111111

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric đóng vai

trò quan trọng trong toán học và khoa học ứng dụng. Năm 2006,

Mustafa và Sims đã đưa ra khái niệm không gian G-metric là một

suy rộng của không gian metric (xem [3]). Nhờ đó, Mustafa và cộng

sự đã đưa ra rất nhiều định lí điểm bất động trên không gian G-

metric (xem [1,3,4,5,6,7]. Bằng cách suy rộng không gian G-metric,

Sedghi, Shobe, Aliouche đã giới thiệu khái niệm không gian S-

metric vào năm 2012 (xem [2,8,9]), và các tác giả đã đưa ra được

một số định lí điểm bất động trên không gian này. Sau đó, bằng cách

suy rộng ánh xạ và các phép co, một số tác giả đã thu được nhiều kết

quả cho định lí điểm bất động trên không gian S-metric (xem [8]).

Hiện nay, bài toán về điểm bất động trên không gian S-metric đang

thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.

Với lý do như trên cũng như dưới sự định hướng của thầy

giáo Lương Quốc Tuyển, tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài:

“Định lý điểm bất động trong không gian S-metric”. Chúng tôi mong

muốn tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm và

nghiên cứu về lĩnh vực này.

2. Mục đích nghiên cứu

Trong luận văn, chúng tôi tập trung nghiên cứu các kiến thức

liên quan đến không gian metric, không gian suy rộng S-metric, một

số kết quả thu được trên không gian S-metric với các mục đích như

sau.

111111

2

(1) Hệ thống lại một số khái niệm và chứng minh chi tiết các

tính chất của không gian metric và định lí điểm bất động đối với ánh

xạ co trên không gian metric đầy đủ.

(2) Trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian

S-metric.

(3) Nghiên cứu một số định lí điểm bất động trên không gian

S-metric đối với lớp ánh xạ co và một số hệ quả của nó cũng như

trình bày một số ví dụ liên quan.

3. Đối tượng nghiên cứu

Các khái niệm và tính chất của không gian metric như dãy

hội tụ, lân cận, tập hợp mở, tập hợp đóng, phần trong, biên, bao đóng

của một tập hợp, không gian metric đầy đủ, định lý điểm bất động

của Banach, không gian S-metric, ánh xạ liên tục và ánh xạ co, định

lý điểm bất động trên không gian S-metric đối với lớp ánh xạ co.

4. Phạm vi nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu các định lý điểm

bất động trên không gian S-metric đối với lớp ánh xạ co.

5. Phương pháp nghiên cứu

1. Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức.

2. Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu

liên quan đến “Định lý điểm bất động trong không gian S-metric”

3. Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài.

4. Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn.

111111

3

6. Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra,

luận văn còn có Lời cam đoan, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết

luận, Tài liệu tham khảo.

Chương 1, Trình bày về không gian metric, bao gồm 10

mục. Mục 1.1, trình bày khái niệm về không gian metric; Mục 1.2,

trình bày dãy hội tụ trong không gian metric; Mục 1.3, lân cận; Mục

1.4, trình bày tập hợp mở; Mục 1.5, trình bày tập hợp đóng; Mục 1.6,

trình bày phần trong, biên của một tập hợp; Mục 1.7, trình bày bao

đóng của một tập hợp; Mục 1.8, trình bày không gian metric đầy đủ;

Mục 1.9, trình bày ánh xạ liên tục trên không gian metric; Mục 1.10,

trình bày định lý điểm bất động của Banach.

Chương 2, Trình bày một số khái niệm và tính chất của

không gian S-metric, bao gồm 3 mục. Mục 2.1, trình bày không gian

S-metric; Mục 2.2, trình bày topo sinh bởi S-metric; Mục 2.3, trình

bày sự hội tụ trong không gian S-metric.

Chương 3, Trình bày định lý điểm bất động trong không gian

S-metric đối với lớp ánh xạ co và một số hệ quả của nó cũng như

trình bày các ví dụ liên quan, bao gồm 2 mục. Mục 3.1, trình bày ánh

xạ liên tục và ánh xạ co; Mục 3.2, trình bày định lý điểm bất động

đối với ánh xạ co trên không gian S-metric đầy đủ.

7. Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày tổng quan và hệ

thống về không gian metric, không gian metric đầy đủ; một số khái

niệm và tính chất của không gian S-metric, topo sinh bới S-metric;

111111

4

một số định lý điểm bất động trên không gian S-metric đối với lớp

ánh xạ co và các hệ quả của nó, cũng như trình bày một số ví dụ.

Trong chương thứ nhất của luận văn, chúng tôi trình bày các

khái niệm và tính chất của không gian metric như dãy hội tụ, lân cận,

tập hợp mở, tập hợp đóng, phần trong, biên, bao đóng của một tập

hợp, không gian metric đầy đủ, định lý điểm bất động của Banach.

Trong chương thứ hai của luận văn, chúng tôi trình bày một

số khái niệm và tính chất của không gian S-metric, topo sinh bới S-

metric, sự hội tụ trong không gian S-metric. Kết quả chính của

chương này là Bổ đề 2.1.2, Định lý 2.2.2, Bổ đề 2.2.3, Bổ đề 2.3.2,

Bổ đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.5

Trong chương thứ ba của luận văn, chúng tôi trình bày ánh

xạ liên tục và ánh xạ co, định lý điểm bất động đối với lớp ánh xạ co

trên không gian S-metric đầy đủ. Kết quả chính của chương này là

Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.3.

111111

5

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN METRIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian metric nhằm làm tiền đề cho các chương phía sau cũng như chứng minh định lí điểm bất động đối với ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ. 1.1 . KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN METRIC

1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là tập hợp khác rỗng và

là hàm thỏa mãn các tiên đề sau.

(1) ( , ) 0d x y ≥ với mọi , ;x y X∈

( , ) 0d x y = khi và chỉ khi .x y=

(2) ( , ) ( , )d x y d y x= với mọi , .x y X∈

(3) ( , ) ( , ) ( , )d x z d x y d y z≤ + với mọi , , .x y z X∈

Khi đó,

(a) d được gọi là một metric xác định trên X.

(b) Cặp ( , )X d được gọi là một không gian metric. Ký hiệu là

( , ).X d

1.1.2. Ví dụ Với , ta đặt

1/22

1( , )

n

i ii

d x y x y=

= − ∑

11

( , )n

i ii

d x y x y=

= −∑

{ }2 ( , ) max | |: 1,2,..., .i id x y x y i n= − =

111111

6

Khi đó, ta kiểm tra được rằng 1 2, ,d d d là các metric xác định

trên

1.1.3. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian metric,

x X∈ và 0.r > Đặt

( , ) { : ( , ) };B x r x X d x y r= ∈ <

[ , ] { : ( , ) }.B x r x X d x y r= ∈ ≤

Khi đó, (1) ( , )B x r được gọi là hình cầu mở tâm x bán kính r.

(2) [ , ]B x r được gọi là hình cầu đóng tâm x bán kính r.

1.1.4. Nhận xét. ( , ) [ , ].B x r B x r⊂

1.2. DÃY HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN METRIC

1.2.1. Định nghĩa. Giả sử X là không gian metric và { }nx là

một dãy trong X. Ta nói rằng { }nx là dãy hội tụ đến x X∈ nếu

lim ( , ) 0.nnd x x

→∞= Lúc đó, ký hiệu

lim nnx x

→∞= hoặc .nx x→

1.2.2. Bổ đề. Trong không gian metric X, các khẳng định sau là đúng.

(1) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất;

(2) Nếu ,nx x→ thì mọi dãy con của { }nx cũng hội tụ đến x.

(3) Nếu , ,n nx a y b→ → thì ( , ) ( , ).n nd x y d x y→

Chứng minh. (1) Giả sử , .n nx a y b→ → Khi đó, theo các tiên

đề của metric ta suy ra rằng

111111

7

0 ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ).

n n

n n

d a b d a x d x bd x a d x b

≤ ≤ += +

Hơn nữa, vì ,n nx a y b→ → nên từ bất đẳng thức trên ta suy

ra ( , ) 0.d a b = Cuối cùng, theo tính chất của metric ta suy ra .a b=

Như vậy, giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.

(2) Giả sử { }knx là một dãy con bất kỳ của dãy { }.nx Khi

đó, vì { }nx là dãy hội tụ đến x nên với mọi 0,ε > tồn tại

sao cho

( , )nd x x ε< với mọi 0 .n k≥

Mặt khác, vì

0kn k≥ với mọi 0 .k k≥

Suy ra rằng

( , )knd x x ε< với mọi 0 .k k≥

Điều này chứng tỏ rằng, .knx x→

(3) Ta có

( , ) ( , ) ( , ) ( , ),n n n nd x y d x a d a b d b y≤ + +

kéo theo rằng

( , ) ( , ) ( , ) ( , ).n n n nd x y d a b d x a d b y− ≤ +

Hoàn toàn tương tự ta thu được

( , ) ( , ) ( , ) ( , ).n n n nd a b d x y d x a d b y− ≤ +

Từ đó, ta suy ra rằng

0 | ( , ) ( , ) | ( , ) ( , ).n n n nd x y d a b d x a d b y≤ − ≤ +

Cuối cùng, vì ,n nx a y b→ → nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra

111111

8

( , ) ( , ).n nd x y d x y→

1.3. LÂN CẬN

1.3.1. Định nghĩa. Giả sử X là không gian metric, x X∈ và

.U X⊂ Ta nói rằng U là một lân cận của x nếu tồn tại 0r > sao cho

1.3.2. Nhận xét. Trong không gian metric, giao của một họ hữu hạn các lân cận của x cũng là một lân cận của x.

( , ) .x B x r U∈ ⊂

Chứng minh. Giả sử 1 2, ,..., nU U U là các lân cận của x. Ta

chứng minh rằng

1

n

ii

U U=

= ∩

là một lân cận của x. Thật vậy, vì iU là lân cận của x với mọi

1,2,...,i n= nên với mọi 1,2,..., ,i n= tồn tại 0ir > sao cho

( , )i ix B x r U∈ ⊂ với mọi 1,2,..., .i n=

Bây giờ, nếu ta đặt min{ : 1,2,..., },ir r i n= =

thì ( , ) .x B x r U∈ ⊂ Như vậy, U là một lân cận của x.

1.4. TẬP HỢP MỞ 1.4.1. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian metric và

.A X⊂ Ta nói rằng A là tập hợp mở nếu A là lân cận của mọi điểm của A.

1.4.2. Định lí. Giả sử X là một không gian metric. Khi đó, các khẳng định sau là đúng.

(1) Hợp của một họ tùy ý gồm các tập hợp mở là tập hợp mở;

111111

9

(2) Giao của một họ hữu hạn gồm các tập hợp mở là tập hợp mở.

1.4.3. Bổ đề. Mỗi hình cầu mở trong không gian metric là tập hợp mở.

Chứng minh. Giả sử ( , )B x r là một hình cầu mở của không

gian metric X. Ta phải chứng minh rằng ( , )B x r là tập hợp mở. Thật

vậy, giả sử ( , ).y B x r∈ Khi đó, ( , ) .d x y r<

Bây giờ, nếu ta đặt ( , ),r d x yδ = −

thì 0δ > và ( , ) ( , ).y B y B x rδ∈ ⊂

Thật vậy, giả sử ( , ).z B y δ∈ Khi đó, ( , ) .d y z δ< Hơn nữa,

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) [ ( , )] .d x z d x y d y z d x y d x y r d x y rδ≤ + < + = + − =

Suy ra ( , ).z B x r∈ Như vậy, ( , )B x r là tập hợp mở.

1.5 . TẬP HỢP ĐÓNG 1.5.1. Định nghĩa: Giả sử X là một không gian metric và

.A X⊂ Ta nói rằng A là tập hợp đóng nếu phần bù của A là tập hợp mở.

1.5.2. Định lí: Đối với không gian metric X, các khẳng định sau là đúng.

(1) Hợp của một họ hữu hạn các tập hợp đóng là tập hợp đóng;

(2) Giao của một họ tùy ý gồm các tập hợp đóng là một tập hợp đóng.

1.5.3. Bổ đề. Hình cầu đóng là tập hợp đóng.

111111

10

Chứng minh. Giả sử [ , ]B x r là một hình cầu đóng. Ta phải

chứng minh rằng [ , ]B x r là tập hợp đóng. Thật vậy, giả sử

[ , ].y X B x r∈ � Khi đó, ( , ) .d x y r> Bây giờ, nếu ta đặt

( , ) ,d x y rδ = −

thì ta suy ra rằng 0.δ > Để hoàn thành chứng minh ra chỉ cần chứng tỏ rằng

( , ) [ , ].B y X B x rδ ⊂ �

Thật vậy, giả sử ( , ).z B y δ∈ Khi đó, ( , )d y z δ< và

( , ) ( , ) ( , ),d x y d x z d y z≤ +

kéo theo

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) [ ( , )] .d x z d x y d y z d x y r d x y r≥ − > + − =

Suy ra [ , ],z B x r∉ kéo theo [ , ].z X B x r∈ �

1.5.4 Định lí. Giả sử X là không gian metric và F là một tập con của X. Khi đó, F là tập con đóng của X khi và chỉ khi với mọi

dãy { }nx F⊂ hội tụ đến ,x X∈ ta đều có .x F∈ 1.6 . PHẦN TRONG VÀ BIÊN CỦA MỘT TẬP HỢP

1.6.1 Định nghĩa. Giả sử X là không gian metric, x X∈ và

.A X⊂ Khi đó, (1) x được gọi là điểm trong của A nếu A là lân cận của x. Tập

tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A và được ký hiệu là Int A.

(2) x được gọi là điểm ngoài của A nếu \X A là lân cận của x. Tập tất cả các điểm ngoài của A được gọi là phần ngoài của A và ký hiệu là Ext A.

111111

11

(3) x được gọi là điểm biên của A nếu nó không là điểm trong cũng không là điểm ngoài của A. Tập tất cả các điểm biên của A

được gọi là biên của A và ký hiệu là .A∂ 1.6.2 Bổ đề. Giả sử A, B là các tập con của không gian metric

X. Khi đó, các khẳng định sau là đúng. (1) IntA là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A.

(2) Nếu ,A B⊂ thì .IntA IntB⊂

(3) A là tập hợp mở khi và chỉ khi IntA = A. (4) ( ) .Int IntA IntA=

(5) ( ) .Int A B IntA IntB∩ = ∩

(6) ( ).IntA IntB Int A B∪ ⊂ ∪

1.7 . BAO ĐÓNG CỦA MỘT TẬP HỢP 1.7.1. Định nghĩa. Giả sử A là một tập con của không gian

metric X. Giao của tất cả các tập con đóng chứa A được gọi là bao

đóng của A. Ký hiệu .A 1.7.2 Bổ đề. Giả sử A, B là các tập con của không gian metric

X. Khi đó, các khẳng định sau là đúng. (1) Bao đóng của A là tập con đóng nhỏ nhất chứa A;

(2) Nếu ,A B⊂ thì .A B⊂

(3) .A B A B∪ = ∪

(4) .A B A B∩ ⊂ ∩

1.8 . KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ 1.8.1. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian metric X. Khi

đó,

111111

12

(1) { }nx được gọi là dãy Cauchy nếu ,lim ( , ) 0.n mm n

d x x→∞

→

(2) X được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.

1.8.2. Nhận xét. Mọi dãy hội tụ trong không gian metric đều là dãy Cauchy. Tuy nhiên, chiều ngược lại nói chung là không đúng. 1.9 . ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN METRIC

1.9.1. Định nghĩa. Giả sử (X,d) và ( , )Y ρ là hai không gian

metric và ánh xạ : ( , ) ( , ).f X d Y ρ→ Khi đó,

(1) f được gọi là ánh xạ liên tục tại 0x X∈ nếu với mọi 0,ε >

tồn tại 0δ > sao cho với mọi x X∈ mà 0( , ) ,d x x δ< ta đều

có0( ( ), ( )) .f x f xρ ε<

(2) f được gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X.

1.9.2. Định lí. Giả sử :f X Y→ là một ánh xạ và .x X∈ Khi

đó, ánh xạ f liên tục tại điểm x khi và chỉ khi với mọi dãy { }nx X⊂

mà nx x→ ta đều có ( ) ( ).nf x f x→

1.9.3. Định lí. Giả sử X, Y là các không gian metric và

:f X Y→ là một ánh xạ. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.

(1) f là ánh xạ liên tục;

(2) 1( )f G− là tập con mở trong X với mọi tập con G mở

trong Y;

(3) 1( )f G− là tập con đóng trong X với mọi tập con G đóng

trong Y.

111111

13

1.10. ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA BANACH 1.10.1. Định nghĩa. Giả sử X là không gian metric và

:f X X→ là một ánh xạ. Khi đó,

(1) f được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại [0,1)α ∈ sao cho

[ ( ), ( )] ( , )d f x f y d x yα≤ với mọi , .x y X∈

(2) Điểm x X∈ được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu

( ) .f x x=

1.10.2. Nhận xét. Mỗi ánh xạ co đều là ánh xạ liên tục. 1.10.3. Định lí. Giả sử X là một không gian metric đầy đủ và

:f X X→ là một ánh xạ co. Khi đó, f có duy nhất một điểm bất

động.

111111

14

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN S-METRIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian S-metric nhằm phục vụ việc chứng minh các kết quả của Chương 3. 2.1. KHÔNG GIAN S-METRIC 2.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là tập hợp khác rỗng và

3: [0, )S X → +∞ là hàm thỏa mãn các tiên đề sau với mọi

, , , .x y z a X∈

(S1) ( , , ) 0S x y z = khi và chỉ khi .x y z= =

(S2) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ).S x y z S x x a S y y a S z z a≤ + +

Khi đó, (1) S được gọi là một S-metric trên X. (2) Cặp (X, S) được gọi là một không gian S-metric. 2.1.2. Bổ đề. Giả sử (X, S) là một không gian S-metric. Khi đó,

( , , ) ( , , ).S x x y S y y x=

Chứng minh. Bởi vì S là S-metric trên X nên theo tiên đề (S2) ta có

(1) Áp dụng tiên đề (S2) cho trường hợp ,a x= ta thu được

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ).S x x y S x x x S x x x S y y x≤ + +

Do vậy, sử dụng tiên đề (S1) ta suy ra ( , , ) ( , , ).S x x y S y y x≤

111111

15

(2) Tương tự, áp dụng tiên đề (S2) cho trường hợp ,a y= ta

thu được ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ).S y y x S y y y S y y y S x x y≤ + +

Theo tiên đề (S1) ta suy ra rằng ( , , ) ( , , ).S y y x S x x y≤

Từ chứng minh trong (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh.

2.1.3. Ví dụ. Giả sử R là tập các số thực. Với mọi ta đặt

( , , ) | | | | .S x y z x z y z= − + − Khi đó, dễ dàng kiểm tra được rằng S là một S-metric trên R .

Ta nói rằng S là S-metric tự nhiên trên R . 2.2. TOPO SINH BỞI S-METRIC 2.2.1. Định nghĩa. Giả sử (X, S) là một không gian S-metric,

x X∈ và 0.r > Ta đặt

( , ) { : ( , , ) },SB x r y X S y y x r= ∈ <

, ] { : ( , , ) }[ .SB x r y X S y y x r= ∈ ≤

Khi đó, (1) ( , )SB x r được gọi là hình cầu mở tâm x bán kính r.

(2) [ , ]SB x r được gọi là hình cầu đóng tâm x bán kính r.

(3) Tập A X⊂ được gọi là tập hợp S-mở nếu với mọi ,x A∈

tồn tại 0r > sao cho ( , ) .SB x r A⊂

2.2.2. Định lí. Giả sử (X, S) là một không gian S-metric. Đặt { :U X Uτ = ⊂ là tập con S-mở của }.X

111111

16

Khi đó, τ là một topo trên X. 2.2.3. Bổ đề. Giả sử (X, S) là không gian S-metric. Khi đó,

( , )SB x r là tập con S-mở trong (X, S).

Chứng minh. Giả sử ( , ),Sy B x r∈ nghĩa là ( , , ) .S y y x r< Ta đặt

( , , ) .2

r S x x yδ −=

Để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng tỏ rằng

( , ) ( , ).S Sy B y B x rδ∈ ⊂

Thật vậy, giả sử ( , ).Sz B y δ∈ Khi đó, ( , , ) .S z z y δ< Sử dụng tiên đề

(S2) của S-metric, ta có ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

2 ( , , ) .S z z x S z z y S z z y S x x y

S x x y rδ≤ + +

< + =

Như vậy, ( , ) ( , ).S Sy B y B x rδ∈ ⊂

2.2.4. Định nghĩa. Giả sử (X, S) là không gian S-metric. Khi đó, ta nói rằng topo τ trong Định lí 2.2.2 là topo được sinh bởi S-metric S.

2.2.5. Nhận xét. Giả sử (X, S) là không gian S-metric. Khi đó, (1) X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất; (2) X là không gian chính quy.

2.3. SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN S-METRIC 2.3.1. Định nghĩa. Giả sử (X, S) là một không gian S-metric

và { }nx là một dãy trong X. Khi đó,

(1) { }nx được gọi là S-hội tụ đến x X∈ nếu

( , , ) 0n nS x x x → khi ,n → ∞

111111

17

nghĩa là với mọi tồn tại sao cho

với mọi 0 .n n≥

Lúc đó, ta viết .nSx x→

(2) { }nx được gọi là dãy S-Cauchy nếu ( , , ) 0n n mS x x x → khi

, ,m n → ∞ nghĩa là với mọi , tồn tại sao cho

với mọi 0 .n n≥

(3) Không gian S-metric (X, S) được gọi là không gian S-metric đầy đủ nếu mọi dãy S-Cauchy trong (X, S) đều hội tụ.

2.3.2. Bổ đề. Giả sử (X, S) là không gian S-metric. Khi đó,

(1) Nếu { }nx là dãy S-hội tụ đến x, thì x duy nhất.

(2) Nếu { }nx là dãy S-hội tụ đến x và { }ny là dãy S-hội tụ

đến y, thì

( , , ) ( , , ).n n nS x x y S x x y→

2.3.3. Bổ đề. Giả sử (X, S) là không gian S-metric. Khi đó, nếu

{ }nx là dãy trong X, S-hội tụ đến x, thì { }nx là dãy S-Cauchy.

2.3.4. Định nghĩa. Giả sử X là tập hợp khác rỗng và tồn tại

1b ≥ sao cho hàm 2: [0, )d X → +∞

thỏa mãn các tiên đề sau với mọi , , .x y z X∈

(B1) ( , ) 0d x y = khi và chỉ khi .x y=

(B2) ( , ) ( , ).d x y d y x=

(B3) ( , ) [ ( , ) ( , )].d x z b d x y d y z≤ +

111111

18

Khi đó, (1) d được gọi là một b-metric trên X. (2) Cặp (X, d) được gọi là không gian b-metric.

2.3.5. Mệnh đề. Giả sử (X, S) là không gian S-metric. Ta đặt

( , ) ( , , )d x y S x x y= với mọi , .x y X∈

Khi đó, các khẳng định sau là đúng. (1) d là một b-metric trên X;

(2) nx x→ trong (X, S) khi và chỉ khi nx x→ trong (X, d);

(3) { }nx là dãy S-Cauchy trong (X, S) khi và chỉ khi { }nx là

dãy d-Cauchy trong (X, d).

111111

19

CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHÔNG GIAN

S-METRIC Trong chương này, chúng tôi trình bày một số định lí điểm bất động trên không gian S-metric đối với lớp ánh xạ co và một số hệ quả của nó cũng như trình bày một số ví dụ liên quan. 3.1 . ÁNH XẠ LIÊN TỤC VÀ ÁNH XẠ CO 3.1.1. Định nghĩa. Giả sử

1 2: ( , ) ( , )F X S Y S→ là một ánh xạ từ

không gian S-metric (X, S1) vào không gian S-metric (X, S2). Khi đó, (1) F được gọi là S-liên tục tại

0x X∈ nếu với mọi 0,ε > tồn tại

0δ > sao cho với mọi x X∈ mà 1 0( , , ) ,S x x x δ< ta đều có

2 0[ ( ), ( ), ( )] .S F x F x F x ε<

(2) F được gọi là S-liên tục trên X nếu nó là S-liên tục tại mọi

.x X∈

3.1.2. Định lí. Giả sử 1 2: ( , ) ( , )F X S Y S→ là một ánh xạ từ

không gian S-metric (X, S1) vào không gian S-metric (Y, S2). Khi đó,

F là S-liên tục tại 0x X∈ khi và chỉ khi với mọi dãy { }nx là S-hội

tụ đến 0x trong (X, S1) ta đều có { ( )}nF x là dãy S-hội tụ đến 0( )F x

trong (Y, S2). 3.1.3. Định nghĩa. Giả sử (X, S) là một không gian S-metric. Ánh xạ :F X X→ được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số

[0,1)L∈ sao cho

[ ( ), ( ), ( )] ( , , )S F x F x F y L S x x y≤ với mọi , .x y X∈

111111

20

3.1.4. Nhận xét. (1) Từ Định nghĩa ánh xạ co ta suy ra rằng, mỗi ánh xạ co là ánh xạ S-liên tục.

(2) Giả sử Ta đặt 0 1( ) ; ( ) [ ( )].n nF x x F x F F x+= =

3.2 . ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRÊN KHÔNG GIAN S-METRIC ĐẦY ĐỦ 3.2.1. Định lí. Giả sử (X, S) là không gian S-metric đầy đủ và

:F X X→ là một ánh xạ co. Khi đó, F có duy nhất một điểm bất

động .u X∈ Hơn nữa, lim ( )n

nF x u

→∞= và

2[ ( ), ( ), ] [ , , ( )].1

nn n LS F x F x u S x x F x

L≤

−

3.2.2. Ví dụ. Giả sử X , và đặt

( , , ) | | | | .S x y z x z y z= − + −

:1( ) sin .2

F X X

x F x x

→

=a

Khi đó, (1) S là một S-metric trên X. (2) F là ánh xạ co (3) F có điểm bất động duy nhất 0u = thỏa mãn các điều kiện

của Định lí 3.2.1. Chứng minh. (1) Hiển nhiên rằng ( , , ) 0S x y z ≥ với mọi

, , .x y z X∈ Hơn nữa, ( , , ) 0S x y z = khi và chỉ khi

| | | | 0,x z y z− + − =

khi và chỉ khi

111111

21

| | 0, | | 0,x z y z− = − =

khi và chỉ khi .x y z= = Như vậy, S thỏa mãn tiên đề (S1)

của định nghĩa S-metric.

Cuối cùng, với mọi , , , ,x y z a X∈ ta có

( , , ) | | | || | | | | | | |[| | | |] [| | | |] [| | | |]

( , , ) ( , , ) ( , , ).

S x y z x z y zx a z a y a z ax a x a y a y a z a z a

S x x a S y y a S z z a

= − + −≤ − + − + − + −≤ − + − + − + − + − + −= + +

Do đó, S thỏa mãn tiên đề (S2) của định nghĩa S-metric, và suy

ra S là một S-metric trên ℝ .

(2) Với mọi ,x y X∈ ta có

1 1[ ( ), ( ), ( )] (sin sin ) (sin sin )2 2

1 (| | | |)21 ( , , ).2

S F x F x F y x y x y

x y x y

S x x y

= − + −

≤ − + −

=

Do vậy, F là ánh xạ co và 1 .2

L =

(3) Với mọi ,x X∈ ta có lim ( ) 0,n

nF x

→∞=

2[ ( ), ( ),0] [ , , ( )].1

nn n LS F x F x S x x F x

L≤

−

Như vậy, các điều kiện của Định lí 3.2.1 thỏa mãn và tồn tại điểm 0u X= ∈ sao cho ( ) .F u u= Chứng minh. (1) Hiển nhiên rằng

( , , ) 0S x y z ≥ với mọi , , .x y z X∈ Hơn nữa, ( , , ) 0S x y z = khi và chỉ

khi

111111

22

| | | | 0,x z y z− + − =

khi và chỉ khi | | 0, | | 0,x z y z− = − =

khi và chỉ khi .x y z= = Như vậy, S thỏa mãn tiên đề (S1)

của định nghĩa S-metric. Cuối cùng, với mọi , , , ,x y z a X∈ ta có

( , , ) | | | |

| | | | | | | |[| | | |] [| | | |] [| | | |]

( , , ) ( , , ) ( , , ).

S x y z x z y zx a z a y a z ax a x a y a y a z a z a

S x x a S y y a S z z a

= − + −≤ − + − + − + −≤ − + − + − + − + − + −= + +

Do đó, S thỏa mãn tiên đề (S2) của định nghĩa S-metric, và suy

ra S là một S-metric trên ℝ .

(2) Với mọi ,x y X∈ ta có

1 1[ ( ), ( ), ( )] (sin sin ) (sin sin )2 2

1 (| | | |)21 ( , , ).2

S F x F x F y x y x y

x y x y

S x x y

= − + −

≤ − + −

=

Do vậy, F là ánh xạ co và 1 .2

L =

(3) Với mọi ,x X∈ ta có lim ( ) 0,n

nF x

→∞=

2[ ( ), ( ),0] [ , , ( )].1

nn n LS F x F x S x x F x

L≤

−

111111

23

Như vậy, các điều kiện của Định lí 3.2.1 thỏa mãn và tồn tại điểm 0u X= ∈ sao cho ( ) .F u u=

3.2.3. Định lí. Cho (X,S) là không gian S-metric đầy đủ,

0 ,x X∈ 0.r > Ta đặt

0 0( , ) { : ( , , ) }.SB x r x X S x x x r= ∈ <

Giả sử rằng 0: ( , )SF B x r X→ là ánh xạ co thỏa mãn

0 0 0[ ( ), ( ), ] (1 ) .2rS F x F x x L< −

Khi đó, F có duy nhất một điểm bất động trong 0( , ).SB x r

Chứng minh. Ta lấy 0r sao cho 00 r r≤ < và

00 0 0[ ( ), ( ), ] (1 ) .

2rS F x F x x L≤ −

Giả sử . Nếu , thì

+ ), ), )

Áp dụng Định lý 3.2.1 ta suy ra rằng F có một điểm bất động

duy nhất trong

Như vậy, có duy nhất một điểm bất động trong .

111111

24

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu không gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian suy rộng S-metric và định lý điểm bất động trên không gian S-metric đối với lớp ánh xạ co. Kết quả chính của luận văn như sau.

(1) Hệ thống lại một số khái niệm và tính chất của không gian metric.

(2) Trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian S-metric, Topo sinh bởi S-metric. Chứng minh chi tiết lại một số tính chất thể hiện ở Bổ đề 2.1.2, Định lý 2.2.2, Bổ đề 2.2.3, Bổ đề 2.3.2, Bổ đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.5.

(3) Nghiên cứu một số định lí điểm bất động trên không gian S-metric đối với lớp ánh xạ co và một số hệ quả của nó cũng như trình bày một số ví dụ liên quan. Chứng minh chi tiết Định lý 3.1.2, Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.3.