TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FELTÉTELES

SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁSA

Dr. Kovács SándorGazdaságmatematika

1. A feltételek egyenlőségek Lagrange módszer

2. A feltételek egyenlőtlenségek A. Grafikus módszerB. Szimplex módszer

ÁTTEKINTÉS

1) A feltételek egyenlőségek Lagrange módszer

Úgy keressük az f(x), xD(Rn) n-változós függvény szélsőértékét, hogy egyidejűleg a gi(x)=0 (i=1,2,...,m) formában adott egyenlőségek is teljesüljenek.

Lagrange féle multiplikátorok módszere (szükséges feltétel):

Ha az f(x) függvénynek feltételes szélsőértéke van az „a” pontban, akkor az f(x) függvényből, a gi(x)=0 feltételekből és a λi skalárokból (a Lagrange-multiplikátorokból) képzett F(x)= f(x)+ ∑i=1

m λi gi (x)Lagrange függvény összes parciális deriváltja zérus lesz az

„a”-ban:F’xi(a)=0 (i = 1,2,...,n)

Fordítva viszont nem igaz az állítás. Ezért az f(x) függvény feltételes szélsőérték helyeit az

alábbi n+m egyenletből álló egyenletrendszer megoldásai között kell keresni:

F’xi(x)= 0 (i = 1,2,...,n) gi(x) = 0 (i = 1,2,...,m)

A kapott lehetséges szélsőérték helyek közül logikai/szakmai meggondolásokkal választjuk ki a tényleges szélsőérték helyeket.

Ezeket az f függvénybe helyettesítve kapjuk a feltételes szélsőértékeket.

Példák:1. Egy 36 dm2 területű, téglalap formájú lemezből

maximális térfogatú, egyenes hasáb formájú etetőt készítünk. Milyenek legyenek a lemez oldalai? Mekkora szélességű sáv felhajtásával készíthető a kívánt etető?

Jelölje x,y a lemez oldalait, z a felhajtás méretét! V(x,y,z)=(x-2z)(y-2z)z maximumát keressük xy-36=0

(xy=36) feltétel mellettA Lagrange függvény: F(x,y,z)=(x-2z)(y-2z)z +λ(xy-36)Innen

F’x(x,y,z)= yz-2z2+ λy=0F’y(x,y,z)= (x-2z)z+ λx=0F’z(x,y,z)= -2(yz-2z2)+(x-2z)(y-4z)=0xy=36 .

Ebből a lehetséges szélsőértékhelyek (x,y,z>0 mellett): a1(6,6,3) és a2(6,6,1)

a1(6,6,3) helyen a szélsőérték V(6,6,3)=0 dm3, ami a függvény feltételes minimuma,

a2(6,6,1) helyen a szélsőérték V(6,6,1)=16 dm3, ami a függvény feltételes maximuma

A feltétel, xy=36 mindkét esetben teljesül.

2. Az f(x1,x2,x3)=x12+3x1x2+2x2

2+4x1+0.5x32+12 függvénynek hol

van szélsőértéke, ha a változókra adott feltételek x1+x2+x3=4 és x1-x3=2Az egyszerűbb írás miatt használjuk x,y,z-t változókként!

A Lagrange függvény:F(x,y,z)=x2+3xy+2y2+4x+0,5z2+12+λ1(x+y+z-4)+λ2(x-z-2)

A 3+2 egyenletből álló homogén egyenletrendszer:F’x(x,y,z)=2x+3y+4+ λ1+λ2=0F’y(x,y,z)=3x+4y+ λ1 =0F’z(x,y,z)= z+ λ1 -λ2=0 g1(x,y,z)= x + y+ z-4 =0 g2(x,y,z)= x - z-2 =0

Az egyenletrendszer megoldása: a(4,-2, 2)Itt minimuma van a függvénynek: f(4,-2, 2)=30A feltételek is teljesülnek.

3. Kísérleti adatokból megállapították, hogy három növény 1 ha-ra eső termelési értékét (TÉ) háromféle műtrágyakeverék függvényében az f1(x1), f2(x2) és f3(x3) függvények jellemzik. A növényeket egy gazdaság a, b, c ha-on termeszti

Az össz-TÉ függvény f(x1,x2,x3)=a f1(x1)+b f2(x2) +c f3(x3).Kérdések:

a) milyen műtrágya keverék mennyiségek mellett lesz az össz-TÉ a legnagyobb?

b) mennyi az össz-TÉ, ha a műtrágya költségre K0 Ft-ot fordíthatunk (a keverékek egységárai k1, k2, k3)?

Válaszok:a) f(x1,x2,x3)=a f1(x1)+b f2(x2) +c f3(x3) szélsőértéke

az ehhez tartozó műtrágya költség: K(x1,x2,x3)=ax1k1+bx2k2 +cx3k3

b) Ha K K0 Ft, akkor feltételes szélsőértéket számolunk:F(x1,x2,x3)= f(x1,x2,x3)+( K- K0) Lagrange függvénnyel

2) A feltételek egyenlőtlenségek Induljunk ki az alábbi feladatból: mely termékekből mennyit

termeljen egy vállalkozás a rendelkezésre álló erőforrások működtetésével, hogy a legnagyobb eredményt (árbevételt, jövedelmet) érje el.

Az ehhez szükséges optimális termékszerkezetet keressük.

Pl.: Két termék 1-1 darabjának előállításához szükséges erőforrások (nyersanyag, élő munka, gépi munka): az elsőhöz 3; 4; 2egység, a másodikhoz 2; 0; 4egység. Ezekből összesen felhasználható 18; 16; 24 egység(kapacitás). A termékeken a fajlagos jövedelmek 4 ill. 2 eFt/db.

Hány darab készüljön a termékekből, hogy - a rendelkezésre álló kapacitásokat ne lépjük túl (feltételek) - az összes jövedelem maximális legyen (szélsőérték).

Jelölje x1, x2 a termékek mennyiségétA matematikai modell:

- A korlátozó feltételek: x1, x2 0 egyik termék száma sem lehet negatív

3x1+2x2 18 nyersanyagra4x1 16 élő munkára

2x1+4x2 24 gépi munkára

- A függvény, melynek a szélsőértékét keressük:z=4x1+2x2=max célfüggvény

Ezen feltételes szélsőérték feladatnál tehát úgy keressük az - un. cél - függvény szélsőértékét, hogy egyidejűleg az egyenlőtlenségek formájában adott feltételek is teljesüljenek.

Ha az alábbi jelöléseket használjuk:

ahol - x a program vektor - A a technológiai mátrix (egységnyi termékhez szükséges erőforrás) - c a fajlagos eredmények vektora (Pl. egységnyi termék ára) -b a kapacitás ( a felhasználható erőforrások mértéke)akkor a matematikai modell az alábbi rövidebb formában is írható:

Az ilyen feladatok a matematikai programozás tárgykörébe tartoznak.

241618

b 24c' 420423

A 2

x1

xx

maxx'cbAx

0x

Ha a változók mindenütt első fokon szerepelnek, akkor lineáris programozásról vagy LP feladatról beszélünk.

Mi a következő esetekkel foglalkozunk:

2 változós LP feladat: megoldása grafikus módszerrel 2-nél több változós LP feladat: megoldás szimplex

módszerrel

A. Grafikus módszerA megoldás lépései:1. Ábrázoljuk az x1, x2 tengelyű Descartes koordináta

rendszerben a feltételeket. Írjuk az egyenlőtlenségeket tengelymetszetes alakba.

A feltételek által kijelölt tartomány közös pontjai – ha léteznek – adják a lehetséges megoldások L halmazát.

Egy halmaz konvex, ha bármely két pontjával, az azokat összekötő szakasz pontjait is tartalmazza. L-nek ilyennek kell lenni.

Extremális vagy sarokpontoknak nevezzük egy halmaz azon pontjait, melyek nem belső pontjai egyetlen, halmazban levő szakasznak sem (pl. ábránkon az O(0,0), A(4,0), P(4,3) pontok)

További lépések:

2. Ábrázoljuk a célfüggvényt néhány értékénél, pl. 12, 16-nál!

Mindig párhuzamos, de nagyobb függvényérték esetén az origótól távolabbi egyenest kapunk.

3. Toljuk el egy kiválasztott célfüggvény képét az origótól legtávolabbi olyan távolságba, amikor még van közös pontja az L halmazzal.

A kapott közös pont(ok) koordinátái, adják a feladat megoldását (a maximum helyet).

4. A megoldás vektor koordinátáit a közös pontot meghatározó feltétel egyenletek egyenletrendszerként való megoldásával kapjuk.

A megoldások lehetséges száma egy, ha csak egy közös pont van végtelen sok, ha az eltolt célfüggvény

egyenes egybeesik L valamely határoló egyenesével

nincs megoldás, ha L üres halmaz, vagy nem korlátos konvex halmaz

5. A célfüggvénybe helyettesítve számíthatjuk ki a célfüggvény maximumának értékét. Ellenőrízzük a kapacitások kihasználtsági szintjét!

Másik típus: minimum számítási feltételes szélsőérték

Példa: Két takarmány fajlagos táplálóanyag tartalmát és ezekből egy állat napi szükségleteit (Pl. kJ-ban) a táblázat tartalmazza:

Megnevezés Takarm.1 Takarm.2 Napi szüks.tápanyag.1 2 1 6tápanyag.2 2 4 12tápanyag.3 0 4 4 .Fajl.ktg(Ft/kg) 5 6

Mennyit adjunk az egyes takarmányokból, hogy - a napi szükséglet az egyes tápanyagokból biztosítva legyen - a takarmányozási költség a legkisebb legyen

A matematikai modell: A korlátozó feltételek: Egyik mennyiség sem lehet negatív x1,x2 0 Tápanyag1-re 2x1+x2 6 Tápanyag2-re 2x1 +4x2 12 Tápanyag3-ra 4x24A függvény, melynek a szélsőértékét keressük: Célfüggvény z=5x1+6x2=min

A feladat grafikus módszerrel megoldható, a megoldás az ábráról leolvasható.

Példa:1 m2-n termelt két növény keményítőből és

fehérjéből 0,3; 0,1 ill. 1,5; 0,1 egységnyit tartalmaz. Egy állat napi szükséglete ezen tápanyagokból 6 ill. 0,9 egység.

Mekkora az a legkisebb terület, melyen az állat napi szükséglete megtermelhető?

Megoldás: végtelen sok x1 [0;6.25], x2=9-x1 z=9

B. Szimplex módszerA szimplex módszer a bázistranszformációt alkalmazva a

változókhoz az extremális pontok koordinátáit rendeli olyan sorrendben, hogy a célfüggvény értéke ne csökkenjen.

A feladat matematikai modellje:x,b 0 gazdasági feladatoknál teljesül!

Ax b z(x)=c’x=max

Az ilyen feladat neve: normál feladat

Ax b -t egyenlőséggé alakítjuk Ax+u = b, ahol u 0

Az u hiányváltozók (u=b-Ax) megadják az aktuális x program esetén még megmaradó erőforrásokat.

Először az induló szimplex táblát készítjük el:

Ezen a táblán végezzük a bázistranszformációt.A tábla bal oldalán:

A programba vont változók jelei: induláskor u, később x is

A célfüggvény negatívjának jeleA tábla jobb oldalán:

A programban levő változók értékei A célfüggvény negatívjának értéke

Induláskor: x=0, u=b, z=0

x’

u A b

-z c’ 0

A megoldás lépései:

1. generáló elemet választunk a legnagyobb célfüggvény együttható oszlopából (z gyorsan nőjön)

maxcj aij j. oszlopból2. generáló elem csak pozitív szám lehet: aij 0 3. szűk keresztmetszetnél választunk generáló elemet:

mini bi / aij i. sorbeli elem a j. oszlopból így nem használunk a meglevőnél többet a kapacitásokból4. Elvégezzük az elemi bázistranszformációt (a bázisból

kikerülő vektor koordinátáit is megadjuk az új bázisra)Az 1-4 lépéseket ismételjük, amíg van pozitív elem a

célfüggvény sorában

5. Különben leolvassuk a megoldást: x: az optimális programban levő változók értéke u: a fel nem használt kapacitások értéke z: a célfüggvény optimális értéke

Példák:1) Oldjuk meg szimplex módszerrel a korábbi, grafikus módszerrel

már megoldott feladatot! Figyeljük meg az egyes transzformációs lépésekhez tartozó extremális pontokat, a szélsőérték alakulását!

x=0 → „O” pontu’=(18, 16, 24)z=0

x’=(4, 0) → „A” pontu’=(6, 0, 16)z=16

0. x1 x2 b

u1 3 2 18

u2 4 0 16

u3 2 4 24

-z 4 2 0

1. u2 x2 b

u1 -3/4 2 6

x1 1/4 0 4

u3 -1/2 4 16

-z -1 2 -16

x’=(4, 3) → „P” pontu’=(0, 0, 4)

z(4,3) =22 optimális tábla, maximum

Szimplex módszer:

zO<zA<zP

2. u1 u2 b

x2 -3/8 1/2 3

x1 1/4 0 4

u3 1 -2 4

-z -1/4 -1 -22

2) Négy növény termesztéséhez szükséges fajlagos (1 ha-ra eső) munkaerő és gép szükséglet 2; 2; 2; 0 ill. 0; 1; 0; 1 egység.

A rendelkezésre álló kapacitás ezen erőforrásokból 60 ill. 40 egység.

A növények fajlagos jövedelme 10; 10; 6; 4 eFt/ha.Milyen területen termeljük a növényeket, ha A munkaerő és gép kapacitásokat nem léphetjük túl Maximális jövedelmet szeretnénk elérni Az induló tábla:

x=0u’=(60, 40)z=0

0. x1 x2 x3 x4 b

u1 2 2 2 0 60

u2 0 1 0 1 40

-z 16 20 6 4 0

Az első transzformáció után:

x’=(30; 0; 0; 0) u’=(0; 40) z= 480

A második transzformáció után:

x’=(30; 0; 0; 40)u’=(0; 0)z= 640 maximum

A célfüggvény sorában nincs pozitív szám, a tábla optimális, a feltételek teljesülnek (100%-os erőforrás kihasználtság) a tábla belsejében a felesleges értékeket már nem számoltuk ki)

1. u1 x2 x3 x4 b

x1 1/2 1 1 0 30

u2 0 1 0 1 40

-z -8 -6 -10 4 -480

0. u1 x2 x3 u2 b

x1 0 30

x4 0 1 0 1 40

-z -8 -10 -10 -4 -640

További példák1. Elosztási feladatok

xij 0 j xij = ti 0 (i= 1,…,m) i xij = rj 0 (j= 1,…,n) i ti = j rj

i j cijxij = min

Ide tartozik a klasszikus szállítási feladat: m számú Fi feladóhelyen ti mennyiségű homogén termék (pl. szén, tégla,

cukorrépa, üres vasúti kocsi, stb) n számú Rj megrendelőnek rj mennyiségű igénye az adott termékből /

szolgáltatásból a kínálat és a kereslet egyenlőMilyen minimális költség mellett lehet a feltételek mellett az igényeket

kielégíteni, ha xij az i. feladótól a j. megrendelőhöz szállítandó mennyiség cij a fajlagos szállítási költség

A matematikai modell:x11+x12+x13+x14 =50

x21+x22+x23+x24 =40x31+x32+x33+x34 =30

x11 + x21 + x31 =40 x12 +x22 +x32 =10

x13 +x23 +x33 =60 x14 +x24 +x34=10

600x11+400x12+ +100x34 =min

Pl: R1 R2 R3 R4

F1 600 400 100 500 50 Fi = megtermelt menny. (t) F2 200 100 300 800 40 Ri = igényelt menny. (t) F3 100 200 100 100 30 Cij = szállitási ktg (Ft/t)

40 10 60 10

Az Excel megoldás:

x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34 rel. menny. 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 50 50 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 = 40 40 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 = 30 30 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 = 40 40 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 10 10 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 = 60 60 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 10 10

600 400 100 500 200 100 300 800 100 200 100 100 célfv: 15000

0 0 50 0 30 10 0 0 10 0 10 10 M e g o l d á s

2. Pénzügyi termékválaszték modellEgy cég egy negyedévben kétféle terméket állít elő három

megmunkálógépen. Ismert a fajlagos gépigény, a gépkapacitás valamint a termékek egységára ill. termelési költsége.

A termelés pénzügyi fedezetéhez felhasználható a cég saját 700 eFt-ja max 300 eFt banki kölcsön, 5%-os negyedévi

kamatra Kérdések: Mennyit termeljen a termékekből és mennyi kölcsönt

vegyen fel a cég, hogy a termelés hozama a lehető legnagyobb legyen?

Mennyi a termelés összes pénzszükséglete?

Mat. modell:x1, x2, x3 0 a termékek , a felvett hitel

5 x1+3 x2 50003 x1+4 x2 4000 a gépkapacitásokra2 x1+ x2 2000 x3 300 a bankhitel1,0 x1 + 0,8x2 700 + x3 a költség és fedezete

1,4 x1+1,1x2 - (1,0 x1 + 0,8x2 +0,05 x3) a célfüggvény

Excel megoldás:

Term1 Term2

Hitel Rel. Kapac.

Tény

gép1 5 3 0 <= 5000 5000

gép2 3 4 0 <= 4000 3000

gép3 2 1 0 <= 2000 2000

hitel 1 <= 300 300

saját+hitel 1 0,8 -1 <= 700 700

hozam 0,4 0,3 -0,05 eredmény 385

megoldás 1000 0,0 300

3. Banki kölcsönzésEgy bank legfeljebb 100 millió Ft kölcsönt kíván nyújtani az alábbi területeken és feltételekkel:

Kamat (%) Behajthatatlan követelés valószínűsége

Személyi kölcsön 14 0,10 (10%)Autó kölcsön 13 0,07 (7%)Lakás kölcsön 12 0,03 (3%)Mezőgazdasági kölcsön 12,5 0,05 (5%)Kereskedelmi kölcsön 10 0,02 (2%)

További feltételek:-A mg-i és kereskedelmi kölcsönök összege a teljes pénzalap legalább 40 %-át tegyék ki (más pénzintézetekkel így tudnak versengeni)-A személyi, autó és lakás kölcsönök együttesének legalább a felét a lakás kölcsönök adják (a térség lakásépítő iparának fejlesztését kívánják segíteni)-A behajthatatlan követelések az összes kölcsön 4 %-át ne haladják megHogyan ossza meg a bank a kölcsönre szánt összeget a kölcsöntípusok között, ha célja a nettó bevételének (kamat – behajthatatlan követelés) maximalizálása?

Mat. modell:x1, x2, x3, x4 0 a nemnegativitási feltétel

x1+x2 +x3+ x4+ x5 100 a kölcsönök összegére x4+ x5 40

x1+x2 -x3 0 x3 0,5 (x1+x2 +x3)- ból0,1 x1+0,07 x2 +0,03x3+ 0,05x4+0,02 x5 4 a

behajthatatlan követelések arányából

0,04 x1+0,06 x2 +0,09 x3+0,075 x4+0,08 x5 a célfüggvény

(kamatbevételek – behajthatatlan követelésekből)

  személyi autó lakás mg-i keresk-i reláció kapacitás

pénzalap 1 1 1 1 1 <= 100

mg-i és keresk-i 1 1 >= 40

lakáskölcsönre 1 1 -1 <= 0

behajthatatlan 0,1 0,07 0,03 0,05 0,02 <= 4

kamat-behajthatatlan 0,04 0,06 0,09 0,075 0,08 8,304

megoldás 0,0 0 60 0 40

Excel megoldás:

ÖSSZEFOGLALÁSKeressük egy többváltozós függvény szélsőértékét, amikor a1. A feltételek egyenlőségek formájában adottak

Lagrange függvény: F(x)= f(x)+ ∑i=1m λi gi (x)

F’xi(x)= 0 (i = 1,2,...,n) gi(x) = 0 (i = 1,2,...,m)logikai/szakmai meggondolásokkal választjuk ki a tényleges szélsőérték helyeket. Ezeket az f függvénybe helyettesítve kapjuk a feltételes szélsőértékeket.

2. A feltételek egyenlőtlenségek formájában adottakA) 2 változós LP feladat: megoldása grafikus módszerrel- ábrázoljuk a lehetséges megoldások L halmazát- ábrázoljuk a célfüggvényt egy tetszőleges értéknél- e célfüggvényt párhuzamosan eltolva L határáig, megkeressük az optimális megoldást

B) 2-nél több változós LP feladat: megoldás szimplex módszerrel

Felírjuk az induló táblát, majd a szabályok betartásával addig végezzük a bázistranszformációt, míg az optimális táblához nem jutunk.

Az optimális táblából leolvasható az x program vektor, az u kapacitás vektor és a z célfüggvény értéke.

ELLENÖRZŐ KÉRDÉSEK

1. Mikor alkalmazzuk a Lagrange módszert feltételes szélsőérték meghatározásra? Mi a módszer lényege?

2. Mikor beszélünk matematikai – ezen belül lineáris – programozásról?

3. Hogyan adható meg egy maximum számítási LP feladat mátrixos formában?

4. Mikor alkalmazható a grafikus módszer, mik a megoldás-hoz vezető lépések, hány megoldás lehetséges?

5. Milyen formájú az induló szimplex tábla, mikor érjük el az optimális táblát, hogyan olvasható le az x, az u vektorok ill. a célfüggvény értéke?