DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartman za matematcke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS

TOPOLOGIJA( pismeni deo ispita,jun 2015)

1. Neka je X neprebrojiv skup , p ∈ X, iB = {{x} : x ∈ X \ {p}} ∪ {X \ P : P prebrojiv, p 6∈ P} ⊆ P(X).

(a) Dokazati da je B baza jedinstvene toplogije T na skupu X.

10

(b) Dokazati da je prostor (X, T ) Hausdorfov prostor

10

(c) Ako je A ⊆ X \ {p} neprebrojiv dokazati da p ∈ A

10

(d) Ako je P0 ⊆ X, prebrojiv ,p 6∈ P0 ,proveriti da li je kolekcija skupova

{{x} : x ∈ X \ {p}} ∪ {X \ P0}otvoren pokrivac za X i ispitati kompaktnost .

10

2. Neka su X, Y, Z topoloski prostori ,f : X −→ Y, g : Y −→ Z ,preslikavanjai neka je f neprekidna sirjekcija .Dokazati:

(a) Ako je g ◦ f : X −→ Z otvoreno preslikavanje tada je i g : Y −→ Z

otvoreno .

10

(b) Ako je i g : Y −→ Z neprekidno preslikavanje i g ◦ f : X −→ Z

homeomorfizam tada su i f : X −→ Y, g : Y −→ Z homeomorfizmi.

10

3. Neka je X topoloski prostor i A ⊆ X .Dokazati da je tada

∂ClA ⊆ ∂A , ∂ intA ⊆ ∂A , ∂A = (A ∩ Cl(X \ A)) ∪ (ClA \ A)

10+10=20

4. Neka je f : [a, b] −→ R, (−∞ < a < b < +∞), f(a) < f(b) neprekidnopreslikavanje.Ako je f(a) < x < f(b) dokazati da postoji c ∈ R, a < c < btakvo da je f(c) = x.

Ako je f jos i injektivno dokazati da je tada f([a, b]) = [f(a), f(b)]

10+10=20∑= 100

broj bodova· · · = · · ·ocena/55-64=6/65-74=7/75-84=8/85-94=9/95-100=10