tong hop

Héi To¸n Häc ViÖt Nam

th«ng tin to¸n häc

Th¸ng 3 N¨m 1998 TËp 2 Sè 1

Pierre Fermat (1601-1665)

1

VÒ ®Þnh lÝ cuèi cïng cña Fermat

vµ Andrew Wiles

NguyÔn Quèc Th¾ng (ViÖn To¸n häc)

LTS: Môc nµy nh»m giíi thiÖu nh÷ng sù kiÖn næi bËt trong to¸n häc hoÆc giíi thiÖu çc h−íng nghiªn cøu trong vµ ngoµi n−íc. T¸c gi¶ bµi viÕt tèt nghiÖp §HTH Minsk n¨m 1980. Anh ®· sang Canada lµm Master, ®−îc ®Æc çch Master vµ chuyÓn th¼ng lªn lµm Ph.D. t¹i ®ã vµ b¶o vÖ luËn ¸n t¹i ®ã n¨m 1994 vÒ §¹i sè. Anh võa trë vÒ sau chuyÕn ®i céng t¸c khoa häc 1 n¨m ë Israel. Nh− nhiÒu ng−êi trong chóng ta ®· biÕt r»ng ``cuèi cïng” ®Þnh lÝ cuèi cïng cña Fermat, ®−îc ®Æt ra çch ®©y h¬n 350 n¨m, ®· ®−îc chøng minh mét çch chÆt chÏ, kh¼ng ®Þnh r»ng ph−¬ng tr×nh

(1) xn + yn = zn, xyz ≠ 0, n ≥ 3, kh«ng cã nghiÖm nguyªn (x,y,z). Do ®−îc ph¸t biÓu ®¬n gi¶n vµ do trªn con ®−êng t×m tßi gi¶i quyÕt nã ®· sinh ra nhiÒu h−íng to¸n häc, bµi to¸n trë thµnh bµi to¸n næi tiÕng nhÊt trong to¸n häc. §· cã nhiÒu bµi b¸o tæng quan, c¶ chuyªn m«n lÉn kh«ng chuyªn, ®Ò cËp ®Õn lÞch sö cña ®Þnh lÝ nµy, çch chøng minh, ph−¬ng h−íng vµ triÓn väng ph¸t triÓn cña nh÷ng vÊn ®Ò cã liªn quan. GÇn ®©y ®· cã hµng lo¹t s¸ch chuyªn kh¶o dµnh cho chuyªn gia trong lÜnh vùc lÝ thuyÕt sè vµ h×nh häc ®¹i sè tr×nh bµy chi tiÕt nh÷ng lÝ thuyÕt hiÖn ®¹i cña to¸n häc cã liªn quan ®Õn bµi to¸n Fermat vµ lêi gi¶i cña Andrew Wiles víi sù céng t¸c cña mét häc trß cò cña anh lµ Richard Taylor. Tuy nhiªn cã mét vµi t− liÖu hay liªn quan ®Õn ®Þnh lÝ Fermat vµ Wiles cã lÏ ch−a ®−îc biÕt ®Õn réng r·i mµ ng−êi viÕt bµi nµy muèn chia sÎ víi b¹n ®äc. Andrew Wiles sinh ra t¹i thµnh phè Cambridge, V−¬ng quèc Anh, ngµy 11 th¸ng 4 n¨m 1953. Lóc häc phæ th«ng, mét h«m hoµn toµn t×nh cê, anh ví ®−îc

mét cuèn s¸ch vÒ sè häc nãi vÒ ®Þnh lÝ cuèÝ cïng cña Fermat. ThÕ lµ tõ ®ã ®Þnh lÝ Fermat ®eo ®uæi anh suèt qu·ng ®êi niªn thiÕu vµ tr−ëng thµnh. Còng nh− mäi thanh thiÕu niªn say mª to¸n trªn tr¸i ®Êt nµy, anh ®· thö t×m lêi gi¶i cña bµi to¸n t−ëng chõng ®¬n gi¶n nh−ng l¹i cùc k× hãc bóa nµy. Song lêi gi¶i lu«n tuét khái anh vµ ®iÒu ®ã l¹i cµng lµm cho anh say mª nã. Vµ anh còng sím nhËn ra r»ng ®Ó cã ®−îc lêi gi¶i cña bµi to¸n ®ã cÇn ph¶i cã mét kiÕn thøc s©u réng vÒ lÝ thuyÕt sè vµ nh÷ng ngµnh liªn quan. N¨m 1971 anh vµo häc t¹i tr−êng §HTH Oxford næi tiÕng cña Anh quèc, t¹i Merton College vµ tèt nghiÖp n¨m 1974. Cïng n¨m ®ã anh vµo häc t¹i Clare College cña §HTH Cambridge vµ nhËn b»ng TiÕn sÜ (Ph.D.) t¹i ®ã n¨m 1977. Trong thêi gian lµm nghiªn cøu sinh d−íi sù h−íng dÉn cña gi¸o s− John Coates, anh ®· nhËn ®−îc nh÷ng kÕt qu¶ rÊt ®éc ®¸o vµ s©u s¾c vÒ sè häc cña ®−êng cong elliptic, trong khu«n khæ cña mét ch−¬ng tr×nh réng lín liªn quan ®Õn gi¶ thuyÕt cña Birch vµ Swinnerton-Dayer. Nh÷ng kÕt qu¶ ®ã ®· ®−îc ®¨ng n¨m 1977 trong mét bµi b¸o viÕt chung víi J. Coates trong Inventiones Mathematicae, mét trong nh÷ng t¹p chÝ cã uy tÝn lín nhÊt trong giíi to¸n häc. Tõ n¨m 1977 ®Õn 190 anh lµ nghiªn cøu viªn (Junor Research Fellow) t¹i Clare College vµ cã hµm Trî lÝ gi¸o s− mang tªn Benjamin Peirce t¹i tr−êng §HTH Harvard næi tiÕng cña Mü. N¨m 1981 anh lµ gi¸o s− thØnh gi¶ng t¹i Sonderforschungsbereich: Theoretische Mathematik (Phßng nghiªn cøu ®Æc biÖt vÒ to¸n lÝ thuyÕt) cña §HTH Bonn (CHLB §øc) vµ sau ®ã lµ thµnh viªn cña

2

Institute for Advanced Study (Häc viÖn nghiªn cøu cÊp cao) t¹i Princeton (Mü), mét trong nh÷ng viÖn nghiªn cøu cã uy tÝn lín nhÊt trªn thÕ giíi. N¨m 1982 anh trë thµnh gi¸o s− chÝnh thøc t¹i §HTH Princeton vµ mïa xu©n n¨m ®ã anh lµ gi¸o s− thØnh gi¶ng t¹i §HTH Paris 11, Orsay (Ph¸p). Víi häc bæng Guggenheim anh ®· ®Õn nghiªn cøu t¹i Institut des Hautes Etudes Scientifiques vµ Ecole Normale Superieure (1985 - 1986) (Ph¸p). Tõ 1988 ®Õn 1990 anh gi÷ hµm gi¸o s− nghiªn cøu cña Héi Khoa häc Hoµng gia vµ n¨m 1989 ®−îc bÇu lµm thµnh viªn cña Héi khoa häc næi tiÕng nµy. N¨m 1994 A. Wiles ®−îc bÇu lµm thµnh viªn cña American Academy of Arts and Sciences (ViÖn Hµn l©m çc khoa häc vµ nghÖ thuËt cña Mü) vµ gi÷ hµm gi¸o s− mang tªn Higgins t¹i §HTH Princeton. Sau khi gi¶i quyÕt ®−îc bµi to¸n Fermat, tµi n¨ng cña anh ®−îc thÕ giíi biÕt ®Õn vµ c«ng nhËn mét çch réng r·i. Anh ®−îc trao hµng lo¹t gi¶i th−ëng khoa häc danh tiÕng nh− Schock Prize (1995), Wolf Prize (1995), Ostrowski Prize (1996), Commonwealth Award (1996), National Academy of Sciences Award (1996), Cole Prize in Number Theory (1997), Wolfskehl Prize (1997), King Faisal International Prize in Science (1998) ... §iÓm l¹i nh÷ng c«ng tr×nh cña A. Wiles (tÝnh ®Õn ngµy 9/3/1998, toµn bé bao gåm 18 c«ng tr×nh) ta thÊy anh viÕt kh«ng nhiÒu song cã thÓ nãi hÇu nh− mçi c«ng tr×nh cña anh (hoÆc cïng viÕt chung víi çc nhµ to¸n häc kh¸c) ®Òu mang tÝnh chÊt nÒn t¶ng vµ lµ lêi gi¶i cã tÝnh triÖt ®Ó cao cña nh÷ng gi¶ thuyÕt, bµi to¸n c¬ b¶n quan träng nhÊt cña lý thuyÕt sè hiÖn ®¹i. NhiÒu ng−êi lµm to¸n chóng ta ®Òu biÕt r»ng rÊt nhiÒu bµi to¸n, gi¶ thuyÕt mµ chóng ta ®ang quan t©m gi¶i quyÕt ®−îc coi nh− lµ tr−êng hîp riªng cña nh÷ng bµi to¸n, gi¶ thuyÕt tæng qu¸t h¬n, bao trïm h¬n ... Suy nghÜ cña Wiles lu«n h−íng vÒ nh÷ng lêi gi¶i nh− vËy. V× thÕ mçi c«ng tr×nh ®· ra cña

Wiles ®Òu ®−îc ®¨ng trong nh÷ng t¹p chÝ cã uy tÝn nhÊt. VÝ dô nh− anh ®· ®¨ng 6 bµi b¸o trong Annals of Mathematics, 4 bµi b¸o trong Inventiones Mathematicae (mµ mäi ng−êi trong chóng ta ®Òu tù hµo nÕu nh− cã mét bµi b¸o ®¨ng trong çc t¹p chÝ ®ã). §iÒu quan träng h¬n c¶ lµ Wiles lu«n t×m ra lêi gi¶i cña nh÷ng bµi to¸n, gi¶ thuyÕt then chèt nhÊt, s©u s¾c nhÊt trong lý thuyÕt sè hiÖn ®¹i. V× vËy tr−íc ng−ìng cöa cña lêi gi¶i cho bµi to¸n Fermat, A. Wiles ®· ®−îc trang bÞ b»ng nh÷ng kü thuËt tinh tÕ nhÊt cña lý thuyÕt Iwasawa (anh ®· chøng minh gi¶ thuyÕt Iwasawa n¨m 1990) trong lý thuyÕt sè häc çc tr−êng cyclotomic (chia ®−êng trßn), lý thuyÕt çc d¹ng modular, lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm Galois vµ lý thuyÕt biÓu diÔn p-adic. Cho nªn cã thÓ nãi A. Wiles ®· kÕt hîp ®−îc nhuÇn nhuyÔn vµ cùc k× s¸ng t¹o tÊt c¶ nh÷ng tinh hoa cña to¸n häc thÕ kØ 20 ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n Fermat. B©y giê chóng ta ®iÓm l¹i vµi nÐt chÝnh trong lÞch sö chøng minh ®Þnh lÝ Fermat. Nh− chóng ta ®· biÕt Fermat viÕt vµo lÒ mét quyÓn s¸ch sè häc r»ng «ng t×m ra lêi gi¶i cho bµi to¸n (1) song kh«ng cã chç ®Ó viÕt vµo. LÞch sö to¸n häc ®· chøng tá r»ng Fermat ®· chøng minh ®−îc ®Þnh lÝ cuèi cïng cña m×nh cho tr−êng hîp n = 4 b»ng çch x©y dùng lÝ thuyÕt ®−êng cong elliptic. Song kh«ng cã mèi liªn hÖ hiÓn nµo gi÷a ®−êng cong elliptic vµ ph−¬ng tr×nh Fermat (1) bËc cao h¬n, nªn ®−êng cong elliptic ®· kh«ng ®ãng mét vai trß nµo trong 350 n¨m sau ®ã trong viÖc chøng minh ®Þnh lÝ Fermat. Nhµ to¸n häc Ph¸p Y. Hellegouarch trong bµi b¸o ®¨ng trong Acta Arithmetica (1974) ®· lµ ng−êi ®Çu tiªn trong suèt thêi gian ®ã t×m ra mét sè liªn hÖ gi÷a ®Þnh lÝ Fermat vµ ®−êng cong elliptic. Tuy nhiªn m·i ®Õn n¨m 1987 G. Frey ®· gi¶ ®Þnh vµ m« t¶ r»ng nÕu (a,b,c) víi abc ≠ 0, n ≥ 3 lµ nghiÖm cña an + bn = cn, th× ®−êng cong elliptic y2=x(x - an)(x + bn) lµ kh«ng modular.

3

§iÒu ®ã tr¸i víi gi¶ thuyÕt Shimura-Taniyama (mét trong nh÷ng gi¶ thuyÕt s©u s¾c vµ quan träng nhÊt cña lÝ thuyÕt sè hiÖn ®¹i, nãi r»ng mäi ®−¬ng cong elliptic ®Òu lµ modular). Sau ®ã Serre (1985-1986) ®· ®−a ra mét gi¶ thuyÕt ®ãng vai trß quan träng trong viÖc chøng minh ®Þng lÝ Fermat. J.-P. Serre ®· nªu ra (vµ cïng víi J. F. Mestre kiÓm tra trªn mét sè vÝ dô cô thÓ) mét gi¶ thuyÕt vÒ d¹ng modular vµ biÓu diÔn Galois modulo p. Nãi riªng Serre ®· chøng minh r»ng mét tr−êng hîp riªng cña gi¶ thuyÕt ®ã, gäi lµ gi¶ thuyÕt Epsilon cïng víi gi¶ thuyÕt Shimura-Taniyama sÏ kÐo theo §Þnh lÝ Fermat. Ngay cïng n¨m ®ã (1986), K. Ribet, mét trong nh÷ng nhµ to¸n häc Mü næi tiÕng, dùa trªn ý t−ëng cña Mazur ®· chøng minh ®−îc gi¶ thuyÕt Epsilon cña Serre. Thùc ra, K. Ribet cßn gÆp khã kh¨n trong mét chç mÊu chèt. Tuy nhiªn trong mét buæi trao ®æi gi÷a «ng ta víi Mazur trong mét tiÖm cµ phª sinh viªn t¹i §H Berkeley, Mazur chØ ra r»ng lÝ thuyÕt cña Ribet ®ñ ®Ó gi¶i quyÕt ®iÓm then chèt ®ã. A. Wiles sau khi nghe tin gi¶ thuyÕt Epsilon ®· ®−îc chøng minh ®· hiÓu ngay r»ng “çn c©n lùc l−îng” ®· nghiªng h¼n vÒ nh÷ng ph−¬ng ph¸p cã liªn quan ®Õn gi¶ thuyÕt Shimura-Taniyama. VÒ sau anh t©m sù r»ng tõ thêi ®iÓm ®ã trë ®i c¶ cuéc ®êi anh thay ®æi h¼n. "T«i kh«ng muèn nã tuét khái tay t«i lÇn n÷a”. Tõ lóc ®ã A. Wiles ®· ®Ò ra mét ch−¬ng tr×nh ®Ó chøng minh gi¶ thuyÕt Shimura-Taniyama cho çc ®−êng cong elliptic nöa æn ®Þnh - vµ ``chØ cÇn” thÕ lµ cã thÓ chøng minh ®Þnh lÝ Fermat. Cïng trong thêi gian ®ã, Kolyvagin vµ Rubin ®· ®éc lËp ph¸t triÓn mét lÝ thuyÕt gäi lµ hÖ ¥le. NhiÒu nhµ to¸n häc ®· ®¸nh gi¸ ph¸t kiÕn nµy cã tÝnh chÊt çch m¹ng trong lÝ thuyÕt sè häc hiÖn ®¹i nãi chung vµ sè häc ®−êng cong elliptic nãi riªng. Mét çch tù nhiªn, tho¹t ®Çu A. Wiles còng thö ¸p dông kÜ thuËt cña lÝ thuyÕt Iwasawa ®Ó chøng minh ®Þnh lÝ Fermat. Tuy nhiªn cã mét

vµi c¶n trë trong tr−êng hîp nghiªn cøu çc biÓu diÔn l-adic víi l = 2. §ång thêi l¹i n¶y sinh mét sè vÊn ®Ò liªn quan ®Õn giao ®Çy ®ñ trong §¹i sè giao ho¸n, nªn khi nghiªn cøu më réng ph−¬ng ph¸p cña M. Flach - mét trong nh÷ng b−íc then chèt tiÕp theo trong ch−¬ng tr×nh chøng minh cña m×nh - anh quyÕt ®Þnh ¸p dông lÝ thuyÕt hÖ ¥le. §Õn mïa hÌ 1993, mäi viÖc d−êng nh− ®· ®©u vµo ®Êy. Ngµy 23/6/1993, trong phót cuèi cïng cña bµi gi¶ng thø 3 cña m×nh t¹i Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences (ViÖn To¸n häc mang tªn Niut¬n) t¹i Cambridge, A. Wiles chËm r·i viÕt trªn b¶ng mét hÖ qu¶: §Þnh lÝ Fermat ®−îc chøng minh. Ngay sau ®ã c¶ thÕ giíi to¸n häc vµ ®¹i chóng h©n hoan chµo ®ãn tin mõng nµy. PhÇn lín tin t−ëng vµo sù ®óng ®¾n cña chøng minh, nh−ng mét sè do thËn träng vÉn tá ý hoµi nghi. A. Wiles ®· göi bµi b¸o víi çc chøng minh chi tiÕt ®Õn t¹p chÝ Inventiones Mathematicae ®· nªu ë trªn. §ång thêi anh göi cho ng−êi b¹n th©n cña m×nh Nicolas Katz vµ lµ mét nhµ to¸n häc Mü cã uy tÝn t¹i Princeton mét b¶n th¶o dµy cép ®Ó lÊy ý kiÕn. Trong suèt hai th¸ng hÌ 7-8/1993, Katz ngåi ®äc b¶n th¶o cña Wiles, kiÓm tra l¹i tõng c©u, tõng ch÷. ThØnh tho¶ng «ng ta e-mail l¹i cho Wiles yªu cÇu gi¶i thÝch râ nh÷ng chi tiÕt ch−a ®−îc viÕt ra, hoÆc nh÷ng luËn ®iÓm ch−a s¸ng tá. Sau khi Wiles tr¶ lêi, mäi viÖc xem ra su«n sÎ, .... Song ®Õn mét h«m, Katz yªu cÇu gi¶i thÝch nh÷ng kÕt qu¶ liªn quan ®Õn hÖ ¥le mµ Wiles x©y dùng mµ «ng cho lµ ch−a chÆt chÏ, thËm chÝ ... kh«ng tån t¹i! Wiles tr¶ lêi r»ng nh− thÕ, ..., nh− thÕ, song sau mçi lÇn tr¶ lêi Katz l¹i viÕt : ``t«i vÉn kh«ng hiÓu!” §Õn lÇn thø ba th× Wiles thÊy qu¶ thùc cã vÊn ®Ò. Vµ thÕ lµ ®Õn mïa thu n¨m 1993, Wiles nhËn thÊy r»ng viÖc sö dông hÖ ¥le (®Ó më réng ph−¬ng ph¸p Flach) lµ ch−a ®Çy ®ñ, vµ cã thÓ lµ sai. Mét sè nhµ to¸n häc kh¸c nh− Luc Illusie còng nhËn ra vÊn ®Ò t−¬ng tù. Tin ®ån, tiÕng bµn t¸n x× xµo l¹i loang ra, vµ kh«ng Ýt ng−êi ®· nghÜ lµ ph¶i b¾t ®Çu l¹i tõ ®Çu. NhiÒu

4

ng−êi muèn hái, chÊt vÊn Wiles vÒ sù thùc cña vÊn ®Ò nh−ng Wiles hoµn toµn im lÆng. H¬n thÕ n÷a, hÇu nh− kh«ng cã ai cã b¶n th¶o c«ng tr×nh cña Wiles (trõ çc ph¶n biÖn vµ rÊt Ýt b¹n th©n mµ Wiles nhê ®äc hé), nªn ®· cã bµi b¸o viÕt r»ng nh− thÕ lµ kh«ng trung thùc... §Çu n¨m 1994, tr−íc ®ßi hái cña d− luËn, A. Wiles cã göi e-mail ng¾n trªn INTERNET th«ng b¸o mét çch réng r·i r»ng chøng minh cña m×nh cã lç hæng vµ anh hi väng sÏ kh¾c phôc ®−îc, vµ sÏ th«ng b¸o nh÷ng b−íc kh¾c phôc trong mét kho¸ d¹y cao häc t¹i §H Princeton. Tuy nhiªn, cho ®Õn khi kÕt thóc kho¸ cao häc, mÆc dÇu cã mét sè tiÕn bé trong viÖc c¶i tiÕn phÐp chøng minh, Wiles vÉn ch−a t×m ra lèi tho¸t. Anh viÕt: ``... t«i vÉn ch−a suy nghÜ l¹i vÒ çch tiÕp cËn ban ®Çu mµ t«i ®· g¸c l¹i sang mét bªn tõ hÌ 1991 v× t«i vÉn cø nghÜ çch tiÕp cËn dïng hÖ ¥le lµ ®óng.” Th¸ng giªng 1994, mét häc trß cò cña Wiles t¹i Cambridge tªn lµ R. Taylor ®· ®Õn cïng hîp søc víi Wiles hi väng ch÷a l¹i luËn ®iÓm sai trong viÖc dïng hÖ ¥le. §Õn xu©n-hÌ 1994, sau khi thÊy viÖc söa ch÷a kh«ng cã kÕt qu¶, Wiles cïng Taylor b¾t ®Çu quay l¹i çch tiÕp cËn cò cña Wiles vµ cè nghÜ ra luËn ®iÓm míi cho tr−êng hîp l = 2. §Õn th¸ng 8/1994 hä gÆp ph¶i trë ng¹i kh«ng v−ît qua næi.... Kh«ng hoµn toµn tin t−ëng r»ng ph−¬ng ph¸p hÖ ¥le lµ kh«ng söa ®−îc, Taylor ®· quay vÒ Cambridge cuèi 8/94. Th¸ng 9/1994, Wiles quyÕt ®Þnh xem l¹i lÇn cuèi çch tiÕp cËn cò ®Ó t×m ra ®iÒu g× lµ c¶n trë chñ yÕu. B»ng çch ®ã, ngµy 19/9/1994 “t«i - Wiles viÕt - ®· thÊy loÐ lªn tia s¸ng lµ nÕu më réng lÝ

thuyÕt cña de Shalit th× cã thÓ dïng nã cïng víi ®èi ngÉu ...” cho çc vµnh Hecke. Vµ thÕ lµ Wiles ®· t×m ra çch gi¶i quyÕt cho ®iÓm mÊu chèt cho çch gi¶i mµ anh g¸c l¹i mÊy n¨m tr−íc. Sau khi th«ng b¸o ®iÒu ®ã cho Taylor, hai ng−êi l¹i hîp søc tiÕn hµnh nghiªn cøu chi tiÕt ph¸t kiÕn nµy vµ ®· hoµn thµnh b−íc quyÕt ®Þnh cßn thiÕu, sau ®ã ®−îc c«ng bè trong bµi b¸o viÕt chung [TW] vÒ mét sè tÝnh chÊt cña vµnh Hecke. Vµ thÕ lµ §Þnh lÝ Fermat ®−îc chøng minh hoµn toµn chÆt chÏ vµ ®−îc c«ng bè trong bµi b¸o [W]. NÕu ai ®ã ®· xem buæi pháng vÊn [B] trªn TV cña BBC th¸ng 11/1997 h¼n còng ph¶i c¶m ®éng khi thÊy A. Wiles tho¹t ®Çu, do qu¸ xóc ®éng, ®· r¬m rím n−íc m¾t kh«ng nãi nªn lêi nµo khi ®−îc yªu cÇu kÓ l¹i nh÷ng giai ®o¹n cña viÖc gi¶i quyÕt Bµi to¸n FERMAT. Çc b¹n thÊy ®Êy nhµ to¸n häc ®©u ph¶i hoµn toµn kh« khan, vµ lµm to¸n ®©u ph¶i kh«ng ®em l¹i c¶m xóc m·nh liÖt. Tµi liÖu tham kh¶o [B] BBC: The Last Theorem of Fermat, November 1997. [TW] R. Taylor and A. Wiles, Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras, Annals of Mathematics 141(1995), 553-572 [W] A. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s last Theorem, Annals of Mathematics 141(1995), 443-551. [W1] A. Wiles, C. V., http://www.math.princeton.edu [W2] A. Wiles, Bibliography, http://www.math.princeton.edu




Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

2

C¬ së Groebner trong H×nh häc vµ §¹i sè Ng« ViÖt Trung (ViÖn To¸n häc)

Kh¸i niÖm c¬ së Groebner ra ®êi trong nh÷ng n¨m 70 ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n chia ®a thøc. Sau h¬n 20 n¨m kh¸i niÖm nµy ®· cã nh÷ng øng dông to lín trong nhiÒu chuyªn ngµnh to¸n häc kh¸c nhau tõ §¹i sè qua H×nh häc, T« p«, Tæ hîp ®Õn ngay c¶ Tèi −u. Trong bµi b¸o nµy t«i sÏ giíi thiÖu kh¸i niÖm c¬ së Groebner vµ ý nghÜa cña nã ®èi víi viÖc tÝnh to¸n h×nh thøc (tÝnh to¸n víi çc biÕn sè) còng nh− ®èi víi mét sè vÊn ®Ò lý thuyÕt trong H×nh häc vµ §¹i sè.1

1. Bµi to¸n thö phÇn tö

Kh¸i niÖm c¬ së Groebner cã xuÊt xø tõ bµi to¸n sau ®©y: Cho f vµ g1,...,gm lµ nh÷ng ®a thøc nhiÒu biÕn. Khi nµo ta cã thÓ t×m ®−îc çc ®a thøc h1,...,hm sao cho

f = g1h1 + ... + gmhm.

Lóc ®ã ta gäi f lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh ®a thøc cña çc ®a thøc g1,...,gm. Theo ng«n ng÷ ®¹i sè th× ®¼ng thøc trªn cã nghÜa lµ f n»m trong i®ªan sinh ra bëi g1,...,gm. V× vËy ng−êi ta cßn gäi bµi to¸n nµy lµ bµi to¸n thö phÇn tö (membership problem). §©y lµ mét bµi to¸n c¬ b¶n xuÊt hiÖn trong hÇu hÕt çc lÜnh vùc cña to¸n häc.

Ch¼ng h¹n, ®èi t−îng nghiªn cøu trong h×nh häc th«ng th−êng lµ tËp nghiÖm cña mét hÖ ph−¬ng tr×nh ®a thøc. Mét tËp nghiÖm nh− vËy cßn ®−îc gäi lµ mét ®a t¹p ®¹i sè. TËp nghiÖm cña mét ph−¬ng tr×nh ®a thøc ®−îc gäi lµ mét siªu mÆt. Mäi ®a t¹p ®¹i sè ®Òu lµ tËp giao cña çc siªu mÆt. Tõ ®©y nÈy sinh mét vÊn ®Ò lµ khi nµo th× mét siªu mÆt chøa mét h×nh h×nh häc cho tr−íc, cô thÓ lµ khi nµo th× mét ®a thøc f(x1,...,xn) triÖt tiªu t¹i mäi nghiÖm cña mét hÖ ph−¬ng tr×nh ®a thøc:

g1(x1,...,xn) = 0, ...............

gm(x1,...,xn) = 0.

Thay hÖ ph−¬ng tr×nh nµy b»ng mét hÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng thÝch hîp ta cã thÓ quy vÊn ®Ò nµy thµnh vÊn ®Ò khi nµo th× ®a thøc f lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh ®a thøc cña çc ®a thøc g1,...,gm.

Trong tr−êng hîp mét biÕn ta cã thÓ dÔ dµng quy bµi to¸n thö phÇn tö vÒ tr−êng hîp m = 1. Khi ®ã bµi to¸n cã thÓ ph¸t biÓu l¹i d−íi d¹ng khi nµo th× mét ®a thøc f(x) chia hÕt cho mét ®a thøc g(x) cho tr−íc. Bµi to¸n nµy ®−îc gi¶i bëi thuËt to¸n Euclid. ThuËt to¸n nµy cho phÐp ta x¸c ®Þnh (sau mét sè h÷u h¹n phÐp tÝnh) mét ®a thøc r(x) cã bËc nhá h¬n bËc cña g(x) sao cho f(x) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng:

f(x) = g(x)h(x) + r(x).

Ta cã thÓ coi r(x) nh− lµ phÇn d− cña phÐp chia cña f(x) cho h(x). Do bËc cña r(x) nhá h¬n bËc cña g(x) nªn f(x) sÏ chia hÕt cho g(x) khi vµ chØ khi r(x) = 0.

TiÕc r»ng thuËt to¸n Euclid kh«ng thÓ ¸p dông trong tr−êng hîp nhiÒu biÕn. §Ó thÊy ®iÒu nµy ta h·y nhí l¹i xem thuËt to¸n Euclid lµm viÖc nh− thÕ nµo.

ThuËt to¸n Euclid: Gi¶ sö f = a0x

s + a1x

s-1 + ... + as g = b0x

t + b1x

t-1 + ... + bt

1 Néi dung bµi b¸o nµy lµ b¶n b¸o ço mêi t¹i Héi nghÞ §¹i sè-H×nh häc-T«p«, Th¸i Nguyªn, 12/1998

3

víi s = bËc cña f vµ t = bËc cña g, tøc lµ a0 ≠ 0 vµ b0 ≠ 0. • NÕu s < t th× ta ®Æt r = f. • NÕu s ≥ t th× ta cã thÓ viÕt

f = (a0/b0)xs-tg + f1

víi bËc cña f1 < bËc cña f. Khi ®ã ta thay f b»ng f1 vµ quay l¹i çc b−íc trªn. • ThuËt to¸n ph¶i dõng sau mét sè h÷u h¹n b−íc v× bËc cña f gi¶m dÇn.

Tr−êng hîp nhiÒu biÕn cã mét khã kh¨n c¬ b¶n lµ ta kh«ng thÓ quy vÒ tr−êng hîp m = 1 ®−îc. Ngay c¶ khi m = 1 th× ta còng kh«ng thÓ ¸p dông thuËt to¸n Euclid v× nÕu coi f(x1,...,xn) vµ g(x1,...,xn) lµ nh÷ng ®a thøc mét biÕn theo x = xn th× a0/b0 kh«ng cßn lµ mét ®a thøc n÷a vµ ta kh«ng thÓ tiÕp tôc çc b−íc ®i tiÕp theo cña thuËt to¸n ®−îc.

Tuy thuËt to¸n Euclid kh«ng gi¶i quyÕt ®−îc bµi to¸n thö phÇn tö nh−ng nã ®· chøa ®ùng mÇm mèng lêi gi¶i cho tr−êng hîp nhiÒu biÕn. §ã lµ viÖc xÐt çc h¹ng tö cã bËc cao nhÊt vµ viÖc h¹ bËc sau tõng b−íc. §iÓm mÊu chèt ë ®©y lµ kh¸i niÖm bËc cho ta mét quy t¾c x¸c ®Þnh thø tù çc h¹ng tö trong çc ®a thøc mét biÕn. Trong tr−êng hîp nhiÒu biÕn th× kh¸i niÖm bËc th«ng th−êng kh«ng cßn phï hîp n÷a v× cã thÓ cã nhiÒu h¹ng tö cã cïng bËc. V× vËy ng−êi ta ph¶i x¾p xÕp thø tù çc h¹ng tö theo mét quy t¾c nµo ®ã vµ t×m çch gi¶m thø tù sau mçi b−íc. §iÒu nµy ®· dÉn ®Õn kh¸i niÖm c¬ së Groebner vµ cïng víi nã lµ thuËt to¸n chia.

2. ThuËt to¸n chia

Do mçi h¹ng tö øng víi mét ®¬n thøc x1a1...xn

an nªn ng−êi ta ph¶i ®−a ra mét sù x¾p xÕp thø tù thÝch hîp cho çc ®¬n thøc.

Thø tù hay ®−îc dïng ®Õn nhÊt lµ thø tù tõ ®iÓn. Thø tù nµy coi x1,...,xn nh− lµ mét bé ch÷ çi vµ ®¬n thøc x1

a1...xnan nh− mét tõ cã a1 ch÷ x1 ë ®Çu, ..., an ch÷ xn ë ®u«i:

x1a-1 > x1

a > x1a-1x2 > ... > x1

a-1xn > x1a-2x2

> ...

TiÕp theo ta sÏ thay hÖ ®a thøc g1,...,gm cho tr−íc bëi mét hÖ çc tæ hîp tuyÕn tÝnh ®a thøc e1,...,ep cña g1,...,gm sao cho nÕu f lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh ®a thøc kh¸c kh«ng cña g1,...,gm th× h¹ng tö cao nhÊt cña f sÏ chia hÕt cho h¹ng tö lín nhÊt cña mét trong çc ®a thøc e1,...,ep. Mét hÖ ®a thøc nh− vËy ®−îc gäi lµ mét c¬ së Groebner cña hÖ g1,...,gm. C¬ së Groebner lu«n tån t¹i.

VÝ dô. XÐt hÖ hai ®a thøc g1 = x12+3x1x2, g2 = 2x1

2+x22. NÕu ta x¾p xÕp çc ®¬n thøc theo thø

tù tõ ®iÓn th× x12 > x1x2 > x2

2. §¬n thøc lín nhÊt cña hai ®a thøc trªn ®Òu lµ x12. Tuy nhiªn

chóng cã mét c¬ së Groebner lµ hÖ çc ®a thøc

e1 = x12 + 3x1x2 = g1,

e2 = x1x2 - x22/6 = (2g1- g2)/6,

e3 = x23 = [(6x1+19x2)g2 - (12x1+2x2) g1]/19

víi çc h¹ng tö lín nhÊt lµ x12, x1x2, x2

3. ThËt vËy, cã thÓ thÊy ngay h¹ng tö lín nhÊt cña bÊt kú mét tæ hîp tuyÕn tÝnh ®a thøc bËc 2 cña g1, g2 chØ cã thÓ lµ x1

2, x1x2. Cßn h¹ng tö lín nhÊt cña bÊt kú mét tæ hîp tuyÕn tÝnh ®a thøc bËc > 2 cña g1, g2 ph¶i chia hÕt cho mét trong çc ®¬n thøc x1

2, x1x2, x23 v× mäi ®¬n thøc bËc > 2 ®Òu chia hÕt cho mét trong çc ®¬n thøc nµy.

Mét khi ta ®· cã mét c¬ së Groebner th× ta còng cã mét thuËt to¸n chia t−¬ng tù nh− thuËt to¸n Euclid. ThuËt to¸n nµy x¸c ®Þnh cho mçi mét ®a thøc f mét ®a thøc r cã h¹ng tö lín nhÊt kh«ng chia hÕt cho mäi h¹ng tö lín nhÊt cña e1,...,ep sao cho f cã thÓ viÕt d−íi d¹ng

f = h1e1 + ... + hpep + r.

Do e1,...,ep lµ nh÷ng tæ hîp tuyÕn tÝnh ®a thøc cña g1,...,gm nªn f lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña g1,...,gm khi vµ chØ khi r lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh ®a thøc cña g1,...,gm. Theo ®Þnh nghÜa cña c¬ së Groebner th× ®iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi r = 0.

ThuËt to¸n chia. Gi¶ sö e1,...,ep lµ mét c¬ së Groebner cña hÖ g1,...,gm.

4

• NÕu h¹ng tö lín nhÊt cña f kh«ng chia hÕt cho h¹ng tö lín nhÊt cña mäi ®a thøc e1,...,ep th× ta ®Æt r = f. • NÕu h¹ng tö lín nhÊt cña f chia hÕt cho h¹ng tö lín nhÊt cña mét ®a thøc ei th× ta cã thÓ viÕt

f = hei + f1

víi h lµ th−¬ng cña çc h¹ng tö lín nhÊt cña f vµ ei vµ f1 lµ mét ®a thøc cã h¹ng tö lín nhÊt < h¹ng tö lín nhÊt cña f (®iÒu nµy phô thuéc vµo sù lùa chän thø tù çc ®¬n thøc). Khi ®ã ta thay f b»ng f1 vµ quay l¹i çc b−íc trªn. • ThuËt to¸n ph¶i dõng sau mét sè h÷u h¹n b−íc v× h¹ng tö lín nhÊt cña f cã thø tù gi¶m dÇn.

Sö dông thuËt to¸n chia ta cã thÓ dÔ dµng gi¶i bµi to¸n thö phÇn tö víi mäi ®a thøc f, g1,...,gm cho tr−íc.

VÝ dô: Gi¶ sö f = x13 vµ e1, e2, e3 lµ c¬ së Groebner trong vÝ dô trªn. Ta cã

x13 = x1e1 - 3x1

2x2, 3x1

2x2 = 3x2e2 - x1x22/2,

x1x22/2 = x2e2/2 - x2

3/12 x2

3/12 = e3/12.

V× vËy x13 lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh ®a thøc cña hai ®a thøc g1 = x1

2+3x1x2, g2 = 2x12+x2

2. Tõ çc b−íc trªn ta còng nhËn ®−îc

x13 = x1e1 - 3x1e2 + x2e2/2 - e3/2 = x1g1 - (6x1-x2)(2g1- g2)/12 - [(6x1+19x2)g2 - (12x1+2x2) g1]/38 = [(72x1+50x2)g1 - (140x1+95x2)g2]/228.

ViÖc sö dông çc hÖ ®a thøc gièng nh− c¬ së Groebner ®· xuÊt hiÖn tõ ®Çu thÕ kû nµy trong çc c«ng tr×nh cña Gordan, Macaulay, Hilbert. Ng−êi ®Çu tiªn thÊy ®−îc tÇm quan träng cña thuËt to¸n chia lµ nhµ to¸n häc ng−êi ¸o Groebner. ¤ng ®· ®Æt vÊn ®Ò tÝnh c¬ së Groebner lµm mét ®Ò tµi luËn ¸n phã tiÕn sÜ cho häc trß cña «ng lµ Buchberger.

N¨m 1970 Buchberger [B] t×m thÊy mét thuËt to¸n h÷u hiÖu ®Ó tÝnh c¬ së Groebner. Sau nµy ng−êi ta míi ph¸t hiÖn ra r»ng Groebner ®· biÕt nh÷ng nÐt c¬ b¶n cña thuËt to¸n nµy tõ nh÷ng n¨m 50. Cïng thêi gian nµy còng xuÊt hiÖn nh÷ng kü thuËt t−¬ng tù gièng nh− thuËt to¸n chia trong çc c«ng tr×nh cña Hironaka vÒ gi¶i kú dÞ, cña Grauert trong Gi¶i tÝch phøc vµ cña Cohn trong Lý thuyÕt vµnh kh«ng giao ho¸n.

C¬ së Groebner ®−îc nghiªn cøu ®óng thêi kú m¸y tÝnh ç nh©n ra ®êi vµ b¾t ®Çu trë nªn phæ cËp. Ngay lËp tøc ng−êi ta thÊy r»ng cã thÓ lËp tr×nh thuËt to¸n chia ®Ó gi¶i quyÕt çc bµi to¸n víi çc biÕn sè mµ ngµy nay ®−îc gäi tÝnh to¸n h×nh thøc (symbolic computation). B¶n th©n thuËt to¸n chia ®· chøa ®ùng nh÷ng thuËn lîi c¬ b¶n cho viÖc lËp tr×nh nh−:

• ViÖc x¾p xÕp thø tù çc h¹ng tö cña mét ®a thøc cho phÐp ta biÓu diÔn mét ®a thøc nh− mét vÐc t¬ çc hÖ sè vµ do ®ã ta cã thÓ ®−a d÷ liÖu vÒ çc ®a thøc vµo trong m¸y tÝnh mét çch dÔ dµng.

• ViÖc xÐt h¹ng tö lín nhÊt cña çc ®a thøc cho phÐp m¸y tÝnh chØ cÇn thö täa ®é ®Çu tiªn cña çc vÐc t¬ t−¬ng øng.

Cã thÓ tham kh¶o çc tµi liÖu [CLO] vµ [E] vÒ c¬ së Groebner vµ thuËt to¸n chia ®a thøc. HiÖn nay çc ch−¬ng tr×nh m¸y tÝnh to¸n häc lín nh− MATHEMATICA, MAPLE, v.v. ®Òu cã cµi ®Æt çc thuËt to¸n lµm viÖc víi c¬ së Groebner. Ngoµi ra cßn cã nh÷ng ch−¬ng tr×nh m¸y tÝnh chuyªn dông nh− MACAULAY, COCOA, v.v. ®−îc x©y dùng chñ yÕu dùa vµo kh¸i niÖm c¬ së Groebner nh»m gi¶i quyÕt viÖc tÝnh to¸n h×nh thøc trong H×nh häc ®¹i sè vµ §¹i sè giao ho¸n.

VÒ mÆt lý thuyÕt kh¸i niÖm c¬ së Groebner còng ®−a ra nh÷ng ph−¬ng ph¸p vµ vÊn ®Ò nghiªn cøu míi. Tr−íc tiªn ng−êi ta thÊy r»ng nhiÒu khi chØ cÇn xÐt tËp hîp çc çc h¹ng tö ®Çu cña c¬ së Groebner lµ ®ñ ®Ó cã çc th«ng tin cÇn thiÕt vÒ hÖ ®a thøc ban ®Çu. Cã thÓ thay

5

çc h¹ng tö nµy b»ng çc ®¬n thøc nªn thùc chÊt lµ ta ph¶i xÐt mét sè h÷u h¹n çc bé sè tù nhiªn øng víi çc sè mò cña çc biÕn trong çc ®¬n thøc. Ta cã thÓ coi çc bé sè tù nhiªn nµy nh− nh÷ng ®iÓm nguyªn lµ çc ®iÓm cã to¹ ®é lµ çc sè nguyªn. V× vËy nhiÒu bµi to¸n H×nh häc vµ §¹i sè cã thÓ quy vÒ viÖc xÐt çc tÝnh chÊt tæ hîp hay t« p« cña mét tËp hîp h÷u h¹n çc ®iÓm nguyªn. Sau ®©y t«i sÏ giíi thiÖu mét sè kÕt qu¶ vÒ nh÷ng øng dông cña c¬ së Groebner trong H×nh häc vµ §¹i sè.

3. BËc cña ®a t¹p ®Þnh thøc

Cho X = (xij) lµ mét ma trËn m×n çc biÕn sè vµ t ≤ min{m,n} lµ mét sè tù nhiªn tïy ý. Ta ký hiÖu víi It lµ hÖ çc minor bËc t cña X vµ Vt lµ tËp ngiÖm cña It. TËp Vt chØ lµ mét tr−êng hîp ®Æc biÖt cña líp çc ®a t¹p ®Þnh thøc lµ tËp nghiÖm cña çc lo¹i minor kh¸c nhau cña X. NÕu ta c¾t Vt víi mét sè h÷u h¹n çc siªu ph¼ng ë vÞ trÝ tæng qu¸t th× sÏ cã lóc ta nhËn ®−îc mét sè h÷u h¹n çc ®iÓm. Sè ®iÓm nµy chØ phô thuéc vµo Vt vµ ®−îc gäi lµ bËc cña Vt, ký hiÖu lµ deg Vt. Trong ®¹i sè th× ng−êi ta cßn dïng ký hiÖu sè béi e(It) thay cho deg Vt. Tõ ®Çu thÕ kû nµy ng−êi ta ®· biÕt c«ng thøc:

e(It) = ®Þnh thøc cña ma trËn (Cm-im+n-i-j)i,j=1,...,t-1.

PhÐp chøng minh c«ng thøc nµy qu¸ phøc t¹p vµ kh«ng thÓ øng dông ®Ó tÝnh bËc çc ®a t¹p ®Þnh thøc kh¸c.

GÇn ®©y ng−êi ta ph¸t hiÖn ra r»ng cã thÓ dïng c¬ së Groebner ®Ó tÝnh bËc çc ®a t¹p ®Þnh thøc vµ tõ ®©y ®· n¶y sinh ra nh÷ng mèi quan hÖ tuyÖt ®Ñp gi÷a h×nh häc, ®¹i sè, t« p« vµ tæ hîp. NÕu ta x¾p xÕp çc ®¬n thøc cña k[X] theo thø tù tõ ®iÓn th× ta cã thÓ chøng minh ®−îc tËp çc minor cÊp t lµ mét c¬ së Groebner cña It. Gi¶ sö M lµ minor cÊp t cña çc dßng i1 < ... <it vµ cét j1 < ... < jt th× sè h¹ng lín nhÊt cña M sÏ lµ xi1j1xi2j2...xitjt. Gäi Jt lµ hÖ çc h¹ng tö lín nhÊt cña çc minor cÊp t cña X. Theo mét kÕt qu¶ vÒ c¬ së Groebner th×

e(It) = e(Jt).

HÖ çc ®a thøc Jt chØ gåm çc ®¬n thøc kh«ng cã nh©n tö b×nh ph−¬ng. Ng−êi ta cã thÓ tÝnh sè béi cña hÖ nµy th«ng qua kh¸i niÖm t« p« sau ®©y (xem [Sta]). GØa sö J lµ mét hÖ çc ®¬n thøc kh«ng cã nh©n tö b×nh ph−¬ng trong vµnh ®a thøc k[x1,...,xn]. Ta cã thÓ øng víi J mét phøc ®¬n h×nh ∆J trªn mét tËp n ®Ønh cã cïng ký hiÖu x1,...,xn víi çc mÆt lµ çc ®¬n h×nh cã çc ®Ønh xi1,...,xis sao cho xi1...xis kh«ng chia hÕt cho bÊt kú mét ®¬n thøc nµo cña J. Cã thÓ tÝnh sè béi e(J) b»ng c«ng cô t« p« tæ hîp qua c«ng thøc sau ®©y:

e(J) = sè çc mÆt cã chiÒu cùc ®¹i cña ∆J.

VÝ dô. Gi¶ sö J lµ mét i®ªan trong k[x1,x2,x3,x4] ®−îc sinh bëi ®¬n thøc x1x2x3. Khi ®ã ∆J sÏ cã d¹ng sau:

x1

x4 x2 x3

Phøc ∆J cã 3 mÆt cã chiÒu cùc ®¹i b»ng 2 lµ {x1x2x4},{x1x3x4},{x2x3x4}.

Quay trë vÒ tr−êng hîp J = Jt ta thÊy ∆J lµ phøc ®¬n h×nh trªn tËp ®Ønh X víi çc mÆt øng víi çc ®¬n thøc kh«ng chia hÕt cho bÊt kú mét ®¬n thøc nµo cã d¹ng xi1j1xi2j2...xitjt. §Ó cã thÓ m« t¶ ®−îc çc mÆt cã chiÒu cùc ®¹i cña ∆J ta h·y t−ëng t−îng X nh− mét h×nh kÎ « vu«ng víi çc giao ®iÓm (i,j) øng víi çc ®Ønh xij. Gäi Pi lµ çc ®iÓm (m,i) vµ Qj lµ çc ®iÓm (j,n), i, j =

6

1,...,t-1. Ta sÏ gäi mét ®−êng gÊp khóc d ®i tõ Pi ®Õn Qj lµ mét lèi ®i (path) nÕu to¹ ®é thø nhÊt cña çc ®iÓm trªn d gi¶m dÇn vµ to¹ ®é thø hai cña çc ®iÓm trªn d t¨ng dÇn.

(1,1) (1,n)

Qj = (j,n)

lèi ®i

(m,1) Pi = (m,i) (m,n)

§Þnh lý [HT]. Mçi mét mÆt cã chiÒu cùc ®¹i cña ∆J lµ mét hîp t-1 lèi ®i kh«ng giao nhau tõ Pi ®Õn Qi, i = 1,...,t-1.

Theo çc kÕt qu¶ trong Tæ hîp th× sè lèi ®i tõ Pi ®Õn Qj lµ Cm-im+n-i-j vµ sè çc bé t-1 lèi ®i

kh«ng giao nhau tõ Pi ®Õn Qi, i = 1,...,t-1, lµ ®Þnh thøc cña ma trËn

(Cm-im+n-i-j)i,j=1,...,t-1.

Tõ ®©y ta sÏ nhËn ®−îc c«ng thøc tÝnh bËc cña ®a t¹p ®Þnh thøc Vt nh− ®· nªu ë trªn. Dùa theo ph−¬ng ph¸p nµy ng−êi ta còng tÝnh ®−îc bËc cña tÊt c¶ çc ®a t¹p ®Þnh thøc quen biÕt. HiÖn nay viÖc tÝnh sè çc lèi ®i kh«ng giao nhau trong mét vïng kÎ « kh«ng cã d¹ng h×nh ch÷ nhËt ®ang lµ mét vÊn ®Ò thêi sù trong H×nh häc còng nh− trong Tæ hîp.

4. Tam gi¸c ho¸ mét ®a diÖn nguyªn

Cho P ⊂ Rr lµ mét ®a diÖn nguyªn, cã nghÜa lµ çc ®Ønh cña P cã täa ®é lµ çc ®iÓm nguyªn. Ta ký hiÖu víi LP lµ tËp hîp çc ®iÓm nguyªn trong P. Mét tam gi¸c ho¸ cña ∆ (triangulation) cña P lµ mét sù ph©n chia ®a diÖn P thµnh çc ®¬n diÖn cã ®Ønh lµ çc ®iÓm nguyªn cña LP. BËc cña ∆ lµ sè ®Ønh lín nhÊt cña çc ®¬n diÖn nhá nhÊt cã ®Ønh trong LP mµ kh«ng thuéc ∆. Tam gi¸c ho¸ ∆ ®−îc gäi lµ chÝnh quy nÕu cã mét hµm låi liªn tôc f: P → R+ tuyÕn tÝnh trªn tõng ®¬n diÖn cña ∆. Tam gi¸c ho¸ ∆ ®−îc gäi lµ ®ång ®iÖu (unimodular) nÕu çc ®a diÖn ®¬n cña ∆ ®Òu cã thÓ tÝch lµ 1/r! lµ thÓ tÝch nhá nhÊt cã thÓ cã ®−îc cña mét ®a diÖn ®¬n cã ®Ønh lµ çc ®iÓm nguyªn. Mäi ®a diÖn nguyªn trong R2 ®Òu cã nh÷ng tam gi¸c ho¸ ®ång ®iÖu. §iÒu nµy kh«ng cßn ®óng n÷a nÕu r > 2.

VÝ dô. NÕu P lµ tam gi¸c trong R2 cã ®Ønh lµ çc (0,0), (1,2), (2,1) th× P chØ cã mét tam gi¸c ho¸ ®ång ®iÖu ∆ vµ tam gi¸c ho¸ nµy lµ chÝnh quy cã bËc lµ 3 v× tam gi¸c cã çc ®Ønh lµ x1, x2,

x3 lµ ®¬n diÖn duy nhÊt cã ®Ønh trong LP mµ kh«ng thuéc ∆.

f(x2) f(x3)

x2 f(x1)

x4

x3 f(x4)

x2 x4 x3

x1= (0,0) x1

Kh¸i niÖm t−¬ng øng víi çc ®a diÖn nguyªn trong h×nh häc lµ çc ®a t¹p xuyÕn x¹ ¶nh. Gi¶ sö n = #LP

vµ EP lµ tËp hîp çc ®iÓm nguyªn cã d¹ng (z,1), z ∈ LP, trong Rr+1. øng víi çc

7

phÇn tö (α1,..., αr+1) cña tËp xuyÕn (k*)r+1 ng−êi ta cã mét ®iÓm trong kh«ng gian x¹ ¶nh Pkn+1

cã täa ®é lµ çc phÇn tö α1a1... αr

arαr+1, (a1,...,ar) ∈ EP. TËp hîp çc ®iÓm nµy ®−îc gäi lµ ®a t¹p xuyÕn VP cña P. §©y lµ mét ®èi t−îng nghiªn cøu quan träng cña m«n H×nh häc ®¹i sè. Theo çc kÕt qu¶ cña Kempf-Knudsen-Mumford-SaintDonald vµ Gelfand-Kapranov-Zelevinsky (xem [Stu]) th× ®a t¹p xuyÕn VP sÏ cã nhiÒu tÝnh chÊt h×nh häc tèt nÕu ®a diÖn nguyªn P cã mét tam gi¸c ho¸ ®ång ®iÖu vµ chÝnh quy.

Trong ®¹i sè ng−êi ta quan t©m ®Õn hÖ IP gåm çc ®a thøc n biÕn triÖt tiªu t¹i mäi ®iÓm cña ®a t¹p xuyÕn VP. Cø øng víi mét c¬ së Groebner cña IP th× ng−êi ta cã mét tam gi¸c ho¸ chÝnh quy ∆ cña vµ tam gi¸c ho¸ nµy lµ ®ång ®iÖu khi vµ chØ khi çc h¹ng tö lín nhÊt cña c¬ së Groebner t−¬ng øng ®−îc x¸c ®Þnh bëi tËp çc ®a diÖn ®¬n cã ®Ønh trong LP kh«ng thuéc vµo ∆.

VÝ dô. Trong vÝ dô trªn IP cã mét c¬ së Groebner (t−¬ng øng víi tam gi¸c ho¸ ®ång ®iÖu chÝnh quy ∆ cña P) lµ x1x2x3 - x4

3 víi h¹ng tö lín nhÊt lµ x1x2x3 (t−¬ng øng víi tam gi¸c cã çc ®Ønh lµ x1, x2, x3 lµ ®¬n diÖn duy nhÊt cã ®Ønh trong LP mµ kh«ng thuéc ∆).

NÕu P cã mét tam gi¸c ho¸ ®¬n ®iÖu chÝnh quy bËc 2 th× IP cã mét c¬ së Groebner chØ gåm çc ®a thøc cã bËc lµ 2. Khi ®ã th× ta sÏ nhËn ®−îc tõ IP mét ®¹i sè Koszul lµ mét kh¸i niÖm cã xuÊt xø tõ Lý thuyÕt nhãm l−îng tö. V× vËy ng−êi ta rÊt quan t©m ®Õn viÖc t×m çc líp ®a diÖn nguyªn cã tam gi¸c ho¸ ®ång ®iÖu vµ chÝnh quy bËc 2.

§Þnh lý [BGT]. Gi¶ sö P lµ mét ®a diÖn nguyªn trong R2 sao cho nã chøa Ýt nhÊt 3 ®iÓm nguyªn. Çc ®iÒu kiÖn sau lµ t−¬ng ®−¬ng: (i) P cã mét tam gi¸c ho¸ ®ång ®iÖu chÝnh quy bËc 2. (ii) Biªn cña P cã Ýt nhÊt 4 ®iÓm nguyªn.

Cuèi cïng t«i xin kÕt thóc bµi b¸o nµy víi bµi to¸n “s¬ cÊp” sau ®©y. Víi mäi sè tù nhiªn c ta ký hiÖu víi cP lµ ®a diÖn nguyªn cã çc ®Ønh cã to¹ ®é lµ béi c lÇn to¹ ®é çc ®Ønh cña P.

Gi¶ thuyÕt. Tån t¹i mét sè c > 1 sao cho ®a diÖn nguyªn cP cã mét tam gi¸c ho¸ ®ång ®iÖu chÝnh quy.

¸p dông ®Þnh lý trªn ta thÊy ngay lµ gi¶ thuyÕt nµy ®óng víi r = 2 víi c = 2.

Tµi liÖu tham kh¶o

[BGT] W. Bruns, J. Gubeladze, N.V. Trung, Normal polytopes, triangulations, and Koszul algebras, J. Reine Angew. Math. 485 (1997), 123-160 [B] B. Buchberger, An algorithmic criterion for the solvalbility of algebraic systems of equations, Aequationes Math. 4 (1970), 374-383. [CLO] D. Cox, J. Little vµ D. O’Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer 1991. [E] D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View toward Algebraic Gemetry, Springer 1994. [HT] J. Herzog vµ N.V. Trung, Groebner bases and multiplicity of determinantal and Pfaffian ideals, Advances in Math. 96 (1992),1-37. [Sta] R. Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra, Birkhauser 1983. [Stu] B. Sturmfels, Groebner Bases and Convex Polytopes, Univ. Lect. Ser. 8, Amer. Math. Soc. 1995.

Lêi Toµ so¹n: Giíi thiÖu mét h−íng nghiªn cøu, mét ph−¬ng ph¸p gi¶ng d¹y, quan ®iÓm, kinh nghiÖm vÒ viÖc nghiªn cøu to¸n, häc to¸n, ... lµ nh÷ng ®Ò tµi thó vÞ, gióp cho mçi ®éc gi¶ cã tÇm nh×n réng h¬n vÒ to¸n. Chóng t«i hi väng s¾p tíi sÏ nhËn vµ ®¨ng ®−îc nhiÒu bµi giíi thiÖu nh− vËy.


N¨m To¸n Häc ThÕ Giíi 2000



Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

. 1

Gi¶i th−ëng wolf

NguyÔn Duy TiÕn vµ Vò TiÕn ViÖt (§HKHTN Hµ Néi) ThÕ giíi cã nhiÒu gi¶i th−ëng dµnh cho çc nhµ to¸n häc. Gi¶i th−ëng Fields lµ gi¶i th−ëng lín nhÊt trao cho çc nhµ to¸n häc xuÊt s¾c d−íi 40 tuæi. Cã lÏ gi¶i th−ëng lín thø hai trao cho çc nhµ to¸n häc lçi l¹c lµ gi¶i th−ëng Wolf (kh«ng h¹n chÕ tuæi). 1. Th«ng tin ®¹i c−¬ng

Quü tµi trî Wolf b¾t ®Çu ho¹t ®éng tõ n¨m 1976 víi ng©n quü ban ®Çu lµ 10 triÖu USD. Toµn bé sè tiÒn nµy do dßng hä Wolf cèng hiÕn. TiÕn sÜ Ricardo Subirana Lobo Wolf vµ bµ Francisca (vî «ng) lµ nh÷ng ng−êi thµnh lËp vµ tµi trî chÝnh cho quü nµy. Sè tiÒn trªn ®−îc ®Çu t− vµ chØ dïng thu nhËp hµng n¨m ®Ó trao gi¶i, cÊp häc bæng vµ trang tr¶i çc kho¶n chi phÝ cho quü. Quü tµi trî Wolf ®−îc ®iÒu hµnh theo “LuËt quü tµi trî Wolf 1975” vµ çc ho¹t ®éng cña nã do mét “Ban ®iÒu hµnh Israel” cai qu¶n. Mçi n¨m cã 5 hoÆc 6 gi¶i th−ëng Wolf ®−îc trao cho çc nhµ khoa häc hoÆc nghÖ sÜ xuÊt chóng, kh«ng ph©n biÖt quèc tÞch, s¾c téc, t«n gi¸o, giíi tÝnh hoÆc quan ®iÓm chÝnh trÞ, v× nh÷ng cèng hiÕn phôc vô loµi ng−êi vµ v× t×nh h÷u nghÞ gi÷a çc d©n téc. Çc lÜnh vùc khoa häc ®−îc xÐt trao gi¶i lµ: N«ng nghiÖp, Ho¸ häc, To¸n häc, Y häc vµ VËt lý. Çc lÜnh vùc nghÖ thuËt ®−îc xÐt trao gi¶i lu©n phiªn hµng n¨m lµ: ¢m nh¹c, Héi ho¹, §iªu kh¾c vµ KiÕn tróc. Gi¶i th−ëng cho mçi lÜnh vùc gåm cã b»ng vµ 100 ngh×n USD (trÞ gi¸ gÊp 10 lÇn gi¶i th−ëng Fields!). Trong tr−êng hîp 2 hoÆc 3 ng−êi cïng nhËn chung mét gi¶i

th× sè tiÒn th−ëng ®−îc chia ®Òu cho m«Ü ng−êi. Nh÷ng ng−êi ®−îc gi¶i th−ëng Wolf do mét héi ®ång gi¶i th−ëng quèc tÕ lùa chän. Héi ®ång nµy gåm 3 hoÆc 5 thµnh viªn lµ nh÷ng nhµ khoa häc vµ chuyªn m«n næi tiÕng trong mçi lÜnh vùc. Mçi n¨m cã mét héi ®ång míi ®−îc chØ ®Þnh. C«ng viÖc cña héi ®ång, biªn b¶n vµ nhËn xÐt cña mçi thµnh viªn ®−îc gi÷ hoµn toµn bÝ mËt. ChØ c«ng bè c«ng khai tªn cña nh÷ng ng−êi ®−îc gi¶i vµ lÝ do dÉn ®Õn quyÕt ®Þnh cña héi ®ång. Çc quyÕt ®Þnh cña héi ®ång gi¶i th−ëng lµ tèi cao vµ kh«ng ®−îc thay ®æi. Buæi chÝnh thøc giíi thiÖu gi¶i th−ëng ®−îc tæ chøc t¹i toµ nhµ Quèc héi Israel vµ ®Ých th©n Tæng thèng Nhµ n−íc Israel trao gi¶i th−ëng tËn tay nh÷ng ng−êi ®−îc gi¶i trong mét buæi lÔ träng thÓ. TÝnh tõ n¨m 1978 ®Õn n¨m 1997 ®· cã 165 ng−êi ®−îc nhËn gi¶i th−ëng Wolf, trong sè ®ã cã 33 ng−êi thuéc lÜnh vùc to¸n häc. Quü tµi trî Wolf cßn cÊp häc bæng, trî cÊp cho sinh viªn vµ çc nhµ khoa häc Israel. V× lµ tæ chøc tõ thiÖn, nªn quü ttµi trî Wolf ®−îc miÔn thuÕ. 2. TiÓu sö s¬ l−îc cña TiÕn sÜ Ricardo Wolf (1887-1981)

TiÕn sÜ Ricardo Wolf sinh n¨m 1887 t¹i Hannover, §øc, lµ mét trong 14 ng−êi con cña Moritz Wolf, ng−êi trô cét cña céng ®ång do th¸i ë thµnh phè nµy. T«n träng gi¸o dôc, ®¹o lý vµ çc gi¸ trÞ thÈm mü lµ di s¶n quý gi¸ mµ ng−êi cha ®Ó l¹i cho çc con. Ricardo Wolf ®· gi÷ g×n di s¶n nµy trong suèt cuéc sèng rÊt thä cña «ng.

. 2

Ricardo Wolf tèt nghiÖp ®¹i häc vÒ ho¸ häc ë §øc vµ tr−íc chiÕn tranh thÕ giíi lÇn thø nhÊt «ng di c− sang Cuba, ®Êt n−íc nµy ®· trë thµnh quª h−¬ng thø hai cña «ng. N¨m 1924 «ng lÊy bµ Francisca Subirana, n÷ v« ®Þch quÇn vît cña nh÷ng n¨m 1920. Suèt gÇn 20 n¨m Ricardo Wolf lµm viÖc ®Ó ph¸t triÓn qu¸ tr×nh lÊy s¾t ra tõ chÊt th¶i cña qu¸ tr×nh luyÖn kim. Cuèi cïng «ng ®· thµnh c«ng vµ ph¸t kiÕn cña «ng ®−îc dïng trong çc nhµ m¸y thÐp trªn toµn thÕ giíi. §iÒu nµy mang l¹i cho Ricardo Wolf mét nguån thu nhËp lín. Cïng víi thµnh c«ng trong kinh tÕ, Ricardo Wolf kh«ng bao giê quªn nh÷ng nguyªn t¾c lµm ng−êi tõ thêi cßn trÎ. §iÒu nµy h−íng «ng tíi quyÕt ®Þnh gióp Fidel Castro trªn c¶ hai ph−¬ng diÖn ®¹o ®øc vµ kinh tÕ ngay tõ buæi ®Çu cña çch m¹ng Cuba. Fidel Castro rÊt biÕt ¬n «ng, th−êng trao ®æi th− tõ víi «ng, tÆng «ng nh÷ng vËt kû niÖm. N¨m 1961, Theo yªu cÇu cña TiÕn sÜ Ricardo Wolf, Fidel Castro cö «ng lµm §¹i sø Cu ba ë Israel. ¤ng gi÷ chøc vô nµy cho ®Õn n¨m 1973, thêi k× ®ã Cuba cã quan hÖ kh¨ng khÝt víi Israel. Sau khi hoµn thµnh nhiÖm vô ngo¹i giao cña m×nh, TiÕn sÜ Ricardo Wolf quyÕt ®Þnh ë l¹i Israel vµ sèng ®Õn cuèi ®êi ë ®ã. Quü tµi trî Wolf do «ng lËp ra n¨m 1975, ®èi víi TiÕn sÜ Ricardo Wolf ®©y lµ mét dù ¸n ho¹t ®éng tõ thiÖn v× loµi ng−êi kh«ng ph©n biÖt chñng téc, ®iÒu nµy kh«ng n»m ngoµi lÏ sèng cña «ng. Th¸ng 2 n¨m 1981 TiÕn sÜ Ricardo Wolf tõ trÇn t¹i biÖt thù cña «ng ë Herzlia vµ gÇn mét th¸ng sau vî «ng, bµ Francisca, còng qua ®êi. 3. Danh s¸ch çc nhµ to¸n häc ®· ®−îc nhËn gi¶i th−ëng Wolf

N¨m 1978: - Izrael M. Gelfand, §¹i häc Tæng hîp quèc gia Matxc¬va, Liªn x«, do nh÷ng c«ng tr×nh cña «ng vÒ Gi¶i tÝch hµm, BiÓu

diÔn nhãm vµ do nh÷ng ®ãng gãp cã ¶nh h−ëng lín cña «ng tíi nhiÒu lÜnh vùc cña to¸n häc vµ øng dông cña chóng. - Carl L. Siegel, §¹i häc Tæng hîp Georg-August, Gottingen, T©y §øc, do nh÷ng ®ãng gãp cña «ng vµo Lý thuyÕt sè, Lý thuyÕt hµm nhiÒu biÕn phøc vµ C¬ häc vò trô. N¨m 1979: - Jean Leray, College de France, Paris, Ph¸p, do nh÷ng c«ng viÖc cã tÝnh më ®−êng cña «ng trong viÖc ph¸t triÓn vµ ¸p dông çc ph−¬ng ph¸p T«p« vµo viÖc nghiªn cøu Ph−¬ng tr×nh vi ph©n. - AndrÐ Weil, ViÖn nghiªn cøu cÊp cao Princeton, Mü, do sù më ®Çu ®Çy c¶m høng cña «ng trong viÖc ®−a çc ph−¬ng ph¸p §¹i sè, H×nh häc vµo Lý thuyÕt sè. N¨m 1980: - Henri Cartan, §¹i häc tæng hîp Paris, Ph¸p, do c«ng viÖc cã tÝnh më ®−êng cña «ng trong T«p« §¹i sè, Hµm nhiÒu biÕn phøc, §¹i sè ®ång ®iÒu vµ do sù h−íng dÉn cña «ng trong viÖc ®µo t¹o çc nhµ to¸n häc. - Andrei N. Kolmogorov, §¹i häc Tæng hîp quèc gia Matxc¬va, Liªn x«, do nh÷ng kh¸m ph¸ s©u s¾c vµ ®éc d¸o cña «ng trong Gi¶i tÝch Fourier, Lý thuyÕt X¸c suÊt, §Þnh lý ergodic vµ HÖ ®éng häc. N¨m 1981: - Lars V. Ahlfors, §¹i häc Tæng hîp Harvard, Cambridge, Mü, do nh÷ng kh¸m ph¸ cã ¶nh h−ëng lín vµ nh÷ng s¸ng t¹o cña «ng vÒ çc ph−¬ng ph¸p míi rÊt m¹nh trong Lý thuyÕt hµm h×nh häc. - Oscar Zariski, §¹i häc Tæng hîp Harvard, Cambridge, Mü, lµ ng−êi t¹o ra xÊp xØ hiÖn ®¹i cho H×nh häc ®¹i sè b»ng sù gÇn gòi nã víi §¹i sè giao ho¸n. N¨m 1982: - Hassler Whitney, ViÖn nghiªn cøu cÊp cao Princeton, Mü, do nh÷ng c«ng

. 3

tr×nh c¬ b¶n cña «ng trong T«p« ®¹i sè, H×nh häc vi ph©n vµ T«p« vi ph©n. - Mark G. Krein, ViÖn hµn l©m khoa häc Ucraina, Odessa, Liªn x«, do nh÷ng ®ãng gãp c¬ b¶n cña «ng cho Gi¶i tÝch hµm vµ øng dông cña nã. N¨m 1983/84: - Shing S. Chern, §¹i häc Tæng hîp Carlifornia, Berkeley, Mü, do nh÷ng ®ãng gãp næi tiÕng cho H×nh häc vi ph©n toµn côc, mµ chóng cã ¶nh h−ëng s©u s¾c tíi toµn bé to¸n häc. - Paul Erdös, ViÖn hµn l©m khoa häc Hungary, Budapest, Hungary, do nhiÒu ®ãng gãp cña «ng cho Lý thuyÕt sè, Tæ hîp, X¸c suÊt, Lý thuyÕt tËp hîp, Gi¶i tÝch to¸n häc vµ do sù khuyÕn khÝch ç nh©n víi çc nhµ to¸n häc trªn kh¾p thÕ giíi. N¨m 1984/85: - Kunihiko Kodaira, ViÖn hµn l©m NhËt B¶n, Tokyo, NhËt B¶n, do nh÷ng ®ãng gãp næi tiÕng cho viÖc nghiªn cøu §a t¹p phøc vµ §a t¹p ®¹i sè. - Hans Lewy, §¹i häc Tæng hîp California, Berkeley, Mü, do nhiÒu khëi x−íng cã tÝnh kinh ®iÓn vµ cèt yÕu ®èi víi sù ph¸t triÓn cña Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. N¨m 1986: - Samuel Eilenberg, §¹i häc Tæng hîp Columbia, New York, Mü, do nh÷ng c«ng tr×nh c¬ b¶n cña «ng trong T«p« ®¹i sè vµ §¹i sè ®ång ®iÒu. - Atle Selberg, ViÖn nghiªn cøu cÊp cao Princeton, Mü, do nh÷ng c«ng tr×nh s©u s¾c vµ ®äc ®¸o cña «ng vÒ Lý thuyÕt sè, Nhãm rêi r¹c vµ Çc d¹ng tù ®¼ng cÊu. N¨m 1987: - Kiyoshi Ito, §¹i häc Tæng hîp Kyoto, NhËt B¶n, do nh÷ng ®ãng gãp c¬ b¶n cho Lý thuyÕt X¸c suÊt thuÇn tuý vµ øng dông, ®Æc biÖt lµ sù s¸ng t¹o ra phÐp tÝnh vi ph©n vµ tÝch ph©n ngÉu nhiªn.

- Peter D. Lax, §¹i häc tæng hîp New York, Mü, do nh÷ng ®ãng gãp næi tiÕng cña «ng cho nhiÒu lÜnh vùc cña Gi¶i tÝch vµ To¸n øng dông. N¨m 1988: - Friedrich Hirzebruch, ViÖn Max-Plank vµ §¹i häc tæng hîp Bonn, T©y §øc, do nh÷ng c«ng tr×nh næi tiÕng vÒ T«p« tæ hîp, Lý thuyÕt sè ®¹i sè vµ do sù khuyÕn khÝch cña «ng ®èi víi viÖc hîp t¸c nghiªn cøu to¸n häc. - Lars Hörmander, §¹i häc Tæng hîp Lund, Thôy §iÓn, do nh÷ng c«ng tr×nh c¬ b¶n trong Gi¶i tÝch hiÖn ®¹i, ®Æc biÖt lµ sù ¸p dông to¸n tö gi¶ vi ph©n vµ to¸n tö tÝch ph©n Fourier cho Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh. N¨m 1989: - Alberto P. Calderon, §¹i häc Tæng hîp Chicago, Mü, do nh÷ng c«ng tr×nh mang l¹i sù thay ®æi c¨n b¶n vÒ To¸n tö tÝch ph©n kú dÞ vµ ¸p dông chóng vµo çc bµi to¸n cña Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. - Jonh W. Milnor, ViÖn nghiªn cøu cÊp cao Princeton, Mü, do nh÷ng kh¸m ph¸ ®éc ®¸o, tµi t×nh ë møc ®é cao trong H×nh häc, mµ chóng më ra nh÷ng viÔn c¶nh míi, quan träng trong T«p«, tõ çc quan ®iÓm §¹i sè, Tæ hîp vµ vi ph©n. N¨m 1990: - Ennio de Giorgi, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy, do nh÷ng ý t−ëng míi vµ nh÷ng thµnh tùu c¬ b¶n trong Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng vµ PhÐp tÝnh biÕn ph©n. - Ilya Piatetski-Shapiro, §¹i häc Tæng hîp Tel-Aviv, Israel, do nh÷ng ®ãng gãp c¬ b¶n trong MiÒn phøc thuÇn nhÊt, Nhãm rêi r¹c, Lý thuyÕt biÓu diÔn vµ Çc d¹ng tù ®¼ng cÊu. N¨m 1991: Kh«ng trao gi¶i. N¨m 1992:

. 4

- Lennard A. E. Carleson, §¹i häc Tæng hîp Uppsala, Thôy §iÓn vµ U. C. L. A., Los Angeles, Mü, do nh÷ng ®ãng gãp c¬ b¶n cña «ng cho Gi¶i tÝch Fourier, Gi¶i tÝch phøc, ¸nh x¹ tùa b¶o gi¸c vµ Çc hÖ ®éng häc. - Jonh G. Thompson, §¹i häc Tæng hîp Cambridge, Anh, do nh÷ng ®ãng gãp s©u s¾c cho tÊt c¶ çc h−íng cña Lý thuyÕt nhãm h÷u h¹n vµ mèi liªn hÖ víi çc nh¸nh kh¸c cña to¸n häc. N¨m 1993: - Mikhail Gromov, ViÖn nghiªn cøu khoa häc cÊp cao (IHES) Bures-sur-Yvette, Ph¸p, do nh÷ng ®ãng gãp cã tÝnh çch m¹ng cho H×nh häc ®èi ngÉu vµ Riemman toµn côc, T«p« ®¹i sè, Lý thuyÕt nhãm h×nh häc vµ Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. - Jacques Tits, College de France, Paris, Ph¸p, do nh÷ng ®ãng gãp c¬ b¶n vµ më ®−êng cho Lý thuyÕt çc cÊu tróc ®¹i sè vµ çc líp kh¸c cña nhãm, ®Æc biÖt lµ cho Lý thuyÕt çc cÊu tróc. N¨m 1994/95: - Jurgen K. Moser, HiÖp héi çc viÖn c«ng nghÖ (ETH) Thôy SÜ, Zurich, Thôy SÜ, do nh÷ng c«ng tr×nh c¬ b¶n cña «ng vÒ sù æn ®Þnh trong C¬ häc Hamilton vµ do nh÷ng ®ãng gãp s©u s¾c vµ thuyÕt phôc cña «ng cho Ph−¬ng tr×nh vi ph©n phi tuyÕn. N¨m 1995/96: - Robert Langlands, ViÖn nghiªn cøu cÊp cao Princeton, Mü, do nh÷ng c«ng tr×nh ®Æc biÖt xuÊt s¾c vµ kú diÖu cña «ng trong çc lÜnh vùc Lý thuyÕt sè, Çc d¹ng tù ®¼ng cÊu vµ BiÓu diÔn nhãm.

- Andrew J. Wiles, §¹i häc Tæng hîp Princeton, Mü, do nh÷ng ®ãng gãp ngo¹n môc cña «ng cho Lý thuyÕt sè vµ çc lÜnh vùc liªn quan, nhÊt lµ viÖc gi¶i quyÕt ®Þnh lÝ cuèi cïng næi tiÕng cña Fermat. N¨m 1996/97: - Josef B. Keller, §¹i häc Tæng hîp Stanford, California, Mü, do nh÷ng ®ãng gãp míi mÎ vµ s©u s¾c cña «ng cho çc lÜnh vùc §iÖn tõ, Quang häc, L−îng tö vµ C¬ häc thèng kÕ. - Yakov G. Sinai, §¹i häc Tæng hîp Princeton, Mü vµ ViÖn VËt lÝ lÝ thuyÕt Landau, Matxc¬va, Nga, do nh÷ng ®ãng gãp cña «ng cho çc ph−¬ng ph¸p to¸n häc chÝnh x¸c trong C¬ häc thèng kª, Lý thuyÕt ergodic cña çc hÖ ®éng häc vµ øng dông cña chóng trong VËt lÝ. N¨m 1999 - L¸szlã Lov¸sz, §¹i häc tæng hîp Yale, Mü, ViÖn sÜ th«ng tÊn ViÖn hµn l©m khoa häc Hungari, do nh÷ng kÕt qu¶ ®ét ph¸ trong To¸n häc rêi r¹c cã øng dông trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c cña to¸n lÝ thuyÕt vµ øng dông còng nh− trong Tin häc lÝ thuyÕt. - Elias M. Stein, §¹i häc tæng hîp Princeton, Mü, v× nh÷ng cèng hiÕn c¬ b¶n trong Gi¶i tÝch to¸n häc theo nghÜa rÊt réng Tµi liÖu tham kh¶o - Theory of probability and its applications 42(1997), 717-719. - Notices of AMS 46(1999), 566-567.


N¨m To¸n Häc ThÕ Giíi 2000



Pierre Fermat (1601-1665)

1

C©u chuyÖn hÊp dÉn vÒ bµi to¸n Phec-ma

TrÇn V¨n Nhung

Kho¶ng hai n¨m tr−íc ®©y, bµ Barbara Stewart, Chñ tÞch Liªn minh doanh nghiÖp Hoa Kú v× nÒn gi¸o dôc ViÖt Nam (BAVE), ®· tÆng chóng t«i cuèn s¸ch “Fermat’s Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem” cña t¸c gi¶ Amir D. Aczel, do Nhµ XuÊt b¶n “Four Walls Eight Windows” (FWEW, New York) Ên hµnh n¨m 1996 (147 trang). §©y lµ mét c©u chuyÖn hÊp dÉn ®−îc viÕt mét çch tµi t×nh: võa ®¹i chóng l¹i võa hµn l©m, dï lµ ng−êi lµm to¸n hay kh«ng lµm to¸n ai còng cã thÓ hiÓu ®−îc. §−îc phÐp cña Nhµ XuÊt b¶n FWEW, chóng t«i ®· dÞch cuèn s¸ch nµy sang tiÕng ViÖt vµ Nhµ XuÊt b¶n Gi¸o dôc (ViÖt Nam) s¾p in xong b¶n dÞch. Trong bµi nµy chóng t«i xin ®−îc giíi thiÖu víi b¹n ®äc mét sè ®o¹n cña cuèn s¸ch dÞch. Chóng t«i xin c¶m ¬n bµ Barbara Stewart, Nhµ XuÊt b¶n FWEW vµ GS.TSKH. Hµ Huy Kho¸i (ViÖn To¸n häc - Trung t©m KHTN & CN QG) v× nh÷ng gãp ý quý b¸u mµ GS. dµnh cho chóng t«i trong qu¸ tr×nh dÞch thuËt.

TS. Amir D. Aczel, Gi¸o s− Tr−êng §¹i häc Tæng hîp Berkeley (Hoa Kú) kÓ l¹i:

Th¸ng 6 n¨m 1993, Tom Schulte, mét ng−êi b¹n cò cña t«i ë California ®· ®Õn Boston th¨m t«i. Chóng t«i ngåi ë mét qu¸n cµ phª trµn ®Çy ¸nh n¾ng trªn phè Newbury víi çc ly ®å uèng l¹nh ë tr−íc mÆt. Tom míi ly dÞ vî vµ anh mang mét vÎ mÆt trÇm ng©m. Anh quay vÒ phÝa t«i. “DÉu sao”, anh nãi, “§Þnh lý cuèi cïng cña Fermat còng ®· ®−îc chøng minh”. L¹i mét trß ®ïa míi, t«i nghÜ trong khi T«m l¹i nh×n ra vØa hÌ.

Hai m−¬i n¨m tr−íc, T«m vµ t«i lµ hai ng−êi b¹n ë chung mét phßng, c¶ hai chóng t«i cïng lµ sinh viªn to¸n cña tr−êng §¹i häc tæng hîp California t¹i Berkeley. §Þnh lý Fermat lµ ®Ò tµi chóng t«i th−êng bµn luËn. Chóng t«i còng th−êng tranh luËn vÒ hµm sè, vÒ tËp hîp, vÒ tr−êng sè, vµ c¶ vÒ T«p« n÷a. Ban ®ªm ch¼ng sinh viªn to¸n nµo ®i ngñ sím v× çc bµi tËp rÊt khã. §«i khi chóng t«i ph¸t ®iªn ®Çu víi to¸n häc..., cè chøng minh ®Þnh lý nµy hoÆc ®Þnh lý kia ®Ó nép ®óng h¹n vµo s¸ng ngµy h«m sau. Cßn §Þnh lý Fermat th× sao? Ch¼ng bao giê chóng t«i tin lµ chóng t«i sÏ chøng minh ®−îc. Mét ®Þnh lý míi khã lµm sao vµ suèt h¬n 350 n¨m biÕt bao ng−êi ®· cè g¾ng chøng minh. Chóng t«i ®· ph¸t hiÖn ra mét ®iÒu lý thó lµ kÕt qu¶ cña çc nç lùc nh»m chøng minh ®Þnh lý nµy ®· lµm cho tÊt c¶ çc bé m«n to¸n häc ph¸t triÓn. Nh−ng mäi cè g¾ng lÇn l−ît ®Òu thÊt b¹i, hÕt ng−êi nµy ®Õn ng−êi kh¸c. §Þnh lý Fermat ®· trë thµnh biÓu t−îng cho môc tiªu mµ con ng−êi kh«ng thÓ nµo ®¹t tíi ®−îc. ThËm chÝ cã lÇn t«i ®· dïng tÝnh kh«ng chøng minh ®−îc cña ®Þnh lý nµy ®Ó t¹o lîi thÕ cho m×nh. ChuyÖn lµ vµi n¨m sau, còng t¹i Berkely, t«i tiÕp tôc lµm b»ng Th¹c sÜ sau khi ®· tèt nghiÖp ®¹i häc. Mét g· sinh viªn sau ®¹i häc ngµnh to¸n ch−a quen biÕt tá ý muèn gióp t«i lµm to¸n khi chóng t«i gÆp nhau ë Ký tóc x¸ Quèc tÕ - n¬i hai chóng t«i cïng ë. “T«i lµm to¸n häc lý thuyÕt.”, - anh ta nãi, “nÕu gÆp vÊn ®Ò to¸n häc nµo mµ anh kh«ng thÓ gi¶i quyÕt ®−îc, h·y cø hái t«i, ®õng ng¹i.” Lóc anh ta chuÈn bÞ ®i t«i nãi "Hm, v©ng. Cã vÊn ®Ò mµ anh cã thÓ gióp t«i..." Anh ta quay l¹i hái "G× vËy? Ch¾c ch¾n lµ t«i sÏ gióp. H·y cho

2

t«i biÕt viÖc g× nµo." T«i víi lÊy mét tê giÊy ¨n vµ më ra - lóc ®ã chóng t«i ®ang ë trong phßng ¨n. T«i chËm r·i viÕt lªn tê giÊy: Xn + Yn = Zn kh«ng cã nghiÖm nguyªn khi n lín h¬n 2.

"T«i ®ang cè g¾ng chøng minh ®iÒu nµy tõ tèi h«m qua", t«i nãi råi ®−a cho anh ta tê giÊy ¨n. MÆt anh ta c¾t kh«ng cßn giät m¸u. “§Þnh lý cuèi cïng cña Fermat”, anh ta lÇm bÇm. “§óng vËy” - t«i nãi, “anh lµm to¸n häc lý thuyÕt mµ. Anh cã thÓ gióp t«i chø ?”. Sau lÇn Êy t«i ch¼ng bao giê cßn nh×n thÊy anh ta ®Õn gÇn t«i n÷a.

“T«i nãi chuyÖn nghiªm tóc ®©y”, Tom nãi råi uèng c¹n ly cña m×nh. “Andrew Wiles lµ ng−êi võa th¸ng tr−íc ®· chøng minh §Þnh lý cuèi cïng cña Fermat t¹i Cambridge. H·y nhí lÊy çi tªn Êy. Anh sÏ cßn nghe thÊy nã nhiÒu lÇn”. Tèi h«m Êy Tom ®· bay trë vÒ California. MÊy th¸ng sau t«i ®· râ lµ Tom kh«ng ®ïa, vµ t«i ®· dâi theo mét chuçi çc sù kiÖn. Tr−íc tiªn lµ Wiles ®−îc ca ngîi. ThÕ råi mét kÏ hë trong chøng minh cña «ng ®· bÞ ph¸t hiÖn. Sau ®ã Wiles mÊt thªm mét n¨m trêi ®Ó råi cuèi cïng ®· tr×nh lµng mét chøng minh hoµn h¶o. Nh−ng qua t×m hiÓu c©u chuyÖn vÒ sù thµnh c«ng nµy t«i thÊy r»ng Tom ®· sai ë chç lµ Andrew Wiles kh«ng ph¶i lµ çi tªn duy nhÊt mµ t«i cÇn ph¶i l−u t©m tíi. T«i vµ c¶ thÕ giíi cÇn thÊy râ lµ chøng minh §Þnh lý Fermat kh«ng ph¶i lµ c«ng lao chØ cña mét nhµ to¸n häc. Wiles ®−¬ng nhiªn lµ ng−êi ®¸ng ca ngîi nhÊt, nh−ng vinh quang cßn thuéc vÒ c¶ Ken Ribet, Barry Mazur, Goro Shimura,Yutaka Tanyiama, Gerhard Frey, vµ nhiÒu ng−êi kh¸c n÷a.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (1601 - 1665) lµ mét luËt s− ®ång thêi lµ mét nhµ to¸n häc nghiÖp d− ng−êi Ph¸p thÕ kû XVII .

¤ng lµ mét nhµ to¸n häc nghiÖp d− v× ban ngµy «ng ph¶i lµm viÖc cña mét luËt s−. Vµo nöa ®Çu thÕ kû XX, nhµ nghiªn cøu lÞch sö to¸n häc næi tiÕng E.T. Bell ®· hãm hØnh gäi Fermat lµ “Hoµng tö cña nh÷ng ng−êi nghiÖp d−". Bell cho r»ng Fermat ®· ®¹t ®−îc nhiÒu thµnh tùu to¸n häc quan träng h¬n hÇu hÕt çc nhµ to¸n häc “chuyªn nghiÖp” cïng thêi víi «ng. Bell ®¸nh gi¸ Fermat lµ mét nhµ to¸n häc ®Æc thï nhÊt ë thÕ kû XVII, thÕ kû ®· ghi nhËn thµnh tùu cña mét vµi thiªn tµi trong sè nh÷ng thiªn tµi to¸n häc vÜ ®¹i nhÊt cña mäi thêi ®¹i.

Mét trong nh÷ng thµnh tùu kinh ng¹c nhÊt cña Fermat lµ viÖc «ng ®· ph¸t triÓn çc t− t−ëng c¬ b¶n cña m«n gi¶i tÝch, ®iÒu mµ «ng ®· lµm tr−íc khi Issac Newton ra ®êi 13 n¨m. LÞch sö nh©n lo¹i ®· ghi nhËn Newton vµ Gottfried Wilhelm von Leibniz, ng−êi cïng thêi víi «ng, lµ nh÷ng ng−êi ®· t×m ra lý thuyÕt to¸n häc cña chuyÓn ®éng, gia tèc, lùc, quü ®¹o, vµ nhiÒu kh¸i niÖm to¸n häc øng dông kh¸c vÒ sù thay ®æi liªn tôc mµ chóng ta gäi lµ çc phÐp to¸n gi¶i tÝch.

Fermat rÊt say mª çc c«ng tr×nh to¸n häc cña ng−êi cæ Hy L¹p. Cã kh¶ n¨ng chÝnh çc c«ng tr×nh cña çc nhµ to¸n häc Hy L¹p cæ ®¹i lµ Archimedes (thÕ kû thø III tr−íc c«ng nguyªn) vµ Eudoxus (thÕ kû thø IV tr−íc c«ng nguyªn) ®· gîi ý cho Fermat x©y dùng kh¸i niÖm çc phÐp to¸n gi¶i tÝch. BÊt kú lóc nµo cã thêi gian lµ Fermat nghiªn cøu çc c«ng tr×nh to¸n häc cæ mµ vµo thêi «ng ng−êi ta ®· dÞch sang tiÕng La tinh. ¤ng hoµn thµnh c«ng viÖc chÝnh cña mét luËt s− cã uy tÝn, nh−ng së thÝch cña «ng, niÒm say mª cña «ng lµ cè g¾ng tæng qu¸t hãa çc c«ng tr×nh to¸n häc cæ ®iÓn vµ t×m ra nÐt ®Ñp míi trong kho tµng çc ph¸t minh ®· bÞ ch«n vïi rÊt l©u råi. “T«i ®· t×m ®−îc nhiÒu ®Þnh lý ®Ñp v« cïng", cã lÇn «ng

3

®· nãi nh− vËy. ¤ng ghi véi nh÷ng ®Þnh lý nµy vµo lÒ b¶n dÞch nh÷ng cuèn s¸ch cæ mµ «ng cã.

Fermat lµ con trai cña mét nhµ bu«n ®å da, «ng Dominique Fermat, ng−êi tõng lµ phã quan tæng tµi cña mét thÞ trÊn thuéc tØnh Beaumont-de-Lomagne. MÑ «ng lµ bµ Claire de Long, con g¸i mét gia ®×nh luËt gia quyÒn quý. CËu bÐ Fermat ra ®êi th¸ng 8 n¨m 1601 (LÔ ®Æt tªn Chóa vµo ngµy 20 th¸ng 8 ë Beaumont-de-Lomagne), vµ ®−îc cha mÑ nu«i d−ìng ®Ó trë thµnh mét quan tßa. ¤ng häc ë Toulouse, vµ ngay t¹i thµnh phè nµy, vµo n¨m 30 tuæi «ng ®· ®−îc bÇu lµm ñy viªn c«ng tè. Còng vµo n¨m 1631 ®ã «ng c−íi Louise Long, ng−êi em hä vÒ ®»ng ngo¹i. Vî chång «ng cã ®−îc 3 ng−êi con trai vµ 2 ng−êi con g¸i. Sau khi Fermat qua ®êi, Clement Samuel- con trai «ng, lµm theo di chóc cña Fermat, ®· xuÊt b¶n çc c«ng tr×nh cña cha m×nh. ChÝnh nhê cuèn s¸ch nµy mµ chóng ta biÕt ®−îc ®Þnh lý cuèi cïng næi tiÕng cña Fermat. Clement Samuel de Fermat ®· nhËn thÊy tÇm quan träng cña ®Þnh lý ®−îc viÕt nguÖch ngo¹c ë bªn lÒ s¸ch vµ trong lÇn t¸i b¶n tuyÓn tËp çc c«ng tr×nh cæ «ng ®· bæ sung thªm ®Þnh lý nµy vµo ®ã.

Fermat sèng mét cuéc ®êi trÇm lÆng, æn ®Þnh vµ b×nh yªn. ¤ng lµm viÖc víi lßng tù träng vµ ch©n thùc. Vµo n¨m 1648 «ng ®· ®−îc tiÕn cö gi÷ mét vÞ trÝ quan träng - ñy viªn Héi ®ång t− vÊn cña NghÞ viÖn Toulouse vµ gi÷ t−íc hiÖu nµy suèt 17 n¨m cho ®Õn khi «ng qua ®êi n¨m 1665. §¸nh gi¸ c«ng lao to lín mµ Fermat ®· cèng hiÕn cho triÒu ®×nh, mét cuéc ®êi tËn tôy, ®Çy s¸ng t¹o vµ cã Ých cho khoa häc, nhiÒu sö gia ®· söng sèt kh«ng hiÓu «ng lÊy ®©u ra thêi gian vµ trÝ lùc ®Ó lµm to¸n häc cao cÊp vµ ®· lµm rÊt thµnh c«ng nh− vËy. Mét chuyªn gia Ph¸p cho r»ng viÖc lµm c«ng chøc cña Fermat lµ vèn quý cho viÖc nghiªn

cøu to¸n häc cña «ng bëi v× nh÷ng ng−êi lµm ë NghÞ viÖn Ph¸p ph¶i gi¶m thiÓu çc cuéc tiÕp xóc kh«ng chÝnh thøc ®Ó tr¸nh sù mua chuéc vµ çc tÖ n¹n tham nhòng. Tõ ®ã Fermat n¶y sinh ý muèn quªn ®i çi c«ng viÖc nÆng nÒ cña m×nh vµ ®ång thêi v× «ng ph¶i h¹n chÕ m×nh trong tiÕp xóc x· héi, to¸n häc cã thÓ lµ çch gióp «ng tho¸t ra khái c«ng viÖc rÊt tèt.

Çc ý t−ëng vÒ gi¶i tÝch to¸n häc kh«ng ph¶i lµ thµnh tùu duy nhÊt cña Fermat. ¤ng ®· cã nh÷ng cèng hiÕn cùc kú quan träng cho lý thuyÕt sè. Bµi to¸n vÜ ®¹i do «ng nªu ra gièng nh− "con gµ ®Î trøng vµng" cña to¸n häc.

Mét dßng ghi chó næi tiÕng trªn lÒ s¸ch

Fermat nh− bÞ mª hoÆc tr−íc sù quyÕn rò cña nh÷ng con sè. ¤ng t×m thÊy çi ®Ñp vµ ý nghÜa ë ®ã. Trong Lý thuyÕt sè «ng ®· nªu lªn mét sè ®Þnh lý.

Trong sè nh÷ng b¶n dÞch çc t¸c phÈm cæ ®iÓn ra tiÕng Latinh mµ Fermat yªu quÝ cã cuèn Sè häc (Arithmetica) cña nhµ to¸n häc Hy L¹p Diophantus sèng ë Alexandria vµo thÕ kû thø III sau c«ng nguyªn. Vµo kho¶ng n¨m 1637, Fermat ®· viÕt trªn lÒ cuèn s¸ch nµy, ngay c¹nh bµi to¸n ph©n tÝch mét sè chÝnh ph−¬ng thµnh tæng cña 2 sè chÝnh ph−¬ng, mÊy dßng ch÷ La tinh:

"MÆt kh¸c, kh«ng thÓ ph©n tÝch mét lËp ph−¬ng thµnh tæng cña hai lËp ph−¬ng, hoÆc mét trïng ph−¬ng thµnh tæng cña hai trïng ph−¬ng, hay- mét çch tæng qu¸t - bÊt kú mét lòy thõa nµo kh¸c 2 thµnh tæng cña hai lòy thõa cïng bËc. T«i ®· t×m ®−îc mét chøng minh thËt tuyÖt diÖu cho nhËn xÐt nµy, nh−ng ®¸ng tiÕc lÒ s¸ch kh«ng ®ñ réng ®Ó ghi ra ®©y."

§iÒu kh¼ng ®Þnh bÝ Èn trªn ®· lµm cho nhiÒu thÕ hÖ çc nhµ to¸n häc

4

ph¶i cè g¾ng hÕt søc ®Ó ®−a ra “mét chøng minh thËt tuyÖt diÖu”- ®iÒu mµ Fermat kh¼ng ®Þnh lµ ®· hoµn tÊt. Néi dung cña mÖnh ®Ò tho¹t nh×n t−ëng ®¬n gi¶n ®ã lµ: trong khi b×nh ph−¬ng cña mét sè sè nguyªn cã thÓ ph©n tÝch thµnh tæng hai b×nh ph−¬ng cña çc sè nguyªn kh¸c, nh−ng ®iÒu t−¬ng tù kh«ng x¶y ra ®èi víi lËp ph−¬ng cña mét sè nguyªn hay çc lòy thõa bËc cao h¬n. Trong nh÷ng n¨m ®Çu thÕ kû XIX, tÊt c¶ çc ®Þnh lý kh¸c cña Fermat hoÆc ®· ®−îc chøng minh hoÆc ®· bÞ b¸c bá. MÖnh ®Ò t−ëng nh− ®¬n gi¶n trªn ®©y vÉn ch−a chøng minh hoÆc b¸c bá ®−îc, vµ v× vËy ng−êi ta ®Æt cho nã tªn gäi “§Þnh lý cuèi cïng cña Fermat”. §Þnh lý ®ã cã ®óng kh«ng? ThËm chÝ trong thÕ kû cña chóng ta, m¸y tÝnh ®· ®−îc huy ®éng ®Ó cè g¾ng kiÓm tra tÝnh ®óng ®¾n cña §Þnh lý nµy. M¸y tÝnh cã thÓ kiÓm tra §Þnh lý ®èi víi çc sè rÊt lín, nh−ng nã kh«ng thÓ lµm víi tÊt c¶ çc sè. §Þnh lý cã thÓ ®−îc thö víi hµng tû con sè, nh−ng sÏ vÉn cßn nhiÒu v« h¹n sè - vµ nhiÒu v« h¹n çc lòy thõa - ph¶i kiÓm tra. §Ó kh¼ng ®Þnh tÝnh ®óng ®¾n cña §Þnh lý cuèi cïng cña Fermat cÇn ph¶i cã mét chøng minh to¸n häc chÆt chÏ. Vµo ®Çu thÕ kû XIX çc ViÖn Hµn l©m Khoa häc §øc vµ Ph¸p ®· ®−a ra çc gi¶i th−ëng cho bÊt kú ai t×m ®−îc phÐp chøng minh vµ mçi n¨m hµng ngµn nhµ to¸n häc, nh÷ng ng−êi lµm to¸n nghiÖp d− vµ còng cã c¶ nh÷ng ng−êi lËp dÞ, ®· göi "çc chøng minh" vÒ tßa so¹n çc t¹p chÝ to¸n häc vµ çc héi ®ång gi¸m kh¶o. Tuy vËy, tÊt c¶ vÉn lµ con sè kh«ng.

¦íc m¬ cña mét cËu bÐ

Andrew Wiles sinh t¹i Cambridge (Anh) n¨m 1953. N¨m lªn m−êi tuæi, Andrew Wiles ®Õn th− viÖn c«ng céng cña thµnh phè vµ ®äc ®−îc §Þnh lý cuèi cïng cña Fermat trong mét cuèn s¸ch to¸n häc. Çi ®Þnh lý, nh− m« t¶ trong cuèn s¸ch, d−êng nh− qu¸ ®¬n gi¶n ®Õn nçi bÊt cø

mét em bÐ nµo còng cã thÓ hiÓu ®−îc. Theo lêi Wiles: “ Trong s¸ch nãi r»ng b¹n sÏ kh«ng bao giê t×m ®−îc çc sè nguyªn x, y, z sao cho x3 + y3 = z3. Dï b¹n hÕt søc cè g¾ng thö thÕ nµo ®i n÷a, b¹n còng kh«ng bao giê t×m ®−îc çc sè nguyªn nh− thÕ. Vµ trong s¸ch cßn nãi r»ng ®iÒu ®ã còng ®óng ®èi víi x4 + y4 = z4 , x5 + y5 = z5 , vµ v.v... §iÒu nµy cã vÎ qu¸ ®¬n gi¶n. Vµ cuèn s¸ch nãi r»ng h¬n ba tr¨m n¨m nay ch−a mét ai chøng minh ®−îc ®iÒu nµy. T«i muèn chøng minh ®iÒu ®ã...”

Vµo nh÷ng n¨m 70, Andrew Wiles vµo ®¹i häc. Sau khi tèt nghiÖp, anh ®−îc nhËn lµm nghiªn cøu sinh to¸n t¹i Tr−êng §¹i häc Tæng hîp Cambridge. ThÇy h−íng dÉn anh lµ gi¸o s− John Coates. Wiles ph¶i ngõng −íc m¬ chøng minh §Þnh lý cuèi cïng cña Fermat tõ thêi Êu th¬ cña m×nh l¹i. ViÖc nghiªn cøu bµi to¸n nµy ®· ngèn mÊt qu¸ nhiÒu thêi gian ®Õn nçi ch¼ng nghiªn cøu sinh nµo d¸m ®i s©u vµo ®ã. V¶ l¹i, cã thÇy h−íng dÉn nµo l¹i d¸m nhËn mét nghiªn cøu sinh víi bµi to¸n cæ ®ã - mét vÊn ®Ò ®· thu hót nh÷ng bé ãc siªu viÖt nhÊt thÕ giíi ®i t×m lêi gi¶i tõ h¬n ba thÕ kû nay? Vµo thËp niªn 70, bµi to¸n Fermat kh«ng “hîp thêi” n÷a. Çi “hîp thêi", çi chñ ®Ò nghiªn cøu thùc sù nãng hæi trong lý thuyÕt sè lóc ®ã lµ çc ®−êng cong elliptic. V× vËy, Andrew Wiles ®· dµnh th× giê nghiªn cøu çc ®−êng cong elliptic vµ mét lÜnh vùc cã tªn gäi lµ Lý thuyÕt Iwasawa. Anh ®· hoµn thµnh luËn v¨n tiÕn sÜ vµ sau khi ®−îc cÊp b»ng tiÕn sÜ anh ®· t×m ®−îc mét chç lµm viÖc t¹i Khoa To¸n cña tr−êng §¹i häc Tæng hîp Princeton vµ chuyÓn sang Hoa Kú. ë ®ã, anh tiÕp tôc nghiªn cøu çc ®−êng cong elliptic vµ Lý thuyÕt Iwasawa.

Ngän löa cò l¹i bïng ch¸y

Mét buæi tèi mïa hÌ nãng bøc, Andrew ®ang nhÊp ly trµ ®¸ t¹i nhµ mét ng−êi b¹n. §ét nhiªn, ®ang gi÷a c©u chuyÖn, ng−êi b¹n hái: “µ nµy, anh cã biÕt

5

Ken Ribet võa chøng minh ®−îc Gi¶ thuyÕt Epsilon kh«ng?”. Gi¶ thuyÕt Epsilon, theo gi¶i nghÜa cña Serre, chÝnh lµ gi¶ thuyÕt Frey vÒ mèi liªn hÖ gi÷a §Þnh lý cuèi cïng cña Fermat vµ gi¶ thuyÕt Shimura-Taniyama, ®−îc çc nhµ lý thuyÕt sè gäi tªn mét çch ch−a chÝnh thøc. Wiles giËt nÈy m×nh. Ngay lóc ®ã, anh biÕt r»ng cuéc ®êi anh ®· thay ®æi. ¦íc m¬ chøng minh §Þnh lý cuèi cïng cña Fermat tõ thêi Êu th¬ - mét −íc m¬ mµ anh ®· ph¶i g¸c l¹i ®Ó tiÕn hµnh c«ng viÖc nghiªn cøu kh¶ thi h¬n - ®· sèng l¹i víi mét søc m¹nh l¹ th−êng. Anh vÒ nhµ vµ b¾t ®Çu suy nghÜ xem m×nh cã thÓ chøng minh gi¶ thuyÕt Shimura-Taniyama nh− thÕ nµo.

“Trong vµi n¨m ®Çu”, sau nµy anh t©m sù, “t«i biÕt m×nh kh«ng cã ®èi thñ v× t«i biÕt r»ng kh«ng cã ai - kÓ c¶ t«i - cã ®−îc ý t−ëng lµ sÏ b¾t ®Çu tõ ®©u”. Anh quyÕt ®Þnh nghiªn cøu vÊn ®Ò mét çch kÝn ®¸o trong tr¹ng th¸i ®¬n ®éc. “Qu¸ nhiÒu ng−êi biÕt ®Õn sÏ lµm mÊt tËp trung. T«i sím nhËn thÊy r»ng chØ cÇn ®Ò cËp ®Õn Fermat lµ lËp tøc thu hót qu¸ nhiÒu sù chó ý”. §−¬ng nhiªn, thiÕu g× nh÷ng nhµ to¸n häc ®Çy tµi n¨ng, ®Æc biÖt lµ ë mét n¬i nh− Princeton, vµ nguy c¬ mét ai ®ã sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc cña anh thay anh - thËm chÝ cßn lµm tèt h¬n - lµ hoµn toµn thùc tÕ.

Cho dï lµ v× lý do g× ®i n÷a th× Wiles ®· tù giam m×nh trong c¨n g¸c xÐp vµ b¾t ®Çu lµm viÖc. Anh bá qua tÊt c¶ çc ®Ò tµi nghiªn cøu kh¸c ®Ó dµnh toµn bé thêi gian cña m×nh cho §Þnh lý Fermat. Wiles sö dông tÊt c¶ thÕ m¹nh cña çc c«ng cô ®¹i sè, h×nh häc, gi¶i tÝch vµ çc lÜnh vùc to¸n häc hiÖn ®¹i kh¸c; çc kÕt qu¶ to¸n häc quan träng cña nh÷ng ng−êi ®−¬ng thêi vµ cña nh÷ng ng−êi ®· ®i tr−íc trong lÞch sö; çc ph−¬ng ph¸p chøng minh th«ng minh cña Ribet vµ çc kÕt qu¶ cña «ng ta; çc lý thuyÕt cña Barry Mazur vµ çc ý t−ëng cña Shimura, Frey, Serre, AndrÐ Weil; vµ nh÷ng c«ng tr×nh kh¸c cña nhiÒu, rÊt nhiÒu çc nhµ to¸n häc kh¸c.

Sù vÜ ®¹i cña Wiles, sau nµy Gerhard Frey nhËn xÐt, lµ ë chç anh ®· tin t−ëng vµo viÖc anh lµm ë mét thêi ®iÓm khi mµ mäi nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi tin r»ng gi¶ thuyÕt Shimura-Taniyama kh«ng thÓ chøng minh ®−îc trong thÕ kû XX.

Gi¸o s− Andrew Wiles ®· miªu t¶ qu¸ tr×nh 7 n¨m trêi «ng miÖt mµi lµm viÖc ®Ó kh¸m ph¸ ra ®iÒu huyÒn bÝ vÜ ®¹i cña to¸n häc nh− sau:

"Cã lÏ tèt nhÊt t«i sÏ tr×nh bµy kinh nghiÖm lµm to¸n cña m×nh gièng nh− viÖc ®i vµo mét l©u ®µi tèi om. B¹n b−íc vµo phßng thø nhÊt vµ trong ®ã tèi ®en nh− mùc. B¹n b−íc ®i lo¹ng cho¹ng, va ®Ëp vµo ®å ®¹c trong phßng. DÇn dÇn, b¹n còng biÕt ®−îc vÞ trÝ cña tõng thø mét. Vµ cuèi cïng, sau kho¶ng s¸u th¸ng b¹n lÇn ra c«ng t¾c ®Ìn råi bËt lªn. Ngay lËp tøc mäi thø ®−îc soi tá vµ b¹n thÊy râ m×nh ®ang ë ®©u. ThÕ råi b¹n b−íc vµo phßng tiÕp theo vµ ë ®ã l¹i chØ lµ bãng tèi..."

Cambridge (Anh) th¸ng 6/1993

Cuèi th¸ng 6/1993, Gi¸o s− Andrew Wiles quay l¹i n−íc Anh. ¤ng trë l¹i Tr−êng §¹i häc tæng hîp Cambridge, n¬i «ng nhËn b»ng tèt nghiÖp tõ 20 n¨m tr−íc. Gi¸o s− John Coates, nguyªn lµ ng−êi h−íng dÉn Wiles lµm luËn ¸n tiÕn sÜ t¹i Cambridge, ®· tæ chøc cuéc héi th¶o vÒ lý thuyÕt Iwasawa - mét chuyªn ngµnh ®Æc biÖt cña lý thuyÕt sè - ngµnh häc mµ Wiles ®· viÕt luËn ¸n vµ rÊt am hiÓu. Coates ®· hái ng−êi sinh viªn cò cña m×nh cã muèn tr×nh bµy t¹i héi nghÞ mét bµi thuyÕt tr×nh ng¾n kho¶ng 1 giê vÒ chñ ®Ò anh tù chän kh«ng. Anh chµng Wiles nhót nh¸t - ng−êi tr−íc ®©y h·n h÷u míi nãi ë n¬i ®«ng ng−êi - ®· lµm cho ng−êi thÇy cò còng nh− nh÷ng ng−êi tæ chøc

6

héi nghÞ hÕt søc ng¹c nhiªn khi anh xin ®−îc tr×nh bµy trong 3 giê.

Khi tíi Cambridge, anh chµng Wiles 40 tuæi thËt ®óng lµ mét nhµ to¸n häc ®Æc tr−ng: ¸o s¬ mi tr¾ng dµi tay x¾n lªn mét çch cÈu th¶, cÆp kÝnh gäng sõng dµy cém, nh÷ng län tãc th−a vµ nh¹t mµu ®Ó lßa xßa. Sinh ra ë Cambridge, sù trë vÒ cña anh lµ mét cuéc viÕng th¨m quª nhµ rÊt ®Æc biÖt - giÊc m¬ thuë Êu th¬ ®· trë thµnh sù thËt. Theo ®uæi giÊc méng nµy, Andrew Wiles ®· sèng trän 7 n¨m trêi trong c¨n g¸c xÐp cña m×nh nh− mét ng−êi tï thËt sù, song anh lu«n hy väng ch¼ng bao l©u sù hy sinh, nh÷ng th¸ng n¨m cè g¾ng vµ chuçi ngµy c« ®¬n sÏ kÕt thóc, anh sÏ sím cã ®iÒu kiÖn dµnh nhiÒu thêi gian h¬n cho vî vµ nh÷ng c« con g¸i cña m×nh, nh÷ng ng−êi mµ suèt 7 n¨m qua anh ®· gÇn nh− kh«ng cßn thêi gian cho hä. B÷a ¨n tr−a cña gia ®×nh th−êng v¾ng mÆt anh, uèng trµ buæi tr−a anh còng th−êng quªn, anh chØ tranh thñ thêi gian ®Ó ¨n tèi. Cßn b©y giê vinh quang ®· thuéc vÒ anh.

ViÖn To¸n häc mang tªn nhµ khoa häc vÜ ®¹i cña nh©n lo¹i Isaac Newton ë Cambridge míi ®©y chØ më cöa vµo dÞp Gi¸o s− Wiles ®Õn c«ng bè c«ng tr×nh cña anh trong 3 tiÕng ®ång hå. ViÖn Newton réng lín n»m ë khu kh¸ ®Ñp çch tr−êng §¹i häc Tæng hîp Cambridge kh«ng xa l¾m. ë khu vùc s¶nh ngoµi phßng héi th¶o ng−êi ta ®Æt nh÷ng chiÕc ghÕ sang träng vµ tiÖn lîi ®Ó gióp cho çc häc gi¶ vµ çc nhµ khoa häc trao ®æi ý kiÕn ngoµi cuéc häp nh»m thóc ®Èy c«ng viÖc nghiªn cøu vµ t¨ng c−êng hiÓu biÕt.

MÆc dï Wiles biÕt hÇu hÕt çc nhµ to¸n häc tõ kh¾p thÕ giíi ®Õn dù héi nghÞ chuyªn ngµnh lÇn nµy nh−ng anh vÉn rÊt kÝn ®¸o. Khi çc ®ång nghiÖp biÓu lé sù tß mß vÒ bµi thuyÕt tr×nh 3

tiÕng cña anh, anh chØ nãi hä nªn ®Õn nghe anh tr×nh bµy råi sÏ biÕt. TÝnh gi÷ kÏ nh− thÕ lµ kh¸ ®Æc biÖt, ngay c¶ ®èi víi mét nhµ to¸n häc. DÉu th−êng chØ lµm viÖc mét m×nh ®Ó chøng minh çc ®Þnh lý vµ th−êng ®−îc cho lµ nh÷ng ng−êi kh«ng thÝch tô héi, çc nhµ to¸n häc vÉn th−êng xuyªn chia sÎ çc kÕt qu¶ nghiªn cøu víi nhau. Nh÷ng kÕt qu¶ nµy ®−îc trao ®æi réng r·i d−íi d¹ng çc b¶n th¶o, råi çc t¸c gi¶ nhËn ®−îc ý kiÕn cña nh÷ng ng−êi kh¸c gióp hä chØnh lý çc bµi b¸o tr−íc khi xuÊt b¶n. Cßn Wiles th× kh«ng hÒ ®−a ra b¶n th¶o nµo vµ kh«ng th¶o luËn g× vÒ c«ng viÖc cña m×nh. Tªn b¸o ço cña Wiles lµ “D¹ng modula, ®−êng cong elliptic vµ biÓu diÔn Galois”, mét çi tªn ch¼ng hÐ më ®iÒu g×, vµ ngay c¶ nh÷ng ng−êi cïng chuyªn m«n víi Wiles còng kh«ng thÓ pháng ®o¸n ®−îc b¸o ço sÏ dÉn ®Õn ®©u. Nh÷ng tin ®ån ngµy cµng ®−îc nh©n thªm.

Ngay ngµy ®Çu, Wiles ®· lµm cho kho¶ng 20 nhµ to¸n häc ®Õn nghe b¸o ço cña anh bÊt ngê vÒ mét thµnh tùu to¸n häc vÜ ®¹i cña m×nh - vµ vÉn cßn 2 buæi thuyÕt tr×nh n÷a. SÏ lµ ®iÒu g× ®©y? Mäi ng−êi thÊy râ lµ cÇn ®Õn nghe çc bµi gi¶ng cña Wiles vµ d−êng nh− sù chê ®îi cµng trë nªn c¨ng th¼ng h¬n khi çc nhµ to¸n häc ®· tËp trung theo dâi bµi gi¶ng.

Vµo ngµy thø 2, Wiles tr×nh bµy rÊt dån dËp. Anh mang theo tËp b¶n th¶o h¬n 200 trang ®Çy çc c«ng thøc vµ çc phÐp biÕn ®æi, nh÷ng ý chÝnh ®−îc nªu ra nh− lµ çc ®Þnh lý míi kÌm theo chøng minh tãm t¾t mµ vÉn rÊt dµi. C¨n phßng giê ®©y ®· kÝn chç. Mäi ng−êi ch¨m chó nghe. SÏ dÉn ®Õn ®©u ®©y? Wiles vÉn giÊu kÝn. Anh vÉn b×nh th¶n viÕt lªn b¶ng, vµ anh biÕn mÊt rÊt nhanh khi ngµy lµm viÖc kÕt thóc.

7

H«m sau, thø t− 23/06/1993, lµ ngµy thuyÕt tr×nh cuèi cïng cña anh. Khi Wiles tíi gÇn héi tr−êng lín, anh thÊy cÇn ph¶i vµo héi tr−êng ngay. Ng−êi ta ®øng chÆn hÕt c¶ lèi vµo, cßn trong phßng th× ®«ng nghÑt ng−êi. RÊt nhiÒu ng−êi mang theo camera. §Õn khi Wiles viÕt lªn b¶ng çc ®Þnh lý vµ çc c«ng thøc t−ëng nh− lµ v« tËn th× sù c¨ng th¼ng lªn cao ®é. “ChØ cã thÓ cã mét ®−êng tiÕn lªn duy nhÊt, mét kÕt thóc duy nhÊt cho b¸o ço cña Wiles", sau nµy Gi¸o s− Ken Ribet ë tr−êng §¹i häc Tæng hîp California t¹i Berkeley ®· nãi víi t«i. Wiles ®ang viÕt nh÷ng dßng cuèi cïng cña chøng minh mét gi¶ thuyÕt to¸n häc phøc t¹p vµ khã hiÓu: Gi¶ thuyÕt Shimura-Taniyama. ThÕ råi, bÊt chît anh thªm mét dßng cuèi cïng, mét ph−¬ng tr×nh cæ ®iÓn mµ 7 n¨m tr−íc Ken Ribet ®· chøng minh lµ hÖ qu¶ cña gi¶ thuyÕt nµy. “Vµ ®iÒu nµy chøng minh §Þnh lý Fermat”, anh b×nh th¶n nãi. “T«i nghÜ lµ t«i kÕt thóc bµi thuyÕt tr×nh ë ®©y”.

Phßng häp chît lÆng ®i trong chèc l¸t. Råi sau ®ã c¶ héi tr−êng nång nhiÖt vç tay t¸n th−ëng. M¸y ¶nh nh¸y liªn tiÕp khi mäi ng−êi ®øng dËy chóc mõng Wiles ®ang mØm c−êi. ChØ vµi phót sau, kh¾p n¬i trªn thÕ giíi çc m¸y fax vµ th− ®iÖn tö ®· ho¹t ®éng liªn tôc ®Ó truyÒn tin nµy. Mét bµi to¸n næi tiÕng cña mäi thêi ®¹i ®· ®−îc gi¶i xong.

“Mét ®iÒu kh«ng l−êng tr−íc ®−îc lµ ngay h«m sau chóng t«i ®· bÞ giíi b¸o chÝ thÕ giíi s¨n tíi tÊp”, Gi¸o s− John Coates nhí l¹i. ChÝnh «ng lµ ng−êi ®· tæ chøc héi nghÞ mµ kh«ng hÒ nghÜ r»ng héi nghÞ ®ã sÏ trë thµnh n¬i c«ng bè mét trong nh÷ng thµnh tùu to¸n häc vÜ ®¹i nhÊt. Nh÷ng dßng ®Çu cña çc tê b¸o trªn kh¾p thÕ giíi ®−a tin dån dËp vÒ có ®ét ph¸ bÊt ngê nµy. Trang nhÊt tê Thêi b¸o New York sè ra ngµy 24/06/1993 ®−a tin: “ Cuèi cïng råi th×

tiÕng reo "Eureka" ®· vang lªn trong l©u ®µi ®Çy bÝ Èn vµ cæ kÝnh cña to¸n häc". Trªn tê B−u ®iÖn Washington, bµi b¸o chÝnh gäi Wiles lµ "Ng−êi chinh phôc To¸n häc", cßn kh¾p mäi n¬i çc bµi phãng sù ®· ra søc m« t¶ con ng−êi ®· gi¶i quyÕt ®−îc vÊn ®Ò gay cÊn nhÊt trong to¸n häc, bµi to¸n th¸ch ®è loµi ng−êi suèt h¬n 350 n¨m. Sau mét ®ªm, mét çi tªn rÊt riªng vµ b×nh dÞ - Andrew Wiles - ®· trë thµnh mét çi tªn quen thuéc víi mäi nhµ.

S¸ng sím tinh m¬ ngµy 23/06/1993, t¹i Hoa Kú, Gi¸o s− John Conway tíi tßa nhµ ®· xØn mµu cña Khoa To¸n tr−êng §¹i häc Tæng hîp Princeton. ¤ng më cöa lín råi b−íc véi vµo phßng lµm viÖc cña m×nh. Suèt mÊy tuÇn nay, tr−íc chuyÕn ®i sang n−íc Anh cña Andrew Wiles - ng−êi b¹n ®ång nghiÖp cña «ng, liªn tiÕp nh÷ng tin tøc b¸n tÝn b¸n nghi ®ang lan truyÒn trong céng ®ång to¸n häc thÕ giíi. Conway c¶m thÊy cã mét ®iÒu g× ®ã quan träng sÏ x¶y ra. Nh−ng «ng kh«ng ®o¸n ®−îc ®ã lµ ®iÒu g×. ¤ng bËt m¸y vi tÝnh, råi ngåi xuèng nh×n ch»m ch»m vµo mµn h×nh. §óng 5 giê 53 phót s¸ng, mét bøc th− ®iÖn tö ng¾n gän tõ bê bªn kia §¹i T©y D−¬ng chît hiÖn lªn : “Wiles chøng minh §Þnh lý cuèi cïng cña Fermat”.

Th¸ng 7, 8/1993 - Ph¸t hiÖn mét kÏ hë quan träng

Çc nhµ to¸n häc ®· l¹c quan mét çch thËn träng khi mµ Wiles rêi khái bôc b¸o ço vµo çi ngµy Thø T− cña Th¸ng S¸u Êy. Cuèi cïng th× mét vÊn ®Ò nan gi¶i h¬n 350 n¨m nay d−êng nh− ®· ®−îc gi¶i quyÕt. Sö dông çc lý thuyÕt vµ çc kh¸i niÖm to¸n häc phøc t¹p - nh÷ng c«ng cô to¸n häc ch−a cã ë thêi Fermat vµ thËm chÝ lµ cho ®Õn tËn thÕ kû XX míi cã - Wiles ®· ®−a ra mét chøng minh dµi ®ßi hái sù ®¸nh gi¸ cña

8

nhiÒu chuyªn gia kh¸c nhau. Chøng minh nµy ®· ®−îc göi ®Õn mét sè nhµ to¸n häc ®Çu ®µn. Cã lÏ 7 n¨m lµm viÖc ®¬n ®éc trong c¨n g¸c xÐp khuÊt nÎo cña Wiles ®· cho kÕt qu¶ råi. Nh−ng sù l¹c quan ch¼ng kÐo dµi ®−îc mÊy chèc. MÊy tuÇn sau, mét chç hæng trong logic chøng minh cña Wiles ®· bÞ ph¸t hiÖn. Wiles cè g¾ng lÊp ®i lç hæng nµy, nh−ng kho¶ng trèng vÉn cø tr¬ ra ®ã. Nhµ to¸n häc cña thµnh phè Princeton lµ Peter Sarnak, b¹n th©n cña Andrew Wiles, ®· chøng kiÕn hµng ngµy Wiles ®¸nh vËt víi phÐp chøng minh mµ míi 2 th¸ng tr−íc t¹i Cambridge anh ®· c«ng bè víi c¶ thÕ giíi r»ng anh ®· hoµn tÊt. “Cø nh− thÓ lµ Andrew ®ang cè g¾ng tr¶i mét tÊm th¶m qu¸ cì lªn nÒn nhµ”, Sarnak gi¶i thÝch. “Anh Êy kÐo nã ra th× tÊm th¶m võa khÝt c¹nh bªn nµy c¨n phßng, nh−ng ë phÝa bªn kia nã l¹i tr−ên lªn t−êng, thÕ lµ anh Êy l¹i ph¶i b−íc tíi kÐo nã xuèng... nh−ng råi nã l¹i phång lªn ë chç kh¸c. ViÖc tÊm th¶m cã cì ®óng víi kÝch th−íc cña c¨n phßng kh«ng th× anh kh«ng thÓ x¸c ®Þnh ®−îc." Wiles l¹i l¸nh vµo c¨n g¸c xÐp cña m×nh. Çc phãng viªn cña tê Thêi b¸o New York vµ ph−¬ng tiÖn th«ng tin ®¹i chóng ®· ®Ó yªn cho anh trë l¹i víi c«ng viÖc ®¬n ®éc cña m×nh. Khi thêi gian cø dÇn tr«i ®i mµ ch−a t×m ®−îc çch kh¾c phôc lç hæng trong chøng minh, çc nhµ to¸n häc vµ c«ng chóng nãi chung l¹i b¾t ®Çu tù hái kh«ng biÕt §Þnh lý cuèi cïng cña Fermat cã hoµn toµn ®óng hay kh«ng. Chøng minh tuyÖt diÖu mµ Gi¸o s− Wiles ®· tr×nh ®Ó thuyÕt phôc c¶ thÕ giíi còng ch¼ng mang l¹i ®iÒu g× cô thÓ h¬n chÝnh nh÷ng dßng ch÷ cña Fermat: “Chøng minh thËt tuyÖt diÖu nh−ng ®¸ng tiÕc lÒ s¸ch kh«ng ®ñ réng ®Ó ghi ra ®©y.”

Nçi ®au khæ

Andrew Wiles trë l¹i Princeton vµo mïa thu n¨m 1993. Anh bèi rèi, bùc m×nh, çu giËn, thÊt väng vµ buån b·. Wiles ®· høa hÑn víi c¶ thÕ giíi r»ng sÏ chøng minh §Þnh lý cuèi cïng cña Fermat nh−ng anh ch−a hoµn tÊt ®−îc. Trong to¸n häc còng nh− trong hÇu hÕt çc lÜnh vùc kh¸c, thùc chÊt lµ kh«ng thÓ cã gi¶i th−ëng "lo¹i hai” hoÆc "khuyÕn khÝch". Wiles ch¸n n¶n quay vÒ c¨n g¸c xÐp cña m×nh vµ cè g¾ng hoµn tÊt chøng minh. “Lóc nµy, anh Êy ®ang giÊu c¶ thÕ giíi mét ®iÒu bÝ mËt”, Nick Katz nhí l¹i, “ vµ t«i nghÜ r»ng anh Êy c¶m thÊy kh¸ bùc béi vÒ ®iÒu ®ã”. Çc ®ång nghiÖp cè gióp Wiles, kÓ c¶ ng−êi sinh viªn cò cña anh lµ Richard Taylor ®ang gi¶ng d¹y t¹i Cambridge còng ®Õn Princeton ®Ó cè gióp anh hoµn tÊt chøng minh.

“B¶y n¨m ®Çu lµm viÖc mét m×nh, t«i lu«n hµo høng víi tõng phót mét”, Wiles nhí l¹i, “t«i ®· ®èi mÆt mµ kh«ng hÒ ngÇn ng¹i chót nµo víi mét vÊn ®Ò khã kh¨n ®Õn møc t−ëng nh− v« väng. Nh−ng giê ®©y lµm to¸n theo çi çch ph« bµy hÕt c¶ ra thÕ nµy ch¾c ch¾n kh«ng ph¶i lµ phong çch cña t«i. T«i sÏ kh«ng bao giê ®Ó cho t×nh huèng nµy lÆp l¹i mét lÇn nµo n÷a”. Vµ çi kinh nghiÖm cay ®¾ng cø d»ng dai b¸m lÊy anh m·i. HÕt kú nghØ phÐp, Richard Taylor ®· quay vÒ Cambridge vËy mµ Wiles vÉn ch−a nh×n thÊy ®o¹n kÕt ë ®©u. §ång nghiÖp nh×n anh víi ¸nh m¾t ®éng viªn, hy väng, xen lÉn sù th«ng c¶m vµ mäi ng−êi xung quanh ®Òu thÊu hiÓu nçi ®au khæ cña anh. Hä muèn biÕt, hä muèn nghe ®−îc nh÷ng tin tøc tèt lµnh. Nh−ng kh«ng mét ®ång nghiÖp nµo d¸m hái anh ®ang hoµn tÊt chøng minh ®Õn ®©u råi. Ngoµi Khoa To¸n cña anh, c¶ thÕ giíi còng ®ang håi hép ®îi chê. Vµo buæi tèi ngµy 4 th¸ng 12 n¨m 1993, Andrew Wiles göi mét bøc th− ®iÖn tö ®Õn nhãm tin tøc m¸y tÝnh Sci.math,

9

mét tæ chøc mµ nhiÒu nhµ lý thuyÕt sè vµ çc nhµ to¸n häc kh¸c tham gia. Néi dung bøc th− nh− sau:

XÐt hiÖn tr¹ng viÖc nghiªn cøu cña t«i vÒ gi¶ thuyÕt Shimura-Taniyama vµ §Þnh lý cuèi cïng cña Fermat, t«i muèn th«ng b¸o tãm t¾t t×nh h×nh. Trong qu¸ tr×nh duyÖt l¹i chøng minh, cã nhiÒu vÊn ®Ò n¶y sinh vµ hÇu hÕt ®· ®−îc gi¶i quyÕt, song cßn mét tr−êng hîp riªng t«i vÉn ch−a gi¶i quyÕt ®−îc... T«i tin r»ng m×nh cã thÓ hoµn tÊt viÖc nµy trong mét ngµy gÇn ®©y b»ng çch sö dông nh÷ng ý t−ëng ®· ®−îc gi¶i thÝch trong çc bµi thuyÕt tr×nh cña t«i t¹i Cambridge. V× vÉn cßn nhiÒu viÖc ph¶i lµm ®èi víi b¶n th¶o nªn nã ch−a thÓ ®−a ra c«ng bè ®−îc. Trong chuyªn ®Ò t¹i Princeton b¾t ®Çu vµo th¸ng 2 tíi t«i sÏ tr×nh bµy ®Çy ®ñ vÒ c«ng tr×nh nµy. Andrew Wiles

ViÖc diÔn ra sau ®ã

Nh−ng Andrew Wiles ®· l¹c quan qu¸ sím. Cuèi cïng råi th× chuyªn ®Ò mµ anh dù kiÕn tr×nh bµy t¹i Princeton còng ch−a ®−a ra ®−îc gi¶i ph¸p nµo míi. Sau h¬n mét n¨m kÓ tõ th¾ng lîi ng¾n ngñi t¹i Cambridge, Andrew Wiles gÇn nh− s¾p tõ bá mäi hy väng vµ muèn quªn ®i chøng minh cßn khiÕm khuyÕt cña m×nh.

Buæi s¸ng thø Hai, ngµy 19 th¸ng 9 n¨m 1994, Wiles ®ang ngåi ë bµn lµm viÖc cña m×nh t¹i Tr−êng §¹i häc Tæng hîp Princeton víi nh÷ng chång tµi liÖu bµy la liÖt xung quanh. Anh quyÕt ®Þnh sÏ xem l¹i phÐp chøng minh cña m×nh lÇn cuèi cïng tr−íc khi xÕp nã l¹i vµ tõ bá mäi hy väng chøng minh §Þnh lý cuèi cïng cña Fermat. Wiles cÇn ph¶i t×m cho ra ®iÒu g× ®· ng¨n c¶n anh x©y dùng HÖ thèng Euler. Anh muèn biÕt, dï chØ ®Ó tháa m·n sù tß mß cña ç nh©n m×nh, t¹i sao anh ®· thÊt b¹i. T¹i sao l¹i kh«ng cã HÖ thèng Euler ë

®ã? Anh muèn x¸c ®Þnh chÝnh x¸c chi tiÕt kü thuËt nµo ®· lµm cho toµn bé vÊn ®Ò ®æ bÓ. Anh thÊy r»ng dï ph¶i tõ bá chøng minh cña m×nh th× chÝ Ýt anh còng ph¶i cã ®−îc c©u tr¶ lêi lµ t¹i sao m×nh ®· sai.

Wiles nghiªn cøu çc bµi b¸o n»m tr−íc mÆt m×nh, tËp trung cè g¾ng cao ®é kho¶ng chõng hai m−¬i phót. Vµ chÝnh lóc ®ã anh ®· thÊy ®−îc chÝnh x¸c v× sao m×nh l¹i kh«ng thÓ hoµn tÊt ®−îc c«ng viÖc. Cuèi cïng anh còng ®· hiÓu ®−îc m×nh sai ë kh©u nµo. “§ã lµ thêi ®iÓm quan träng nhÊt trong toµn bé cuéc ®êi nghiªn cøu cña t«i”, sau nµy anh m« t¶ l¹i c¶m gi¸c cña m×nh. “§ét nhiªn, hoµn toµn bÊt ngê ®Õn møc khã mµ tin ®−îc, t«i ®· cã ®−îc kh¸m ph¸ tuyÖt vêi. Kh«ng cã ®iÒu g× mµ t«i lµm sÏ... ". ChÝnh lóc ®ã nh÷ng giät n−íc m¾t ®· trµo ra vµ Wiles nghÑt thë v× xóc ®éng. §iÒu Wiles ph¸t hiÖn ra ®−îc vµo çi thêi ®iÓm ®Þnh mÖnh Êy lµ “tuyÖt diÖu kh«ng sao t¶ næi, thËt ®¬n gi¶n lµm sao vµ còng thanh tao lµm sao... ®Õn nçi t«i b¾t ®Çu chuyÓn sang kh«ng tin”. Wiles ®· ph¸t hiÖn ra r»ng ®iÒu lµm cho HÖ thèng Euler kh«ng dïng ®−îc trong chøng minh l¹i chÝnh lµ ®iÒu lµm cho ph−¬ng ph¸p Lý thuyÕt hoµnh Iwasawa mµ anh ®· bá b½ng ®i 3 n¨m tr−íc ®©y l¹i ¸p dông ®−îc. Wiles nh×n ch»m ch»m vµo bµi b¸o cña m×nh mét lóc l©u. Ch¾c ch¾n lµ m×nh ®ang m¬, anh nghÜ vËy. §iÒu nµy tuyÖt diÖu ®Õn møc khã tin lµ ®óng. Sau ®ã anh nãi r»ng mét ®iÒu tuyÖt vêi gi¶n ®¬n nh− vËy th× rÊt cã thÓ nã sai. Nh−ng mét ph¸t hiÖn quan träng vµ tuyÖt vêi ®Õn thÕ th× nã cÇn ph¶i ®óng.

Wiles ®i ®i l¹i l¹i trong phßng suèt mÊy tiÕng ®ång hå. Anh kh«ng râ m×nh tØnh hay m¬. Chèc chèc anh trë l¹i bµn lµm viÖc cña m×nh ®Ó xem xem ®iÒu ph¸t hiÖn kú diÖu cña anh cã cßn ë ®ã kh«ng - nã vÉn cßn ®ã. Anh vÒ nhµ vµ ®i ngñ trong t©m tr¹ng ®Çy suy t− vÒ ®iÒu võa kh¸m ph¸. BiÕt ®©u s¸ng mai anh l¹i ph¸t hiÖn ra mét lçi nµo ®ã trong b−íc lËp luËn míi

10

nµy. Mét n¨m chÞu søc Ðp tõ c¶ thÕ giíi, mét n¨m mµ hÕt cè g¾ng nµy ®Õn cè g¾ng kh¸c ®Òu thÊt b¹i ®· lµm lung lay niÒm tin cña Wiles. Anh trë l¹i bµn lµm viÖc c¬ quan cña m×nh vµo buæi s¸ng h«m sau vµ çi viªn ngäc kú l¹ mµ anh võa t×m thÊy h«m qua vÉn cßn n»m ®ã, nã ®ang ®îi chê anh.

Wiles ®· viÕt ra mét çch chi tiÕt chøng minh cña m×nh cã sö dông ph−¬ng ph¸p Lý thuyÕt hoµnh Iwasawa. Cuèi cïng, mäi thø ®· ®−îc ®Æt vµo ®óng chç. Çch tiÕp cËn mµ anh ®· sö dông 3 n¨m tr−íc ®©y lµ ®óng. Anh nhËn ra ®−îc ®iÒu nµy v× thÊy r»ng con ®−êng cña Flach vµ Kolyvagin mµ anh ®· chän lµ kh«ng phï hîp. B¶n th¶o ®· s½n sµng ®Ó göi ®i. Trong t©m tr¹ng rÊt phÊn chÊn, Andrew Wiles ngåi vµo bµn m¸y tÝnh vµ göi th«ng ®iÖp ®iÖn tö qua m¹ng internet ®Õn nhiÒu nhµ to¸n häc trªn kh¾p thÕ giíi: “H·y ®îi b−u phÈm ph¸t chuyÓn nhanh trong vµi ngµy tíi”.

Nh− ®· høa víi b¹n m×nh lµ Richard Taylor, ng−êi ®· tõ Anh sang ®Ó gióp anh söa ch÷a chøng minh, bµi b¸o míi víi phÇn hiÖu ®Ýnh Lý thuyÕt Iwasawa ®· mang tªn c¶ hai ng−êi, mÆc dï Wiles ®¹t ®−îc kÕt qu¶ nµy sau khi Taylor ®· vÒ n−íc. Trong mÊy tuÇn sau ®ã, çc nhµ to¸n häc ®· nhËn ®−îc bµi hiÖu ®Ýnh cña Wiles cho çc b¸o ço mµ anh ®· tr×nh bµy ë Cambridge vµ hä ®· duyÖt kü tÊt c¶ çc chi tiÕt. Kh«ng ai t×m thÊy mét lçi lÇm nµo n÷a. LÇn nµy, theo çch th«ng lÖ, Wiles göi c«ng tr×nh ®· ®−îc hoµn tÊt cña m×nh ®i c«ng bè. Thay v× nh− ®· lµm t¹i Cambridge mét n¨m r−ìi tr−íc, anh göi bµi b¸o ®Õn t¹p chÝ to¸n häc chuyªn ngµnh, the Annals of Mathematics, n¬i mµ çc bµi b¸o cã thÓ ®−îc nhiÒu nhµ to¸n häc xem xÐt kü cµng. Qu¸ tr×nh ®¸nh gi¸ kÐo dµi vµi th¸ng vµ lÇn nµy ng−êi ta kh«ng t×m thÊy mét sai sãt nµo. Sè t¹p chÝ Th¸ng 5 n¨m 1995 ®¨ng nguyªn v¨n b¸o ço cña Wiles ®· tr×nh bµy t¹i Cambridge

cïng víi bµi hiÖu ®Ýnh cña Taylor vµ Wiles. §Õn ®©y, §Þnh lý cuèi cïng cña Fermat ®· hoµn toµn ®−îc chøng minh.

Cã ®óng lµ Fermat ®· chøng minh ®−îc?

Andrew Wiles m« t¶ chøng minh cña m×nh nh− lµ “phÐp chøng minh cña thÕ kû XX”. Qu¶ vËy, Wiles ®· sö dông çc c«ng tr×nh cña nhiÒu nhµ to¸n häc thÕ kû XX. Anh còng ®· sö dông kÕt qu¶ cña çc nhµ to¸n häc tiÒn bèi. TÊt c¶ nh÷ng yÕu tè c¬ b¶n trong c«ng tr×nh cña Wiles ®Òu b¾t nguån tõ kÕt qu¶ cña nh÷ng ng−êi kh¸c, rÊt nhiÒu ng−êi kh¸c. V× vËy, chøng minh §Þnh lý cuèi cïng cña Fermat thùc sù lµ thµnh tùu cña ®«ng ®¶o çc nhµ to¸n häc thÕ kû XX vµ cña c¶ nh÷ng nhµ to¸n häc tr−íc vµ trong thêi ®¹i cña Fermat. Theo Wiles, Fermat kh«ng thÓ cã chøng minh trong ®Çu khi «ng viÕt lêi ghi chó næi tiÕng bªn lÒ trang s¸ch. NhËn ®Þnh nµy cña Wiles rÊt cã thÓ lµ ®óng v× gi¶ thuyÕt Shimura-Taniyama kh«ng tån t¹i cho ®Õn tËn thÕ kû XX. Nh−ng liÖu Fermat cã thÓ cã mét çch chøng minh kh¸c kh«ng?

C©u tr¶ lêi cã lÏ lµ kh«ng. Nh−ng ®iÒu nµy kh«ng hoµn toµn ch¾c ch¾n. Ch¼ng bao giê chóng ta biÕt ®−îc. MÆt kh¸c, Fermat ®· sèng 28 n¨m n÷a kÓ tõ khi «ng viÕt ®Þnh lý cña m×nh lªn lÒ trang s¸ch, song kh«ng khi nµo «ng nãi thªm ®iÒu g× vÒ ®Þnh lý ®ã n÷a. Cã thÓ «ng biÕt r»ng m×nh kh«ng thÓ chøng minh ®−îc ®Þnh lý nµy; hoÆc cã thÓ «ng ®· lÇm khi cho r»ng ph−¬ng ph¸p gi¶m v« h¹n mµ m×nh sö dông trong chøng minh cho tr−êng hîp ®¬n gi¶n víi n=3 cã thÓ ¸p dông cho tr−êng hîp tæng qu¸t; hoÆc ®¬n gi¶n lµ «ng ®· quªn ®Þnh lý nµy vµ chuyÓn sang lµm viÖc kh¸c.

Cuèi cïng, viÖc chøng minh ®Þnh lý ®· ®−îc hoµn tÊt vµo thËp niªn 90 vµ nã ®ßi hái nhiÒu kiÕn thøc to¸n häc h¬n h¼n nh÷ng ®iÒu mµ Fermat cã thÓ biÕt. ý nghÜa s©u xa cña §Þnh lý kh«ng chØ lµ ë chç nã cã c¶ mét qu¸ tr×nh lÞch sö xuyªn suèt

11

chiÒu dµi cña nÒn v¨n minh nh©n lo¹i, mµ lêi gi¶i cuèi cïng cña bµi to¸n cã ®−îc nhê viÖc ¸p dông vµ hîp nhÊt tÊt c¶ c¸c lÜnh vùc cña to¸n häc. ChÝnh sù hîp nhÊt c¸c lÜnh vùc to¸n häc cã vÎ nh− t¸ch rêi nhau cuèi cïng ®· chinh phôc ®−îc §Þnh lý. Vµ mÆc dï Andrew Wiles lµ ng−êi ®· thùc hiÖn c«ng ®o¹n quan träng cuèi cïng ®èi víi §Þnh lý b»ng viÖc chøng minh gi¶ thuyÕt Shimura-Taniyama, yÕu tè cÇn thiÕt ®Ó chøng minh §Þnh lý Fermat, nh−ng trong toµn bé chøng minh nµy cã c«ng lao cña nhiÒu ng−êi.

TÊt nhiªn, Fermat kh«ng thÓ nªu lªn ®−îc mét gi¶ thuyÕt uyªn b¸c ®Õn møc cã thÓ hîp nhÊt hai ngµnh to¸n häc rÊt kh¸c nhau. Hay lµ «ng ®· lµm ®−îc ®iÒu ®ã? Ch¼ng cã g× lµ ch¾c ch¾n c¶. Chóng ta chØ biÕt r»ng cuèi cïng §Þnh lý

®· ®−îc chøng minh vµ chøng minh ®ã ®· ®−îc kiÓm tra ®i kiÓm tra l¹i ®Õn tõng chi tiÕt tinh tÕ nhÊt bëi rÊt nhiÒu nhµ to¸n häc trªn kh¾p thÕ giíi. Nh−ng chÝnh v× chøng minh nµy rÊt phøc t¹p vµ hiÖn ®¹i nªn kh«ng cã nghÜa lµ kh«ng thÓ tån t¹i mét chøng minh ®¬n gi¶n h¬n. Vµ còng cã thÓ Fermat ®· biÕt nhiÒu vÒ to¸n häc “hiÖn ®¹i”, mét c«ng cô ®Çy hiÖu lùc, mµ giê ®©y kÕt qu¶ nghiªn cøu cña «ng ®· bÞ thÊt l¹c (thùc tÕ ng−êi ta ch−a bao giê t×m thÊy cuèn Diophantus cña Bachet mµ trªn lÒ trang s¸ch Fermat ®· viÕt ra kh¼ng ®Þnh to¸n häc næi tiÕng cña m×nh). V× vËy, liÖu Fermat cã ®−îc mét “chøng minh tuyÖt diÖu” cho §Þnh lý cña m×nh hay kh«ng, chøng minh mµ kh«ng thÓ ghi hÕt ra trªn lÒ trang s¸ch, ®iÒu nµy sÏ m·i m·i lµ mét bÝ mËt cña «ng. /.

6

B¶y bµi to¸n cña thiªn niªn kû*

NguyÔn H÷u ViÖt H−ng (§H KHTN Hµ Néi) (S−u tÇm, biªn so¹n vµ dÞch)

* CMI còng c«ng bè trao gi¶i th−ëng 1 triÖu ®« la/ mçi bµi to¸n cho.nh÷ng ai gi¶i ®−îc chóng.

§óng 100 n¨m tr−íc ®©y, D. Hilbert(1862-1943) ®−a ra 23 bµi to¸n mµ thÕkû 19 th¸ch thøc thÕ kû 20. Tíi nay, hÇuhÕt c¸c bµi to¸n ®ã ®· ®−îc gi¶i quyÕt,gãp phÇn ®¸ng kÓ vµo sù ph¸t triÓn cñato¸n häc thÕ kû võa qua.

TiÕp nèi truyÒn thèng ®ã, håi 16 giêngµy Thø t− 24 th¸ng 5 n¨m 2000, ViÖn

To¸n häc mang tªn Clay (CMI) c«ng bèt¹i Paris B¶y bµi to¸n cña thiªn niªn kû.

ViÖn To¸n CMI míi ®−îc thµnh lËpt¹i Cambridge (bang Massachusetts,Mü). §ã lµ mét tæ chøc t− nh©n, phi lîinhuËn, tù ®Æt cho m×nh môc tiªu lµ ph¸ttriÓn vÎ ®Ñp, søc m¹nh vµ tÝnh phæ qu¸tcña t− duy to¸n häc còng nh− phæ biÕn




Bernard Bolzano (1781-1848)

7

tri thøc to¸n häc. ViÖn ®−îc s¸ng lËp theo nh·n quan cña th−¬ng gia ng−êi Boston, «ng Landon T. Clay. Héi ®ång t− vÊn khoa häc cña ViÖn gåm bèn nhµ to¸n häc lõng danh vµ t−¬ng ®èi trÎ: Alain Connes, Arthur Jaffe, Edward Witten vµ Andrew Wiles. Ban Gi¸m ®èc ViÖn gåm Arthur Jaffe (Chñ tÞch), Landon T. Clay (Ng−êi s¸ng lËp, Phã chñ tÞch kiªm phô tr¸ch tµi chÝnh) vµ 3 gi¸m ®èc. Phiªn häp ®Çu tiªn gi÷a Ban Gi¸m ®èc vµ Héi ®ång t− vÊn khoa häc diÔn ra ngµy 10 th¸ng 5 n¨m 1999. Sau ®©y lµ diÔn ®¹t néi dung b¶y bµi to¸n cña thiªn niªn kû cho qu¶ng ®¹i quÇn chóng. Nh÷ng diÔn ®¹t nµy do ViÖn CMI tuyÓn chän vµ s¾p xÕp thø tù. Bµi to¸n vÒ thêi gian ®a thøc Mét tèi thø b¶y, b¹n tíi dù mét b÷a tiÖc lín. C¶m thÊy e thÑn, b¹n tù hái kh«ng biÕt m×nh cã quen mét ai ®ã trong phßng tiÖc hay kh«ng. Chñ nhµ cho r»ng h¼n lµ b¹n ph¶i quen Hång, thiÕu phô ngåi ë gãc kÕ bªn bµn hoa qu¶ tr¸ng miÖng. ChØ nh×n tho¸ng mét çi, b¹n cã thÓ nhËn ra r»ng chñ nhµ ®· nãi ®óng. Tuy nhiªn, nÕu kh«ng cã gîi ý cña chñ nhµ, b¹n chØ cã çch ®i kh¾p gian phßng, gÆp tõng ng−êi mét ®Ó xem b¹n cã quen ai hay kh«ng. §ã lµ mét vÝ dô ®iÓn h×nh vÒ hiÖn t−îng th−êng gÆp lµ t×m ra nghiÖm cña mét bµi to¸n th−êng mÊt nhiÒu thêi gian h¬n lµ kiÓm tra xem mét ®¸p sè ®· cho cã ®óng hay kh«ng. T−¬ng tù, nÕu ai ®ã b¶o r»ng sè 13.717.421 cã thÓ ph©n tÝch thµnh tÝch cña hai sè nhá h¬n, ch¾c lµ b¹n sÏ kh«ng biÕt cã nªn tin ng−êi ®ã hay kh«ng. ThÕ nh−ng, nÕu anh ta b¶o r»ng sè ®ã lµ tÝch cña 3607 vµ 3803 th× b¹n cã thÓ nhê mét m¸y tÝnh cÇm tay mµ dÔ dµng kiÓm tra r»ng anh ta ®· nãi ®óng. Mét trong nh÷ng vÊn ®Ò hãc bóa cña l«gÝc vµ tin häc lµ x¸c ®Þnh xem tån t¹i ch¨ng nh÷ng bµi to¸n mµ c©u tr¶ lêi cña chóng cã thÓ kiÓm tra nhanh chãng (ch¼ng h¹n víi sù trî gióp cña m¸y tÝnh), nh−ng cÇn mét thêi gian l©u h¬n nhiÒu ®Ó gi¶i

chóng tõ ®Çu (mµ kh«ng biÕt tr−íc lêi gi¶i). D−êng nh− ch¾c ch¾n cã rÊt nhiÒu bµi to¸n nh− vËy. ThÕ nh−ng, cho tíi nay ch−a cã ai chøng minh ®−îc r»ng mét bµi to¸n nµo ®ã trong sè nh÷ng bµi to¸n Êy thùc sù ®ßi hái mét thêi gian dµi ®Ó gi¶i; ®¬n gi¶n cã thÓ lµ chóng ta ch−a t×m ra çch gi¶i chóng nhanh chãng mµ th«i. (DiÔn ®¹t cña Stephen Cook, 1971) Gi¶ thuyÕt Hodge Trong thÕ kû 20 çc nhµ to¸n häc ®· t×m ra nhiÒu ph−¬ng ph¸p h÷u hiÖu ®Ó nghiªn cøu h×nh d¹ng cña nh÷ng ®èi t−îng phøc t¹p. ý t−ëng c¬ b¶n lµ tù hái lµm thÕ nµo ®Ó xÊp xØ h×nh d¹ng cña mét ®èi t−îng ®· cho b»ng çch d¸n vµo nhau çc khèi h×nh häc ®¬n gi¶n víi sè chiÒu t¨ng dÇn. Kü thuËt nµy tá ra rÊt tiÖn dông v× nã cã thÓ tæng qu¸t ho¸ theo nhiÒu çch kh¸c nhau, cuèi cïng ®· dÉn tíi nh÷ng c«ng cô m¹nh cho phÐp çc nhµ to¸n häc ®¹t ®−îc nh÷ng thµnh tùu lín trong viÖc ph©n lo¹i hµng lo¹t ®èi t−îng mµ hä muèn nghiªn cøu. §¸ng tiÕc lµ xuÊt ph¸t ®iÓm h×nh häc cña qu¸ tr×nh nµy ®· ngµy cµng mê nh¹t ®i theo ®µ tæng qu¸t ho¸. Theo mét nghÜa nµo ®ã, ng−êi ta ®· bÞa ra nh÷ng bé phËn kh«ng cã bÊt kú mét lý gi¶i h×nh häc nµo. Gi¶ thuyÕt Hodge kh¼ng ®Þnh r»ng ®èi víi çc kh«ng gian thuéc mét kiÓu ®Æc biÖt tèt, ®−îc gäi lµ çc ®a t¹p ®¹i sè x¹ ¶nh, çc bé phËn cã tªn lµ chu tr×nh Hodge thËt ra lµ çc tæ hîp (tuyÕn tÝnh h÷u tû) cña çc bé phËn h×nh häc cã tªn lµ chu tr×nh ®¹i sè. (DiÔn ®¹t cña Pierre Deligne) Gi¶ thuyÕt PoincarÐ NÕu ta quÊn chÆt mét d©y cao su quanh bÒ mÆt cña mét qu¶ t¸o, khi ®ã ta cã thÓ co nã l¹i dÇn dÇn cho tíi khi qu¶ t¸o trë thµnh mét ®iÓm mµ kh«ng lµm nã vì thµnh nhiÒu m¶nh còng nh− kh«ng ®Ó nã chui ra ngoµi vá. MÆt kh¸c, h·y

8

t−ëng t−îng ta còng quÊn chÆt d©y cao su ®ã quanh bÒ mÆt cña mét çi b¸nh r¸n (h×nh xuyÕn), khi ®ã kh«ng cã çch nµo co dÇn çi b¸nh thµnh mét ®iÓm mµ kh«ng lµm nã vì thµnh nhiÒu m¶nh hay lµm ®øt d©y chun. Ta b¶o r»ng bÒ mÆt cña qu¶ t¸o lµ “®¬n liªn” cßn bÒ mÆt cña çi b¸nh r¸n th× kh«ng nh− thÕ. GÇn mét tr¨m n¨m tr−íc, PoincarÐ ®· biÕt r»ng mÆt cÇu hai chiÒu ®−îc ®Æc tr−ng thùc chÊt bëi tÝnh ®¬n liªn cña nã vµ «ng ®Æt c©u hái ®iÒu ®ã cßn ®óng hay kh«ng ®èi víi mÆt cÇu ba chiÒu (tøc lµ tËp hîp çc ®iÓm trong kh«ng gian bèn chiÒu n»m çch gèc to¹ ®é mét kho¶ng çch b»ng ®¬n vÞ). Bµi to¸n nµy tá ra cùc kú khã. Çc nhµ to¸n häc ®· vµ ®ang vËt lén víi nã tõ bÊy ®Õn nay. (DiÔn ®¹t cña John Milnor) Gi¶ thiÕt Riemann Mét sè sè tù nhiªn cã tÝnh chÊt ®Æc biÖt lµ chóng kh«ng thÓ viÕt thµnh tÝch cña hai sè nhá h¬n, ch¼ng h¹n 2, 3, 5, 7 ... Nh÷ng sè nh− thÕ ®−îc gäi lµ çc sè nguyªn tè. Chóng ®ãng mét vai trß quan träng trong to¸n häc thuÇn tuý còng nh− nh÷ng ¸p dông cña nã. Sù ph©n bè cña çc sè nguyªn tè gi÷a çc sè tù nhiªn kh«ng tu©n theo mét mÉu chÝnh quy nµo c¶. Tuy nhiªn nhµ to¸n häc §øc G. F. B. Riemann (1826-1866) quan s¸t thÊy r»ng tÇn suÊt xuÊt hiÖn çc sè nguyªn tè cã quan hÖ mËt thiÕt víi mét hµm phøc t¹p “z(s)” ®−îc gäi lµ hµm Zeta (cña) Riemann. Gi¶ thiÕt Riemann kh¼ng ®Þnh r»ng tÊt c¶ çc nghiÖm thó vÞ cña ph−¬ng tr×nh z(s) = 0 ®Òu n»m trªn mét ®−êng th¼ng. §iÒu nµy ®· ®−îc kiÓm nghiÖm ®èi víi 1.500.000.000 nghiÖm ®Çu tiªn. NÕu t×m ®−îc mét chøng minh cho gi¶ thiÕt Riemann, nã sÏ räi s¸ng vµo nhiÒu ®iÒu bÝ Èn xung quanh sù ph©n bè cña çc sè nguyªn tè. (DiÔn ®¹t cña Enrico Bombieri)

Lý ThuyÕt Yang-Mills Nh÷ng ®Þnh luËt cña vËt lý l−îng tö cã vai trß ®èi víi thÕ giíi çc h¹t c¬ b¶n còng gièng hÖt nh− nh÷ng ®Þnh luËt Newton cña c¬ häc cæ ®iÓn ®èi víi thÕ giíi vÜ m«. GÇn nöa thÕ kû tr−íc, Yang vµ Mills ph¸t hiÖn ra r»ng vËt lý l−îng tö biÓu lé mét mèi quan hÖ ®¸ng chó ý gi÷a vËt lý cña çc h¹t c¬ b¶n vµ to¸n häc cña çc ®èi t−îng h×nh häc. Çc dù ®o¸n ®Æt nÒn t¶ng trªn ph−¬ng tr×nh Yang-Mills ®· ®−îc kiÓm nghiÖm trong çc thÝ nghiÖm n¨ng l−îng cao ®−îc tiÕn hµnh t¹i çc phßng thÝ nghiÖm trªn toµn thÕ giíi: Brookhaven, Stanford, CERN vµ Tskuba. Tuy nhiªn, kh«ng cã nghiÖm nµo ®· ®−îc biÕt cña ph−¬ng tr×nh nµy ®ång thêi võa m« t¶ çc h¹t c¬ b¶n cã khèi l−îng võa chÝnh x¸c vÒ mÆt to¸n häc. Nãi riªng, gi¶ thiÕt vÒ “chç hæng khèi l−îng”, mµ phÇn lín çc nhµ vËt lý thõa nhËn vµ sö dông trong lý gi¶i cña hä cho tÝnh kh«ng quan s¸t ®−îc cña çc h¹t quark, ch−a bao giê ®−îc chøng minh tho¶ ®¸ng vÒ mÆt to¸n häc. Nh÷ng tiÕn bé trong vÊn ®Ò nµy sÏ ®ßi hái ph¶i ®−a ra nh÷ng ý t−ëng míi c¬ b¶n c¶ trong vËt lý vµ to¸n häc. (ViÖn CMI kh«ng cho biÕt t¸c gi¶ cña diÔn ®¹t nµy.) Ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes+ Sãng næi lªn phÝa sau khi chóng ta b¬i thuyÒn qua hå vµ dßng kh«ng khÝ rèi cuèn theo sau m¸y bay cña chóng ta. Çc nhµ to¸n häc vµ vËt lý tin r»ng mét sù lý gi¶i vµ dù ®o¸n cho hai hiÖn t−îng sãng vµ dßng rèi cã thÓ t×m thÊy th«ng qua viÖc hiÓu çc nghiÖm cña çc ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes. MÆc dÇu çc ph−¬ng tr×nh nµy ®· ®−îc viÕt ra tõ thÕ kû 19, nh−ng hiÓu biÕt cña chóng ta vÒ chóng cßn rÊt Ýt ái. Th¸ch thøc ®−îc ®Æt ra lµ t¹o lËp nh÷ng tiÕn bé thùc chÊt h−íng tíi mét lý thuyÕt to¸n häc nh»m

+ Xem diÔn ®¹t chÝnh x¸c trong bµi cña GS TrÇn §øc V©n ®¨ng cïng sè nµy.

9

më toang nh÷ng bÝ Èn bao trïm çc ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes. (DiÔn ®¹t cña Charles Fefferman) Gi¶ thuyÕt Birch vµ Swinnerton-Dyer Çc nhµ to¸n häc lu«n bÞ quyÕn rò bëi bµi to¸n t×m tÊt c¶ çc nghiÖm nguyªn x, y, z cña çc ph−¬ng tr×nh ®¹i sè kiÓu x2 + y2 = z2. Euclid ®· t×m ra tÊt c¶ çc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®ã, nh−ng ®èi víi çc ph−¬ng tr×nh phøc t¹p h¬n th× viÖc gi¶i trë thµnh cùc kú khã. ThËt vËy, n¨m 1970 Yu. V. Matiyasevich chøng minh r»ng bµi to¸n thø 10 cña Hilbert kh«ng thÓ gi¶i ®−îc, tøc lµ kh«ng cã ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t

®Ó x¸c ®Þnh xem khi nµo th× mét ph−¬ng tr×nh nh− vËy cã mét nghiÖm nguyªn. Nh−ng trong çc tr−êng hîp riªng, ng−êi ta cã thÓ hy väng nãi ®−îc ®«i ®iÒu. Khi mµ çc nghiÖm lµ çc ®iÓm cña mét ®a t¹p ®¹i sè, gi¶ thuyÕt Birch vµ Swinnerton-Dyer kh¼ng ®Þnh r»ng ®é lín cña nhãm çc ®iÓm (tøc lµ çc nghiÖm) h÷u tû cã quan hÖ víi d¸ng ®iÖu cña mét hµm zeta liªn kÕt z(s) ë gÇn ®iÓm s=1. §Æc biÖt, gi¶ thuyÕt ®¸ng kinh ng¹c nµy kh¼ng ®Þnh r»ng nÕu z(1)=0 th× ph−¬ng tr×nh cã mét sè v« h¹n nghiÖm h÷u tû vµ ng−îc l¹i, nÕu z(1) kh¸c 0 th× ph−¬ng tr×nh chØ cã mét sè h÷u h¹n nghiÖm h÷u tû. (DiÔn ®¹t cña Andrew Wiles)

Bµi to¸n vÒ tån t¹i nghiÖm tr¬n cña hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes

TrÇn §øc V©n ( ViÖn To¸n häc )

Võa qua, th¸ng 6 n¨m 2000, ®Ó chµo mõng Thiªn niªn kû míi, ViÖn To¸n häc

Clay t¹i Cambridge, Massachusetts ®· cho c«ng bè 7 bµi to¸n ThÕ kû víi gi¶i th−ëng 7 triÖu USD (mçi bµi to¸n lµ mét triÖu USD) cho nh÷ng ai gi¶i quyÕt ®−îc chóng. Trong bµi b¸o nhá nµy chóng t«i muèn tr×nh bµy víi çc b¹n yªu to¸n mét trong nh÷ng bµi to¸n ®ã, bµi to¸n cã liªn quan ®Õn hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes.

MÆc dï ®−îc ®−a ra nghiªn cøu lÇn ®Çu tiªn vµo n¨m 1822, cho ®Õn nay ®· cã hµng v¹n bµi b¸o vµ s¸ch viÕt vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes, tuy nhiªn nh÷ng hiÓu biÕt cña chóng ta vÒ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh nµy cßn qu¸ khiªm tèn. Muèn hiÓu ®−îc hiÖn t−îng sãng dËp sau ®u«i con tµu ch¹y trªn mÆt n−íc hoÆc hiÖn t−îng hçn lo¹n cña kh«ng khÝ sau ®u«i m¸y bay khi bay trªn bÇu trêi... chóng ta ®Òu ph¶i t×m çch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes. Do nhu cÇu cña Khoa häc vµ C«ng nghÖ mµ viÖc nghiªn cøu hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes cµng trë nªn thêi sù vµ cÊp thiÕt.

HÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes m« t¶ sù chuyÓn ®éng cña chÊt láng nhít trong Rn (n = 2 hoÆc 3). Ta gi¶ thiÕt r»ng chÊt láng kh«ng nÐn ®−îc lÊp ®Çy Rn. Ta ®i t×m mét hµm vÐc t¬ vËn tèc u(x, t) = (ui (x, t)), i = 1, 2,... ,n vµ hµm ¸p suÊt p(x, t) ∈ R, x¸c ®Þnh t¹i vÞ trÝ x ∈ Rn vµ thêi gian t > 0, tho¶ m·n hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes nh− sau:

10

(1) ∑=

>∈+∂∂

−∆=∂∂

+∂

∂ n

j

ni

ii

i

ij

i tRxtxfxpu

xu

utu

1)0,(),(ν

(2) )0,(0div1

>∈=∂∂

= ∑=

tRxxuu n

n

i i

i

vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu (3) )()()0,( no Rxxuxu ∈= .

ë ®©y, hµm vÐc t¬ uo(x) lµ kh¶ vi v« h¹n vµ div uo = 0 (tøc lµ uo(x) lµ mét C∞- tr−êng vÐc t¬ tù do div trªn Rn), fi(x, t) lµ nh÷ng hµm ®· biÕt biÓu thÞ çc lùc t¸c ®éng bªn

ngoµi (vÝ dô nh− träng lùc), ν lµ mét hÖ sè nhít d−¬ng, cßn ∑ = ∂∂

=∆ ni

ix1 2

2

lµ to¸n tö

Laplace theo çc biÕn kh«ng gian x ∈ Rn.

Ph−¬ng tr×nh (1) chÝnh lµ §Þnh luËt Newton f = ma ®èi víi chÊt láng nhít d−íi sù t¸c ®éng cña lùc bªn ngoµi f = (fi(x, t)), i = 1,.., n. Ph−¬ng tr×nh (2) miªu t¶ sù kh«ng nÐn cña chÊt láng. Tõ ý nghÜa vËt lý, ta thÊy r»ng hµm u(x, t) kh«ng t¨ng qu¸ nhanh khi |x| → ∞. V× thÕ, ta sÏ cho çc lùc f vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu uo tho¶ m·n ®iÒu kiÖn t¨ng nh− sau: (4) k

ko

x xCxu −+≤∂ )1()( αα trªn Rn víi α vµ k bÊt kú

vµ (5) k

mkmtx txCtxf −++≤∂∂ )1(),( α

α trªn Rn × [0, ∞) víi bÊt kú α, m, k.

Chóng ta sÏ nãi r»ng nghiÖm cña bµi to¸n (1)-(3) cã ý nghÜa vËt lý nÕu nã tho¶ m·n (6) )),0[(, ∞×∈ ∞ nRCup vµ

(7) ∫ <nRCdxtxu ,),( 2

víi mäi t ≥ 0.

VÊn ®Ò c¬ b¶n ë ®©y lµ liÖu cã tån t¹i nghiÖm tr¬n, cã ý nghÜa vËt lý cña hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes? ChÝnh x¸c h¬n, ta cã thÓ ®Æt çc gi¶ thuyÕt sau. Gi¶ thuyÕt A: (Tån t¹i nghiÖm tr¬n cña hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes trong R3). Cho ν >0, n = 3 vµ f(x, t) = 0. Gi¶ thiÕt r»ng uo(x) lµ mét tr−êng vÐc t¬ bÊt kú, tr¬n, div uo = 0, tho¶ m·n (4). Khi ®ã tån t¹i çc hµm tr¬n p(x,t) vµ ui(x,t), i=1,.., n trong R3 × [0, ∞) tho¶ m·n (1), (2), (3), (6) vµ (7). Gi¶ thuyÕt B: (Kh«ng tån t¹i nghiÖm tr¬n cña hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes trong R3). Cho ν > 0 vµ n = 3. Khi ®ã tån t¹i mét tr−êng vÐc t¬ uo(x) trªn R3 tr¬n vµ div uo = 0 vµ mét hµm tr¬n f(x, t) trªn R3 × [0, ∞), tho¶ m·n (4), (5), mµ kh«ng tån t¹i nghiÖm tr¬n (p, u) cña bµi to¸n (1), (2), (3), (6), (7) trªn R3 × [0, ∞).

Nh− vËy, gi¶ thuyÕt B mét phÇn nµo ®ã phñ ®Þnh gi¶ thuyÕt A.

ViÖn To¸n häc Clay s½n sµng trao 1 triÖu USD cho nhµ to¸n häc nµo chøng minh ®−îc mét trong hai gi¶ thuyÕt trªn.

Trong tr−êng hîp n = 2, gi¶ thuyÕt A ®· ®−îc Olga Ladyzhenskaya, ViÖn sÜ ViÖn hµn l©m khoa häc Nga gi¶i quyÕt trän vÑn vµ c«ng bè trong [2]. Nh−ng ph−¬ng ph¸p mµ Olga Ladyzhenskaya sö dông kh«ng gióp Ých g× cho viÖc chøng minh gi¶ thuyÕt A, v× nh÷ng khã kh¨n c¬ b¶n ®· kh«ng xuÊt hiÖn khi n = 2.

11

Víi n = 3, ta ®· cã çc kÕt qu¶ sau ®©y.

Gi¶ thuyÕt A lµ ®óng, nÕu hµm ban ®Çu uo lµ ®ñ nhá, cã nghÜa lµ |uo| << ε. Tr−êng hîp nÕu hµm ban ®Çu uo kh«ng nhá th× gi¶ thuyÕt A sÏ ®óng khi ta thay kho¶ng thêi gian [0, ∞) b»ng kho¶ng thêi gian ng¾n [0, T], trong ®ã thêi gian cuèi T phô thuéc vµo hµm ban ®Çu uo. Víi hµm ban ®Çu cho tr−íc uo, thêi gian cuèi T lín nhÊt mµ gi¶ thuyÕt A vÉn ®óng ®−îc gäi lµ thêi gian bïng næ. §èi víi hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes, nÕu tån t¹i mét nghiÖm víi thêi gian bïng næ h÷u h¹n T, khi ®ã vËn tèc ui(x, t), i = 1,.., n trë thµnh kh«ng giíi néi t¹i gÇn thêi ®iÓm T.

Th«ng th−êng, khi nghiªn cøu mét bµi to¸n ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng (§HR), tr−íc tiªn ng−êi ta t×m nghiÖm yÕu cña nã, sau ®ã sÏ xÐt ®Õn tÝnh chÝnh quy cña nghiÖm yÕu ®ã (tøc lµ xÐt xem nghiÖm yÕu kh¶ vi ®Õn cÊp nµo). ý t−ëng ®−a ra ®Þnh nghÜa nghiÖm yÕu chÝnh lµ b»ng çch nh©n ph−¬ng tr×nh §HR víi mét hµm sè kh¸ tèt ®−îc gäi lµ hµm thö (hµm sè nµy kh¶ vi v« h¹n vµ cã gi¸ comp¾c), sau ®ã lÊy tÝch ph©n tõng phÇn ®Ó chuyÓn çc ®¹o hµm cña nghiÖm sang hµm thö. Trong tr−êng hîp hÖ Navier-Stokes ta lµm nh− sau. Gi¶ sö lóc nµy r»ng nghiÖm u(x, t) lµ hµm tr¬n. Víi mçi tr−êng vÐc t¬ tr¬n vµ cã gi¸ comp¾c θ(x, t) = (θi(x, t)), i = 1,.., n, ta nh©n nã víi ph−¬ng tr×nh (1), sau ®ã lÊy tÝch ph©n tõng phÇn ®Ó nhËn ®−îc

(8) ∫∫ ∑ ∫∫× ×=

∂∂

−∂∂

−RR

ijRR

j

iji dxdt

xuudxdt

tu3 3

θθ

∫∫ ∫∫ ∫∫× × ×−+∆=

RR RR RRdxdtpdxdtfdxdtu3 3 3 )div(. θθθ .

Chó ý r»ng ®ång nhÊt thøc (8) cã ý nghÜa kh«ng nh÷ng víi hµm tr¬n u(x, t) mµ cßn ®óng víi hµm u ∈ L∞, f ∈ L1, p ∈ L1, trong khi ®ã ph−¬ng tr×nh (1) chØ cã nghÜa khi hµm u(x,t) kh¶ vi hai lÇn trë lªn. V× thÕ, khi ®Þnh nghÜa nghiÖm yÕu cña hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes, ta chØ cÇn gi¶ thiÕt hµm u(x, t) thuéc L∞. T−¬ng tù, nÕu ϕ (x, t) lµ hµm tr¬n vµ cã gi¸ comp¾c trong R3 × [0, ∞), b»ng çch lÊy tÝch ph©n tõng phÇn tõ ph−¬ng tr×nh (2) ta cã (9) ∫∫ ×

=∇RR x dxdtu3 0. ϕ

Hµm vÐc t¬ u(x, t) tho¶ m·n (8), (9) víi mäi hµm thö θ vµ ϕ ®−îc gäi lµ nghiÖm yÕu cña hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes.

Nhµ to¸n häc ng−êi Ph¸p, Leray [3] lµ ng−êi ®Çu tiªn chøng minh ®−îc r»ng bµi to¸n (1), (2), (3) cña hÖ Navier-Stokes víi n = 3 lu«n lu«n cã nghiÖm yÕu (p, u) cã ®é t¨ng hîp lý. Tuy nhiªn vÊn ®Ò vÒ tÝnh duy nhÊt nghiÖm yÕu vÉn cßn ®Ó ngá cho ®Õn ngµy nay.

Sau Leray, nhiÒu nhµ to¸n häc ®· nghiªn cøu tÝnh chÝnh quy cña nghiÖm yÕu ®èi víi hÖ Navier-Stokes. VÝ dô nh− Scheffer [4] ®· ¸p dông ý t−ëng cña lý thuyÕt ®é ®o h×nh häc ®Ó chøng minh §Þnh lý vÒ tÝnh chÝnh quy tõng phÇn cña nghiÖm yÕu. Caffarelli, Kohn vµ Nirenberg [5] ®· c¶i tiÕn kÕt qu¶ cña Scheffer, cßn F. H. Lin [6 ] ®· cho nh÷ng chøng minh ®¬n gi¶n çc kÕt qu¶ cña Caffarelli, Kohn, Nirenberg.

§Þnh lý vÒ tÝnh chÝnh quy tõng phÇn cña nghiÖm yÕu trong [4], [5], [6] liªn quan ®Õn mét t−¬ng tù parabolic cña ®é ®o Hausdorff cña tËp k× dÞ cña nghiÖm yÕu. TËp k× dÞ cña mét nghiÖm yÕu u chøa çc ®iÓm (x, t) ∈ R3 × R sao cho u lµ kh«ng giíi néi trong tõng l©n cËn cña (x, t). Nh− vËy, nÕu ®iÓm (x, t) kh«ng thuéc tËp k× dÞ vµ hµm f lµ tr¬n th× ta cã thÓ xem u lµ hµm tr¬n t¹i l©n cËn cña ®iÓm (x, t).

12

§Ó ®Þnh nghÜa mét t−¬ng tù parabolic cña ®é ®o Hausdorff, ta sÏ sö dông

H×nh trô parabolic Qr = Br × Ir ⊂ R3 × R, trong ®ã Br ⊂ R3 lµ h×nh cÇu b¸n kÝnh r, cßn Ir ⊂ R lµ kho¶ng cã ®é dµi r. Cho mét tËp E ⊂ R3 × R vµ δ > 0, ta ®Æt

⎩⎨⎧= ∑

∞

=121, ,,:inf)(

irr

kik QQrEP Κδ phñ E, vµ mçi },δ<ir

vµ ®Þnh nghÜa ),(lim)( ,0

EPEP kk δδ +→=

trong ®ã k lµ mét sè thùc d−¬ng nµo ®ã. B©y giê ta cã thÓ ph¸t biÓu mét çch th« çc kÕt qña cña [5], [6] nh− sau.

§Þnh lý. ( I). Cho u lµ nghiÖm yÕu cña hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes tháa m·n ®é t¨ng hîp lý vµ E lµ tËp k× dÞ cña u. Khi ®ã P5/3(E) = 0. (II). Víi uo lµ tr−êng vÐc t¬, div uo = 0 vµ f (x, t) tho¶ m·n (4) vµ (5), tån t¹i mét nghiÖm yÕu cña bµi to¸n (1), (2), (3) víi ®iÒu kiÖn ®é t¨ng nh− trong (I).

Nh− vËy, tËp k× dÞ cña nghiÖm yÕu u kh«ng thÓ chøa çc ®−êng cong d¹ng {(x, t) ∈ R3 × R: x = φ(t)}. §iÒu nµy cã nghÜa nghiÖm yÕu lµ kh¶ vi v« h¹n trong R3 × [0, ∞) trõ ®i nh÷ng tËp E cã ®é ®o P5/3(E) = 0. §©y lµ kÕt qu¶ tèt nhÊt vÒ tÝnh chÝnh quy cña nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes. Nh−ng theo çc nhµ chuyªn m«n th× kh«ng thÓ ®i xa h¬n n÷a theo h−íng nµy. Muèn gi¶i ®−îc bµi to¸n vÒ tån t¹i nghiÖm tr¬n cña hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes, chóng ta cÇn ph¶i cã çch tiÕp cËn míi, ý t−ëng míi vµ ph−¬ng ph¸p míi.

Trong lÞch sö to¸n häc thÕ giíi, nhiÒu nhµ to¸n häc lµm viÖc trong lÜnh vùc ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng, nhê gi¶i quyÕt nh÷ng bµi to¸n hãc bóa cña lÜnh vùc nµy mµ ®−îc nhËn gi¶i th−ëng Phin (t−¬ng ®−¬ng víi gi¶i Nobel cho çc ngµnh khoa häc kh¸c), nh− L. Schwartz, L. Hormander, C. Fefferman, P. L. Lions... Bµi to¸n vÒ tån t¹i nghiÖm tr¬n cña hÖ ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes lµ mét th¸ch thøc lín ®èi víi nh÷ng ng−êi lµm to¸n trong thÕ kû 21 nµy.

Tµi liÖu tham kh¶o

1. C. Fefferman, Existence and Smoothness of the Navier-Stokes Equations, Preprint of Clay Mathematics Institute, 2000.

2. O. Ladyzhenskaya, The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows ( in Russian ), Moscow, 1961.

3. J. Leray, Sur le Mouvment d'un Liquide Visquex Emplissent l'Espace, Acta Math. J. 63 (1934), 193-248.

4. V. Scheffer, Turbulence and Hausdorff Dimension, Lecture Note in Math., 565(1976), 94-112. 5. L. Caffarelli, R. Kohn and L. Nirenberg, Partial Regularity of Suitable Weak Solutions of the

Navier-Stokes Equations, Comm. Pure & Appl. Math. 35 (1982), 771-831. 6. F. Lin, A New Proof of the Caffarelli- Kohn- Nirenberg Theorem, Comm. Pure & Appl. Math. 51

(1998), 241-257.




Jacob Bernoulli (1654-1705)

5

Gi¶ thuyÕt Jacobi

NguyÔn V¨n Ch©u (ViÖn To¸n häc) 1. Gi¶ thuyÕt Jacobi N¨m 1939, khi nghiªn cøu nhãm çc ®¼ng cÊu cña vµnh Z[x,y] nhµ to¸n häc §øc Otto Henrich Keller ®−a ra gi¶ thuyÕt r»ng: "¸nh x¹ ®a thøc f: Cn → Cn víi hÖ sè nguyªn cã ¸nh x¹ ng−îc víi hÖ sè nguyªn nÕu det DF(x) ≡ 1".[O. H. Keller, Ganze Cremona-Transformationen, Monatch. Math. Phys. 47, (1939), 299-306]. Ngµy nay, gi¶ thuyÕt cña Keller ®−îc biÕt ®Õn víi tªn gäi Gi¶ thuyÕt Jacobi vµ ®−îc ph¸t biÓu ë d¹ng sau. (JCn): ¸nh x¹ ®a thøc F: Cn → Cn cã ¸nh x¹ ng−îc ®a thøc nÕu

det DF(x) ≡ const. ≠ 0. (J) H¬n 60 n¨m tr«i qua, mÆc dï ®· cã kh«ng Ýt nh÷ng nç lùc ®−îc tiÕn hµnh nh»m hiÓu b¶n chÊt cña gi¶ thuyÕt nµy nh−ng kÕt qu¶ thu ®−îc vÉn cßn Ýt ái vµ vÉn ch−a cã mét lêi gi¶i ®Çy ®ñ ngay c¶ cho tr−êng hîp n = 2. §· cã kh«ng Ýt çc chøng minh sai cña (JCn) ®−îc c«ng bè. Xin trë l¹i víi §Þnh lý hµm Èn. Cho biÕn x = (x1, x2, …, xn) vµ A(x) lµ mét trong çc vµnh: (1) Vµnh çc hµm kh¶ vi líp Ck biÕn x, k ≥ 1; (2) Vµnh çc hµm gi¶i tÝch phøc biÕn x; (3) Vµnh çc chuçi lòy thõa h×nh thøc biÕn x víi hÖ sè trong tr−êng ®Æc sè 0.

§Þnh lý Gi¶ sö F = (F1, …, Fn),

F(x) = 0, Fi ∈ A(x). NÕu det DF(0) ≠ 0 (*)

th× ph−¬ng tr×nh xxFGxGF == )()( οο (* *)

cã vµ cã duy nhÊt nghiÖm G = (G1, …,Gn), Gi ∈ A(x). Trong ph−¬ng tr×nh (**), nÕu F vµ G lµ ¸nh x¹ ®a thøc, ta cã

IxDGDF ≡)(ο vµ do ®ã det DF(x) ≡

const. ≠ 0. Nh− vËy, trong ph¸t biÓu trªn, nÕu A(x) lµ vµnh çc ®a thøc C[x]

vµ thay ®iÒu kiÖn (*) bëi ®iÒu kiÖn (J), ta nhËn ®−îc ph¸t biÓu cña (JCn). Abhyankar gäi (JCn) lµ "§Þnh lý Hµm Èn ®¹i sè". Gi¶ thuyÕt Jacobi cã thÓ ®−îc ph¸t biÓu cho çc tr−êng k cã ®Æc sè 0 bÊt kú. Tuy nhiªn, çc ph¸t biÓu nµy ®Òu t−¬ng ®−¬ng víi ph¸t biÓu trªn (Nguyªn lý Lefschetz). Ngoµi ra, Gi¶ thuyÕt Jacobi t−¬ng ®−¬ng víi Gi¶ thuyÕt cña Keller. Çc kh¼ng ®Þnh nµy ®−îc suy ra tõ §Þnh lý hµm Èn vµ tÝnh phæ dông cña tr−êng sè phøc. Çc t−¬ng tù cña (JCn) ®èi víi tr−êng k cã ®Æc sè p > 0, ®èi víi çc ¸nh x¹ kh¶ vi, çc ¸nh x¹ gi¶i tÝch ®Òu kh«ng ®óng. H¬n n÷a, n¨m 1993 Pinchuck kh¸m ph¸ ra r»ng: "¸nh x¹ ®a thøc kh«ng kú dÞ cña mÆt ph¼ng thùc kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i lµ ®¬n ¸nh". Nh− vËy, gi¶ thuyÕt Jacobi lµ vÊn ®Ò cña ¸nh x¹ ®a thøc phøc.

§¬n ¸nh ®a thøc lµ song ¸nh §Þnh lý (Newmann (1962), Bialinicski & Rosenlicht (1962))

(i) §¬n ¸nh ®a thøc cña Rn ph¶i lµ song ¸nh.

(ii) §¬n ¸nh ®a thøc cña Cn ph¶i lµ ®¼ng cÊu ®a thøc cña Cn. KÕt qu¶ nµy ®−îc ®¸nh gi¸ nh− mét b−íc tiÕn thùc sù trong nhËn thøc vÒ (JCn), ®−a ra mét ®Æc tr−ng chØ riªng cña ¸nh x¹ ®a thøc. Víi ®Þnh lý nµy ta cã

(JCn) ⇔ "(J) ⇒ F lµ ®¬n ¸nh" ⇔ "(J) ⇒ F lµ ¸nh x¹ riªng".

2. §Þnh lý Jung vµ VÊn ®Ò Nagata Ngay tõ n¨m 1941, khi xÐt nhãm Aut(Cn) cña çc ®¼ng cÊu ®a thøc cña Cn, Jung ®· nhËn ®−îc m« t¶ cña nhãm Aut(C2).

§Þnh lý Jung Nhãm Aut(C2) sinh bëi çc ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh vµ ®¼ng cÊu cã d¹ng (x, y) α (x + h (y), y), h lµ ®a thøc mét biÕn.

6

§Þnh lý nµy thu hót sù chó ý cña rÊt nhiÒu nhµ to¸n häc kh«ng chØ v× vÎ ®Ñp cña nã mµ cßn v× nã cã vÎ nh− rÊt gÇn víi (JC2). N¨m 1953 Van den Kul ®−a ra chøng minh kh¸c qui vÒ 2 kh¼ng ®Þnh sau: i) F = (P, Q) ∈ Aut(C2) ⇒ deg P⏐deg Q hoÆc deg Q⏐deg P ii) NÕu P = P0 + …+ Pd, Q = Q0 + …+ Qe, d, e > 1, Pi, Qi thuÇn nhÊt bËc i, det D(P, Q) ≡ const ≠ 0 th× Pd

e = cQed, c

≠ 0. Çch chøng minh nµy ®−a ®Õn kh¼ng ®Þnh: (JC2) ⇔ "(J) ⇒ deg P⏐deg Q hoÆc deg Q⏐deg P". - Abhyankar & Moh (1972): NhËn l¹i ®Þnh lý Jung tõ "®Þnh lý nhóng". - Shafaverich (1965) ®−a ra chøng minh b»ng tiÕp cËn "nhãm ®¹i sè v« h¹n chiÒu". - 1980-1999: mét sè chøng minh míi b»ng tiÕp cËn ®a gi¸c Newton, khai triÓn Newton-Puisuex.

VÊn ®Ò Nagata Ký hiÖu TAut(Cn) lµ nhãm sinh bëi çc ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh vµ çc ®¼ng cÊu tam gi¸c - nh÷ng ®¼ng cÊu cã d¹ng Fi(x1, …, xn)=xi+Ti (xi+1, …, xn). Gi¶ thuyÕt (Nagata 1972): Víi n > 2, TAut(Cn) lµ nhãm con thùc sù cña Aut(Cn). Nagata ®Ò xuÊt kiÓm tra: F (x, y, z) = (x - 2y (xz + y2) - z (xz + y2), y + z (xz + y2), z) ∉ TAut(Cn). Gi¶ thuyÕt "Stable Tame" Víi mçi F ∈ Aut(Cn) tån t¹i m > 0 sao cho F[m](x,xn+1,…,xn+m):=(F(x),xn+1,…,xn+m)∈ TAut(Cn+m). Cho ®Õn nay, çc vÊn ®Ò trªn vÉn ch−a cã lêi gi¶i. L−u ý r»ng ®èi víi ®¼ng cÊu F ®Ò xuÊt bëi Nagata ë trªn F[1] ∈ TAut(C4). Shafarevich (1982/1995) nhËn ®−îc r»ng Aut(Cn) lµ "nhãm ®¹i sè v« h¹n chiÒu ®ãng nhá nhÊt" chøa T Aut(Cn).

3. Tõ chøng minh sai cña B. Serre ®Õn §Þnh lý nhóng • B. Serre, trong çc n¨m 1956 - 1960 c«ng bè ba chøng minh cña gi¶ thuyÕt Jacobi. Trong bµi b¸o thø hai, Serre chøng minh (JC2) b»ng lËp luËn ®¬n gi¶n sau: Chän (a, b) ≠ 0 vµ xÐt φ (t) = f (ta, tb). Tõ ®iÒu kiÖn Jacobi suy ra dφ (t)/dt ≠ 0. Khi ®ã, Serre lËp luËn sai r»ng v× dφ (t)/dt ≠ 0 nªn φ lµ ®¬n ¸nh vµ ®−a chøng minh vÒ Bæ ®Ò Gi¶ sö f = (p, q) : C → C2 lµ phÐp nhóng ®a thøc. Khi ®ã,

deg p | deg q hoÆc deg q | deg p. Canall vµ LLuis (1970) chØ ra lçi cña Serre trong chøng minh bæ ®Ò nµy vµ ®−a ra mét chøng minh kh¸c. N¨m 1972, ®Õn l−ît Abhyankar vµ Moh chØ ra lçi cña Canall vµ Lluis vµ chøng minh theo tiÕp cËn "Hight-School Algebra". §Þnh lý Abhyankar - Moh Cho f: C → C2 lµ phÐp nhóng ®a thøc. Khi ®ã, tån t¹i h∈Aut (C2) sao cho )0,()( ttfh =ο . §Þnh lý nµy ®−îc sö dông trong hÇu hÕt çc kÕt qu¶ riªng vÒ (JC2). • VÊn ®Ò Nhóng: C©u hái ®Æt ra lµ: §Þnh lý trªn cã cßn ®óng cho phÐp nhóng ®a thøc Cn-1→ Cn hay kh«ng? Tæng qu¸t h¬n, Çc phÐp nhóng Ckvµo Cn cã t−¬ng ®−¬ng víi phÐp nhóng tù nhiªn hay kh«ng ? Cho ®Õn nay, ng−êi ta chØ nhËn ®−îc c©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh cho çc tr−êng hîp khi n ≥ 2k+2 .VÉn ch−a râ cã bao nhiªu líp t−¬ng ®−¬ng cña çc phÐp nhóng ®a thøc C→ C3.

4. Tr−êng hîp deg F= 2 vµ Rót gän bËc 3 • N¨m 1980 Wang vµ Oda ®−a ra chøng minh (JCn) cho tr−êng hîp deg F = 2. Chøng minh cña Oda: NÕu F kh«ng lµ ®¬n ¸nh, ta cã thÓ gi¶ thiÕt r»ng 0 = F(0) = F(a), a ≠ 0. BiÓu diÔn F(x) = F1(x) + F2(x), Fk lµ thuÇn nhÊt bËc k. Ta cã:

7

0 = F1(a) + F2(a) = F1(a) + 2×21

F2(a)

=dtd

(F1(a).t+F2(a).t2)t=1/2= dtd

(F1(ta)+F2

(ta))t=1/2= DF(21

a). a.

V× DF(21

a) kh¶ nghÞch vµ a ≠ 0 ta cã

m©u thuÉn. • TiÕp cËn rót gän bËc: TiÕp cËn nµy xuÊt ph¸t tõ nhËn xÐt r»ng: F(x) ∈ Aut(Cn) ⇔ F[m] (x, xn+1, …, xn+m):=(F(x),xn+1,…,xn+m)∈ Aut(Cn+m). Còng gièng nh− viÖc cëi mét nót b»ng çch nhóng nã vµo trong kh«ng gian 4 chiÒu, ng−êi ta hi väng r»ng khi m ®ñ lín cã thÓ ®−a F[m] vÒ d¹ng ®¬n gi¶n nhê çc ®¼ng cÊu trong d¹ng cña F[m]. KÕt qu¶ thu ®−îc thËt Ên t−îng. Gi¶ thuyÕt (HJCn): (JCn) ®óng víi F(x)=x+ H3 (x), H3 thuÇn nhÊt bËc 3. §Þnh lý rót gän (Jagzev (1980), Bass, Connel vµ Wright (1982)) "(HJCn) ®óng víi mäi n" ⇔ "(JCn) ®óng víi mäi n". Druzkowski (1983) cßn chØ ra r»ng trong (HJCn), cã thÓ thay H3 b»ng H = (H1, …, Hn), Hi(x) = (ai,x)3. L−u ý r»ng, DH3 lµ ma trËn lòy linh, DH3

n ≡ O. Bass, Connel & Wright (1982) kiÓm tra (HJC2). N¨m 1993 Wright chøng minh (HJC3) b»ng çch ®Þnh d¹ng (b»ng tay) cña H3 nhê ®iÒu kiÖn DH3

n ≡ O. N¨m 1995, Van de Essen vµ Hubber chøng minh (HJC4) nhê t×m d¹ng cña H3 víi kho¶ng 60 giê tÝnh trªn m¸y tÝnh. Cho ®Õn nay, (HJC5) vÉn cßn lµ bµi to¸n më.

5. Gi¶ thuyÕt Jacobi vµ VÊn ®Ò Markus-Yamable N¨m 1960, Markus-Yamable ®−a ra Gi¶ thuyÕt sau (MYCn): Cho f: Rn → Rn kh¶ vi líp C1, f(0) = 0. NÕu

∀x ∈ Rn mäi gi¸ trÞ riªng cña Df(x) cã phÇn thùc ©m (MY) th× hÖ dx/dt = f(x) lµ æn ®Þnh toµn côc, tøc mäi nghiÖm x(t) → 0 khi t → +∞

§Ó ý r»ng nÕu (YMCn) ®óng th× (YM) lµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó f lµ ®¬n ¸nh. Nh− vËy, (HJCn) ®óng nÕu (MYCn) ®óng cho tr−êng hîp ®a thøc. Do ®ã, cã thÓ ®−a gi¶ thuyÕt Jacobi vÒ viÖc chøng minh Gi¶ thuyÕt Markus-Yamable cho tr−êng hîp ®a thøc. Olech ®−a ra nhËn xÐt nµy vµo n¨m 1991. Tr−íc ®ã, n¨m 1988, Olech & Meister ®· chøng minh (MYC2) cho tr−êng hîp ®a thøc. Tuy nhiªn, n¨m 1993 Guttierez vµ Fesler ®éc lËp chøng minh (MYC2) cho tr−êng hîp C1- kh¶ vi. BÊt ngê h¬n, n¨m 1995 nhãm nghiªn cøu cña Van den Essen sö dông Mathematica t×m ra nghiÖm tiÕn ra v« cïng cña hÖ d(x,y,z)/dt = (-x+z(x+yz)2,-y-(x + yz)2,-z) Nh− vËy, (MYC3) kh«ng ®óng ngay ®èi víi çc hÖ ®éng lùc ®a thøc 3 chiÒu. VÊn ®Ò cßn l¹i lµ: i) §iÒu kiÖn (YM) cã ®ñ ®Ó ¸nh x¹ ®a thøc f lµ song ¸nh kh«ng ? ii) HÖ ®éng lùc dx/dt = -x + H3(x) cã æn ®Þnh toµn côc hay kh«ng ?

6. Thay lêi kÕt TiÕp cËn "High- School Algebra" vµ kü thuËt khai triÓn Newton-Puisuex cña Abhyankar, çc tiÕp cËn h×nh häc vµ ®¹i sè cña Raza, Vitushkin, Orevkov, Heitmann, Werber, Le Dung Trang ®èi víi (JC2), cña Jelonek, Sathay, Van den Essen, Campbel, Yu v.v... ®èi víi (JCn) cïng çc tiÕp cËn "®a t¹p ®¹i sè v« h¹n chiÒu", ®¹i sè tÝnh to¸n ch−a ®−îc ®Ò cËp ®Õn ë trªn. Xin xem thªm.

- H.Bass, E.H. Connel & D. Wright, The Jacobian conjecture: Reduction of degree and formal expansion of the inverse, Bull. Amer. Math. Soc., 7(1982), 287-330.

- A. Van den Essen, ``Polynomial automorphisms and the Jacobian Conjecture'', Progress in Math., v.190, Birkhauser, Basel, 2000. Theo Steve Smale, Gi¶ thuyÕt Jacobi lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò to¸n häc cña thÕ kû 21 [S. Smale, Mathematical Problems for the next Century. Math. Intell. 20(1998), No2, 7-15].

1

10 thuËt to¸n hµng ®Çu(topten) cña thÕ kû 20

Lª Dòng M−u (ViÖn To¸n häc)

B¸o SIAM th¸ng 5 n¨m 2000 ®· giíithiÖu 10 thuËt to¸n cã ¶nh h−ëng lín nhÊttrong sù ph¸t triÓn vµ øng dông cña khoa

häc kü thuËt trong thÕ kû 20. §©y lµ sùlùa chän cña mét héi ®ång gåm c¸c nhµkhoa häc cã tªn tuæi trªn thÕ giíi. Sau ®©ylµ c¸c thuËt to¸n ®· ®−îc b×nh chän:

1. ThuËt to¸n Monte Carlo (1946) doJohn von Neumann, Stan Ulaur vµ NickMetropotis tÊt c¶ ®Òu lµm viÖc t¹i LosAlamos Scientific Laboratory. §©y lµ mét



Th¸ng 10 N¨m 2001 TËp 5 Sè 3

Henri Cartan (sinh 1904)

2

thuËt to¸n cho phÐp xÊp xØ nghiÖm cña nhiÒu líp bµi to¸n tæng qu¸t, dùa trªn çcphÐp thö ngÉu nhiªn. ChÝnh v× vËy mµthuËt to¸n ®−îc mang tªn mét thµnh phècña Ph¸p n¬i cã nhiÒu sßng b¹c næi tiÕng.

2. ThuËt to¸n ®¬n h×nh gi¶i quy ho¹chtuyÕn tÝnh do George Dantzig (RandCorporation) c«ng bè n¨m 1947. §©y lµmét trong nh÷ng thuËt to¸n ®−îc sö dôngréng r·i vµ thµnh c«ng nhÊt tõ khi nã ra®êi, do çc bµi to¸n quy ho¹ch tuyÕn tÝnhxuÊt hiÖn trong mäi lÜnh vùc cña khoa häckü thuËt, kinh tÕ v.v... ThuËt to¸n nµy tuycã ®é phøc t¹p tÝnh to¸n theo cÊp mò, tuynhiªn nã tá ra rÊt hiÖu qu¶ trong thùc tÕ.GÇn ®©y tuy ®· cã nh÷ng thuËt to¸n ®athøc gi¶i quy ho¹ch tuyÕn tÝnh, nh−ngph−¬ng ph¸p ®¬n h×nh vÉn ®−îc sö dôngnhiÒu h¬n c¶.

3. ThuËt to¸n kh«ng gian con Krylov hoÆccßn gäi lµ ph−¬ng ph¸p Gradient liªn hîpdo Magnus Hestenes, Eduard Stiefel vµCornelias Lanczos (National Bureau ofStandard) ®Ò xuÊt n¨m 1950 ThuËt to¸nnµy cho phÐp gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh A x =b. §©y lµ mét ph−¬ng ph¸p lÆp cã d¹ngKxt+1 = Kxt + b - A. trong ®ã K lµ mét matrËn xÊp xØ A. ViÖc t×m K ®−a ®Õn viÖcnghiªn cøu kh«ng gian con Krylov (tªnnhµ to¸n häc Nga Nicolai Krylov).Lancos ®· ph¸t hiÖn ra mét çch x©y dùngmét c¬ së trùc giao cho mét kh«ng giancon Krylov cho çc ma trËn ®èi xøng.Sau ®ã Hestenes vµ Stiefel ®· ®Ò nghÞ métph−¬ng ph¸p h−íng gradient liªn hîp chonh÷ng hÖ víi ma trËn ®èi xøng vµ x¸c®Þnh d−¬ng. Çc ph−¬ng ph¸p h−ínggradient liªn hîp còng ®· ®−îc sö dông gi¶i çc bµi to¸n tèi −u, ®Æc biÖt lµ quiho¹ch toµn ph−¬ng.

4. Ph−¬ng ph¸p ph©n r· ma trËn do Alston Householder (Oak Ridge NationalLaboratory) ®−a ra n¨m 1951. Kü thuËtph©n tÝch ma trËn vÒ çc d¹ng ®Æc biÖt nh−

tam gi¸c, d¹ng ®−êng chÐo, d¹ng khèi v.v... tá ra rÊt h÷u Ých trong viÖc tÝnh to¸nvíi çc ma trËn. Kü thuËt nµy ®· cho phÐpx©y dùng nh÷ng phÇn mÒm m¸y tÝnh rÊthiÖu qu¶ ®Ó tÝnh to¸n víi çc ma trËn.

5. Ng«n ng÷ FORTRAN do John Backusvµ ®ång sù thuéc IBM ®−a ra n¨m 1957 lµmét b−íc ngoÆt trong sù ph¸t triÓn ng«nng÷ dÞch cho m¸y tÝnh. Víi FORTRANcon ng−êi cã thÓ nãi víi m¸y tÝnh tÊt c¶nh÷ng g× muèn m¸y tÝnh thùc hiÖn mµkh«ng cÇn can thiÖp trùc tiÕp vµo ng«nng÷ cña m¸y.

6. ThuËt to¸n QR do J.G.F. Francis(Ferranti Ltd London) ®−a ra trong nh÷ng n¨m 1959-1961. §©y lµ mét thuËt to¸n æn®Þnh cho phÐp tÝnh çc gi¸ trÞ riªng. ThuËt to¸n dùa trªn mét kü thuËt lÆp chophÐp ph©n tÝch mét ma trËn thµnh tÝch cña mét ma trËn trùc giao vµ mét ma trËn tamgi¸c trªn, qua ®ã cã thÓ tÝnh çc gi¸ trÞriªng rÊt hiÖu qu¶. Ngµy nay víi thuËt to¸nnµy ng−êi ta cã thÓ tÝnh ®−îc çc gi¸ trÞriªng cña çc ma trËn cì rÊt lãn.

7. ThuËt to¸n s¾p xÕp nhanh do TonyHeare (Elliott Brothers Ltd London ) giíi thiÖu n¨m 1962. X¾p xÕp n ®èi t−îng theomét thø tù nµo ®ã lµ mét bµi to¸n quanträng trong nhiÒu lÜnh vùc, ®Æc biÖt trongsù ho¹t ®éng cña m¸y tÝnh. ThuËt to¸n rÊttrùc gi¸c vµ trùc tiÕp. Nã còng ®· gãpphÇn rÊt lín thóc ®Èy viÖc nghiªn cøu ®éphøc t¹p tÝnh to¸n.

8. N¨m 1965 James Cooly (IBM) vµ JohnTuckey ( §¹i häc Princeton ) ph¸t minhphÐp biÕn ®æi Fourier nhanh (FFT). T−t−ëng cña FFT dùa theo ph−¬ng ph¸p cñaGauss khi «ng tÝnh to¸n mét sè quü ®¹ocña çc hµnh tinh. Tuy nhiªn trong bµib¸o cña m×nh Cooly vµ Tuckey ®· gi¶ithÝch râ viÖc thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi Fourier mét çch nhanh chãng vµ dÔ dµng.FFT còng ®· ®−îc ¸p dông rÊt hiÖu qu¶

3

trong nhiÒu bµi to¸n quan träng, trong ®ãcã viÖc tÝnh to¸n víi l−îc ®å Feynmantrong lý thuyÕt l−îng tö.

9. ThuËt to¸n ph¸t hiÖn quan hÖ nguyªn(IRD algorithm) do Helaman Ferguson vµ Rodney Forcade ( §¹i häc BringhamYoung) ®−a ra n¨m 1977. Bµi to¸n quenthuéc: cho n sè thùc a1 ...an, h·y t×m çcnghiÖm nguyªn x1,..., xn kh«ng ph¶i tÊt c¶ lµ 0 sao cho a1 x1 +...+ an xn = 0. Víi n =2 thuËt to¸n ¥clit cho phÐp gi¶i bµi to¸n sau mét sè h÷u h¹n b−íc khi a1/a2 h÷u tØ. NÕu thuËt to¸n ¥clit kh«ng h÷u h¹n hoÆc®¬n gi¶n lµ ta dõng thuËt to¸n l¹i, th× nã sÏcho mét cËn cña lêi gi¶i theo quan hÖnguyªn nhá nhÊt. Sù tæng qu¸t ho¸ cñaFerguson vµ Forcade mÆc dï rÊt phøc t¹pvµ khã hiÓu nh−ng ®· tá ra rÊt hiÖu qu¶.ThuËt to¸n ®· ®−îc dïng ®Ó t×m chÝnh x¸cnh÷ng hÖ sè cña nh÷ng ®a thøc tho¶ m·nbëi nh÷ng ®iÓm rÏ nh¸nh bËc 3 vµ bËc 4trong lý thuyÕt rÏ nh¸nh. ThuËt to¸n nµycòng lµm cho viÖc tÝnh to¸n víi çc l−îc®å Feynman trong lý thuyÕt l−îng tö trënªn ®¬n gi¶n h¬n nhiÒu.

10. ThuËt to¸n ®a cùc nhanh (fastmultipole algorithm) do LeslieGreengard vµ Vladimir Rokhlin (§¹i häcYale) ph¸t minh n¨m 1987. ThuËt to¸n nµy ®· gi¶i ®−îc bµi to¸n m« pháng N- vËt

thÓ, lµ mét bµi to¸n ®au ®Çu nhÊt trongnhiÒu n¨m. §Ó tÝnh to¸n chÝnh x¸c lùct−¬ng t¸c gi÷a N vËt thÓ (çc hµnh tinhhoÆc çc nguyªn tö trong ph©n tö) ng−êita ®· pháng ®o¸n r»ng cÇn ®Õn O(N2) phÐp tÝnh cho mçi cÆp vËt thÓ. ThuËt to¸n®a cùc nhanh ®· tÝnh ®−îc víi O(N) phÐptÝnh. ThuËt to¸n ®a cùc nhanh cßn chophÐp ph©n r· çc vËt thÓ theo tõng nhãm®Ó tÝnh to¸n, do ®ã cho phÐp gi¶i quyÕt bµito¸n víi sè lín çc vËt thÓ. Mét −u ®iÓmnæi bËt n÷a cña thuËt to¸n ®a cùc nhanh lµ nã cho phÐp xö lý sai sè dån, lµ mét vÊn®Ò mµ nhiÒu ph−¬ng ph¸p kh¸c kh«ng lµm®−îc.

Trªn ®©y chØ lµ nh÷ng ®iÒu rÊt s¬ l−îc vÒ 10 thuËt to¸n cã ¶nh h−ëng lín nhÊtcña thÕ kû 20, ®· ®−îc b×nh chän bëi métnhãm çc nhµ khoa häc. ViÖc t×m hiÓu chitiÕt vÒ çc thuËt to¸n nµy sÏ cÇn ®Õn nhiÒubµi b¸o. NÒu ®−îc ®Ò nghÞ thªm 2 hoÆc 5thuËt to¸n n÷a th× b¹n sÏ ®Ò nghÞ nh÷ngthuËt to¸n nµo? Hay b¹n cã thÓ dù ®o¸n nh÷ng ®iÒu míi l¹ sÏ ®Õn trong thÕ kû 21trong viÖc ph¸t minh çc thuËt to¸n. C©uhái nµy thËt sù lµ khã tr¶ lêi cho mét thêigian lµ mét thÕ kû. Tuy nhiªn ®iÒu ch¾cch¾n r»ng thÕ kû 21 sÏ kh«ng thÓ lµ méttr¨m n¨m b×nh lÆng vµ còng kh«ng thÓ lµ mét thêi kú mê nh¹t ®èi víi khoa häc.



Th¸ng 12 N¨m 2002 TËp 6 Sè 4

T¹i héi tr−êng ViÖn To¸n häc, n¨m 1986

7

LÞch sö ra ®êi cña gi¶i th−ëng Fields2 Carl Riehm

2 Bµi viÕt nµy dÞch tõ bµi b¸o cña Carl Riehm ®¨ng trªn tê Notices of American Mathematical Society nhan ®Ò “The Early history of the Fields Medal” TËp 49 sè 7 n¨m 2002. Carl Riehm lµ gi¸o s− danh dù t¹i §¹i häc McMaster vµ chÞu tr¸ch nhiÖm xuÊt b¶n cña ViÖn nghiªn cøu To¸n häc mang tªn Fields ë Toronto (Canada).

J. C. Fields (1863 - 1932)

MÆc dï mäi nhµ to¸n häc ®Òu biÕt vÒ gi¶i th−ëng Fields nh−ng l¹i Ýt biÕt vÒ lÞch sö ra ®êi cña nã. Bµi b¸o nµy tr×nh bµy ng¾n gän vÒ sù ra ®êi vµ nh÷ng sù kiÖn to¸n häc liªn quan ®Õn nã. Fields sinh ra t¹i Halminton, Ontario (phÝa B¾c Canada) vµo n¨m 1863. Cha «ng lµ chñ mét cöa hµng ®å da ë nhµ sè 32 phè King vµ gia ®×nh «ng sèng t¹i sè nhµ 150 cña phè ®ã. C¶ hai ng«i nhµ ®·

bÞ ph¸ bá tõ l©u. Cöa hµng nay ®−îc thay b»ng tæ hîp bu«n b¸n Jackson vµ chç ng«i nhµ cña ¤ng b©y giê lµ dinh c¬ cña h·ng Ramada. Fields tèt nghiÖp §HTH Toronto vµo n¨m 1884 vµ sau ®ã chuyÓn ®Õn lµm nghiªn cøu sinh t¹i §HTH John Hopkins. ¤ng bÞ thu hót ®Õn ®ã bëi trong c¸c n¬i ë B¾c Mü, §HTH John Hopkins thêi bÊy giê lµ n¬i chó ý m¹nh mÏ nhÊt tíi nghiªn cøu. Ch−¬ng tr×nh to¸n häc ë ®©y do J. J. Sylvester x©y dùng bëi trong nh÷ng n¨m gi¶ng d¹y ë ®ã (1876-1883). Fields nhËn b»ng tiÕn sÜ vµo n¨m 1887. LuËn ¸n cña «ng cã nhan ®Ò: “Symbolic finite solutions and solutions by definite integrals of the equation dny/dxn = xmy” vµ ®−îc ®¨ng trªn t¹p chÝ American Journal of Mathematics vµo n¨m 1886. Sau hai n¨m gi¶ng d¹y t¹i John Hophins, Fields chuyÓn ®Õn khoa To¸n cña Allegheny College ë Pennsylvania.

Fields hoµn toµn kh«ng hµi lßng víi t×nh h×nh to¸n häc lóc nµy t¹i B¾c Mü, nªn n¨m 1891 «ng ®· chuyÓn tíi Ch©u ¢u vµ sèng ë ®ã 10 n¨m víi gia tµi khiªm tèn mµ cha mÑ ®Ó l¹i cïng thãi quen tiÕt kiÖm. Nh÷ng n¨m sèng ë Ch©u ¢u, chñ yÕu lµ Berlin vµ mét Ýt thêi gian ë Goettingen còng nh− ë Paris, ®· ¶nh h−ëng s©u s¾c

8

®Õn Fields vµ cñng cè thªm sù nhËn thøc cña «ng vÒ tÇm quan träng nghiªn cøu To¸n häc. ¤ng cã quan hÖ mËt thiÕt víi nh÷ng nhµ to¸n häc lín nhÊt lóc bÊy giê nh−: Klein, Frobenius, Weierstrass, Fuchs, Hensel vµ chuyÓn sù say mª cña m×nh vÒ nh÷ng hµm ®¹i sè. ¤ng c«ng bè nhiÒu bµi b¸o vÒ h−íng nµy trong giai ®o¹n cßn l¹i cña sù nghiÖp To¸n häc cña m×nh. ¤ng còng x©y dùng t×nh b¹n tèt ®Ñp cña m×nh víi mét nhµ to¸n häc Thuþ §iÓn Mittag Leffler. Fields trë l¹i Canada vµo n¨m 1902 víi t− çch lµ gi¶ng viªn ®Æc biÖt ë §HTH Toronto, vµ dõng ch©n t¹i ®ã cho ®Õn khi tõ biÖt câi ®êi. Fields trë thµnh héi viªn Héi hoµng gia Canada vµo n¨m 1909 vµ héi viªn Héi hoµng gia London n¨m 1913. Khi rçi r·i ¤ng l¹i du hµnh tíi Ch©u ¢u vµ cã quan hÖ ç nh©n víi vµi vÞ quèc v−¬ng. ¤ng ®· ®−îc dù buæi tiÖc do nhµ vua Thôy §iÓn chiªu ®·i vµo n¨m 1912 vµ tõng cã cuéc héi kiÕn riªng víi nhµ ®éc tµi ph¸t xÝt Mussolini trong kú §¹i héi To¸n häc ThÕ giíi n¨m 1928 ë Bologna. Fields lµm viÖc kh«ng biÕt mÖt mái ®Ó thóc ®Èy nghiªn cøu To¸n häc. Sau khi tõ Ch©u ¢u trë vÒ, «ng ®· vËn ®éng c¬ quan lËp ph¸p ë Ontario ñng hé c«ng viÖc nghiªn cøu. ¤ng cßn thuyÕt phôc chÝnh phñ cÊp cho §HTH Ontario ng©n s¸ch nghiªn cøu hµng n¨m lµ 75000 ®« la, mét con sè ®Çy ý nghÜa nÕu biÕt r»ng vµo thêi ®iÓm ®ã mét gi¸o s− kiÕm ®−îc kh«ng qu¸ 1000 ®« la mçi n¨m. ¤ng còng dµnh mäi sù cè g¾ng cña m×nh cho viÖc thµnh lËp ñy ban nghiªn cøu quèc gia. §ã lµ tiÒn th©n cña ñy ban nghiªn cøu quèc gia vÒ khoa häc vµ kü thuËt cña Canada - mét tæ chøc gièng nh− QuÜ nghiªn cøu Khoa häc quèc gia cña Mü. ¤ng còng s¸ng lËp QuÜ nghiªn cøu Ontario. Cã thÓ sù ñng hé m¹nh mÏ cña Fields ®èi víi viÖc nghiªn cøu b¾t nguån tõ t×nh b¹n cña «ng víi Mittag Leffler, ng−êi ®øng ®Çu mét nhãm ë §HTH Stockholm (lóc ®ã cã tªn gäi lµ Högskola) chñ tr−¬ng r»ng: “§¹i häc

nµy nªn quan t©m tíi viÖc häc tËp vµ nghiªn cøu ë tr×nh ®é cao nhÊt, chø kh«ng cÇn quan t©m ®Õn thi cö hay b»ng cÊp”. ViÖn nghiªn cøu hoµng gia Canada do Standford Flemming thµnh lËp n¨m 1849 lµ mét ®ãng gãp n÷a cña Fields. ¤ng gi÷ chøc chñ tÞch ë ®ã tõ n¨m 1919 ®Õn n¨m 1925 vµ cè g¾ng x©y dùng nã thµnh mét n¬i truyÒn b¸ t− t−ëng khoa häc còng nh− mét trung t©m nghiªn cøu khoa häc thùc sù. §Ó ®¹t môc ®Ých ®ã, «ng dµnh hÇu hÕt thêi gian vµ tiÒn cña ®Ó thuyÕt phôc nh÷ng nhµ khoa häc xuÊt s¾c ®Õn gi¶ng bµi cho thµnh viªn cña ViÖn vµ qu¶ng ®¹i quÇn chóng. Nh÷ng bµi gi¶ng buæi tèi thø bÈy hµng tuÇn trë nªn quen thuéc trong suèt nhiÖm kú «ng lµm viÖc ë ®ã. M¬ −íc cña Fields biÕn ViÖn hoµng gia Canada (RCI) trë thµnh trung t©m nghiªn cøu lín kh«ng thµnh hiÖn thùc, nh−ng cã lÏ ViÖn Fields ®· xøng ®¸ng víi niÒm tin cña «ng. RCI vÉn tÝch cùc víi sø mÖnh n©ng cao nhËn thøc chung vÒ khoa häc vµ næi tiÕng víi nh÷ng bµi gi¶ng cho qu¶ng ®¹i quÇn chóng ®−îc tæ chøc hiÖn nay vµo chiÒu chñ nhËt.

§¹i héi to¸n häc thÕ giíi (ICM) vµ HiÖp héi to¸n häc thÕ giíi (IMU) Tõ n¨m 1897 céng ®ång to¸n häc quèc tÕ tæ chøc ®¹i héi To¸n häc ThÕ gi−íi (ICM) 4 n¨m mét lÇn. LÇn ®Çu ICM ®−îc tæ chøc t¹i Zürich. ChØ cã hai lÇn bÞ gi¸n ®o¹n do hai cuéc chiÕn tranh thÕ giíi.

§¹i héi ë Zurich cã tÝnh chÊt quyÕt ®Þnh vÒ viÖc h×nh thµnh sù hîp t¸c trong To¸n häc. Çc ®¹i héi sau ®ã ®Òu duy tr× th«ng lÖ: t¹i mçi ®¹i héi sÏ quyÕt ®Þnh khu«n khæ vµ nhµ tæ chøc cho lÇn ®¹i héi tiÕp sau ®ã. §iÒu nµy ®−îc tiÕn hµnh tr¬n tru cho ®Õn chiÕn tranh thÕ giíi thø nhÊt vµ thËm chÝ bÊt chÊp nh÷ng phiÒn to¸i bao trïm nã sau n¨m 1919, ICM còng t×m çch vùc dËy ®−îc. Vµo thêi ®iÓm ®ã (tøc n¨m 1919) mét tæ chøc b¶o trî khoa häc gäi lµ “Héi

9

®ång nghiªn cøu quèc tÕ” ra ®êi ë Brussels (BØ) do nhµ to¸n häc Ph¸p Emile Picard lµm chñ tÞch. Çc “chÝnh thÓ Trung ¢u3” gåm §øc, ¸o - Hung, Bulgaria vµ Thæ NhÜ Kú kh«ng ®−îc tham gia tæ chøc nµy. HiÖp héi To¸n häc ThÕ giíi (IMU) ra ®êi t¹i §¹i héi To¸n häc thÕ giíi ®Çu tiªn sau ChiÕn tranh thÕ giíi lÇn thø nhÊt ®−îc tæ chøc vµo n¨m 1920 t¹i Strassbourg ®· bÞ thõa kÕ quyÕt ®Þnh k× thÞ nµy (nh©n tiÖn còng rót ra hÖ qu¶: IMU chÝnh lµ con ®Î cña ICM!). Cã mét sè ng−êi, trong ®ã cã G.H.Hardy vµ Mittag Leffler, lªn tiÕng ph¶n ®èi nh−ng sè ®ã kh«ng chiÕm ®−îc −u thÕ. Cã mét vÊn ®Ò tranh c·i lµ liÖu cã cho phÐp çc chÝnh thÓ Trung ¢u tham dù §¹i héi vµo n¨m 1924 ë New York hay kh«ng. MÆc dï kh«ng hái tr−íc ý kiÕn cña Héi To¸n häc Mü (AMS), L.E.Dickson vµ L.P.Eisenhart - ®¹i diÖn cho ph¸i ®oµn Mü t¹i ICM ë Strassbourg (1920) - ®· mêi tæ chøc ®¹i héi tiÕp theo ë New York. §Õn n¨m 1922 míi tÐ ngöa ra lµ chÝnh quyÒn Mü kh«ng ñng hé tµi chÝnh cho ®¹i héi ë New York v× kh«ng thÝch nh÷ng chÝnh s¸ch ®éc ®o¸n cña IMU. Do vËy AMS còng rót lui kh«ng tæ chøc ®¹i héi Êy. Fields cè g¾ng b»ng mäi gi¸ cøu v·n t×nh thÕ. Nhê vËy mµ n¨m 1922 ng−êi ta ®· chän Toronto lµ n¬i tæ chøc ICM n¨m 1924. Fields ë trong t©m tr¹ng n−íc ®«i: mét mÆt ¤ng thÊt väng víi ý nghÜ çc chÝnh thÓ Trung ¢u kh«ng ®−îc tham dù ®¹i héi. MÆt kh¸c ¤ng ý thøc râ rµng r»ng ph¶i tæ chøc §¹i héi thµnh c«ng b»ng bÊt cø gi¸ nµo. GÇn nh− mét tay Fields qu¸n xuyÕn toµn bé viÖc tæ chøc §¹i héi trong suèt hai n¨m sau ®ã ®Ó ®¶m b¶o cho thµnh c«ng cña nã. §iÒu ®ã ch¼ng dÔ dµng chót nµo, nhÊt lµ trong t×nh h×nh ®ang diÔn ra nh÷ng xung ®ét vÒ chÝnh trÞ.

Thùc tÕ §¹i héi n¨m 1924 ë Toronto ®· diÔn ra rÊt thµnh c«ng víi sù tham dù

3 Thùc ra ý ë ®©y muèn nãi tíi çc nhµ to¸n häc ë çc quèc gia Trung ¢u

cña 444 nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi, gÊp ®«i so víi ë Strassbourg vµ Ýt h¬n mét chót so víi tr−íc chiÕn tranh. Ngoµi ra sau §¹i héi cßn cã mét chuyÕn tham quan tíi thuéc ®Þa (thêi ®ã) cña Anh lµ Columbia do chÝnh Fields ®i cïng. Sau nhiÒu ®ªm mÊt ngñ, søc kháe cña Fields ®· gi¶m m¹nh khi trë vÒ tíi Toronto. Tõ ®©y, Fields kh«ng bao giê cßn cã ®−îc søc sèng nh− tr−íc. Tuy nhiªn víi sù trî gióp cña ®ång nghiÖp lµ J. Chapelan, ¤ng ®· cho ra ®êi TuyÓn tËp c«ng tr×nh cña ®¹i héi gåm 2 tËp lín vµo n¨m 1928. M·i ®Õn tËn §¹i héi To¸n häc ThÕ giíi ë Bologna n¨m 1928 çc nhµ to¸n häc ë çc chÝnh thÓ Ch©u ¢u míi trë l¹i cïng céng ®ång to¸n häc thÕ giíi. Khi ®ã chñ tÞch IMU lóc bÊy giê lµ nhµ to¸n häc Italia Salvatore Pincherle quyÕt ®Þnh lê sù cÊm vËn mµ mét sè thµnh viªn cã thÕ lùc kh¸c (nh− Picard vµ th− ký cña IMU lµ Gabriel Koenings) muèn duy tr×. Khi ®oµn ®¹i biÓu cña §øc dÉn ®Çu lµ David Hilbert, lóc ®ã ®· rÊt giµ, b−íc vµo §¹i héi, héi tr−êng ®· ®øng dËy hoan h« nhiÖt liÖt. VÒ sù kiÖn nµy Hilbert cã nãi: “Mäi ranh giíi, ®Æc biÖt lµ ranh giíi gi÷a çc d©n téc lµ tr¸i ng−îc víi b¶n chÊt cña To¸n häc”.

Nh÷ng quan ®iÓm tr¸i ng−îc nµy trong IMU ®· lµm tæn th−¬ng nã tíi møc IMU hÇu nh− biÕn mÊt sau §¹i héi n¨m 1936 ë Oslo (Na Uy). IMU sèng l¹i vµo n¨m 1950 vµ cuèi cïng tõ n¨m 1962 nã ®· duy tr× vai trß cña m×nh víi nh÷ng qui ®Þnh ®· th«ng qua t¹i §¹i héi ë Stokholm.

Gi¶i th−ëng Fields LÞch sö ban ®Çu cña Gi¶i th−ëng Fields b¾t ®Çu tõ Ban tæ chøc ICM4 do §HTH Toronto kÝ quyÕt ®Þnh thµnh lËp vµo th¸ng 11/1923. Fields lµ tr−ëng ban vµ ®ång nghiÖp cña «ng lµ Synge lµm th− 4 Theo chóng t«i hiÓu, Ban tæ chøc nµy chÞu tr¸ch nhiÖm ®iÒu hµnh tÊt c¶ çc ICM. HiÖn nay th× truyÒn thèng ®· thay ®æi: mçi mét ICM cã mét BTC riªng. (ND)

10

ký. MÆc dï Fields ®· thai nghÐn ý t−ëng vÒ mét gi¶i th−ëng nh− vËy tõ sím h¬n nh−ng lÇn ®Çu tiªn nã ®−îc ®Ò cËp ®Õn lµ trong mét biªn b¶n cña BTC viÕt vµo ngµy 24/12/1931. T¹i biªn b¶n cã nãi “giµnh 2500 ®« la ®Ó trao hai gi¶i th−ëng trong nh÷ng kú ®¹i héi liÒn nhau. Thêi k× ®Çu ñy ban xÐt gi¶i th−ëng sÏ do BTC ®¹i héi chØ ®Þnh, cßn vÒ sau do IMU chØ ®Þnh.” Sè tiÒn 2500 ®« la râ rµng lµ phÇn tiÒn cßn l¹i sau khi thanh to¸n çc chi phi tæ chøc ICM Toronto. Trong mét lÇn häp sau ®ã cña Ban tæ chøc vµo th¸ng 1 n¨m 1932, Fields nãi r»ng ý t−ëng vÒ mét gi¶i th−ëng nh− vËy ®· ®−îc sù ñng hé cña ®a sè héi to¸n häc nh− Ph¸p, §øc, Italia, Thuþ SÜ, vµ Mü. Còng t¹i phiªn häp ®ã «ng ®· ph¸c th¶o nh÷ng nguyªn t¾c chän lùa gi¶i th−ëng. Nguyªn nh©n cña viÖc nã chØ dµnh cho nh÷ng nhµ to¸n häc xuÊt s¾c d−íi 40 tuæi lµ nh− sau: “....cïng víi sù c«ng nhËn vÒ thµnh qu¶ ®· lµm ®−îc, nã cÇn ph¶i khuyÕn khÝch nh÷ng ng−êi ®¹t gi¶i cè g¾ng ®¹t nhiÒu thµnh tùu h¬n n÷a, ®ång thêi còng khÝch lÖ sù nç lùc cña nh÷ng ng−êi kh¸c”. ¤ng nãi tiÕp: “khi b×nh luËn nh÷ng kÕt qu¶ cña ng−êi ®−îc gi¶i th−ëng nªn tá ra cÈn thËn trong c©u ch÷, tr¸nh nh÷ng so s¸nh g©y xóc ph¹m cho bÊt cø ai, dï cã chñ ý hay kh«ng. ñy ban cã thÓ nãi ®¬n gi¶n r»ng, hä quyÕt ®Þnh trao gi¶i th−ëng theo h−íng nµy hay h−íng kia kh«ng chØ ®¬n thuÇn v× nh÷ng thµnh tùu ®· ®¹t ®−îc mµ cßn muèn khÝch lÖ sù ph¸t triÓn cña nã”. Víi suy nghÜ vÒ nh÷ng r¹n nøt tån t¹i 10 n¨m tr−íc ®ã, «ng ta nãi thªm: “Çc gi¶i th−ëng ph¶i mang ®Æc tÝnh quèc tÕ thuÇn tuý vµ kh¸ch quan nhÊt cã thÓ. Kh«ng nªn trao nã v× ¶nh h−ëng cña bÊt cø n−íc nµo, viÖn nµo hay ç nh©n nµo”.

TÊt nhiªn, nhê nh÷ng cè g¾ng cña Fields, mµ gi¶i th−ëng ®· mang tªn ¤ng khi lÇn ®Çu ®−îc trao t¹i Oslo vµo n¨m 1936. ThËt thó vÞ khi biÕt r»ng t¹i ®¹i héi ®ã ®· quyÕt ®Þnh lµ Chñ tÞch BTC ®¹i héi cÇn ph¶i gÆp Thñ t−íng Canada ®Ó bµn çch duy tr× ng©n quÜ vµ sinh l·i hßng ®¶m b¶o cã quÜ ®Ó trao gi¶i th−ëng.

Cuéc gÆp nh− vËy kh«ng thu xÕp ®−îc vµ gi¸ trÞ tiÒn cña gi¶i th−ëng khi Êy chØ cã 15.000$ Canada (khoµng 9.500USD), hoµn toµn kh«ng t−¬ng xøng víi ý nghÜa tinh thÇn cña nã trong To¸n häc. Thùc ra Fields ®· cã kÕ ho¹ch triÓn khai dù ¸n trao nh÷ng gi¶i th−ëng ®Çu tiªn, nh−ng ¤ng bÞ èm vµo n¨m 1932 vµ mÊt vµo th¸ng 8 n¨m ®ã. Tr−íc khi mÊt, ¤ng ®· trao l¹i di chóc cho Synge, khi ®ã ®ang tóc trùc bªn c¹nh gi−êng bÖnh, ®Ó thùc hiÖn −íc nguyÖn cña m×nh. §ã lµ chuyÓn sè tiÒn 47000 ®« la cña m×nh vµo quÜ dµnh cho Gi¶i th−ëng. Fields ®−îc ch«n cÊt t¹i nghÜa trang Hamilton nh×n vÒ phÝa t©y hå Ontario. Bia mé cña «ng kh¸ khiªm tèn vµ ®−îc ghi gi¶n dÞ lµ:

“John Charles Fields Sinh: 14/5/1863. MÊt 9/8/1932”.

Th¸ng 9 cïng n¨m ®ã Synge ®em ®Ò nghÞ cña Fields ®Õn §¹i héi ë Zurich vµ ®−îc chÊp nhËn. Mét ñy ban gåm: G.D. Birkhoff, Caratheodory, E. Cartan, Severi vµ Takagi ®−îc thµnh lËp ®Ó chän hai gi¶i th−ëng ®Çu tiªn trao t¹i §¹i héi ë Oslo n¨m 1936. Hä chän Lars Ahlfors, mét ng−êi PhÇn Lan vµ Jesse Douglas mét ng−êi Mü. Kh«ng may, chiÕn tranh thÕ giíi l¹i næ ra. M·i ®Õn n¨m 1950 ICM míi ®−îc tæ chøc l¹i t¹i Cambridge, Masachusetts. Khi ®ã nhµ to¸n häc Ph¸p Laurent Schwartz vµ mét nhµ to¸n häc Nauy lµ Atle Selberg ®−îc lùa chän. Danh s¸ch nh÷ng ng−êi ®¹t gi¶i th−ëng Fields (víi sù miªu t¶ ng¾n gän c«ng tr×nh cña hä) cã thÓ t×m5 ®−îc t¹i

http://elib.zib.de/IMU/medals/ Michael Monastyrsky cã viÕt trong b¸o ço cña m×nh ë Héi th¶o Fields “Di s¶n cña John Charles Fields”, tæ chøc t¹i Toronto th¸ng 6 n¨m 2000, vÒ ¶nh h−ëng cña nh÷ng nh÷ng ng−êi ®¹t Gi¶i th−ëng Fields ®èi víi To¸n häc vµ VËt lý trong thÕ kû 20. Bµi nµy cã thÓ xem trong: http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedals_Monastyrsky.pdf”

5 HoÆc xem TËp 2 sè 4(1998), trang 3-6.

11

Huy ch−¬ng Fields Fields chØ râ r»ng “huy ch−¬ng lµm b»ng vµng, cã gi¸ trÞ Ýt nhÊt 200 ®« la, cã h×nh d¸ng ®Ñp, ®−êng kÝnh cì 7,5 cm. Do tÝnh chÊt quèc tÕ cña nã nªn ng«n ng÷ lµ Latin hoÆc Hy L¹p”. TÊm huy ch−¬ng thùc tÕ cã nh÷ng ®Æc ®iÓm nµy. Gi¸ trÞ tiÒn mÆt cña nã Ýt nhÊt mét lÇn cã gi¸ trÞ ®Æc biÖt quan träng: trong nh÷ng n¨m n¸o lo¹n vµo cuèi §¹i chiÕn thÕ giíi lÇn II, Ahlfors bÞ xa çch víi vî m×nh vµ ®−îc phÐp rêi khái PhÇn Lan nÕu nép 10 curon. ¤ng ®· mang huy ch−¬ng cña m×nh ®i cÇm ®å ®Ó cã thÓ gÆp vî m×nh ë Zurich (sau ®ã «ng chuéc l¹i nã nhê sù trî gióp cña nh÷ng ng−êi b¹n Thuþ SÜ). TÊm huy ch−¬ng ®−îc ®óc 4 n¨m mét lÇn ë Së ®óc tiÒn Canada, vµ ®−îc thiÕt kÕ bëi nhµ ®iªu kh¾c Canada R. Tait McKenzie. Nhµ ®iªu kh¾c ®· chän bøc häa cña Archimedes tõ bé s−u tËp cña ®¹i häc Columbia. C©u kh¾c Latin tõ nhµ th¬ La m· Manilius quanh bøc ¶nh cã thÓ dÞch lµ: “V−ît ra khái tÇm hiÓu biÕt cña b¹n vµ ®Æt vai trß chñ nh©n cña b¹n lªn toµn vò trô”. Bªn c¹nh c©u kh¾c lµ nhµnh nguyÖt quÕ vµ s¬ ®å mÆt cÇu chøa trong l¨ng trô mµ ng−êi ta cho r»ng nã ®· ®−îc kh¾c trªn mé cña Archimedes.

Phô lôc: Mittag Leffler vµ Nobel

Lêi ®ån ®¹i dai d¼ng r»ng, Gi¶i th−ëng Nobel kh«ng ®−îc trao cho çc nhµ to¸n häc v× Mittag Leffler cã quan hÖ qu¸ th©n mËt víi vî cña Nobel, lµ kh«ng ®óng. §¬n gi¶n v× Nobel ch−a tõng c−íi vî. Nh−ng theo lý gi¶i kh¸c th× sù thï ®Þch gi÷a Nobel vµ Mittag Leffler cã thÓ lµ cã thËt dï kh«ng cã tµi liÖu nµo nãi vÒ nã. TÊt nhiªn, h×nh nh− cã khóc m¾c gi÷a hai vÞ nµy. Theo bøc th− J.L. Synge göi cho H. S. Tropp th× cã lÇn Fields ®· nãi ®iÒu ®ã lµ ®óng vµ sau ®ã cßn kh¼ng ®Þnh l¹i ë Thôy §iÓn. Kh«ng nghi ngê lµ Nobel vµ Mittag Leffler qu¸ biÕt nhau. Mittag Leffler lµ mét trong sè nh÷ng nhµ khoa häc xuÊt s¾c nhÊt cña

Thuþ §iÓn lóc ®ã. N¨m 1890, Nobel b¸c bá ®Ò nghÞ cña Mittag Leffler tµi trî quÜ ®Ó thiÕt lËp mét ghÕ gi¸o s− cho Sonya Kovalevskaia t¹i §HTH Stockholm, n¬i Mittag Leffler lµ gi¸o s− vµ lµ mét trong nh÷ng ng−êi cã thÕ lùc nhÊt. Kovalevskaia ë ®ã tõ 1884 cho ®Õn khi mÊt n¨m 1891. §HTH Stockholm ®−îc ghi lµ ng−êi thõa kÕ trong b¶n di chóc ®Çu tiªn cña Nobel, nh−ng l¹i kh«ng cã tªn trong b¶n cuèi cïng. Theo t¸c gi¶ Crawford, ng−êi hiÖu tr−ëng cña §HTH Stockholm lóc bÊy giê lµ nhµ hãa häc Otto Pettersson, vµ nhµ vËt lý Svante Arrhenius cho biÕt r»ng: “do Nobel kh«ng thÝch Mittag Leffler nªn míi cã chuyÖn “Nobel Flop” (¸m chØ viÖc Nobel lo¹i §HTH Stockholm khái di chóc)”. Còng ch¼ng cã g× ®Ó nghi ngêimotj sù thËt lµ Mittag Leffler bÞ nhiÒu ng−êi nãi xÊu. Theo Lehto: “Mittag Leffler lu«n cè g¾ng b»ng mäi gi¸, kÓ c¶ b»ng nghÖ thuËt tæ chøc, ®Ó ®¹t ®−îc thµnh c«ng cña m×nh. Sù suy xÐt cña nhiÒu ng−êi ®−¬ng thêi víi «ng ta kh«ng ph¶i lµ tèt l¾m”. VËy th× liÖu cã ph¶i do sù khóc m¾c gi÷a Nobel vµ Mittag Leffler vµ t×nh b¹n gi÷a Fields vµ Mittag Leffler lµ nh÷ng nguyªn nh©n khiÕn Fields ®Ò ra gi¶i th−ëng cña m×nh?

ThËt bi kÞch lµ Ýt n¨m sau khi Nobel qua ®êi (1896), th× chÝnh Mittag Leffler (còng nh− Arrhenius) lµ nh©n vËt quan träng bËc nhÊt trong viÖc h×nh thµnh çc quyÕt ®Þnh vµ t¹o ra çc chuÈn mùc cho viÖc trao Gi¶i th−ëng Nobel.

Tµi liÖu E. Crawford, The beginnings of the Nobel Institution, The Scienzes Prizes, 1901-1915, Camb. Univ. Press, and Edition de la Maison des Sciences de l’Homme, 1984

Ng−êi dÞch §µo Ph−¬ng B¾c (sinh viªn HÖ CNKHTN - K4) vµ

GS NguyÔn Duy TiÕn (Tr−ëng ban ®iÒu hµnh HÖ CNKHTN, §HKHTN Hµ Néi)

12

Rene Thom NguyÔn ViÖt Dòng vµ Hµ Huy Vui

(ViÖn To¸n häc) Rene Thom, nhµ to¸n häc lçi l¹c ng−êi Ph¸p ®· qua ®êi ngµy 25/10/2002 t¹i Bures-sur-Yvette, Ph¸p, ë tuæi 79. VÒ R. Thom cã rÊt nhiÒu ®iÒu ®Ó viÕt. Giíi to¸n häc vµ kh«ng chØ giíi to¸n häc sÏ cã nhiÒu bµi viÕt vÒ «ng còng nh− vÒ çc c«ng tr×nh cña «ng. ë ®©y chóng t«i chØ xin giíi thiÖu ®«i nÐt vÒ tiÓu sö cña nhµ to¸n häc hÕt søc ®éc ®¸o nµy.

N¨m 1931 R. Thom b¾t ®Çu theo häc t¹i tr−êng tiÓu häc ë MontbÐliard, thµnh phè n¬i «ng sinh ra. ¤ng sím chøng tá kh¶ n¨ng häc tËp cña m×nh b»ng viÖc giµnh ®−îc mét häc bæng tiÕp tôc theo häc t¹i tr−êng CollÌge Cuvier ë MontbÐliard råi nhËn b»ng tó tµi to¸n ë Besanson n¨m 1940. ViÖc häc tËp ë quª nhµ cña «ng t¹m thêi bÞ gi¸n ®o¹n bëi ChiÕn tranh thÕ giíi thø II. Cha mÑ «ng göi R. Thom vµ em trai «ng sang Thôy sü. Trë l¹i Ph¸p, «ng sèng t¹i Lyon víi mét ng−êi b¹n cña mÑ m×nh vµ thi ®ç b»ng tó tµi vÒ TriÕt häc vµo th¸ng S¸u n¨m 1941. Mét thêi gian ng¾n sau ®ã «ng ®Õn Paris theo häc tr−êng trung häc Saint-Louis. N¨m 1942 «ng ®¨ng ký thi vµo tr−êng Ecole Normale SupÐrieure nh−ng bÞ tr−ît. N¨m 1943 «ng l¹i thi mét lÇn n÷a vµ lÇn nµy «ng thi ®ç nh−ng kh«ng mÊy xuÊt s¾c - theo nh− «ng viÕt trong håi ký. Nh÷ng n¨m «ng häc ë tr−êng Ecole Normale lµ thêi gian khã kh¨n bëi Paris bÞ ph¸t xÝt §øc chiÕm ®ãng. Nh−ng vÒ mÆt To¸n häc th× ®©y lµ mét thêi kú hÕt søc hÊp dÉn víi R. Thom. ¤ng chÞu ¶nh h−ëng m¹nh çch tiÕp cËn to¸n häc cña Bourbaki, nhÊt lµ cña Henri Cartan. ChiÕn tranh thÕ giíi thø II kÕt thóc khi R. Thom vÉn cßn ®ang häc t¹i Ecole Normale. N¨m 1946 R. Thom chuyÓn ®Õn Strasbourg ®Ó tiÕp tôc lµm viÖc d−íi sù

h−íng dÉn cña Henri Cartan. T¹i ®©y quan ®iÓm to¸n häc cña «ng chÞu ¶nh h−ëng cña Ehresmann vµ Koszul vµ nhiÒu ng−êi kh¸c n÷a. ¤ng b¶o vÖ luËn ¸n tiÕn sÜ víi ®Ò tµi: “Kh«ng gian ph©n thí trªn mÆt cÇu vµ phÐp b×nh ph−¬ng Steenrod” vµo n¨m 1951 t¹i Paris. Nh÷ng ý t−ëng c¬ së cña lý thuyÕt ®ång biªn (cobordism), c«ng tr×nh vÒ sau ®em l¹i cho R. Thom gi¶i th−ëng Fields (1958), ®· xuÊt hiÖn ngay trong b¶n luËn ¸n nµy. ¤ng sang Mü vµo n¨m 1951 vµ t¹i ®©y «ng cã dÞp gÆp gì Einstein, Weyl, Steenrod vµ tham dù çc xªmina cña Calabi vµ Kodaira. Trë l¹i Ph¸p «ng gi¶ng d¹y t¹i Grenoble trong n¨m häc 1953-1954 vµ t¹i Strassbourg tõ 1954 ®Õn 1963. ¤ng ®−îc phong gi¸o s− vµo n¨m 1957. N¨m 1964 «ng chuyÓn vÒ ViÖn nghiªn cøu cao cÊp IHES t¹i Bures-sur-Yvette, n¬i tËp trung nhiÒu nhµ to¸n häc hµng ®Çu thÕ giíi. Grothendieck víi tµi n¨ng to¸n häc ë vµo thêi kú ph¸t triÓn rùc rì nhÊt còng ®ang lµm viÖc t¹i ®©y. §iÒu nµy ®−a ®Õn mét thay ®æi lín trong b−íc ®−êng khoa häc cña R. Thom. ¤ng nhí l¹i:

Quan hÖ gi÷a t«i vµ Grothendieck kh«ng hoµn toµn dÔ chÞu. Víi −u thÕ ¸p

13

®¶o vÒ kü thuËt «ng ®· tá ra v−ît tréi. Xªmina cña Grothendieck d−êng nh− thu hót toµn bé giíi to¸n häc Paris, trong khi t«i kh«ng cã g× thùc sù ®éc ®¸o ®Ó b¸o ço. §iÒu ®ã ®· khiÕn t«i dÇn dÇn rêi bá to¸n häc thuÇn tuý ®Ó nghÜ tíi nh÷ng nh÷ng ®Ò tµi réng lín h¬n nh− lý thuyÕt ph¸t sinh h×nh th¸i häc (morphogenesis). Cuèi cïng nh÷ng ý t−ëng vÒ ®Ò tµi nµy ®· dÉn t«i ®Õn mét d¹ng rÊt tæng qu¸t cña sinh vËt "triÕt häc". VÒ thùc chÊt, lý thuyÕt mµ R. Thom nãi tíi ë ®©y lµ mét çch cè g¾ng m« t¶ b»ng to¸n häc nh÷ng t×nh huèng mµ ë ®ã nh÷ng thay ®æi tiÖm tiÕn sÏ ®−a ®Õn nh÷ng thay ®æi ®ét ngét - nh÷ng “tai biÕn”. Lý thuyÕt vÒ çc tai biÕn cña R. Thom cho phÐp ®−a ra nh÷ng dù ®o¸n mang tÝnh thèng kª vÒ nh÷ng hiÖn t−îng bÊt th−êng nh− khñng ho¶ng t¹i thÞ tr−êng chøng kho¸n, t¾c nghÏn giao th«ng, tï næi lo¹n, chiÕn tranh, � Nã ®· vµ ®ang cã nh÷ng øng dông réng r·i trong vËt lý, sinh häc còng nh− trong çc khoa häc x· héi. Lý thuyÕt nµy ®−îc R. Thom c«ng bè trong cuèn s¸ch "æn ®Þnh cÊu tróc vµ sù ph¸t sinh h×nh th¸i" vµo n¨m 1972 vµ kÓ tõ ®ã ®· ®−îc nhiÒu nhµ to¸n häc ph¸t triÓn. Nã cßn ®ãng vai trß quan träng trong sù ra ®êi cña mét sè lý thuyÕt to¸n häc kh¸c ch¼ng h¹n nh− lý thuyÕt hçn mang (Chaos Theory), lý thuyÕt kú dÞ,� Tuy ngµy nay ng−êi ta Ýt cßn nh¾c tíi lý thuyÕt tai biÕn nh−ng çc kÕt qu¶ vµ ph−¬ng ph¸p cña nã vÉn cßn tá ra h÷u hiÖu trong nhiÒu lÜnh vùc (dù b¸o vµ kiÓm ®Þnh ®éng ®Êt, th¨m dß tr÷ l−îng má dÇu khÝ, � ) Thùc ra R. Thom ®· næi tiÕng tõ tr−íc khi «ng ®−a ra lý thuyÕt tai biÕn. Nh÷ng kÕt qu¶ vµ ý t−ëng cña «ng trong lÜnh vùc T« p«, ®Æc biÖt lµ trong lý thuyÕt ®ång biªn ®· ®em l¹i cho «ng gi¶i th−ëng Fields n¨m 1958. Nh÷ng c«ng tr×nh nµy ®· cã ¶nh h−ëng lín ®Õn nh÷ng ph¸t triÓn s«i ®éng cña T« p« trong nh÷ng thËp kû tiÕp theo nh− lý thuyÕt ®ång ®iÒu, lý thuyÕt ®ång ku©n h÷u tû Quillen Sullivan, lý thuyÕt çc líp ®Æc

tr−ng, ®Þnh lý ký sè Hizebruch, ®Þnh lý ®¼ng cÊu R. Thom � Lý thuyÕt ®ång biªn cho phÐp phiªn dÞch nh÷ng bµi to¸n h×nh häc vÒ nh÷ng bµi to¸n cña lý thuyÕt ®ång lu©n vµ xa h¬n n÷a vÒ nh÷ng bµi to¸n ®¹i sè. Tuy ®−îc gi¶i th−ëng Fields nh−ng chÝnh «ng ®«i khi l¹i cho r»ng minh ch−a thËt xøng ®¸ng víi phÇn th−ëng ®ã. ¤ng viÕt:

� T«i cã c¶m gi¸c r»ng cã nh÷ng c«ng tr×nh tuy xuÊt hiÖn chËm h¬n nh−ng l¹i s©u s¾c vµ th«ng th¸i h¬n c«ng tr×nh cña t«i vµ t¸c gi¶ cña nã hoµn toµn xøng ®¸ng, nÕu kh«ng nãi lµ xøng ®¸ng h¬n, víi Gi¶i th−ëng Fields. ë ®©y t«i muèn nãi vÒ chøng minh cña Barry Mazur cho gi¶ thuyÕt Schönflies nãi r»ng mäi mÆt cÇu Sn-1 trong Rn víi biªn chÝnh quy ®Òu lµ biªn cña mét h×nh cÇu n chiÒu. §ã lµ ch−a kÓ tíi ph¸t minh cña J. Milnor vÒ çc cÊu tróc exotic trªn çc mÆt cÇu. (J. Milnor ®· ®−îc nhËn Gi¶i thuëng Fields ngay t¹i ICM tiÕp theo, n¨m 1962) Trong bµi giíi thiÖu vÒ gi¶i th−ëng Fields t¹i ICM 1958 Edinburg, Hofp ®· nãi vÒ c«ng viÖc cña R. Thom nh− sau:

...Sù gi¶n dÞ lín lao trong nh÷ng ý t−ëng c¬ b¶n cña R. Thom mang mét b¶n chÊt rÊt h×nh häc vµ trùc gi¸c. Nh÷ng ý t−ëng c¬ b¶n nµy giµu chÊt to¸n mét çch ®¸ng nÓ vµ chóng ta cã thÓ thÊy râ r»ng ¶nh h−ëng cña nh÷ng ý t−ëng cña R. Thom dï trong nh÷ng c«ng tr×nh khoa häc ®· c«ng bè hay s¾p ra ®êi lµ kh«ng bao giê c¹n kiÖt. R. Thom cßn ®−îc nhËn gi¶i th−ëng Khoa häc Lín cña thanh Phè Paris n¨m 1974 vµ lµ thµnh viªn danh dù cña Héi To¸n häc London tõ n¨m 1990. Sinh thêi R. Thom ®· tõng dµnh cho çc nhµ to¸n häc ViÖt nam nh÷ng t×nh c¶m nång hËu. Hy väng chóng ta sÏ ®−îc hiÓu thªm vÒ ¶nh h−ëng cña R. Thom ®èi víi To¸n häc ViÖt nam th«ng qua bµi viÕt cña GS F. Pham sÏ ra trong mét sè gÇn ®©y cña tê Th«ng tin To¸n häc.




GS Ng« Thóc Lanh (§HSP Hµ Néi)

1

BµI To¸n P = NP? Quµ tÆng cña Tin häc göi tÆng To¸n häc

Ph¹m Trµ ¢n (ViÖn To¸n häc)

Nãi mét çch ®¹i thÓ, bµi to¸n P = NP? cã thÓ ph¸t biÓu nh− sau : Cã ph¶i mäi ng«n ng÷ chÊp nhËn ®−îc bëi mét thuËt to¸n kh«ng-®¬n ®Þnh víi thêi gian ®a thøc th× còng chÊp nhËn ®−îc bëi mét thuËt to¸n ®¬n ®Þnh nµo ®Êy víi thêi gian vÉn lµ ®a thøc?

VÒ lÞch sö, vÊn ®Ò P = NP? ®−îc ®Æt ra lÇn ®Çu tiªn vµo n¨m 1971 bëi S. Cook, mét nhµ to¸n häc ng−êi Canada vµ hiÖn ®−îc coi lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò ch−a cã lêi gi¶i næi tiÕng nhÊt trong To¸n häc. B»ng chøng lµ n¨m 1998, theo g−¬ng cña D. Hilbert(1), nhµ to¸n häc Steve Smale(2), trong bµi b¸o cã nhan ®Ò “Nh÷ng vÊn ®Ò To¸n häc giµnh cho thÕ kû sau“, ®· xÕp bµi to¸n P = NP? ë vÞ trÝ thø 3 trong sè 18 bµi to¸n quan träng cña thÕ kû XXI. H¬n thÕ n÷a, ngµy 24/5/2000, t¹i Paris, tr−íc thÒm cña Thiªn niªn kû míi, ViÖn To¸n häc Clay, thuéc ®¹i häc Massachusetts, Cambridge (CMI) cña Mü, ®· c«ng bè 7 bµi to¸n ®−îc mÖnh danh lµ “Çc bµi to¸n cña thiªn niªn kû míi“(3) vµ treo gi¶i th−ëng 1.000.000 ®« la cho lêi gi¶i cña mçi bµi to¸n. Bµi to¸n P = NP? chiÕm vÞ trÝ thø nhÊt trong danh s¸ch 7 bµi to¸n nµy.

§Ó ph¸t biÓu chÝnh x¸c bµi to¸n P = NP? ta cÇn ®Õn mét ®Þnh nghÜa to¸n häc cho kh¸i niÖm thuËt to¸n vµ do ®ã cÇn ®Õn mét ®Þnh nghÜa h×nh thøc hãa cña m¸y tÝnh.

M« h×nh chuÈn t¾c cña m¸y tÝnh chÝnh lµ m« h×nh m¸y Turing, do A. Turing(4), nhµ to¸n häc ng−êi Anh, ®Ò xuÊt vµo n¨m 1936, tr−íc c¶ chôc n¨m thêi ®iÓm chiÕc m¸y tÝnh ®iÖn tö ®Çu tiªn xuÊt hiÖn. Ngµy nay, m¸y Turing vÉn tiÕp tôc ®−îc coi lµ mét m« h×nh to¸n häc thÝch hîp nhÊt ®Ó diÔn t¶ kh¸i niÖm thuËt to¸n vµ kh¸i niÖm hµm tÝnh ®−îc.

M¸y Turing M gåm mét bé ®iÒu khiÓn víi tËp h÷u h¹n tr¹ng th¸i Q vµ mét ®Çu ®äc-viÕt, chuyÓn ®éng trªn mét b¨ng v« h¹n c¶ vÒ 2 phÝa. B¨ng ®−îc chia thµnh tõng «, mçi « chøa mét ký tù thuéc mét b¶ng ch÷ h÷u h¹n Γ, bao gåm c¶ ký tù tr¾ng b (blank). Mçi m¸y M cã mét b¶ng ch÷ vµo Σ , Σ ⊂ Γ vµ b ∉ Σ. T¹i thêi ®iÓm b¾t ®Çu ho¹t ®éng, d÷ liÖu vµo cña M lµ mét d·y h÷u h¹n ký tù thuéc Σ, ®−îc ghi trªn çc « liÒn nhau cña b¨ng, çc « cßn l¹i cña b¨ng ghi ký tù tr¾ng b, ®Çu ®äc nh×n ký tù bªn tr¸i nhÊt cña d·y ký tù vµo vµ bé ®iÒu khiÓn ë mét tr¹ng th¸i ®Æc biÖt q0, gäi lµ tr¹ng th¸i ban ®Çu cña M, (xem h×nh d−íi ®©y).

b¨ng v« h¹n ®Çu ®äc viÕt

... B B a1 ... ai ... an B B ...

Bé ®iÒu khiÓn h÷u h¹n tr¹ng th¸i

2

T¹i mçi b−íc ho¹t ®éng, m¸y M ë mét tr¹ng th¸i q, ®Çu ®äc nh×n « chøa ký tù s, m¸y sÏ cã ho¹t ®éng phô thuéc vµo cÆp (q,s) nhê mét hµm chuyÓn δ cña m¸y. Ho¹t ®éng nµy bao gåm viÖc in mét ký tù míi ®Ì lªn ký tù mµ ®Çu ®äc ®ang nh×n, chuyÓn ®Çu ®äc sang tr¸i hay sang ph¶i mét «, ®ång thêi bé ®iÒu khiÓn chuyÓn sang mét tr¹ng th¸i míi q�. ThÝ dô δ(q, s) = (q�, s�, h) cã nghÜa lµ M ®ang ë tr¹ng th¸i q, nh×n ký tù s, M sÏ chuyÓn sang tr¹ng th¸i q�, ghi ®Ì ký tù s� lªn ký tù s, ®Çu ®äc chuyÓn ®éng sang ph¶i mét « nÕu h = 1 , hoÆc sang tr¸i mét « nÕu h = -1. TËp Q cã chøa 3 tr¹ng th¸i ®Æc biÖt q0, qcn, qbb (tr¹ng th¸i ban ®Çu, tr¹ng th¸i chÊp nhËn, tr¹ng th¸i b¸c bá).

Mét çch h×nh thøc, m¸y Turing M lµ bé bèn M = (Σ , Γ, Q , δ).

Mét h×nh tr¹ng cña M lµ mét d·y xqy , víi x , y ∈ Σ* , q ∈ Q. H×nh tr¹ng C = xqy diÔn t¶ t×nh tr¹ng M ®ang ë tr¹ng th¸i q, trªn b¨ng cã ghi d·y ký tù xy, ®Çu ®äc ®ang nh×n ký tù bªn tr¸i nhÊt cña y. NÕu C vµ C� lµ 2 h×nh tr¹ng cña M, C = xqsy, C� = xs�q�y vµ nÕu δ (q,s) = (q�, s�, 1), th× ta nãi M chuyÓn tõ h×nh tr¹ng C sang h×nh tr¹ng C� vµ ký hiÖu C M→ C�. T−¬ng tù cho tr−êng hîp h = -1. H×nh tr¹ng C = xqy lµ dõng nÕu q ∈ {qcn , qbb} .

Mét tÝnh to¸n cña M víi d·y ký tù vµo ω ∈ Σ*, lµ d·y h×nh tr¹ng C0, C1, . . ., Cn, . . . sao cho C0 = q0 ω, Ci

M → Ci+1 vµ tËn cïng b»ng mét h×nh tr¹nh dõng nÕu d·y lµ h÷u

h¹n. Nh− vËy b¨ng v« h¹n cã thÓ xem võa nh− kªnh vµo-ra, võa nh− mét bé nhí ngoµi v« h¹n tiÒm n¨ng cña m¸y M.

Ta nãi M chÊp nhËn dÉy vµo ω , nÕu dÉy tÝnh to¸n cña M víi ω lµ dõng vµ h×nh tr¹ng cuèi cïng cã chøa tr¹ng th¸i chÊp nhËn qcn . Ng«n ng÷ chÊp nhËn bëi M lµ tËp : L(M) = {ω ∈ Σ* | M chÊp nhËn ω }.

Ký hiÖu tM (ω) lµ sè çc b−íc cña tÝnh to¸n M víi d·y vµo ω. NÕu tÝnh to¸n nµy kh«ng dõng, ta ®Æt tM (ω ) = ∞. Víi n ∈ N, ký hiÖu TM (n) lµ thêi gian ch¹y m¸y cña M trong tr−êng hîp xÊu nhÊt, tøc lµ TM (n) = max {tM ( ω ) | ω ∈ Σn}. Ta nãi m¸y M ch¹y trong thêi gian ®a thøc, nÕu cã tån t¹i mét ®a thøc p(n), sao cho víi mäi n ∈ N, TM (n) ≤ p(n). B©y giê ta ®Þnh nghÜa líp P lµ tËp :

P = { L | L = L(M) víi M lµ m¸y Turing thêi gian ®a thøc}.

M¸y Turing ta xÐt ®Õn ë trªn cßn ®−îc gäi lµ m¸y Turing ®¬n ®Þnh (v× hµm δ lµ ®¬n trÞ) ®Ó ph©n biÖt víi m¸y Turing kh«ng-®¬n ®Þnh, mµ b©y giê chóng ta sÏ ®Ò cËp ®Õn.

§Æc ®iÓm cña m¸y Turing kh«ng-®¬n ®Þnh lµ t¹i mçi h×nh tr¹ng bÊt kú, m¸y ®−îc phÐp cã mét sè kh¶ n¨ng hµnh ®éng (hµm chuyÓn δ lµ kh«ng ®¬n trÞ). Cßn vÒ çc yÕu tè kh¸c, m¸y Turing kh«ng-®¬n ®Þnh ®−îc ®Þnh nghÜa hoµn toµn nh− m¸y Turing ®¬n ®Þnh . Ta ®Þnh nghÜa líp NP lµ tËp :

NP = { L | L = L(M) víi M lµ Turing kh«ng-®¬n ®Þnh thêi gian ®a thøc}.

Chó ý r»ng m¸y Turing kh«ng-®¬n ®Þnh vèn kh«ng ®−îc dù ®Þnh ®Ó m« h×nh ho¸ çc tÝnh to¸n. Nã chØ ®¬n thuÇn lµ mét m¸y to¸n häc bæ trî vµ cã thÓ h×nh dung nh− mét m¸y dïng ®Ó kiÓm chøng mét pháng ®o¸n cã lµ ®óng hay kh«ng.

3

§Õn ®©y ta cã thÓ ph¸t biÓu chÝnh x¸c bµi to¸n P= NP? nh− sau : TËp P cã b»ng tËp NP hay kh«ng? HiÓn nhiªn lµ P ⊆ NP, nh−ng chóng ta kh«ng biÕt bao hµm thøc trªn cã lµ thËt sù hay kh«ng?

Mét çch hoµn toµn t−¬ng ®−¬ng, ta cã thÓ hiÓu P lµ líp çc bµi to¸n cã thÓ gi¶i ®−îc trong thêi gian ®a thøc, cßn NP lµ líp çc bµi to¸n, mµ mäi nghiÖm gi¶ ®Þnh ®Òu cã thÓ ®−îc kiÓm chøng trong thêi gian ®a thøc. Th−êng th× viÖc t×m nghiÖm khã h¬n nhiÒu so víi viÖc kiÓm chøng nghiÖm. ThÝ dô ta xÐt bµi to¸n ng−êi b¸n hµng rong ë d¹ng sau: d÷ liÖu vµo gåm kho¶ng çch gi÷a mäi cÆp thµnh phè vµ thªm mét sè T, ®−îc gäi lµ “sè môc tiªu“. NÕu bµi to¸n lµ h·y t×m mét hµnh tr×nh cña ng−êi b¸n hµng rong cã ®é dµi nhá h¬n hay b»ng T th× ®ã lµ mét bµ× to¸n rÊt khã. Nh−ng nÕu ë d¹ng cho tr−íc mét hµnh tr×nh cña ng−êi b¸n hµng rong, hái ®é dµi cña hµnh tr×nh ®· cho ®ã cã nhá h¬n hay b»ng sè T hay kh«ng th× bµi to¸n l¹i ë d¹ng dÔ h¬n rÊt nhiÒu.

VÒ nguån gèc, bµi to¸n cã xuÊt xø tõ Tin häc. §ã lµ vµo nh÷ng n¨m 60 cña thÕ kû XX. Çc m¸y tÝnh b¾t ®Çu ®−îc sö dông réng r·i ®Ó gi¶i çc bµi to¸n khoa häc-kü thuËt, vµ çc bµi to¸n kinh tÕ. Çc nhµ tin häc ®øng tr−íc mét vÊn ®Ò ch−a cã c©u tr¶ lêi: ThÕ nµo lµ mét thuËt to¸n “tèt”, mét thuËt to¸n “kh«ng tèt”? ThÕ nµo lµ mét bµi to¸n “dÔ”, mét bµi to¸n “khã”? Vµo thêi ®iÓm nµy, çc nhµ tin häc míi chØ cã kh¸i niÖm “trùc quan” vµ phÇn nµo “cùc ®oan” khi coi mét thuËt to¸n lµ “tèt” nÕu thêi gian ch¹y m¸y trong thùc tÕ ph¶i lµ kh¸ nhanh (nh−ng l¹i kh«ng ®ßi hái nã ph¶i ch¹y kh¸ nhanh ®èi víi mäi d÷ liÖu ®Çu vµo cã thÓ cã). M·i cho ®Õn n¨m 1965, J. Edmonds lÇn ®Çu tiªn ®−a ra ý t−ëng míi: mét thuËt to¸n ®−îc coi lµ tèt, nÕu thêi gian ch¹y m¸y bÞ chÆn bëi mét ®a thøc theo kÝch th−íc cña mäi d÷ liÖu vµo (kÓ c¶ tr−êng hîp xÊu nhÊt). Mét bµi to¸n ®−îc coi lµ dÔ nÕu cã thuËt to¸n thêi gian ®a thøc gi¶i nã. Nh− vËy Edmonds ®· cho mét ranh giíi râ rµng gi÷a tÝnh “dÔ” vµ “khã” cña mét bµi to¸n, gi÷a tÝnh “tèt” vµ “kh«ng tèt” cña mét thuËt to¸n: trong P lµ dÔ vµ tèt, ngoµi P lµ khã vµ kh«ng tèt. Thùc ra, ®èi víi mét thuËt to¸n cã thêi gian ch¹y m¸y bÞ chÆn bëi mét ®a thøc bËc “khæng lå”, ch¼ng h¹n bëi n100, th× ®é khã cña nã còng ch¼ng kÐm g× hµm mò. Tuy nhiªn, viÖc ph©n chia ranh giíi gi÷a tÝnh dÔ vµ tÝnh khã, gi÷a tÝnh tèt vµ tÝnh kh«ng tèt bªn trong líp P lµ kh«ng tù nhiªn. Mét ®Þnh nghÜa nh− vËy sÏ lu«n lu«n bÞ thay ®æi theo thêi gian cïng víi sù ph¸t triÓn nhanh chãng ®Õn kú diÖu cña çc thÕ hÖ m¸y tÝnh (ng−êi ta ®· thèng kª cø sau 18 th¸ng tèc ®é m¸y tÝnh ®−îc t¨ng gÊp ®«i vµ cø sau 10 n¨m th× sè l−îng m¸y tÝnh còng t¨ng gÊp ®«i). Nh−ng khi b¾t tay vµo xem xÐt cô thÓ nhiÒu bµi to¸n tèi −u tæ hîp, cho dï çc nhµ nghiªn cøu ®· rÊt kiªn tr×, nh−ng hä vÉn kh«ng t×m ®−îc çc thuËt to¸n ®¬n ®Þnh ch¹y trong thêi gian ®a thøc, trong khi ®ã nÕu cho phÐp dïng thuËt to¸n kh«ng ®¬n ®Þnh th× l¹i dÔ rµng chØ ra çc thuËt to¸n ch¹y trong thêi gian ®a thøc. V× vËy lóc ®Çu çc nhµ tin häc gi¶ ®Þnh P ≠ NP. Nh−ng chøng minh m·i kh«ng ®−îc, th× mét çch tù nhiªn, gi¶ ®Þnh ng−îc l¹i P = NP ®−îc ®Æt ra vµ sau ®ã bµi to¸n ®−îc chuyÓn ®Õn çc nhµ to¸n häc ®Ó chÝnh x¸c ho¸ to¸n häc. B»ng c«ng cô m¸y Turing, çc nhµ to¸n häc ®· ph¸t biÓu l¹i chÝnh x¸c to¸n häc bµi to¸n nh− ®· tr×nh bÇy ë phÇn trªn vµ nã trë thµnh mét bµi to¸n ®éc lËp vµ quen thuéc cña Lý thuyÕt Ng«n ng÷ h×nh thøc. Qua 30 n¨m tån t¹i, bµi to¸n P = NP? ngµy cµng tá ra lµ mét “viªn ngäc quý” theo çc tiªu chÝ sau: Mét lµ ph¸t biÓu bµi to¸n rÊt ®¬n gi¶n, nh−ng l¹i hoµn toµn chÝnh x¸c vÒ mÆt To¸n häc. Hai lµ qua thêi gian, céng ®ång çc nhµ to¸n häc ®Òu thõa nhËn ®©y lµ mét bµi to¸n khã, thËm chÝ rÊt khã. Ba lµ çc nhµ to¸n häc cã uy tÝn trªn thÕ giíi ®Òu cho r»ng viÖc gi¶i quyÕt bµi to¸n , vµ ngay c¶ çc nghiªn cøu cã liªn quan ®Õn bµi to¸n, cho dï kh«ng ®i ®Õn kÕt qu¶ cuèi cïng, còng sÏ gãp phÇn thóc

4

®Èy sù ph¸t triÓn cña To¸n häc trong thÕ kû XXI. ChÝnh v× vËy, bµi to¸n ®· lät vµo “m¾t xanh” cña çc nhµ to¸n häc cña ViÖn To¸n Clay vµ cña nhµ to¸n häc næi tiÕng Steve Smale. Giê ®©y, khi mµ bµi to¸n P = NP? ®· trë thµnh mét trong sè çc bµi to¸n næi tiÕng nhÊt vµ ®¾t gi¸ nhÊt trong lÞch sö To¸n häc (cßn ®¾t gi¸ h¬n mét gi¶i th−ëng Nobel!), song çc nhµ to¸n häc vÉn nhí ®Õn nguån gèc cña bµi to¸n vµ vÉn coi bµi to¸n nh− lµ mét quµ tÆng quý gi¸, thÓ hiÖn mèi quan hÖ céng t¸c qua l¹i gi÷a To¸n häc vµ Tin häc, mµ Tin häc ®· tin t−ëng göi tÆng To¸n häc.

Trë l¹i víi çc khÝa c¹nh to¸n häc cña bµi to¸n , ®Ó nghiªn cøu s©u h¬n mèi quan hÖ gi÷a P vµ NP, cã c¶ mét lý thuyÕt gäi lµ “Lý thuyÕt vÒ tÝnh NP-®Çy ®ñ“, mµ sau ®©y ta sÏ ph¸c häa mét vµi nÐt c¬ b¶n. ý t−ëng cña ph−¬ng ph¸p nµy rÊt ®¬n gi¶n. V× ®· cã P ⊆ NP råi, nªn viÖc xÐt quan hÖ gi÷a P vµ NP nãi chung lµ ph¶i duyÖt toµn bé líp NP. Thay cho viÖc duyÖt toµn bé líp NP, ta chØ muèn duyÖt mét bé phËn nhá, thËm chÝ chØ mét bµi to¸n trong NP mµ th«i. Muèn thÕ ta h·y chän ra bÊt kú mét bµi to¸n “khã gi¶i nhÊt“ C trong líp NP theo mét nghÜa nµo ®Êy råi kiÓm tra xem C cã thuéc P hay kh«ng. NÕu C ∈ P, th× v× C ®· lµ bµi to¸n khã nhÊt råi, ta suy ra çc bµi to¸n cßn l¹i, v× Ýt khã h¬n hay cïng l¾m còng chØ khã b»ng C, còng sÏ ph¶i thuéc P, do ®ã ta cã P = NP. Cßn nÕu nh− C kh«ng thuéc líp P th× ®ã ®· lµ b»ng chøng cña P ⊂ NP. Nh− vËy mçi bµi to¸n “khã nhÊt” trong NP l¹i lµ mét “ch×a khãa” ®Ó gi¶i bµi to¸n P = NP? S. Cook gäi çc “bµi to¸n khã nhÊt trong NP” nµy lµ çc “bµi to¸n NP-®Çy ®ñ“. VÊn ®Ò cßn l¹i lµ ®Þnh nghÜa nh− thÕ nµo lµ bµi to¸n A lµ “khã h¬n“ bµi to¸n B vµ thÕ nµo lµ bµi to¸n C lµ khã nhÊt trong líp NP? §Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò nµy, ta cã thÓ vËn dông kh¸i niÖm Turing-dÉn trong lý thuyÕt thuËt to¸n.

§Þnh nghÜa 1. Gi¶ sö Li lµ ng«n ng÷ trªn b¶ng ch÷ Σi , i = 1 , 2. Khi ®ã L1 ≤p L2 ( L1 lµ p-dÉn ®−îc vÒ L2 ) nÕu vµ chØ nÕu cã mét hµm tÝnh ®−îc trong thêi gian ®a thøc f: Σ1

* → Σ2* sao cho :

x ∈ L1 ⇔ f(x) ∈ L2 , víi mäi x ∈ Σ1 .

VÒ ý nghÜa, nÕu L1 ≤p L2 th× L2 lµ khã h¬n L1, v× gi¶i ®−îc bµi to¸n L2 sÏ gi¶i ®−îc bµi to¸n L1, ng−îc l¹i nãi chung lµ kh«ng cã.

§Þnh nghÜa 2. Ng«n ng÷ L lµ NP-®Çy ®ñ nÕu vµ chØ nÕu L ∈ NP vµ víi mäi L’ ∈ NP th× L’ ≤p L .

VÒ ý nghÜa, nÕu L lµ NP-®Çy ®ñ th× L lµ khã nhÊt trong líp NP , v× gi¶i ®−îc L sÏ gi¶i ®−îc mäi bµi to¸n L’ kh¸c trong NP, nh−ng ng−îc l¹i kh«ng ®óng.

Ta cã çc mÖnh ®Ò sau ®©y :

MÖnh ®Ò 1. NÕu L1 ≤p L2 vµ L2 ∈ P, th× L1 ∈ P .

Chøng minh dïng ®Þnh nghÜa cña phÐp dÉn ≤ p.

MÖnh ®Ò 2. NÕu L1 lµ NP-®Çy ®ñ, L2 ∈ NP vµ L1 ≤p L2, th× L2 lµ NP-®Çy ®ñ.

Chøng minh dïng tÝnh b¾c cÇu cña quan hÖ ≤p .

VÒ ý nghÜa, MÖnh ®Ò 2 cho mét ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n ®Ó chøng minh mét bµi to¸n míi lµ NP-®Çy ®ñ.

5

MÖnh ®Ò 3. NÕu L lµ NP-®Çy ®ñ vµ L ∈ P th× P = NP.

Chøng minh dïng MÖnh ®Ò 1.

VÒ ý nghÜa, MÖnh ®Ò 3 lµ mét con ®−êng nh»m h−íng ®Ých P = NP.

Tuy nhiªn ®Ó ¸p dông MÖnh ®Ò 2, ta cßn cÇn cã çi b¾t ®Çu, tøc lµ cÇn mét ng«n ng÷ ®Çu tiªn lµ NP-®Çy ®ñ. Vinh dù ®ã thuéc vÒ mét bµi to¸n quyÕt ®Þnh trong L«gic boole , do Cook chøng minh vµo n¨m 1971 vµ th−êng ®−îc gäi lµ bµi to¸n SATISFIABILITY hay ng¾n gän lµ bµi to¸n SAT víi néi dung nh− sau: F lµ mét c«ng thøc mÖnh ®Ò cho tr−íc. Hái F cã lµ tháa ®−îc hay kh«ng?

MÖnh ®Ò 4 (§Þnh lý Cook). SATISFIABILITY lµ NP-®Çy ®ñ.

Mét n¨m sau ®ã, dùa vµo ph−¬ng ph¸p cña Cook, M. Karp ®· chØ ra mét lo¹t 20 bµi to¸n tèi −u tæ hîp d¹ng cæ ®iÓn lµ NP-®Çy ®ñ, tiÕp theo L. Levin ®· chØ ra 6 bµi to¸n n÷a lµ NP-®Çy ®ñ. Sau ®ã lµ thêi kú hoµng kim cña NP-®Çy ®ñ, sè l−îng çc bµi to¸n NP-®Çy ®ñ ®−îc ph¸t hiÖn t¨ng nhanh. §Õn n¨m 1979, hai t¸c gi¶ M. Garey vµ D. Johnson(5) , trong mét quyÓn s¸ch ®−îc coi lµ s¸ch gèi ®Çu gi−êng cña “çc nhµ P = NP?” , ®· tæng kÕt ®−îc 300 bµi to¸n lµ NP-®Çy ®ñ. Tõ ®ã ®Õn nay, con sè nµy vÉn t¨ng hµng n¨m. Sù phong phó vµ ®a d¹ng cña çc bµi to¸n NP-®Çy ®ñ lµ mét thuËn lîi trong viÖc chän “ch×a khãa“ ®Ó më “çnh cöa” P = NP?

Çch ®©y 30 n¨m, con ®−êng dÉn ®Õn bµi to¸n P = NP? ®· réng më vµ míi hÊp dÉn lµm sao! NhiÒu nhµ to¸n häc, nhiÒu nhµ tin häc lý thuyÕt ®· x¾n tay ¸o vµo cuéc . Ng−êi ta t×m trong danh s¸ch çc bµi to¸n NP-®Çy ®ñ, mçi ng−êi tù chän lÊy cho m×nh mét bµi to¸n m×nh am hiÓu nhÊt, hoÆc lµ gÇn víi chuyªn m«n cña m×nh nhÊt, thËm chÝ chØ ®¬n thuÇn lµ m×nh thÊy thÝch nhÊt. Ng−êi ta lôc trong "kho vò khÝ to¸n häc" lÊy ra çc thuËt to¸n thêi gian ®a thøc (cã mét ®èng çc thuËt to¸n nh− vËy, ch¼ng h¹n nh− thuËt to¸n “h¸u ¨n“ , çc thuËt to¸n qui ho¹ch ®éng, çc thuËt to¸n dÉn vÒ bµi to¸n quy ho¹ch tuyÕn tÝnh, v . . .v . . . ). Ng−êi ta −ím thö, sö dông thö, g¸ l¾p thªm, c¶i tiÕn thªm, råi s¸ng t¹o , nh»m cã ®−îc mét thuËt to¸n gi¶i ®−îc bµi to¸n m×nh ®· chän chØ trong thêi gian ®a thøc. NÕu cã ®−îc mét thuËt to¸n nh− vËy, sÏ suy ra P = NP. Nh−ng tiÕc thay, tÊt c¶ çc nç lùc ®Òu kh«ng ®i ®Õn kÕt qu¶. Chøng minh m·i P = NP kh«ng ®−îc, ng−êi ta quay ra chøng minh P ≠ NP. Nh−ng çc cè g¾ng bá ra còng ch¼ng may m¾n g× h¬n. §©y ®ã ®· cã ng−êi nghi ngê: Ph¶i ch¨ng çc kü thuËt chøng minh mµ ta hiÖn cã, kh«ng ®ñ ®Ó chøng minh P = NP mµ còng ch¼ng ®ñ ®Ó chøng minh P ≠ NP?

BÊt chÊp sù nç lùc phi th−êng cña bÈy chó lïn - Çc nhµ to¸n häc, nµng B¹ch tuyÕt “P = NP?� vÉn ch×m trong giÊc ngñ. H×nh nh− Nµng cßn ®ang ®îi mét chµng Hoµng tö - mét ý t−ëng to¸n häc hoµn toµn míi mÎ - tõ ph−¬ng trêi xa tíi ®Ó ®¸nh thøc Nµng dËy?

Trong khi chê ®îi chµng Hoµng tö ®Õn cøu nµng B¹ch tuyÕt, ta h·y thö hái ®iÒu g× sÏ x¶y ra nÕu nh− P = NP, vµ nÕu nh− P ≠ NP?

NÕu nh− P ≠ NP, çc ®iÒu sau ®©y sÏ xÈy ra:

• §é mËt cña çc hÖ m· khãa c«ng khai dùa trªn gi¶ thiÕt P ≠ NP sÏ ®−îc kh¼ng ®Þnh. Do vËy m· khãa c«ng khai sÏ ®−îc triÓn khai réng r·i h¬n, phï hîp víi xu thÕ ph¸t triÓn th−¬ng m¹i ®iÖn tö cña x· héi trong t−¬ng lai.

6

• Çc bµi to¸n NP-®Çy ®ñ trë thµnh çc bµi to¸n bÊt trÞ v« ph−¬ng “cøu ch÷a”, cho ®Õn khi cã mét cuéc çch m¹ng míi trong Tin häc cïng víi viÖc xuÊt hiÖn mét thÕ hÖ m¸y tÝnh hoµn toµn míi vÒ nguyªn lý ho¹t ®éng, cã kh¶ n¨ng “siªu” t¨ng tèc. Cuéc çch m¹ng Êy nhÊt ®Þnh sÏ ®Õn, nh−ng bao giê nã ®Õn th× ch−a râ, chØ biÕt r»ng giê ®©y, ë phÝa ch©n trêi xa, ®· b¾t ®Çu thÊy nh÷ng tia chíp ®Çu tiªn. §ã lµ nh÷ng ý t−ëng t¸o b¹o cña çc nhµ to¸n häc vµ çc nhµ vËt lý lý thuyÕt vÒ mét thÕ hÖ m¸y tÝnh míi, cã tªn lµ m¸y tÝnh l−îng tö. Çc m¸y tÝnh l−îng tö sÏ ho¹t ®éng theo çc nguyªn lý chung cña C¬ häc l−îng tö. N¨m 1997, P. Shor ®· c«ng bè mét thuËt to¸n ch¹y trªn m¸y tÝnh l−îng tö gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch mét sè nguyªn thµnh çc thõa sè nguyªn tè trong thêi gian ®a thøc, ®iÒu mµ m¸y Turing chØ cã thÓ lµm ®−îc víi thêi gian mò. Tuy nhiªn çc m¸y tÝnh l−îng tö hiÖn nay míi chØ cã trªn giÊy. Ch¾c lµ ph¶i cßn xa n÷a míi tíi thêi ®iÓm chiÕc m¸y tÝnh l−îng tö ®Çu tiªn ®−îc ®Æt lªn bµn lµm viÖc cña çc nhµ nghiªn cøu.

Cßn nÕu nh− P = NP, ta sÏ cã çc hÖ qu¶ trùc tiÕp sau ®©y: • Mäi bµi to¸n hÔ kiÓm chøng dÔ th× gi¶i còng dÔ. • TÊt c¶ çc bµi to¸n tèi −u tæ hîp th«ng th−êng ®Òu gi¶i ®−îc trong thêi gian ®a thøc. • Mèi lo “Bïng næ tæ hîp“ bÊy l©u nay vÉn canh çnh trong lßng, nay bçng kh«ng cßn

n÷a. • Mét lo¹t çc hÖ m· kho¸ c«ng khai dùa trªn gi¶ thiÕt P ≠ NP bÞ ®æ vì, trong sè nµy

cã çc hÖ m· quan träng, mang tÝnh toµn cÇu, thÝ dô nh− hÖ m· ho¸ truyÒn d÷ liÖu DES (Data Encryption Standard), hÖ thanh to¸n tµi chÝnh trªn INTERNET.

Ta cã c¶m gi¸c s÷ng sê, nuèi tiÕc, v× thÕ giíi quanh ta bçng chèc nghÌo ®i, ®¬n ®iÖu ®i! Ta chît hiÓu vµ ®ång c¶m víi M. Garey vµ D. Johnson(5), khi çc «ng viÕt: “ThiÖn chÝ cña hÇu hÕt çc nhµ nghiªn cøu lµ mong muèn P ≠ NP”. Cßn S. Cook, cha ®Î cña bµi to¸n P = NP?, th× lý trÝ h¬n khi kh¼ng ®Þnh: “HÇu hÕt çc nhµ to¸n häc ®Òu tin r»ng P ≠ NP”. Tõ n−íc PhÇn lan l¹nh, A. Salomaa - nguyªn chñ tÞch Héi Tin häc lý thuyÕt Ch©u ¢u - ®· göi ®Õn n−íc ViÖt nam nãng bøc th«ng ®iÖp: Xin h·y b×nh t©m, "ngµy cµng cã nhiÒu ng−êi tin r»ng P ≠ NP" .

Ta c¶m nhËn ®−îc h¬i Êm cña bµn tay bÌ b¹n kh¾p bèn ph−¬ng! _______________________

Chó thÝch

(1) D. Hilbert (1862-1943), lµ nhµ to¸n häc næi tiÕng ng−êi §øc. N¨m 1900, ¤ng ®−îc mêi ®äc mét b¸o ço toµn thÓ t¹i §¹i héi To¸n häc thÕ giíi. Thay cho viÖc ®äc b¸o ço, ¤ng ®−a ra mét danh s¸ch 23 bµi to¸n khã ch−a cã lêi gi¶i, coi nh− lµ nh÷ng th¸ch thøc cña thÕ kû XIX chuyÓn giao cho thÕ kû XX. Çc bµi to¸n nµy, sau ®−îc gäi víi çi tªn chung lµ çc bµi to¸n Hilbert vµ ®−îc ®¸nh sè tõ 1-23. Cho ®Õn nay, hÇu hÕt çc bµi to¸n Hilbert ®· ®−îc gi¶i quyÕt vµ qu¸ tr×nh gi¶i chóng ®· thùc sù thóc ®Èy sù ph¸t triÓn To¸n häc ë thÕ kû XX.

(2) Steve Smale, sinh n¨m 1930, tiÕn sÜ to¸n t¹i ®¹i häc Michigan n¨m 1957, gi¸o s− ®¹i häc California Berkeley, gi¶i th−ëng Fields. “Nh÷ng vÊn ®Ò To¸n häc giµnh cho thÕ kû sau” ®¨ng ë t¹p chÝ: The mathematical Intelligencer, tËp 20 (1998), gåm: 1) Gi¶ thuyÕt Rieman; 2) Gi¶ thuyÕt PoincarÐ; 3) Bµi to¸n P=NP?; 4) Çc kh«ng ®iÓm nguyªn cña mét ®a thøc; 5) Çc giíi h¹n chiÒu cao cña ®−êng cong Diophant; 6) TÝnh h÷u h¹n cña sè çc c©n b»ng t−¬ng ®èi trong c¬ häc vò trô; 7) Ph©n bè çc ®iÓm trªn 2-h×nh cÇu; 8) §−a ®éng lùc häc vµo lý thuyÕt kinh tÕ; 9) VÊn ®Ò quy ho¹ch tuyÕn tÝnh; 10) Bæ ®Ò ®ãng kÝn; 11) §éng lùc häc mét chiÒu lµ hyperbol tæng qu¸t; 12) Nhãm con trung t©m cña çc vi ®ång ph«i; 13) Bµi to¸n Hilbert thø 16; 14) §iÓm hÊp dÉn Lorenz;

7

15) Çc ph−¬ng tr×nh Navier – Stokes; 16) Gi¶ thuyÕt Jacobi; 17) Gi¶i çc ph−¬ng tr×nh ®a thøc; 18) Giíi h¹n cña trÝ tuÖ (xem chi tiÕt trong Th«ng tin To¸n häc, sè s¾p tíi).

(3) BÈy bµi to¸n cña thiªn niªn kû míi lµ: 1) Bµi to¸n P = NP?; 2) Gi¶ thuyÕt Hodge; 3) Gi¶thuyÕt PoincarÐ; 4) Gi¶ thuyÕt Riemann; 5) Sù tån t¹i çc nghiÖm víi ý nghÜa “lç hæng khèi l−îng”cña ph−¬ng tr×nh Yang-Mills; 6) Sù tån t¹i nghiÖm tr¬n cña ph−¬ng tr×nh Navier-Stokes; 7) Gi¶thuyÕt Birch vµ Swinnerton-Dyer (xem chi tiÕt trong Th«ng tin To¸n häc, TËp 5 Sè 1(2001)).

(4) A. Turing (1912 - 1966), lµ nhµ to¸n häc ng−êi Anh. N¨m 1936, ¤ng ®· x©y dùng m«h×nh m¸y tÝnh, sau nµy ®−îc gäi lµ m¸y Turing, nh»m chÝnh x¸c ho¸ kh¸i niÖm thuËt to¸n. TrongChiÕn tranh thÕ giíi 2, ¤ng tham gia nhãm çc nhµ khoa häc chuyªn th¸m çc mËt m· cña ph¸t xÝt§øc. ¤ng ®· thµnh c«ng trong viÖc chÕ t¹o ra mét m¸y gi¶i m· tù ®éng, gi¶i mét líp m· quanträng cña qu©n ®éi §øc. TÊt c¶ çc ®iÒu nµy, ng−êi ta chØ ®−îc biÕt sau khi ¤ng ®· mÊt. N¨m1999, ¤ng ®−îc t¹p chÝ Times b×nh chän lµ mét trong sè 20 nhµ khoa häc cã ¶nh h−ëng nhÊt cñathÕ kû XX.

(5) M. Garey and D. Johnson. Computers and Intractibility, a Guide to the Theory of NP-Completeness. W. H. Freeman and Co., San Francisco, 1979.

S¸ch næi tiÕng v× cã phÇn tæng kÕt 300 bµi to¸n lµ NP-®Çy ®ñ.




Christian Felix Klein (1849-1925)

2

Nh÷ng mèi quan hÖ gi÷a To¸n häc vµ çc khoa häc kh¸c

(Philip A. Griffiths - Häc viÖn nghiªn cøu cao cÊp Princeton) LTS: GS P. Griffiths, mét nhµ To¸n häc hµng ®Çu, lµ ViÖn tr−ëng Häc viÖn nghiªn cøu cÊp cao Princeton (Mü) Trong çc n¨m 1991-2003. Víi t− çch lµ chuyªn viªn cao cÊp cña ChÝnh phñ Hoa K×, Gi¸o s− ®· nhiÒu lÇn tíi ViÖt Nam ®Ó triÓn khai hîp t¸c khoa häc. Võa qua trong chuyÕn lµm viÖc trong khu«n khæ �Quü gi¸o dôc ViÖt Nam - Hoa K×�, Gi¸o s− ®· ®−îc Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o mêi nãi chuyÖn vÒ To¸n häc vµ çc khoa häc kh¸c. D−íi ®©y lµ toµn v¨n bµi b¸o ço ®ã. Lêi giíi thiÖu:

H«m nay, t«i rÊt vui mõng cã mÆt ë ®©y vµ cã ®iÒu kiÖn ®Ó nãi chuyÖn vÒ çc vÊn ®Ò To¸n häc. §©y lµ lÇn thø ba t«i ®Õn th¨m ®Êt n−íc cña çc b¹n vµ t«i nhËn thÊy nh÷ng tiÕn bé vµ thay ®æi nhanh ®ang diÔn ra ë ®©y. §©y còng lµ thêi th¨ng tiÕn vµ thay ®æi nhanh chãng x¶y ra trong to¸n häc cïng víi quan hÖ cña nã ®èi víi çc khoa häc kh¸c. H«m nay t«i muèn nãi vÒ ba vÊn ®Ò:

- Lêi gi¶i gÇn ®©y cña mét sè bµi to¸n cæ nhÊt.

- V−ît qua nh÷ng rµo c¶n néi bé gi÷a çc chuyªn ngµnh To¸n häc.

- Mèi t−¬ng t¸c gi÷a To¸n häc vµ çc khoa häc kh¸c. 1. Lêi gi¶i gÇn ®©y cña mét sè bµi to¸n cæ nhÊt

ThÕ kû võa qua lµ kho¶ng thêi gian h÷u hiÖu ®Ó gi¶i quyÕt ®−îc nhiÒu bµi to¸n ®· ®−îc ®Æt ra tõ rÊt l©u mµ viÖc m« t¶ nh÷ng c©u chuyÖn liªn quan tíi chóng ®ßi hái ph¶i viÕt thµnh nhiÒu cuèn s¸ch. Chóng ta h·y nh×n l¹i hai trong sè nh÷ng thµnh qu¶ thó vÞ nhÊt. §ã lµ nh÷ng chøng minh cña çc bµi to¸n ®· tån t¹i h¬n 300 n¨m. C¶ hai chøng minh ®Òu ®−îc hoµn thiÖn vµo cuèi thÕ kØ võa qua vµ chØ cã thÓ cã ®−îc lµ nhê vµo nh÷ng thµnh tùu to¸n häc tr−íc ®ã.

§Þnh lÝ cuèi cïng Fermat: §Çu tiªn lµ lêi gi¶i §Þnh lÝ Fermat

cña Andrew Wiles ®−îc truyÒn kh¾p trªn toµn cÇu vµo n¨m 1993. §©y lµ 1 vÝ dô thó vÞ v× Fermat lµ mét nhµ to¸n häc nghiÖp d− vµ kh«ng ®¨ng mét bµi b¸o nµo. Nã còng thó vÞ tõ néi t¹i cña nã. Lêi gi¶i dùa vµo nh÷ng thµnh tùu c¬ b¶n cña lý thuyÕt sè do nhiÒu nhµ to¸n häc thiÕt lËp trong kho¶ng 350 n¨m, ®Æc biÖt lµ nöa cuèi thÕ kû võa qua. §Þnh lÝ ®−îc ph¸t triÓn vµo n¨m 1637 khi Pierre de Fermat nghiªn cøu mét quyÓn s¸ch cæ Hy L¹p vÒ lÝ thuyÕt sè. Sù hÊp dÉn cña lý thuyÕt sè ®· bÞ gi¶m ®i tõ thêi cæ Hy L¹p, nh÷ng Fermat rÊt yªu çc con sè. ¤ng ta ®· xem xÐt kÜ ph−¬ng tr×nh Pitago næi tiÕng mµ hÇu hÕt ®Òu häc trong phæ th«ng: x2+y2=z2. KÓ c¶ ngµy nay kh«ng biÕt bao nhiªu häc sinh ®Òu ph¶i häc thuéc lßng: “b×nh ph−¬ng cña c¹nh huyÒn b»ng tæng çc b×nh ph−¬ng cña hai c¹nh gãc vu«ng”. Ph−¬ng tr×nh Pitago kh¸ thó vÞ khi ta xem xÐt çc nghiÖm nguyªn nh− tam gi¸c vu«ng “vµng” cã c¹nh lµ 3-4-5. Khi Fermat nh×n thÊy ®iÒu ®ã, «ng ta nhËn xÐt r»ng víi mäi lòy thõa bËc lín h¬n 2 th× ph−¬ng tr×nh kh«ng thÓ cã nghiÖm nguyªn. ¤ng ta còng viÕt b»ng tiÕng Latin lµ «ng ta còng ®· t×m thÊy mét lêi gi¶i tuyÖt ®Ñp nh−ng lÒ s¸ch qu¸ nhá ®Ó viÕt ra. Nh−ng ng−êi ta kh«ng bao giê t×m ra mét chøng minh nh− vËy. Fermat còng ®· c«ng bè nhiÒu c©u hái k× bÝ nh− vËy - mét sè

3

trong sè ®ã cã lÏ lµ ®è vui ®èi víi ®ång nghiÖp to¸n cña «ng, vµ sau nhiÒu thÕ kØ th× tÊt c¶ çc c©u hái ®· ®−îc tr¶ lêi ngo¹i trõ ®Þnh lÝ cuèi cïng Fermat. LÇn ®Çu tiªn Andrew Wiles biÕt ®Õn bµi to¸n Fermat khi míi 10 tuæi trong mét th− viÖn ë quª h−¬ng «ng t¹i Cambridge, n−íc Anh. CËu thÒ r»ng sÏ cã ngµy gi¶i ®−îc nã. Tuy nhiªn, khi cßn lµ mét nhµ to¸n häc trÎ «ng ®−îc khuyªn kh«ng nªn dµnh nhiÒu thêi gian vµo bµi to¸n ®ã, vµ ®· quyÕt ®Þnh nghiªn cøu mét lÜnh vùc tæng hîp cña lÝ thuyÕt sè ®¹i sè lµ lý thuyÕt Iwasawa. Nh−ng kh«ng khi nµo «ng quªn bµi to¸n Fermat.

Vµo n¨m 1986 «ng biÕt ®−îc mét b−íc ®ét ph¸: mét ®ång nghiÖp ®· liªn kÕt ®−îc §Þnh lÝ cuèi cña Fermat víi mét vÊn ®Ò kh¸c ch−a gi¶i ®−îc, mét ph¸t biÓu to¸n häc kinh ng¹c vµ ®Ñp ®Ï trong H×nh häc ®¹i sè ®−îc ®Æt ra vµo n¨m 1955. KÕt luËn cña chuçi suy luËn rÊt phøc t¹p lµ: nÕu gi¶i quyÕt ®−îc vÊn ®Ò nµy sÏ dÉn ®Õn chøng minh §Þnh lÝ cuèi cña Fermat.

Sau khi «ng tr×nh bµy kÕt qu¶, mét lçi nhá nh−ng cèt yÕu ®· ®−îc t×m ra trong qu¸ tr×nh kiÓm tra l¹i chøng minh. §Ó lÊp ®−îc lç hæng nµy Wiles ®· ph¶i mÊt thªm mét n¨m lµm viÖc n÷a. Mét lÇn n÷a, cã vÎ nh− bµi to¸n vÉn ch−a gi¶i ®−îc. Nh−ng råi ®©y chÝnh lµ mét lêi gi¶i. Wiles ®· gäi gi©y phót kh¸m ph¸ ra ý t−ëng chøng minh lç hæng cßn l¹i nh− sau “®ã lµ kho¶ng kh¾c quan träng nhÊt trong ®êi lµm viÖc cña t«i. Nã tuyÖt diÖu v« biªn, nã ®¬n gi¶n vµ tao nh· ®Õn møc t«i cø nh×n ch¨m ch¾m vµo ®ã mµ kh«ng tin vµo m¾t m×nh suèt 20 phót”.

Mét sè ng−êi vÉn tß mß liÖu Fermat ®· hoµn thiÖn ®−îc chøng minh cña m×nh vµo thÕ kØ 17? Ngµy nay ng−êi ta ®· râ d−êng nh− ®iÒu ®ã kh«ng thÓ x¶y ra. Chøng minh cña Wiles sö dông toµn bé çc chuyªn ngµnh to¸n häc cña çc thÕ kØ 19 vµ 20, thø to¸n häc ch−a cã vµo thêi Fermat. Èn d−íi ph−¬ng tr×nh Fermat lµ c¶ mét khèi cÊu tróc h×nh thøc khæng lå vµ

phøc t¹p - mét lo¹i cÊu tróc mµ çc nhµ to¸n häc ®ang g¾ng søc t×m hiÓu. Sù hiÓu biÕt cña cÊu tróc ®ã ®· dÉn ®Õn lêi gi¶i cña bµi to¸n Fermat. Gi¶i thuyÕt xÕp cÇu Kepler

VÊn ®Ò thø hai lµ Gi¶ thuyÕt xÕp cÇu Kepler. Gièng nh− vÊn ®Ò Fermat chØ trong vµi thËp kØ gÇn ®©y bµi to¸n nµy míi cã ®ñ c«ng cô ®Ó gi¶i quyÕt. ThÕ mµ Gi¸o s− Thomas Hales cña §HTH Michigan còng ph¶i k× c«ng mÊt 10 n¨m míi gi¶i næi. Gièng nh− Fermat, bµi to¸n xÕp cÇu ®−îc diÔn ®¹t ®¬n gi¶n nh−ng çc nhµ to¸n häc ®µnh chÞu thua gÇn 4 thÕ kØ. H¬n n÷a, c¶ hai vÊn ®Ò ®Òu cã nh÷ng khã kh¨n tinh vi dÉn ®Õn v« vµn nhµ to¸n häc nghÜ r»ng hä ®· t×m ra lêi gi¶i, nh−ng thËt ra lµ sai. VÊn ®Ò ®−îc ®Æt ra vµo nöa thÕ kØ 16 khi ngµi Walter Raleigh ®Ò nghÞ nhµ to¸n häc ng−êi Anh tªn lµ Thomas Harriot cho mét çch ®¸nh gi¸ thËt nhanh sè ®Çu ®¹n sóng thÇn c«ng cã thÓ xÕp ®−îc trong ®¸y cña tÇu thñy. §Õn l−ît Harriot l¹i viÕt cho nhµ thiªn v¨n häc §øc tªn lµ Kepler ng−êi còng quan t©m ®Õn viÖc s¾p xÕp nµy: Ph¶i xÕp çc h×nh cÇu nh− thÕ nµo ®Ó phÇn chç hæng lµ bÐ nhÊt? Kepler kh«ng thÓ t×m ®−îc çch xÕp nµo h÷u hiÖu h¬n lµ çch çc thuû thñ vÉn xÕp çc viªn ®¹n, hay còng nh− çc bµ b¸n hoa qu¶ xÕp cam mét çch tù nhiªn: xÕp kiÓu khèi vu«ng mÆt trung t©m, nghÜa lµ hµng tiÕp theo ®Æt gi÷a hai qu¶ hµng tr−íc ®ã, qu¶ líp trªn ®Æt gi÷a ba qu¶ líp d−íi. Kepler cho r»ng kü thuËt nµy lµ tèi −u nhÊt, nh−ng kh«ng thÓ chøng minh ®−îc.

B−íc tiÕn chÝnh ®· ®¹t ®−îc vµo thÕ kØ 19 khi nhµ to¸n häc huyÒn tho¹i ng−êi §øc lµ K. F. Gauss chøng minh r»ng cÊu h×nh kiÓu xÕp cam lµ tèt nhÊt trong sè çc “s¾p xÕp dµn”, nh−ng kh«ng lo¹i trõ cã lo¹i s¾p xÕp kiÓu kh¸c dµn tèt h¬n. §Õn cuèi thÕ kØ 19 Gi¶ thuyÕt Kepler ®· ®ñ quan träng ®Ó D. Hilbert ®−a nã vµo danh s¸ch 23 bµi to¸n næi tiÕng.

VÊn ®Ò nµy khã v× cã v« vµn kh¶ n¨ng cÇn ph¶i lo¹i trõ. §Õn gi÷a thÕ kØ 20

4

çc nhµ to¸n häc ®· ph¸t hiÖn ra çch kh¾c phôc khã kh¨n ®ã thµnh mét bµi to¸n h÷u h¹n, nh−ng vÊn ®Ò vÉn cßn qu¸ phøc t¹p ®Ó tÝnh to¸n. B−íc tiÕn chÝnh ®¹t ®−îc vµo n¨m 1953 khi nhµ to¸n häc Hungari Laszlo Fejes Tãth ®−a bµi to¸n vÒ viÖc tÝnh to¸n lµ chÝnh, nh−ng vÉn cßn khæng lå, bao gåm nhiÒu tr−êng hîp riªng rÏ, vµ ®Ò xuÊt ph−¬ng ph¸p sö dông m¸y tÝnh ®Ó gi¶i.

ThËm chÝ ®èi víi Hales cïng víi m¸y tÝnh hiÖn ®¹i th× th¸ch thøc vÉn cßn khñng khiÕp. Ph−¬ng tr×nh cña «ng chøa 50 biÕn, mçi biÕn ph¶i thay ®æi ®Ó m« t¶ méi çch s¾p xÕp cã thÓ t−ëng t−îng ra. PhÐp chøng minh ®−îc tr×nh bµy trong 250 trang vµ 3 gigabytes tÖp m¸y tÝnh, dùa rÊt nhiÒu vµo çc ph−¬ng ph¸p to¸n häc tõ lÝ thuyÕt tèi −u toµn côc, qui ho¹ch tuyÕn tÝnh vµ sè häc çc kho¶ng (®o¹n më). T«i cÇn ph¶i nãi r»ng gÇn ®©y çch chøng minh nµy ®· g©y nªn mét sè tranh luËn s«i næi, kh«ng ph¶i lµ vÒ phÇn to¸n häc cña nã, mµ lµ vÒ viÖc h¹n chÕ mét sè khæng lå çc kh¶ n¨ng kh¸c - mét ®iÒu ch−a lµm hµi lßng céng ®ång to¸n häc.

RÊt h÷u Ých khi biÕt r»ng ®Ò tµi xÕp cÇu thuéc vÒ lÜnh vùc rÊt quan träng cña To¸n häc lµm c¬ së cho m· ph¸t hiÖn ®−îc sai vµ m· söa sai. §Êy lµ nh÷ng m· ®−îc sö dông ®Ó l−u tr÷ th«ng tin trªn ®Üa CD, ®Ó nÐn th«ng tin trong qu¸ tr×nh truyÒn tin. Trong x· héi th«ng tin ngµy nay khã mµ nghÜ ra mét øng dông to¸n häc quan träng h¬n. Gi¶ thuyÕt PoincarÐ. T«i muèn nãi qua ®«i lêi vÒ c«ng viÖc gÇn ®©y t¹i n−íc Nga vÒ Gi¶ thuyÕt PoincarÐ - mét vÊn ®Ò träng t©m trong T«p« kÓ tõ khi PoincarÐ s¸ng t¹o ra chuyªn ngµnh nµy n¨m 1890. TS Grigori Perelman cña ViÖn To¸n Steklov t¹i St. Petersburg ®· m« t¶ c«ng viÖc cña m×nh tong mét lo¹t bµi b¸o cßn ch−a hoµn chØnh. ¤ng ta ®· c«ng bè mét ph−¬ng tr×nh håi qui trong ®ã ®é cong cña ®a t¹p ®ãng vai trß quan träng. Trong

tr−êng hîp nµy ph−¬ng tr×nh håi qui d−êng nh− chuyÓn ®éng h−íng tíi mét metric cã ®é cong h»ng sè vµ ®iÒu ®ã sÏ dÉn ®Õn Gi¶ thuyÕt PoincarÐ. Ng−êi ta ch−a kh¼ng ®Þnh liÖu phÐp chøng minh ®· hoµn chØnh hay ch−a, nh−ng c«ng tr×nh nµy lµ mét b−íc tiÕn quan träng nhÊt ®¹t ®−îc trong 1 thêi rÊt dµi. 2. V−ît qua rµo c¶n tù nhiªn gi÷a çc chuyªn ngµnh to¸n häc Hai mÆt cña To¸n häc

Hai phÐp chøng minh mµ t«i võa ®Ò cËp cã thÓ m« t¶ nh− sù rÌn luyÖn trÝ tuÖ vÒ tÝnh chÝnh x¸c tuyÖt ®èi, tÝnh trõu t−îng, vµ cã thÓ nãi lµ tuyÖt mÜ. ThËt v©y, nhµ to¸n häc G. H. Hardy ®· tõng nãi lµm to¸n lµ mét d¹ng lµm nghÖ thuËt. Thùc tÕ lµ cã sù song hµnh víi nghÖ thuËt ë ®©y: çc nhµ to¸n häc gièng nh− çc nghÖ sÜ, ®· t¹o ra mét chÊt l−îng mÜ thuËt cã gi¸ trÞ cao trong çc c«ng tr×nh cña hä. Nh−ng t«i muèn nãi r»ng to¸n häc cã hai mÆt tr¸i ng−îc nhau vµ ®ã còng lµ lÝ do cho sù tån t¹i cña nã.

Bªn c¹nh phÈm chÊt trÝ tuÖ vµ gi¸ trÞ thÈm mÜ, To¸n häc cùc k× cã Ých trong thÕ giíi thùc. Vµo ®Çu thÕ kØ nµy, nhµ VËt lÝ Eugence Wigner nãi ®Õn tÝnh hiÖu qu¶ k× l¹ cña to¸n häc. To¸n häc h÷u dông kh«ng chØ ë sù m« t¶ khoa häc, mµ cßn kÕt hîp víi çc khoa häc ®Ó t¹o nªn nh÷ng tÇm nh×n míi vµ lÜnh vùc míi. VÝ dô, sù ph¸t triÓn c«ng nghÖ quÐt CAT vµ MRI ®−îc x©y dùng dùa trªn h×nh häc nguyªn. ViÖc sinh m· cã ®é tin cËy cao trong truyÒn d÷ liÖu dùa trªn sè häc çc sè nguyªn tè. ViÖc thiÕt kÕ çc m¹ng truyÒn th«ng hiÖu qu¶ vµ diÖn réng sö dông lý thuyÕt biÓu diÔn v« h¹n chiÒu cña nhãm.

Nh− vËy, To¸n häc võa lµ mét m«n khoa häc cña ®é chÝnh x¸c vµ vÎ ®Ñp b¶n n¨ng, võa lµ mét nguån kÜ nghÖ giµu cã ®Ó ¸p dông cho thÕ giíi “thùc”. Hai mÆt ®èi ngÉu nµy g¾n kÕt chÆt chÏ víi nhau.

Nguyªn nh©n chÝnh lµm cho ngµy nay To¸n häc khoÎ m¹nh lµ viÖc ph¸ vì nh÷ng rµo c¶n néi bé trong ngµnh.

5

Tho¹t nhiªn toµn bé To¸n häc ®−îc h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn h¬n 2000 n¨m qua cã vÎ bÊt lùc trong viÖc thèng nhÊt. §· qua råi çi thêi mµ mét ng−êi khæng lå - nh− ¥le hoÆc Gauss - cã thÓ thèng lÜnh toµn bé to¸n häc. Víi sù ph¸t triÓn nhanh chãng cña çc chuyªn ngµnh sau chiÕn tranh thÕ giíi thø 2 To¸n häc trë thµnh chia lÎ ®Õn møc mäi ng−êi khã mµ trao ®æi víi ng−êi kh¸c chuyªn ngµnh.

Nh−ng khuynh h−íng xÐ nhá nµy ngµy cµng song hµnh víi mét xu h−íng ngµy cµng lín m¹nh ®Ò cËp tíi nh÷ng vÊn ®Ò lÝ thó. Çc lÜnh vùc t−ëng nh− hoµn toµn t¸ch biÖt, b©y giê ®−îc xem nh− mét tæng thÓ khi mµ mét sè rµng buéc míi ®· hîp nhÊt chóng l¹i. VÝ dô H×nh häc ®¹i sè, mét lÜnh vùc t«i râ nhÊt, lµ lÜnh vùc kÕt hîp §¹i sè, H×nh häc, T«p« vµ Gi¶i tÝch. TÝnh tæng hîp trong chuyªn ngµnh nµy ®ãng vai trß chÝnh trong mét sè thµnh tùu tuyÖt ®Ønh cña To¸n häc lý thuyÕt. Mét trong sè ®ã tÊt nhiªn lµ lêi gi¶i §Þnh lÝ cuèi cña Fermat. §iÒu kh¸c lµ lêi gi¶i cña Gi¶ thuyÕt Mordell nãi r»ng ph−¬ng tr×nh ®a thøc víi hÖ sè h÷u tØ bËc lín h¬n hoÆc b»ng 4 cã tèi ®a lµ h÷u h¹n nghiÖm h÷u tØ. §iÒu thø ba lµ lêi gi¶i Gi¶ thuyÕt Weil - lµ mét t−¬ng tù cña Gi¶ thuyÕt Riemann trªn tr−êng h÷u h¹n. Mäi thµnh tùu nµy ph¶n ¸nh kh¶ n¨ng cña çc nhµ to¸n häc quan t©m tíi nhiÒu chuyªn ngµnh vµ xÐt chóng nh− mét tæng thÓ. 3. Sù t−¬ng t¸c gi÷a to¸n häc vµ nh÷ng khoa häc kh¸c

Ngoµi viÖc xãa ®i nh÷ng rµo c¶n néi t¹i, To¸n häc ®· trë nªn t−¬ng t¸c nhiÒu h¬n víi khoa häc kh¸c vµ víi kinh doanh, tµi chÝnh, b¶o mËt, qu¶n lý, ra quyÕt ®Þnh vµ thiÕt lËp çc hÖ thèng phøc t¹p. To¸n häc vµ çc khoa häc kh¸c trë nªn quan hÖ vµ phô thuéc nhau h¬n. Nh−ng t−¬ng t¸c ®ã ®em l¹i nhiÒu tÇm nh×n tèt cho khoa häc vµ nh÷ng b−íc tiÕn c¬ b¶n trong to¸n häc. Chóng còng ®−a l¹i nhiÒu h−íng quan

träng, vµ t«i muèn m« t¶ mét vµi h−íng cïng víi nh÷ng th¸ch thøc ®ang ®îi chóng ta ë thÕ kØ 21. H−íng 1: Tõ m« h×nh tuyÕn tÝnh tíi m« h×nh nghiªn cøu ®éng.

H−íng chÝnh ®Çu tiªn lµ çch chóng ta nghÜ vÒ c«ng viÖc nghiªn cøu. NhiÒu ng−êi nghÜ r»ng nghiªn cøu c¬ b¶n kh¸c víi nghiªn cøu øng dông. Hä cã thÓ nãi nghiªn cøu c¬ b¶n lµ theo ®uæi tri thøc cho riªng nã mµ kh«ng suy nghÜ nhiÒu vÒ viÖc sö dông nã nh− thÕ nµo. Vµ hä cã thÓ nãi r»ng nghiªn cøu øng dông lµ viÖc kh¸c bëi v× nã cã môc ®Ých riªng biÖt h¬n. Mäi ng−êi vÉn cßn nãi vÒ "m« h×nh tuyÕn tÝnh" trong nghiªn cøu ë ®ã tri thøc ®i theo mét chiÒu: tõ nghiªn cøu c¬ b¶n ®Õn nghiªn cøu ph¸t triÓn øng dông vµ cuèi cïng lµ sö dông kÕt qu¶. Nh−ng m« h×nh nµy kh«ng phï hîp l¾m víi thÕ giíi thùc. Ngay c¶ dù ¸n nghiªn cøu ®¬n gi¶n nhÊt còng bao gåm sù l−u th«ng n¨ng ®éng cña çc ý t−ëng vµ th«ng tin theo çc h−íng kh¸c nhau.

Chóng ta cã thÓ nghÜ ®Õn nhiÒu vÝ dô vÒ nghiªn cøu s¸ng t¹o trªn c¬ së t¸c ®éng qua l¹i gi÷a nghiªn cøu c¬ b¶n vµ suy nghÜ øng dông. Nhµ sinh häc vÜ ®¹i ng−êi Ph¸p, Louis Pasteur th−êng quan t©m ®Õn nh÷ng vÊn ®Ò thùc tiÔn tõ y häc, nÊu r−îu, n«ng nghiÖp vµ nh÷ng vÊn ®Ò ë ®ã ®· dÉn «ng ®Õn nh÷ng kh¸m ph¸ c¬ b¶n vÒ Sinh häc c¬ së vµ bÖnh tËt. Gregor Mendel, ng−êi cha cña di truyÒn häc hiÖn ®¹i, trong khi lu«n lu«n t×m çch lµm t¨ng n¨ng suÊt c©y trång, ®· kh¸m ph¸ ra nh÷ng ®Þnh luËt di truyÒn häc c¬ b¶n. GÇn ®©y h¬n, nh÷ng nghiªn cøu trong VËt lÝ quang häc t×m çch s¶n xuÊt thÊu kÝnh tèt h¬n cho camera vµ kÝnh thiªn v¨n, ®· mang l¹i cho chóng ta sîi quang häc - mét trong nh÷ng nÒn t¶ng quan träng nhÊt cña truyÒn th«ng hiÖn ®¹i. To¸n häc còng ®ãng vai trß quan träng trong thiÕt kÕ sîi çp quang. Lý thuyÕt to¸n häc cña çc solutions mang l¹i mét m« h×nh tuyÖt vêi ®Ó thiÕt kÕ nh÷ng

6

hiÖu øng xung ¸nh s¸ng tèt nhÊt cho çc chøc n¨ng ®Æc biÖt cña sîi quang häc. Nh− vËy chóng ta cã thÓ thÊy ®−îc nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau l¹i th−êng cã thÓ ®em l¹i nh÷ng çch nh×n bÊt ngê ®Ó mang l¹i nh÷ng thµnh qu¶ thùc tiÔn. Xu h−íng 2: Tõ lý thuyÕt + thùc nghiÖm ®Õn lý thuyÕt + thùc nghiÖm + tÝnh to¸n.

Xu h−íng c¬ b¶n thø 2 trong nghiªn cøu lµ më réng b¶n th©n qu¸ tr×nh khoa häc. Cho ®Õn gÇn ®©y, chóng ta ®· ph©n ®Þnh ph−¬ng ph¸p khoa häc thµnh hai b−íc: lý thuyÕt vµ thùc nghiÖm. Giê ®©y, víi sù bïng næ cña kh¶ n¨ng m¸y tÝnh, chóng ta cã thªm b−íc thø 3 mang ®Ëm b¶n s¾c to¸n häc lµ tÝnh to¸n. B−íc thø ba nµy cho phÐp chóng ta thiÕt kÕ çc m« h×nh cña nh÷ng hÖ thèng rÊt phøc t¹p ®Ó ®o hoÆc ®Þnh l−îng trùc tiÕp, vµ tr¶ lêi çc c©u hái ®−îc xem lµ qu¸ tÇm hiÓu biÕt chØ çch ®©y Ýt thËp kØ. Lç thñng tÇng ozone: Mét vÝ dô quen thuéc ®ßi hái tÝnh to¸n nhiÒu lµ sù trén lÉn cña çc dßng h¶i l−u vµ çc luång khÝ quyÓn. Chóng ta cè g¾ng t×m hiÓu hiÖn t−îng pha trén nµy b»ng çch kÕt hîp C¬ häc chÊt láng vµ §éng lùc häc phi tuyÕn, thiÕt lËp m« h×nh nh÷ng qu¸ tr×nh vËt lý vµ hãa häc cña hiÖn t−îng nµy. Nã phøc t¹p h¬n qu¸ tr×nh truyÒn sãng nhanh nh− kiÓu sù loang cña giät mùc trong n−íc.

VÝ dô, quan s¸t cÈn thËn çc ®¹i d−¬ng hoÆc khÝ quyÓn sÏ ph¸t hiÖn ra nh÷ng "èc ®¶o " chÊt láng thuÇn khiÕt, kh«ng bÞ pha t¹p tõ bªn ngoµi. Trong lßng ®¹i d−¬ng hiÖn t−îng nµy cã thÓ lµ nguyªn nh©n cho sù sèng hay çi chÕt cña çc lo¹i ç, phô thuéc vµo tØ lÖ hßa trén gi÷a çc sinh vËt phï du, çc hîp chÊt hãa häc, çc sinh vËt tr«i næi vµ çc loµi ç kh¸c. §èi víi khÝ quyÓn, nh÷ng èc ®¶o ®ã cã thÓ x¸c ®Þnh tèc ®é lan truyÒn « nhiÔm vµ khÝ nhµ kÝnh. Lç thñng «z«n h×nh thµnh vµo mïa ®«ng ë cùc nam lµ mét trong nh÷ng èc ®¶o

nh− vËy. ë mçi lç hæng ®ã, «z«n hÇu nh− bÞ ph¸ hñy hoµn toµn bëi çc ph¶n øng hãa häc trªn tÇng m©y cao cña khÝ quyÓn. Lç hæng bÞ bao quanh bëi «z«n kh«ng khÝ xo¸y rÊt m¹nh, nh−ng çc «z«n bao quanh kh«ng vµo ®−îc bªn trong lç hæng. §ã lµ v× nã n»m ë t©m c¬n lèc rÊt lín vµ çc m« h×nh to¸n häc dù ®o¸n chÝnh x¸c r»ng biªn cña c¬n lèc xo¸y t¸c ®éng nh− mét rµo c¶n cho sù hßa trén. Vµo mïa xu©n khi khÝ hËu Êm lªn çc c¬n lèc xo¸y bÞ ph¸ hñy, çc hµng rµo biÕn mÊt vµ «z«n míi trë l¹i lç hæng.

§Ó hiÓu ®−îc vÊn ®Ò nµy ®ßi hái gåm c¶ ba b−íc cña qu¸ tr×nh khoa häc - lý thuyÕt c¬ häc chÊt láng, thùc nghiÖm víi ®iÒu kiÖn khÝ quyÓn vµ cuèi cïng lµ tÝnh to¸n, sau ®ã quay trë l¹i víi quan s¸t ban ®Çu. Nh÷ng hiÓu biÕt nh− vËy lµ kh«ng thÓ cã tr−íc khi m¸y tÝnh ®iÖn tö hiÖn ®¹i ra ®êi. H−íng 3: Tõ nghiªn cøu ®¬n ngµnh ®Õn nghiªn cøu ®a ngµnh

Xu h−íng m¹nh mÏ thø ba ngµy nay lµ chuyÓn tõ nghiªn cøu ®¬n ngµnh sang nghiªn cøu ®a ngµnh - mét sù chuyÓn h−íng mµ To¸n häc ®ãng vai trß trung t©m. Theo truyÒn thèng çc viÖn hµn l©m ®−îc tæ chøc theo chuyªn ngµnh vµ sù th¨ng tiÕn khoa häc chñ yÕu phô thuéc vµo kÕt qu¶ nghiªn cøu t¹i chuyªn ngµnh riªng lÎ. Nh×n chung, To¸n häc vµ çc khoa häc kh¸c ®· ®¹t ®−îc nhiÒu thµnh c«ng k× diÖu. Çc nhµ VËt lÝ kh¸m ph¸ ra vËt liÖu x©y dùng ®Ó lµm nªn nh÷ng tßa nhµ chäc trêi, çc nhµ hãa häc t×m ®−îc çch t¹o ra çc hîp chÊt víi nh÷ng chÊt l−îng, ®Æc biÖt çc nhµ sinh häc gi¶i m· ®−îc rÊt nhiÒu gen vµ Protein quy ®Þnh sù sèng. Cïng lóc ®ã çc nhãm ®a chuyªn ngµnh míi h×nh thµnh ®ang nghiªn cøu çc vÊn ®Ò cã ®é phøc t¹p v−ît ra ngoµi khu«n khæ mét chuyªn ngµnh ®¬n lÎ.

7

To¸n häc vµ vËt lý lý thuyÕt

To¸n häc liªn kÕt víi VËt lÝ lÝ thuyÕt qua nhiÒu thÕ kØ vµ mèi liªn hÖ nµy trë nªn m¹nh mÏ h¬n trong hai thËp kû gÇn ®©y. VÝ dô, H×nh häc ®¹i sè trë thµnh mét c«ng cô cèt yÕu cña çc nhµ vËt lÝ lÝ thuyÕt trong nç lùc x©y dùng mét lý thuyÕt tr−êng thèng nhÊt - hay chÝnh x¸c h¬n lµ x©y dùng lý thuyÕt hîp nhÊt lùc hÊp dÉn víi ba lùc vËt lÝ c¬ b¶n kh¸c: lùc h¹t nh©n m¹nh, lùc h¹t nh©n yÕu vµ lùc ®iÖn tõ.

Mét trong nh÷ng øng cö viªn lÝ thó cho mét lÝ thuyÕt míi nµy lµ lÝ thuyÕt d©y, mét ch−¬ng tr×nh ®ang ®−îc theo ®uæi t¹i häc viÖn cña t«i. Nh÷ng nç lùc ®Ó hiÓu biÕt lÝ thuyÕt cùc k× phøc t¹p nµy khiÕn mét nhãm çc nhµ vËt lÝ lÝ thuyÕt thäc s©u vµo To¸n häc vµ hä ®· ®−a ra mét dù b¸o t¸o b¹o vÒ To¸n häc. To¸n häc vµ nh÷ng khoa häc vÒ sù sèng

Mét trong nh÷ng quan hÖ míi ph¸t triÓn m¹nh mÏ lµ sù c«ng t¸c gi÷a To¸n häc vµ Sinh häc. Mçi quan hÖ b¾t ®Çu víi sinh th¸i häc vµo nh÷ng n¨m 1920, khi nhµ to¸n häc ng−êi Italia Vito Volterra nghiªn cøu ç trong ®¹i d−¬ng vµ nhËn thÊy r»ng sè l−îng kÎ s¨n måi vµ con måi cã thÓ ®−îc m« t¶ tèt b»ng To¸n häc. Sau chiÕn tranh thÕ giíi lÇn thø 2 ph−¬ng ph¸p m« h×nh x©y dùng cho d©n sè ®−îc më réng cho ngµnh dÞch tÔ häc, còng gièng nh− øng dông sinh häc trong viÖc nghiªn cøu bÖnh tËt cña mét céng ®ång d©n c− lín.

Míi ®©y, sù hiÓu biÕt vÒ di truyÒn ph©n tö ®· khÝch lÖ çc nhµ khoa häc t×m çch sö dông cïng ph−¬ng ph¸p ®ã mét çch thÝch øng tíi bÖnh truyÒn nhiÔm, trong ®ã ®èi t−îng nghiªn cøu kh«ng ph¶i lµ quÇn thÓ sinh vËt hay con ng−êi mµ lµ quÇn thÓ tÕ bµo. Lý do cña sù céng t¸c nµy thµnh c«ng lµ çc m« h×nh to¸n häc cung cÊp nh÷ng c«ng cô ®Çu tiªn ®Çy søc m¹nh ®Ó m« t¶ ®é phøc t¹p khæng lå cña çc

®Þnh l−îng vµ quan hÖ ph¸t hiÖn ®−îc trong çc hÖ thèng sinh häc.

Çc m« h×nh to¸n häc còng cã thÓ trî gióp trËn chiÕn chèng kh¸ng thuèc. Mét ®e däa chÝnh ®èi víi søc kháe con ng−êi trong thÕ kØ nµy cã thÓ lµ sù kh¸ng thuèc cña çc siªu vi trïng. Çc m« h×nh cã thÓ chØ ra nh÷ng ®Þnh h−íng ®Ó thu thËp vµ ph©n tÝch d÷ liÖu nh»m lµm cho thuèc hiÖu nghiÖm h¬n. H−íng 4: Nghiªn cøu nhiÒu h¬n çc hÖ thèng phøc t¹p

H−íng c¬ b¶n thø t− lµ chuyÓn viÖc ®¬n gi¶n hãa sang nghiªn cøu nh÷ng hÖ thèng phøc t¹p h¬n. Tõ l©u çc nhµ khoa häc ®· cè g¾ng ph©n chia vÊn ®Ò thµnh nh÷ng phÇn ®¬n gi¶n nhÊt cã thÓ, råi m« t¶ liªn quan gi÷a chóng b»ng nh÷ng qui luËt ®¬n gi¶n. Tuy çc qui luËt cã vÎ ®¬n gi¶n, nh−ng b¶n th©n néi t¹i thÕ giíi thùc l¹i phøc t¹p vµ bëi v× thÕ giíi lµ phøc t¹p, nªn ®ßi hái ph¶i cã nh÷ng m« h×nh to¸n häc hiÖu qu¶ h¬n.

Mét vÝ dô tèt lµ sö dông ®é phøc t¹p trong çc khoa häc vÒ sù sèng, ë ®ã To¸n häc gÆp ph¶i mét th¸ch thøc lµ hiÓu ®−îc c¬ chÕ hãa häc ®iÒu khiÓn chøc n¨ng tÕ bµo. Chóng ta biÕt r»ng sù thÓ hiÖn cÊu t¹o cña çc gen ®¬n lÎ kh«ng ph¶i do mét, hai hoÆc n¨m mµ lµ hµng vµi t¸ protein ®iÒu hµnh vµ sù t−¬ng t¸c gi÷a çc ph©n tö tÕ bµo cã hiÖu øng ph¶n håi lµ t¨ng hoÆc gi¶m sù thÓ hiÖn cña çc ph©n tö kh¸c. Chóng ta b©y giê ®ang cè g¾ng t×m kiÕm nh÷ng thö nghiÖm s¬ khai ®Ó m« h×nh hãa hÖ thèng gen b»ng mµy tÝnh.

Tuy nhiªn, mét ®iÒu quan träng cÇn ®−îc nhÊn m¹nh lµ çc m« h×nh phøc t¹p cña çc hÖ cuèi cïng sÏ dÉn ®Õn çc vÊn ®Ò kh«ng thÓ lín h¬n hay r¾c rèi h¬n, mµ lµ sù kh¸c biÖt hoµn toµn so víi nh÷ng qui luËt mµ chóng ta ®· biÕt. Çc nhµ to¸n häc ph¶i ph¸t triÓn nh÷ng h−íng tiÕp cËn hoµn toµn míi ®Ó hiÓu c¬ chÕ xuÊt hiÖn cña çc

8

bÊt ®Þnh trong m« h×nh vµ c¬ chÕ lan truyÒn cña chóng trong hÖ thèng. To¸n häc trong thÕ kû 21

Khi chóng ta b−íc vµo thÕ kû 21, ngµy cµng cã sù quan t©m to lín tíi sù céng t¸c gi÷a To¸n häc vµ çc khoa häc kh¸c. Sù hîp t¸c ®ã võa lµ sù cæ vò cho To¸n häc võa l«i kÐo çc nhµ to¸n häc tíi nh÷ng vÊn ®Ò thêi sù nhÊt cña thêi ®¹i. Khi chóng ta b−íc lªn phÝa tr−íc, ®iÒu quan träng cho sù kháe m¹nh cña To¸n häc lµ ®¹t ®−îc sù c©n b»ng gi÷a To¸n häc lý thuyÕt vµ nh÷ng mèi quan hÖ míi nµy. Mét sè th¸ch thøc.

Khi cè g¾ng duy tr× sù th¨ng b»ng nµy, mét sè th¸ch thøc ®ang ®îi chóng ta trong thiªn niªn kû míi, nh÷ng th¸ch thøc cã thÓ lµm chËm çc xu h−íng tiÕn tíi khoa häc ®a ngµnh vµ hîp t¸c nghiªn cøu.

Mét c¶n trë ®èi víi sù t−¬ng t¸c lµ truyÒn thèng c« lËp cña chóng ta. Nh÷ng nhµ to¸n häc chóng ta ®· bÞ c« lËp víi nh÷ng chuyªn ngµnh to¸n häc kh¸c, víi nh÷ng khoa häc kh¸c vµ ch¾c ch¾n víi nh÷ng lÜnh vùc kh«ng mang tÝnh häc thuËt, ®Æc biÖt lµ nh÷ng lÜnh vùc t− h÷u. T«i ®· nãi r»ng ®iÒu ®ã b¾t ®Çu thay ®æi vµ b©y giê chóng ta ®ang cã c¬ héi ®Ó thiÕt lËp nh÷ng cÇu nèi m¹nh h¬n trong néi t¹i còng nh− gi÷a çc häc viÖn.

§Ó kh¾c phô sù c« lËp nµy, rÊt nªn nh×n l¹i lÞch sö phong phó cña to¸n häc. H·y nghÜ vÒ Newton, Euler, Gauss, Riemann, PoincarÐ vµ nh÷ng nhµ to¸n häc kh¸c, nh÷ng ng−êi ®· nghiªn cøu to¸n trong mèi liªn hoµn víi nghiªn cøu thÕ giíi thùc thÓ. Trong phÇn lín lÞch sö, chóng ta ®· tham gia vµo nh÷ng khÝa c¹nh to¸n häc cña çc khoa häc kh¸c vµ ®· nhËn thÊy chóng cùc k× thó vÞ.

Nh−ng trong thÕ kØ 20, c¬ héi cßn nhiÒu h¬n. T«i nghÜ r»ng çc tr−êng ®¹i häc cã thÓ häc hái ®−îc nhiÒu h¬n vÒ sù

t−¬ng t¸c tõ nh÷ng khu vùc t− h÷u. VÝ dô, mét trong nh÷ng häc viÖn nghiªn cøu lín nhÊt t¹i Hoa K× lµ phßng thÝ nghiÖm l©u ®êi Bell, ë New Jersey. ë ®ã çc nhµ nghiªn cøu ®−îc tæ chøc theo çc vÊn ®Ò quan t©m h¬n lµ theo çc chuyªn ngµnh häc thuËt. C¬ cÊu tæ chøc kh«ng x¸c ®Þnh khoa häc mµ lµ khoa häc x¸c ®Þnh c¬ cÊu tæ chøc. §iÒu nµy ®¶m b¶o ®é tù do vµ tÝnh mÒm dÎo trong t− duy ®Ó theo ®uæi çc vÊn ®Ò víi mét thµnh c«ng lín. KÕt luËn:

§Ó kÕt luËn, t«i muèn nhÊn m¹nh r»ng chóng ta ®ang chøng kiÕn mét xu h−íng to lín vµ réng kh¾p lµ tiÕn tíi t−¬ng t¸c vµ céng t¸c, c¶ vÒ çch tiÕn hµnh nghiªn cøu còng nh− çch lµm viÖc víi nhau. C«ng viÖc nghiªn cøu sÏ trë nªn phøc t¹p h¬n v× chóng ta ph¶i tÝnh to¸n nhiÒu. Nã trë nªn ®a ngµnh h¬n v× ®ã lµ çch tèt nhÊt ®Ó hiÓu çc hÖ thèng phøc t¹p, kÓ c¶ b¶n th©n cuéc sèng.

T«i tin r»ng çc nghiªn cøu to¸n häc vµ khoa häc sÏ mang l¹i cho chóng ta kh«ng chØ tri thøc lý thuyÕt vµ thùc tiÔn, mµ cßn c¶ ph−¬ng thøc lµm viÖc cïng nhau tèt h¬n, v−ît qua hµng rµo ng¨n çch ®Þa lÝ. T«i tin r»ng cßn ®−êng tèt nhÊt ®Ó theo ®uæi nh÷ng th¸ch thøc c«ng nghÖ cña thÕ kØ 21 lµ c«ng nhËn vµ thÝch nghi víi nh÷ng khuynh h−íng m¹nh mÏ nµy, vµ häc çch tæ chøc nh− phßng thÝ nghiÖm l©u ®êi Bell, n¬i ®· ®ång nhÊt gi¸ trÞ cña ®éi ngò lµm viÖc vµ sù hîp t¸c. Th¸ch thøc cña chóng ta lµ c¶i tiÕn nh−ng m« h×nh tuyÖt t¸c ®ã vµ më réng chóng tõ c«ng nghiÖp vµo nghiªn cøu hµn l©m vµ gi¶ng d¹y, nh÷ng n¬i mµ çc nhµ khoa häc vµ kÜ s− t−¬ng lai ®ang ®−îc ®µo t¹o.

Xin c¶m ¬n.

Ng−êi dÞch: TrÇn Nam Trung HiÖu ®Ýnh: Lª TuÊn Hoa



Th¸ng 12 N¨m 2004 TËp 8 Sè 4

Alexandre Grothendieck (sinh n¨m 1928)

1

Lý thuyÕt çc chøng minh cã thÓ kiÓm tra b»ng x¸c suÊt

Ph¹m Trµ ¢n (ViÖn To¸n häc)

Ngµy 20-8-2002, t¹i buæi lÔ träng thÓ khai m¹c Héi nghÞ To¸n häc ThÕ giíi ICM 2002, tæ chøc t¹i B¾c kinh, Trung quèc, Gi¶i th−ëng Nevanlinna(1) dµnh cho lÜnh vùc C¬ së To¸n häc cña Tin häc, ®· ®−îc trao cho Madhu Sudan(2), ng−êi Mü gèc Ên §é, hiÖn lµ gi¸o s− t¹i Häc viÖn kü thuËt Massachussetts, MIT, vÒ thµnh tùu �Çc chøng minh cã thÓ kiÓm tra b»ng x¸c suÊt�, viÕt t¾t lµ PCP (Probabilistically Checkable Proofs).

Nãi mét çch ng¾n gän, kÕt qu¶ chÝnh cña lý thuyÕt nµy lµ: Víi mét chøng minh ë d¹ng “chuÈn t¾c” cña mét ®Þnh lý to¸n häc bÊt kú, lý thuyÕt çc PCP cho ta çch “®óc l¹i” chøng minh nµy thµnh mét chøng minh míi, sao cho l«gic c¬ së cña chøng minh míi ®−îc m· ho¸ thµnh mét d·y çc bÝt vµ khi cÇn kiÓm tra tÝnh ®óng ®¾n cña chøng minh ban ®Çu, ta chØ cÇn kiÓm tra mét sè çc bÝt nµo ®Êy cña d·y lµ ®ñ ®Ó kÕt luËn chøng minh ban ®Çu cña ®Þnh lý cã ®óng hay kh«ng víi mét x¸c suÊt tin cËy

rÊt cao. §iÒu ®¸ng ng¹c nhiªn lµ sè çc bÝt cÇn kiÓm tra l¹i lµ rÊt Ýt. Lý thuyÕt çc PCP ®· g©y mét tiÕng vang, nh−ng ®ång thêi còng t¹o ra mét x«n xao trong giíi khoa häc. Çc nhµ C«ng nghÖ Th«ng tin nh×n thÊy ë kÕt qu¶ nµy mét tiÒm n¨ng øng dông to lín vµ Héi M¸y tÝnh Mü ®· tÆng gi¶i th−ëng Godel n¨m 2001 cho tËp thÓ nghiªn cøu, trong ®ã cã M. Sudan. Çc nhµ tin häc lý thuyÕt, mµ ®¹i diÖn lµ A. Wigderson, gi¶i th−ëng Nevanlinna 1994, ®· ®¸nh gi¸ “®©y lµ mét trong sè çc thµnh tùu quan träng nhÊt vµ s©u s¾c nhÊt cña Tin häc lý thuyÕt”. Cßn çc nhµ to¸n häc võa ®¸nh gi¸ cao gi¸ trÞ khoa häc cña lý thuyÕt çc PCP (b»ng chøng lµ ®· tÆng gi¶i th−ëng Nevanlinna 2002), võa b¨n kho¨n mét c©u hái ph¶i ch¨ng b−íc tiÕp theo cña thµnh tùu nµy sÏ lµ viÖc “referee“ çc bµi b¸o to¸n häc b»ng m¸y? D−íi ®©y chóng t«i sÏ ph¸c häa “bøc ch©n dung” cña Lý thuyÕt çc PCP vµ thö ®i t×m c©u gi¶i ®¸p cho nçi niÒm tr¨n trë cña çc nhµ to¸n häc.

Bµi to¸n quyÕt ®Þnh, ThuËt to¸n, §é phøc t¹p tÝnh to¸n. Bµi to¸n mµ c©u tr¶ lêi chØ lµ “YES” (chÊp nhËn) hay “NO” (b¸c bá) ®−îc gäi lµ mét bµi to¸n quyÕt ®Þnh. D−íi ®©y ta chØ xÐt çc bµi to¸n quyÕt ®Þnh.

Mét çch trùc quan, ThuËt to¸n lµ mét thñ tôc tõng b−íc cho ta çch gi¶i bµi to¸n. Ta cã thÓ h×nh dung cô thÓ h¬n: ThuËt to¸n lµ mét ch−¬ng tr×nh m¸y tÝnh ®−îc viÕt b»ng mét ng«n ng÷ lËp tr×nh nµo ®Êy. Mét çch to¸n häc, ThuËt to¸n lµ mét m¸y Turing ®¬n ®Þnh, viÕt t¾t lµ DTM

2

(Deterministic Turing Machine). TËp L gåm çc Input ®−îc M chÊp nhËn (YES) , gäi lµ ng«n ng÷ chÊp nhËn bëi m¸y M, ký hiÖu L(M). VÒ DTM vµ L(M) b¹n ®äc cã thÓ tham kh¶o thªm chó thÝch (3). Khi gi¶i mét bµi to¸n cô thÓ, kh«ng nh÷ng ta chØ cè g¾ng t×m mét thuËt to¸n gi¶i ®−îc bµi to¸n ®· cho, mµ cßn muèn t×m mét thuËt to¸n “tèt nhÊt”. Trong nhiÒu tr−êng hîp tèt nhÊt ®−îc hiÓu lµ “nhanh nhÊt”, vµ ta ®i ®Õn kh¸i niÖm vÒ ®é phøc t¹p thêi gian(4). §é phøc t¹p thêi gian cña mét thuËt to¸n A lµ hµm: FA (n) = max W{m | A dõng sau m b−íc, víi mäi Input w, cã |w| = n}. Nãi çch kh¸c, thuËt to¸n A cã ®é phøc t¹p thêi gian lµ FA(n) nÕu vµ chØ nÕu víi mäi n, vµ víi mäi Input cã ®é dµi n, thuËt to¸n A sÏ dõng vµ cho ra kÕt qu¶ sau nhiÒu nhÊt lµ FA (n) bø¬c tÝnh to¸n.

ViÖc tÝnh chÝnh x¸c çc hµm FA (n) th−êng rÊt khã vµ còng kh«ng cã ý nghÜa l¾m v× tÝnh hiÖu qu¶ cña mét thuËt to¸n ph¶i ®−îc ®¸nh gi¸ cho mét líp réng r·i çc bµi to¸n víi çc Input ®ñ lín. V× vËy thay cho viÖc tÝnh chÝnh x¸c FA (n) ta chØ cÇn tÝnh cÊp cña nã. ThÝ dô nÕu FA (n) = 3n2 +6n �9, ta cã cÊp cña FA (n) lµ n2 vµ ký hiÖu FA (n) = 0(n2). TÝnh to¸n hiÖu qu¶ vµ líp P. Do cã sù �Bïng næ tæ hîp�(4) khi chuyÓn tõ hµm ®a thøc sang hµm mò, çc thuËt to¸n cã ®é phøc t¹p thêi gian cÊp tõ ®a thøc trë xuèng, th× hiÖn t¹i vÒ nguyªn t¾c, çc m¸y tÝnh cã thÓ “kham næi”, v× vËy ®−îc gäi lµ çc thuËt to¸n hiÖu qu¶. Cßn çc thuËt to¸n cã ®é phøc t¹p thêi gian cÊp tõ mò trë lªn, th× hiÖn t¹i ch¾c ch¾n lµ çc m¸y tÝnh kh«ng thÓ “kham næi”, v× vËy ®−îc gäi lµ çc thuËt to¸n kh«ng hiÖu qu¶. Mét bµi to¸n ®−îc gäi lµ gi¶i ®−îc hiÖu qu¶, nÕu cã mét thuËt to¸n hiÖu qu¶ gi¶i nã.

§Þnh nghÜa 1. Líp P lµ líp çc bµi to¸n gi¶i ®−îc hiÖu qu¶. ThÝ dô vÒ çc bµi to¸n thuéc líp P cã thÓ kÓ: Bµi to¸n nh©n 2 sè nguyªn, Bµi to¸n tÝnh ®Þnh thøc, Bµi to¸n quy ho¹ch ®éng, Bµi to¸n quy ho¹ch tuyÕn tÝnh, Bµi to¸n s¾p xÕp, Bµi to¸n t×m kiÕm, vµ gÇn ®©y nhÊt lµ Bµi to¸n kiÓm tra tÝnh nguyªn tè cña mét sè nguyªn, v.v.

Bµi to¸n kiÓm chøng nghiÖm vµ thuËt to¸n kh«ng-®¬n ®Þnh. Trong phÇn nµy chóng ta sÏ më réng kh¸i niÖm thuËt to¸n ®¬n ®Þnh thµnh thuËt to¸n kh«ng-®¬n ®Þnh. Tr−íc hÕt ta h·y lÊy mét thÝ dô. XÐt bµi to¸n ng−êi b¸n hµng rong ë d¹ng sau: Cho tËp C çc thµnh phè, tËp D çc kho¶ng çch gi÷a mäi cÆp thµnh phè vµ mét h»ng sè T, ®−îc goi lµ h»ng sè môc tiªu. NÕu bµi to¸n lµ cã hay kh«ng mét hµnh tr×nh cña ng−êi b¸n hµng rong víi tæng ®é dµi nhá h¬n hay b»ng T? th× ®©y lµ mét bµi to¸n quyÕt ®Þnh rÊt khã, çc thuËt to¸n ®¬n ®Þnh cã ®−îc, cho ®Õn thêi ®iÓm hiÖn t¹i, ®Òu cã ®é phøc t¹p thêi gian lµ hµm mò. V× vËy bµi to¸n ng−êi b¸n hµng rong hiÖn lµ mét bµi to¸n bÊt trÞ(4). Nh−ng nÕu cã mét ng−êi nµo ®ã tuyªn bè r»ng anh ta ®· t×m ®−îc mét hµnh tr×nh cña ng−êi b¸n hµng rong tho¶ m·n ®−îc tÊt c¶ çc yªu cÇu ®Ò ra, vµ nÕu nh− ta cßn ch−a tin, ta cã thÓ kiÓm chøng tÝnh “§óng”, “Sai” cña hµnh tr×nh nµy b»ng mét thuËt to¸n gåm 2 c«ng ®o¹n sau:

• C«ng ®o¹n �Pháng ®o¸n�: C¨n cø vµo lêi gi¶i x anh ta ®−a ra, x ®−îc xem nh− lµ mét Input, thuËt to¸n pháng ®o¸n xem x cã mét tÝnh chÊt ®Þnh tÝnh nµo ®Êy kh«ng? (ë ®©y x cã lµ hµnh tr×nh qua mäi thµnh phè, mçi thµnh phè ®óng mét lÇn, råi l¹i trë vÒ thµnh phè xuÊt ph¸t hay kh«ng?). NÕu lµ “Kh«ng”, thuËt to¸n dõng l¹i ë ®©y vµ cho Output lµ “NO”. NÕu lµ “Cã” th× ghi l¹i hµnh tr×nh nµy, ký hiÖu lµ π, nh− lµ mét b»ng chøng. Råi chuyÓn sang c«ng ®o¹n hai.

3

• C«ng ®o¹n�KiÓm tra�: Ta coi bé hai (x,π) nh− lµ Input, kiÓm tra xem π cã mét tÝnh chÊt ®Þnh l−îng nµo ®ã kh«ng? (ë ®©y ®é dµi cña π cã nhá h¬n hay b»ng T hay kh«ng?) NÕu “Kh«ng” th× Output sÏ lµ “NO”, nÕu “Cã”, Output sÏ lµ “YES” ®ång thêi kÕt luËn hµnh tr×nh anh ta ®−a ra ®óng lµ mét nghiÖm cña bµi to¸n ng−êi b¸n hµng rong vµ thuËt to¸n kÕt thóc ë ®©y. Chó ý r»ng ë c«ng ®o¹n “Pháng ®o¸n”, ta cÇn ®Õn tÝnh chÊt “kh«ng-®¬n ®Þnh” cña thuËt to¸n. V× vËy thuËt to¸n gåm hai c«ng ®o¹n nh− trªn ®−îc gäi lµ mét thuËt to¸n kh«ng-®¬n ®Þnh. B©y giê ta ®Þnh nghÜa m¸y Turing kh«ng-®¬n ®Þnh, lµ h×nh thøc ho¸ kh¸i niÖm thuËt to¸n kh«ng-®¬n ®Þnh nãi ®Õn ë trªn.

M¸y Turing kh«ng-®¬n ®Þnh, viÕt t¾t lµ NDTM (Nondeterministic Turing Machine) cã cÊu tróc nh− m¸y Turing ®¬n ®Þnh vµ ®−îc bæ sung thªm mét �m«®un pháng ®o¸n�. M«®un pháng ®o¸n cã mét “®Çu chØ viÕt”. Ho¹t ®éng cña m¸y Turing kh«ng-®¬n ®Þnh gåm 2 c«ng ®o¹n t¸ch biÖt nhau. C«ng ®o¹n thø nhÊt, m«®un pháng ®o¸n lµm viÖc víi Input x vµ pháng ®o¸n mét tÝnh chÊt ®Þnh tÝnh nµo ®ã, nÕu pháng ®o¸n thµnh c«ng th× ghi l¹i qu¸ tr×nh pháng ®o¸n π b»ng “®Çu chØ viÕt” cña m×nh, coi nh− lµ mét b»ng chøng cña sù pháng ®o¸n ®óng, råi chuyÓn sang c«ng ®o¹n hai. ë c«ng ®o¹n hai m¸y NDTM coi (x,π) nh− lµ Input, tÝnh to¸n hoµn toµn nh− mét m¸y Turing ®¬n ®Þnh vµ sÏ cho Output lµ “YES” nÕu tÝnh to¸n thµnh c«ng, cßn nÕu tÝnh to¸n kh«ng thµnh c«ng sÏ cho Output lµ “NO”. Cã thÓ chøng minh r»ng m« h×nh NDTM d¹ng ®Æc biÖt trªn lµ t−¬ng ®−¬ng víi m« h×nh NDTM d¹ng tæng qu¸t. Ta còng nhËn xÐt r»ng nÕu muèn h¹n chÕ vÒ ®é phøc t¹p thêi gian lªn NDTM, ch¼ng h¹n h¹n chÕ thêi gian tÝnh to¸n chØ lµ ®a thøc, th× h¹n chÕ nµy chØ cÇn ®Æt lªn m«®un pháng ®o¸n lµ ®ñ, v× chØ cã m«®un nµy míi cã kh¶

n¨ng “xµi” thêi gian nhiÒu ®Õn møc trªn ®a thøc.

KiÓm chøng hiÖu qu¶ vµ líp NP. Nh− vËy mét thuËt to¸n kh«ng-®¬n ®Þnh kiÓm chøng nghiÖm cña mét bµi to¸n quyÕt ®Þnh vµ sÏ ®−îc gäi lµ mét kiÓm chøng V. Ta còng chuyÓn kh¸i niÖm “hiÖu qu¶” cña thuËt to¸n ®¬n ®Þnh sang cho kiÓm chøng V. KiÓm chøng V ®−îc gäi lµ hiÖu qu¶ nÕu m«®un pháng ®o¸n cña V lµm viÖc trong thêi gian ®a thøc ®èi víi ®é dµi cña Input.

Ta nãi ng«n ng÷ L cã thÓ kiÓm chøng hiÖu qu¶ nÕu cã mét kiÓm chøng hiÖu qu¶ V vµ mét ®a thøc p sao cho hai ®iÒu kiÖn sau ®−îc tho¶ m·n:

• [TÝnh ®Çy ®ñ]: Víi mäi x ∈ L, tån t¹i mét d·y π víi ®é dµi |π| ≤ p(|x|), sao cho kiÓm chøng V chÊp nhËn Input (x,π).

• [TÝnh hîp lý]: Víi mäi x ∉ L, víi mäi d·y π cã ®é dµi |π| ≤ p (|x|) kiÓm chøng V b¸c bá Input (x,π).

B©y giê ta xem mçi d·y x thuéc L lµ mét ®Þnh lý trong hÖ chøng minh V. D·y π lµ mét pháng ®o¸n ®óng sao cho V chÊp nhËn Input (x, π) ®−îc coi lµ mét chøng minh hîp ph¸p cña ®Þnh lý x trong hÖ chøng minh V.

§Þnh nghÜa 2. Líp NP lµ líp çc ng«n ng÷ cã thÓ kiÓm chøng hiÖu qu¶.

ThÝ dô vÒ çc bµi to¸n thuéc NP cã thÓ kÓ: Bµi to¸n ng−êi b¸n hµng rong, Bµi to¸n quy ho¹ch nguyªn, Bµi to¸n t« mÇu b¶n ®å, Bµi to¸n “Tháa” trong L«gic Boole vµ gÇn ®©y nhÊt lµ Bµi to¸n ph©n tÝch mét sè nguyªn thµnh çc thõa sè nguyªn tè, v.v.

Ta cã ngay P ⊆ NP. Nh−ng chóng ta kh«ng biÕt bao hµm thøc trªn cã lµ thËt sù hay kh«ng? VÊn ®Ò P = NP? hiÖn lµ mét trong sè çc vÊn ®Ò më næi tiÕng nhÊt vµ còng ®¾t gi¸ nhÊt trong To¸n häc vµ trong Tin häc lý thuyÕt(3). NÕu P = NP th× viÖc kiÓm chøng mét ®Þnh lý cã thÓ tiÕn hµnh b»ng mét ch−¬ng tr×nh m¸y tÝnh hiÖu qu¶.

4

Nh−ng tiÕc thay cho ®Õn thêi ®iÓm hiÖn t¹i, vÊn ®Ò P = NP? vÉn ch−a cã c©u tr¶ lêi. H¬n thÕ n÷a, theo S. Cook, mét nhµ to¸n häc hµng ®Çu trong lÜnh vùc nµy, th× hÇu hÕt çc nhµ to¸n häc l¹i dù ®o¸n vµ tin r»ng P ≠ NP!

ThuËt to¸n x¸c suÊt. Cã mét h−íng më réng kh¸c kh¸i niÖm thuËt to¸n, ®ã lµ ®−a x¸c suÊt vµo thuËt to¸n. Mét çch trùc quan, thuËt to¸n x¸c suÊt lµ thuËt to¸n ®¬n ®Þnh, cã thªm tÝnh chÊt lµ ë vµo nh÷ng b−íc nhÊt ®Þnh cña thuËt to¸n, sù lùa chän b−íc tiÕp theo nµo, cã sù tham gia “cè vÊn” cña viÖc “Tung mét ®ång xu”, nÕu mÆt “Ngöa” xuÊt hiÖn th× thuËt to¸n ®i theo nh¸nh nµy, cßn nÕu mÆt “SÊp” xuÊt hiÖn th× thuËt to¸n sÏ ®i theo nh¸nh kia. Sau ®ã thuËt to¸n l¹i tiÕp diÔn mét çch hoµn toµn ®¬n ®Þnh nh− cò. §èi víi thuËt to¸n x¸c suÊt, ta kh«ng thÓ nãi ®Õn ®é phøc t¹p thêi gian mét çch tuyÖt ®èi, mµ chØ cã thÓ nãi ®Õn ®é phøc t¹p thêi gian kú väng. §é phøc t¹p thêi gian kú väng cña mét thuËt to¸n x¸c suÊt lµ trung b×nh cña mäi ®é phøc t¹p thêi gian lÊy theo mäi t×nh huèng cô thÓ cã thÓ cña bµi to¸n, (çc t×nh huèng nµy th−êng ®−îc gi¶ thiÕt lµ cã ph©n bè x¸c suÊt ®Òu nhau). Kh¸i niÖm “hiÖu qu¶” ®−îc chuyÓn mét çch tù nhiªn sang cho thuËt to¸n x¸c suÊt: ®ßi hái ®é phøc t¹p thêi gian kú väng bÞ chÆn trªn bëi mét ®a thøc. Tuy nhiªn “yÕu tè míi” b©y giê lµ Output l¹i trë thµnh mét biÕn ngÉu nhiªn, vµ nh− vËy n¶y sinh t×nh huèng cã sù “chÊp nhËn nhÇm”, tøc lµ ®¸ng lÏ Output ph¶i lµ “NO” th× l¹i “YES”. Ta cÇn khèng chÕ sai lÇm lo¹i nµy, cô thÓ ®ßi hái x¸c suÊt ph¹m ph¶i sai lÇm lo¹i nµy ph¶i nhá h¬n hay b»ng mét sè d−¬ng ε cho tr−íc nµo ®Êy. Cã ®iÒu ®¸ng ng¹c nhiªn lµ, mét thuËt to¸n chØ cÇn trang bÞ thªm c«ng cô “Tung mét ®ång xu” ®¬n gi¶n nh− vËy th«i (nãi “tung mét ®ång xu” mét çch “d©n d·” nh− vËy, nh−ng trong m¸y tÝnh sÏ ®−îc

hiÓu lµ gäi ®Õn mét ch−¬ng tr×nh con sinh ra çc sè “gi¶ ngÉu nhiªn”), ta ®· cã thÓ lµm t¨ng mét çch ®¸ng kÓ kh¶ n¨ng tÝnh to¸n cña çc thuËt to¸n ban ®Çu. ThÝ dô thuËt to¸n x¸c suÊt kiÓm tra tÝnh nguyªn tè cña mét sè nguyªn cho tr−íc do M. Rabin ®Ò xuÊt vµo n¨m 1976, lµ mét minh chøng mang tÝnh thuyÕt phôc rÊt cao. Nh− mäi ng−êi ®Òu biÕt, tr−íc n¨m 2002, thuËt to¸n ®¬n ®Þnh tèt nhÊt gi¶i bµi to¸n nµy cã ®é phøc t¹p thêi gian lµ F(n) = O((log n)(logloglogn) ) vµ do ®ã bµi to¸n lµ “bÊt trÞ”(4). Trªn thùc tÕ ng−êi ta chØ cã thÓ kiÓm tra ®−îc çc sè nguyªn n cã cì vµo kho¶ng ~1060 . N¨m 2002, nhµ to¸n häc Ên §é lµ M. Agrawal cïng hai sinh viªn N. Kayal vµ N. Saxema ®· t×m ®−îc mét thuËt to¸n míi gi¶i ®−îc bµi to¸n nµy víi ®é phøc t¹p thêi gian gi¶m xuèng chØ cßn F(n) = O(log12 n) vµ nh− vËy bµi to¸n ®· trë thµnh trÞ ®−îc. KÕt qu¶ nµy ®· cã mét tiÕng vang lín! Nh−ng nÕu ta chÞu khã nhí l¹i r»ng çch ®©y 25 n¨m, thuËt to¸n x¸c suÊt cña Rabin cã ®é phøc t¹p thêi gian kú väng chØ lµ E(F(n)) = O(log3 n), th× ta míi thÊy hÕt tÝnh −u viÖt cña thuËt to¸n x¸c suÊt. B»ng thuËt to¸n x¸c suÊt nµy, trªn mét m¸y tÝnh cã tèc ®é thuéc lo¹i trung b×nh, chØ sau d¨m phót tÝnh to¸n, M. Rabin ®· chØ ra sè nguyªn (2400-593) lµ sè nguyªn tè víi mét x¸c suÊt tin cËy rÊt cao. Ngµy nay, thùc tÕ ®· chØ ra r»ng, víi cïng mét bµi to¸n, thuËt to¸n x¸c suÊt th−êng tá ra cã hiÖu qu¶ h¬n çc thuËt to¸n th«ng th−êng. ThËm chÝ trong mét sè tr−êng hîp ®Æc biÖt, chØ cã thuËt to¸n x¸c suÊt lµ hiÖu qu¶ mµ th«i. Nghiªn cøu çc thuËt to¸n x¸c suÊt mét çch cã hÖ thèng vµ s©u s¾c ®ang trë thµnh mét mòi nhän cã nhiÒu triÓn väng cña Lý thuyÕt tÝnh to¸n trong t−¬ng lai.

KiÓm chøng x¸c suÊt hiÖu qu¶ vµ líp PCP. B©y giê ta kÕt hîp c¶ hai h−íng më réng: võa kh«ng-®¬n ®Þnh, võa x¸c suÊt vµo kh¸i niÖm thuËt to¸n, ta sÏ ®i ®Õn kh¸i niÖm kiÓm chøng x¸c suÊt. Mét kiÓm

5

chøng ®ång thêi l¹i lµ mét thuËt to¸n x¸c suÊt sÏ ®ùîc gäi lµ mét kiÓm chøng x¸c suÊt vµ ký hiÖu lµ VP. Kh¸i niÖm “hiÖu qu¶” cña V vµ kh¸i niÖm “Output lµ mét biÕn ngÉu nhiªn” cña thuËt to¸n x¸c suÊt b©y giê ®−îc chuyÓn mét çch tù nhiªn sang cho VP.

Ta nãi ng«n ng÷ L cã mét chøng minh cã thÓ kiÓm tra b»ng x¸c suÊt, gäi t¾t lµ cã PCP, nÕu cã mét kiÓm chøng x¸c suÊt hiÖu qu¶ VP, mét ®a thøc p vµ mét h»ng sè C sao cho ba ®iÒu kiÖn sau ®−îc tho¶ m·n :

• [TÝnh ®Çy ®ñ]: Víi mäi x ∈ L, tån t¹i mét d·y π víi ®é dµi |π| ≤ p(|x|), sao cho VP chÊp nhËn Input (x,π) víi x¸c suÊt b»ng 1.

• [TÝnh hîp lý ]: Víi mäi x ∉L, vµ víi mäi d·y π cã ®é dµi |π| ≤ p(|x|), VP chÊp nhËn Input (x,π) víi x¸c suÊt < 1/2.

• Víi mäi Input (x,π), VP chØ cÇn truy nhËp mét mÉu ngÉu nhiªn gåm C bÝt cña π, lµ ®· ®ñ th«ng tin ®Ó chÊp nhËn hay b¸c bá Input (x,π).

Mét çch tù nhiªn, ta vÉn coi mçi x thuéc L lµ mét ®Þnh lý trong hÖ chøng minh VP, mçi d·y π sao cho VP chÊp nhËn Input (x,π) víi x¸c suÊt b»ng 1 lµ mét chøng minh hîp ph¸p cña ®Þnh lý x trong hÖ chøng minh VP. Chó ý r»ng b»ng çch lÆp l¹i mét çch ®éc lËp k lÇn phÐp kiÓm chøng VP vµ coi mét ®Þnh lý lµ bÞ b¸c bá nÕu vµ chØ nÕu ë tÊt c¶ çc lÇn kiÓm chøng, VP ®Òu cho Output lµ “NO”, ta cã thÓ lµm cho x¸c suÊt chÊp nhËn nhÇm mét “®Þnh lý sai” nhá h¬n (1/2)k vµ do ®ã nhá h¬n mét sè ε bÐ cho tr−íc tuú ý, víi k ®ñ lín.

§Þnh nghÜa 3. Líp PCP lµ líp çc ng«n ng÷ cã chøng minh cã thÓ kiÓm tra b»ng x¸c suÊt. §ãng gãp chÝnh cña M. Sudan vµ çc ®ång nghiÖp cña «ng trong nhãm nghiªn

cøu lµ ë ®Þnh lý sau, th−êng ®−îc gäi lµ ®Þnh lý PCP :

§Þnh lý PCP 1. PCP = NP . §Þnh lý trªn cã thÓ diÔn t¶ nh− sau: Mäi ®Þnh lý, nÕu cã thÓ kiÓm chøng hiÖu qu¶, th× nã còng cã thÓ kiÓm chøng b»ng x¸c suÊt chØ b»ng viÖc kiÓm chøng mét mÉu ngÉu nhiªn cña d·y çc bit chøng minh.

Chøng minh cña ®Þnh lý PCP ®−îc giíi To¸n häc vµ Tin häc lý thuyÕt ®¸nh gi¸ lµ mét chøng minh ®Ñp vµ s©u s¾c, nã kÕt hîp ®−îc çc t− duy cña ®¹i sè, t− t−ëng cña m· tù-söa sai víi çc ý t−ëng cña tÝnh to¸n x¸c suÊt vµ kü n¨ng cña TEST ch−¬ng tr×nh. Mét chøng minh hoµn toµn mang tÝnh chÊt kiÕn thiÕt. §−¬ng nhiªn mét chøng minh nh− vËy lµ phøc t¹p, cÇn cã çc bæ trî vÒ kiÕn thøc vµ viÖc tr×nh bÇy nã ®· v−ît ra ngoµi khu«n khæ cña bµi b¸o nµy. B¹n ®äc quan t©m cã thÓ t×m hiÓu chøng minh nµy qua çc tµi liÖu chuyªn s©u h¬n. TiÕp tôc ph¸t triÓn Lý thuyÕt çc PCP, trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y ng−êi ta xem xÐt kü cµng h¬n çc nguån tµi nguyªn mµ kiÓm chøng VP sö dông. Cã hai lo¹i tµi nguyªn quan träng ®−îc dïng ®Ó ph©n líp ®é phøc t¹p cña ng«n ng÷ L. §ã lµ sè lÇn �ngÉu nhiªn hãa� (tøc lµ sè lÇn “Tung ®ång xu”) vµ sè C çc bÝt tèi ®a cÇn ®äc tõ d·y chøng minh (th−êng ®−îc gäi lµ �kÝch th−íc hái� cña VP). Ngoµi ra cßn cã 2 tham sè phô n÷a, ®ã lµ x¸c suÊt ®Ó VP chÊp nhËn mét ®Þnh lý ®óng vµ x¸c suÊt ®Ó VP chÊp nhËn “nhÇm” mét ®Þnh lý sai.

§Þnh nghÜa 4. Ký hiÖu PCPc, s [r, q] lµ líp çc ng«n ng÷ L cã mét kiÓm chøng VP sao cho víi mäi Input ®é dµi n, VP dïng ®Õn nhiÒu nhÊt lµ r(n) phÐp ngÉu nhiªn ho¸ vµ hái chøng minh nhiÒu nhÊt lµ q(n) bÝt, ®ång thêi VP sÏ chÊp nhËn mét ®Þnh lý ®óng víi x¸c suÊt tin cËy lµ c vµ chÊp nhËn �nhÇm� mét ®Þnh lý sai víi mét x¸c suÊt nhá h¬n s.

6

Ta cã kÕt qu¶ sau:

§Þnh lý PCP 2. Tån t¹i C=const sao cho NP = PCP1, 1/2 [O(logn) C]. §Õn ®©y vÊn ®Ò “tèi −u ho¸ çc ®Þnh lý PCP� ®−îc ®Æt ra. Th−êng th× ng−êi ta muèn tèi −u ho¸ theo tham sè “kÝch th−íc hái” cña VP tøc lµ mong muèn sè bÝt cÇn kiÓm tra lµ Ýt nhÊt cã thÓ. Theo h−íng nµy, kÕt qu¶ míi nhÊt lµ:

§Þnh lý PCP 3. Tån t¹i ε > 0 sao cho NP = PCP1, 1-ε [O(logn) 34].

§Þnh lý PCP 4. Víi mäi ε > 0, NP = PCP1-ε, 1/2 [O(logn) 3]. Nh− vËy sè bÝt cÇn kiÓm tra chØ lµ 3. Mét kÕt qu¶ thËt bÊt ngê vµ ®Çy Ên t−îng! SÏ �referee� b»ng m¸y çc bµi b¸o to¸n häc? Cßn vÒ nçi bo¨n kho¨n cña çc nhµ to¸n häc . . . Nh− mäi ng−êi ®Òu biÕt, çc nhµ to¸n häc vèn rÊt tr©n träng çc bµi b¸o cña m×nh. Ngoµi viÖc coi chóng lµ çc c«ng tr×nh khoa häc, mµ m×nh ®· ph¶i lao ®éng rÊt vÊt v¶ míi cã ®−îc, çc nhµ to¸n häc cña chóng ta cßn coi chóng nh− lµ nh÷ng ®øa con tinh thÇn, ®· göi g¾m vµo ®Êy t×nh yªu khoa häc, nh÷ng kû niÖm buån vui, nçi niÒm ®am mª vµ c¶ kh¸t väng v−¬n tíi mét t−¬ng lai tèt ®Ñp. VËy mµ s¾p tíi, rÊt cã thÓ ng−êi ta ®em chóng ra xÐt duyÖt b»ng mét cç m¸y “referee“ l¹nh lïng vµ v« c¶m th× nghÜ còng ®¸ng. . . buån thËt! VÒ khÝa c¹nh mang tÝnh con ng−êi nµy, chóng ta hoµn toµn th«ng c¶m víi nh÷ng day døt cña çc nhµ to¸n häc. Nh−ng chóng ta h·y cïng nhau nh×n l¹i qu¸ tr×nh xÐt duyÖt bµi cña çc ban biªn tËp çc t¹p chÝ to¸n häc hiÖn nay. ViÖc xÐt duyÖt çc bµi göi ®¨ng, x−a nay vÉn ®−îc ban biªn tËp giao phã cho çc nhµ to¸n häc cã uy tÝn ®¶m nhiÖm. Qu¸ tr×nh thÈm ®Þnh mét bµi b¸o cã thÓ chia thµnh 3 b−íc. B−íc thø nhÊt, ng−êi thÈm ®Þnh ®äc l−ít qua çc ®Þnh lý, çc bæ ®Ò, çc hÖ qu¶, n¾m ®−îc vÊn ®Ò t¸c gi¶ ®Æt ra, çc kÕt qu¶ chÝnh cña

bµi b¸o, råi liªn hÖ, ®èi chiÕu víi çc kiÕn thøc cã s½n cña m×nh, ng−êi thÈm ®Þnh ®· cã thÓ ph¸t hiÖn ra çc m©u thuÉn, çc ph¶n thÝ dô, çc sai sãt bÊt cËp cña bµi b¸o. NÕu bµi b¸o cã qu¸ nhiÒu sai sãt hoÆc cã sai sãt nghiªm träng, th× qu¸ tr×nh xÐt duyÖt sÏ dõng l¹i ë ®©y, víi Output lµ “B¸c bá”. NÕu qua ®−îc b−íc nµy, viÖc thÈm ®Þnh sÏ sang b−íc 2. ë b−íc thø 2 nµy, ng−êi thÈm ®Þnh ®äc l¹i kü gÇn nh− tõ ®Çu ®Õn cuèi bµi b¸o, suy ngÉm, tra cøu çc tµi liÖu míi nhÊt cã liªn quan tíi vÊn ®Ò cña bµi b¸o, ®Ó råi cã ®¸nh gi¸ vÒ tÝnh s¸ng t¹o cña bµi b¸o, vÒ ý nghÜa cña çc kÕt qu¶ thu ®−îc, vÒ “nång ®é” cña çc kÕt qu¶ míi trong bµi, vÒ triÓn väng cña vÊn ®Ò xÐt ®Õn, v. v. Ngoµi ra cßn ph¶i ®Ó m¾t ®Õn “phong th¸i to¸n häc” cña çch viÕt, møc ®é “chuÈn” cña ngo¹i ng÷ dïng trong bµi, “tÝnh hiÖn ®¹i” cña çc tµi liÖu trÝch dÉn, v. v. NÕu qua ®−îc kh©u nµy, viÖc thÈm ®Þnh chuyÓn sang b−íc 3, b−íc cã tÝnh chÊt quyÕt ®Þnh. Ng−êi thÈm ®Þnh ®−îc ®Æt tr−íc 3 sù lùa chän cã s½n :

• §ång ý chÊp nhËn ®¨ng.

• Kh«ng ®ång ý chÊp nhËn ®¨ng.

• §ång ý chÊp nhËn ®¨ng víi ®iÒu kiÖn bµi b¸o ®· ®−îc söa ch÷a theo sù gãp ý cña ng−êi thÈm ®Þnh.

ë kh©u nµy, ng−êi thÈm ®Þnh chØ cÇn “tÝch” vµo mét trong çc « t−¬ng øng. ThÕ lµ xong! C«ng viÖc bÒ ngoµi t−ëng chõng nh− “nhÑ nhµng” bao nhiªu th× ngßi bót l¹i “nÆng trÜu” bÊy nhiªu. NÆng trÜu v× ph¶i ®Æt vµo ®Êy c¶ tr¸ch nhiÖm ç nh©n mµ ban biªn tËp ®· giao phã, c¶ uy tÝn khoa hoc cña b¶n th©n ng−êi thÈm ®Þnh vµ trªn tÊt c¶, ®Æt vµo ®Êy çi T¢M cña mét nhµ To¸n häc ch©n chÝnh. Thêi gian thÈm ®Þnh theo quy ®Þnh cña ban biªn tËp th−êng lµ 3 th¸ng vµ cã thÓ kÐo dµi ®Õn 4-5 th¸ng, ç biÖt cã tr−êng hîp kÐo dµi ®Õn 1 n¨m. §èi chiÕu víi kh¶ n¨ng cña mét m¸y “referee” nÕu nh− nã cã, th× giái l¾m m¸y còng chØ lµm ®−îc b−íc 1 cña mét qu¸

7

tr×nh thÈm ®Þnh gåm 3 b−íc nãi ®Õn ë trªn. M¸y ch−a cã kh¶ n¨ng, vµ sÏ kh«ng bao giê cã kh¶ n¨ng thùc hiÖn ®−îc çc b−íc 2 vµ 3. T×nh huèng cã lÏ còng gÇn gièng nh− ®èi víi çc “m¸y lµm th¬”. §ã lµ vµo nh÷ng n¨m 70 cña thÕ kû XX. Nhê nh÷ng thµnh tùu cña Lý thuyÕt Ng«n ng÷ h×nh thøc, cña Lý thuyÕt Häc, cña Lý thuyÕt ThuËt to¸n, vÒ nguyªn t¾c ng−êi ta cã thÓ lµm ra çc “phÇn mÒm m¸y tÝnh” biÕt lµm th¬, hay cßn gäi lµ çc “m¸y lµm th¬”. Nh−ng råi qua thùc tÕ, ng−êi ta còng ®· nhËn ra r»ng giái l¾m çc “m¸y lµm th¬” còng chØ s¶n xuÊt ®−îc çc bµi th¬ cã vÇn, cßn néi dung th× m¸y mãc, t×nh c¶m th× vay m−în. M¸y ch−a cã kh¶ n¨ng vµ sÏ kh«ng bao giê cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o ®−îc çc bµi th¬ t×nh thay thÕ ®−îc çc ¸ng th¬ t×nh bÊt hñ cña Puskin, Xu©n DiÖu, hay cña Xu©n Quúnh . . . V× vËy trong mét t−¬ng lai gÇn sÏ kh«ng cã viÖc “referee” çc bµi b¸o to¸n häc b»ng m¸y, còng gièng nh− trong qu¸ khø ch−a bao giê cã viÖc “s¶n xuÊt” ra th¬ b»ng m¸y ®Ó ®¨ng b¸o! VÒ ph−¬ng diÖn nµy, ®Þnh lý PCP mang mét ý nghÜa triÕt häc nhiÒu h¬n lµ mét ý nghÜa thùc tiÔn.

Xin çc Nhµ To¸n häc h·y yªn t©m!

Chó thÝch (1) N¨m 1982, §H Helsinki (PhÇn Lan) lËp quü gi¶i th−ëng Nevanlinna dµnh cho çc thµnh tùu thuéc lÜnh vùc C¬ së To¸n häc cña Tin häc, ®Ó t−ëng nhí Rolf Nevanlinna, nhµ to¸n häc ng−êi PhÇn Lan, nguyªn chñ tÞch Liªn ®oµn To¸n häc thÕ giíi. Gi¶i th−ëng ®−îc giao cho Liªn ®oµn To¸n häc thÕ giíi chñ tr× vµ còng ®−îc trao 4 n¨m mét lÇn, chØ dµnh cho çc nhµ to¸n

häc d−íi 40 tuæi, cïng víi gi¶i th−ëng Fields t¹i Héi nghÞ To¸n häc thÕ giíi. §· cã çc Nhµ to¸n häc sau ®©y nhËn ®−îc gi¶i th−ëng Nevanlinna: R. Tarjan (1982), L. Valiant (1986), A. Razborov (1990), A. Wigderson (1994) vµ P. Shor (1998).

(2) Madhu Sudan sinh n¨m 1966 t¹i Ên §é. N¨m 1987 tèt nghiÖp Häc viÖn kü thuËt New Delhi, chuyªn ngµnh Khoa häc m¸y tÝnh. B¶o vÖ luËn ¸n tiÕn sÜ chuyªn ngµnh Khoa häc m¸y tÝnh t¹i §H California, Berkeley, 1992. Tõ 1992-1997 lµm viÖc t¹i Trung t©m nghiªn cøu cña h·ng IBM t¹i New York. HiÖn lµ gi¸o s− Khoa C«ng nghÖ ®iÖn tö vµ Khoa häc m¸y tÝnh, Häc viÖn kü thuËt Massachussetts, MIT. LÜnh vùc nghiªn cøu cña «ng bao gåm: Khoa hoc m¸y tÝnh lý thuyÕt, Lý thuyÕt thuËt to¸n, §é phøc t¹p tÝnh to¸n, Tèi −u, Lý thuyÕt m·.

(3) Ph¹m Trµ ¢n. Bµi to¸n P = NP ? quµ tÆng cña Tin häc göi tÆng To¸n häc. TTTH tËp 7, sè 1(2003) 1-7. Tr×nh bÇy kh¸i niÖm m¸y Turing ®¬n ®Þnh, NP-®Çy ®ñ, Bµi to¸n P = NP?

(4) Ph¹m Trµ ¢n. Bµi to¸n Th¸p Hµ néi, çi nh×n tõ Lý thuyÕt §é phøc t¹p tÝnh to¸n. TTTH tËp 6, sè 2 (2002) 10-13.

Tr×nh bÇy kh¸i niÖm §é phøc t¹p tÝnh to¸n thêi gian, Bµi to¸n trÞ ®−îc, Bµi to¸n bÊt trÞ.

(5) Bµi to¸n P ®−îc gäi lµ NP-khã nÕu víi mäi bµi to¸n P’ thuéc NP th× P’ ≤P P , nh−ng kh«ng nhÊt thiÕt P ph¶i thuéc NP. VÒ ý nghÜa, nÕu P lµ NP-khã th× P lµ khã h¬n mäi bµi to¸n thuéc NP.



Th¸ng 3 N¨m 2006 TËp 10 Sè 1

Jules Henri PoincarÐ (1854-1912)

3

HENRI POINCARÐ: Cuéc ®êi phôc vô khoa häc

Jean Mawhin Lêi giíi thiÖu. §Ó kû niÖm 100 n¨m ngµy ra ®êi (1905) cña lý thuyÕt t−¬ng ®èi vµ 150 n¨m ngµy sinh cña PoincarÐ, chóng t«i xin giíi thiÖu bµi: �Henri PoincarÐ. A life in the Service of Science�, ®¨ng trong �Notices of AMS, Vol. 52, 9, 1036-144 pp�, ph¸c ho¹ ch©n dung vµ giíi thiÖu s¬ l−îc vÒ nh÷ng cèng hiÕn to lín cña nhµ to¸n häc vÜ ®¹i ng−êi Ph¸p Henri PoincarÐ.

N¨m 2005 (n¨m cña çc nhµ vËt lý), toµn thÕ giíi ®· kû niÖm ngµy ra ®êi cña lý thuyÕt t−¬ng ®èi, g¾n liÒn víi tªn tuæi cña A. Einstein, nhµ vËt lý vÜ ®¹i nhÊt thÕ kû thø 20. Thùc ra, A. Einstein lµ cha ®Î cña lý thuyÕt t−¬ng ®èi réng, cßn lý thuyÕt t−¬ng ®èi hÑp th× kh«ng thÓ kh«ng nh¾c tíi nh÷ng ®ãng gãp cña H. PoincarÐ. H¬n n÷a H. PoincarÐ cßn lµ cha ®Î cña lý thuyÕt nhiÔu lo¹n, lý thuyÕt nµy ®ang ®−îc tÊt c¶ çc nhµ khoa häc thÕ giíi quan t©m. S¬ l−îc tiÓu sö

Vµo n¨m 1954 céng ®ång to¸n häc thÕ giíi tæ chøc kû niÖm 100 n¨m ngµy sinh cña Henri PoincarÐ. T¹i thêi ®iÓm ®ã, tªn tuæi cña PoincarÐ ch−a ®¹t ®Õn ®Ønh ®iÓm næi tiÕng trong giíi to¸n häc, vµ lóc ®ã t− t−ëng cña Hilbert cßn ngù trÞ trong To¸n häc. Sù næi tiÕng cña «ng còng ch−a ë ®Ønh ®iÓm trong giíi VËt lý, bëi v× lóc ®ã VËt lý chñ yÕu quan t©m tíi lý thuyÕt l−îng tö. Tuy nhiªn, lÔ kû niÖm ®· trë nªn quan träng ë nh÷ng n¬i mµ ë ®ã sù hiÖn diÖn hoÆc tªn tuæi cña PoincarÐ lµ cã ý nghÜa. Kû yÕu cña héi nghÞ nµy ®−îc Ên hµnh nh− mét quyÓn s¸ch ghi nhí vµ ®−îc in trong tËp cuèi cña tuyÓn tËp çc c«ng tr×nh cña PoincarÐ. N¨m nay (2005), kû niÖm lÇn thø 150 ngµy sinh cña PoincarÐ, tªn tuæi cña «ng ®· ®¹t ®Õn nh÷ng ®Ønh cao míi trong giíi khoa häc vµ ngay c¶ trong giíi nh÷ng ng−êi ngo¹i ®¹o. Lý thuyÕt hçn lo¹n (chaos) vµ sù khëi ®Çu cña t−¬ng ®èi hÑp ®· ®−a tªn tuæi vµ h×nh ¶nh cña PoincarÐ

xuÊt hiÖn trªn tÊt c¶ nh÷ng t¹p chÝ khoa häc næi tiÕng. MÆc dï n¨m 2005 mét sè cuèn s¸ch míi vÒ Einstein ®· võa ®−a thªm vµo mét danh s¸ch dµi, nh−ng chóng ta vÉn mong ®îi mét tiÓu sö chi tiÕt vÒ PoincarÐ. Tr×nh bµy ë ®©y lµ mét giíi thiÖu ®Çy Ên t−îng vÒ PoincarÐ, mét ng−êi ®µn «ng ch©n chÝnh vµ mét nhµ khoa häc. Thêi th¬ Êu, qu¸ tr×nh häc tËp PoincarÐ sinh ngµy 29-4-1854 t¹i Nancy, ë kh¸ch s¹n Martigny, mét biÖt thù ®· bÞ chuyÓn thµnh mét hiÖu thuèc vÉn cßn tån t¹i ë gãc ®¹i lé lín vµ ®−êng Guise. Gia ®×nh PoincarÐ ®−îc nhiÒu ng−êi ë Lorraine biÕt ®Õn. ¤ng néi cña «ng lµ Jaques-Nicolas, lµ mét d−îc sü; bè cña «ng, Leon, mét nhµ thÇn kinh häc, lµ gi¸o s− tr−êng Y, b¸c cña «ng, Antoni (lµ cha cña Raymon, sau nµy lµ tæng thèng cña Céng hßa Ph¸p), tèt nghiÖp ë Ecole Polytechnique, lµ tæng thanh tra ngµnh cÇu ®−êng cña Ph¸p. MÑ cña Henri, bµ EugÐnie Launois, xuÊt th©n tõ mét gia ®×nh n«ng d©n quyÒn quý ë Arrancy. Em g¸i Henri, lÊy nhµ triÕt häc næi tiÕng Emile Boutroux vµ con trai Peter cña hä lµ mét nhµ to¸n häc vµ triÕt häc tµi n¨ng. Ngo¹i trõ mét lÇn ph¶i vËt lén víi bÖnh b¹ch hÇu khi lªn 5, tuæi th¬ cña PoincarÐ ®−îc miªu t¶ gièng nh− trong mét c©u chuyÖn cæ tÝch. Nh÷ng trß ch¬i mµ Henri nghÜ ra cïng em g¸i vµ nh÷ng anh em hä ®· béc lé mét trÝ t−ëng t−îng v« biªn cña Henri, vµ mét ng−êi gia s− riªng tµi giái ®· nu«i d−ìng trÝ nhí phi th−êng cña cËu. T¹i tr−êng trung häc Nancy (sau nµy lµ tr−êng trung häc Henri PoincarÐ), Henri nhanh chãng ®−îc chó ý nh− mét häc sinh ®øng ®Çu líp, cËu tá ra lµ mét “qu¸i kiÖt to¸n häc” trong nh÷ng n¨m cuèi ë tr−êng. Sau khi nhËn ®−îc b»ng tó tµi vÒ v¨n ch−¬ng vµ khoa häc, Henri trë

4

nªn næi tiÕng trong hai n¨m mµ Henri dïng ®Ó chuÈn bÞ vÒ to¸n cho kú thi ®Ó vµo nh÷ng “tr−êng danh tiÕng” (grandes ecoles). XÕp thø n¨m trong sè sinh viªn xuÊt s¾c nhÊt ®−îc nhËn vµo Ecole Normale SupÐrieure vµ xÕp thø nhÊt trong sè sinh viªn ®ç vµo Ecole Polytechnique, nh−ng PoincarÐ lùa chän Ecole Polytechnique vµ khi tèt nghiÖp tr−êng nµy «ng ®øng thø hai. Sau ®ã, Henri chuyÓn ®Õn tr−êng §¹i häc Má, n¬i mµ tinh thÓ häc ®· quyÕt ®Þnh së thÝch to¸n häc cña PoincarÐ v× cã thÓ gîi c¶m høng cho niÒm ®am mª vÜnh cöu cña «ng ®èi víi lý thuyÕt nhãm. Sau khi bÞ tõ chèi lµm gi¶ng viªn §¹i häc Sorbonne, Paris, PoincarÐ ®−îc cÊp b»ng vÒ to¸n ë Khoa Khoa häc t¹i Paris vµo th¸ng 8 n¨m 1876. Trong hai n¨m cuèi ë §¹i häc Má, PoincarÐ ®· chuÈn bÞ cho luËn ¸n tiÕn sü vÒ To¸n. ¤ng b¶o vÖ luËn ¸n ngµy 1-8-1879 t¹i Khoa Khoa häc tr−íc héi ®ång gåm Bonnet, Bouquet, vµ Darboux. LuËn ¸n ®· më réng cho ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng mét sè kÕt qu¶ kinh ®iÓn cña Briot vµ Bouquet vÒ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng kú dÞ. NhËn xÐt cña Darboux, ®¸nh gi¸ rÊt cao vÒ kÕt qu¶ vµ ph−¬ng ph¸p, ®· kh«ng quªn nhÊn m¹nh vÒ sù s¸ng sña trong phong çch tr×nh bµy. Sù nghiÖp vµ ç tÝnh Lóc ®Çu, PoincarÐ lµm kü s− má ë Vesoul vµo th¸ng t− n¨m 1879. Trong vµi th¸ng ë ®ã «ng ®· cã mét chuyÕn viÕng th¨m ®Çy nguy hiÓm ë hÇm Magny, n¬i mét vô næ khÝ má ®· giÕt chÕt 16 c«ng nh©n. Dï d· rêi khái ®ã, nh−ng PoincarÐ suèt ®êi vÉn lµ (vµ ®−îc ®Ò b¹t!) mét thµnh viªn cña Liªn ®oµn má. Sù nghiÖp khoa häc cña «ng b¾t ®Çu ë Khoa Khoa häc ë Caen, n¬i «ng d¹y gi¶i tÝch n¨m 1879. Hai n¨m sau «ng chuyÓn tíi Paris víi t− çch lµ gi¶ng viªn gi¶i tÝch ë Khoa Khoa häc. ¤ng lÇn lù¬t ®−îc cö lµm gi¶ng viªn vÒ c¬ häc vµ vËt lý thùc nghiÖm n¨m 1885, lµ gi¸o s− vÒ

VËt lý to¸n vµ X¸c suÊt n¨m 1886, gi¸o s− vÒ to¸n thiªn v¨n vµ C¬ häc thiªn thÓ n¨m 1896. ¤ng còng d¹y Thiªn v¨n ë Ecole Polytechnique vµ Lý thuyÕt ®iÖn t¹i §¹i häc B−u chÝnh viÔn th«ng (Ecole des Potes et Telegraphes). ¤ng cßn lµ mét thµnh viªn cña Côc ®Þa chÝnh .

Nh÷ng sinh viªn cò cña «ng miªu t¶ PoincarÐ nh− mét nhµ gi¸o tËn t©m h¬n lµ mét gi¶ng viªn lçi l¹c. Theo Robert d’ Adhemar th×: Tõ ®Çu, chiÕc b¶ng bÞ bao phñ bëi çc c«ng thøc vµ «ng cã mét thÓ lùc phi th−êng. Ng«n tõ ®Õn rÊt nhanh vµ kh«ng bÞ Êp óng. Çc bµi gi¶ng cña «ng v« cïng ch©n ph−¬ng.

Theo Maurice d’ Ocagne th×: Kh«ng thÓ nãi r»ng PoincarÐ lµ mét gi¸o s− xuÊt s¾c. ¤ng kh«ng cã tµi hïng biÖn cÇn thiÕt ®Ó gi¶ng bµi thËt hay.

Theo Leon Brillouin th×: T«i ®· nhiÒu lÇn nh×n thÊy PoincarÐ khi rêi m¾t khái bµi gi¶ng, th«ng b¸o r»ng «ng muèn kiÕm ph−¬ng ph¸p kh¸c vµ c¶i tiÕn chóng ngay ë trªn b¶ng tr−íc mÆt chóng t«i.

Theo Louis Bourgoin th×: Trong nh÷ng n¨m 1910 vµ 1911, PoincarÐ lµ nhµ khoa häc næi tiÕng, l«i cuèn nh÷ng ng−êi Paris b×nh th−êng ®Õn nghe «ng gi¶ng. Trong nh÷ng bµi gi¶ng ®Çu tiªn, héi tr−êng ®«ng nghÞt ng−êi nghe, nh−ng may thay, ®¸m ®«ng bÞ gi¶m ®i nhanh chãng. KÓ tõ bµi gi¶ng thø ba chØ cßn mét vµi sinh viªn

5

vµ vµi ng−êi khao kh¸t muèn nghe. PoincarÐ lu«n kÕt thóc b»ng mét c«ng thøc ®¬n gi¶n, phiªn dÞch chóng thµnh mét ng«n ng÷ hoµn toµn trõu t−îng vµ buéc chóng t«i ph¶i hiÓu nh÷ng ®iÒu ®ã.

Mét ph©n tÝch chi tiÕt cu¶ Toulouse cung cÊp nh÷ng th«ng tin thó vÞ vÒ PoincarÐ ë tuæi 43:

PoincarÐ cao 1m65, nÆng 70 kg, tr«ng cã t−íng m¹o, h¬i gièng mét çi chu«ng lín. MÆt «ng hång hµo, mòi to vµ ®á. Tãc mµu h¹t dÎ vµ ria mµu ¸nh b¹c.

¤ng kh«ng hót thuèc vµ ch¼ng bao giê thö hót. ¤ng d−êng nh− kh«ng ng¹i l¹nh vµ còng kh«ng hay bÞ c¶m l¹nh h¬n mäi ng−êi. Tuy nhiªn, «ng th−êng bÞ lÖ thuéc vµo thêi tiÕt. Khi ngñ «ng ®ãng kÝn çc cöa sæ.

Nh÷ng ®iÓm næi tréi cña ngo¹i h×nh g©y c¶m gi¸c r»ng «ng th−êng xuyªn ®·ng trÝ. Khi nãi chuyÖn víi «ng, mäi ng−êi cã c¶m gi¸c r»ng «ng kh«ng b¸m s¸t vµ hiÓu nh÷ng ®iÒu ®−îc nãi ra, mÆc dï «ng vÉn tr¶ lêi hoÆc nghÜ vÒ çc c©u hái. ¤ng tin r»ng m×nh cã mét ®Æc ®iÓm th− th¸i, nghÑ nhµng vµ nhiÖt thµnh. Nh−ng «ng kh«ng cã sù kiªn nhÉn trong hµnh ®éng, thËm chÝ trong c¶ c«ng viÖc cña m×nh. ¤ng dÔ næi çu kh«ng ph¶i v× tù ¸i vµ còng kh«ng ph¶i v× quan niÖm cña m×nh, «ng còng kh«ng dÔ gÇn vµ còng kh«ng lµ mÉu ng−êi ®Ó phã th¸c. Trong thùc tÕ cuéc sèng, «ng lµ ng−êi sèng cã khu«n phÐp. ¤ng kh«ng gia tr−ëng nh−ng ®¸nh gi¸ ®óng gi¸ trÞ cña lèi sèng nµy. ¤ng nãi chÝnh x¸c nh−ng cã chót e thÑn. V× thÕ «ng tr¸nh nãi ë n¬i c«ng céng khi kh«ng chuÈn bÞ tr−íc, ngo¹i trõ trong çc cuéc häp khoa häc. Tr−íc khi nãi, «ng chuÈn bÞ s½n mét sè c©u nh−ng kh«ng ph¶i lµ häc thuéc lßng chóng. ¤ng kh«ng ch¬i cê vµ tin t−ëng r»ng m×nh kh«ng thÓ lµ ng−êi ch¬i cê giái. ¤ng kh«ng ®i s¨n b¾n.

Mét t¹p chÝ næi tiÕng (L’Illutration) n¨m 1912 ph¸c ho¹ h×nh ¶nh sau: RÊt ®¬n gi¶n vµ nh· nhÆn, cã vÎ nh− «ng ®ang ®i trªn m©y, g©y c¶m gi¸c r»ng «ng ph¶i cè gi÷ c©n b»ng gi÷a mét bªn lµ nhµ to¸n häc cña tr−êng ph¸i míi, kh«ng gièng d¸ng vÎ nghÖ sü th−êng cã cña mét ng−êi Paris, vµ mét bªn lµ nhµ to¸n häc cæ ®iÓn,

h×nh thÓ khã coi ®ang chói mòi vµo çc ph−¬ng tr×nh cña m×nh. Mét n¨m ®¸ng nhí Qu·ng thêi gian ë Caen cã hai ®iÒu ®¸ng nhí ®èi víi PoincarÐ. Gi÷a th¸ng 8-1879 vµ th¸ng 10-1881, PoincarÐ kÕt h«n víi Louise Ponlain d’ Andecy (hä cã 3 ng−êi con g¸i: Jeanne, Yvonne, Henriette- tiÕp theo lµ mét cËu con trai, Leon) vµ göi h¬n 12 th«ng b¸o ng¾n cho Th«ng b¸o cña ViÖn hµn l©m khoa häc Paris (Comptes Rendus de l’Acadamie des Science de Paris) ®Ò cËp ®Õn 3 chñ ®Ò kh¸c nhau: Sè häc cña çc d¹ng, lý thuyÕt ®Þnh tÝnh ph−¬ng tr×nh vi ph©n, vµ çc hµm tù ®¼ng cÊu. ViÖc nghiªn cøu çc d¹ng toµn ph−¬ng vµ çc d¹ng bËc ba b¾t nguån tõ c«ng tr×nh cña Charles Hermite, ng−êi mµ vµo thêi ®iÓm ®ã ®−îc xem lµ næi bËt nhÊt trong sè çc nhµ to¸n häc Ph¸p. Hermite d¹y gi¶i tÝch cho PoincarÐ ë Ecole Polytechnique vµ «ng næi tiÕng víi viÖc chøng minh tÝnh siªu viÖt cña sè e cïng víi nh÷ng kÕt qu¶ kh¸c. ¤ng rÊt cã thiÖn c¶m víi c«ng tr×nh cña PoincarÐ, cho dï sù khëi ®Çu cña PoincarÐ víi h×nh häc phi Euclid khi nghiªn cøu çc d¹ng bËc 3 hoµn toµn bÞ chÝnh nhµ gi¶i tÝch giµ nua nµy ph¶n ®èi, v× Hermite lu«n ch¸n ghÐt h×nh häc. Hermite ®· ®Ò nghÞ PoincarÐ ®äc c«ng tr×nh cña Kronecker (kh«ng bá qua mét chi tiÕt nµo) vµ ®−a ra nh÷ng lêi khuyªn, mµ PoincarÐ ®· kh«ng coi träng, khi hoµn thiÖn phong çch viÕt cña riªng m×nh. B¶n th©n PoincarÐ ®· kÓ l¹i chuyÖn lµ lµm thÕ nµo mµ «ng kh¸m ph¸ ra çc hµm tù ®¼ng cÊu vµ ta sÏ kh«ng nh¾c l¹i d− ©m næi tiÕng cña çc kiÖt t¸c nµy. Çc hµm tù ®¼ng cÊu, mét sù më réng cña çc hµm l−îng gi¸c (tuÇn hoµn) vµ çc hµm eliptic (tuÇn hµm kÐp), lµ nh÷ng hµm mµ gi¸ trÞ cña nã ®−îc lÆp l¹i d−íi t¸c ®éng cña mét nhãm rêi r¹c çc phÐp thÕ biÕn ®ång d¹ng. Çc h×nh l¸t hoa trong mÆt ph¼ng phøc, ®−îc lËp thµnh bëi çc h×nh ch÷ nhËt cho çc hµm elliptic, ®−îc thay thÕ b»ng nh÷ng h×nh

6

cong tuyÕn tÝnh bÞ chÆn bëi nh÷ng ®−êng cong mµ PoincarÐ ®ång nhÊt víi “®−êng th¼ng” trong m« h×nh míi cña h×nh häc Lobatchevsky. Nh÷ng m« t¶ næi bËt cã thÓ t×m thÊy trong çc bøc vÏ cña Escher. ë Göttingen, Felix Klein còng cè g¾ng ®i theo con ®−êng cña PoincarÐ, nh−ng cuèi cïng ®· gÆp ph¶i mét thÊt b¹i nÆng nÒ, lµm ph¸ s¶n sù nghiÖp cña «ng nh− mét nhµ nghiªn cøu. Khi Klein quë tr¸ch PoincarÐ vÒ viÖc ®Æt tªn cho mét sè kh¸m ph¸ míi cña m×nh-çc hµm “Fuchsian”- ®Ó thõa nhËn nh÷ng c¶m høng t×m thÊy trong mét ghi chÐp cña Fuchs, nhµ to¸n häc Ph¸p (PoincarÐ) ®· ph¶n øng l¹i mét çch trí trªu b»ng viÖc gäi líp çc hµm nèi tiÕp mµ «ng kh¸m ph¸ lµ Kleinian. §éng c¬ cña PoincarÐ xuÊt ph¸t tõ mét vÊn ®Ò cña Hermite nh»m ®¹t ®uîc gi¶i th−ëng lín cña VHLKH Paris n¨m 1880: ®Ó hoµn thiÖn theo mét ph−¬ng ph¸p quan träng cho lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng tuyÕn tÝnh. PoincarÐ tr¶ lêi vÊn ®Ò nµy b»ng mét lo¹t çc bµi b¸o lén xén, l¹nh lïng vµ nh÷ng ghi chÐp bæ sung, theo sù tiÕn triÓn d÷ déi trong t− duy cña «ng. KÕ ho¹ch hçn lo¹n nµy lµm lóng tóng cho VHLKH vµ gi¶i th−ëng ®−îc trao cho George Halphen vÒ mét bµi viÕt cÈn thËn h¬n nh−ng kÐm h¬n vÒ tÝnh çch m¹ng vµ chØ cã mét phÇn th−ëng khuyÕn khÝch dµnh cho PoincarÐ. Bªn c¹nh h×nh häc phi Euclid, mét phÇn trong h−íng nghiªn cøu cña PoincarÐ lµ chØ sè Kronecker, khëi ®Çu cña «ng trong viÖc dïng nh÷ng c«ng cô t«p« trong nghiªn cøu nh÷ng ®iÓm kú dÞ vµ chu tr×nh giíi h¹n cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n, nghiÖm tuÇn hoµn cña bµi to¸n 3 vËt vµ sù rÏ nh¸nh h×nh d¹ng c©n b»ng cña dßng chÊt láng quay khi tèc ®é quay gi¶m. Ba ng«i sao cña Hermite vµ gi¶i th−ëng cña nhµ vua Oscar Bªn c¹nh PoincarÐ, hai ng«i sao kh¸c mäc lªn xung quanh Hermite cã thÓ ®−îc miªu t¶ nh− mét gia ®×nh to¸n häc. Ng−êi ®Çu tiªn lµ Paul Appell, ng−êi lÊy

ch¸u g¸i cña Joseph Bertrand, anh rÓ cña Hermite, n»m trong sè çc nhµ to¸n häc cã ¶nh h−ëng nhÊt vµ lµ viÖn sü. Ng−êi thø hai lµ Emile Picard, võa míi næi tiÕng n¨m 1879 nhê ®Þnh lý cña «ng vÒ çc hµm nguyªn, lµ con rÓ Hermite. Hermite ®¸ng th−¬ng chÞu søc Ðp cña vî, ng−êi ñng hé Picard, vµ chÞu søc Ðp cña ng−êi anh rÓ ®¸ng kÝnh, ng−êi ñng hé Appell. Hermite göi th− cho «ng Mittag-Leffler, lµ sinh viªn cò cña Weierstrass vµ lµ chång c« con g¸i giµu cã cña “Vua thuèc l¸” PhÇn Lan: “B»ng mét giäng nhá nhÑ vµ tù tin, lo sî bÞ bµ Hermite tr«ng thÊy, t«i nãi víi «ng r»ng trong sè ba ng«i sao to¸n häc cña t«i, PoincarÐ d−êng nh− lµ ng−êi xuÊt s¾c nhÊt. H¬n n÷a cËu ta lµ mét chµng trai s¸ng sña, còng ®Õn tõ Lorraine gièng nh− t«i, ng−êi hiÓu gia ®×nh t«i rÊt râ”. B»ng tµi chØ huy cña mét nh¹c tr−ëng khÐo lÐo trong viÖc ph©n c«ng çc vÞ trÝ ë Sorbonne, Hermite ®· thµnh c«ng trong viÖc chØ ®Þnh hÇu nh− ®ång thêi Appell vÒ C¬ häc, Picard vÒ Gi¶i tÝch, PoincarÐ vÒ VËt lý to¸n vµ X¸c suÊt. ViÖc lµm t−¬ng tù ®−îc tiÕn hµnh sau ®ã vµi n¨m trong viÖc chØ ®Þnh vµo viÖn hµn l©m. PoincarÐ ®−îc bæ nhiÖm ViÖn sü n¨m 1887, Picard n¨m 1889, vµ Appell n¨m 1892. Vµo n¨m 1885, theo mét lêi gîi ý cña Mittag-Leffler, vua Oscar II cña Thôy §iÓn quyÕt ®Þnh kû niÖm sinh nhËt lÇn thø 60 cña m×nh b»ng viÖc trao gi¶i th−ëng cho mét ®ãng gãp quan träng thuéc gi¶i tÝch to¸n häc, mét vÝ dô hiÕm thÊy ë mét vÞ vua chóa. Gi¶i th−ëng bao gåm mét huy ch−¬ng vµng vµ 2500 curon tiÒn vµng. BÊt kú c«ng tr×nh nµo ®−îc xem xÐt trao gi¶i ph¶i ®Ò cËp ®Õn mét trong nh÷ng chñ ®Ò sau: 1. Bµi to¸n n-vËt trong c¬ häc thiªn thÓ. 2. Më réng cña Fuchs cho nh÷ng hµm siªu elliptic. 3. Çc hµm ®−îc x¸c ®Þnh bëi mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1. 4. Nh÷ng liªn hÖ ®¹i sè gi÷a çc hµm Fuchs cã mét nhãm chung.

7

Cuéc so tµi nµy hoµn toµn thÝch hîp víi së tr−êng to¸n häc cña PoincarÐ vµ «ng quyÕt ®Þnh nghiªn cøu c©u hái thø nhÊt. ¤ng göi mét bµi b¸o dµi 160 trang víi nhan ®Ò “VÒ bµi to¸n ba vËt vµ çc ph−¬ng tr×nh cña mét hÖ ®éng lùc”. MÆc dï c«ng tr×nh nµy kh«ng tr¶ lêi ®−îc ®Çy ®ñ c©u hái, nh−ng héi ®ång bao gåm Weierstrass, Hermite vµ Mittag-Leffler ®· trao gi¶i cho PoincarÐ víi lêi b×nh: “§©y lµ mét c«ng tr×nh s©u s¾c vµ nguyªn b¶n cña mét thiªn tµi to¸n häc, mét trong sè nh÷ng nhµ to¸n häc xuÊt s¾c nhÊt cña thÕ kû nµy. Nh÷ng c©u hái quan träng vµ khã nhÊt, ch¼ng h¹n nh− sù æn ®Þnh cña hÖ thèng thÕ giíi, ®−îc kh¸m ph¸ b»ng viÖc sö dông nh÷ng ph−¬ng ph¸p më ra mét kû nguyªn míi cña c¬ häc thiªn thÓ.” Nh÷ng tê b¸o tiÕng Ph¸p b×nh luËn réng r·i vÒ sù kiÖn nµy vµ PoincarÐ ®· ®−îc tÆng hu©n ch−¬ng B¾c §Èu Béi Tinh h¹ng nhÊt. Trong lóc in c«ng tr×nh cña PoincarÐ, tõ th¸ng 7 ®Õn th¸ng 11 n¨m 1889, Phragmen, mét céng sù trÎ cña Mittag-Leffler khi biªn tËp c«ng tr×nh nµy ®· ph¸t hiÖn ra nh÷ng phÇn kh«ng râ rµng vÒ mÆt To¸n häc. Nh÷ng lêi gi¶i thÝch ®Çu tiªn cña PoincarÐ, ®−îc cô thÓ hãa trong 9 bµi b¸o ng¾n kÌm thªm, vµ ®−îc ®ãn nhËn b»ng mét sù im lÆng kÐo dµi. Trong mét l¸ th− ®Çy lo l¾ng, th¸ng 12 n¨m 1889, PoincarÐ ®· thõa nhËn mét sai lÇm dÉn ®Õn nh÷ng hËu qu¶ nghiªm träng: kÕt luËn vÒ sù æn ®Þnh cña hÖ mÆt trêi lµ kh«ng cã hiÖu lùc! Khi l¸ th− ®Õn Stockholm, Mittag-Leffler, ng−êi ®· chñ quan cho ph¸t hµnh sè b¸o cña Acta Mathematica trong ®ã cã c«ng tr×nh nµy cña PoincarÐ, ®· ph¶i dïng tÊt c¶ tµi ngo¹i giao vµ ¶nh h−ëng cña m×nh ®Ó thu l¹i toµn bé sè t¹p chÝ ®ã trë vÒ Stockholm. Mét b¶n trong sè chóng ®· ®−îc t×m thÊy ë Stockholm trong thËp niªn cuèi cïng cña thÕ kû 20, tr¸i víi th«ng tin trong mét v¨n b¶n viÕt tay: “Toµn bé sè t¹p chÝ nµy ®· bÞ hñy”. Cuèi cïng, PoincarÐ ®· göi mét phiªn b¶n míi cña c«ng tr×nh vµo th¸ng 6 (1890)- dµi 270 trang-vµ ph¶i tr¶ toµn bé

sè tiÒn cho viÖc in Ên nã, sè tiÒn lín h¬n 2500 curon tiÒn th−ëng! Nh−ng tai häa ®· kh«ng chØ dõng ë ®Êy: vµi n¨m tr−íc ®ã, Huy ch−¬ng cña vua Oscar bÞ ®¸nh c¾p t¹i c¨n buång cña ch¸u néi PoincarÐ. Khi söa ch÷a sai lÇm cña m×nh, PoincarÐ ®· kh¸m ph¸ ra mét má vµng cña to¸n häc vµ khoa häc b»ng viÖc më ®−êng cho lý thuyÕt hçn lo¹n (chaos). Theo çch nãi cña «ng: Khi ta cè vÏ lªn h×nh ¶nh t¹o bëi hai ®−êng cong cã v« sè giao ®iÓm, mçi mét giao ®iÓm t−¬ng øng víi nghiÖm tiÖm cËn béi, çc giao ®iÓm cña chóng lËp thµnh mét h×nh kiÓu m¹ng, web hoÆc m¾t l−íi dµy ®Æc. Ta bÞ ngîp bëi ®é phøc t¹p cña h×nh nµy tíi møc t«i kh«ng cè ®Ó m« t¶ nã.

Trong mét v¨n b¶n dÔ hiÓu h¬n, sau ®ã «ng ®· cè gi¶ng gi¶i vÒ nh÷ng hÖ qu¶ cã thÓ cã cña nh÷ng kh¸m ph¸ nµy: Cã thÓ chØ víi mét sai kh¸c nhá cña ®iÒu kiÖn ban ®Çu g©y ra thay ®æi lín ë tr¹ng th¸i kÕt thóc.

HiÖu øng çnh b−ím ®−îc ra ®êi, nh−ng víi PoincarÐ viÖc s¨n t×m çnh b−ím nµy lµ mét thö th¸ch cùc k× gay g¾t. VÒ VËt lý to¸n Thêi kú bÊt th−êng vµ hçn lo¹n trong nghiªn cøu liªn quan ®Õn gi¶i th−ëng cña vua Oscar kh«ng ng¨n c¶n PoincarÐ ®¶m nhiÖm nghiªm tóc vÞ trÝ gi¶ng viªn vÒ VËt lý to¸n. NÕu kh«ng lµ mét gi¶ng viªn vÜ ®¹i th× «ng còng lµ mét nhµ gi¸o rÊt tËn t©m. Mçi häc kú «ng ®Òu chän nh÷ng chñ ®Ò míi vµ çc bµi gi¶ng ®−îc nh÷ng sinh viªn giái nhÊt cña «ng biªn t¹p l¹i. TÊt c¶ tµi liÖu nµy ®−îc xuÊt b¶n trong h¬n 12 tËp, bao phñ toµn bé VËt lý cæ ®iÓn (®éng lùc chÊt láng, ®µn håi, lý thuyÕt thÕ vÞ, mao dÉn, nhiÖt ®éng häc, quang häc, ®iÖn tõ häc) vµ X¸c suÊt, mét lÜnh vùc mµ PoincarÐ cã nh÷ng ph¸t minh vµ kü thuËt to¸n ®iªu luyÖn. Trong nhiÒu vÇn ®Ò kh¸c, «ng th¶o luËn cÈn thËn vÒ thÝ nghiÖm cña Hertz vÒ truyÒn sãng ¸nh s¸ng vµ lµ khëi ®Çu cho truyÒn tin kh«ng d©y (v« tuyÕn ®iÖn).

8

QuyÓn s¸ch cña «ng vÒ lý thuyÕt Maxwell chøa ®ùng nh÷ng mÇm mèng cho thuyÕt t−¬ng ®èi hÑp vµ ®−a «ng ®Õn viÖc ph©n tÝch, hiÖu chØnh vµ ®Æt tªn cho biÕn ®æi Lorentz. PoincarÐ xuÊt b¶n vµo n¨m 1905 mét th«ng b¸o ng¾n (kÌm theo mét ghi chÐp bæ sung dµi) vÒ ®éng lùc ®iÖn tö, bao gåm toµn bé to¸n häc cña thuyÕt t−¬ng ®èi hÑp. Çc nhµ lÞch sö khoa häc vÉn cßn th¶o luËn s«i næi vÒ quyÒn −u tiªn gi÷a Einstein vµ PoincarÐ, vµ nÕu mäi ng−êi theo nh÷ng Ên phÈm gÇn ®©y, th× cã thÓ kÕt luËn ®−îc r»ng chØ cã Hercule Poireau míi cã thÓ tiÕt lé toµn bé c©u chuyÖn. §¸ng l−u t©m lµ, nhµ to¸n häc PoincarÐ ®¹t ®Õn ®éng n¨ng t−¬ng ®èi th«ng qua lý thuyÕt ®iÖn tõ Maxwell, trong khi nhµ vËt lý Einstein sö dông ph−¬ng ph¸p tiªn ®Ò. Nh−ng viÖc PoincarÐ lµ ng−êi sö dông tr−íc çi gäi lµ kh«ng gian - thêi gian Minkowski lµ chuyÖn kh«ng cÇn bµn c·i. PoincarÐ còng cèng hiÕn 3 c«ng tr×nh dµi gi÷a çc n¨m 1890 vµ 1895 vÒ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cña VËt lý to¸n cæ ®iÓn. ¤ng ®· kh¸m ph¸ ra ph−¬ng ph¸p quÐt ®Ó gi¶i bµi to¸n Dirichlet, lÇn ®Çu tiªn cho mét chøng minh vÒ sù tån t¹i v« sè gi¸ trÞ riªng cho bµi to¸n nµy, vµ ®−a ra mét sè bÊt ®¼ng thøc mµ tíi nay vÉn cßn lµ nh÷ng hßn ®¸ t¶ng cña lý thuyÕt hiÖn ®¹i vÒ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. Mét trong nh÷ng héi nghÞ cuèi cïng mµ PoincarÐ tham dù ®−îc tæ chøc t¹i Conseil Solvay ë Brussels, tõ 30-10 ®Õn 3-11-1911 t¹i kh¸ch s¹n Metropole. Lorentz, PoincarÐ, Planck, Marie Curie, Einstein, Perrin, Langevin, Rutherford vµ nh÷ng ng−êi kh¸c th¶o luËn vÒ sù ph¸t triÓn gÇn ®ã nhÊt vÒ lý thuyÕt l−îng tö. Trong héi nghÞ nµy, PoincarÐ nhÊn m¹nh ®Õn th¸ch thøc chÝnh cña VËt lý ë thêi ®iÓm nµy lµ: x©y dùng mét lý thuyÕt l−îng tö nhÊt qu¸n. Çi khã chÞu mµ t«i ph¶i nghe trong héi nghÞ nµy lµ cïng mét lý thuyÕt lóc nµy dùa trªn nh÷ng nguyªn lý cña c¬ häc cæ ®iÓn, lóc kh¸c l¹i dùa trªn nh÷ng gi¶ thiÕt míi m©u thuÉn víi c¬ häc cæ ®iÓn. Mäi ng−êi kh«ng nªn quªn r»ng bÊt cø mÖnh ®Ò nµo còng cã

thÓ ®−îc chøng minh, nÕu ng−êi ta sö dông hai ®iÒu m©u thuÉn nhau ®Ó chøng minh.

Trë vÒ Paris «ng viÕt bµi vÒ chñ ®Ò nãng hæi nµy, vµo th¸ng 12 n¨m 1912. §ã lµ mét trong nh÷ng bµi b¸o cuèi cïng cña «ng, chØ ra sù cÇn thiÕt cña nh÷ng b−íc nh¶y l−îng tö dïng ®Ó gi¶i thÝch çc sè liÖu thùc nghiÖm. Víi 49 phiÕu ®Ò cö, trong kho¶ng 1901 ®Õn 1912 PoincarÐ lµ nhµ khoa häc nÆng ký nhÊt cho gi¶i Nobel vÒ VËt lý. ViÖc −u tiªn cho VËt lý thùc nghiÖm, sù thï ®Þch cña Mittag-Leffler ë ViÖn hµm l©m khoa häc Thôy §iÓn vµ çi chÕt ®ét ngét cña PoincarÐ ®· ng¨n c¶n «ng ghi thªm gi¶i Nobel vµo danh s¸ch rÊt dµi çc gi¶i th−ëng khoa häc cña m×nh. C¬ häc thiªn thÓ vµ t«p« Sau çi chÕt ®ét ngét cña Tisserand n¨m 1896, theo ®Ò nghÞ cña Chñ nhiÖm khoa Darboux, PoincarÐ phô tr¸ch m«n Lý thuyÕt thiªn v¨n vµ C¬ häc thiªn thÓ. Trong c«ng viÖc khoa häc, PoincarÐ kh«ng bao giê tá ra lµ ng−êi khã tÝnh vµ «ng lu«n −u tiªn cho lîi Ých cña khoa. Thªm n÷a, çc bµi gi¶ng cña «ng ®· ®−îc xuÊt b¶n: Mét tËp vÒ h×nh d¹ng c©n b»ng cho chÊt láng quay, ba tËp vÒ C¬ häc thiªn thÓ ph¸t triÓn ph−¬ng ph¸p nhiÔu, lý thuyÕt mÆt tr¨ng vµ mét tËp nghiªn cøu thuû triÒu dùa trªn tÝch ph©n Fredholm vµ mét tËp cuèi vÒ gi¶ thuyÕt vÒ nguån gèc vò trô. Nh−ng c«ng tr×nh næi tiÕng nhÊt trong lÜnh vùc nµy lµ quyÓn s¸ch bÊt hñ: Çc ph−¬ng ph¸p míi trong C¬ häc thiªn thÓ (Methodes nouvells de la mecanique celeste) xuÊt b¶n gi÷a nh÷ng n¨m 1892 vµ 1899, mét phiªn b¶n më réng nhiÒu c«ng tr×nh ®−îc nhËn gi¶i th−ëng vua Oscar. Cuåi thÕ kû 19, mäi ng−êi cßn ®−îc chøng kiÕn «ng xuÊt b¶n 6 c«ng tr×nh dµi vÒ Analysis Situs, hay cßn gäi lµ t«p« ®¹i sè, trong ®ã çc tÝnh chÊt h×nh häc thø nguyªn tïy ý ®−îc rót ra tõ çc cÊu tróc ®¹i sè liªn kÕt víi nã. §éng c¬ nghiªn cøu vÊn ®Ò nµy xuÊt ph¸t tõ ph−¬ng tr×nh vi ph©n phi tuyÕn vµ bµi to¸n 3 vËt, nh−ng lý thuyÕt ®−îc ph¸t triÓn v× chÝnh

9

lý thuyÕt nµy víi nh÷ng øng dông cho h×nh häc ®¹i sè. Trong kho¶ng thêi giantõ 1892 ®Õn 1901, PoincarÐ ph¸t kiÕn rahÇu hÕt nh÷ng c«ng cô c¬ b¶n cña T«p«®¹i sè: nhãm c¬ b¶n, ®ång ®iÒu ®¬nh×nh, c«ng thøc Euler-PoincarÐ vµnguyªn lý ®èi ngÉu. ThËm chÝ «ng cßn®Ò cËp s¬ l−îc ®Õn ®èi ®ång ®iÒu DeRham, vµ sau ®ã chøng minh r»ng: Mäi mÆt ®¬n liªn compact hai chiÒu ®Òu®ång ph«i víi mÆt cÇu th«ng th−êng,

¤ng ®−a ra mét gi¶ thuyÕt næi tiÕng: Mäi ®a t¹p ®¬n liªn compact ba chiÒu®Òu ®ång ph«i víi h×nh cÇu ba chiÒu.

Ngµy nay ®ã lµ mét trong b¶y vÊn ®Ò treo gi¶i mét triÖu ®«la næi tiÕng cñaViÖn To¸n Clay vµ cã thÓ gÇn ®©y nhµto¸n häc Nga Perelman ®· gi¶i quyÕt

xong gi¶ thuyÕt næi tiÕng nµy. Trong méth−íng kh¸c, PoincarÐ ®· khëi ®Çu cho lýthuyÕt hiÖn ®¹i vÒ thø nguyªn vµ trongmét bµi b¸o s«i ®éng xuÊt hiÖn n¨m «ngmÊt, «ng m« t¶ ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éngcho nh÷ng ¸nh x¹ liªn tôc b¶o toµn diÖntÝch cña h×nh d¹ng èng trßn khi quay haibiªn theo c¸c h−íng nguîc nhau. ¤ngbiÕt r»ng chøng minh cña «ng ch−a hoµntÊt vµ sî r»ng kh«ng cã thêi gian ®Ó hoµntÊt nã. Chøng minh ®−îc Birkhoff hoµntÊt vµo n¨m 1913 vµ lý thuyÕt më réngcña PoincarÐ-Birkhoff ngµy nay lµ métphÇn rÊt s«i ®éng trong ®éng lùcHamilton vµ h×nh häc sympletic.

(cßn n÷a) Biªn dÞch: NguyÔn Duy TiÕn vµ §µo Ph−¬ng B¾c

(§HKHTN Hµ Néi)



Th¸ng 6 N¨m 2006 TËp 10 Sè 2

1

HENRI POINCARÐ: Cuéc ®êi phôc vô khoa häc (PhÇn 2)

Jean Mawhin

Khoa häc triÕt häc vµ tiÕng Ph¸p hµn l©m Bªn c¹nh nh÷ng c«ng viÖc kü thuËt, PoincarÐ còng th−êng viÕt çc bµi b¸o phæ biÕn khoa häc vµ cho t¹p chÝ triÕt häc. ¤ng th¶o luËn vÒ vai trß cña logic trong To¸n häc, sù ra ®êi cña Lý thuyÕt tËp hîp, c¬ së cña Sè häc, H×nh häc, C¬ häc vµ nh÷ng ph¸t triÓn gÇn ®ã vÒ VËt lý. Vµo n¨m 1902, biªn tËp viªn Flammarion thuyÕt phôc PoincarÐ thu thËp vµ chuÈn bÞ nh÷ng t− liÖu nµy cho bé tõ ®iÓn nhiÒu tËp næi tiÕng cña «ng vÒ triÕt häc cña khoa häc. TËp ®Çu tiªn Khoa häc vµ Gi¶ thuyÕt, ®−îc xuÊt b¶n n¨m 1902, sau ®ã lµ Gi¸ trÞ cña khoa häc n¨m 1905 vµ Khoa häc vµ ph−¬ng ph¸p n¨m 1908. TËp cuèi cïng Suy nghÜ n¨m 1913 xuÊt b¶n khi «ng mÊt vµ tËp n¨m cßn dë dang ®−îc xuÊt b¶n n¨m 2002. Bèn tËp ®Çu ®ãng b×a mµu da cam, ®−îc in ®i in l¹i nhiÒu lÇn vµ ®−îc dÞch ra nhiÒu thø tiÕng kh¸c nhau. Phong çch viÕt dÝ dám kh¸c víi nh÷ng quyÓn s¸ch triÕt häc th«ng th−êng ë chç «ng th−êng xuyªn dÉn ra mét lêi ch©m biÕm s¾c s¶o vµ mét khÈu vÞ cho çc nghÞch lý. NhiÒu nhµ triÕt häc gÆp khã kh¨n ®Ó hiÓu çch viÕt lu«n thay ®æi vµ lèi suy nghÜ tù phª cña çc quyÓn s¸ch nµy, lèi nµy b¸c bá viÖc tãm l−îc thÕ giíi vµo mét ý t−ëng ®¬n lÎ. Chñ nghÜa khoa häc b¶o vÖ ý t−ëng vÒ mét m« h×nh “thuËn tiÖn” bÞ mét nhµ khoa häc hµng ®Çu phª ph¸n vµ chØ nh÷ng ng−êi ®äc nhËn thøc ®Çy ®ñ vÒ nh÷ng ®ãng gãp khoa häc cña ¤ng míi hiÓu ®óng ®¾n. Nh÷ng quyÓn s¸ch phæ biÕn khoa häc nµy ®em l¹i cho PoincarÐ tiÕng vang ngoµi mong ®îi. ë Ph¸p nh÷ng ng−êi theo quan ®iÓm phi t«n gi¸o hãa tr−êng häc ë cÊp 1 vµ cÊp 2 ®· t¹o ra mét tr¹ng th¸i c¨ng th¼ng gi÷a nh÷ng ng−êi thiªn chóa gi¸o vµ nh÷ng ng−êi cÊp tiÕn. Khi th¶o luËn vÒ sù t−¬ng ®èi trong çc chuyÓn ®éng c¬ häc, PoincarÐ viÕt:

Trong kh«ng gian tuyÖt ®èi, tøc lµ ®iÓm cÇn thiÕt ®Ó nhê ®ã ta biÕt tr¸i ®Êt thùc sù chuyÓn ®éng hay kh«ng, kh«ng tån t¹i kh¸ch quan. Hai mÖnh ®Ò: �Tr¸i ®Êt quay� vµ �§Ó cho thuËn tiÖn ta gi¶ sö tr¸i ®Êt quay� cã cïng mét ý nghÜa, kh«ng çi nµo h¬n çi nµo. Trong giíi nh÷ng ng−êi theo ®¹o thiªn chóa ®iÒu nµy biÖn hé cho nhµ thê kÕt téi Galileo. §óng lµ, PoincarÐ mÊt kh¸ nhiÒu thêi gian vµ n¨ng l−îng ®Ó b¸c bÎ l¹i çch hiÓu thiªn vÞ nµy. Theo truyÒn thèng l©u ®êi, ViÖn hµn l©m tiÕng Ph¸p chän lùa mét sè Ýt çc nhµ khoa häc, nh÷ng ng−êi ®· t¹o ra phong çch cho ph¸t minh khoa häc cña hä, ®Ó gióp ®ì viÕt nh÷ng ®Þnh nghÜa cña çc tõ khoa häc cho tõ ®iÓn ®−îc xuÊt b¶n bëi hiÖp héi nh÷ng nhµ xuÊt b¶n. D’Alembert, Condocret, Laplace, Fourier, Betrand, PoincarÐ, vµ Picard lµ thµnh viªn cña ViÖn khoa häc nµy. Sau khi Picard qua ®êi, n¨m 1941, kh«ng cã nhµ to¸n häc nµo ®−îc nhËn vinh dù nµy, cho thÊy r»ng céng ®ång cña chóng ta cÇn cÈn thËn h¬n n÷a vÒ phong çch. Henri PoincarÐ ®−îc lùa chän vµo n¨m 1908, ngåi ghÕ sè 24, gi÷ chç tr−íc ®ã cña Sully-Prudhomme. Theo truyÒn thèng, t¹i phiªn chuyÓn giao vµo ViÖn hµn l©m ngµy 28-1-1909, PoincarÐ ph¶i chuÈn bÞ mét bµi ca ngîi th¬ ca. C©u chuyÖn sau ®−îc kÓ trong mét ký sù cña Andre Beaunier: ¤ng ta tr«ng gièng nh− mét nhµ v¨n tÇm cì, còng gièng nh− mét nhµ viÕt kÞch hÊp dÉn kh¸n gi¶. §¹i sè cã lÏ sÏ trë thµnh mèt míi trong mïa ®«ng nµy. Nhµ to¸n häc sèng ®éng lín nhÊt thÕ giíi l¹i kh«ng ®äc bµi diÔn v¨n cña m×nh. ThØnh tho¶ng, «ng g©y c¶m gi¸c r»ng «ng ®ang nghÜ vÒ mét çi g× ®ã nh−ng khi «ng nhËn ra m×nh ®ang phiªu l−u, «ng nãi b»ng mét giäng râ rµng vµ ®êi th−êng

2

h¬n. Khi mét trang ®−îc ®äc xong, tr«ng «ng vui h¬n vµ nÐm nhanh ra sau. §Õn cuèi bµi diÔn v¨n, «ng lÊy lµm m·n nguyÖn ngåi lªn ®èng giÊy ®ã. Bµi t¸n d−¬ng Sully-Prudhomme ®−îc ghi l¹i trong tuyÓn tËp nhá tÕ nhÞ nh−ng tï mï: Savants et Ðcrivains (çc nhµ b¸c häc vµ çc nhµ v¨n), trong ®ã phÇn më ®Çu vÉn cßn lµ çch m« t¶ ®óng nhÊt cña quan ®iÓm PoincarÐ vÒ ho¹t ®éng cña mét nhµ khoa häc. Sully-Prudhomme sinh ë Paris vµo n¨m 1839. §Çu tiªn bÞ khoa häc l«i cuèn, nh−ng råi kh«ng ®−îc nhËn vµo Ecole Polytechnique do mét m¾t kÐm, «ng ®· nhËn häc vÞ cö nh©n v¨n ch−¬ng. Sau khi dÞch Lucrece, «ng ®· m¬ vÒ mét sù thèng nhÊt gi÷a khoa häc vµ th¬ ca, vµ viÕt nh÷ng bµi th¬ triÕt lý dµi mang l¹i cho «ng Gi¶i th−ëng Nobel ®Çu tiªn vÒ v¨n häc n¨m 1901. PoincarÐ rÊt dÝ dám khi nhËn xÐt: Mäi ng−êi cã lÏ sÏ ng¹c nhiªn khi biÕt r»ng Sully-Prudhomme cã mét b¶n th¶o dµi vÒ triÕt häc trong to¸n häc. D−êng nh− ngay tõ ®Çu «ng ta ®ang cè bµo ch÷a cµng nhiÒu cµng tèt cho sù hiÖn diÖn cña t«i ë ®©y. Thay v× tËn dông −u thÕ cña sù gióp ®ì kh«ng ®−îc mong ®îi nµy, PoincarÐ ®· ph©n tÝch cÈn thËn th¬ ca vµ triÕt häc cña Sudlly-Prudhomme, kÕt luËn b»ng çch nhÊn m¹nh nh÷ng quan niÖm triÕt häc cña riªng «ng: Nh−ng t«i ph¶i dõng l¹i v× trong triÕt häc cã qu¸ nhiÒu tõ kÕt thóc b»ng �iste� (®ã lµ), vµ ®¸m ®«ng v« sè thÝnh gi¶ nµy lµm t«i sî h·i. T©m hån cña mét triÕt gia ch©n chÝnh qu¶ lµ mét b·i chiÕn tr−êng: ®ã kh«ng ph¶i lµ mét v−¬ng quèc thanh b×nh trong ®ã cã mét phßng chØ dµnh riªng cho mét chñ. PoincarÐ vµ nh÷ng c«ng viÖc quÇn chóng C©u chuyÖn Dreyfus næi tiÕng t¹o cho PoincarÐ mét c¬ héi kh¸c rêi khái th¸p ngµ cña m×nh. Vµo n¨m 1894, Côc t×nh b¸o Ph¸p t×m thÊy mét bøc th− chøa th«ng tin bÝ mËt chuyÓn cho qu©n ®éi §øc ®ãng ë Paris. Mét b»ng chøng lê mê vÒ kiÓu ch÷ viÕt tay

dÉn ®Õn viÖc b¾t gi÷ mét sÜ quan Ph¸p gèc Do Th¸i, Alfred Dreyfus. ¤ng ta bÞ tßa ¸n qu©n sù xö oan, vµ bÞ ®µy tíi Ille du Diable ë Ghinª. N−íc Ph¸p nhanh chãng chia thµnh 2 phe: ñng hé vµ ph¶n ®èi Dreyfus. Sau mét cuéc ®Êu tranh dµi vµ kiªn tr×, mét lÇn xö ¸n l¹i diÔn ra ë Rennes n¨m 1899. Chuyªn gia c¶nh s¸t næi tiÕng Bertillon ®· dïng nh÷ng kü thuËt khoa häc gi¶ vµ lý thuyÕt x¸c suÊt trong ph©n tÝch h×nh d¹ng cña th− tÝn. ¤ng ta kÕt luËn b¶n luËn téi nh− sau: Theo tµi liÖu quan s¸t vµ sù nhÊt qu¸n trong lý lÏ cña t«i, kh«ng cã chç nµo ®¸ng nghi ngê, vµ ®ã kh«ng chØ lµ lý thuyÕt mµ cßn lµ sù b¶o ®¶m thùc tÕ, b»ng toµn bé sù trung thùc víi nh÷ng c¶m gi¸c vµ tr¸ch nhiÖm cïng víi sù ch¾c ch¾n tuyÖt ®èi, h«m nay còng nh− trong n¨m 1894, t«i thÒ bøc th− lµ c«ng viÖc cña bÞ ço. Mét lËp luËn kiÓu triÕt lý nh− thÕ lµm PoincarÐ kh«ng chÞu næi. Trong th− viÕt theo ®Ò nghÞ cña PainlevÐ vµ ®−îc ®äc tr−íc tßa, «ng ®· ph¶n ®èi kÞch liÖt viÖc sö dông lý thuyÕt x¸c suÊt trong kÕt luËn cña Bertillon: Kh«ng cã g× trong ®ã cã bÊt cø c¬ së khoa häc nµo. T«i kh«ng hiÓu liÖu bÞ ço cã bÞ kÕt ¸n hay kh«ng, nh−ng nÕu cã ph¶i dùa trªn nh÷ng chøng cø kh¸c. Nh÷ng lËp luËn nh− vËy kh«ng thÓ g©y mét Ên t−îng nµo cho nh÷ng ng−êi tù do t− t−ëng vµ cã gi¸o dôc khoa häc ch¾c ch¾n. Nh−ng tßa ¸n qu©n sù l¹i mét lÇn n÷a tuyªn bè Dreyfus ph¹m téi, lÇn nµy víi mét møc ®é nhÑ h¬n. Dreyfus nhËn ®−îc lêi xin lçi cña tæng thèng, nh−ng nh÷ng ng−êi ñng hé Dreyfus l¹i giµnh ®−îc quyÒn kh¸ng ço vµo n¨m 1904. PoincarÐ ®· c«ng bè mét b¶n b¸o ço dµi viÕt cïng Appell vµ Darboux nh− sau: TÊt c¶ nh÷ng ®iÒu sau ®· t−íc ®o¹t hoµn toµn gi¸ trÞ khoa häc cña b¶n luËn téi:

1. ViÖc øng dông lý thuyÕt x¸c suÊt cho nh÷ng c©u hái nµy lµ bÊt hîp ph¸p.

2. ViÖc x©y dùng l¹i b¶n th− tÝn lµ sai. 3. Nh÷ng nguyªn t¾c cña lý thuyÕt x¸c

suÊt kh«ng ®−îc ¸p dông ®óng. Nãi çch kh¸c, çc t¸c gi¶ ®· lËp luËn sai trªn çc tµi liÖu sai.

3

§o¹n cuèi cña th«ng b¸o nµy lµ mét trang kÝn gåm 21 lý do ®−îc tr×nh bµy ®Ó biÖn minh cho quyÕt ®Þnh cña tßa, c«ng khai tuyªn bè Dreyfus v« téi vµ tr¶ l¹i danh dù vµ lÏ ph¶i cho «ng ta. Tr¸i ng−îc víi çc nhµ khoa häc ®−¬ng ®¹i - nh− PainlevÐ, Hadamard, Borel, Perrin, hay Langevin - PoincarÐ lu«n tõ chèi mäi høa hÑn vµ bæn phËn chÝnh trÞ. N¨m 1904, ®Ó ph¶n øng mét cuéc thÈm vÊn vÒ kÞch thêi sù ®¶ kÝch, «ng ®· diÔn ®¹t quan ®iÓm cña m×nh vÒ chÝnh trÞ b»ng mét phong çch ch©m biÕm th−êng thÊy: ChÝnh trÞ ngµy nay lµ mét nghÒ nghiÖp thu hót ®µn «ng. BÊt cø nhµ khoa häc nµo muèn cèng hiÕn b¶n th©n m×nh cho chÝnh trÞ th× ph¶i tõ bá thiªn h−íng cña m×nh. NÕu anh thùc sù muèn cã Ých cho ®Êt n−íc, anh ph¶i dµnh mét nöa thêi gian cña m×nh cho c«ng viÖc cña chÝnh phñ, nÕu anh muèn gi÷ ghÕ, anh ph¶i dµnh nöa cßn l¹i cho cö tri, kh«ng cßn thêi gian cho khoa häc. Do ®ã sÏ lµ kh«ng tèt nÕu mäi nhµ khoa häc ®Òu cã môc ®Ých ë nghÞ viÖn, bëi sau ®ã sÏ kh«ng cßn nhµ khoa häc nµo n÷a. Mäi ng−êi cã thÓ bÞ çch chøc, nh−ng ®èi víi b¶n th©n khoa häc, sù hy sinh tõng giê tõng phót cña mçi chóng ta dÔ hiÓu h¬n lµ cho ®¸m ®«ng vµ sù héi häp. Sau cïng, khoa häc cÇn ng−êi ®ã b¶o vÖ ®−îc nguyÖn väng cña m×nh. Nh−ng PoincarÐ kh«ng hÒ tõ chèi bÊt cø bæn phËn vµ tr¸ch nhiÖm trong viÖc tæ chøc vµ qu¶n lý khoa häc. Danh s¸ch nh÷ng chøc vô trong viÖc nµy dµi ®Õn hai trang giÊy. Nhµ thiªn v¨n häc J. Levy bµy tá sù tiÕc nuèi cña m×nh vÒ nh÷ng thêi gian PoincarÐ ®¸nh mÊt cho nh÷ng ho¹t ®éng nµy, ®Æc biÖt lµ 10 n¨m cuèi trong cuéc ®êi cña «ng: Cã lÏ chóng ta nªn nuèi tiÕc r»ng, tõ thêi ®iÓm nµy, sù gia t¨ng nh÷ng bæn phËn nÆng nÒ mµ «ng tËn t×nh chÊp nhËn khiÕn «ng cßn l©u cã thêi gian ®Ó trau chuèt cho c«ng tr×nh cña m×nh. ¤ng dµnh mét phÇn tèt nhÊt cña m×nh cho mét sè viÖn hµn l©m, héi ®ång, ban bÖ. ¤ng hñy ho¹i b¶n th©n trong nh÷ng nhiÖm vô kh«ng thÝch hîp víi «ng. VÝ dô, víi t− çch lµ chñ tÞch ñy ban «ng ®· cèng hiÕn hÕt m×nh cho viÖc tæ chøc l¹i cung kinh tuyÕn ë Quito, tù b¶n th©n «ng viÕt tÊt c¶ çc b¶n

tin t−¬ng øng tõ 1901 ®Õn 1905. Vµo n¨m 1900, «ng th¶o luËn vÒ viÖc tiÕt kiÖm cã thÓ ph¶i lµm khi mua she-mules; n¨m 1902, çc ®o ®¹c cøu cho sù h− h¹i cña çc tÝn hiÖu tr¾c ®Þa bëi ng−êi Ên §é; n¨m 1905, viÖc t¸i t¹o l¹i çc bøc ¶nh mµu cña s©u bä ®−îc t×m thÊy bëi cuéc th¸m hiÓm. Danh tiÕng cña «ng vµ sù thu hót nh÷ng sù kiÖn trªn bÇu trêi khiÕn cho ®¸m ®«ng liªn tôc bña v©y quanh «ng. Khi n¨m m−a kh¸c th−êng 1910 ®−îc g¾n víi viÖc ®i qua cña sao chæi, PoincarÐ ®· ph¶n øng l¹i mét çch hãm hØnh b»ng çch g¾n viÖc s¶n xuÊt r−îu ngon víi sù hiÖn diÖn cña sao chæi, chø kh«ng ph¶i lµ n−íc. PoincarÐ vµ khoa häc Mét sè ng−êi ®äc thiÓn cËn lµm rèi r¾m nh÷ng ý t−ëng triÕt häc cña PoincarÐ vÒ khoa häc. ¤ng ®−îc gäi lµ ng−êi theo thuyÕt quy −íc víi mét sù hoµi nghi vÒ khoa häc. Mäi ®iÒu chóng ta võa nãi vÒ «ng m©u thuÉn víi nhËn ®Þnh nµy vµ chøng minh nhµ to¸n häc Ph¸p cã nh÷ng c¶m xóc s©u s¾c vµ hoµn toµn cèng hiÕn cho khoa häc. Nh− Emile Borel viÕt n¨m 1954: Mét sè ng−êi ®· xem PoincarÐ lµ mét ng−êi hoµi nghi, trong khi mét sè ng−êi kh¸c l¹i xem «ng lµ ng−êi ®i tr−íc trong ph−¬ng ph¸p tiªn ®Ò. Nh−ng cã lÏ «ng sÏ tõ chèi gia nhËp bÊt cø m«n ph¸i nµo, thËm chÝ m«n ph¸i ®ã ®i theo suy nghÜ cña «ng. §èi víi «ng, phÈm chÊt cña mét nhµ khoa häc ph¶i ®−îc tæng hîp theo mét luËt lÖ cña ®¹o lý th«ng th−êng: môc ®Ých biÖn minh cho ph−¬ng tiÖn. Môc ®Ých lµ sù hiÓu biÕt vò trô. §ã lµ sù nhÊt qu¸n cña nh÷ng kÕt qu¶ b»ng sè thu ®−îc tõ c«ng thøc vµ çc sè do çc nhµ vËt lý vµ thiªn v¨n viÕt ra trong nh÷ng quyÓn s¸ch quan tr¾c cña hä. Ph−¬ng tiÖn, ®èi víi nhµ to¸n häc, lµ çc c«ng thøc vµ ng«n ng÷ mµ anh ta cã quyÒn t¹o ra trong c«ng viÖc cña m×nh. PoincarÐ thÓ hiÖn c¶m xóc m¹nh mÏ víi tù do trong khoa häc. N¨m 1909 khi «ng ®−îc bÇu lµm tiÕn sü danh dù, t¹i lÔ

4

kû niÖm lÇn thø 75 cña UniversitÐ Libre de Bruxelles «ng nãi: Tù do ®èi víi khoa häc gièng nh− kh«ng khÝ ®èi víi ®éng vËt. ThiÕu thèn tù do nµy khoa häc sÏ bÞ chÕt v× nghÑt thë gièng nh− mét con chim bÞ mÊt oxy. Vµ tù do nµy ph¶i kh«ng cã giíi h¹n, bëi nÕu ng−êi ta muèn l¹m dông giíi h¹n, ng−êi ta chØ cã mét khoa häc nöa vêi vµ mét khoa häc nöa vêi cßn l©u lµ khoa häc, bëi nã cã thÓ vµ nhÊt thiÕt lµ mét khoa häc sai. ý nghÜ ph¶i kh«ng bao giê ®−îc tu©n thñ theo bÊt cø gi¸o ®iÒu nµo, ®¶ng ph¸i chÝnh trÞ nµo, kh¸t väng, lîi Ých, ý t−ëng ®Þnh tr−íc, bÊt cø ®iÒu g×, ngo¹i trõ chÝnh çc sù kiÖn, bëi v× ®èi víi khoa häc tu©n thñ nghÜa lµ chÕt. C©u cuèi cïng ®−îc kh¾c l¹i trªn t−êng tßa nhµ chÝnh cña §H Brussels. PoincarÐ lu«n lu«n ®ßi hái ®éng c¬ thÈm mü trong ho¹t ®éng khoa häc: Çc nhµ khoa häc kh«ng nghiªn cøu tù nhiªn v× nã cã Ých lîi thùc dông. Anh ta nghiªn cøu bëi anh ta c¶m thÊy vui s−íng trong nã, vµ anh ta thÊy vui s−íng trong nã bëi nã ®Ñp. NÕu tù nhiªn kh«ng ®Ñp, nã sÏ kh«ng ®¸ng biÕt vµ nÕu tù nhiªn kh«ng ®¸ng biÕt, cuéc ®êi sÏ kh«ng ®¸ng sèng. TÊt nhiªn, ë ®©y t«i kh«ng nãi vÒ vÎ ®Ñp g©y c¶m gi¸c, vÎ ®Ñp cña chÊt l−îng vµ h×nh thøc, t«i hoµn toµn kh«ng ®¸nh gi¸ thÊp vÎ ®Ñp nµy. Nh−ng nã kh«ng cã g× ®Ó lµm ®èi víi khoa häc. ý t«i muèn nãi ®Õn vÎ ®Ñp s©u th¼m h¬n ®Õn tõ sù s¾p xÕp hµi hoµ cña çc phÇn vµ vÎ ®Ñp mµ trÝ th«ng minh thuÇn tóy cã thÓ tóm lÊy. Mét sè kh¶o cøu to¸n häc cña PoincarÐ cã c¶m høng tõ xu h−íng nghÖ thuËt hiÖn ®¹i. PoincarÐ, ng−êi tèt nghiÖp ë Polytechnique lµ ng−êi ®ãng gãp nhiÒu cho øng dông khoa häc, kh«ng m¬ hå vÒ nh÷ng ®ßi hái cña ®Çu t− dµi h¹n thùc chÊt trong nghiªn cøu c¬ b¶n: Nhµ khoa häc ph¶i kh«ng ®−îc bá qua viÖc thùc thi nh÷ng môc ®Ých thùc tÕ. Ch¾c ch¾n nhµ khoa häc sÏ cã, mµ h¬n n÷a ph¶i nhÊt thiÕt cã ®−îc øng dông thùc tÕ. Nhµ khoa häc kh«ng bao giê ®−îc quªn r»ng ®èi t−îng ®Æc biÖt mµ

anh ®ang nghiªn cøu chØ lµ mét phÇn cña tæng thÓ réng lín nµy vµ ®ã ph¶i lµ nguyªn cí duy nhÊt cho ho¹t ®éng cña anh. Khoa häc cã nh÷ng øng dông phi th−êng, nh−ng mét khoa häc mµ chØ cã øng dông th«i th× ®ã kh«ng cßn lµ khoa häc n÷a, ®ã chØ lµ nghÒ nÊu ¨n. H¬n bao giê hÕt, nh÷ng lêi nµy vÉn cßn rÊt quan träng. Mét n¹n nh©n ngµy cµng cam chÞu cña quyÒn lùc x· héi lµ tù do khoa häc ngµy cµng bÞ ®e däa bëi nh÷ng ¸p lùc kinh tÕ lÊn ¸t do nh÷ng lîi nhuËn tøc thêi, vµ trong ®Çu cña nh÷ng ng−êi ho¹ch ®Þnh ng©n s¸ch x· héi, nghiªn cøu c¬ b¶n lu«n lu«n bÞ ®ång nhÊt víi sù tiÕn ho¸. KÕt luËn Khi PoincarÐ ®ét ngét qua ®êi ngµy 17-7-1912 do bÞ t¾c m¹ch sau lÇn phÉu thuËt, khoa häc thÕ giíi cßn l©u míi s½n sµng h−ëng lîi Ých tõ di s¶n cña «ng. Theo nhµ to¸n häc vÜ ®¹i cña Ph¸p Jean Leray: RÊt Ýt ng−êi cã thÓ theo kÞp suy nghÜ cña «ng. ¤ng kh«ng cã häc trß. Sau mét thÕ kû, chóng ta míi cã thÓ hiÓu nh÷ng ý t−ëng cña «ng dÔ dµng h¬n, nãi vÒ chóng theo çch quen thuéc h¬n. Nh−ng cµng tiÕp cËn gÇn h¬n, ta cµng ng−ìng mé vµ kÝnh träng chóng h¬n. Mét nhµ to¸n häc vÜ ®¹i kh¸c cña Ph¸p, Andre Weil, nhÊn m¹nh vÒ khÝa c¹nh hiÖn ®¹i trong c«ng viÖc cña PoincarÐ: Gièng víi nhiÒu ng−êi kh¸c, t«i hy väng chØ ra víi b¹n r»ng sù nghiÖp cña PoincarÐ kh«ng chØ thuéc vÒ lÞch sö khoa häc cña chóng ta, mµ cßn thuéc vÒ toµn bé sù rùc rì cña to¸n häc ngµy nay. T«i dµnh nh÷ng tõ sau ®©y cña nhµ vËt lý to¸n næi tiÕng David Ruelle ®Ó kÕt thóc bµi viÕt vÒ ¤ng: VËt lý to¸n cè g¾ng hiÓu mét thÕ giíi phøc t¹p ch−a biÕt b»ng nh÷ng c«ng cô cã h¹n chÕ ®· biÕt. §iÒu nµy ®ßi hái sù dòng c¶m vµ khiªm nh−êng. HiÓn nhiªn Henri PoincarÐ kh«ng thiÕu phÈm chÊt nµo trong hai ®øc tÝnh nµy. Biªn dÞch:



Th¸ng 12 N¨m 2006 TËp 10 Sè 4

Trường Đại học Đông Dương chụp năm 1930 (19 Lê Thánh Tông, Hà Nội)

13

Muèn biÕt c«ng tr×nh cña m×nh ®· ®−îc ai trÝch dÉn? NguyÔn Xu©n TÊn (ViÖn To¸n häc)

Khi lµm To¸n, hoµn thµnh mét c«ng

tr×nh, ai mµ ch¼ng vui? Khi göi cho mét t¹p chÝ nµo ®ã, ta th−êng mong ®îi ngµy cã ®−îc th«ng b¸o tõ «ng Tæng biªn tËp. Cßn g× sung s−íng b»ng tin: bµi b¸o cña m×nh ®· ®−îc nhËn ®¨ng! Dï cã ph¶i söa ch÷a ®«i chót, ch¾c ch¼ng ai cÇn ph¶i th¾c m¾c nhiÒu, chØ muèn ch÷a ngay vµ göi lu«n ®i kÎo muén. §−îc ®¨ng ®· vui råi, khi thÊy trªn Mathematical Reviews ng−êi ta tãm t¾t néi dung c«ng tr×nh cña m×nh th× l¹i ®−îc vui thªm. Khi thÊy ai ®ã trÝch dÉn bµi cña m×nh, ta l¹i thÊy vui thªm n÷a. Lµm To¸n cã nhiÒu niÒm vui nh− thÕ ®ã!

Nh−ng, theo bµi b¸o “ViÖt nam Ýt Ên phÈm trªn çc t¹p chÝ khoa häc quèc tÕ”, trªn VietNamNet cña GS Ph¹m Duy HiÓn, dÉn b¸o ço cña Liªn hîp quèc tõ 117 quèc gia, c«ng bè th¸ng 9 n¨m ngo¸i, tÝnh theo sè bµi b¸o khoa häc tõ 117 n−íc, ViÖt Nam ta ®øng ë vÞ trÝ rÊt thÊp kÐm (82/117). Çc nhµ khoa häc n−íc nhµ ®· rÊt cè g¾ng lµm viÖc, c«ng bè çc c«ng tr×nh khoa häc cña m×nh trªn çc t¹p chÝ trong vµ ngoµi n−íc. Nh−ng, h¬i buån, v× çc c«ng tr×nh cña ta Ýt ®−îc çc b¹n quèc tÕ quan t©m vµ sö dông, thÓ hiÖn qua viÖc trÝch dÉn. M−ßi n¨m qua (1995-2004), sè çc bµi b¸o do ng−êi ViÖt Nam trªn kh¾p thÕ giíi c«ng bè míi trªn 3 ngµn, chØ cã 800 bµi lµ thuÇn ViÖt, phÇn lín thuéc vÒ çc t¸c gi¶ ë ViÖn To¸n (300) vµ ë Trung t©m VËt lý lý thuyÕt (131). Kh«ng biÕt thèng kª nµy cña Liªn hîp quèc cã chÝnh x¸c hay kh«ng !?

Víi sù ph¸t triÓn m¹nh mÏ cña m¹ng l−íi th«ng tin khoa häc ngµy nay, ta cã thÓ biÕt mét çch kh¸ chi tiÕt néi dung tõng bµi, kÌm theo c¶ ®¸nh gi¸ s¬ bé cña çc ®ång nghiªp, theo mäi ngµnh nghÒ kh¸c nhau. NÕu vµo trang web:

http://google.com/scholar, ta ®¸nh ®ñ hä vµ tªn t¸c gi¶ cÇn t×m, sau ®ã cho mòi tªn vµo tõ: Search, råi gâ

Enter, ta cã ngay danh s¸ch liÖt kª mäi c«ng tr×nh cña t¸c gi¶ Êy ë tÊt c¶ çc t¹p chÝ (kÓ c¶ s¸ch) ®· xuÊt b¶n trªn thÕ giíi (Ýt ra còng tõ n¨m 2000 tíi nay). §Æc biÖt, ta cßn biÕt c¶ th«ng tin bµi nµy cña ai ®ã, ®· ®−îc bao nhiªu ng−êi trÝch dÉn, trÝch dÉn ë ®©u...

Ngoµi ra, cßn cã trang web riªng cho mçi ngµnh nghÒ kh¸c nhau. ViÖc t×m kiÕm trong trang riªng nµy cßn chi tiÕt vµ ®Çy ®ñ h¬n n÷a. Cô thÓ, trong ngµnh To¸n, ta cßn cã thªm trang Web:

http://www.ams.org/mathscinet* Vµo trang nµy, cho con trá vµo ch÷ authors råi d¸nh tªn m×nh vµo råi Ên Search, ta sÏ biÕt tæng sè çc bµi cña m×nh ®· ®−îc ®¨ng ë tÊt c¶ çc t¹p chÝ trªn thÕ giíi mµ ®· ®−îc Mathematical review tãm t¾t. NÕu muèn xem tãm t¾t cña tõng bµi, ta chØ cÇn bÊm vµo hang sè mµu xanh ë ®Çu bµi ®ã lµ ®−îc. NÕu muèn xem tÊt c¶ th× bÊm vµo Retrieve all ë bªn trªn, ta sÏ cã hÕt c¶ tãm t¾t, çc tµi liÖu tham kh¶o vµ tæng sè bµi ®· trÝch ®Én bµi cña ta. NÕu muèn biÕt chÝnh x¸c ai ®· trÝch, th× bÊm vµo con sè çc bµi ®· trÝch, ta cã lu«n danh s¸ch çc bµi, çc t¸c gi¶ ®· trÝch vµ ®· ®¨ng ë ®©u. NÕu ta bÊm vµo author citations råi ®¸nh tªn m×nh vµo, sau ®ã ®¸nh Search, ta biÕt ®−îc çc bµi cña ta ®· ®−îc trÝch tÊt c¶ bao nhiªu lÇn vµ bao nhiªu ng−êi ®· trÝch çc c«ng tr×nh cña ta. Sau ®ã lµ danh môc çc bµi ®· ®−îc trÝch dÉn, bµi ®−îc trÝch nhiÒu tr−íc, bµi ®−îc trÝch Ýt sau. NÕu muèn xem cô thÓ nh÷ng ai, nh÷ng bµi nµo ®· trÝch, ta l¹i bÊm chuét vµo con sè mµu xanh tr−íc bµi cña ta ®−îc trÝch lµ biÕt ngay sau vµi gi©y.

* Rất tiếc phải trả tiền mới truy cập được đầy đủ thông tin trang này. Nhưng chi phí cho một trường có thể rất ít (xin liên hệ trực tiếp với Viện Toán học để biết cách thức).

3

Năm 2007 - Năm Euler

Leonhard Euler: Cuộc đời và những cống hiến đa dạng của Ông cho Toán học

Phạm Trà Ân (Viện Toán)

Năm nay, toàn thế giới kỷ niệm lầnthứ 300 ngày sinh của nhà khoa học vĩđại, nhà vật lý nổi tiếng, nhà toán họcxuất sắc người Thụy Sĩ, Leonhard Euler.Viện Hàn lâm Khoa học Thụy Sĩ và HộiToán học Thụy Sĩ đã quyết định lấy năm2007 là Năm Euler. Nhân sự kiện này,chúng ta cùng nhau nhớ lại và suy ngẫmvề cuộc đời hoạt động khoa học củaÔng, tìm hiểu về những cống hiến đadạng của Ông cho Toán học và ảnhhưởng to lớn của Ông đến sự phát triểncủa khoa học kỹ thuật trong thời đạichúng ta hiện nay .

1. Vài nét về cuộc đời của Euler Leonhard Euler sinh ngày 15/4/1707

tại Basel, Thụy Sĩ, trong một gia đình

mục sư. Lúc còn nhỏ, Ông đã tỏ ra cókhả năng toán học đặc biệt. Năm 1720,Ông vào học tại ĐH Basel. Vào thờiđiểm này, Basel đang là một Trung tâm


Th«ng tin to¸n häc

Th¸ng 12 N¨m 2007 TËp 11 Sè 4

4

toán học của Thụy Sĩ. Tại đây Ông đã được học Toán với Johann Bernoulli, người được coi là một trong số những nhà toán học xuất sắc nhất của Châu Âu thời bấy giờ. Chính J. Bernoulli đã là người có ảnh hưởng quyết định đến thiên hướng toán học của Euler sau này.

Năm 1723 Euler tốt nghiệp ĐH Basel. Năm 1726, Euler hoàn thành luận án Tiến sĩ về âm học. Năm 1727, Euler được nhận Giải thưởng của Viện Hàn lâm Khoa học Paris. Lúc này Ông đã là một nhà khoa học trẻ, đầy nhiệt huyết và ít nhiều có tiếng tăm qua các kỳ thi khoa học quốc tế. Nhưng Ông đã thất bại khi ứng cử vào ghế giáo sư vật lý tại ĐH Basel, quê hương Ông.

Cũng vào thời gian này, ở Châu Âu có thêm một trung tâm khoa học mới, đó là Viện Hàn lâm Khoa học Saint Peterburg. Do nước Nga còn thiếu các nhà khoa học, nên nhiều nhà khoa học nước ngoài đã đến Saint Peterburg để tìm việc, trong số này có nhà khoa học trẻ Thụy Sĩ L. Euler. Ngày 24 tháng 5 năm 1727, Euler đã đến Saint Peterburg làm việc tại Viện HLKH. Lúc đầu vì chưa có chỗ trống ở bộ môn Toán, Ông tạm nhận một chỗ ở bộ môn Triết học. Tại Saint Peterburg, Euler đã làm việc tích cực, rất có hiệu quả và chẳng bao lâu sau, Ông đã được phong Giáo sư Vật lý (1730) và Giáo sư Toán học (1733). Có thể nói quãng thời gian sống ở Saint Peterburg lần thứ nhất này (1727- 1741) là một thời kỳ hoàng kim đối với sự nghiệp khoa học của Euler. Ông đã phát triển được hết tài năng đa dạng của mình, đã viết được nhiều bài báo quan trọng, đã tham gia nghiên cứu thành công nhiều đề tài khoa học, như thiết kế tầu thuỷ, nghiên cứu âm học, nghiên cứu Thiên văn học và cả Lý thuyết hòa âm trong âm nhạc. Về Toán học, Euler đã viết tác phẩm nổi tiếng “Mechanica sive motus scientia analytice exposita, (1736)” (Chuyển động Cơ học được giải thích bằng Giải tích). Tác phẩm được đánh giá là một

bước ngoặt trên con đường phát triển của Cơ học và Vật lý. Ông cũng đã công bố một số các kết quả về Lý thuyết số, về Số học giải tích và đặt nền móng cho Lý thuyết Toán Tổ hợp.

Với các thành tựu khoa học đạt được, tên tuổi của Euler đã dần dần vượt ra ngoài biên giới nước Nga và Hoàng đế nước Phổ - Frederick II (1712-1786) - đã đánh tiếng mời Ông đến làm việc tại Viện HLKH Berlin. Năm 1741, sau cái chết đột ngột của Nữ hoàng Ekaterina I, tình hình nước Nga trở nên lộn xộn. Do đó Euler đã cùng với gia đình chuyển đến Berlin làm việc. Thời kỳ làm việc ở Đức (1741-1767), Euler đã cống hiến toàn bộ sức lực cho khoa học, ngày đêm miệt mài nghiên cứu và sáng tạo. Ngoài ra Ông còn tham gia công tác quản lý Viện HLKH Berlin. Tại Berlin Ông đã tìm ra số phức, khám phá ra đẳng thức Euler và viết hai tác phẩm toán học nổi tiếng nhất của Ông. Đó là tác phẩm “Introductio in analysin infinitorum" (Mở đầu về Giải tích vô hạn, xuất bản 1748) và tác phẩm “Institutiones calcul differentralis" (Về các phép tính vi phân, xuất bản 1753). Với 2 tác phẩm này, Ông đã trở thành nhà Toán học bậc thầy của cả Châu Âu thời bấy giờ.

Tuy sống ở Đức, nhưng Euler vẫn nặng tình với nước Nga. Ông vẫn thường xuyên viết nhiều bài báo khoa học gửi đăng ở các Tạp chí khoa học của Viện HLKH Saint Peterburg. Năm 1767, khi tình hình chính trị ở nước Nga đã ổn định trở lại, và nhận được lời mời của Nữ hoàng Ekaterina II, Ông đã quay trở lại ngay Saint Peterburg để làm việc, cho dù lúc này Ông đã bước vào tuổi 60. Bốn năm sau, do ngày đêm làm việc quên mình, Ông đã bị mù cả 2 mắt. Tuy không còn nhìn thấy được nữa, nhưng Ông vẫn kiên cường tiếp tục làm việc và sáng tạo. Ông tập trung tư tưởng và nhờ có một trí nhớ kỳ diệu, Ông đọc cho người thư ký viết hết dòng này đến dòng khác của bài báo, viết hết công trình này đến công trình khác.

5

Ông được bầu là Viện sĩ các Viện HLKH Basel (Đức), Viện HLKH Saint Peterburg (Nga), Viện HLKH Paris (Pháp), Viện HLKH London (Anh) và một số Viện HLKH của một số nước khác thuộc châu Âu.

Chiều ngày 18 tháng 9 năm 1783, một buổi chiều thứ bảy. Như thường lệ, Ông ngồi trước một tấm bảng và đang mãi suy nghĩ cách tính toán luật rơi xuống của khinh khí cầu. Bỗng cái chết đến với Ông bất ngờ và nhanh như một tia chớp. Ông ra đi, đồng thời cũng là lúc Ông ngừng tính toán . Sau này khi viết về cái chết của L. Euler, nhà Toán học kiêm Triết học, Hầu tước De Condorcet đã miêu tả rất sống động: “…et il cessa de calculer et de vivre…”

(…và Ông đã ngừng tính và ngừng sống…).

Thi hài Ông được an táng tại nghĩa

trang Alexander Nevsky ở Saint Peterburg, và mộ chí vẫn còn cho đến tận ngày nay.

2. Các ấn phẩm của Euler

Nói đến Euler, người ta nghĩ ngay đến nhà khoa học “vô địch”, người đã viết được nhiều ấn phẩm khoa học nhất trong lịch sử (khoảng 900 bài báo và sách). Tất cả đều được đăng và in ở các tạp chí, các nhà xuất bản nghiêm túc của các Viện HLKH thuộc các nước ở khắp châu Âu .

Trong 17 năm cuối của đời mình, tuy đã bị mù hoàn toàn cả 2 mắt, nhưng Ông vẫn viết bài và đã viết được khoảng phân nửa tổng số các bài viết trong suốt cả cuộc đời của mình.

Người ta kể lại rằng, một thời gian ngắn trước khi Ông mất, Ông có nói vui với bạn bè là Ông sẽ để lại cho Viện HLKH Nga, một số lượng công trình, để có thể xuất bản trong 20 năm sau khi Ông qua đời! Nhưng thực tế đã vượt xa dự đoán của Ông! Sau khi Ông mất gần 50 năm, cho mãi đến tận năm 1830, Viện HLKH Nga mới in hết các tác phẩm của Ông để lại. Năm 1844, người con trai cả của Ông vẫn còn tìm thấy khoảng 60 bản thảo các công trình của Ông chưa gửi đăng, và đến năm 1862 các công trình này mới được xuất bản thành 2 tập với cái tên Latinh “Opera Postuma” (Tạm dịch là “Tác phẩm được xuất bản sau khi tác giả đã qua đời”). Và cũng phải đợi đến năm 1910, người ta mới sưu tập xong một Bộ tuyển tập các công trình của Euler hoàn chỉnh. Tuyển tập gồm 72 tập, mỗi tập khoảng 600 trang và được chia thành 3 “série”, (“série” Toán học gồm 29 tập; “série” Cơ học và Thiên văn học gồm 31 tập; “série” Vật lý và các Lĩnh vực khoa học khác gồm 12 tập ).

Khi nói về trình độ và ảnh hưởng của các Tuyển tập Euler, Nhà Toán học cùng thời với Ông, Piere Simon Laplace đã phải thốt lên:

“Lisez Euler, Lisez Euler, C’est notre maitre à tous!"

(Hãy đọc Euler, đọc Euler, Ông ấy là bậc Thầy trong mọi lĩnh vực!)

Có một câu chuyện vui, nhưng hoàn toàn là có thật: Khi Euler đến làm việc tại Viện HLKH Berlin, Ông được vua Phổ tín nhiệm giao thêm một nhiệm vụ đặc biệt là giảng giải các vấn đề khoa học phổ thông cho Quận chúa Anhalt Dessau của nhà Vua. Kết quả là một tác phẩm, bao gồm nhiều tập, liên tục được xuất bản, dưới dạng các bức thư gửi cho Quận chúa. Tác phẩm có tên “Lettres à une Princesse d’Allemagne” (Các bức thư gửi Quận Chúa nước Đức) gồm hơn 200 “bức thư”, giới thiệu phổ thông rất hay các vấn đề khoa học đa dạng của

6

thời bấy giờ, như: ánh sáng, âm thanh, ngôn ngữ, thiên văn học, từ trường, âm nhạc, v…v…. Tác phẩm ngay lập tức được dịch ra nhiều tiếng nước ngoài và đã trở thành ấn phẩm của Euler được nhiều người tìm đọc nhất!

Euler của chúng ta thật đa tài!

3. Những đóng góp đa dạng của Euler cho Toán học

Ngoài những thành tựu tiêu biểu về Toán học của Euler theo từng giai đoạn như đã trình bầy ở phần tiểu sử, Ông còn trực tiếp nghiên cứu hầu hết các lĩnh vực Toán học có ở thời đại của Ông và trong lĩnh vực nào, Ông cũng đều để lại các dấu ấn của mình. Sau đây là điểm qua các đóng góp như thế của Euler:

• Về các khái niệm Toán học: Euler là người đầu tiên đã đưa ra nhiều khái niệm Toán học, mà sau này được cộng đồng toán học chấp nhận và dùng rộng rãi cho đến ngày nay. Đó là khái niệm về hàm số, và chính Ông là người đầu tiên đã dùng ký hiệu F(x) để chỉ giá trị của hàm số F với giá trị của biến là x. Ông cũng là người đầu tiên đưa ra khái niệm hàm số lượng giác và các ký hiệu sin, cos, tang, cotang, dùng chữ e để ký hiệu cơ số của logarit tự nhiên, dùng ký hiệu ∑ trong các phép lấy tổng và dùng chữ i để chỉ đơn vị ảo. Tuy Ông không phải là người đầu tiên đề xuất ra số π, nhưng Ông lại là người sử dụng thành công và có công phổ biến dùng π để ký hiệu cho tỷ số giữa độ dài của một đường tròn và đường kính của đường tròn.

• Về Giải tích: Một trong những thành công đầu tiên của Euler là giải quyết được bài toán Basel, một vấn đề toán học đã tồn tại trong một thời gian dài. Bài toán Basel do Pietro Mengoli (1925-1686) phát biểu như sau: Hãy tìm giá trị chính xác của tổng: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/ . . . + 1/k^2 + …. Các kết quả xấp xỉ cho thấy tổng trên gần bằng 8/5 .

Năm 1735, Euler đã làm mọi người ngỡ ngàng, khi Ông công bố lời giải chính xác của Bài toán Basel là π2/6.

Euler đã có công tổng hợp tích phân Leibniz với phương pháp tính Newton thành một dạng gọi là phép tính vi phân.

Ông là người đã đưa ra biểu thức nổi tiếng trong toán học, đóng vai trò là sợi dây liên hệ giữa hàm số mũ phức và hàm số lượng giác, hay còn gọi là Công thức Euler:

ei.θ = cos(θ) + i sin (θ). Một dạng đặc biệt của công thức trên

là đồng nhất thức Euler : eiπ + 1 = 0, “một công thức đáng chú ý nhất trong Toán học”, như nhận xét của nhà vật lý nổi tiếng Richard Feynman, vì trong công thức đó, người ta chỉ dùng có một lần các phép toán cộng, nhân, mũ và phép đẳng thức, đồng thời cũng chỉ sử dụng có một lần các hằng số quan trọng 0, 1, e, i và π .

• Về Lý thuyết số: Do ảnh hưởng của một người bạn cũng làm việc tại Viện HLKH Saint Petersburg là Christian Goldbach, Euler đã quan tâm đặc biệt tới Lý thuyết số. Trong giai đoạn đầu, những công trình của Euler đều dựa trên cơ sở của các công trình của Pierre de Fermat. Ông đã phát triển một vài ý tưởng của Fermat và cũng loại bỏ một vài giả thuyết không đúng của Fermat.

Ở một hướng khác, Euler tìm mối liên hệ giữa sự phân bố của các số nguyên tố với các ý tưởng của Giải tích. Ông đã chứng minh được rằng tổng của nghịch đảo các số nguyên tố là phân kỳ. Để làm được điều này, Ông đi tìm mối liên hệ giữa hàm zeta Riemann với các số nguyên tố.

Ông đã sáng tạo ra hàm sau này được gọi là hàm Euler φ(n), tức là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n. Sử dụng các tính chất của hàm này, Euler đã mở rộng

7

Định lý Fermat nhỏ thành Định lý Euler. Ông cũng góp phần làm sáng tỏ bản chất các số hoàn thiện, một dạng số “rất đẹp” đã làm say mê nhiều thế hệ các nhà toán học ngay từ thời Euclid.

Năm 1772 Euler đã chứng minh được rằng số 231 - 1 = 2147 483 647 là một số nguyên tố Mersenne và đây là số nguyên tố lớn nhất mà người ta biết được cho đến tận năm 1867.

• Về Hình học và Tôpô đại số: Có một sợi dây liên kết chính là Công thức Euler, cho ta một mối liên hệ giữa số cạnh, số đỉnh và số mặt của một đa diện. Công thức tổng quát là: F - E + V = 2, trong đó F là số mặt, E là số đỉnh, V là số cạnh. Định lý đúng cho mọi đa diện phẳng. Đối với các đồ thị không phẳng, có một biểu thức tổng quát hơn.

• Về Đồ thị: Năm 1736, Ông giải được bài toán nổi tiếng về 7 chiếc cầu của thành phố Konigsberg (nay thuộc thành phố Kaliningrad, Nga). Cụ thể Ông chứng minh được rằng không thể đi bộ qua 7 cái cầu trên, mỗi cầu đúng một lần và trở lại đúng địa điểm đã xuất phát. Đây có thể xem như là ứng dụng đầu tiên của Lý thuyết đồ thị.

• Về Toán học ứng dụng: Euler cùng với Daniel Bernoulli đã khám phá ra Định luật về cường độ lực xoắn trên một sợi dây chun mỏng tỷ lệ với độ đàn hồi của vật liệu và momen quán tính của mặt cắt. Ông đồng thời cũng đưa ra

Phương trình Euler, một tập hợp các định luật chuyển động trong thủy động lực học, có quan hệ trực tiếp với định luật chuyển động của Newton. Những phương trình này có dạng tương đương với các phương trình Navier- Stokers với độ nhớt bằng 0. Điều này là quan trọng và thú vị, vì nó là nguyên nhân dẫn đến sự tồn tại của các sóng sốc.

4. Thế giới kỷ niệm 300 năm ngày sinh của Euler

Lễ kỷ niệm 300 năm ngày sinh của Euler (15/4/1707 - 15/4/2007) đã được tổ chức ở nhiều nơi trên thế giới, mà tâm điểm là ở 3 thành phố: Basel của Thụy Sĩ, Saint Peterburg của nước Nga và Berlin của nước Đức. Đó hoặc là quê hương của Ông hoặc là nơi Ông đã từng sống, giảng dạy và nghiên cứu khoa học trong nhiều năm. Các lễ kỷ niệm đã được tổ chức rất trọng thể, có sự hiện diện của Chủ tịch LĐTHTG và Chủ tịch Hội Toán học Châu Âu.

Tiếp theo sau mỗi lễ kỷ niệm là cả một “Festival Euler”, gồm các hoạt động văn hoá xã hội hưởng ứng “Năm Euler” như: Tổ chức các hội nghị quốc tế về những vấn đề khoa học mà Euler đã nghiên cứu; Tổ chức các symposium về ảnh hưởng của Euler đối với Toán học hiện đại; Tổ chức các “Cuộc thi Euler” dành cho các học sinh bậc trung học phổ thông; tổ chức các buổi nói chuyện về thân thế và sự nghiệp của Euler cho đông đảo quần chúng nhân dân; Triển lãm các ấn phẩm của Euler, v…v…

Và để ghi nhớ công lao của Ông, cũng có một loạt các “Sự kiện Euler” sau đây:

+ Phát hành các tem thư, có hình ảnh của Euler ở cả Thụy Sĩ, Đức và Nga;

+ Đưa vào lưu thông đồng tiền 10-franc Thụy Sĩ, có in chân dung Euler.

8

+ Tại Viện Toán học Quốc tế mang

tên Leonhard Euler ở Saint Peterburg, vào dịp kỷ niệm 300 năm ngày sinh của Euler, một tượng đồng của Euler đã được dựng trong khuôn viên trước cửa Viện, để ghi nhớ các cống hiến của Ông cho Toán học(1).

+ Viện HLKH Nga đã lập một giải thưởng hàng năm “Huy chương vàng Euler”, giành tặng cho các công trình xuất sắc nhất về Toán học và Vật lý. Huy chương vàng Euler-2007 đã được trao tặng cho Viện sĩ V. V. Kozlov.

+ Cũng nhân dịp này, một Quỹ Euler đã được thành lập tại Nga. Quỹ được dùng để tổ chức “Cuộc thi các bài báo toán học tốt nhất”, ở cả 3 cấp: các bài báo của sinh viên chưa tốt nghiệp, của các sinh viên vừa tốt nghiệp và của các nhà toán học trẻ.

+ Tại Mỹ, có Hội Euler, một hội theo kiểu các hội danh nhân, đã được thành lập.

+ Trên mặt Trăng, có một miệng núi lửa được mang tên Euler.

+ Và trong Vũ trụ thăm thẳm, có một Tiểu hành tinh, Tiểu hành tinh 2002, được mang tên “Tiểu hành tinh Euler”.

Lời kết

Ba trăm năm đã trôi qua …vậy mà . . .

Tuy không phải là người Nga, nhưng Euler vẫn được các nhà toán học Nga tôn vinh là người sáng lập và có công xây dựng lên Trường phái Toán học Nga ngày nay.

Trên phạm vi toàn thế giới, Euler cùng với Archimedes và Newton được giới khoa học đánh giá là Bộ Ba Nhà Toán học xuất sắc nhất của mọi thời đại (Bách khoa Tự điển trên Internet “Wikipedia”).

Cuộc đời của Euler vẫn là một tấm gương sáng cho tất cả chúng ta học tập và noi theo!

Chú thích:

(1) Viện Toán quốc tế Euler, tên giao dịch quốc tế là EIMI (Euler International Mathematical Institute), được thành lập năm 1988, trụ sở tại Saint Peterburg, Nga. EIMI có mục đích là nơi gặp gỡ, trao đổi về chuyên môn giữa các Nhà toán học thuộc Liên Xô cũ với các đồng nghiệp nước ngoài. Hoạt động chính của EIMI bao gồm tổ chức các chương trình khoa học, các hội nghị, hội thảo về những vấn đề toán học hiện đại, có sự tham dự của các hhà toán học nước ngoài.

Viện EIMI được sự ủng hộ và tài trợ của Viện HLKH Nga và của các tổ chức quốc tế như UNESCO, JEC FUND, Hội ủng hộ Toán học của Nhật bản, Hội ủng hộ Viện Euler của Đức.

Viện trưởng đầu tiên của EIMI và là Viện trưởng cho đến nay là Viện sĩ Ludwig D. Fadeev.

Từ 1990-2006, EIMI đã tổ chức được hơn 80 hội nghị, hội thảo, seminar với nhiều nhà toán học từ hơn 20 nước đến dự.

Từ năm 1996, do những khó khăn về tài chính, EIMI đã hợp nhất với Phân viện Toán Steklov của Saint Peterburg và hoạt động như là một bộ phận của Phân viện này.

Hội Toán Học Việt Nam

THÔNG TIN TOÁN HỌC Tháng 3 Năm 2009 Tập 13 Số 1

4

Bài toán Poincaré:Những chặng đường chinh phục các đỉnh cao

Phạm Trà Ân (Viện Toán học)

Chặng khởi đầu. Giả thuyết Poincaré donhà Toán học người Pháp, Henri Poincaré(1854-1912), đề xuất bắt nguồn từ một nhậnxét có tính trực quan trong dân gian: Trên các“mặt cầu hai chiều” thông thường, mọi đườngcong khép kín đều có thể co lại liên tục thànhmột điểm trên mặt phẳng.

Năm 1904 Poincare đặt vấn đề: liệu kết quảtrên có còn đúng hay không đối vối một“Hình cầu ba chiều”?

Hình học-Tô pô, đôi khi còn được gọi mộtcách dân dã là “Hình học của các màng caosu”, vì ngành này chuyên nghiên cứu về sựbảo tồn của các bề mặt, khi các bề mặt bịkéo dãn ra hay bị chọc thủng. Đối với cácnhà Tô pô học, chẳng có một sự khác biệt nàogiữa một chiếc bánh vừng vòng với một táchcà phê, vì cả hai đều có một lỗ thủng trênbề mặt, nhưng lại có sự khác biệt “rất quantrọng” giữa một trái bóng tròn (không có lỗthủng nào) với một chiếc săm ô tô đã đượcbơm căng (có một lỗ thủng).

H. Poincaré đã dự đoán: “Sẽ không cócách nào biến đổi một bề mặt không có lỗthủng thành một bề mặt có một lỗ thủng màkhông xé rách nó và bất kỳ bề mặt không cólỗ nào cũng có thể kéo căng thành bề mặtcủa một khối cầu”. Ông đã tìm cách chứng

minh phỏng đoán này, nhưng không chứngminh được. Sau này phỏng đoán của Poincaréđược các nhà toán học gọi là “Giả thuyếtPoincaré”, viết tắt là PC (Poincaré Conjec-ture). Chính Poincaré đã dùng thuật ngữ đatạp (manifold) để chỉ một không gian tôpôtrừu tượng và “Giả thuyết Poincaré” bây giờcó thể phát biểu một cách khác bằng ngônngữ của toán học hiện đại như sau: “Tất cảcác đa tạp-3 chiều, đóng và đơn liên, đều làkhối hình cầu.”

Sau này cũng có một câu hỏi tương tự nhưthế cho “Hình cầu n-chiều” với n > 3 và đóchính là Giả thuyết Poincaré mở rộng.

Về tầm quan trọng của Giả thuyết Poincaré,ngoài việc PC là một bài toán rất khó về mặttoán học, các nhà khoa học còn kỳ vọng rằngPC có thể giúp chúng ta có được những hiểubiết mới về “Cái thủa ban đầu” của vũ trụ.Chính Poincaré cũng đã dự đoán rằng “Cettequestion nous entrainerait trop loin !” (Vấnđề này sẽ đưa chúng ta đi rất xa!).

Sau Poincaré, cũng có nhiều nhà toán họckhác cùng thời với ông, đã “xắn tay áo lên”thử chứng minh PC, nhưng phần lớn họ đềutrắng tay, trừ một số ít người đã có may mắnthu luợm được một vài kết quả phụ, mang dấuấn “quả hái dọc đường”, như Bổ đề Dehn,Định lý mặt cầu, Định lý khuyên, v.v...

5

Chinh phục đỉnh cao “PC với n > 3” .Thời gian trôi nhanh... Đã bước vào nhữngnăm 60 của thế kỷ XX.

Lúc này, ngành Tôpô đang phát triển mạnhvà thực sự trở thành một trong số nhữngngành sôi động nhất của Toán học đương đại.Trong bối cảnh chung đó, đã xuất hiện mộtđợt sóng “tấn công PC” mới với cả một thếhệ các nhà toán học trẻ, rất tài ba. Kết quảkhông ngờ là các nhà toán học trẻ đã pháthiện ra một sự kiện quan trọng, làm “ngỡngàng” cánh các nhà toán học già thời bấygiờ. Hóa ra là việc chứng minh PC trongtrường hợp đa tạp có số chiều lớn hơn 3 lại dễhơn nhiều so với chứng minh PC với số chiềuđúng bằng 3! Mới nghe thì cảm thấy như vôlý, trái với những gì ta vẫn thấy trong thực tế.Đó là chứng minh trong trường hợp số chiềulớn thì thường khó khăn hơn so với khi sốchiều là bé hơn! Vậy mà năm 1960 StephenSmale lại chứng minh được PC với số chiềulớn hơn 4 và đến năm 1983, Michael Freed-man chứng minh được PC cho số chiều đúngbằng 4. Còn trường hợp n bằng 3 thì cả hai đãthử nhưng đều bó tay. Chính nhờ các kết quảnày mà Smale đã nhận Giải thưởng Fields -1966, còn Freedman được nhận Giải thưởngFields - 1986.

Đến đây Bạn đọc có thể đặt câu hỏi:“Nguyên nhân nào đã làm cho chứng minhPC với số chiều bằng 3 lại là khó hơn nhiều sovới trường hợp số chiều lớn hơn 3?”. Câu trảlời từ phía những người trong cuộc là: 3 chiềulà số chiều quá nhỏ để ta có thể di chuyển“miền có vấn đề” (problematical regions) củaPC ra khỏi “vùng ảnh hưởng tương tác” củamột số vấn đề khác, có ảnh hưởng quan trọngđến PC.

Chặng đường “Hình học hoá”. Trong Tôpô, người ta thường sử dụng phương pháp“Hình học hóa” để phân loại các 2-đa tạp (tứclà phân loại các mặt). Mỗi mặt tô pô được gắnvới một hình học đặc biệt và duy nhất, theođó đường cong của mặt được trải ra một cách“đồng đẳng” trên đa tạp (tức là chúng có độ

cong như nhau ở mọi chỗ). Mặt cầu là hìnhduy nhất có tính chất này: “tròn trĩnh, hoànhảo”. Dạng “quả trứng” là một hình khác,khả dĩ có thể hy vọng đáp ứng được yêu cầutrên? Tuy nhiên ta thấy nó lại không thỏa mãnđiều kiện độ cong bằng nhau ở mọi chỗ, bởỉvì ở quả trứng, đầu nhỏ có độ cong lớn hơn ởđầu to.

Các 2-đa tạp tạo nên ba kiểu hình học. Mặtcầu được coi là có độ cong dương. Mặt xuyếnđược hình học hóa l có độ cong bằng không,giống như mặt phẳng. Tất cả các 2-đa tạpkhác có từ hai “tay cầm” trở lên đều có độcong âm. Đó là sự hình học hóa các 2-đa tạp.Nhưng khi áp dụng phương pháp trên cho các3-đa tạp, hóa ra các 3-đa tạp lại rắc rối hơnnhiều. Hầu hết các 3-đa tạp không thể gắnđược với một hình học đồng nhất. Thay vàođó, chúng có thể được cắt thành các mẩu nhỏ,mỗi mẩu có một hình học chính tắc riêng biệt.Hơn thế nữa, thay vì chỉ có ba dạng hình họccơ bản như trong trường hợp 2-đa tạp, các 3-đa tạp có thể có tới 8 dạng hình học chínhtắc.

Vào những năm cuối của thập niên 70 củathế kỷ trước, nhà toán học W. Thurston đã đềxuất “Giả thuyết Hình học hóa”, viết tắt làGC (Geometrization Conjecture), được phátbiểu như sau: “Có thể cắt một đa tạp 3-chiều thành các phần, mỗi phần có một trongtám loại hình dạng khác nhau, trong đó códạng mặt cầu.” Sau này chính Thurston đãmô tả tất cả các đa tạp-3 chiều có thể cóđược, và đó là một sự tổng quát hóa của PC.Năm 1982, Thurston được nhận Giải thưởngFields vì những đóng góp quan trọng của ôngcho ngành Tô pô. Đây là Giải thưởng Fieldsthứ ba có liên quan trực tiếp tới Giả thuyếtPoincaré.

Chặng tăng tốc: “Dòng Ricci”. Cũng vàonăm 1982, có một nhà toán học khác là R.Hamilton, đề xuất một chương trình phântích mới các đa tạp 3-chiều bằng cách sửdụng một phương trình gọi là “dòng Ricci”(lấy theo tên nhà toán học Ricci-Curbastro),

6

một phương trình tương tự như phương trìnhtruyền nhiệt trong Vật lý toán. Như mọi ngườiđều biết, trong một vật, nếu có sự chênh lệchvề nhiệt độ, thì ngay tức khắc, nhiệt lượng sẽđược truyền một cách tự nhiên từ nơi nóngsang nơi lạnh cho đến khi nào nhiệt độ tạimọi nơi là như nhau. Phương trình dòng Riccicũng có một hiệu ứng tương tự như vậy,nhưng là xẩy ra với tham số là độ cong. Hiệuứng này sẽ làm mất dần đi những lồi lõm, tứclà làm mất dần đi sự chênh lệch độ cong, chođến khi độ cong ở mọi nơi là như nhau. Nếu tabắt đầu với một hình quả trứng, nó sẽ dần dầnbiến thành một hình cầu hoàn hảo. Nhưngphép phân tích của Hamilton lại gặp một trởngại lớn không thể vượt qua được. Đó là trongmột số trường hợp nhất định, dòng Ricci lạilàm một đa tạp co lại thành một điểm. Ví dụkhi đa tạp có dạng là một “quả tạ cầm tay”,tức là gồm 2 hình cầu được nối với nhau bằngmột trục hình ống. Khi đó các hình cầu sẽ hútvật chất từ trục ống và làm cho phần giữa trụctrở thành một điểm. Một ví dụ khác nữa là khicó một cái que được gắn vào một đa tạp, dòngRicci lại có thể gây ra cái gọi là “kỳ dị dạngđiếu xì-gà”. Khi các đa tạp bị biến dạng nhưthế, nó không còn là một đa tạp 3-chiều thựcsự nữa!

Lịch sử đang chờ đợi sự xuất hiện của mộtnhân vật mới, có đầy đủ các phẩm chất cầnthiết, để chinh phục đỉnh cao cuối cùng “PCvới n = 3”!

Chinh phục đỉnh cao cuối cùng “PC vớin = 3”. Cuối cùng, Lịch sử cũng đã tìm đượcnhân vật cần tìm. Đó là nhà toán học trẻ tuổingười Nga, Tiến sĩ Grigori Perelman, ViệnToán Steklov, Peterburg.

Perelman, trong “một giây phút thăng hoatuyệt vời” của tư duy toán học, đã đưa vàomột số hạng mới cho phương trình “dòngRicci”. Phương trình mới thu được, tuykhông loại bỏ được các rắc rối về kỳ dị,nhưng nó cho phép anh thực hiện các “phẫuthuật” tinh vi hơn. Với những “kỳ dị hình quảtạ”, anh có một “cách điều trị” như sau: cắt đi

sự biến dạng ở mỗi bên và hàn lại chỗ hở trênmỗi quả tạ bằng một chỏm cầu. Khi ấy dòngRicci có thể tiếp tục biến đổi đa tạp đồng thờivới thủ tục phẫu thuật như vậy. Đối với cáckỳ dị “kiểu điếu xì-gà”, anh đã chỉ ra rằng,chúng không thể xẩy ra. Theo cách này, một3-đa tạp bất kỳ có thể đưa về một tập hợpcác mẩu nhỏ, mỗi mẩu nhỏ có một hình họcđồng nhất. Khi dòng Ricci và “Phép phẫuthuật” của Perelman được áp dụng cho mộtđa tạp 3-chiều bất kỳ, và nếu kết quả nhậnđược trên các mẩu nhỏ đều là hình cầu 3-chiều cả thì điều đó có nghĩa là đa tạp cần tìmchính là hình cầu 3-chiều và nó là duy nhất.Perelman đã chứng minh được điều này. Vànhư vậy, Giả thuyết Poincaré đã được chứngminh. Đỉnh cao cuối cùng “PC với n = 3” đãđược Perelman chinh phục!

G. Perelman

Ý nghĩa của việc chứng minh được CP.Về ý nghĩa, chứng minh Giả thuyết Poincarécủa Perelman đã mở ra một hướng mới trong“kỹ thuật phân tích”. Các nhà toán học hyvọng và cũng đang thử vận dụng phươngpháp này để giải một số các bài toán khókhác.

Nhưng ý nghĩa chính của thành tựu toánhọc này lại nằm ở mối liên hệ của PC với Vậtlý lý thuyết. Trong Vật lý, dòng Ricci có liênquan đến “nhóm tái chuẩn hóa”, xác định sự

7

thay đổi cường độ của các tương tác, có phụthuộc vào năng lượng va chạm. Chẳng hạn, ởnhững năng lượng thấp, tương tác điện từ cócường độ được đặc trưng bởi con số 0,0073(xấp xỉ khoảng 1/137). Nếu hai electron vavào nhau với một tốc độ gần bằng tốc độ củaánh sáng, thì cường độ tương tác sẽ xấp xỉbằng 0,0073.

Tăng năng lượng va chạm, tương đương vớinghiên cứu đối tượng ở một khoảng cách gầnhơn. Vì vậy nhóm tái chuẩn hoá đóng vai trònhư một kính hiển vi với độ phóng đại cóthể thay đổi được để khảo sát một quá trìnhnào đó ở những mức độ chính xác khác nhau.Tương tự như vậy, dòng Ricci cũng có vai trònhư một chiếc kính hiển vi dùng để quan sátcác đa tạp với một độ phóng đại cho trước.Khi ấy những lồi lõm nhìn thấy được ở mộtđộ phóng đại này có thể sẽ biến mất ở mộtđộ phóng đại khác. Các nhà vật lý mong đợirằng ở thang chiều dài Planck - không gianmà chúng ta đang sống, sẽ hoàn toàn khác.Nó sẽ lổn nhổn những “vòng kín”, các “taycầm” cùng các cấu trúc tôpô khác.

Như vậy Toán học mô tả sự thay đổi cáclực vật lý lại rất giống với Toán học mô tả sựhình học hóa của các đa tạp !

PC còn có các mối liên hệ khác với Vậtlý lý thuyết, thông qua các phương trình củaThuyết tương đối tổng quát. Các phương trìnhcủa thuyết tương đối tổng quát mô tả lực hấpdẫn và cấu trúc của Vũ trụ, ở phạm vi vĩ mô,rất gần với phương trình dòng Ricci. Hơn thếnữa, số hạng mà Perelman đã thêm vào trongphương trình “dòng Ricci”, thực ra là đã cótrong Lý thuyết dây, một lý thuyết lượng tử

về lực hấp dẫn. Do đó người ta hy vọng rằngkhám phá của Perelman sẽ đem lại cho conngười những hiểu biết mới về vũ trụ, thôngqua Lý thuyết tương đối tổng quát.

Với tất cả các các ý nghĩa vừa quan trọngvừa sâu sắc trên, tạp chí Science, một tờ báokhoa học đại chúng hàng đầu của Mỹ, cuốinăm 2006 đã bầu chọn sự kiện “Chứng minhGiả thuyết Poincaré của Perelman” là sự kiệnđột phá số 1 của năm 2006, cùng với 9 sự kiệnđột phá khác, được chọn từ các ngành khoahọc khác nữa, nhưng cả 9 sự kiện này đềukhông được Science xếp hạng thứ tự. Hơnthế nữa, theo bình luận của Tổng biên tậptạp chí Science, Donald Kennedy, thì sự kiện“Chứng minh giả thuyết Poincaré của Perel-man” không những là sự kiện đột phá củanăm 2006, mà còn là “sự kiện đột phá củaít nhất một thập kỷ nữa!” Từ trước đến naychưa có một thành tựu toán học nào lại đượctờ Science đánh giá cao đến như vậy!

TÀI LIỆU THAM KHẢO1. Wikipedia (The encyclopedia), http://en.wikipedia.org/wiki/Poincare_Conjecture.2. Diễn đàn Toán học, http://www.diendantoanhoc.net

8

Đường cong đại số và giả thuyết củaBirch và Swinnerton-Dyer

Benedict Gross (Harvard University1)

1. TÌM CÁC BỘ BA PITAGO

Các nhà toán học cổ đại từng quan tâmtới việc giải các phương trình đại số với hệsố nguyên, thường được gọi là phương trìnhĐi-ô-phăng. Ở đây, người ta quan tâm tớiviệc tìm nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỷ.Phương trình nổi tiếng nhất là

(1) a2 + b2 = c2

Phương trình này có xuất xứ từ hình học. Cácnhà toán học Hy Lạp cổ đã biết rằng các cạnhcủa một tam giác vuông thỏa mãn phươngtrình này, một khẳng định bây giờ mang tên“Định lý Pi-ta-go. Một bộ ba (a, b, c) các sốnguyên thỏa mãn phương trình này được gọilà “bộ ba Pi-ta-go”.

Thực ra, những người Ba-bi-lon có lẽ đãtìm ra phương pháp tổng quát để giải phươngtrình này. Dưới đây là một bảng chứa nhiềunghiệm nhỏ:

Chúng ta sẽ mô tả một phương pháp cho phépsinh ra tất cả các nghiệm của phương trìnhPi-ta-go. Trong mặt phẳng tọa độ (x, y) vẽđường tròn đơn vị tâm tại 0 và đường thẳng

đi qua các điểm với tọa độ (−1, 0) và (0, t)với t là một số thực bất kỳ. Như vậy t là hệsố góc (độ nghiêng) của đường thẳng. Đườngthẳng này cắt đường tròn đơn vị tại điểm thứhai, ký hiệu là (x, y).

Ta có

t =y

x + 1x =

1− t2

1 + t2y =

2t

1 + t(2)

Dễ dàng kiểm tra rằng nếu t là hữu tỷ t = rs ,

thì

(3) a = s2 − r2, b = 2rs, c = r2 + s2

là một bộ ba Pi-ta-go.

Ngược lại, nếu (a, b, c) là một bộ ba Pi-ta-go thì (x, y) = (a

c , bc) nằm trên đường tròn

đơn vị và có tọa độ hữu tỷ. Do đó đường thẳngđi qua (−1, 0) và (x, y) sẽ cắt trục y tại điểm(0, t) và có hệ số góc t hữu tỷ. Vậy ta thuđược tương ứng một-một giữa các bộ ba Pi-ta-go đôi một nguyên tố cùng nhau và các sốhữu tỷ.

1Bài giảng tại Viện Toán học, Phùng Hồ Hải ghi và dịch. Nguyên bản tiếng Anh có thể xem tại:http://www.math.ac.vn/conference/colloque_2008.htm#lecture5

9

2. ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC

Phương trình đơn giản thứ hai là

(4) y2 + axy + by = x3 + mx2 + nx + p

Chúng ta giả thiết rằng phương trình này cóhệ số hữu tỷ và muốn tìm các nghiệm hữutỷ của nó. Đồ thị của một phương trình nhưthế này được gọi là một đường cong elliptic.Pierre Fermat là người đầu tiên tìm ra phươngpháp xây dựng tất cả các nghiệm của phươngtrình này. Ý tưởng của ông rất đơn giản: mộtđường thẳng đi qua hai điểm với tọa độ hữutỷ trên đồ thị của phương trình trên sẽ cắt đồthị tại một điểm thứ ba với tọa độ cũng hữutỷ.

Ngoài ra, trong trường hợp “tới hạn”, tiếptuyến với đồ thị tại một điểm với tọa độ hữutỷ sẽ cắt đồ thị tại một điểm thứ hai với tọa độ

hữu tỷ (thực ra là điểm thứ ba nếu điểm tiếpxúc được tính hai lần).

Tính toán dưới đây cho thấy bằng cách dùngtiếp tuyến ta có thể sinh ra các nghiệm lớn khixuất phát bởi một nghiệm rất nhỏ trên đườngcong cho bởi y2 + y = x3 − x.

Việc nghiên cứu các đường cong ellipticxuất phát từ giải tích. Euler và Abel đã cónhững đóng góp lớn vào việc nghiên cứu cáctích phân elliptic. Ở đây, một trong nhữngphát hiện quan trọng là cấu trúc nhóm trênmột đường cong elliptic. Với hai điểm P , Qtrên một đường cong elliptic E, đường thẳngPQ cắt E tại điểm thứ ba R (ta có thể chophép P = Q, và xét tiếp tuyến với E tạiP ). Tại R kẻ đường thẳng song song với trụcy. Đường thẳng này cắt E tại một điểm duynhất S. Có thể kiểm tra được rằng phép toán

(P,Q) 7→ S xác định một cấu trúc nhóm giaohoán trên E.

Nhận xét rằng đường thẳng tại R, songsong với trục y có thể được coi như đườngthẳng nối R với điểm duy nhất của E tạivô hạn ∞ (ở đây ta xét không gian xạ ảnhnhận được bẳng cách bổ sung một đườngthẳng tại vô cùng, đường thẳng này cắt E tạimột điểm duy nhất, ký hiệu là ∞ như trên).

10

Cấu trúc nhóm trên E (trường hợp P 6= Q)

Phương pháp giao tuyến và tiếp tuyến mộttả ở trên chứng tỏ rằng tậpE(Q) các điểm củaE với tọa độ hữu tỷ lập thành một nhóm concủa nhóm các điểm của E. Như vậy ta có thểtìm được toàn bộ nghiệm của phương trình

(6) nếu biết tập sinh của E(Q). Nhà toán họcngười Anh Louis Mordell chứng minh năm1922 rằng nhóm E(Q) là hữu hạn sinh. Nhưvậy mỗt nghiệm hữu tỷ có thể nhận được từmột tập hữu hạn các nghiệm bằng cách sửdụng một tổ hợp nào đó của các giao tuyếnvà tiếp tuyến.

Mordell (1888-1972)

Chú ý rằng nghiệm ban đầu có thể rất phứctạp. Ví dụ M. Stoll đã phát hiện rằng nghiệmnhỏ nhất của phương trình x2 = y3 +7823 là

Câu hỏi trung tâm bây giờ là: “cần baonhiêu nghiệm để có thể xây dựng được tất cảcác nghiệm”. Vì E(Q) là hữu hạn sinh theođịnh lý của Mordell, nó là tích trực tiếp củamột nhóm hữu hạn và một nhóm abel tự dohữu hạn sinh, hạng của nhóm này được gọilà hạng của E(Q). Từ công trình của BarryMazur ta biết rằng phần hữu hạn của E(Q)có cấp không vượt quá 16. Vậy một quan tâmchính là việc xác định hạng của E(Q).

Dựa trên các tính toán trên các máy tínhEDSAC tại phòng máy tính, Đại học Cam-bridge Computer, Birch và Swinnerton-Dyerđề xuất một mối liên hệ rất sâu sắc giữa hạng

của E(Q) và cấp của không điểm tại s = 1của một L-hàm, xác định bởi các nghiệmtheo modulo p của phương trình ban đầu.

Birch và Swinnerton-Dyer

Trước khi phát biểu giả thuyết chính, chúngta hãy xét bài toán modulo p, với p là một sốnguyên tố.

11

3. ĐẾM CÁC NGHIỆM MODULO p

Xét một phương trình cụ thể y2 + y =x3 − x và đếm số nghiệm của phương trìnhnày modulo p, số này không vượi quá p2.

Gọi N(p) là số nghiệm của phương trìnhmodulo p. Chẳng hạn N(7) = 8. Một đánhgiá xấp xỉ số Np được tiên đoán bởi Artin vàchứng minh bởi Hasse, cho ta một hạn chếhiệu A(p) := N(p) − p. Định lý của Hassekhẳng định rằng

(5) |A(p)| ≤ 2√

p

Đối với đường cong elliptic cụ thể trên,các tính toán máy tính chứng tỏ rằng tích∏

pp

N(p) tiến tới 0 khi p tiến ra vô cùng.

Định nghĩa một hàm biến phức, gọi là L-hàm, như sau:

(6) L(E, s) :=1

1 + A(p)p−s + p · p−2s,

trong đó tích được lấy trên toàn bộ các sốnguyên tố p (tại một số hữu hạn giá trị của pthừa số tương ứng cần chỉnh một chút). Hàmsố này chứa thông tin về sai số A(p). Và mộtcách hình thức ta có

(7) L(E, 1) =∏p

p

N(p) + 1

như hai đại lượng vô cùng nhỏ (bậc triệt tiêucủa L(E, 1) tại s = 1 có liên quan tới tốc độhội tụ tới 0 của

∏p

pN(p) .

Thực ra L(E, s), như là một chuỗi, chỉ hộitụ đối với s thỏa mãn Re(s) > 3

2 .

Tuy vậy người ta cho rằng hàm phức nàythác triển lên toàn bộ mặt phẳng phức thànhmột hàm chỉnh hình theo s. Dự đoán này cuốicùng đã được khẳng định bởi Wiles, Taylor,Breuil, Conrad and Diamond vào năm 2000đối với các đường cong elliptic xác định trênQ. Điều này là hệ quả của “Định lý modular”,

kết quả đóng vai trò chính trong chứng minhcủa Wiles cho Định lý cuối cùng của Fermat.

Mối liên hệ giữa số các nghiệm sinh củamột đường cong elliptic và số các nghiệmcủa phương trình đó modulo p được thểhiện trong một giả thuyết của Birch vàSwinnerton-Dyer:

Bậc triệt tiêu của L(E, s) tại s = 1 bằnghạng của nhóm E(Q) của các điểm của Evới hệ số hữu tỷ.

Năm 1983 Gross và Zagier chứng minhđược một trường hợp đặc biệt của định lý này.

Khi bậc triệt tiêu của L(E, s) tại s = 1 là1 thì E có hạng ít nhất 1 trên Q.

B. Gross và D. Zagier

Một công trình sau đó của Kolyvagin chứngtỏ rằng trong trường hợp này hạng đúng bằng1.

4. TÀI LIỆU ĐỌC TIẾP

Một cuốn nhập môn vào số học của cácđường cong elliptic rất tốt là cuốn sáchJ.SILVERMAN AND J. TATE, Rational pointson elliptic curves.Các nội dung cao hơn có thể tìm thấy trongJ. SILVERMAN, Arithmetics of elliptic curvesI,II.

11

Viện Toán học OberwolfachĐoàn Trung Cường (Viện Toán học & ĐHTH Duisburg-Essen)

Nằm trên sườn núi nhìn xuống mộtthung lũng yên bình trong khu RừngĐen (Schwarzwald), ít người biết rằngviện Toán học Oberwolfach (MathematischesForschungsinstitut Oberwolfach, viết tắt làMFO) được thành lập năm 1944 với mục đíchtiến hành các nghiên cứu toán học phục vụtrực tiếp cho chiến tranh. Sau hơn 60 nămhoạt động, MFO có một vị trí đặc biệt đối vớitoán học ở Đức. Mục đích chính trị đầu tiêncủa MFO đã không được thực hiện do cuộcchiến tranh Thế giới lần 2 kết thúc chỉ nửanăm sau ngày thành lập viện. Thay vào đó,nhờ những ưu tiên của chính phủ Đức quốcxã, MFO đã trở thành nơi trú ẩn an toàn củamột số nhà toán học và người thân của họ.May mắn là sau chiến tranh MFO vẫn đượcgiữ lại và ý tưởng khoa học của những ngườitham gia thành lập viện, xây dựng một địađiểm để tổ chức các cuộc gặp gỡ, trao đổitrực tiếp của các nhà toán học, đã được theođuổi cho đến ngày nay. Đó cũng là lý do làmnên thành công và làm cho MFO đặc biệt.

Viện Nghiên cứu Toán học Oberwolfachwww.mfo.de

Có nhiều người gọi MFO là Trung tâm Hộinghị Toán học Oberwolfach. Ở đây các hộinghị, các seminar được tổ chức liên tục trongnăm. Bộ máy điều hành của MFO khá đơngiản, ngoài một số thư ký và người phục vụchỉ có một “ghế” khoa học duy nhất là việntrưởng, thường là một giáo sư đồng thời làmviệc ở một trường đại học. Viện trưởng hiệnnay là giáo sư Gert-Martin Greuel đang làmviệc tại đại học Kaiserlauten.

Chủ đề của các hoạt động trong năm củaMFO thuộc các lĩnh vực khác nhau của toánvà được quyết định bởi một hội đồng khoahọc. Thông thường hội đồng này gồm 20 nhàkhoa học hàng đầu đang làm việc ở châu Âutrên hầu hết các lĩnh vực chính của toán họcvà một số ngành khoa học liên quan. Bêncạnh Hội đồng Khoa học là một hội đồngquản trị tham gia định hướng phát triển dàihạn của MFO và quyết định các vấn đề tàichính. Ngoài ra có một hội đồng cố vấn cóchức năng đánh giá các hoạt động khoa họccủa viện và cố vấn cho Viện trưởng và Hộiđồng Quản trị.

Một khác biệt lớn giữa MFO và các việntoán trên thế giới là các hội thảo, seminarđược tổ chức liên tục hàng tuần và thôngthường mỗi hoạt động cũng chỉ giới hạn trongmột tuần. Các hội thảo là hình thức hoạtđộng truyền thống và quan trọng nhất củaMFO. Tham gia tổ chức các hội thảo là cácchuyên gia đầu ngành từ khắp nơi trên thếgiới, những người tham dự đều do ban tổchức mời, không qua tự đăng ký như các hộinghị thông thường. Hội thảo là hoạt độngqui mô lớn nhất của MFO với khoảng 45-48người tham gia. Bên cạnh đó còn một số hình

12

thức với qui mô nhỏ hơn như mini-workshop(15-16 người), Research in pairs (2-4 người),Working team (4-5 người), Seminar (dànhcho nghiên cứu sinh và tiến sĩ mới bảo vệ,giới hạn trong 24 người), Leibniz fellows.

Ngoài các hoạt động trên, hàng năm nhị kỳXuân, Thu, MFO còn tổ chức các Arbeitsge-meinschaft, (tạm gọi là seminar học). Nguyêntắc tổ chức Arbeitsgemeinschaft, hơi giốngSeminaire Bourbaki, là những người tham giacùng tìm hiểu một đề tài nào đó không phảithuộc chuyên ngành hẹp của mình. Qua việctham gia cùng trình bày về một kết quả mớinào đó những người tham dự sẽ mở rộng hiểubiết của mình về các lĩnh vực khác của toánhọc. Do đó thông thường chỉ những người tổchức là có nhiều hiểu biết sâu về lĩnh vựcđó. Phụ trách các seminar học hiện nay là haigiáo sư nổi tiếng C. Deninger và G. Faltings.Ý tưởng của các seminar học đã được nhiềutrường đại học ở Đức và nhiều nước khác thựchiện thành công. Nhiều nhà toán học Đức đãnói rằng rất nhiều hiểu biết bên ngoài hướngnghiên cứu hẹp của họ là thông qua các sem-inar học này, hoặc trực tiếp tại Oberwolfach,hoặc ở các trường đại học.

Bên cạnh các hoạt động liên tục trong năm,từ năm 1991, khoảng ba năm một lần MFOlại trao giải thưởng Oberwolfach cho tác giảtrẻ không quá 35 tuổi có một thành tựu xuấtsắc mang tính đột phá trong một lĩnh vực nàođó. Cho đến nay, qua bảy lần trao giải chocác lĩnh vực khác nhau, đã có một người ViệtNam ghi tên mình trong danh sách được traogiải: giáo sư Ngô Bảo Châu cho lĩnh vực Đạisố và Lý thuyết số vào năm 2007.

Giới thiệu về MFO không thể bỏ qua cốgắng của những người điều hành viện nhằm

tạo một môi trường thuận lợi cho các nhàkhoa học đến làm việc như điều kiện về thưviện, các chuyến đi bộ trong rừng vào chiềuthứ Tư, sắp xếp nhà ăn,... MFO có một trongnhững thư viện tốt nhất trên thế giới, mộttrong số ít các thư viện có hầu như đầy đủ cácloại tạp chí về toán và liên quan. Để mườngtượng mức độ ưu tiên của MFO đối với thưviện, chỉ cần biết rằng trong hai toà nhà chínhcủa viện thì một được dành cho bộ phận quảnlý, nhà ăn và phòng nghỉ của khách và mộtđược dành toàn bộ cho thư viện. Gần đâyMFO đang tiến hành một chương trình giớithiệu sách lớn tại thư viện. Tham gia chươngtrình này là hầu hết các nhà xuất bản lớn vềtoán trên thế giới, các quyển sách mới xuấtbản sau một năm trưng bày đều được chuyểnvào giá sách của thư viện.

Lần đầu tiên đến Oberwolfach người viếtbài này đã rất ấn tượng đối với cách sắp xếpbàn ăn ở đây. Vị trí chỗ ngồi của mỗi ngườiđều được những người phục vụ sắp xếp từtrước, thay đổi theo từng bữa ăn và mọi ngườiphải tự đi quanh để tìm tên mình. Việc sắpxếp này giúp cho mọi người có cơ hội làmquen với nhiều đồng nghiệp mới, đặc biệthữu ích đối với những người “nhút nhát” hoặcnhững người trẻ tuổi mới bắt đầu làm nghiêncứu.

Trải qua hơn nửa thế kỷ, MFO đã có mộtvị trí quan trọng trong việc xây dựng lại nềntoán học ở Đức sau chiến tranh, trở thành nơigặp gỡ, trao đổi giữa các nhà toán học Đứcvà với các đồng nghiệp nước ngoài. Việc giữlại được MFO sau chiến tranh, như nhà toánhọc R. Remmert nhận xét, thực sự là một việclàm phi thường.

16

chứng khoán” tôi mới hiểu rằng, người Mỹkhôn ngoan và thực dụng, đã biết vận dụngtrí tuệ và văn minh Trung hoa hơn 2500 trướcvào việc kinh doanh chứng khoán: mười baphép binh của Tôn Tử cũng ứng với mười baphép ứng xử của nhà đầu tư trong thị trườngchứng khoán; ngoài ra Tôn Tử đã từng nói:

“Binh pháp có năm việc: một là quan sát, hailà dự doán, ba là tính toán, bốn là so sánh,năm là chiến thắng”. Và đó cũng là năm côngđoạn của Toán học tài chính, trong đó côngđoạn cuối cùng được hiểu là xây dựng một lýthuyết thay đổi phù hợp một cách tối ưu vớidiễn biến của thị trường tài chính.

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Hữu, Các phương pháp toán học trong tài chính, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà nội,2007.[2] Trần Trọng Nguyên, Cơ sở Toán tài chính, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật, Hà nội, 2009.[3] Glenn Shafer & Vladimir Vovk, Probability and Finance: It’s Only A Game.Wiley Series in Probability and Statistics, John Wiley and Sons, 2001.[4] Trần Hùng Thao, Toán học Tài chính, Nhà XB Khoa học và Kỹ thuật, Hà nội, 2004.

Dành cho các bạn trẻLTS: Bắt đầu từ số này TTTH sẽ có chuyên mục dành cho Sinh viên, Học sinh và tất cả các bạntrẻ yêu Toán. Tòa soạn mong nhận được các bài viết hoặc bài dịch có giá trị cho Chuyên mục.

Đường vào khoa học 9

I.M.Frank10

Với mong muốn nhìn tới tương lai, tuổi trẻmơ ước. Sẽ hạnh phúc cho người nào khôngtừ bỏ ước mơ của mình trong suốt cuộc đời.Bản thân tôi thích những người ngay từ thờitrẻ đã có định hướng nghiên cứu khoa học.Không chỉ trong những ước mơ mà trong cảthực tế khoa học cũng hấp dẫn một cách kỳlạ. Nhưng, để trở thành nhà khoa học, cầnphải phục vụ khoa học một cách chân thànhvà không vụ lợi, và không sợ khó khăn.

Những bước đi đầu tiên thường được nângbước bởi những người thầy, nếu như, dĩ nhiên,họ không chỉ biết mà còn yêu khoa học. Cảđề tài của công trình đầu tiên, cả phương

pháp thực hiện nó thường được chỉ dẫn bởingười hướng dẫn. Điều này là cần thiết, vì cầnphải có kinh nghiệm, mà môi trường khoahọc bạn trẻ đang bước vào rất quan trọngđối với những bước đi tiếp theo. Có thể giúpđỡ cho người mới bắt đầu học, nhưng thựcra thì chỉ có bản thân anh ta mới có thể tựhọc cho mình. Trong đó những thành tự đầutiên làm ta vui mừng có thể sẽ dẫn đến nhữngthất vọng. Rất thường xảy ra trường hợp kếtquả mà ta nhận được đã được tìm được bởiai đó trước đó, còn ý tưởng mà ta tưởng làmới thì thực tế không những không mới màđôi khi còn có thể đã được khẳng định là sailầm. Nhưng không nên thất vọng. Điều quan

9“Put’ v Nauku”, Bài đăng trên Kvant, 2/198110Viện sĩ Ilya Mikhailovic Frank (1908-1990) là nhà vật lý người Nga, giải thưởng Nobel vật lý năm 1958.

17

trọng nhất và quý giá nhất trong khoa học làsáng tạo. Tự mình đi qua đoạn đường mà aiđó đã đi qua, điều này có lợi và thường làcần thiết. Tuy nhiên, sau vài “thất bại” nhưvậy có thể sẽ có cảm giác rằng mọi thứ trongkhoa học đều đã được biết. Trong thực tế lờigiải thích sẽ khác. Những kiến thức đầu tiên,một cách tự nhiên sẽ hướng chúng ta đến conđường mà nhiều người khác đã đi qua. Khảnăng suy nghĩ độc lập không xuất hiện ngaylập tức mà nó được tôi luyện sau một quátrình làm việc căng thẳng và khó khăn. Nóivề khoa học, đừng quên những lời nói củaNewton không lâu trước khi mất “Tôi khôngbiết là thế giới nhìn thấy tôi thế nào, còn bảnthân tôi thấy mình là một cậu bé, đang chơibên bờ biển, thấy thích thú vì thỉnh thoảng lạinhặt được một hòn đá có màu đẹp hơn bìnhthường, hoặc là vỏ ốc màu đỏ, trong khi đótrước mặt tôi là đại dương vĩ đại đầy bí ẩn”.

Không phải ngẫu nhiên Newton thấy mìnhlà cậu bé, bởi vì chính những cậu bé, chứkhông phải người lớn, thích tìm kiếm những“hòn đá màu”, còn đầu óc của chúng tỉnh táohơn và dễ nhận biết những điều bất thường.Tôi nghĩ rằng, một trong những đặc điểm cầnthiết và hạnh phúc của nhà khoa học là tínhtò mò, một tính cách rất đặc trưng cho tuổitrẻ và thường bị đánh mất khi lớn lên. New-ton là thiên tài, những người như vậy trongkhoa học không nhiều. Không ngạc nhiên làông nhìn thấy những hòn đá kỳ lạ ở nơi mànhững người khác chỉ thấy những hạt cát mộtmàu, và không chỉ tìm thấy, mà còn xây dựngtừ chúng toà lâu đài tuyệt đẹp.

Sau Newton, đã có nhiều con đường đãđược xây tới đại dương chân lý, đã tìm đượcnhững hòn đá và vỏ ốc tuyệt vời, nhưng đạidương chân lý vẫn mãi là vô bờ. Mỗi mộtngười có năng khiếu và khả năng tìm kiếmsẽ tìm được trong đó điều gì đó của mình.

Mơ ước của tuổi trẻ thường không thiếunhững ảo tưởng. Một trong những ảo tưởng

là đối với người mới bắt đầu còn vô số thờigian ở phía trước. Người ta thường lý luậnthế này: “Tôi còn chưa biết và chưa hiểu điềunày, nhưng tôi chẳng cần phải vội. Tôi còn trẻvà tôi còn kịp làm mọi thứ”. Trong thực tế,cho dù số phận cho chúng ta một cuộc sốngsáng tạo dài đến bao nhiêu, bạn cũng khôngthể kịp biết được một phần nhỏ kiến thức cầnthiết cho công việc, hơn nữa là thực hiện mọiđiều mà bạn có thể làm. Bạn dĩ nhiên là biếtnhững lời nói của Pavlov11: “Hãy nhớ rằngkhoa học đòi hỏi ở con người cả cuộc đời.Nếu như bạn có hai cuộc đời thì chúng cũngkhông đủ cho bạn” và “lúc nào cũng đủ dũngcảm để nói với mình: tôi không là gì cả”.

Tuổi trẻ của chúng ta là những năm thánghiệu quả nhất. Rất tiếc là chỉ khi đến già,chúng ta mới thực sự hiểu là không chỉ tuổitrẻ mà cả cuộc đời cũng trôi qua rất nhanh.Nhưng chính lúc trẻ, khao khát kiến thức vàham muốn khoa học thúc đẩy chúng ta làmviệc nhiều nhất. Thiếu điều này con đườngvào khoa học có thể nói là đã đóng kín.

Trong lời kêu gọi làm việc chứa đựng nhiềuđiều hơn là việc cha mẹ bắt con cái phải họctốt. Khoa học không cần việc nhớ cơ học cáckiến thức (điều này cũng không tốt ngay cảđối với học sinh phổ thông), mà là nắm bắtmột cách sáng tạo kiến thức và phương pháp.Và trên cơ sở sự nắm bắt đó, khả năng tựđặt câu hỏi và trả lời cho chúng, nhìn thấynhững điểm không rõ ràng ở chỗ mà mọingười không nhận thấy đây chính là điều sẽgiúp bạn tìm thấy hòn đá đẹp ở chỗ mà ngườikhác không nhìn thấy gì khác ngoài cát. Ởđây không đơn giản là sự may mắn, ở đâytrước hết là lao động và hàng loạt các thất bạimà chúng ta cần dũng cảm vượt qua.

Khối lượng kiến thực ở mọi lĩnh vực củakhoa học đều bao la, và không thể biết hếtđược tất cả. Không thể, ví dụ, biết một cáchchi tiết mọi thứ mà hiện nay các nhà vật lýđang nghiên cứu. Nhưng cần phải biết về

11Ivan Petrovic Pavlov (1849-1936) là nhà bác học người Nga, giải thưởng Nobel Y học năm 1904, nổi tiếng vớithí nghiệm về “phản xạ có điều kiện”.

18

những ý tưởng và sự kiện chính cả ở ngoàilĩnh vực chuyên môn của mình. Nhà khoahọc phải có kiến thức rộng, phải thực sự làmột con người tri thức. Những vấn đề củavăn hoá con người và vấn đề xã hội khôngđược là điều xa lạ đối với anh ta. Làm sao có

thể đủ thời gian cho tất cả những điều này?Điều này, dĩ nhiên là khó đối với mọi lứa tuổi,nhưng thời trẻ thì có nhiều thời gian và sứclực hơn, còn khả năng làm việc và chiều rộngcủa kiến thức sẽ đến theo năm tháng.

Dịch và giới thiệu: Trần Nam Dũng, ĐHKHTN-ĐHQG TpHCM

6

Lời xin lỗi muộn màng của chínhphủ Anh đối với một Nhà Toán học

Phạm Trà Ân (Viện Toán học)

Tối ngày 10 tháng 9 năm 2009, trêntrang Web của Phủ Thủ tướng nước Anh,thủ tướng Anh Gordon Brown, thay mặtchính phủ Anh, dã đưa ra lời xin lỗi đốivới Nhà Toán học Alan Turing (1912-1954) : "Đất nước chúng ta (nước Anh)đã mắc nợ quá nhiều Nhà toán học lỗi lạcAlan Turing. Chúng ta đã đối xử vô nhânđạo với Alan Turing, và tôi tự hào (?) làmình đã có thể chính thức đưa ra lời xinlỗi Alan Turing."

Alan Turing, Ông là ai ?

Alan Turing sinh ngày 23 tháng 6 năm1912, tại London, nước Anh, trong mộtgia đình viên chức nhỏ. Ngay từ hồi còn

bé, Turing đã biểu lộ là một tài năng toánhọc, đặc biệt rất thích giải những câuđố khó. Từ năm 1931- 1935, Turing theohọc tại Đại học Cambridge, ngành Toánvà đã tốt nghiệp với bằng danh dự. Năm1936, Ông vào nghiên cứu sinh tại Đạihọc Princeton, dưới sự hướng dẫn của GSAlonzo Church, và nhận bằng TS Toánhọc năm 1938. Khi Chiến tranh Thế giớiII nổ ra, Ông được huy động vào làm việctại Trung tâm Thám mã của Quân độiAnh, đóng trụ sở tại Bletchley Park, trongPhòng thám các bức điện mật của Hảiquân Đức. Bằng tài năng bẩm sinh đặcbiệt của mình, tại đây Ông đã sáng chếra nhiều kỹ xảo có thể dùng để bẻ khoácác hệ mật mã của hải quân Đức, trongđó nổi trội nhất là phương pháp nối cácmáy giải mã lại với nhau thành một bộmáy cơ - điện tử, có tên là máy "TuringBombe", để tìm ra công thức lập mã, gàiđặt trong máy Enigma, một máy lập mãcủa hải quân Đức.

Máy “Turing Bombe” dò tìm công thứcgài đặt trên một khối quay trong máyEnigma theo nguyên tắc sau: Để thámđược mã, máy cần có một bộ "hỗ trợ",

7

gồm một dòng chữ chưa mã hoá và mộtdòng đã mật mã tương ứng. Với mỗi côngthức giả định cài đặt trên khối quay, máyBombe thực hiện một chuỗi các suy luậnlôgic và dựa vào bộ mã, dùng các kết cấumạch điện tử đã được lắp đặt sẵn, máyBombe lùng tìm và phát hiện ra các mâuthuẫn. Nếu có mâu thuẫn xẩy ra, lập tứcmáy loại bỏ ngay công thức đã sinh ramâu thuẫn này, rồi lại tiếp tục lặp lại quátrình trên với một công thức khác, đượccoi là hợp lý hơn. Đa số các công thức càiđặt có thể có, nói chung đều gây nên mâuthuẫn và bị loại bỏ, chỉ còn lại một số ítcác công thức khả dĩ không dẫn đến mâuthuẫn, chúng sẽ được phát hiện và nghiêncứu chi tiết hơn. Trên cơ sở đó tìm đượccông thức cài đặt trong máy Enigma.

Máy Bombe

Máy Bombe đầu tiên của Turing đượclắp ráp vào ngày 18 tháng 3 năm 1940.Có đến hơn 200 máy Bombe như vậy vẫncòn hoạt động khi chiến tranh kết thúc.

Sau chiến tranh, ông về công tác tạiPhòng Thí nghiệm Vật lý Quốc gia, nhưngvẫn có chân trong bộ phận Bảo mật củachính phủ Anh. Tại Phòng Thí nghiệm Vậtlý Quốc gia, ông đã nghiên cứu thànhcông và tạo ra một trong những đồ ánđầu tiên của thế hệ máy tính có khả nănglưu trữ chương trình (theo kiến trúc VonNeumann). Nhưng đồ án này của ông đã

bị lãnh đạo cất vào ngăn kéo, không baogiờ được triển khai. Điều đó đã gây choông những thất vọng và bức xúc.

Năm 1952 ông bị kết án với tội danh đãcó những hành vi khiếm nhã nặng nề, saukhi ông tự thú đã có quan hệ đồng tínhluyến ái với một người đàn ông ở Manch-ester. Vào thời điểm này, tại Anh luyến áiđồng giới vẫn còn bị coi là phạm pháp.Ông bị xử tù treo và sử phạt bằng biệnpháp cưỡng bức tiêm hoóc môn (thựcchất là một hình thức thiến hoạn bằnghoá chất).

Sau khi tiêm hoocmon, ông có các thayđổi về tâm - sinh lý. Bắt đầu từ đó, ôngbị khủng hoảng tinh thần và đã dẫn đếncái chết của vào năm 1954. Cuộc điều travè cái chết của ông cho biết ông đã tự tửbằng cách ăn một quả táo có tẩm chất độcxyanua.

Alan Turing mất đi ở tuổi 41, cái "Tuổivàng" của một nhà khoa học kỹ thuật.Ông đã chết trong một thảm kịch hoàntoàn do sự ấu trĩ của loài người gây ra.

Thật đáng tiếc lắm thay!

Những đóng góp của A. Turing choToán học.

Đóng góp chính của Alan Turing choToán học nằm ở 3 lĩnh vực Lôgic Toán,Lý thuyết Thuật toán và Khoa học - Máytính.

Về Lý thuyết thuật toán, ông đã hìnhthức hóa khái niệm thuật toán và tínhtoán bằng một máy toán học, gọi là "MáyTuring”, một công cụ đơn giản và chínhtắc do ông sáng tạo ra. Ông đã chứngminh được rằng chỉ với các máy Turingđơn giản như vậy thôi, chúng lại có khảnăng tính toán bất cứ một vấn đề toánhọc nào, nếu vấn đề toán học này có

8

thể diễn tả được bằng một thuật toán.Trên cơ sở này, ông đã phát biểu "Luậnđề Church- Turing", một luận đề cho rằngmọi mô hình tính toán trực giác đều cókhả năng thấp hơn hay bằng khả năngcủa một máy Turing nào đó. Về ý nghĩa,luận đề Church-Turing cho phép ta đồngnhát khái niệm thuật toán trực giác vớikhái niệm thuật toán toán học (máy Tur-ing). Từ luận đề này, việc chứng minhkhông có thuật toán để giải một bài toánnào đó, được quy về chứng minh khôngcó máy Turing giải bài toán này.

Về Lôgic toán, trong bài viết nổi tiếngcủa ông với nhan đề “Các số tính đượcvà ứng dụng vào vấn đề lựa chọn” (OnComputable Numbers, with an Applica-tion to the Entscheidungsproblem), ôngđã tái dựng lại các kết quả của Kurt Godel(1931) về những hạn chế trong chứngminh và tính toán, bằng cách dùng côngcụ máy Turing thay cho công cụ số họcchính qui của Godel, một công cụ toánhọc rất phức tạp và trừu tượng.

Về Khoa học Máy tính, ông đã đưa rakhái niệm "Turing Test", nhằm trả lời câuhỏi: Máy móc có thể có ý thức và suy nghĩđược không? Đây là một cố gắng địnhnghĩa tiêu chuẩn cho một cái máy đượcgọi là "có tri giác". Ngày nay, các "TuringTest" được sử dụng trong ngành “ Trí tuệNhân tạo” của Công nghệ Thông tin.

Vì sao nước Anh lại mắc nợ đối với AlanTuring?

Như đã trình bầy ở phần trên, chính A.Turing là người đã có công sáng chế ramáy Turing Bombe, nhờ đó quân đồngminh đã giành được thế chủ động, tạora một bước ngoặt trong chiến tranh, vàgóp phần cực kỳ quan trọng, giúp nướcAnh và Đồng minh chiến thắng trong Thếchiến thứ II.

Một số sử gia quân sự đã cho rằng nhờgiải được mật mã Enigma mà Chiến tranhthế giớI II đã kết thúc sớm được hai năm.Để minh chứng cho lập luận này, các sửgia đã dẫn chứng lời Thủ tướng Anh Win-ston Churchil: “Nếu không có thành tựuphá được mã Enigma thì có lẽ Thống chếRommel, Tư lệnh quân đội Đức đóng ởBắc Phi, đã chiếm được Cairo (thủ đô Aicập) ngay từ năm 1942 và biến Địa TrungHải thành một cái ao nhà của nước Đức,từ đó chặn đường tiếp tế trên biển củađồng minh. Mặt khác các tầu ngầm Đứcsẽ cắt đứt tuyến hàng viện trợ từ Mỹ sangAnh và cuộc phản công ngày 6/6/1944(cuộc đổ bộ lên Normandy) sẽ phải hoãnlại tới năm 1946, và ngày chiến thắng củaThế chiến II chưa biết phải lùi đến nămnào. Thế nhưng may mắn làm sao, tấtcả những chuyện ấy đã không xẩy ra vìcác nhà khoa học của chúng ta đã pháđược mật mã Enigma, nhờ dó chúng tađã giành được thế chủ động và đã đánhbại lũ phát xít điên cuồng đã gây ra chiếntranh.”

Trong tuyên bố đăng trên Website số10, Thủ tướng Anh J. Brown cũng đã viết:“Nếu không có cống hiến xuất sắc của A.Turing, lịch sử Thế chiến thứ II có thể đãrất khác”.

Quả vậy, lấy nước Anh làm thí dụ. Nếuchiến tranh kéo dài thêm 2 năm nữa, thìrất có thể nước Anh đã không đứng vữngđược trước sự tấn công ồ ạt của khôngquân và hải quân Đức; mặt khác, thờigian 2 năm là đủ để cho nước Đức phátxít có được bom nguyên tử, khi đó ai màbiết được điều gì sẽ xẩy ra...?

Chính vì các lẽ đó mà Bà Kelsey Grif-fin, Giám đốc Viện Bảo tàng Công viênBletchley, đã đánh giá A. Turing là mộttrong những người Anh vĩ đại, ngang tầmvới Winston Churchill.

9

Năm 1999, trước thềm của một Thiênniên kỷ mới, Tạp chí Time, một tạp chíhàng đầu của Mỹ, khi bầu chọn lấy 100danh nhân có ảnh hưởng nhất đối với Thếkỷ XX, thì A. Turing đã có tên trong danhsách này.

Trong vòng tay của các bạn bè và đồngnghiệp.

Tất cả các tư liệu về máy Turing Bombevà về người đã sáng chế ra nó, đã được Cơquan tình báo Anh giữ kín trong suốt thờigian chiến tranh đã đành, nhưng ngay cảkhi chiến tranh đã kết thúc, theo lệnhcủa Churchil, toàn bộ các thiết bị từngđược chế tạo tại Bletchley đều được tháogiỡ hoặc phá huỷ, tất cả những người đãtừng làm việc tại Trung tâm này (khoảng12.000 người, trong đó có 3/4 là nữ), đềuphải tuyên thệ giữ bí mật về công việc củahọ trong chiến tranh. Cho mãi tới năm1989, tức là gần nửa thế kỷ sau, chínhphủ Anh mới cho phép giải tỏa các Hồ sơmật về chiến tranh Thế giới II, chúng tamới được biết về chiến công của A. Tur-ing, và cả về tấn thảm kịch đã xẩy ra đốivới A. Turing.

Ngay sau khi các thông tin về A. Turingđược tiết lộ, lập tức các bạn bè và đồngnghiệp của Ông tại khắp nuớc Anh dã cócác hoạt động nhằm đòi Chính phủ Anhphải chính thức đưa ra lời xin lỗi và khôiphục lại danh dự, cũng như công nhậncác công lao đóng góp trong chiến tranhcủa Alan Turing.

Sau đây là một số các hoạt động nhưvây:

- Ngày 23 táng 6 năm 2001, nhân kỷniệm ngày sinh của Turing, một bứctượng của Ông đã được đặt tại côngviên Sackville Park, thành phố Manch-ester.

- Kỷ niệm ngày mất của Ông, ngày 6tháng 7 năm 2004, một bia kỷ niệm đãđược dựng lên tại nơi ở trước đây củaÔng, Hollymeade, Wilslow.

- Mùa Hè năm 2004, Viện Khoa học AlanTuring (Alan Turing Institute) đượcsáng lập bởi UMIST và ĐH Manchester,đã đi vào hoạt động.

- Ngày 5 tháng 6 năm 2004, Hội LôgicAnh và Hội Nghiên cứu Lịch sử Toánhọc của Anh đồng tổ chức Lễ kỷ niệmvề "Cuộc đời và sự nghiệp của Alan Tur-ing" tại ĐH Manchester .

- Ngày 26 tháng 10 năm 2004, mộttượng đồng của A. Turing được khánhthành tại ĐH Surrey. Tượng diễn tả Tur-ing đang cầm sách đi trong Học việnnày.

- Có hẳn một Phong trào ký tên vào “Bảnkiến nghị” do nhà khoa học máy tínhnổi tiếng Graham-Cumming đề xướng,đòi Chính phủ Anh phải xin lỗi và khôiphục thanh danh cho A. Turing. Đến

10

nay đã có 30.805 người ký vào BảnKiến nghị này, trong đó có nhiều nhàhoạt động xã hội có uy tín, nhiều nhàkhoa hoc lớn, và nhiều nhà toán họcnổi tiếng.

- Hãng Holtsoft đã sản xuất ngôn ngữlập trình mang tên Turing, một ngônngữ dành cho người mới bắt đầu lậptrình và không có tương tác với phầncứng.

- Hiệp hội Máy tính (Association forComputing Machinery) đã lập Giảithưởng Turing. Giải được trao hàngnăm cho cá nhân có đóng góp xuất sắctrong lĩnh vực Khoa học - Máy tính. Đâylà giải thưởng lớn nhất và có uy tínnhất trong lĩnh vực Công nghệ Thôngtin, và thường được xem như một GiảiNobel trong lĩnh vực Khoa học Máytính.

Lời bạt

Trong ký ức của các nhà toán học ởkhắp mọi nơi trên toàn thế giới, Alan Tur-ing là một Nhà toán học lớn và là cha đẻcủa ngành Khoa học - Máy tính. Giờ đây,qua lời xin lỗi của ông Thủ tướng nướcAnh, chúng tôi được biết thêm về chiếncông của ông trong Thế chiến thứ II vàông xứng đáng là một người Anh hùng!

Chúng tôi đã ngưỡng mộ ông, ảnh củacụ được treo trong phòng họp lớn củaViện Toán học, bên cạnh các nhà toán họcnổi tiếng khác, bây giờ chúng tôi càngngưỡng mộ ông hơn, ông Alan Turing ạ!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

• 1. Wikipedia (The encyclopedia), Alan Tur-ing.

• 1.A short biography of Turing.http://www.turing.org.uk/bio/part1.html

• 1. Trang Web của Phủ thủ tướng Anh.http://www.number10.gov.uk

4email: [email protected]

14

Viện Nghiên cứu khoa học cao cấpIHES5

Nguyễn Việt Dũng (Viện Toán học)

Là một hiện tượng khá hiếm hoi ởPháp, Viện nghiên cứu cao cấp IHES làmột viện tư nhân, có định hướng nghiêncứu toán học và vật lý lý thuyết ở trìnhđộ cao. Viện được thành lập năm 1958bởi một doanh nhân mà sau này trởthành nhà toán học, ông Léon Motchan.Mục tiêu lúc bấy giờ là lập ra một Việnnghiên cứu của Pháp, tương đương vớiViện nghiên cứu cao cấp Princeton củaMỹ, nơi làm việc của những nhà khoa họcvĩ đại nhất như Albert Einstein. Motchanđã thành công trong việc nhận được sựủng hộ của Robert Oppenheimer, cha đẻcủa bom nguyên tử Mỹ nhưng sau đóđã chống lại bom khinh khí, Viện TrưởngViện Princeton từ 1947–1966.

Viện IHES tập hợp được các nhà nghiêncứu xuất sắc nhất thế giới, và hiện nay chỉcó 5 giáo sư trong biên chế cố định (per-manent): hai nhà vật lý Thibault Damourvà Nikita Nekrasov và ba nhà toán họcMaxim Kontsevich, Laurent Lafforgue vàMikhail Gromov. Ràng buộc duy nhất đốivới các giáo sư này là họ phải có mặtlàm việc tại IHES ít nhất 6 tháng mỗinăm. Ngân sách hàng năm của viện IHESvào khoảng 6 triệu Euros, trong đó nonmột nửa (2,8 triệu) là từ Bộ nghiên cứukhoa học Pháp. Các nước khác, chủ yếu làcác nước châu Âu đóng góp khoảng 20%ngân sách. Có thể kể ra đây sự đóng gópcủa Thủ tướng Bỉ, Viện hàn lâm khoa hocHà Lan, Bộ Nghiên cứu khoa học Anh.

Các nước như Đức, Mỹ, Trung Quốc, NhậtBản cũng có đóng góp tài chính cho IHES.

Các công ty lớn như Suez, Schlum-berger, EDF, France Télécom và CEA(Commissariat à l’énergie atomique)đóng góp khoảng 5% ngân sách hàngnăm. Phần ngân sách còn lại là do cácnguồn riêng của IHES. Một số cá nhâncũng có những tài trợ cho IHES, thườnglà 50, 100 hoặc 200 euros. Nhà thiết kếPhilippe Starck, một fan hâm mộ nhà vật

5Theo một số báo nước ngoài

15

lý Thibault Damour, đã tặng toàn bộ trụsở hội đồng đồng quản trị. Một nhà toánhọc trước đây nay là quản lý của một quỹđầu tư đóng góp cho IHES 9 triệu euros.

Tất cả có khoảng bốn mươi người ănlương của viện IHES. Trước hết là cácgiáo sư. Lương của họ là 78.000 eurosmỗi năm (sau khi đã trừ thuế), tức làtương đương với lương của một giáo sư ởtrường đại học danh giá của Pháp là Col-lège de France. Tuy mức lương này đã khálà cao, nhưng thực tế các giáo sư này còncó thể kiếm được gấp đôi, tức là khoảng150.000 euros mỗi năm nếu trong sáutháng còn lại họ đi dạy tại một đại họclớn ở Mỹ. Ngoài năm giáo sư này còn cónhững giáo sư mời, chẳng hạn như AlainConnes, giải thưởng Fields năm 1982.

Lương của ông là do trường Collège deFrance chi trả. Tại Collège de France, ônggiữ chức chủ nhiệm Ban giải tích và hìnhhọc. Các thực tập sinh sau tiến sỹ (post-doctorant) tại IHES cũng được Viện cấpchỗ ở.

Mô hình độc đáo này của viện IHES đãtrở thành ý tưởng cho nhiều ngành khác,đặc biệt là các ngành xã hội và nhân văn.Đó là trường hợp của Viện nghiên cứu caocấp tại Nantes, thành lập bởi Alain Sou-piaut, một chuyên gia về luật lao động.Viện này mới được khánh thành thángHai năm ngoái. Mục đích của nó là thiếtlập nên một cộng đồng các nhà khoa học.Một dự án khác cũng đang được nghiêncứu là dự án của nhà xã hội học kiêm phóthị trưởng Paris, ông Jean-Louis Missika.

Một vài thông tin về các giáo sư chính thức tại viện IHES.

Trong số 5 giáo sư chính thức đã có3 người gốc Nga: Mikail Gromov, MaximKontsevich và Nikita Nekrasov. Cả 5 giáosư này đều đã giành được những giảithưởng cao quý nhất trong lĩnh vực củamình.

Mikhail Gromov:- Giải thưởng Abel 2009- Giải thưởng Wolf, 1993- Giải thưởng Balzan, 1999- Giải thưởng Kyoto, 2002- Giải thưởng Nemmers 2004- Giải thưởng Bolyai 2005

16

- Giải thưởng Steel của Hội Toán học Mỹ,1997

Thibault Damour:- Giải thưởng Mergier-Bourdeix của ViệnHàn lâm Khoa học Pháp- Huân chương Einstein 1996- Huân chương Cecil F. Powell 2005

Nikita Nekrasov:- Giải thưởng Hermann Weyl 2004- Giải thưởng Jacques Hebrand 2004

Maxim Kontsevich:- Giải thưởng châu Âu của thành phốParis 1992- Giải thưởng Henri Poincaré 1997- Huân chương Fields 1998

- Giải thưởng Crafoord 2008

Laurent Lafforgue:- Giải thưởng Jacques Herbrand 2001- Giải thưởng Fields 2002- Giải thưởng nghiên cứu của Viện Clay.

Trung tâm hội nghị mang tên Mari-lyn & James Simons của Viện IHES lànơi diễn ra các hội nghị quốc tế, cácbài giảng, các báo cáo colloquium quantrọng. Tại tiền sảnh của Trung tâm nàytreo ảnh của một số nhà toán học, nhàvật lý đã có những đóng góp quan trọngtrong khoa học trong thời gian làm việctại IHES. Bên cạnh những tên tuổi lừngdanh như A. Grothendieck, M. Atiyah, A.Connes,. . . còn có ảnh của một nhà toánhọc trẻ Việt Nam, GS. Ngô Bảo Châu.

19

Dành cho các bạn trẻLTS: "Dành cho các bạn trẻ" là mục dành cho Sinh viên, Học sinh và tất cả các bạn trẻ yêuToán. Tòa soạn mong nhận được các bài viết hoặc bài dịch có giá trị cho chuyên mục.

Các số nguyên GaussNguyễn Chu Gia Vượng (Viện Toán học)

Aux sombres héros de l’amerqui ont su traverser les océans du vide

-Noir Désir-

Trong số học ở trình độ phổ thông trunghọc, chúng ta thỉnh thoảng bắt gặp các bàitoán về các số nguyên mà một lời giải (nếunhư không là duy nhất) có thể được trìnhbày ngắn gọn dựa vào các số phức. Để minhhọa cho nhận xét này, bạn đọc hãy thử sứcvới bài toán sau đây mà gợi ý sẽ được đưara ở cuối bài viết.

Bài tập 1. Cho p là một số nguyên tố. Hãyxác định phần dư của

∏p−1n=1(n

2+1) khi chiacho p.

Chính những bài toán như vậy đã thôithúc chúng tôi viết tài liệu này cũng nhưđem lại một niềm tin rằng những nội dungnày, ngoài việc đem lại những hiểu biếttoán học mới cho các em học sinh phổ


THÔNG TIN TOÁN HỌC

Tháng 3 Năm 2011 Tập 15 Số 1

20

thông, có thể giúp ích tích cực trong việcgiải quyết một số bài toán số học. Bài viếtnày giới thiệu một số tính chất số học củavành các số nguyên Gauss và một số ứngdụng. Nội dung của tài liệu này không yêucầu các kiến thức cơ sở đặc biệt nào ngoàimột số khái niệm cơ bản của trường sốphức. Bài viết vì thế hướng tới độc giả làcác em học sinh phổ thông trung học cũngnhư các bạn sinh viên yêu toán học.

Trong trình bày này, chúng tôi có thamkhảo từ nhiều nguồn khác nhau, trong đóảnh hưởng lớn nhất đến từ bài báo Thearithmetic of Gaussian integers của I. Gon-charov trong Kvant Selecta, Algebra andAnalysis, 1, Mathematical World, vol. 14.

1. Định nghĩa và các khái niệm cơ bản

Ta nhắc lại định nghĩa tập các số nguyênGauss

Z[i] = {a+ b i; a, b ∈ Z} ⊂ C,

trong đó C là trường các số phức và i2 =−1. Chú ý rằng ta có thể coi Z[i] là mộtvành con chứa Z của C. Điều này có nghĩalà, với các phép toán cộng và nhân quenthuộc trên các số phức, với mọi α,β ∈ Z[i],

• α+ β ,α− β ∈ Z[i];• αβ ∈ Z[i].

Việc kiểm tra các tính chất này là đơn giảnvà được để lại như bài tập.

Nếu z = x+ yi ∈ C, ta nhắc lại rằng liênhợp của z là số phức z định nghĩa bởi

z = x − yi ,

và mô-đun của z là số thực không âm chobởi công thức

||z||=p

zz =p

x2+ y2.

Về mặt hình học, nếu ta biểu diễn các sốphức bằng các điểm trên mặt phẳng tọa độ,mỗi số phức z = x + yi với điểm có tọa độ(x , y) thì mô-đun của z đo khoảng cách từ

điểm biểu diễn nó tới gốc tọa độ. Ngoài ra,phép lấy liên hợp giao hoán với các phép+,×:

z+ z′ = z+ z′, zz ′ = zz′

cũng như hàm mô-đun giao hoán với phépnhân ||zz ′||= ||z||||z′||.

Rõ ràng, tập các số nguyên Gauss là ổnđịnh dưới phép lấy liên hợp: nếu α ∈ Z[i]thì α ∈ Z[i]. Bây giờ, nếu như mô-đun củamột số nguyên thông thường chính là giátrị tuyệt đối của nó, nói riêng là một sốnguyên không âm, thì mô-đun của một sốnguyên Gauss nói chung không còn là mộtsố nguyên nữa, chẳng hạn ||1 + i|| =

p2.

Chính vì vậy, ta đưa ra khái niệm chuẩnthay thế cho khái niệm mô-đun, thuận tiệnhơn khi làm việc với số học của vành cácsố nguyên Gauss. Theo định nghĩa, chuẩncủa một số nguyên Gauss là bình phươngcủa mô-đun của nó, nói cách khác, nếuα= a+ b i∈ Z[i] thì

N(α) = αα= a2+ b2.

Ngay lập tức, ta có N : Z[i] → N, N(α) =0 ⇔ α = 0 và do phép lấy liên hợp giaohoán với phép nhân, hàm chuẩn cũng vậy.Ta nói rằng hàm chuẩn có tính chất nhân:

N(αβ) = N(α)N(β).

Nhận xét 1.1. Với α= a+b i,β = c+di , cácđẳng thức N(αβ) = N(α)N(β) và N(αβ) =N(α)N(β) lần lượt cho ta các đẳng thức đẹpđẽ quen thuộc sau

(1) (ac − b d)2+(ad + b c)2 = (a2+ b2)(c2+d2);

(2) (ac + b d)2+(ad − b c)2 = (a2+ b2)(c2+d2).

2. Quan hệ chia hết, phần tử khảnghịch và phần tử bất khả quy

Với hai số nguyên Gauss α và β , ta nóirằng α là một ước của β hay β là bội củaα, kí hiệu là α |Z[i] β , nếu tồn tại γ ∈ Z[i]

21

sao cho αγ = β . Khái niệm này mở rộngkhái niệm chia hết quen thuộc trên Z theonghĩa sau: với mọi a, b ∈ Z, a | b (trong Z)khi và chỉ khi a |Z[i] b. Chính vì thế, từ bâygiờ ta sẽ viết α | β thay cho α |Z[i] β .

Một số nguyên Gauss được gọi là khảnghịch nếu là ước của 1, nói một cáchkhác, nếu 6= 0 và sao cho nghịch đảo trongC cũng là một số nguyên Gauss. Chú ý rằngdo 1 là ước của mọi số nguyên Gauss, mộtphần tử là khả nghịch nếu và chỉ nếu là ướccủa mọi số nguyên Gauss. Tập Z[i]× cácphần tử khả nghịch của Z[i] được miêu tảnhư sau.

Mệnh đề 2.1. Tập các phần tử khả nghịchcủa Z[i] là

Z[i]× = {±1,±i}= {α ∈ Z[i]; N(α) = 1}.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử α khả nghịchvà α−1 ∈ Z[i] là nghịch đảo của nó.Ta có N(α)N(α−1) = N(1) = 1. DoN(α),N(α−1) ∈ Z>0 nên ta phải có N(α) =N(α−1) = 1. Ngược lại, nếu N(α) = 1 thìαα = 1 nên α là nghịch đảo của α. Cuốicùng, nhận xét rằng N(a+b i) = a2+b2 = 1kéo theo (a, b) = (±1,0) hoặc (a, b) =(0,±1), nói cách khác a + b i= ±1 hoặc±i. �

Bài tập 2. Từ định nghĩa Z[i]× = {α ∈Z[i];α−1 ∈ Z[i]} hãy tìm lại kết quả trên(không dựa vào hàm chuẩn).

Ta nói hai số nguyên Gauss α,β là liênkết với nhau, kí hiệu là α∼ β , nếu α | β vàβ | α. Hai số nguyên Gauss là liên kết vớinhau khi và chỉ khi sai khác với nhau bằngphép nhân với một phần tử khả nghịch.

Bài tập 3. Tìm các liên kết của

(1) 1+ i;(2) 1+ 2i, 1− 2i.

Cuối cùng, có lẽ khái niệm quan trọngnhất trong quan hệ chia hết là về các phần

tử bất khả quy, khái niệm đóng vai tròtương tự như các số nguyên tố trong vànhsố nguyên. Ta nói α ∈ Z[i] là bất khả quynếu α 6= 0,α không khả nghịch và nếuα = βγ thì hoặc β khả nghịch (khi đóγ ∼ α) hoặc γ khả nghịch (khi đó β ∼ α).Nói một cách khác, một số nguyên Gauss làbất khả quy nếu 6= 0 và không có các ướcthực sự nào. Lưu ý rằng nếu a ∈ Z là bấtkhả quy trong Z[i] thì |a| là một số nguyêntố thông thường (bạn đọc tự kiểm tra sựkiện đơn giản này). Tuy nhiên, điều ngượclại là không đúng, chẳng hạn 2 không phảilà một phần tử bất khả quy của Z[i] bởi vì2= i(1+ i)2. Ta sẽ nghiên cứu các phần tửbất khả quy một cách chi tiết hơn.

3. Tính Euclid và Định lý cơ bản của sốhọc của vành Gauss

Ta có kết quả bản lề sau.

Mệnh đề 3.1 (Phép chia Euclid trên vànhcác số nguyên Gauss). Cho α,β ∈ Z[i] vớiβ 6= 0. Tồn tại các số nguyên Gauss µ,ρ saocho α= βµ+ρ và N(ρ)< N(β).

Chứng minh. Đặt αβ= x + yi với x , y ∈ R.

Trong mặt phẳng phức C với trục tung Rivà trục hoành R, tập các số nguyên Gausschính là tập các điểm có tọa độ nguyên. Tachọn µ ∈ Z[i] là một điểm tọa độ nguyêngần x + yi nhất. Dễ thấy khi đó khoảngcách giữa µ và x + i y không vượt quá mộtnửa của độ dài đường chéo một hình vuôngđơn vị, nghĩa là ≤

p2

2, nói riêng luôn nhỏ

hơn 1. Điều này lại có nghĩa là N(αβ−µ)<

1. Do đó N(α − βµ) = N�

β�

αβ−µ��

=N(β)N(α

β−µ)< N(β). �

Nhận xét 3.2. Cặp β ,γ như trong Mệnh đềtrên nói chung là không duy nhất.

22

Ví dụ 3.3. Ta minh họa Mệnh đề 3.1 vớiα= 5− 8i,β = 7+ 3i. Ta có

5− 8i

7+ 3i=(5− 8i)(7− 3i)(7+ 3i)(7− 3i)

=11

58−

71

58i.

Số nguyên Gauss gần nhất tới 1158− 71

58i là

−i. Ta có thể lấy thương của phép chia Eu-clid là µ=−i, khi đó ta nhận được phần dưρ = α− βµ= 2− i. Đẳng thức

8− 5i = (7+ 3i)(−i) + (2− i),

là một phép chia Euclid 8− 5i cho 7+ 3i.

Bài tập 4. Tìm tất cả các phép chia Euclid αcho β với

(1) α= 5,β = 2;(2) α= 4+ 3i,β = 2+ i.

Kết quả trên cho thấy sự tồn tại củathuật toán Euclid trên vành Gauss. Nhắc lạirằng thuật toán này áp dụng cho một cặpα,β ∈ Z[i],β 6= 0 cho phép ta tìm đượcước chung lớn nhất δ của α,β theo nghĩasau

(1) δ | α,δ | β;(2) Với mọi δ′ sao cho δ′ | α,δ′ | β thì hoặc

δ′ liên kết với δ hoặc N(δ′)< N(δ).

Ước chung lớn nhất của hai số nguyênGauss (mà sự tồn tại được nêu ra ở trên) làkhông duy nhất. Nếu δ là một ước chunglớn nhất của α,β thì mọi δ′ ∼ δ cũng làmột ước chung lớn nhất và tập {δ′;δ′ ∼ δ}là tập các ước chung lớn nhất của α,β . Hơnthế nữa, thuật toán Euclid cũng đem lại haiphần tử µ,ν ∈ Z[i] sao cho

µα+ νβ = δ

Đẳng thức này được biết đến dưới tên gọiđẳng thức Bézout.

Ta nói rằng hai số nguyên Gauss 6= 0 lànguyên tố cùng nhau nếu 1 là một ướcchung lớn nhất của chúng.

Ví dụ 3.4. Ta lấy lại α = 8− 5i,β = 7+ 3inhư ở ví dụ trên. Thuật toán Euclid cho cặp

(α,β) là các phép chia Euclid như sau. Trướchết, ta thực hiện một phép chia Euclid 8−5icho 7+ 3i. Như giải thích ở trên, ta có thểlấy 8− 5i = (7+ 3i)(−i) + (2− i). Bây giờthực hiện một phép chia Euclid 7 + 3i cho2− i. Tương tự, ta có thể chọn

7+ 3i = (2+ 3i)(2− i) + (−i).

Và cuối cùng phép chia Euclid 2− i cho (−i)tất nhiên là một phép chia với phần dư = 0vì −i là một phần tử khả nghịch. Cụ thể,2− i = (1+ 2i)(−i) + 0. Như vậy, phần dưcuối cùng 6= 0 trong thuật toán Euclid là −ivà do đó −i là một ước chung lớn nhất của8− 5i và 7+ 3i. (Suy ra 8− 5i và 7+ 3i lànguyên tố cùng nhau.) Để tìm cặp số nguyênGauss thỏa mãn đẳng thức Bézout ta dựavào các phép chia trong thuật toán Euclid ởtrên. Ta có

−i = 1(7+ 3i) + (−2− 3i)(2− i)

= (7+ 3i) + (−2− 3i).

(1(8− 5i) + i(7+ 3i))

= (7+ 3i)(1+ (−2− 3i)i)

+(8− 5i)(−2− 3i)

= (7+ 3i)(4− 2i) + (8− 5i)(−2− 3i).

Bài tập 5. Cho hai số nguyên thông thườnga 6= 0, b 6= 0. Chứng minh rằng a, b nguyêntố cùng nhau như hai số nguyên khi và chỉkhi nguyên tố cùng nhau trong vành các sốnguyên Gauss.

Tính Euclid của vành Z[i] cho ta mộttrường hợp đặc biệt của bổ đề Gauss.

Bổ đề 3.5. Cho α,β ,γ là các số nguyênGauss với α bất khả quy. Nếu α | βγ thì α | βhoặc α | γ.

Chứng minh. Giả sử α - β . Ta biết rằngthuật toán Euclid cho bộ β ,α (điều kiệnα bất khả quy đảm bảo α 6= 0) cho ta ướcchung lớn nhất δ của β ,α cùng với các sốnguyên Gauss µ,ν sao cho δ = βµ + αν .Do δ | α và α bất khả quy theo giả thiết,

23

δ hoặc là một phần tử khả nghịch hoặc làmột liên kết của α. Nhưng δ không thể làmột liên kết của α vì khi đó ta có α | δ | β .Như vậy δ là một phần tử khả nghịch. Tasuy ra γ = δ−1γβµ + δ−1γαν . Vì α | βγnên đẳng thức này kéo theo α | γ. �

Như một hệ quả của sự tồn tại của phépchia Euclid trên vành các số nguyên Gauss,ta có Định lý cơ bản của số học cho vànhZ[i] như sau.

Định lý 3.6 (Định lý cơ bản của số học chovành Gauss). Mọi số nguyên Gauss α 6= 0đều có thể được viết dưới dạng

α= εγ1 · · ·γn

trong đó ε là một phần tử khả nghịch,γ1, . . . ,γn là các phần tử bất khả quy (khôngnhất thiết phân biệt, thậm chí không nhấtthiết đôi một không liên kết). Cách phântích này là duy nhất theo nghĩa sau: nếuα = ε′δ1 · · ·δm là một phân tích tương tựcủa α thì m = n và tồn tại một hoán vị σtrên tập {1,2, . . . , n} sao cho với mọi i, ta cóδi ∼ γσ(i).

Chứng minh. Sự tồn tại. Ta tiến hành quynạp theo N(α). Trường hợp N(α) = 1 làtầm thường vì khi đó α là một phần tử khảnghịch. Giả sử phân tích như vậy tồn tạivới mọi β ∈ Z[i] sao cho N(β) < k vớik > 1 là một số nguyên dương nào đó và αlà một số nguyên Gauss với N(α) = k. Nếuα là một phần tử bất khả quy thì bài toánkhông có gì phải chứng minh. Giả sử α làkhả quy, viết α= µν với µ,ν là các phần tửkhông khả nghịch. Do N(α) = N(µ)N(ν)nên 1 < N(µ),N(ν) < k. Áp dụng giả thiếtquy nạp cho µ và ν ta nhận được một phântích thỏa mãn các yêu cầu của định lý.

Tính duy nhất. Đây là một hệ quả quenthuộc của tính Euclid. Nếu α là một phầntử khả nghịch thì bài toán là tầm thường.Giả sử α không khả nghịch. Không mấttổng quát, ta có thể viết một phân tích ra

tích các phần tử bất khả quy dưới dạngα = γ1γ2 · · ·γn, với γi là các phần tử bấtkhả quy, không nhất thiết đôi một khôngliên kết. Chú ý rằng phần tử khả nghịchcủa phân tích nguyên gốc được hấp thụ vàomột trong các phần tử bất khả quy.

Giả sử ta có một phân tích khác α =δ1 · · ·δm. Áp dụng Bổ đề 3.5 ở trên, từ đẳngthức

γ1 · · ·γn = δ1 · · ·δm

ta suy ra γ1 liên kết với một trong các phầntử γi nào đó. Thật vậy, do γ1 | δ1 · · ·δm,tồn tại i sao cho γ1 | δi . Thế nhưng δi cũnglà một phần tử bất khả quy nên ta phải cóγ1 ∼ δi . Bây giờ, chia cả hai vế của đẳngthức γ1 · · ·γn = δ1 · · ·δm cho γ1 ta nhậnđược một đẳng thức tương tự với độ dài củaphân tích ở mỗi vế giảm đi 1. Tiến hànhliên tiếp như vậy ta dễ dàng nhận đượcđiều cần chứng minh. �

Nhận xét 3.7. Định lý cơ bản của số họctrên Z[i] dễ dàng cho ta một công thức đểtính ước chung lớn nhất và bội chung nhỏnhất (mà định nghĩa hoàn toàn giống nhưđối với các số nguyên thông thường). Tuynhiên, trong thực tế, đây thường không phảilà cách tốt nhất để tìm các đại lượng này.

Bài tập 6. Bài tập sau mở rộng Bổ đề 3.5.Cho α,β ,γ là các số nguyên Gauss sao choα | βγ. Chứng minh rằng nếu α,β nguyêntố cùng nhau thì α | γ.

4. Các phần tử bất khả quy của vànhGauss

Định lý cơ bản của số học cho vành Z[i]mà ta đã thiết lập ở trên cho thấy sự cầnthiết của việc nghiên cứu các phần tử khảnghịch và các phần tử bất khả quy của vànhnày. Nhắc lại rằng các phần tử khả nghịchđã được miêu tả tại Mệnh đề 2.1. Đối vớicác phần tử bất khả quy, trước hết ta có kếtquả sau.

24

Mệnh đề 4.1. Cho γ ∈ Z[i] là một phần tửbất khả quy của Z[i]. Tồn tại duy nhất mộtsố nguyên tố p ∈ Z sao cho γ | p.

Chứng minh. Ta có γ | γγ= N(γ). Như vậy,theo Bổ đề 3.5 γ là ước của một ước nguyêntố p nào đó của N(x). Số nguyên tố p nhưvậy là duy nhất. Thật vậy, nếu tồn tại mộtsố nguyên tố q 6= p sao cho γ | q. TheoĐịnh lý Bezout cho các số nguyên, ta biếtrằng tồn tại các số nguyên a, b sao choap + bq = 1. Do đó γ | 1, mâu thuẫn vớigiả thiết γ bất khả quy. �

Nhận xét 4.2. Mệnh đề trên, đơn giảnnhưng rất sâu sắc, nói rằng mọi phần tửbất khả quy của Z[i] đều nằm trên một sốnguyên tố nào đó. Đây là một miêu tả banđầu các phần tử bất khả quy của Z[i].

Theo Mệnh đề 4.1 và Định lý 3.6, việcmiêu tả các phần tử bất khả quy của Z[i]tương đương với việc miêu tả các nhân tửbất khả quy của các số nguyên tố thôngthường p trong vành Z[i]. Ta bắt đầu vớip = 2.

Mệnh đề 4.3. Các ước bất khả quy của 2trong Z[i] là 1 + i và các phần tử liên kếtvới nó, nghĩa là {±1± i}.

Chứng minh. Ta có 2 = (1+ i)(1− i) nên1+ i | 2 cũng như các phần tử liên kết với1 + i, nghĩa là ±1 ± i. Mặt khác 1 + i làbất khả quy vì N(1+ i) = 2 là nguyên tố.Điều này được suy ra từ nhận xét đơn giảnnhưng hữu hiệu sau. �

Bổ đề 4.4. Cho α ∈ Z[i] sao cho N(α) làmột số nguyên tố. Thế thì α là một phần tửbất khả quy.

Chứng minh. Thật vậy, nếu α = βγ thìN(β)N(γ) = N(α) là một số nguyên tố,ta suy ra N(β) = 1 hoặc N(γ) = 1,nghĩa là một trong hai phần tử β ,γ là khảnghịch. �

Bài tập 7. Để minh họa cho sự tiện íchcủa kết quả trên (và sự thuận tiện của hàmchuẩn), bạn đọc chỉ dựa vào định nghĩa, hãychứng minh 1+i, 2+i là các số nguyên Gaussbất khả quy.

Với các số nguyên tố p lẻ, ta chia ralàm hai trường hợp p ≡ 1 (mod 4) và ≡ 3(mod 4).

Mệnh đề 4.5. Nếu p là một số nguyên tố≡ 3 (mod 4) thì p là một phần tử bất khảquy của Z[i].

Chứng minh. Giả sử p là khả quy. Viết p =αβ với α,β là các phần tử không khảnghịch, như vậy N(α),N(β) > 1. Từ tínhnhân của chuẩn

N(α)N(β) = N(p) = p2

và do N(α), N(β) > 1 ta suy ra N(α) =N(β) = p. Viết α = a + b i, a, b ∈ Z thếthì a2 + b2 = p ≡ 3 (mod 4), nhưng đồngdư này rõ ràng không thể xảy ra. Như vậyp là một phần tử bất khả quy của Z[i]. �

Mệnh đề 4.6. Giả sử p là một số nguyên tốvà p ≡ 1 (mod 4).

(1) Tồn tại duy nhất một bộ nguyên dương(a, b), chính xác tới thứ tự, sao cho a2 +b2 = p;

(2) Các ước bất khả quy của p trong Z[i] gồma + b i, a − b i(với a, b như trên) và cácphần tử liên kết với chúng.

Để minh họa, số nguyên tố p = 5 có thểviết duy nhất dưới dạng tổng của hai sốchính phương 5 = 12 + 22. Số nguyên tố 5không là bất khả quy trong Z[i] mà có haiước bất khả quy 1+2i, 1−2i. Có nghĩa là 5có 8 ước bất khả quy gồm các phần tử liênkết với 1+2i, nghĩa là {1+2i,−1−2i,−2+i, 2− i}, và các phần tử liên kết với 1− 2i,nghĩa là {1− 2i,−1+ 2i, 2+ i,−2− i}.

Ta nhắc lại kết quả sau.

25

Bổ đề 4.7 (Lagrange). Cho p là một sốnguyên tố ≡ 1 (mod 4). Tồn tại một sốnguyên n sao cho p | n2+ 1.

Chứng minh. Thật vậy, đặt p = 4k + 1.Theo Định lý Wilson ta có

(4k)!≡−1 (mod p).

Mặt khác ta có

(4k!) = (1 · 2 · · ·2k)((2k + 1) · (2k +2) · · · (4k)) ≡ (1 · 2 · · ·2k)((−2k)(−2k +1) · · · (−1)) ≡ (−1)2k(1 · 2 · · ·2k)2 ≡ (2k!)2

(mod p). �

Chứng minh Mệnh đề 4.6. Theo Bổ đề La-grange, tồn tại một số nguyên n sao chop | n2 + 1. Như vậy, nếu xét trong vànhGauss, p | (n+ i)(n− i). Tuy nhiên

p - n+ i, p - n− i

(vì np± 1

pi /∈ Z[i]). Từ đó suy ra p không

phải là một phần tử bất khả quy. Gọi a +b i∈ Z[i] là một ước bất khả quy của p. Rõràng liên hợp a− b icũng là một ước của p(chỉ cần lấy liên hợp hai vế của một phântích của p ra tích các phần tử bất khả quytrong Z[i]).

Ta sẽ chỉ ra a+ b i, a− b ilà các ước bấtkhả quy duy nhất (sai khác phép liên kết)của p.

Thật vậy giả sử c+di (và do đó c−di ) làmột ước bất khả quy của p không liên kếtvới a+ b i, a− b i. Ta suy ra

(a+ b i)(a− b i)(c+ di )(c− di ) | p

(trong Z[i]). Điều này dẫn đến

(a2+ b2)(c2+ d2) | p

(trong Z[i], hay một cách tương đương,trong Z), nhưng đây là một điều vô lý. �

Nhận xét 4.8. Khẳng định đầu tiên củaMệnh đề 4.6 được biết đến dưới tên gọi Địnhlý Fermat.

Kết hợp các Mệnh đề 4.3, 4.5 và 4.6 tathu được kết quả sau.

Định lý 4.9. Các phần tử bất khả quy củaZ[i] gồm

(1) 1+ i và các phần tử liên kết của nó, nghĩalà {±1± i};

(2) Các số nguyên tố p ≡ 3 (mod 4) vàcác phần tử liên kết của nó, nghĩa là{±p,±pi };

(3) Hai nhân tử bất khả quy a + b i, a − b itrong phân tích ra tích các nhân tử bấtkhả quy của một số nguyên tố p ≡ 1(mod 4) và các phần tử liên kết của nó.Các số (a, b) có thể được đặc trưng như làbộ số nguyên duy nhất, chính xác tới dấuvà tới thứ tự thỏa mãn a2+ b2 = p.

Bài tập 8. Hãy tìm tất cả các biểu diễn αdưới dạng α= εγ1γ2 · · ·γs với ε là một phầntử khả nghịch, γi là các phần tử bất khả quyvới α là các số nguyên Gauss sau đây

(1) 1, i, 2, 3, 4;(2) 1+ i, 3+ 2i.

Bài tập 9. Tìm ước chung lớn nhất và bộichung lớn nhất (sai khác một phần tử khảnghịch) của 5− 36i và 22− 20i bằng

(1) Thuật toán Euclid;(2) Phân tích ra tích các nhân tử bất khả quy.

Bài tập 10. Cho một số nguyên dương n.Chứng minh rằng n có thể biểu diễn dướidạng tổng của hai số chính phương khi vàchỉ khi trong phân tích ra thừa số nguyên tốcủa n, các ước nguyên tố ≡ 3 đều có lũy thừachẵn.

Bài tập 11. Cho a, b là hai số nguyênnguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng mọiước (nguyên dương) của a2+b2 đều có dạngc2 + d2 với c, d là các số nguyên nguyên tốcùng nhau.

(còn nữa)

tong hop

Documents