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TÓPICOS DE PROPAGAÇÃO GUIADA
por
Carlos Varandas1 e Horácio Fernandes2
1Professor Catedrático do IST 2Professor Auxiliar do IST
IST, Abril de 2001
1. INTRODUÇÃO
Um dos problemas fundamentais da Física Experimental e da Engenharia Electrotécnica consiste na
transmissão de energia electromagnética entre dois pontos, os quais podem estar separados por
alguns centímetros ou por milhares de kilómetros.
Esta transmissão deve ser feita em condições próximas das ideais, ou seja, sem perdas, sem
distorção e sem criar ruído na vizinhança do meio transmissor da energia electromagnética.
As soluções encontradas pelos físicos e engenheiros dependem essencialmente da frequência dos
sinais. Para frequências até alguns Gigahertzs, a transmissão da energia pode ser feita utilizando
dois condutores paralelos separados por um isolante (cabo eléctrico) ou por um condutor central
separado por um isolante de um grande número de condutores muito finos que rodeiam o condutor
central (cabo coaxial). Esta última solução é particularmente indicada na banda das
radiofrequências e para sinais de baixa potência. Os sinais de radiofrequência de potência elevada
são, normalmente, transmitidos por linhas de transmissão de energia. No caso das chamadas micro-
ondas (frequências entre 3 e 150 GHz), a energia electromagnética é transmitida utilizando um
único condutor oco (guia de ondas), com secção transversal rectangular (guia rectangular) ou
circular (guia cilíndrico) (Fig. 1). Os sinais de frequências muito elevadas (ondas sub-milimétricas e
ópticas) são transmitidas utilizando meios dieléctricos, de que as bem conhecidas fibras ópticas
constituem um exemplo típico.
Num laboratório de Física dos Plasmas, a propagação guiada assume importância particular nas
ligações dos emissores de micro-ondas às antenas emissoras e das antenas receptoras à electrónica
de tratamento dos sinais. Recordemos que as micro-ondas podem ser usadas na criação, no
aquecimento e no diagnóstico de um plasma bem como na geração não-indutiva de corrente de
plasma de um tokamak.
b
a a
Figura 1 – Guias rectangular e cilíndrico
1
2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
As equações de Maxwell
tDJHrot
∂∂
+= (1)
tBErot
∂∂
−= (2)
ρ=Ddiv (3)
0=Bdiv (4)
conduzem num meio sem perdas e sem fontes à seguinte equação
012
2
2 =∂∂
−tU
vUlap (5)
onde U representa indistintamente os campos eléctrico ou magnético e em que:
εµ12 =v (6)
sendo ε e µ a constante dieléctrica e a permeabilidade magnética do meio.
Se o meio for infinito, a equação (5) admite soluções do tipo onda plana electromagnética
)(),( 0kztjeUtzU −= ω (7)
em que
vk=ω (8)
A análise desta equação de dispersão permite concluir que todas as frequências se podem
propagar com velocidades de fase (vf) e de grupo (vg) iguais a v.
Como veremos mais tarde, quando a propagação está limitada ao interior de um condutor
metálico, nem todas as frequências se podem propagar e o meio passa a ser dispersivo, ou seja, as
velocidades de fase e de grupo passam a depender da frequência da onda.
Estas alterações nas características da propagação resultam das condições fronteira a que os
campos eléctrico e magnético têm de obedecer na superfície do condutor. De facto, as equações de
Maxwell obrigam a que as componentes tangencial do campo eléctrico (Et) e normal do campo
magnético (BN) sejam nulas na superfície de um condutor perfeito1.
0== Nt BE (9)
1 Os condutores de ouro, prata, cobre e bronze podem ser considerados, na prática, como condutores perfeitos.
2
Este resultado significa que apenas as ondas electromagnéticas cujos campos eléctrico e
magnético verificam a condição (9) se propagam no guia de ondas.
Na propagação guiada é costume considerar três tipos de modos:
• Transversais Eléctricas (TE), caracterizados pelo facto do campo eléctrico existir no plano
perpendicular à direcção de propagação.
• Transversais Magnéticos (TM), quando é o campo magnético que não tem componente
segundo a direcção de propagação.
• Transversais Electromagnéticas (TEM), quando os campos eléctrico e magnético existem no
plano normal à direcção de propagação.
Como já sabemos, as ondas planas electromagnéticas são puramente transversais. Ou seja, em
propagação guiada apenas os modos TEM admitem soluções do tipo onda plana electromagnética.
No caso dos modos TE e TM existe sempre um campo (o magnético nos modos TE e o eléctrico
nos modos TM) que tem componente segundo a direcção de propagação.
3. GUIA RECTANGULAR
3.1. Introdução
Consideremos o guia rectangular e o sistema de coordenadas cartesianas representados na Fig. 2.
Figura 2 – Secção transversal de um guia rectangular
Os campos dos modos que vamos estudar são do tipo
)(),,,(
zzktjeUtzyxU
−=
ω (10)
onde kz representa o número de onda segundo a direcção de propagação: o eixo dos Zs.
3
3.2. Modos Transversais Eléctricos 3.2.1. Introdução
Vamos admitir que o campo eléctrico apenas tem componentes nas direcções normais à direcção de
propagação
yy
xx uEuEE rr
+= (11)
Nestas condições, a equação vectorial (5) conduz às seguintes duas equações escalares
2
2
22
2
2
2
2
2 1tE
vzE
yE
xE xxxx
∂∂
=∂
∂+
∂∂
+∂
∂ (12)
2
2
22
2
2
2
2
2 1tE
vzE
yE
xE yyyy
∂∂
=∂
∂+
∂∂
+∂
∂ (13)
Para facilitar a resolução da equação (12) vamos admitir que:
)()()(
zzktjeygxfE x
−=
ω (14)
Substituindo (14) em (12) e simplificando obtemos:
fgjv
gfjkdy
gdfg
dxfd 2
22
22
2
2
2
)(1)( ω=−++ (15)
que podemos escrever na forma
011 22
2
2
2
2
=−
++ zk
vdygd
gdxfd
fω (16)
Esta equação é do tipo
=+ )()( yGxF constante = C (17)
pelo que a podemos decompor em duas equações
1)( CxF = (18a)
2)( CyG = (18b) ligadas através da condição
(19) CCC =+ 21
que, como veremos mais tarde, assume uma papel determinante na dedução da relação de dispersão
destes modos neste guia rectangular.
4
Nestas condições, a equação (16) conduz a
22
21xk
dxfd
f−= (20a)
2
2
21yk
dygd
g−= (20b)
com
2222
−=−−
vkkk zyx
ω (21)
As equações (20) são do tipo oscilador harmónico simples, pelo que admitem as seguintes
soluções:
xksenBxkAxf xx += cos)( (22)
yksenDykCyg yy += cos)( (23)
em que A, B, C, e D, são constantes de integração cujos valores são determinados a partir das
condições fronteira:
Ex = 0 para y=0 e y=b (em qualquer x) (24)
e
Ey = 0 para x=0 e x=a (em qualquer y)
Substituindo (22) e (23) em (14), obtemos
)(
)cos()cos(),,,(zzktj
eyksenDykCxksenBxkAtzyxE yyxxx
−++=
ω (25)
A condição significa que 0),,0,( =tzxE x
0)(
)cos( =−
+zzktj
eCxksenBxkA xx
ω (26)
ou seja C = 0 (27)
A condição significa que 0),,,( =tzbxE x
0)(
)cos( =−
+zzktj
ebksenDxksenBxkA yxx
ω (28)
donde concluímos que
5
0=bksen y (29)
o que conduz a πnbk y = (30)
ou seja
bnk yπ
= (31)
Nestas condições
)(
)cos(),,,(zzktj
eyksenDxksenBxkAtzyxE yxxx
−+=
ω (32)
Vamos agora calcular a componente do campo eléctrico segundo o eixo dos YY’. Podiamos
resolver a equação (13) utilizando o mesmo método que foi usado para a equação (12). Contudo, e
para demonstrar a riqueza das equações de Maxwell, vamos utilizar a equação
Div E = 0 (33a)
que podemos escrever na forma
0=∂
∂+
∂∂
+∂
∂z
Ey
Ex
E zyx
(33b)
Como Ez = 0
0=∂
∂+
∂∂
yE
xE yx
(34a)
ou seja
x
Ey
E xy
∂∂
−=∂
∂ (34b)
Substituindo (29) em (31b) obtemos:
)(
)cos(zzktj
eyksenDxkkBxksenAky
Eyxxxx
y −+−−=
∂∂ ω
(35)
donde concluimos que:
)(
cos)cos(),,,(zzkt
eykkDxkBxksenAktzyxE y
yxxx
y−
+−=ω
(36)
As condições fronteira
para e 0=yE 0=x ax = (em qualquer y)
conduzem a
6
0)(
coscos =−
−zzktj
eykkyDxkBk yxx
ω
ou seja
B = 0 (37)
e a
0),,,( =tzyaE y
0)(
cos =−
−zzktj
eykkDaksenAk y
yxx
ω
donde concluímos que
0=aksen x
ou seja
amkx
π= (38)
3.2.2. Relação de dispersão
Substituindo (35) e (28) em (21) obtemos a relação de dispersão dos modos transversais eléctricos
num guia rectangular
2
22
22
vk
bn
am
zωππ
−=
−
− (39)
que podemos escrever na forma
(40) 2222 vkzc += ωω em que
22
+
=
bn
am
cππω (41)
A análise destas equações permite tirar as seguintes conclusões:
(i) Nem todas as ondas se podem propagar na forma de modos TE num guia rectangular. De
facto, escrevendo (40) na forma:
221cz v
k ωω −= (42)
concluimos que apenas frequências maiores que ωc conduzem a propagação (para ω = ωc kz = 0 e
para ω<ωc kz é imaginário (puro)
7
(ii) A frequência de corte depende das dimensões do guia (a e b), da velocidade de propagação
no espaço livre do meio dieléctrico que preenche o guia e do grau do modo TE (m e n). Estes
inteiros (m e n) definem o número de meios comprimentos de onda “cabem” do guia, de modo a
que o campo eléctrico verifique as condições fronteiras nas paredes metálicas do guia. Note-se
ainda que quanto menores forem as dimensões do guia, maiores são as frequências de corte.
(iii) O meio é dispersivo, ou seja, as velocidades de fase e de grupo dependem da frequência
222
11
−
=−
==
ωωωω
ωω
ccz
fv
vk
v (43)
2
22 11
−===
∂∂
=ωω
ωω c
f
z
zg v
vvkv
kv (44)
(iv) Para frequências muito superiores à frequência de corte
vk ω
≅ (45)
ou seja as ondas propagam-se praticamente como se não existissem as paredes metálicas do guia.
A Fig. 3 apresenta o diagrama de dispersão dos modos TE10 e TE01
av
avc
ππω =
=
2
10 (46a)
b
vcπω =
01 (46b)
admitindo que a>b.
kz
π π
ω= k vz
a a
b
ω
8
A título de curiosidade, calculemos as frequências de corte destes dois modos para um guia
rectangular com a = 1 cm e b = 0.5 cm, preenchido por vácuo
GHzHza
cfc 15105.1102103
21 10
2
8
10=×=
××
== −
ππ
GHzHzBb
cfc 30103105.02
1021 10
2
8
01=×=
×××
== −
ππ
3.2.3. Estrutura dos campos eléctrico e magnético
Fazendo as substituições convenientes em (14) e (39) obtemos as seguintes expressões para as
componentes do campo eléctrico de um modo TEmn:
)(
coszzktj
eyksenxkEE yxoxx
−=
ω (47)
)(
coszzktj
eykxksenEE yxoyy
−=
ω (48)
em que
ADEox = (49)
e
yxoy k
DAkE −= (50)
O campo magnético destes modos pode ser determinado a partir da equação de Maxwell
tBErot
∂∂
−=r
(51a)
ou seja
0yx
zyx
EEzyx
uuu
tB
∂∂
∂∂
∂∂
−=∂∂
rrr
(51b)
z
xy
y
x
x
y
uy
Ex
Euz
Euz
EtB rrr
∂
∂−
∂∂
−∂
∂+
∂∂
=∂∂
(51c)
9
)(
)(coszzkt
ekjykxksenE zyxoyzE
tB yx −
−=∂
∂=
∂∂ ω
)(
cos2zzkt
eykxksenEkB yxoyx
−−=
ω
ω (52)
)(
)(coszzkt
ekjyksenxkEz
Et
Bzyxox
xy −−=
∂∂
=∂
∂ ω
)(
coszzkt
eyksenxkEkB yxoxzy
−−=
ω
ω (53)
=∂
∂−
∂∂
=∂
∂x
Ey
Et
B yxz
)()coscoscoscos(
zzktjeykxkEkykxkkE yxoyxyxyox
−−=
ω
)()coscoscoscos(12
zzktjeykxkEkykxkkE
jB yxoyxyxyox
−−=
ω
ω (54)
É interessante verificar, até para validar os nossos cálculos, que as componentes do campo
magnético verificam as condições fronteiras, ou seja:
Bx = 0 para x = 0 e x = a (55)
By = 0 para y = 0 e y = b (56)
3.3. Modos Transversais Magnéticos
O leitor poderá repetir o raciocínio expresso na secção anterior, admitindo agora que o campo
magnético é puramente transversal.
yy
xx uBuBB rrr
+= (57)
Irá concluir que os modos TMmn têm a mesma frequência de corte dos modos TEmn, embora,
obviamente, a estrutura dos campos seja, por definição, diferente.
10
4. GUIA CILÍNDRICO
4.1. Introdução
Vamos, agora, estudar a propagação de ondas electromagnéticas num guia cilíndrico de raio a.
Poderiamos usar um procedimento semelhante ao utilizado no caso do guia rectangular, com a
substituição das coordenadas cartesianas pelas cilíndricas. Contudo, vamos seguir uma outra
metodologia que permite evidenciar, uma vez mais, a riqueza e a flexibilidade das equações de
Maxwell.
Em coordenadas cilíndricas, a equação (5) escreve-se na forma
01112
2
22
2
2
2
22
2
=∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
tU
vzUU
rrU
rrU
rrrrr
ϕ (58)
em que
)(),(),,,(
zzktjerUtzrU
−=
ωϕϕ
rr (59)
Vamos resolver a equação (55) para a componente do campo segundo a direcção de propagação
(Ez num modo TM ou Hz num modo TE).
zzzz
UkUrr
Urr
U 22
2
22
2 11−=
∂∂
+∂∂
+∂
∂ϕ
(60)
com
22
22
zkv
k −=ω (61)
Admitindo que:
) (62) ()(),( ϕϕ FrRrU z =
podemos escrever (60) na forma
FRkd
FdrR
drdR
rFF
drRd 2
2
2
22
2
−=++ϕ
(63a)
ou seja
F
dFd
rkRdrdR
r
drdRdr
Rd
r2
2
222
2
2 ϕ−=++ (63b)
11
O primeiro membro desta equação depende apenas de r enquanto o segundo membro é uma
função de ϕ . Para que a equação se verifique, para todos os valores de r e de ϕ é preciso que cada
um dos seus membros seja igual a uma constante
2222
2
2 υ+=++ rkRdrdR
r
drdRdr
Rd
r (64a)
22
2
υϕ−=+
Fd
Fd
(64b)
Estas equações admitem soluções do tipo
)()()( krBNkrAJrR υυ += (65)
ϕυϕυϕ senDCF += cos)( (66)
onde Jυ (kr) e Nυ (kr) representam funções de Bessel de 1ª e 2ª espécie de ordem υ e A, B, C e D são
constantes de integração que se determinam a partir das condições fronteiras. Como os campos têm
de ser finitos para r=0, a constante B tem de ser nula dado que Nυ(0)=∞ .
Conhecidas as componentes E2 e Hz, as outras componentes dos campos eléctrico e magnético
podem ser determinadas resolvendo as equações
tBErot
∂∂
−=
tEHrot
∂∂
= ε
em ordem a E2 e Hz
∂
∂+
∂∂
−=ϕ
ωµ zz
zr H
rj
rEjk
kE 2
1 (67)
∂
∂+
∂∂
−−=r
HjErkj
kE
zzz ωµ
ϕϕ
21 (68)
∂
∂−
∂∂
−=r
HjkEr
jk
Hz
z
zr
ϕωε
21 (69)
12
∂
∂+
∂∂
rH
rkj
rE z
zz
ωε
−= j
kH ϕ
21 (70)
4.2. Modos Transversais Magnéticos
Os modos transversais magnéticos (TMnl) são caracterizados pela existência de uma componente
longitudinal do campo eléctrico definido por:
ϕnkrAJE nz cos)(= (71)
e que tem de ser nula para r=a
(72) nln PkaJ =)(
em que ρnl representa o zero de ordem l da função de Bessel Jn(x)=0.
As expressões (61) e (72) permitem determinar a relação de dispersão destes modos
22
22
znl k
va−=
ωρ (73)
que podemos escrever na forma
(74) 2222 vkzc += ωω
com
vanl
c
=
ρω (75)
4.3. Modos Transversais Eléctricos
Neste caso, a componente longitudinal do campo magnético é da forma
0 (76) cos)( nkrJBH nz =
pelo que, usando (69), concluimos que:
r
Hjk
E∂
∂=
2
21 ωµϕ (77a)
0cos)(' nrkJBk
jn
ωµ= (78b)
Esta componente do campo eléctrico tem de ser nula em r=a, pelo que
(79) 0' )( ρ=akJ n
ou seja
a
k nl'ρ
= (80)
onde ρnl representa o zero de ordem l da função de Bessel . 0)(' =xJ n
13
Uma vez mais usando as expressões (61) e (79) obtemos a relação de dispersão dos modos
transversais eléctrico num guia cilindrico
(81) 2222 vkzc += ωω
em que
vanl
c
'ρω = (82)
4.4. Comparação das frequências de corte dos modos transversais magnético e eléctrico
A consulta a uma tabela de zeros das funções de Bessel permite construir, utilizando as expressões
(72) e (78) a Figura 4 que representa as frequências de corte dos modos TE e TM de ordem inferior.
A análise desta figura permite concluir o seguinte:
(i) Ao contrário do que acontecia no guia rectangular, os modos TE e TM da mesma ordem
(mesmos valores de m e n) não possuem a mesma frequência de corte.
(ii) O modo fundamental, isto é, o modo com a menor frequência do corte é o modo
TE11(ρ’11=1.84).
(iii) O modo transversal magnético com menor frequência de corte é o modo TE01(p01=2.405).
5. CAVIDADE CILÍNDRICA
Quando truncamos um guia de ondas por dois condutores perfeitos, normais às paredes do guia,
obtemos uma cavidade electromagnética ressonante. A Figura 3 apresenta uma cavidade cilíndrica.
As estruturas dos campos electromagnéticos que se podem propagar nesta cavidade podem ser
deduzidas a partir das equações de Maxwell escritas em coordenadas cilíndricas.
14
rHrjz
ErzE µω
ϕ
ϕ−=
∂∂
−∂
∂ (83.a)
ϕµω Hjr
zEz
rE+=
∂∂
−∂
∂ (83.b)
zHrjrErE
rµω
ϕϕ −=
∂∂
−∂∂ )( (83.c)
rErjz
HrzH εω
ϕ
ϕ+=
∂∂
−∂
∂ (84.a)
ϕεω Ejr
zHz
rH+=
∂∂
−∂∂ (84.b)
zErjrHrH
rεω
ϕϕ +=
∂∂
−∂∂ )( (84.c)
A dedução das expressões gerais dos modos TEmnl e TMmnl é complexa, pelo que iremos centrar
a nossa atenção na estrutura do modo que possui a menor frequência de ressonância e que pode ser
facilmente excitado: TM010. Para este modo podemos considerar que não há variação do campo
eléctrico segundo z e dos campos eléctrico e magnético segundo ϕ. Nestas condições, e atendendo a
que Hz=0, as equações anteriores reduzem-se a:
ϕωµHjr
zE=
∂∂ (85.a)
zErjrHr
εωϕ =∂∂ )( (85.b)
as quais significam que o modo TM010 é caracterizado por um campo eléctrico que apenas tem
componente segundo z
(86) zzEE µr
r=
e por um campo magnético que apenas possui componente segundo ϕ.
15
ϕµϕ rr
HH = (87)
A resolução do sistema de equações (a3) conduz à seguinte equação diferencial
01 222
2
=+∂
∂−
∂∂ z
zz
Ekr
Err
E (88)
onde
εµω 22 =k (89)
Esta equação diferencial admite soluções matemáticas do tipo
(90) )()()( 0100 krNEkrJErzE += em que J0 (ϑ ) e N0 (ϑ ) representam as funções de Bessel e de Neumman de ordem zero.
Como a função de Bessel de 2ª espécie (função de Neumman) tem uma singularidade para r=0 e
como nesse ponto o campo eléctrico tem de ser finito, a constante de integração E1 tem de ser nula
01 =E (91)
A determinação da constante de propagação k é feita a partir da condição fronteira
(92) 0)( == RZE z
a qual implica que
(93)
0)(00 =kRJE
ou seja
(94) 01PKR =
em que P01 representa o primeiro zero da função de Bessel J0(r).
(95) 405.2=KR
donde concluímos que
R
K 405.2= (96)
O campo magnético Hϕ pode ser determinado a partir da equação (85.a)
))(0(0 KrJrj
EH
∂∂
=ωµ
ϕ (97)
)(10
krJZEj
ϕ= (98)
em que
16
εµ
=0z (99)
é a impedância de onda do meio que preenche a cavidade.
6. LINHA COAXIAL DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA
6.1. Introdução
Uma linha coaxial de transmissão de energia é constituída por dois condutores cilíndricos,
concênctricos, separados por um dieléctrico de constante dieléctrica ε e permeabilidade magnética
µ.
Figura 3 – Secções longitudinal (à esquerda) e transversal (à direita) de uma linha coaxial de transmissão de energia
Esta estrutura de propagação de energia electromagnética pode propagar modos TEM cujo
campo eléctrico apenas tem componente segundo r
rrEE µr
r= (100)
com
)(0
kztjeErE −= ω (101)
e cujo campo magnético apenas tem componente segundo ϕ
ϕµϕ rrHH = (102)
com
)(0
kztjeHH −= ωϕ (103)
As amplitudes dos campos Er
e Hr
estão relacionadas através da expressão
00
0 ZHE
= (104)
17
em que Z0 representa a impedância de onda ou impedância característica do meio2.
Em vez de usarmos a estrutura dos campos eléctricos e magnético, vamos caracterizar a
propagação numa linha coaxial de transmissão de energia utilizando a diferença de potencial entre
os dois condutores (V) e a corrente que percorre cada condutor (I).
)()( krtjerVkztjeiVV ++−= ωω (105)
)()( kztjerIkztjeiII ++−= ωω (106)
Atendendo à definição de impedância de onda, esta equação pode ser escrita na forma:
)(
0
)(
0
kztjeZ
rVkztjeZ
iVI +−−= ωω (107)
6.2. Influência da impedância de carga nas características da propagação
Suponhamos, agora, que a linha está terminada, em z = 0, por uma impedãncia de carga ZL. Então
V tjerViVLω)( += (108)
e
tjeZ
rV
ZiV
LI ω
−=
00 (109)
Como, por definição de impedância,
LILV
LZ = (110)
temos que: 2 Se tivessemos considerado ondas que se propagam no sentido negativo do eixo dos Zs, então
00
0 ZHE
−=
18
rViVrViV
Z
ZrV
ZiV
rViVLZ
−
+=
−
+= 0
00
(111)
Vamos agora definir os coeficientes de reflexão de tensão
iVrV
vR = (112)
e de corrente
iIrI
IR = (113)
Em termos do coeficiente Rv a equação (111) pode ser escrita na forma
vRvR
ZLZ
−
+=
1
1
0 (114)
ou seja
0
0ZLZ
ZLZvR
+
−= (115)
Analogamente, podemos obter
0
0ZLZ
LZZIR
+
−= (116)
Vamos, agora, analisar os valores da tensão e da corrente medidos ao longo da linha, para vários
valores típicos da impedância de carga3.
1) Suponhamos que a linha está adaptada à impedância de carga
0ZLZ = (117)
Neste caso
3 É importante recordar que os voltímetros e os amperímetros medem o módulo da tensão ou da corrente, sendo insensíveis à fase.
19
0== IRvR (118)
o que significa que toda a energia incidente é absorvida pela carga.
Então
)( kztjeiVV −= ω (119)
e
)(
0
kztjeZ
iVI −= ω (120)
pelo que o voltímetro e o amperímetro vão, respectivamente, medir
iVV = (121)
e
iII = (122)
ou seja os módulos da tensão entre os condutores e da corrente que percorre cada condutor não
variam ao longo da linha.
2) Suponhamos que a linha está terminada por um curto circuito.
0=LZ (123)
Então
1−=vR (124)
e
1−=RI (125)
pelo que
)()( kztjeiVkztjeiVV +−−= ωω (126)
e
)(
0
)(
0
kztjeZ
iVkztjeZ
iVI ++−= ωω (127)
Num dado instante, temos que
kzseniVjjkzejkzeiVV 2)( −=−−= (128)
e
kzZ
iVjkzejkzeZ
iVI cos
0
2
0=
+−= (129)
A análise destas duas equações permite tirar as seguintes conclusões:
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(i) Os módulos da tensão e da corrente variam com z.
kzsenVV i2= (130)
kzZV
I i cos2
0
= (131)
(ii) A amplitude da tensão (corrente) é o dobro da amplitude da tensão (corrente) da onda
incidente.
(iii) A tensão é nula em Z=0, como não podia deixar de ser devido à definição de curto-
circuito.
(iv) A tensão e a corrente têm uma desfazagem entre si de π/2 (devido ao factor j na equação
(128)). Ou seja, quando a tensão é nula a corrente é máxima (e vice-versa).
3) Suponhamos, agora, que a linha está em aberto
∞=LZ (132)
Como
LZ
ZLZ
Z
vR01
01
+
−
= (133)
e
10
10
+
−
=
LZ
ZLZ
Z
IR (134)
temos que
1=vR (135)
e
1−=IR (136)
Neste caso
tjeiVjkzejkzeV ω)( +−= (137)
tjeZ
iVjkzejkzeI ω
0
−−= (138)
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donde obtemos
kziVV cos2= (139)
e
zksenZV
jI i
0
2−= (140)
Uma vez mais, os módulos da tensão e da corrente variam com Z, a amplitude da tensão
(corrente) é o dobro da amplitude da tensão (corrente) da onda incidente e a tensão e a corrente
estão desfasadas de π/2. Agora, e devido à definição de circuito aberto, é a corrente que é nula em
z=0.
6.3. Impedância de onda
A impedância de onda, que definimos através da equação (104), pode também ser calculada através
da expressão
0
00 C
LZ = (141)
em que L0 e C0 representam a inductância e a capacidade da linha por unidade de comprimento.
Para determinarmos L0 vamos admitir que o condutor interior é percorrido por uma corrente I.
Então, o campo magnético num ponto do dieléctrico é dado por
ϕµπ
µ rr
rIB
2= (142)
em que r representa a distância do ponto ao eixo da linha.
O fluxo magnético através de uma superfície rectangular, de comprimento l e de largura (a-b), é
dado por
drr
lIdsBa
b∫∫ ==Ψ1
2µµ (143)
baIl ln
2πµ
= (144)
Figura 4 – Superfície usada no cálculo do fluxo magnético
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Então, pela definição, de inductãncia por unidade de comprimento, obtemos
ba
lIL ln
2πµ
=Ψ
= (145)
Vamos agora calcular a capacidade por unidade de comprimento, admitindo que o condutor
interior tem uma carga eléctrica Q. Então, o campo eléctrico num ponto à distância r do eixo da
linha é dado por:
rrlQE µ
επrr
2= (146)
pelo que a diferença de potencial entre os dois condutores é dada por
ba
lQdr
rlQVV
a
bext ln22int επεπ
==− ∫ (147)
Usando a respectiva definição, podemos agora calcular a capacidade da linha por unidade de
Comprimento
lVQC
∆=0 (148)
baln
2πε= (149)
Substituindo (149) e (145) em (141) obtemos a expressão da impedância de onda da linha
coaxial de transmissão de energia
0
00 C
LZ = (141)
εµ
π baln
21
= (150)
ba
elZ ln21π
= (151)
em que Zel representa a impedância de onda em espaço livre do meio dieléctrico que preenche o
espaço entre os dois condutores.
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εµ
=elZ (152)
A análise das equações (150) e (151) permite tirar as seguintes conclusões:
(i) a impedância de onda da linha depende dos raios dos dois condutores (a e b) e das
características eléctricas e magnéticas do meio dieléctrico que preenche o es+aço entre
os dois condutores.
(ii) A impedância de onda da linha é nula quando a=b, ou seja, quando não há linha, mas
sim um único condutor.
(iii) Z0 é menor, igual ou maior que Zel quando baln é menor, igual ou maior do que 2π.
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