todo material contido nesta lista foi desenvolvida pelo professor … · 2018-07-13 · ......
TRANSCRIPT
Todo material contido nesta lista foi desenvolvida pelo professor Lucas Octavio de Souza e não passou por nenhuma alteração
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
2
Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)
Geometria plana.Resumo teórico e exercícios.
3º Colegial / Curso Extensivo.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
3
Relação das aulas.
Aula 01 - Conceitos iniciais................................................................ Aula 02 - Pontos notáveis de um triângulo......................................... Aula 03 - Congruência de triângulos..................................................Aula 04 - Quadriláteros notáveis........................................................Aula 05 - Polígonos convexos............................................................Aula 06 - Ângulos na circunferência...................................................Aula 07 - Segmentos proporcionais...................................................Aula 08 - Semelhança de triângulos...................................................Aula 09 - Relações métricas no triângulo retângulo...........................Aula 10 - Relações métricas num triângulo qualquer.......................Aula 11 - Circunferência e círculo.....................................................Aula 12 - Inscrição e circunscrição de polígonos regulares.............Aula 13 - Áreas das figuras planas...................................................
Jeca 01
021828384860748498
112126136146
Página
Considerações gerais.
Este estudo de Geometriade Plana tem como objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de curso pré-vestibular. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita. Os exercícios cujos números estão realçados com uma "sombrinha" representam os exercícios que considero necessários à compreensão de cada aula. Nada impede que mais, ou outros exercícios sejam feitos, a critério do professor.
Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém.
Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho.
Meu e-mail - [email protected]
Um abraço.
Jeca (Lucas Octavio de Souza)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
4
I) Reta, semirreta e segmento de reta.
A B
A B
A B
A B
reta AB
semirreta BA
segmento AB
semirreta AB
Definições.a) Segmentos congruentes. Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.
b) Ponto médio de um segmento. Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.
c) Mediatriz de um segmento. É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio
II) Ângulo.A
O
B
a
OA - ladoOB - ladoO - vértice
ângulo AOB ou ângulo a
Definições.a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas demesma origem.
b) Ângulos congruentes. Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida.
c) Bissetriz de um ângulo. É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divideesse ângulo em dois ângulos congruentes.
IIa) Unidades de medida de ângulo.
a) Grau. A medida de uma volta completa é 360º.
1º = 60' 1' = 60"
b) Radiano.
A medida de uma volta completa é 2p radianos.
Um radiano é a medida do ângulo central de uma circunferência cuja medida do arco correspondente é igual à medida do raio da circunferência.
º - grau' - minuto" - segundo
IIb) Classificação dos ângulos.
= 0º - ângulo nulo. 0º < < 90º - ângulo agudo. = 90º - ângulo reto.90º < < 180º - ângulo obtuso. = 180º - ângulo raso.
aaaaa
Definições.a) Ângulos complementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º.
b) Ângulos suplementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º.
IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal.
r
s
t
r // s
a
b c
d
e
fg
h
a) Ângulos correspondentes (mesma posição). exemplo - b e f.Propriedade - são congruentes.
b) Ângulos colaterais (mesmo lado). exemplo de colaterais internos - h e c. exemplo de colaterais externos - d e g.Propriedade - são suplementares (soma = 180º)
c) Ângulos alternos (lados alternados). exemplo de alternos internos - b e h. exemplo de alternos externos - a e g.Propriedade - são congruentes.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 01
Conceitos iniciais de Geometria Plana.
Jeca 02
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
5
1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º.
2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.
3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º.
4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congru-entes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente.
a
b
ga + b + g = 180º
e
e1
e2
e3
i
lado
vértice
i - ângulo internoe - ângulo externo
Num mesmo vértice, tem-se
i + e = 180º
III) Triângulos.
Propriedades dos triângulos.
Classificação dos triângulos.
a) quanto aos lados: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escaleno.
b) quanto aos ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo acutângulo.
Ângulo externo.
O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um
lado e o prolongamento do
outro lado.
a
b
e e = a + b
e + e + e = 360º1 2 3
a a
Exercícios.
01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.
b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 26' 12" f) 3 x (71º 23' 52")
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)
a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 x (68º 23' 54")
Jeca 03
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
6
1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º.
2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.
3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º.
4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congru-entes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente.
a
b
ga + b + g = 180º
e
e1
e2
e3
i
lado
vértice
i - ângulo internoe - ângulo externo
Num mesmo vértice, tem-se
i + e = 180º
III) Triângulos.
Propriedades dos triângulos.
Classificação dos triângulos.
a) quanto aos lados: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escaleno.
b) quanto aos ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo acutângulo.
Ângulo externo.
O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um
lado e o prolongamento do
outro lado.
a
b
e e = a + b
e + e + e = 360º1 2 3
a a
Exercícios.
01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.
a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42" c) 90º - 61º 14' 44" e) 4 x (68º 23' 54")
b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 26' 12" f) 3 x (71º 23' 52")
Jeca 03
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)
48º 27' 39"127º 51' 42"
175º 78' 81"
175º 79' 21"
176º 19' 21" Resposta
175º 78' 81"
90º
89º 60'
89º 59' 60"- 61º 14' 44"
28º 45' 16" Resposta
4 x (68º 23' 54") =
= 4 x 68º 4 x 23' 4 x 54" =
= 272º 92' 216" =
= 272º 95' 36" =
= 273º 35' 36" Resposta
106º 18' 25"17º 46' 39"
123º 64' 64"
123º 64' 64"
123º 65' 04"
124º 05' 04" Resposta
136º 14'- 89º 26' 12"
135º 74'- 89º 26' 12"
135º 73' 60"- 89º 26' 12"46º 47' 48" Resposta
3 x (71º 23' 52") =
= 3 x 71º 3 x 23' 3 x 52" =
= 213º 69' 156" =
= 213º 71' 36" =
= 214º 11' 36" Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
7
4118º 14' 52"
3
h)
i) 125º 12' 52"5
90º13
j)
04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 54º.
06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Deter-mine esses ângulos sabendo que o suplemento do maior é igual ao complemento do menor.
07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte é igual ao triplo do seu comple-mento.(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)125º 39' 46"g)
02) Determine o ângulo que é o dobro do seu comple-mento.
03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento em 54º
05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o complemento da quarta parte do maior. Determine as medidas desses ângulos.
Jeca 04
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
8
g) 125º 39' 46"4
118º 14' 52"3
h)
i) 125º 12' 52"5
90º13
j)
02) Determine o ângulo que é o dobro do seu comple-mento.
03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento em 54º
04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 54º.
05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o complemento da quarta parte do maior. Determine as medidas desses ângulos.
06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Deter-mine esses ângulos sabendo que o suplemento do maior é igual ao complemento do menor.
07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte é igual ao triplo do seu comple-mento.
Jeca 04
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
x = 2.(90 - x)
x = 180 - 2x
3x = 180
x = 60º (resp)
x = (180 - x) + 54
x = 180 - x + 54
2x = 234
x = 117º (resp)
x é o menor
(180 - x) é o maior
x = 90 - [(180 - x)/4]
x - 90 = -(180 - x)/4
4x - 360 = -180 + x
3x = 180
x = 60º e (180 - x) = 120º (resp)
125º 431º-12
05-4
1º1º
= 6
0'
60'39'99' 4
24'-819
-163'
3' =
180
"180"46"
226" 456"-20
26-24
2" (resto)
125º 39' 46"4
= 31º 24' 56" Resposta
118º 339º-9
28-27
1º1º
= 6
0'
60'14'74' 3
24'-614
-122'
2' =
120
"120"52"
172" 357"-15
22-21
1" (resto)
118º 14' 52"3
= 39º 24' 57" Resposta
125º 525º-10
25-25
0º
0'12'12' 5
2'-102'
2' =
120
"120"52"
172" 534"-15
22-20
2" (resto)
125º 12'' 52"5
= 25º 02' 34" Resposta
90º 136º-78
12º
720' 1355'
5' =
300
"300" 13
(resto)
90º13
= 06º 55' 23" Resposta
12º = 720' -65
70-6505'
23"-2640
-391"
(180 - x) - 3.(90 - x) = 54º
180 - x - 270 + 3x = 54
2x = 144
x = 72º Resposta
x + y = 124
x - maior
y - menor
(180 - x) = (90 - y)
180 - (124 - y) = 90 - y
180 - 124 + y = 90 - y
2y = 34
y = 17º e x = 107º Resposta
(180 - x/5) = 3.(90 - x)
180 - x/5 = 270 - 3x
14x/5 = 90
x = 450/14 = (225/7)º Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
9
08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.
a) b)
c) d) (Tente fazer de outra maneira)
e) f)
g) h)
i) j)
k) AC = BC
r
s
r // s
41º
x
116º
x
39º
53º
x r
s
r // s
39º
53º
x r
s
r // s
55º
38º
40º
x
r
s
r // s
r
s
35º
47º
62º
x
r
s
r // s
28º
54º
88º
x 21º 126º
x
A
B
C
AB = AC
73º
x
112º 143º
x
A B
C
46º
x
x
158º
67º
38º
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
l)
Jeca 05
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
10
08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.
a) b)
c) d) (Tente fazer de outra maneira)
e) f)
g) h)
i) j)
k) AC = BC l)
r
s
r // s
41º
x
116º
x
39º
53º
x r
s
r // s
39º
x r
s
r // s
55º
38º
40º
x
r
s
r // s
r
s
35º
47º
62º
x
r
s
r // s // t //u
28º
54º
88º
x 21º 126º
x
A
B
C
AB = AC
73º
x
112º 143º
x
A B
C
46º
x
x
158º
67º
38º
Jeca 05
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
41º
x = 41º (resp)
116º
x + 116 = 180x = 64º (resp)
39º
14º
14º t
r // s // tx = 14º (resp)
x
127º
39º
x + 39 + 127 = 180x = 14º (resp)53º
55º
87º
93º
x + 93 + 40 = 180x = 47º (resp)
62º
x t
r // s // t
x + 62 + 47 + 35 = 180x =36º (resp)
28º
26º
26º
62º
x = 62º (resp)
t
u
x + 126 + 21 = 180x = 33º (resp)
37º68º
x + 68 + 37 = 180x = 75º (resp)
73ºx + 73 + 73 = 180x = 34º (resp)
y y
46 + y + y = 1802y = 134y = 67x + y = 180x = 180 - 67x = 113º (resp)
y
y = 67 + 38y = 105º
x + y = 158x = 158 - 105x = 53º (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
11
11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.
30º
x
yz
t
13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de m.
x
4m
3m
m
xy
z
t
u
x y
10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.
x
y
09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos-tos. Qual é o valor de x + y, em graus ?
A B
C
DE
F
a) 120ºb) 150ºc) 180ºd) 210ºe) 240º
14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é igual a:
15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos uma dobra PT de modo que o vértice C coincida com o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triân-gulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; cal-cule as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC. A
B CP
T
Q
R
25º
16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retângu-lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e AD, respectivamente.
A
BC
D E
Fx
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
Jeca 06
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
12
11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.
30º
x
yz
t
13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de m.
x
4m
3m
m
12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
xy
z
t
u
x y
10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.
x
y
09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepos-tos. Qual é o valor de x + y, em graus ?
A B
C
DE
F
a) 120ºb) 150ºc) 180ºd) 210ºe) 240º
14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é igual a:
15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos uma dobra PT de modo que o vértice C coincida com o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triân-gulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; cal-cule as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC. A
B CP
T
Q
R
25º
16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retângu-lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e AD, respectivamente.
A
BC
D E
Fx
Jeca 06
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
x
y
r
s
t
r // s // t
x + y + 90 = 360
x + y = 270º (resp)
120º
60º120 + x + y = 360
x + y = 360 - 120
x + y = 240º (resp)
x + y
z + t
150ºx + y + z + t + 150 = 360
x + y + z + t = 210º (resp)
y + t
x + z
u + x + z + y + t = 180º
(resp)
y
y
3m = m + y
y = 2m
4m = x + y
4m = x + 2m
x = 2m (resp)
a b
gl
q
gl
l + ba + g
a + b + g + q + l = 180º (resp)
M
25º
Se M é ponto médio,então MB // DFx = 25º (resp)
100º
40º
40º
70º
70º
80º
30º
30º80º
60º
30º
30º
60º
A = 70ºB = 80ºC = 30º (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
13
01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
r
s
r //s
43º
x
a) b)
r
s
r // s
57º
x
d)c)
rr
ss
r // sr // s
45º45º
62º62º
xx
(Resolver de forma diferente da letra c))
(Resolver de forma diferente da letra g))
rr
ss
r // sr // s
140º140º
65º65º
xx
150º150º
h)g)
e)
r
s
r // s
147º
82º
x
x
126º
80º
r
s
r // s
f)
r
s
r // s
i)
42º
5x - 12º
r
s
r // s
j)
48º
40º
x
43º
k)
x
55º
l)
r
sr // s
135º x
85º
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaConceitos iniciais de Geometria Plana.Exercícios complementares da aula 01.
Jeca 07
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
14
01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
r
s
r //s
43º
x
a) b)
r
s
r // s
57º
x
d)c)
rr
ss
r // sr // s
45º45º
62º62º
x
(Resolver de forma diferente da letra c))
(Resolver de forma diferente da letra g))
rr
ss
r // sr // s // t // u
140º140º
65º65º
xx
150º150º
h)g)
e)
r
s
r // s // t147º
82º
x
x
126º
80º
r
s
r // s
f)
r
s
r // s
i)
42º
5x - 12º
r
s
r // s
j)
48º
40º
x
43º
k)
x
55º
l)
r
sr // s
135º x
85º
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaConceitos iniciais de Geometria Plana.Exercícios complementares da aula 01.
Jeca 07
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
tx
62º
45ºr // s // tx = 45 + 62x = 107º(resp)
x
x = 43º (resp)
57º
x + 57 = 180
x = 123º (resp)
45º
x é ângulo externo
x = 62 + 45
x = 107º (resp)
33º
33º
49º
49º
x = 49º (resp)
80º
126º é ângulo externo
x + 80 = 126
x = 46º (resp)t
30º
40º
t
u25º
40º
30º
x = 30 + 25
x = 55º (resp)
40º
30º
y
y
y + 40 = 65y = 25
x = y + 30x = 25 + 30x = 55º (resp)
25º
42º
5x - 12 + 42 = 180
5x + 30 = 180
5x = 150
x = 30º (resp)
48º
y
y = 43 + 48
y = 91º
x + y + 40 = 180
x + 91 + 40 = 180
x = 49º (resp)
y
y + 55 + 90 = 180y = 35ºx + y + 90 = 180x = 55º (resp)
85º
45º 45º
x = 45 + 85
x = 130º (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
15
m)
43º
x
r
s
t
u
r // st // u
r // st // u
n)
58º
xr
s
tu
o)
62º
79º x
p)
52º
67ºx
q)
52º
81º
x15x18x
21x
r)
s)A
B C
38º
x
AB = AC AB = AC
(Triângulo isósceles) (Triângulo isósceles)A
B C
138º
x
t)
A
B C
AB = AC
152º
x
u) v)
62º 98º x
x)
A
B
C
D
AB = BC = CD
98º
x
z)
A B C
D
E
AB = BD = DE
xy
y
y y
Jeca 08
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
16
43º
x = 43º (resp)
x
x
x + 58 = 180
x = 122º (resp)
x + 62 + 79 = 180
x = 180 - 141
x = 39º (resp)
x = 52 + 67
x = 119º (resp)
x = 81 + 52
x = 133º (resp)21x + 18x + 15x = 180
54x = 180
x = 180/54 = (10/3)º (resp)
x
2x + 38 = 180
2x = 142
x = 71º (resp) 42º 42º
x + 42 + 42 = 180x = 96º (resp)
x
x + x + 152 = 360
2x = 208
x = 104º (resp)
82º
y + 82 + 62 = 180
y = 36º
62 + 2y + x = 180
x = 46º (resp)
==
=
82º
82º
41º 41º
16º
x + 41 + 16 = 180
x = 123º (resp) =
=
=
y
z
z
y é ângulo externodo triângulo ABDy = z + z = 2zz = y/2No triângulo BDEy + y + z = 180y + y + y/2 = 180y = 72ºx + y = 180x = 108º (resp)
m)
43º
x
r
s
t
u
r // st // u
r // st // u
n)
58º
xr
s
tu
o)
62º
79º x
p)
52º
67ºx
q)
52º
81º
x15x18x
21x
r)
s)A
B C
38º
x
AB = AC AB = AC
(Triângulo isósceles) (Triângulo isósceles)A
B C
138º
x
t)
A
B C
AB = AC
152º
x
u) v)
62º 98º x
x)
A
B
C
D
AB = BC = CD
98º
x
z)
A B C
D
E
AB = BD = DE
xy
y
y y
Jeca 08
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
81º
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
17
02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
a)
37º
31º
116º
x
b)
x
73º
148º24º
d)
f)
h)
j)
l)
c)
x
34º
38º
101ºbissetriz
x
128º
36º
42ºx
A
B
C
D
AD e BD são bissetrizes.
72º
40º
xD
e) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes.
g)
r
s
r // s
68º
5y3y
x 60º
x + 30º
2x
i)
6x
9x
12x
43º
62º
60º
x
k)
x
A B
CD
ABCD é um quadrado.
30º
118ºx
Jeca 09
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
18
02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
a)
37º
31º
116º
x
b)
x
73º
148º24º
d)
f)
h)
j)
l)
c)
x
34º
38º
101ºbissetriz
x
128º
36º
42ºx
A
B
C
D
AD e BD são bissetrizes.
72º
40º
xD
e) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes.
g)
r
s
r // s
68º
5y3y
x = 3y 60º
x + 30º
2x
i)
6x
9x
12x
43º
62º
60º
x
k)
x
A B
CD
ABCD é um quadrado.
30º
118ºx
Jeca 09
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
64º
79º
101º
x + 101 + 31 = 180x = 180 - 132 = 48º(resp) y
148 = y + 24
y = 124º
y = x + 73
124 = x + 73
x = 51º (resp)
79º 38º
x + 34 + 79 + 38 = 180
x = 180 - 151
x = 29º (resp)
y
52º
y
y + 128 + 36 = 180
y = 16º
y + 52 + x = 180
16 + 52 + x = 180
x = 112º (resp)
108º
32º
32º
40º
x
2 . 32 + 2 . x + 80 = 180
x = 18º (resp)
y
z z
y
x
2.z + 2.y + 42 = 1802(y + z) = 180 - 422(y + z) = 138y + z = 69º
x + y + z = 180x + 69 = 180x = 111º (resp)
68º
3y + 5y + 68 = 180
8y = 112
y = 14º
x = 3y = 42º (resp)
120º
x + 30 + 2x + 120 = 360
3x = 210
x = 70º (resp)
6x + 9x + 12x = 360
27x = 360
x = 360/27
x = (40/3)º (resp)
y
y = 43 + 62
y = 105º
y = 60 + x
x = y - 60
x = 45º
45º
45º
x + 45 + 45 = 180
x = 90º (resp)
75º 62º75º 62º
x + 75 + 62 = 180x = 43º (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
19
m) n)
o) p)
q) r)
s) t)
u) v)
x) z)
A
B C D
AC = CD
38ºx
A
C
B
D
E
AB = BC = CD = DE e AD = AE
x
A
B
C
D
E
F
x
AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF
A
B
C
D
E
F
44ºx
AB = AC , BD = BE e CE = CF.
A
B CD E
FG
x
ABC é um triângulo equiláteroe DEFG é um quadrado.
A B
C
DEx
BCD é um triângulo equiláteroe ABDE é um quadrado.
A B
CD
Ex
CDE é um triângulo equiláteroe ABCD é um quadrado.
x
A
B
C
D
EF
G
BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são quadrados.
A B C
DEF
x
ACE e BDF são triângulosequiláteros.
A
B CE F
x
65º
70º
D
AB = AC e DE = DF.
A
B
CD
x
AB = AD = BD = DC e AC = BC.
A
B CDE
x 38º
AB = ACAD é bissetriz de BÂCAE é bissetriz de BÂD.
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Jeca 10
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
20
m) n)
o) p)
q) r)
s) t)
u) v)
x) z)
A
B C D
AC = CD
38ºx
A
C
B
D
E
AB = BC = CD = DE e AD = AE
x
A
B
C
D
E
F
x
AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF
A
B
C
D
E
F
44ºx
AB = AC , BD = BE e CE = CF.
A
B CD E
FG
x
ABC é um triângulo equiláteroe DEFG é um quadrado.
A B
C
DEx
BCD é um triângulo equiláteroe ABDE é um quadrado.
A B
CD
Ex
CDE é um triângulo equiláteroe ABCD é um quadrado.
x
A
B
C
D
EF
G
BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são quadrados.
A B C
DEF
x
ACE e BDF são triângulosequiláteros.
A
B CE F
x
65º
70º
D
AB = AC e DE = DF.
A
B
Cx
AB = AD = BD = DC e AC = BC.
A
B CDE
x 38º
AB = ACAD é bissetriz de BÂCAE é bissetriz de BÂD.
Jeca 10
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
38º
x + 38 + 38 + 90 = 180x = 180 - 166 = 14º (resp)
=
=
= =x
2x
2x
3x
x
3x
x + 3x + 3x = 180
7x = 180
x = (180/7)º
(resp)
2x
2x
3x 3x
xx
4x
x + 4x + 4x = 1809x = 180x = 20º (resp)
=
=
y
yz
z
z
z
y + y + 44 = 180y = 68º
z + z + y = 180z = 56ºz + z + x = 180x = 68º (resp)
60º
x + 60 + 90 = 180
x = 30º (resp)
=
=
60º
x
x + x + 90 + 60 = 180
x = 15º (resp)
==
=x
30º
60º
x + x + 30 = 180
x = 75º (resp)
60º
60º
x = 60º (resp)
60º
30º
60º
30º
x
x + 30 + 30 = 180
x = 120º (resp)
65º55º 55º
x
x + 55 + 65 = 180
x = 60º (resp)
=
=
=
=
60º
60º
60º
x
x + x + 60 = 360
x = 150º (resp)
y 2yy
38º
4y + 38 + 38 = 180y = 26ºx + y + 38 = 180x = 116º (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
21
03) Na figura abaixo, determine x, y e z.
37º
x
y
z
04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
x
4x
z
2y
05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.
t z
2x
y4x
40º
06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo CBE, determinar x + y.
A B C
DE
x
y
4x
57ºx
07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
A
B
C
D
E
FO
x 28º
08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz de AOD e OB é bissetriz de AOC.
09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e z.
2x y
z + 26º
2z - 84º
10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progressão aritmética de razão 10º.
x
y
z
Jeca 11
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
22
03) Na figura abaixo, determine x, y e z.
37º
x
y
z
04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
x
4x
z
2y
05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.
t z
2x
y4x
40º
06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo CBE, determinar x + y.
A B C
DE
x
y = 4x
4x
57ºx
07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
A
B
C
D
E
FO
x 28º
08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz de AOD e OB é bissetriz de AOC.
09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e z.
2x y
z + 26º
2z - 84º
10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progressão aritmética de razão 10º.
x
y
z
Jeca 11
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
x + 37 = 180 Portanto x = 180 - 37 = 143ºy = 37º (OPV)z = x = 143º (OPV)(resp)
x + 4x = 180x = 36º2y = x = 36ºy = 18º4x = z = 144º
(resp)
2x = 40x = 20º4x = z = 80ºy + 2x + z = 180y = 60ºt = y = 60º(resp)
4x + 4x + x = 180x = 20º y = 80ºx + y = 100º(resp)
x
57 + x = 90
x = 33º (resp)
x2x
4x
8x + 28 = 180
x = 19º (resp)
z + 26 = 2.z - 84z = 26 + 84 = 110º
2x + 110 + 26 = 180x = 22ºy = 2x = 44º (resp)
y = x + 10z = x + 20x + y + z = 180x + x + 10 + x + 20 = 1803x = 150x = 50º y = 60ºz = 70º (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
23
140º
120º
x
ts
t // s
11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x.
A B
CD
E
F
x
y z
t
u
v
A
B C Dx
B C D E
x
2x
13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o valor de x.
12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo inscrito no quadrado ABCD.
14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz do ângulo BAD. Determine o valor de x.
15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x em função de y.
xy 2y
5y
16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em função de x.
A B C
Dy
x
18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos.
17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : a + b = c + d. r
s
r // s
a
b
c
d
19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360º.
e1
e2
e3
20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de z.
x
y
z
r
s
r // s
A
Jeca 12
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
24
140º
120º
x
ts
t // s
11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x.
A B
CD
E
F
x
y z
t
u
v
A
B C Dx
B C D E
x
2x
13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o valor de x.
12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo inscrito no quadrado ABCD.
14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz do ângulo BAD. Determine o valor de x.
15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x em função de y.
xy 2y
5y
16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em função de x.
A B C
Dy
x
18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos.
17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : a + b = c + d. r
s
r // s // t // u
a
b
c
d
19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360º.
e1
e2
e3
20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de z.
x
y
z
r
s
r // s // t
A
Jeca 12
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
140º40º
20º
x + 20 + 90 = 180x = 70º (resp)
x + y = 90z + t = 90u + v = 90x + y + z + t + u + v = 3 . 90x + y + z + t + u + v = 270º(resp)
= =
= =
3x
3x
6x60º
60º
6x = 60º
x = 10º (resp)
==
=
x
2x 2x
x
No triângulo ACD, tem-se
x + 2x + 2x = 180
5x = 180
x = 36º (resp)
z
z = 2y + 5y = 7yx = y + z = y + 7yx = 8y (resp)
x
2x2x
=
= =
y é ângulo externo
y = A + C = x + 2x
y = 3x (resp)
t
u
ac - a
d
b - d
Ângulos alternos internosc - a = b - da + b = c + d (CQD)
100º
xx
xx
y
100 + 2x + 2x = 180x = 20ºx + x + y = 180y = 140ºz é o ângulo agudoz + y = 180z = 40º (resp)
z
x
y
z
e + x = 1801
e + y = 1802
e + z = 1803
e + e + e + x + y + z = 5401 2 3
Mas x + y + z = 180Portanto e + e + e = 540 - 180 = 360º (CQD)1 2 3
t x
z
y = x + z
x = y - z (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
25
22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
x
y
z
t
u
23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo de z e t o sêxtuplo de z.
80º
x
y
z
t
A
B D C
25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, demonstre que vale a relação z - y = x - t.
x y zt
A B
C
DE
x
y
z
27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a soma das medidas dos ângulos x, y e z.
A
B C D
E
x
28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o triângulo BCE é equilátero.
Jeca 13
40º
x
y
24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor em graus de x + y ?
x
y
r
s A B
CD
21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos x e y podemos afirmar que :a) x = yb) x = -yc) x + y = 90ºd) x - y = 90ºe) x + y = 180º
A
B
C
D
E F
26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do ângulo CBF é :a) 38ºb) 27ºc) 18ºd) 19ºe) 71º
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
26
22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
x
y
z
t
u
23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo de z e t o sêxtuplo de z.
80º
x
y = 3.z
z
t = 6.z
A
B D C
25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, demonstre que vale a relação z - y = x - t.
x y zt
A B
C
DE
x
y
z
27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a soma das medidas dos ângulos x, y e z.
A
B C D
E
x
28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o triângulo BCE é equilátero.
Jeca 13
40º
x
y
24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor em graus de x + y ?
x
y
r
s A B
CD
21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos x e y podemos afirmar que :a) x = yb) x = -yc) x + y = 90ºd) x - y = 90ºe) x + y = 180º
A
B
C
D
E F
26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do ângulo CBF é :a) 38ºb) 27ºc) 18ºd) 19ºe) 71º
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
yx
tr // s // tx + y = 90º (resp)
O polígono pode ser dividido em 3 triângu-los.
S = 3 . 180 = 540x + y + z + t + u = 540º(resp)
100º
180 - z
180 - 3z
100 + 180 - z + 180 - 3z = 3604.z = 100z = 25ºt = 150ºu = 30º
u
x + u + 100 = 180x = 50º (resp)
90 - x
90 - y
90 - x + 40 + 90 - y = 90
x + y = 130º (resp)
a a
a = 180 - x - ya = 180 - z - tPortanto 180 - x - y = 180 - z - tEntão z - y = x - t (CQD)
38º
xy y
y + y + 38 = 180y = 71º
y + 90 + x = 180x = 180 - 90 - 71x = 19º (resp)
a
b
a + b = 180º (ângulos colaterais internosa + b + x + y + z = 540ºx + y + z = 540 - 180x + y + z = 360º (resp)
=
==
=
=
60º120º
30º
30º
60º
60º
90º
x
x + x + 90 = 180
2x = 90
x = 45º (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
27
29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z, t, u e v.
x
y
z
t
u
v
30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z e t.
r
s
r // s
x
y
z
t
31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z e t.
32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura. Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x, conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.
140º
x
A B
CD
E
F
A’
D’
x
y
z
t
33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é
igual a
34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’ medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB.
35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE, sabendo-se que BAD = 48º.
A
B CD
E
A
B C
M
N
Px y
x - y2 A
B CD
B’
.
Jeca 14
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
28
29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z, t, u e v.
x
y
z
t
u
v
30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z e t.
r
s
r // s // u
x
y
z
t
31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z e t.
32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura. Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x, conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.
140º
x
A B
CD
E
F
A’
D’
x
y
z
t
33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é
igual a
34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’ medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB.
35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE, sabendo-se que BAD = 48º.
A
B CD
E
A
B C
M
N
Px y
x - y2 A
B CD
B’
.
Jeca 14
x + y
u + v
z + tsoma dos ângulos externosx + y + z + t + u + v = 360º(resp)
x
t u
x + y + z + t = 180º (resp)
ay - a
b t - b
x + y + z + t = x + y - a + a + t - b + b + z
x + y + z + t = (x + y - a + t - b) + (z + a + b)
x + y + z + t = 360 + 180 = 540 (resp)
40º50º
50º
40º
x
x + x + 50 = 180
x = 65º (resp)
a
a
q
z
q + a + a = 180q + x + y = 180Então 2a = x + y
a = x - z2a = 2x - 2z
==
aa
2a = x + y2x - 2z = x + y2z = x - y z = (x - y)/2 (CQD)
30º 80º
30º
x
yy
x
30º
30 + 80 + 30 + 2y = 180
y = 20º
30 + x + y = 180
30 + x + 20 = 180
x = 130º (resp)
x yy
48º
x + yx + y
x + y + x é ângulo externo
do triângulo ABD
x + y + x = y + 48
2x = 48
x = 24º (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
29
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Respostas dos exercícios da Aula 01
01) a) 176º 19' 21" b) 124º 05' 04"c) 28º 45' 16" d) 46º 47' 48"e) 273º 35' 36" f) 214º 11' 36"g) 31º 24' 56" h) 39º 24' 57"i) 25º 02' 34" j) 06º 55' 23" 02) 60º
03) 117º
04) 72º
05) 60º e 120º
06) 17º e 107º
07) 225º / 7
08)a) 41º b) 64º c) 14º d) 14º e) 47ºf) 36º g) 62º h) 33º i ) 75º j) 34ºk) 113º l) 53º
09) 270º
10) 240º
11) 210º
12) 180º
13) 2m
14) c
15) 70º, 80º e 30º
16) 25º
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 16
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
30
Respostas dos exercícios complementares da Aula 01
01)a) 43º b) 123º c) 107º d) 107º e) 49ºf) 46º g) 55º h) 55º i) 30º j) 49ºk) 55º l) 130º m) 43º n) 122º o) 39ºp) 119º q) 133º r) 10º/3 s) 71º t) 96ºu) 104º v) 46º x) 123º z) 108º
02) a) 48º b) 51º c) 29º d) 112º e) 18ºf) 111º g) 42º h) 70º i) 40º/3 j) 45ºk) 90º l) 43º m) 14º n) 180º/7 o) 20ºp) 68º q) 30º r) 15º s) 75º t) 60ºu) 120º v) 60º x) 150º z) 116º
03) 143º, 37º e 143º
04) 36º, 18º e 144º
05) 20º, 60º, 80º e 60º
06) 100º
07) 33º
08) 19º
09) 22º, 44º e 110º
10) 50º, 60º e 70º
11) 70º
12) 270º
13) 10º
14) 36º
15) x = 8y
16) y = 3x
17) demonstração
18) 40º
19) demonstração
20) x = y - z
21) c
22) 540º
23) 50º
24) 130º
25) demonstração
26) d
27) 360º
28) 45º
29) 360º
30) 180º
31) 540º
32) 65º
33) demonstração
34) 130º
35) 24º
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 17
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
31
mediana
mediatriz
bissetriz
altura
M
ponto médio
Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto.
Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo pelo seu ponto médio.
Bissetriz - É a semi-reta de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.
Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto.
Todo triângulo tem: 3 medianas 3 bissetrizes 3 mediatrizes 3 alturas
Pontos notáveis do triângulo BICO
- baricentro
- incentro
- circuncentro
- ortocentro
Segmentos notáveis do triângulo.
A
B M C
NP
G
Baricentro (G). É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo.
Propriedade. O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos. O segmento que contém o vértice é o dobro do segmen-to que contém o ponto médio do lado oposto. (razão 2 : 1)
Observação - As três medianas dividem o triângulo original em seis triângulos de mesma área.
SS
S
S S
S
S
2x
x
AG = 2.GMBG = 2.GNCG = 2.GP
Incentro (I). É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo.
Propriedade. O incentro é o centro da circunferência inscrita (inter-na) no triângulo. O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 lados do triângulo.
I
aa
bb
gg
r
r - raio da circunferência inscrita.
Circuncentro (C). É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo.
Propriedade. O circuncentro é o centro da circunferência circuns-crita (externa) ao triângulo. O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 vértices do triângulo.
C
R
mediatriz
ponto médio
R - raio da circunferência circunscrita.
Ortocentro (O). É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.
Propriedade. Não tem.
hA
h B
h C
BC
A
O
ortocentro
A
A
B
B
C
C
hA
h B
hCO
hA
h B
hC
O
Área de cada triângulo
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 02
Pontos notáveis de um triângulo.
Jeca 18
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
32
Observações.
1) O baricentro e o incentro sempre estão localizados no interior do triângulo.
2) O circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no exterior do triângulo.
3) Num triângulo isósceles, os quatro pontos notáveis (BICO: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão alinhados.
4) No triângulo retângulo, o ortocen-tro é o vértice do ângulo reto e o cir-cuncentro é o ponto médio da hipo-tenusa.
I
O
G
C
medianamediatrizbissetrizaltura
mediatriz
mediana
bissetriz
altura
R C R
hipotenusa
ortocentrocircuncentro
R
r
hl l
l
Triângulo eqüilátero.(importante)
Em todo triângulo eqüilátero, os quatro pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto.
- lado do triângulo eqüilátero.- raio da circunferência inscrita.- raio da circunferência circunscrita.- altura do triângulo.
rRh
l
BICO
R = 2re
h = 3rr
r
r
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :a) a altura do triângulo.b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.d) o que o ponto O é do triângulo.
R
r
hl l
l
O
A
B C
O
02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a medida do ângulo AOC.
A
B C
O
03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.
Jeca 19
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
33
Observações.
1) O baricentro e o incentro sempre estão localizados no interior do triângulo.
2) O circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no exterior do triângulo.
4) No triângulo retângulo, o ortocen-tro é o vértice do ângulo reto e o cir-cuncentro é o ponto médio da hipo-tenusa.
I
O
G
C
medianamediatrizbissetrizaltura
mediatriz
mediana
bissetriz
altura
R C R
hipotenusa
ortocentrocircuncentro
R
r
hl l
l
Triângulo eqüilátero.(importante)
Em todo triângulo eqüilátero, os quatro pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto.
- lado do triângulo eqüilátero.- raio da circunferência inscrita.- raio da circunferência circunscrita.- altura do triângulo.
rRh
l
BICO
R = 2re
h = 3rr
r
r
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :a) a altura do triângulo.b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.d) o que o ponto O é do triângulo.
R
r
hl
l
O
A
B C
O
02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a medida do ângulo AOC.
A
B C
O
03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.
Jeca 19
33º
28º
28º
x
yy
33º
2y + 66 + 56 = 180y = 29ºx + 33 + 29 = 180x = 180 - 62 = 118º(resp)
60º
10 c
m
a) sen 60º =cohip
h10
=
32
=h
10
h = 5 3 cm
b) r = h/3 = 5 3 / 3 cm
c) R = 2.r = 10 3 / 3 cm
d) O ponto O é o "BICO"
BaricentroIncentroCircuncentroOrtocentro
126º
a
a
b b
a + q + 126 = 180
a + q = 54º
2a + 2q + 2b = 180
2(a + q) + 2b = 180
2 . 54 + 2b = 180
2b = 72º (resp)
3) Num triângulo isósceles, os quatro pontos notáveis (BICO: baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão alinhados.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
34
04) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.c) o lado do triângulo.
A
B C
D
EF
G
07) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x, AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, determine o perímetro do triângulo BDG, em função de x, y, z, w, k e n.
A
B CD
E
F
08) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC. Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º e 70º.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 20
05) O triângulo ABC tem lados que medem 6 cm, 8 cm e 10 cm. Determine a distância entre o ortocentro e o baricentro desse triângulo.
06) Sendo G e C , respectivamente, o baricentro e o circuncentro de um triângulo retângulo cujos cate-tos medem 6 cm e 8 cm, determine a medida do seg-mento GC.
R
r
hl l
l
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
35
04) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.c) o lado do triângulo.
07) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x, AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, determine o perímetro do triângulo BDG, em função de x, y, z, w, k e n.
08) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC. Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º e 70º.
(GeoJeca)
Jeca 20
05) O triângulo ABC tem lados que medem 6 cm, 8 cm e 10 cm. Determine a distância entre o ortocentro e o baricentro desse triângulo.
06) Sendo G e C , respectivamente, o baricentro e o circuncentro de um triângulo retângulo cujos cate-tos medem 6 cm e 8 cm, determine a medida do seg-mento GC.
B C
D
EF
G
A
B CD
E
F
x
x
y
y
z z
w
2w
k
2k
n
2n
Per = 2p = z + w + 2k (resp)
Ortocentro - encontro das alturas
58º
70º
x
y
y + 58 + 70 = 180
y = 52º
y + 90 + x + 90 = 360
x = 128º (resp)
A (GeoJeca)
R
r
hl l
l
60º
c) sen 60º =cohip
h=
32
=3
a) r = h/3 = 3/3 = 1 cm
b) R = 2.r = 2 . 1 = 2 cm
l
ll . 3 = 6
= 6 3 /3 = 2 3 cml
Esse triângulo é retângulo 6 , 8 , 10 (3 , 4 , 5)
A B
C
D
E
Propriedades.1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa se-micircunferência.
2) O baricentro divide cada mediana na razão 2 : 1.
AC e AB são alturas.Portanto A é ortocentro
Pela propriedade 1, tem-seAD = CD = BD = raio = 5
D é ponto médio de BC.Portanto AD é uma mediana.Portanto, se E é o baricentro, então AE = 2 . ED
Distância entre o ortocentro A e o baricentro Ed = 2 . AD /3 = 2 . 5 /3 = 10/3 cm (resp)
A B
C
D
E
Propriedades.1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa se-micircunferência.2) O baricentro divide cada mediana na razão 2 : 1. 3) Em todo triângulo retân-gulo o circuncentro é o pon-tom médio da hipotenusa.
Pela propriedade 1, tem-seAD = CD = BD = raio = 5
D é o circuncentro pois é o ponto médio de BC.Portanto AD é uma mediana.Portanto, se E é o baricentro, então AE = 2 . ED
Distância entre o circuncentro D e o baricentro Ed = AD /3 = 5 /3 cm (resp)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Se esse triângulo é retângulo, então BC = 10 cm
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
36
A B
C
D
E
09) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e AE.
Peroba
Jatobá
Sibipiruna
10) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz menção a três grandes árvores do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é possível localizar o tesouro no local ?
A
B CD E
G
F
211) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) G é o baricentro do triângulo ABC.2
( ) A área do triângulo AEC é 40 cm .2
( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .
A
B CD
EFG
12) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:a) a área do triângulo ABC;b) a área do triângulo AFG;c) a área do quadrilátero BCAG.
13) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casas não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com seus conhecimentos de geometria, que sugestão poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio.
14) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praça central, uma estátua em homenagem a Tiraden-tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça.
Rua 2
Rua 1
Rua
3
Jeca 21
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
37
A B
C
D
E
09) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e AE.
Peroba
Jatobá
Sibipiruna
10) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz menção a três grandes árvores do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é possível localizar o tesouro no local ?
A
B CD E
G
F
211) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) G é o baricentro do triângulo ABC.
2( ) A área do triângulo AEC é 40 cm .
2( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .
(AE não é mediana)
A
B CD
EFG
12) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:a) a área do triângulo ABC;b) a área do triângulo AFG;c) a área do quadrilátero BCAG.
13) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casas não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com seus conhecimentos de geometria, que sugestão poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio.
14) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praça central, uma estátua em homenagem a Tiraden-tes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça.
Rua 2
Rua 1
Rua
3
Jeca 21
Triângulo equilátero BICO
ED = CD/3 = k/3CE = AE = 2.ED = 2k/3(resp)
J
S
Tesouro
P
JS é um lado do triângulo (J e S são vértices)A altura h obrigatoriamente passa por S e pelo ortocentro P.S
A altura h obrigatoriamente faz 90º com o lado oposto a S.S
A altura h passa por P e faz 90º com o lado oposto a J.J
O terceiro vértice do triângulo será o ponto de intersecção das retas ST e JT.
O ortocentro de um triân-gulo é o ponto de encon-tro das 3 alturas do tri-ângulo.
T
hS
hJ
A
B CD E
G
F
402
cm
402
cm
402
cm
80/3
80/3
80/3
F
V
F
Propriedade - Em todo triângulo, as três medianas dividem o triângulo original em 6 triângulos menores de mesma área
2a) S = (1/2).a.b.sen a = (1/2) . 14 . 12 . (1/2) = 42 cmABC
2b) S = S / 6 = 42/6 = 7 cmAFG ABC
2c) S = 4 . 7 = 28 cmBCAG
(resp)
27 cm
27 cm
27 cm
27 cm
27 cm
27 cm
J
P
M
Poço
mediatriz
O poço deve ser construído no circuncentro do triângulo formado pelas três casas. O circuncentro é o ponto de en-contro das três mediatrizes do tri-ângulo.O circuncentro é o ponto do plano equidistante dos três vértices do tri-ângulo.
RR
R
r
rr
A estátua deve ser colocada no incentro do triângulo. O incentro é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângu-los internos do triângulo. O incentro é o ponto do plano equidistante dos três lados do tri-ângulo.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
38
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaPontos notáveis de um triângulo.
Exercícios complementares da aula 02.
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :a) a altura do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;d) o que o ponto O é do triângulo.
R
r
hO
k
kk
A
BC
D
E
FG
R
SP
Q
03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi-dem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. Assinale a alternativa correta.
a) P é incentro de algum triângulo construído na figura.b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura.c) R é incentro de algum triângulo construído na figura.d) S é incentro de algum triângulo construído na figura.e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.
T1
T2
O
R
04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centro O consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T , inscrito, e T , circunscrito. Determine 1 2
a razão entre a altura de T e a altura de T .2 1
Jeca 22
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
02) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo.
A
BC
I
(GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
39
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaPontos notáveis de um triângulo.
Exercícios complementares da aula 02.
03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, divi-dem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. Assinale a alternativa correta.
04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centro O consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T , inscrito, e T , circunscrito. Determine 1 2
a razão entre a altura de T e a altura de T .2 1
Jeca 22
(GeoJeca)
02) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo.
A (GeoJeca)
BC
I G C
O
A
BC
D
E
FG
R
SP
Q
a) P é incentro de algum triângulo construído na figura.b) Q é incentro de algum triângulo construído na figura.c) R é incentro de algum triângulo construído na figura.d) S é incentro de algum triângulo construído na figura.e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.
T1
T2
O
a a a
qqq
AR é uma bissetrizCP é uma bissetriz
S é incentro do D ACQ. (resp. d)
R
R
R
h = 3R2
h = 3R/21
h / h = 3R / 3R/22 1
h / h = 2 (resp)2 1
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :a) a altura do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;d) o que o ponto O é do triângulo.
R
r
hO
k
kk
60ºa) sen 60º = h/kPortanto h = k 3 /2
b) r = h/3 = k 3 / 6
c) R = 2r = k 3 / 3
d) - baricentro
- incentro - circuncentro - ortocentro
BI
CO
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
40
05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro do triângulo ABC e que BG = 2.GN.
A
B C
M N
P
G
06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfe-rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do triângulo ADE.
A
B C
D EI
A
B C
D
E
M
07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM.
RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência.
AB
C
D
08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.
A
B C
O
09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º.Determine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.
A
B C
D
E F
40º
10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do la-do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine a medida do ângulo BFC.
A
B C
D
11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a me-dida do ângulo ADC.
12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º e B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?a) 30ºb) 45ºc) 60ºd) 90º e) 120º
Jeca 23
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
41
05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios dos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro do triângulo ABC e que BG = 2.GN.
A
B C
M N
P
G
A
B C
D EI
A
B C
D
E
M
07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM.
RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência.
AB
C
D
08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.
A
B C
O
09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º.Determine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.
A
B C
D
E
40º
10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do la-do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine a medida do ângulo BFC.
A
B C
D
11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a me-dida do ângulo ADC.
12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º e B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?a) 30ºb) 45ºc) 60ºd) 90º e) 120º
Jeca 23
Se M, N e P são pontos mé-dios, então AP, BN e CM são medianas.Portanto G é baricentro
R S
Seja R o ponto médiodo segmento BG e S oponto médio de GC. MN // BC // RS MN = RS = BC/2
MNSR é um paralelogramo.BR = RG = GNPortanto BG = 2.GN (CQD)
a q
a q
qa
x
x y
y
8 - x 11 - y
AB = AD + DB = AD + DIAD + DI = 8
AC = AE + EC = AE + EIAE + EI = 11
Per = AD + DI + AE + EI = 8 + 11 = 19 cm (resp)
06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfe-rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do triângulo ADE.
R
R
R R
BM = MC = ME = MD = R = 5
ME + MD = 10 cm (resp)
R R
R65º
65ºx
x é ângulo externo
x = 65 + 65
x = 130º (resp)
40º70º
x
y
y + 70 + 40 = 180
y = 70º
ADOE é um quadrilátero
y + 90 + x + 90 = 360
x = 360 - 250 = 110º (resp)D
E
x
aa
x
RRF
40º
50º
2a + 90 + 40 = 180
a = 25º
a + x + 50 = 180
25 + x + 50 = 180
x = 105º (resp)
a a
x
2a + 2q + 90 = 180
2(a + q) = 180 - 90
a + q = 45º
x + a + q = 180
x = 135º (resp)
B
A
C
hA
hB
x
x = 90º (resp d)
Num triângulo retângulo, os dois catetos são duas das três alturas do triângulo.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
42
A
B C
E
D
F
13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a afirmativa falsa.
a) F é o ortocentro do DABC.
b) A é o ortocentro do DFBC.
c) Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.d) BF = 2.FE.
e) O DABC é acutângulo.
A
B CD
E
14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.
130º
120º
110º
D
A
B C
16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do triângulo.
A
B
C
15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e 70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores circulares S , S e S , em função de S.1 2 3
S1
S2
S3
17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen-tro do triângulo.
D
A
B C
110º
120º
130º
A
B
C
O
18) Na figura, a circunferência de centro O está inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circun-ferência.
A
B C
D
19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida do segmento AD.
A
B C
P
20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a razão entre x e y.
A
B C
P
Jeca 24
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
43
A
B C
E
D
F
13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a afirmativa falsa.
a) F é o ortocentro do DABC.
b) A é o ortocentro do DFBC.
c) Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.d) BF = 2.FE.
e) O DABC é acutângulo.
A
B CD
E
14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.
130º
120º
110º
D
A
B C
16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do triângulo.
A
B
C
15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e 70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores circulares S , S e S , em função de S.1 2 3
S1
S2
S3
17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen-tro do triângulo.
D
A
B C
110º
120º
130º
A
B
C
O
18) Na figura, a circunferência de centro O está inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circun-ferência.
A
B C
D
19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida do segmento AD.
A
B C
P
20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a razão entre x e y.
A
B C
P
Jeca 24
A alternativa d) é falsa pois F não é o baricentro e BE não é uma mediana.
x
2x
y
2y
w
3
4
4
3
F
Pitágoras2 2 2
(2x) + y = 42 2
4x + y = 162 2 2
x + (2y) = 32 2
x + 4y = 9
2 25x + 5y = 25
2 24x + y = 16
2 2x + 4y = 9
Portanto2 2
x + y = 5
2 2 2 2 2 2 2w = (2x) + (2y) = 4x + 4y = 4(x + y ) = 4 . 5 = 20
w = 20 = 2 5 (resp)
I
I é o incentro do triângulo(ponto de encontro das bissetrizes)
25º
35º
25º
35º
xx
ab
q
2x + 50 + 70 = 180x = 30ºa + 35 + 30 = 180 a = 115ºb + 35 + 25 = 180 b = 120ºq = 125º
S 1 =115360
S = S2372
S 2 =125360
S = S2572
S 3 =120360
S = S13
a
b
qa
b
q
a + b = 180 - 120a + b = 60
2a + 2b + 2q = 1802(a + b) + 2q = 1802q = 60q = 30ºa = 20ºb = 40ºA = 2b = 80ºB = 2a = 40ºC = 2q = 60º(resp)
R
R R
30º
35º
25º
25º
30º
35º
A = 55º
B = 65º
C = 60º
(resp) 30º
15 - R R
R
15
sen 30º =cohip
R15 - R
=
R15 - R
=12
2r = 15 - R
3R = 15
R = 5 cm (resp)
SS
S
S S
S
E
FH
Se os triângulos têm a mesma área, então AE, BF e CH são medi-anas.
9 cm 9 cmAE = BE = CE = RAE = 9 cmAD = 6 cm (resp)
x
25º
a q
a q
25º
P é incentro(bissetrizes)
a + q = 65ºx = 115º
50º
90º
90ºy
y
P é ortocentro(alturas)
y = 130º
x/y = 115/130 = 23/26 (resp)
D é baricentro (2 : 1)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
44
A
B C
DM
P
21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé-dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm.
22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a razão AC / BC.
A
B D C
A
B C
R
M N
P
23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e AR = 10 cm, determinar :a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o triângulo ABC.b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.
A
B C
O
q
b
g
a
24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a, b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o ângulo ACB.
B C
D
A
EF
G
25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon-tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o que é a reta FD.
26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB e é perpendicular a esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.
a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B.b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângu-lo.c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB.d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos.e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em a.
Jeca 25
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
45
A
B C
DM
P
21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé-dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm.
22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a razão AC / BC.
A
B D C
A
B C
R
M N
P
23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e AR = 10 cm, determinar :a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o triângulo ABC.b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.
A
B C
O
q
b
g
a
24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a, b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o ângulo ACB.
B C
D
A
EF
G
25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encon-tram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o que é a reta FD.
26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB e é perpendicular a esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.
a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B.b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângu-lo.c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB.d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos.e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em a.
Jeca 25
No triângulo ABD, BM é uma mediana.Como E é ponto médio de BD, AE tambémé uma mediana.P é o baricentro (encontro das medianas)BC = BM = 12 cm.PM = BM / 3 = 12 / 3 = 4 cm (resp)
E 60º
=
=
a
2aa
4a + 60 = 180a = 30º
Portanto 2a = 60ºO triângulo ADC é isósceles.AD = DC = BCAC / BC = 1/2 (resp)
10
7 6
5 1412
a) medianasb) baricentroc) CR = 14 cm BR = 12 cm PR = 5 cm (resp)
15º
15º
45º
45º
30º30º
O é o incentro.Ponto de encontro das bissetrizes.
a = 15ºb = 45ºg = 120ºq = 30ºCO é bissetriz (resp)
D é o circuncentro do triângulo.
FD é a mediatriz do lado AB do triângulo. (resp)
d é incorreta.As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se nomesmo ponto, que é denominado circuncentro do triângulo. (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
46
Respostas dos exercícios da Aula 02.
01)a) (5 3 ) cmb) (5 3 / 3) cmc) (10 3 / 3) cmd) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.
02) 118º
03) 72º
04) a) 1 cmb) 2 cmc) 2 3 cm
05) 10/3 cm
06) 5/3 cm
07) 2k + w + z
08) 128º
09) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3
10)
11) F , V e F
12) 2
a) 42 cm2
b) 7 cm2
c) 28 cm
13) O poço deve localizar-se no circuncentro dotriângulo cujos vértices são as três casas.
14) A estátua deve ser colocada no incentro dotriângulo formado pelas três ruas.
Peroba
Jatobá
Sibipiruna
tesouro
O
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 26
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
47
Respostas dos exercícios complementares da Aula 02.
01)a) k 3 / 2b) k 3 / 6c) k 3 / 3d) BICO
02)
03) d
04) 2
05)
06) 19 cm
07) 10 cm
08) 130º
09) 110º
10) 105º
11) 135º
A
B C
M N
P
G
S R
S é ponto médio de BGR é ponto médio de CGMNRS é um paralelogramoPortando, SG = GN = BSRazão 2 : 1
12) d
13) d
14) 2 5
15) 23 S / 72, 25 S / 72 e S / 3
16) 80º, 40º e 60º
17) 55º, 65º e 60º
18) 5 cm
19) 6 cm
20) 23 / 26
21) 4 cm
22) 1 / 2
23) a) medianasb) baricentroc) 14 cm, 12 cm e 5 cm
24) 15º, 45º, 120º, 30º e bissetriz
25) circuncentro e mediatriz
26) d
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 27
A
BC
G CI
O
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
48
A
B C EF
D Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângu-los dois a dois ordenadamente congruentes.
DABC DDEF
A DB EC FAB DEAC DFBC EF
Casos de congruência.1) L.A.L.2) A.L.A.3)L.L.L.4) L.A.AO
5) Caso especial (CE)
Onde:L - lado.A - ângulo junto ao lado.A - ângulo oposto ao lado.O
Caso especial (CE). Dois triângulos retângulos são congruentes se têm as hipotenusas congruentes e um cateto de um triângulo é congruente a um cateto do outro triângulo
Observação. A posição de cada elemento do triângulo (lado ou ângulo) no dese-nho é muito importante na caracteri-zação do caso de congruência.
L.A.L. - dois lados e o ângulo entre eles.A.L.A. - dois ângulos e o lado entre eles.
01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.
02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângu- lo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes.
A
B
C
D
03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmen-tos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.
A
B
C
D
A
B
C
D
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 03
Congruência de triângulos.
Jeca 28
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
49
A
B C EF
D Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângu-los dois a dois ordenadamente congruentes.
DABC DDEF
A DB EC FAB DEAC DFBC EF
Casos de congruência.1) L.A.L.2) A.L.A.3)L.L.L.4) L.A.AO
5) Caso especial (CE)
Onde:L - lado.A - ângulo junto ao lado.A - ângulo oposto ao lado.O
Caso especial (CE). Dois triângulos retângulos são congruentes se têm as hipotenusas congruentes e um cateto de um triângulo é congruente a um cateto do outro triângulo
Observação. A posição de cada elemento do triângulo (lado ou ângulo) no dese-nho é muito importante na caracteri-zação do caso de congruência.
L.A.L. - dois lados e o ângulo entre eles.A.L.A. - dois ângulos e o lado entre eles.
01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.
02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângu- lo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes.
A
B
C
D
03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmen-tos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.
A
B
C
D
A
B
C
D
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 03
Congruência de triângulos.
Jeca 28
A = C = 90º (A) dado do exercícioAD CD (L) dado do exercícioBD BD (L) lado comum
Pelo caso especial (HC), tem-se:DABD DCBD (CQD)
A = C = 90º (A) dado do exercícioADB CDB (A) BD é bissetrizBD BD (L) lado comum
Pelo caso L.A.A , tem-se:O
DABD DCBD AB CB (CQD)
=
AB BC (L) - dado do enunciadoAD CD (L) - dado do enunciadoBD BD (L) - lado comum
Pelo caso L.L.L., tem-se:
D ABD D CBD A C (CQD)
=
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
50
r
s
OM P
C A
B
D
04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB.
A BM
P
mediatriz
M
05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e mediatriz.
A
B CH
Jeca 29
06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.
07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento AB.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
51
r
s
OM P
07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento AB.
C A
B
D
04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB.
06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.
A BM
P
mediatriz
M
05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e mediatriz.
A
B CH
Jeca 29
BC = AC = R (L) raioBMC AMC = 90º (A) perpendicularCM CM (L) lado comum
Pelo caso especial, tem-seDBMC DAMCPortanto BM AM.Então M é ponto médio de AB. (CQD)
AB AC (L) - triângulo isóscelesAH AH (L) - lado comumBHA CHA = 90º (A) - AH é altura
Pelo caso especial, tem-se
D ABH D ACH
a) Se D ABH D ACH, entãoBH CHPortanto H é ponto médioEntão AH é mediana
b) Se D ABH D ACH, entãoBAH CAHPortanto AH é bissetriz
c) Se H é ponto médio e AHB = 90º , então AH é mediatriz de BC.
Observação Ao provar que os triângulos ABH e ACH são congruen-tes, prova-se também que em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes. (B C)
AMP BMP (A) - da definição de mediatrizAM MB )L) - da definição de mediatrizMP MP (L) - lado comum
Pelo caso L.A.L., tem-se
D AMP D BMP AP BP (CQD)
A
B
t
Seja t // r (por construção)
OM MP (L) - dado do enunciadoPBM OAM (A) - ângulos alternos internosAMO BMP (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.A , tem-seO
D OAM D PBMPortanto AM MBEntão M é ponto médio de AB (CQD)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
52
A
B C
D
E
08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e DC são congruentes.
09) (UFMG) Observe a figura:
A
B
P
O
C
R
r
s
q
Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpen-diculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo interno AOC do quadrilátero AOCB.
A B
CD
E
F
10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os segmentos DE e FB são congruentes e paralelos entre si.
A B
CD
E
F
G
H
11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH, BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.
A B
CD
E
F
12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os segmentos AE e CF são perpendiculares ao segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF são congruentes entre si.
A B
CD
E
13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das diagonais é o ponto médio da diagonal AC.
Jeca 30
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
53
A
B C
D
E
08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e DC são congruentes.
09) (UFMG) Observe a figura:
A
B
P
C
R
r
s
Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpen-diculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo interno AOC do quadrilátero AOCB.
A B
CD
E
F
10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os segmentos DE e FB são congruentes e paralelos entre si.
A B
CD
E
F
G
H
11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH, BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.
A B
CD
E
F
12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os segmentos AE e CF são perpendiculares ao segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF são congruentes entre si.
A B
CD
E
13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das diagonais é o ponto médio da diagonal AC.
Jeca 30
Oq
a
b
a
b
AP = PB (L) P é médioAPO = BPO = 90º (A) dado do exercícioPO = PO (L) lado comumPelo caso L.A.L. , tem-seDAPO = DBPO
Analogamente, tem-se DCRO = DBRO
se q = a + b então 2a + 2b = 2q (resp)
AE DE BE ECSe AC = AE + EC DB = DE + EBPode-se concluir queAC BD (L) - conclusão acima apresentadaEBC ECB (A) - o triângulo BEC é isóscelesBC BC (L) - lado comum
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABC D CBD AB DC (CQD)
AE CF (L) - dado do enunciadoA C (A) - ABCD é um paralelogramoAD BC (L) - ABCD é um paralelogramo
Pelo caso L.A.L. , tem-se D ADE D BCFPortanto DE BF
Se AED CFB , então DEB BFDPortanto DEBF também é um paralelogramoEntão DE é paralelo a BF (CQD)
a
90 - a
a
a
90 - a
HE EF (L) - EFGH é um quadradoAHE BEF (A) - Propriedade dos triângulosAEH BFE (A) - Propriedade dos triângulos
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D AHE D BFE
Analogamente, tem-se DAEH D BFE D FCG D GDH
(CQD)
AED CFB = 90º (A) - dado do enunciadoADE CBF (A) - ângulos alternos internosAD BC (L) - ABCD é um retângulo
Pelo caso L.A.A . , tem-seO
D ADE D BCF DE BF (CQD)
AD BC (L) - ABCD é um paralelogramoADB CBD (A) - ângulos alternos internosAED BEC (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.A . , tem-seO
D ADE D BCDPortanto, AE EC , então o ponto E é médio de ACe DE EB , então E o ponto E é médio de DB (CQD)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
54
Teorema do ponto exterior.
Dada uma circunferência l e um ponto P, P exterior a l, se A e B são os pontos de tangência das retas tangentes a l por P, então PA = PB.
A
B
Pl
PA = PB
Consequência do Teorema do ponto exterior.
Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferên-cia a soma das medidas dos lados opostos é constante.
l
AB
C
D
AB + CD = AD + BC
14) Prove o Teorema do ponto exterior.A
B
PlA
B C
RS
T
15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Deter-mine a medida do segmento CT.
A
B
Pl
C
D
E
16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên-cia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo que a distância PB mede 17 cm.
18) Determinar a medida da base média de um trapé-zio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos desse trapézio medem 15 cm cada.
A B
CD
AB
CD
17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo-se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 eBC = 3x + 1.
19) Determine a medida do raio da circunferência ins-crita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm, 15 cm e 17 cm.
Jeca 31
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
55
Teorema do ponto exterior.
Dada uma circunferência l e um ponto P, P exterior a l, se A e B são os pontos de tangência das retas tangentes a l por P, então PA = PB.
A
B
Pl
PA = PB
Consequência do Teorema do ponto exterior.
Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferên-cia a soma das medidas dos lados opostos é constante.
l
AB
C
D
AB + CD = AD + BC
14) Prove o Teorema do ponto exterior.A
B
PlA
B C
RS
T
15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Deter-mine a medida do segmento CT.
A
B
Pl
C
D
E
16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên-cia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo que a distância PB mede 17 cm.
18) Determinar a medida da base média de um trapé-zio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos desse trapézio medem 15 cm cada.
A B
CD
AB
CD
17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo-se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 eBC = 3x + 1.
19) Determine a medida do raio da circunferência ins-crita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm, 15 cm e 17 cm.
Jeca 31
C
AC = BC = R (L) raioCAP = CBP = 90º (A) tangenteCP = CP (L) lado comum
Pelo caso especial, tem-seDACP = DBCPPortanto PA = PB (CQD)
10
x
14
14 - x
12
x
12 - x
14 - x
Teorema do ponto exterior
14 - x + 12 - x = 102x = 16x = 8 CT = x = 8 (resp)
17 cmx
x
y
yAP = BP = 17AP = AC + CP = DC + CP = 17BP = BE + EP = DE + EP = 17
Per = 2p = DC + CP + DE + EP = 17 + 17 = 34 cm (resp)
Teorema doponto exterior
AB + CD = AD + BC2x + 2 + 4x - 3 = 3x - 2 + 3x + 1
6x - 1 = 6x - 1Para qualquer x real
Analisando a condição de existência4x - 3 = 0Então x > 3/4S = {x | x > 3/4} (resp)R
15
x
15 -
x
x
15 - x
x
15 - x
Teorema do ponto exterior
Base média de trapézio
M N
MN = AB + CD2
x + x + 15 - x + 15 - x=
2
MN =230 = 15 cm (resp)
R
R
R
R15 - R
8 - R17
15 - R
8 - R
Teorema doponto exterior
15 - R + 8 - R = 172R = 6R = 3 cm (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
56
A
B
M
C
D
02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M também é ponto médio do segmento BD.
03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os segmentos AB e CD são congruentes.
A
B
M
C
D
A
B
M
C
D
A
B
M
C
D
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaCongruência de triângulos.
Exercícios complementares da aula 03.
A B
C
DJeca 32
05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os segmentos AC e AD são congruentes.
04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.
01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
57
01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM.
A
B
M
C
D
02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M também é ponto médio do segmento BD.
03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os segmentos AB e CD são congruentes.
04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.
A
B
M
C
D
A
B
M
C
D
A
B
M
C
D
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaCongruência de triângulos.
Exercícios complementares da aula 03.
B
C
D
05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os segmentos AC e AD são congruentes.
Jeca 32
AM MC (L) M é ponto médioBM MD (L) M é ponto médioAMB CMD (A) OPV
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABM D CDM (CQD)
AM MC (L) - dado do enunciadoA C (A) - dado do enunciadoAMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D ABM D CDM BM MDPortanto M é ponto médio de BD (CQD)
BM MD (L) - dado do enunciadoA C (A) - dado do enunciadoAMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.A . , tem-seO
D ABM D CDM AB CD (CQD)
AM MC (L) - M é ponto médio de ACBM MD (L) - M é ponto médio de BDAMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABM D CDM B DSe B e D são ângulos alternos internos, então AB // CD (CQD)
CAB DAB (A) - AB é bissetrizACB ADB (A) - dado do enunciadoAB AB (L) - lado comum
Pelo caso L.A.A . , tem-seO
D ABC D ABD AC AD (CQD)
A
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
58
A
B CD E
F
G
06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.
A
B CD E
07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABC também é um triângulo isósceles.
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é eqüilátero.
A
B C
F
D
E
A
B
C
D
E
08) Na figura abaixo, DAC BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruen-tes.
Jeca 33
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
59
A
B CD E
F
G
06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.
B CD E
07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD CE, provar que ABC também é um triângulo isósceles.
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é eqüilátero.
A
B C
F
D
E
A
B
C
D
E
08) Na figura abaixo, DAC BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruen-tes.
Jeca 33
BD = CE do enunciadoPortanto BD + DC = CE + DCBC = ED (L) conclusão acimaAC = FD (L) do enunciadoB = E = 90º (A) da figura
Pelo caso especial, tem-seDABC = DFEDOs ângulos ACB e EDF são congruentesEntão o triângulo DCG é isósceles (CQD)
AD AE (L) - triângulo isóscelesBD CE (L) - dado do enunciadoBDA CEA (A) - o triângulo ADE é isósceles
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABD D ACE AB ACPortanto o triângulo ABC é isósceles (CQD)
A
DAC BAE BAC DAE (Têm o mesmo incremento DAB)
BAC DAE (A) - Resultado da análise acimaABC ADE (A) - dado do enunciadoAB AD - dado do enunciado
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D ABC D ADE (CQD)
Se AF CE BD , então AD CF BE = (AC - AF)
AF BD CE (L) - dado do enunciadoAD CF BE (L) - Resultado da análise acimaA B C = 60º (A) - o triângulo ABC é equilátero
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D AFD D CEF D BDE FE ED DFPortanto o triângulo DEF é equilátero (CQD)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
60
12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado.
A
B C
D E
13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases.
A B
CD
E F
10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango.
A
B
C
D
M
k k
k k
A B
CD
E
F
G
H
J
K
L
M
11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.
Jeca 34
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
61
12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado.
A
B C
DE
13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases.
A B
CD
E F
10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango.
A
B
C
D
M
k k
k k
A B
CD
E
F
G
H
J
K
L
M
11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.
Jeca 34
Nos triângulos ABM e ADM, tem-seAB AD (L) losangoAM AM (L) lado comumBM MD (L) o losango é um paralelogramo
Pelo caso L.L.L. , tem-se
D ABM D ADMSe os ângulos BAM e DAM são congruentes, então AM é bissetriz.Se AMB AMD e BMD = 180º, então AMB = AMD = 90º (CQD)
a
90 - a
a
LEJ MEK (A) - propriedade dos triângulosEJ EK (l) - dado do enunciadoEJL EKM = 90º (A) - dado da figura
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D EJL D EKM (CQD)
F
Seja FC // ABSejam D, E e F pontos colineares
AE EC (L) - E é ponto médio de ACADE CFE (A) - ângulos alternos internosAED CEF (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso A.L.A . , tem-seO
D ADE D CFE CF AD e DE EF
Mas, AD DB porque D é ponto médio.Então AD BD CFSe CF BD e CF // BD , então BCFD é um paralelogramo.
BC DF e DE EF , entãoDE // BC e DE = BC / 2 (CQD)
G
BF FC (L) - F é ponto médio de BCABF GCF (A) - ângulos alternos internosAFB CFG (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D ABF D GCF AB CG e AF FC (F é ponto médio de BC).
Então EF é base média do triângulo ADG.Portanto, pela propriedade da base média do triângulo (exercício anterior)tem-seEF // DC // AB e EF AB + DC
2DC + CG
=2
= (CQD)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
62
Respostas dos exercícios da Aula 03.
Observação - Dependendo dos dados, um exercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruência mais evidente.
01) Caso especial (CE)
02) L.A.A .O
03) L.L.L.
04) Caso especial
05) É possível provar por vários casos.
06) L.A.L.
07) Demonstração ao lado.
08) L.A.L.
09) Pelo caso L.A.L. prova-se que os triângulosAPO e BPO são congruentes.Pelo mesmo caso, prova-se que os triângulosBRO e CRO também são congruentes.AOP = BOP = a e COR = BOR = bPortanto AOC = 2q
10) L.A.L.
11) A.L.A.
12) L.A.A .O
13) L.A.A .O
14) Caso especial (Una o ponto P ao centro)
15) 8
16) 34 cm
17) S = { x R x > 3 / 4 }
18) 15 cm
19) 3 cm
r
s
O M P
Resolução
A
B
Seja BP // OA
OM = MP (L) - por hipótese
OMA = PMB (A) - OPV
AOM = BPM (A) - alternos internos
Pelo caso A.L.A., temos
DOAM = DPBM
Portanto AM = MB CQD
07)
A
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 36
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
63
Respostas dos exercícios complementares da Aula 03.
Observação - Dependendo dos dados, um exercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruência mais evidente.
01) LAL
02) ALA
03) LAA O
04) LAL
05) LAA O
06) Caso especial
07) LAL
08) ALA
09) LAL
10) LLL
11) ALA
A
B C
D E
Demonstração do exercício nº 12.
A
B C
D E F
Seja CF // AB (por construção) >DAE FCE (alternos internos)AE CE (E é ponto médio)AED CEF (opostos pelo vértice)
Pelo caso ALA, temos: DADE DCFE CF AD
Mas D é ponto médio de AB CF AD DB
Se BD //CF e BD CF BCFD é um paralelogramo
DF // BC e DF BC
Mas DE EF DE e DE // BC (CQD)
>
>
> >
> = BC2
>
>
Demonstração do exercício nº 13.
A B
CD
E F
A B
D
E
C
F
G
>
A
CD
E F
DG = DC + CG = DC + AB
Pelo teorema demonstrado no exercício 12, temos:
EF // AB // CD e EF
(CQD)
=AB + CD
2
G
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 37
AFB CFG (A) (opostos pelo vértice)BF FC (L) (F é ponto médio de BC)BAF CGF (A) (alternos internos)
Pelo caso LAA , temos: DABF DCGF AF FG O
e AB CG
Considerando apenas o triângulo ADG, temos:
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
64
I) Trapézio. É o quadrilátero que tem dois lados paralelos.
Trapézioretângulo
Trapézioisósceles
Trapézioescaleno
a
b
a a
b b b
a
A altura de um trapézio éa distância entre as retas suporte de suas bases.
h
base menor
base maior
a + b = 180º
II) Paralelogramo. É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
A B
CD
AB // CDe
AD //BC
III) Retângulo. É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes e iguais a 90º.
A B
CD
b
h
b
h
IV) Losango. É o quadrilátero que tem os lados congruentes.
V) Quadrado. É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes (90º).
ab
b
aA
B
C
D
AB // CDe
AD // BC
45º
Propriedades dos quadriláteros notáveis.
1) Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos respectivos pontos médios.
2) Em todo losango as diagonais são: a) perpendiculares entre si; b) bissetrizes dos ângulos internos.
A B
CD
M
M é ponto médio de ACe
M é ponto médio de BD.
A
B
C
D
x
y
x
y y
y
xx
3) Base média de trapézio. Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média aritmética dessas bases.
4) Base média de triângulo. Em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao 3º lado e vale a metade desse 3º lado.
A B
N
CD
M
base média
MN // AB // CDe
MN AB + CD2
=
A
B C
M N
base média
MN // BCe
MN =BC2
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 04
Quadriláteros notáveis.
Jeca 38
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
65
7 cm
7 cm12 cm
2x
x + 5
2x + 1
k
k
04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos ângulos a, b, c e d.
58º
A
B
C
D
A B
CD
3y
12 cmx - 4
7 cm
01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD.
A B
CD
02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD.
A B
CD
03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e a medida da diagonal BD.
ab
c
d
08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais.Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:a) triângulo equilátero;b) losango;c) trapézio;d) retângulo;e) quadrado.
A
B
C
D
L
M N
P
A
B
C
D
L
M N
P
05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.
06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo.
07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse paralelogramo estão na razão 1 : 3.
Jeca 39
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
66
7 cm
7 cm12 cm
2x
x + 5
2x + 1
k
k
04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos ângulos a, b, c e d.
58º
A
B
C
D
A B
CD
3y
12 cmx - 4
7 cm
01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD.
A B
CD
02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD.
A B
CD
03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e a medida da diagonal BD.
ab
c
d
08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais.Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:a) triângulo equilátero;b) losango;c) trapézio;d) retângulo;e) quadrado.
A
B
C
D
L
M N
P
A
B
C
D
L
M N
P
05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.
06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon-tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo.
07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse paralelogramo estão na razão 1 : 3.
Jeca 39
"Em todo paralelogramo as diagonaiscortam-se nos respectivos pontos médios."2x = 12Portanto x = 6 cm e BD = 24 cm (resp)
x + 5 = 2x + 1
x = 4 (resp)
BD = 2.(x + 5)
BD = 2.(4 + 5)
BD = 18 (resp.)
x - 4 = 7x = 11 cm
3y = 12y = 4 cm
AC = 2 . 7 AC = 14 cm
BD = 2 . 12BD = 24 cm
a + 58 + 90 = 180a = 32ºb = 2a = 64ºc = 90ºd = 2 . 58 = 116º
LP é a base média do triângulo ABDMN é a base média do triângulo BCDPortanto LP = MN = BD/2 = 10/2 = 5 cmLM é a base média do triângulo ABCPN é a base média do triângulo ACDPortanto LM = PN = AC/2 = 6/2 = 3 cm
Per = 2 . 3 + 2 . 5Per = 16 cm(resp)
LP é a base média do triângulo ABD.MN é a base média do triângulo BCD.Portanto LP // MN e LP = MN = BD/2LM é a base média do triângulo ABC.PN é a base média do triângulo ACD.Portanto LM //PN e LM = PN = AC/2Portanto LMNP é um paralelogramo (CQD)
3x
x
x + 3x = 180º - ângulos colaterais internos
4x = 180
x = 180/4
x = 45º (resp)
b) Losango O losango tem todos os lados com medidas iguais mas os seus ângulos internos não necessariamente têm medidas iguais.Portanto, o losango contraria a afirmação acima. (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
67
A
B C
D E
09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente, determine a medida do pe-rímetro do trapézio BCED.
A
B C
D
E
F
10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as medidas dos segmentos DE, DF e EF.
A
B C
D E
F
11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectivamente, determinar o perímetro do qua-drilátero BDEF.
A B
CD
E F
12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede 8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AD e BC, respectiva-mente. Determine a medida da base média EF.
A B
CD
E F
13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente, determinar os perímetros dos trapé-zios ABFE e CDEF.
A B
CD
E F
14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a medida da base menor AB.
A B
CD
E F
G H
15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm.Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as medidas da base menor AB e da base maior CD.
A B
CD
EF G
H
16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Determinar as medidas dos seg-mentos EH, EF, GH e FG.
Jeca 40
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
68
A
B C
D E
09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente, determine a medida do pe-rímetro do trapézio BCED.
A
B C
D
E
F
10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as medidas dos segmentos DE, DF e EF.
A
B C
D E
F
11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectivamente, determinar o perímetro do qua-drilátero BDEF.
A B
CD
E F
12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede 8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AD e BC, respectiva-mente. Determine a medida da base média EF.
A B
CD
E F
13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente, determinar os perímetros dos trapé-zios ABFE e CDEF.
A B
CD
E F
14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a medida da base menor AB.
A B
CD
E F
G H
15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm.Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as medidas da base menor AB e da base maior CD.
A B
CD
EF G
H
16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Determinar as medidas dos seg-mentos EH, EF, GH e FG.
Jeca 40
BD = AB / 2 = 8 / 2 = 4 cmEC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 cmDE = BC / 2 = 10 / 2 = 5 cm
2p = 4 + 5 + 6 + 10 = 25 cm (resp)
Base média de triângulo.
DE = AC/2 = 14/2 = 7 cm
DF = BC/2 = 18/2 = 9 cm
EF = AB/2 = 16/2 = 8 cm
(resp)
x/2
x/2
y/2
y/2
x/2
z/2
z/2
z/2
Per = 2p = 2 . (x/2) + 2 . (z/2)
2p = x + z (resp)
8
20 cm
EF // AB // CD
EF
EF = 14 cm (resp)
= AB + CD2
=2
8 + 20
12
18 cm
5
5
12 6
Pitágoras2 2 2
10 = 6 + (AD)AD = 8 cm
EF = (12 + 18)/2 = 15 cm
Per = 12 + 5 + 15 + 4ABFE
Per = 36 cm ABFE
Per = 15 + 5 + 18 + 4EFCD
Per = 42 cm EFCD
4
4
17 cm
22 cm
x
17 =x + 22
2
x + 22 = 34
x = 12 cm
AB = 12 cm (resp)
8 cm
11 cm
x
y
8 = x + 112
16 = x + 11
x = 5 cm
AB = 5 cm (resp)
11 =y + 8
222 = y + 8
y = 14
CD = 14 cm (resp)
12 cm
26 cm
EF e GH são bases médiasdos triângulos ABD e ABC.EF = GH = AB/2 = 12/2EF = GH = 6 cm
EH é base média do trapézioEH = (AB + CD)/2EH = (12 + 26)/2 = 19 cm
FG = EH - EF - GHFG = 19 - 6 - 6FG = 7 cm
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
69
M
N L
PC
D
E
F
17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Deter-mine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm.
18) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º.
A
B C
D E
F
20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro, AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o perímetro do quadrilátero AEFD.
A
B C
DE
F
21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y, AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.
A
GE
D
BFC
23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.
A B
CD
22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetri-zes de dois ângulos internos consecutivos de um paralelogramo é um ângulo reto.
Jeca 41
19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do triângulo DEF igual a 23 cm, determinar :a) o que é o ponto F para o triângulo ABC.b) a medida do perímetro do triângulo BCF.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
70
M
N L
PC
D
E
F
17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Deter-mine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm.
18) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º.
A
B C
D E
F
19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do triângulo DEF igual a 23 cm, determinar :a) o que é o ponto F para o triângulo ABC.b) a medida do perímetro do triângulo BCF.
20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro, AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o perímetro do quadrilátero AEFD.
A
B C
DE
F
21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y, AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.
A
GE
D
BFC
23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.
A B
CD
22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetri-zes de dois ângulos internos consecutivos de um paralelogramo é um ângulo reto.
Jeca 41
Base média de triângulo.CF = DE = NP/2 = 8/2 = 4 cmCD = EF = ML/2 = 14/2 = 7 cm
2p = 4 + 7 + 4 + 7 = 22 cm (resp)
a
b
b
a
a = 3x - 18
a = 2x + 27
3x - 18 = 2x + 27
x = 45º
Portanto a = 117º
a + b = 180º - ângulos colaterais internos
117 + b = 180
b = 63º
x
y z
2y2z
a) BE e CD são medianas.Portanto F é baricentro.
b) x + y + z = 23
DE é base média.Portanto BC = 2.DE = 2x
Per = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z) = 2 . 23 = 46 cm (resp)BCF
Se F é baricentro, então E e D são pontos médios e, BD e CD são medianas.
x/2y/2
z
t
w
y/2x/2
2w
t/2
EF = FC/2 = t/2
Per = x/2 + y/2 + t/2 + w = (x + y + t + 2w)/2 (resp)AEFD
x/2
y/2
z/2
k
x/2z/2
y/2
2k
Se E e G são pontos médios, então EB e CG são medianas. Além disso, EG é a base média do triângulo ABC.
EG = BC/2 = y/2
Per = y/2 + z/2 + 3kGEC
Per = (y + z + 6k)/2 (resp)GEC
D é o baricentro do triângulo ABC.
a
b
a
b
2a + 2b = 180º - ângulos colaterais internosa + b = 90º
a + b + 90 = 180Portanto a + b = 90º (CQD)
h
h
x
y
xy - x
2y - x
2d
d =y - x
2+ x =
y - x + 2x
2
d =y + x
2M N MN é base média
MN = (y + x)/2 = h
= hh
h
a
tg a = h/h = 1
a = 45º (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
71
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaQuadriláteros notáveis.
Exercícios complementares da aula 04.
32º
x
y
A B
CD
03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y.
A
B
C
D
q2q
04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se repre-sentado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado desse losango.
A B
CD
E
F
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do re-tângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do segmento FC.
06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposi-ções.I. Todo quadrado é um losango.II. Todo quadrado é um retângulo.III. Todo retângulo é um paralelogramo.IV. Todo triângulo equilátero é isósceles.
Pode-se afirmar que:a) só uma é verdadeira.b) todas são verdadeiras.c) só uma é falsa.d) duas são verdadeiras e duas são falsas.e) todas são falsas.
Jeca 42
01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º, determine as medidas dos ângulos assinalados.
A
B
C
D
x
y
zt
138º
A B
CD M
E
60º60º
02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm e M é o ponto médio do lado CD. Determine o perímetro de ABCD.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
72
F
F é ponto médio de ACNo triangulo ACDAM é medianaDF é medianaE é baricentro
EM = AE/2EM = 5/2Portanto AM = 5 + 5/2 = 15/2 cmSe DAB = 120º, então ADM = 60º - ângulos colaterais internosADM é um triângulo equilátero de lado 15/2 cmPortanto AD = 15/2 e AB = 15
Per = 15/2 + 15 + 15/2 + 15 = 45 cm (resp)ABCD
32º
x é ângulo externo
x = 32 + 32 = 64º
y + x = 180
y = 116º (resp)
3q = 180q = 60ºO triângulo ABD é equiláteroBD = 4 cm AB = BC = CD = AD = 4m
30º
4 cm
x
cos 30º =x4
x = 4 3 /2 = 2 3 cm
AC = 2.d = 4 3 cm
M
9 cm
No triângulo ABC, tem-seBM é mediana.CE é mediana.F é baricentro
CD = CE = 2x + x = 3x = 9x = 3FC = 2x = 2 . 3 = 6 cm(resp)
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaQuadriláteros notáveis.
Exercícios complementares da aula 04.
32º
x
y
A B
CD
03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y.
A
B
C
D
q2q
04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se repre-sentado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado desse losango.
A B
CD
E
F
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do re-tângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do segmento FC.
06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposi-ções.I. Todo quadrado é um losango. II. Todo quadrado é um retângulo. III. Todo retângulo é um paralelogramo. IV. Todo triângulo equilátero é isósceles.
Pode-se afirmar que:a) só uma é verdadeira.b) todas são verdadeiras.c) só uma é falsa.d) duas são verdadeiras e duas são falsas.e) todas são falsas.
(verdadeira)(verdadeira)
(verdadeira)(verdadeira)
Jeca 42
01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º, determine as medidas dos ângulos assinalados.
A
B
C
D
x
y
zt
138º
"Em todo losango, as diagonais são:a) perpendiculares entre si.b) bissetrizes dos ângulos internos."
y = 138/2 = 69ºt = 90ºx + t + y = 180ºx + 90 + 69 = 180x = 21ºz = 2x = 42º
A B
CD M
E
60º60º
02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm e M é o ponto médio do lado CD. Determine o perímetro de ABCD.
q
q
x
2x
Todas são verdadeiras (resp. b)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
73
07) (PUC-SP) Sendo:A = {x / x é quadrilátero}B = {x / x é quadrado}C = {x / x é retângulo}D = {x / x é losango}E = {x / x é trapézio}F = {x / x é paralelogramo}
Então vale a relação:
a) A D Eb) A F D Bc) F D Ad) A F B Ce) B D A E
08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra.b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo.c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um para-lelogramo são paralelas entre si.d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um tri-ângulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes.e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.
E
A
BC
DF
G
H I
09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo e-quilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, períme-tro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perí-metro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:
a) 48 mb) 49 mc) 50 md) 51 me) 52 m
10) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferença entre as medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º.
11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango de-compõe esse losango em dois triângulos congruentes. Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois triângulos considerados ?
12) (ITA-SP) Dadas as afirmações:I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadriláte-ro são suplementares.II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um para-lelogramo são suplementares.III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpen-diculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango.
a) Todas são verdadeiras.b) Apenas I e II são verdadeiras.c) Apenas II e III são verdadeiras.d) Apenas II é verdadeira.e) Apenas III é verdadeira.
Jeca 43
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
74
07) (PUC-SP) Sendo:A = {x / x é quadrilátero}B = {x / x é quadrado}C = {x / x é retângulo}D = {x / x é losango}E = {x / x é trapézio}F = {x / x é paralelogramo}
Então vale a relação:
a) A D Eb) A F D Bc) F D Ad) A F B Ce) B D A E
08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra.b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo.c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um para-lelogramo são paralelas entre si.d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um tri-ângulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes.e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.
E
A
BC
DF
G
H I
09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo e-quilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, períme-tro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perí-metro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:
a) 48 mb) 49 mc) 50 md) 51 me) 52 m
10) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferença entre as medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º.
11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango de-compõe esse losango em dois triângulos congruentes. Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois triângulos considerados ?
12) (ITA-SP) Dadas as afirmações:I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadriláte-ro são suplementares. II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um para-lelogramo são suplementares. III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpen-diculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango.
a) Todas são verdadeiras.b) Apenas I e II são verdadeiras.c) Apenas II e III são verdadeiras.d) Apenas II é verdadeira.e) Apenas III é verdadeira.
(Falsa)
(Verdadeira)
(Verdadeira)
Jeca 43
A
B
C
D
E
F
Resp b)
a) V b) V c) V d) V e) Falsa
8 8
86
6
6
3
3
9
3
AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA =
6 + 6 + 3 + 8 + 8 + 1 + 3 + 9 + 6 = 50 cm (resp c)
1
180 - x
x
180 - x - x = 52
2x = 180 - 52 = 128
x = 64º
x = 64º
180 - x = 116º (resp)
A
B
C
D
130º
65º 65º
x
As medidas dos três ângulos
são:65º , 65º e 50º (resp)
x + 65 + 65 = 180
x = 50º
Resposta c
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
75
13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases dife-rentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângu-lo adjacente à base maior. Isso significa que:
a) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos.b) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes.c) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos.d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio.e) as diagonais se interceptam, formando ângulo reto.
14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados formam um ângulo de 60º.a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D, calcule a + b + g + q.b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.c) Calcule a medida do ângulo MJN.
A
D C
B
A
B C
D E
FG H
I
15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é ponto médio de CE. Determine as medidas dos segmentos FG e GH.
16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale:a) 22 cmb) 5,5 cmc) 8,5 cmd) 11 cme) 12 cm
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine AF e EJ em função de x e de y.
A
B C
D E
F
18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, de-termine a medida do segmento EF.
Jeca 44
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
76
13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases dife-rentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângu-lo adjacente à base maior. Isso significa que:
a) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos.b) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes.c) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos.d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio.e) as diagonais se interceptam, formando ângulo reto.
14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados formam um ângulo de 60º.a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D, calcule a + b + g + q.b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.c) Calcule a medida do ângulo MJN.
A
DC
B
A
B C
D E
FG H
I
15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é ponto médio de CE. Determine as medidas dos segmentos FG e GH.
16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale:a) 22 cmb) 5,5 cmc) 8,5 cmd) 11 cme) 12 cm
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine AF e EJ em função de x e de y.
A
B C
D E
F
18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, de-termine a medida do segmento EF.
Jeca 44
aa
a
resp a) 2 2
60º
J
M N
a) a + b + g + q = 360º
b) JM é base média do triângulo ACD.Portanto JM = AD/2 = 2/2 = 1 JN é base média dotriângulo BCD.Portanto JN = 2/2 = 1
c) JM // AD JN // BCEntão MJN = 60º (resp)
24 cm
x y
w
DE é base média do triângulo ABC DE = w = 24/2 = 12 cmFG é base média do triângulo BDE FG = x = 12/2 = 6 cmFH é base média do triângulo BCD FH = x + y = 12 cmx + y = 126 + y = 12y = GH = 6 cm (resp)
A
B
C
D
R
S T
U
RU é a base média do triângulo ABDST é a base média do triângulo BCDPortanto RU = ST = BD/2 = 6/2 = 3 cmRS é a base média do triângulo ABCTU é a base média do triângulo ACDPortanto RS = TU = AC/2 = 5/2 cm
Per = 2 . 3 + 2 . 5/2Per = 11 cm(resp)
x
y
k
n
w
Base média de trapézio.
w =x + y
2
y w + n=
2n 2y - w = 2y -
x + y2
=4y - x - y
2
n 3y -x=
2EJ =
=
x w + k=
2k 2x - w = 2x -
x + y2
=4x - x - y
2=
n 3x - y=
2AF =
R
R
R
AE = EC = EB = R = 12
Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semicircunferência.
BE é uma mediana.CD é uma mediana.Portanto F é o baricen-tro do triângulo ABC.
BE = 12 cmMas, BF = 2.EF 3 . EF = 12 EF = 4 cm (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
77
Respostas dos exercícios da Aula 04.
01) 6 cm e 24 cm
02) 4 e 18
03) 11 cm, 4 cm, 14 cm e 24 cm
04) 32º, 64º, 90º e 116º
05) 16 cm
06) Propriedade da base média do triângulo.BD // LP // MN e AC // LM // PNPortanto LMNP é um paralelogramo.
07) 45º
08) b
09) 25 cm
10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm
11) x + z
12) 14 cm
13) 36 cm e 42 cm
14) 12 cm
15) 5 cm e 14 cm
16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm
17) 22 cm
18) 117º e 63º
19) Baricentro e 46 cm
20) (x + y + 2w + t) / 2
21) (y + z + 6k) / 2 e baricentro
22) 2a + 2b = 180 (alternos internos)Portanto a + b = 90º
23) 45º
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 46
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
78
Respostas dos exercícios complementares da Aula 04.
01) x = 21º, y = 69º, z = 42º, t = 90º
02) 45 cm
03) x = 64º, y = 116º
04) AC = 4 3 cm, AB = 4 cm
05) 6 cm
06) b
07) b
08) e
09) c
10) 64º e 116º
11) 50º, 65º e 65º
12) c
13) a
14) a) 360º b) 1 e 1 c) 60º
15) FG = 6 cm e GH = 6 cm
16) d
17) AF EJ
18) 4cm
=3x - y
2=
3y - x2
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 47
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
79
I) Polígonos convexos.
i
e
d
d - diagonali - ângulo internoe - ângulo externo
Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).
3 lados - triângulo 4 lados - quadrilátero 5 lados - pentágono 6 lados - hexágono 7 lados - heptágono 8 lados - octógono 9 lados - eneágono10 lados - decágono
11 lados - undecágono12 lados - dodecágono13 lados - tridecágono14 lados - quadridecágono15 lados - pentadecágono16 lados - hexadecágono17 lados - heptadecágono18 lados - octodecágono19 lados - eneadecágono20 lados - icoságonoi + e = 180º
II) Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo.
(S )i
III) Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo.
(S )e
IV) Número de diagonais de um polí-gono convexo. (d)
i1i2
i3
i4
in
S = i + i + i + ... + ii 1 2 3 n
S = 180 (n - 2)i
n - nº de lados do polígono
e1
e2
e3
e4
en
S = e + e + e + ... + ee 1 2 3 n
S = 360ºe
Para qualquer polígono convexo
Diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos.
d n (n - 3)2
=
vértice
lado
V) Polígono regular.
e
e
e
e
e
i
i
i
ii
a
Um polígono é regular se tem:a) todos os lados congruentes entre si;b) todos os ângulos internos congruentes entre si;c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
3 lados - triângulo equilátero4 lados - quadrado5 lados - pentágono regular6 lados - hexágono regular etc
Classificação dos polígonos regulares
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
i =Si
n >180 (n - 2)
i = n
e =Se
n >360e = n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência.
ângulocentral
C
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 05
Polígonos convexos.
Jeca 48
d = n - 31
Nº de diagonais que chegam em um vértice.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
80
I) Polígonos convexos.
i
e
d
d - diagonali - ângulo internoe - ângulo externo
Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).
3 lados - triângulo 4 lados - quadrilátero 5 lados - pentágono 6 lados - hexágono 7 lados - heptágono 8 lados - octógono 9 lados - eneágono10 lados - decágono
11 lados - undecágono12 lados - dodecágono13 lados - tridecágono14 lados - quadridecágono15 lados - pentadecágono16 lados - hexadecágono17 lados - heptadecágono18 lados - octodecágono19 lados - eneadecágono20 lados - icoságono
i + e = 180º
II) Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo.
(S )i
III) Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo.
(S )e
IV) Número de diagonais de um polí-gono convexo.
(d)
i1i2
i3
i4
in
S = i + i + i + ... + ii 1 2 3 n
S = 180 (n - 2)i
n - nº de lados do polígono
e1
e2
e3
e4
en
S = e + e + e + ... + ee 1 2 3 n
S = 360ºe
Para qualquer polígono convexo
Diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos.
d n (n - 3)2
=
n - nº de lados do polígono
vértice
lado
V) Polígono regular.
e
e
e
e
e
i
i
i
ii
a
Um polígono é regular se tem:a) todos os lados congruentes entre si;b) todos os ângulos internos congruentes entre si;c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
3 lados - triângulo equilátero4 lados - quadrado5 lados - pentágono regular6 lados - hexágono regular etc
Classificação dos polígonos regulares
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
i =Si
n >180 (n - 2)
i = n
e =Se
n >360e = n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência.
ângulocentral
C
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 05
Polígonos convexos.
Jeca 48
Importante. Se um polígono convexo tem n lados , então ele tem n vértices, n ângulos internos e n ângulos externos.
Nº de diagonais que partem de 1 vértice (d )1
d = n - 31
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
81
01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-nos e o número de diagonais de um pentadecágono convexo.
02) Determinar a soma das medidas dos ângulos exter-nos e o número de diagonais de um octodecágono convexo.
03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo de um eneágono regular.
04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº de diagonais de um octógono regular.
05) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-nos de um polígono convexo que tem 65 diagonais.
06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-lar cuja medida de cada ângulo externo é 30º.
07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno excede a medida do ângulo externo em 132º.
08) Determinar a medida do ângulo externo de um polígono regular que tem 14 diagonais.
Jeca 49
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
82
01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-nos e o número de diagonais de um pentadecágono convexo.
02) Determinar a soma das medidas dos ângulos exter-nos e o número de diagonais de um octodecágono convexo.
03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo de um eneágono regular.
04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº de diagonais de um octógono regular.
05) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter-nos de um polígono convexo que tem 65 diagonais.
06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-lar cuja medida de cada ângulo externo é 30º.
07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu-lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno excede a medida do ângulo externo em 132º.
08) Determinar a medida do ângulo externo de um polígono regular que tem 14 diagonais.
Jeca 49
Pentadecágono (n = 15 lados)
S = 180(n - 2) = 180(15 - 2) = 2 340º (resp)i
d = n(n - 3) / 2 = 15(15 - 3) / 2 = 90 diagonais (resp)
octodecágono - 18 lados
S = 360º (resp)e
d = n(n - 3)/2d = 18(18 - 3)/2 = 135 diagonais. (resp)
eneágono - 9 lados
e = 360/n = 360/9 = 40º (resp)
i + e = 180ºi + 40 = 180i = 140º (resp)
octógono - 8 lados
e = 360/n = 360/8 = 45º
i + e = 180ºi + 45 = 180i = 135º (resp)
d = n(n - 3)/2 = 8(8 - 3)/2d = 20 diagonais (resp)
e = 360/n30 = 360/nn = 12 lados (dodecágono)
d = n(n - 3)/2d = 12(12 - 3)/2d = 54 diagonais (resp)
d = n(n - 3)/265 = n(n - 3)/2
2130 = n - 3n
2n - 3n - 130 = 0Raízesn = 13n = -10 (não convém)
Para n = 13 (tridecágono)S = 180(n - 2) = 180(13 - 2)i
S = 1 980º (resp)i
i - e = 132ºi + e = 180º
2i = 312
i = 156º e = 180 - 156 = 24º
e = 360/n
24 = 360/n n = 15 lados (pentadecágono)
d = n(n - 3)/2
d = 15(15 - 3)/2 = 90 diagonais
d = n(n - 3)/214 = n(n - 3)/2
228 = n - 3n2n - 3n - 28 = 0
Raízesn = 7 (heptágono)n = -4 (não convém)
Para n = 7 ladose = 360/n = 360º/7 (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
83
09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. Determine quais são os polígonos A e B.
10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença das medidas de seus ângulos externos é 16º. Deter-mine quais são esses polígonos.
11) Determine a medida do ângulo agudo formado entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono regular ABC.... KL.
12) Determine a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de um dodecágono regular ABC...KL.
Jeca 50
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
84
09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. Determine quais são os polígonos A e B.
10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença das medidas de seus ângulos externos é 16º. Deter-mine quais são esses polígonos.
11) Determine a medida do ângulo agudo formado entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono regular ABC.... KL.
12) Determine a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de um dodecágono regular ABC...KL.
Jeca 50
AnA
dA
BnB
dB
n = n + 4B A
d = d + 30B A
d - d = 30B A
n (n - 3)/2 - n (n - 3)/2 = 30B B A A
(n + 4)(n + 4 - 3) - n (n - 3) = 60A A A A
8.n = 56A
n = 7 lados (heptágono)A
n = 7 + 4 = 11 lados (undecágono) (resp)B
AnA
eA
BnB
eB
n = n + 6B A
e - e = 16 A B
Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior ângulo externo. (e - e > 0)A B
e - e A B = nA n + 6A
360-360= 16
n (n + 6)A A
360(n + 6) - 360.nA A= 16
360(n + 6) - 360.n = 16n (n + 6)A A A A
2360n + 2 160 - 360n = 16n + 96nA A A A
2n + 6n - 135 = 0A A
Raízesn = 9 lados (eneágono)A
n = -15 lados (não convém)A
Polígono A - eneágonopolígono B - (9 + 6 = 15) - pentadecágono (resp)
A
B
C
D
E
F
e
i = 150º
e - ângulo externoi - ângulo interno
e = 360/n = 360/12 = 30ºPortanto i = 180 - e = 180 - 30 = 150º
ABCDEF é um hexágono irregular
S = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 180 . 4 = 720ºi
Mas, S = 4 . 150 + 2xi
720 = 600 + 2xx = 60º (resp)
x
x
150º
150º
150º
A
B
C
D
E
F
e - ângulo externoi - ângulo interno
150º
150º
150º
G
e
e = 360/n = 360/12 = 30ºi = 180 - e = 180 - 30 = 150º
ABC é um triângulox + x + 150 = 180 x = 15º
DEFG é um quadriláteroy + y + 150 + 150 = 360 y = 30º
a = x + 30 = 45ºb = y + 30 = 60ºa + b + q = 180q = 75º (resp)
e = 30º
e = 30º
x
y
x y
ab
q
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
85
q
13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruen-tes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figu-ra. Nestas condições, o ângulo q mede:
a) 108º b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º
14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polí-gono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 128º cada um. O nº de lados desse polígono é:
a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17
15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a:
a) a/4 b) a/2 c) a d) 2a e) 3a
A
B
C
D
M
N
a
16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são prolongados para formar uma estrela. A medida, em graus, de cada vértice da estrela é:
a)
b)
c)
d)
e)
360ºn
(n - 4) . 180ºn
(n - 2) . 180ºn
180º _ 90ºn
180ºn
Jeca 51
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
86
q
13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruen-tes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figu-ra. Nestas condições, o ângulo q mede:
a) 108º b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º
14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polí-gono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 128º cada um. O nº de lados desse polígono é:
a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17
15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a:
a) a/4 b) a/2 c) a d) 2a e) 3a
A
B
C
D
M
N
a
16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são prolongados para formar uma estrela. A medida, em graus, de cada vértice da estrela é:
a)
b)
c)
d)
e)
360ºn
(n - 4) . 180ºn
(n - 2) . 180ºn
180º _ 90ºn
180ºn
Jeca 51
q
e = 360 / 5 = 72º
e = 72ºi = 108º
108º
108º108º
q = 360 - 3 . 108 =
= 360 - 324 = 36º (resp)
130º
130º 128º
128º
128º
52º
52º
52º
50º
50º
Se dois ângulos internos medem 130º, então dois ângulosexternos medem 50ºSe os demais ângulos internos medem 128º, então os demaisângulos externos medem 52º
A soma das medidas dos ângulos externos é 360º.
2 . 50 + x . 52 = 360x . 52 = 360 - 100 = 260x = 260/52 = 5
2 ângulos externos de 50º5 ângulos externos de 52ºtotal - 7 ângulos externos n = 7 lados (resp b)
x
x
yy
x + y = 180 - a
A + B + C + D = 360º
A + D = 360 - 2x - 2y
A + D = 360 - 2(x + y)
A + D = 360 - 2(180 - a)
A + D = 360 - 360 + 2a
A + D = 2a (resp d)
xe
e
e - ângulo externo do polígono.x - vértice da estrela.
e = 360/n
e + e + x = 180º2 . 360/n + x = 180x = 180 - 720/n = (180n - 720)/n = 180(n - 4)/n (resp b)
Polígono
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
87
01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos internos.
b) a soma das medidas dos ângulos externos.
c) o número de diagonais desse polí-gono.
03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 2160º.
04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.
02) Dado um undecágono convexo, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos internos.
b) a soma das medidas dos ângulos externos.
c) o número de diagonais desse polí-gono.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaPolígonos convexos.
Exercícios complementares da aula 05.
Jeca 52
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
88
01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos internos.
b) a soma das medidas dos ângulos externos.
c) o número de diagonais desse polí-gono.
03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 2160º.
04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.
02) Dado um undecágono convexo, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos internos.
b) a soma das medidas dos ângulos externos.
c) o número de diagonais desse polí-gono.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaPolígonos convexos.
Exercícios complementares da aula 05.
Jeca 52
S = 180(n - 2) = 180(17 - 2) = 2 700ºiS = 360ºe
d = n(n - 3)/2d = 17(17 - 3)/2d = 119 diagonais
S = 180(n - 2) = 180(11 - 2) = 1 620ºiS = 360ºe
d = n(n - 3)/2d = 1(11 - 3)/2d = 44 diagonais
S = 180(n - 2)i
2 160 = 180(n - 2)
n - 2 = 2 160/180
n - 2 = 12
n = 14 lados (resp)
d = n(n - 3)/2
d = 14(14 - 3)/2
d = 77 diagonais (resp)
d = n(n - 3)/2
44 = n(n - 3)/2
2n - 3n - 88 = 0
Raízesn = 11 lados (undecágono)n = -8 (não convém)
S = 180(n - 2)i
S = 180(11 - 2)i
S = 1 620º (resp)i
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
89
05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. A B
C
E D
06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polígono B.
07) Dado um eneágono regular, determinar :
a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos internos.
c) a medida de cada ângulo interno.
d) a soma das medidas dos ângulos externos.
e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágo-no.
08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo interno.
Jeca 53
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
90
05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. A B
C
E
D
06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polígono B.
07) Dado um eneágono regular, determinar :
a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos internos.
c) a medida de cada ângulo interno.
d) a soma das medidas dos ângulos externos.
e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágo-no.
08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo interno.
Jeca 53
A + E = 180º (ângulos colaterais internos)
ABCDE é um pentágono, portanto S = 180(n - 2) = 180(5 - 2) = 540ºi
E + A + B + C + D = 540180 + B + C + D = 540B + C + D = 540 - 180 = 360º (resp)
AnA
dA
BnB
dB
n = n + 2A B
d = d + 23A B
d - d = 23A B
(n + 2)(n + 2 - 3)/2 - n (n - 3)/2 = 23B B B B
(n + 2)(n - 1) - n (n - 3) = 46B B B B
4.n = 48B
n = 12 lados (dodecágono)B
n = 12 + 2 = 14 lados (quadridecágono) (resp)A
n = 9 ladosS = 180(n - 2iS = 180(9 - 2)iS = 1 260ºi
i = S /nii = 1 260/9i = 140º
S = 360ºe
e = 360/ne = 360/9e = 40º
d = n(n - 3)/2d = 9(9 - 3)/2d = 27 diagonais
e = 2.i / 7i + e = 180º
e = 2.i / 7 i = 7.e / 2
e + 7.e / 2 = 180
2e + 7e = 360
9e = 360
e = 40º
e = 360/n
40 = 360/n
n = 360/40 = 9
n = 9 lados (eneágono) (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
91
09) Dado um pentadecágono regular, determinar :
a) o número de lados do pentadecá-gono.
b) a soma das medidas dos ângulos internos.
c) a medida de cada ângulo interno.
d) a soma das medidas dos ângulos externos.
e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do penta-decágono.
10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.
11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC.
12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono, determinar a medida do ângulo AOE.
A
BC
D
E
F
G
HI
J
K
LO
Jeca 54
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
92
09) Dado um pentadecágono regular, determinar :
a) o número de lados do pentadecá-gono.
b) a soma das medidas dos ângulos internos.
c) a medida de cada ângulo interno.
d) a soma das medidas dos ângulos externos.
e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do penta-decágono.
10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.
11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC.
12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono, determinar a medida do ângulo AOE.
A
BC
D
E
F
G
HI
J
K
LO
Jeca 54
n = 15 lados S = 180(n - 2iS = 180(15 - 2)iS = 2 340ºi
i = S /nii = 2 340/15i = 156º
S = 360ºe
e = 360/ne = 360/15e = 24º
d = n(n - 3)/2d = 15(15 - 3)/2d = 90 diagonais
AnA
eA
BnB
eB
n = n + 3A B
e - e = 6 B A
Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior ângulo externo. (e - e > 0)B A
e - e B A = nB n + 3B
360-360= 6
n (n + 3)B B
360(n + 3) - 360.nB B = 6
360(n + 3) - 360.n = 6n (n + 3)B B B B
2360n + 1 080 - 360n = 6n + 18nB B B B
2n + 3n - 180 = 0B B
Raízesn = 12 lados (dodecágono)B
n = -15 lados (não convém)B
Polígono A - (12 + 3 = 15 lados) - pentadecágonopolígono B - dodecágono (resp)
A
B
C
D
E
e
i
x
e - ângulo externoi - ângulo internoe = 360/n = 360/10 = 36ºi + e = 180ºi = 180 - 36 = 144º
x + x + i = 2x + 144 = 1802x = 36x = 18º (resp)
x
i e
e - ângulo externoi - ângulo interno
e = 360/n = 360/12 = 30ºi + e = 180i + 30 = 180i = 150º
y y
x
ABCDEO é umhexágono irregular
S = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 720ºi
y = i/2 = 150/2 = 75º
720 = 2y + 3 . 150 + x720 = 2 . 75 + 3 . 150 + xx = 720 - 600 = 120º (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
93
13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :
A
B
C
D
EG
H
I
J
O
b) a medida de cada ângulo externo.
d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtuso forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e DE.
f) a medida do ângulo agudo forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e EF.
g) a medida do ângulo agudo forma-do entre as diagonais BI e AG.
h) a medida do ângulo EOG.
a) a soma das medidas dos ângulos externos do decágono.
c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono.
F
i) a medida do ângulo EBC.
Jeca 55
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
94
13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :
A
B
C
D
EG
H
I
J
O
b) a medida de cada ângulo externo.
d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtuso forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e DE.
f) a medida do ângulo agudo forma-do pelos prolongamentos dos lados BC e EF.
g) a medida do ângulo agudo forma-do entre as diagonais BI e AG.
h) a medida do ângulo EOG.
a) a soma das medidas dos ângulos externos do decágono.
c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono.
F
i) a medida do ângulo EBC.
Jeca 55
S = 360ºe
x
e
e
e = 360/n = 360/10e = 36º S = 180(n - 2)i
S = 180(10 - 2)iS = 1440ºi
i = S /ni i = 1440/10i = 144º x + e + e = 180
x + 2e = 180x + 2 . 36 = 180x = 108º
y
z
z
2z = e = 36z = 18º
z + e + y + z + e = 18018 + 36 + y + 18 + 36 = 180
y = 72º
w
144º
144º
36º
108º
36º
54º
54º 90º
90º
w + 90 + 36 = 180w = 54º
k k
k = 360/n = 360/10 = 36ºEOG = 2k = 2 . 36EOG = 72º
72º36º
EBC = 36º
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
95
14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.
x
y
105º
88º
93º
15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados, n > 3, o número de diagonais do polígono que não passam pelo vértice A é dado por:
a) 5n - 4
2c) n - 5n + 6
2
2b) n - 11n
d) n(n-3)
22
e) 2n - 4
16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo externo então:a) x = 18º b) 30º < x < 35º c) x = 45º d) x < 27º e) 40º < x < 45º
A
C
D
E
F
GH
18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos ângulos ADE e CDH.
B
G
H
19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DE.
A
B
C
D
EF
I
X
17) Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine a polígono com maior número de diagonais.
Jeca 56
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
96
14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.
x
y
105º
88º
93º
15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados, n > 3, o número de diagonais do polígono que não passam pelo vértice A é dado por:
a) 5n - 4
2c) n - 5n + 6
2
2b) n - 11n
d) n(n-3)
22
e) 2n - 4
16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo externo então:a) x = 18º b) 30º < x < 35º c) x = 45º d) x < 27º e) 40º < x < 45º
A
C
D
E
F
GH
18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos ângulos ADE e CDH.
B
G
H
19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DE.
A
B
C
D
EF
I
X
17) Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine a polígono com maior número de diagonais.
Jeca 56
a
b
a + b + 93 + 88 + 105 = 540 (pentágono)
a + b = 540 - 286 = 254
c + d = 254 - 180 = 74
x + y = c + d = 74º (resp)
cd
c + d = x + y
Se um polígono tem n lados, então tem n vértices. O número de diagonais quepassam num vértice é n - 3. O número total de diagonais de um polígono é dado por
d = n(n - 3)/2
Excluindo-se as que passam pelo vértice A, tem-se
d' =n(n - 3)
2- (n - 3)
d' =2
n(n - 3) - 2(n - 3)=
2n - 3n - 2n + 6
2
d' =2
2n - 5n + 6 (resp c)
polígono A - n ladospolígono B - n + 1 ladospolígono C - n + 2 lados
d =n(n - 3)
2
nº de diagonaisde um polígono
Total de diagonais = 28
28 =n(n - 3)
2
(n + 1)(n + 1 - 3) (n + 2)(n + 2 - 3)+2
+2
28 =n(n - 3)
2+ (n + 1)(n - 2) + (n + 2)(n - 1)
2n - n - 20 = 0
Raízesn = -4 (não convém)n = 5polígono A - 5 ladospolígono B - 6 ladospolígono C - 7 lados (heptágono) - tem o maior número de diagonais. (resp)
S = 180(n - 2)i
1 620 = 180(n - 2)n - 2 = 1 620/180 = 9n = 11
e = 360/ne = 360/11 = 32,73º
x = e = 32,73º Portanto 30º < x < 35º (resp b)
x
y
e60º i
e = 360/n = 360/5 = 72ºi + e = 180i + 72 = 180i = 108º
y + 60 + e = 180y + 60 + 72 = 180y = 48º
y + i + x = 18048 + 108 + x = 180x = 24º
i = 108º
ey
ei
e = 360/n = 360/9 = 40ºi = 180 - e = 180 - 40 = 140ºy + y + 140 = 180y = 20ºx + (y + e) + (y + e) = x + 2y + 2e = 180x + 40 + 80 = 180x = 60º (resp)
140º
y
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
97
21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede:
a) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º
22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono, é dado por:
a) 2n(n - 2)
b) 2n(n - 1)
c) 2n(n - 3)
d)
e) n.d.a.
n(n - 5)2
23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono con-vexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão 2. De-termine o número de lados do polígono.
Jeca 57
20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângu-lo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do he-xágono.
a
a a
a
a
B
C
DE
F
23
15
13
20
a
A
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
98
21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede:
a) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º
22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono, é dado por:
a) 2n(n - 2)
b) 2n(n - 1)
c) 2n(n - 3)
d)
e) n.d.a.
n(n - 5)2
23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono con-vexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão 2. De-termine o número de lados do polígono.
Jeca 57
20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângu-lo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do he-xágono.
a
a a
a
a
B
C
DE
F
23
15
13
20
a
A
S = 180(n - 2)iS = 180(6 - 2) = 720ºi
i = 720 / 6 = 120º
B
C
DE
F
23
15
13
20
A
120º 120º
120º
120º120º
120º
60º
60º
60º
13
13
xx
y
A figura acima é um paralelogramo
20 + 13 = 23 + x x = 10
x + y = 15 + 1310 + y = 28y = 18
Per = 2p = 20 + 13 + 15 + 23 + 10 + 18 = 99 cm (resp)
x
A
B
C
Da
b
a
b
xy
A + B + C + D = 360ºA + B = 190ºPortantoC + D = 360 - 190 = 170ºMas C + D = 2a + 2b = 170ºEntão a + b = 85º
y é ângulo externoy = a + b = 85º
x = 180 - y = 180 - 85 = 95º
O maior ângulo é x
x = 95º (resp d)
d =n(n - 3)
2
nº de diagonaisde um polígono
Se o polígono tem 2n lados, a fórmula passa a ser
d =2n(2n - 3)
2
Mas a diagonal que passa pelo centro está sendo excluída
Então a fórmula passa a ser
Simplificando, tem-se
d =2n(2n - 4)
2
d = n(2n - 4)
d = 2n(n - 2) (resp a)
Se o menor ângulo interno mede 139º, então o maior ânguloexterno mede 180 - 139 = 41º
Os ângulos externos formam uma PA (41º, 39º, 37º, ... )
A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 360º.
Soma dos n primeiros termos de uma PA S n =a + a1 n
2n( ) .
Fórmula do termo geral de uma PA a = a + (n - 1) . rn 1
a = 41 + (n - 1).(-2) = 43 - 2nn
Sn = (41 + 43 - 2n) . n / 2
360 = (41 + 43 - 2n) . n / 22
n - 42n + 360 = 0
Raízesn = 30 (não convém pois o 30º ângulo será menor que 0º)n = 12
Se esse polígono tem 12 ângulos externos, então ele tem 12 lados. (resp)
Conferindo41 + 39 + 37 + 35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25 + 23 + 21 + 19 = 360
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
99
Respostas dos exercícios da Aula 05.
01) 2340º e 90 diagonais
02) 360º e 135 diagonais
03) 140º e 40º
04) 135º e 20 diagonais
05) 1980º
06) 54 diagonais
07) 90 diagonais
08) 360º / 7
09) Heptágono e undecágono
10) Eneágono e pentadecágono
11) 60º
12) 75º
13) d
14) b
15) d
16) b
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 58
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
100
Respostas dos exercícios complementares da Aula 05.
01) a) 2700º b) 360º c) 119
02) a) 1620º b) 360º c) 44
03) 14 lados e 77 diagonais
04) 1620º
05) 360º
06) Quadridecágono e dodecágono
07) a) 9 b) 1260º c) 140º d) 360º e) 40º f) 27
08) Eneágono
09) a) 15 b) 2340º c) 156º d) 360º e) 24º f) 90
10) Pentadecágono e dodecágono
11) 18º
12) 120º
13) a) 360º b) 36º c) 1440º d) 144º e) 108º f) 72º g) 54º h) 72º i) 36º
14) 74º
15) c
16) b
17) heptágono
18) 24º e 48º
19) 60º
20) 99 cm
21) d
22) a
23) 12
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 59
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
101
I) Elementos da circunferência.
A
B
C
D
r
r
ra
P
C - centro da circunferênciaAC = r - raio da circunferênciaAB = 2r - diâmetro da circunferênciaACD = a - ângulo centralAPD - arco da circunferênciaAD - corda da circunferência
II) Posições relativas entre ponto e circunferência.
III) Posições relativas entre reta e circunferência.
reta tangente
reta secante
reta exterior
ponto de tangênciaA
B
D
C
A - pontoexterior
B - ponto dacircunferência
D - pontointerior
C - centro dacircunferência
IV) Propriedades da circunferência.
1) Em toda circunferência, a medida do ângulo central é igual à medida do arco correspondente.
2) Em toda circunferência, o raio é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência.
3) Em toda circunferência, o raio, quando perpendicular à corda, divi-de essa corda ao meio.
C
A
P
B
a
APB = a
C C
A
B
M
AM = MB
V) Ângulos na circunferência.
a) Ângulo inscrito na circunferência. b) Ângulo de segmento.
É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circun-ferência e os dois lados secantes a essa circunferência.Propriedade - O ângulo inscrito vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente.
É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunfe-rência, um lado secante e um lado tangente a essa circunferência. Propriedade - O ângulo de segmento vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente.
b
a
vértice
a - ângulo central
b - ângulo inscrito
b =a2
b
avértice
seca
nte
tangente
a - ângulo central
b - ângulo de segmento
b =a2
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 06
Ângulos na circunferência.
Jeca 60
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
102
IV) Consequências do ângulo inscrito.
1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência onde a hipotenusa coincide com o diâmetro.
2) Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa.
3) Todos os ângulos de uma circun-ferência inscritos no mesmo arco são congruentes.
4) Em todo quadrilátero inscrito nu-ma circunferência os ângulos inter-nos opostos são suplementares.
5) Ângulo excêntrico de vértice interno.
6) Ângulo excêntrico de vértice externo.
hipotenusae diâmetro
ânguloinscrito
hipotenusa
medianarelativa à
hipotenusa
RR
R
b
b
bb
arco demedida
2b
a
bg
q
a + b = 180ºe
g + q = 180º
C
ab
x
x =a + b
2x =
a - b2
xa b
vértice
vértice
Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
O
O O
O OO
x118º
41º
x
x
46º
39ºx
x
O x62º
O
x
62º
104º
x O
x
87º
Jeca 61
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
103
IV) Consequências do ângulo inscrito.
1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência onde a hipotenusa coincide com o diâmetro.
2) Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa.
3) Todos os ângulos de uma circun-ferência inscritos no mesmo arco são congruentes.
4) Em todo quadrilátero inscrito nu-ma circunferência os ângulos inter-nos opostos são suplementares.
5) Ângulo excêntrico de vértice interno.
6) Ângulo excêntrico de vértice externo.
hipotenusae diâmetro
ânguloinscrito
hipotenusa
medianarelativa à
hipotenusa
RR
R
b
b
bb
arco demedida
2b
a
bg
q
a + b = 180ºe
g + q = 180º
C
ab
x
x =a + b
2x =
a - b2
xa b
vértice
vértice
Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
O
O O
O OO
x118º
41º
x
x
46º
39ºx
x
O x62º
O
x
62º
104º
x O
x
87º
Jeca 61
x = 118/2x = 59º
x/2 = 41x = 82º x/2 = 46
x = 92º
x = 39º x = 180/2x = 90º
x + 90 + 62 = 180x = 28º
124º
56º
x = 56/2x = 28º
x + 104 = 180x = 76º
y
x + y = 180y + 87 = 180x = 87º
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
104
A
B
C
O124º
x
D
x
3x
x55º
x
35º
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
O O
O O
a) b) c)
d) f)
g) h) Tente fazer por outro método. i)
j) k) l)
m) n) o)
52ºx
O O
OO
O
O OO
37ºx
O
37ºx
x
88º
56º
x33º
87º
x
118º
34º
142º
34º
x
146º
x
x 54ºta
ngente
165º
77º
x
Jeca 62
e)
34º52º x
O
tangente
(GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
105
A
B
C
O124º
x
D
x
3x
x55º
x
35º
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
O O
O O
a) b) c)
d) f)
g) h) Tente fazer por outro método. i)
j) k) l)
m) n) o)
52ºx
O O
OO
O
O OO
37ºx
O
37ºx
x
88º
56º
x33º
87º
x
118º
34º
142º
34º
x
146º
x
x 54ºta
ngente
165º
77º
x
Jeca 62
124º56º x = 56/2
x = 28º
3x
6x
3x + x + 90 = 180x = 90/4x = 22,5º
35º
55º
35º
35 + x + 35 = 90x = 20º
R
R37º
y
y + 37 + 37 = 180y = 106º
x = y/2x = 106/2x = 53º
74º
106º x = 106/2x = 53º
y
z
x
z = 33/2 = 16,5ºy = 87/2 = 43,5ºx + 16,5 + 43,5 = 180
x = 120º
y
z
y = 34/2 = 17ºz = 118/2 = 59ºz = x + yx = z - y
x = 42º
146º
214º x = 214/2x = 107º
y
y
z
y = 90 - 54 = 36ºy + y + z = 180z = 108º
x = 108/2x = 54º
e)
34º52º x
O
tangente
w
y z
128º
w - ângulo de segmentow = 52º y + 34 + 52 = 180 y = 94º
z = 180 - w - y z = 34º
x + z + 128 = 180x = 18º
y
55 = y/2y = 110ºx = yx = 110º
yz
52 = y/2y = 104ºz = 180 - yz = 76º
x = z/2x = 76/2x = 38º
y
z
z = 56/2 = 28ºy = 88/2 = 44ºx é ângulo externo
x = y + zx = 72º
z
yx
y = 142/2 = 71ºz = 34/2 = 17ºx + y + z = 180º
x = 92º
y
y + 165 = 77 = 360y = 118
x = y/2x = 118/2x = 59º
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
106
A
B
CD
E
F
GH
70º
03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que:
a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais.b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º.c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º.d) o arco GFE é maior que o arco EDC.e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.
04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja P um ponto da circunferência distinto de A e de B. Pode-se afirmar que :a) PA = PBb) PA + PB = constantec) PA > PB
2 2d) (PA) + (PB) = constante
2 2e) (PA) - (PB) = constante
CA
B
D
E F
05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendo-se que a medida do ângulo interno D é 40º e que a medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do ângulo x.
Gx
A
B
C
O
118º
x
y
06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos da circunferência de centro O. O valor de x + y é :a) 242ºb) 121ºc) 118ºd) 59ºe) 62º
A
B
PR S
M
N
K
07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A, P, B e S estão na circunferência de centro R e os pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN, mede :a) 23ºb) 21º 30’c) 22ºd) 22º 30’e) 43º
A
B
C
DE
08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e em E, respectivamente. Determine a medida, em graus, do menor arco BE dessa circunferência.
N
SM
T
P
Q
10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então, o arco MSN mede:a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º
09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tan-gentes à circunferência de centro O. Determine a me-dida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB mede 61º.
A
B
C
P
O
(GeoJeca)
Jeca 63
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
107
A
B
CD
E
F
GH
70º
03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que:
a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais. b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. d) o arco GFE é maior que o arco EDC. e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.
(F)(F)
(F)(F)
(V)
04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja P um ponto da circunferência distinto de A e de B. Pode-se afirmar que :a) PA = PBb) PA + PB = constantec) PA > PB
2 2d) (PA) + (PB) = constante
2 2e) (PA) - (PB) = constante
CA
B
D
E F
05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendo-se que a medida do ângulo interno D é 40º e que a medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do ângulo x.
Gx
A
B
C
O
118º
x
y
06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos da circunferência de centro O. O valor de x + y é :a) 242ºb) 121ºc) 118ºd) 59ºe) 62º
A
B
PR S
M
N
K
07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A, P, B e S estão na circunferência de centro R e os pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN, mede :a) 23ºb) 21º 30’c) 22ºd) 22º 30’e) 43º
A
B
C
DE
08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e em E, respectivamente. Determine a medida, em graus, do menor arco BE dessa circunferência.
N
SM
T
P
Q
10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então, o arco MSN mede:a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º
Jeca 63
xy
70º
A
B
CD
E
F
GH
70º
03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que:
a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais. b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. d) o arco GFE é maior que o arco EDC. e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.
(F)(F)
(F)(F)
(V)
2x
2yx + y + 70 = 180x + y = 1102x + 2y = 220º
resp e)
40º
75ºy
A medida do ângulo central ACB é igual à medida do arco AGBACBE é um
quadriláteroA + E + B + C = 360ºPortanto y = 105º
x + y + 40 = 180
x = 35º (resp)
86º
y
xy = 86/2y = 43x = y/2 = 43/2x = 21,5º (resp b)
A B
P
1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircun-ferência.2) Se o triângulo é retângulo então ele satisfaz o Teorema dePitágoras.
2 2 2(AB) = (PA) + (PB)
2 2 2Portanto (PA) + (PB) = (AB) = constante (resp d)
z
wz = 118/2 = 59ºw = x + zw = x + 59
118 = y + w118 = y + x + 59x + y = 118 - 59 = 59º (resp d)
ei
e = 360/n = 360/5 = 72ºi = 180 - e = 180 - 72 = 108º
x 108ºO
BCDEO é um quadrilátero
S = 180(n - 2) = 180(5 - 2)i
S = 540ºi
540 = x + 2 . 90 + 2 . 108x = 144ºBE = xBE = 144º (resp)
y
y = 360 - QMPy = 360 - 170 = 190z = y/2 = 95ºw = 180 - 95 = 85ºk = 130/2k = 65ºx + k + w = 180
x = 30º
x = MSN/2MSN = 60º (resp a)
130ºw
z
k
x
09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tan-gentes à circunferência de centro O. Determine a me-dida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB mede 61º.
A
B
C
P
O
(GeoJeca)
x
61º
y y = 2 . 61 = 122ºAPBO é um qua-driláteroy + 90 + x + 90 = 360x = 360 - 180 - 122x = 58º (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
108
AB
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
A BC
D
E
F
G
H
IJKL
M
N
P
Q
R
S
TU
O
11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais NE e BJ.
xy
z
12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e z.
A
AB
B
C
C
D
D
E
E
F
FG
G
H
H
I
I
J
J
K
K
L
L
O
O
x
yz
t
13) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
x
y
z
t
14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
15) A figura abaixo representa um eneágono regular ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
A
B
C
D
EF
G
H
I
O
16) No eneágono regular ABCD … , determinar a medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
xA
B
C
D
EF
G
H
I
O
P
x
y
z
t
Jeca 64
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
109
AB
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
A BC
D
E
F
G
H
IJKL
M
N
P
Q
R
S
TU
O
11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais NE e BJ.
xy
z
12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e z.
A
AB
B
C
C
D
D
E
E
F
FG
G
H
H
I
I
J
J
K
K
L
L
O
O
x
yz
t
13) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
x
y
z
t
14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
15) A figura abaixo representa um eneágono regular ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
A
B
C
D
EF
G
H
I
O
16) No eneágono regular ABCD … , determinar a medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
xA
B
C
D
EF
G
H
I
O
P
x
y
z
t
Jeca 64
n = 15 lados
k = 360/15 k = 24º
x
3 . 24 = 72º
4 . 24 = 96º
y
w
y = 72/2 = 36º
w = 96/2 = 48º
x = y + w x = 36 + 48x = 84º (resp)
m = 360/12m = 30º
x = LCE/2 = 5 . 30/2x = 150/2 = 75º
t = CDE = 2 . 30t = 60º
y = EFG/2 y = 2 . 30/2y = 30º
z = GHJ/2 z = 3 . 30/2z = 45º
m = 360/9m = 40º
x = ICG/2x = 7 . 40/2x = 140º
y = x = 140º
2.t = 140t = 70º
z = IGP'z = 3,5 . 40z = 140º
t
w
t
m = 360/20m = 18º
x = CEH/2x = 5 . 18/2x = 45º
w = HJK/2w = 3 . 18/2w = 27º
t = NSB/2t = 8 . 18/2t = 72º
y = t + wy = 27 + 72 = 99º
x + y + z = 180z = 36º
m = 360/12m = 30º
x = BDF/2x = 4 . 30/2x = 60º
y = EHK/2y = 6 . 30/2y = 90º
z = FJB/2z = 8 . 30/2z = 120º
t = KBE/2t = 6 . 30/2t = 90º
m = 360/9m = 40º
y
z
y = BCD/2y = 2 . 40/2y = 40º
z = EGI/2z = 4 . 40/2z = 80º
z = x + yx = z - yx = 80 - 40 = 40º (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
110
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaÂngulos na circunferência.
Exercícios complementares da aula 06.
O86ºx V
a)
246º
xO
V
b)
76º
x
V
O
c)
O136ºx
d)
x
88ºO
e)
x
29º
O
f)
x 94º
70º
O O
g)
87º
23º
xh)
68º
102º
O
x
i)
33º
x
O
j)
O
38º
106º
x
l)
x
O
m)
O
n)
51º
x
O
56º
x
o)
x
O
196ºp)
01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
Jeca 65
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
111
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaÂngulos na circunferência.
Exercícios complementares da aula 06.
O86ºx V
a)
246º
xO
V
b)
76º
x
V
O
c)
O136ºx
d)
x
88ºO
e)
x
29º
O
f)
x 94º
70º
O O
g)
87º
23º
xh)
68º
102º
O
x
i)
33º
x
O
j)
O
38º
106º
x
l)
x
O
m)
O
n)
51º
x
O
56º
x
o)
x
O
196ºp)
01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
Jeca 65
x = 86/2x = 43º
x = 246/2x = 123º
x = 136ºx = 88/2x = 44º
x
94º
x + 94 + 70 = 180x = 16º
x/2
93º
x/2 + 23 + 93 = 180x/2 = 64x = 128º
66º
114º
x = 114/2x = 57º
y
z
y = 38/2y = 19º
z = 106/2z = 53º
z = x + y x = z - y = 53 - 19 = 34º
x + 51 + 90 = 180x = 39º
x + 56 = 180x = 124º
76 = x/2x = 152º
y
y = 2 . 29y = 58º
x = y/2x = 58/2x = 29º
yw
x
y = 102/2y = 51ºw = 68/2w = 34º
x + y + w = 180ºx = 180 - 51 - 34 = 95º
x = 180/2x = 90º
180º
yy = 196/2y = 98º
x + y = 180x = 180 - 98x = 82º
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
112
O O O
O
O
O
OO
O
O
O
O
O
O
a)
x
2x
b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) l) m)
n) o) p)
98º
x78º
x
57º
x 42º x
58º
88º
x
x
56º
140º 26º
x
94º
x
40º
36º
x
68º
82º
55º120º
x115º
100º
x
O
x
56º
x
44º
48º
x
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
Jeca 66
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
113
O O O
O
O
O
OO
O
O
O
O
O
O
a)
x
2x
b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) l) m)
n) o) p)
98º
x78º
x
57º
x 42º x
58º
88º
x
x
56º
140º 26º
x
94º
x
40º
36º
x
68º
82º
55º120º
x
115º
100º
x
O
x
56º
x
44º
48º
x
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
Jeca 66
x + 2x = 1803x = 180x = 60º
y
y + 98 = 180x + y = 180x = 98º
114º
2x
2x + 114 = 1802x = 66x = 33º
84º 2x
2x + 84 = 1802x = 96x = 48º
z
y140º
y = 56/2y = 28ºz + 140 + y = 180z = 12ºx = 2z = 2 . 12x = 24º
z
y
z = 94/2 = 47ºy + 26 = 47 y = 21ºx = 2y = 2 . 21 = 42º
y
z
y = 68/2y = 34º
82 = 34 + zz = 48ºx = 2zx = 2 . 48 = 96º
2x
60º
x
x + 60 + 55 = 180x = 65º
yy = 2 . 56y = 112ºx = y = 112º
y
z
y = 2 . 44y = 88ºz = 180 - yz = 92ºx = z/2x = 92/2x = 46º
y
y + 78 = 180y = 102y = x/2x = 2yx = 204º
y 58 = 2yy = 116ºx + y + 88 = 360x = 156º
z
yy = 40/2y = 20ºz = 36 + yz = 56º
x = 2zx = 2 . 56x = 112º
y
z
y = 2 . 100y = 200º
z = 2 . 115z = 230º
x
y + z = 360 + x430 = 360 + xx = 70º
R
Ry
y
z
48 = z/2z = 96º
z + y + y = 180 y = 42º
x + y = 90 x = 48º
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
114
08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cir-cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circun-ferência diferente de A e de B, determine :a) a medida do ângulo ADB.b) o tipo do triângulo ADB.c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.d) a medida do segmento CD.
A
B
C
D
A
C
B
D
E
03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB, ECD e AFE.
F
A
P
B
C
D
04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro C nos pontos A e B. Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar a medida do arco ADB.
28º
72ºO
x
A
BC
D
E
05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da cir-cunferência de diâmetro AD e centro O. Determine a medida do ângulo AEB.
06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.
OR
A B
C
D
E
F
07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.
Jeca 67
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
115
08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cir-cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circun-ferência diferente de A e de B, determine :a) a medida do ângulo ADB.b) o tipo do triângulo ADB.c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.d) a medida do segmento CD.
A
B
C
D
A
C
B
D
E
03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB, ECD e AFE.
F
A
P
B
C
D
04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro C nos pontos A e B. Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar a medida do arco ADB.
28º
72ºO
x
A
BC
D
E
05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da cir-cunferência de diâmetro AD e centro O. Determine a medida do ângulo AEB.
06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.
OR
A B
C
D
E
F
07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são pontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.
Jeca 67
R
R
RR
DE = AC = CB = R (raio)O triângulo CDE é equiláteroPortanto ECD = 60º
ADB = 90ºO triângulo ADB é retân-gulo porque está inscritonuma semicircunferência.
x
y
z
w
y + w + z = 180w = 60ºy + z = 120º
k
p
y = 2k k = y/2z = 2p p = z/2
x = p + k = y/2 + z/2 = (y + z)/2x = 120/2x = AFE = 60º
z
y
z = 28/2 = 14º
y = 72 /2 = 36º
y = x + z
x = y - zx = 36 - 14x = 22º
35º
xy
z
w
k p
z = 2 . 35 = 70º
y + z + w = 180y + w = 110º
k = w/2p = y/2
x = k + p = w/2 + y/wx = (y + w)/2x = 110/2x = 55º
48º
y
y
z
z
w
O triângulo APB é isósceles2y + 48 = 180y = 66ºz + y = 90ºz = 24ºw + 2z = 180w = 132ºADB = 360 - w = 360 - 132 = 228º
P
Q
x
80º 20º
y
z
z = 20 + 80z = 100º
y = QOR/2y = 80/2y = 40º
z = x + y100 = x + 40x = 60º (resp)
D
a) ADB = 90ºTodo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência.b) triângulo retângulo.c) CD é uma mediana do triângulo ABDd) CD = AC = CB = R (raio) CD = 6 cm
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
116
A
B
C
D
EF
G
H
I
09) A figura abaixo representa um eneágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais GB e HD.
Ox
A
B
C
D
F
EG
H
I
J
10) A figura abaixo representa um decágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.
O
A
B
C
DE
F
G
O
11) A figura abaixo representa um heptágono regular inscrito numa circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo BDG.
AB
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritosJeca 68
12) A figura abaixo representa um pentadecágono re-gular inscrito numa circunferência de centro O. Deter-minar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD e BI.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
117
A
B
C
D
EF
G
H
I
09) A figura abaixo representa um eneágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais GB e HD.
Ox
A
B
C
D
F
EG
H
I
J
10) A figura abaixo representa um decágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.
O
A
B
C
DE
F
G
O
11) A figura abaixo representa um heptágono regular inscrito numa circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo BDG.
AB
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
12) A figura abaixo representa um pentadecágono re-gular inscrito numa circunferência de centro O. Deter-minar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD e BI.
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritosJeca 68
y
zm = 360/9m = 40º
y = BCD/2y = 2 . 40 = 80/2y = 40º
z = HG/2z = 40/2z = 20º
x = y + zx = 40 + 20x = 60º (resp)
x
m = 360/10m = 36º
x = JACx = 3 . 36x = 108º (resp)
m = 360º/7
x
x = GAB/2x = 2 . m/2x = (2 . 360/7)/2x = 360/7
x = 360º/7 (resp)
x
m = 360/15m = 24º
y
z
y = DFI/2 = 5.m/2 = 5 . 24/2 y = 60º
z = MPB/2 = 4 . m/2 = 4 . 24/2 = 48º
x = y + z = 60 + 48x = 108º (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
118
AB
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
A BC
D
E
F
G
H
IJKL
M
N
P
Q
R
S
TU
O
13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais ND e BJ.
x y
z
14) No icoságono regular abaixo, determinar as medi-das dos ângulos x, y e z.
A
AB
B
C
C
D
D
E
E
F
FG
G
H
H
I
I
J
J
K
K
L
L
O
O
x
yz
t
15) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
x
y
zt
16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
A
B
C
D
E
F
G
H
O
x
yz
t
17) A figura abaixo representa um octógono regular ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. A
B
C
D
EF
G
H
I
O
x
18) No eneágono regular ABCD … , determinar a medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 69
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
119
AB
C
D
E
F
G
HI
J
K
L
M
N
P
O
A BC
D
E
F
G
H
IJKL
M
N
P
Q
R
S
TU
O
13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais ND e BJ.
x y
z
14) No icoságono regular abaixo, determinar as medi-das dos ângulos x, y e z.
A
AB
B
C
C
D
D
E
E
F
FG
G
H
H
I
I
J
J
K
K
L
L
O
O
x
yz
t
15) No dodecágono regular de centro O abaixo, deter-minar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
x
y
zt
16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determi-nar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
A
B
C
D
E
F
G
H
O
x
yz
t
17) A figura abaixo representa um octógono regular ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. A
B
C
D
EF
G
H
I
O
x
18) No eneágono regular ABCD … , determinar a medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 69
A medida do arco MNé igual a 360/15 = 24º
24º
48º72º
BJD = BCD/2 = 48/2 = 24ºJDN = JLN/2 = 96/2 = 48
JRN é ãngulo externo do triângulo JRDJRN = 24 + 48 = 72º (resp)
R
w
k
m = 360/20m = 18º
x = CDF/2x = 3.m/2 = 3 . 18/2x = 27º
k = FJM/2 k = 7.m/2 = 7 . 18/2k = 63º
w = RUB/2w = 5.m/2 = 5 . 18/2w = 45º
y = k + w = 63 + 45y = 108º
x + y + z = 18027 + 108 + z = 180z = 45º
m = 360/12m = 30º
x = LCE/2x = 5.m/2 = 5 . 30/2x = 75º
y = EFH/2y = 3.m/2 = 3.30/2y = 45º
z = HIJ/2z = 2.m/2 = 2.30/2z = 30º
t = ACEt = 4,m = 4 . 30t = 120º
m =
360
/8m
= 4
5º
x = BEH/2x = 6.m/2x = 6 . 45/2x = 135º
y = x = 135º
z = x/2 = 135/2z = 67,5º
t = 2,5 . m7 = 2,5 . 45t = 112,5º
m =
360
/12
m =
30º
x = BFI/2x = 7.m/2 = 7 . 30/2x = 105º
y = EHK/2y = 6.m/2 = 6 . 30/2y = 90º
z = ILB/2z = 5.m/2 = 5 . 30/2z = 75º
t = KBE/2t = 6.m/2 = 6 . 30/2t = 90º
m = 360/9m = 40º
y
z
y = ABD/2y = 3.m/2y = 3 . 40/2y = 60º
z = GF/2z = m/2z = 40/2z = 20º
y = x + zx = y - zx = 60 - 20x = 40º
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
120
A
B CD
E
F
O
23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.
Desafio
19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco APC mede 160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do ângulo ACB ?a) 51ºb) 43ºc) 33ºd) 47ºe) 37º
A
BC
PM
N
O
20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do ângulo BAC ?a) 62ºb) 64ºc) 58ºd) 63ºe) 59º
A
BC
PM
N
O
35ºA BO
DC
x
21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo ADC sabendo que o ângulo BAC mede 35º.
22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retân-gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto ?
Jeca 70
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
121
A
B CD
E
F
O
23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.
Desafio
19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco APC mede 160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do ângulo ACB ?a) 51ºb) 43ºc) 33ºd) 47ºe) 37º
A
BC
PM
N
O
20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do ângulo BAC ?a) 62ºb) 64ºc) 58ºd) 63ºe) 59º
A
BC
PM
N
O
35ºA BO
DC
x
21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo ADC sabendo que o ângulo BAC mede 35º.
22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retân-gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto ?
Jeca 70
160º
63º
xyy = 160/2 = 80º
x + y + 63 = 180x + 80 + 63 = 180x = 180 - 143x = 37º (resp e)
70º
180º
x = ABC/2x = (180 +70)/2x = 250/2x = 125º
110º
63º y
20º10 cm 10 cm
A B
C
O
45º20º
x
a) Em todo triângulo retângu-lo a mediana relativa à hipo-tenusa vale a metade dessahipotenusa.
Portanto CO = 10 cm
b) 45 + x + 20 = 90x = 90 - 65x = 25º
(Resolução na página 72)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
122
Respostas dos exercícios da Aula 06.
01)a) 59º b) 82º c) 92º d) 39º e) 90ºf) 28º g) 28º h) 76º i) 87º
02) a) 28º b) 22º 30' c) 110º d) 20º e) 18ºf) 38º g) 53º h) 53º i) 72º j) 120ºk) 42º l) 92º m) 107º n) 54º o) 59º
03) e
04) d
05) 35º
06) d
07) b
08) 144º
09) 58º
10) a
11) 84º
12) 45º, 99º e 36º
13) 75º, 30º, 45º e 60º
14) 60º, 90º, 120º e 90º
15) 140º, 140º, 70º e 140º
16) 40º
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 72
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
123
Respostas dos exercícios complemmentares da Aula 06.
01) a) 43º b) 123º c) 152º d) 136º e) 44º f) 29º g) 16º h) 128º i) 95º j) 57º l) 34º m) 90º n) 39º o) 124º p) 82º
02) a) 60º b) 98º c) 204º d) 33º e) 48º f) 156º g) 24º h) 42º i) 112º j) 96º l) 65º m) 70º n) 112º o) 46º p) 48º
03) 90º, 60º e 60º
04) 228º
05) 22º
06) 60º
07) 55º
08) a) 90º b) triângulo retângulo c) mediana d) 6 cm
09) 60º
10) 108º
11) 360º / 7
12) 108º
13) 72º
14) x = 27º, y = 108º , z = 45º
15) x = 75º , y = 45º , z = 30º , t = 120º
16) x = 105º , y = 90º , z = 75º , t = 90º
17) x = 135º , y = 135º , z = 67,5º , t = 112,5º
18) 40º
19) e
20) a
21) 125º
22) a) 10 cm b) 25º
Resolução do exercício 23) (Desafio) O quadrilátero AFOE é inscrito numa circunferência, pois os os ângulos opostos AFO e AEO são suplementares. Desenhando-se a circunferência percebe-se que os ângulos EAO e EFO são congruentes pois estâo inscritos no mesmo arco da mesma circunferência. Análogamente provam-se os demais ângulos.
A
B C
D
E
F
O
DEF = 84ºDFE = 52ºEDF = 44º
64º
26º
26º
(GeoJeca)
Jeca 73
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
124
II) Teorema da bissetriz interna.I) Teorema de Tales.
Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas retas transversais, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.
Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide internamente o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes.
r
t
r // s // t
sa
b
c
dab
cd=
aabissetriz
A
B C
bc
x y
xc
yb
=
Teorema de Tales
Teorema dabissetriz interna
r
s
t
r // s // t r // s // t
r // s // t
x
65
8
r
s
t
x 8
18 24
r
s
t
x
12 10
18
r
s
r // s
5
4x
8
x1210
6r
s
t
r // s // t
r
s
r // s
7
11
8
x
01) Determine o valor de x na figura abaixo. 02) Determine o valor de x na figura abaixo.
03) Determine o valor de x na figura abaixo. 04) Determine o valor de x na figura abaixo.
05) Determine o valor de x na figura abaixo. 06) Determine o valor de x na figura abaixo.
Exercícios.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 07
Segmentos proporcionais.
Jeca 74
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
125
II) Teorema da bissetriz interna.I) Teorema de Tales.
Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas retas transversais, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.
Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide internamente o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes.
r
t
r // s // t
sa
b
c
dab
cd=
aabissetriz
A
B C
bc
x y
xc
yb
=
Teorema de Tales
Teorema dabissetriz interna
r
s
t
r // s // t r // s // t
r // s // t
x
65
8
r
s
t
x 8
18 24
r
s
t
x
12 10
18
r
s
r // s // t
5
4x
8
x1210
6r
s
t
r // s // t
r
s
r // s
7
11
8
x
01) Determine o valor de x na figura abaixo. 02) Determine o valor de x na figura abaixo.
03) Determine o valor de x na figura abaixo. 04) Determine o valor de x na figura abaixo.
05) Determine o valor de x na figura abaixo. 06) Determine o valor de x na figura abaixo.
Exercícios.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 07
Segmentos proporcionais.
Jeca 74
Teorema de Tales
8
5=
x
6
x = 6 . 8/5
x = 48/5 (resp)
Teorema de Tales
818
=x24
x = 24 . 8/18
x = 32/3 (resp)
Teorema de Tales
x12
=18
10
x = 12 . 18/10
x = 108/5 (resp)
Teorema de Tales
x
8=
4
5
x = 8 . 4/5
x = 32/5 (resp)
Teorema de Tales
x6 + 10=
1210
x = (16 . 12)/10
x = 96/5 (resp)
Teorema de Tales
x
8=
11
7
x = 8 . 11/ 7
x = 88/ 7 (resp)
t
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
126
07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m.
40 m 30 m 20 m
Rua B
Rua A
yz
x
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.
u v
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.
u v
10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmen-to AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em centímetros.
A B C D
B'
C'
D'
Jeca 75
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
127
07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m.
40 m 30 m 20 m
Rua B
Rua A
yz
x
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.
u v
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.
u v
10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmen-to AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em centímetros.
A B C D
B'
C'
D'
Jeca 75
40 + 30 + 20 = 90 m
180 m
Teor. de Tales
x180
=4090
x = 2 . 40 = 80 m
y180
=3090
y = 2 . 30 = 60 m
z180
=2090
z = 2 . 20 = 40 m Teor. de Tales
GJJL
=ADDE
3
4
5
6
7
8
GJ = AD . JL / DE
GJ = (3 + 4 + 5) . 8 / 6
GJ = 16
HMJL
=BFDE
HM = BF . JL / DE
HM = (4 + 5 + 6 + 7) . 8 / 6
HM = 88/3
Teor. de Tales
HLJM
=BEDF
3
4
5
6
7
15
Teor. de Tales
GMJM
=AFDF
HL = JM . BE / DF
HL = 15 . (4 + 5 + 6) / (6 + 7)
HL = 225 / 13
GM = JM . AF / DF
GM = 15(3 + 4 + 5 + 6 + 7)/13
GM = 375 / 13
2 cm 3 cm 5 cm
2 + 3 + 5 = 10 cm
13 cm
x
y
zTeor. de Tales
x13
=2
10
x = 2 . 13 / 10 = 13/5 cm
y13
=3
10
y = 3 . 13 / 10 = 39/10 cm
z13
=5
10
z = 5 . 13 / 10 = 13/2 cm
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
128
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento AC.
a a
12 c
m
6 cm 9 cm
A
B D C
12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento BD.
aa
A
CD
B
20 cm
16 cm 10 cm
13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A. Calcule a medida do segmento CD.
A
B C
30 cm
14 cm
16 c
m
D
14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.
A
B CD12 cm 9 cm
3x + 1 3x - 3
15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm. Determine a medida do segmento DE.
a3a
A B
CD
A
B CD
E
3 cm 5 cm
10 cm
16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triân-gulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm, determine o valor da razão DE / AE.
E
a
b
c
d
17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo A, determine a em função de b, c e d.
aa
A
B
C
D
18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A divide o lado BC em dois segmentos, qual é a medida do menor desses segmentos ?a) b . c
b) b . c
c) a . b
d) a . c
e) a . b
a + c
b + c
b - c
b + c
a + b
Jeca 76
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
129
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento AC.
a a
12 c
m
6 cm 9 cm
A
B D C
12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento BD.
aa
A
CD
B
20 cm
16 cm 10 cm
13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A. Calcule a medida do segmento CD.
A
B C
30 cm
14 cm
16 c
m
D
14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.
A
B CD12 cm 9 cm
3x + 1 3x - 3
15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm. Determine a medida do segmento DE.
a3a
A B
CD
A
B CD
E
3 cm 5 cm
10 cm
16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triân-gulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm, determine o valor da razão DE / AE.
E
a
b
c
d
17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo A, determine a em função de b, c e d.
aa
A
B
C
D
18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A divide o lado BC em dois segmentos, qual é a medida do menor desses segmentos ?a) b . c
b) b . c
c) a . b
d) a . c
e) a . b
a + c
b + c
b - c
b + c
a + b
Jeca 76
Teorema da bissetrizinterna
x6
12=
9x
x = 12 . 9 / 6
x = 18 cm (resp)
Teorema da bissetrizinterna
=
Teorema da bissetrizinterna
=
Teorema da bissetrizinterna
=
Teorema da bissetrizinterna
=Teorema da bissetriz
interna
=
Teorema da bissetrizinterna
=
Teorema da bissetrizinterna
=
x 20 - x
x16
20 - x10
x =16(20 - x)
10
10x = 320 - 16x26x = 320 x = 160 / 13 cm (resp)
x
x16
1430
x = 16 . 14 / 30
x = 112 / 15 cm (resp)
x 4 - x
d = 4 24
x4
4 - x
4 2
x . 4 2 = 4(4 - x)
x 2 = 4 - x
x 2 + x = 4
x( 2 + 1) = 4
x =4
2 + 14( 2 - 1) cm=
(resp)
ba
cd
a . c = b . d
a = b . d / c (resp)
123x + 1
93x - 3
9(3x + 1) = 12(3x - 3)
27x + 9 = 36x - 36
45 = 9x
x = 5 cm (resp)
Incentro - ponto de encontro das bissetrizes.
a
b
a
b
x
3x
510
5x = 30 x = 6 cm
BE também é bissetriz
=AE6
DE3
=AE6DE3
=12
(resp)
A
B C
a
x a - x
c b
a
axc
a - xb
bx = a.c - c.xb.x + c.x = a.cx(b + c) = a.cx = a.c / (b + c) (resp d)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
130
19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.
20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC. Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e que AB = 7 cm.
A
B
CD
21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do segmento DM.
A
B CD M
6 cm
8 cm5 cm22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determi-ne as medidas dos lados desse triângulo.
Jeca 77
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
131
19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.
20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC. Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e que AB = 7 cm.
A
B
CD
21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do segmento DM.
A
B CD M
6 cm
8 cm5 cm22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determi-ne as medidas dos lados desse triângulo.
Jeca 77
2 4
5
BA
C
MN
2 4
BA
C
Mx 5 - x
a aTeorema da bissetriz
interna
x2
=5 - x
4
4x = 10 - 2x x = 5/3
2
BA
C
Ny
h
5 - y
4
Pitágoras2 2 2
2 = y + h2 2
y + h = 4
2 2 24 = (5 - y) + h
2 216 = 25 - 10y + y + h
16 = 25 - 10y + 4
10y = 13
y = 13/10
MN = x - y = 5/3 - 13/10 = 5030 - 39/30 = 11/30 (resp)
aa
25 cm7 x
y
w
Pitágoras
2 2 225 = 7 + w
2w = 625 - 49 = 576
w = 24
24 - y
Teorema da bissetriz interna
y
7
24 - y
25=
25y = 168 - 7y y = 21/4 cm
Pitágoras2 2 2
x = 7 + (21/4)
2x = 49 + 441/16 = 1 225/16
x = 35/4 cm (resp)
xPitágoras2 2 2x = 6 + 8 = 100
x = 10 cmPortanto, BM = 5 cm
Teorema da bissetriz interna
y 10 - y
y
610 - y
8=
8y = 60 - 6y14y = 60y = 30/7 cm
BM = 5 cmBD = 30/7 cm
DM = BM - BD = 5 - 30/7 = 35/7 - 30/7
DM = 5/7 cm (resp)
16 24
40 m
x 60 - xa a
A
B C
AB + AC + BC = 100Se BC = 16 + 24 = 40 , então AB + AC = 100 - 40 = 60 m
Teorema da bissetriz interna
16x
2460 - x
=
24x = 960 - 16x40x = 960x = 24 m
AB = x = 24 mAC = 60 - x = 60 - 24 = 36 mBC = 40 m (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
132
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaTeorema de Tales e Teorema da
bissetriz interna.Exercícios complementares da aula 07.
03) Na figura abaixo, determine z em função de y.
r
s
t
x
3x
y
z
r // s // t
r
s
t
2
3
x
y
r // s // t
04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o valor de x e de y.
02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y.a
b
c
d
a
b
c
d
x
y 4
4
57
5 x
8 10
y 7
01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y.
08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a medida de CN.
r
s
t
u
v
r // s // t // u // v
7
3
11
z 2
9
y
x
05) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
9 cm
6 cm
7 cm
x
06) Na figura abaixo, determine o valor de x.
r
s
r // sa b
c x
07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função de a, b e c.
Jeca 78
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
133
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaTeorema de Tales e Teorema da
bissetriz interna.Exercícios complementares da aula 07.
03) Na figura abaixo, determine z em função de y.
r
s
t
x
3x
y
z
r // s // t
r
s
t
2
3
x
y
r // s // t
04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o valor de x e de y.
02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y.a
b
c
d
a
b
c
d
x
y 4
4
57
5 x
8 10
y 7
01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y.
08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a medida de CN.
r
s
t
u
v
r // s // t // u // v
7
3
11
z 2
9
y
x
05) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
9 cm
6 cm
7 cm
x
06) Na figura abaixo, determine o valor de x.
r
s
r // s // ta b
c x
07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função de a, b e c.
Jeca 78
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
58
x10
x = 5 . 10 / 8x = 25 / 4
=8y
107
y = 7 . 8 / 10y = 28 / 5
7x
54
=5y
74
x = 7 . 4 / 5x = 28 / 5
y = 5 . 4 / 7y = 20 / 7
x3x
y
z
=13
y
z
z = 3y (resp)
22 + 3
xx + y
=25
x9
x = 18 / 5
=35
y9
y = 27 / 5
x7
96
x = 9 . 7 / 6x = 63 / 6 x = 21 / 2
C
A
B 36 - x
22
10M
N x
x36 - x
1022
22x = 360 - 10x32x = 360x = 360 / 32x = 45 / 4 cm
x9
711
=y9
311
=11z
92
x = 9 . 7 / 11 = 63 / 11
y = 9 . 3 / 11 = 27 / 11
z = 11 . 2 / 9 = 22 / 9
t
ax
bc
x . b = a . c
x = a . c / b
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
134
x
y 4
5
09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se aproxima de x - y, é :
r
s
t
a) 1,03b) 1,33c) 1,57d) 1,75e) 2,00
2
3
4
5
6
3
x
y
z
t
a
b
c
d
e
f
10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são paralelas entre si. Determine o valor da soma das me-didas dos segmentos x, y, z e t.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ?
u v
a) 83 / 9b) 81 / 7c) 93 / 9d) 72 / 7e) 89 / 8
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ?
u v
a) 198 / 7b) 223 / 9c) 220 / 9d) 241 / 10e) 241 / 11
13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida do segmento BD e o valor do pe-rímetro do triângulo ABC.
aa
8 cm
18 cm 12 cm
aa
20 cm
12 cm 16 cm
14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida dos segmentos BD e CD.
A
B CD
A
B CD
Jeca 79
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
135
x
y 4
5
09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se aproxima de x - y, é :
r
s
t
a) 1,03b) 1,33c) 1,57d) 1,75e) 2,00
2
3
4
5
6
3
x
y
z
t
a
b
c
d
e
f
10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são paralelas entre si. Determine o valor da soma das me-didas dos segmentos x, y, z e t.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ?
u v
a) 83 / 9b) 81 / 7c) 93 / 9d) 72 / 7e) 89 / 8
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
m
n
p
q
r
s
12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ?
u v
a) 198 / 7b) 223 / 9c) 220 / 9d) 241 / 10e) 241 / 11
13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida do segmento BD e o valor do pe-rímetro do triângulo ABC.
aa
8 cm
18 cm 12 cm
aa
20 cm
12 cm 16 cm
14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida dos segmentos BD e CD.
A
B CD
A
B CD
Jeca 79
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
Teorema de Tales
=
Teorema de Tales
=
Teorema da bissetrizinterna
xx + y
55 + 4
=x
1259
x = 12 . 5 / 9 = 20 / 3
=y
x + y4
5 + 4
=y
1249
y = 12 . 4 / 9 = 16 / 3
x - y = 20/3 - 16/3 = 4/3 = 1,33 (resp b)
23 + 4 + 5 + 6
3x + y + z + t
=
218
3x + y + z + t
=
x + y + z + t = 54/2 = 27 (resp)
3
4
5
6
7 8BDEF
HJLM
=4 + 5
7HJ8
HJ = 8 . 9 / 7
HJ = 72 / 7 (resp d)
3
4
5
6
7
BDBF
HJHM
=9
2210HM
HM = 22 . 10 / 9
HM = 220 / 9 (resp c)
x
=x
188
12
x = 8 . 18 / 12
x = 12 cm
Per = 2p = 12 + 8 + 12 + 18 = 50 cm (resp)
x 20 - x
Teorema da bissetrizinterna
=x
1220 - x
16
16x = 240 - 12x28x = 240x = 60 / 7 cm
BD = 60 / 7 cm
DC = 20 - 60 / 7 = 80 / 7 cm
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
136
15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.
a
b
c
d
xx
16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figu-ra, qual das relações abaixo é verdadeira.a) a = b.d / cb) a = b.c / dc) a = c.d / bd) a = c / (b.d)e) a = b.c.d
A
B
C
D
17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.
A
B C
D E
18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo interno do vértice B.
20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determi-ne a razão entre BD e CD.
A
BC
a a
D
Jeca 80
ab
c
15º 15º 15º
x
y
19) (J) Na figura abaixo, determinar x e w em função de c, y em função de a e k em função de b.
w
k
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
137
15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.
a
b
c
d
xx
16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figu-ra, qual das relações abaixo é verdadeira.a) a = b.d / cb) a = b.c / dc) a = c.d / bd) a = c / (b.d)e) a = b.c.d
A
B
C
D
17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.
A
B C
D E
18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo interno do vértice B.
Jeca 80
Teorema da bissetrizinterna
=4x
7
15
A
B C
D
aa
7
4
15 cm
xx = 4 . 15 / 7
x = 60 / 7 cm (resp)
Teorema da bissetrizinterna
=ba
cd
a.c = b.d
a = b.d / c (resp a)
Teorema da bissetrizinterna
=AC18
CD
aa
18 cm
15
15
=AC 18CD 15
=65
(resp)
Teorema da bissetrizinterna
=x
128 - x10
12
8
aa
10
x
8 - x10x = 96 - 12x22x = 96x = 48 / 11
Teorema de Tales
=x8
AD12
AD = 12x / 8 = 3x / 2
AD =
3 . 4811
2=
7211
(resp)
ab
c
15º 15º 15º
x
y
19) (J) Na figura abaixo, determinar x e w em função de c, y em função de a e k em função de b.
w
k
x = cy = a
cos 30º =kb
=32
k = 2b 3 / 3
Teorema da bissetrizinterna
wk =
xb
20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determi-ne a razão entre BD e CD.
A
BC
a a
D
4 x
y
cos 30º =cahip
x
4=
x4
=3
2
x = 2 3
Teorema da bissetrizinterna
BD x =
CD4
BD =
CD 4
x
BD =
CD 42 3
=32
(resp)w =
k . xb
=b
w =2c 3
kb
2b 33
. c
3
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
138
24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um pentágono regular de lado K.
d
K
a
b
c
d
e
5
6
10
x 9
11
7
y t
21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são paralelas entre si. Determine o valor da expressãoE = x . y + t.
R
S
T
D
A
B C
22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC, determine a razão entre CD e DT.
R
S
T
D
A
B CV
23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC e que V é o ponto onde a circunferência de centro em D tangencia o lado BC, determine a distância VR.
Jeca 81
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
139
x10
=911
Teorema de Tales
x = 90/11
510
=y
11y = 55/10 = 11/2
t7
=y
9t = 7y/9 = 77/18
E = x . y + t = 9011
.2
+ 7718
11=
887
18(resp)
aax
9
8
y 8 - y
Teorema da bissetrizinterna
(No triângulo ABC)
x9
6 - x8
=
8x = 54 - 9x17x = 54x = 54/17
(No triângulo ATC)
DTx =
CD9
DTx =CD9
DTCD
=9
1754
=176
(resp)
24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um pentágono regular de lado K.
d
K
a
b
c
d
e
5
6
10
x 9
11
7
y t
21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são paralelas entre si. Determine o valor da expressãoE = x . y + t.
R
S
T
D
A
B C
22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC, determine a razão entre CD e DT.
R
S
T
D
A
B CV
23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC e que V é o ponto onde a circunferência de centro em D tangencia o lado BC, determine a distância VR.
Jeca 81
d
k
k
e =
360/
5 =
72º
108º
36º36º
36º
36º
36º
36º72º
36º36º
72º
A
B
CD
E
F
k
d - k
No triângulo ADB, AF é uma bissetriz.Pelo Teorema da bissetriz interna, tem-se
2 2Portanto k = d - kd
2 2Organizando, tem-se d - kd - k = 0Resolvendo a equação do 2º grau em d , tem-se
k
d=
d - kk
d =- (-k) +-
2 2(-k) - 4 . 1 . (-k )
2 . 1
d =k +- k 5
2=
k( 1 + 5 )
2(resp)
A
S
CV
B
TD
x 8 - x
x
6 - x
6 - x
8 - x
Teor. do ponto exterior(6 - x) + (8 - x) = 92x = 5x = 5/2Portanto BV = 5/2
Teor. da bissetriz internay / AB = 8 - y / AC
y / 6 = (8 - y) / 9
y 8 - y
VR = BR - BVVR = 16/5 - 5/2VR = 32/10 - 25/10VR = 7/10 (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
140
Respostas dos exercícios da Aula 07.
01) 48 / 5
02) 32 / 3
03) 108 / 5
04) 32 / 5
05) 96 / 5
06) 88 / 7
07) 80 m, 60 m, e 40 m
08) 16 e 88 / 3
09) 225 / 13 e 375 / 13
10) 13 / 5, 39 / 10 e 13 / 2
11) 18 cm
12) (160 / 13) cm
13) (112 / 15) cm
14) 5 cm
15) 4( 2 - 1) cm
16) 1 / 2
17) b.d / c
18) d
19) 11 / 30
20) (35 / 4) cm
21) (5 / 7) cm
22) 24 cm, 40 cm e 36 cm
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 82
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
141
Respostas dos exercícios complementares da Aula 07.
01) 25 / 4 e 28 / 5
02) 28 / 5 e 20 / 7
03) 3y
04) 18 / 5 e 27 / 5
05) 63 / 11, 27 / 11 e 22 / 9
06) (21 / 2) cm
07) a.c / b
08) (45 / 4) cm
09) b
10) 27
11) d
12) c
13) 12 cm e 50 cm
14) (60 / 7) cm e (80 / 7) cm
15) (60 / 7) cm
16) a
17) 6 / 5
18) 72 / 11
19) x = c , y = a , w =
k =
20) 3 / 2
21) 887 / 18
22) 17 / 6
23) 7 / 10
24) K(1 + 5 ) / 2
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 83
2c 3 3
2b 3 3
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
142
aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício:
Correções
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
144
I) Semelhança de triângulos.
Definição. Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais.
Definição mais "popular". Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro.
A
BC
D
EF
DABC DDEF ~ >
A DB EC F eAB AC BCDE DF EF
k= =
K - razão da semelhançaou
constante de proporcionalidade.
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)
1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.
Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos (AA) de um deles são congruentes a dois ângulos do outro.
Dois triângulos são semelhantes se têm um ângulo congruente e os dois lados de um triângulo adjacen-tes ao ângulo são proporcionais aos dois lados adjacentes ao ângu-lo do outro triângulo.
Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados dois a dois or-denadamente proporcionais.
a b
a b
a b
c
d e
f
a b cd e f
k= = =
a
a
a
c
d
f
a cd f
k= =
III) Como aplicar a semelhança de triângulos.
a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".b) Desenhar os dois triângulos separados.c) Chamar de a, b e g os três ângulos de cada triângulo.d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no numerador da proporção.
A
B C
D
12
4
x
=
a
a
semelhante
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 08
Semelhança de triângulos.
Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o valor de x na figura abaixo.
Jeca 84
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
145
I) Semelhança de triângulos.
Definição. Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais.
Definição mais "popular". Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro.
A
BC
D
EF
DABC DDEF ~ >
A DB EC F eAB AC BCDE DF EF
k= =
K - razão da semelhançaou
constante de proporcionalidade.
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)
1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.
Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos (AA) de um deles são congruentes a dois ângulos do outro.
Dois triângulos são semelhantes se têm um ângulo congruente e os dois lados de um triângulo adjacen-tes ao ângulo são proporcionais aos dois lados adjacentes ao ângu-lo do outro triângulo.
Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados dois a dois or-denadamente proporcionais.
a b
a b
a b
c
d e
f
a b cd e f
k= = =
a
a
a
c
d
f
a cd f
k= =
III) Como aplicar a semelhança de triângulos.
a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".b) Desenhar os dois triângulos separados.c) Chamar de a, b e g os três ângulos de cada triângulo.d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no numerador da proporção.
Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o valor de x na figura abaixo.
A
B C
D
12
4
x
=
a
a
semelhante
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 08
Semelhança de triângulos.
Jeca 84
A
B Cx
a
16
ab q bq 4
x
Semelhança de triângulos
x4
16x=
2x = 64
Portanto x = 8 (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
146
A
B C
D E
A
B
C
D
E
03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a medida dos segmentos AE e CD.
AB C
D
E
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu-lo ACD mede 45 cm.
A B
CD
E
05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD interceptam-se no ponto E. Determine a distância entre o ponto E e a base CD.
d
A B
CD
A
B C
D
E
07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg-mentos AD e AE.
06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.
Jeca 85
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
147
A
B C
D E
02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg-mentos AD e AE. A
B
C
D
E
03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a medida dos segmentos AE e CD.
AB C
D
E
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu-lo ACD mede 45 cm.
A B
CD
E
05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD interceptam-se no ponto E. Determine a distância entre o ponto E e a base CD.
d
A B
CD
06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.
A
B C
D
E
07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
Jeca 85
8
12
x y9
13
Semelhança de triângulos
x9
y
138
12==
x = 9 . 8 / 12 = 6 cmy = 13 . 8 / 12 = 26/3 cm (resp)
7
5
6
x
10
y
ab
q
b
a
Semelhança de triângulos.7
12=
xx + 6
10y=
12x = 7x + 42
5x = 42
x = 42/5 cm
7y = 120
y = 120/7 cm
Respostas
5
37
Per = 45 cm ACD
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
7AD
3CD
5AC
=PerABE
PerACD
7 + 5 + 345
1545
13
= = = = =
5AC
=13
AC = 15 cm
3CD
=13
CD = 9 cm
Respostas
8 cm
18
12
12 - d
D ABE ~ D CDE
818
=12 - d
d
8d = 216 - 18d
26d = 216
d = 108/13 cm Resposta
8
18
12
d
8=
18d
d + 12
18d = 8d + 96
d = 96/10 = 48/5 = 9,6 cm Resposta
8
4
x
14 - x
b
a
b
a
x14 - x
=48
8x = 56 - 4x
12x = 56
x = 56/12 = 14/3 cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
148
P
A
B
C
xy
z50º
40º
45º
13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posi-ção por 3 cabos esticados que partem da extremidade P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, confor-me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine o valor de z em função de x e y.
A
B C
DE
F
08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado desse losango.
A
B C
D E
h
10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a medida da altura H do trapézio BCED em função de x, y e h.
H
x
y
A
B CD E
FG
h =
6 c
m
11) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do perímetro do menor quadrado.
9 cm 6 cm x
12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e DE = 5 cm. Determine a medida de BC.
A
B C D
E
Jeca 86
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6 cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um qua-drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-mine a medida do lado desse quadrado.
(GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
149
P
A
B
C
xy
z50º
40º
45º
13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posi-ção por 3 cabos esticados que partem da extremidade P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, confor-me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine o valor de z em função de x e y.
A
B C
DE
F
08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado desse losango.
A
B C
D E
h
10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a medida da altura H do trapézio BCED em função de x, y e h.
H
x
y
A
B CD E
FG
h =
6 c
m
11) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do perímetro do menor quadrado.
9 cm 6 cm x
12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e DE = 5 cm. Determine a medida de BC.
A
B C D
E
Jeca 86
8
12
x
x
x
x 12 - x
DABC ~ DCDF
12 - x12
=x8
12x = 96 - 8x20x = 96x = 96/20 = 4,8 cm (resp)
Semelhança de triângulos
baseBase
alturaAltura
=
xy
hh + H
=
xh + xH = yhxH = yh - xh
H = (yh - xh) / x (resp)
ou H = h(y - x) / x (resp)
a
b a
b
8
x 20 - x
5
Semelhança de triângulos.
x5
820 - x
= >2
x - 20x + 40 = 0
Resolvendo, tem-se
x = 10 + 2 15 cm ou x = 10 - 2 15 cm (resp)
45º
50º
40º
D
DPDC é isóscelesDC = PD = z
DADP ~ DBDP
z
xz
zy=
z = x . y (resp)
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6 cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um qua-drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-mine a medida do lado desse quadrado.
(GeoJeca)
x
x
12 cm
6 - x
Semelhança de triângulos.
x12
6 - x6
=
6x = 72 - 12x
18x = 72
x = 4 cm Resposta
3
6
x6 - x
Semelhança de triângulos.
x6
=6 - x
3
3x = 36 - 6x
9x = 36
x = 4 cm
Per = 4.x = 16 cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
150
IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.
Dada uma circunferência l e um ponto P, P não pertencente a l, se A e B são os pontos de intersecção entre l e a reta secante a l por P, define-se potência de P em relação a l o produto PA x PB.
Propriedade. Dados l e P, a potência de P em relação a l é constante, qualquer que seja a reta AB secante a l por P.
A
BP
l
Potência = PA x PB
1º caso: O ponto P é interior a l. 2º caso: O ponto P é exterior a l.
A
BP
l
C
D
E
F
G
H
PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte
O
Pl
O
T
A
B
C
D
T é ponto de tangência
PA x PB = PC x PD = PT = cte( )2
A
B
C
D
P
O
14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, PB = 8 e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.
AB
C
P
O
15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência l. Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-termine a medida do segmento PC.
l
l
A B
C
D
P
O l
16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, AB = 8 e CD = 5, determine a medida do segmento PD.
A
B
P O
l
17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à circunferência de centro O. Determine a medida do raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e PO = 4.
Jeca 87
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
151
IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.
Dada uma circunferência l e um ponto P, P não pertencente a l, se A e B são os pontos de intersecção entre l e a reta secante a l por P, define-se potência de P em relação a l o produto PA x PB.
Propriedade. Dados l e P, a potência de P em relação a l é constante, qualquer que seja a reta AB secante a l por P.
A
BP
l
Potência = PA x PB
1º caso: O ponto P é interior a l. 2º caso: O ponto P é exterior a l.
A
BP
l
C
D
E
F
G
H
PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte
O
Pl
O
T
A
B
C
D
T é ponto de tangência
PA x PB = PC x PD = PT = cte( )2
A
B
C
D
P
O
14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, PB = 8 e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.
AB
C
P
O
15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência l. Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-termine a medida do segmento PC.
l
l
A B
C
D
P
O l
16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, AB = 8 e CD = 5, determine a medida do segmento PD.
A
B
P O
l
17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à circunferência de centro O. Determine a medida do raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e PO = 4.
Jeca 87
Potência de ponto
PA . PC = PB . PD
6 . x = 8 . 12
x = 96/6 = 16 cm (resp)
6
8
12
x
C
D
6
10
4
R
PC = R - 4PD = R + 4
PotênciaPA x PB = PC x PD6 x 10 = (R - 4).(R + 4)
2 2R - 4 = 60
2R = 76
R = 2 19 uc (resp)
Potência de ponto
2PA . PB = PC
24.(4 + 12) = PC
2PC = 64
PC = 8 (Resp.)
6 8
5
xPotência de ponto
PA x PB = PC x PD
6 . 14 = x.(x + 5)
2x + 5x - 84 = 0
Raízes
x = -12 (não convém)
x = 7 cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
152
A
B C
D
E
18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. Determine a medida do segmento EC.
20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do segmento CD.
a
a
A
B
C
D
21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA. Determine o comprimento do segmen-to PC.
A B
C
P
19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros pa-ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, co-mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam ? Despreze as espessuras das barras.
h3 m
9 m
Jeca 88
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
153
A
B C
D
E
18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. Determine a medida do segmento EC.
20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do segmento CD.
a
a
A
B
C
D
21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA. Determine o comprimento do segmen-to PC.
A B
C
P
19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros pa-ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, co-mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam ? Despreze as espessuras das barras.
h3 m
9 m
Jeca 88
A
B C
E
D
C5
12
3
y
x
a
b
ba
2 2 2Pitágoras y = 5 + 12 y = 13 cm
Semelhança de triângulos
x = 39/5 cm (resp)
x13
=35
P
A B
P
A
Cx + 7
x
y y
6
8
aa
b
b qq
Semelhança de triângulos
x + 7y
yx
86
= =
y 8x6
= =4x3
8y = 6(x + 7)
8.(4x/3) = 6x + 42
32x = 18x + 126
x = 126/14 = 9 uc (resp)
A
B C
DE
x y
DABE ~ DCDE DBFE ~ DBCD
39= yx
F
xx + y
h3
== x + y12
x + yh
3x=x + y =
12x9
=12x9h
3x
h = 9/4 = 2,25 m (resp)
b b
q
q8
10
7 x
Semelhança de triângulos
x
10=
107
x = 100/7 cm (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
154
A B
P
Q
O
22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferên-cia de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa circunferência. Determine a medida do segmento BQ, sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.
A t
B
C
D E
24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à circunferência no ponto A e paralela ao segmento DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do segmento BD será:
a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6
25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-rência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectiva-mente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale:
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale
a)
b)
c)
d)
e)
63251255825
5625115
A
B C
D
E
F
Jeca 89
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
155
A B
P
Q
O
22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferên-cia de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa circunferência. Determine a medida do segmento BQ, sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.
A t
B
C
D E
24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à circunferência no ponto A e paralela ao segmento DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do segmento BD será:
a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6
25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-rência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectiva-mente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale:
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale
a)
b)
c)
d)
e)
63251255825
5625115
A
B C
D
E
F
Jeca 89
A B
P
Q
A B
x
x + 3
2 10
2 10
a
b
ba
Semelhança de triângulos
x + 3
2 10=
x
2 10
2x + 3x - 40 = 0
x = -8 ou x = 5
x = 5 cm (resp)
6 5
7
a
b q
q
b
b
P
Os ângulosPAB , ADE e BCA sãocongruentes e iguais a b.
PAB e ADE são colaterais internosPAB = b é ângulo de segmentoBCA = b é ângulo inscrito
Semelhança de triângulos.
60 = 6x + 366x = 24x = 4 (resp)
612
=5
x + 6
x
A
D
B
C
E
F
G
5
74
3
6
x
y
Potência de ponto EB.EA = EC.ED5.(5 + 7) = 4.(4 + y + 3)y = 8
Potência de pontoAG.GF = DG.GC6 . x = 3 . 8x = 4 Resposta d
4
3
5
3/2h
b3 - b
Semelhança de triângulos
h4
3 - b 3/25
=3
=
h = 12/10
b = 21/10
S = b . h 1210
21= .
10=
252100
S 6325
= Resposta a
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
156
01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.
A
B C
D E
12 cm
8 cm
x y
9 cm
11 cm
A
B
C D
E
02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.
A B
CD
E
8 cm
14 cm
d
6 c
m
03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm, CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD.
3 cm
5 cm
x4
cm
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaSemelhança de triângulos e
Potência de ponto.Exercícios complementares da aula 08.
Jeca 90
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
157
01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.
A
B C
D E
12 cm
8 cm
x y
9 cm
11 cm
A
B
C D
E
02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.
A B
CD
E
8 cm
14 cm
d
6 c
m
03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm, CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD.
3 cm
5 cm
x4
cm
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaSemelhança de triângulos e
Potência de ponto.Exercícios complementares da aula 08.
Jeca 90
Semelhança de triângulos
x = 9 . 8 / 12 = 6 cmy = 11 . 8 / 9 = 88 / 9 cm (resp)
x9
y
11812
= =
D AEB ~ D CDE
6 - d bB
hH
=
=814
6 - dd
d = 42/11 cm (Resp.)
a
b
b
a
8
5
10
x
y
z
Pitágoras
2 2 2x = 8 + 10
2x = 64 + 100 = 164
x = 2 41 cm
Os triângulos ABC e DEC são semelhantes pelocaso AA.
85
=10y
xz=
8.y = 50
y = 50/8 = 25/4 cm
8.z = 5.x = 5 . 2 41
z = 5 41 /4 cm
Semelhança de triângulos.
35
=x
x + 4
5x = 3x + 122x = 12x = 6 cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
158
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.
A B
CD
E
3 c
m
4 cm
A
B C
D
06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e determinar a medida do segmento BC.
A B
CD
E
P
07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB.
a
a
08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC.
A
B CD E
FG
h =
8 c
m
A
Ex
09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que forneça t como função de x , y e z.
B C Dy z
t
Jeca 91
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
159
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.
A B
CD
E
3 c
m
4 cm
A
B C
D
06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e determinar a medida do segmento BC.
A B
CD
E
P
07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB.
a
a
08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC.
A
B CD E
FG
h =
8 c
m
A
Ex
09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que forneça t como função de x , y e z.
B C Dy z
t
Jeca 91
a b
b
b a
a
4 cm
2 2 2Pitágoras (AC) = 3 + 4 = 25 AC = 5 cm
Semelhança de triângulos.DADC ~ DABE
ADBE
=ACAB
DCAE
=
= =3
BE54
4AE
BE = 3 . 4 / 5 = 12 / 5 cmAE = 4 . 4 / 5 = 16 / 5 cm (resp)
A
B C
D
B C
14
x
4
x
aa
bc
cb 4
xx
14=
2x = 4 . 14
x = 2 14 cm (Resp.)
C é um vértice comum aosdois triângulos.Os triângulos são semelhantespelo caso AA.
a q
q
ab
b
Os triângulos ABP e DEP são semelhantes pelo caso AA.
APDP
=PBPE
Portanto AP x PE = DP x PB (CQD)
a b
q
a b
x
x
8 - x
Os triângulos AGF e ABC são semelhantes pelo caso AA.
x16
=8 - x
8
16 cm
128 - 16x = 8x
24x = 128
x = 128/24 = 16/3 cm
2 2 2S = x = (16/3) = (256/9) cm Resposta
a
90 - a
90 - aa
Os triângulos CDE e ABC são semelhantes pelo caso AA.
ty =
zx
t =y . z
xResposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
160
A
B C
D
E
10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e CE.
A
B CD
E
11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm. Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do segmento DE.
12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm, determinar a medida do lado AC desse triângulo.
13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6 cm, determinar a medida do segmento CN.
A
B C D
N
M
14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm, AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.
h
A
B CD
E
O
Jeca 92
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
161
A
B C
D
E
10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e CE.
A
B CD
E
11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm. Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do segmento DE.
12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm, determinar a medida do lado AC desse triângulo.
13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6 cm, determinar a medida do segmento CN.
A
B CD
N
M
14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm, AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.
h
A
B CD
E
O
Jeca 92
A
B C
A
D
E
a
b
a
q
a
b
qb
b
12
8
9
5
ABAE
=ACAD
BCDE
=
= =12AE
9AD
85
AE = 12 . 5 / 8 = 15 / 2 cmAD = 9 . 5 / 8 = 45 / 8 cm (resp)
P
5
5
5 5 6
11
60º120º60º
120º
Seja P ponto médio de BC.
Então MP // AC MP = AC/2 = 10/2 = 5 cmDBMP é equilátero..Então os ângulos MPD e NCD são congruentes.
Semelhança de triângulos DMPD ~ DNCD
NC = 30/11 cm (resp)
5 NC5
611
=
34
3x
a b
a
b
Os triângulos são semelhantes pelo caso AA.
Pitágoras
2 2 2y = 3 + 4 = 25
y = 5
y
Semelhança de triângulos
x3
=35
x = 9/5 cm Resposta
A
B C
E
F
4
5
6 c
m
C
F
4
B
E
5
A
a
b
a
b
6 c
m
Semelhança de triângulos
x
x6
45
=
x = 24/5 cm Resposta
a
a
bb 10
30
6Semelhança de triângulos. D ABD ~ D ACE
630
=h
10
h = 2 cm Resposta
Observação - Os ângulos ABC e AEC sãocongruentes pois são ângulos inscritos no mesmo arco AC.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
162
15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm e 8 cm.
12 cm
8 cm
8 cm
5 cm
x
x
xt y
16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e de y.
17) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida do perímetro do menor quadrado.
A B
CD M
P
h
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD, provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP.
A M N B
PQ
C
4 c
m
19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse retângulo.
20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de ABCD.
A B
CD
Jeca 93
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
163
15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm e 8 cm.
12 cm
8 cm
8 cm
5 cm
x
x
xt y
16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e de y.
17) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida do perímetro do menor quadrado.
A B
CD M
P
h
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD, provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP.
A M N B
PQ
C
4 c
m
19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse retângulo.
20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de ABCD.
A B
CD
Jeca 93
5
8 - 5 = 3
Semelhança de triângulos.
x = 5 . 5 / 3 = 25 / 3 cm (resp)
5
35
5x
=
y
y
t - y
yx =
t - yy
Semelhança de triângulos
2y = x.(t - y)
2x = y /(t - y) Resposta
4
8 - x x
x8
=
8
8 - x4
Semelhança de triângulos
4x = 64 - 8x
12x = 64
x = 64/12 = 16/3 cm
Per = 2p = 4x = 64/3 cm Resposta
9
x x
a b
ab
9 - h
2xOs triângulos ABP e MCP são semelhantes pelo caso AA.
2xx
=9 - h
h
2h = 9 - h
3h = 9
h = 3 cm Resposta
4 cm
x
y
4 - xSemelhança de triângulos.
y
4=
4 - x4
x + y = 4
Per = 2p = x + y + x + y
Per = 4 + 4 = 8 cm Resposta
8
14
6
hSemelhança de triângulos.
hh + 6
=814
14h = 8h + 48
6h = 48
h = 8 cm
d = h + 6
d = 8 + 6
d = 14 cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
164
21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O .3
AB
C
O O O1 2 3
r
22) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x12 c
m
14 cm
10 cm
15 cm
23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine a medida do perímetro desse retângulo.
12
cm
16 cm
A B
CD
a
a
24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.
A
B C
D E
16 cm
5 cm
9 cm 11 cm
25) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
x
6 cm
5 cm
7 cm
a
a
26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.A
B C
D
E
x
x
Jeca 94
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
165
21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O .3
A
BC
O O O1 2 3
r
22) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x12 c
m
14 cm
10 cm
15 cm
23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine a medida do perímetro desse retângulo.
12
cm
16 cm
A B
CD
a
a
24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.
A
B C
D E
16 cm
5 cm
9 cm 11 cm
25) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
x
6 cm
5 cm
7 cm
a
a
26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.A
B C
D
E
x
x
Jeca 94
R R R R R
RR
x
Semelhança de triângulos.
x = 3R / 52 2 2
Pitágoras R = y + (3R/5)2 2 2 2 y = R - 9R /25 = 16R /25
BC = 2y = 2 . 4R/5 = 8R/5 Resposta
3R5R
=xR
y
1224
x14
15
a
b
q
b q
a
Semelhança de triângulos
x12
=1524
x = 12 . 15 / 24 = 180 / 24
x = 15/2 cm Resposta
h
2h
12 - h
Semelhança de triângulos
2h16
=12 - h
12
24h = 192 - 16h
40 h = 192
h = 192/40
Perímetro = 2p = 6h
2p = 6 . 192/40 = 144/5 cm Resposta
x y
Semelhança de triângulos
xx + 9
y=
y + 11516
=
16x = 5x + 45
11x = 45
x = 45/11 cm
16y = 5y + 55
11y = 55
y = 55/11 = 5 cm cm
Respostas
56
6 + x 12
a
a
bb
q
q
Semelhança de triângulos
6 + x5
=126
36 + 6x = 60
6x = 24
x = 24/6 = 4
x = 4 cm Resposta
7
15
916
xy
a b
q
q
a
b
Semelhança de triângulos
x9
=y
16715
=
x = 9 . 7 / 15
x = 21 / 5 cm
y = 16 . 7 / 15
y = 112 / 15 cm
Respostas
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
166
27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm, PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
B
C
DP
O
A
B
C
D
M
O
28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
B C
D
P
O
29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
C
B
P
D
30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
AB
C
D
E
F
31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t, determine t em função de x, y e z.
Jeca 95
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
167
27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm, PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
B
C
DP
O
A
B
C
D
M
O
28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
B C
D
P
O
29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
C
B
P
D
30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
AB
C
D
E
F
31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t, determine t em função de x, y e z.
Jeca 95
Potência de ponto.
PA x PC = PB x PD
4 . 6 = PB . 8
PB = 24 / 8 = 3 cm (resp)
4
6
8
Potência de ponto.
AM x MC = BM x MD
9 . 4 = x . x2x = 36
x = 6 cm
BD = 2.x = 12 cm Resposta
x
x
9
4
Potência de ponto.
PA x PD = PB x PC
5 . (5 + 9) = x . (x + 10)2x + 10x - 70 = 0
Raízes
x = - 95 - 5 (não convém)
x = ( 95 - 5) cm Resposta
5
9
10 x
Potência de ponto.
2(PD) = PA x PB
2x = 17 . 5
x = 85 cm Resposta6
x
5
6
xy
z
t
Potência de ponto.
AD x AB = AF x AE
x.(x + y) = z.(z + t)
2x.(x + y) = z + z.t
2x.(x + y) - z = z.t
2t = [x.(x + y) - z ] / z Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
168
Respostas dos exercícios da Aula 08.
01) 8
02) 6 cm e (26 / 3) cm
03) (42 / 5) cm e (120 / 7) cm
04) 15 cm e 9 cm
05) (108 / 13) cm
06) (48 / 5) cm
07) (14 / 3) cm
08) 24 / 5
09) 4 cm
10 ) h(y - x) / x
11) 16 cm
12) (10 - 2 15 ) cm ou (10 + 2 15 ) cm
13) x . y
14) 16
15) 8
16) 7
17) 2 19
18) (39 / 5) cm
19) (9 / 4) m
20) (100 / 7) cm
21) 9
22) 5 cm
23) a
24) c
25) d
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 96
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
169
Respostas dos exercícios complementares da Aula 08.
01) 6 cm e (22 / 3) cm
02) 2 41 cm, (25 / 4) cm e (5 41 / 4) cm
03) (42 / 11) cm
04) 6 cm
05) (16 / 5) cm e (12 / 5) cm
06) 2 14 cm
07) demonstração - Utilizando ângulos inscritos prova-se que os triângulos são semelhantes.
208) (256 / 9) cm
09) y . z / x
10) (15 / 2) cm e (3 / 2) cm
11) (9 / 5) cm
12) (24 / 5) cm
13) (30 / 11) cm
14) 2 cm
15) (25 / 3) cm
216) y / (t - y)
17) (64 / 3) cm
18) 3 cm
19) 8 cm
20) 14 cm
21) 8R / 5
22) (15 / 2) cm
23) (144 / 5) cm
24) (45 / 11) cm e 5 cm
25) 4 cm
26) (21 / 5) cm e (112 / 15) cm
27) 3 cm - potência de ponto.
28) 12 cm - potência de ponto.
29) ( 95 - 5) cm - potência de ponto.
30) 85 cm - potência de ponto.
231) [x(x + y) - z ] / z
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 97
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
170
I) Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema. Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos menores, que são semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo original.
A
B CH
bc
a
m n
h
2 2 2c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c
II) Teorema de PItágoras.
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
A
B C
bc
a
2 2 2a = b + c
A
B CH
III) Exercícios.
01) Na figura abaixo, sabendo-se que AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, BH, HC e AH.
A
B CH
02) Na figura abaixo, sabendo-se que BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, AC, AB e AH.
A
B CH
03) Na figura abaixo, sabendo-se que AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-mine as medidas de HC, HB, AB e BC.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 09
Relações métricas no triângulo retângulo.Teorema de Pitágoras.
Jeca 98
Observação - Os segmentos m e n são as projeções
ortogonais dos catetos b e c sobre a hipotenusa a.
(GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
171
A
B CH
III) Exercícios.
01) Na figura abaixo, sabendo-se que AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, BH, HC e AH.
A
B CH
02) Na figura abaixo, sabendo-se que BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, AC, AB e AH.
A
B CH
03) Na figura abaixo, sabendo-se que AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-mine as medidas de HC, HB, AB e BC.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 09
Relações métricas no triângulo retângulo.Teorema de Pitágoras.
Jeca 98
5 9
m n
h
a
2 2 2a = b + c
2 2 = 9 + 5 = 81 + 25 = 106
a = BC = 106 cm
2c = a . m
25 = 106 . BHBH = 25 / 106 = 25 106 / 106 cm
2b = a . n
29 = 106 . HCHC = 81 / 106 = 81 106 / 106 cm
a . h = b . c 106 . h = 9 . 5h = 45 / 106 = 45 106 / 106 cm
3 9 cm
BC = 3 + 9 = 12 cm
2(AC) = 12 . 9 = 108
AC = 108 = 6 3 cm
2(AB) = 12 . 3 = 36
AB = 6 cm
2(AH) = 3 . 9 = 27
AH = 3 3 cm
2b = a . n
2c = a . m
2h = m . n
3
5 cm
Pitágoras
2 2 25 = 3 + (HC)
HC = 4 cm
23 = 4 . BH
BH = 9/4 cm
2(AB) = (4 + 9/4) . 9/4 = 225/16
AB = 225/16 = 15/4 cm
BC = BH + HC = 9/4 + 4 = 25/4 cm
2h = m . n
2c = a . m
I) Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema. Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos menores, que são semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo original.
A
B CH
bc
a
m n
h
2 2 2c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c
II) Teorema de PItágoras.
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
A
B C
bc
a
2 2 2a = b + c
Observação - Os segmentos m e n são as projeções
ortogonais dos catetos b e c sobre a hipotenusa a.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
172
06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8. Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de modo que DQ = 7. Qual é a distância entre os pontos P e Q ?
a) 83
b) 4 5
c) 78
d) 2 19
e) 89
05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas diagonais medem 12 cm e 6 cm ?
a) 4 39
b) 12 5
c) 16 3
d) 8 13
e) 8 14
07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre os pontos P e Q ?
A B
CD
a) 274
b) 269
c) 2 14
d) 5 10
e) 246
08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta secante que dista 5 cm do centro da mesma, determina nessa circunferência uma corda de comprimento 24 cm ?a) 8 cmb) 13 cmc) 15 cmd) 17 cme) 19 cm
a
b
c
d
09) Na figura abaixo, medida de a, em função de b, c, e d, é :
2 2 2a) a = b + c + d
2 2 2b) a = b + c - d
2 2 2c) a = b - c - d
2 2 2d) a = d - b - c
2 2 2 e) a = d - b + c
x13 cm
10 cm
04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abai-xo.
Jeca 99
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
173
06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8. Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de modo que DQ = 7. Qual é a distância entre os pontos P e Q ?
a) 83
b) 4 5
c) 78
d) 2 19
e) 89
05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas diagonais medem 12 cm e 6 cm ?
a) 4 39
b) 12 5
c) 16 3
d) 8 13
e) 8 14
07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre os pontos P e Q ?
A B
CD
a) 274
b) 269
c) 2 14
d) 5 10
e) 246
08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta secante que dista 5 cm do centro da mesma, determina nessa circunferência uma corda de comprimento 24 cm ?a) 8 cmb) 13 cmc) 15 cmd) 17 cme) 19 cm
a
b
c
d
09) Na figura abaixo, medida de a, em função de b, c, e d, é :
2 2 2a) a = b + c + d
2 2 2b) a = b + c - d
2 2 2c) a = b - c - d
2 2 2d) a = d - b - c
2 2 2 e) a = d - b + c
x13 cm
10 cm
04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abai-xo.
Jeca 99
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Pitágoras2 2 2
13 = 10 + x
2x = 169 - 100 = 69
x = 69 cm (resp)
3
6 cm
x
Pitágoras
2 2 2x = 3 + 6
2x = 9 + 36 = 45
x = 45 = 3 5 cm
Perímetro = 2p = 4 . x
2P = 12 5 cm Resposta b
A B
CD
3 12P
3 4 8
8 cm8 x
Q
Pitágoras2 2 2x = 8 + 4 2x = 64 + 16 = 80
x = 80 = 4 5 cm Resposta b
2
5
1
8
15 cm
x
Pitágoras2 2 2x = 5 + 15 2
x = 25 + 225 = 250
x = 250 = 5 10 cm Resposta d
5
12 cm
R
Pitágoras
2 2 2R = 5 + 12
2R = 25 + 144 = 169
R = 13 cm Resposta b
x
Pitágoras
2 2 2x = a + b
2 2 2 2 2 2d = x + c = a + b + c
2 2 2 2a = d - b - c
2 2 2a = d - b - c Resposta d
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
174
A B
CD
E
F
G
H
P1
11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1, então a mede:
a)
b)
c)
d)
e)
2
2 - 1
2
3 - 1
2
2 - 1
2
22
10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem cate-tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a distância AP ?
13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O segmento RM é perpendicular a PQ e RM Calcule:a) o raio da circunferência;b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da circunferência.
4 3=3
.
P
QR
M
O
A B
CD
d
d d
12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-termine a distância d entre P e A sabendo que o ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD.
P
8 cm
x
24 cmpresilha
parede
tubo
parafuso
15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma pare-de por meio de uma presilha retangular, como mostra a figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede, vale:a) 16 cmb) 17 cmc) 18 cmd) 19 cme) 20 cm
A
B
C D
E
12
cm
16 cm
14) A figura abaixo representa um retângulo e três cir-cunferências, sendo duas idênticas maiores e uma menor destacada. Determine o raio da circunferência menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de tangência.
Jeca 100
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
175
A B
CD
E
F
G
H
P1
11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1, então a mede:
a)
b)
c)
d)
e)
2
2 - 1
2
3 - 1
2
2 - 1
2
22
10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem cate-tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a distância AP ?
13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O segmento RM é perpendicular a PQ e RM Calcule:a) o raio da circunferência;b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da circunferência.
4 3=3
.
P
QR
M
O
A B
CD
d
d d
12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-termine a distância d entre P e A sabendo que o ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD.
P
8 cm
x
24 cmpresilha
parede
tubo
parafuso
15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma pare-de por meio de uma presilha retangular, como mostra a figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede, vale:a) 16 cmb) 17 cmc) 18 cmd) 19 cme) 20 cm
A
B
C D
E
12
cm
16 cm
14) A figura abaixo representa um retângulo e três cir-cunferências, sendo duas idênticas maiores e uma menor destacada. Determine o raio da circunferência menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de tangência.
Jeca 100
A
B
C
P
E
d
d
4
3 -
d
3 b
a
2 2 2Pitágoras (BC) = 3 + 4BC = 5 cm
Semelhança de triângulos.
5d = 12 - 4d9d = 12d = 12/9 = 4/3
3 - d
b
5=
d
4
RR - 8
12
Pitágoras
2 2 2R = (R - 8) + 12
Resolvendo, tem-se
R = 13 cm
x = 2R - 8 = 26 - 8 = 18 cm Resposta c
1a
(Diagonal do quadrado de lado a) d = a 2
a 2 = 1 + a + 1
a 2 = a + 2
a 2 - a = 2
a = 2
2 - 1Resposta e
16
8
16 - d
8
Pitágoras
2 2 2d = 8 + (16 - d)
2 2d = 64 + 256 - 32d + d
32d = 320
d = 10 cm Resposta
4
4
R
R -
Pitágoras
2 2 2R = 4 + (R - )
2 2R = 16 + R - 8R 3 /3 + 16/3
R 3 = 8
R = 8 3 /3 cm Resposta
b) sen (MOQ) = 4/R = 3 /2 MOQ = 60º
Portanto POQ = 2 . MOQ = 2 . 60 = 120º Resposta
4 33
4 33
4 33
a)
44 4 4
R
R +
4 8 - R
Pitágoras
2 2 2(R + 4) = (8 - R) + 4
2 2R + 8R + 16 = 64 - 16R + R + 16
24R = 64
R = 64/24 = 8/3 cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
176
16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é:
h
a)
b)
c)
d)
e)
1 + 7
7
2
31 +
1 + 73
1 + 74
74
1 +
2,5
C
A D E
B
O
17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e AE = 9 cm.
A
B C
O
18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência.
OP
T
A
19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 101
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
177
16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é:
h
a)
b)
c)
d)
e)
1 + 7
7
2
31 +
1 + 73
1 + 74
74
1 +
2,5
C
A D E
B
O
17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e AE = 9 cm.
A
B C
O
18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência.
OP
T
A
19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 101
1 m
3/4 m
x
Pitágoras2 2 2
1 = x + (3/4)2 x = 1 - 9/16 = 7/16
x = 7 / 4
h = x + 1 = 1 + 7 / 4 m (resp)
R
2
9
9 - R
R - 2
2Pitágoras
2 2 2R = (R - 2) + (9 - R)
2 2 2R = R - 4R + 4 + 81 - 18R + R
2R - 22R + 85 = 0
Raízes
R = 17 cm (não convém porque é maior que 9)
R = 5 cm Resposta
3 1
0
3 3
Pitágoras
2 2 2(3 10 ) = h + 3
290 = h + 9
2h = 81
h = 9 cm
Pitágoras
h
R
9 - R
2 2 2R = 3 + (9 - R)
2 2R = 9 + 81 - 18R + R
18R = 90
R = 5 cm Resposta
15 cm
9
R
R
Pitágoras
2 2 2(R + 9) = R + 15
2 2R + 18R + 81 = R + 225
18R = 144
R = 8 cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
178
A
B CH
D
E
20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no ponto H. Determine a área da região sombreada na figura. A
B CD
21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. Determine a medida da altura AD do triângulo ABC.
A B
CD
E
22) A figura abaixo representa um quadrado de lado 16 cm, um arco de circunferência com centro em A e raio AB e uma circunferência de centro em E, que tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a medida do raio da circunferência.
OA
B
C D
E
23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D estão alinhados. Determine a medida do raio da cir-cunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e AE = 15 cm.
Jeca 102
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
179
A
B CH
D
E
20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no ponto H. Determine a área da região sombreada na figura. A
B CD
21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. Determine a medida da altura AD do triângulo ABC.
A B
CD
E
22) A figura abaixo representa um quadrado de lado 16 cm, um arco de circunferência com centro em A e raio AB e uma circunferência de centro em E, que tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a medida do raio da circunferência.
OA
B
C D
E
23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D estão alinhados. Determine a medida do raio da cir-cunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e AE = 15 cm.
Jeca 102
12 16h
a
2 2 2Pitágoras a = 12 + 16 = 144 + 256 = 400
a = 20 cm
20 . h = 16 . 12
h = 192 / 20 = 48 / 5 cm
mas h = raio do setor circular
2S = S - S = 12 . 16 / 2 - p . (48/5) / 4Triâng Setor
2S = (96 - 576p/25) cm (resp)
a . h = b . c
r x
r
16
AC = diagonalAC = 16 2
EC = diagonalEC = r 2
AC = 16 + r + r 2
16 2 = 16 + r + r 2
2r = 16( 2 - 1)
r = 16(3 - 2 2 ) cm (resp)
5 7
10
h
x 10 - x
Pitágoras
2 2 2 2 25 = h + x h + x = 25
2 2 27 = h + (10 - x)
2 249 = h + 100 - 20x + x
2 249 = (h + x ) - 20x + 100
49 = 25 - 20x + 100
20x = 125 - 49 = 76
x = 76/20 = 19/5
2 2h + (19/5) = 25
2h = 25 - 361/25 = (625 - 361)/25 = 264/25
h = 264/25 = 2 66 /5 cm Resposta
9
8 cm
7
R R
x
Pitágoras
2 2 215 = 9 + x
2x = 225 - 81 = 144
x = 12 cm
Semelhança de triângulos
2R15
=8
12
2R = 120/12 = 10
R = 5 cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
180
01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.
h
m n
6 cm
8 cm
a
A
B C
02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.
x
y zt
3 cm9 cm
03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.
A
B
C
xy
zt
04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.
a)
x
7 c
m
9 cm
13 cm
12 cm
xx12 cm
9 cm
b) c)
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaRelações métricas num triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.Exercícios complementares da aula 09.
Jeca 103
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
181
01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.
h
m n
6 cm
8 cm
a
A
B C
02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.
x
y zt
3 cm9 cm
03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.
A
B
C
xy
zt
04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.
a)
x
7 c
m
9 cm
13 cm
12 cm
xx12 cm
9 cm
b) c)
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaRelações métricas num triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.Exercícios complementares da aula 09.
Jeca 103
2 2 2a = b + c
2 2 = 8 + 6 = 100
a = 10 cm (resp)
2b = a . n
2c = a . m
a . h = b . c
28 = 10 . nn = 64/10 = 32/5 cm (resp)
26 = 10 . mm = 36/10 = 18/5 cm (resp)
10 . h = 8 . 6h = 48/10 = 24/5 cm (resp)
x = 9 + 3 = 12 cm
2y = 9 . 3 = 27
y = 3 3 cm
2h = m . n
Pitágoras
2 2 2t = y + 9 = 27 + 81 = 108
t = 108 = 6 3 cm
2z = 12 . 3 = 36
z = 6 cm
2 2 2a = b + c
2b = a . n
9
12
Pitágoras
2 2 2x = 9 + 12 = 225
x = 15 cm
29 = 15 . y
y = 81 / 15 = 27/5 cm
2 2 2a = b + c
2b = a . n
2c = a . m
a . h = b . c
212 = 15 . z
z = 144 / 15 = 48 / 5 cm
15 . t = 9 . 12
t = 108 / 15 = 36 / 5 cm
Pitágoras
2 2 2x = 7 + 9
2x = 49 + 81 = 130
x = 130 cm Resposta
Pitágoras
2 2 213 = x + 12
2x = 169 - 144 = 25
x = 5 cm Resposta
Pitágoras
2 2 212 = x + 9
2x = 144 - 81 = 63
x = 3 7 cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
182
05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z.
xy
z
06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.
da a
a
a
07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a.
a
a ah
08) Determine x, y e z na figura abaixo.
1 cm
1 cm1 cm
1 cmx
y
z
09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.
x
y 10
14
6
10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.
Jeca 104
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
183
05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z.
xy
z
06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.
da a
a
a
07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a.
a
a ah
08) Determine x, y e z na figura abaixo.
1 cm
1 cm1 cm
1 cmx
y
z
09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.
x
y 10
14
6
10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.
Jeca 104
2 2 2y = x + z
2 2 2x = y - z
2 2x = y - z (resp)
A B
CD
I
J
x
x
x
x
25 - x
1515
Pitágoras
2 2 2x = 15 + (25 - x)
Resolvendo, tem-se
x = 17 cm (Resposta)
Pitágoras
2 2 2 2d = a + a = 2a
2d = 2a
d = a 2 Resposta
a/2
Pitágoras
2 2 2a = h + (a/2)
2 2 2h = a - (a/2)
2 2h = 3.a /4
h = a 3 /2 Resposta
Pitágoras
2 2 2x = 1 + 1 = 2
x = 2
2 2 2y = x + 1 = 2 + 1 = 3
y = 3
2 2 2z = y + 1 = 3 + 1 = 4
z = 4 = 2 Respostas
Pitágoras
2 2 26 = x + y
2 2x + y = 36
2 2 214 = x + (y + 10)
2 2196 = x + y + 20y + 100
196 = + 20y + 100
20y = 196 - 100 - 36 = 60 y = 3
2x = 36 - 9 = 27 x = 3 3 Resposta
36
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
184
11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio de AD, calcule a medida de CM em centímetros.
A
B CD
M
13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE me-de 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a medida de AD.
A
B C
D
E
60º
3
3
1
14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 4. Determine o raio da circunferência inscrita no quadrado ABCD.
A
B
C
D
16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k e duas circunferências interiores tangentes entre si e tangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-ferência menor em função de k.
15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, determine a medida da diagonal AC sabendo-se que AB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.
A B
CD
A
BC D
12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente, determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 105
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
185
11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio de AD, calcule a medida de CM em centímetros.
A
B CD
M
13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE me-de 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a medida de AD.
A
B C
D
E
60º
3
3
1
14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 4. Determine o raio da circunferência inscrita no quadrado ABCD.
A
B
C
D
16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k e duas circunferências interiores tangentes entre si e tangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-ferência menor em função de k.
15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, determine a medida da diagonal AC sabendo-se que AB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.
A B
CD
A
BC D
12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente, determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 105
8 8
4 4
2 2 2(AD) = 8 - 4 = 64 - 16 = 48
AD = 48 = 4 3 cm
DM = AD/2 = 2 3 cm
2 2 2(CM) = (DM) + (CD)
2 2 2(CM) = (2 3 ) + 4
2(CM) = 12 + 16 = 28
CM = 28 = 2 7 cm (resp)
a
tg a = 3 /1 = 3
a = 60º
Pitágoras
2 2 2y = ( 3 ) + 1 = 4
y = 2
O triângulo ADB é retângulo
2 2 2x = ( 3 ) + 2
Portanto x = 7 (Resposta)
= 30º
x
y
10 cm
6
R
RPitágoras
2 2 2(R + 6) = R + 10
2 2R + 12R + 36 = R + 100
12R = 64
R = 64/12 = 16/3 cm Resposta
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
2R
2R
Pitágoras
2 2 2(2R) = (1/2) + (1/2)
24R = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
2R = 1/8
R = 1/8
R = 1 / 2 2
R = 2 /4 Resposta
6 cm
5 cm
6 4
h
Pitágoras
2 2 25 = 4 + h h = 3 cm
2 2 2(AC) = 6 + 3 = 36 + 9 = 45
AC = 45 = 3 5 cm Resposta
r
r 2
r
r
k/2O
A
E
E
A
OA = (k/2) 2 (diagonal de um quadrado de lado k/2)
k/2
k 22
=k2
+ r 2r + k( 2 - 1)2
r(1 + 2 )=
r =k(3 - 2 2 )
2Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
186
17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse trapézio.
8 cm
2 cm
h
18) Os raios das circunferências de centros A e B medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ, sendo P e Q pontos de tangência.
A
A
B
B
P
P
Q
Q
19) Os raios das circunferências de centros A e B medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de tangência, calcule a distância PQ.
20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm. Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T ponto de tangência.
O
T
22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2, determine o raio da circunferência menor.
A BC
D
21) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x
6
8
12
Jeca 106
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
187
17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse trapézio.
8 cm
2 cm
h
18) Os raios das circunferências de centros A e B medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ, sendo P e Q pontos de tangência.
A
A
B
B
P
P
Q
Q
19) Os raios das circunferências de centros A e B medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de tangência, calcule a distância PQ.
20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm. Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T ponto de tangência.
O
T
22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2, determine o raio da circunferência menor.
A BC
D
21) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x
6
8
12
Jeca 106
4
1
3
2 2 25 = 3 + h
2h = 25 - 9 = 16
h = 4 cm (resp)
32
9 cm
5
2
2
d
d
Pitágoras
2 2 29 = 7 + d
2d = 81 - 49 = 32
d = 4 2 cm (Resposta)
y
Pitágoras
2 2 2 2 2 6 = x + y x + y = 36
2 2 212 = y + (x + 8)
2 2144 = y + x + 16x + 64
144 = 36 + 16x + 64
16x = 144 - 100
x = 44/16 = 11/4 Resposta
>
5
3 3
13 cm
x
x
Pitágoras
2 2 213 = 5 + x
2x = 169 - 25 = 144
x = 12 cm Resposta
4 4
R 8 - R
R
Pitágoras
2 2 2R = 4 + (8 - R)
2 2R = 16 + 64 - 16R + R
16R = 80
R = 5 cm Resposta
2 2
2
R
R
4 - R
Pitágoras
2 2 2(2 + R) = 2 + (4 - R)
2 24 + 4R + R = 4 + 16 - 8R + R
12R = 16
R = 16/12 = 4/3 Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
188
10 cm
3 cm 3 cm
A
BD
C
23) Na figura abaixo, determine AB e AD.
20 cm
24) (Jeca) Na figura, estão representados dois círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine a medida do lado AD do retângulo.
A B
CD
27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados desse triângulo e o seu perímetro.
25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são tangentes externamente. Determine a medida de um segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da reta AB com as circunferências. 8 cm
y
7 cm
x
26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.
A B
86
x
A B
C
D
E
6 6
2
28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.
h
A
B C
Jeca 107
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
189
10 cm
3 cm 3 cm
A
BD
C
23) Na figura abaixo, determine AB e AD.
20 cm
24) (Jeca) Na figura, estão representados dois círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine a medida do lado AD do retângulo.
A B
CD
27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados desse triângulo e o seu perímetro.
25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são tangentes externamente. Determine a medida de um segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da reta AB com as circunferências. 8 cm
y
7 cm
x
26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.
A B
86
x
A B
C
D
E
6 6
2
28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.
h
A
B C
Jeca 107
2 2 210 = 6 + y
2y = 100 - 36 = 64y = 8 cm
2 2 2x = 3 + 8
2x = 9 + 64 = 73
x = 73 cm (resp)
xy
8
x
5
8 + 5 = 13
8 5y
8 + y + 5 = 20y = 20 - 13 = 7
Pitágoras2 2 2
13 = 7 + x2
x = 169 - 49 = 120x = 120 = 2 30
AD = 8 + x + 5
AD = (13 + 2 30 ) cm (resp)
142x
Pitágoras
2 2 214 = 2 + x
2x = 196 - 2 = 192
x = 8 3 cm
Resposta
Pitágoras
2 2 2(x + y) = 7 + 8 = 113
x + y = 113 cm
Relações métricas no triângulo retângulo.
2c = a . m
2b = a . n
27 = 113 . x
x = 49 . 113 / 113 cm
28 = 113 . y
y = 64 . 113 / 113 cm
Respostas
3
5
3
xPitágoras
2 2 25 = 3 + x
x = 4 cm
y
Semelhança de triângulos
3y
x8
=
3y
48
=
y = 6 cm
Pitágoras
2 2 2(AB) = 6 + 8 AB = 10 cm
AB = AC = 10 cm , BC = 2 . 6 = 12 cm
Perímetro = AB + AC + BC = 32 cm Respostas
RR - 2
Pitágoras
2 2 2R = (R - 2) + 6
2 2R = R - 4R + 4 + 36
4R = 40
R = 10 cm
CD = R - 2 = 10 - 2
CD = 8 cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
190
30) A figura abaixo representa 4 circunferências de raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio da circunferência menor.
29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h.
h
A
B C
5 cm
2 13 cm
9 cm
A B
CD E
F
31) O retângulo ABCD da figura abaixo tem lados AB = 40 cm e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a medida do segmento BF.
33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10 cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem base na reta AB. Determine a medida do lado desse quadrado.
A B
34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices diagonalmente opostos coincidam. Determine o comprimento do vinco (dobra).
6
8
32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figu-ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a dis-tância de A a D’.
figura 1 figura 2
A B
CD
A BD’x
Determine a função que expressa a área do triângulo sombreado em função de x.
(Fazer a resolução em outro espaço)
Jeca 108
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
191
30) A figura abaixo representa 4 circunferências de raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio da circunferência menor.
29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h.
h
A
B C
5 cm
2 13 cm
9 cm
A B
CD E
F
31) O retângulo ABCD da figura tem lados AB = 40 cm e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a medida do segmento BF.
33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10 cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem base na reta AB. Determine a medida do lado desse quadrado.
A B
34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices diagonalmente opostos coincidam. Determine o comprimento do vinco (dobra).
6
8
32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figu-ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a dis-tância de A a D’.
figura 1 figura 2
A B
CD
A BD’x
Determine a função que expressa a área do triângulo sombreado em função de x.
(Fazer a resolução em outro espaço)
Jeca 108
x 9 - x
2 2 2x + h = 5 = 25
2 2 2 2 2(2 13 ) = h + (9 - x) = h + 81 - 18x + x
2 252 = x + h - 18x + 81 = 25 - 18x + 8118x = 54x = 3
2 23 + h = 25
2h = 25 - 9 = 16h = 4 cm (resp)
a
a
90 - a
6
y
x
8 - 2y
8 - y 6
yy
8 - yA B
CD
E
F
G
6
Os triângulos AEF e ADG são congruentes pelo caso A.L.A.
2 2 2Pitágoras (8 - y) = 6 + y
y = 7/4
O triângulo FGH é retângulo
Pitágoras
2 2 2x = 6 + (8 - 2.7/4) = 36 + 81/4 = 225/4
x = FG = 15/2 Resposta
yH
8
8
8 8
8
8
2r
Diagonal do quadrado delado 16 cmd = 16 2 cm
Mas d = 8 + 2r + 8 d = 16 + 2r
Então 16 2 = 16 + 2r
2r = 16 2 - 16 = 16( 2 - 1)
r = 8( 2 - 1) cm Resposta
x x
10 10 - x
10 - (x/2)
Pitágoras
2 2 210 = (10 - x) + [10 - (x/2)]
2x - 24x + 80 = 0
Raízes
x = -20 (não convém pois é maior que o raio)
x = 4 cm Resposta
x/2
Resolução na próxima página
Pitágoras
2 2 2(BD) = (AB) + (BC)
2 2 3(BD) = 40 + 30
2(BD) = 2 500
BD = 50 cm
Semelhança de triângulos
D ABF ~ D DEF
x
50 - x
a
ab
b
q
q
1030
40
4030
x50 - x
=
2 000 - 40 x = 30 x
2 000 = 70 x
x = 2 000/70 = 200/7 cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
192
Jeca 109
figura 2
A BD’x
y2
1 -
y
21
21 - y
Pitágoras
2 2 2(21 - y) = y + x
2 2 2441 - 42y + y = y + x
2-42y = x - 441
242y = 441 - x
2y = (441 - x ) / 42
Área do triânguloS = b . h /2 = x . y /2
S =
x .2
(441 - x )42
2=
3441x - x
84
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
193
Respostas dos exercícios da Aula 09.
01) 106 cm, (25 106 / 106) cm, (81 106 / 106) cm e (45 106 / 106) cm
02)12 cm, 6 3 cm, 6 cm e 3 3 cm
03) 4 cm, (9 / 4) cm, (15 / 4) cm e (25 / 4) cm
04) 69 cm
05) b
06) b
07) d
08) b
09) d
10) 4 / 3
11) e
12) 10 cm
13) a) 8 3 / 3b) 120º
14) (8 / 3) cm
15) c
16) e
17) 5 cm
18) 5 cm
19) 8 cm
220) (96 - (576p / 25)) cm
21) (2 66 / 5) cm
22) 16(3 - 2 2 ) cm
23) 5 cm
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 110
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
194
Respostas dos exercícios complementares da Aula 09.
01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm
02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm
03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm
04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm
2 2 05) x = y - z
06) d = a 2
07) h
08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm
09) x = 3 3 y = 3
10) x = 17 cm
11) CM = 2 7 cm
12) r = 16 / 3 cm
13) AD = 7
14) r = 2 / 4
15) x = 3 5 cm
16) r
17) h = 4 cm
18) d = 12 cm
19) d = 4 2 cm
20) R = 5 cm
a 32
=
=k(3 - 2 2 )
2
31) BF = 200 / 7 cm
32) A
33) x = 4 cm
34) d = 15 / 2
=3
-x + 441x84
21) x = 11 / 4
22) r = 4 / 3
23) AB = 8 cm AD = 73 cm
24) AD = (13 + 2 30 ) cm
25) AB = 8 3
26) x = 49 113 / 113 cm y = 64 113 / 113 cm
27) AB = AC = 10 cm BC = 12 cm Perím = 32 cm
28) CD = 8 cm
29) h = 4 cm
30) r = 8( 2 - 1 ) cm
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 111
2cm
Respostas dos exercícios complementares da Aula 09.
01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm
02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm
03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm
04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm
2 2 05) x = y - z
06) d = a 2
07) h
08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm
09) x = 3 3 y = 3
10) x = 17 cm
11) CM = 2 7 cm
12) r = 16 / 3 cm
13) AD = 7
14) r = 2 / 4
15) x = 3 5 cm
16) r
17) h = 4 cm
18) d = 12 cm
19) d = 4 2 cm
20) R = 5 cm
a 32
=
=k(3 - 2 2 )
2
31) BF = 200 / 7 cm
32) A
33) x = 4 cm
34) d = 15 / 2
=3
-x + 441x84
21) x = 11 / 4
22) r = 4 / 3
23) AB = 8 cm AD = 73 cm
24) AD = (13 + 2 30 ) cm
25) AB = 8 3
26) x = 49 113 / 113 cm y = 64 113 / 113 cm
27) AB = AC = 10 cm BC = 12 cm Perím = 32 cm
28) CD = 8 cm
29) h = 4 cm
30) r = 8( 2 - 1 ) cm
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 111
2cm
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
195
I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos.
Em todo triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o dobro do raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Em todo triângulo, a medida de qualquer lado depende das medidas dos outros dois lados e do ângulo entre eles.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R=
A
B C
RO
Lei dos senos
=2 2 2 x = a + b - 2.a.b.cos a
Lei dos cossenos
xa
b
a
III) Propriedades dos triângulos.
1) Em todo triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado opõe-se o menor ângulo.
2) Condição de existência de um triângulo. Em todo triângulo, a medida de qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença das medi-das dos outros dois lados.
3) Natureza de um triângulo. Quanto à natureza um triângulo pode ser:a) triângulo retângulo;b) triângulo obtusângulo;c) triângulo acutângulo.
Reconhecimento da natureza de um triângulo. Seja a o maior lado de um triân-gulo de lados a, b e c.
2 2 2- Se a = b + c triângulo retângulo.
2 2 2- Se a > b + c triângulo obtusângulo.
2 2 2- Se a < b + c triângulo acutângulo.
b - c < a < b + c
Condição de existência.
onde a, b e c são as medidasdos lados do triângulo.
a
b
c
a
b
g
a < b < c a < b < g
onde a, b e c são as medidasdos lados do triângulo.
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b
sen 2a = 2 . sen a . cos a
2 2cos 2a = cos a - sen a
IV) Pré-requisitos de trigonometria. (Poderão ser usados em exercícios mais complexos deste capítulo)
Exercícios.
01) Dados três segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um triân-gulo com esses segmentos. Se for possível, determinar a natureza desse triângulo.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 10
Relações métricas num triângulo qualquer.
Jeca 112
a
bc
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
196
I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos.
Em todo triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o dobro do raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Em todo triângulo, a medida de qualquer lado depende das medidas dos outros dois lados e do ângulo entre eles.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R=
A
B C
RO
Lei dos senos
=2 2 2 x = a + b - 2.a.b.cos a
Lei dos cossenos
xa
b
a
III) Propriedades dos triângulos.
1) Em todo triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado opõe-se o menor ângulo.
2) Condição de existência de um triângulo. Em todo triângulo, a medida de qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença das medi-das dos outros dois lados.
3) Natureza de um triângulo. Quanto à natureza um triângulo pode ser:a) triângulo retângulo;b) triângulo obtusângulo;c) triângulo acutângulo.
Reconhecimento da natureza de um triângulo. Seja a o maior lado de um triân-gulo de lados a, b e c.
2 2 2- Se a = b + c triângulo retângulo.
2 2 2- Se a > b + c triângulo obtusângulo.
2 2 2- Se a < b + c triângulo acutângulo.
b - c < a < b + c
Condição de existência.
onde a, b e c são as medidasdos lados do triângulo.
a
b
c
a
b
g
a < b < c a < b < g
onde a, b e c são as medidasdos lados do triângulo.
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b
sen 2a = 2 . sen a . cos a
2 2cos 2a = cos a - sen a
IV) Pré-requisitos de trigonometria. (Poderão ser usados em exercícios mais complexos deste capítulo)
Exercícios.
01) Dados três segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um triân-gulo com esses segmentos. Se for possível, determinar a natureza desse triângulo.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 10
Relações métricas num triângulo qualquer.
Jeca 112
a
bc
Existência|b - c| < a < b + c|12 - 8| < 15 < 12 + 84 < 15 < 20 VerdadeiroEsse triângulo existe.
Natureza2 2
a = 15 = 2252 2 2 2
b + c = 12 + 8 = 144 + 64 = 208225 > 208
2 2 2a > b + cEsse triângulo é obtusângulo.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
197
02) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir.
a) 8 cm, 15 cm e 17 cm. b) 8 cm, 15 cm e 16 cm.
c) 8 cm, 15 cm e 13 cm. d) 2 cm, 4 cm e 7 cm.
e) 5 cm, 8 cm e 13 cm. f) 10 cm, 11 cm e 12 cm.
h) 4 cm, 9 cm e 9 cm.g) 5 cm, 9 cm e 12 cm.
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Jeca 113
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
198
02) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir.
a) 8 cm, 15 cm e 17 cm. b) 8 cm, 15 cm e 16 cm.
c) 8 cm, 15 cm e 13 cm. d) 2 cm, 4 cm e 7 cm.
e) 5 cm, 8 cm e 13 cm. f) 10 cm, 11 cm e 12 cm.
h) 4 cm, 9 cm e 9 cm.g) 5 cm, 9 cm e 12 cm.
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Jeca 113
|b - c| < a < b + c|8 - 15| < 17 < 8 + 157 < 17 < 23 VerdadeiroEsse triângulo existe
2 2a = 17 = 289
2 2 2 2b + c = 8 + 15
2 2b + c = 64 + 225 = 289
2 2 2a = b + c Esse triângulo é retângulo
|b - c| < a < b + c|8 - 15| < 16 < 8 + 157 < 16 < 23 VerdadeiroEsse triângulo existe
2 2a = 16 = 256
2 2 2 2b + c = 8 + 15
2 2b + c = 64 + 225 = 289
2 2 2a < b + c Esse triângulo é acutângulo
|b - c| < a < b + c|8 - 15| < 13 < 8 + 157 < 13 < 23 VerdadeiroEsse triângulo existe
2 2a = 15 = 225
2 2 2 2b + c = 8 + 13
2 2b + c = 64 + 169 = 233
2 2 2a < b + c Esse triângulo é acutângulo
|b - c| < a < b + c|2 - 4| < 7 < 2 + 42 < 7 < 6 FalsoEsse triângulo não existe
|b - c| < a < b + c|5 - 8| < 13 < 5 + 83 < 13 < 13 FalsoEsse triângulo não existe
|b - c| < a < b + c|10 - 11| < 12 < 10 + 111 < 12 < 21 VerdadeiroEsse triângulo existe
2 2a = 12 = 144
2 2 2 2b + c = 10 + 11
2 2b + c = 100 + 121 = 221
2 2 2a < b + c Esse triângulo é acutângulo
|b - c| < a < b + c|5 - 9| < 12 < 5 + 94 < 12 < 14 VerdadeiroEsse triângulo existe
2 2a = 12 = 144
2 2 2 2b + c = 5 + 9
2 2b + c = 25 + 81 = 106
2 2 2a > b + c Esse triângulo é obtusângulo
|b - c| < a < b + c|4 - 9| < 9 < 4 + 95 < 9 < 13 VerdadeiroEsse triângulo existe
2 2a = 9 = 81
2 2 2 2b + c = 9 + 4
2 2b + c = 81 + 16 = 97
2 2 2a < b + c Esse triângulo é acutângulo
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
199
05) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-da do lado AB, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
08) Na figura abaixo, os ângulos A e B medem, res-pectivamente 75º e 45º. O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 6 cm. Determine as medidas dos lados AB e AC.
A
B C
06) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-dem, respectivamente, 60º e 45º. Determine a medi-da do lado AC, sabendo que a medida de AB é 4 cm.
A
B C
07) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-da do lado BC, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
A
B C
A
B C
Jeca 114
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
04) Utilizando a lei dos cossenos, determine a natu-reza de um triângulo de lados 10 cm, 12 cm e 16 cm.
03) Dados três segmentos de medidas 7 cm, 9 cm e x cm, determine o intervalo de valores que x pode as-sumir para que exista o triângulo de lados 7, 9 e x.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
200
03) Dados os segmentos a = 7 cm, b = 9 cm e c, de-termine o intervalo de valores que c pode assumir para que exista o triângulo de lados a, b e c.
05) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-da do lado AB, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
08) Na figura abaixo, os ângulos A e B medem, res-pectivamente 75º e 45º. O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 6 cm. Determine as medidas dos lados AB e AC.
A
B C
06) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-dem, respectivamente, 60º e 45º. Determine a medi-da do lado AC, sabendo que a medida de AB é 4 cm.
A
B C
07) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-da do lado BC, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
A
B C
A
B C
Jeca 114
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
04) Utilizando a lei dos cossenos, determine a natu-reza de um triângulo de lados 10 cm, 12 cm e 16 cm.
Condição de existência
|b - c| < a < b + c
|7 - 9| < c < 7 + 9
2 < c < 16 Resposta
Condição de existência
|b - c| < a < b + c
|10 - 12| < 16 < 10 + 12
2 < 16 < 22 (o triângulo existe)
Natureza2 2
a = 16 = 256
2 2 2 2b + c = 10 + 12
2 2b + c = 100 + 144 = 244
2 2 2a > b + c Esse triângulo é obtusângulo Resposta
45º 30º
8 cmx
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
xsen 30º
=8
sen 45º
x=
812
22
x = 4 2 cm Resposta
60º 45º
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
xsen 60º
=4
sen 45º
x=
4
222
x = 2 6 cm Resposta
x4
3
x
8 cm
45º 30º
105º
8sen 45º
=x
sen 105º
sen 105º = sen(45º + 60º) = sen 45º.cos 60º + sen 60º.cos 45º
sen 105º =2 + 6
4
8=
x
22
2 + 64
x = 4( 3 + 1) cm Resposta
75º
45º
R =
6 c
m
60º
x y
xsen 60º
=y
sen 45º2 . 6=
x = AB = 12 . sen 60º = 6 3 cm
y = 12 . sen 45º = 6 2 cm Respostas
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
201
09) Na figura, os ângulos A e C medem, respectiva-mente, 45º e 15º. Sabendo que BC = 12 cm, determi-ne a medida do lado AC e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
10) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que me-dem, respectivamente, 5 cm e 7 cm. Determine a medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 60º.
12) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do cosseno do menor ângulo interno desse triângulo.
A
B C
11) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que me-dem, respectivamente, 6 cm e 8 cm. Determine a medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 120º.
13) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do cosseno do maior ângulo interno desse triângulo.
14) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do seno do maior ângulo interno desse triângulo.
Jeca 115
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
202
09) Na figura, os ângulos A e C medem, respectiva-mente, 45º e 15º. Sabendo que BC = 12 cm, determi-ne a medida do lado AC e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
10) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que me-dem, respectivamente, 5 cm e 7 cm. Determine a medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 60º.
12) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do cosseno do menor ângulo interno desse triângulo.
A
B C
11) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que me-dem, respectivamente, 6 cm e 8 cm. Determine a medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 120º.
13) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do cosseno do maior ângulo interno desse triângulo.
14) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do seno do maior ângulo interno desse triângulo.
Jeca 115
45º
15º120º
12 cm
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
ACsen 120º
=12
sen 45º2R=
AC
3=
12
22R=
22
AC = 6 6 cm (resp)
R = 6 2 cm (resp)
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
5
7
60º
x
2 2 2x = 5 + 7 - 2 . 5 . 7 . cos 60º
2x = 25 + 49 - 2 . 5 . 7 . 1/2
2x = 39
x = 39 cm Resposta
5
7
8
Propriedade - Em todo triângulo, ao mai-or lado opõe-se o maior ângulo e ao me-nor lado opõe-se o menor ângulo.
a
2 2 25 = 7 + 8 - 2 . 7 . 8 . cos a
25 - 49 - 64 = -112 cos a
cos a = 11/14 Resposta
A
B C
120º6
8 cm
x
2 2 2x = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos 120º
2x = 36 + 64 - 2 . 6 . 8 . (-0,5)
2x = 148
x = 2 37 cm Resposta
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a5
7
8
Propriedade - Em todo triângulo, ao mai-or lado opõe-se o maior ângulo e ao me-nor lado opõe-se o menor ângulo.
a
2 2 28 = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos a
64 - 49 - 25 = -70 cos a
cos a = 1/7 Resposta
5
7
8
a
Do exercício anterior, tem-se quecos a = 1/7
2 2sen a + cos a = 1
2 2sen a + (1/7) = 1
sen a = 4 3 /7 Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
203
15) Na figura, o triângulo ABC tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.
A
B C
16) Determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.
18) (Fuvest) As páginas de um livro medem 1 dm de
base e 1 + 3 dm de altura. O livro é parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas é 60º. Determinar o ângulo formado pelas diagonais das duas páginas.
a
60º
Jeca 116
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
17) Dados os segmentos a = 6 cm, b = 9 cm e c, de-termine o intervalo de valores que c pode assumir para que o triângulo de lados a, b e c exista e seja um triângulo acutângulo.
(GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
204
M
5
5
9
5
a
d
Lei dos cossenos.2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a 2 2 2
No DABC, tem-se 9 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos a cos a = (81 - 125) / (-100)cos a = -44 / (-100) = 11/25
2 2 2No DABM, tem-se d = 5 + 5 - 2 . 5 . 5 . cos a
2d = 25 + 25 - 50 . 11/25 = 50 - 22 = 28d = 28 = 2 7 cm (resp)
Condição de existência|b - c| < a < b + c|6 - 9| < c < 6 + 93 < c < 15
NaturezaConsiderando 9 como sendo o maior lado, tem-se
2 2 2 9 < c + 62
81 - 36 < c2
c > 45c > 3 5
Considerando c como sendo o maior lado, tem-se2 2 2
c < 9 + 6 = 81 + 36 = 117c < 117 = 3 13
Portanto 3 5 < c < 3 13 Resposta
1
1 + 3
1 +
3
1
1 1
y
Pitágoras
2 2 2y = 1 + ( )
2y = 1 + 1 + 3
2y = 2 + 3
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
No exercíciox = 1a = b = y
2 2 21 = y + y - 2 . y . y . cos a
1 = 2 + 3 + 2 + 3 - 2 . (2 + 3 ).cos a
1 - 4 - 2 3 = -2 . (2 + 3 ).cos a
-(3 + 2 3 ) = -2 . (2 + 3 ).cos a
cos a =-(3 + 2 3 )
-2 . (2 + 3 )=
32
a = 30º Resposta
4 5
6
a
2 2 25 = 4 + 6 - 2 . 4 . 6 . cos acos a = 9/16
2 2sen a + cos a = 1
2 2sen a + (9/16) = 1
sen a = 5 7 /16
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
5sen a
2R=
5 2R=5 7
4
R =8
7
8 7=
7cm Resposta
15) Na figura, o triângulo ABC tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.
16) Determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.
18) (Fuvest) As páginas de um livro medem 1 dm de
base e 1 + 3 dm de altura. O livro é parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas é 60º. Determinar o ângulo formado pelas diagonais das duas páginas.
a
60º
Jeca 116
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
17) Dados os segmentos a = 6 cm, b = 9 cm e c, de-termine o intervalo de valores que c pode assumir para que o triângulo de lados a, b e c exista e seja um triângulo acutângulo.
(GeoJeca)
A
B C
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
205
19) Dado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm, determine a altura desse triângulo relativa ao maior lado.
20) Em um triângulo acutângulo de lados AB = 5 cm e AC = 7 cm, a projeção ortogonal do lado AC sobre o lado AB mede 1 cm. Determine a medida do lado BC desse triângulo.
21) Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado entre a sua trajetória e a linha de visada do farol. Após navegar 20 milhas, através de uma nova visada ao farol, obtém a leitura de 75º. Determine a distância entre o farol e o navio no instante em que fez a 2ª leitura.
22) Para medir a distância entre dois pontos, A e B, em margens distintas de um precipício, um engenhei-ro, que estava na mesma margem que o ponto A, adotou um segmento AC = 300 m. Através de um teodolito, obteve os ângulos BAC = 58º e BCA = 67º. Com uma calculadora científica obteve os valores de sen 67º = 0,9205 e sen 55º = 0,8192. Com base nesses valores, determine a distância AB, calculada pelo engenheiro.
precipício
margem B
margem A
B
AC300 m
58º 67º
Jeca 117
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
206
19) Dado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm, determine a altura desse triângulo relativa ao maior lado.
20) Em um triângulo acutângulo de lados AB = 5 cm e AC = 7 cm, a projeção ortogonal do lado AC sobre o lado AB mede 1 cm. Determine a medida do lado BC desse triângulo.
21) Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado entre a sua trajetória e a linha de visada do farol. Após navegar 20 milhas, através de uma nova visada ao farol, obtém a leitura de 75º. Determine a distância entre o farol e o navio no instante em que fez a 2ª leitura.
22) Para medir a distância entre dois pontos, A e B, em margens distintas de um precipício, um engenhei-ro, que estava na mesma margem que o ponto A, adotou um segmento AC = 300 m. Através de um teodolito, obteve os ângulos BAC = 58º e BCA = 67º. Com uma calculadora científica obteve os valores de sen 67º = 0,9205 e sen 55º = 0,8192. Com base nesses valores, determine a distância AB, calculada pelo engenheiro.
precipício
margem B
margem A
B
AC300 m
58º 67º
Jeca 117
45
6 cm
h
A
B CD
Lei dos cossenos.2 2 2
5 = 4 + 6 - 2 . 4 . 6 . cos a25 - 16 - 36 = -48 cos acos a = -27 / (-48) = 9 / 16
2 2Relação fundamental sen a + cos a = 1
2 2sen a = 1 - (9/16) = (256 - 81)/256 = 175/256sen a = 5 7 /16
No DABD, tem-se sen a = h/45 7 /16 = h/4Portanto h = 5 7 /4cm (resp)
a
55ºx
Lei dos senos
xsen 67º
300
sen 55º=
x0,9205
300
0,8192=
x = 300 . 0,9205 / 0,8192
x = 337 m Resposta
A
B C
1
47 cm
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
x
a
cos a =cahip
1
7=
2 2 2x = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos a
2x = 49 + 25 - 2 . 7 . 5 . 1/7 = 64
x = 8 cm Resposta
Farol
d
20 milhas
75º30º105º
Lei dos senos
dsen 30º
20
sen 45º=
d 20=
45º
1 222
d = 10 2 milhas Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
207
01) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir.
a) 6 cm, 8 cm e 10 cm. b) 6 cm, 8 cm e 9 cm.
c) 6 cm, 8 cm e 12 cm. d) 6 cm, 8 cm e 15 cm.
e) 9 cm, 5 cm e 12 cm. f) 12 cm, 5 cm e 13 cm.
h) 14 cm, 12 cm e 13 cm.g) 3 cm, 4 cm e 7 cm.
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaRelações métricas num triângulo qualquer.
Exercícios complementares da aula 10.
Jeca 118
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
208
01) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir.
a) 6 cm, 8 cm e 10 cm. b) 6 cm, 8 cm e 9 cm.
c) 6 cm, 8 cm e 12 cm. d) 6 cm, 8 cm e 15 cm.
e) 9 cm, 5 cm e 12 cm. f) 12 cm, 5 cm e 13 cm.
h) 14 cm, 12 cm e 13 cm.g) 3 cm, 4 cm e 7 cm.
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaRelações métricas num triângulo qualquer.
Exercícios complementares da aula 10.
Jeca 118
|b - c| < a < b + c|6 - 8| < 10 < 6 + 82 < 10 < 14 verdadeiroEsse triângulo existe.
2 2a = 10 = 100
2 2 2 2b + c = 6 + 8 = 36 + 64
2 2b + c = 100
2 2 2a = b + c Esse triângulo é retângulo.
|b - c| < a < b + c|6 - 8| < 9 < 6 + 82 < 9 < 14 verdadeiroEsse triângulo existe.
2 2a = 9 = 81
2 2 2 2b + c = 6 + 8 = 36 + 64
2 2b + c = 100
2 2 2a < b + c Esse triângulo é acutângulo.
|b - c| < a < b + c|6 - 8| < 12 < 6 + 82 < 12 < 14 verdadeiroEsse triângulo existe.
2 2a = 12 = 144
2 2 2 2b + c = 6 + 8 = 36 + 64
2 2b + c = 100
2 2 2a > b + c Esse triângulo é obtusângulo.
|b - c| < a < b + c|6 - 8| < 15 < 6 + 82 < 15 < 14 falsoEsse triângulo nãoexiste.
|b - c| < a < b + c|9 - 5| < 12 < 9 + 54 < 12 < 14 verdadeiroEsse triângulo existe.
2 2a = 12 = 144
2 2 2 2b + c = 9 + 5 = 81 + 25
2 2b + c = 106
2 2 2a > b + c Esse triângulo é obtusângulo.
|b - c| < a < b + c|12 - 5| < 13 < 12 + 57 < 13 < 17 verdadeiroEsse triângulo existe.
2 2a = 13 = 169
2 2 2 2b + c = 12 + 5 = 144 + 25
2 2b + c = 169
2 2 2a = b + c Esse triângulo é retângulo.
|b - c| < a < b + c|3 - 4| < 7 < 3 + 41 < 7 < 7 falsoEsse triângulo não existe.
|b - c| < a < b + c|14 - 12| < 13 < 14 + 122 < 13 < 26 verdadeiroEsse triângulo existe.
2 2a = 14 = 196
2 2 2 2b + c = 12 + 13 = 144 + 169
2 2b + c = 313
2 2 2a < b + c Esse triângulo é acutângulo.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
209
02) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
30º
10 cm
8 cm x
45º
8 cm
9 cm
x
60º
14 cm
9 cm
x
6 c
m
9 cm
x
6 cm9 cm
x
120º
8 cm
10 cmx
135º
A
B C11 cm
8 cm
6 cm
a
09) No triângulo ABC abaixo, determine o valor de cos a.
03) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
04) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
05) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
06) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
07) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
08) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
150º
8 cm
x
8 cm
Jeca 119
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
210
02) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
30º
10 cm
8 cm x
45º
8 cm
9 cm
x
60º
14 cm
9 cm
x
6 c
m
9 cm
x
6 cm9 cm
x
120º
8 cm
10 cmx
135º
A
B C11 cm
8 cm
6 cm
a
09) No triângulo ABC abaixo, determine o valor de cos a.
03) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
04) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
05) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
06) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
07) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
08) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
150º
8 cm
x
8 cm
Jeca 119
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2 . a . b . cos a2 2 2
x = 8 + 10 - 2 . 8 . 10 . 3 / 22
x = 64 + 100 - 80 3
x = 2 (41 - 20 3 ) cm (resp)
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2x = 8 + 9 - 2 . 8 . 9 . cos 45º
2x = 64 + 81 - 2 . 8 . 9 .
2x = 145 - 72 2
x = 145 - 72 2 cm Resposta
22
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2x = 9 + 14 - 2 . 9 . 14 . cos 60º
2x = 81 + 196 - 2 . 9 . 14 .
2 x = 151
x = 151 cm Resposta
12
Pitágoras
2 2 2x = 6 + 9 = 117
x = 117 = 3 13 cm
Resposta
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2x = 6 + 9 - 2 . 6 . 9 . cos 120º
2x = 36 + 81 - 2 . 6 . 9 . (-0,5) = 171
x = 171 = 3 19 cm Resposta
2 2 2x = 8 + 10 - 2 . 8 . 10 . cos 135º
2x = 64 + 100 - 2 . 8 . 10 . ( - )
2x = 164 + 80 2 = 4(41 + 20 2 )
x = 2 41 + 20 2 cm Resposta
22
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2x = 8 + 8 - 2 . 8 . 8 . cos 150º
2x = 64 + 64 - 2 . 64 . (- 3 )
2x = 128 + 64 3 = 64 (2 + 3 )
x = 8 2 + 3 cm Resposta
2
2 2 211 = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos a
121 - 36 - 64 = - 96.cos a
21 = - 96.cos a
cos a = -21/96 = -7/32 Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
211
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AB = 7 cm, BC = 8 cm e AC = 9 cm, determinar a medida da mediana AM, relativa ao lado BC.
10) No triângulo ABC abaixo, determinar o cos a e cos b.
10 cm
8 cm
5 cm
b
a g
A
B CM
12) No triângulo ABC abaixo, determinar o valor de cos a, sen a e tg a.
a
12 cm6 cm
8 cm
14) Na figura abaixo, determine :a) o cosseno do ângulo a.b) a medida do segmento AD.
A
B CD
a
6 cm 4 cm
5 cm
8 cm
15) (Jeca) Na figura ao lado, as três circunferências maiores têm raio 1 cm, tangenciam-se entre si e tangenciam uma circunferência menor. Determine o raio da circunferência menor.
13) No triângulo ABC abaixo, o ponto M é medio do segmento BC. Sa bendo que AB = 6 cm, BC = 10 cm e AC = 13 cm, determine :a) o cosseno do ângulo B.b) a medida da mediana AM.
M
A
BC
Jeca 120
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
212
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AB = 7 cm, BC = 8 cm e AC = 9 cm, determinar a medida da mediana AM, relativa ao lado BC.
10) No triângulo ABC abaixo, determinar o cos a e cos b.
10 cm
8 cm
5 cm
b
a g
A
B CM
12) No triângulo ABC abaixo, determinar o valor de cos a, sen a e tg a.
a
12 cm6 cm
8 cm
14) Na figura abaixo, determine :a) o cosseno do ângulo a.b) a medida do segmento AD.
A
B CD
a
6 cm 4 cm
5 cm
8 cm
15) (Jeca) Na figura ao lado, as três circunferências maiores têm raio 1 cm, tangenciam-se entre si e tangenciam uma circunferência menor. Determine o raio da circunferência menor.
13) No triângulo ABC abaixo, o ponto M é medio do segmento BC. Sa bendo que AB = 6 cm, BC = 10 cm e AC = 13 cm, determine :a) o cosseno do ângulo B.b) a medida da mediana AM.
M
A
BC
Jeca 120
2 2 28 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos acos a = (64 - 25 - 100) / (-100) = -61 / (-100)cos a = 61/100 (resp)
2 2 210 = 5 + 8 - 2 . 5 . 8 . cos bcos b = (100 - 25 - 64) / (-80)cos b = 11 / (-80) = -11 / 80 (resp)
Lei dos cossenos.2 2 2
12 = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos acos a = (144 - 36 - 64) / (-96)cos a = 44 / (-96) = -11 / 24 (resp)
Relação fundamental da trigonometria2 2 sen a + cos a = 12 2
sen a + (-11 / 24) = 1sen a = 455 / 24 (resp)
tg a = sen a / cos a = ( 455 / 24) / (-11 / 24)
tg a = - 455 / 11 (resp)
4 4
97
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
q
2 2 29 = 7 + 8 - 2 . 7 . 8 . cos q
cos q = 2/7
No D ABM , tem-se
2 2 2x = 7 + 4 - 2 . 7 . 4 . cos q
2 2 2x = 7 + 4 - 2 . 7 . 4 . 2/7
2x = 49
x = 7 cm Resposta
x
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a2 2 2
13 = 6 + 10 - 2 . 6 . 10 . cos q
cos q = -11/40
No D ABM , tem-se
2 2 2x = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos q
2 2 2x = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . (-11/40)
2x = 61 + 33/2 = 155/2 = 310/4
x = 310 / 2 cm Resposta
y
5 5
613
q
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
y2 2 2
8 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos a
cos a = 61/100
No D ABD , tem-se
2 2 2y = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos a
2y = 25 + 36 - 60 . 61/100 = 488/5
y = 122/5 = 610 / 5 cm Resposta
120º
1 + r1
11 + r
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 22 = (1 + r) + (1 + r) - 2 . (1 + r) . (1 + r) . cos 120º
23r + 6r - 1 = 0
r =2 3 - 3
3cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
213
18) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
45º30º
A
B C
8 cmx
60º
75º12 cmx
A
B C
120º45º
x16 cm
A
B C
R =
8 c
m
x
45º
O
x
x45º 45º
12 c
m
12 c
m
6 6 cm
19) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
20) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
21) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
22) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
23) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
6 6 cm
60º
x
10 cm
79 cm
16) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
17) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
120º
14 cm
10 cm
x
Jeca 121
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
214
18) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
45º30º
A
B C
8 cmx
60º
75º12 cmx
A
B C
120º45º
x16 cm
A
B C
R =
8 c
m
x
45º
O
x
x45º 45º
12 c
m
12 c
m
6 6 cm
19) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
20) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
21) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
22) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
23) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
6 6 cm
60º
x
10 cm
79 cm
16) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
17) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro-priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
120º
14 cm
10 cm
x
Jeca 121
Lei dos cossenos.2 2 2
x = a + b - 2 . a . b . cos a
No exercíciox = 14a = x
2 2 214 = x + 10 - 2 . x . 10 . (-1/2)
2196 = x + 100 + 10x
2x + 10x - 96 = 0Resolvendo a equação do 2º grau, tem-se
x = -16 cm ou x = 6 cm (resp)
cos 120º
Lei dos cossenos.2 2 2
x = a + b - 2 . a . b . cos a
No exercíciox = 79a = x
2 2 2( 79 ) = x + 10 - 2 . x . 10 . cos 60º
2x - 10x + 21 = 0
Resolvendo, tem-sex = 7 cmoux = 3 cm Resposta
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
xsen 45º
=8
sen 30º
x=
8
2 22 1
x = 8 2 cm Resposta
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
xsen 45º
=12
sen 60º
x=
22
x = 4 6 cm Resposta
45º
12
23
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
16sen 45º
=x
sen 120º
=
22
x = 8 6 cm Resposta
16 x
23
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
x 2 . 8 = 16=
22
x = 8 2 cm Resposta
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
12sen 45º
=6 6sen x
=
22
12 6 6sen x
sen x =23
x = 60º ou x = 120º Resposta
y
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
12sen 45º
=6 6sen y
sen y =23
Portanto y = 60º ou y = 120º
Se y = 60º, entãox + 60 + 45 = 180x = 75º
Se y = 120º, entãox + 120 + 45 = 180x = 15º
x = 15º ou x = 75º Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
215
24) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
A
B C60º 45º
x
8 c
m
AB
C
30º 120º12 cm
x
30º
105º
x
20 cm
30º118º
x20 cm
sen 118º = 0,88
25) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
28) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
29) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
7 cmx
120º
135º
y
z
3 cm5 cm
30º
26) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
27) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
12 cm
30º
x
15º
30º
18 cm
x
30) Na figura abaixo, determine as medidas de x, y e z.
Jeca 122
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
216
24) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
A
B C60º 45º
x
8 c
m
AB
C
30º 120º12 cm
x
30º
105º
x
20 cm
30º118º
x20 cm
sen 118º = 0,88
25) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
28) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
29) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
7 cmx
120º
135º
y
z
3 cm5 cm
30º
26) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
27) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a propriedade geométrica utilizada na solução do exercício.
12 cm
30º
x
15º
30º
18 cm
x
30) Na figura abaixo, determine as medidas de x, y e z.
Jeca 122
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
xsen 60º
=8
sen 45º2R=
x=
8 2R=32 2
2
x =8 3
2=
8 62
= 4 6 cm (resp)
8 2R=22
> R = 4 2 cm (resp)
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
xsen 30º
=12
sen 120º
x=
12
12 2
3
30º
x =12 3
3cm Resposta= 4 3
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
12sen 30º
2R=
12 2R=12
2R = 24
R = 12 cm Resposta
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
135º
xsen 135º
=18
sen 30ºx
=18
122
2
x = 18 2 cm Resposta
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
20sen 45º
=x
sen 30º
x=
122
2
x = 10 2 cm Resposta
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
20sen 118º
=x
sen 30ºx
=12
x = 11,36 cm Resposta
45º
20
0,88
20
Pitágoras
2 2 37 = x + 3
x = 2 10 cm
Lei dos cossenos
2 2 2y = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos 120º
2y = 49 + 25 - 70 . (- 0,5)
2y = 49 + 25 + 35 = 109
y = 109 cm
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
y
sen 135º=
zsen 30º
z=
122
2
109
2 . 109 z =2
=2182
cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
217
A
B C
D
E
F
G
H JL
33) (Ibmec- SP) Na figura abaixo, suponha que as medidas dos segmentos BC, BD, CF, BG e CG sejam todas iguais a 2 e que CF e BD sejam, respectiva-mente, as bissetrizes dos ângulos BCE e CBG.a) Determine a medida do segmento BE.b) Calcule sen 75º (Sugestão: 75º = 45º + 30º)c) Determine a medida do segmento BF.
32) Dado um triângulo de lados 4, 5 e 6, com ângulos internos a, b e c, prove que a = 2b.
45
6
a
bc
34) (ITA-SP) No quadrilátero ABCD da figura abai-xo, temos BC = CD. Então podemos garantir que:
a
b
g
q
A
B
C
D
a)
b) g . b = a . q
c) tg a = tg g
2d) (BC) = AD . BD
e) tg a . tg b = tg g . tg q
sen b =sen a
sen qsen g
Jeca 123
A
B
C
D
E
31) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, AB = BC = CD = DE = 2 e ABC = BCD = 2p / 3 eCDE = p / 2. Calcule a distância entre os pontos A e E.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
218
A
B C
D
E
F
G
H JL
33) (Ibmec- SP) Na figura abaixo, suponha que as medidas dos segmentos BC, BD, CF, BG e CG sejam todas iguais a 2 e que CF e BD sejam, respectiva-mente, as bissetrizes dos ângulos BCE e CBG.a) Determine a medida do segmento BE.b) Calcule sen 75º (Sugestão: 75º = 45º + 30º)c) Determine a medida do segmento BF.
32) Dado um triângulo de lados 4, 5 e 6, com ângulos internos a, b e c, prove que a = 2b.
45
6
a
bc
34) (ITA-SP) No quadrilátero ABCD da figura abai-xo, temos BC = CD. Então podemos garantir que:
a
b
g
q
A
B
C
D
a)
b) g . b = a . q
c) tg a = tg g
2d) (BC) = AD . BD
e) tg a . tg b = tg g . tg q
sen b =sen a
sen qsen g
Jeca 123
A
B
C
D
E
31) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, AB = BC = CD = DE = 2 e ABC = BCD = 2p / 3 eCDE = p / 2. Calcule a distância entre os pontos A e E.
2
2 2
2
120º
x y
d
30º 45º45º
2 2 2Pitágoras y = 2 + 2
y = 8 = 2 2
Lei dos cossenos.2 2 2
x = 2 + 2 - 2 . 2 . 2 . (-1/2)2
x = 12x = 2 3
Lei dos cossenos.2 2 2
d = x + y - 2 . x . y . cos 45º2 2 2
d = (2 3 ) + (2 2 ) - 2 . 2 3 . 2 2 . 2 / 22
d = 20 - 8 3
d = 2 5 - 2 3 (resp)
30º
30º
15º
30º
30º
45º
D BCF é isóscelesPortanto BFC = FBC = 75º
No D BCE, tem-seB = 75º , C = 60º , E = 45º
a) Lei dos senos
Portanto BE = 6 Resposta
b) sen 75º = sen(30º + 45º) = = sen 30º.cos 45º + sen 45º.cos 30º
sen 75º Resposta
2sen 45º
= BEsen 60º
=2 + 6
4
c) Lei dos cossenos no D BCF2 2 2
(BF) = 2 + 2 - 2 . 2 . 2 . cos 30º
BF = 2 2 - 3 Resposta
c) Pela Lei dos senos
2sen 75º =
BFsen 30º
Resolvendo, tem-se BF = 6 - 2 Resposta
Observação - 2 2 - 3 = 6 - 2 (mesma resposta)
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2 a b cos a2 2 2
6 = 4 + 5 - 2 . 4 . 5 . cos a cos a =18>
2 2 24 = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos b cos b = 3
42 2
sen b + cos b = 1 sen b = 74
2 2cos 2b = cos b - sen b = 916
7 2 18
=
cos a = cos 2b =
>
>
16 16=
18
Portanto a = 2b
x
x
y
No D ABC , tem-se pela Lei dos senos
xsen a =
y
sen b
No D ADC , tem-se pela Lei dos senos
Portanto
sen g sen qx
=y
= sen bsen ax
y
= sen qsen gx
y
sen bsen a
= sen qsen g
Resposta a
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
219
Respostas dos exercícios da Aula 10.
01) existe e é obtusângulo
02)a) triângulo retângulob) triângulo acutânguloc) triângulo acutângulod) não existe o triânguloe) não existe o triângulof) triângulo acutângulog) triângulo obtusânguloh) triângulo acutângulo
03) S = {c c R I 2 < c < 16 }
04) triângulo obtusângulo
05) 4 2 cm
06) 2 6 cm
07) 4( 3 + 1) cm
08) 6 3 cm e 6 2 cm
09) 6 6 cm e 6 2 cm
10) 39 cm
11) 2 37 cm
12) 11 / 14
13) 1 / 7
14) 4 3 / 7
15) 2 7 cm
16) (8 7 / 7) cm
17) S = { c | 3 5 < c < 3 13 }
18) 30º
19) (5 7 / 4) cm
20) 8 cm
21) 10 2 milhas
22) 337 metros
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 124
R
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
220
Respostas dos exercícios complementares da Aula 10.
01) a) triângulo retângulob) triângulo acutânguloc) triângulo obtusângulod) não existee) triângulo obtusângulof) triângulo retângulog) não existeh) triângulo acutângulo
2) 2 41 - 20 3 cm
3) 145 - 72 2 cm
4) 151 cm
5) 117 = 3 13 cm
6) 171 = 3 19 cm
7) 2 41 + 20 2 cm
8) 8 2 + 3 cm
9) -7 / 32
10) cos a = 61 / 100 cos b = -11 / 80
11) 7 cm
12) cos a = -11 / 24 sen a = tg a =
13) a) -11 / 40 b) 310
14) a) 61 / 100 b) 610 cm
45524
45511
2
5
15) (2 3 - 3 / 3) cm
16) 6 cm
17) 3 cm ou 7 cm
18) 8 2 cm
19) 4 6 cm
20) 8 6 cm
21) 8 2 cm
22) 60º ou 120º
23) 15º ou 75º
24) x = 4 6 cm e R = 4 2 cm
25) 4 3 cm
26) 12 cm
27) 18 2 cm
28) 10 2 cm
29) 11,36 cm
30) x = 2 10 cm y = 109 cm z cm
31) 2 5 - 2 3
32) demonstração abaixo
33) a) 6b) ( 2 + 6 ) / 4c) 6 - 2
34) a
=2182
45
6
a
bc
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2 a b cos a2 2 2
6 = 4 + 5 - 2 . 4 . 5 . cos a cos a =18>
2 2 24 = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos b cos b = 3
42 2sen b + cos b = 1 sen b = 7
4
2 2cos 2b = cos b - sen b = 916
7 2 18
=
cos a = cos 2b =
Resolução.
32)
>
>
16 16=
18 Portanto a = 2b
Jeca 125
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
221
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 11
Circunferência e círculo.
I) Elementos da circunferência.
A
B
C
D
r
r
ra
P
C - centro da circunferênciaAC = r - raio da circunferênciaAB = 2r - diâmetro da circunferênciaACD = a - ângulo centralAPD - arco da circunferênciaAD - corda da circunferência
Dados sobre a circunferência (ou sobre o círculo)
c = 2pr - perímetro ou comprimento da circunferência.
2S = p r - área do círculo.
360º - abertura, em graus, de uma volta completa na circunferência.
2p rad - abertura, em radianos, de uma volta completa na circunferência.
II) Exercícios.
01) Determinar o perímetro e a área de um círculo de raio 7 m.
02) Determinar o diâmetro e a área de um círculo cujo perímetro mede 36p cm.
03) A roda de um automóvel tem um diâmetro que mede 50 cm. Determine a distância percorrida por esse veículo após uma de suas rodas completar 1750 voltas. Adotar p = 3,14 e supor que a roda não deslize durante a rolagem.
04) Determine quantas voltas por segundo deve dar cada roda de um automóvel na velocidade linear constante de 31,4 m/s, sabendo que o raio de cada roda é 25 cm e que a roda não desliza durante a rolagem. (adotar p = 3,14)
Jeca 126
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
222
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 11
Circunferência e círculo.
I) Elementos da circunferência.
A
B
C
D
r
r
ra
P
C - centro da circunferênciaAC = r - raio da circunferênciaAB = 2r - diâmetro da circunferênciaACD = a - ângulo centralAPD - arco da circunferênciaAD - corda da circunferência
Dados sobre a circunferência (ou sobre o círculo)
c = 2pr - perímetro ou comprimento da circunferência.
2S = p r - área do círculo.
360º - abertura, em graus, de uma volta completa na circunferência.
2p rad - abertura, em radianos, de uma volta completa na circunferência.
II) Exercícios.
01) Determinar o perímetro e a área de um círculo de raio 7 m.
02) Determinar o diâmetro e a área de um círculo cujo perímetro mede 36p cm.
03) A roda de um automóvel tem um diâmetro que mede 50 cm. Determine a distância percorrida por esse veículo após uma de suas rodas completar 1750 voltas. Adotar p = 3,14 e supor que a roda não deslize durante a rolagem.
04) Determine quantas voltas por segundo deve dar cada roda de um automóvel na velocidade linear constante de 31,4 m/s, sabendo que o raio de cada roda é 25 cm e que a roda não desliza durante a rolagem. (adotar p = 3,14)
Jeca 126
c = 2pR = 2 . p . 7 = 14p cm
2 2 2S = pR = p7 = 49p cm
c = 2pR = 36p cm
R = 36p / 2p = 18 cm
d = 2R = 2 . 18 = 36 cm
2 2 2S = pR = p . 18 = 324p cm Resposta
2R = 50 cm R = 25 cm = 0,25 m
d = n . c = n . 2pR = 1 750 . 2 . p . 0,25
d = 1 750 . 2 . 3,14 . 0,25 = 2 747,5 m Resposta
R = 25 cm = 0,25 m
d = n . c = n . 2pR
31,4 = n . 2 . 3,14 . 0,25
n =31,4
2 . 3,14 . 0,25= 20 volta Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
223
06) (UNIFESP-SP) A figura mostra duas roldanas cir-culares ligadas por uma correia. A roldana maior, com raio de 12 cm, gira fazendo 100 rotações por minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor girar. Admita que a correia não escorregue. Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto, seu raio, em centímetros, deve ser:a) 8b) 7c) 6d) 5e) 4
07) (VUNESP-SP) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular com raio de 1 cm, como mostra a figura.
1 rad1 cm
"monstro"
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é:a) p - 1b) p + 1c) 2p - 1d) 2pe) 2p + 1
05) (UFRJ-RJ) Precorrendo uma distância de 450 m, as rodas de um automóvel dão 250 voltas. Calcule o raio das rodas.
08) (UFJF-MG) Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente:
a) 93 kmb) 196 kmc) 366 kmd) 592 kme) 291 km
10) (Mack-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 4 cm. Supondo p = 3, a distância, em centíme-tros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 25 minutos é:
a) 15b) 12c) 20d) 25e) 10
O
A
B
CD
a
Jeca 127
09) (J) A figura abaixo representa um setor circular de centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD
têm comprimentos 4p cm e 4,8p cm , respectiva-mente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a 2 cm, determine a medida do segmento OB.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
224
06) (UNIFESP-SP) A figura mostra duas roldanas cir-culares ligadas por uma correia. A roldana maior, com raio de 12 cm, gira fazendo 100 rotações por minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor girar. Admita que a correia não escorregue. Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto, seu raio, em centímetros, deve ser:a) 8b) 7c) 6d) 5e) 4
07) (VUNESP-SP) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular com raio de 1 cm, como mostra a figura.
1 rad1 cm
"monstro"
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é:a) p - 1b) p + 1c) 2p - 1d) 2pe) 2p + 1
05) (UFRJ-RJ) Precorrendo uma distância de 450 m, as rodas de um automóvel dão 250 voltas. Calcule o raio das rodas.
08) (UFJF-MG) Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente:
a) 93 kmb) 196 kmc) 366 kmd) 592 kme) 291 km
10) (Mack-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 4 cm. Supondo p = 3, a distância, em centíme-tros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 25 minutos é:
a) 15b) 12c) 20d) 25e) 10
O
A
B
CD
a
09) (J) A figura abaixo representa um setor circular de centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD
têm comprimentos 4p cm e 4,8p cm , respectiva-mente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a 2 cm, determine a medida do segmento OB.
Jeca 127
d = n . c = n . 2pR
450 = 250 . 2pR
R = 450 / 500p = 9 / 10p m (resp)
x 2
x - 2
AC = a2p
2 . p . (x - 2)
AC = a .(x - 2)4p = a .(x - 2)a = 4p / (x - 2)
BD = a2p
2 . p . x
BD = a . x4,8 p = a . xa = 4,8 p / x
4px - 2
=4,8 p
x
x = 12 Resposta
n . 2pR = n . 2pRM M m m
100 . 2 . p . 12 = 150 . 2 . p . Rm
R = = 8 cm Resposta a m100 . 2 . p . 12
150 . 2 . p
O ângulo central do arco de circunferência tem abertura (2p - 1) radianos.
Perímetro = d + 1 + 1
2p rad ------------- c = 2pR(2p - 1) rad ----------- d
d =2.p.1.(2p - 1)
2p= 2p - 1
Perímetro = d + 1 + 1 = 2p - 1 + 1 + 1 = 2p + 1Resposta e
d = 185 600 . c = 185 600 . 2.p.R
R = 0,25 m
d = 185 600 . 2 . 3,14 . 0,25 = 291 392 m
Aproximadamente 291 km Resposta e
150ºR = 4
25 minutos corresponde a um ângulo central de 150º
d = 2.p.R . 150/360
d = 2 . 3 . 4 . 150 / 360
d = 10 cm Resposta e
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
225
12) (UFLa-MG) Os raios das rodas traseiras de um trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O raio de cada uma das rodas dianteiras é:
a) 20 cmb) 30 cmc) 25 cmd) 15 cme) 22 cm.
11) (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.
Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxima do comprimento da correia ?
a) 122,8 cmb) 102,4 cmc) 92,8 cmd) 50 cme) 32,4 cm
13) (Unisa-SP) Um hexágono regular de lado 3 cm está inscrito numa circunferência. Nessa circunfe-rência, um arco de medida 100º, em centímetros, tem comprimento:
a) 3p / 5b) 5p / 6c) pd) 5p / 3e) 10p / 3
14) (UFPI-PI) Numa circunferência na qual está inscrito um quadrado de lado 10 cm, o comprimento, em cm, de um arco dessa circunferência, medindo 120º é:
a) 10 2 p / 3b) 5 p / 3c) 5 7 p / 3d) 10 3 p / 2e) 5 2 p / 3
15) (UEG-GO) Na figura abaixo, os segmentos AB e BC correspondem, respectivamente, aos lados de um hexágono regular e de um quadrado, ambos inscritos na circunferência que tem raio 6 cm. Deter-mine o comprimento do arco ABC.
A
B
C
16) (Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um pon-to A até um ponto B, diametralmente opostos, con-forme a figura abaixo. O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento, em metros, igual a:
a) p / 2b) pc) 3p / 2d) 2pe) 3p
A
B
Jeca 128
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
226
12) (UFLa-MG) Os raios das rodas traseiras de um trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O raio de cada uma das rodas dianteiras é:
a) 20 cmb) 30 cmc) 25 cmd) 15 cme) 22 cm.
11) (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.
Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxima do comprimento da correia ?
a) 122,8 cmb) 102,4 cmc) 92,8 cmd) 50 cme) 32,4 cm
13) (Unisa-SP) Um hexágono regular de lado 3 cm está inscrito numa circunferência. Nessa circunfe-rência, um arco de medida 100º, em centímetros, tem comprimento:
a) 3p / 5b) 5p / 6c) pd) 5p / 3e) 10p / 3
14) (UFPI-PI) Numa circunferência na qual está inscrito um quadrado de lado 10 cm, o comprimento, em cm, de um arco dessa circunferência, medindo 120º é:
a) 10 2 p / 3b) 5 p / 3c) 5 7 p / 3d) 10 3 p / 2e) 5 2 p / 3
15) (UEG-GO) Na figura abaixo, os segmentos AB e BC correspondem, respectivamente, aos lados de um hexágono regular e de um quadrado, ambos inscritos na circunferência que tem raio 6 cm. Deter-mine o comprimento do arco ABC.
A
B
C
16) (Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um pon-to A até um ponto B, diametralmente opostos, con-forme a figura abaixo. O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento, em metros, igual a:
a) p / 2b) pc) 3p / 2d) 2pe) 3p
A
B
Jeca 128
30 cm
d = 2 . 30 + 2 . c/2 = 2 . 30 + 2 . p . 10
d = 60 + 2 . 3,14 . 10 = 122,8 cm (resp)
aH aQ
R = 6 cm
a = 360/60 = 60ºH
a = 360/4 = 90ºQ
A medida do arco ABC é 150º
Regra de três
360º -------------- 2pR150º --------------- x
x = 150 . 2 . p . 6 / 360
x = 5p cm Resposta
A menor distância entre os pontos A e B é uma semicircunfe-rência de raio 50 cm.
d = 2.p.R / 2 = 2 . p . 0,50 /2 = p/2 Resposta a
R = 3
3
3
3
100º
x
Se o hexágono tem lado 3 cm, então a circunferência tem raio 3 cm. Regra de três360º --------------------- 2pR100º --------------------- x
x = 2 . p . 3 . 100 / 360 = 5p/3 Resposta d
10
10120º
x
R
R
Pitágoras2 2 2
(2R) = 10 + 10 = 200
R = 5 2
x = 2.p.R . 120/360 = 2.p.5 2 . 120/360
x = 10p 2 /3 cm Resposta a
A distância percorrida por uma roda dianteira é igual à distância percorrida por uma roda traseira.
d = dD T
n . 2pR = n . 2pRD D T T
90 . 2 . p . R = 30 . 2 . p . 75D
R = D
30 . 2 . p . 7590 . 2 . p
= 25 cm Resposta c
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
227
17) (UFSCAR-SP) A sequência de figuras mostra um único giro do ponto A, marcado em uma roda circular, quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada pelos segmentos RQ e QP.
Além do que indicam as figuras, sabe-se que o raio da roda mede 3 m e que ela gira sobre a rampa sem deslizar em falso. Sendo assim, o comprimento da rampa RQ + QP, em m, é igual a:
a) 5p + 2 3
b) 4p + 3 5
c) 6p + 3
d) 7p - 3
e) 8p - 3 5
50 cm18) (J) Três polias de raio 10 cm têm os seus centros equidistantes 50 cm, como representado na figura abaixo. Adotando p = 3, determine o comprimento da correia que envolve as três polias.
correia
polia
correia
20) (FUVEST-SP) A figura representa duas polias cir-culares C e C de raios R = 4 cm e R = 1 cm, 1 2 1 2
apoiadas em uma superfície plana em P e P , 1 2
respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P 1
e P é 3 3 cm, determine o comprimento da correia.2
P1 P23 3 cm
AB
C
19) (J) Uma pista de automobilismo tem comprimento de 1 milha (1640 m) e é composta por uma semicir-cunferência maior e três semicircunferências menores congruentes. Determinar os raios das semicircunfe-rências sabendo que B, C e D são os centros das semicircunferências e os pontos A, B, C, D e E são
colineares. (Adotar p = 3,14)
DE
Jeca 129
120º
R Q
P
A
120º
R Q
PA
figura 1
figura 3
R Q
P
A
figura 2
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
228
17) (UFSCAR-SP) A sequência de figuras mostra um único giro do ponto A, marcado em uma roda circular, quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada pelos segmentos RQ e QP.
Q
A
50 cm18) (J) Três polias de raio 10 cm têm os seus centros equidistantes 50 cm, como representado na figura abaixo. Adotando p = 3, determine o comprimento da correia que envolve as três polias.
correia
polia
correia
20) (FUVEST-SP) A figura representa duas polias cir-culares C e C de raios R = 4 cm e R = 1 cm, 1 2 1 2
apoiadas em uma superfície plana em P e P , 1 2
respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P 1
e P é 3 3 cm, determine o comprimento da correia.2
P1 P23 3 cm
AB
C
19) (J) Uma pista de automobilismo tem comprimento de 1 milha (1640 m) e é composta por uma semicir-cunferência maior e três semicircunferências menores congruentes. Determinar os raios das semicircunfe-rências sabendo que B, C e D são os centros das semicircunferências e os pontos A, B, C, D e E são
colineares. (Adotar p = 3,14)
DE
Jeca 129
R
P
S
T
30º
30º
60º60º
RS tem o comprimento de um arco de 150ºST tem o comprimento de um arco de 60ºTP tem o comprimento de um arco de 150ºSQ = QT é o cateto oposto do triângulo CSQ
tg 30º = x/3 SQ = x = 3 tg 30º = 3 3 / 3 = 3 m
RQ + QP = RS + SQ + QT + TP = 2(RS + SQ)
RQ + QP = 2(150 . 2 . p . 3 / 360 + 3 )
RQ + QP = 5p + 2 3 m (resp)
C
3
x
>
a3
1
1
3 3 cm
tg a = co / ca = =
a = 60º
d - comprimento da correia
d = 2 . 3 3 + 2 . p 1 + 2 . p . 4
d = 6 3 + +
d = 6( 3 + p) cm (resp)
33 3
3
120º
240º
120360
240360
2p
316p
3
60º
120º
50 cm
O comprimento da correia é a soma de três trechos retos de comprimento 50 cm e três arcos de circunferência de raio 10 cm e ângulo central 120º. Os três arcos somados são iguais a uma circunferência com-pleta.
C = 3 . 50 + 2pR = 3 . 50 + 2 . p . 10
C = 150 + 20p = 10(15 + 2p) cm
p = 3
C = 210 cm Resposta
R RR R
R R
1 640 2.p.R2
1 2.p.3R3. + .2
=
1 640 = 3pR + 3pR = 6pR
R = 1 640 / 6p = 1 640 /18,84
R = 87,05 m
R' = 3R = 261,15 m Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
229
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaCircunferência e círculo.
Exercícios complementares da aula 11.
01) (UEPB-PB) Um ciclista de uma prova de resistên-cia deve percorrer 502,4 km sobre uma pista circular
de raio 200m. Considerando p = 3,14, o número de voltas que ele deve dar é:
a) 500b) 350c) 450d) 400e) 300
02) (UCS-RS) A razão entre os comprimentos da Linha do Equador e do diâmetro da Terra é igual à razão entre os comprimentos de uma circunferência qualquer e de seu diâmetro. Essa afirmação é:
a) verdadeira, e a razão referida vale p / 2.b) verdadeira, e a razão referida vale p.c) verdadeira, e a razão referida vale 3p / 2.d) verdadeira, e a razão referida vale 2p.e) falsa.
O
A
B
CD
a
04) (J) A figura abaixo representa um setor circular de centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD
têm comprimentos 4p e 4,8p , respectivamente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a 2 cm, determine a medida do ângulo a.
06) (J) Uma pessoa dispõe de uma corda com 46p m de comprimento e pretende fazer duas circunferên-cias concêntricas com ela; uma circunferência menor de raio 10 m e outra maior, conforme a figura abaixo.Determine a distância d entre as circunferências.
d
03) (UFRJ-RJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal. Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m.
A
B
05) (J) Na figura abaixo, A e B são os pontos médios de dois lados de um pentágono regular de perímetro 60 m. Sendo C um vértice do pentágono e o centro do setor circular, determine o perímetro da região som-breada. (Adote p = 3)
C
Jeca 130
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
230
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaCircunferência e círculo.
Exercícios complementares da aula 11.
01) (UEPB-PB) Um ciclista de uma prova de resistên-cia deve percorrer 502,4 km sobre uma pista circular
de raio 200m. Considerando p = 3,14, o número de voltas que ele deve dar é:
a) 500b) 350c) 450d) 400e) 300
02) (UCS-RS) A razão entre os comprimentos da Linha do Equador e do diâmetro da Terra é igual à razão entre os comprimentos de uma circunferência qualquer e de seu diâmetro. Essa afirmação é:
a) verdadeira, e a razão referida vale p / 2.b) verdadeira, e a razão referida vale p.c) verdadeira, e a razão referida vale 3p / 2.d) verdadeira, e a razão referida vale 2p.e) falsa.
O
A
B
CD
a
04) (J) A figura abaixo representa um setor circular de centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD
têm comprimentos 4p e 4,8p , respectivamente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a 2 cm, determine a medida do ângulo a.
06) (J) Uma pessoa dispõe de uma corda com 46p m de comprimento e pretende fazer duas circunferên-cias concêntricas com ela; uma circunferência menor de raio 10 m e outra maior, conforme a figura abaixo.Determine a distância d entre as circunferências.
d
03) (UFRJ-RJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal. Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m.
A
B
05) (J) Na figura abaixo, A e B são os pontos médios de dois lados de um pentágono regular de perímetro 60 m. Sendo C um vértice do pentágono e o centro do setor circular, determine o perímetro da região som-breada. (Adote p = 3)
C
Jeca 130
n = número de voltasc = 2pR = comprimento de uma voltad = 502 400 m = distância percorrida
d = n . c = n . 2pR = n . 2 . 3,14 . 200 = 502 400
n = 502 400 / 2 . 3,14 . 200 = 400 voltas (resp)
c = 2pR - comprimento da linha do Equador.
d = 2R - diâmetro da Terra
cd
=2pR
2Rp= Resposta b
c = 2.p.R = 2 . 3,14 . 5 = 31,4 cm
10 m = 1 000 cm
n . 31,4 = 1 000
n = 1 000/31,4 = 31,84 voltas
Portanto, n = 32 voltas Resposta
AC = a2p
2 . p . (x - 2)
AC = a .(x - 2)4p = a .(x - 2)a = 4p / (x - 2)
BD = a2p
2 . p . x
BD = a . x4,8 p = a . xa = 4,8 p / x
4px - 2
=4,8 p
x
x = 12 a = 4,8p/12 = 0,4p = 2p/5 radianos = 72º
Resposta
12
12
12
6
6
6
6
xa
a = 540 / 5 = 108º
Comprimento do arco x
x = 2pR . 108/360
x = 2 . 3 . 6 . 108/360
x = 10,8 cm
Perímetro da região sombreada
Per = 2p = 2 . 6 + 3 . 12 + x
Per = 2p = 48 + 10,8 = 58,8 cm Resposta
Comprimento da circunferência menorc = 2pR = 2.p.10 = 20p m
Comprimento da circun-ferência maiorc' = 46p - 20p = 26p m
Raio da circunferência maior26p = 2pR'R' = 26p/2p = 13 m
Distância d = R' - R = 13 - 10 = 3 m Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
231
07) (J) Uma mesa circular deve acomodar 8 pessoas, de tal forma que cada pessoa tenha disponível um arco de circunferência de comprimento 60 cm.
Adotando p = 3, determine o raio da mesa.
60ºO
A
B
C
08) (J) Na figura abaixo, o arco ABC é 1 cm mais comprido que a corda AC. Determine a medida do raio da circunferência.
09) Uma circunferência tem raio R. Aumentando-se o raio para R + d, determine:a) o comprimento da circunferência original;b) o comprimento da circunferência após o raio ter sido aumentado;c) o aumento do comprimento da segunda circunferên-cia em relação à circunferência original.
10) (J) A figura abaixo representa duas polias de raios 30 cm e 20 cm. Um motor aclopado à polia maior trabalha com 1750 rotações por minuto. Supondo que a correia que une as polias não escorregue, determine o nº de rotações por minuto da polia menor.
11) Calcule o comprimento de um arco de 2 radianos numa circunferência de raio 40 cm.
12) Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que um arco de 3p / 2 radianos mede 50 cm.
Jeca 131
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
232
07) (J) Uma mesa circular deve acomodar 8 pessoas, de tal forma que cada pessoa tenha disponível um arco de circunferência de comprimento 60 cm.
Adotando p = 3, determine o raio da mesa.
60ºO
A
B
C
08) (J) Na figura abaixo, o arco ABC é 1 cm mais comprido que a corda AC. Determine a medida do raio da circunferência.
09) Uma circunferência tem raio R. Aumentando-se o raio para R + d, determine:a) o comprimento da circunferência original;b) o comprimento da circunferência após o raio ter sido aumentado;c) o aumento do comprimento da segunda circunferên-cia em relação à circunferência original.
10) (J) A figura abaixo representa duas polias de raios 30 cm e 20 cm. Um motor aclopado à polia maior trabalha com 1750 rotações por minuto. Supondo que a correia que une as polias não escorregue, determine o nº de rotações por minuto da polia menor.
11) Calcule o comprimento de um arco de 2 radianos numa circunferência de raio 40 cm.
12) Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que um arco de 3p / 2 radianos mede 50 cm.
Jeca 131
45º
60 cm
R
360 / 8 = 45º
Regra de três
360º 2pR
45º 60 cm
2 . 3 . R = 360 . 60 / 45 = 480
R = 480 / 6 = 80 cm (resp)
R
R
R
AC = AC + 1 = R + 1
AC =a
3602pR.
AC =60360
2pR.
AC =pR3
AC = AC + 1 = R + 1
pR3
= R + 1 pR = 3R + 3 R(p - 3) = 3
R =3
(p - 3)cm Resposta
a) c = 2pR
b) c' = 2p(R + d) = 2pR + 2pd
c) Dc = c' - c = (2pR + 2pd) - 2pR = 2pd
A distância percorrida por um ponto A na 1ª polia é igual à dis-tância percorrida por um ponto B na 2ª polia.
A
B
d = d n . 2pR = n . 2pRA B A A B B
1 750 . 2 . p . 30 = n . 2 . p . 20B
n = 2 625 rpm RespostaB
Regra de três
2p Radianos ---------------- c = 2pR2 Radianos ----------------------- x
x =2 . 2pR
2p= 2.R = 2 . 40 = 80 cm
x = 80 cm Resposta
Regra de três
2p Radianos ---------------- c = 2pR3p/2 Radianos ----------------- 50
2pR . 3p2
= 2p . 50
R =1003p
cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
233
13) (UFSCar-SP) Uma pizza circular será fatiada, a partir do centro, em setores circulares. Se o arco de cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número máximo de N fatias idênticas, sobrando, no final, uma fatia menor que é indicada na figura por fatiaN + 1.
Considerando p = 3,14, o arco da fatia N + 1, em radiano, éa) 0,74b) 0,72c) 0,68d) 0,56e) 0,34
fatia 1
fatia 2
fatia 3
fatia N
fatia N + 1d
d/2
d/2
d d
A
E
C
DF
14) (FGV-SP) Na figura estão representados dois quadrados de lado d e dois setores circulares de 90º e raio d. Sabendo que os pontos A, E e C estão alinhados, a soma dos comprimentos do segmento CF e do arco de circunferência AD, em função de d, é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
(2 3 + p)6
(3 + p)
d
6(4 3 + p)
12d
d(12 + p)24
(2 3 + p)12
d
d
15) (UESB-BA) O setor de 60º destacado na figura abaixo, corresponde à superfície de um canteiro circular plano, no qual pretende-se plantar duas roseiras por metro quadrado. Se o canteiro tem 42 m de diâmetro, quantas roseiras deverão ser plantadas ?(Use p = 22/7)
a) 22b) 88c) 231d) 462e) 924
60º
Jeca 132
16) (J) A figura abaixo representa duas polias que têm raios 58 cm e 18 cm e a distância entre os seus centros é de 80 cm. Determine o comprimento da cor-reia que envolve as duas polias. (p = 3)
correia
(GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
234
13) (UFSCar-SP) Uma pizza circular será fatiada, a partir do centro, em setores circulares. Se o arco de cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número máximo de N fatias idênticas, sobrando, no final, uma fatia menor que é indicada na figura por fatiaN + 1.
Considerando p = 3,14, o arco da fatia N + 1, em radiano, éa) 0,74b) 0,72c) 0,68d) 0,56e) 0,34
fatia 1
fatia 2
fatia 3
fatia N
fatia N + 1d
d/2
d/2
d d
A
E
C
DF
14) (FGV-SP) Na figura estão representados dois quadrados de lado d e dois setores circulares de 90º e raio d. Sabendo que os pontos A, E e C estão alinhados, a soma dos comprimentos do segmento CF e do arco de circunferência AD, em função de d, é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
(2 3 + p)6
(3 + p)
d
6(4 3 + p)
12d
d(12 + p)24
(2 3 + p)12
d
d
15) (UESB-BA) O setor de 60º destacado na figura abaixo, corresponde à superfície de um canteiro circular plano, no qual pretende-se plantar duas roseiras por metro quadrado. Se o canteiro tem 42 m de diâmetro, quantas roseiras deverão ser plantadas ?(Use p = 22/7)
a) 22b) 88c) 231d) 462e) 924
60º
Jeca 132
2p = 2 . 3,14 = 6,28 radianos (arco de uma volta)6,28 / 0,8 = 6,85Portanto6,28 = 7 . 0,8 + x = 5,6 + xx = 6,28 - 5,6 = 0,68 radianos (resp)
16) (J) A figura abaixo representa duas polias que têm raios 58 cm e 18 cm e a distância entre os seus centros é de 80 cm. Determine o comprimento da cor-reia que envolve as duas polias. (p = 3)
correia
(GeoJeca)
d/2d
d
(2 3 + p) d6
Se d = 42 m , então R = 21 m
2 2 2Área do círculo S = pR = p(21) = 441 . 22/7 = 1 386 m
Área do setor circular
S =a
360
2pR =
36060 . 1 386 2
231 m=
Se serão plantadas duas roseiras por metro quadrado, então o número de roseiras plantadas será
N = 2 . 231 = 462 roseiras Resposta d
18
40
80
18
a
sen a =4080
12
a = 30º=
120º240º60º
60º
a
bc
O comprimento da correia será a soma dos comprimentos dos arcos a e b e dos dois segmentos retos c.
cos 30º = c80
c = 80.cos 30º = 80 3 /2 = 40 3 cm
a =q
360.2pR =
360. 2 . 3 . 58240
= 232 cm
b =q
360.2pR =
360. 2 . 3 . 18120
= 36 cm
Comprimento total da correira
d = a + b + 2c = 232 + 36 + 2(40 3 )
d = (268 + 80 3 ) cm Resposta
a
a
d/2d
1sen a =cohip
= =2
Portanto a = 30º
AD = 30360
2.p.d pd=
6
tg a = tg 30º = CF / EF = CF / d
3 =CF
d3CF = d 3 /3
AD + CF = pd6
+ d 33
=
Resposta a
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
235
17) (UFLa-MG) Amarre um barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de futebol. Agora amarre um barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de gude. Se você aumentar 1 m no comprimento de cada um dos dois barbantes e fizer uma circunferência com cada um deles, haverá uma folga d entre a bola de futebol e o primeiro barbante e uma 1
folga d entre a bola de gude e o segundo barbante.2
Assinale a alternativa correta.
a) d > d1 2
b) d < d1 2
c) d = d + 11 2
d) d = d1 22 2
e) p(d - d ) = 12 1
d1 d2futebol
gude
18) (J) Dado um círculo C de área S, determinar qual o aumento necessário no raio desse círculo para se obter um segundo círculo de área 3S.
19) (J) Estudos aerodinâmicos recomendam que a velocidade escalar da ponta de uma hélice de avião seja inferior à velocidade do som no ar (340 m/s). Determine a máxima rotação por minuto que uma hélice de diâmetro 1,70 m pode atingir para obedecer o recomendado pela aerodinâmica. (Adote p = 3,14)
Jeca 133
20) (J) Uma pista automobilística foi traçada tendo como base um pentágono regular e cinco círculos congruentes, cujos centros estão sobre os vértices do pentágono e se tangenciam. Sabendo que a pista tem 3 648 m de comprimento, determine o raio de cada círculo e o comprimento da única reta dessa pista.Adote p = 3. (GeoJeca)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
236
17) (UFLa-MG) Amarre um barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de futebol. Agora amarre um barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de gude. Se você aumentar 1 m no comprimento de cada um dos dois barbantes e fizer uma circunferência com cada um deles, haverá uma folga d entre a bola de futebol e o primeiro barbante e uma 1
folga d entre a bola de gude e o segundo barbante.2
Assinale a alternativa correta.
a) d > d1 2
b) d < d1 2
c) d = d + 11 2
d) d = d1 22 2
e) p(d - d ) = 12 1
d1 d2futebol
gude
18) (J) Dado um círculo C de área S, determinar qual o aumento necessário no raio desse círculo para se obter um segundo círculo de área 3S.
19) (J) Estudos aerodinâmicos recomendam que a velocidade escalar da ponta de uma hélice de avião seja inferior à velocidade do som no ar (340 m/s). Determine a máxima rotação por minuto que uma hélice de diâmetro 1,70 m pode atingir para obedecer o recomendado pela aerodinâmica. (Adote p = 3,14)
Jeca 133
c = 2pRA A
R = c / 2pA A
c = c + 1 = 2pRB A B
R = (c + 1) / 2pB A
d = R - R1 B A
d = (c + 1 - c ) / 2p 1 A A
d = 1 / 2p1
c = 2pRC C
R = c / 2pC C
c = c + 1 = 2pRD C D
R = (c + 1) / 2pD C
d = R - R2 D C
d = (c + 1 - c ) / 2p 2 C C
d = 1 / 2p2
Portanto d = d (resp)1 2
e = 360/5 = 72º
108º 252º
162º
108º
162º
20) (J) Uma pista automobilística foi traçada tendo como base um pentágono regular e cinco círculos congruentes, cujos centros estão sobre os vértices do pentágono e se tangenciam. Sabendo que a pista tem 3 648 m de comprimento, determine o raio de cada círculo e o comprimento da única reta dessa pista.Adote p = 3. (GeoJeca)
108162162108252
792º
R
R
RR
R
R
R
R
R
O comprimento total da pista é uma reta de comprimento 2R e a soma dos arcos de circunferência, cujo total é 792º.
Regra de três
360º ----------- 2pR
792º ----------- x
x = 792 . 2 . p . R / 360
x = 13,2 R
d = x + 2R
3648 = 13,2 R + 2R = 15,2 R
R = 3648/15,2 = 240 m
a)
R = 240 m Resposta a)
b) Comprimento dareta = 2R
2R = 2.240 = 480 m Resposta b)
r R
2S = p.r
2r = S/p
r
23S = p.R
2R = 3S/p
R
=Sp =
S.pp
3Sp= =
3.S.pp
Aumento necessário do raio
DR = R - r =3.S.pp
- S.pp
S3S
DR = 3 . S.p - S.p
p =
DR = S.p .( 3 - 1)
pResposta
Se d = 1,70 m , então R = 0,85 m
Comprimento de uma volta
c = 2pR = 2 . 3,14 . 0,85 = 5,338 m
n = nº de voltas da hélice em 1 segundo
n . c = n . 5,338 < 340 (restrição aerodinâmica)
n < 340 / 5,338
n < 63,694 voltas por segundo
Por minuto, tem-se
RPM = 63,694 . 60 = 3821 voltas Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
237
Respostas dos exercícios da Aula 11.
201) 14p m e 49p m
202) 36 cm e 324p cm
03) 2747,5 m
04) 20 voltas
05) (0,90 / p) m
06) 8 cm
07) e
08) e
09) 12 cm
10) e
11) a
12) c
13) d
14) a
15) 5p cm
16) a
17) a
18) 210 cm
19) 87,05 m e 261,15 m
20) 6( 3 + p) cm
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 134
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
238
Respostas dos exercícios complementares da Aula 11.
01) d
02) b
03) 32 voltas
04) 72º
05) 58,8 m
06) 3 m
07) 80 cm
08) (3 / p - 3) cm
09)a) 2prb) 2p(r + d)c) 2pd
10) 2625 rpm
11) 80 cm
12) (100 / 3p) cm
13) c
14) a
15) d
16) (80 3 + 268) cm
17) d)
18) DR = [ S.p .( 3 - 1)] / p
19) 3821 rpm
20) 240 m e 480 m
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 135
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
239
I) Polígono regular.
e
e
e
e
e
i
i
i
ii
a
Um polígono é regular se tem:a) todos os lados congruentes entre si;b) todos os ângulos internos congruentes entre si;c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
3 lados - triângulo equilátero4 lados - quadrado5 lados - pentágono regular6 lados - hexágono regular etc
Classificação dos polígonos regulares
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
i =Si
n >180 (n - 2)
i = n
e =Se
n >360e = n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência.
ângulocentral
C
II) Principais polígonos regulares.
1) Triângulo equilátero. 3) Hexágono regular.2) Quadrado.
60º
Todo hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláte-ros.
l
l
ll
l
l
l
ll l
l
l
R =
l
r
l 32
=r R = ll 36
=r R = l2
=r R =l 33
l 22
r30º
RBICO
Em todo triângulo equilátero os quatro pontos notáveis (BICO) coin-cidem num mesmo ponto.
R
r45º
III) Apótema de um polígono regular. O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado.O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.
Exercício 01 - Determinar o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita em um quadrado de lado 12 cm.
12 cm
l - lado do polígono regular
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 12
Inscrição e circunscrição de polígonos regulares.
Jeca 136
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
240
I) Polígono regular.
e
e
e
e
e
i
i
i
ii
a
Um polígono é regular se tem:a) todos os lados congruentes entre si;b) todos os ângulos internos congruentes entre si;c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
3 lados - triângulo equilátero4 lados - quadrado5 lados - pentágono regular6 lados - hexágono regular etc
Classificação dos polígonos regulares
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
i =Si
n >180 (n - 2)
i = n
e =Se
n >360e = n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência.
ângulocentral
C
II) Principais polígonos regulares.
1) Triângulo equilátero. 3) Hexágono regular.2) Quadrado.
60º
Todo hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláte-ros.
l
l
ll
l
l
l
ll l
l
l
R =
l
r
l 32
=r R = ll 36
=r R = l2
=r R =l 33
l 22
r30º
RBICO
Em todo triângulo equilátero os quatro pontos notáveis (BICO) coin-cidem num mesmo ponto.
R
r45º
III) Apótema de um polígono regular. O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado.O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.
Exercício 01 - Determinar o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita em um quadrado de lado 12 cm.
12 cm
l - lado do polígono regular
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 12
Inscrição e circunscrição de polígonos regulares.
Jeca 136
R
r
r = 12 / 2 = 6 cm
R = d / 2 = 12 2 / 2 = 6 2 cm (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
241
02) Determine o raio da circunferência inscrita num tri-ângulo equilátero de lado 4 cm.
03) Determine o raio da circunferência circunscrita num triângulo equilátero de lado 8 cm.
04) Determine o raio da circunferência circunscrita num quadrado de lado 14 cm.
05) Determine o lado de um hexágono regular circuns-crito em uma circunferência de raio 3 cm.
06) Determine o lado de um quadrado inscrito num cír-culo de raio k.
07) Determine o raio de um círculo inscrito num hexá-gono regular de lado 2k.
Jeca 137
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
242
02) Determine o raio da circunferência inscrita num tri-ângulo equilátero de lado 4 cm.
03) Determine o raio da circunferência circunscrita num triângulo equilátero de lado 8 cm.
04) Determine o raio da circunferência circunscrita num quadrado de lado 14 cm.
05) Determine o lado de um hexágono regular circuns-crito em uma circunferência de raio 3 cm.
06) Determine o lado de um quadrado inscrito num cír-culo de raio k.
07) Determine o raio de um círculo inscrito num hexá-gono regular de lado 2k.
Jeca 137
30º
30º2 2
r
tg 30º = co / ca = r / 2
r = 2 tg 30º
r = 2 3 / 3 cm (resp)30º4
R
4
cos 30º
=
cahip
4R
=
4Rcos 30º
=
=8 3
3cm
Resposta
45º
7 cmR
sen 45º =cohip
7R
=
7=R
sen 45º= 7 2 cm
Resposta
60º
l3
l
l
sen 60º =cohip
3=
3=
sen 60º= 2 3 cm
Resposta
l
l
2k
x
x
Pitágoras
2 2 2 2(2k) = x + x = 2x
2 24k = 2x
2 2 2x = 4k /2 = 2k
2x = 2k = k 2 Resposta
2k 2k
2k
r
60º
sen 60º =cohip
r2k
=
r = 2k.sen 60º = 2k 3 /2
r = k 3 Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
243
R
r
h
08) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 8 cm, determine:a) a altura do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
8 cm
8 cm
8 cm
09) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 12 cm, determine:a) o lado do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
R
r
h
10) Determine a medida do lado de um triângulo equi-látero inscrito numa circunferência de raio 5 cm.
11) Determine o raio da circunferência inscrita num hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm.
Jeca 138
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
244
R
r
h
08) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 8 cm, determine:a) a altura do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
8 cm
8 cm
8 cm
09) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 12 cm, determine:a) o lado do triângulo;b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
R
r
h
10) Determine a medida do lado de um triângulo equi-látero inscrito numa circunferência de raio 5 cm.
11) Determine o raio da circunferência inscrita num hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm.
Jeca 138
60ºa) sen 60º = h / 8 h = 8 sen 60º h = 8 3 / 2 h = 4 3 cm (resp)
b) r = h / 3 = 4 3 / 3 cm (resp)
c) R = 2.r = 2 . 4 3 / 3 R = 8 3 / 3 cm (resp)
60º
12l
b) r = h/3 = 12/3 = 4 cm
a)
c) R = 2r = 2 . 4 = 8 cm
sen 60º cohip
=
sen 60º =12
l
l =12
sen 60º
l = 8 3 cm
l
R = 5
l/230º
cos 30º =cahip
=l/25
l=
25.cos 30º =
5 32
l = 5 3 cm Resposta R = 7
60º
r
sen 60º =cohip
r7
=
r = 7.sen 60º = 7. 3 /2
r = 7 3 /2 cm Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
245
12) Qual é a razão entre o lado de um triângulo equilá-tero e o lado de um quadrado circunscritos à mesma circunferência ?
13) Qual é a razão entre o lado de um hexágono regu-lar e o lado de um quadrado circunscritos à mesma circunferência ?
14) Qual é a razão entre o perímetro do hexágono re-gular circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero inscrito numa mesma circunferência ?
15) Qual é a razão entre o lado do hexágono regular circunscrito e o perímetro do quadrado inscrito numa mesma circunferência ?
Jeca 139
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
246
12) Qual é a razão entre o lado de um triângulo equilá-tero e o lado de um quadrado circunscritos à mesma circunferência ?
13) Qual é a razão entre o lado de um hexágono regu-lar e o lado de um quadrado circunscritos à mesma circunferência ?
14) Qual é a razão entre o perímetro do hexágono re-gular circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero inscrito numa mesma circunferência ?
15) Qual é a razão entre o lado do hexágono regular circunscrito e o perímetro do quadrado inscrito numa mesma circunferência ?
Jeca 139
L /2Q
L /2 T
30º
r
L lado do quadradoQ
L lado do triânguloT
L = 2rQ
tg 30º = r / L /2T
L .tg 30º = 2.rT
L = 2r / ( 3 / 3)T
L = 2r . 3 / 3T
L = 2r 3 cmT
LT
LQ=
2r 3
2r= 3 (resp)
L /2H
L /2Q30º
tg 30º =coca =
L /2H
L /2Q
33
=LH
LQ
LH
LQ
33
= Resposta
LH
L /2TR
R
30º30º
cos 30º =cahip
RLH
=
LH =R
cos 30º=
2R 33
cos 30º =cahip R
=L /2T
cos 30º2R
=LT
LT = 2R.cos 30º = 2R 3 /2 = R 3
PerH
PerT=
6.LH
3.LT=
6. 2R 33
3.R 3= 4
3Resposta
LH L /2Q
RR
45º30º
cos 45º =cahip R
=L /2Q
LQ=
2R.cos 45º =
R 22
LQ = R 2
cos 30º =cahip
R=
LH
LH = Rcos 30º
=2R 3
3
LH
PerQ=
4.LQ
LH =
2R 33
4.R 2=
612
Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
247
1) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.b) o apótema do triângulo.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.d) o lado do triângulo.
R
R
r
r
h
h
l l
l
2) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 5k, determinar em função de k :a) a altura do triângulo.b) o raio da circunferência inscrita e o apótema.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
5k 5k
5k
3) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita a um quadrado é 8 cm, determinar :a) o apótema e o raio da inscrita.b) o lado do quadrado.c) o perímetro do quadrado.
rR
l
l
l
l
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaInscrição e circunscrição de polígonos
regulares. Exercícios complementares da aula 12.
Jeca 140
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
248
1) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.b) o apótema do triângulo.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.d) o lado do triângulo.
R
R
r
r
h
h
l l
l
2) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 5k, determinar em função de k :a) a altura do triângulo.b) o raio da circunferência inscrita e o apótema.c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
5k 5k
5k
3) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita a um quadrado é 8 cm, determinar :a) o apótema e o raio da inscrita.b) o lado do quadrado.c) o perímetro do quadrado.
rR = 8l
l
l
l
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaInscrição e circunscrição de polígonos
regulares. Exercícios complementares da aula 12.
Jeca 140
3
60ºa) r = h/3 = 3/3 = 1 cm (resp)
b) a = r = 1 cm (resp)
c) R = 2r = 2 . 1 = 2 cm (resp)
d) sen 60º = h/l = 3/l
32
=3l
l =3
6=
6 33
= 2 3 cm (resp)
60º
a)
b) r = h/3 =
c) R = 2r =
sen 60º cohip
=h
h
=5k
h = 5k.sen 60º = 5k 3 /2
5k 3 /23
=5k 3
6
a = r =5k 3
6
5k 33
45º
b) l = 2r = 8 2 cm
a)
c) Perímetro = 4l = 32 2 cm
sen 45º =cohip
r8
=
a = r = 8.sen 45º = 8 2 /2 = 4 2 cm
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
249
rR
k
k
k
k
5) Sabendo-se que um hexágono regular tem lado 7 cm, determinar :a) o raio da circunferência circunscrita ao hexágono.b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no hexágono.c) o perímetro do hexágono.
6) Sabendo-se que o apótema de um hexágono regular é 3k, determinar em função de k :a) o raio da circunferência inscrita no hexágono.b) o raio da circunferência circunscrita no hexágono.c) o lado e o perímetro do hexágono.
Jeca 141
4) Sabendo-se que um quadrado tem lado k, determinar em função de k :a) o perímetro do quadrado.b) o apótema do quadrado e o raio da circunferência inscrita no quadrado..c) a diagonal do quadrado e o raio da circunferência circunscrita.
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
250
4) Sabendo-se que um quadrado tem lado k, determinar em função de k :a) o perímetro do quadrado.b) o apótema do quadrado e o raio da circunferência inscrita no quadrado..c) a diagonal do quadrado e o raio da circunferência circunscrita. rR
k
k
k
k
5) Sabendo-se que um hexágono regular tem lado 7 cm, determinar :a) o raio da circunferência circunscrita ao hexágono.b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no hexágono.c) o perímetro do hexágono.
6) Sabendo-se que o apótema de um hexágono regular é 3k, determinar em função de k :a) o raio da circunferência inscrita no hexágono.b) o raio da circunferência circunscrita no hexágono.c) o lado e o perímetro do hexágono.
Jeca 141
a) 2p = 4k (resp)
b) a = r = k/2 (resp)
2 2 2 2c) Pitágoras d = k + k = 2k
d = k 2 (resp)
d = 2R
R = d/2 = k 2 / 2 (resp)
R = 7 cm
R R
a) O triângulo é equilátero. Portanto R = lado = 7 cm
60º
7 cm r
b) sen 60º =cohip
r7
=
r = 7.sen 60º = 7 3 /2 cm
apótema = raio da inscrita (a = r = 7 3 /2 cm)
c) Perímetro = 2p = 6 . 7 = 42 cm
Resposta
Resposta
Resposta
a) apótema = raio da inscrita Portanto a = r = 3k
3kR
60º
b) sen 60º =cohip
3k
R
=R
=3k
sen 60º= 2k 3
c) l = R = 2k 3
Perímetro = 6.l = 12k 3
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
251
7) Determinar a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o perímetro de um hexágono regular inscritos numa mesma circunferência.
8) Na figura abaixo, o quadrado e o triângulo equilátero estão inscritos numa mesma circunferência. Determinar a razão entre o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio da circunferência inscrita no triângulo.
9) Um quadrado e um hexágono regular são circunscritos a uma mesma circunferência. Determinar a razão entre o raio da circunferência circunscrita ao hexágono e o raio da circunferência circunscrita ao quadrado.
Jeca 142
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
252
7) Determinar a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o perímetro de um hexágono regular inscritos numa mesma circunferência.
8) Na figura abaixo, o quadrado e o triângulo equilátero estão inscritos numa mesma circunferência. Determinar a razão entre o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio da circunferência inscrita no triângulo.
9) Um quadrado e um hexágono regular são circunscritos a uma mesma circunferência. Determinar a razão entre o raio da circunferência circunscrita ao hexágono e o raio da circunferência circunscrita ao quadrado.
Jeca 142
R
R
L /2T30º
LH
L lado do hexágonoH
L = RH
L lado do triânguloT
cos 30º = R / (L / 2)T
32
=R
LT
2
3 LT
6 LH=
6R
3 LT
6 LH=
32
(resp)
R 3=LT
3R 3
30º
R
R
RQ
RT
45º
sen 45º =cohip
RQ
R
R = R.sen 45º = R 2 /2Q
=
sen 30º =cohip
RT
R
R = R.sen 30º = R/2T
=
RQ
RT=
R 2 /2R/2
2= Resposta
RH
R Q
RH
RQ
R
R
30º
45º
cos 45º =cahip
=RRQ
RQ =R
cos 45º= R 2
cos 30º =cahip
=R
=R
cos 30º=
2R 3
RH
RH 3
=
2R 33
R 2=
63
Resposta
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
253
10) Um octógono regular está inscrito numa circunferência de raio 12 cm. Determinar :a) o lado e o perímetro desse octógono.b) o raio da circunferência inscrita nesse octógono.
11) Um dodecágono regular está inscrito numa circunferência de raio 7 cm. Determinar :a) o lado e o perímetro desse dodecágono.b) o raio da circunferência inscrita nesse dodecágono.
Jeca 143
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
254
10) Um octógono regular está inscrito numa circunferência de raio 12 cm. Determinar :a) o lado e o perímetro desse octógono.b) o raio da circunferência inscrita nesse octógono.
11) Um dodecágono regular está inscrito numa circunferência de raio 7 cm. Determinar :a) o lado e o perímetro desse dodecágono.b) o raio da circunferência inscrita nesse dodecágono.
Jeca 143
12
12
22,5º
22,5º
r
LO
L lado do octógonoO
Lei dos cossenos2 2 2
L = 12 + 12 - 2 . 12 . 12 . cos 45ºO2
L = 144 + 144 - 144 2O
L = 288 - 144 2 = 144(2 - 2 )O
L = 12 2 - 2 cm Per = 96 2 - 2 cm (resp)O
a)
b)2 2 2
Pitágoras 12 = r + (L /2)O
2 2144 = r + [12 2 - 2 )/2]
2 2r = 144 - (6 2 - 2 ) = 144 - [36(2 - 2)] = 144 - 72 + 36 2
2r = 72 + 36 2 = 36(2 + 2 )
r = 36(2 + 2 ) = 6 2 + 2 cm (resp)
7 cm
30º
r
a) Lei dos cossenos
2 2 2x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2x = 7 + 7 - 2. 7. 7. cos 30º
2x = 49 + 49 - 49 3
x = 7 2 - 3 cm
Perímetro = 2p = 84 2 - 3 cm
b) Pitágoras
2 2 27 = r + (x/2)
2r = 49 - 49(2 - 3 ) /4 = 49(2 - 3 ) /4
r = 7 2 - 3 /2
x
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
255
Respostas dos exercícios da Aula 12.
01) 6 cm e 6 2 cm
02) (2 3 / 3) cm
03) (8 3 / 3) cm
04) 7 2 cm
05) 2 3 cm
06) k 2
07) k 3
08) a) 4 3 cmb) (4 3 / 3) cmc) (8 3 / 3) cm
09)a) 8 3 cmb) 4 cmc) 8 cm
10) 5 3 cm
11) (7 3 / 2) cm
12) 3
13) 3 / 3
14) 4 / 3
15) 6 / 12
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 144
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
256
Respostas dos exercícios complementares da Aula 12.
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
01)a) 1 cmb) 1 cmc) 2 cmd) 2 3 cm
02) a) 5k 3 / 2b) 5k 3 / 6c) 5k 3 / 3
03) a) 4 2 cmb) 8 2 cmc) 32 2 cm
04) a) 4kb) k / 2c) k 2d) k 2 / 2
05) a) 7 cmb) (7 3 / 2) cmc) 42 cm
06)a) 3kb) 2k 3c) 2k 3d) 12k 3
07) 3 / 2
08) 2
09) 6 / 3
10)a) 12 2 - 2 cm e 96 2 - 2 cm
b) 6 2 + 2 cm
11) a) 7 2 - 3 cm e 84 2 - 3 cm
b) (7 2 + 3 / 2) cm
Jeca 145
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
257
I) Áreas das figuras planas. Área é a medida de superfície.
II) Áreas das figuras poligonais.
1) Área do retângulo. 2) Área do quadrado. 3) Área do paralelogramo.
4) Área do trapézio. 5) Área do losango. 6) Área do triângulo.
S = b . hb
h
2S = l
l
l S = b . hb
h
b
B
h
S=b + B h
2.( )
d
D
S =d . D
2 b
h
S =b . h
2
III) Outras fórmulas para o cálculo da área de um triângulo.
IV) Áreas das figuras circulares.
2) Em função dos 3 lados (Fórmula de Hierão)1) Em função de dois lados e do ângulo entre eles.
3) Em função do raio da circunferência inscrita. 4) Em função do raio da circunferência circunscrita.
a
a
ba . b. sen a1
2S =
(Importantíssima)
a
b
c
p.(p - a)(p - b)(p - c)S =
p - semiperímetro
a + b + c2
p =
r
a
b
c
S = p . r
p - semiperímetro
a + b + c2
p =R
a
b
c
S =a . b . c
4 R
1) Área do círculo. 2) Área da coroa circular.
Área do círculo
Perímetro do círculo
S =2
p r
c = 2 p r
r
r - raio do círculo.
R
r
S =2 2
p R - p r
R - raio do círculo maiorr - raio do círculo menor
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 13
Áreas das figuras planas.
Jeca 146
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
258
3) Área do setor circular. 4) Área do segmento circular.
r - raio do círculo.
a
r
rC
r
rC
a
Regra de três
2360º p ra Ssetor
Ssetor =a
360
2p r. S = S - Ssegmento circular setor triângulo
Lembrar que a áreado triângulo é dada por
a . b. sen a12
Striângulo =
V) Áreas das figura semelhantes.
Duas figuras planas são ditas semelhantes se uma delas é a redução ou a ampliação da outra. l1
l2
S1
S2 l1S1
S2=
l2( )
2
Se duas figuras planassão semelhantes, então vale
a relação:
- comprimentoS - áreal
Exercício 01 - A figura abaixo é um quadriculado onde cada quadradinho tem lado 1 cm. Todos os pontos, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O e P estão exatamente sobre os cruzamentos das linhas que compõem o quadriculado. Com base no desenho e nestas informações, calcule a área de cada polígono (S , S , 1 2
S , S , S , S , S e S ). Faça os cálculos dentro do próprio desenho.3 4 5 6 7 8
Jeca 147
A B
C D E F G H
I J K
L M
O
N
P
S6 S7
S8
S4
S5
S1
S2 S3
1 cm
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
259
3) Área do setor circular. 4) Área do segmento circular.
r - raio do círculo.
a
r
rC
r
rC
a
Regra de três
2360º p ra Ssetor
Ssetor =a
360
2p r. S = S - Ssegmento circular setor triângulo
Lembrar que a áreado triângulo é dada por
a . b. sen a12
Striângulo =
V) Áreas das figura semelhantes.
Duas figuras planas são ditas semelhantes se uma delas é a redução ou a ampliação da outra. l1
l2
S1
S2 l1S1
S2=
l2( )
2
Se duas figuras planassão semelhantes, então vale
a relação:
- comprimentoS - áreal
Exercício 01 - A figura abaixo é um quadriculado onde cada quadradinho tem lado 1 cm. Todos os pontos, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O e P estão exatamente sobre os cruzamentos das linhas que compõem o quadriculado. Com base no desenho e nestas informações, calcule a área de cada polígono (S , S , 1 2
S , S , S , S , S e S ). Faça os cálculos dentro do próprio desenho.3 4 5 6 7 8
A B
C D E F G H
I J K
L M
O
N
P
S4
1 cm
Jeca 147
S1
S2
S6 S7
S8
S5
S3
S = d . D / 21
S = 8 . 14 / 212
S = 56 cm1
S = [(b + B) . h / 2] + [(b' + B') h / 2]2
S = [(13 + 17).7/2] + [7 + 3).7/2]22
S = 105 + 35 = 140 cm2
S = b . h / 23
S = 13 . 7 / 232
S = 91 / 2 cm3
S = b . h52
S = 11 . 11 = 121 cm5
S = (b + b) . h / 26
S = (6 + 22) . 13 / 262
S = 182 cm6
S = b . h = 10 . 782
S = 70 cm8
S = b . h / 27
S = 9 . 16 / 272
S = 72 cm7
S = S - S - S - S 4 RET T1 T2 T3
S = 176 - 28 - 44 - 3242
S = 72 cm4
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
260
02) Determinar a área de um triângulo equilátero de lado 16 cm.
03) Determinar a área de um hexágono regular de lado 4 cm.
04) Determinar a área de um dodecágono regular ins-crito numa circunferência de raio 8 cm.
05) Determinar a área de um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm.
06) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, determinar o raio da circunferência inscrita no triângulo e a altura relativa ao lado que mede 6 cm.
07) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, determinar o raio da circunferência circunscrita nesse triângulo.
08) Determinar a área do paralelogramo abaixo.
120º
6 cm
15 cm
09) Determinar a área do trapézio abaixo.12 cm
15 cm
5 cm
Jeca 148
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
261
02) Determinar a área de um triângulo equilátero de lado 16 cm.
03) Determinar a área de um hexágono regular de lado 4 cm.
04) Determinar a área de um dodecágono regular ins-crito numa circunferência de raio 8 cm.
05) Determinar a área de um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm.
06) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, determinar o raio da circunferência inscrita no triângulo e a altura relativa ao lado que mede 6 cm.
07) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, determinar o raio da circunferência circunscrita nesse triângulo.
08) Determinar a área do paralelogramo abaixo.
120º
6 cm
15 cm
09) Determinar a área do trapézio abaixo.12 cm
15 cm
5 cm
Jeca 148
S = a . b . sen a 12
S = 16 . 16 . sen 60º 12
S = 16 . 16 . 12 2
3
2S = 64 3 cm (resp)
4
4 4
4
4 4 460º
S = 6.S = 6. .a . b . sen aHEX TRIÂNG
S = 6 . . 4 . 4 . ( 3 / 2)HEX
2S = 24 3 cm (resp)HEX
12
12
S = 12 . S = 12 . . a . b . sen aDODEC TRIÂNG
a = 360 / 12 = 30º
2S = 12 . . 8 . 8 . = 192 cm (resp)DODEC
12
12
12
Fórmula de Hierão - S = p(p - a)(p - b)(p - c)
p - semiperímetro p = (a + b + c) / 2
p = (5 + 6 + 7)/2 = 18/2 = 9 cm
2S = 9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7) = 6 6 cm (resp)
2Do exercício nº 05, tem-se que S = 6 6 cmTRIÂNG
S = p . r - área do triângulo em função do raio da inscritap = (a + b + c)/2 = (5 + 6 + 7)/2 = 9
26 6 = 9 . r r = 6 6 / 9 = (2 6 / 3) cm (resp)
S = B . h / 2
6 6 = 6 . h / 2 h = 2 6 cm (resp)
>
>
2Do exercício nº 05, tem-se que S = 6 6 cmTRIÂNG
S = a . b . c / 4R - área do triângulo em função do raio da circunscrita
6 6 = 5 . 6 . 7 / 4R 4R 6 = 35
R = 35 / 4 6 = (35 6 / 24) cm (resp)
>
>
15 cm
6 cm
120º
S = 2 S = 2. . a . b. sen aPARALEL TRIÂNG
S = 2 . . 6 . 15 . ( 3 / 2)PARALEL
2S = 45 3 cm (resp)PARALEL
12
12
3
h
Pitágoras
h = 4 cm
S = ( )h = ( ) . 4TRAP
2S = 54 cm (resp)TRAP
b + B2
12 + 152
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
262
A B
CD
E
F
10) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido em 16 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E e F os centros dos dois semicírculos e B o centro do setor circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a
área da região sombreada. (deixar em função de p)2 cm
11) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido em 36 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E o centro do semicírculo, F o centro do círculo e B o centro do setor circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a
área da região sombreada. (deixar em função de p)
A
B C
D
E
F
2 cm
12) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido em 36 quadradinhos de lado 3 cm. Sendo E o centro do semicírculo e B e C os centros dos setores circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a área da região
sombreada. (deixar em função de p)
A B
CD
E
3 cm
A B
CO
60º
13) Na figura abaixo, A, B e C são pontos de tangência e o círculo está inscrito no setor circular de centro O, raio 3 cm e ângulo central 60º. Determinar a área do círculo.
14) Um trapézio tem base maior 5k, base menor 2k e altura 4k. A área do trapézio, em função de k, é :
3 2 2 2a) 7k b) 11k c) 7k d) 14k e) 12k
a
b
k
A B
CD
P
15) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado k. Sendo P um ponto que dista a de BC e b de CD, a área do quadrilátero ABPD, em função de k, de a e de b, é :a)
b)
c)
d)
e)
k(k )a2
b2
k(k )a2
b2
+
k(k )a2
b2
+ +
k(k )a2
b2
+
2k ( )a
2b2
+
Jeca 149
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
263
A B
CD
E
F
10) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido em 16 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E e F os centros dos dois semicírculos e B o centro do setor circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a
área da região sombreada. (deixar em função de p)2 cm
11) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido em 36 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E o centro do semicírculo, F o centro do círculo e B o centro do setor circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a
área da região sombreada. (deixar em função de p)
A
B C
D
E
F
2 cm
12) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido em 36 quadradinhos de lado 3 cm. Sendo E o centro do semicírculo e B e C os centros dos setores circular e sabendo que as figuras circulares tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a área da região
sombreada. (deixar em função de p)
A B
CD
E
3 cm
A B
CO
13) Na figura abaixo, A, B e C são pontos de tangência e o círculo está inscrito no setor circular de centro O, raio 3 cm e ângulo central 60º. Determinar a área do círculo.
14) Um trapézio tem base maior 5k, base menor 2k e altura 4k. A área do trapézio, em função de k, é :
3 2 2 2a) 7k b) 11k c) 7k d) 14k e) 12k
a
b
k
A B
CD
P
15) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado k. Sendo P um ponto que dista a de BC e b de CD, a área do quadrilátero ABPD, em função de k, de a e de b, é :a)
b)
c)
d)
e)
k(k )a2
b2
k(k )a2
b2
+
k(k )a2
b2
+ +
k(k )a2
b2
+
2k ( )a
2b2
+
Jeca 149
S1 S2
S3
S1S2
S3
S1
S2
S3
2 2S = p . 2 = 2p cm 1
12
2 2S = p . 4 = 4p cm 2
14
2 2S = p . 4 = 8p cm 3
12
2S = 8 . 8 = 64 cmQuad
2S = 64 - 2p - 4p - 8p = 64 - 14p = 2(32 - 7p) cm (resp)Somb
2 2S = p . 8 = 16p cm 1
14
2 2S = p . 4 = 8p cm 2
12
2 2S = p . 2 = 4p cm 3
2S = 12 . 12 = 144 cmQuad
2S = 144 - 16p - 8p - 4p = 144 - 28p = 4(36 - 7p) cm (resp)Somb
2 2S = p . 9 = 81p / 2 cm 1
12
2 2S = p . 9 = 81p / 4 cm 2
14
2 2S = p . 6 = 9p cm 3
14
2S = 18 . 18 = 324 cmQuad
2S = 324 - 81p/2 - 81p/4 - 9p = 9(36 - 31p/4) cm (resp)Somb
R
3 - R
R
30º30º
sen 30º = R / 3 - R
R = sen 30º (3 - R)
R = (3 - R)
3R / 2 = 3 / 2
R = 1 cm
2S = pR
2S = p.1
2S = p cm
12
k - a a
bk
- b
2S = k - a . b - [(k - a).b / 2] - [(k - b).a / 2]SOMB
S = k[k - (a / 2) - (b / 2)] (resp)SOMB
S = ( )h = ( ) . 4kTRAP
2S = 14k (resp)TRAP
b + B2
2k + 5k2
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
264
17) Na figura abaixo, estão representados quatro círculos congruentes tangentes entre si e um quadrado de lado 5 cm, cujos vértices são os centros dos quatro
2círculos. A área da região sombreada, em cm , é :
a) 100p - 100b) 100p - 25c) 75p / 2d) 50p / 3e) 75p / 4
Oa
b
16) (UFV-MG) As circunferências da figura abaixo são concêntricas e têm raios de 1 cm e 2 cm. Determine a área da região hachurada.
6 2 cm
3 2
cm
C
18) A figura abaixo representa uma semi-circunferência de centro C , onde existe um retângulo inscrito. Deter-minar a área da região sombreada.
19) Determinar a área da coroa circular abaixo, sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo interno. A
B
21) Na figura abaixo estão representados dois octógonos regulares. A medida do lado do maior é 8 cm e o octógono menor tem os seus lados apoiados sobre as diagonais do maior. Determine a área da região sombreada.
20) Na figura abaixo, o diâmetro AB coincide com a altura do triângulo equilátero de lado 12 cm. Sendo C o centro da circunferência, determine a área da região externa ao triângulo e interna à circunferência.
C
B
A
Jeca 150
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
265
17) Na figura abaixo, estão representados quatro círculos congruentes tangentes entre si e um quadrado de lado 5 cm, cujos vértices são os centros dos quatro
2círculos. A área da região sombreada, em cm , é :
a) 100p - 100b) 100p - 25c) 75p / 2d) 50p / 3e) 75p / 4
a
16) (UFV-MG) As circunferências da figura abaixo são concêntricas e têm raios de 1 cm e 2 cm. Determine a área da região hachurada.
6 2 cm
3 2
cm
C
18) A figura abaixo representa uma semi-circunferência de centro C , onde existe um retângulo inscrito. Deter-minar a área da região sombreada.
19) Determinar a área da coroa circular abaixo, sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo interno. A
B
21) Na figura abaixo estão representados dois octógonos regulares. A medida do lado do maior é 8 cm e o octógono menor tem os seus lados apoiados sobre as diagonais do maior. Determine a área da região sombreada.
20) Na figura abaixo, o diâmetro AB coincide com a altura do triângulo equilátero de lado 12 cm. Sendo C o centro da circunferência, determine a área da região externa ao triângulo e interna à circunferência.
C
B
A
Jeca 150
a
a
ba
q q
a + b = 120º
q = b / 2
cos a = 1/2a = 60ºb = 60º q = 30º 2
2
1
SA
SV
S = 4 S + 4 S - SSomb A V Círculo
2S = 4 1 . 2 . sen 30º + 4 1 . 2 .sen 60º - prSomb
12
12
2S = 4 1 . 2 . + 4 1 . 2 . - p1Somb
12
32
12
12
2S = 2 + 2 3 - p = [2(1 + 3 ) - p)] cm (resp)Somb
120º
120º
R = h/2
R R
60º
2S = 2(S - S ) = 2( pR - .a . b . sen a)SOMB SETOR TRIÂNG
2S = 2( p(3 3 ) - 3 3 . 3 3 .( 3 / 2)SOMB
2S = 18[p - (3 3 / 4)] cm (resp) SOMB
a360
12
sen 60º = co / hip = h / 12
h = 12 . sen 60º = 12 3 / 2
h = 6 3
R = h / 2 = 3 3 cm
120360
12
1 2 3 4
5 6
7 8
9 10 11 12S = 12 . S / 4SOMB CÍRCULO
2S = 12 . p . (5 / 2) / 4SOMB
2S = (75p / 4) cm (resp)SOMB
5/2 5/2
R
3 2 cm
R = d onde d é a diagonal do quadradod = l 2 onde l = 3 2 é o lado do quadradoPortanto R = 6 cm
S = S / 2 - SSOMB CÍRCULO RETÂNGULO
2S = p . 6 / 2 - 6 2 . 3 2 = 18p - 36SOMB
2S = 18(p - 2) cm (resp)SOMB
r
R5
5Pitágoras
2 2 2R = r + 5
2 2R - r = 25
Área da coroa circular2 2
S = pR - prCOROA2 2
S = p(R - r )COROA2
S = p . 25 = 25p cm (resp)COROA
8
135º45º
x
x x
8
x
x
Lei dos cossenos2 2 2
8 = x + x - 2 . x . x . cos 135º2 2
64 = 2x + 2x 2 / 22
64 = x (2 + 2 )2
x = 64 / (2 + 2 ) = 32(2 - 2 )
2 2 2S = 8 S = 8.x /2 = 4.x = 128(2 - 2 ) cm (resp)SOMB TRIÂNG
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
266
A
B
D
E
F
G
23) Na figura abaixo, o triângulo ADF tem área K. Sabendo-se que DF // BC e que AD = DE = EB e que AF = FG = GC, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC vale :
a) 9K2
b) 9Kc) 3K
2d) 3Ke) 6K
25) (Unifesp) Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles você usa para formar o círculo da figura 1, e o outro você corta em 3 partes iguais para formar os três círculos da figura 2.
Se S é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a relação entre S e s é dada por:a) S = 3s b) S = 4s c) S = 6s d) S = 8s e) S = 9s
figura 1figura 2
22) (Fuvest-SP) Na figura, BC é paralelo a DE, AB = 4 e BE = 5. Determine a razão entre as áreas do triân-gulo ABC e do trapézio BCDE.
A
B C
DE
h
x
A
B C
D E
26) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC, determinar o valor de x para que a área do triângulo ADE seja o dobro da área do trapézio BCED.
h
x
A
B C
D E
27) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC, determinar o valor de x para que a área do triângulo ADE seja um terço da área do trapézio BCED.
A B
C
D
E
24) (Fuvest-SP) No papel quadriculado da figura abai-xo, adota-se como unidade de comprimento o lado do quadrado sombreado. DE é paralelo a BC. Determinar a medida de AD na unidade adotada para que a área do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo ABC.
C
Jeca 151
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
267
A
B
D
E
F
G
23) Na figura abaixo, o triângulo ADF tem área K. Sabendo-se que DF // BC e que AD = DE = EB e que AF = FG = GC, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC vale :
a) 9K2
b) 9Kc) 3K
2d) 3Ke) 6K
25) (Unifesp) Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles você usa para formar o círculo da figura 1, e o outro você corta em 3 partes iguais para formar os três círculos da figura 2.
Se S é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a relação entre S e s é dada por:a) S = 3s b) S = 4s c) S = 6s d) S = 8s e) S = 9s
figura 1figura 2
22) (Fuvest-SP) Na figura, BC é paralelo a DE, AB = 4 e BE = 5. Determine a razão entre as áreas do triân-gulo ABC e do trapézio BCDE.
A
B C
DE
h
x
A
B C
D E
26) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC, determinar o valor de x para que a área do triângulo ADE seja o dobro da área do trapézio BCED.
h
x
A
B C
D E
27) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC, determinar o valor de x para que a área do triângulo ADE seja um terço da área do trapézio BCED.
A B
C
D
E
24) (Fuvest-SP) No papel quadriculado da figura abai-xo, adota-se como unidade de comprimento o lado do quadrado sombreado. DE é paralelo a BC. Determinar a medida de AD na unidade adotada para que a área do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo ABC.
C
Jeca 151
Áreas de figuras semelhantes.
S1
S2
l1l2
2( )=
S - área do triângulo ABC.ABC
S - área do triângulo AEDAED
S - área do trapézio BCDEBCDE
4
5
SABC
SAED
=49
2( ) =1681
S = - BCDE SAED S = - = ABC
> SABC =16
81
SAED
SAED
16
81
SAED 65
81
SAED
SABC
S BCDE
=
16
81
SAED
65
81
SAED=
16
65(resp)
Áreas de figuras semelhantes.
S1
S2
l1l2
2( )=
Áreas de figuras semelhantes.
S1
S2
l1l2
2( )=
SS
S = SADE
S = 2 SABC
x
82( )=
S2 S
x8
12
2x64
=2
x = 32 x = 4 2 uc (resp)> >
Áreas de figuras semelhantes.
S1
S2
l1l2
2( )=
2( )=Ss
CC/3
Ss =
9CC
S = 9s (resp)
S
2 S S = 2 SADE
S = 3 SABC
2( )=2 S3 S
x12
2144 . 2 = 3 . x
2x = 96x = 4 6 cm (resp)
Áreas de figuras semelhantes.
S1
S2
l1l2
2( )=
S = SADE
S = 4 SABC
2( )=S
4 Sx
12
2x = 36x = 6 cm (resp)
3 S
S
Áreas de figuras semelhantes.
S1
S2
l1l2
2( )=
d
d
d
S = kADF
2S = 2 . S = 4kAEG ADF
2S = 3 . S = 9k (resp)ABC ADF
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
268
01) Determinar a área de cada figura abaixo.
12 cm
7 cm
8 cm8
cm
7 cm
11 cm
A B
CDAB//CDAD//BC
16 cm7
cm
6 cm11 cm
10 cm
8 cm
10 cm
15 cm
12 c
m
12 cm20 cm
14 c
m
14 cm
6 cm
8 cm
8 cm
8 cm
13 cm
8 cm
120º
30º
10 cm
12 cm
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaÁreas das figuras planas.
Exercícios complementares da aula 13.
Jeca 152
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
269
01) Determinar a área de cada figura abaixo.
12 cm
7 cm
8 cm8
cm
7 cm
11 cm
A B
CDAB//CDAD//BC
16 cm7
cm
6 cm11 cm
10 cm
8 cm
10 cm
15 cm
12 c
m
12 cm20 cm
14 c
m
14 cm
6 cm
8 cm
8 cm
8 cm
13 cm
8 cm
120º
30º
10 cm
12 cm
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria planaÁreas das figuras planas.
Exercícios complementares da aula 13.
Jeca 152
2S = b . h = 12 . 7 = 84 cm (resp)
2S = b . h = l . l = 8 . 8 = 64 cm (resp)
2S = b . h = 11 . 7 = 77 cm (resp)
S = (b + B).h / 2
S = (10 + 15) . 8 / 2
2S = 100 cm (resp)
2 2 2Pitágoras 10 = 6 + hh = 8 cm
S = (b + B).h / 2S = (11 + 17) . 8 / 2
2S = 112 cm (resp)
S = d . D / 2S = 7 . 16 / 2
2S = 56 cm (resp)
S = b . h / 2S = 20 . 12 / 2
2S = 120 cm (resp)
S = b . h / 2S = 12 . 14 / 2
2S = 84 cm (resp)
S = b . h / 2S = 14 . 6 / 2
2S = 42 cm (resp)
S = . a . b . sen a
S = . 10 . 12 . sen 30º
2S = . 10 . 12 . = 30 cm (resp)
12
12
12
12
S = . a . b . sen a
S = . 8 . 13 . sen 120º
2S = . 8 . 13 . = 26 3 cm (resp)
12
12
32
12
S = . a . b . sen a
S = . 8 . 8 . sen 60º
2S = . 8 . 8 . = 16 3 cm (resp)
12
12
32
12
60º
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
270
02) Determinar a área e o perímetro de um círculo de raio 13 cm.
03) Determinar a área e o raio de um círculo de períme-tro c = 14p cm.
04) Determinar o raio e o perímetro de um círculo de 2
área A = 64p cm .
05) Determinar a área da coroa circular abaixo.
r
R
R = 11 cmr = 9 cm
06) Determinar a área da coroa circular abaixo, sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo interno.
A
B
07) Determinar o perímetro do círculo maior da coroa 2
circular de área 39p cm , sabendo-se que a diferença entre os raios é igual a 3 cm.
08) Determinar a área do setor circular de raio 9 cm e ângulo central igual a 135º.
09) Determinar a área do setor circular de raio 8 cm e ângulo central 2 radianos.
CC
10) Determinar a área de um setor circular de raio 12 cm cujo arco correspondente tem comprimento c = 30 cm.
c = 30 cm
C
11) Determinar a área da região sombreada.
r = 7 cm
Jeca 153
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
271
02) Determinar a área e o perímetro de um círculo de raio 13 cm.
03) Determinar a área e o raio de um círculo de períme-tro c = 14p cm.
04) Determinar o raio e o perímetro de um círculo de 2
área A = 64p cm .
05) Determinar a área da coroa circular abaixo.
r
R
R = 11 cmr = 9 cm
06) Determinar a área da coroa circular abaixo, sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo interno.
A
B
07) Determinar o perímetro do círculo maior da coroa 2
circular de área 39p cm , sabendo-se que a diferença entre os raios é igual a 3 cm.
08) Determinar a área do setor circular de raio 9 cm e ângulo central igual a 135º.
09) Determinar a área do setor circular de raio 8 cm e ângulo central 2 radianos.
CC
10) Determinar a área de um setor circular de raio 12 cm cujo arco correspondente tem comprimento c = 30 cm.
c = 30 cm
C
11) Determinar a área da região sombreada.
r = 7 cm
Jeca 153
2 2 2S = pr = p . 13 = 169p cm
c = 2pr = 2 . p . 13 = 26p cm
c = 2pR = 14pR = 7 cm (resp)
2S = pR
2S = p.7
2S = 49p cm (resp)
2S = pR = 64pR = 8 cm (resp)
c = 2pR c = 2.p.8c = 16p cm (resp)
2 2S = pR - prCOROA CIRCULAR
2 2S = p.11 - p.9CC
S = 121p - 81pCC
2S = 40p cm (resp)CC
R
r
5
5
Pitágoras2 2 2
R = r + 52 2
R - r = 25
2 2S = pR - prCOROA CIRCULAR
2 2S = p(R - r )CC
2S = 25p cm (resp)CC
R
R +
3
2 239p = p(R + 3) - pR
2 239p = p(R + 6R + 9) - pR
2 239 = R + 6R + 9 - R39 = 6R + 96R = 30R = 5 cm c = 2p(R + 3) = 2.p.8 = 16p cm (resp)
2S = pRSETOR CIRCULAR
a360
135º
R = 9
2S = p.9SC
2S = 243p / 8 cm (resp)SC
135360
2S = pRSETOR CIRCULAR
a
2p
2S = p.8SC
2S = 64 cm (resp)SC
2p2
(a em radianos)
2S = pRSETOR CIRCULAR 2pR
2S = p.12SC
2S = 180 cm (resp)SC
302.p.12
l
(área do setor em função do comprimento do arco)
2S = pRSETOR CIRCULAR
a360
2S = p.7SC
2S = 49p / 4 cm (resp)SC
90360
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
272
12) Determinar a área do segmento circular de raio 9 cm e ângulo central 120º
13) Na figura abaixo, o hexágono é regular e tem lado 4 cm. Determinar a área da região hachurada.
15) Determinar a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm.
A B C D E
G
17) Sendo S a área do retângulo AEFJ, AB = BC = CD = DE e AJ // BI // CH // DG // EF, determinar a área do triângulo BCF em função de S.
C
14) Determinar a área de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio 14 cm.
16) Determinar a área de um polígono regular com 40 lados inscrito numa circunferência de raio 7 cm.(Dado sen 9º = 0,1564)
HIJ F
Jeca 154
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
273
12) Determinar a área do segmento circular de raio 9 cm e ângulo central 120º
13) Na figura abaixo, o hexágono é regular e tem lado 4 cm. Determinar a área da região hachurada.
15) Determinar a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm.
A B C D E
G
17) Sendo S a área do retângulo AEFJ, AB = BC = CD = DE e AJ // BI // CH // DG // EF, determinar a área do triângulo BCF em função de S.
C
14) Determinar a área de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio 14 cm.
16) Determinar a área de um polígono regular com 40 lados inscrito numa circunferência de raio 7 cm.(Dado sen 9º = 0,1564)
HIJ F
Jeca 154
2S = S - S = pr - a . b . sen aSEG SET TRIÂNG
a360
12
2S = S - S = p9 - a . b . sen 120ºSEG SET TRIÂNG
120360
12
2S = 27p - 81 3 / 4 = 27[p - (3 3 /4)] cmSEG
2S = S - S = pR - 6.SSOMB CÍRCULO HEXÁGONO TRIÂNG
2S = p.4 - 6 . . 4 . 4 . sen 60ºSOMB
2S = 16p - 24 3 cm SOMB
2S = 8(2p - 3 3 ) cm (resp)SOMB
60º
4
4
4
12
S = 8.S = 8. . a . b . sen aOCT TRIÂNG
S = 8. .14 . 14 . sen 45ºOCT
S = 8 . . 14 . 14 .OCT
2S = 392 2 cm (resp) OCT
45º
14
14
a = 360/12 = 30º
12
12
12 2
2
S = 12.S = 12. . a . b . sen aDOD TRIÂNG
S = 12. . 7 . 7 . sen 30ºDOD
S = 12 . . 7 . 7 .DOD
2S = 147 cm (resp) DOD
12
12
12
30º12
a = 360/8 = 45º
7
7
S = 40.S = 40 . . a . b . sen a40 TRIÂNG
S = 40. . 7 . 7 . sen 9º40
S = 40 . . 7 . 7 . 0,156440
2S = 153,27 cm (resp) 40
12
12
12
a = 360/40 = 9º
b b b b
h
S = S = 4b . hRETÂNGULO
b . h = S / 4
S = b . h / 2 = (S / 4) / 2 = S / 8TRIÂNG
S = S / 8 (resp)TRIÂNG
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
274
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados k e 2k onde as regiões circulares tangenciam os lados de ABCD. Determinar a área das regiões sombreadas em função de k.
A B
CD
19) Na figura abaixo, as partes circulares tangenciam os lados do quadrado de perímetro 16 cm. Determinar a área da região sombreada.
A B C D
20) Na figura abaixo, B e C são os centros dos semi-círculos. Sendo AB = BC = CD = 8 cm, determinar a área da região sombreada.
21) Os três semi-círculos abaixo têm centros B, C e E. Sendo BC = CD = DE = EF = 2 cm e AB = 4 cm, determinar a área da região sombreada.
22) O triângulo abaixo é equilátero de lado 16 cm e está inscrito em um círculo. Determinar a área da região sombreada.
23) O triângulo abaixo é equilátero de lado k e DE é um arco de circunferência tangente ao lado BC do triângulo. Determinar a área da região sombreada.
A
B C
D E
E
F
A B C D E F
Jeca 155
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
275
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados k e 2k onde as regiões circulares tangenciam os lados de ABCD. Determinar a área das regiões sombreadas em função de k.
A B
CD
19) Na figura abaixo, as partes circulares tangenciam os lados do quadrado de perímetro 16 cm. Determinar a área da região sombreada.
A B C D
20) Na figura abaixo, B e C são os centros dos semi-círculos. Sendo AB = BC = CD = 8 cm, determinar a área da região sombreada.
21) Os três semi-círculos abaixo têm centros B, C e E. Sendo BC = CD = DE = EF = 2 cm e AB = 4 cm, determinar a área da região sombreada.
22) O triângulo abaixo é equilátero de lado 16 cm e está inscrito em um círculo. Determinar a área da região sombreada.
23) O triângulo abaixo é equilátero de lado k e DE é um arco de circunferência tangente ao lado BC do triângulo. Determinar a área da região sombreada.
A
B C
D E
E
F
A B C D E F
Jeca 155
2 2S = 2(S - S /4) = 2(l - pr /4)Somb Quad Círc
2 2 2 2S = 2(k - pk /4) = 2k (1 - p/4) = k (4 - p)/2 (resp)Somb
4
4
4
4
S = 2(S - S )SOMB SETOR TRIÂNG2
S = 2( pR - b . h / 2)SOMB
2S = 2( p . 4 - 4 . 4 / 2)SOMB
2S = 8(p - 2) cm (resp) SOMB
a360
90360
4
4
2 x ( )
60º
8
8
8
S = S + 2.SSOMB TRIÂNG SEGMENTO CIRCULAR
2S = . a . b . sen a + 2( pR - .a . b . sen a)SOMB
2 2S = . 8 . 8 . + 2( p . 8 - . 8 . 8 . ) = [16(4p - 3 3 ) / 3] cm (resp)SOMB
a360
12
12
12 2
336060 1
2 23
A
BC
4 2 2 2 2
6
S = S - S - SSOMB A B C
2 2 2S = . p . 6 - . p . 4 - . p . 2SOMB
2S = 18p - 8p - 2p = 8p cm (resp)SOMB
12
12
12
30º8 8
R
cos 30º = 8 / RR = 16 3 / 3
2S = S - S = pR - .a . b . sen aSOMB CÍRCULO TRIÂNG
2 2S = p(16 3 / 3) - . 16 . 16 . 3 / 2 = 256[(p/3) - ( 3 /4)] cm (resp) SOMB
12
12
k k
k
h = R
60º
sen 60º = h / kh = R = k 3 / 2
2S = S - S = .a.b.sen a - pRSOMB TRIÂNG SETOR
2 2 2S = .k.k. 3 /2 - .p.(k 3 /2) = k (2 3 - p) / 8 uc (resp)SOMB
12
a360
12
a360
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
276
24) (MACKENZIE - SP 2000) Determinar a área do setor assinalado no círculo de raio 1 e centro O.
110º
O
25) (Fuvest - SP 2000) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semi-circunferência de raio 2. Deter-minar a área da região hachurada.
26) (Unicamp - SP) No canto A de uma casa de forma quadrada ABCD, de 4 metros de lado, prende-se uma corda flexível e inextensível, em cuja extremidade livre é amarrada uma pequena estaca que serve para riscar o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6 metros de comprimento, do ponto em que está presa até sua extremidade livre. Mantendo-se a corda sem- pre esticada de tal forma que inicialmente sua extremidade livre esteja encostada à parede BC, risca-se um contorno no chão, em volta da casa, até que a extremidade livre toque a parede CD.a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule a área da região exterior à casa, delimitada pelo traçado da estaca.
27) (Cesgranrio - RJ) Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas das duas regiões hachuradas são iguais. Determinar o raio do círculo intermediário sabendo-se que o raio do círculo menor é 5 m e o do maior é 13 m.
28) (Vunesp - SP) O ângulo central AÔB referente ao círculo da figura adiante, mede 60º e OX é sua bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC que mede 5 cm, calcular a área da figura hachurada.
O
A
B
M xC
29) Calcular a área da região hachurada.
2a
2a
Jeca 156
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
277
24) (MACKENZIE - SP 2000) Determinar a área do setor assinalado no círculo de raio 1 e centro O.
110º
O
25) (Fuvest - SP 2000) Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semi-circunferência de raio 2. Deter-minar a área da região hachurada.
26) (Unicamp - SP) No canto A de uma casa de forma quadrada ABCD, de 4 metros de lado, prende-se uma corda flexível e inextensível, em cuja extremidade livre é amarrada uma pequena estaca que serve para riscar o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6 metros de comprimento, do ponto em que está presa até sua extremidade livre. Mantendo-se a corda sem- pre esticada de tal forma que inicialmente sua extremidade livre esteja encostada à parede BC, risca-se um contorno no chão, em volta da casa, até que a extremidade livre toque a parede CD.a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule a área da região exterior à casa, delimitada pelo traçado da estaca.
27) (Cesgranrio - RJ) Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas das duas regiões hachuradas são iguais. Determinar o raio do círculo intermediário sabendo-se que o raio do círculo menor é 5 m e o do maior é 13 m.
28) (Vunesp - SP) O ângulo central AÔB referente ao círculo da figura adiante, mede 60º e OX é sua bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC que mede 5 cm, calcular a área da figura hachurada.
O
A
B
M
x
C
29) Calcular a área da região hachurada.
2a
2a
Jeca 156
220º
140º
Setor circular
2S = prSETOR
a360
2S = p . 1SETOR
140360
S = SETOR7p18
2uc (resp)
2 2
2
14
S = S + SSOMB TRIÂNG CÍRCULO
2S = (b . h / 2) + p.RSOMB
2 2S = 2 . 2 / 2 + p . 2 = (2 + p) uc (resp)SOMB
14
14
A
2
6
4
b)2 2
S = p . 6 + p . 2
2S = 27p + 2p = 29p m (resp)
34
24
a)
13
5d
S = SMENOR MAIOR
2 2 2p.5 = p . 13 - p(5 + d)
225p = 169p - p(25 +10d + d )
2d + 10d - 119 = 0
d = 7 R = 5 + 7 = 12 m (resp)>
30º
5
52
S = S - 2.SSOMB SETOR TRIÂNG
2S = pR - 2. a.b.sen qSOMB
2S = p.( 5 ) - 2 . 5 . . SOMB
2S = [5(2p - 3) / 12] cm (resp) SOMB
a360
12
60360
12
52
12
S
S
SS
A B
C
2S = S = 2a . 2a / 2 = 2a (resp)SOMB ABC
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
278
x
x
x
x
30) A bandeira retangular representada na figura mede 4 m de comprimento por 3 m de largura. A faixa escura cobre 50% da superfície da bandeira. Determinar a medida de x.
32) (Fuvest-SP) Um losango está circunscrito a uma circunferência de 2 cm de raio. Calcule a área desse losango, sabendo que um de seus ângulos mede 60º.
31) (Fuvest-SP) Um trapézio isósceles está circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e tem um ângulo interno de 60º. Determinar a área desse trapézio.
34) (Fuvest-SP) Cortando-se os cantos de um quadra-do, como mostra a figura, obtém-se um octógono regu-lar de lados iguais a 10 cm.a) Qual a área total dos quatro triângulos cortados ?b) Calcule a área do octógono.
r = 2 cm
70º
40º
35) Determinar a área da região sombreada.
33) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, a reta r é para-lela ao segmento AC, sendo E o ponto de inter-secção de r com a reta determinada por D e C. Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e 10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED é 21, então a área do triângulo BCE é:
a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10
A
B
C
D
E
r
Jeca 157
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
279
x
x
x
x
30) A bandeira retangular representada na figura mede 4 m de comprimento por 3 m de largura. A faixa escura cobre 50% da superfície da bandeira. Determinar a medida de x.
32) (Fuvest-SP) Um losango está circunscrito a uma circunferência de 2 cm de raio. Calcule a área desse losango, sabendo que um de seus ângulos mede 60º.
31) (Fuvest-SP) Um trapézio isósceles está circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e tem um ângulo interno de 60º. Determinar a área desse trapézio.
34) (Fuvest-SP) Cortando-se os cantos de um quadra-do, como mostra a figura, obtém-se um octógono regu-lar de lados iguais a 10 cm.a) Qual a área total dos quatro triângulos cortados ?b) Calcule a área do octógono.
r = 2 cm
70º
40º
35) Determinar a área da região sombreada.
33) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, a reta r é para-lela ao segmento AC, sendo E o ponto de inter-secção de r com a reta determinada por D e C. Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e 10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED é 21, então a área do triângulo BCE é:
a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10
A
B
C
D
E
r
Jeca 157
S = 3
S = 3
S = 3
S = 3
4 - x
3 -
x
S = b . h / 2 = (4 - x) . (3 - x) / 2
23 = 12 - 7x + x
2x - 7x + 6 = 0
x = 6 (não convém)
x = 1 m (resp)
70º
a - área do segmento de 110ºb - área do setor de 110ºc - área do triângulo de 110ºd - área do segmento de 70ºe - área do setor de 70ºf - área do triângulo de 70º
S = a - d = b - c - (e - f) = b - c - e + fSOMB
2 2S = p.2 - .2.2.sen 110º - p.2 + .2.2.sen 70ºSOMB
Mas sen 110º = sen 70º e as áreas c e f se anulam.
2S = = cm (resp)SOMB
110360
12
12
70360
11p9 9
7p9
4p
40º
h
h
4
10
7
S = 10ADC
S = 4ACE
S - 21 - 10 - 4 = 7ABE
Os triângulos ABE e BEC têm a mesma base e a mesma altura.
2 Portanto têm a mesma área. S = S = 7 uc (resp)ABE BEC
10
x
x
Pitágoras2 2 2
10 = x + xx = 5 2 cm
a) 2
S = 4 . x /24TRIÂNG2
S = 4(5 2 ) / 24TRIÂNG2
S = 100 cm (resp)4TRIÂNG
b)S = S - SOCT QUADR 4TRIÂNG
2 2S = (10 + 2x) - 100 = (10 + 2 . 5 2 ) - 100OCT
2S = 200( 2 + 1) cm (resp) OCT
30º30º
2
60º
a
b
30º
60º
x
y
2
2
b = 2x - base menorB = 2y - base maiorh = 4 cm
tg 60º = 2 / x x = 2/( 3) = 2 3 / 3 cmtg 30º = 2 / y y = 2 / ( 3 / 3) = 6 3 / 3 = 2 3 cm
2S = ( ).h = ( ).4 = (32 3 / 3) cm (resp)
>>
b + B2
2x + 2y2
sen 30º = 2/a
1/2 = 2/a
a = 4 cm
tg 30º = b/a
b = a . tg 30º
b = 4 . 3 / 3
Área do losango S = d . D / 2
d = 2b = 8 3 / 3 cmD = 2a = 8 cm
2S = (8 . 8 3 / 3) / 2 = (32 3 / 3) cm
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
280
D
A
B
C
Eq
36) (FUVEST-SP) Na figura seguinte, E é o ponto de intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e q é o ângulo agudo BÊC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e ED = 2, então a área do quadrilátero ABCD será :a) 12sen q b) 8sen q c) 6sen q d) 10cos q e) 8cos q
A
B C
D
38) (UEL-PR) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede k. Um dos arcos está contido na circunfe-rência de centro C e raio k, e o outro é uma semicircunferência de centro no ponto médio de BC e de diâmetro k. Determinar a área da região hachurada.
39) (UEL-PR) Na figura abaixo, o quadrado está inscri-to na circunferência. Sabendo que a medida do lado do quadrado é 4 m, determinar a área da parte sombre-ada.
C
37) (FUVEST-SP) Os quadrados da figura têm lados medindo 10 cm e 20 cm, respectivamente. Se C é o centro do quadrado de menor lado, qual o valor da área hachurada ?
40) (FUVEST-SP) Considere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 1 cm. Determine a área desse triângulo.
y
x
A(x , y)B
C DO
41) (FUVEST-SP) Considere o quadrado ABCD ins-crito na semi-circunferência de centro na origem. Se (x , y) são as coordenadas do ponto A, determinar a área da região exterior ao quadrado e interior à semi-circunferência em função de x e y.
Jeca 158
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
281
D
A
B
C
E
36) (FUVEST-SP) Na figura seguinte, E é o ponto de intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e q é o ângulo agudo BÊC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e ED = 2, então a área do quadrilátero ABCD será :a) 12sen q b) 8sen q c) 6sen q d) 10cos q e) 8cos q
A
B C
D
38) (UEL-PR) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede k. Um dos arcos está contido na circunfe-rência de centro C e raio k, e o outro é uma semicir-cunferência de centro no ponto médio de BC e de diâmetro k. Determinar a área da região hachurada.
39) (UEL-PR) Na figura abaixo, o quadrado está inscri-to na circunferência. Sabendo que a medida do lado do quadrado é 4 m, determinar a área da parte sombre-ada.
C
37) (FUVEST-SP) Os quadrados da figura têm lados medindo 10 cm e 20 cm, respectivamente. Se C é o centro do quadrado de menor lado, qual o valor da área hachurada ?
40) (FUVEST-SP) Considere o triângulo representado na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 1 cm. Determine a área desse triângulo.
y
x
A(x , y)B
C DO
41) (FUVEST-SP) Considere o quadrado ABCD ins-crito na semi-circunferência de centro na origem. Se (x , y) são as coordenadas do ponto A, determinar a área da região exterior ao quadrado e interior à semi-circunferência em função de x e y.
Jeca 158
180 - q
q1
4
32
sen q = sen(180 - q)
S = 1.2.senq + 4.3.senq + 1.4.sen(180 - q) + 2.3.sen(180 - q)
S = sen q + 6sen q + 2sen(180 - q) + 3sen(180 - q)
Mas sen q = sen (180 - q)
Então S = sen q + 6 sen q + 2 sen q + 3 sen q = 12 sen q (resp)
12
12
12
12
C
a
90 - a
a5
5
A
B
DEF
Pelo caso A.L.A. , pode-se afirmar que os triângulos ABC e EFC são congruentes. Portanto a área sombreada é igual à area do quadradoBCFD de lado 5 cm. A área sombreada é constante qualquer que seja a posição do quadrado maior.
2 S = 5 . 5 = 25 cm (resp)SOMB
k
k
k/2 k/2
S = S - SSOMB CÍRCULO MAIOR CÍRCULO MENOR12
14
2 2 2 2 2S = pk - p(k/2) = pk /4 - pk /8 = pk /8 (resp)SOMB
12
14
4
4
R
R R
d - diagonal do quadradoR - raio
Pitágoras2 2 2 2
4 = R + R = 2RR = 2 2 m
S = S + SSOMB CÍRCULO TRIÂNG
S = SOMB
2S = 2p + 4 = 2(p + 2) cm (resp)SOMB
4
114
2 p(2 2 ) + 2 2 . 2 2 / 2
114
1
12
b = 4 2 cmh = 2 / 2 cm S = b . h / 2 = 4 2 . ( 2 / 2) / 2
2S = 2 cm (resp)
h
x
yR
2 2 2 2 2Pitágoras R = x + y R = x + y>
2 2 2 2 2S = pR - (2x) = p(x + y ) - 4xSOMB
2 2ou S = p(x + y ) - 2xy (resp)SOMB
12
12
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
282
BC
N
M
AO
42) (Fuvest) A circunferência dada pela figura abaixo tem centro em C, raio igual a 2 cm e é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B. Determi-nar a área da região hachurada.
44) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a de maneira que o vértice D fique sobre o lado AB (figura 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a distân-de A a D’. Determinar a função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado, em função de x.
A B
CD
E
45) (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1, centrados em A e D, respectivamente. Determinar a área da região hachurada.
A B
CD
M
N
P
46) (FUVEST) O trapézio ABCD abaixo é tal que AB = 10, M é médio de AD, BN = 2NC e as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais. Determinar a medida de CD.
47) (Jeca) Na figura abaixo, a coroa circular tem a mesma área que o círculo menor. Determinar o raio do círculo menor, sabendo-se que o raio do círculo maior é R. (Figuras semelhantes)
1 cm
2 cm
1 cm
43) (UFSCAR-SP) Considere a região R sombreada, exibida a seguir, construída no interior de um quadrado de lado medindo 4 cm. Sabendo-se que os arcos de cir-cunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, pedem-se :a) a área não sombreada do quadrado;b) a área da região sombreada R.
Jeca 159
B
C
A BD’
C’
E
x
A
D
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
283
BC
N
M
AO
42) (Fuvest) A circunferência dada pela figura abaixo tem centro em C, raio igual a 2 cm e é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B. Determi-nar a área da região hachurada.
44) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a de maneira que o vértice D fique sobre o lado AB (figura 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a distân-de A a D’. Determinar a função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado, em função de x.
A B
CD
E
45) (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1, centrados em A e D, respectivamente. Determinar a área da região hachurada.
A B
CD
M
N
P
46) (FUVEST) O trapézio ABCD abaixo é tal que AB = 10, M é médio de AD, BN = 2NC e as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais. Determinar a medida de CD.
47) (Jeca) Na figura abaixo, a coroa circular tem a mesma área que o círculo menor. Determinar o raio do círculo menor, sabendo-se que o raio do círculo maior é R. (Figuras semelhantes)
1 cm
2 cm
1 cm
43) (UFSCAR-SP) Considere a região R sombreada, exibida a seguir, construída no interior de um quadrado de lado medindo 4 cm. Sabendo-se que os arcos de cir-cunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, pedem-se :a) a área não sombreada do quadrado;b) a área da região sombreada R.
Jeca 159
a
q2
2
S = S + SHACH TRIÂNG SETORES
Mas a + q = 90º2
S = S + S / 4 = 2 . 2 / 2 + p . 2 / 4 HACH TRIÂNG CÍRCULO
2S = (2 + p) cm (resp)HACH
S1 S2
S1
S2
x
x
x
10
y
q
180 - q
hS = SAMN DMN
mesma basemesma altura
PortantoS = SABN CDN
12
10 . 2x . sen(180 - q) = y . x . sen q
Mas sen q = sen (180 - q)
Então 10x sen q = x . y . sen q
y = 20 uc (resp)
12
12
b
b
60º30º
S1
S2
S2
S - área do triângulo1
S - área do setor circular2
S = S - S - 2.SSOMB QUADR 1 22 2
S = l - a.b.sen 60º - 2. prSOMB
2 2S = 1 - 1 . 1 . - p1 = 1 - - (resp)SOMB
12 360
30
12
32
16
34 6
p
1
1
1
A B
CD
A BD’
C’
E
x21 - x
y
21 -
y
21 - y
2 2 2Pitágoras (21 - y) = y + x
2 2 2441 - 42y + y = y + x
2 2y = (x - 441) / -42 = (441 - x ) / 42
3S = x . y / 2 = (441x - x ) / 84 (resp)
a) S = 4.S + 4.S /4NS TRIÂNG CÍRCULO
2S = 4(2 . 2 / 2) + 4.p1 /4NS
2S = (8 + p) cm (resp)NS
b) S = S - SS QUADR NS
2S = 4 - (8 + p)S
S = 16 - 8 - p S2
S = (8 - p) cm (resp)S
h
R
r S = S - SCOROA MAIOR MENOR
S = SCOROA MENOR
S = S - SMENOR MAIOR MENOR
S = 2.SMAIOR MENOR2 2
pR = 2.pr2 2
r = (R /2)r = R 2 / 2 (resp)
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
284
Respostas dos exercícios da Aula 13.
2 2 201) S = 56 cm S = 140 cm S = (91/2) cm1 2 3
2 2 2 S = 72 cm S = 121 cm S = 182 cm4 5 6
2 2 S = 72 cm S = 70 cm7 8
202) 64 3 cm
203) 24 3 cm
204) 192 cm
205) 6 6 cm
206) 2 6 / 3 cm, 2 6 cm
207) (35 6 / 24) cm
208) 45 3 cm
209) 54 cm
210) 2(32 - 7p) cm
211) 4(36 - 7p) cm
212) 9(36 - 31p / 4) cm
213) p cm
14) d
15) a
216) (2( 3 + 1) - p) cm
17) e
218) 18(p - 2) cm
219) 25p cm
220) 18(p - 3 3 / 4) cm
221) 128(2 - 2 ) cm
22) 16 / 65
23) a
24) 4 2 uc
25) e
26) 4 6 cm
27) 6 cm
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 160
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
285
Respostas dos exercícios complementares da Aula 13.
Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
01)2
a) 84 cm2
b) 64 cm2
c) 77 cm2
d) 100 cm2
e) 112 cm2
f) 56 cm2
g) 120 cm2
h) 84 cm2
i) 42 cm2
j) 30 cm2
k) 26 3 cm2
l) 16 3 cm
202) 169p cm e 26p cm
203) 49p cm e 7 cm
04) 8 cm e 16p cm
205) 40p cm
206) 25p cm
07) 16p cm
208) (243p / 8) cm
209) 64 cm
210) 180 cm
211) (49p / 4) cm
212) (27(4p - 3 3 ) / 4 ) cm
213) 8(2p - 3 3 ) cm
214) 392 2 cm
215) 147 cm
216) 153,27 cm
17) S / 8
218) k (4 - p) / 2
219) 8(p - 2) cm
220) (16(4p - 3 3 ) / 3) cm
221) 8p cm
222) (64(4p - 3 3 ) / 3) cm
223) k (2 3 - p) / 8
24) 7p / 18
25) 2 + p
26) a) desenho
2b) 29p m
27) 12 m
228) (5(2p - 3) / 12) cm
229) 2a
30) 1 m
231) (32 3 / 3) cm
232) (32 3 / 3) cm
33) b
34) 2
a) 100 cm2
b) 200( 2 + 1) cm
235) (4p / 9) cm
36) a
237) 25 cm
238) pk / 8
239) 2(p + 2) m
240) 2 cm
2 241) (p(x + y ) / 2) - 2xy
242) (p + 2) cm
43) 2
a) (p + 8) cm2
b) (8 - p) cm
3 244) (441x - x ) / 84) cm
45) 1 - ( 3 / 4) - (p / 6)
46) 20
47) R 2 / 2A
Jeca 161
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
286
Fim
Jeca 162
Ilusões da vida.
Quem passou pela vida em branca nuvemE em plácido repouso adormeceu;Quem não sentiu o frio da desgraça,Quem passou pela vida e não sofreu,Foi espectro de homem - não foi homem,Só passou pela vida - não viveu.
Francisco Otaviano de Almeida Rosa (1825 - 1899)Poeta Brasileiro
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
287
Demonstração da fórmula de Herão.
A B
C
m
ab
c
h
Teorema de Pitágoras2 2 2
h = b - m
Lei dos cossenos2 2 2
a = b + c - 2bc cos A
Mas cos A = m/b 2 2 2
Portanto a = b + c - 2bc m/b2 2 2
a = b + c - 2mc
2 2 22mc = b + c - a
2 2 2Portanto m = (b + c - a ) / 2c
Teorema de Pitágoras2 2 2 2 2 2
h = b - [(b + c - a ) / 2c]
2 2 2 2 2 2 2 2h = [4b c - (b + c - a ) ] / 4c
2 2 2 2 2 2 2 24h c = 4b c - (b + c - a )
Fatorando a diferença dos quadrados, tem-se:
2 2 2 2 2 2 2 24h c = [2bc - (b + c - a )] [2bc + (b + c - a )]
2 2 2 2 2 2 2 24h c = (2bc - b - c + a ) (2bc + b + c - a )
Agrupando como o quadrado da diferença, tem-se
2 2 2 2 2 24h c = [a - (b - c) ] [(b + c) - a ]
2 24h c = [a - (b - c)] [a + (b - c)] [ (b + c) - a] [(b + c) + a]
Fazendo p = (a + b + c) / 2 semiperímetro
[a - (b - c)] / 2 = (a - b + c) / 2 = (a + b + c - 2b) / 2 = p - b
[a + (b - c)] / 2 = (a + b - c) / 2 = (a + b + c - 2c) / 2 = p - c
[(b + c) - a] / 2 = (b + c - a) / 2 = (a + b + c - 2a) / 2 = p - a
[(b + c) + a] / 2 = (a + b + c) / 2 = p
2 2Lembrar que x - y = (x - y)(x + y)
2 2Lembrar que x - y = (x - y) (x + y)
1 3 4
1
2
2
3
4
2 24h c
2 2 h c / 4 = (p - b).(p - c).(p - a).p
2 2h = 4.[p.(p - a).(p - b).(p - c)] / c
h p.(p - a).(p - b).(p - c)
1
2
3 4
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
2
2 2 216=
c2
=
S triângulo =base x altura
2
c . hc=2
S triângulo =2c
c2 p.(p - a).(p - b).(p - c)
S triângulo = p.(p - a).(p - b).(p - c)
onde p = (a + b + c) / 2 (semiperímetro)
Fórmula de Herão
CQD
Aproveitando esta demonstração, temos também que as alturas de um triângulo podem ser obtidas por
= p.(p - a).(p - b).(p - c)ha2a
= p.(p - a).(p - b).(p - c)hb2b
= p.(p - a).(p - b).(p - c)hc2c
onde p é o semiperímetro
a, b e c são os lados do triângulo
Jeca 163
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
288
aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício: aula: página: exercício:
Correções
www.desempenhomax.com.br
geometria plana
289
>
3 3
A
3
R
R
NN
Lei dos cossenos2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
Lei dos senos.
asen A
=b
sen Bc
sen C2R= =
www.desempenhomax.com.br
Endereço: Rua Itapeva, 378, 1º andar, Bela VistaSão Paulo, SP, 01332-000 (ao lado da FGV)
Contato: (11) 996-612-344