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TOPOLOGIA

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CHAPTER 1

ESPACIOS TOPOLOGICOS

1. Definicion y Ejemplos

Los espacios topologicos son la base, entre otras cosas, de la estructura matematicaque le dara forma a los conjuntos. Como veremos en esta seccion, basicamente dosespacios topologicos son los mismos (homeomorficos), si se puede moldear uno deellos en plastilina y transformar este hasta llegar al otro sin romper la plastilina,sin hacerle agujeros. Por ejemplo, un vaso para tomar agua y una pelota, serıanlos mismos desde el punto de vista de la topologıa, ası mismo, una taza con unaaza es equivalente a una dona, etc. Estos espacios han adquirido importancia envarias ramas de la fısica y la ingenierıa para poder hacer modelos. Por ejemplo, enla ingenierıa, las imagenes que se obtienen en la computadora son dijitales, estanhechas por pixeles discontinuos. En este caso, resulta muy inexacto para algunasaplicaciones tomar el espacio metrico correspondiente. En la actualidad existenvarios modelos topologicos que prometen ser mas eficientes. En fısica, los camposestan cuantizados, el campo gravitacional es el espacio tiempo mismo, si este estacuantizado, no pude ser metrizable y por tanto no hay una metrica que lo repre-sente, el campo gravitacional vive entonces en espacios que no pueden ser modeladospor espacios metricos simples. Los espacios topologicos podrıan ser mas exactosen modelar espacios cuantizados o los espacios cuanticos mismos. La geometrıadiferencial es una herramienta que se utiliza hoy en dıa intensivamente en variasramas de la ciencia. El control automatico necesita de esta herramienta en granmedida. En este capıtulo veremos tanto la topologıa como la geometrıa diferencial.Iniciemos con la definicion de espacio topologico.

Definicion 1. Sea X conjunto y τX ⊂ P (X) subconjunto del conjunto poten-cia P (X) . Un espacio topologico es el par (X, τX) , tal que: φ y X pertenecen aτX y τX es cerrado bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas.

Vamos a entender esta definicion. Explicitamente, un espacio topologico es unsubconjunto del conjunto potencia que cumple con los siguientes axiomas:

i) φ, X ∈ τX es decir, el vacio y todo el conjunto siempre estan en la topologıaτX de X .

ii) Si Uα ∈ τX con α ∈ J (J un conjunto de ındices) entonces ∪α∈J

Uα ∈ τX , es

decir, la union arbitraria de elementos de τX es un elemento de τX .iii) Ui ∈ τX con i = 1, · · · , n implica que ∩n

i=1Ui ∈ τX , es decir, la interseccionfinita de elementos de τX es un elemento de τX .

Notacion 1. A los elementos de τX se les llama abiertos, a sus complementoscerrados y a τX se le llama topologıa sobre X.

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4 1. ESPACIOS TOPOLOGICOS

Comentario 1. Noten que tanto el conjungo vacio φ como todo el conjunto Xson abiertos y cerrados a la vez, ya que φc = X y Xc = φ. Esta es una propiedadde todos los espacios topologicos.

Mas adelante veremos algunos ejemplos de espacios topologicos para ser masexplicitos, pero por ahora vamos a definir algunos conceptos que nos van a servirdurante nuestra discusion.

Definicion 2. Sea (X, τX) espacio topologico, U ∈ τX y x ∈ U . Se diceentonces que U es una vecindad de x, se denota x ∈ Ux. Un entorno de x ∈ Xes un sobconjunto N ⊂ X, tal que x ∈ N y existe Ux ⊂ N , vean la figura 1.

Es decir, una vecindad de algun punto es siempre un abierto que contieneal punto, mientras el entorno es un conjunto mas grande que algun abierto, quecontiene al punto, pero no es un abierto el mismo.

Figure 1. Ux es una vecindad de x, es decir, es un abierto quecontiene a x. Un entorno de x, en cambio, es un sobconjunto deX tal que x esta en N y N contiene a una vecindad de x.

Definicion 3. Sea (X, τX) espacio topologico. Una cubierta de A ⊂ X, esuna familia de abiertos U = {Uα}α∈K tal que ∪

α∈KUα = A. Una subcubierta V

de U , es una familia V = {Vβ}β∈J tal que V es cubierta de A y Vα ∈ V implica

Vα ∈ U .

En forma sencilla, una cubierta de A es simplemente un conjunto de abiertosque cubre todo el conjunto A y una subcubierta de la cubierta es un subconjuntode la cubierta que tambien cubre A. Ahora veamos algunos ejemplos de espaciostopologicos.

Exemplo 1. τX = P (X) es siempre una topologıa llamada la topologıa disc-

reta de X en donde cada elemento es un abierto de X.

Exemplo 2. τX = {φ, X} es llamada la topologıa indiscreta de X.

Estos dos ejemplos nos dicen que todo conjunto tiene al menos dos topologıas,la discreta y la indiscreta. Es decir, se puede hacer de cualquier conjunto un espaciotopologico, incluso de un conjunto de borreguitos del campo.

1. DEFINICION Y EJEMPLOS 5

Exemplo 3. Si X = {x} , la unica topologıa que existe es τX = {{x} , φ}

Exemplo 4. Si X = {a, b} , existen 4 topologıas

a) τ1

X = P (X) = {φ, {a} , {b} , {a, b}}b) τ2

X = {{a, b} , φ}c) τ3

X = {φ, {a} , {a, b}}d) τ4

X = {φ, {b} , {a, b}}A las topologıas τ3

X y τ4X se les llama topologıas de Sierpinski.

Estos son, tal vez, los espacios topologicos mas simples que podemos construir.Ahora veremos otros espacios mas interesantes. Vamos a iniciar con los espaciosℜn. Estos son espacios topologicos y tienen, claramente, muchas topologıas. Sinembargo, la topologıa que generalmente usaremos aquı es la siguiente:

Exemplo 5. X = ℜn, τX = {union de bolas Br (x0)}, donde Br (x0) ={x ∈ ℜn | |x − x0| < r} . Esta es la topologıa canonica de ℜn.

Observen que la construccion de esta topologıa se basa de hecho en la estructurametrica de ℜn. La demostracion de que esta ultima es una topologıa para ℜn laincluimos en la construccion de una topologıa para todo espacio metrico en lasiguiente proposicion.

Proposicion 1. Sea (X, d) espacio metrico y τ = { conjuntos abiertos en (X, d)} .Entonces (X, τ) es un espacio topologico.

Dem. 1. Se tiene que:i) X y φ son abiertos en (X, d) , ya que la bola Bǫ (x) = {y ∈ X | d (x, y) |< ǫ}

⊂ X y φ es abierto trivialmente.ii) Sea {Aα}α∈I una familia arbitraria de conjuntos abiertos en (X, d) . Para

cada α, Aα es union de bolas, Aα = ∪β∈K

Bβ (Aα) y la union de la union de bolas

es abierto en (X, d) .

iii) Sean Ai, i = 1, · · · , n conjuntos abiertos en (X, d) y V =n∩

i=1Ai. Si x ∈ V

implica que x ∈ Ai para todo i = 1, · · · , n. Entonces existen {ri > 0}i=1,··· ,n tales

que Bri(x) ⊂ Ai. Tomemos r = min {ri}i=1,··· ,n , entonces Br (x) ⊂ Bri

(x) para

todo i = 1, · · · , n y por tanto Br(x) ⊂ Ai para todo i = 1, · · · , n. Esto implica queBr (x) ⊂ V , i.e. V es conjunto abierto en (X, d) . �

Ejercicio 1. Demuestren que en todo espacio topologico la inteseccion arbi-traria de cerrados es cerrada y la union finita de cerrados es cerrada.

En los espacios metricos y normados es posible definir algunos conceptos comocontinuidad o lımite debido a la existencia de la metrica o de la norma. En losespacios topologicos esto tambien es posible, debido a la existencia de los abiertos.Vamos a ejemplificar esto dando el concepto de lımite de una susecion. Veamos:

Definicion 4. Sea (X, τX) espacio topologico y (xi) una sucesion en X, i ∈Z+. Se dice que (xi) tiene el lımite x (o converge a x) si para todo vecindadde x, Ux ∈ τX existe un entero positivo N ∈ Z+ tal que xi ∈ Ux para todo indicei ≥ N. Se denota como xi ⇀ x o limxi = x.

Como ya vimos, todo espacio metrico es topologico, usando los abiertos definidospor su metrica. Sin embargo, lo contrario no siempre se cumple, no todo espacio


topologico es metrico. Es en este sentido que los espacios topologicos son mas gen-erales que los espacios metricos. A veces es posible definir una metrica en un espaciotopologico, en este caso se dice que el espacio topologico es metrizable, formalmentese dice que:

Definicion 5. Un espacio topologico (X, τX) cuyos abiertos son los conjuntosabiertos del espacio metrico (X, d), se dice metrizable. A la topologıa τX sobre Xse le llama topologıa inducida por la distancia d.

Veamos la siguiente interesante proposicion:

Proposicion 2. En todo espacio topologico (X, τX) metrizable, para cualquierpar de puntos, siempre existen dos vecindades disjuntas.

Dem. 2. (X, τX) es metrizable, implica que existe una distancia d que induceτX . Sean x, y ∈ X con x 6= y, entonces d (x, y) = 2ǫ para algun ǫ > 0. Tomemos lasbolas Bǫ (x) = {z ∈ X | d (x, z) < ǫ} y Bǫ (y) = {w ∈ X | d (w, y) < ǫ} , los cualesson abiertos de τX . Supongamos z ∈ Bǫ (x) ∩ Bǫ (y) , se sigue que d (x, y) ≤d (x, z) + d (z, y) < ǫ + ǫ = 2ǫ, pero d (x, y) = 2ǫ, lo cual es una contradiccion. Portanto z /∈ Bǫ (x) ∩ Bǫ (y) se sigue entonces que Bǫ (x) ∩ Bǫ (y) = φ. �

De esta proposicion se desprende que si queremos construir un espacio topologicometrizable, le tenemos que pedir primero que existan dos vecindades disjuntaspara cada punto. Mas adelante veremos que a estos espacios se les llama espa-cios topologicos tipo T2 o Hausdorff.

En ocaciones los conjuntos son productos cartesianos de espacios topologicos ose pueden descomponer en productos cartesianos de estos. En ese caso, si cada com-ponente es un espacio topologico, el espacio total tambien lo sera. Este resultadose sigue de la proposicion:

Proposicion 3. El producto cartesiano de espacios topologicos es un espaciotopologico.

Dem. 3. Sean (X, τX) y (Y, τY ) espacios y (X × Y, τX×Y ) con τX×Y ={uniones de elementos U × V ∈ τX × τY }. Entonces

i) φ ∈ τX×Y ya que φ = φ × φ, y X × Y ∈ τX×Y ya que X × Y ∈ τX × τY .

ii) Sean W = ∪α∈j

Uα × Vα y W ′ = ∪β∈k

U′

β × V′

β, Uα,U

′

β ∈ τX , Vα,V

′

β ∈ τY ,

para toda α ∈ J, β ∈ K. Entonces W ∩ W ′ = ∪α∈J

Uα × Vα ∩ ∪β∈k

U′

β × V′

β =

∪(α,β)∈J×K

Uα ∩ U′

β × Vα ∩ V′

β ∈ τX×Y .

iii) Sea Wα = ∪γ∈M

(Uαγ × Vαγ) ∈ τX×Y . Entonces ∪α∈L

Wα = ∪(α,γ)∈L×M

Uαγ

×Vαγ

∈ τX×Y . �

Al par (X × Y, τX×Y ) se le llama producto topologico de los espacios (X, τX)y (Y, τY ).

Ası mismo, se puede construir un espacio topologico de un subconjunto de unespacio topologico utilizando la topologıa del espacio original. Esto se ve en lasiguiente proposicion:

Proposicion 4. Sea (X, τX) espacio topologico y A ⊂ X. Sea τA = {A ∩ U, U ∈ τX}.Entonces el par (A, τA) es un espacio llamado subespacio topologico de X.

2. CERRADURA, INTERIOR Y FRONTERA 7

Dem. 4. i) φ ∈ τA ya que φ ∩ A = φ y A ∈ τA ya que A ∩ X = A.ii) Sean Uα ∈ τX y A∩Uα ∈ τA, α ∈ J . Entonces ∪

α∈JA∩Uα = A∩ ∪

α∈JUα ∈ τA.

iii) Sean Ui ∈ τX , i = 1, · · · , n y A ∩ Ui ∈ τA. Entoncesn∩

i=1A ∩ Ui =

A ∩n∩

i=1Ui ∈ τA. Se sigue que (A, τA) es espacio topologico. �

Notacion 2. A τA se le llama la topologıa relativa o inducida por τX

sobre X.

Con esta proposicion es entonces facil ver que muchos espacios son topologicosporque heredan la topolgia de algun espacio mayor. Veamos un ejemplo importanteque usaremos a lo largo de este capıtulo.

Exemplo 6. Sea n ∈ Z. La n-esfera Sn se define como un subespacio de ℜn+1

como

Sn =

{

x ∈ ℜn+1 |

n+1∑

i=1

(

xi)2

= 1

}

Ası,S0 =

{

x ∈ ℜ | x2 = 1}

= {1,−1} ,

S1 ={

(x, y) ∈ ℜ2 | x2 + y2 = 1}

,

S2 ={

(x, y, z) ∈ ℜ3 | x2 + y2 + z2 = 1}

etc.

La topologıa de Sn sera τSn = {Sn ∩ U | U ∈ τℜn+1} .

De la misma forma se pueden conocer los cerrados de un subespacio topologico,conociendo los cerrados del espacio original, usando la proposicion siguiente:

Proposicion 5. Sea (A, τA) subespacio topologico de (X, τX) . V ⊂ A es cer-rado en A sı y solo sı V = A ∩ R con R cerrado en X.

Dem. 5. =⇒) V cerrado en A implica que existe W ∈ τA tal que V = A \ W,con W = A∩U , lo que implica que V = A \A∩U = A∩U c con U c cerrado en X.

⇐=) Sea R cerrado en X. Consideremos B = A ∩ R esto implica que Bc =A \ B = A \ A ∩ R = A ∩ Rc, y como Rc es abierto en X, Bc es abierto en A, esdecir B es cerrado en A. �

2. Cerradura, Interior y Frontera

En esta seccion veremos tres conceptos para distinguir regiones de nuestroespacio topologico. Si nuestro conjunto tiene una topologıa, podemos distinguir laregion en donde termina el espacio, donde es adentro y afuera. Vamos a definirestos conceptos. Iniciemos por definir un punto de adherencia.

Definicion 6. Sea (X, τX) espacio topologico, A ⊂ X y p ∈ X. Un punto de

adherencia p de A es aquel que toda vecindad de p no es disjunta con A, es decirp es punto de adherencia si para toda Up ∈ τX se cumple Up∩A 6= φ, vean la figura2.

Al conjunto de todos los puntos de adherencia se le llama la clausura, que nosservir’a para definir el interior del espacio.

Definicion 7. Al conjunto de puntos de adherencia se le llama clausura yse denota por A, vean la figura 3


Figure 2. Los puntos de adherencia del conjunto A. En la figurase muestran puntos de adherencia y puntos que no son de adheren-cia del conjunto A.

Figure 3. Los puntos de adherencia forman la clausura del con-junto A. Hay que comparar esta figura con la figura ??, en dondese muestran los puntos de adherencia del conjunto A.

Comentario 2. Noten que si p ∈ A, implica que Up ∩A 6= φ, por tanto A ⊂ A

Veamos una serie de proposiciones referentes a la cerradura de un conjunto,con el objetivo de concluir que la clausura es un conjunto cerrado. Veamos esto.

Proposicion 6. A es cerrado ssi A = A.

Dem. 6. =⇒) Sea p ∈ A, i.e. para todo Up ∈ τX se cumple Up ∩ A 6= φ.Supongamos que p /∈ A, entonces p ∈ Ac = X \ A ∈ τX , ya que A es cerrado.Entonces existe Vp ∈ τX con Vp ⊂ X \ A o sea Vp ∩ A = φ, lo cual contradice el

hecho que p ∈ A, entonces p ∈ A, i.e. A ⊂ A.⇐=) Sea q ∈ Ac y por tanto q /∈ A, entonces existe Vq ∈ τX con Vq ∩ A = φ

i.e. Vq ⊂ Ac para toda q. Entonces Ac es abierto. �

2. CERRADURA, INTERIOR Y FRONTERA 9

Corolario 1. A cerrado implica que A es cerrado.

Proposicion 7. A es la interseccion de todos los cerrados en X que contienena A.

Dem. 7. Sea R = {Rα | A ⊂ Rα, Rα cerrado}α∈J . Sea x ∈ ∩α∈j

Rα. De-

mostremos que x es punto de adherencia de A, o sea que x ∈ A. Sea M ∈ τX conx ∈ M . Supongamos M ∩ A = φ esto implica que A ⊂ M c que es un cerradoque contiene a A, entonces x ∈ M c ya que M c = Rα para algun α, lo que es unacontradiccion. Por lo tanto M ∩ A 6= φ. Sea q ∈ A y sea Rα para algun α ∈ J .A ⊂ Rα implica que A ⊂ Rα = Rα se sigue entonces que q ∈ Rα para todo α ∈ Jes decir q ∈ ∩

α∈JRα. �

Corolario 2. A es cerrado.

Exemplo 7. Los ejemplos mas representativos y simples son en la recta real con

la topologıa canonica. Es claro que [a, b] es cerrado. La cerradura de (a, b) = [a, b],etc.

Exemplo 8. La cerradura del conjunto de los racionales o del conjunto de losirracionales son los reales, ya que junto a un racional siempre hay un irracional yjunto a un irracional hay un racional.

Exemplo 9. Un ejemplo mas interesante es el conjunto ℜ\Z. Observemos que

ℜ\Z = ℜ.

Ejercicio 2. Demuestren quea) A ∪ B ⊃ A ∪ Bb) A ∩ B ⊂ A ∩ B

De una manera analoga se puede hacer lo mismo para puntos interiores de unconjunto. Estos se definen como:

Definicion 8. Sea (X, τX) espacio topologico y p ∈ X. p es punto interior

de A ⊂ X si existe Vp ∈ τX con Vp ⊂ A, vean la figura 4.

Definicion 9. Al conjunto de puntos interiores de A ⊂ X se le llama interior

y se denota por A. Note que p ∈A implica que existe Vp ∈ τX con p ∈ Vp ⊂ A, es

decir A⊂ A, vean la figura 5

Proposicion 8. A es abierto ssı A =A.

Dem. 8. =⇒) Sea p ∈ A, implica que existe Vp ∈ τX con Vp ⊂ A, es decir

p ∈A se sigue entonces que A ⊂A.⇐=) Sea p ∈ A, como A =A, entonces existe Vp ∈ τX con Vp ⊂ A, esto es, A

es abierto. �

Proposicion 9. A es la union de todos los abiertos de X contenidos en A .

Dem. 9. Sea U = {Uα | Uα ⊂ A. Uα abierto}α∈J . Sea q ∈ ∪α∈J

Uα entonces

q ∈ Uβ para algun β ∈ J tal que Uβ ⊂ A, por tanto q ∈A, sea x ∈A. Esto implica

que existe Vx ∈ τX con x ∈ Vx ⊂ A, o sea x ∈ ∪x∈J

Uα, por lo tanto A= ∪α∈J

Uα. �


Figure 4. La figura muestra los puntos interiores de A y algunosque no son puntos interiores de A. Compare esta figura con lasfiguras ?? y ?? anteriores sobre puntos de adherencia.

Figure 5. El interior de A. Compare esta figura con la figura 3que muestra la cerradura de A.

Corolario 3. A es abierto.

Exemplo 10. Los ejemplos mas representativos y simples de nuevo son en larecta real con la topologıa canonica. Es claro que (a, b) es abierto. El interior de[a, b]

o= (a, b), etc.

Exemplo 11. El interior del conjunto de los racionales o del conjunto de losirracionales es vacio, ya que no hay abiertos que contengan racionales o irracionalessolamente.

Exemplo 12. Un ejemplo mas interesante es de nuevo el conjunto ℜ\Z. Ob-servemos que (ℜ\Z)o = ℜ\Z

3. FUNCIONES CONTINUAS 11

Entonces, el interior es abierto y la cerradura es un cerrado. Para dar uncriterio de donde termina el espacio topologico, se define la frontera del conjunto.La idea intiutiva es simple y su definicion formal es como sigue:

Definicion 10. La frontera (topologica) de A es la interseccion de las cer-raduras de A y su complemento, se denota ∂A, i.e.

∂A = A ∩ Ac

La frontera de A tiene las siguientes propiedades:i) ∂A es cerrado, ya que es interseccion de cerrados.

ii) ∂Ac = Ac ∩ (Ac)c = Ac ∩ A = ∂Aiii) A = A∪∂A ya que si p ∈ A y p /∈ A se sigue que p ∈ Ac∩A ⊂ Ac∩A = ∂A,

lo que implica que A ⊂ A∪∂A, de la misma forma, si p ∈ A esto implica que p ∈ Ao y si p ∈ ∂A implica que p ∈ A ya que ∂A = A ∩ Ac.

iv) ∂A = φ ssı A es cerrado y abierto a la vez. Esto es debido a que si ∂A = φse sigue que A = A ya que A = A ∪ ∂A, es decir A es cerrado. Por otro lado comoA = A, si A ∩ Ac = φ esto implica que Ac ⊂ Ac, pero como Ac ⊂ Ac, se sigue queAc = Ac, entonces Ac es cerrado, por lo que A es abierto. Al contrario, si A escerrado, se sigue que A = A, A abierto implica que Ac es cerrado y por lo tantoAc = Ac. Entonces A ∩ Ac = A ∩ Ac = φ.

v) ∂X = ∂φ = φ ya que X y φ son abiertos y cerrados.vi) A es cerrado ssı ∂A ⊂ A, ya que A cerrado implica que A = A = A ∪ ∂A y

por lo tanto ∂A ⊂ A. A la inversa ∂A ⊂ A implica que A ∪ ∂A = A = A de dondese sigue que A es cerrado.

Exemplo 13. Tomemos de nuevo un ejemplo sobre la recta real con la topologıacanonica. La frontera de ∂(a, b) = (a, b)

⋂

(a, b)c = [a, b]⋂

(−∞, a]∪[b,∞) = {a, b},etc.

Exemplo 14. Regresemos al conjunto ℜ\Z. Observemos que

∂(ℜ\Z) = (ℜ\Z)⋂

(ℜ\Z)c = ℜ⋂

Z = Z.

Es decir, el conjunto ℜ\Z es un conjunto abierto, cuya cerradura es ℜ y sufrontera es Z. Esto tambien quiere decir que Z es un conjunto cerrado, pues es lafrontera de ℜ\Z.

Ejercicio 3. Demuestre que la frontera del conjunto de los racionales o delconjunto de los irracionales son los reales.

Para terminar esta seccion, vamos a definir un conjunto denso. Un conjunto esdenso si su cerradura es todo el espacio, esto es:

Definicion 11. A es denso en X si A = X.

Exemplo 15. Claramente ℜ\Z es denso en los reales, pues su cerradura sonlos reales.

Comentario 3. Note que si A es un espacio metrico, A es denso si para todox ∈ X y para todo ǫ > 0 existe p ∈ A tal que p ∈ Bǫ(x).

3. Funciones Continuas

En esta seccion vamos a introducir conceptos tıpicos de espacios normadoso metricos relacionados con funciones, pero usando solo la topologıa del espacio.


Vamos a iniciar con el concepto de continuidad de funciones en espacios topologicos.Basicamente la idea es la misma que en espacios metricos, pero como aquı notenemos una distancia, tenemos que usar solo la existencia de los abiertos. Laidea es entonces, que si podemos mapear un abierto, tan arbitrario (“pequeno”)como sea, y este es tambien abierto en el dominio, entonces la funcion es continua.Formalmente se tiene:

Definicion 12. Sean (X, τX) y (Y, τy) espacios topologicos. Se dice que elmapeo f : X → Y x → f(x) es una funcion continua, si f−1(V ) ∈ τX para todoV ∈ τY , i.e. preimagenes de abiertos son abiertas.

Notacion 3. Al conjunto de funciones continuas se denota por Map(X, Y ) =C0(X, Y ).

Dado que en un espacio metrico la topologıa se construye con los abiertos delespacio, podemos demostrar una serie de proposiciones en espacios topologicos quedespues se pueden extender a espacios metricos o normados. Veamos la siguienteproposicion.

Proposicion 10. Sean (X, τX) y (Y, τY ) espacios topologicos f : X → Y,funcion. Son equivalentes

1) f es continua.2) Para todo x ∈ X y Wf(x) ∈ τY existe Vx ∈ τX tal que f(Vx) ⊂ Wf(x)

3) f(A) ⊂ f(A) para todo A ⊂ X

4) f−1(B) ⊂ f−1(B) para todo B ⊂ Y5) Si A es cerrado en Y implica que f−1(a) es cerrado en X.

Dem. 10. 1) =⇒ 2) Sean x ∈ X y Wf(x) ⊂ τY ; como f es continua x ∈

f−1(Wf(x)) ∈ τx y entonces existe Vx ∈ τX tal que Vx ⊂ f−1(Wf(x)), se sigueentonces que f(Vx) ⊂ Wf(x) .

2) =⇒ 3) Sea b ∈ A, entonces para todo Ub ∈ τX se sigue que Ub ∩ A 6= φ,entonces φ 6= f(Ub ∩ A) ⊂ f(Ub) ∩f(A). Sea Wf(b) ∈ τY arbitrario, por 2) existeVb ∈ τX con f(Vb) ⊂ Wf(b), por lo que f(Vb) ∩ f(A) ⊂ Wf(b) ∩f(A) es decir

f(b) ∈ f(A).

3) =⇒ 4) Sea a = f−1(B) con B ⊂ Y ; por 3 f(A) ⊂ f(A) = f (f−1(B)) ⊂ B,

ya que f(

f−1(B))

⊂ B. Por lo tanto, tambien f−1(

f(A))

⊂ f−1(B) y como

A ⊂ f−1(

f(A))

tenemos A ⊂ f−1(B); o sea f−1(B) ⊂ f−1(B).

4) =⇒ 5) Sea B cerrado en Y , por 4) f−1(B) ⊂ f−1(B) = f−1(B) ⊂ f−1(B)

por lo que f−1(B) = f−1(B), entonces f−1(B) es cerrado en X.5) =⇒ 1) Sea B ∈ τY , entonces Bc es cerrado en Y , como f−1(Bc) =

(f−1(B))c, por 5) se tiene que(

f−1(B))c

es cerrado en X, o sea f−1(B) ∈ τX . �

Proposicion 11. La composicion de funciones continuas es continua.

Dem. 11. Sean (X, τX) , (Y, τY ) y (Z, τz) espacios y f : X → Y, g : Y → Zfunciones continuas. Se tiene que si U ′′ ∈ τz entonces g−1(U ′′) ∈ τY y por lo tantof−1(g−1(U ′′)) = f ◦ g (U ′′) ∈ τZ . �

Las funciones en espacios que son productos cartesianos tambien tienen un cri-terio de continuidad. Estas funciones son interesantes y seran usadas mas adelante,por ahora veamos este criterio de continuidad usando la siguiente proposicion:

3. FUNCIONES CONTINUAS 13

Proposicion 12. Sean (X, τX) , (Y, τY ) y (Z, τZ) espacios y f : X × Y → Zfuncion. f es continua ssı para todo Wf(x,y) ∈ τz existe Ux ∈ τX y Vy ∈ τY talesque f(Ux × Uy) ⊂ Wf(x,y).

Dem. 12. ⇐=) Sea Wf(x,y) ∈ τZ esto implica que existe Ux ∈ τX , Vy ∈ τY conf(Ux×Vy) ⊂ Wf(x,y) con Ux×Vy ∈ τX × Y , esto implica que para todo (x, y) ∈ X×

Y existe Ux×Vy ∈ τX × Y tal que Ux×Vy ⊂ f−1(Wf(x,y)) por lo que f−1(Wf(x,y)) ∈τX×Y .

=⇒) Sea Wf(x,y) ∈ τZ , entonces f−1(Wf(x,y)) ∈ τX×Y esto implica que para

todo (x, y) ∈ f(Wf(x,y)) existe Ux × Vy ∈ τX×Y tal que Ux × Vy ⊂ f−1(Wf(x,y)),por tanto f(Ux × Vy) ⊂ Wf(x,y). �

Mas adelante, en la construccion de los haces, vamos a necesitar el uso de laproyeccion, que es una funcion que mapea solo una parte de un producto cartesianode espacios topologicos. Vamos a introducir ahora este concepto.

Definicion 13. Sea (X ×Y, τX×Y ) espacio producto de los espacios (X, τX) y(Y, τY ). A las funciones Πx : X×Y → X, (x, y) → x y Πy : X×Y → Y, (x, y) → yse les llama las proyecciones de X × Y , ver figura 6.

Figure 6. La proyeccion del producto cartesiano de X y Y . Elmapeo va de X × Y a X , y mapea el punto (x, y) en x.

Proposicion 13. Πx y Πy son continuas.

Ejercicio 4. Demostrar la proposicion.

Definicion 14. Sea (A, τA) subespacio topologico de (X, τX). La inclusion

de A en X es la funcion identidad restringida a A , i.e.

i : A → X

x → i(x) ≡ id |X |A

Tambien se denota como i : A → X.


Proposicion 14. Sea f continua, f = X → Y y (A, τA) subespacio topologicode (X, τX). Entonces la restriccion de f a A es continua.

Ejercicio 5. Demostrar la proposicion

Ejercicio 6. Demostar que i es continua.

El concepto mas importante en espacios topologicos es tal vez este que nosda el concepto de isomorfismo entre ellos. Los isomorfismos aquı son llamadoshomeomorfismos. Ahora vamos a introducirlos, para esto necesitamos primero elconcepto de funcion abierta. Iniciemos con este.

Definicion 15. Sea f : X → Y funcion. f se llama abierta si imagenes deabiertos son abiertas, i.e. si para todo U ∈ τX se tiene que f(U) ∈ τY .

Definicion 16. Un homeomorfismo es una funcion continua, biyectiva yabierta.

Esta difinicion nos garantiza entonces que la inversa es una funcion continua yabierta. Es decir:

Proposicion 15. Sea f homeomorfismo, entonces f−1 es continua.

Dem. 13. Por ser biyectiva existe f−1 con f−1 ◦ f = Id |X . Por ser abiertase sigue que f(U) = V ∈ τY para todo U ∈ τx ya que la inversa de f−1 es f . Dedonde que f−1 es continua. �

Definicion 17. Dos espacios topologicos se dicen homeomorfos si entreellos existe un homeomorfismo. A las propiedades invariantes bajo homeomorfismosse les llama propiedad topologica.

Es decir, los homeomorfismos me dan un criterio para decir cuando dos espaciostopologicos son el mismo, desde el punto de vista de espacio topologico. Es mas,los homeomorfismos separan el conjunto de los espacios topologicos en clases deequivalencia. Vamos a ver esto, primero veamos que la relacion: dos espacios estanrelacionados entre si, si son homeomofos, es una relacion de equivalencia.

Proposicion 16. Sean (X, τX), (Y, τY ), (Z, τz) espacios. La relacion Xhom∼ Y

“dos espacios son homeomorfos”, es una relacion de equivalencia.


Entonces los espacios homeomorficos forman clases de equivalencia en las cualesse conservan sus propiedades topologicas. Estas clases sirven para clasificar a losespacios topologicos. Otra propiedad interesante y muy importante es el hecho quelos homeomorfismos con la operacion de composicion de funciones forma un grupo,llamado el grupo de automorfismos. Veamos esto.

Proposicion 17. Sea (X, τX) espacio topologico yAut (X) = {f | f : X − X homeomorfismo}. Entonces el par (Aut(X), ◦) es

un grupo llamado el grupo de automorfismos de X.


Para terminar esta seccion veamos ahora el concepto de camino y trayectoria.Estos conceptos son muy usados para definir geodesicas y conceptos relacionadoscon estas. Formalmente, la definicion de camino o trayectoria es:

4. TOPOLOGIA COCIENTE 15

Definicion 18. Sea (X, τX) espacio topologico e I ⊂ ℜ. A una funcion c :I → X se le llama un camino o trayectoria en X.

Entonces, una curva es la imagen de una trayectoria, esto es:

Definicion 19. Sea c ∈ C0(I, X). A la imagen de c se le llama la curva dec.

Estos dos conceptos deben quedar claros, un camino es la funcion misma mien-tras que la curva es la imagen de la funcion. Son conceptos muy distintos, el primeroes un elemento del conjunto de funciones y el segundo es un subconjunto del codo-minio de la funcion. Por otro lado, una reparametrizacion es una composicion dela curva con un automorfismo monotono creciente del dominio I de ℜ de la curva,es decir:

Definicion 20. Sea ϕ ∈ Aut+(I) = {f ∈ Aut(I) | f(t′) > f(t), t′ > t} y c ∈C0(I, X). A la funcion ϕ∗ : C0(I, X) → C0(I, X), c → ϕ∗(c) = c ◦ ϕ se le llamauna reparametrizacion de c.

Lo interesante de este concepto es que las curvas (no los caminos) son invari-antes ante estos automorfismos, es decir:

Proposicion 18. Las curvas son invariantes bajo reparametrizaciones.

Dem. 14. Sea c ∈ C0(I, X) trayectoria y Γc = c(I) la curva correspondiente.Entonces Γϕ∗(c) = ϕ∗(c)(I) = c ◦ ϕ(I) = c(ϕ(I)) = c(I) = Γc. �

Exemplo 16. Al camino c(t) = p para todo t ∈ I se le llama camino con-

stante.

Exemplo 17. Sea c : [0, 1] → X con c(0) = c(1) = p. A este camino se lellama lazo o loop en X.

4. Topologıa cociente

Imaginemos que podemos construir una funcion entre dos conjuntos y que eldominio tiene una topologıa. Entonces podemos mapear los abiertos del dominioal codominio y definir estos como abiertos del codominio. Surge la pregunta siahora las imagenes de estos abiertos forman una topologıa para el codominio. Larespuesta la podemos dar en la siguiente proposicion.

Proposicion 19. Sean (X, τX) espacios Y conjunto y f : X → Y funcion so-bre. El conjunto τf =

{

V ∈ P (Y ) | f−1(V ) ∈ τX

}

es una topologıa para Y , llamadatopologıa cociente de Y respecto a f .

Dem. 15. i) φ ∈ τf ya que f−1(φ) = φ ∈ τX y Y esta en τf ya que f es sobrey por lo tanto f−1(Y ) = X ;

ii) Sean V1, · · · , Vn ∈ τf , entonces f−1(∪ni=1Vi) = ∪n

i=1f−1(Vi) ∈ τX se sigue

que ∩ni=1Vi ∈ τf ya que cada f−1(Vi) ∈ τX ;

iii) Sea {Vα}α∈K con Vα ∈ τf . Entonces f−1( ∪α∈K

Vα) = ∪α∈K

f−1(Vα) ∈ τX

pues cada f−1(Vα) ∈ τX , se sigue entonces que ∪α∈K

Vα ∈ τf . �

Vamos a estudiar unos ejemplos de como podemos construir espacios topologicosusando mapeos sobre. Para hacer esto, lo importante es construir la funcion sobrecon la cual construimos el espacio topologico del codominio. Sea (X, τX) espacio


topologico y ∼ una relacion de equivalencia en X . La funcion p = X → X/ ∼ esuna funcion sobre que asocia a cada elemento de X, x → [x] su clase. La topologıaτX/∼ = {V ∈ P (X/ ∼) | p−1(V ) ∈ τX} es una topologıa para el conjunto de clasesde equivancia X/ ∼.

Sea I × I ={

(x, y) ∈ ℜ2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 < y < 1}

subespacio topologico de ℜ2.Entonces:

Exemplo 18. Sea la relacion de equivalencia pr1q si p = q ∈ ℜ2 i.e. (x, y) =

(x′, y′) , o si p 6= q (p, q) = ((0, y), (1, y)) o ((1, y), (0, y)) y la relacion pr2q como

p = q o si p 6= q, (p, q) = ((0, y), (1, 1 − y)) o ((1, y), (0, 1 − y)) . Graficamente seve en las figura 7 y figura 8.

Figure 7. El producto cartesiano de los intervalos [1, 1] × [1, 1]con la relacion r1, es topologicamente igual al cilindro.

Figure 8. De la misma forma, el producto cartesiano de los in-tervalos [1, 1]× [1, 1] con la relacion r2, es topologicamente igual ala cinta de Mobius

Cilindro=

(

I × I/r1, τI×I/r1

)

Cinta de Mobius=

(

I × I/r2, τI×I/r2

)

5. ESPACIOS COMPACTOS 17

Exemplo 19. Sea I2

={

(x, y) ∈ ℜ2 | 0 ≤ x, y ≤ 1}

. Sea la relacion pr3q sip = q, o p 6= q, (p, q) = ((0, y), (1, y)) o ((1, y), (0, y)) y (p, q) = ((x, 0), (x, 1)) o((x, 1), (x, 0)). Y la relacion pr4q si p = q o (p, q) = ((0, y), (1, y)) o ((1, y), (0, y))y (p, q) = ((x, 0), (1 − x, 1)) o ((1 − x, 1), (x, 0)). Graficamente se ve en las figura9 y figura 10

Figure 9. El producto cartesiano de los intervalos [1, 1] × [1, 1]con la relacion r3, es topologicamente igual al Toro.

Figure 10. De la misma forma, el producto cartesiano de los in-tervalos [1, 1]× [1, 1] con la relacion r4, es topologicamente igual ala Botella de Klein.

Toro=(

I2/r3, τI

2/r3

)

Botella de Klein=(

I2/r4, τI

2/r4

)

5. Espacios Compactos

Entre las nociones intuitivas que tenemos de conjuntos, existen dos clases quese diferencian notablemente. Existen espacios como ℜ que no tienen fin y otroscomo la esfera que son finitos. Por supuesto, desde el punto de vista matematicopodemos dar una diferenciacion de estos espacios, ya que no es lo mismo que un


conjunto no tenga fin o principio o que este conjunto sea simplemeten muy grande.Para dar una nocion concreta de estos conceptos, diremos que los conjuntos comola esfera, son compactos. Basicamente la diferencia es que a la esfera la podemoscubrir con un numero finito de abiertos. La definicion formal es:

Definicion 21. Sean (X, τX) espacio topologico y A ⊂ X. A es un conjunto

compacto si toda cubierta U de A contiene una subcubierta finita.

Proposicion 20. Sean (X, τX), (Y, τY ) espacios y f : X → Y funcion con-tinua. Entonces la imagen de subconjuntos compactos de X son subconjuntos com-pactos de Y .

Dem. 16. Sea A subconjunto compacto de X y sea V = {Vα}α∈K una cu-

bierta de f(A), entonces V−1 ={

f−1(Vα)}

α∈Kes una cubierta de A. Como A

es compacto, existe una cubierta finita de A, U ={

f−1(Vj)}N

J=1, subcubierta de

V−1 . Como f(

f−1(Vj))

⊂ Vj tenemos que f(A) ⊂ f(

∪Nj=1f

−1(Vj))

⊂ ∪Nj=1

f(

f−1(Vj))

⊂ ∪Nj=1Vj, por lo que {Vj}

NJ=1 es una cubierta finita de f(A). �

El punto mas importante de los espacio compacto es el hecho que:

Proposicion 21. Ser espacio compacto es una propiedad topologica.

Dem. 17. Solo daremos una idea de la demostracion. Se desprende del hechoque si X es compacto, f(X) lo es y si f es homeomorfismo, f−1(X) tambien escompacto. �

En lo que sigue hablaremos de algunas propiedades de los espacios compactosy de como se puede saber si un espacio es o no compacto. Por lo general no es facildemostrar que un espacio es o no compacto. Pero usando las dos siguientes proposi-ciones, de la segunda no daremos su demostracion, se puede verificar la propiedadde compacto en muchas ocaciones. Comencemos por la siguiente proposicion.

Proposicion 22. Si (X, τX) es compacto y Y tiene la topologıa cociente τf

con respecto a f : X → Y , sobre, entonces se sigue que (Y, τf ) es compacto.

Dem. 18. Como τY = τf , f es continua y como f es sobre f(X) = Y . EntoncesY es imagen continua de un compacto por lo tanto es compacto. �

Proposicion 23. [0, 1] ∈ ℜ es compacto.

Otra propiedad que ayuda a verificar si un espacio es o no compoacto es lasiquiente:

Proposicion 24. Todo subconjunto cerrado de un espacio compacto, es com-pacto.

Dem. 19. Sea A subconjunto cerrado de X y sea U = {Uα}α∈J una cubiertade A. A cerrado implica que Ac ∈ τX y Uext = {Uα, Ac}α∈J es una cubierta de X,ya que A ⊂ ∪

α∈JUα. Si X es compacto, entonces existe una subcubierta finita V de

Uext. Vext = {Vi, Ac}

ni=1 que cubre X. Por tanto V = {Vi}

Ni=1 es cubierta finita

de A, ya que para todo Vj ∈ Vext existe Ur ∈ Uext tal que Vj = Ur, es decir, A escompacto. �

Tambien es facil imaginarse que el producto cartesiano de espacios compactos,es compacto. Formalmente se tiene la siguiente proposicion:

5. ESPACIOS COMPACTOS 19

Proposicion 25. El producto topologico (X × Y, τx×y) es compacto sı cada(X, τX) y (Y, τy) es compacto.

Dem. 20. Solo demostraremos una direccion. =⇒) Como X ×Y es compacto,entonces Π1 : X × Y = X y Π2 : X × Y → Y son compactos, ya que Π1 y Π2 soncontinuas. �

De estas propiedades resultan algunos ejemplos y resultados sencillos. Por

ejemplo tenemos que el n-cubo es compacto, i.e. IN

⊂ ℜn es compacto.Otro concepto relacionado con espacios compactos, es el concepto de conjunto

acotado, concepto que se puede dar en un espacio normado. Entonces podemosdefinir conjuntos acotados en los reales, utilizando su norma canonica. Intuiti-vamente, un espacio compacto debe ser acotado, finito. Formalmente se tiene ladefinicion:

Definicion 22. Sea A subconjunto de (ℜn, τℜn) y n ∈ Z+. Se dice que A esun conjunto acotado si para todo x = (x1, · · · , xn) ∈ A, existe K ∈ ℜ+, tal que∣

∣xi∣

∣ ≤ K para todo i = 1, · · · , xm.

Con el siguiente teorema podemos relacionar entonces ambos conceptos.

Teorema 21 (de Heine-Borel). Todo subconjunto de ℜn cerrado y acotado, escompacto.

Dem. 22. A acotado ⇒ A ⊂ [−K, K]n hom

≅ In

para algun K. A cerrado y[−K, K]n compacto implica A compacto. �

Ahora usemos lo anterior para verificar si algunos espacios son compactos,veamos algunos ejemplos.

Exemplo 20. In⊂ ℜn es cerrado y acotado, por lo tanto es compacto.

Exemplo 21. Sn ⊂ Rn+1 es cerrado y acotado, por lo tanto es compacto, etc.

Otro concepto interesante, que solo mencionaremos, es el de espacios paracom-pactos. Para definirlo, es necesario introducir la siguiente definicion.

Definicion 23. Una familia F de subconjuntos de (X, τX) es localmente

finita o finita por vecindades, si para todo x ∈ X existe Ux ∈ τX tal que Ux

intersecta a lo mas un numero finito de elementos de F .

Definicion 24. Un refinamiento de U es una cubierta V = {Vβ}β∈K de

(X, τX) tel que para todo Vβ ∈ V existe Uα ∈ U con Vβ ⊂ Uα. Se denota por{Vβ}β∈J < {Uα}α∈J .

Proposicion 26. Toda subcubierta de una cubierta es un refinamiento.

Dem. 23. Sea V una subcubierta de U , esto implica que para todo Vβ ∈ Vexiste Uα ∈ U con Vβ = Uα ⊂ Uα. �

Definicion 25. Un espacio es paracompacto si toda cubierta tiene un refi-namiento finito por vecindades.

Este concepto, en cierta forma, es mas general que el concepto de espacioscompactos, ya que:

Proposicion 27. Todo espacio compacto es paracompacto.


Dem. 24. X compacto implica que toda cubierta U de X tiene una subcubiertafinita, esto quiere decir que cualquier vecindad Ux de x ∈ X intersecta a lo mas unnumero finito de elementos del refinamiento V de U . �

Los espacios que no son compactos, se pueden en ocaciones, compactificar. Laforma mas simple de entenderlo es dando un ejemplo sencillo. Imaginemos la rectareal, la cual se extiende indefinidamente hacia los numeros positivos y negativos.Ahora tomemos la recta real y unamos los puntos extremos, tanto de lado negativocomo del lado positivo. Lo que se tendra es un cırculo, que puede ser de radio 1,por simplicidad. Este cırculo es una forma compacta de escribir la recta real, dondeahora si tenemos un numero que representa el infinito (en los reales, el infinito no esun numero, es solo un concepto para designar muy grande). Formalmente se puedehacer este proceso, siguiendo los pasos de la siguiente proposicion que enunciaremossin demostracion.

Proposicion 28. Sea (X, τX) espacio topologico y ∗ /∈ X. Sea∧τ = τX ∪

{V ∪ {∗}}V ∈K con K = {abiertos con complemento compacto en X}. Entonces

1)∧τ es una topologıa para

∧

X = X ∪ {∗}

2) (X, τX) es subespacio topologico de

(

∧

X,∧τ

)

3)

(

∧

X,∧τ

)

es compacto

4) X es denso en

(

∧

X,∧τ

)

si X no es compacto.

Notacion 4. A la topologıa∧τ = τX ∪ {V ∪ {∗}}V ∈K con K = {abiertos con

complemento compacto en X} se le llama la compactificacion por un punto de(X, τX) o simplemente compactificacion de X.

Ahora veamos el ejmplo de la compactificacion de la recta real formalmente. Loque vamos a hacer es agregarle un punto a la recta real, que podemos llamar tambienel infinito, pero puede ser lo que sea. Y luego definimos un homeomorfismo que vayadel cırculo a la recta real. Ası demostramos que el cırculo es una compactificacionde la recta real. Aquı estudiaremos el ejemplo mas general de la compactificacionde ℜn, esto es:

Exemplo 22. La compactificacion por un punto de ℜn esta dada por∧

ℜn =ℜn ∪ {∞}, veamos esto.

Consideremos la funcion:

σ : Sn→ℜn

es decir

σ :(

x1, · · · , xn+1)

→

{ (

x1, · · · , xn)

/(

1 − xn+1)

si x 6= (0, · · · , 0, 1)∞ si x = (0, · · · , 0, 1)

el cual es un homeomorfismo, con inversa σ−1 : ℜn → Sn dada por

σ−1 :

{

(

x1, · · · , xn)

→ 11+(x1)2+···+(xn)2

(

2x1, · · · , 2xn, (x1)2 + · · · + (xn)2 − 1)

∞ → (0, · · · , 0, 1)

Entonces Snhom∼= ℜn. Ejemplos de esto son el cırculo S1

hom∼= ℜ y la esfera S2

hom∼=

ℜ2 = ℜ2 ∪ {∞} ∼= C ∪ {∞} llamada esfera de Riemann, etc. A la funcion σ sele llama proyeccion estereografica . Vean la figura 11

6. ESPACIOS CONEXOS 21

Figure 11. La proyeccion estereografica en el plano. Esta funcionproyecta los puntos del cırculo 1 -1 en la lınea recta. De la mismaforma, la proyeccion estereografica proyecta 1 -1 cualquier esferade dimension arbitraria (finita) en un plano de la misma dimension.

Para terminar esta seccion daremos una clasificacion interesante de los espaciostopologicos segun su estructura.

Definicion 26. Sea(X, τX) espacio topologico.· Se dice que X es espacio T0 si para todo x, y ∈ X , x 6= y, existe Ux con

y /∈ Ux o existe Uy con x /∈ Uy

· Se dice que X es espacio T1 si para todo x, y ∈ X, x 6= y, existe Ux y Uy

con y /∈ Ux y x /∈ Uy

· Se dice que X es espacio T2 o Hausdorff si para todo x, y ∈ X, x 6= y,existe Ux, Uy con Ux ∩ Uy = φ

· Se dice que X es espacio T3 o espacio regular, si X es T1 y si para todox ∈ X y F cerrado en X con x /∈ F , existe Ux y U en τX con F ⊂ U y Ux∩U = φ

· Se dice que X es espacio T4 o espacio normal , si X es T1 y para todoF, G cerrados disjuntos en X, existe U, V ∈ τX tal que U ∩V = φ y F ⊂ U, G ⊂ V ,ver figura 12.

Ejercicio 9. Muestre que todo espacio T2 es T1

Ejercicio 10. Muestre que todo espacio T1 es T0

Ejercicio 11. Muestre que todo espacio metrizables es T2

Ejercicio 12. Muestre que todo espacio metrico es Hausdorff.

6. Espacios Conexos

Un espacio topologico puede ser tambien hecho de piezas separadas, o pedazossin union. Cuando los espacios son hechos de una sola pieza, se dice que son espa-cios conexos. Para definir los espacios conexos es mas sencillo definir los espaciosdisconexos, es decir:

Definicion 27. Un espacio topologico (X, τX) es disconexo si existen A, B ∈τX tales que A, B 6= φ, A ∪ B = X y A ∩ B = φ.


Figure 12. Clasificacion de los espacios topologicos.

Definicion 28. Un espacio es conexo si no es disconexo.

Definicion 29. Sea (X, τX) espacio topologico y A ⊂ X (subespacio). A esconexo si lo es como subespacio topologico de X.

Algunos ejemplos simples son:

Exemplo 23. El espacio de Sierpinski es conexo, ya que X = {a, b} y τX ={φ, {a, b} , {a}}, siempre, ya que {a, b} ∪ {a} = X y {a, b} ∩ {a} 6= φ.

Exemplo 24. La topologıa discreta es disconexa, ya que para todo A 6= φ, Xcon A ∈ P (X), Ac ∈ P (X) y A ∩ Ac = φ, con A ∪ Ac = X

Por definicion, en un espacio topologico el vacio y todo el espacio son abiertosy cerrados a la vez. En base a esto, un criterio para decidir si un espacio es conexo,es el siguiente.

Proposicion 29. Sea (X, τX) espacio. X es conexo, ssı los unicos abiertos ycerrados a la vez son X y φ, ademas no existe f ∈ C0 (X, {0, 1}) sobre.

6. ESPACIOS CONEXOS 23

Finalmente, ser conexo es tambien una propiedad topolologica. Para ver esto,veamos la siguiente proposicion.

Proposicion 30. La imagen continua de conexos es conexa.

Dem. 25. Sea f : X → Y continua y (X, τX) espacio conexo. Supongamos que(

f(X), τf(x)

)

⊂ (Y, τY ) no es conexo. Entonces existe g : f(X) → {0, 1} continua

y sobre y por lo tanto g ◦ f ∈ C0 (X, {0, 1}) y es sobre, lo que implica que (X, τX)no es conexo, lo que contradice la hipotesis. �

Proposicion 31. Ser conexo es una propiedad topologica.

Dem. 26. Basta tomar un homeomorfismo, como es sobre y continuo, la ima-gen de un conexo sera conexa y lo mismo para la inversa. �

Vamos a ver algunos ejemplos representativos:

Exemplo 25. Todos los intervalos en ℜ son conexos.

Exemplo 26. ℜ es conexo, ya que ℜhom∼= (−1, 1) que es conexo.

Exemplo 27. S1 es conexo ya que f : [0, 1] → S1, τ → (cos (2πt) , sen (2πt))es continua.

topo1

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