn vôùi ñònhVaäy giaû thieát phaûn chöùng khsai, do ñoù« A

w

Chöùng minh baèng ñÑeå chöùng minh“P Q” ta coù theå c

“~Q ~P”

Choa vaøb laø hai soá thöïc döông sa

Chöùng minh a b

“P Q ~Q ~P

P laø“a < b “ vaøQ laø“ ”a b

a ¥ ba b

w




Ñaët c = vaø d = .a b

a = c 2 vaø b = d 2

c ¥ d c2 ¥ d 2

c2 cd cd d 2

a ¥ ba b

w



GIAI TICH 1 - CHUONG HAI

CHÖÔNG HAI

AÙ N H X AÏ

Neáu trong kyõ thuaät chuùng ta phcoù dieän tích ñònh tröôùc, chuùngbaèng coâng thöùc sau :

Dieän tích moät hình troøn coù bar

Trong nhieàu moâ hình caùc vaán ñthöôøng thaáy coù caùc ñaïi löôïngnhieàu ñaïi löôïng khaùc. Chuùng

hình cuûa toaùn cho vieäc naøy.

Nhö vaäy ñaïi löôïng “dieän tích” thlöôïng “baùn kính” w




Chuùng ta ñaàu tö xaây döïng moätlaøa, öôùc löôïng moãi naêm toán c

döï kieán seõ cho thueâ haøng naêmtröø thueá). Vaäy neân ñònhc bao nhieâuchuùng ta thu hoài voán.Duøng moâ hình baøi toaùn nhö sau

“Tieàn thu ñöôïc ñeán cuoái naêm tt” = Trong hai thí duï treân, chuùng ta mhoïc nöõa vôøi. Chuùng ta thaáy “dcoù baùn kínhr ” vaø “Tieàn thu ñöôïc cchung moät tính cô baûn laø caùc lömoät löôïng khaùc , vaø ta seõ kyù h

f (t ) .w




A. Xaùc ñònh moät aùnh xaïÑònh nghóa. Cho A vaø B laø hai taäpvaø D laø moät taäp con khaùc troán A

moïi x trong D ta ñònh nghóa ñöôïc mtrong B, ta noùi ta xaùc ñònh ñöôïc maùnvaøo B.

A D

Theo caùch naøy chuùng ta moâ hìcuûa moät löôïng naøo ñoù theo mo

w




Thí duï. Dieän tích moät hình troøn coù bar thaáyr f (r ) = r 2 laø moät aùnh xaï töø tadöông (0, ) vaøo chính noù.

Thí duï . Nhieät ñoä taïi moät vò trí naøo ñnaøy taïi thôøi ñieåmt trong buoåi saùng hoâmtöø [6,12] vaøo [20, 50].

Thí duï. Coá ñònh moät thôøi ñieåmt trong buonay,nhieät ñoä taïi moãi vò trí trong giaûaùnh xaï töø taäp hôïp A vaøo [20, 50], vôùi A laø tatrí trong giaûng ñöôøng naøy.

w




Thí duï. Toång trò giaù xuaát khaåu cuûa Vthaùng cuûa naêm 2007 laø moät aùnh xataäp [1,20] neáu chuùng ta laáy ñôn vò lanaøy ñöôïc coi laø töø {1,2, . . ., 12} vaøtính tieàn laø moät ngaøn tæ ñoàng Vieät

Thí duï. Ñeå khaûo saùt thieát keátrong giaûng ñöôøng naøy, chuùng

soá vò trí trong giaõng ñöôøng naøy B lavò trí ñoù) töø 7.00 giôø saùng ñeánmoät ngaøy naøo ñoù . Goïi f ( x,t ) laø nhieätthôøi ñieåmt . Luùc ñoù f laø moät aùnh xa B

taäp [20,50].

w




f x( )

f )(1

f (2)

Ta coù theå moâ hình caùc aùnh xaÑònh nghóa . Cho f laø moät aùnh xaï

vaøo moät taäp hôïp B. Ta ñaët = {( x, y) A B : y = f ( x) }.

Ta goïi laøñoà thòcuûa f .

w




Đểvẽ đñồ thị của một aùnh xaï f töø moävaøo—, ta coù theå duøng Mathemati

Plot[ f ,{ x, xmin , xmax}]Thí duï . Duøng leänh Plot[Cos[x3+Sin [xcoù ñoà thò cuûa aùnh xaï f ( x) = cos(x3+sin x) [0, ] nhö sau.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

- 1.0

- 0.5

0.5

1.0

w




Tuy nhieân chuùng ta cuõngcoù caùc ñoà thò cuûa aùnh xaïdo caùc thieát bò ghi chöùkhoâng phaûi veõ töø ñònhnghóa cuûa aùnh xaï ñoù.Hai ñoà thò beân caïnh doñòa chaán keá ghi laïi caùcgia toác chuyeån ñoäng maëtñaát cuûa moät vò trí theocaùc höôùng baéc-nam vaøñoâng-taây trong moät traänñoäng ñaát ôû Northridge.Theo tö lieäu cuûa Calif. Dept. of M(“Stewart, Calculus- concepts and cw




Plot[{7/x+6,6},{x,1,1000},AxesOrigin

Nhö vaäy giaù tieàn trung bình y moãi kaùnh xaï tuøy thuoäc vaøo khoaûng

Mathematica ta coù ñoà thò cuûa y nhö sauTheo ñoàthò naøy, giaù

tieàn trungbình moãikm trongmoät chuyeánñi giaõm daàntheo ñoä xacuûa chuyeánñi 0 1 2 3 4

6

7

8

9

10

11

12

13

w




Trong vieäc ñieàuchænh giaù moät

maët haøng naøo ñoùseõ daãn theo heäquaû soá ngöôøi muavaø soá löôïng saûn

xuaát maët haøng ñoùseõ thay ñoåi.

Duøng ñoà thò beân treân chuùng tmaët haøng laøt laøm cho kinh teá oån ñ

Neáu caàu vaø cung khoâng töôngta seõ coù hai tình hình kinh teá baákho quaù lôùn, hoaëc thieáu huït ha

caàusoá saûnphaåm

s

t

w




Ñoâi khi chuùng ta duøng ñoà thò ñmieàn xaùc ñònh vaø taäp aûnh cuû

mieàn xaùc ñòn

taäphôïpaûnh y f x= ( )

0

y

w




D — \ 1

f ( x) = y sao cho y( x - 1) = 1.

D = x — : f ( x) xaùc ñònh duy nh

Khi x = 1, ta coù ( x - 1) = 0 vaø khoângnaøo ñeå cho y( x - 1) = 1, vaäy x D.

Chöùng minh “ x D thì x — \ 1 ”

Chöùng minh ñaûo ñeà “ x — \ 1 thì xTa choïn caùch sau vì x — \ 1 cho ta xtoaùn ñôn giaûn hôn

Chöùng minh “ x =1 thì x D”.

Coù duy nhaát y sao cho y sao cho y = f

w




Trong moät kyø tuyeån sinh, chuùncoù toång soá ñieåm thi 18. Ta moâ hình

choïn nhö sau: xaùc ñònh taäp hôïp{ thí sinh : coù ñieåm thi 18}.

Vôùi giaù hieän nay cuûa moät saûcoùn khaùch haøng. Nay chuùng ta mleân theâm moät möùc laøT, vaán ñeà neânsoá khaùch haøng tuy giaõm nhöngkhaùch haøng hieän nay.

Moâ hình toát hôn nhö sau : ñaët X laø taäsinh, f ( x) laø ñieåm thi cuûa thí sinh x , luù

caùc thí sinh ñöôïc tuyeån laø { x X : f(x)

w




Chuùng ta moâ hình vaán ñeà naøysoá giaûm soá löôïng khaùch haøng

vò tieàn teä vaøF (T ) laø soá löôïng khaùta taêng giaù saûn phaåm theâmT. Luùc ñoùF (T ) = -cT + n

Vaäy caùc möùc taêng giaù coù the{T : F (T) 0,9n }

Moâ hình chung cho caùc vaán ñeàsau.

w




Ñònh nghóa. Cho A vaø B laø hai taäpvaøC laø moät taäp con khaùc troáng B.xa ï f töø A vaøo B. Ta ñaët f -1(C ) = { x vaø goïi f -1(C ) laøaûnh ngöôïccuûa C qua

A -1f C ( )

w




Nhieàu luùc chuùng ta muoán thu hchuùng ta phaûi coù caùc caùch mo

Trong moät soá vaán ñeà vieäc thu hchuùng ta bôùt soá tính toaùn vaø cotröôùc.

Vì caùc söï vaät phaûi quan saùt ñöhình cuõng ñöôïc “thu nhoû” laïi. Cngöõ toaùn hoïc dieãn ñaït sö vieäc

w




Ñònh nghóa . Cho f laø moät aùnh xaïvaøo moät taäp hôïpY , vaø A laø moät taäp

Vôùi moïi x A ta ñaëtg( x) = f ( x), luùc ñxaï töø A vaøoY vaø ta noùig laøaùnh xaï th

xaï f treân A vaø kyù hieäug laø f | A.

X

f

Y

A

X Y

A

g

w




Thí duï . Cho A = ( 0, ), B = (- , 0)va

aùnh xaï töø — vaøo— xaùc ñònh nhö sau

Ñaët g = f | A va øh = f |B . Ta coù g( x) = trong A va øh( x) = 0vôùi moïi x trong B.

2

( ) 0 x khi x f x

khi x

f

B

h

w




Ñònh nghóa . Cho X , Y vaø Z laø batroáng, f laø moät aùnh xaï töø X vaøoY , vaùnh xaï töøY vaøo Z. Ta ñaëth( x) =moïi x trong X . Luùc ñoùh laø moät aùnvaø ñöôïc goïi laøaùnh xaï hôïp cuûa f vaøg

hieäu laøgof .

w




X

Y

x

f x( )

y

g y( )g f o x

f g

w




g x( )

g x( )

f g x( ( ))

w




f ( x) = x2 g( x) = x2 + x4 go f ( x) = x 4

x x 2

f

g

++

w




f ( x) = x2

g( x) = x2+ x4 go f ( x)=x 4+ x8 f og( x

2 4 x x+ x

f g y

+ +

f gow




B. Xaùc ñònh aùnh xaï hôïp

Ñeå xaùc ñònh aùnh xaï hôïpgof ta laøvôùi moïi x trong X tính y = f ( x), roài thtrò ñoù vaøo coâng thöùc z = g( y), töø ñoùgiaù trògof ( x) theo x.Thí duï . Cho X = — , Y = [-3, ) vaø Z =

f ( x) = vôùi moïi x trong X vaø g( yvôùi moïi y trong Y . Xaùc ñònh gof.

2

1 x

Vôùi moïi x trong X ta ñaët y = f ( x) =

coùgof ( x) =g[ f ( x)] =g( y) = =Vaäygof ( x) = vôùi mo x

12

411 y y 112

4 22 2 x

x x w




Vieäc ñaët y = f ( x) = môùi xem rnhöng noù giuùp ta laøm nhanh vaøveà sau : noù traùnh cho chuùng ta ktrong f(x) = vaøg(x) = ( ta vieátg nhö moät haøm soá theo x chöù k

21 x

21 x2

411

x x

Coù theå duøng Mathematica ñeå gIn[1]:= f[x_] := Sqrt[1 + x2]In[2]:= g[x_] :=In[3]:= g[f[x]]

2

2 2 -xOut[3]:

1 (1 + x )

2

41

1

x

x

w




In[1]:= f[x_] := Sqrt[1 + x2]In[2]:= g[x_] :=In[3]:= g[f[x]]

2

2 2 -xOut[3]:

1 (1 + x )

2

4

11

x

x

Trong In[1] vaø In[2] ta ñònh ngh f vaIn[3] ta ra leänh tínhgof ( x)

w




Nay ñeå tính f og ( x) baèng Mathematheâm phaàn treân nhö sau In[4]:= f[g[x]]Out [4]:= Sqrt[1 + ]

In[5]:= Expand[%]Out [5]:=Sqrt [ ]

Vaäy fog ( x) = vtrongY .

2 2

24(1 )(1 )

x x

2 4 8

4 22 2 3

(1 ) x x x

x

2 84 2

42 2 3(1 ) x x x

x

w




Thí duï. Cho X = Y = Z = — , f ( x) =vaø g( x) = vôùi moïi x trong

fog

4 x3

2

4 57

x x x

Baøi naøy coù soá löôïng tính toaùn

maùy tính, ôû ñaây ta duøng Math In[1]:= f [ x_] := x4 + 6 x3 - 15 x + 8 In[2]:= g[ x_] := In[3]:= f [g[ x]]

3

24 5

7 x x

x

3 3 3

2 2 315(5 4 ) 6(5 4 )Out[3]: 8

7 (7 ) x x x x x x

w




Thí duï. Cho f ( x) = sin(3 x + cos x) vôùi—. Phaân tích f thaønh caùc aùnh xaï ñôn gia

Vôùi moãi x trong — quaù trình tính f ( x)vôùi x ta tính ñöôïc 3 x vaø cos x : ñaët

g( x) = 3 x vaøh( x)=cos x,

vôùi z = 3 x + cos x ta tính ñöôïc sin xsin z : ñaëtu( z) = sin z.

Vaäy f ( x) =u(( h + g)( x)) x — hay f

Khi ñaët caùc z vaøw, ta thaáy hình nhövieäc voâ ích, nhöng vieäc naøy seõnhanh vaø traùnh caùc sai laàm khow




Vieäc phaân tích f thaønh hôïp cuûa caraát höõu ích khi ta ñöa caùc baøibaøi toaùn ñôn giaûn, nhaát laø khilieân tuïc vaø khaû vi cuûa moät aùn

w




Trong moät tuùi coù 10 vieân bi conhöng coù caùc maøu saéc khaùc nh

vieân bi trong tuùi naøy theo hai ca* Laáy moät laàn ba vieân bi.** Laáy moät vieân bi, ghi maøu sa

vaøo tuùi; laáy moät vieân bi, ghi mlaïi vaøo tuùi; vaø laáy theâm moätChuùng ta thaáy söï khaùc bieät giöta coù ba vieân bi khaùc nhau trongtrong caùch thöù hai chuùng ta coùbi trong nhieàu laàn laáy bi töø tuùi

w




Ta thöû moâ hình toaùn hoïc hai cahình caùc laàn choïn nhö taäp hôïp A = {1,2

vieân bi nhö taäp hôïp B = {1,2,3, . . .,10Caùch choïn thöù hai töông öùng vôvaøo B. Caùch choïn thöù nhaát töông

f töø A vaøo B coù tính chaát sau : f ( x) f ( y)

Neáu xem moät con ngöôøi nhö lachaát, tinh thaàn vaø caùc yeáu toágian t kyù hieäu laø f (t ), thì moãi con nxaï töø moät khoaûng [a, b ] vaøo taäp hô Bngöôøi töùc thôøi” (moät con ngöñieåm naøo ñoù). AÙnh xaï naø f ( x) f ( y) neáu x y . w




Ñònh nghóa . Cho X vaøY laø hai taäptroáng, f laø moät aùnh xaï töø X vaøoY . Ta

ñôn aùnhneáu vaø chæ neáu f (a)

f (b) khia

f khoân

f laø ñ

X Y

f

X Y

f

w




Duøng ñaûo ñeà :cho x vaø y trong X sao f ( y), chöùng minh x = y.

Thí duï. Cho f ( x) = x5 – x4+ 2 x vôù[1, ). Khaûo saùt söï ñôn aùnh cuûa f .ÔÛ ñaây ta chöa roõ phaûi chöùn f

hay phaûi chöùng minh f khoâng laø mChuùng ta duøng maùy tính ñeå ñTa duøng Mathematica ñeå xaùc ñò

x5 – x + 2 x = y5 - y+ 2 y : ta veõ ñöôø

curve 0) cuûa haøm soá h( x, y) = x5 – x4+ 2 x – y5 + y4

w




Ta duøng Mathematica ñeå xaùc ñò x5- x4+2 x = y5– y4+2 y : ta veõ ñöôøng m

0) cuûa haøm soá h( x, y) = x5

– x4

+ 2 x – y5

+In[1]:= ContourPlot[x5 - x4 + 2x - y5x,-200,200, y,-200,200,Contours->0

PlotPoints-> 60, ContourShading->Out[1]:= -Graphics-Vaäy phöông trình

x5 – x4 + 2 x = y5 - y4 + 2 y

hình nhö chæ coù caùc nghieäm x = y.Töø ñaây ta vöõng loøng ñeå coá gchöùng minh f laø moät ñôn aùnh. w




Cho x vaø y trong [1, ) sao cho f ( x) = chöùng minh x = y. Ta duøng Mathema

In[1]:= Factor[x5 - x4 + 2x - y5 + y4 - 2y ]Out[1]:=(- x+ y) (-2+ x3– x4+ x2 y – x3 y+ xy2 –x 2 y

Vaäy ta coù

0 = x5- x

4+ 2x - y

5+ y

4- 2y=(- x+ y) (-2+ x3– x4+ x2 y – x3 y + xy2 –x 2 y2 + y

= ( x- y)[2+ x3( x -1) + x2 y( x -1) + xy2( x -1) + yVì x vaø y trong [1, ) neân[2 + x3( x-1) + x2 y( x-1) + xy2( x-1) + y3( x-1Suy ra x = y vaø f laø moät ñôn aùnh.

w




Moät coâng ty du lòch ñònh höôùngthích hôïp vôùi moät soá ñoái töôïng

du lòch nhöõng möùc khaùc nhau.Caùc möùc chi tieâu coù theå coù ccoâng ty löu taâm ñöôïc moâ hình lahôïp caùc soá nguyeân döông. Caùctieàn ñöôïc lieät keâ trong B ñöôïc moâ hìnhôïp A . Vaán ñeà ñöôïc moâ hình nhgiaù cuûa moät tour x, thì ta phaûi tìm taä A smoïi y trong B ñeàu coù moät x trong A sao

w




X Y

f

Ñònh nghóa . Cho X vaø Y laø haitroáng, f laø moät aùnh xaï töø X vaøoY . Ta

toaøn aùnhneáu vaø chæ neáu f ( X ) =Y ,

f khoâng

f laø to

X Y

f

w




Trong moät thöû nghieäm ngöôøitrong moät moâi tröôøng theo thôøi

tröôùc. Maët khaùc chuùng ta cuõngthôøi ñieåm ñeå soá löôïng virus troñeán caùc soá löôïng ñònh tröôùc.Chuùng ta moâ hình caùc vieäc tre

thôøi gian quan saùt nhö moät khoa A = [virus ñöôïc quan saùt laø moät taäp B cadöông {n0, n0 +1, . . . , N}. Vieäc quatrong moät moâi tröôøng theo thôøimoâ hình nhö moät aùnh xaï f töø A vaøo B. Vthôøi ñieåm coù moät soá naøo ñoùtröôøng ñöôïc moâ hình nhö moät ag t

w




Ñònh nghóa . Cho X vaøY laø hai taäptroáng, f laø moät aùnh xaï töø X vaøoY . Ta

song aùnhneáu vaø chæ neáu f ñôn aùnh v

f laø song aùnh

X

f

w




Ñònh nghóa. Cho f laø moät song Vôùi moïi y Y ta coù duy nhaát

cho f ( x) = y, ñaëtg( y) = x. Ta thaáyxaï töøY vaøo X coù tính chaát sau :gof fog( y) = y vôùi moïi x X vaø vôùi m yg laøaùnh xaï ngöôïccuûa f vaø thöôøng k

w



GIAI TICH 1 - CHUONG BA

CHÖÔNG BA

SOÁ NGUYEÂN V Ø SOÁ

Ta xeùt caùc baøi toaùn sau: taïo(danh saùch caùc ngaøy vaø caùc tngaøy döông lòch vaø ngaøy aâm lòxaây moät caên nhaø, soá ngaøy honaêm, soá caù coù theå nuoâi trongchæ tieâu tuyeån sinh cuûa moät ñaïÑeå moâ hình caùc baøi toaùn beântaäp hôïp con soá. Ta khoâng thecon caù, nöûa sinh vieân, ta caàn kh

A. Soá nguyeân - pheùp coäng

w




Coù theå ñoàng nhaát taäp soá nghay khoâng? Neáu chuùng ta ñeámchuùng ta bieát, goïi soá ñoù laø M, thì soá M+

laø soá chuùng ta ñaõ duøng ñeå ñemoät soá nguyeân! Như vaäy khoù maøcaû soá nguyeân trong thieân nhieân

Taäp hôïp caùc con soá nguyeântöû naøo ñoù. Tuøy theo ñòa phöôn

duï coù moät phaàn töû ñöôïc goïinhi, dzì, deux, two, ni, . . . . Chuùntheo nhieàu caùch coøn ñöôïc kyùthí duï moät phaàn töû trong taäp ñ

XII, 1100 (cô sôû nhò phaân) . . .

w




Chuùng ta chaïm ñeán moät hình acaâu sau ñaây cuûa Laûo töû :

“ Ñaïo khaû ñaïo, phi thöôøng ñaïothöôøng danh”“Ñaïo maø dieån giaûi ñöôïc thì khcöûu baát bieán, teân maø coù theå

thì khoâng phaûi teân vónh cöûu ba(Nguyeãn Hieán Leâ dòch)ÔÛ ñaây chuùng ta thaáy söùc maïnra moät caùi gì ñoù (taäp hôïp caùc

saün trong töï nhieân, duøng caùi ñovaán ñeà coù thöïc trong töï nhieânñònh nghóa taäp caùc soá nguyeân.

w




Caùc tieân ñeà Peano veà taäp caùcCoù moät taäp hôïpÙ cuøng vôùi caùc tín

I. Vôùi moãi phaàn töû x trong Ù coù moäthieäu laøS ( x) trong Ù , ñöôïc goïi laøphaàn töûII . Cho x vaø y laø hai phaàn töû trongÙ sao c

S ( x) =S ( y) thì x = y.

III . Coù moät phaàn töû trongÙ ñöôc kyù hikhoâng laø phaàn töû keá tieáp cuûa mIV. Cho U laø moät taäp hôïp con c Ù svaøS ( x) U vôùi moïi x U . Luùc ñoùU =

OÂng Peano ñònh nghóa taäp soáthöïc tieån cuûa caùc soá (caùch ñeá

soá ñaàu tieân, söï noái tieáp caùc schaát khoâng deå chaáp nhaän laém

w




Ñònh nghóa. Vôùi boán tieân ñeà naønhö laøS (1), soá 3 nhö laøS (2), soá 4 nta seõ coù moïi soá thöôøng duøngÑònh nghóa. Ta coù pheùp coäng tÕ

n +1 =S (n), n +2 =S (n+1),n +3 =S (n+2

Ñònh nghóa . Ta xaùc ñònh pheùp nsau :1.n = n, 2.n = n + n, 3.n = 2.n + n,....

Taäp hôïpÙ duy nhaát theo nghóa sau: nÙ ’ thoûa boán tieân ñeà Peano vôùi pha

thì coù moät song aùnh f töøÙ vaøoÙ ’ sao f (1’) va øS ( f (n)) = f (S (n)) vôùi moïi n Ù

w

Ñònh nghóa . Ta coù moät quan heäsau : chom vaøn trongÙ , ta noùi

n > m (haym < n ) neáu vaø chævôùi moätr naøo ñoù trongÙ ,n m (hay m n ) neáu vaø chæ nnn > m.

OÂng Peano ñaõ ñoùng goùptroïng :Ù khoâng chæ laø moät ta

nguyeân döông, maø trong Ù coøn coùlogic“phaàn töû keá tieáp”. Chính caáxaùc ñònh caùc pheùp toaùn coäquan heä thöù töï sau ñaây treânÙ .

w




Ñònh lyù. Ñònh nghóa caùc pheùp+ vaø . vaøtrong Ù nhö treân. Ta coù vôùi moïi m, n, p

(i) m+n = n+m, n.m = m.n vaø m.(n + p)(ii) laø moät quan heä thöù töï toaøn(iii) neáu m n va ø p q, thì

m+ p n + q vaø mp np.

(iv) Cho A laø moät taäp con khaùcluùc ñoù coù z trong A sao cho n z vtrong A (ta noùi A coù cöïc tieåu).

Caùc tieân ñeà cuûa Peano (töông ñchuùng ta seõ laøm toaùn coäng vachaëc cheõ hôn! Ngoaøi ra caùc tieta moät caùch chöùng minh ñaëc biequi naw




Ñònh lyù. Cho A Õ vaø p A. Giaû sneáu n A. Luùc ñoù m Õ : m p

B. Pheùp qui naïp toaùn hoïcKhi ta quan saùt khoâng phaûi moächaát maø caû moät daõy hieän töchaát P

nvôùin laø caùc soá nguyeâ

duøng pheùp qui naïp toaùn hoïc ññuùng vôùi moïin N chæ caàn hai böô

Chöùng minhPn ñuùng vôùin = N ,Cho k laø moät soá nguyeân döôk

Pk ñuùng, chöùng minhPk+1cuõng ñuùngNeáu laøm ñöôïc hai ñieàu treân

ñuùng vôùi moïin N . w




Baøi toaùn 5. Cho n Õ. Ñaët X n = 1 + 23

Chöùng minh 2 2( 1)

4n

n n X

ÑaëtP(n) laø“ “. Ta th2 2( 1)

4n

n n X

Giaû söûP(k ) ñuùng vôùi moätk 1, ta coù X

2 23 3

1

2 2 2

( 1)( 1) ( 1)4

1 ( 1) ( 2( 1) [ 4 4]4 4

k k

k k X X k k

k k k k k

Vaäy theo qui naïp toaùn hoïcP(n) ñuùngw




Baøi toaùn 6. Cho m vaø n laø hai soá ngsöû coù moät ñôn aùnh f töø{1, . . . ,m

,n} . Chöùng minh m n.Neáum = 1. Ta coùm n (thaät ra khoânveà f )Giaû söû keát quaû ñuùng khim = k .

Neáu coù moät ñôn aùnh f töø{1, . . . ,k } vaøThì k nGiaû söû coù moät ñôn aùnh f töø{1,. . . {1,. . . ,n}. Chöùng minh k+1 n.Giaû söû coù moät ñôn aùnh g töø{1,. . . ,k+1}vaChöùng minh k+1 p. w




Neáu coù ñôn aùnh f töø{1,...,k } vaøo{1,...,nGiaû söû coù moät ñôn aùnh g töø{1, . . .

{1, . . . , p} . Chöùng minh k+1 p.Giaû söû coù moät ñôn aùnh g töø{1,. . . ,k{1, . . . , p} . Chöùng minh k p - 1.

g({1,...,k }) {1,..., p-1 }g({1, . . . ,k }) khoâng chöùa trong j {1,...,k }

sao chog(j) = p

duøng giaû

j 21

1 2 j

j 21

1 2 j w




Neáu coù moät ñôn aùnh f töø{1, . . . ,k } vaøoThì k n

Giaû söû coù moät ñôn aùnh g töø{1, . . .{1, . . . , p} . Chöùng minh k p - 1.

j {1, . . . ,k } sao chog(j) = p

Ñeå ñöa veàtröôøng hôïp ,ta ñaët aùnh xaïvnhö trong hìnhveõ

j

1

21

2 j

w



GIAI TICH 1 - CHUONG BAThay theá g baènggov , ta ñöa veà tröôø

Ta coù :gov(k +1)

= p

gov laø moätñôn aùnh

Do ñoù

gov(i) p-1i k

v

g

j

1

21

2 j

1 2 j p

w




Baøi toaùn 7. Cho m vaø n laø hai soá ngsöû coù moät song aùnh f töø{1 , . . . ,m} vaøo

Chöùng minh m =n. f laø moät ñôn aùnh töø{1, . . . ,m} vaøo{1, ñoù m n

f -1 laø moät ñôn aùnh töø{1, . . . ,n} vaøo{1ñoù n m

Duøng keát quaû naøy, ta coù theå ñ

w




Duøng keát quaû naøy, ta coù theå ñÑònh nghóa. Cho A laø moät taäp hôïp

A coùm phaàn töûneáu vaø chæ neáutöø taäp hôïp 1, 2, 3, , m vaøo A. Lutaäp hôïp A coùhöõu haïn phaàn töû

{1,..., }m{

A f g

g

g f o-1

w




Ñònh nghóa . Cho A laø moät taäp hôïp A coùn phaàn töûneáu vaø chæ neá

f töø taäp hôïp 1, 2, 3, , n vaøo A. Lnoùi taäp hôïp A coùhöõu haïn phaàn tö A laø moät taäp hôïpvoâ haïn ñeám ñö(h

laøñeám ñöôïc) neáu vaø chæ neáu ctöø Õ vaøo A. A laø moät taäp hôïpquaù laém ñeám ñöneneáu A coùhöõu haïn phaàn töû hoaë

A laø moät taäp hôïpvoâ haïn khoâng ñvaø chæ neáu A khoâng höõu haïn vaøñöôïc . w




Baøi toaùn 8.Ñaët P (Õ ) laø hoï taátcon cuûa Õ . Chöùng minh P (Õ ) laø mkhoâng ñeám ñöôïc. A laø moät taäp hôïp voâ haïn khoâchæ neáu A khoâng höõu haïn vaø khñöôïc .

A khoânglaø taäp hôïp voâ haïn khoâchæ neáu A höõu haïn hoaëc A voâ haïn ñe

Duøng phaûn chöùng

P (Õ ) { {1}, {2}, . . . , {n} , . . .} : kGiaû thieát phaûn chöùng :P (Õ ) voâ haïn

w




Giaû söû P (Õ ) voâ haïn ñeám ñöôïc A laø moät taäp hôïpvoâ haïn ñeám ñöôïneá

coù moät song aùnh f töø Õ vaøo A.Coù moät song aùnh f töøÕ vaøo P (Õ )Ñaët f (n) = An P (Õ ) = { A1 , A2 , . . ., A

Ñeå deã xöû lyù caùc taäp con cuûaÕ, ta töôncon B cuûaÕ baèng moät haøm soá sa1 neáu ,( )0 neáu \ .

B x B

x x B

ñöôïc goïi laø haøm ñaëc trön B B

' B B

w




1 ,( )0 \ . B

neáu x B xneáu x B

' B B

Vaäy coù moät song aùnh töø P (Õ) vaøo {F

{ A E

0 neáu ( ) 1,Ñaët ( )

1 neáu ( ) 0.n

n

A

A

ng n

n

{ B n

Bg

ng n A { :

n Ag E n

P ( )

F n

An

An E = F

w



GIAI TICH 1 - CHUONG BA2 = z + 5 3 =z + 6 4= z + 7 w

Ñaët 0.m = m.0 = 0 vôùi moïim Ÿ

Moïi soá nguyeânm coù theå vieát thavôùi moätm’ trongÕ .

Neáum - q : q Ù ta noùim laømaâmvaø vieátm < 0, neáum Ù ta noùm

nguyeân döôngvaø vieátm > 0.Vôùi soá nguyeânm ta ñaëtsign(m) nhö sñoù laø daáu cuûam

1 nesign( ) 0 n

1 nm

w




Treân Ÿ ta coù caùc ñònh nghóa sau p vaøq trongŸ

- m = - sign(m)|m|, m + (-m) = 0, 0

m+n = sign(n)[|n|-|m|] neáu sign(m) sig

m+n = sign(m)[|m| + |n|] neáu sign(m ) m+n =sign(m)[|m|-|n|] neáu sign(m) sig

0.m = 0n.m = |m|. |n| neáu sign(m) = signn.m = - |m|. |n| neáu sign(m) sigm > n neáu vaø chæ neáum - n Õ

m n neáu vaø chæ neáum = n hoaëcmw




Ñònh lyù. Ñònh nghóa caùc pheùp coän+ vquan heä trongŸ nhö treân. Ta coù p, vaø q trong Ÿ.(i) m+n = n+m, n.m = m.n vaø m.(n + p)(ii) laø moät quan heä thöù töï toaøn p

(iii) neáu m n, p q vaør 0, thìm + p n + q vaø mr

(iv) |m| m

w




Xeùt X= (Ÿ \ 0 ) Ÿ = (n,m) : n Ÿ \ 0Treân X ta ñònh nghóa quan heä R nhö sau (n,m)R (n’,m’) n.m’ = n’.m

-6.x = 3-4.x = 2

2.y = 24.y = 4

4.z = 26.z = 3

TañöheTathöTatöôcu

vamo

m

n123456

1 2 3 4 5 6

78

-1-2-3-4-5-6

y z

v

r

w




Vì(4ñochhö

Nhö vaäy moät soá höõu tæ coù theåkhaùc nhau, moãi daïng cuûa noù laø m phaântrong ñoùm ñöôïc goïi laøtöû soá vaøn ñöôïc g

m

n123456

1 2 3 4 5 6

78

-1-2-3-4-5-6

y z

v

r

3 1 1, 2 , ,2 2 2

r y z v

w




vôùi moïi soá höõu tæ v

ñoàng nhaátm vôùi vôùi moïim Ÿ , tneáu thìm Ÿ \ 0 v

xeùt soá höõu tæ , ta kyù hieäu

m kmn kn

1m

0m pn n

m

n

m

vì (n,m) R (|n|, sign(n) m), ta coù th

höõu tæ ôû daïng vôùis Õ vaør Ÿr s

w




Ñònh nghóa . Cho caùc soá höõu tæ

vaøs Õ vaøm vaør Ÿ . Ta ñònh ng,

mn

m r ms nr n s ns

m r mr .n s ns

m | m || |n | n |

neáu vaø chæ neáums nrm r n s

neáu vaø chæ neáums > nrm r n s

w




Ñònh lyù . Ñònh nghóa caùc pheùp coän+ vquan heä trong – nhö treân. Ta coù vô

va øq trong – vaø p 0(i) m + n = n + m vaø m.(n + p) = m(ii) n.m = m.n vaø p. p -1= 1,(iii)neáu m n vaø n m, thì m =

(iv) neáu m n, p q vaø r 0, thì mvaømr nr . Neáum > n vaø r> 0, thìm(v) |m| m.

w




CHÖÔNGBOÁNSOÁ THÖÏC

Neáu chuùng ta qui hoaïch moät con ñömaøu xanh treân moät khu ñaát hình vucoù chieàu daøi moãi caïnh laø 1 km

chuùng ta neân ghi chieàu daøid cuûa conñöôøng naøy laø bao nhieâu trong döï aùnTheo ñònh lyù Pythagored 2 = 2 . Trong cachuùng ta ñaõ thaáy khoâng coù soá höõ

soá d naøy coù thöïc ngoaøi ñôøi nhöngbaèng caùc lyù luaän bình thöôøng ngoaøphaàn (soá nguyeân vaø soá höõu tæ).

1

w




Ñònh nghóa — laø moät taäp hôïp treân ñpheùp coäng (x, y) x + y vaø pheùp nhaân( x, ycaùc aùnh xaï töø — — vaøo —) vaø moätoaøn phaàn coù caùc tính chaát sau: vôùi mrong —

(R1) x + y = y + x ,(R2) x + ( y + z) = ( x+ y) + z,(R3) coù moät phaàn töû 0 trong—sao cho 0 + (R4) coù moät phaàn töû - x trong — sao cho

Trong Phuï luïc A cuûa quyeãn “Giaùo T1”, NXB Thoáng Keâ, duøng khaùi nieäm

a xaây döïng ñöôïc taäp hôïp— caùc soá thöïd caùc soá nguyeân nhö sau.

w




(R1) x + y = y + x ,(R2) x + ( y + z) = ( x+ y) + z,

(R3) coù moät phaàn töû 0 trong—sao cho 0 + (R4) coù moät phaàn töû - x trong — sao cho(R5) xy= yx,

(R6) x( yz) = ( xy) z,

(R7) coù moät phaàn töû 1 trong— sao cho

(R8) neáu x 0 coù moät phaàn töû x-1 tr

x-1

.x = 1,(R9) x( y + z) = xy+ xz,

w




Baøi toaùn 1 .Cho vaø laø hai soá thöïc x + = x vaø x + = x x

Chöùng minh = .x + = x x x + = x x

= + = + = Vaäy phaàn töû 0

Baøi toaùn 2 .Cho vaø laø hai soá thöïc. x = x vaø . x = x x .

Chöùng minh = .

. x = x x . x = x x = . = . =

Vaäy phaàn töû 1 duy nhaát w




BAØI TOAÙN 6.Cho moät soá thöïc x . Chöùn

(-1). x = - x(R4) x + (- x) = 0,

x + (-1). x = 1. x + (-1). x1. x + (-1). x = [1+ (-1)]. x = 0

Ñònh nghóa. Cho hai soá thöïc x vaø y . Ta ñ y - x = y + (- x )

w




(R10) " x § y vaø y § z " " x § z ",(R11) " x § y vaø y § x" " x = y ",

(R12) x § y hoaëc y § x,(R13) " x § y vaø z § u " " x + z § y(R14) " x § y vaø 0§ u " " x u § y u

BAØI TOAÙN 7 .Cho hai soá thöïc x vaø y . C x § y ñ 0 § y - x

x § y 0 § y - x

x § y 0 § y - x x + (- x) § y + ( - x )

0 § y - x

0 § y - x w

BAØI TOAÙN 8 .Cho hai soá thöïc x vaø y . C x § y - y § - x

(1) x § y

- y § - xx Ø - y : - y = x + ( - x - y)(1) vaø (R13) : x + ( - x - y) §

Ñònh nghóa Cho hai soá thöïc x vaø y ta shieäu sau :

x ¥ y neáu vaø chæ neáu y § x x > y neáu vaø chæ neáu y x < y neáu vaø chæ neáu y w

Ñònh nghóa Cho hai soá thöïca vaøb , saoTa ñaët [a , b ] = { x œ — : a § x § b

Ñònh nghóa Cho hai soá thöïca vaøb , saoTa ñaët

(a , b ) = { x œ — : a < x < b }

[a , b ) = { x œ — : a § x < b }

(a , b ] = { x œ — : a < x § b }(- ¶ , b ) = { x œ — : x < b }

(a , ¶ ) = { x œ — : a < x }

[a , ¶ ) = { x œ — : a § x }

(- ¶ , b ] = { x œ — : x § b }w




BAØI TOAÙN 12.Cho hai soá thöïc x vaø y . C

| x + y | § | x | + | y |° Neáu 0 § x + y : | x + y | = x + y

Baøi toaùn trôû thaønh : neáu 0§ x + y chö

x + y § | x | + | y |° Neáu x + y § 0 : | x + y | = -( x + y

Baøi toaùn trôû thaønh : neáu x + y § 0 chö

- x - y § | x | + | y |Duøng baøi toaùn 8 , baøi toaùn 9 vaø (

-x |- x| = | x| - y |- y| = | y | w




(R15) — chöùa taäp hôïp caùc soá nguye

nguyeân döôngn chính laø 1 +. . . + 1

(R16) Taäp hôïp caùc soá nguyeânŸ -n : n

chöùa trong—.

(R17) Taäp hôïp caùc soá höõu tæ – n-1m : n

chöùa trong—.

w

(R18) (Tính chaát Archimeøde) Neáu x > 0 vacoù moät soá nguyeân döôngn sao cho

y < nx . (hay n-1 y < x(R19) (Tính truø maät cuûa– vaø— \ – trong

thöïc x vaø moïi soá thöïc döông ta tì

trong – vaør vaøs trong — \ –

x - < p < x < q < x +

x - < r < x < s < x + .

w




Ñònh nghóa .Cho A laø moät taäp con khaTa noùi

A laø moät taäpbò chaën treânneáu coù moät x § x

luùc ñoù ñöôïc goïi laø moätchaën treâncu

A laø moät taäpbò chaën döôùineáu coù moät b § x luùc ñoù b ñöôïc goïi laø moätchaën döô

A laø moät taäpbò chaënneáu Alaø moät tabbò chaën döôùi

w




Thí duï 1 .Cho hai soá thöïca vaøb, sao chhaáy

(- ¶ , b ) laø moät taäp bò chaën treân(a , ¶ ) laø moät taäp bò chaën döô

[a , ¶ ) laø moät taäp bò chaën döôù

(- ¶ , b ] laø moät taäp bò chaën treâ

(a , b ) laø moät taäp bò chaën ,

[a , b ) laø moät taäp bò chaën ,(a , b ] laø moät taäp bò chaën .

w




(R20) Neáu A laø moät taäp con khaùc trrong —, luùc ñoù coù moät soá thöïcm0 sao

(i) x § m0 "

(ii) Neáu coù moätb trong — sao cho xmoïi x œ A , thì

m0 § b

Luùc ñoù ta goïim0 laøchaän treân nhkyù hieäum0 laø sup A .

w




(R21) Neáu A laø moät taäp con khaùc trrong —, luùc ñoù coù moät soá thöïck 0 sao

(i) k 0 § x

(ii) Neáu coù moätb trong — sao cho bx œ A , thì

b § k 0Luùc ñoù ta goïik 0 laøchaän döôùi lôù

kyù hieäuk 0

laø inf A .

w




Baøi toaùn 13. Cho A laø khoaûng (0,1). Csup A = 1

(i) x § m0 "

(ii) Neáu coù moätb trong — sao cho xmoïi x œ A , thì m0 § b

Luùc ñoù ta goïim0 laøchaän treân nhkyù hieäum0 laø sup A .

(i) x § 1 " x

(ii) Neáu coù moätb trong — sao cho xx œ (0 , 1) , thì 1 § b

w




Baøi toaùn 14. Cho A laø taäp hôïp{ n-1 : n minh

inf A = 0(i) k 0 § x (ii) Neáu coù moätb trong — sao cho x

moïi x œ A , thì b § k 0Luùc ñoù ta goïik 0 laøchaän döôùi lôùn nhchieäu k 0 laø inf A .

(i) 0 § x " (ii) Neáu coù moätb trong — sao cho bmoïi x œ A , thì b § 0

w

(ii) Neáu coù moätb trong — sao cho bx œ A , thì b § 0

b § n-1 " n œ

b § 0

Ñaûo ñeà : “ P Q ” ‹ “ ~ Q

$ n œ Õ n-1 0ñoù coù moät soá nguyeân döôngn sao cho

y < nx . (hay n-1 y < xw




Cho A laø moät taäp bò chaän treân tron— vÑeå chöùng minh sup A § M , ta coù

Chöùng minh x § M "Baøi toaùn 15 .Cho c laø moät soá thöïcaø moät taäp con bò chaën treân kha

ÑaëtcB

= cy

: y B

. Chöùng minhsup cB = c sup B

Ñaët A = cB vaø M = c sup B . Ta phaû

∏ sup A § M

∏ M § sup Aw




Ñaët E = cB vaø d = c-1 . Ta coù B = d

sup d E § dsup E

Ñaët A = cB vaø M = c sup B . Ta phaû M § sup A

cB = cy : y B . Chöùng minh sup

Ta phaûi chöùng minhc sup B§ sup cB

Ta ñaõ chöùng minhsup cB§ c sup B

w




Baøi toaùn 16. Cho A laø moät taäp khareân trong— vaøc = sup A. Cho laø mo

Chöùng minhc -

khoâng laø moät chaë(i) x § m0 "

(ii) Neáu coù moätb trong — sao cho x

moïi x œ A , thì m0 § bLuùc ñoùm0 = sup A .

(i) x § c "

(ii) Neáu coù moätb trong — sao cho xmoïi x œ A , thì c § b

neáu c - laø moät chaën treân cuûa A : c cw




Baøi toaùn 17. Cho A laø moät taäp khareân trong— vaøc laø moät chaën treân cu A. G

soá thöïc döông

ta coù moät x A sao cChöùng minh c = sup A

(i) x § m0 " x(ii) Neáu coù moätb trong — sao cho xmoïi x œ A , thì m0 § b

Luùc ñoùm0 = sup A .

(i) x § c "

(ii) Neáu coù moätb trong — sao cho xmoïi x œ A , thì c § b

w

(ii) Neáub laø moät chaën treân cuûa A , thì

b laø moät chaën treân cuûa Ac § b

Ñaûo ñeà : “ P

Q ” ‹ “ ~ Q

b < c b khoâng laø moät chaë

b < c Tìm moät x œ A sao

w

" > 0 ta coù moät x A sao cho c

b < c Tìm moät x œ A sao cho b

b khoâng coøn laø moät chaën treân cuû A

b c-

2

12 ( )c b

w




DAÕY VAØ CHUOÃICHÖÔNG NAÊM

Ñeå xaây döïng moät raøo ngaên khaùngiaû traøn vaøo saân thi ñaáu boùng ñaù,a caàn tính chu vi p cuûa moät hình

nhö beân caïnh. Hình naøy goàm haicung troøn vaø hai ñoaïn thaúng, moãicung laø moät phaàn tö cuûa moätñöôøng troøn coù baùn kính 60 meùt.

60a

Duøng caùc coâng thöùc ñôn giaûn ta tín(60 120 2) meùt p

w




Neáu baïn hoïc toaùn ñeå ñaït huy chöônhöùc treân quaù toát. Nhöng khi ñöa vaø

höïc teá, chuùng ta phaûi duøng moät tronhö sau p= 60 3,14 + 120 1,41 ; p = 60 3,141 + 120 1,414 ;

p = 60 3,1416 + 120 1,4142Nhö vaäy trong thöïc teá, moät soá soá thheá baèng caùc giaù trò xaáp xó cuûa chuThí duï , ngöôøi thöôøng ñoàng nhaát vôùi m

{3,14; 3,141; 3,1416}, vaø vôùi mo{1,41; 1,414; 1,4142}

2

w




Ñònh nghóa .Cho f laø moät aùnh xaï Õ

an = f (n) vôùi moïin Õ , ta noùi an laø m

Thí duï 1. { sin(n3 + 2n)} la ømoät daõy

Thí duï 2. Ñaëta1 = 3,14, a2 = 3,141,a3 = 3

a4 = 3,14159 ,a5 = 3,141592 ,a6 = 3,14159

a7= 3,14159265 , a

8= 3,141592653 ,a

9=

. . . Ñaây laø daõy soá giuùp chuùng tañuùng cuûa soá p theo caùc sai soá cho pheùoaùn cuï theå .

Nay ta xem caùch moâ hình yù töôûng trhoïc .

w

Ñònh nghóa .Cho { xn } laø moät daõy sohöïc a.

Ta noùi daõy{ xn } hoäi tuï veàa neáu va

> 0 N( ) Õ

sao cho| xn - a | < n >

a

x

a- a+

x x x x x x3 5 N( )+m N( )+1 N( )+k1

Ta xem moâ hình toaùn hoïc cuûa yù töôhöïca vôùi moät daõy caùc giaù tri xaáp x

w

Cho moät > 0 tìm moät N() Õ sa| xn - a | < n > N( )

Cho moät > 0 tìm moät N() Õ sa| n-1 - 0 | < n > N( )

Cho moät > 0 tìm moät N() Õ saon-1 < n > N( )

Cho moät > 0 tìm moät N() Õ sao-1 < n n > N( )

0-

1

4 N k ( )+

1

N ( )+1

1

w

Cho moät > 0 tìm moät N() Õ sao-1 < n n > N(

(R18) (Tính chaát Archimeøde) Neáu x > 0ñoù coù moät soá nguyeân döông N sao cho

y < Nx . (hay N -1 y <

y = -1 vaø x =1Coù moät soá nguyeân döông N ( ) : -1 < N (

Cho moät > 0 coù N() Õ sao cho-1 < n n > N( )

-1 < N ( ) .1 < n n

w

Baøi toaùn 19.Cho { xn } laø moät daõy smoät soá thöïc döôngC ñeå cho

| xn |§

n-1

C n

Chöùng minh{ xn } hoäi tuï veà 0 .Cho moät > 0 tìm moät N() Õ sao

| xn - 0 | < n > N( )Cho moät > 0 tìm moät N() Õ sao

| xn | < n > N( )Cho moät > 0 tìm moät N() Õ sao

n-1C < n > N( )Cho moät > 0 tìm moät N() Õ sao

-1C < n n > N( )w




Baøi toaùn 20.Chöùng minh {2-n} hoäi tuï v

Chöùng minh coù moät soá thöïcC sao cho

| xn | § n-1 n Õ

Pn : n § 2 n n Õ ( 2-n § n-1 ; 2-k

P1 : 1 § 2 1 = 2 ñuùng

Pn ñuùng : n § 2n

Pn+1 : n +1 § 2 n+1

n +1 = (n ) + 1 § 2 n + 1 § 2 n + 2 n §

Chuùng ta moâ hình toaùn hoïc nhö sau xn = 2-n n Õ .

Chöùng minh { xn } hoäi tuï veà0 .

w

’>0, M

| xn - a | § ’

> 0 N( ) Õ sao cho

xn - a | < n > N( )?

> 0 N( ) Õ sao cho

xn - a | < n > N( )

> 0 N

| xn- a| §

?

’>0 M

| xn - a | § ’

> 0 N( ) Õ sao cho

xn - a | < n > N( )

’>0 M

| xn - a | § ’

> 0 N( ) Õ sao cho

xn - a | < n > N( ) w

’>0 M

| xn - a | §

> 0 N( ) Õ sao cho

xn - a | < n > N( ) Cho moät ’ > 0 ta coù moät M(’) Õ

| xn - a | § ’

Cho moät > 0 tìm N( ) Õ sao ch

| xn - a | < n

w

Cho moät ’ > 0 ta coù moät M(’) Õ

| xn - a | § ’

Cho moät > 0 tìm N( ) Õ sao c

| xn - a | <

Cho , ñaët ’ = , ta coù M(’) , ñaët

N( ) = M( ’) = M( )

12

12

< 1

2

Cho moät > 0 tìm N( ) Õ sao c

| xn - a | n >12

w

> 0 N( ) Õ sao cho

xn - a | < n > N( )

> 0 N

| xn- a| < ?

> 0 N( ) Õ sao choxn - a | < n > N( )

> 0 N| xn- a| §

?

’>0 M

| xn - a | <

> 0 N( ) Õ sao cho

xn - a | < n > N( )?

n > N( ) n N( ) + 1

Baøi taäp töï laøm

w




Ñònh nghóa. Cho g laø moät aùnh xaïnguyeân döông Õ vaøo Õ . Ñaët

nk = g(k) k Õ .Ta duøng{ nk } thay cho{ xn } vì ta thöôsoá nguyeân döông laøn

g(k ) = 12 k Õ nk = 12

g(k ) = k 2 - 8k +100 k Õ nk = k 2 -8k +

g(k ) = 3k k Õ nk = 3k

g(k ) = k k Õ nk = k k

w




g

f go

Cho g laø moätaùnh xaï töøÕ vaøoÕ vaø f laø moätaùnh xaï töø Õ vaøo—. Ñaët

xn = f(n) n œ Õ

bk

= fog(k) k œ Õ

Ta thaáy fog cuõng laø moät aùnh xaï tö Õ vVaäy { xn} vaø { bk } laø caùc daõy so

w

Cho { xn } laø moät daõy soá thöïc vTa noùi daõy{ xn } hoäi tuï veàa neáu v

> 0 N( ) Õ sao cho| xn - a | < n > N

Cho g laø moät aùnh xaï töøÕ vaøo Õ vaø föø Õ vaøo—. Ñaët

xn = f(n) n œ Õ .

bk = fog(k) k œ Õ .

bk = k œ Õ xg k ( )

k § g(k) k œ Õw




Ta noùi { bk } laømoät daõy con cuûa{ xn} neáu gaêng nghieâm

caùch. Luùc ñoù takyù hieäu

bk =k

n x

( bn = fog(n) = bn = f (g(n

Neáug taêngnghieâm caùch thì

k§

g(k) k œ Õ

g

f go

w




Neáug(n) = 5n+3 ta kyù hieäu la k

n x

Neáug(n) = 2n ta kyù hieäu laø x2nk n x

Neáug(n) = 2n+1 ta kyù hieäuk

n x

w

Baøi toaùn 21. Cho moät daõy soá thöïc{ an}.ba ñieàu sau ñaây töông ñöông

(1) { an} hoäi tuï veàa trong — .(2) { an - a } hoäi tuï veà0 trong — .(3) {| an - a |} hoäi tuï veà0 trong — .

> 0 N( ) Õ sao cho| xn - a | < n > N

’ > 0 M( ’) Õ sao cho

| ( xm - a ) - 0 | < m ” > 0 K( ”) Õ sao cho

| | xk - a | - 0 | < k w

> 0 N( ) Õ sao cho| xn - a | < n > N

’ > 0 M( ’) Õ sao cho| ( xm - a ) - 0 | < m

” > 0 K( ”) Õ sao cho| | x

k - a | - 0 | < k

> 0 N( ) Õ sao cho| xn - a | < n > N

’ > 0 M( ’) Õ sao cho| ( xm - a ) | = | xm - a | < m ” > 0 K( ”) Õ sao cho| | xk - a | | = | xk - a | < kw




Ñeå tính chuùng ta thöôøng las= 3,14 + 1,41 hoaëc

s = 3,141 + 1,414 hoaëcs = 3,1416 + 1,4142 . . .

2s

Ñaëta1 = 3,14, a2 = 3,141,a3 = 3,1415 ,a4a5 = 3,141592 ,a6 = 3,1415926 ,a7 = 3,141a8 = 3,141592653 ,a9 = 3,1415926535 , . b1 = 1.41, b2 = 1.414,b3 = 1.4142 ,b4 = 1.4b5 = 1.414213 ,b6 = 1.4142135 ,b7 = 1.414b8 = 1.414213562 ,b9 = 1.4142135623 , .

Ta thöû moâ hình toaùn hoïc cho vieäc lanhö sau.

w




Ta thaáy caùc daõy soá {an} vaø {bn} laàn löôïsoá xaáp xó vaø , hay {an} vaø {bn} laàn lö2

Nay ta ñaëts1 = a1+ b1 ,s2 = a2 + b2 ,s3 = a3 + b3 ,s4 = a4 + b4 ,s5 = a5 + b5 ,. . .

Theo caùch laøm thoâng thöôøng, chuùndaõy soá thöïc xaáp xó cho soáminh vieäc chaáp nhaän naøy laø ñuùng t

2s

w

Baøi toaùn 22. Cho hai soá thöïca vaøbhöïc{ an} vaø{ bn} . Giaû söû{ an} hoäi tuï

hoäi tuï veàb . Ñaëtc = a +b vaøcn = an + bnguyeân döôngn . Chöùng minh{ cn} hoäi tCho moät > 0 ta coù N() Õ sao ch

| an - a | < n > N( )Cho moät ’ > 0 ta coù M(’) Õ sao c

| bm - a | < ’ m > M( ’)Cho moät ” > 0 tìm K( ”) Õ sao c

| ck - c | < ” k > K( ”)Cho moät ” > 0 tìm K( ”) Õ sao c

| (ak + bk ) - ( a +b )| < ” k >w

Cho moät > 0 ta coù N() Õ sao c

| an - a | < n > N( )

Cho moät ’ > 0 ta coù M(’) Õ sao

| bm - b | < ’ m > M( ’)Cho moät ” > 0 tìm K( ”) Õ sao

| (ak + bk ) - ( a +b )| < ” k >

(ak + bk ) - ( a +b ) = (ak - a) + ( bk -b

(ak + bk ) -( a +b )| § | ak - a | + | bk - b(ak + bk ) -( a+b )| < + ’ k > N( ) v(ak + bk ) -( a+b )| < + ’ k > max { Nw

Cho moät ” > 0 tìm K( ”) Õ sao

| (ak + bk ) - ( a +b )| < ” k >

(ak + bk ) -( a+b )| < + ’ k > max {

Cho moät ” > 0 , choïn= ’ = ”1

2vaø K(”) = max { N

w

Baøi toaùn 23. Cho hai soá thöïca vaøbhöïc{ an} vaø{ bn} . Giaû söû{ an} hoäi tuï

hoäi tuï veàb . Ñaët c = a.b vaøcn = an.bnguyeân döôngn . Chöùng minh{ cn} hoäi tCho moät > 0 ta coù N() Õ sao ch

| an - a | < n > N( )Cho moät ’ > 0 ta coù M(’) Õ sao c

| bm - a | < ’ m > M( ’)Cho moät ” > 0 tìm K( ”) Õ sao c

| ck - c | < ” k > K( ”)Cho moät ” > 0 tìm K( ”) Õ sao c

| ak .bk – a.b | < ” k > K( ”)w

Cho moät > 0 ta coù N() Õ sao c| an - a | < n > N( )

Cho moät ’ > 0 ta coù M(’) Õ sao| bm - b | < ’ m > M( ’)


| ak .bk - a.b | < ” k > K( ”)ak .bk - a.b = (ak - a)bk + a(bk -b )ak .bk - a.b| § | ak - a ||bk | + |a|| bk - b |

ak .bk – a.b| < |bk |+ |a| ’ k > N( ) vaXöû lyù |bk | |bk | | bk -b| + |b| < ’ + |b| k

ak .bk – a.b| < ’ + |b| + |a| ’ k > N( )w

Cho moät ’ > 0 ta coù M(’) Õ sao| bm - b | < ’ m > M( ’)


| ak .bk - a.b | < ” k > K( ”)

|ak .bk – a.b| < ” k > K( ”) = m

Giaûi phöông trình x2 + (|b| + |a|) x = ”

2(| | | |) 4 " | | |Ñaët '2

a b a b x

ak .bk – a.b| < ’ + |b| + |a| ’ k > N( )

w

Cho > 0, coù N() Õ sao cho | an - a| <Cho ’ > 0, tìm M( ’) Õ sao cho | cm - a-1| >M( ’)

Baøi toaùn 23b. Cho soá thöïca khaùc khöïc{ an} sao cho an khaùc khoâng vô

{ an} hoäi tuï veàa. Ñaët vôùidöôngn . Chöùng minh{ cn} hoäi tuï veàa-1 .

1

n nc a

1 1 1 mm

m m

a ac aa a a a

Xöû lyù 1ma a

0 |a |m

|a|2 =|a|-

Coù N() Õ sao cho | an - a| < n

an| |a| - | a - an | >a| - = 2-1|a|

n > N( )w

Baøi toaùn 24. Cho moät soá thöïca vaø{ an} , { bn} vaø{ xn} . Giaû söû

(i) an § xn § bn vôùi moïi soá nguyeân(ii) { an} vaø{ bn} hoäi tuï veàa .Chöùng minh{ xn} hoäi tuï veàa .


Cho moät ’ > 0 ta coù M(’) Õ sao

| bm - a | < ’ m > M( ’)Cho moät ” > 0 tìm K( ”) Õ sao

| xn - a | < ” k > K( ”) w

Cho moät ’ > 0 ta coù M(’) Õ sao| bm - a | < ’ m > M( ’)


| xk - a | < ” k > K(xk - a| = |x k - ak + a k - a | § | xk - a(i) ak § xk § bk | xk - ak | § | bk

an xn bn

xk - a| < ’ + 2 k > N( )

xk - a| § | bk - ak | + | ak - a | § | bk - a | + | ak

w




Baøi toaùn 26. Cho hai daõy soá thöïc{ an} va[an , bn ] Õ [am , bm ] " m , n œ

Chöùng minh sup inf n na bn

n

Baøi toaùn 25. Cho hai taäp con khaùc tro A—. Giaû söû x § y " x œ A , "

Chöùng minh sup A § inf BChöùng minh x § inf B

" x œ A , chöùng minh x § y

Chöùng minh an § bm

w




Chöùng minh an § bm "

[an , bn ] Õ [am , bm ] " m , n

[as , bs ] Õ [ar , br ] " r , ∏ m § n : r = m vaøs = n [an , bn

an œ [an , bn ] an œ [am , bm ] . Va

∏ n § m : r = n vaøs = m [am , bm ]

bm œ [am , bm ] bm œ [an , bn ] . Va

abm na n

a bma mn

w




Baøi toaùn 27. Cho hai daõy soá thöïc{ an} va[an , bn ] Õ [am , bm ] " m , n œ

Chöùng minh[ sup , inf ]n na bnn k

?[ sup , inf ] [n n kx a b x a

nn

?sup inf n n ka x b a x

nn

Chöùng minh[ sup , inf ] [ , ]n n k ka b a b

nn

w

Baøi toaùn 28. Cho hai daõy soá thöïc{ an} va(i) [an , bn ] Õ [am , bm ] " m , n œ

(ii) limkØ¶ ( bk - ak ) = 0 .Chöùng minh sup na

n

0 § inf m œ Ù bm - supn œ Ù an § bk - ak

Cho moät > 0 ta coù N() Õ sao c

| bn - an - 0 | < n > N( )0 § inf m œ Ù bm - supn œ Ù an § Neáu 0 < inf m œ Ù bm - supn œ Ù an , ñaët i

m

a n bn

sup ak k infk b k

w

Baøi toaùn 29. Cho hai daõy soá thöïc{ an} va(i) [an , bn ] Õ [am , bm ] " m , n œ Ù

(ii) limkØ¶ ( bk - ak ) = 0Chöùng minh limkØ¶ ak = limkØ¶ bk = s

a n

b nsup a

k k infk b k

Cho moät > 0 ta coù N() Õ sao c| bn - an - 0 | < n > N( )

Cho moät ’ > 0 tìm M( ’) Õ sao c| an - supn œ Ù an | < ’ n > M| an - sup n œ Ù an | < | bn - an | <

w




Baøi toaùn 30. Cho ba daõy soá thöïc{ an}, {cho

(i) [an , bn ] Õ [am , bm ] " m , n œ(ii) limkØ¶ ( bk - ak ) = 0 ,(iii) xn [an , bn ] " n œ Ù .Chöùng minh { x

n} laø moät daõy hoäi tuï.

limkØ¶ ak = limkØ¶ bk = supn œ Ù an (an xn bn " n œ Ù .

n xn bn

supn

a n

w




Cho { xn} laø moät daõy soá thöïc. Ch J rong Õ vaø J coù voâ haïn phaàn töû .

Duøng qui naïp toaùn hoïc ta ñaëtn1 = min J

n2 = min J \ [ 0 , n1]

n3 = min J \ [0 , n2]nk+1 = min J \ [0 , nk ] " k œ Õ

Ta thaáy { nk } laø moät daõy ñôn ñieäu

Vaäy laø moät daõy con cuûa da xn}}{k n x

w




Baøi toaùn 31.Cho moät aùnh xaï f töø vaøoÑaët xn = f (n) vôùi moïi soá nguyeân döônn. Tcon cuûa { xn} sao cho hoäi{ }nk

x { }nk x

Ñaët I m = {n : xn = m} vôùi moïim {1

1 2 9I I

Coùr {1,2, . . , 9} sao cho I r laø taäp coùÑaët J = I r vaø laäp daõy töông ö{ }nk

x

Vì nk J = I r , vôùi moïi soá

Cho > 0 , ta thaáy :nk

x r | | 0nk x r

im nk x r

w




Cho { xn} laø moät daõy soá thöïc. C{ Jñeám ñöôïc caùc taäp con trong Õ . Giaû s

phaàn töû vaø J n+1Õ

J n vôùi moïi soá nguy

Ta thaáy { nk } laø moät daõy ñôn ñieäuVaäy laø moät daõy con cuûa daõy xn}}{

k n x

Duøng qui naïp toaùn hoïc ta ñaët

n1 = min J 1

n2 = min J 2 \ [ 0 , n1]

n3 = min J 3 \ [0 , n2]

nk+1

= min J k+1

\ [0 , nk ] " k œ Õ

w




Ñònh lyù 6.1 (Bolzano- Weierstrass)Chohöïc vaø xn laø moät daõy soá thöïc. Gia

xn [a,b] vôùi moïi soá nguyeân n. Luùc ño

cuûa daõy xn sao cho hoäi tuï{ } xnk

}xnk

w




Ñònh lyù (Bolzano- Weierstrass)Cho ahöïc vaø xn laø moät daõy soá thöïc. Gia

xn [a, b] vôùi moïi soá nguyeân n Õ .daõy con cuûa daõy xn sao chorong [a, b].

{ xnk

{ } xnk

’ = { n :1x }n J” = n1

Vì J’1 J” 1 = . Neân moät trong hai ta Jcoù voâ haïn phaàn töû. Ta giaû söû J’2 coù voâ hÑaët [ , ]= , ta coùa b1 1 [ , ] [ , ] vaø (a b a b b1 1

w




Vì J’2 J” 2 = J” 1 . Neân moät trong haiphaûi coù voâ haïn phaàn töû. Ta giaû sö J” 2 coùVaø ñaët J 2 = J” 2 .

J =” { n 2=’ { n J’ :2 x }n1

Ñaët [ , ] =a b2 2

Ta coù : J 2 J 1 , [a2 ,b2] [a1 ,b1] , vaø (b2 -

’ = { n :1 x }n J” = { n1

w




Vì J’4 J” 4 = J” 3 . Neân moät trong haiphaûi coù voâ haïn phaàn töû. Ta giaû sö J’4 coù vVaø ñaët J 4 = J’4 .

Ta coù : J 4 J 3 J 2 J 1 ,[a4 ,b4] [a3 ,b3] [a2 ,b2] [a1 ,b(b4 – a4) = 2-4 (b- a)

J =3” { n J=3’ { n J 2” : n =4’ { n J 3” : xn J =

4” {n J

Ñaët [ , ] =a b4 4

w

xn [a, b] vôùi moïi soá nguyeân n Õ .daõy con cuûa daõy xn sao cho

rong [a, b].

{ }k n x {

kn x

Duøng qui naïp toaùn hoïc, ta tìm ñöôïc can , . . . , b1 , . . . , bn , . . . sao cho an < bn

[a,b] [a1 ,b1] [a2 ,b2] . . . [an ,b

(bn – an) = 2-n (b- a) n ,Neáu ñaët J n = {n : xn [an ,bn] }, thphaàn töû vaø J 1 J 2 J 3 . . . J n . . Luùc ñoùlim lim sup{ : }n n n

n na b x a n

Choïn daõy con cuûa { xn}sao chonk Ta coù . Vaäy

{ }k n x

k k n k a x b limk nk

x xw

Cho moät > 0 ta coù N( ) Õ sao c| xn - a | < n > N( )

Cho moät ’ > 0 tìm M( ’) Õ sao c| xn - xm | < ’ n > m > M( ’

xn - xm | § | xn - a + a - xm | § | xn - a

xn - xm | < + n , m > N(

+ V ’ M( ’) V N( )

xn - xm | § | xn - a | + | a - xm |< + = ’ n > m > M(

Cho moät ’ > 0 , ta choïn = ’ vaø12

w

Baøi toaùn 34.Cho { xn} laø moät daõy soaø moät soá thöïc. Giaû söû{ xn} coù moät da

veàa. Chöùng minh{ xn } hoäi tuï veàa.Cho moät > 0 ta coù N() Õ sao c

| xn - xm | < n > m > N(

Cho moät ” > 0 tìm M( ”) Õ sao ch| xn - a | < ” n > M( ”)

Cho moät ’ > 0 ta coù K(’) Õ sao ch

| - a | < ’ k > K( xnk

w

| xm - a | < + | - a | m ¥ N xnm

Cho moät > 0 ta coù N() Õ sao c| xn - xm | < n ¥ m ¥ N(

Cho moät ” > 0 tìm M( ”) Õ sao ch

| xm - a | < ” m > M( ”)

Cho moät ’ > 0 ta coù K(’) Õ sao ch| - a | < ’ k > K( xn

k

xm- a | § | xm - xn | + | xn - a| < + | xn - a |

| xm - a | < + ’ m ¥ N( ), m > KCho moät ” > 0 . Ñaët

= ’ = ”/ 2 vaø M(”) = max {w




Baøi toaùn 35.Cho { xn } laø moät daõy soáChöùng minh{ xn } hoäi tuï.

Coù moät soá thöïc döông M sao cho| xn | § M

Coù moät soá thöïc döông M sao cho

xn [- M , M]

{ xn } hoäi tuï veàa.

{ xn } coù moät daõy con hoäi tuïa.{ } xnk

w

Baøi toaùn 36.Cho n laø moät soá nguyeânxn = (2!)- 1 + (4!)- 1 + (6!)- 1 + . . . + (2n!)-

Chöùng minh{ xn } hoäi tuï .

xn - xm=[(2!)- 1+ . . . + (2m!)-1 + (2(m+1)!)-1

- [(2!)- 1

+ . . . +(2m!)-1

] = (2(m+1)!

Chöùng minh{ xn } laø moät daõy Cauch

Cho moät > 0 tìm N( ) Õ sao c| xn - xm | < n > m > N( )

| xn - xm | § 2-m -1 + . . . + 2-n + . . . + §

Cho moät > 0 tìmN( ) Õ sao cho 2-m < w




n[1]:= N[Sum[1/((2*i)!), {i, 1, 11}]]

Out[1]= 0.543081

n[2]:= N[Sum[1/((2*i)!), {i,1,

Out[2]= 0.543081

n[4]:= N[Sum[1/((2*i)!),{i,1,

Out[4]=0.54308063481524377847790562075706168260152911236586370473740

221471076906304922369896426472643554303558704685860442352756503219469470958629076

w




n[4]:= N[Sum[1/((2*i)!),{i,1,Infiniy}], 25]

Out[4]=0.5430806348152437784779056n[2]:= Sum[1/((2*i)!),{i, 1,

Out[2]={(Sqrt[2/ p ]-2 E Sqrt[2/E 2 Sqrt[2/ p ]) Sqrt[ p /2]}/(2E)

n[3]:=Simplify[(Sqrt[2/ p ]2E Sqrt[2/ p ]+E 2 Sqrt[2/ p ])Sqrt[ p /2]}/(2E)]

Out[3]=[ 2(-1 + E)]/ 2E

w

Baøi toaùn 37.Cho an laø moät daõyaêng vaø bò chaën treân. Ñaët A = an : n

Luùc ñoù an seõ hoäi tuï veà a= sup A

Cho moät > 0 tìm N( ) Õ sao ch

| an - a | < n > N( )

am § an " m , n œ Õ , m § n a

Cho moät > 0 tìm N( ) Õ sao ch0 § a - an < n > N( )

Cho moät > 0 tìm N( ) Õ sao cha - < an n > N( )

a 3

aa-a 21 a 4

a 5 a k a k+1w

Giaû söû am § a - "

a - laø moät chaän treân

a 3aa-a 2a 1 a n

am § an " m , n œ Õ , m § n a

Cho moät > 0 tìm N( ) Õ sao cha - < an n > N( )

Cho moät > 0 tìm N( ) Õ sao cha - < a N( ) § an n > N(

a 3aa-a 21 a 4

a 5 a N ( ) a n

w




Baøi toaùn 38.Cho an laø moät daõyaêng vaø khoâng bò chaën treân. Luùc ño

uï veà ¶

am § an " m , n œ Õ , m" M œ — ta coù moätn œ Õ sao cho an " M > 0 ta tìm moät N œ Õ sao cho am M

Baøi toaùn 39.Cho an laø moät daõygiaõm vaø bò chaën döôùi. Ñaët A = an : nLuùc ñoù an seõ hoäi tuï veà a= inf A

Baøi toaùn 40.Cho an laø moät daõygiaõm vaø khoâng bò chaën döôùi. Luùc ñouï veà -¶ . w




Cho moät daõy soá thöïc an . Ñaët An = am : m n

A1 An Am " m , n œ Õ , n m

limsup

ª Neáu A1 khoâng bò chaën treân . Ñaë

nlimsup na

w




Cho moät daõy soá thöïc an . Ñaët

An = am : m n

A1 An Am " m , n œ Õ , n m

ª Neáu A1 bò chaën treân . Ñaët

bm = sup Am

b1 bm bn " m , n œ Õ ,

Neáu {bn } khoâng bò chaën döôùi

nlimsup na

w





An = am : m n

A1 Am An " m , n œ Õ , n m

ª Neáu A1 bò chaën treân . Ñaët

bm = sup Am

b1 bm bn " m , n œ Õ , n

Neáu {bn } bò chaën döôùi , ñaët

n n mlimsup lim ( lim ( supn n n n

a b

w




Cho an = (-1)nn vôùi moïin Õ .

An = am : m n = (-1)mm : m

A1 khoâng bò chaën treân n

limsup na

Cho an = - n vôùi moïin Õ .An = am : m n = - m : m n

A1 bò chaën treânbn = sup An = sup - k : k n = - n

{bn } = {-m : m Õ } khoâng bò chaën d

nlimsup na

An = (-1)mm : m n { 2k : k Õ , k

w




Cho an = (- 1)n vôùi moïin Õ .An = am : m n = (- 1)m : m

A1 bò chaën treânbm = sup Am = sup 1,-1 = 1

{bn } bò chaën döôùi n

limsup limn na

Ta thaáy am } khoâng hoäi tuï nhöng vaãn

nlim

w




Cho moät daõy soá thöïc an . Ñaët An = ak : k n

A1 Am An " m , n œ Õ , nª Neáu A1 bò chaën döôùi . Ñaët

cm = inf Am

c1 cm cn " m , n œ Õ , n m

Neáu {cn } khoâng bò chaën treân ,

nliminf na

cm ak k m n m : cm ak k

w





Ak = ak : m n

A1 Am An " m , n œ Õ , n

ª Neáu A1 bò chaën döôùi . Ñaët

cm = inf Am

c1 cm cn " m , n œ Õ , n

Neáu {cn } bò chaën treân , ñaët

n nliminf lim ( lim ( inn n n n

a c

w




A1 = (-1)mm : m 1 {- 2k – 1 : k

A1 khoâng bò chaën döôùi n

liminf na

Cho an = n vôùi moïin Õ .An = am : m n = m : m n A1 bò chaën döôùi

cn = inf An = inf k : k n = n{cn } = khoâng bò chaën treân

n

lim

Cho an = (-1)nn vôùi moïin Õ .

An = am : m n = (-1)mm : m n

w




Cho an = (- 1)n vôùi moïin Õ .

An = am : m n = (- 1)m : m n

A1 bò chaën döôùi

cm = inf Am = inf -1, 1 = - 1

{cn } bò chaën treân n

liminf limn nna c

Ta thaáy am } khoâng hoäi tuï nhöng vaãn

. Maët khaùcniminf 1na nlimsup na

nlimsup n a Trong tröôøng hôïp naøy

w




Baøi toaùn 41.Cho moät daõy soá thöïc an . vaø ñeàu laø caùc so

nimsup na

nliminf na

nnlimsup liminf n na a

Am = ak : k m

bm = sup Am cm = inf Am

bm am cm

m mlim limm mb c

nnlimsup liminf n na a

w




Baøi toaùn 42.Cho moät daõy soá thöïc an .vaø ñeàu laø caùc so

Chöùng minhan hoäi tuï vaøn

limsup nan

iminf na

n nlim = limsun a

Am = ak : k m

bm = sup Am cm = inf Am cm am im limsupm nm n

b a

l im lim in f m nm nc a

imsup liminf

n nn n

a a

a

limsn

cn

w




Am = an : n m bm = sup Am cm =

imsup limn mmn a b l im in f limn n ma

Baøi toaùn 43.Cho moät daõy soá thö aChöùng minh

nn

limsup = liminf n na a a

> 0, N( ) Õ sao cho |an – a |

an – a | - an – a a - a> 0, N( ) : a - an a+ n

> 0, N( ) : a - cm bm a+ > 0, N( ) Õ sao cho |cm – a | > 0, N( ) Õ sao cho |bn – a | w




Am = an : n m bm = sup Am cm =imsup limn m

mn

a b l im in f limn n m

a

Cho moät daõy soá thöïc an hoäi tuï veàa. C

nn

limsup = liminf n na a a

> 0, N( ) Õ sao cho |an – a |

> 0, N( ) : a - cm bm a+

> 0, N( ) Õ sao cho |cm – a | > 0, N( ) Õ sao cho |bn – a |

aa- a+

bmcm

w

Baøi toaùn 44.Cho A laø moät taäp khaùcrong . Ñaët B = {- x : x A }. Chöùng m

döôùi vaø sup A = - inf B

sup A - inf B ?

sup A - inf B ?

sup A - inf B ?x - inf B x A

- x inf B x A y= - x inf BB = {- x : x A }. y inf B y B

sup A < - inf B ?

> 0 : sup A + < - inf B

sup A - inf B ?

sup A sup + A -inf B

w

> 0 : sup A + < - inf B > 0 : sup A < - - inf B

x < - - inf B x A- x > + inf B x B = {- x : x A }.

y = - x > + inf B x A

y > + inf B y B

+ inf B laø moät chaën döôùi cuûa B

Baøi toaùn 45.Cho A laø moät taäp khaùc rrong . Ñaët B = {- x : x A }. Chöùng mireân vaø inf A = - sup B

w




Baøi toaùn 46 .Cho moät daõy soá thöïc ann Õ . Chöùng minh

nnlimsup limin a

Am = an : n m

d m = sup Am t m = inf Bm

Bm = bn= -a

t m = -sup A

nimsup limn mma d nliminf limn mmb t

Baøi toaùn 47.Cho moät daõy soá thöïc ann Õ . Chöùng minh

n nliminf limsun a

w




Cho x m laø moät daõy soá thöïc. Vôùia ñaët

sn = x1 + . . . + xn = .Ta goïi sn laøtoång rieâng phaàn thöùn c

xii

n

1

É Neáu daõy soá thöïc sn hoäi tuï veà moä

heå cois nhö laø “toång soá” cuûa caùc soLuùc ñoù ta goïis laøchuoãi soá cuûa caù

xm vaø kyù hieäus laø vaø noùichuoãi s xnn 1

É Neáu daõy soá thöïc sn phaân kyø , taphaân kyø. xn

n 1 w




Baøi toaùn 48.Chöùng minh chuoãi

= 1 .

21

m

m

21

mm

sn = 2-1( 1+ . . . + 2-n+1) = 1- 2-n " n œ Õ (qu

Ñaët xm = 2-m " m œ Õ vaøsn = 2-1 + . . .

im 2 0n lim 1nnc

w

GIAI TICH 1 - CHUONG 5 a kk 1

Ñònh lyù(Tieâu chuaån Cauchy). Cho asoá thöïc. Luùc ñoù chuoãi soá hvôùi moïi soá thöïc > 0, coù moät soá nguyecho

a k k 1

| | (n

k k m

a n m N

1

r

r k k

s a r n

n m k k m

s s a

Cho > 0, coù moät soá nguyeân döông N ( )

|sn – sm | < n m N ( ) .

{sn} Cauchy {sn} hoäi tuïw




Ñònh lyù. Cho va ø laø hhoäi tuï. Luùc ñoù hoäi tuï v

a k k 1 bk k 1

( )a bk k k 1

1 1( )k k k k k k a b a

Ñaët

1

1

1( )

n

n k k

n

n k k

n

n k k k

u a

v b

s a b

sn = un + vn

1

1

1

lim

lim

lim ( )

n k nk

n k n k

n k k nk

u a

v b

s a b

limn

s

w




Ñònh lyù(Tieâu chuaån caên soá )Cho mbn . Giaû söû coù moät soá thöïc döô

soá nguyeân N sao cho c nLuùc ñoù hoäi tuï.

| |/

bn

n1

bk k 1

Ñaët an = cn n N

bn | an n N hoäi tuïbk k 1

w




Qui naïp toaùn hoïc : |an | cn-N | a N |

Ñaëtbn = cn-N | a N |

Ñònh lyù (Tieâu chuaån tæ soá )Cho moät dkhoâng an , moät soá thöïc döông c (0,nguyeân N . Giaû söû

Luùc ñoù hoäi tuïa nn 1

1| |n

n

a ca

w




Ñònh lyù (Tieâu chuaån Leibnitz)Cho man sao cho | an| laø moät daõy ñôn ñ

0 vaø

am . am+1 0

Luùc ñoù hoäi tuï.1

nn

a

w




Ñònh lyù (Tieâu chuaån tích phaân)Cho man sao cho coù moät soá nguyeân N vaø

ñôn ñieäu giaûm töø [ N , ) vaøo [0, ) sao ch

an = f (n) " n N .

Luùc ñoù chuoãi soá thöïc hoa nn 1

( ) N

f t dt

w



H AØ M S OÁ L I EÂCHÖÔNG SAÙU

Chuùng ta ñaõ bieát neáu {an} laø moät daõyyù thuyeát veà daõy soá chuùng ta coù

a2 . Nay chuùng ta ñaët f (t ) = t 2 vôùi moïi sheå dieån taû vieäc treân nhö laø “coù t

{f (an)} ñeå xaáp xæ f (a)”.

Chuùng ta seõ xeùt moät moâ hình toacoù tính chaát sau: neáu {an} laø moät daõy{f (an)} laø moät daõy hoäi tuï veà f (a). Ñoù laøieân tuïc.

w

Vôùi moïi soá döông ta tìm ñöôïc moät socho | f ( x) - f ( y) | < y A vôùi | y - x | <

x

x f

f(x)-

x y

(x, )

f(x)- x+ (x, ) x- (x, )

w

Baøi toaùn 51.Choc laø moät soá thöïc va moïi x — . Chöùng minh f lieân tuïc treâ—

x — , " e > 0 $ d ( x, e ) > 0 sao cho| f ( y ) - f ( x ) | <e " y — , | y

Chöùng minh f lieân tuïc taïi moïi x trong —

Cho x — vaø cho e > 0 , tìm $ d( x, e ) >| f ( y ) - f ( x ) | <e " y — , | y| f ( y ) - f ( x ) | = |c - c | = 0

d( x, e ) = 1

f ( y ) - f ( x ) | = 0 <e " y — , | y -w

Baøi toaùn 52.Cho c laø moät soá thöïc dvôùi moïi x — . Chöùng minh f lieân tuïc

x — , " e > 0 $ d ( x, e ) > 0 sao cho| f ( y ) - f ( x ) | <e " y — , | y


Cho x — vaø cho e > 0 , tìm $ d( x, e ) >| f ( y ) - f ( x ) | <e " y — , | y| f ( y ) - f ( x ) | = |cy - c x | = c | y -

Cho x — vaø cho e > 0 , tìm d( x, e ) > 0c | y - x | < e " y — , | y - x | <

c d( x, e ) = e d( x, e ) = c-1e

Thay | y - x | baèng d( x, e ) trong “c | ytaw

Baøi toaùn 53.Ñaët f ( x ) = x2 vôùi moïi x —

f lieân tuïc treân— .

x — , " e > 0 $ d ( x, e ) > 0 sao cho| f ( y ) - f ( x ) | <e " y — , | y -


Cho x — vaø cho e > 0 , tìm $ d( x, e ) >| f ( y ) - f ( x ) | <e " y — , | y

f ( y) - f ( x)| = | y2 - x2| = | ( y+x )( y-x ) | =

Cho x — vaø cho e > 0 , tìm $ d( x, e ) >| y + x |.| y - x | < e " y — , | y - x

w

Cho x — vaø cho e > 0 , tìm $ d( x, e ) >| y + x |.| y - x | < e " y — , | y - x

Caùch xöû lyù | y + x | Neáu | y - x| y+x | |

| y-x | +

| y + x |.| y - x | (1+ 2 | x |)| y - x | " y —

Cho x — vaø e > 0, ñaët d( x, e ) = min{1,(y+x |.| y-x | (1+2| x |)| y-x | < e " y —,

x y

x-1 x+1

(1+ 2 | x |)| y - x | < (1+ 2 | x |) d( x, e ) < e " y

(1+ 2 | x |) d( x, e ) e d( x, e ) (1+ 2 | x

Thay | y - x | baèng d( x, e ) trong “(1+ 2

w

Baøi toaùn 53.Cho moät haøm soá thöïc f trecon A cuûa — vaø x A. Giaû söû f lieân{ xn

}laø moät daõy trong A (nghóa laø xn A{ xn} hoäi tuï veà x. Chöùng minh daõy f

f ( x)Cho e > 0 , coù $ d( x, e ) > 0 sao cho

| f ( y ) - f ( x ) | <e " y A , | y

Cho moät e’ > 0 ta coù moät N(e’) œ Õ sa| xn - x | < e’ " n ¥ N

Cho moät e” > 0 tìm moät M(e”) œ Õ sao| f ( xm) - f ( x) | < e” " m ¥ M

w

Baøi toaùn 54.Cho moät haøm soá thöïc f trecon A cuûa — vaø x A. Giaû söû vôùi

A (nghóa laø xn A vôùi moïinÕ

) vaø{ xnhì daõy f ( xn) hoäi tuï veà f ( x) . Luùc ñoù f l

Cho moät e’ > 0 ta coù moät M(e’) œ| f ( xn) - f ( x) | < e’ "

Cho moät e” > 0 tìm d( x,e”) > 0 sao

| f ( y) - f ( x) | < e” " y œ A vôùi | y – xCoù e” > 0 sao cho vôùi moãi d > 0 ta cvôùi | yd – x | < d sao cho | f ( yd ) - f ( x)

Cho moät e > 0 ta coù moät N(e) œ Õ sao ch| xn - x | < e " n ¥

w

Cho moät e’ > 0 ta coù ( x,e’) > 0 sao| g( y) - g( x) | < e’ " y œ A vôùi | y –

Cho moät e > 0 ta coù d( x,e) > 0 sao ch| f ( y) - f ( x) | < e " y œ A vôù

Cho moät e” > 0 tìm ( x,e” ) > 0 sao

| h( y) - h( x) | < e” " y œ A vôùi | yh( y) - h( x) | = | ( f ( y) + g( y)) - ( f ( x) + g( x= | f ( y)- f ( x) + g( y)- g( x) | | f ( y) - f ( x) | +h( y) - h( x) | <e + e’ " y œ A vôùi | y– x | < d( x,e)

( x,e” ) = min{ d( x,e),1' "2

w



Baøi toaùn 55.Cho A laø moät taäp hôïpcuûa — , x A vaø hai haøm soá thöïc f

uïc taïi x. Ñaët h( z) = f ( z) + g( z) z AChöùng minh h lieân tuïc taïi x.

Cho{ xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A Ta coù{ f ( x

n)} laø moät daõy hoäi tuï ve f ( x )

Ta coù{ g( xn)} laø moät daõy hoäi tuï veg ( x )Chöùng minh{ h ( xn)} laø moät daõy ho

h ( xn) = f ( xn) + g( xn)h ( x) = f ( x) + g( x)

+( ) f xn

g x( )n

g x( ) f x( ) f x(

=

w



Baøi toaùn 56.Cho A laø moät taäp hôïpcuûa — , x A vaø hai haøm soá thöïc f

uïc taïi x. Ñaët h( z) = f ( z)g( z) z A.Chöùng minh h lieân tuïc taïi x.

Cho{ xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A Ta coù{ f ( x

n)} laø moät daõy hoäi tuï ve f ( x )

Ta coù{ g( xn)} laø moät daõy hoäi tuï veg ( x )Chöùng minh{ h ( xn)} laø moät daõy ho

h ( xn) = f ( xn)g( xn)h ( x) = f ( x)g( x)

.( ) f xn g x( )n

g x( ) f x( ) f (

=

w



Baøi toaùn 57.Cho A laø moät taäp hôïp c— , x A vaø f 1 , . . ., f n laø caùc haøm s

uïc taïi x. Ñaëth( z) = f 1( z) +. . . + f n( z) vaf n( z) vôùi moïi z A. Chöùng minhh vaøk lieChöùng minhh lieân tuïc taïi x Duøng quin = 1 : ñuùngGiaû söû keát quaû ñuùng vôùin = m . Xeùt tröôh( z) = f 1( z) +. . . + f n+1( z) = [ f 1+. . . + f m]( z) +

f 1+. . . + f

m: lieân tuïc taïi x theo giaû thieát

h = [ f 1+. . . + f m]+ f m+1 : lieân tuïc taïi x

Töông töïk lieân tuïc taïi x w



Baøi toaùn 57b.Cho A laø moät taäp hôïp— , x A vaø f laø một haøm soá thöïc treân A l

Giả sử f ( z) 0 vớ i mọi z trong A. Ñaët

vôùi moïi z A . Chöùng minhg lieân tuïc t

g

Cho{ xn

}laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A Ta coù{ f ( xn)} laø moät daõy hoäi tuï ve f ( x )

Chöùng minh{ g( xn)} laø moät daõy hoä

Ñaët ( ), ( ), ( )1 1( ) va ( )( )

n n n n

n nn n

a f x b g x a f x

b g x ø b g x f x a f

w



Cho{ xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A Ta coù{ f ( xn)} laø moät daõy hoäi tuï ve f ( x )

Chöùng minh{ g( xn)} laø moät daõy hoä

Ñaët ( ), ( ), ( ) va1 1 1( ) va ( )( ) ( )

n n n n

n nn n

a f x b g x a f x ø b

b g x ø b g x f x a f x

Cho{ xn} hoäi tuï veà x trong ATa coù{ an} hoäi tuï veàa

{ bn} hoäi tuï

an 0 vaøa 0

Theo baøi toaùn 23b

w



Baøi toaùn 58.Cho A va ø B laø hai taäp hôïcuûa — , f laø moät haøm soá thöïc lieân

moät haøm soá thöïc lieân tuïc treân B sao choChöùng minhh = gof lieân tuïc treân A. B

A —

g f

h = g o f Cho{ xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A Ta coù{ f ( xn)} laø moät daõy hoäi tuï v f ( x )Cho{ ym} laø moät daõy hoäi tuï veà y trong B

Ta coù{ g ( ym)} laø moät daõy hoäi tuï vg ( yCho{ zn} laø moät daõy hoäi tuï veà z trong A Chöùng minh{ h ( zn)} laø moät daõy how



x f(x) xn

+ +

x

f g

y=f(x)

h=g f o

{ xn} hoäi tuï veà x { f ( xn)} hoäi tuï veà f ( x

{ ym} hoäi tuï veà y {g ( ym)} hoäi tuï v

h(x )=g(y )n n y =f(x )n ny=f(x) w

Baøi toaùn 59.Cho f laø moät haøm somoät khoaûng ñoùng [a, b]. Luùc ñoù taäp{ f ( x) : x [a, b]

}laø moät taäp bò chaën

Cho x œ [a, b] vaø e > 0 ta coù d( x,e) > 0 f ( y) - f ( x) | < e " y œ [a, b] vôùi | y

Cho{ xn

}laø moät daõy hoäi tuï veà x trong{ f ( xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f ( x) trong—

Coù moät soá thöïc M sao cho

y § M " y œ f ([a, b] )

Coù moät s

f ( x ) § Msoá thöïc M , $ x œ [a, b] sao cho f ( xsoá thöïc M , $ x M œ [a, b] sao cho f w



Cho { xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong{ f ( xn)} laø moät daõy hoäi tuï veà f ( x) trong —

soá thöïc M , $ z M œ [a, b] sao cho f (Choïn xn = zn " n œ Õ

Vì { zn } Õ [a, b] , coù moät daõy con

hoäi tuï veà x trong [a, b]

{ zmn

Choïn xn = " n œ Õ zmn

{ f ( xn)} hoäi tuï veà f ( x ) vaø

f ( xn ) > mn ¥ n " n œ Õ

Cho { an } laø moät daõy soá thöïc Cañoù A = { an : n œ Ù } bò chaën tron w



Baøi toaùn 60.Cho A laø moät taäp khareân trong — . Chöùng minh coù daõy{ xn } t

veà b = sup A† x § b " x œ A† " e > 0 : b - e khoâng laø moät

" e > 0 , coù ye œ A sao cho ye œ [b -

Ñaët xn = y1/ n

n œ Ù

Cho A laø moät taäp khaùc troáng vaø bChöùng minh coù daõy{ xn} trong A hoäi tu

1nb - 1n n

x y=

bb- y

w



Baøi toaùn 61.Cho f laø moät haøm soá thLuùc ñoù coùc trong [a, b] sao cho f (c ) = m

f ([a, b]) ={ f ( x) : x [a, b] } laø moä

$ { yn} f ([a,b]) sao cho{ yn} hoäi tuï ve

$ { xn} [a,b] sao cho{ f ( xn)} hoäi tuï ved

Coù moät daõy con cuûa{ xn} hoäi tuï{ } xnk

y = f(x )n n xna b

w



Daõy con cuûa{ f ( xn)} hoäi tuï ved{ ( )} f xnk

Vì f lieân tuïc , daõy hoäi tuï{ ( )} f xnk

x [a, b] vaø f ( x) =d = sup f ([a,b])Ñaët c = x [a, b]

Coù moät daõy con cuûa{ xn} hoäi tuï{ } xnk

f (c) = sup f ([a,b])

a bk n

x ( )k n f x x

x a bk n x ( )k n f x

{ f ( xn)

}hoäi tuï veàd = sup f ([a,b])

w

Baøi toaùn 62.Cho f laø moät haøm so[c,d ]. Ñaët a = f (c) vaø b = f (d ) . Giaû sö

minh [a , b] f ([c,d ]) .Cho y œ [a , b] chöùng minh y œ f ( [c ,

Cho y œ (a , b) chöùng minh coù x œ (c,d ) ñ

ÑaëtS = { x œ [c , d ] : f ( x ) < y }c œ S Õ [c , d ] $ t œ [c , d ] ñeå chot

Cho y œ [a , b] chöùng minh coù x œ [c,d ] ñ

f c( )

c d

y? x

y = a : y = f (c) y =

b: y = f (d )

w

ÑaëtS = { x œ [c , d ] : f ( x ) < y }c œ S Õ [c , d ] $ t œ [c , d ] ñeå c

f c( )

c d

y? x

w



ÑaëtS = { x œ [c , d ] : f ( x ) y }c œ S Õ [c , d ] $ t œ [c , d ] ñeå c

Ta chöùng minh f (t ) = y f (t ) y f (t )

Ta chöùng minh f (t ) y w



ÑaëtS = { x œ [c , d ] : f ( x ) y }$ t œ [c , d ] ñeå chot = supS

f (t ) y

Coù { xn} trongS sao cho { xn} hoäi tuï veàt

f ( xn) y { f ( xn)} hoäi tuï veà f (t )

Ta chöùng minh f (t ) y

f x( )n

cd t S xn

f f x( )nc

d t S xn

w

ÑaëtS = { x œ [c , d ] : f ( x ) y }$ t œ [c , d ] ñeå chot = supS f (t ) y

Ta chöùng minh f (t ) y Giaû söû f (t ) < y

Ñaët = y – f (t ) > 0 vaø z = f (t )

$ > 0 sao cho : | f ( x) – f (t )| < x [c,d

f t ( )c

d

y

t S

f t ( )cd

y

t S z z- z+

w

ÑaëtS = { x œ [c , d ] : f ( x ) y }$ t œ [c , d ] ñeå chot = supS

Ta chöùng minh f (t ) y Giaû söû f (t ) < yÑaët = y – f (t ) > 0 vaø z = f (t )

$ > 0 sao cho : | f ( x) – f (t )| < x [c,d

12

Ñaët x t t

f ( x) – f (t ) < f ( x) < f (t ) + = f (t ) + y –

x S vaø x > t = supS Voâ lyù

| f ( x) – f (t )| <

w



Baøi toaùn 63.Cho f laø moät haøm so[c , d ]. Ñaët a = f (c) vaø b = f (d ) . Giaû s

minh [ b,a ] f ([c , d ]) .Ñaëtg( x) = f (c+d – x ) x [c , d ]. Ta co

(c+d – x ) [c , d ] neáu vaø chæ neáu x [c

g laø moät haøm soá thöïc lieân tuïc trc , d ]g(c) = f (d ) = b

g(d ) = f (c) = a

Neáug(s) = y thì f (t ) = y , vôùit = c+d

AÙp duïng baøi toaùn 62 : [ b,a ] g([c , d ])w



Baøi toaùn 64.Cho f laø moät haøm soá tb]. Ñaët a = min f ([a , b]) vaø b = max f (

minh f ([a , b]) = [a , b].

f ([a , b]) Õ [a , b] ?

[a , b] Õ f ([a , b])

f(x) xa b

min ([ ]) f a,b

y f ([a , b]) y [a , b] ?

y f ([a , b]) a y b ?y f ([a , b]) min f ([a , b]) y max

f ([a , b]) Õ [a , b]

w



Chöùng minh [a , b] Õ f ([a , b])

$ c, d œ [a,b] ñeå cho f (c)= min f ([a,b]) =a vaø f (d )= max f

a b min ([ ]) f a,b

c d

caùc baøi toaùn 60 vaø 61 : [a , b] Õ f ( [c , d ]

f ([c , d ]) Õ f ([a , b])

[a , b] Õ f ( [a , b])

w

Ñinh nghóa. Cho A laø moät taäp con khanoùi A laø moätkhoaûngneáu vôùi moïi x vaø y tro

x < y, ta coù [a,b] A.Caùc taäp sau ñaây laø laø caùc khoaûn1. [a,b] = { x : a x b }.2. (a,b] = { x : a < x b }.3. [a,b) = { x : a x < b }.4. (a,b) = { x : a < x < b }.5. [a, ) = { x : a x}.6. (a, ) = { x : a < x }.7. (- ,b] = { x : x b }.8. (- ,b) = { x : x <b }.9. .

Trhôïpa ñöñaàkhoTr

hôïpb ñöñaàkho

w

Baøi toaùn 65.Cho A vaø B laø hai khoaûmoät song aùnh vaø ñôn ñieäu taêng tö A vaøo B

f laø moät haøm soá lieân tuïc treân A.f ñôn ñieäu taêng neáu vaø chæ neáu :u < v thTrong tröôøng hôïp baøi toaùn naøy ( f ñôn aaêng nghieâm caùch :u < v thì f (u) < f (v) .Cho x A, cho > 0, tìm moät ( ) > 0 sa| f ( y) – f ( x)| < y A, | y – x

Ta phaân ra ba tröôøng hôïp : x khoâng laø ñaàu muùt cuûa A. x laø ñaàu muùt phía tay traùi cuûa A. x laø ñaàu muùt phía tay maët cuû A. w

u < v f (u) < f (v) .Cho x A, cho > 0, tìm moät ( ) > 0 sa

| f ( y) – f ( x)| < y A, | y – x x khoâng laø ñaàu muùt cuûa A.Coù x1 vaø x2 trong A sao cho x1 < x < x2 f ( x

Ñaët = min , f x -f x f x f x { ( ) ( ), ( )- ( } =1 2

x x1 x2 f f(x1)

w

Cho x A, cho > 0, tìm moät ( ) > 0 sa| f ( y) – f ( x)| < y A, | y – x

Ñaët = min , f x -f x f x f x) { ( ) ( ), ( )- ( } =1 2

x x1 x2 f(x) f(x1)

f x( )- f (u v

Coùu vaøv trong [ x1, x2] A sao cho : f (uf (v) = f ( x) +

x x1 x2 f(x) f(x1)

w

Ñaët = min , f x -f x f x f x) { ( ) ( ), ( )- ( } =1 2

xx1 x2 f(x) f(x1)

f x( )- fu v

u, v [ x1, x2] A sao cho : f (u) = f ( x)- v

Ñaët = min { x - u, v - x }> 0. Luùc ñoù [ x- ,

x f(x)

f x( )-

u v

y f(y)

f(u ) x- x+

f ( y) – f ( x)| < y A, | y – xw

x laø ñaàu muùt phía tay traùi cuûa A.

Coù x2 trong A sao cho x < x2

f ( x) < f ( x2) x x2

Ñaët = min , f x f x) { ( )- ( } = min{ , 2

Coùv trong [ x, x2] A sao cho : f (v) = f ( x) +

x x2 f(x) f(x2)

f x( )+v

Cho > 0, tìm moät ( ) > 0 sao cho| f ( y) – f ( x)| < y A, | y – x

w

Coù x2 trong A sao cho x < x2 fÑaët = min , f x f x) { ( )- ( } = min{ , 2

Coùv trong [ x, x2] A sao cho : f (v) = f ( x) +

Ñaët = v - x > 0. Luùc ñoù [ x, x+ ] [ x,v]

x f(x) f x( )

v y f(y)

f( x+

x x2 f(x) f x( )+v

f ( y) – f ( x)| < y A, | y – xw

x laø ñaàu muùt phía tay phaûi cuû A.Coù x1 trong A sao cho x1 < x f ( x

Coùu trong [ x1, x] A sao cho : f (v) = f ( x )

x1 x f(x1) f(x

Ñaët = min , f x f x { ( )- ( )} = min{ 1

x1 x f(x1) f(x)

f x( )-v

w

Ñaët ( ) = x -u > 0. Luùc ñoù [ x- , x] [u, x]| f ( y) – f ( x)| < y A, | y –


Coù x1 trong A sao cho x1 < x f ( x

Coùu trong [ x1, x] A sao cho : f (v) = f ( x ) Ñaët = min , f x f x { ( )- ( )} = min{ , }1

x1 x f(x1) f(x)

f x( )-v

x f(x)

f x( )-

u

y f(y)

f(u)

x-

w

Baøi toaùn 66a.Cho soá nguyeânn ¥ 1. Ñaët fx [0, ). Chöùng minh f lieân tuïc töø [0)

Duøng caùc baøi toaùn 52 vaø 57 ta th f lieâBaøi toaùn 66b.Cho soá nguyeânn ¥ 1. Ñmoïi x [0, ). Chöùng minh f laø moät s

vaøo [0, ) .f laø moät ñôn aùnh töø [0,) vaøo [0, ).x , y [0, ), x y f ( x) f ( y)

0 x < y xn

< yn

Duøng qui naïp toaGiaû söû tröôøng hôïpn = m ñuùng, xeùt trö

1 1m m m m mx x x y x y y y w

f laø moät toaøn aùnh töø [0,) vaøo [0, ).Cho y [0, ), tìm x [0, ) sao cho f ( x)Neáu y = 0 , choïn x = 0 . Ta coù f (0) = 0.Neáu y > 0 , theo tính chaát Archimeød

nguyeân döông N sao cho : theo tính chaá

moät soá nguyeân döông N sao cho : 0 y < Duøng qui naïp toaùn hoïc, ta coù : NNn

f (0) = 0 < y < N Nn = f (N) y [ f (0), f (N

x [0,N] [0, ) sao cho f ( x) = y (baøiVaäy cho y [0, ), ta tìm ñöôïc x [0, ) s

w



Baøi taäp 66 .Cho soá nguyeânn ¥ 1. Ñamoïi x [0, ). Chöùng minh

(i) f lieân tuïc töø [0,) vaøo [0, ) .(ii) f laø moät song aùnh töø [0,) vaøo [(iii) Ñaëth = f -1, thì h ñôn ñieäu taêng tre(iv) f -1 laø moät haøm soá thöïc liekyù hieäu f -1( x) laø hay vôùin x

1n x

(i), (ii) vaø (iii) : caùc baøi taäp 66a, 66

(iv) : duøng baøi toaùn 65

w

Baøi toaùn 67.Cho moät soá nguyeânk ¥ 1.f ( x) = x n vôùi moïi x . Luùc ñoù :

(i) f lieân tuïc t öø

vaøo .(ii) f laø moät song aùnh töø vaøo .(iii) Ñaëth = f -1, thì h ñôn ñieäu taêng tr(iv) f -1 laø moät haøm soá thöïc lihieäu f -1( x) laø hay vôn x 1n xPhaàn chöùng minh töông töï nhö trongkhaùc phaàn (ii).

(iia) Cho x vaø y trong sao cho x < y . Ch x n = f ( x) < f ( y) = y n

w

(iia) Cho x vaø y trong sao cho x < y . Ch

x n = f ( x) < f ( y) = y n

Chia laøm ba tröôøng hôïp :0 x < y .

x < 0 < y.

x < y 0.Nhö trong phaàn chöùng minh ñònh l Ñeå yù x2k+1 < 0 < y2k+1.

Ñaëtu =- y vaøv = - x . Ta coù 0 u < vvaøvn = - x n . AÙp duïng.

w



sin t

sin1

-1

-1

Chot ta töông öùngmoät goùc vaø moät ñieåm M (t )

nhö trong hình veõ. Ta ñaëtsin t = hoaønh ñoä cuûa M (t )

cos t = tung ñoä cuûa M (t )

Xeùt haøm soá g töø [-1,1]vaøo nhö sau2( ) 1 [ 1,1]g x x x

Ta thaáy vôùi moïi x [-1,1] coù duy nhaácho ( x,g( x)) = M (t ), vaø ngöôïc laïi. Vaø x chíVaäy haøm cos laø moät song aùnh töø] vaø

w



Ta thaáy vôùi moïi x [-1,1] coù duy nhacho ( x,g( x)) = M (t ), vaø ngöôïc laïi. Va x

Vaäy haøm cos laø moät song aùnh töø] vahình veõ, haøm cos ñôn ñieäu giaõm.

sin t

sin1

-1

-1

Do tính song aùnh ñônñieäu giaûm , haøm cos lieânuïc töø [0 ,] vaøo [-1,1],vaø haøm ngöôïc cuûa noù

cuõng lieân tuïc töø [-1,1]vaøo [0,]. Ta kyù hieäuhaøm naøy laø arccost vôùimoïit [-1,1] .

w



sin t

sin1

-1

-1

Theo hình veõ ta thaáy :

cos -t = cos t ,

cos (t+ ) = - cos t .

cos (t + k2 ) = cos t ,

vôùi moïit trong

, k .Theo phaàn treân :{ xn}rong [0 , ] vaø hoäi tuï veà xrong [0 , ], thì {cos x

n} hoäi tuï veà cos x .

Nay cho moät daõy {t n} trong [0 , 2] vaø hTa seõ chöùng minh {cost n} hoäi tuï veà co.

w



neáu [0, ],

2 neáu [ ,2 ].

n nn

n n

t t x

t t

Cho moät daõy {t n} trong [0 , 2] vaø hoäi

chöùng minh {cost n} hoäi tuï veà cos.

|(2 - t n) - | = | - t n| : { xn}rong [0 , ] vaø hoäi tuï veà

{cos xn} hoäi tuï veà coscos xn = cos –t n = cost n{cost n} hoäi tuï veà cos

Baøi toaùn 68.Chöùng minh haøm cos lie

Haøm cos lieân tuïc treân [0 ,]

t n

w



sin t

sin1

-1

-1

Töø ñaây ta chöùng minh ñöôïcsöï lieân tuïc cuûa haøm sin treânnhö trong tröôøng hôïp

haøm cos

Lyù luaän töông töï, ta thaáy haøm siñieäu taêng lieân tuïc töø

ngöôïc cuûa noù cuõng lieân tuïc töø [-Ta kyù hieäu haøm naøy laø arcsint vôùimoïit

1 12 2[ , ]

[

w



Lyù luaän töông töï, ta thaáy haøm tgñieäu taêng lieân tuïc töø v

ngöôïc cuûa noù cuõng lieân tuïc töø (- , ) vaøTa kyù hieäu haøm naøy laø arctgt vôùimoïit

1 12 2( , )

Töø ñaây ta chöùng minh ñöôïcsöï lieân tuïc cuûa haøm tg treân

nhö trong tröôøng hôïp haømcos

1 12 2( , )

k

k k

-

w



Töø ñaây ta chöùng minh ñöôïcsöï lieân tuïc cuûa haøm cotgreân

nhö trong tröôøng hôïp haøm

cos

( , )k

k k

Lyù luaän töông töï, ta thaáy haøm coñieäu giaõm lieân tuïc töø vaøo (- , ). V

cuûa noù cuõng lieân tuïc töø (- , ) vaøohaøm naøy laø arccotgt vôùi moïit (- , )

(0, )

(0,0

w



Ta chöùng minh ñöôïc ln laø moät song(0, ) vaøo . Do ñoù ln lieân tuïc treânxaï ngöôïc kyù hieäu laøe x laø moät haøm so(0, ).

11Ñaët ln (0, ) x

t x dt x

Cho soá thöïc döônga, ta ñaëtlnog (0, )lna

x x xa

ln x x aa e x Caùc haøm naøy lieân tuïc treân taäp ch

ln x : logarilna x : logar

e x : haø

w

Ñònh nghóa .Cho A laø moät taäp convaø f laø moät aùnh xaï töø A vaøo — , ta noùi f

soá thöïclieân tuïc ñeàutreân A neáu vaø ch" > 0 , $ ( ) > 0 sao cho| f ( x) - f ( y) | < " x vaø y A sao cho Baøi toaùn 69.Cho moät soá thöïc döôngvôùi moïi x — . Chöùng minh f lieân tuïcCho > 0 , tìm ( ) > 0 sao cho| f ( x) - f ( y) | < " x vaø y — sao cho

f ( x) - f ( y) | =c| x -y | < Ñaët ( ) = c-1

f ( x) - f ( y) | < " x vaø y — sao cho w

Baøi toaùn 71 .Cho A = (0,1) vaø f ( x ) = xChöùng minh f khoâng lieân tuïc ñeàu tr A

0. 2 0. 4 0. 6 0.

20

40

60

80

10

$ > 0 , " > 0 coù x( ) vaø y ( ) A sao| y ( ) - x ( ) | < vaø | f ( x ( ) ) - f ( y

w



P H EÙ P T Í N H V I CHÖÔNG BAÛY

Quan saùt moät chieác xe chaïy treân ñömuoán xeùt vieäc chaïy nhanh hoaëc chaähôøi ñieåmt . Ta moâ hình toaùn hoïc vieä

vò trí chieác xe taïi thôøi ñieåms laø x(s). Vớ i mkhaù gaàn nhö khaùct , ta tính ñöôïc vaän toáchieác xe trong khoaûng thôøi gian töøt ñeáns

x t ( ) x r

( ) x

,( ) ( )

t s

x s x t v s t

−= −

w



Vaän toác trung bìnhvt,s cho chuùng ta caùcvieäc chaïy nhanh hoaëc chaäm cuûa chieNeáus caøng gaànt hôn, thìvt,s caøng cho chhoâng tin chính xaùc hôn veà vieäc chaïy

cuûa chieác xe taïi thôøi ñieåmt.

x t ( ) x r ( )

x s(

,( ) ( )

t s

x s x t v

s t −=−

Vaäy ñeå bieát vieäc chaïy nhanh hoaëc

hôøi ñieåmt, ta phaûi xeùt vò trí x(r ) cuûa chieñieåmr trong moät taäp hôïp A. Taäp hôïp A naøchaát : luoân luoân coù caùc phaàn töû kht nhö

w



Ñònh nghóa.Cho A laø moät taäp con kvaø x∈—. Ta noùi x laø moätñieåm tuïcuûa Ahöïc döông δ ta tìm ñöôïc y∈ A sao cho 0

Taäp hôïp taát caû caùc ñieåm tuï cuûa A ñöôïc k

$ y ∈ A …{ ( x - δ , x + δ ) \ { x}}$ y ∈{ A \ { x}} …( x - δ , x + δ ){ A \ { x}} …( x - δ , x + δ ) ∫ «

x

ñ

x-δ x+ δ x

y A

Ta moâ hình toaùn hoïc yù töôûng beân t

w

Baøi toaùn 73. Cho A = (0,1) vaø x = 0 . Cmoät ñieåm tuï cuûa A

0

x-δ x+ =δ δ x

y =2δ

Cho δ > 0, tìm y∈ A sao cho 0 < | x -Cho δ > 0, tìm y∈(0,1) sao cho 0 <

Cho δ > 0, tìm y∈(0,1) sao cho 0 < y

| 0 - y | = | y | = y

w

Baøi toaùn 74. Cho A = [0,1] vaø x = 0 . Cmoät ñieåm tuï cuûa A

0

x-δ x+ =δ δ x

y =2δ

Cho δ > 0, tìm y∈ A sao cho 0 < | x -Cho δ > 0, tìm y∈(0,1) sao cho 0 <

Cho δ > 0, tìm y∈(0,1) sao cho 0 < y

| 0 - y | = | y | = y

w



Baøi toaùn 75.Cho A = { 0 } » [ 2-1, 1] vaChöùng minh x khoâng laø moät ñieåm tuï A

∀ δ> 0, { A \ { x}}…( x - δ , x + δ ) ∫ «∃ δ> 0, { A \ { x}}…( x - δ , x + δ ) = «

0

x

12

x- 14

14 x+ 1

4=

1Choïn 04δ = >

1 1( , ) ( ,4 4

1\ { } , ]} [ 12

x xA x δ δ = − − +∩ ∩

∃ δ> 0, [2-1,1]…(- δ , δ ) = «

w



Baøi toaùn 76. Cho B laø moät taäp hôïp c—, a ∈ B* . Ñaët A = B » {a}. Chöùng min

∀ δ> 0, ta coù { B \ {a}}…( a - δ , a + δ )∀ δ> 0, chöùng minh { A \ {a}}…( a - δ , a

A \ {a} = B \ {a} ?A \ {a} = A ∩(— \ {a}) = ( B » {a}) ∩(— \ {a

= ( B ∩(— \ {a}) )» ({a}∩(— \ {a})

= B ∩(— \ {a}) = B \ {a}

w



Quan saùt moät chieác xe chaïy treân ñömuoán xeùt vieäc chaïy nhanh hoaëc chaä

hôøi ñieåmt . Ta moâ hình toaùn hoïc vieä• choïn moät taäp hôïp caùc thôøi ñieåm A sao chñieåm tuï cuûa A,

• vớ i một thờ i điểm s ∈ A \ {t }, ta tính vavt,s cuûa chieác xe trong khoaûng thôøi gi• neáus caøng gaànt thì vt,s caøng gaàn monoùiv laø vaän toác töùc thôøi cuûa chieác

x t ( ) x r ( ) x s(

,( ) ( )

t s

x s x t v

s t −=−

w

Ñònh nghóa.Cho A laø moät taäp con c∈—, f laø moät haøm soá thöïc treân A vaøa

• f coù giôùi haïn laø ctaïia neáu vaø ch

höïc döông ε coù moät soá thöïc döông δ(ε) | f ( x) - c | < ε ∀ x∈ A vôùi 0 < | x - a |

vaøø kyù hieäu .lim ( ) x a

f x c→

=

Ta thöû xem moâ hình toaùn hoïc yù töô

w

Baøi toaùn 77.Cho A = [0,1] , a = 0 vaø

Chöùng minh

1 [0,1)( ) 1

1 neáu 1.

x x

f x x x

⎧ −∀ ∈⎪

= ⎨ −⎪ =⎩

0lim ( ) 1 x

f x→

=

" ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho| f ( x) - 1| < ε ∀ x ∈ A vôùi 0

" ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao chof ( x) - 1 | < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 0 < x

f x x

x x x

x x x( )

( )( )( )( )

= −−

= − +− +

=+

11

1 11 1

11 w

( ) | | | | | f x x

x

x x − =

+ − =

+ < 1

1

11

1

x ≤ ε x ≤ ε 2

δ ε ε ( ) = 2

" ε > 0 , ñaët δ(ε) = ε2 ta coù| f ( x) - 1 | < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 0

f x x x

x x x x x

( ) ( )( )( )( )

= −−

= − +− +

=+

11

1 11 1

11

" ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho< ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 0 x

" ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho| f ( x) - 1 | < ε ∀ x ∈ [0,1] vôùi 0

w

Baøi toaùn 78.Cho A = [0,1] , a = 1 vaø

Chöùng minh

1

( ) 11

x

f x x

⎧ −⎪

= ⎨ −⎪⎩

1

1

2lim ( ) x

f x→

=

Cho ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho∀ x ∈ [0,1] vôùi 1- δ(ε)1

2| ( ) | f x ε − <

Cho ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho∀ x ∈ A vôùi 0 < | x -1

2| ( ) | f x ε − <

0

x

11 +

1 ( )- δ ε

w

f x x

x x x

x x x( )

( )( )( )( )

= −−

= − +− +

=+

11

1 11 1

11

Cho ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho∀ x ∈ [0,1] vôùi 1- δ(ε)1

2| ( ) | f x ε − <

Cho ε > 0 , tìm δ(ε) > 0 sao cho∀ x ∈ [0,1] vôùi1

2( ) | |1 |f x x ε − < − <

1 1 1 1( ) | | |2 21 2( 1) 2(

xf x

x x

− − = − = =+ +

Cho ε > 0 , ñaët δ(ε) = ε ta coù∀ x ∈ [0,1] vôùi

1

2| ( ) | f x ε − <

w



lim x→0

lim x→1

1n[1] : Limit [ , 0]1

Out[1]: 1

x x

x−= →

−=

12

1n[1] : Limit [ , 1]1

Out[1]:

x x

x−= →

−

=

Duøng leänh ñeåLimit[ ( ), ] f x x a→

w



0lim x→

1

1 1lim( )1 ln 2 x

x x

x→− =

−

1In[3] : Limit [ , 0]Out[3]: 1

x x x x

−= →=

1n[4] : Limit [ , 1]1 ln

1Out[4]:2

x x x x= − →−

=

w

Ñònh nghóa.Cho A laø moät taäp co—, c ∈—, f laø moät haøm soá thöïc t A

Ta noùi f coù giôùi haïn beân phaûi laø ctaïineáu vôùi moïi soá thöïc döông ε coù moät ssao cho

| f ( x) - c | < ε ∀ x ∈ A vôùi 0

vaø kyù hieäulim ( ) x a

f x c+→

=

xaw



1/

0lim(1 ) x

x e+→ + =

Duøng leänh tính

Limit[ ( ), ,Directi f x x a→ lim ( )

x a f x

+→

xa -1 0

1

n[1]: Limit [(1 ) , 0,DirectiOut[1]:

x x xe

−

= + → =

w

Ñònh nghóa.Cho A laø moät taäp co—, c ∈ —, f laø moät haøm soá thöïc t A

Ta noùi f coù giôùi haïn beân traùi laø ctaïineáu vôùi moïi soá thöïc döông ε coù moät ssao cho

| f ( x) - c | < ε ∀ x ∈ A vôùi 0vaø kyù hieäulim ( )

x a f x c

−→=

x a

w



Duøng leänh tính

Limit[ ( ), ,Direct f x x a→ lim ( )

x a f x

→ −

-1 0

(cos )n[1] : Limit [ , 0,Direc| |

1Out[1]:2

Log x x x x= →

=

x a

0

(cos ) 1im 2| | x

Log x x x−→

=w

Baøi toaùn 81.Cho A laø moät taäp hôïp— , a ∈ A*… A vaø moät haøm soá thöïc f treân

. Cho { xn} laø moät daõy(nghóa laø xn ∈ A \ {a} vôùi moïin ) vaø { xn} hChöùng minh daõy { f ( xn)} hoäi tuï veàc .

lim ( ) x a f x c→ =

Cho e > 0 , coù $ d(a, e ) > 0 sao cho| f ( x ) - c | < e " x∈ A , 0 < | x - a

Cho moäte’ > 0 ta coù moät N(e’) œ Õ sa

0 < | xn - a | < e’ " nCho moäte” > 0 tìm moät M(e”) œ Õ sao

| f ( xm) - c | < e” " m ¥ M(e”w

Cho moäte” > 0 tìm moät M(e”) œ Õ sao c| f ( xm) - c | < e” " m ¥ M(e”) .

Cho moäte’ > 0 ta coù moät N(e’) œ Õ sa| xn - a | < e’ " n ¥ N(e’) .Cho moät e > 0 ta coù d(a, e) > 0 sao ch| f ( x) - c | < e " x œ A , 0 <| x – a |

xm V xe” V e d(a, e) V e’ M(e”) V

Cho e” > 0ñaët e = e”

Vôùiecoùd( x,e) e’ = d(a, e) Vôùie’

coù N(e’

m¥ M(e”)=N(e’)⇒

| xn- a | <e’= d(a, e) |⇒

w

Cho e” > 0, tìm d(a, e”) > 0 sao cho| f ( y) - c | < e” " y œ A vôùi | y – a | Coù e” > 0 sao cho vôùi moãi d > 0 ta covôùi | yd – a | < d sao cho | f ( yd ) - c | ¥

Cho moäte’ > 0 ta coù moät M(e’) œ

| f ( xn) - c | < e’ " n ¥

Cho e > 0, ta coù N(e) œ Õ sao cho | xn- a | <

Baøi toaùn 82.Cho moät haøm soá thöïc f treâncuûa —, c ∈ — vaøa∈ A* . Giaû söû vôùi m

A \{a} (nghóa laø xn∈ A \{a} ∀ n ∈ Õ ) vaøa, thì daõy { f ( xn)} hoäi tuï veàc. Chöùng min.

w



Baøi toaùn 83.Cho A laø moät taäp hôïpcuûa — , x ∈ A* vaø hai haøm soá thöïc f v

giôùi haïn taïi x laøc vaød. Ñaëth ( z) = f ( z) +Chöùng minhh coù giôùi haïn taïi x la ø c+d .Cho { xn} laø moät daõy trong A \ { x} hoäi tTa coù{ f ( x

n)} laø moät daõy hoäi tuï veàc

Ta coù{ g( xn)} laø moät daõy hoäi tuï veàd

Chöùng minh{ h ( xn)} laø moät daõy hoä

h ( xn) = f ( xn) + g( xn) h x( ) = +n ( ) f n

cc+d w



Baøi toaùn 84.Cho A laø moät taäp hôïpcuûa — , x ∈ A* vaø hai haøm soá thöïc f v

giôùi haïn taïi x la ø cvaød . Ñaëth ( z) = f ( z)g( Chöùng minhh coù giôùi haïn taïi x laøcd .

Cho { xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A

Ta coù{ f ( xn)} laø moät daõy hoäi tuï veàc

Ta coù{ g( xn)} laø moät daõy hoäi tuï veàd


h ( xn) = f ( xn)g( xn)

c

h( ) =

n( )

f xn

cd w



Ñònh lyù.Cho A laø moät taäp hôïp cona ∈ A*… A vaø moät haøm soá thöïc f treân A. sau ñaây töông ñöông

(i)

(ii) f lieân tuïc taïia

(iii) vôùi moïi daõy { xn} trong A hoäi tuï veahoäi tuï veà f (a).

lim ( ) ( ) x a

f x f a→

=

w

Baøi toaùn 85. Cho B laø moät taäp hôïp c—, a ∈ B*, c∈— vaø moät haøm soá thöïg treB » {a}. Giaû söû . Ñaët

Chöùng minh f lieân tuïc taïia .

f xg x

c ( )

( ) = R

ST

lim ( ) x a

g x c→ =

Cho ε > 0 coù moät soá thöïc döông δ(a , ε ) s|g( x) -c | < ε ∀ x∈ B vôùi 0 < | x - a


( )( ) ( ) ( )

0g x c x B

f x f a f x c x a

− ∈⎧− = − = ⎨ =⎩ w

Cho ε > 0 coù moät soá thöïc döông sao|g( x) -c | < ε ∀ x∈ A vôùi 0 < | x - a


( )( ) ( ) ( )

0g x c x B

f x f a f x c x a

− ∈⎧− = − = ⎨ =⎩

A = B » {a}

Cho ε ’ > 0 Ñaët ε = ε ’ coù δ(a ,ε ) Ñaëthf ( x) - f (a) | < ε = ε ’ ∀ x∈ A , | x - a | < δ(a

f xg x x B

c x ( )

( ) \= ∈

=RS

T

w



Baøi toaùn 86. Cho A laø moät taäp hôïp coa ∈ A* , c ∈— vaø ba haøm soá thöïc f , g va ø h

( x) ≤ h( x) ≤ g( x) ∀ x∈ A vaøChöùng minh .

lim ( ) x a f x→ =

lim ( ) x a

h x c→

=

Cho { xn} laø moät daõy hoäi tuï veà x trong A

Ta coù{ f ( xn)} laø moät daõy hoäi tuï veàc

Ta coù{ g( xn)} laø moät daõy hoäi tuï veàc


f ( xn) ≤ h( xn) ≤ g( xn)( ) f xn ≤ h x( )n

c c w



Cho x∈( a , b ) . Luùc ñoù coù moät soácho x + h ∈( a , b ) " h∈(-

Cho f laø moät haøm soá thöïc treân (a , b) va

u h f x h f x

hh A( )

( ) ( )= + −∀ ∈

0∈ A*

0(lim

h

f x→

Coù theå xeùt hay0lim ( )h

u h→

a x-r h

w



Ñònh nghóa.Cho f laø moät haøm somôû (a , b) vaø x∈(a , b). Choïn moät s

sao cho ( x - r , x + r ) Õ (a , b) . Ñaëtu h

f x h f xh

( ) ( ) ( )= + −

∀

Luùc ñoù ta kyù hieäu giôùi haïn naøy laø f ’( x) vaøhaøm cuûa f taïi x. Neáu f khaû vi taïi moïi x ∈khaû vi treân(a , b).

Ta noùi f laø moät haøm soá khaû vi taïi x neáuhaïn sau ñaây coù vaø laø moät soá thöïc

0

( ) ( )lim ( lih h

f x h f xh→

+ − =

w



Baøi toaùn 87. Cho c laø moät soá thöïc v f ( —. Chöùng minh f khaû vi treân— vaø f ’ ( x) =

f x h f xh

c ch

( ) ( )+ − = − = 0

0( ) ( )( ) lim

h f x h f xf x

h→+ −′ =

Cho x∈ — vaøh∈ — \ {0}

0

( ) ( )im 0h

f x h f x

h→

+ − =

w



Baøi toaùn 88. Cho c laø moät soá thöïc va f ( x—. Chöùng minh f khaû vi treân— vaø f ’( x ) =

f x h f xh

c x h cxh

chh

( ) ( ) ( )+ − = + − =

0

( ) ( )imh

f x h f xch→

+ −=

0( ) ( )( ) lim

h f x h f xf x

h→+ −′ =

Cho x∈ — vaøh∈ — \ {0}

w



Duøng leänh [f (x , x] ñeå tính ñaïo haøm

Thí duï .Cho f ( x ) = (7 x -3)3 cos 2 x " x

ñaïo haøm cuûa f .

In[1]:=D[(7 x -3)3Cos[2 x], x]

Out[1]:= 21(7 x - 3)2cos2 x -2(7 x-3)

3sin2 x

f ’( x ) = 21(7 x - 3)2cos2 x -2(7 x-3)3sin2 x

w



Baøi toaùn 89. Cho f vaøg laø caùc haømkhoaûng môû (a , b). Ta coùk = f + g khaû

môû (a , b) vaøk ’

( x ) = f’

( x ) + g’( x ) ∀ x0

( ) ( )( ) limh

f x h f xf x

h→

+ −′ =0

(( ) limh

gg x

→′ =

( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( )

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]( )

k x h k x f x h g x h f xh h

f x h f x g x h g xu h vh

+ − + + + − =

+ − + + −= = +

0

( ) ( )( ) limh

k x h k xk x h→

+ −′ = Cho x∈ — va

h f x h f x

h( )

( ) ( )= + −v h

g x h gh

( ) ( ) = + −

w



h f x h f x

h

( ) ( ) ( )= + −

v h g x

( ) ( = +

w (h) = u (h) + v (h)

imhØ0 u (h ) = f ’( x )

imhØ0 v (h ) = g’( x )

k’( x) = limhØ0 w (h ) = f ’( x ) + g’( x )

( ) ( )( ) ( ) ( )k x h k xw h u h v hh

+ −= = +

0

( ) ( )( ) limh

k x h k xk x

h→

+ −′ = Cho x∈ — va

w

Baøi toaùn 90. Cho f laø moät haøm soámôû (a ,b) vaø x∈(a ,b). Giaû söû f khaû vi t

rong (| f ’( x)|, ∞). Chöùng minh coù moätsao cho ( x-r , x+r )⊂(a , b) vaø

| f ( y) – f ( x)| ≤ M | y - x | ∀ y ∈

0( ) ( )( ) lim

h

f x h f xf xh→

+ −′ =

∀ ε> 0 , ∃ δ(ε) > 0 sao cho( ) ( )| ( ) | f x h f x

f x hh

ε + −′ − < ∀

w

∀ ε> 0 , ∃ δ(ε) > 0 sao cho( ) ( )| ( ) | f x h f x

f x hh

ε + −′ − < ∀

f’ x( ) ( ) ( ) f x h f xh

+ -

ε ε

( ) ( )| ( ) | ( ) ( f x h f x f x f x f x

hε ε

+ −′ ′ ′− − ≤ − ≤ ≤

( ) ( )| ( ) | | ( ) |

f x h f x f x f xhε

+ −′ ′− − ≤ ≤

( ) ( ) | | ( ) | , f x h f x f x h

hε

+ − ′≤ + ∀w

12Choïn ( | ( ) |) 0 M f xε ′= − >

( ) ( ) | | ( ) | , f x h f x f x h

hε

+ − ′≤ + ∀

( ) | f x M M ε ε ′ + = − <

Choïn r = δ (ε )( ) ( ) | , | | f x h f x

M h h r h

+ − < ∀ <

( ) ( ) | | | , | |f x h f x M h h h+ − < ∀ ( ) ( ) | | | ( ,f y f x M y x y a− < − ∀ ∈

| ( ) f x′

w

Baøi toaùn 91. Cho f laø moät haøm soámôû (a ,b) vaø x∈(a ,b). Giaû söû f khaû vi t

khaùc khoâng. Choc trong (0, | f ’( x)|). Chöùsoá thöïc döôngr sao cho ( x-r , x+r )⊂(a , b)

c| y- x | ≤ | f ( y) – f ( x)| ∀ y ∈ , |

0( ) ( )( ) lim

h

f x h f xf xh→

+ −′ =

∀ ε> 0 , ∃ δ(ε) > 0 sao cho( ) ( )| ( ) | f x h f x

f x hh

ε + −′ − < ∀

w

12Choïn (| ( ) | ) 0 f x cε ′= − >( ) |f x c cε ε ′ − = + >

Choïn r = δ (ε )

( ) ( ) | , | | f x h f xc h h

h+ − > ∀ <

( ) ( ) | | | , | |f x h f x c h h h+ − > ∀ ( ) ( ) | | | ( , y f x c y x y a b− > − ∀ ∈

( ) ( )( ) | | | , f x h f xf x h

hε

+ −′ − ≤ ∀

| ( ) | f x′

w

Baøi toaùn 92. Cho f laø moät haøm soámôû (a , b) vaø x∈(a , b). Giaû söû f khaû v

minh f lieân tuïc taïi xCho ε > 0 , tìm moät δ(ε) > 0 sao cho :

| f ( y) – f ( x) | < ε ∀ y ∈(a ,b), | y- x| <

Baøi toaùn 90: Cho M > | f ’( x)|, coùr > 0(x-r , x+r )⊂(a ,b) vaø

| f ( y) – f ( x)| ≤ M | y - x | ∀ y ∈

Cho ε > 0 , ñaët δ(ε) = min{r , M -1 ε }

f ( y) – f ( x) | < ε ∀ y ∈(a ,b), | y- x| < δw



Baøi toaùn 93. Cho f vaøg laø caùc haømkhoaûng môû (a ,b). Ta coùk = fg khaû vi tr

(a ,b) vaøk ’

( x) = f’

( x)g( x) + f ( x)g’( x) ∀0

( ) ( )( ) limh

f x h f xf x

h→

+ −′ =0

( ) limh

gg x

→′ =

0

( ) ( )limh

k x h k x

h→

+ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (k x h k x f x h g x h f x g xh h

+ − + + −=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f x h g x h f x g x h f x g x hh

+ + − + + =

( ) ( ) ( ) (( ) ( ) f x h f x g x h g xg x h f x

h h+ − + −= + +

w



( ) ( ) ( ) ( ) ( )k x h k x f x h f xg x h

h h+ − + −= +

( ) (( ) g x h g x f xh+ −+

g(x+h) f(x f(x+h)-f(x)

h

+

g(x) f(x) f ’(x) g’+

h

0

k(x+h)-k(x)

h

?

=

k’( x) = f ’( x)g( x) + f ( x)g’( x) ∀ x∈

w

Baøi toaùn 94. Cho f laø moät haøm soáavaøg laø moät haøm soá thöïc treân (c, d ). Cho x

cho f khaû vi taïi x , g khaû vi taïi z = f ( x) vaøg= go f Chöùng minhu khaû vi taïi x vaøu’(

0

( ( )) ( (Chöùng minh limh

g f x h g f xh→

+ −

Cho ε > 0, tìm δ(ε) > 0 sao cho( ( )) ( ( )) | | |g f x h g f x h hε + − < ∀

Cho ε > 0, tìm δ(ε) > 0 sao cho ∀h, |h| < δ( ( )) ( ( )) ( ( ))| |g f x h g f x g f x h g

h h+ − + −=

w

Cho ε > 0, tìm δ(ε) > 0 sao cho| ( ( )) ( ( )) | | |g f x h g f x hε + − < ∀

BT 90 : Ñaët M = | f’( z) | +1, coùr > 0, sao c| f ( x+h) – f ( x)| ≤ M | h | ∀ h , | h |

BT 90 : Choε ’ > 0 , coùs(ε ’) > 0, sao cho

| g( z+k ) – g( z)| ≤ ε ’ | k | ∀ k , | k | ε + − < + −

∀ + − <( ( )) ( ( )) | ' | ( )

| ( ) ( ) |g f x h g f x f x h f

f x h f x s

Cho ε > 0, choïn ε’= M -1ε, vaø δ(ε) = min{r ( ( )) ( ( )) | | |g f x h g f x h hε + − < ∀

f ( x+h) – f ( x)| ≤ M | h | < s(ε ’) ∀ h

w



Baøi toaùn 95. Cho f laø moät haøm soáavaøg laø moät haøm soá thöïc treân (c, d ). Cho x

cho f

khaû vi taïi x

,g

khaû taïi z

= f

( x

). Ñaëtu

Chöùng minhu khaû vi taïi x vaøu’(x) =g ’( f° g ’( z) = 0 : u’( x) = 0 (BT 94)° g’( z) = α > 0 . Ñaëtg1(t ) = g(t ) - α t ∀ t∈(c,d ).v(s) = g 1( f(s)) ∀ s∈(a ,b).

g1’(t ) = g’(t ) - α ∀ t∈(c,d )

v’(z) = 0

g1’( z) =

v(s)= g 1( f(s)) = g( f(s)) - α f(s)v’(s)= u’ (s)- α f’(s) 0 = v’(z)= u’ ( z)- α f’

u’(s) = α f’(s) = g’( f ( x)) f ’( x) w



Baøi toaùn 96(Ñònh lyù aùnh xaï ngöôNeáaùnh töø (a ,b) vaøo (c,d ), f lieân tuïc treâna

rong (a ,b) sao cho f khaû taïi x vaø f ’( x) ≠ 0aùnh xaï ngöôïcg ª f -1 cuûa f khaû vi taïi y = 1( )

( ( ))g y

f g y′ = ′

( ) ( )( ) limu x

f u f xf x

u x→

−′ =−

Ñaëtu = g(v) ∀v ∈(c,d )( )( ) lim

v y

g v gg x

v y→

−′ = −

Ñaëts = 2-1min{ y–c , d – y}, c’ = y -s, c’ = y +b’ = g ( y+s). Luùc ñoù f ([a’ ,b’]) laø moät kh[c’,d’]. Töø ñoùg lieân tuïc treân I , vaøg lieânw



1( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

g v g y u x f u f x

v y f u f x u x

−− − −= = − − −

1( ) ( ) ( ) ( ) 1im lim[ ](y u x

g v g y f u f xv y u x f x

−→ →

− −= = ′ − −

( ) ( )( ) limu x

f u f xf x

u x→

−′ =−

Ñaëtu = g(v) ∀v ∈(c,d )( )( ) lim

v y

g v gg x

v y→

−′ = −

Ñaëts = 2-1min{ y–c , d – y}, c’ = y -s, c’ = y +b’ = g ( y+s). Luùc ñoù f ([a’ ,b’]) laø moät kh[c’,d’]. Töø ñoùg lieân tuïc treân I , vaøg lieânim( ) lim( ( ) ( )) 0

v y v yu x g v g y

→ →− = − =

w



Cho

g( y) = arcsin y " y∈[-1, 1]

f ( x) = sin x " x∈ [ −π 2

2 2

1 1 1'( )'( ( )) 1 ( ( )) 1

g y f g y f g y y

= = = − −

Ta thaáyg laø aùnh xaï ngöôïc cuûa f vaø2( ) cos 1 ( ) f x x f x′ = = −

w



Cho f laø moät haøm soá thöïc treân moäc laø moät ñieåm trong (a , b). Ta noùi

† f ñaït cöïc ñaïitaïi c neáu vaø chæ ne f (c) ≥ f ( x) vôùi moïi x∈(a , b† f ñaït cöïc tieåutaïic neáu vaø chæ n

f (c) ≤ f ( x ) vôùi moïi x∈(a , b).

Baøi toaùn 97. Cho f laø moät haøm soá thmôû (a , b) vaøc laø moät ñieåm trong (a , b). Gaïic vaø ñaït cöïc ñaïi taïic. Chöùng minh f ’

m ( ) ( )

( ) lim '

h h

f c h f ch f c

f→ + → −

+ −= =

0 0

im ( ) ( )

lim

h h

f c h f ch

f → + → −

+ − ≤ ≥ 0 0

0w



Baøi toaùn 98. Cho f laø moät haøm soá thmôû (a , b) vaøc laø moät ñieåm trong (a , b). G

aïic vaø ñaït cöïc tieåu taïic. Chöùng minh f ‘

im ( ) ( )

( ) lim '

h h

f c h f ch

f c

→ + → −+ − = =

0 0

im ( ) ( )

lim

h h

f c h f ch

→ + → −

+ − ≥ ≥ 0 0

0

w



Baøi toaùn 99 .Cho f laø moät haøm so[a , b] vaø khaû vi treân moät khoaûng

(a) = f (b). Chöùng minh coùt∈(a , b) sao cCoùc vaød trong [a , b] sao cho f (c) = (d ) = max f ([a , b])

† Neáu f (c) = f (d ) : thì f (c) ≤ f ( x) ≤ f (c)aø aùnh xaï haèng vaø ta thaáy f ’( x) = 0 vôùi

† Neáu f (c) ≠ f (d ) thì hoaëcc hoaëcd phavì f (a) = f (b) .

f ’( c ) = 0 hoaëc f ’( d )

f (c) ≤ f ( x) ≤ f (d ) ∀ x ∈[a , b]

w



Baøi toaùn 100 (Ñònh lyù giaù trmoät aùnh xaï lieân tuïc treân [a , b] vaø kh

hì coù moätc ∈ (a , b) sao cho f (b) - f (a)( ) ( )Ñaët ( ) ( ) ( ) f b f ag x f x x a

b a−= − −−

Ta thaáy g(a) = g(b) vaø

g x f x f b f a

b a x ' ( ) ( )

( ) ( )'= − −−

∀ ∈

Theo baøi toaùn 99, coùc ∈ (a , b) sao chog

' ( ) ( )0 '( ) ( ) f b f ag c f cb a

−= = −−

' ( )( ) f b f cb

=

(b) - f (a) = (b-a)f ’(c )w



Neáu f khaû vi treân (a , b), ñaëtg( x) = f ’( x) vô(a , b). Ta thaáyg laø moät haøm soá treâna , b).

Neáug khaû vi taïi x ∈(a , b), ta thaáyg’( x) = ( f ’)’( x) .

Luùc ñoù ta noùi f coù ñaïo haøm baäc 2taïi x, ñacuûa f taïi x chính laøg’( x), vaø ñöôïc kyù h

(2)( x).

Ta coøn kyù hieäu f (0)= f vaø f (1) = f ‘.

Ta coù theå duøng qui naïp toaùn hoïc ñehaøm baäc caon ≥2 nhö sau : f (n)( x) = ( f (

w



Ñònh nghóa .Cho f laø moät haøm soá thkhoaûng môû (a , b ). Ta thaáy f ‘ laø moät h(a , b ) . Neáu f ‘ lieân tuïc treân (a , b ), ta noC 1 treân (a , b ).

Ñònh nghóa .Cho f laø moät haøm soá threân moät khoaûng môû (a , b ). Ta thaáy f (n)

höïc treân (a , b ) . Neáu f (n) lieân tuïc treâ

huoäclôùpC n

treân (a , b ).

w



Duøng leänh D[f(x),{x,n}] : tính ñaïo haømsoá f .

Ñaïo haøm baäc ba cuûa laøøe x− 1

2e x

x

−−

12

9 8

(

21

12

9 7 5

n[1]: [ ,{ ,3}]

8 36 24Out[1] : ( )

x D e x

xe x x x

−

−

=

= − +

w



Cho c vaød laø hai ñieåm trong khoaûngkhoaûng ñoùng coù caùc ñaàu muùt laøc vaød, va

khaû vi ñeán caápn -1 treân khoaûng môûa ,bXeùt ña thöùc Taylor baäcn taïi c nhö sau

P x c f c f c

k x c n

k

k

nk

− =

−

= + ∑ − 11

1

( , ) ( ) ( )

! ( )

( )

w



Duøng leänh Series[f [x ],{x ,c ,n }] Ta tính ñö

Vaäy ta coù khai trieån Taylor taïi 0haøm soá e x laø

12 6 24

2 3 4

+ + + + x x x x

2 3 4

n[3] : Series[ ,{ ,0,4}]1 1 1Out[3] : 1 o[ ]2 6 24

xe x

x x x x x

=

= + + + + +

w



Ñònh lyù. (Taylor). Cho c vaød laø hai ñikhoaûng môû (a ,b), I(c,d) laø khoaûng ñoùn

aøc vaød, va ø f laø moät haøm khaû vi ñeámôû (a ,b), vôùin ≥ 2. Luùc ñoù coùs∈ I (c,

f d P d c f s

nd c

f c f c

k d c

f sn

n

nn

k

k

nk

n

( ) ( , ) ( )

!( )

( ) ( )

!( )

( )!

( )

( ) ( )

= + −

= + ∑ − +

−

=

−

1

1

1

P x c f c f ck

x c nk

k

n k −

=−= + ∑ − 1

1

1( , ) ( ) ( )!

( ) ( )

w



Baøi toaùn 101. Tính vôùi sai soá n2Xeùt f ( x) = vôùi moïi x∈(0, ∞). Duøng q

minh f coù ñaïo haøm moïi baäc vaø vôù x

x

Ñaëtc = 100 vaød

( ) ( )1

1

( ) ( )( ) ( ) ( ) (! !

k nnk

k

f c f sf d f c d c d c

k n

−

== + − + −

∑98 10

1002 2

1

1= + ∑ − + −

=

− f k

f sn

k

k

nk

nn

( ) ( )( )!

)( ) ( )

!( )

9827

= Tính 98

1 3(2)1 1 12 2

2 2 21

( ) 1 1 1 3 2

2 2 2

( ) , ( ) ,

( ) ( 1) ( )nn n

f x x f x x

f x n x n

− −

− +−

′ = = −

= − −

w



98 10 100

2 21

1= + ∑ − + −

=

− f k

f sn

k

k

nk

nn

( ) ( )( )!

( ) ( )

!( )

Choïnn sao cho sai soá | ( )

!( ) |

( ) f sn

nn− ≤2 1

2 1

798

1

710

1002

1

1= ≈ + ∑ −

=

−[

( )

!( )

( ) f

k

k

k

n

( ) 12( ) ( 1)!Sai soá : | ( 2) | (98)

! !

nnn f s n

n n

− + −− ≤

8

415

n[1]: [ 49 ]

Out[1] : 3.46933 10

N

−

−=

=

516

In[2] : [ 49 ]

Out[2] : 5.90022 1

N −=

= w



Vôùi sai soá nhoû hôn 10-8 , ta coù theå choïcuûa laø2 1,414213562

3

5

1 32 2100 100

52100

92100

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

n[9] : N[ (10 ( 2)7 2 2 2 2

3 3( 2)6 2 2 2 24 2 2 2

3 5 7 ( 2) ), 171 2 0 2 2 2 2 2

Out[9] : 1.4142135623750000

− −

−

−

= + − −

+ − −

+ −

=

( )5

1

1 1 (100)2 98 [10 ( 2) ]7 7 !

k k

k

f k =

= ≈ + −∑

w



( ) (1

1

( )( ) ( ) ( )!

k nn k

k

f c ff d f c d ck n

−

== + − +∑

Ñònh lyù. (Maclaurin)Cho f laø moäthaøm f (n) caápn treân (a ,b) vôùi moïi soá

Giaû söû coùr > 0 sao cho [-r , r ] ⊂ (a ,b)

Luùc ñoù( )

1(0)( ) (0) !

k

k

k f f t f tk

∞

== + ∑

lim!

sup[ , ]

| ( )|( )

n

nnr

n x r r f x

→∞∈ −

= 0

Ñònh lyù Taylor cho ta : coùs ∈ I (c,d ) sao

w



vôùic = 0 va ø d = t : coùs ∈ I (0 ,t ) sao cho( ) ( )1

1

(0) ( )( ) (0)

! !

k nnk n

k

f f sf t f t t

k n

−

=

= + +∑

lim ( )

n

n f n→∞

( )!

|!

sup[ , ]

| ( )|( )

( )f sn

t r

n x r r f x

nn

nn≤

∈ −

im ( )

! lim[ ( ) ( ) ( )

!

( ) ( )k

k

nk

n

n f k t f t f

f sn→∞ =

−

→∞∑ = − −0

01

1

f k

t f t f k

k ( ) ( )

!( ) ( )

00

1=

∞∑ = −

( ) ( )1

1

( ) ( )( ) ( ) ( ) (! !

k nnk

k

f c f sf d f c d c d c

k n

−

== + − + −

∑

Ñònh lyù Taylor cho ta : coùs ∈ I (c,d ) sao

w



Cho f ( x ) = e x vôùi moïi x œ — . Ta thaáybaäc treân — vaø f (n)( x) = e x " x œ — vaø f (n)

n f x

r er

n x r r r

nn

n

!| ( )|

![ , ] ,( ) ≤ ∀ ∈ − ∀

n x r r f x r er

n

nn

n

! sup[ , ]| ( )| !( )

∈ − ≤2 2 2 2

221

2

( )

2 ! 1.2....2 ...2( ) ( ) 2

k k k k

k

k k

r r r r e r e r e r r ek k k k k

r r r e e k rk

= ≤ ≤

= ≤ ∀ >w



im!

sup[ , ]

| ( )| lim!

( )n

n

n

nr n x r r

f x r e r

n→∞ →∞∈ −

≤

lim ( )m

m

→∞ =12 0 lim ( )m

r m

e→∞ =12 0 lim m re→∞

im!

n r r en→∞

= 0

2 2 2 2

221

2

( )2 ! 1.2....2 ...2

( ) ( ) 2

k k k k

k

k k

r r r r e r e r e r r ek k k k k

r r r e e k rk

= ≤ ≤

= ≤ ∀ >

w



( )

1 1

(0) 1( ) (0) 1

! !

nn

n n

f t f t f t t

n n

∞ ∞

= =

= = + = + ∑ ∑t f t

nt t

n

n= = + ∑ ∀ ∈ −=

∞( )

!( 1

1

1

Cho f ( x ) = e x vôùi moïi x œ —. Ta thaáy f baäc treân — vaø f (n)( x) = e x " x œ — vaø fÙ

im!

sup[ , ]

| ( )|( )n

nr n x r r

f x→∞

∈ −= 0

Ñònh lyù (Maclaurin) ( )

1

(0)( ) (0) !

k

k

k

f f t f t tk

∞

== + ∀∑

w

Ñònh lyù (L’ Hoâpital).Cho f vaøg laø ha

reân khoaûng môû (a ,b) sao cho g’( x) ≠ 0 vô

ôû ñaây -¶ ≤ a < b ≤ ¶ . Giaû söû giôùi ha

xaùc ñònh.

Ta coù trong caùc

(i)

(ii)

( ) ( )lim lim( ) ( ) x a x a f x f xg x g x→ →

′= ′

lim ( ) lim ( ) x a

f x x a

g x

→=

→= 0

lim ( ) x a

g x→

= ±∞w



Tính lim ln( )

x

x x→+

0

1 3

Ñaëtu ( x ) = ln(1+3x) vaøv ( x ) = x " x

lim ( ) lim ( )x

u x x

v x→

=→

=0 0

0

x x

' ( ) = +3

1 3v x' ( ) =1

lim

( )

( ) lim

' ( )

' ( ) limx

u x

v x x

u x

v x x x→ = → = → + 0 0 0

3

1 3

w



TÍNH GIÔÙI HAÏN CAÙ

I † Duøng tính lieân tuïc cuûa cCho f laø moät haøm soá thöïc treân khoaa ,aïic∈(a , b). Luùc ñoùlim ( ) ( )

x c f x f c

→=

Baøi toaùn 102. Tính giôùi haïn6

4 34lim

x x

x → − = − + = +6 2 4 2Ñaët ( ) 4 5 va ( )g x x x ø h x x x

− += =+

6 2

4 24 5 ( )

( ) ( ) x x g x

f x x x h x ∀ ∈[0,3] x ∀

lieân tuïc treân [1 , 3], ∈3 (1,3)6

4 3

4 lim

x

x x x →

− +w



II † Duøng caùc keát quaû cuûa2

2 120

2 1 2 10 0

lim lim

1lim lim

1 1lim lim

n n

x x

nn x x

n n x x

x x

x x

x x+ −

→∞ →−∞+

→−∞ →

+ +→ →

= ∞ = ∞

= −∞ = ∞

= ∞ = −∞


4

4lim→∞

− x

x x

6 2 6 4 6 2

4 2 4 2

4 5 (1 4 5 ) 1 4(1 )

− −

− − + − + −= =

+ + x x x x x

x x x x x

w



4 64 5- -- + x x

0 0

1

x → ∞

0

x → ∞

21 -+ x

6 2 4 62

4 2 24 5 1 4 5lim lim

1

− −−→∞ →∞

− + − += + + x x

x x x x x x x x

w




2 1lim

1+→

+− x

x x

Đặt y = x -1 x = y + 1 2 x +1 = 2 y + 3

1 0 0

2 1 2 3 1im lim lim (2 3)

1+ + +→ → →

+ += = +− y y

x y y

x y y

0lim (

+→ y

1

2 1lim

1+→

+ = ∞− x

x x

w




2 1lim

1−→

+− x

x x

Đặt y = x -1 x = y + 1 2 x +1 = 2 y + 3

1 0 0

2 1 2 3 1im lim lim (2 3)

1− − −→ → →

+ += = +− y y

x y y

x y y

0lim (2

−→ y

1

2 1lim

1−→

+ = −∞− x

x x

w



Baøi toaùn 106. Tính giôùi haïn 2lim( 5→∞

− x

x

22 2

2

2 2 1

2 1 2

5 5 1 ( 5 1 )

5

5 1 ( 5 )

5 1 ( 1 5 1)

−

− −

− − + − = − + −−

− + − − + = =− + + − + +

x x x x x x x x

x x

x x x x x

x x x x x x

2

1

5 lim( 5 1 ) lim

1 5 − →∞ →∞

− +− + − = − x x

x x x x w



III † Duøng caùc keát quaû cuû7.7.2.3 .

Cho v laø moät haøm soá thöïc döông trea , bn(v( x)) vôùi moïi x trong (a ,b). Ta coù

( ) lim ( ) lim ( ) ,

( ) lim ( ) lim ( ) ,

( ) lim ( ) lim ( ) 0 .

x c x c

x c x c

x c x c

d i f x d v x e

ii f x v x

iii f x v x

→ →

→ →

→ →

= ⇔ =

= ∞ ⇔ = ∞

= −∞ ⇔ =Baøi taäp naøy giuùp ta tính caùc giôùi hcoù daïng tích hoaëc luyõ thöøa

im , lim 0, lim ln . x xx x

e e x→∞ →−∞ →∞ = ∞ = = ∞

w



Ñaët f ( x) = ln xδ = δ ln x

lim ( ) x

f x→∞

= ∞ lim x

xδ

→∞= ∞

Baøi toaùn 107. Cho δ > 0 . Tính giôùi haï

w



Baøi toaùn 108. Tính giôùi haïn 20

3 5lim( )7 x

x x→

++

im ( ) 0 f x→∞

=

2 23 5 3 5Ñaët ( ) ln( ) ln( )

7 7 x x x f x x

x x+ += =+ +

20

3 5lim( ) 17 x

x x x→

+ =+ w



IV† Duøng baøi taäp 7.7.3.5) lim , lim 0,

ln) lim 0.

n n

x x

x

x xi x e x e

xii

x

−

→∞ →−∞

→∞

= ∞ = ∀

=

Baøi toaùn 109. Tính giôùi haïn 1lim x

x x

→∞1 lnÑaët ( ) ln x x

f x x x

= = lim ( ) li x x

f x→∞

= 1

lim 1 x

x x

→∞=

w



Baøi toaùn 110. Tính giôùi haïn 21

lim x

x→∞

21

2lnÑaët ( ) ln x x

f x x x

= = Ñaët y = x2 x →

1/ 2

2

n ln 1 ln

2

x y y

x y y= =

1/ 2

2ln ln 1 lnim ( ) lim lim lim

2x y y

x y y f x

x y y→∞ →∞ →∞ →∞ = = =

21

lim 1 x

x x

→∞=

w



V† Duøng nguyeân taéc Hoâpit

Baøi toaùn 111. Tính giôùi haïn

1

0lim(1 6 ) x

x x→ +1 ln(1 6 )Ñaët ( ) ln(1 6 ) x x

f x x x+= + =

u’( x) =Ñaëtu( x) = ln(1+6 x) , v( x) = x

0 0 0 0

ln(1 6 ) ( )im ( ) lim lim lim( )x x x

x u x u f x x v x v→ → → →

+= = =

16

0lim(1 6 ) x x

x e→

+ =w



Baøi toaùn 112. Tính giôùi haïn6lim(1 )

y

y y→∞

+

Ñaët x = y -1 y → ∞ x →01 ln(1 6 )Ñaët ( ) ln(1 6 ) x x

f x x x+= + =

u’( x) = 6 ,v’( x)Ñaëtu( x) = 1+6 x , v( x) = x

0 0 0 0

ln(1 6 ) ( )im ( ) lim lim lim( )x x x

x u x u f x x v x v→ → → →

+= = =

16

0

6lim(1 ) lim(1 6 ) x y x

y x e y

=→∞ →

+ + =w



VI† GIÔÙI HAÏN CUÛA DAÕ

Baøi toaùn 113. Tính giôùi haïn

2

2lim 3

n

nn

e ee→∞

−

2

23Ñaët ( )

3 5

x x

x

e e f x

e− +=

+2 2 2

2 2 23 (1 3 ) 1

3 5 (3 5 ) 3 x x x x x

x x x

e e e e e ee e e

− −

− − + − + = =

+ + 2

2lim 3

n

nne

e→∞ −

w




7 3limn

n

nn

−+

→∞

57 3Ñaët ( )

x x f x x−

+=5Ñaët ( ) ln

7 3 x

g x x x− =

+

lim ( ) lim7 x x

g x→∞ →∞

=

lim ( x

f→∞

57lim

nn

nn

−+

→∞

w



T Í C H P H A

Ñònh nghóa.

Cho A

laø

moät

taäp

con

vaø f

laø moät aùnh xaï töø

A

vaøo

— , ta

n

soá thöïc

lieân

tuïc

ñeàu

treân

A neáu

vaø

c

"

> 0 , $ ( )

> 0 sao

cho

f ( x) - f ( y) | <

" x

vaø

y A

sao

Cho I laø moät khoaõng trong A coù chieà( ). Cho x vaø

y

trong

I

sao

cho

f(x) va

ieåu vaø

cöïc

ñaïi

cuûa

trong I . Luùc ñoù

f ( y) – f

( x) <

I



Cho f laø

moät

haøm

soá

lieân

tuïc

treân

kh

aø dieän

tích

cuûa

hình

giôùi

haïn

bôûi

ñoà

t

vaø caùc

ñöôøng

thaúng

thaúng

goùc

vôùi

tru

muùt a vaø b vôùi truïc hoaønh.

a

S

Cho moät soá thöïc döông , chuùng taai soá

nhoû

hôn

.

Nhöng dt(S ) laø gì ? Laøm sao xaù

Ñònh nghóa. Cho moät

khoaûng

ñoùng

höïc a 0

, a 1

,

, a n

, c1

,

, cn

sao cho

n-1

< a n

= b vaø

ck

[a k-1

, a k

] vôùi m

Luùc ñoù

ta

noùi

P =

a 0 , a 1

, , a n-moät

phaân

hoaïch

cuûa

khoaûng

[a ,

b] va

|P | = max a 1 - a 0 , a 2

- a 1 , , a n

Ñaët P ([a ,b]) laø

taäp

hôïp

taát

caû

caùc

ph

a

a0 c1

a1 c2

a2

c3

a3



Ñònh nghóa.Cho moät

haøm

soá

thöïc

f

ñoùng [a ,

b] vaø

P =

a 0

,a 1

, , a n-1

,a nphaân

hoaïch

cuûa

khoaûng

[a ,

b]. Ta ña

vaø goïi

toång

soá

naøy

laø

toång

Riemann

tö

hoaïch P .

S f P f c a ak k

nk k ( , ) ( )(

1

a0

c1

a1

c2

a2

c3

a3

Ñònh nghóa. ChoP =

a 0

,a 1

, , a n-1

,aphaân

hoaïch

cuûa

khoaûng

[a ,b]. Ta ña

rong {1,. . .,n} vaø

P’

=

a 0

,a 1

, , a

Ta thaáy P’ laø moät phaân hoaïch cuûa [a,

a0 c1 a1 c2 a2 c3 a3a0 c1 a1 c2 a2 c3 a3

c1d 1 d 2

d 3 d

4

Baøi

toaùn

TP1. Cho moät

haøm

soá

thöïcmoät khoaûng ñoùng [a , b], vaø laø moChöùng

minh coù

moät

soá

thöïc

döông

(

|S ( f,P ) -S ( f,P’ )| < P P ([a

Ñònh nghóa. ChoP =

a 0

,a 1

, , a n-1 Q =

d 0

,d 1

, , d m-1

,d m

; d 0

,

, d m-1

cuûa khoaûng

[a ,b]. Ta noùi

P

Q

neáu

a 0

,a 1

, , a n-1

,a n

} d 0

,d 1

, , d

a0

a1

a2

a3

a

d 2

d 6

d 8d

0d

1d

3d

4d

7d

9d

10

Baøi toaùn

TP2.

Cho moät

haøm

soá

thöïc

khoaûng ñoùng

[a ,

b], vaø

laø

moät

soá

t

minh coù moät

soá

thöïc

döông

( ) sao

ch

|S ( f,P’ ) - S ( f,Q’ )| < P, Q

P

a 0 a 1 a 2 a 3a

d 2

d 6

d 8d

0d

1d

3d

4d

7d

9d

10

Cho > 0, tìm ( ) > 0 sao choS ( f,Q’ ) - S ( f,P’ )| < P, Q

P

([a , b

1

10

( , ') ( )( )m

k k k k

S f Q f d d d

1

1 1

10 0

1

10

( , ') ( )( ) (

( )( ) j k j

n n

j j j j j

n

j k k j a d a

f P f a a a f a

f a d d

Cho > 0, tìm

( ) > 0 sao

cho

S ( f,Q’ ) - S ( f,P’ )| < P, Q

P

([a , b

1

10( , ') ( )( )

m

k k k k

S f Q f d d d

1

1

10

( , ') ( )( j k j

n

j k j a d a

S f P f a d d

1

1

1

0

( , ') ( )( j k j

n

k k k

j a d a

S f Q f d d d

1

1

0( , ') ( , ') | | [ (

j k j

n

k j a d a

S f Q S f P f d

Cho > 0, tìm

( ) > 0 sao

cho

S ( f,Q’ ) - S ( f,P’ )| < P, Q

P

([a , b]

1

1

1

0

1

0

( , ') ( , ') | | [ (

| ( )

j k j

j k j

n

k j a d a

n

k

j a d a

S f Q S f P f d

f d

a 0 a 1 a 2 a 3a

d 2

d 6

d 8d

0d

1d

3d

4d

7d

9d

10

Cho ’ > 0, coù ’( ’) > 0 sao cho| f ( y) - f ( x)| < ’

x,y

[a , b

1

1

10

| ( , ') ( , ') | '( j k j

n

k j a d a

S f Q S f P d

Cho > 0, tìm

( ) > 0 sao

cho

S ( f,Q’ ) - S ( f,P’ )| < P, Q

P

([a , b

Cho ’ > 0, coù ’( ’) > 0 sao cho

| f ( y) - f ( x)| < ’

x,y

[a , b

1

1

10

( , ') ( , ') | '( j k j

n

k j a d a

S f Q S f P d

1

1

0( , ') ( , ') | ' (

n

j k j

n

j a d a

S f Q S f P d

Cho > 0 , ñaët

’ = (b-a)-1

, ta

coù

’

( ) = ’( ’)

haøm

soá

thöïc

khoaûng ñoùng

[a ,

b], vaø

laø

moät

soá

t

minh coù moät

soá

thöïc

döông

( ) sao

ch

|S ( f,P ) - S ( f,Q )| < P, Q

P

([a , bCho

> 0, tìm

( ) > 0 sao

cho

|S ( f,P ) -

S ( f,Q )| < P, Q

P

([a , b

Cho > 0, coù ( ) > 0 sao cho|S ( f,P ) -

S ( f,P’ )| 0, coù

( ) > 0 sao

choS ( f,Q’ ) - S ( f,P’ )| < P, Q P ([a , b]

Cho ” > 0, coù ”( ”) > 0 sao cho

|S ( f,U’ ) - S ( f,V’)| < ”

U, V

P

|U | <

Ta öôùc löôïng

|S ( f,P’ ) -

S ( f,Q’ )|

Neáu P

vaø

Q

laø

caùc

phaân

hoaïch

cuûa

[a

coù ñaàu muùt laàn löôït laø {a 0

,a 1

, . . .,a n

} choïn

V

laø

moät

phaân

hoaïch

cuûa

[a,b ] th

ñaàu muùt

laø

{a 0

,a 1

, . . .,a n

,d 0

,d 1

, . . .,d m

}

S ( f,P’ ) - S ( f,Q’ )| < 2”

P, Q

P

([a ,

S ( f,P’ ) - S ( f,Q’ )|

S ( f,P’ ) -

S ( f,V’)| +S

Ñònh nghóa.

Cho moät

khoaûng

ñoùng

[a

a n,k

= a + n-1k (b-a )

n

, k =

P n

= {a n,0 , a n,1

,. . .,b; a n,0 , a n,1

,. . .,

Ta goïi P n

laø phaân hoaïch ñeàu thöù n c

Baøi toaùn TP4. Cho moät haøm soá thöïc khoaûng ñoùng

[a ,

b], ñaët

sn

= S ( f,P n

) vChöùng

minh {sn

} hoäi tuï

veà

moät

soá

thö

a

Cho moät > 0, tìm moät soá nguyeân N |sn

– s m

| < n > m



Ñònh nghóa.

Cho moät

haøm

soá

thöïc

ñoùng [a ,b]. Ta noùi

f

khaû

tích

Riem

höïc

sao cho

vôùi

moïi

soá

> 0 , ta

co

| - S ( f ,P) |

P P ([

a0 c1

a1 c2

a2

c3

a3

|P | = max a 1

-

a 0 , a 2

-

a 1

,

, a n

-

a

Luùc ñoù

ta

goïi

laø

tích

phaân

cuûa

f

hieäu laø f t dt a

b ( )z



Ñònh lyù.

Cho

f

laø

moät

haøm

soá

thöïc

lie

khoaûng ñoùng

[a ,

b] . Luùc

ñoù

f khaû

tí

Ta kyù hieäu ( )a b

b at dt f t

ntegrate[f(x), x,a,b ] : tính

tích

ph

NIntegrate[f(x), x,a,b ] : tính xaáp xn[1]:= Integra te x 3

* ArcTan x x 1

ut[1]= 1-6

x arctgxdx3 16



n[3]:= Integrate x ^ 3 * ArcTan x

ut[3]= - 198 + 3885 Ar cTan[ 6]- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

12

n[4]:= NIntegrate x ^ 3 * ArcTan x

ut[4]= 438. 578

x arctgxdx arctg3 198 3885

12



Cho f

laø

moät

haøm

soá

thöïc

lieân

tuïc

tre

a , b] . Luùc

ñoù

f khaû

tích. Ñeå

giaûi

caù

veà tích

phaân

cuûa

f

, chuùng

ta

laøm

nhö

Xöû lyù baøi toaùn döïa treân toång Riem

Duøng tính chaátlim ( , ) b

n anS f P f

Vôùi moïi

soá

nguyeân

n, choïn

phaân

hoa

a , a + n-1(b -

a), , a + (n -1)n-1(b

-

a + n-1(b -

a), , a + (n-1)n-1(b

-

a)

1( , ) ( ) ([ (

n

nk

b af P f a k ñd a k

n

1( )n

k

b a b a f a k n n



Baøi toaùn 114.Cho

f

va ø glaø

caùc

ha

reân moät

khoaûng

ñoùng

[a ,

b], vaø

Chöùng minh ( )( ) ( ) f g t dt f t

a

b

a

bz z

1( ) ( )(

n

nk

bS f g ,P f g a k

1[ ( ) ( n

k

b - a f a k g a kn

ChoP n

= a , a + n-1(b -

a), , a +

+ n-1(b -

a), , a + (n-1)n-1(b

-

a) , b

cuûa khoaûng ñoùng [a , b].



1( ) ( )

n

n k

b a b aS f ,P f a k

n n

1( ) ( )(

n

nk

bS f g ,P f g a k

1 [ ( )

n

k

b - a f a k gn

1( ) ( )

n

n k

b a b aS g ,P g a k

n n



( )( ) ( )b ba a

f g x dx f x d




f

laø

moät

haøm

so

moät khoaûng

ñoùng

[a ,b] vaø

c

(a ,b ).

( ) ( )b c b

a a c f t dt f t dt f { , , , ( 1) , ;n

c a c a cQ a a a n c a

n n n

{ , , , ( 1) , ;n

b c b c bR c c c n b c

n n n

{ , , , ( 1) , ,

, , ( 1) , ,

n

c a c a b cP a a a n c cn n n

c a c a b ca a n c c

n n n



1 1( , ) ( )

n n

nk k

c a c af P f a k f

n n

1( , ) ( )

n

nk

c a c af Q f a k

n n

( , )nS f R



1( , ) ( )

n n

nk k

c a c af P f a k

n n

1( , ) ( )

n

nk

c a c af Q f a k n n

( , )nS f R

( ) ( )b c b

a a c f x dx f x dx



1( ) ( )

n

nk

b a b a f ,P f a k

n n


f

vaø

g

laø

hai

ha

reân [a ,

b] . Giaû

söû

f ( x)

g( x)

x

[a

( )b b

a a f t dt g

1( ) ( ) n

nk

b a b a g ,P g a k n n

( ) ( )b b

a a f t dt g t dt



| ( f ta

bz

1( ) ( )

n

nk

b a b a f ,P f a k

n n


f

laø

moät

haøm

so

a , b] .

Chöùng

minh

| ( ) | | f t dt a

b

a

bz z

1(| ) ( )| n

nk

b a b a f |,P | f a k n n

f

laø

moät haøm s

th

moät khoaûng

[a ,

b]. Ñaët

Chöùng minh G laø

moät

haøm

soá

lie

( ) ( ) x

aG x f t dt x

Cho moät

> 0 , tìm moät

( ) > 0 sao

c

G( x) – G( y) | < x

, y

[a ,

b] , | x

( ) ( ) ( ) ( ) x y

a aG x G y f t dt f t dt

( ) ( ) | | ( ) | | y y

x xG x G y f t dt f

Cho moät

> 0 , tìm moät

( ) > 0 sao

c

G( x) – G( y) | < x

, y

[a ,

b] , | x

( ) ( ) | | ( ) | | y y

x xG x G y f t dt f Vì

f

lieân

tuïc

treân

[a ,b], neân

coù

moät

so| f (t ) |

M

x

, y

( ) ( ) | | ( ) | y

xG x G y f t dt M

( ) = M -1

G( x) – G( y) | < x

, y

[a ,

b



Baøi toaùn

120.

Choc

laø

moät

soá

thöïc

v

x [a ,

b] .

Chöùng

minh ( )b

a f x dx

1 1( ) ( )

n n

nk k

b a b a f ,P f a k

n n

( )d f x xa

b

( , ) ( )nS f c b aP = -

(b

a f x




f

laø

moät haøm s

th

moät khoaûng

[a ,

b]. Ñaët

Chöùng minh G khaû vi treân (a ,b) vaøG’

( ) ( x

a

G x f t

( ) ( )

x h

x f x dt f x h

0

( ) ( )im ( )G x h G x f x

h

( )( ) ( ) x h x

a a f t dtG x h G xh h

1( ) = (

x h

x f x f

h

0

(lim |h

G x hh

( ) ( ) 1( ) ( ) x h

x

G x h G x f x f t dt

h h

h > 0



Cho moät

> 0, tìm ( ) > 0 sao

cho

( ) ( ) 1| ( ) | | x h

xG x h G x f x

h h

( ) ( ) 1( ) ( )

1[ ( )-

x h

x

x h

x

G x h G x f x f t dt

h h

f t fh

1 1[ ( )- ( )] | | [| |

1 | (| |

x h x h

x x

x h

x

f t f x dt f th h

f th



Cho moät

> 0, tìm ( ) > 0 sao

cho

( ) ( ) 1| ( ) | | x h

x

G x h G x f x

h h

1 1| [ ( )- ( )] ||

1|

x h

x f t f x dt

h h

h

Cho moät

> 0, tìm

( ) > 0 sao

cho

1 | ( )- ( ) || |

x h

x f t f x dt

h

h > 0




f

laø

moät

haøm

soá

th

a ,b]. Giaû söû

coù

haøm

soá

v lieân

tuïc

tre

reân (a ,b) vaø

v’( x) = f ( x) vôùi

moïi

x

(

( ) ( ) ( ) x

a

f t dt v x v a

Ñaët ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) x

a

G x f t dt u x v x v a G

= ( ) - ( ) = 0 '( x ) v'( x ) G'( x ) f x f x

t

(a , b),

x

(a , b) : u(t ) –

u(a) =

u(t ) =u(a) = 0 t

[a , b) u

lieân tuï( ) lim ( ) 0

t bb u t

0 ( ) ( )v x v a u(t ) = 0 t [a ,b]




f

laø

moät

haøm

soá

th

a ,b]. Giaû söû

coù

haøm

soá

v lieân

tuïc

tre

reân (a ,b) vaø


moïi

x

(

( ) ( ) ( ) x

a

v x f t dt v a

Ñònh nghóa. Cho

f

laø

moät

haøm

soá

thö

a ,b]. Cho haøm soá v lieân tuïc treân [

a,ba ,b) vaø


moïi

x

(a ,

b)

v

laø

moät

nguyeân

haøm

cuûa

f

treân

(a ,b

tích phaân xaùc ñò( ) la cuûnh x

a f t dt ø

( ) ( ) [ , x

a

v x f t dt c x a b



3 7 30Baøi toaùn 124 . Tính ( x x

Baøi toaùn

123 giuùp

ta

tính

tích

phaâ

ieân tuïc

treân

moät

khoaûng

[a ,b] nhö

sau

ieân tuïc

treân

[a ,b] vaø

khaû

vi treân

(a

vôùi moïi x (a ,b) . Luùc ñoù ( )b

a f t dt

8 41 18 4Ñaët ( ) 5 vôv x x x x

Duøng nhaän xeùt beân treân ta coù3 7 3 81

80( 5) (3) (0) ( x x dx v v x




f

laø

moät

haøm

soá

th

moät khoaûng

ñoùng

[a ,

b]. Luùc

ñoù

coù

c

( ) ( )(b

a f x dx f c b

Coù c

(a ,

b) : G(b)

– G(a )

= G’ (c)(b-

( ) ( ) ( )b aa a

G b G a f x dx f

Ñaët ( ) ( ) [ , x

aG x f t dt x a b

G lieân tuïc treân [a , b] , khaû vi treân (a ,vôùi moïi

x

trong

(a ,

b).

( ) ( )b

a f x dx f c




u

va ø vlaø

caùc

haø

uïc treân

(c,

d ), vaø

cho

moät

khoaûng

[a ,

Ta coù( ) ( ) [ ( ) ( ) (

b

a u t v t dt u b v b u a v Ñaët

G(s) = u(s)v(s)

vôùi

moïi

s (c,

d

G’(x) = u‘(x)v(x) + u(x)v’(x) v

[

b

a

b

a

( b )v( b ) u( a )v( a ) u( t )v'( t )

u( t )v'( t )dt

b

aG( b ) G( a ) G'( t )dt



Baøi toaùn

126 cho

ta

phöông

phaùp

phaàn cho

caùc

haøm

soá

coù

daïng

tích:

(ña thöùc).(bieåu thöùc löôïng giaùc) (ln

x, arctg

x, arcsin

x, arccos

x). ( ñ

0Baøi toaùn 127 . Tính co x xdx

Ñaët u( x) = x

vaø

v(x) = sin

x u’ ( x)

0 0

0

0

cos ( ) ( )

( ) ( ) (0) (0)

sin( ) cos co

x xdx u x v x dx

u v u v u

x dx



g( x) = f ( x) -

P n-1

( x,c) x

(c,d ). Lu

1( )( )

( ) ( 1)!

nd n

c

d x

g d fn

Ñònh lyù

(Taylor)

. Cho a , b, c vaø

d

cho [c,d ]

(a ,b),

va ø f

laø

moät

haøm

kh

khoaûng môû

(a ,b),

vôùi

n

1. Ñaët

g( x)

vôùi moïi x trong (c,d ) . Luùc ñoù

( )1

1

( )( ) ( ) ( )!

kn d k

ck

f c f d f c d c

k



( )1

1

( ) (( ) ( ) ( )! (

km d k

ck

f c dd f c d ck m

n = 1 : (1)

( ) ( ) ( )d

c f d f c f x dx

Giaû

söû

n =m

1 ñuùng

:

( )1

1

( ) (( ) ( ) ( )! (

kn d k

ck

f c dd f c d c

k n

Xeùt

n =m +1

( )

1

( ) (( ) ( ) ( )!

km d k

ck

f c dd f c d ck m



( )1

1

( ) (( ) ( ) ( )! (

km d k

ck

f c dd f c d c

k m

Xeùt

n =m +1

( )

1

( ) (( ) ( ) ( )!

km d k

ck

f c dd f c d c

k m

1( )

( ) ( 1

( ) ( )( )( 1)! !( )

!( ) ( )( )

! !

m md m

c

md

c

m md m m

c

d x d x f x dxm m

d xm

d c d x f c f

m m



Baøi toaùn 128 .Cho

f

laø

moät

haøm

so

moät khoaûng

[a ,b], h

laø

moät

haøm

soá

th

khoaûng ( p,q), vaø

khoaûng

[c,d ]

( p,

chöùa trong [a , b]. Chöùng minh

( ( )) 'd

c f h s h

Choïn u

sao

cho

u’

= f . Ñaët

v = u oh

v’(s) = u’ (h(s ))h’(s)

( ( )) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( ( ))

d d

c c f h s h s ds v s ds v d v

u h d u h c

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( (h d h d

h c h c f x dx u x dx u h d

v’(s) = f (h(s

xaùc

ñònh

vôùi

moïi

[c,

d ]

Coù

moät

soá

thöïc

sao

cho

vôùi

mo

ìm ñöôïc

moät

soá

thöïc

döông

ñeå

cho

| - | < khi | 0 - c |

f t dt

c

d ( )z

f t dt c

d

( )z

d

c

1 =2 x 2( ) d

cdx d c

x

1. Cho ( ) vô

Chöùng minh khaû tích treâ

f x x

f

Baøi toaùn 129

xaùc

ñònh

vôùi

moïi

[c,

d ]

Coù

moät

soá

thöïc

sao

cho

vôùi

mo

ìm ñöôïc

moät

soá

thöïc

döông

M

ñeå

cho

| - | < khi c - M

f t dt c

d ( )z

f t dt c

d

( )z

d

2c

1 =arctg arctg - arctg

1

d

cdx d c

x

21. Cho ( )

1

Chöùng minh khaû tích tre

f x x

f

Baøi toaùn 130



Choa , b, a1 , ... , a n trong

sao

cho

a

Cho f laø moät

haøm

soá

lieân

tuïc

treân

ñöôïc goïi laø moät haøm soá lieân tuïc töø

A

Ñònh nghóa.Cho f laø

moät

haøm

soá

th

ñoaïn treân moät khoaûng môû (a , b) (vôù öû

tích phaân suy roäng cuûa f treân

caùc

k

an-1

,a n

). Luùc ñoù

ta

noùi

tích

phaân

Rie

a , b) xaùc

ñònh, ñöôïc

kyù

hieäu

laø

A

f t dt a

i

ai

i

n( )z 1

1

1(b

a f t



BAØI TAÄP GIAÛI TÍCH 1

1.5.2.6. Cho A vaø B laø hai taäp con cuûa taäp E . Chöùng minh E \ (A ∩B ) = ( E \A)∪(E \B ).

Giaûi.

Ta coù

• E \A = {t ∈ E : t ∈ A}.

• E \B = {u ∈ E : u∈ B}.

• (E \ A)∪(E \ B ) = {x∈ E : x ∈ E \ A hoaëc x∈ E \B}= {x∈ E : x ∈ A hoaëc x ∈ B}. (1)

• E \ (A ∩B ) = {s ∈ E : s ∈ A ∩B}.

Ñaët P laø “s∈

A ∩B ” hay “s∈

A vaø s ∈ B ”, ta coù ∼ P laø “s ∈ A hoaëc s ∈ B ”. Töø ñoù ta coùE \ (A ∩B ) = {s ∈ E : s ∈ A hoaëc s ∈ B}. (2)

Töø (1) vaø (2) ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.1.5.3.9. Tìm phuû ñònh cuûa meänh ñeà sau: “x ≤ a vôùi moïi x ∈ A ” vaø “a ≤ b neáu x ≤ b vôùi

moïi x ∈ A”.Giaûi.

Ñaët P = “ x ≤ a vôùi moïi x ∈ A”, vaø q = “ a ≤ b neáu x ≤ b vôùi moïi x ∈ A ”. Vaäy meänh ñeàcho saün coù daïng “P vaø Q” vaø phuû ñònh cuûa noù laø “

∼ P hoaëc

∼ Q”. Ta coù

• “ ∼ P ” : “ coù x ∈ A sao cho x > a ”.

• Q : “a ≤ b ∀ b ∈ {c : x ≤ c ∀ x ∈A}.

• ∼ Q : “∃ b ∈ {c : x ≤ c ∀ x ∈ A} sao choø a > b ”.

• “ ∼ P hoaëc∼ Q” : “ coù x ∈ A sao cho x > a ” hoaëc “∃ b sao cho x ≤ b ∀ x ∈ A vaø a > b ”.

1.5.3.14. Chöùng minh khoâng coù hai soá nguyeân döông m vaø n sao cho mn

= √ 2.Giaûi.

Giaû söû coù hai nguyeân döông m vaø n sao cho mn

= √ 2. Goïi d laø öôùc soá chung lôùn nhaát c

m vaø n, luùc ñoù coù hai nguyeân döông p vaø q sao cho m = dp vaø n = dq . Ta coù p

q =√

2 vaø p vaøq coù öôùc soá chung lôùn nhaát laø 1.

Töø ñoù p2

q 2 = 2 . Vaäy p2 = 2 q 2. Töø ñoù p2 chia chaün cho 2. Suy ra p chia chaün cho 2. Ñieàu

naøy laïi daãn ñeán p2 = 2 q 2 chia chaün cho 4. Vaäy q 2 chia chaün cho 2. Suy ra q chia chaün cho 2.Vaäy 2 laø moät öôùc soá chung cuûa p vaø q : maâu thuaãn . Do ñoù khoâng coù hai soá nguyeâ

m vaø n sao cho mn

= √ 2.2.5.2.1.(iv) Cho f laø moät aùnh xaï töø taäp X vaøo taäp Y , cho A vaø B laø hai taäp con cuûa X .

1 www.daykemquynhon.ucoz.com

Chöùng minh f (A ∩B ) ⊂ f (A) ∩f (B ).

Giaûi.

• f (A ∩B ) = {y : ∃x ∈ A ∩B sao cho y = f (x)}• f (A) = {u : ∃s ∈ A sao cho u = f (s)}• f (B ) = {v : ∃t ∈ B sao cho v = f (t)}Ta phaûi chöùng minh :

• cho y ∈ f (A ∩B ) chöùng minh y ∈ f (A) ∩f (B )

• “y ∈ f (A ∩B )” ⇒ “y ∈ f (A) ∩f (B )”

• “coù x ∈ A ∩B sao cho y = f (x)” ⇒ “coù s ∈ A sao cho y = f (s), vaø coù t ∈ B sao choy = f (t)”

Ñaët s = x vaø t = x ta coù y = f (s) = f (t).2.5.2.2. Cho f laø moät aùnh xaï töø taäp X vaøo taäp Y , cho A vaø B laø hai taäp con cuûa X . Chöùng

minh f (A) \ f (B ) ⊂ f (A \ B ).

Giaûi.

Cho moät y trong f (A) \ f (B ), chöùng minh y thuoäc f (A \ B ).

• f (A) = {u : ∃s ∈ A sao cho u = f (s)}• f (B ) = {v : ∃t ∈ B sao cho v = f (t)}• y ∈ f (A) \ f (B ): coù s ∈ A sao cho y = f (s ) nhöng khoâng coù t ∈B sao cho y = f (t). (1)

• f

(A

\B

) = {y

: ∃x

∈ A

∩B sao cho y

= f

(x

)}• y ∈ f (A \ B ) : coù x trong A nhöng x khoâng trong B sao cho y = f (x). (2)Choïn x = s trong (1), ta thaáy x thoaû (2) : ñpcm.3.7.3.1. Chöùng minh 1!1 + 2!2 + · · ·+ n!n = ( n + 1)! −1 (0)

Giaûi

• n = 1 : 1!1 = 1 vaø 2!−1 = 1 . Vaäy (0) ñuùng vôùi n = 1 .

• Giaû söû (0) ñuùng vôùi n −k. Ta coù1!1 + 2!2 + · · ·+ k!k = ( k + 1)! −1 (0).

Ta chöùng minh (0) ñuùng vôùi n = k + 1 . Ta coù1!1 + 2!2 + · · ·+ k!k + ( k + 1)!( k + 1) = [1!1 + 2!2 + · · ·+ k!k] + ( k + 1)!( k + 1) (0) .

(k + 1)! −1 + ( k + 1)!( k + 1) = ( k + 1)!( k + 2) −1 = ( k + 2)! −1.

Vaäy (0) vôùi n = k + 1 . AÙp duïng qui naïp toaùn hoïc ta coù (0) ñuùng vôùi moïi soá nguyeân n.4.2.3.1. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng vaø bò chaën treân cuûa IR , cho c laø moät chaën treân

cuûa A. Giaû söû moïi soá thöïc döông ε ñeàu coù moät x trong A sao cho c − ε < x . Chöùng minh



c = sup A.Giaûi .

Giaû söû c > sup A. Ñaët ε = c −sup A

2 . Ta thaáy

c −ε = c − c −sup A2 = c + sup A

2 > sup A (1)

∃x ∈ A sao cho x > c −ε . (2).Töø (1) vaø (2), ta coù moät x trong A sao cho x > sup A. Maâu thuaån naøy cho thaáy c ≤ sup A,

vaäy c = sup A.4.2.3.4. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng vaø bò chaën treân cuûa IR . Ñaët −A = {−x : x ∈ A}.

Chöùng minh(i) −A bò chaën döôùi.(ii ) inf

−A =

−sup A.

Giaûi .

(i) Ñaët B = −A = {−x : x ∈ A}. Ta phaûi chöùng minhy ≥ −sup A ∀ y ∈ B hayy ≥ −sup A ∀ y = −x, x ∈ A hay

−x ≥ −sup A ∀ x ∈ A hayx ≤ sup A ∀ x ∈ A .Doøng sau cuøng hieån nhieân ñuùng .

(ii ) Do (i), ta coù inf −A ≥ −sup A. Ta chæ coøn phaûi chöùng minh inf −A ≤ −sup A haysup A ≤ −inf −A. Ta phaûi chöùng minh

x ≤ −inf −A ∀ x ∈ A. hay

−x ≥ inf −A ∀ x∈

A. hay

−x ≥ inf −A ∀−x ∈ −A.

Doøng sau cuøng hieån nhieân ñuùng .4.2.3.3. Cho A vaø B laø hai taäp con khaùc troáng cuûa IR sao cho A ⊂ B . Chöùng minh(i) Neáu B bò chaën treân thì sup A ≤ sup B .

(ii ) Neáu B bò chaën döôùi thì inf A ≥ inf B .Giaûi .

(i) Ñaët M = sup B . Ta phaûi chöùng minh x ≤ M vôùi moïi x trong A. Cho x trong A, ta coùx thuoäc B (vì A ⊂ B ), vaäy x ≤ M .

(i) Ñaët M = inf B . Ta phaûi chöùng minh x ≥ M vôùi moïi x trong A. Cho x trong A, ta coùx thuoäc B (vì A ⊂ B ), vaäy x ≥ M .




5.6.2.4. Cho {a k } laø moät daõy soá thöïc Cauchy. Chöùng minh coù hai thöïc b vaø c sao chob ≤ a k ≤ c vôùi moïi k ∈ IN .

Giaûi.

Ta chæ caàn tìm moät soá thöïc M sao cho |a k | ≤ M vôùi moïi k ∈ IN .Cho moät ε > 0, ta tìm ñöôïc moät soá nguyeân N (ε) sao cho

|a m −a n | ≤ ε ∀ m > n ≥ N (ε).

Vaäy

|a m | ≤ |a m −a n |+ |a n | ≤ ε + |a n | ∀ m > n ≥ N (ε).

Do ñoù

|a m | ≤ |a n |+ 1 ∀ m > n ≥ N (1) .

|a m

| ≤ |a N (1)

|+ 1

∀

m > N (1) (1) .

Ñaët M = max {|a1|, · · · , |a N (1) |, |a N (1) |+ 1 }Töø (1) ta coù

|a k | ≤ M vôùi moïi k ∈ IN .5.6.2.9. Cho A laø moät trong caùc khoaûng sau : [a, b ], [a, ∞), (−∞, b] hay (−∞, ∞). Cho g laø

moät aùnh xaï töø A vaøo A sao cho coù moät soá thöïc c ∈ (0, 1) ñeå cho

|g(x) −g(y)| ≤ c|x −y| ∀ x, y ∈ A.

Luùc ñoù ta noùi g laø moät aùnh xaï co treân A . Cho a0 ∈ A. Ñaët a1 = g(a 0), a2 = g(a 1), · · ·,a n

+1 = g

(a n

) vôùi moïi n

∈

IN . Chöùng minh(i) |a n +1 −a n | ≤ cn |a 1 −a 0| ∀ n ∈IN .(ii ) Daõy {a n } hoäi tuï veà moät soá thöïc b ∈ A.

(iii ) Giôùi haïn b cuûa daõy {a n } chính laø moät ñieåm baát ñoäng cuûa g , nghóa laø g(b) = b.

(iv ) g chæ coù moät ñieåm baát ñoäng trong A.

Giaûi.

(i) Duøng Qui naïp toaùn hoïc. Ñaët P n laø “|a n +1 −a n +1 | ≤ cn |a 1 −a0|”. Khi n=1, do tính cog ta coù

|a 2 −a 1| = |g(a 1) −g(a0)| ≤ c|a 1 −a 0|Vaäy P 1 ñuùng. Giaû söû P k ñuùng, ta coù

|a k +1 −a k | ≤ ck |a 1 −a0| (1).

Ta chöùng minh P k +1 cuõng ñuùng. Ta coù

|a k +1+1 −a k +1 | = |g(a k +1 ) −g(a k )| ≤ c|a k +1 −a k |≤ cck

|a1 −a0| = ck +1 |a1 −a0|4 www.daykemquynhon.ucoz.com

Vaäy P k +1 ñuùng. Theo qui naïp toaùn hoïc ta coù P n ñuùng vôùi moïi n ∈ IN .(ii ) Cho moät ε > 0, tìm moät soá nguyeân N (ε) sao cho

|a m −a n | ≤ ε ∀ m > n ≥ N (ε). (2)

Ta coù|a m −a n | = |a n −a m | ≤ |a n −a n +1 + an +1 −a n +2 + · · ·+ an + m − n − 1 −a m |≤ |a n −a n +1 |+ |a n +1 −a n +2 |+ · · ·+ |a n + m − n − 1 −a n |≤ cn

|a1 −a 0|+ cn +1 |a1 −a0|+ · · ·+ cm − 1|a 1 −a 0|= [cn

|+ cn +1 + · · ·+ cm − 1]|a 1 −a 0| ≤ cn

|[1 + c+ · · ·+ cm − 1− n ]|a 1 −a 0|≤ cn [ ∞

k =0 ck ]|a 1 −a0| ≤ cn

1 −c |a1 −a0|. (3)

Vì { cn

1 −c |a 1 −a 0|} hoäi tuï veà 0, neân cho ε > 0, ta tìm ñöôïc moät soá nguyeân M (ε ) sao chocn

1 −c |a 1 −a 0| = | cn

1 −c|a 1 −a 0| −0| ≤ ε∀

n ≥ M (ε ). (4)Nay cho ε > 0, ñaët ε = ε, ta coù M (ε ), ñaët N (ε) = M (ε ), ta coù (2). Vaäy {a n } laø moät daõy

Cauchy vaø noù hoäi tuï veà moät soá thöïc b.(iii ) Ta phaûi chöùng minh g(b) = b. Ta coù

|g(b) −b| ≤ |g(b) −a n +1 |+ |a n +1 −b| = |g(b) −g(a n )|+ |a n +1 −b|≤ c|b−a n |+ |a n +1 −b|. (5).

Suy ra

|g(b) −b| ≤ limn →∞

[c|b−a n |+ |a n +1 −b|] = 0.

(iv ) Giaû söû coù u vaø v trong A sao cho g(u) = u vaø g(v) = v, ta coù

|u −v| = |g(u) = g(v)| ≤ c|u −v|.Vaäy 0 ≤ (1 −c)|u −v| ≤ 0, vì 0 < c < 1. Ta thaáy (1 −c) > 0, neân |u = v = 0.5.6.3.2. Cho e laø moät soá thöïc vaø {a n } laø moät daõy soá thöïc sao cho {a n } khoâng hoäi tuï veà e .

Chöùng minh coù soá thöïc döông ε vaø moät daõy con {a n k } cuûa {a n } sao cho |a n k −e| ≥ ε vôùi moïik ∈ IN .

Giaûi.

Vì

{a n

} khoâng hoäi tuï veà e, neân coù moät soá thöïc döông ε sao cho vôùi moïi soá nguyeân N ta laïi

coù moät soá nguyeân n(N ) ≥N ñeå cho |a n (N ) −e| ≥ ε. Vaäy taäp J = {m : |a m −e| ≥ ε} laø moättaäp voâ haïn. Duøng qui naïp toaùn hoïc ñaët

• n1 = inf J ,

• n2 = inf J \ [1, n 1].

• nk +1 = inf J \ [1, n k ].Ta thaáy {a n k } laø moät daõy con caàn tìm cuûa {a n } .

5.6.4.4. Cho e laø moät soá thöïc vaø {a k } laø moät daõy soá thöïc sao cho limsupn →∞

a n < e . Chöùngminh coù moät soá nguyeân N sao cho a n < e vôùi moïi n ≥ N .

Giaûi.

Ñaët Am = {a k : k ≥ m}, bm = sup Am . Luùc ñoù limsupn →∞a n = limn →∞ bn . Ñaët α = limn →∞ bn , ta

coù α < e . Ñaët ε = e −α

2 . Ta coù

• α + ε < e (1).

• Ta coù moät soá nguyeân N sao cho

|bn −α | < ε ∀ n ≥ N. (2)

Töø (2) ta coùbn < α + ε ∀ n ≥ N. (3)

Vaäy sup AN < α + ε, do ñoù, theo (1) ta coùa n ≤ sup AN < α + ε < e ∀ n ≥N.

6.3.2.2. Cho hai khoaûng môû (a, b ) vaø (c, d ), A = ( a, b )∪(c, d ), vaø f laø moät haøm soá thöïtreân A. Ñaët g(t) = f (t) vôùi moïi t ∈ (a, b ) vaø h(s) = f (s ) vôùi moïi s ∈ (c, d ). Giaû söû g lieân tuïctreân (a, b ), vaø h lieân tuïc treân (c, d ). Chöùng minh f lieân tuïc treân A.

Giaûi.

Cho moät x trong A vaø moät soá thöïc döông ε, ta tìm moät soá thöïc döông δ (x, ε ) sao cho

|f (y) −f (x)| < ε ∀ y ∈ A, |y −x| < δ (x, ε ). (1)

Ta coù x ∈ (a, b ) hoaëc x∈ (c, d ). Tröôùc heát ta xeùt tröôøng hôïp x ∈(a, b ). Luùc ñoù vì tính lieântuïc cuûa g, vôùi moät soá thöïc döông ε , ta tìm moät soá thöïc döông ν (x, ε ) sao cho

|g(u) −g(x)| < ε∀

u ∈ (a, b ), |u −x| < ν (x, ε ).

Vì f (t) = g(t) vôùi moïi t ∈ (a, b ), ta coù

|f (u) −f (x)| < ε ∀ u ∈ (a, b ), |u −x| < ν (x, ε ). (2)

Ñaët µ = min {x−a, b−x}, ta coù t ∈ (a, b ) neáu|t−x| < µ . Cho ε, ñaët ε = ε, ta coù ν (x, ε ). Ñaëtδ (x, ε ) = min {µ, ν (x, ε )}. Ta thaáy “y ∈ (a, b ), |u −x|< ν (x, ε )” neáu “y ∈ A, |y −x| < δ (x, ε )” .Do ñoù, theo (2) ta coù (1).

6.3.2.4. Cho A laø moät taäp con cuûa IR , vaø f laø moät haøm soá lieân tuïc treân A. Chöùng minh

|f | laø moät haøm soá lieân tuïc treân A.Giaûi.

Cho moät x trong A vaø moät soá thöïc döông ε, ta tìm moät soá thöïc döông δ (x, ε ) sao cho

||f |(y) − |f |(x)| < ε ∀ y ∈ A, |y −x| < δ (x, ε ). (1)

Do tính lieân tuïc cuûa f , vôùi moät soá thöïc döông ε , ta tìm moät soá thöïc döông ν (x, ε ) sao cho

|f (u) −f (x)| < ε ∀ u∈ A, |u −x| < ν (x, ε ). (2)

Ta coù

||f |(y) − |f |(x)| ≤ |f (y) −f (x)|.Vaäy theo (2) ta coù||f |(y) − |f |(x)| ≤ |f (y) −f (x)| < ε ∀ u ∈ A, |u −x| < ν (x, ε ). (3)

Cho ε, ñaët ε = ε, ta coù ν (x, ε ). Ñaët δ (x, ε ) = ν (x, ε ). Töø (3) ta coù (1).6.3.2.5. Cho f laø moät haøm soá lieân tuïc töø khoaûng ñoùng [a, b ] vaøo [a, b ]. Chöùng minh coù moät

x trong [a, b ] sao cho f (x) = x .Giaûi.

Ñaët g(s) = s − f (s) vôùi moïi s trong [a, b ]. Ta thaáy g laø moät haøm soá lieân tuïc treân [a, b ],g(a )

≤ 0

≤ g(b). Vì g([a, b ]) laø moät khoaûng ñoùng, neân [g(a ), g(b)]

⊂

g([a, b ]). Vì 0

∈ [g(a ), g(b)]

neân 0 ∈ g([a, b ]). Vaäy coù x trong [a, b ] sao cho g(x) = 0 . Luùc ñoù f (x) = x .6.3.4.7. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng trong IR . Ñaët Ax = {|x − y| : y ∈ A} vaø

f (x) = inf A x vôùi moïi x ∈ IR .Chöùng minh f laø moät haøm soá lieân tuïc ñeàu treân IR .Giaûi.

Cho u vaø v trong IR vaø y trong A, ta coùf (u) ≤ |u −y| ≤ |u −v|+ |v −y| hayf

(u

) − |u

−v

| ≤ |v

−y

| ∀

y

∈ A hay

f (u) − |u −v| ≤ s ∀ s ∈ A v .

Vaäy f (u) − |u −v| laø moät chaën döôùi cuûa Av . Do ñoùf (u) − |u −v| ≤ inf A v = f (v) hayf (u) −f (v) ≤ |u −v|. (1)

Töông töï ta cuõng coùf (v) −f (u) ≤ |v −u| = |u −v|. (2)

Töø (1) vaø (2), ta coù

|f (v) −f (u)| ≤ |v −u|. (3)Nay cho ε > 0, ñaët δ = ε, do (3) ta coù

|f (v) −f (u)| ≤ ε ∀ u, v ∈ IR, |u −v| ≤ δ.

Vaäy f lieân tuïc ñeàu treân IR .7.7.4.7. Cho hai khoaûng môû (a, b ) vaø c ∈ (a, b ), A = ( a, c )∪ (c, b), vaø f laø moät haøm soá

thöïc lieân tuïc treân (a, b ) vaø khaû vi treân A. Giaû söû limt → c

f (t) = d. Chöùng minh f khaû vi taïi c vaø

f (c) = d.Giaûi.

Ta phaûi chöùng minh

lims → 0

f (c + s)

−f (c)

s = d hayCho moät soá thöïc döông ε, tìm moät soá thöïc döông δ (ε) sao cho

|f (c + s) −f (c)

s −d| < ε ∀ s, 0 < |s| < δ (ε) (1)

Cho s laø moät soá thöïc döông khaù nhoû, duøng ñònh lyù giaù trò trung bình, ta coù m x(s) ∈ (c, c+ s)

sao chof (c + s) −f (c) = f (x(s))( c + s −c) = f (x(s)) s hayf (c + s) −f (c)

s = f (x(s)) (2)

Cho s laø moät soá thöïc aâm vôùi

|s

|khaù nhoû, duøng ñònh lyù giaù trò trung bình, ta c

x(s) ∈ (c + s, c ) sao chof (c + s) −f (c)

s = f (x(s)) (3)

Keát hôïp (1) vaø (3) ta chæ caàn chöùng minh ñieàu sau ñaây : cho moät soá thöïc döông ε, tìm moätsoá thöïc döông δ (ε) sao cho

|f (x(s)) −d| < ε ∀ s, 0 < |s| < δ (ε) (4)

Vì limt → c

f (t) = d, ta coù : cho moät soá thöïc döông ε , coù moät soá thöïc döông ν (ε ) sao cho

|f (t) −d| < ε∀

t, 0 < |t −c| < ν (ε ) (5)

Vì |

x(s) −

c

| <

|s

|, neân vôùi moät ε, ñaët ε

= ε, ta coù ν

(ε

), ñaët δ

(ε) =

ν (ε

), töø

(5) ta coù

(4).

7.7.4.8. Cho f laø moät haøm soá thöïc khaû vi treân (a, b ), vaø x ∈ (a, b ). Giaû söû coù moät daõy {x n }trong (a, b ) \ {x} sao cho {x n } hoäi tuï veà x vaø f (x n ) = f (x) vôùi moïi n trong IN . Chöùng minhf (x) = 0 .

Giaûi.

Ta coù limh → 0

f (x + h) −f (x)h

= f (x), hay : cho moät ε > 0, ta coù moät δ (ε) > 0 sao cho

|f (x + h) −f (x)

h −f (x)| < ε ∀ h, 0 < |h| < δ (ε). (1)

Ñaët hn = x n −x , ta coù xn = x + hn . Vì f (x n ) = f (x) vaø töø (1), ta coù : cho moät ε > 0, ta

coù moät δ (ε) > 0 sao cho

|f (x)| = |f (x + hn ) −f (x)

h n −f (x)| < ε ∀ n, 0 < |h n | < δ (ε). (2)

Vì {x n } hoäi tuï veà x, ta coù ñieàu sau ñaây : cho moät ε > 0, ta coù moät N (ε ) ∈ IN sao cho

|h n | = |x n −x| < ε ∀ n ≥ N (ε ). (3)

Vaäy vôùi moïi ε > 0, ñaët ε = ε , ta coù N (ε ). AÙp duïng (2) cho h N (ε ) , ta coù :

|f (x)| < ε

Vaäy |f (x)| = 0 .7.7.6.1. Cho f (x) = a n x n + an − 1x n − 1 + · · ·+ a1x + a0 laø moät ña thöùc treân IR vôùi an = 0 .

Cho c1 < c 2 < · · ·< c m sao cho f (ck ) = 0 vôùi moïi k ∈ {1, 2, · · · , m}. Chöùng minh m ≤ n .

Giaûi.Ta duøng qui naïp toaùn hoïc theo n. Ta thaáy baøi toaùn ñuùng vôùi n = 1 , vì luùc ñoù m = 1 . Giaû

söû baøi toaùn ñuùng vôùi n = N . Xeùt ña thöùc g(x) = bN +1 x N +1 + bN x N + · · ·+ b1x + b0 laø moät ñathöùc treân IR vôùi bN +1 = 0 , vaø d1 < d 2 < · · ·< d M sao cho g(dk ) = 0 vôùi moïi k ∈ {1, 2, · · ·, M }.Ta seõ chöùng minh M ≤ N + 1 . Ñaët a k = ( k + 1) bk +1 vaø

f (x) = a n x n + a n − 1x n − 1 + · · ·+ a1x + a0

Ta coù baäc cuûa f nhoû hôn hoaëc baèng N . AÙp duïng ñònh lyù giaù trò trung bình ta tìm ñöôck

∈ (dk , d k +1 ) vôùi moïi k

∈ {1, 2,

· · · , M

−1

} sao cho

0 = g(dk +1 −g(dk ) = g (ck )(bk +1 −bk ) ∀ k ∈ {1, 2, · · · , M −1}.

Suy ra c1 < c 2 < ·· ·< c M − 1 vaø f (ck ) = g (ck ) = 0 vôùi moïi k ∈ {1, 2, · · · , M −1}. Theo giaûthieát qui naïp toaùn hoïc M −1 ≤ N , suy ra M ≤ N + 1 . Vaäy baøi toaùn ñuùng vôùi moïi soá ngu n .

7.7.6.9. Chöùng minh coù duy nhaát moät x trong (0, ∞) sao cho √ x + √ x + 1 −4 = 0 .Giaûi.

Ñaët f (x) = √ x + √ x + 1 −4 vôùi moïi x ∈ [0, ∞). Ta thaáy f lieân tuïc treân [0, ∞) vaø khaûtreân (0, ∞). Ta coù

f (x

) =

1

√ x +

1

√ x + 1 >

0 ∀

x

∈(0,

∞).

Nay cho u vaø v trong [0, ∞) sao cho u < v . Duøng Ñònh lyù giaù trò trung bình ta coù mo s ∈(u, v ) sao cho

f (v) −f (u) = f (s)( v −u) > 0.

Vaäy f laø moät ñôn aùnh treân [0, ∞). Ta coù f (0) = −3 vaø f (15) = √ 15 . Vaäy [−3, √ 15] chöùatrong f ([0, 15]). Vaäy coù x trong [0, 15] sao cho f (x) = 0 . Do tính ñôn aùnh cuûa f , nghieäm naøyduy nhaát.

9.5.4.3. Ñaët f (x) = x2 + 1

x2

(sin t3 + t)dt vôùi moïi soá thöïc x . Chöùng minh f khaû vi treân IR

vaø tính ñaïo haøm cuûa f .Giaûi.

Ñaët g(y) = 0

y(sin t2 + t)dt vôùi moïi soá thöïc y, u(s) = s2 vaø v(s) = s2 + 1 . Ta thaáy

f (x) = g(v(x)) −g(u(x) vôùi moïi soá thöïc x , hay f = g ◦v −g ◦v. Vì g, u vaø v ñeàu khaû neân f

khaû vaø vôùi moïi x trong IR , ta coù g (x) = sin x2 + x, u (x) = 2 x, , v (x) = 2 x, vaøf (x) = g (v(x)) .v (x) −g (u(x)) .u (x)



= sin( v(x)) 2.2x + v(x) −sin(u(x)) 2.2x −u(x) = sin( x4 + 2 x2 + 1) −sin(x4) + 1 .9.5.4.7. Cho f laø moät haøm soá khaû n laàn treân moät khoaûng (c, d ), vaø [a, b ] chöùa trong (c, d )

sao cho b

a

f (x)dx = 0 vaø f r (a ) = f r (b) = 0 vôùi moïi r trong {0, 1, · · · , n}. Cho g laø moät ña

thöùc baäc beù hôn n . Chöùng minh b

af (n ) (x)g(x)dx = 0 .

Giaûi.

Ta chæ caàn chöùng minh b

ax k f (x)dx = 0 vôùi moïi k trong {0, 1, · · · , n}. Ta qui naïp theo

n . Hieån nhieân keát quaû naøy ñuùng vôùi n = 0 . Giaû söû baøi toaùn duùng vôùi n = N , ta seõ chöùng minhnoù ñuùùng vôùi n = N + 1 . Tröôùc heát vì baøi toaùn ñuùng vôùi n = N , aùp duïng baøi toaùn cho f vaøf ,ta coù

b

a

x k f (N +1) (x)dx = b

a

x k f (N )(x)dx = 0

∀

k

∈ {0, 1,

· · · , N

} (1)

Duøng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn ta coù

b

ax N +1 f (N +1) (x)dx = [bN +1 f (N )(b) −a N +1 f (N ) (a )] −(N + 1)

b

ax N f (N )(x)dx = 0

9.5.5.3. Cho f laø moät haøm soá thöïc döông lieân tuïc treân IR . Giaû söû f (x + y) = f (x)f (y) vôùimoïi soá thöïc x vaø y. Chöùng minh f khaû treân IR .

Giaûi.

Ñaët c = ( 1

0f (t)dt )− 1. Cho x trong IR , ta coù

1

0f (x + t)dt =

1

0f (x)f (t)dt = f (x)

1

0f (t)dt hay

f (x) = c 1

0f (x + t)dt. (1)

Ñaët h(t) = x + t vôùi moïi t ∈ IR , ta coù h (t) = 1 vôùi moïi t ∈ IR . AÙp duïng coâng thöùc ñoåi bita coù

1

0f (x + t)dt =

1

0f ◦h(t)dt =

h(1)

h(0)f (s )ds =

x + 1

xf (s)ds. (2)

Töø (1) vaø (2) ta coù

f (x) = c

x + 1

xf (s)ds

∀

x

∈

IR. (3)

Ñaët g(t) = s

0f (s)ds , u(t) = t vaø v(t) = t + 1 vôùi moïi t ∈ IR . Ta coù g, u vaø v khaû vi treân

IR vaø f (x) = c[g(v(x)) −g(u(x)] vôùi moïi x ∈IR. Vaäy f = c[g ◦v −g ◦u], do ñoù f khaû vi IR .




DANH SÁCH BÀI TẬP LÀM TRONG GIỜ BÀI TẬP

Môn Giải tích A1 – Giải tích cơ sở

1 1.5.2.6 13 4.2.2.1 25 6.3.2.2

2 1.5.3.9 14 bt14 - ch4 26 6.3.2.2

3 1.5.3.14 15 bt15 - ch4 27 6.3.2.4

4 2.5.2.1 16 4.2.3.3 28 6.3.2.5

5 2.5.2.2 17 Bt17 - ch4 29 6.3.4.7

6 2.5.3.2 18 4.2.3.4 30 Bt54 - ch6

7 2.5.3.4 19 Bt23b - ch5 31 Bt59 - ch6

8 3.7.1.2 20 5.6.2.4 32 Bt61 - ch6

9 3.7.2.4 21 5.6.2.9 33 Bt62 - ch6

10 3.7.3.1 22 Bt34 - ch5 34 Bt65 - ch6

11 3.7.3.2 23 5.6.4.412 3.7.5.2 24 Bt37 - ch5

Môn Giải tích A1 – Vi tích phân

1 Bt75 - ch 7 13 Bt96 - ch 7 25 Bt114 - ch 7

2 Bt78 - ch 7 14 Bt99 - ch 7 26 Bt114 - ch 8

3 Bt79 - ch 7 15 Bt100 - ch 7 27 Bt116 - ch 8

4 Bt80 - ch 7 16 7.7.4.7 28 Bt117 - ch 8

5 Bt81 - ch 7 17 7.7.4.8 29 Bt119 - ch 8

6 Bt82 - ch 7 18 7.7.6.1 30 Bt120 - ch 8

7 Bt85 - ch 7 19 7.7.6.9 31 Bt125 - ch 8

8 Bt86 - ch 7 20 Bt101 - ch 7 32 9.5.4.3

9 Bt90 - ch 7 21 Bt103 - ch 7 33 9.5.4.7

10 Bt91 - ch 7 22 Bt106 - ch 7 34 9.5.5.3

11 Bt92 - ch 7 23 Bt108 - ch 7

12 Bt95 - ch 7 24 Bt112 - ch 7

Các bài t ậ p này trích trong quy ễn “ Giáo trình toán gi ải tích 1” và các slides bài gi ảng củaGS Dươ ng Minh Đức.

www.daykemquynhon.ucoz.com



ÑEÀ THI MOÂN GIAÛI TÍCH 1

Heä Cöû nhaân chính qui - Khoa Toaùn-Tin

Hoïc kyø I - 2006-2007

THÔØI GIAN : 120 PHUÙT

(Thí sinh ñöôïc tham khaûo moïi taøi lieäu mang theo )

Trong caùc caâu chæ coù moät khaúng ñònh, thí sinh phaûi chöùng minh khaúng ñònh mình. Trong caùc caâu hoûi coù tröôøng hôïp ñuùng coù tröôøng hôïp sai, thí sinh phaû

caùc thí duï töông öùng vaø chöùng minh caùc khaúng ñònh trong caùc thí duï ñoù.Giaûi 6 trong 7 caâu sau :1. Cho A vaø B laø caùc taäp con khaùc troáng cuûa [0, ∞ ). Giaû söû A vaø B bò chaën

treân. Ñaët C = {x 2 y : x ∈ A, y ∈ B }. Chöùng minh C bò chaën treân.

2. Giaûi phöông trình : x3 + sin( x17 + sin 8x ) = 1 .

3 Ch l h i d õ C h Ñ ôùi i á

toán giải tích 1 tác giả: gs. dương minh Đức, trường Đại học khoa học, Đhqg...

Documents