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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA
GEO213 � TRABALHO DE GRADUAÇÃO
TOMOGRAFIA SÍSMICA DE TEMPOS
DE TRÂNSITO PARA CAMPOS DE
VELOCIDADES PARAMETRIZADOS
POR POLINÔMIOS BIDIMENSIONAIS
USANDO O ALGORITMO METROPOLIS
YAN CARLOS VIEGAS DE JESUS
SALVADOR � BAHIA
FEVEREIRO � 2018
Tomogra�a Sísmica de Tempos de Trânsito para Campos de Velocidades
Parametrizados por Polinômios Bidimensionais usando o Algoritmo Metropolis
por
Yan Carlos Viegas De Jesus
Orientador: Prof. Dr. Wilson Mouzer Figueiró
GEO213 � TRABALHO DE GRADUAÇÃO
Departamento de Geofísica
do
Instituto de Geociências
da
Universidade Federal da Bahia
Comissão Examinadora
Dr. Wilson Mouzer Figueiró (Orientador)
Dr. Helcio Moreira Perin
Dra. Vânia Gonçalves de Brito dos Santos
Data da aprovação: 28/02/2018
Eis o que pensei: para que o mais
banal dos acontecimentos se torne
uma aventura, é preciso e basta
que nos ponhamos a narrá-lo. É
isso que ilude as pessoas: um
homem é sempre um narrador de
histórias; vive rodeado por suas
histórias e pelas histórias dos
outros, vê tudo o que lhe acontece
através delas; e procura viver sua
vida como se a narrasse.
Mas é preciso escolher: viver ou
narrar.
Jean-Paul Sartre
Resumo
Nesse trabalho, buscou-se resultados coerentes da aplicação do algoritmo Metropolis em
tomogra�a sísmica, a partir de modelos parametrizados utilizando-se funções polinomiais
bidimensionais, que permitiram representações com uma precisão razoável e com poucos
parâmetros. Para isso, o estudo foi dividido em três etapas consecutivas: parametrização
polinomial dos campos de velocidades dos modelos-alvos, modelagem direta de tempos de
trânsito e inversão sísmica. Na etapa de parametrização, buscou-se representar os modelos
sísmicos de modo único e satisfatório por um conjunto de parâmetros numéricos, sendo estes
os coe�cientes dos termos de um polinômio. Tais coe�cientes representam quantitativamente
os campos de velocidades de forma que se possa simular o processo de propagação de ondas
elásticas no interior da Terra numericamente. Na etapa de modelagem, dados sintéticos
de tempo de trânsito são calculados resolvendo-se, através do método numérico da bisse-
ção, o Two-Point Ray Tracing Problem que consiste na geração de linhas poligonais, que
representam as trajetórias de raios que sintetizam o deslocamento, em um meio isotrópico e
heterogêneo, de ondas sísmicas compressionais entre as posições de cada par fonte-receptor,
e sobre as quais são calculados os seus respectivos tempos de trânsito. Estes constituem os
dados sintéticos usados na etapa da inversão. Nesta, pretendeu-se estimar aproximações de
modelos-alvo a partir da comparação entre os dados sintéticos observados e os dados sinté-
ticos calculados em cada modelo corrente gerado pelo algoritmo de inversão de�nido pelo
método Metropolis.
Palavras-chave: Parametrização Polinomial, Tempo de Trânsito, Campo de Velocidades
Sísmicas, Tomogra�a Sísmica, Método Metropolis.
3
Abstract
In this work, we looked for coherent results of the application of the Metropolis algorithm in
seismic tomography from models parameterized using two-dimensional polynomial functions,
which allow representations with a reasonable precision and with few parameters. For this,
the study was divided into three consecutive stages: velocity �eld parameterization of the
target models, direct modeling of lapse-times, and seismic inversion. In the parameterization
step, we seeked to represent the seismic models uniquely and well by a set of numerical
parameters, these being the coe�cients of the terms of a polynomial. Such coe�cients
quantitatively represent the velocity �elds so that the process of propagation of elastic waves
into the Earth can be simulated numerically. In the modeling stage, lapse-time synthetic
data are calculated solving the �Two-Point Ray Tracing Problem� through the bissection
numerical method, which consists of the generation of polygonal lines that represent the
trajectories of rays that synthesize the displacement, into an isotropic and heterogeneous
medium, of compressional seismic waves between the positions of each source-receiver pair,
and on which are calculated the respective lapse-times. Theses constitute the synthetic
data used in the inversion step. In this, we intended to estimate approximations of each
original model from the comparison between the synthetic data observed and the synthetic
data calculated in each current model generated by the inversion algorithm de�ned by the
Metropolis method.
Keywords: Polynomial Parameterization, Travel-Time, Seismic Velocity Field, Seismic To-
mography, Metropolis Method.
4
Sumário
Resumo 3
Abstract 4
Introdução 12
1 Fundamentos teóricos 14
1.1 Parametrização dos campos de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.1 Parametrização polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 O problema direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 O traçamento de raios sísmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Algoritmo para o traçamento de raios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 Cálculo dos tempos de trânsito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.4 Solução do Two-Point Ray Tracing Problem . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.5 Método Numérico da Bisseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.6 Implementação computacional do Método da Bisseção para solução do
Two-Point Ray Tracing Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 O problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 A tomogra�a sísmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 O Método Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 Método de interpolação de Shepard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Resultados e discussões 26
2.1 Quebra da plataforma continental: Modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 As parametrizações do campo de velocidades V1 . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 As modelagens diretas do Modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.3 As inversões de dados para o Modelo M1 . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Sequência sedimentar: Modelo M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 As parametrizações do campo de velocidades V2 . . . . . . . . . . . . 38
5
6
2.2.2 As modelagens diretas do Modelo M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 As inversões de dados para o Modelo M2 . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Dobra sinforme: Modelo M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1 As parametrizações do campo de velocidades V3 . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2 As modelagens diretas do Modelo M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.3 As inversões de dados para o Modelo M3 . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Conclusões 57
Agradecimentos 59
Referências 60
Lista de Tabelas
1.1 Algoritmo Metropolis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Velocidades das fácies litológicas do Modelo 1 (Santana, 2008). . . . . . . . . 27
2.2 Velocidades das camadas sedimentares do Modelo M2 consideradas do topo à
base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7
Lista de Figuras
1.1 Ilustração da trajetória de um raio entre uma fonte s e um receptor r mos-
trando o vetor vagarosidade dividido em suas componentes cartesianas (Santos
e Figueiró, 2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Curvas referentes à função P com K = 1 (em lilás), com K = 10 (em verde)
e com K = 100 (em vermelho). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 Modelo geológico da plataforma continental. O nível do mar é representado
pela linha horizontal no topo da imagem (Morelock e Ramirez, 2004). . . . . 26
2.2 Modelo-alvo do talude continental a ser parametrizado (Dimensões de 32.0
km por 4.0 km). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Campo de velocidades alvo, v1,3,A(x, z) da quebra da plataforma continental
parametrizado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Campo de velocidades alvo, v1,4,A(x, z), da quebra da plataforma continental
parametrizado por polinômio de 4o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de veloci-
dades da quebra da plataforma continental parametrizado por polinômio de
3o grau completo, v1,3,A(x, z). A fonte está localizada na posição central da
superfície (16.0 km) com espaçamento de receptores de 80 metros e com um
o�-set de mesmo valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-se
194 raios traçados sobre o campo de velocidades, v1,3,A(x, z), proveniente do
modelo da quebra da plataforma continental parametrizado por polinômio de
3o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de velo-
cidades, v1,4,A(x, z), da quebra da plataforma continental parametrizado por
polinômio de 4o grau completo. A fonte está localizada na posição central da
superfície (16.0 km) com os receptores espaçados entre si de 80 metros e com
um o�-set de mesmo valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8
9
2.8 Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-se
220 raios traçados sobre o campo de velocidades, v1,4,A(x, z), proveniente do
modelo da quebra da plataforma continental parametrizado por polinômio de
4o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.9 Campo de velocidades inicial, v1,3,O(x, z), da quebra da plataforma continental
parametrizado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.10 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da quebra da plataforma con-
tinental alvo e inicial, ambos representados por polinômio de 3o grau completo. 33
2.11 Campo de velocidades invertido, v1,3,I(x, z), da quebra da plataforma conti-
nental representado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . . 34
2.12 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da quebra da plataforma
continental alvo e invertido, ambos representados por polinômio de 3o grau
completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.13 Campo de velocidades inicial, v1,4,O(x, z), da quebra da plataforma continental
parametrizado por polinômio de 4o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.14 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da quebra da plataforma con-
tinental alvo e inicial, ambos representados por polinômio de 4o grau completo. 36
2.15 Campo de velocidades invertido, v1,4,I(x, z), da quebra da plataforma conti-
nental representado por polinômio de 4o grau completo. . . . . . . . . . . . . 37
2.16 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da quebra da plataforma
continental alvo e invertido, ambos representados por polinômio de 4o grau
completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.17 Modelo de sequência de estratos sedimentares a ser parametrizado (Dimensões
de 9.1 km por 3.5 km). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.18 Campo de velocidades alvo, v2,3,A(x, z), da sequência sedimentar parametri-
zado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.19 Campo de velocidades alvo, v2,4,A(x, z), da sequência sedimentar parametri-
zado por polinômio de 4o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.20 Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de veloci-
dades da sequência sedimentar parametrizado por polinômio de 3o grau com-
pleto, v2,3,A(x, z). A fonte está localizada na posição (12, 0) com os receptores
espaçados entre si de um valor de 80 metros e com um o�-set de mesmo valor. 41
2.21 Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-se
105 raios traçados sobre o campo de velocidades, v2,3,A(x, z), provenientes do
modelo da sequência de camadas sedimentares parametrizado por polinômio
de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10
2.22 Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de veloci-
dades da sequência sedimentar parametrizado por polinômio de 4o grau com-
pleto, v2,4,A(x, z). A fonte está localizada na posição central da superfície (4.55
km) com os receptores espaçados entre si por uma distância de 80 metros, com
um o�-set de mesmo valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.23 Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-
se 99 raios traçados sobre o campo de velocidades, v2,4,A(x, z), proveniente do
modelo da sequência de camadas sedimentares parametrizado por polinômio
de 4o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.24 Campo de velocidades inicial, v2,3,O(x, z), da sequência sedimentar parametri-
zado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.25 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da sequência sedimentar alvo
e inicial, ambos representados por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . 44
2.26 Campo de velocidades invertido, v2,3,I(x, z), da sequência sedimentar repre-
sentado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.27 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da sequência sedimentar alvo
e invertido, ambos representados por polinômio de 3o grau completo. . . . . 45
2.28 Campo de velocidades inicial, v2,4,O(x, z), da sequência sedimentar parametri-
zado por polinômio de 4o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.29 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da sequência sedimentar alvo
e inicial, ambos representados por polinômio de 4o grau completo. . . . . . . 46
2.30 Campo de velocidades invertido, v2,4,I(x, z), da sequência sedimentar repre-
sentado por polinômio de 4o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.31 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da sequência sedimentar alvo
e invertido, ambos representados por polinômio de 4o grau completo. . . . . 47
2.32 Campo de velocidades alvo, v3,3,A(x, z), proveniente do modelo da dobra sin-
forme parametrizado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . . 48
2.33 Campo de velocidades alvo, v3,4,A(x, z), proveniente do modelo da dobra sin-
forme parametrizado por polinômio de 4o grau completo. . . . . . . . . . . . 49
2.34 Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de velo-
cidades da dobra sinforme que foi parametrizado por polinômio de 3o grau
completo, v3,3,A(x, z). A fonte está localizada na posição central da superfície
(4.55 km) com espaçamento entre receptores de 80 metros e com um o�-set
de mesmo valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11
2.35 Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-
se 99 raios traçados sobre o campo de velocidades, v3,3,A(x, z), proveniente do
modelo da dobra sinforme parametrizado por polinômio de 3o grau completo. 50
2.36 Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de velo-
cidades da dobra sinforme que foi parametrizado por polinômio de 4o grau
completo, v3,4,A(x, z). A fonte está localizada na posição (12, 0) com espaça-
mento entre receptores de 80 metros e com um o�-set de mesmo valor. . . . 51
2.37 Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-
se 99 raios traçados sobre o campo de velocidades, v3,4,A(x, z), proveniente do
modelo da dobra sinforme parametrizado por polinômio de 4o grau completo. 51
2.38 Campo de velocidades inicial, v3,3,O(x, z), parametrizado por polinômio de 3o
grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.39 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e inicial, proveniente do
modelo da dobra sinforme, ambos parametrizados por polinômio de 3o grau
completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.40 Campo de velocidades, v3,3,I(x, z), invertido, referente ao modelo da dobra
sinforme parametrizado por polinômio de 3o grau completo. . . . . . . . . . . 53
2.41 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e invertido provenientes
do modelo da dobra sinforme, ambos parametrizados por polinômio de 3o grau
completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.42 Campo de velocidades inicial, v3,4,O(x, z), parametrizado por polinômio de 4o
grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.43 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e inicial provenientes do
modelo da dobra sinforme, ambos parametrizados por polinômio de 4o grau
completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.44 Campo de velocidades invertido, v3,4,I(x, z), parametrizado por polinômio de
4o grau completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.45 Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e invertido provenientes
do modelo da dobra sinforme, ambos parametrizados por polinômio de 4o grau
completo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Introdução
A tomogra�a sísmica de tempos de trânsito consiste numa técnica de imageamento de subsu-
perfície que leva em consideração os tempos de viagem da onda entre cada par fonte-receptor.
Com um conjunto de vários tempos de trânsito registrados por diferentes receptores, faz-se
necessário aplicar algum método de inversão com o objetivo de construir um modelo que
melhor represente a distribuição de velocidades sísmicas compressionais das estruturas em
subsuperfície. Ela possui melhor resolução do que o método sísmico tradicional, em parte
devido a possibilidade do uso de fontes de frequências mais altas (Rodrigues, 2015).
Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento e implementação, em linguagem de
programação FORTRAN e utilizando o software MATLAB, das técnicas de traçamento de
raios e do método Metropolis de inversão para estimativa de parâmetros de campos sintéticos
de velocidades sísmicas compressionais parametrizados por funções polinomiais bidimensio-
nais. Dessa forma, todo o estudo consistiu de três etapas consecutivas: parametrização dos
campos de velocidades referentes aos modelos-alvos, modelagem direta e inversão sísmica de
tempos de trânsito.
Na primeira fase, a da parametrização, enfocou-se na representação grá�ca aceitavel-
mente acurada dos campos de velocidades sísmicas compressionais de modelos geológicos
relativamente simples utilizando-se funções polinomiais bidimensionais. O número de termos
dos polinômios foi convenientemente escolhido para atender as �nalidades práticas requeri-
das pela representação aproximativa, que consiste no uso da menor quantidade possível de
coe�cientes e que, ainda, permita uma qualidade su�cientemente aceitável na representação
dos modelos. A parametrização é importante na medida em que representa um modelo por
meio de parâmetros que podem ser tratados matematicamente em processos numéricos, tais
como a modelagem e a inversão (Perin, 2014). No primeiro, estes parâmetros são conhecidos,
enquanto que no segundo, eles são incógnitos (Perin, 2014).
Na modelagem direta, o trabalho consistiu na geração arti�cial de per�s sintéticos de
tempos de trânsito de primeira chegada de ondas sísmicas compressionais proveniente de
uma fonte e registrados em receptores estrategicamente posicionados em superfície. Para a
obtenção desses tempos, utilizou-se a técnica de traçamento de raios sísmicos, a qual simula
12
13
computacionalmente a propagação de ondas em um meio geológico isotrópico e heterogêneo
representado pelos campos de velocidades parametrizados. Neste caso, o Two-Point Ray
Tracing Problem foi abordado utilizando-se o método numérico da bisseção na determinação
dos ângulos de saída dos raios a partir da fonte que melhor possibilitassem a chegada desses
raios nos respectivos receptores (menor distância possível entre o ponto de chegada do raio
e a posição do receptor).
A última etapa consistiu na utilização do método de inversão de escopo global Metro-
polis para estimar os parâmetros dos modelos que melhor se adequassem aos dados sintéticos
de tempo de trânsito, ou seja, que minimizaram a diferença entre os dados sintéticos observa-
dos e os dados calculados de forma aproximada nos modelos correntes do processo iterativo.
Também nesta etapa, a qualidade dos resultados e da aplicação do método de inversão em
si foi analisada e discutida.
O computador utilizado para os experimentos foi um Positivo modelo Unique S1550 de
processador AMD Vision Dual Core C-70 APU with RadeonTM HD Graphics 1.00 GHz.
Capítulo 1
Fundamentos teóricos
1.1 Parametrização dos campos de velocidades
A parametrização de campos de velocidades consiste em tornar quantitativos modelos geo-
lógicos, a princípio, apenas susceptíveis a análises qualitativas, de forma a possibilitar sua
manipulação através de ferramentas matemáticas e sua representação por meio de parâmetros
numéricos (Oliveira, 2015). A escolha do tipo de parametrização é de grande importância,
pois, esta in�uenciará na execução e�ciente das etapas posteriores do presente estudo.
1.1.1 Parametrização polinomial
O tipo de parametrização usada nesse trabalho, para três modelos, foi a polinomial bidimen-
sional, dada por
v(x, z) =N∑
i+j=0
Ci,jxizj (1.1)
cujas variáveis x e z consistem, respectivamente, no afastamento horizontal e na profundidade
a partir da superfície. O valor de N deverá ser determinado de forma que ele seja o menor
possível; isso será vantajoso para a economia de memória computacional e na velocidade
dos cálculos nas etapas de modelagem e de inversão. Além disso, uma menor quantidade de
parâmetros do modelo torna menos penoso o processo de inversão.
A parametrização polinomial atribui pra si as diversas vantagens e facilidades inerentes
à manipulação de polinômios. Estes são in�nitamente diferenciáveis e integráveis em todos
os pontos de seu domínio, o que facilita a sua manipulação na etapa do traçamento de raios,
alocam pouca memória computacional e, ainda, favorece a redução da ambiguidade nos pro-
cedimentos de inversão devido ao fato de existir uma interdependência entre os coe�cientes
polinomiais (Santana, 2008). Porém, suas maiores vantagens tornam-se seus maiores defei-
tos. O fato de as funções polinomiais serem contínuas em todos os pontos de seu domínio traz
14
15
di�culdades e limitações na representação de variações abruptas ou irregulares de velocidades
sísmicas, tais como as encontradas em regiões de falhas e não-conformidades sedimentares,
por exemplo. Esses fatores, portanto, restringem sua aplicação a modelos geológicos suaves,
contínuos e de relativa simplicidade, como os utilizados nesse trabalho.
1.2 O problema direto
A solução do problema direto na sísmica de tempos de trânsito consiste na aplicação da
técnica de traçamento de raios para o cálculo de tempos de trânsito da onda sísmica que
se propaga no campo de velocidades parametrizado. Esses dados sintéticos de tempo de
trânsito foram utilizados como �dados observados� na etapa de inversão.
1.2.1 O traçamento de raios sísmicos
O traçamento de raios, realizado na etapa da modelagem direta, está fundamentado na teoria
do raio sísmico. Embora seja muito bem aceita, esta fornece apenas uma solução aproximada
da equação da onda sísmica, pois, sua aplicação é restrita a frequências su�cientemente altas,
o que geralmente não ocorre na sísmica, onde as baixas frequências comumente atuam (Perin,
2014). Entretanto, consegue-se aceitavelmente resolver problemas práticos da sísmica através
da aplicação desse princípio (Souza, 2004). A confecção de trajetos de raios sísmicos é muito
mais econômico, computacionalmente, do que a resolução da equação da onda para simular
a propagação ondulatória em meios heterogêneos (Santos, 2014). A técnica do traçamento
de raios deriva da solução particular do sistema de equações do raio (�ervený, 2001), dado
pelo sistema dX(τ)
dτ= P(τ)
dP(τ)
dτ=
1
2~∇[
1
v2(x(τ), z(τ))
],
(1.2)
onde X(τ) = (x(τ), z(τ)) é o vetor posição no percurso do raio; P(τ) = (Px(τ), Pz(τ)),
chamado de vagarosidade, é o vetor tangente à trajetória do raio no ponto (x(τ), z(τ)), que,
em meios isotrópicos, é ortogonal à frente de onda e satisfaz a equação eikonal (Alves, 2014),
que por sua vez, é dada por:
||P||2 =√Px
2 + Pz2 =
1
v(x, z), (1.3)
onde v(x, z) é a velocidade de propagação da onda compressional em um ponto (x, z) do
campo de velocidades sísmicas; || · ||2 representa a norma euclidiana; e τ é o parâmetro do
16
raio, que não tem um signi�cado físico determinado (Alves, 2014), tem dimensão L2T−1 no
sistema internacional (SI), e é de�nido segundo a equação integral:
τ =
∫ t
0
v2dt, (1.4)
sendo t, o tempo de trânsito ao longo da trajetória do raio. Nesse trabalho, o valor de τ uti-
lizado para o traçamento de raios em todos os experimentos realizados foi de 0, 0125km2s−1.
1.2.2 Algoritmo para o traçamento de raios
Segundo o princípio de Fermat, considera-se que a trajetória C percorrida pela onda é tal
que, nela, o tempo de trânsito de propagação da onda é mínimo. Esse tempo de trânsito
pode ser calculado através da equação integral dada por
ti =
∫Ci
ds
v(x, z), (1.5)
para i = 1, ...,M ; onde M é a quantidade de receptores considerados num experimento
particular, ds representa um comprimento in�nitesimal do caminho e Ci é a trajetória curva
que liga a fonte ao i-ésimo receptor.
Para se realizar o traçamento numérico dos raios, é necessário expandir as equações 1.2
em série de Taylor e truncá-las no termo de primeira ordem, obtendo-se:X(τ + δτ) = X(τ) +
dX(τ)
dτ· δτ = X(τ) + P(τ) · δτ
P(τ + δτ) = P(τ) +dP(τ)
dτ· δτ = P(τ) +
1
2~∇[
1
v2(x(τ), z(τ))
]· δτ.
(1.6)
Com a implementação e aplicação dessas aproximações sobre um campo de velocidades
parametrizado, consegue-se uma trajetória poligonal que descreve o percurso do raio sísmico.
Dentro de um procedimento iterativo, o vetor vagarosidade, satisfazendo a equação eikonal, é
sempre atualizado durante a geração de segmentos, �pedaço por pedaço�, do traçado sísmico.
Esse mesmo traçado tem como ponto de partida aquele que representa a localização da fonte
sísmica e, a cada atualização do vetor posição, que depende do gradiente do quadrado da
vagarosidade, os vértices da poligonal serão calculados consecutivamente. O raio tende a se
�encurvar� a medida que encontra variações de velocidade no meio, de forma que, ao partir
da fonte localizada na superfície, ele percorre um caminho em subsuperfície e retorna - é o
que se espera - à superfície onde é suposto estar localizados receptores.
1.2.3 Cálculo dos tempos de trânsito
Durante a confecção do raio sobre um modelo de velocidades parametrizado, é calculado
o tempo de viagem da onda sísmica ponto a ponto, considerando-se, sempre, a atualização
17
sucessiva do vetor vagarosidade. Estes tempos são acumulados durante as sucessivas iterações
do programa. O somatório de todos esses tempos - de cada segmento da poligonal até o �nal
do trajeto que representa a localização do receptor - resulta no tempo de trânsito total da
onda para percorrer a trajetória do raio.
Dessa forma, considerando a velocidade, ou o seu inverso, a vagarosidade, da onda
sísmica na região na qual ela se propaga, o tempo gasto no percurso da fonte ao receptor é
dado (Costa, 2015) por:
t(xN+1, zN+1) =N∑j=0
1
vj·√
(xj+1 − xj)2 + (zj+1 − zj)2, (1.7)
onde vj é a velocidade da onda no ponto (xj, zj).
A implementação computacional, realizada, neste trabalho, em linguagem FORTRAN,
é feita de forma simpli�cada através da �conversão� para sua versão computacional, dada
por:
t(xN+1, zN+1) = t(xN , zN) +1
vN·√
(xN+1 − xN)2 + (zN+1 − zN)2, (1.8)
a qual é acionada a cada iteração, supondo que t(x0, z0) = 0. Assim, os tempos de trânsito
de cada trecho são calculados e somados de forma acumulativa, até obter-se o tempo total
no �nal do trajeto, onde o raio atinge um certo receptor.
1.2.4 Solução do Two-Point Ray Tracing Problem
A solução do Two-Point Ray Tracing Problem busca determinar um possível trajeto para
o raio sísmico em subsuperfície que consiga interligar dois pontos distintos, estando ambos
localizados em superfície ou com um ponto em superfície e outro dentro de um poço, por
exemplo. Esses dois pontos distintos representam as localizações da fonte sísmica e de um
determinado receptor no espaço ou, de forma mais simpli�cada, no plano da seção do meio
em estudo.
Na intenção de simular uma aquisição tomográ�ca, a aplicação do traçamento de raios,
aqui, pretende estimar os tempos de trânsito dos raios que conectam a fonte sísmica a
cada receptor em superfície, cujas localizações foram previamente de�nidas. Para que essa
ligação entre fonte e receptor seja estabelecida pelo raio, certas condições iniciais devem
ser determinadas (Rodrigues, 2015). Nesse trabalho, a determinação dessas condições se
resume na busca do melhor ângulo de partida θ que faz com que o raio chegue a um ponto
na superfície o mais próximo possível de um determinado receptor, obedecendo a um certo
desvio pré-�xado.
Dentre os vários métodos numéricos existentes na literatura, foi escolhido, aqui, para
o cálculo do ângulo de partida do raio, na fonte, o método da bisseção. Este é um método
18
simples e de fácil implementação em linguagem de programação e será discutido a seguir.
1.2.5 Método Numérico da Bisseção
O método da bisseção é uma ferramenta numérica cujo �núcleo duro� é a aplicação prática
do Teorema de Bolzano do Cálculo para aproximar raízes de funções. Este a�rma que se
f : [a, b] −→ R, f(x) é uma função contínua tal que f(a) ·f(b) < 0, então existe um r ∈ (a, b)
tal que f(r) = 0 (Burden e Faires, 2013).
Partindo-se desse princípio, para aproximar-se da raíz da equação f(x) = 0, toma-se
como primeira aproximação o ponto médio do intervalo [a, b], isto é,
x0 =(a+ b)
2. (1.9)
Se, neste caso, resultar que f(x0) = 0, r = x0 e a raíz foi, então, encontrada. Caso contrário,
opta-se por uma dentre as duas hipóteses a seguir. Primeiro veri�ca-se se f(a) · f(x0) < 0.
Em caso a�rmativo, r ∈ (a, x0) e, portanto, tomamos como uma segunda aproximação da
raíz de f(x) o ponto médio desse intervalo, isto é,
x1 =(a+ x0)
2. (1.10)
Se a primeira hipótese não for satisfeita, veri�ca-se, então, se f(x0) · f(b) < 0. Em caso
a�rmativo, r ∈ (x0, b) e, portanto, tomamos como a segunda aproximação da raíz de f(x) o
ponto médio desse intervalo, isto é,
x1 =(x0 + b)
2. (1.11)
Esse procedimento é repetido quantas vezes for necessária, em sucessivas iterações, até
que uma aproximação satisfatória da raíz de f(x) seja encontrada.
1.2.6 Implementação computacional do Método da Bisseção para
solução do Two-Point Ray Tracing Problem
Na busca do melhor ângulo de partida para o raio que liga as posições de cada par fonte-
receptor, aplicamos o método da bisseção impondo um desvio máximo, δ, entre a posição, xR,
do receptor na superfície e a posição, xC , de chegada do raio, para que, assim, obtenhamos
os tempos de trânsito da onda relativos a cada posição de receptor desejada utilizando o
traçamento de raios. Desta forma, o procedimento pode ser realizado obedecendo-se o plano
a seguir:
19
Seja niter o número de iterações do procedimento. Tomando-se niter = 1, temos θ0 = a,
θ1 = b e
θ2 =θ0 + θ1
2, (1.12)
sendo a e b extremos de um intervalo angular [0, π2], por exemplo. Veri�ca-se logo, então, o
critério de parada, ou seja, se
|xR − xC(θ2)| ≤ δ. (1.13)
Em caso a�rmativo, θ2 será, portanto, o ângulo desejado. Caso contrário, a próxima iteração
é iniciada veri�cando-se uma das duas hipóteses. Primeiramente, se xC(θ0) · xC(θ2) < 0,
de�nimos, portanto, θ1 = θ2. Se a primeira hipótese não for satisfeita, veri�ca-se a segunda,
ou seja, se xC(θ2)·xC(θ1) < 0, então de�nimos theta0 = θ2. Satisfeita uma das duas hipóteses
acima, obtemos uma segunda aproximação para o ângulo de partida dada pela Equação 1.12.
Novamente, veri�ca-se o critério de parada. Caso não satisfeito, inicia-se uma nova iteração
tendo como dados de partida os resultados da iteração anterior.
Figura 1.1: Ilustração da trajetória de um raio entre uma fonte s e um receptor r mostrando o
vetor vagarosidade dividido em suas componentes cartesianas (Santos e Figueiró, 2011).
Esse procedimento será repetido consecutivas vezes até que o critério de parada seja
satisfeito e, então, a melhor aproximação para o ângulo de partida do raio será determinada.
Um segundo critério de parada pode ser acrescentado, como um número máximo de iterações,
por exemplo.
20
1.3 O problema inverso
1.3.1 A tomogra�a sísmica
O objetivo basal da geofísica é obter informações a cerca dos parâmetros físicos das rochas
que constituem o interior da Terra a partir de dados medidos em superfície, em poços ou
em levantamentos aéreos (Rodrigues, 2015). Na modelagem direta, aplicam-se as equações
que descrevem as leis da física sobre um modelo previamente de�nido para a obtenção de
dados de resposta referentes aos parâmetros físicos desse tal modelo. Em contra partida, no
problema inverso, já se possui os dados de resposta, aqueles obtidos através de levantamentos,
e, portanto, o objetivo agora é a estimativa de um modelo que, quando aplicado a uma
determinada relação físico-matemática, melhor se adeque aos dados medidos.
A tomogra�a sísmica é uma metodologia de inferência de parâmetros numéricos, usada
na geofísica, que extrai informações contidas em registros sísmicos para estimar modelos bi-
ou tridimensionais do interior da Terra (Rawlinson et al., 2010). Em geral, requer a solução
de um problema inverso para se obter um modelo de velocidades sísmicas que seja consistente
com as observações de campo. Desde que seja possível estabelecer um modelo aproximado
d = g(m), entre o vetor de dados sísmicos d e o vetor de parâmetros do modelo sísmico m
� de modo que, para um dado modelo m, seja possível prever d - procura-se, na tomogra�a
sísmica, encontrar m tal que dobs = g(m), onde dobs é o vetor de dados observados.
As relações do tipo d = g(m), em sua grande maioria, são não-lineares e insolucionáveis
analiticamente (Rodrigues, 2015), por isso, busca-se a linearização dessas relações através de
métodos numéricos. Com isso, devido a essa não-linearidade do problema inverso, a superfície
da função-objetivo dos tempos de trânsito pode não vir a ser simples, bem comportada ou
com um único mínimo bem de�nido.
Devido, também, ao caráter discreto dos dados geofísicos, faz-se necessário o uso de uma
formulação matricial para o tratamento desses dados (Rodrigues, 2015). O objetivo agora,
então, é criar uma aproximação linearizada Gm = d, onde d é um vetor p-dimensional que
carrega os dados medidos nos levantamentos, m é um vetor n-dimensional que carrega os
parâmetros do modelo o qual se quer estimar a partir das medidas, e G é uma matriz de
dimensões p por n que, se inversível, nos levaria facilmente a solução do problema através da
relaçãom = G−1d. Todavia, na quase totalidade dos problemas geofísicos, os problemas são
mal postos (Rodrigues, 2015), ou seja, não obedecem aos critérios de existência, unicidade
e estabilidade simultaneamente; e Gm = d constitui-se num sistema sobredeterminado
(m > n), onde G não é, à rigor, inversível; e, portanto, se faz necessário o uso de métodos
numéricos mais complexos e, também, a consulta de informações geológicas à priori que, de
alguma forma, limite os graus de liberdade do problema.
21
A tomogra�a sísmica possui grande importância no processamento sísmico. Através
dela, é possível extrair diversas informações dos registros sísmicos, os quais se incluem tempos
de trânsito, amplitudes, conteúdo de frequências ou, até mesmo, a forma total da onda. Ela
pode ser considerada, por exemplo, um complemento natural para a migração sísmica, pois
oferece um meio de estimar a velocidade e a profundidade de interfaces usando tempos de
trânsito e, com menos frequência, amplitudes de espalhamento geométrico e coe�cientes de
re�exão/transmissão (Rawlinson et al., 2010).
1.3.2 O Método Metropolis
Neste trabalho, o método utilizado para a inversão dos dados de tempo de trânsito foi o
Método Metropolis. Este consiste em um algoritmo de inversão probabilístico - derivado do,
já bastante conhecido na literatura, Método Monte Carlo (Whitlock e Kalos, 2008) - que se
utiliza de sucessivas iterações para a maximização de uma determinada função probabilidade.
Sua e�ciente capacidade de �escapar� de mínimos locais e, entretanto, sua pouca acurácia
na estimativa do melhor resultado aproximado o caracterizam como um método de escopo
global (Cerqueira, 2015).
Seja d = g(m) o �elo� matemático que relaciona o vetor dos dados de tempo de trânsito
observados d, obtidos diretamente do modelo-alvo, e o vetor de parâmetros do modelo, m, o
qual se busca melhor estimar. No presente caso, o vetor dos parâmetros m será o conjunto
dos coe�cientes do polinômio que representa o modelo de velocidades considerado como o
mais consistente com os dados observados. O algoritmo Metropolis parte de um modelo
inicial M para, logo em seguida, aplicar-lhe uma pequena perturbação ∆M para todos os
seus graus de liberdade, resultando, assim, em um novo modelo N. Esses modelos gerados
obedecerão certas restrições provenientes de informações a priori sobre a geologia da região
onde os dados teriam sido, a princípio, coletados. No passo seguinte, como primeiro critério
de parada, o erro quadrático referente ao modelo N, dado por
E(N) = ||dobs − g(N)||22, (1.14)
será comparado a um número ε de valor arbitrário positivo e bem pequeno. Se esse erro for
menor do que ε, o modelo atual N é considerado satisfatório e o processo é encerrado. Caso
contrário, será subtraído de E(N) um valor referente ao erro quadrático do modelo inicial
M, dado por:
E(M) = ||dobs − g(M)||22. (1.15)
Se esse resultado, E(N)−E(M), for um número menor do que zero, o modelo M assumirá
os parâmetros do modelo N e o processo voltará para o seu início com a geração de um
novo modelo N, caso contrário, uma última etapa é aplicada ao processo. Esta consiste na
22
geração de um número aleatório A pertencente ao intervalo [0, 1]. O valor de A, então, será
comparado ao resultado de uma determinada função probabilidade P, a qual também só
fornece valores entre 0 e 1 e, aqui, é expressa por:
A < P (N,M) = exp [−K · (E(N)− E(M))2], (1.16)
cuja constante K é um número real e positivo. Sendo A menor do que P, o modelo M,
também, assumirá os parâmetros do modelo N, levando o processo de volta ao início, caso
contrário, o modelo N atual será descartado e um novo será gerado, utilizando-se, também,
de uma perturbação, a partir do mesmo modelo inicial M, reiniciando o processo.
Um K pequeno (K = 1), a princípio, é necessário para que o método tenha uma maior
liberdade para �passear� sobre a superfície referente a função P (N,M) e, também, tenha
mais chances de escapar da �atração� de prováveis máximos locais. Entretanto, a medida
em que o número de iterações vai aumentando e a diferença E(N)−E(M) vai �cando bem
pequena, fazendo com que os valores de P (N,M) se aproximem cada vez mais do valor
máximo 1, essa maior liberdade pode se tornar malé�ca ao processo. Neste caso, A poderá
assumir cada vez mais valores dentro de seu intervalo e as chances do método ser �lançado�
para longe de uma possível boa aproximação do máximo global aumentam. Desta forma, é
razoável que o valor de K seja modi�cado no decorrer do processo na proporção inversa da
diferença E(N)− E(M). Neste trabalho, essa modi�cação foi feita manualmente, seguindo
critérios intuitivos do programador. A partir do momento em que a diferença E(N)−E(M)
assumia valores abaixo de 0.00001, uma modi�cação do K fazia-se necessária. A Figura 1.2
ilustra o comportamento da curva P versus [E(N)− E(M)] com o aumento de K.
Figura 1.2: Curvas referentes à função P com K = 1 (em lilás), com K = 10 (em verde) e com
K = 100 (em vermelho).
Um número máximo de iterações, independente da qualidade do resultado encontrado,
23
foi adicionado como um segundo critério de parada do algoritmo. O processo será encerrado
quando um dos critérios for satisfeito. A Tabela 1.1 sintetiza bem os passos do algoritmo
Metropolis.
1o passo Insere-se um modelo inicial M.
2o passo Gera-se um modelo N a partir da perturbação dos parâmetros
do modelo M. Por exemplo, N = M + ∆M. Esse ∆M pode ser
obtido a partir de uma percentagem de M (30%, por exemplo) ou,
também, pode ser função do erro quadrático de M.
3o passo Veri�ca-se o primeiro critério de parada. Se ||dobs − g(N)||22 < ε,
para um valor de ε arbitrário, o programa é encerrado e N é
considerado o modelo invertido. Se não, é dada uma nova chance
ao modelo N.
4o passo Se ||dobs − g(N)||22 − ||dobs − g(M)||22 < 0, o modelo M assume
os parâmetros do modelo N e o processo é reiniciado, retornando-se
ao 2o passo, para a geração de um novo modelo N. Se não, é
dada uma terceira e última chance para o modelo N.
5o passo Gera-se um número aleatório A ∈ [0, 1]. Se
A < exp [−K · (||dobs − g(N)||22 − ||dobs − g(M)||22)2],novamente, o modelo M assume os parâmetros do modelo N e o
processo é reiniciado, retornando-se ao 2o passo, para a geração
de um novo modelo N. Se não, o modelo N atual é descartado
e um novo é gerado, considerando-se o atual modelo M como
inicial, e retornando-se ao 1o passo.
Passo extra Um número máximo de iterações, Niter, ou um tempo máximo de
processamento, tmax, independentemente da qualidade dos
resultados, são previamente estabelecidos como critérios de
parada secundários.
Tabela 1.1: Algoritmo Metropolis.
Aqui, uma rotina de traçamento de raios, em linguagem FORTRAN, assumiu o papel
24
da função g. Essa rotina calcula os tempos de trânsito para todos os raios, para ângulos
de partida com passos de 0, 5 graus dentro de um intervalo de 0 a 180 graus, e depois uma
outra rotina, também implementada em linguagem FORTRAN, interpola esses valores para
estimar os tempos de trânsito, tcalc, referentes às posições dos receptores. Na interpolação
desses tempos de trânsito, foi utilizado o método de Shepard, o qual é descrito na seção
seguinte.
1.3.3 Método de interpolação de Shepard
A mais simples forma de interpolação ponderada pelos quadrados dos inversos das distâncias
é, também, conhecida como método de Shepard. Este é usado para estimar, para quaisquer
pontos desejados, valores de uma função desconhecida baseados em dados constituídos por
pontos pré-determinados da curva - ou superfície, no caso bidimensional (Cozac, 2003), e é
descrito pela equação discreta dada por:
F (x) =n∑i=1
wifi, (1.17)
onde n é o número de elementos do dado utilizado na interpolação, fi representa os valores
da função já conhecidos, e wi representa as funções-peso referentes a cada ponto conhecido.
As funções-peso são calculadas através da equação dada por
wi =h−pi∑nj=1 h
−pj
, (1.18)
onde p é um número real positivo arbitrário, que na maioria das vezes - e também nesse
trabalho - é de�nido como p = 2, e hi é a distância de cada dado ao ponto no qual se deseja
interpolar, isto é,
hi = |x− xi|, (1.19)
onde x é a coordenada do ponto a ser interpolado e xi é a coordenada de cada dado observado.
Essas funções-peso variam dentro de um intervalo entre 1 (valor assumido exatamente sobre
o ponto a ser interpolado) até valores que se aproximam de zero, quando a distância a tal
ponto aumenta. As funções-peso são normalizadas de forma que seu somatório resulta na
unidade.
Durante o processo de inversão, em cada iteração, para cada modelo de velocidades
testado, são calculados 360 tempos de trânsito para raios cujos ângulos de partida variam
com passo de 0.5 dentro de um intervalo de 0 a 180 graus. Utilizando o conjunto das posições,
já conhecidas, de cada receptor, seus respectivos tempos de trânsito são estimados através
do método de Shepard, usando a equação dada por
tcalc(xR) =360∑i=1
witi, (1.20)
25
onde ti representa os tempos de trânsito referentes a cada ângulo de partida dos 360 raios
traçados. Um dos modelos será considerado satisfatório quando um dos critérios de parada
do algoritmo Metropolis for atingido.
Capítulo 2
Resultados e discussões
As etapas de parametrização dos campos de velocidades, de modelagem direta e de inversão
foram implementadas em linguagem de programação FORTRAN e aplicadas a três modelos
geológicos distintos. As imagens referentes aos campos de velocidades foram geradas através
do software MATLAB.
2.1 Quebra da plataforma continental: Modelo M1
2.1.1 As parametrizações do campo de velocidades V1
O primeiro modelo a ser estudado foi um recorte da quebra da plataforma continental,
também chamada de talude continental (Figura 2.1).
Figura 2.1: Modelo geológico da plataforma continental. O nível do mar é representado pela
linha horizontal no topo da imagem (Morelock e Ramirez, 2004).
26
27
Na etapa de parametrização, foi atribuído a esse modelo as dimensões de 32.0 km de
distância horizontal e 4.0 km de profundidade (Figura 2.2).
Figura 2.2: Modelo-alvo do talude continental a ser parametrizado (Dimensões de 32.0 km por
4.0 km).
Materiais ou rochas Velocidades compressionais (km/s)
Água salgada 1,5
Sedimentos 2,0
Sedimentos continentais siliciclásticos 3,0
Folhelho deltaico 3,2
Sedimentos indiferenciados 4,0
Calcilutito 2,4
Folhelho 2,6
Evaporito 4,2
Calcário de água rasa 4,5
Bacia metamór�ca 5,0
Calcário 4,8
Sal 6,3
Tabela 2.1: Velocidades das fácies litológicas do Modelo 1 (Santana, 2008).
Esse modelo-alvo foi coberto por uma malha contendo 512 células retangulares, cada
28
uma com dimensões de 1.0 km por 0.25 km, cujas velocidades são assumidas constantes no
interior de cada uma dessas células. As velocidades referentes a cada fácies litológica foram
de�nidas levando em consideração a complexa heterogeneidade do modelo (Tabela 2.1). O
Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) foi utilizado na determinação dos coe�cientes dos
polinômios.
Optou-se aqui por aplicar duas parametrizações a este modelo: um polinômio de grau 3
e outro de grau 4, ambos completos. Essas foram processadas independentemente, de forma
que, no �nal do trabalho, os resultados pudessem ser comparados e discutidos. O polinômio
de grau 3, considerando o modelo-alvo, obtido foi:
v1,3,A(x, z) = 1.333819 + 0.030947x+ 1.363748z + 0.000615x2
− 0.052343xz + 0.052891z2 − 0.000059x3 − 0.000185x2z
+ 0.014128xz2 − 0.025960z3,
(2.1)
com todos os seus 10 coe�cientes determinados através do Método dos Mínimos Quadrados
implementado no software MATLAB.
Figura 2.3: Campo de velocidades alvo, v1,3,A(x, z) da quebra da plataforma continental para-
metrizado por polinômio de 3o grau completo.
Como pode ser visto através da Figura 2.3, o modelo de velocidades se aproxima pouco
do modelo geológico, mas já dá para se notar certas características, tais como: o mergulho das
camadas perto da quebra da plataforma, o crescimento das velocidades com a profundidade
e a permanência dessas dentro do intervalo estabelecido.
29
Na segunda experiência, foi usada a parametrização com um polinômio de grau 4,
também completo, com 15 coe�cientes; este é considerado o modelo-alvo e é dado por:
v1,4,A(x, z) = 1.956552− 0.117224x+ 0.157235z + 0.013984x2
+ 0.103905xz + 0.645283z2 − 0.000736x3 − 0.002755x2z
− 0.036602xz2 − 0.158435z3 + 0.000013x4 − 0.000081x3z
+ 0.001615x2z2 − 0.000162xz3 + 0.016885z4.
(2.2)
Aqui, o aumento na quantidade de parâmetros (5 a mais) é compensada pela delimitação mais
destacada das camadas e pela acentuação dos mergulhos das mesmas na região do talude,
além de outras características mostradas na parametrização anterior que foram mantidas
(Figura 2.4).
Figura 2.4: Campo de velocidades alvo, v1,4,A(x, z), da quebra da plataforma continental para-
metrizado por polinômio de 4o grau completo.
2.1.2 As modelagens diretas do Modelo M1
Na modelagem direta, o traçamento de raios foi aplicado em ambos os campos de velocidades.
O arranjo de aquisição na parametrização com polinômio de grau 3 consistiu de uma fonte
no ponto central (16, 0) da superfície e 89 receptores no lado esquerdo e 105 no lado direito
da fonte - totalizando-se 194 tempos de trânsito registrados - estando estes espaçados por
uma distância de 80 metros, sendo este mesmo valor atribuído ao o�-set. Como mostrado na
Figura 2.5, o método da bisseção funcionou muito bem na estimativa dos ângulos de partida
30
e os raios cobriram uma considerável região no centro do modelo, alcançando uma grande
profundidade.
Figura 2.5: Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de velocidades da
quebra da plataforma continental parametrizado por polinômio de 3o grau completo, v1,3,A(x, z).
A fonte está localizada na posição central da superfície (16.0 km) com espaçamento de receptores
de 80 metros e com um o�-set de mesmo valor.
Figura 2.6: Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-se 194
raios traçados sobre o campo de velocidades, v1,3,A(x, z), proveniente do modelo da quebra da
plataforma continental parametrizado por polinômio de 3o grau completo.
31
Figura 2.7: Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de velocidades,
v1,4,A(x, z), da quebra da plataforma continental parametrizado por polinômio de 4o grau com-
pleto. A fonte está localizada na posição central da superfície (16.0 km) com os receptores
espaçados entre si de 80 metros e com um o�-set de mesmo valor.
Figura 2.8: Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-se 220
raios traçados sobre o campo de velocidades, v1,4,A(x, z), proveniente do modelo da quebra da
plataforma continental parametrizado por polinômio de 4o grau completo.
O traçamento de raios também foi aplicado à parametrização com polinômio de grau
4, utilizando-se o mesmo arranjo de aquisição e espaçamento dos receptores, diferenciando,
32
apenas, na quantidade destes: 110 em cada lado da fonte, num total de 220. O uso de um
número maior de receptores nesse caso foi para que o traçamento dos raios tomasse uma
maior parte do campo e atingisse maiores profundidades, como mostrado na Figura 2.7. O
método da bisseção, aqui, também se mostrou e�ciente e e�caz nas estimativas dos ângulos
de partida dos raios e todos os 220 dados de tempo de trânsito foram calculados com bastante
acurácia em relação às posições previamente estabelecidas dos receptores.
Os per�s sintéticos de tempos de trânsito provenientes de ambas as parametrizações
podem ser visualizados através das Figuras 2.6 e 2.8.
2.1.3 As inversões de dados para o Modelo M1
A etapa de inversão foi realizada sobre os dados de tempo de trânsito provenientes dos dois
modelos de velocidades parametrizados. O algoritmo Metropolis, como a grande maioria
dos métodos de inversão de escopo global, não depende muito de um modelo inicial que
esteja próximo do modelo-alvo, porém, quanto maior a distância entre estes dois, maior
serão o número de iterações e o tempo gasto em processamento e, também, maior será o
risco da rotina �car �presa� em um mínimo local. Por isso, nesse trabalho, optou-se por
inserir modelos iniciais simples, porém pertencentes a um contexto geológico que poderia
nos fornecer informações a priori. Isso é feito rotineiramente nas inversões geofísicas, de
forma a utilizar informações já conhecidas no processamento dos dados.
Figura 2.9: Campo de velocidades inicial, v1,3,O(x, z), da quebra da plataforma continental
parametrizado por polinômio de 3o grau completo.
33
Figura 2.10: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da quebra da plataforma conti-
nental alvo e inicial, ambos representados por polinômio de 3o grau completo.
Na inversão de dados de tempo de trânsito para a parametrização com polinômio de
grau 3 foi inserido o modelo inicial, que pode ser visualizado através da Figura 2.9. Aqui, a
rotina de inversão em linguagem FORTRAN tomou como satisfatórios os modelos invertidos
cujo erro quadrático absoluto entre os tempos de trânsito sintéticos registrados e calculados
fosse menor do que 0,09. Devido à �essência probabilística� do algoritmo Metropolis, que
faz com que ele �salte� para longe de prováveis mínimos locais, a rotina foi rodada diversas
vezes, executando milhares de iterações, na busca de um modelo invertido que obtivesse o
melhor ajuste, isto é, o que alcançasse o menor erro.
O modelo inicial utilizado, o qual pode ser visualizado através da Figura 2.9, é dado
porv1,3,O(x, z) = 0.1 + 0.00001x+ 0.1z + 0.00001x2 − 0.00001xz + 0.1z2
− 0.00001x3 − 0.00001x2z + 0.00001xz2 + 0.1z3.(2.3)
O modelo invertido que melhor se ajustou ao alvo, com erro quadrático de 0,085, foi
dado por
v1,3,I(x, z) = 1.8161892 + (1.1898 · 10−6)x+ 0.74808931z + (1.0597 · 10−6)x2
− (3.4927 · 10−6)xz + (6.334705 · 10−2)z2 − (3.30191 · 10−5)x3
− (4.3873 · 10−6)x2z + (8.4778 · 10−6)xz2 + (9.8063312 · 10−3)z3
(2.4)
e, como pode ser visualizado através da Figura 2.11, apesar de apresentar resultados aceitá-
veis dentro do limite de convergência, o ajuste não foi ótimo, justamente devido à falta de
34
precisão do método Metropolis. Contudo, sua aplicação foi razoavelmente e�ciente e e�caz
na aproximação das velocidades de boa parte do campo, principalmente nas regiões próximas
a superfície, com desvios abaixo de 10 %.
Figura 2.11: Campo de velocidades invertido, v1,3,I(x, z), da quebra da plataforma continental
representado por polinômio de 3o grau completo.
Figura 2.12: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da quebra da plataforma conti-
nental alvo e invertido, ambos representados por polinômio de 3o grau completo.
35
As Figuras 2.10 e 2.12 mostram os erros, em relação ao modelo-alvo, do modelo inicial
e do modelo invertido, respectivamente. Tais erros foram calculados em porcentagem e são
dados pela equação
e(m) =|vA − v(m)|2
|vA|2× 100, (2.5)
onde vA representa o campo de velocidades alvo e v(m) representa o campo de velocidades
para o qual se deseja calcular o erro.
Para a parametrização com polinômio de grau 4, foi inserido na rotina de inversão o
modelo inicial dado por:
v1,4,O(x, z) = 0.1 + 0.00001x+ 0.1z + 0.00001x2 − 0.00001xz + 0.1z2 − 0.00001x3
− 0.00001x2z + 0.00001xz2 + 0.1z3 + 0.0000001x4 − 0.0000001x3z
+ 0.0000001x2z2 − 0.0000001xz3 + 0.0000001z4
(2.6)
e mostrado na Figura 2.13.
Figura 2.13: Campo de velocidades inicial, v1,4,O(x, z), da quebra da plataforma continental
parametrizado por polinômio de 4o grau completo.
36
Figura 2.14: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da quebra da plataforma conti-
nental alvo e inicial, ambos representados por polinômio de 4o grau completo.
Como melhor resultado, foi obtido o modelo invertido dado por
v1,4,I(x, z) = 1.7171021 + (6.5190 · 10−6)x+ 1.0574208z + (4.7147 · 10−6)x2
− (1.17117 · 10−5)xz + (2.16320641 · 10−2)z2 − (6.69860 · 10−5)x3
− (2.6048 · 10−6)x2z + (1.09512 · 10−5)xz2 + (6.8326084 · 10−3)z3
+ (6.045 · 10−7)x4 − (4.806 · 10−7)x3z + (1.4374 · 10−6)x2z2
− (1.632 · 10−7)xz3 + (7.246 · 10−7)z4,
(2.7)
cujo resultado da inversão também não foi ótimo, como pode ser visto na Figura 2.15, mas
aproximou, também, de forma razoável os valores de velocidades de boa parte do modelo,
mantendo o erro abaixo de 10 %, e o intervalo de velocidades convergiu para o que foi
previamente estabelecido. As Figuras 2.14 e 2.16 mostram os erros, em relação ao modelo-
alvo, do modelo inicial e do modelo invertido, respectivamente.
Os modelos invertidos obtidos, tanto o referente à parametrização com polinômio de
grau 3 quanto ao de grau 4, apresentaram um ajuste razoavelmente aceitável, com um desvio
bem baixo, entretanto não alcançaram o modelo alvo. Desta forma, esses modelos obtidos,
apesar de bem próximos, não correspondem ao mínimo global de suas respectivas superfícies
de erro quadrático, embora não tenha �cado aprisionado a um mínimo local.
37
Figura 2.15: Campo de velocidades invertido, v1,4,I(x, z), da quebra da plataforma continental
representado por polinômio de 4o grau completo.
Figura 2.16: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da quebra da plataforma conti-
nental alvo e invertido, ambos representados por polinômio de 4o grau completo.
38
2.2 Sequência sedimentar: Modelo M2
2.2.1 As parametrizações do campo de velocidades V2
O modeloM2 (Figura 2.17) representa uma simples sequência de estratos sedimentares com-
posta por 7 camadas �nalizadas abaixo por um embasamento.
Figura 2.17: Modelo de sequência de estratos sedimentares a ser parametrizado (Dimensões de
9.1 km por 3.5 km).
Camadas Velocidades compressionais (km/s)
Camada 1 (azul escuro) 2,0
Camada 2 (azul claro) 2,5
Camada 3 (verde) 3,0
Camada 4 (amarelo) 3,75
Camada 5 (laranja) 4,5
Camada 6 (vermelho) 5,25
Camada 7 (marrom) 6,0
Embasamento (cinza) 6,5
Tabela 2.2: Velocidades das camadas sedimentares do Modelo M2 consideradas do topo à base.
Foi aplicada sobre esse modelo-alvo uma malha com 875 células, com dimensões de 0.26
km por 0.14 km, cujas velocidades sísmicas foram consideradas constantes no interior de
cada uma delas (Tabela 2.2).
39
Como no caso anterior, foram feitas duas parametrizações sobre esse modelo: uma com
polinômio de grau 3 completo e a outra de grau 4 também completo. A parametrização com
polinômio de grau 3, cujos 10 coe�cientes foram obtidos através do método dos mínimos
quadrados, foi dada por
v2,3,A(x, z) = 5.086999− 1.376030x+ 1.982083z + 0.128255x2
+ 0.210173xz − 0.660855z2 − 0.000349x3 − 0.050388x2z
+ 0.075375xz2 + 0.062059z3,
(2.8)
e a parametrização com polinômio de grau 4, com seus 15 coe�cientes, foi dada por
v2,4,A(x, z) = 4.951476− 1.403392x+ 1.996211z + 0.184576x2
− 0.235099xz + 0.143676z2 − 0.002369x3 − 0.052627x2z
+ 0.276631xz2 − 0.4184924z3 − 0.000614x4 + 0.007670x3z
− 0.029600x2z2 + 0.011986xz3 + 0.063622z4.
(2.9)
Figura 2.18: Campo de velocidades alvo, v2,3,A(x, z), da sequência sedimentar parametrizado
por polinômio de 3o grau completo.
40
Figura 2.19: Campo de velocidades alvo, v2,4,A(x, z), da sequência sedimentar parametrizado
por polinômio de 4o grau completo.
Através das Figuras 2.18 e 2.19, apesar da má delimitação das camadas mais superiores,
pode-se notar os limites do embasamento bem acentuados, como também o mergulho das
camadas na região de aporte sedimentar e o crescimento das velocidades com a profundidade.
2.2.2 As modelagens diretas do Modelo M2
Aqui também, o traçamento de raios foi aplicado sobre as duas parametrizações. O arranjo
de aquisição utilizado na parametrização com polinômio de grau 3 consistiu-se de uma fonte
localizada no ponto (12, 0) e receptores a sua direita espaçados entre si por 80 metros, com
o�-set de mesmo valor, totalizando-se 105 dados de tempo de trânsito coletados. Como
mostrado na Figura 2.20, o método da bisseção funcionou muito bem na estimativa dos
ângulos de partida dos raios, os quais atingiram grandes profundidades e abrangeram boa
parte do modelo.
Já na parametrização com polinômio de grau 4, o arranjo utilizado consistiu-se de uma
fonte localizada no ponto (4.55, 0.0) com 43 e 56 receptores localizados, respectivamente,
a sua esquerda e a sua direita, espaçados por uma distância de 80 metros, com 0�-set de
mesmo valor. Os 99 tempos de trânsito foram estimados com bastante acurácia. O método
da bisseção, nesse caso, também se mostrou e�ciente na determinação dos ângulos de partida
dos raios, porém estes não atingiram regiões mais profundas do modelo, como pode ser visto
através da Figura 2.22, limitando-se a um alcance de aproximadamente 1.0 km.
41
Figura 2.20: Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de velocidades da
sequência sedimentar parametrizado por polinômio de 3o grau completo, v2,3,A(x, z). A fonte
está localizada na posição ( 12 , 0) com os receptores espaçados entre si de um valor de 80 metros
e com um o�-set de mesmo valor.
Figura 2.21: Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-se 105
raios traçados sobre o campo de velocidades, v2,3,A(x, z), provenientes do modelo da sequência
de camadas sedimentares parametrizado por polinômio de 3o grau completo.
Os per�s sintéticos de tempos de trânsito resultantes de ambas as parametrizações
podem ser visualizados através das Figuras 2.21 e 2.23.
42
Figura 2.22: Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de velocidades da
sequência sedimentar parametrizado por polinômio de 4o grau completo, v2,4,A(x, z). A fonte
está localizada na posição central da superfície (4.55 km) com os receptores espaçados entre si
por uma distância de 80 metros, com um o�-set de mesmo valor.
Figura 2.23: Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-se 99
raios traçados sobre o campo de velocidades, v2,4,A(x, z), proveniente do modelo da sequência
de camadas sedimentares parametrizado por polinômio de 4o grau completo.
43
2.2.3 As inversões de dados para o Modelo M2
Para a inversão de dados provenientes da parametrização com polinômio de grau 3, foi
utilizado o modelo inicial dado por:
v2,3,O(x, z) = 1.0− 1.0x+ 1.0z + 0.01x2 + 0.1xz − 0.1z2
+ 0.01x3 + 0.01x2z − 0.01xz2 − 0.01z3(2.10)
e mostrado na Figura 2.24.
Como melhor resultado, foi obtido o modelo invertido mostrado na Figura 2.26, dado
por:v2,3,I(x, z) = 4.2276907− 0.57642692x+ 0.64197284z
+ (6.1320960 · 10−3)x2 + (5.13986088 · 10−2)xz
− 0.13582385z2 − (5.1235775 · 10−3)x3
+ (1.22161070 · 10−2)x2z − (1.87565908 · 10−2)xz2
− (8.9281555 · 10−3)z3,
(2.11)
que também não correspondeu ao mínimo global da superfície de erro quadrático, apesar do
erro entre os tempos observados e calculados �car abaixo de 0,01.
Figura 2.24: Campo de velocidades inicial, v2,3,O(x, z), da sequência sedimentar parametrizado
por polinômio de 3o grau completo.
44
Figura 2.25: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da sequência sedimentar alvo e
inicial, ambos representados por polinômio de 3o grau completo.
Figura 2.26: Campo de velocidades invertido, v2,3,I(x, z), da sequência sedimentar representado
por polinômio de 3o grau completo.
45
Figura 2.27: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da sequência sedimentar alvo e
invertido, ambos representados por polinômio de 3o grau completo.
As Figuras 2.25 e 2.27 evidenciam a efetividade razoável na aproximação das velocidades
no modelo invertido. Este, em comparação ao modelo inicial utilizado que possuía valores
de velocidades com desvios, de acordo com a Equação 2.5, de mais de 800 %, manteve sua
maior parte com desvios abaixo dos 15 %.
A Figura 2.28 mostra o modelo inicial, dado por
v2,4,O(x, z) = 1.0− 1.0x+ 1.0z + 0.01x2 + 0.1xz + 0.1z2 + 0.01x3
+ 0.00001x2z − 0.00001xz2 − 0.01z3 + 0.00001x4 − 0.00001x3z
+ 0.001x2z2 − 0.00001xz3 + 0.001z4,
(2.12)
utilizado para inversão dos dados referentes à parametrização com polinômio de grau 4. O
modelo invertido é mostrado pela Figura 2.30 e expresso por
v2,4,I(x, z) = 3.3582947− 0.32839814x+ (2.26736199 · 10−2)z
+ (2.6690217 · 10−3)x2 + 0.16552605xz + 0.21741621z2
+ (9.883578 · 10−4)x3 + (6.241 · 10−7)x2z − (3.5281 · 10−6)xz2
− (1.2066842 · 10−3)z3 + (3.1971 · 10−6)x4
− (4.550300 · 10−4)x3z + (7.337781 · 10−4)x2z2
− (3.689 · 10−7)xz3 + (7.631934 · 10−4)z4.
(2.13)
Este, assim como todos os resultados até aqui, não convergiu, visualmente, para o modelo
alvo, porém seu erro quadrático entre os tempos observados e calculados �cou abaixo de
46
0,09. Nesse caso, o resultado pode ter sido in�uenciado também pela pouca profundidade
alcançada pelas trajetórias dos raios sísmicos na etapa de modelagem direta.
Figura 2.28: Campo de velocidades inicial, v2,4,O(x, z), da sequência sedimentar parametrizado
por polinômio de 4o grau completo.
Figura 2.29: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da sequência sedimentar alvo e
inicial, ambos representados por polinômio de 4o grau completo.
47
Figura 2.30: Campo de velocidades invertido, v2,4,I(x, z), da sequência sedimentar representado
por polinômio de 4o grau completo.
Figura 2.31: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades da sequência sedimentar alvo e
invertido, ambos representados por polinômio de 4o grau completo.
Através das Figuras 2.29 e 2.31, pode-se notar uma razoável aproximação das veloci-
dades, obtendo-se desvios abaixo dos 20 %. Entretanto, o método Metropolis não foi capaz
de atingir o mínimo global da superfície de erro quadrático referente a essa parametrização,
embora não tenha �cado aprisionado em um mínimo local.
48
2.3 Dobra sinforme: Modelo M3
2.3.1 As parametrizações do campo de velocidades V3
Mais dois campos sintéticos foram construídos para a aplicação do algoritmo de inversão
Metropolis. Um deles, o v3,3,A(x, z), foi parametrizado através do uso de um polinômio de
grau 3, expresso por
v3,3,A(x, z) = 2.0− 0.1x+ 1.0z + 0.05x2 − 0.05xz + 0.05z2
− 0.0005x3 + 0.0005x2z + 0.0005xz2 + 0.005z3,(2.14)
e o outro, o v3,4,A(x, z), foi parametrizado por um polinômio de grau 4, expresso por
v3,4,A(x, z) = 2.0− 0.1x+ 1.0z + 0.05x2 − 0.05xz + 0.05z2
− 0.0005x3 + 0.0005x2z + 0.0005xz2 + 0.005z3
+ 0.00005x4 − 0.00005x3z − 0.0005x2z2
+ 0.0005xz3 − 0.005z4.
(2.15)
O modelo v3,4,A não se difere muito do v3,3,A, pois os coe�cientes dos termos a mais
atribuem pouca in�uência a estes no comportamento matemático do polinômio. Além disso,
suas dimensões foram �xadas em 9.0 km de comprimento horizontal e 3.5 km de profundi-
dade, e seu intervalo de velocidades vai de 1.5 km/s a 8.0 km/s. Esses dois modelos podem
ser visualizados através das Figuras 2.32 e 2.33.
Figura 2.32: Campo de velocidades alvo, v3,3,A(x, z), proveniente do modelo da dobra sinforme
parametrizado por polinômio de 3o grau completo.
49
Figura 2.33: Campo de velocidades alvo, v3,4,A(x, z), proveniente do modelo da dobra sinforme
parametrizado por polinômio de 4o grau completo.
Em relação à aplicação do método de inversão proposto nesse trabalho, pode-se dizer
que a interpretação geológica desses modelos não é particularmente relevante. De qualquer
maneira, os modelos acima podem ser vistos como uma sequência de camadas sedimenta-
res curvadas devido a um processo de dobramento, podendo ser um recorte de uma dobra
sinforme, por exemplo.
2.3.2 As modelagens diretas do Modelo M3
O traçamento de raios foi aplicado a esses modelos utilizando-se um arranjo de aquisição
com uma fonte localizada no ponto central (4.55, 0.0) da superfície com 50 e 56 receptores,
respectivamente, a sua esquerda e a sua direita, totalizando-se 106 dados de tempo de trânsito
a serem coletados, como pode ser visto nas Figuras 2.34 e 2.36.
O método da bisseção se mostrou, novamente, e�ciente e e�caz na determinação dos
ângulos de partida dos raios. Apesar de o conjunto de receptores abranger quase todo o com-
primento horizontal do modelo, em nenhuma das duas parametrizações os raios alcançaram
regiões profundas, limitando-se a profundidades não maiores do que 1km.
Os per�s sintéticos de tempos de trânsito resultantes de ambas as parametrizações
podem ser visualizados através das Figuras 2.35 e 2.37.
50
Figura 2.34: Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de velocidades da
dobra sinforme que foi parametrizado por polinômio de 3o grau completo, v3,3,A(x, z). A fonte
está localizada na posição central da superfície (4.55 km) com espaçamento entre receptores de
80 metros e com um o�-set de mesmo valor.
Figura 2.35: Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-se
99 raios traçados sobre o campo de velocidades, v3,3,A(x, z), proveniente do modelo da dobra
sinforme parametrizado por polinômio de 3o grau completo.
51
Figura 2.36: Traçamento de raios usando o método da bisseção sobre o campo de velocidades
da dobra sinforme que foi parametrizado por polinômio de 4o grau completo, v3,4,A(x, z). A
fonte está localizada na posição ( 12 , 0) com espaçamento entre receptores de 80 metros e com
um o�-set de mesmo valor.
Figura 2.37: Per�l sintético de tempos de trânsito de primeira chegada obtido utilizando-se
99 raios traçados sobre o campo de velocidades, v3,4,A(x, z), proveniente do modelo da dobra
sinforme parametrizado por polinômio de 4o grau completo.
52
2.3.3 As inversões de dados para o Modelo M3
Com a inserção de um modelo inicial bastante simples, porém próximo do alvo, dado por
v2,4,O(x, z) = 0.1 + 0.1x+ 0.1z + 0.00001x2 − 0.00001xz + 0.1z2
− 0.00001x3 + 0.00001x2z + 0.00001xz2 + 0.1z3,(2.16)
e mostrado na Figura 2.38, o modelo invertido obtido referente ao campo v3,3,I(x, z), com
erro quadrático entre os tempos observados e calculados menor do que 0,002, foi dado por
v3,3,I(x, z) = 1.1426421 + 0.30133614x+ 1.3349454z + (8.723 · 10−7)x2
− (2.1584 · 10−6)xz + (8.1099076 · 10−3)z2 − (8.0980 · 10−6)x3
+ (2.00707 · 10−5)x2z + (7.2262 · 10−6)xz2 + (7.25508481 · 10−2)z3.
(2.17)
Assim como visto para os modelos anteriores, veri�ca-se aqui que o método Metropolis
não consegue gerar resultados muito próximos ao modelo alvo, como pode ser constatado
através das Figuras 2.39 e 2.41. Porém, nota-se uma redução de quase 60 %, de acordo com a
Equação 2.5, em relação aos erros associados aos modelos inicial e invertido, principalmente
na região próxima à superfície coberta pelos traçados dos raios na etapa da modelagem
direta.
Figura 2.38: Campo de velocidades inicial, v3,3,O(x, z), parametrizado por polinômio de 3o grau
completo.
53
Figura 2.39: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e inicial, proveniente do
modelo da dobra sinforme, ambos parametrizados por polinômio de 3o grau completo.
Figura 2.40: Campo de velocidades, v3,3,I(x, z), invertido, referente ao modelo da dobra sinforme
parametrizado por polinômio de 3o grau completo.
54
Figura 2.41: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e invertido provenientes do
modelo da dobra sinforme, ambos parametrizados por polinômio de 3o grau completo.
A Figura 2.42 mostra o modelo inicial, dado por
v3,4,O(x, z) = 0.1 + 0.1x+ 0.1z + 0.00001x2 − 0.00001xz + 0.1z2
− 0.00001x3 + 0.00001x2z + 0.00001xz2 + 0.1z3
+ 0.00001x4 − 0.00001x3z − 0.00001x2z2
+ 0.00001xz3 + 0.00001z4,
(2.18)
utilizado na inversão dos dados referentes ao modelo M3. O modelo invertido, que foi dado
porv3,4,I(x, z) = 1.9286937− (7.16151968 · 10−2)x+ 1.5578419z
+ (4.7571752 · 10−3)x2 − (4.0348540 · 10−3)xz
+ (1.27109066 · 10−2)z2 − (1.115733 · 10−4)x3
+ (6.20892 · 10−5)x2z + (1.563611 · 10−4)xz2
+ (9.0010352 · 10−3)z3 + (5.5792 · 10−6)x4
− (7.9038 · 10−6)x3z − (1.20267 · 10−5)x2z2
+ (1.79733 · 10−5)xz3 − (1.1981908 · 10−3)z4,
(2.19)
e cujo erro quadrático �cou abaixo de 0,04, é mostrado pela Figura 2.44.
O resultado aqui também se mostrou, visualmente, bastante distante do modelo-alvo,
como já era de se esperar, porém os desvios, dados pela Equação 2.5, referentes à aproximação
das velocidades de boa parte do modelo reduzem-se para menos de 15 %, como pode ser visto
55
através das Figuras 2.43 e 2.45. Pode-se notar que os grandes desvios foram �deslocados� das
regiões próximas à superfície para regiões mais profundas, fornecendo uma boa aproximação
das velocidades naquela região.
Figura 2.42: Campo de velocidades inicial, v3,4,O(x, z), parametrizado por polinômio de 4o grau
completo.
Figura 2.43: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e inicial provenientes do
modelo da dobra sinforme, ambos parametrizados por polinômio de 4o grau completo.
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Figura 2.44: Campo de velocidades invertido, v3,4,I(x, z), parametrizado por polinômio de 4o
grau completo.
Figura 2.45: Erro, e(m), referente aos campos de velocidades alvo e invertido provenientes do
modelo da dobra sinforme, ambos parametrizados por polinômio de 4o grau completo.
Capítulo 3
Conclusões
Em todos os seis experimentos realizados nesse trabalho, o método Metropolis se con�rmou
pouco preciso no ajuste dos modelos, o que já era esperado de um método de inversão de
escopo global. Visualmente, os modelos invertidos se mostraram bastante distantes de seus
respectivos modelos alvos, entretanto os resultados não foram tão "condenáveis". O algo-
ritmo Metropolis se mostrou e�caz na geração de campos de velocidades que se mantiveram
dentro dos intervalos de velocidades correspondentes aos dos modelos originais e que apro-
ximaram razoavelmente bem, com desvios abaixo dos 20 % em extensas regiões de cada
modelo, os valores dessas velocidades.
Em geral, no processo de inversão, os experimentos com parametrização com polinômio
de grau 4 se mostraram relativamente mais demorados na estimativa dos parâmetros do que
os experimentos com polinômio de grau 3. Evidentemente, isso se deve a maior quantidade
de parâmetros envolvidos, o que acarretou um consumo maior de tempo de processamento
naqueles. Entretanto, os resultados das duas parametrizações se mantiveram bastante pró-
ximos, com as aproximações das velocidades bastante parecidas.
Os experimentos com o modelo M1 geraram resultados muito bons, tanto quantitati-
vamente quanto qualitativamente, considerando os modelos iniciais bastante distantes uti-
lizados. A maior qualidade desses resultados, em comparação com os outros experimentos,
também deve-se, provavelmente, ao maior número de dados de tempo de trânsito �coletados�
na etapa da modelagem direta. Os experimentos com os modelos M2 e M3 também gera-
ram resultados bastante satisfatórios, apesar de pouco coerentes visualmente. Entretanto,
considerando os modelos inicias bastante �absurdos� utilizados, com valores de velocidade
bastante distorcidos, o algoritmo Metropolis, tratando-se de um método de escopo global, se
mostrou bastante e�caz em seus resultados.
Em síntese, apesar dos baixos erros, nenhuma das soluções obtidas nos experimentos
correspondeu ao mínimo global de suas respectivas superfícies de erro quadrático. Entre-
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tanto, os resultados fornecidos pelo método Metropolis se mostram bons candidatos a mo-
delos iniciais a serem utilizados por métodos de inversão mais precisos. Ou seja, faria-se
necessário a aplicação em conjunto do algoritmo Metropolis com um método de inversão
de escopo local para garantir uma convergência mais segura e precisa em direção à solução
verdadeira.
Agradecimentos
Finaliza-se com esse trabalho mais uma fase da minha vida e, com certeza, esse conjunto de
experiências rendeu muitas risadas, muita sabedoria adquirida, algumas amizades e aumen-
tou a velha bagagem de maturidade.
Primeiramente, gostaria de agradecer aos meus pais, Carlos e Hildete, pelo suporte
moral e �nanceiro que me possibilitou chegar até aqui. Gostaria de agradecer, também, aos
meus tios, Mamal e Roberto, por terem me mostrado o caminho do conhecimento, e a toda
minha família na qual nunca faltou e nunca faltará amor, carinho e união.
Agradeço a todos os professores com os quais me deparei durante todo o curso, que
nunca relutaram em compartilhar um pouco de conhecimento; ao meu orientador, Prof.
Wilson Figueiró, pelo apoio e disponibilidade durante os �trabalhos�; aos colegas de curso,
tanto aqueles que ingressaram comigo em 2014.1 quanto os de outras eras com os quais dividi
boas risadas, enfrentei desa�os e pretendo manter contato ainda por muitas eras geológicas;
aos meus amigos que estão comigo desde outras épocas e cujas opiniões, conselhos e resenhas
foram e continuam sendo de grande valor pra mim; e a todas as pessoas aleatórias com as
quais tive o prazer ou desprazer de conviver ao longo de toda minha vida, elas também
agregaram, portanto, �tá� valendo.
En�m, Binhos e Binhas, para toda essa galera �gente �na�, só mando-lhes �um abraço!�
e continuem jogando duro.
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