toán học trong việc lựa chọn nhà vệ sinh công thức 36,8%

11/20/2016 Toán học trong việc lựa chọn nhà vệ sinh. Toán học lý thú Diễn đàn Toán học

http://diendantoanhoc.net/topic/126853to%C3%A1nh%E1%BB%8Dctrongvi%E1%BB%87cl%E1%BB%B1ach%E1%BB%8Dnnh%C3%A0v%E1%BB%8… 1/9

Diễn đàn Toán học → Thảo luận chung → Toán học lý thú

Toán học trong việc lựa chọn nhà vệ sinh.Băt đâu bởi hoangtrong2305, 31082014 20:55

hoangtrong2305

(http://diendantoanhoc.net/uploads/monthly_08_2014/post889180041581001409493329.png)

Tiến sĩ Ria Symonds Trường Đại học Nottingham

Nếu bạn có dịp sang nước Anh và xem buổi biểu diễn âm nhạc ở đó, bạn sẽ thấy có rất nhiều nhà vệsinh đặt xung quanh vị trí biểu diễn. Tuy nhiên, không phải nhà vệ sinh nào cũng sạch sẽ, có nhữngnhà vệ sinh rất sáng sủa, thoáng mát nhưng cũng có nhà vệ sinh rất kinh tởm và bốc mùi.

Giả sử bạn đang ở nhà vệ sinh đầu tiên, bạn mở cửa và bạn thấy rằng nhà vệ sinh này không được“đẹp cho lắm” và trong lòng bạn không muốn sử dụng tí nào.

Đã gửi 31082014 20:55

http://diendantoanhoc.net/index

http://diendantoanhoc.net/forum/374-th%E1%BA%A3o-lu%E1%BA%ADn-chung/

http://diendantoanhoc.net/forum/10-to%C3%A1n-h%E1%BB%8Dc-l%C3%BD-th%C3%BA/

http://diendantoanhoc.net/user/88918-hoangtrong2305/



http://diendantoanhoc.net/uploads/monthly_08_2014/post-88918-0-04158100-1409493329.png




Bạn tiêp tục mở nhà vệ sinh thứ hai ra, nhà vệ sinh này xem ra sạch sẽ hơn nhà vệ sinh banđâu nhưng vẫn còn “bôc mùi” lăm.


Vấn đề ở chỗ có đến cả trăm nhà vệ sinh xung quanh bạn, vậy làm thế nào để bạn có để kiếm đượcnhà vệ sinh ưng ý và đưa ra quyết định: “Được, tôi sẽ sử dụng nhà vệ sinh này” mà không phải thửnghiệm hết cả trăm nhà vệ sinh đấy? Chắc chắn sẽ có một số hữu hạn nhà vệ sinh để bạn lựa chọn.Ta nên lưu ý đến vấn đề sau:

Thứ nhất: Có và chỉ nhà vệ sinh sạch sẽ nhất. Tức nhà vệ sinh này đẹp nhất, thơm tho nhất, cósẵn giấy vệ sinh cũng như xà phòng bên trong và các yếu tố vệ sinh khác cần thiết.

2

1 1






Thứ hai: Trong quá trình lựa chọn nhà vệ sinh, nếu bạn từ chối không sử dụng nhà vệ sinh nào,bạn không được quay lại nhà vệ sinh đó mà phải tiếp tục đi đến các nhà vệ sinh mà bạn chưa lựachọn cho đến khi bạn chọn được nhà vệ sinh cho riêng mình. Tại sao bạn không thể chọn lại? Vì córất nhiều người phía sau bạn cũng đang đi qua từng nhà vệ sinh để chọn như bạn nên việc bạn quaylại sẽ gây tắc nghẽn lưu thông.


Ta sẽ bắt đầu với một buổi hòa nhạc nhỏ. Ở buổi diễn này ban tổ chức bố trí nhà vệ sinh, trong đócó cái sạch sẽ nhất (gọi là nhà vệ sinh ), cái tàm tạm (gọi là nhà vệ sinh ) và cái dơ bẩn nhất(gọi là nhà vệ sinh ).


Ta có loại nhà vệ sinh. Ở buổi hòa nhạc này thứ tự các nhà vệ sinh bị đảo lộn, tức bạn không biếtrõ chính xác vị trí từng loại nhà vệ sinh ở đâu. Có thể nhà vệ sinh đầu tiên là nhà vệ sinh , nhưng

3

1 1 1 2 1

3

3

1






nhà vệ sinh thứ hai có thể là nhà vệ sinh và nhà vệ sinh cuối cùng có thể là nhà vệ sinh . Như vậyta có cách sắp xếp vị trí loại nhà vệ sinh này.


Tiếp theo, giả sử ta không bao giờ chọn nhà vệ sinh đặt đầu tiên cho dù ta đã mở cửa và quan sátbên trong và trong nhà vệ sinh còn lại, đi từ trái sang phải, nhà vệ sinh nào tốt hơn nhà vệ sinh đầutiên, ta sẽ sử dụng nhà vệ sinh đó. Vậy bài toán đặt ra là khả năng ta chọn được nhà vệ sinh là baonhiêu phần trăm nếu ta làm theo quy trình trên?


Không sử dụng nhà vệ sinh đầu tiên, chọn nhà vệ sinh tốt hơn nhà vệ sinh đầu tiên

Trường hợp : Thứ tự nhà vệ sinh được sắp xếp là

Theo quy trình trên, ta sẽ loại bỏ nhà vệ sinh đầu tiên (bằng cách ta chỉ mở cửa ra xem nhưng khôngsử dụng và qua nhà vệ sinh tiếp theo), tức nhà vệ sinh , là nhà vệ sinh sạch sẽ nhất (lưu ý rằng takhông biết nhà vệ sinh nào là sạch nhất cả). Sau đó ta mở cửa nhà vệ sinh tiếp theo, rõ ràng nhà vệsinh này không sạch bằng nhà vệ sinh ban đầu nên ta loại bỏ nó. Lúc này ta chỉ còn nhà vệ sinh cuốicùng và bắt buộc ta phải sử dụng nó. Trong trường hợp này quy trình trên đã đưa ta vào sử dụng nhàvệ sinh dơ nhất (nhà vệ sinh )


Loại bỏ nhà vệ sinh đầu tiên (nhà vệ sinh ), ta qua nhà vệ sinh tiếp theo, ta thấy nhà vệ sinh nàykhông sạch bằng nhà vệ sinh đầu nên ta loại bỏ, qua nhà vệ sinh cuối cùng. Lúc này ta thấy nhà vệsinh này (nhà vệ sinh ) sạch hơn nhà vệ sinh trước đó (nhà vệ sinh ) nên ta sử dụng chúng.


3 2

3! = 6 3

2

1

1 1– 2– 3

1

3

2 1– 3– 2

1

2 3

3 2– 1– 3





Loại bỏ nhà vệ sinh đầu tiên (nhà vệ sinh ). Nhà vệ sinh tiếp theo (nhà vệ sinh ), ta thấy nó sạchhơn nhà vệ sinh lúc đầu nên ta dừng quy trình và sử dụng nhà vệ sinh này. Như vậy quy trình trên đãđưa ta đến nhà vệ sinh sạch sẽ nhất.

Thực hiện quy trình trên với trường hợp 4 , trường hợp 5 , trường hợp 6 .Sau trường hợp, ta thấy có lần quy trình này đưa ta vào nhà vệ sinh sạch sẽ nhất (nhà vệ sinh ).

Như vậy với quy trình trên, xác suất để ta lựa chọn đúng vào nhà vệ sinh đó là hay %.

Nếu như số nhà vệ sinh ta cần xét là thì xác suất này là bao nhiêu? (Giả sử nhà vệ sinh thứ nàylà dơ bẩn nhất trong nhà vệ sinh).


Số cách sắp xếp nhà vệ sinh này là cách. Vẫn theo quy trình cũ “Bỏ nhà vệ sinh đầu tiên,chọn ngay nhà vệ sinh tốt hơn nhà vệ sinh đầu tiên”. Khi đó xác suất để ta chọn đúng nhà vệ sinh

sạch nhất (nhà vệ sinh ) đó là hay khoảng %. Như vậy dễ nhận thấy rằng nếu ta thêm nhà

vệ sinh vào thì xác suất ta chọn được nhà vệ sinh 1 ngày càng thấp dần. Qua đó cho thấy quy trìnhchọn nhà vệ sinh như trên không mấy hiệu quả khi số lượng nhà vệ sinh ngày càng nhiều, điển hìnhnhư một buổi hoà nhạc có đến cả trăm nhà vệ sinh. Vậy, ta cần phải tìm một giải pháp khác hiệu quảhơn giải pháp vừa rồi, giúp gia tăng xác suất ta tìm được nhà vệ sinh tốt nhất. Lúc này, toán học bắtđầu phát huy tác dụng.

Có rất nhiều vấn đề tựa như vấn đề chọn nhà vệ sinh, như tuyển chọn thư ký, tuyển chọn người yêu(xem thêm bài viết Khi ông Kepler chọn vợ(http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/124899khi%C3%B4ngkeplerch%E1%BB%8Dnv%E1%BB%A3/) ). Giải pháp để chọn nhà vệ sinh tốt nhất (hay thư ký tốtnhất, người yêu tốt nhất) đó là quan sát % nhà vệ sinh đầu tiên và ta không sử dụng chúng. Sauđó, ta lần lượt quan sát các nhà vệ sinh tiếp theo, chỉ cần ta tìm được nhà vệ sinh tốt hơn % nhàvệ sinh ban đầu thì ta dừng quy trình tìm kiếm và sử dụng nhà vệ sinh đó. Quy trình mới này sẽ chota xác suất lựa chọn đúng nhà vệ sinh cao hơn.

Ta hãy nghiên cứu xác suất thành công (probability of success) trong việc lựa chọn nhà vệ sinh .Theo như quy trình ban đầu ta đặt ra đó là loại bỏ nhà vệ sinh đầu tiên, chọn nhà vệ sinh sạch hơnnhà vệ sinh đầu tiên thì bây giờ ta mở rộng quy trình này, đó là loại bỏ nhà vệ sinh đầu tiên, ta bắtđầu so sánh nhà vệ sinh thứ so với nhà vệ sinh ban đầu. Chỉ cần có nhà vệ

2 1

(2– 3– 1) (3– 1– 2) (3– 2– 1)

6 3 1

1 =3

6

1

250

4 4

4

4 4! = 24

111

2446 1

37

1 37

1

1

K

K + 1,K + 2, … K 1


http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/124899-khi-%C3%B4ng-kepler-ch%E1%BB%8Dn-v%E1%BB%A3/



sinh thứ (với nguyên dương) nào đó sạch hơn nhà vệ sinh ban đầu thì ta sẽ chọn nhà vệsinh thứ này.


Hàm số xác suất , với là vị trí tôi dừng lại và bắt đầu lựa chọn nhà vệ sinh tốt nhất, tạo bởitổng của tích xác suất, đó là xác suất tôi chọn được nhà vệ sinh 1 ở vị trí thứ và nếu tôi ở nhà vệsinh thứ thì xác suất tôi chọn nhà vệ sinh đó là bao nhiêu (nhớ rằng có thể ta không chọn nhà vệsinh này trừ khi nó sạch hơn những nhà vệ sinh trước đó) ?

Vậy là số lượng nhà vệ sinh đầu tiên ta đã kiểm tra nhưng không sử dụng bất chấp ta thấy đượcmột nhà vệ sinh trông rất thoáng đãng. Từ những nhà vệ sinh kế tiếp ta bắt đầu đối chiếu với nhàvệ sinh.


Nếu ta tìm được nhà vệ sinh nào sạch hơn tất cả nhà vệ sinh ban đầu thì ta chọn nhà vệ sinh đó.Tuy nhiên, cho đến nhà vệ sinh cuối cùng ta vẫn không tìm được thì ta bắt buộc phải sử dụng nhà vệsinh này. Vì vậy ta cần xác định giá trị hợp lý.

Giả sử tôi có dãy nhà vệ sinh tôi loại bỏ, được đánh số là . Những nhà vệ sinh kế tiếp là với là số lượng nhà vệ sinh, tôi lần lượt đem đi so sánh. Vậy với nhà vệ

sinh, xác suất nhà vệ sinh sạch nhất ở vị trí đó là .

K + n n K

K + n

P(K) K

2 n

n

P(k) = Σ[P(ở vị trín) × P(được chọn tạin)]

K

K

K

K

0, 1, 2, …K

K + 1,K + 2, …N N N

n1

N






Vậy ta được:

Xét trong nhà vệ sinh đầu tiên, do ta không lựa chọn bất kỳ nhà vệ sinh nào nên ta được:

Xét nhà vệ sinh thứ , giả sử nhà vệ sinh này sạch hơn nhà vệ sinh ban đầu thì theo quytrình, ta sẽ chọn nó. Vậy . Nếu như nhà vệ sinh sạch nhất ở thìxác suất chọn nhà vệ sinh sạch nhất là %

Giả sử nhà vệ sinh sạch nhất nằm ở vị trí thứ . Đương nhiên ta không thể chọn được vì ta đãsử dụng nhà vệ sinh rồi. Vì vậy xác suất không còn là % nữa. Nếu vậy thì xác suất chọn

còn là bao nhiêu? Có một cách để giải quyết bài này, đó là tính xác suất khi ta không chọnnhà vệ sinh . Khi đó điều này đồng nghĩa với việc ta sẽ chọn trong nhà vệ sinh trướcđó. Bởi vì ta đã loại bỏ nhà vệ sinh nên chỉ còn 1 nhà vệ sinh cho ta chọn. Vậy ta được

xác suất là . Khi đó sử dụng phần bù, ta được xác suất chọn nhà vệ sinh là

Với trường hợp nhà vệ sinh sạch nhất nằm ở . Sử dụng cách thức trên, tính xác suất ta khôngsử dụng nhà vệ sinh này, điều đó có nghĩa ta sẽ chọn lựa 1 trong 2 nhà vệ sinh để sửdụng. Qua đó, sử dụng phần bù, xác suất ta chọn nhà vệ sinh là

P(ở vị trí n) =1

N

K

P(được chọn tại n) = 0

K + 1 K

P(được lựa chọn đến n) = 1 K + 1

100

K + 2

K + 1 100

K + 2

K + 2 1 K + 1

K K + 11

K + 1K + 2

P(được chọn tại n) = 1 − =1

K + 1

K

K + 1

K + 3

K + 1,K + 2

K + 3

P(được chọn tại n) = 1 − =2

K + 2

K

K + 2





Như vậy qua tất cả các trường hợp xác suất nhà vệ sinh ta chọn từ đến , ta được kết quả hàm như sau:

Tổng

xấp xỉ diện tích dưới đường cong khi ngày càng lớn, tiến đến vô cùng. Vì vậy, ta có thể

xác định giá trị

bằng cách tính tích phân hàm cận từ (là nơi ta bắt đầu chọn lựa nhà vệ sinh) đến (là

nhà vệ sinh cuối cùng) như sau:

Vậy ta viết lại hàm

Đặt , khi đó ta được:

0 N

P(K)

P(K) = × 0 + × 0 + ⋯ + × 0

K+1 lần, từ nhà vệ sinh thứ 0 đến thứ K

+ × 1 + × + ⋯ + ×1

N

1

N

1

N

1

N

1

N

K

K + 1

1

N

K

N − 1

P(K) = ( + + + ⋯ + )K

N

1

K

1

K + 1

1

K + 2

1

N − 1

+ + + ⋯ +1

K

1

K + 1

1

K + 2

1

N − 1

f(x) =1

xx

+ + + ⋯ +1

K

1

K + 1

1

K + 2

1

N − 1

f(x) =1

xK N

∫ N

K

dx = ln(x)|NK

= ln(N) − ln(K) = ln( )1

xN

K

P(K) = ln( )K

NN

K

x =K

N

1




Trở lại Toán học lý thú

Diễn đàn Toán học → Thảo luận chung → Toán học lý thú

Hãy quay lại vấn đề lựa chọn nhà vệ sinh. Giả sử tôi chọn nhà vệ sinh đầu tiên thì xác suất đó là nhàvệ sinh là rất thấp. Nếu như tôi bỏ nhà vệ sinh đó và chọn nhà vệ sinh tiếp theo, xác suất đó là nhàvệ sinh có tăng lên nhưng giá trị vẫn thấp. Tiếp tục cách thức đó thì xác suất ngày một tăng dầncho đến mức cực đại và sau đó giảm dần khi ta đi về những nhà vệ sinh cuối cùng. Bằng các quy tắccơ bản của giải tích, vị trí cực đại ứng với giá trị hàm , tức để tìm vị trí cực đại cũng nhưgiá trị ứng với vị trí đó, ta giải phương trình:

. Như vậy ta hãy loại bỏ % nhà vệ sinh đầu tiên và sử dụng nhà vệ sinh sạch hơn % nhà vệ sinhđầu tiên đó.

Trả lại giá trị của , ta được %. Như vậy với cách thức trên, tôi có % cơ hội tìm

được nhà vệ sinh sau khi loại bỏ nhà vệ sinh đầu tiên.

Như vậy khi bạn đên một buổi hoà nhạc, nơi có nhà vệ sinh, bạn hãy xem bên trong vàbỏ qua nhà vệ sinh đâu tiên, sau đó bạn băt đâu kiểm tra nhà vệ sinh thứ trở đi, chỉcân bạn băt gặp nhà vệ sinh nào sạch hơn nhà vệ sinh ban đâu, bạn hãy sử dụng ngaynhà vệ sinh đó. Cách thức này giúp bạn có đên % cơ hội tìm được nhà vệ sinh sạch sẽnhât trong nhà vệ sinh.

Bài viêt đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 31082014 21:04

P(x) = x ln( ) = −x ln(x)1x

1

1

P ′(x) = 0

P ′(x) = 0

⇔ − ln(x) − x ( ) = 01x

⇔ ln(x) = −1

⇔ x = = 0, 368 … = 37%1

e

37 37

x = = 37K

n

1

e37

1 K

100

37 38

37

37

100

hocvakochilahoc

không ngờ nó lại hay đên thê, mình cứ tưởng vụ này phải tâm lí dữ lăm, vì lúc thì muôn vào luôn vì lo xa, lúc thì lạimuôn kiêm cái tôt hơn!!

Đã gửi 29112014 22:22


http://diendantoanhoc.net/index

http://diendantoanhoc.net/forum/374-th%E1%BA%A3o-lu%E1%BA%ADn-chung/


http://diendantoanhoc.net/user/135571-hocvakochilahoc/

toán học trong việc lựa chọn nhà vệ sinh công thức 36,8%

Data & Analytics