DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartman za matematcke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS

TOPOLOGIJA( pismeni deo ispita,januar 2015)

1. Data je kolekcija T = {U ⊆ X : U = U ∪ {c, d}} ∪ {∅}, skupa X ,gde su c, d razlicitielementi skupa X.

(a) Dokazati da je T topologija na skupu X.

(b) Ispitati da li je X Hausdorfov prostor.

(c) Ispitati da li je X povezan prostor.

(d) Naci pravi gust podskup od X.

10+10+10+10=40

2. Neka je dato preslikavnje f : (X, TX) −→ (Y, TY ) i neka je B ⊆ TY baza prostora (Y, TY )

(a)Ako je a ∈ X i ako

(∀B ∈ B)f(a) ∈ B =⇒ a ∈ f−1(B)

dokazati da je tada preslikavanje f neprekidno u a.

(b)Ako je b ∈ X tacka u kojoj preslikavanje f nije neprekidno dokazati da tada

(∃B0 ∈ B) tako da b ∈ f−1(B0) \ intf−1(B0)

10+10=20

3. Za bilo koje podskupove A,B, U topoloskog prostora X, gde je U otvoren skup,dokazatida vazi:

(a)A = A ∪ A′, U \ ∂U = U

(b)A′ ∪B′ = (A ∪B)′, ∂(A ∪B) ⊆ ∂A ∪ ∂B

10+10=20

4. Neka je X T1-topoloski prostor.

(a) Ako je x tacka nagomilavanja skupa A ⊆ X ,dokazati da tada svaka okolina tacke xsadrzi beskonacno mnogo elemenata skupa A .

(b) Ako je X prebrojivo kompaktan prostor dokazati da je tada i sekvencijalno kompaktan.

10+10=20

∑= 100

broj bodova· · · = · · ·ocena/55-64=6/65-74=7/75-84=8/85-94=9/95-100=10