tom tat cong thuc toan cao cap a1, 2
TRANSCRIPT
Hμm mét biÕn 1. C«ng thøc tÝnh ®¹o hµm
• (uα)’ = α .u’.uα-1 (α: H»ng sè, U: Hµm sè)
• (aU)’ = u’.ln a.aU (a: H»ng sè, U: Hµm sè)
• (eU)’ = u’.eU • (Sin u)’ = u’.cos u • Cos u)’ = - u’.sin u
• (Tg u)’=uCos
u2' ;
• (Cotg u)’=uSin
u2'−
• (Logau)’ =au
uln.
'
• (arcsin u)’ =21
'u
u−
;
• (arccos u)’ =21
'u
u−
−
• (arctg u)’ = 21'u
u+
;
• (arccotg u)’ = 21'
uu
+−
• (u ± v)’=u’ ± v’ • (u.v)’= u’v+v’u
• (vu )’ = 2
''v
uvvu −
2. Vi ph©n du = u’.dx 3. Giíi h¹n - V« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng : 0)( =
→xLim
axα => α(x) ®−îcgäi lµ v« cïng bÐ khi x->a
1)()(=
→ xxLim
ax βα --> α(x) vµ β(x) lµ hai v« cïng bÐ t−¬ng ®−¬ng khi x->a
Ký hiÖu : α(x) ∼β(x) khi x->a
§Þnh lý : NÕu α(x) ∼α1(x) vµ β (x) ∼β1(x)khi x->a th× )()(
)()(
1
1
xxLim
xxLim
axax βα
βα
→→=
Sin x ∼ x khi x->0 ArcSin x ∼ x khi x->0 Tg x ∼ x khi x->0
ArcTg x ∼ x khi x->0 ex-1 ∼ x khi x->0 ln(1+x) ∼ x khi x->0
- C«ng thøc Lopital khö d¹ng 00 ;
∞∞ :
1
)(')('
)()(
xgxfLim
xgxfLim
axax →→=
4. TÝnh liªn tôc cña hµm sè Hµm sè: y = f(x) liªn tôc t¹i x = x0 nÕu : + f(x0) x¸c ®Þnh vµ h÷u h¹n + )()( 0
0
xfxfLimxx
=→
(NÕu hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x0 th× x0 ®c gäi lµ ®iÓm gi¸m ®o¹n) Hµm sè s¬ cÊp y = f(x) sÏ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm mµ hµm sè x¸c ®Þnh 5. TÝch ph©n a. C«ng thøc nguyªn hµm
• Cxdxx ++
= +∫ 1.)1(
1 αα
α (α>0)
• Caa
dxa xx +=∫ .ln1
• Cedxe xx +=∫• Cxdxx +=∫ cos.sin
• ∫ =dxx
.sin
12 -cotg x + C
• Cxdxx +−=∫ sin.cos
• ∫ =dxx
.cos
12 tg u + C
• Caxdx
xa+=
−∫ arcsin.1
22
• ∫ +dx
xa.1
22 =a1 .arctg
ax +C
• Cxdxx
+=∫ ln.1
b. TÝch ph©n tõng phÇn: ∫ ∫−= vduvudvu ..
Hμm nhiÒu biÕn
7. §¹o hµm riªng vµ vi ph©n toµn phÇn
• x
yxfyxxfLimx
yxfyxfxx Δ
−Δ+=
∂∂
=→Δ
),(),(),(),( 0000
0
0000
'
• y
yxfyyxfLimy
yxfyxfyy Δ
−Δ+=
∂∂
=→Δ
),(),(),(),( 0000
0
0000
'
• Vi ph©n toµn phÇn cÊp 1: dyyxfdxyxfyxdf yx ),(),(),( '' +=
• Vi ph©n toµn phÇn cÊp 2: 222222 ),(),(2),(),( dyyxfdxdyyxfdxyxfyxfd yyxyxx ++=
• C«ng thøc tÝnh gÇn ®óng: f(x+Δx, y+Δy) = f(x,y) + fx’(x,y). Δx + fy’(x,y). Δy
• §¹o hµm cña hµm hîp: F(u,v), trong ®ã u =u(x,y); v=v(x,y) :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
yv
vF
yu
uF
yF
xv
vF
xu
uF
xF
• §¹o hµm cña hµm Èn :
*NÕu F(x,y) = 0 ; y= y(x): => ),(),()(' '
'
yxFyxFxy
y
x−=
*NÕu F(x,y,z) = 0 ; z= z(x,y): => ),,(),,()(' '
'
zyxFzyxFxz
x
x−= ; ),,(),,()(' '
'
zyxFzyxFyz
y
x−=
. Cù trÞ hµm nhiÒu biÕn 8
B−íc1: T×m ®iÓm c¸c ®iÓm dõng M(xi,yi) lµ nghiÖm cña hÖ PT: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
0),(
0),('
'
yxfyxf
y
x
B−íc2: KiÓm tra ®iÓm M(xi,yi) cã lµ cùc trÞ A=fxx”(xi,yi); B=fxy”(xi,yi); C=fyy”(xi,yi);
B2-AC < 0 A<0: M(xi,yi)--- Cùc ®¹i A>0: M(xi,yi)--- Cùc tiÓu
B2-AC > 0 M(xi,yi)--- kh«ng lµ cùc trÞ B2-AC = 0 M(xi,yi)--- Ch−a kÕt luËn ®−îc
Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn: T×m cùc trÞ hµm: u=f(x,y,z) víi ®k: g(x,y,z)=0
Gi¶i hÖ PT: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
0),,(
'
'
'
'
'
'
zyxggf
gf
gf
z
z
y
y
x
x
=> NghiÖm M(x,y,z)
9. TÝch ph©n kÐp a. Trong hÖ täa ®é ®Ò c¸c: - NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤b vµ c ≤ y ≤d th×:
∫∫∫∫ =d
c
b
aD
dyyxfdxdxdyyxf ),(),(
- NÕu miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt x¸c ®Þnh bëi: a ≤ x ≤b vµ y1(x) ≤ y ≤y2(x) th×:
∫∫∫∫ =)(
)(
2
1
),(),(xy
xy
b
aD
dyyxfdxdxdyyxf
2
b. §æi biÕn trong tÝch ph©n kÐp: x=x(u,v) ; y=y(u,v) ∫∫∫∫ =
DD
dudvvuyvuxfJdxdyyxf )],(),,([.||),(
trong ®ã: J= ''
''
),(),(
vu
vu
yyxx
vuDyxD
=
c. Trong hÖ täa ®é cùc: I= (x= r.cosϕ; y= r.sinϕ) ∫∫∫∫ ='
.).sin,cos(),(DD
drdrrrfdxdyyxf ϕϕϕ
D
x
y
ϕ2
ϕ1
r=g2(ϕ)
r=g1(ϕ)
Dx
y
ϕ2
ϕ1
r=g(ϕ)
x
y
00 0 D
r=g(ϕ)
3
D
L
10. TÝch ph©n ®−êng lo¹i 1
- NÕu: y=y(x), a ≤ x ≤b th×: 2( , ) ( , ( )) 1 ' ( ).b
aAB
f x y ds f x y x y x dx= +∫ ∫
∫ ∫=2
1
)(2
)(1
.).sin,cos(ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕg
g
drrrrfdI ∫ ∫=π ϕ
ϕϕϕ2
0
)(
0
.).sin,cos(g
drrrrfdI ∫ ∫=2
1
)(
0
.).sin,cos(ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕg
drrrrfdI
- NÕu: x=x(t), y=y(x), t1 ≤ t ≤t2 th×: 2
1
2 2( , ) ( ( ), ( )). ' ( ) ' ( ).t
tAB
f x y ds f x t y t x t y t dt= +∫ ∫
. TÝch ph©n ®−êng lo¹i 2 11 - NÕu AB ®−îc cho bëi: y=y(x), a,b lµ hoµnh ®é cña A vµ B th×
( , ) ( , ) [ ( , ( )) ( , ( )). '( )]b
aAB
P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx+ = +∫ ∫
- NÕu AB cho bëi: x=x(t), y=y(t), t=tA (t¹i A), t=tB (t¹i B) th× : B
( , ) ( , ) [ ( ( ), ( )). '( ) ( ( ), ( )). '( )]B
A
t
tAB
P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt+ = +∫ ∫
- C«ng thøc Green : ( , ) ( , ) ( )L D
P QP x y dx Q x y dy dxdyx y
∂ ∂+ = −
∂ ∂∫ ∫∫
(L- lµ miÒn biªn cña D và lµ mét ®−êng khÐp kÝn)
HÖ qu¶: NÕu Q Px y
∂ ∂=
∂ ∂ trong D th×: ( , ) ( , ) 0
L
P x y dx Q x y dy+ =∫
• §Þnh lý 4 mÖnh ®Ò t−¬ng ®−¬ng: Cho P(x,y) vµ Q(x,y) liªn tôc, cã ®¹o hµm riªng cÊp 1 trong miÒn D. Khi ®ã, 4 mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng:
(1) Q Px y
∂ ∂=
∂ ∂
(2) ∃ u(x,y) sao cho: du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy (3) Mäi ®−êng cong kÝn L ⊂ D th×: ( , ) ( , ) 0
L
P x y dx Q x y dy+
+ =∫
(L+ - ®Þnh h−íng d−¬ng, do c«ng thøc Green) (4) TÝch ph©n kh«ng phô thuéc vµo ®−êng cong nèi 2 ®iÓm A,B ( , ) ( , )
AB
P x y dx Q x y dy+∫
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n . Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1: F(x,y,y’) = 0 hoÆc y’= f(x,y) 12
(1) Ph−¬ng tr×nh ph©n ly: ( )'( )f xy
g y−
= ⇔ ( )( )
dy f xdx g y
−= ⇔ ( ) ( ) 0f x dx g y dy+ =
- TÝch ph©n 2 vÕ: ( ) ( )f x dx f y dy C+∫ ∫ = ⇔ F(x)+ G(x) = C
(2) Ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp: ' yy fx
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
- §Æt u(x) = yx
⇒ y = u(x).x ⇒ y’= u(x)+ u’(x).x Thay vµo PT ta cã:
u+u’.x= f(u) ⇔ x.u’ = f(u) – u hay . ( )dux f u udx
= −
* NÕu f(u) – u = 0: x.u’= 0 ⇒ u’= 0 ⇒ u= C ⇒ y = C.x - lµ 1 hä nghiÖm
* NÕu f(u) – u ≠ 0: ( )
dx dux f u u=
− (®©y lµ mét PT ph©n ly). TÝch ph©n hai vÕ :
( )
dx dux f u u=
−∫ ∫ ⇒ ln | | ( ) ln | |x u Cφ= + ⇒( )
.yxx C e
φ=
(Φ(u) lµ mét nguyªn hµm cña 1( )f u u−
)
(3) Ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh: y’+p(x).y=q(x) Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt: y’+p(x).y=0
C«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t: ( ) ( )
.( ( ). )P x dx P x dxy e C Q x e dx∫ ∫= + ∫
(4) Ph−¬ng tr×nh Becnuly: ' ( ). ( ).y p x y q x yα+ = (α ≠ 0, α ≠ 1) (Ph−¬ng ph¸p gi¶i: ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh)
• α>0: y= 0 lµ 1 nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh • Víi y ≠ 0 chia c¶ 2 vÕ cho yα vµ ®Æt z(x) = y1-α ⇒ z’(x) = (1-α).y’.yα thay vµo PT
z'+(1-α).p(x).z=(1-α).q(x) --- Lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh
(5) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (trong ®ã: P Qy x
∂ ∂=
∂ ∂)
NghiÖm tæng qu¸t: 0 0
0( , ) ( , ) ( , )yx
x y
u x y P x y dx Q x y dy C= + =∫ ∫
Hay : 0 0
0( , ) ( , ) ( , )yx
x y
u x y P x y dx Q x y dy C= + =∫ ∫
( trong ®ã (x0,y0) bÊt kú ∈ D). §Ó ®¬n gi¶n chän x0= 0, y0= 0, nÕu (0,0) ∈ D
* Trong tr−êng hîp P Qy x
∂ ∂≠
∂ ∂ ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn b»ng c¸ch
nh©n hai vÕ víi μ(x,y): μ(x,y).P(x,y)dx + μ(x,y).Q(x,y)dy = 0.
- NÕu ( )
P Qy x x
Qϕ
∂ ∂−
∂ ∂ = th× ( ).
( , ) ( )x dxx y x e ϕ
μ μ−∫= =
- NÕu ( )
P Qy x y
Pϕ
∂ ∂−
∂ ∂ = th× ( ).
( , ) ( )y dyx y y e ϕ
μ μ ∫= =
13. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2: F(x,y,y’,y’’) = 0 hoÆc y’= f(x,y,y’) (1) Ph−¬ng tr×nh khuyÕt (ph−¬ng ph¸p gi¶i: H¹ cÊp => ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1):
4• KhuyÕt y vµ y’: f(x,y’’) = 0 hay y’’= f(x) -> tÝch ph©n 2 lÇn
NghiÖm tæng qu¸t: 1 2( ( ). )y f x dx dx C x C= + +∫ ∫
• KhuyÕt y: f(x,y’,y’’) = 0. §Æt z(x) = y’ ⇒ y’’ = z’(x). Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: f(x,z,z’) = 0 => PTVP cÊp 1 víi z(x)
• KhuyÕt x: f(y,y’,y’’) = 0. §Æt z(y) = y’ => ' ( )'' . . ' .dy dz y dz dy dz dzy ydx dx dy dx dy dy
= = = = = z
Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: ( , , . ) 0dzf y z zdy
= => PTVP cÊp 1 víi z(y)
(2) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 cã hÖ sè h»ng : a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong ®ã a,b,c lµ c¸c h»ng sè) PT thuÇn nhÊt: a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2)
5
NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: *y y y= + trong ®ã : y* - lµ nghiÖm riªng cña (1) y - lµ nghiÖm TQ cña (2) B−íc 1 : T×m nghiÖm tæng qu¸t cña PTTN(2)
Ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt : a.y’’+b.y’+c.y= 0 (2) NghiÖm TQ: = C1.y1(x)+ C2.y2(x) (C1, C2 : H.sè) y
PT ®Æc tr−ng : a.k2 + b.k+ c = 0 (3) Δ=b2- 4ac
Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
PT (3) cã 2 no: k1, k2
+ 11( ) k xy x e=
+ 22 ( ) k xy x e=
y = C1.ek1.x+ C2.e
k2.x
PT (3) cã no kÐp: k1= k2=k + 1( ) kxy x e= + 2 ( ) . kxy x x e= y = C1.e
k.x+ C2.x.ek.x
PT (3) cã 2 no phøc: k1,2= α ± β.i + 1( ) .cosxy x e xα β= + 1( ) .sinxy x e xα β=
y = eα.x(C1.cosβx+ C2.sinβx) B−íc 2 : T×m nghiÖm riªng cña PTKTN(1) Ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh: a.y’’+b.y’+c.y= f(x) (1) ( Trong ®ã a,b,c lµ c¸c h»ng sè)
T×m nghiÖm riªng : y*Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè
Lagrange NghiÖm riªng cña (1) cã d¹ng: y*= C1(x).y1(x)+ C2(x).y2(x) ( y1(x), y2(x) lµ 2 nghiÖm riªng ®éc lËp cña PT thuÇn nhÊt (2) ë trªn) Trong ®ã C1(x), C2(x) lµ c¸c hµm tho¶ m·n hÖ:
' '1 1 2 2' ' ' '1 1 2 2
( ). ( ) ( ). ( ) 0
( ). ( ) ( ). ( ) ( )
C x y x C x y xC x y x C x y x f x
⎧ + =⎪⎨
+ =⎪⎩
C¨n cø d¹ng ®Æc biÖt cña vÕ tr¸i D¹ng 1: f(x)=Pn(x).eαx (Pn(x) lµ ®a thøc bËc n)
XÐt: α D¹ng cÇn tÝnh cña nghiÖm riªng
Ko lµ no cña PT§T(3)
y* = Qn(x). eαx (Qn(x) cïng bËc víi Pn(x))
L lµ no ®¬n cña PT§T(3)
y* = x.Qn(x). eαx
L lµ no kÐp cña PT§T(3)
y* = x2. Qn(x). eαx
D¹ng 2 : f(x)=eαx.(Pn(x).cosβx+Qm(x).sinβx)
XÐt: α±β.i D¹ng cÇn tÝnh cña nghiÖm riªng
Ko lµ no cña PT§T(3)
y*= eαx.(Kt(x).cosβx+Qt(x).sinβx) (t=max(m,n))
Lµ no cña PT§T(3)
y*=x.eαx.(Kt(x).cosβx+Qt(x).sinβx) (t=max(m,n))
Chó ý: NÕu a.y’’+b.y’+c.y= f(x)+g(x) th× nghiÖm riªng: y*=y1*+ y2* trong ®ã y1*, y2* lÇn l−ît lµ 2 nghiÖm riªng cña 2 PT: a.y’’+b.y’+c.y= f(x) vµ a.y’’+b.y’+c.y= g(x).
Chuçi . Chuçi sè 14
• Chuçi héi tô : Chuçi sè : - Héi tô nÕu tæng riªng thø n : dÇn tíi mét giíi h¹n
h÷u h¹n khi n→∞. 1
nn
u+∞
=∑
1
n
nk
S=
=∑ ku
• Chuçi ph©n kú : nÕu nã kh«ng héi tô.
• Chuçi héi tô nÕu |q|<1; phÇn kú nÕu |q|≥ 1 0
n
nq
+∞
=∑
• chuçi 1
1n nα
+∞
=∑ héi tô nÕu α >1; phÇn kú nÕu α ≤ 1
a. §K ®Ó mét chuçi héi tô :
- NÕu chuçi héi tô th× 1
nn
u∞
=∑ 0nn
Lim u→+∞
= ( 0nnLim u→+∞
= =>kh«ng kh¼ng ®Þnh ®−îc chuçi
héi tô) 1
nn
u∞
=∑
- NÕu th× chuçi ph©n kú 0nnLim u→+∞
≠1
nn
u∞
=∑
• C¸c quy t¾c kh¶o s¸t tÝnh héi tô cña chuçi sè
6
- Quy t¾c D’lembert: chuçi d−¬ng 1
nn
u∞
=∑ , 1n
nn
ULim kU
+
→+∞ k<1: héi tô, k>1: ph©n kú =
- Quy t¾c Cauchy: chuçi d−¬ng , 1
nn
u∞
=∑ n
nnLim U k→+∞
= k<1: héi tô, k>1: ph©n kú
. Chuçi hµm 15
*T×m miÒn héi tô cña chuçi hµm Un(x):
b1: T×m giíi h¹n: )()()( 1
xUxULimxl
n
n
n
+
+∞→= hoÆc n
nnxULimxl )()(
+∞→=
b2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: l(x) < 1 ®Ó t×m kho¶ng héi tô cña chuçi hµm b3: T¹i x = x0 mµ l(x)=1 ta thay x = x0 ®Ó xÐt trùc tiÕp b4: KÕt luËn miÒn héi tô cña hµm