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Topografia e Tecniche di Rilevamento
Definizioni.
Le misure in topografia.
Principi di statistica: le variabili aleatorie.
Distribuzione di Gauss.
Il metodo delle Osservazioni Indirette.
Le superfici di riferimento in topografia.
Le osservabili nel rilevamento topografico (angoli, distanze e dislivelli)
Richiami Utili al
Corso
Rilievo planimetrico: soluzioni tradizionali e calcolo con le Osservazioni Indirette.
Rilievo altimetrico: soluzioni tradizionali e calcolo con le Osservazioni Indirette.
Inserimento delle misure nei sistemi di riferimento locali e nella cartografia.
Metodi Tradizionali
di Rilevamento
Topografico
Movimenti del suolo.
Movimento delle strutture: Controlli e Collaudi tipici dell’ingegneria edile/civile.
Misure per il
controllo dei
movimenti e delle
deformazioni
Funzionamento del sistema.
Tecniche di posizionamento.
Precisioni raggiungibili.
Applicazioni.
Sistemi di riferimento e reti di stazioni GPS permanenti.
Il rilevamento
satellitare GPS
(Global Positioning System)
Insieme delle procedure teoriche ed operative finalizzate al rilievo (rilevamento)
di aree di limitata estensione e degli oggetti, naturali ed antropici, inclusi. Topografia
Rilevamento
Presuppone la determinazione delle posizioni relative ed assolute di punti
rappresentativi della zona che siano in grado di rappresentare il territorio e/o gli
oggetti contenuti con un livello di dettaglio che è funzione degli scopi del rilievo
stesso ed è correlato alla scala del rilievo o della successiva rappresentazione.
Disciplina che si occupa di definire la forma e la dimensione della Terra
attraverso teorie e procedure operative (una di queste è la Topografia). Geodesia
Definizioni Generali (1/2)
Superficie di
riferimento
La rappresentazione di aree più o meno estese della superficie terrestre
richiede l’adozione di una superficie di riferimento e di un sistema di
coordinate in grado di identificare la posizione dei punti rilevati e stabilire
delle relazioni analitiche fra gli stessi.
Caratteristiche
1. essere di semplice formulazione matematica;
2. approssimare nel miglior modo possibile la forma e la dimensione della
porzione di superficie terrestre su cui è svolto il rilievo;
3. consentire l’adozione di un sistema di coordinate per la
rappresentazione dei punti rilevati sul territorio.
Tipologie Ellissoide, sfera, piano
Definizioni Generali (2/2)
Sistema
Informativo
Territoriale
Contenitore di dati territoriali con capacità aggiuntive
elaborare le informazioni geografiche di base secondo diversi livelli di
complessità;
di produrre nuove informazioni utili alla gestione del territorio in senso
ampio (ambientale, politico, urbanistico, socio-economico ecc.).
Geographical
Information
System
Strumento (ambiente di lavoro, software) che consente di creare e gestire un
SIT.
Disciplina che ricerca e stabilisce le procedure che consentono di
rappresentare sul piano la superficie terrestre e le caratteristiche degli
oggetti presenti.
Cartografia
Richiami (1/3)
Misure
Topografiche
Distanze
Angoli
Metro (numero multiplo della lunghezza d’onda dell’elemento chimico
Cripto86)
Sistemi
Analitici
Radiante (valore dell’angolo sotteso da un arco di
circonferenza che presenta una lunghezza uguale
al raggio della stessa)
Sistemi
Geometrici
Grado sessagesimale (circonferenza 360°)
Grado centesimale (circonferenza 400°)
rr
r
r
29577951,572
360
017453293,0360
2
3602
Funzioni di
un angolo
r
y
r
x sincos
x
y
x
yarctan
cos
sintan
Richiami (2/3)
tan 90arctan90
Risoluzione
di Triangoli
Piani
180
Rcba
2sinsinsin
coscos cba
cos2222 bccba
Relazione tra gli angoli
interni
Teorema dei Seni
Teorema delle Proiezioni
Teorema di Carnot
y
x
r
α
α
β
γ
a
b
c
Precisione
ed
Accuratezza
Richiami (3/3)
Precisione
Quantifica lo scostamento
tra misure (o osservazioni)
successive
Accuratezza
Quantifica la vicinanza al
valore reale della
grandezza misurata
Errori nelle
misure
Sistematici Derivano da un difetto strumentale o dalla incorretta rettifica delle parti
costituenti. Non possono essere individuati a partire dalle misure eseguite.
Casuali
Dato dalla somma di tanti fattori concomitanti, si presenta ad ogni
determinazione spostandola dal valore vero che rimane puramente
teorico.
Cenni di Statistica (1/3)
Grandezza x n misure di uguale
precisione
Varianza della
Media
Media delle
misure
Varianza della
misura
n
i
in x
nx
n
xxxx
1
21 1...
n
i
ix xxn 1
22
1
1
n
i
ix xxnn 1
22
1
1
Scarto Quadratico
Medio
(Deviazione
Standard)
n
i
ix xxn 1
2
1
1
Grandezza x n misure di diversa
precisione
n
i
i
n
i
ii
n
nn
p
px
xppp
pxpxpxx
1
1p
21
2211p
...
...
n
i
iix xxpn 1
2
p
2
1
1
n
i
iin
i
i
x xxp
pn 1
2
p
1
2
)1(
1p
n
i
iix xxpn 1
2
p1
1
Grandezze
Mono
Dimensionali 2
20
i
ip
Grandezze
Multi
Dimensionali
Covarianza
n
i iixy yyxxn 11
1
Misura il grado di correlazione tra coppie di variabili (a
due a due) che definiscono una grandezza n-dimensionale
2
2
2
),,(C
zzyzx
yzyyx
xzxyx
zyx
Matrice di
Varianza-
Covarianza
Contiene informazioni complete sugli errori associati alle
variabili stimate
Nei problemi del rilevamento (topografia, geodesia, rilevamento satellitare, fotogrammetria,
ecc.) si effettuano diverse misure (osservazioni) per determinare i parametri incogniti del
problema (che normalmente sono le coordinate dei punti). Tali misure non possono essere
trattate singolarmente sia a causa dell’effetto che hanno l’una sull’altra, sia per la dipendenza
statistica presente tra di esse.
1. la matrice è simmetrica;
2. gli elementi diagonali sono positivi;
3. la matrice non deve essere singolare (ossia la matrice deve
essere invertibile, ossia il determinante deve essere ≠ 0).
Caratteristiche
Cenni di Statistica (2/3)
Coefficiente di
Correlazione yx
xyyxxy
Misura la forza della correlazione tra due variabili
Casi possibili
10
0
01
Correlazione negativa
Non correlazione
Correlazione positiva
Probabilità
p(x)
Cenni di Statistica (3/3)
Rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili
Limiti 1. il numero dei casi possibili deve essere finito;
2. gli eventi devono essere equi-probabili.
Frequenza
f(x) Rapporto tra nx (numero di casi in cui si verifica l’evento) e ntot (numero di repliche totali)
)()(lim xpxfn
All’aumentare del numero di repliche totali la frequenza f(x)
dell’evento x si stabilizza e tende alla probabilità p(x) dello stesso
evento
Probabilità
Totale
Probabilità
Composta
)()()( ypxpyxp
)()()( ypxpxyp
Probabilità che uno dei due eventi si
verifichi
Probabilità che entrambi gli eventi si
verifichino
x, y sono eventi
non correlati
Distribuzione
di Gauss
Si può dimostrare che gli errori casuali di misura appartengono ad una distribuzione gaussiana
del tipo N(0, σ2), ossia con media 0 e varianza σ2. Quindi le misure appartengono ad una
distribuzione gaussiana del tipo N(μ, σ2).
Densità di
Probabilità È la funzione che rappresenta la dispersione di misure soggette ad errori casuali. Identifica la
probabilità che un certo evento si verifichi.
2
2
1
e2
1)(
x
xf
Caratteristiche
1. il valore medio μ è anche il più probabile;
2. ha due flessi in corrispondenza dei punti μ±σ;
3. al crescere di σ2 (determinazioni meno precise) la curva si
appiattisce;
4. la funzione è tale che
1d)( xxf
Distribuzione di Gauss per variabili monodimensionali (1/2)
Densità di
Probabilità Consente di calcolare la probabilità che una misura x cada nell’intervallo dei valori A – B
B
AxxfAfBfBxAP d)()()()(
xxxxP
x
x
x
de2
1),(
2
1
2
2
1
21
L’integrale può essere calcolato ma
dipende dal set di misure effettuato (μ, σ).
Per svincolarsi da questa condizione, si
procede alla standardizzazione della
funzione con l’introduzione della
variabile normalizzata u.
2
2
1
e2
1)(
u
ufx
u
%73,99de2
1)]3,3([
%45,95de2
1)]2,2([
%27,68de2
1)],([
3
3
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
uxP
uxP
uxP
u
u
u
Probabilità degli
intervalli particolari
Tutte le misure x per cui vale la
condizione |x – μ|>3σ
possono essere considerate
affette da errore grossolano
(condizione di tolleranza).
Distribuzione di Gauss per variabili monodimensionali (2/2)
Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria (1/3)
Grandezza
fisica x
n misure
(x1, x2, …, xn)
1. stima del valore più plausibile della grandezza fisica x;
2. stima della varianza di ogni misura (x1, x2, …, xn);
3. stima della varianza del valore più plausibile.
x può essere considerata una
variabile aleatoria n-
dimensionale in cui le n
determinazioni sono tutte
indipendenti e soggette a sole
fluttuazioni casuali
Funzione di
Verosimiglianza È la densità di probabilità della variabile aleatoria x e rappresenta la probabilità che tale
evento si manifesti.
n
i
iinnn xfxfxfxfxxL1
22111 ...,...,
Criterio di
Massima
Verosimiglianza
le singole funzioni di
probabilità contengono
ovviamente i valori di
media e varianza del
campione
I parametri incogniti (media e varianza) sono quelli che massimizzano la funzione di
verosomiglianza.
n
i
ii x
n
n
i
x
nxxxP 1
2
22
2
2
1
221
22
21 e2
1e
2
1,,...,,,
Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria (2/3)
Misure di Peso Uguale
(stessa precisione)
n
iix
nnP
1
2
2
2
2
1ln
22ln
2ln
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
xn
xn
xnP
xP
1
22
1
1
2
422
12
1
1
02
1
2
ln
01ln
Si scrive la funzione nella
sua forma logaritmica
I valori cercati si trovano
uguagliando a zero le
derivate parziali di ln P
rispetto a μ e σ
La stima della varianza va
corretta in quanto gli scarti
rispetto alla media non sono
tutti indipendenti tra loro,
per cui i gradi di libertà
sono n – 1.
n
i
ixn
s1
22 ˆ1
1
Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria (3/3)
Misure di Peso Diverso
(diversa precisione)
2
12
2
2
1
1
21
2
)(
22
2
2
121 e
2
1e
2
1,...,,,,,...,,
n
i i
i
i
i x
n
i
i
n
n
i
x
i
nnxxxP
i
i
i
ip
p2
02
2
2
0
n
i
ii xp
n
n
i
i
nn
p
xxxP 1
2
202
1
22
0
1
21
22
2
2
121 e2
)...,,,,,,...,,(
Introducendo i pesi e
supponendo di conoscere le
varianze delle singole
misure
n
i
ii
n
i
iin
i
i
xpn
s
xp
p
1
22
0
1
1
1
1
1
Con un procedimento
analogo a quello precedente,
si determinano i valori di μ e
σ
Distribuzione di Gauss per variabili bidimensionali (1/2)
Variabili
casuali (x, y)
indipendenti
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
22e
2
1e
2
1e
2
1),,,(
y
y
x
x
y
y
x
xyx
yx
y
y
x
x
yxyxf
Le coordinate di un punto possono essere trattate come una variabile bidimensionale e la loro
determinazione introduce delle correlazioni proprio in funzione delle modalità operative svolte. Quindi la
formulazione della densità di probabilità cambia con introduzione del coefficiente di correlazione.
1dd, yxyxf
Per le applicazioni di interesse al rilevamento è utile analizzare le curve che si ottengono dall’intersezione della superficie
con piani z = f(x,y) = costante. Si può dimostrare che, in presenza anche delle covarianze trascurate nella formulazione, la
figura di intersezione è un’ellissi la cui dimensione dipende dalla definizione del piano a z costante.
Ellisse Standard
22
222222
2
222222
2
2arctan
2
12
4
2
4
xy
xy
xyyxyx
xyyxyx
b
a
Distribuzione di Gauss per variabili bidimensionali (2/2)
I valori di σx, σy e σxy
possono essere ricavati dalla
matrice di varianza-covarianza.
Quando tra le variabili non
vi è correlazione (σxy = 0)
l’ellisse presenterà gli assi
paralleli agli assi coordinati.
Rappresenta l’area all’interno della quale si ha il 39% della probabilità di un individuo
estratto a caso per quella popolazione (di variabili bidimensionali). Se l’ellisse ha semiassi
doppi la probabilità sale al 86% mentre per ellissi con semiassi tripli questa diventa del
99%.
Ellisse d’Errore Definisce la probabilità di un punto di coordinate (x, y) di cadere all’interno dell’ellissi
stessa. Questo consente di quantificare la precisione del calcolo e quindi la significatività
delle misure.
Propagazione Pitagorica degli Errori
Consente di valutare gli errori di variabili ottenute dalla combinazione di altre variabili (ad esempio valori misurati) a loro
volta soggetti ad errori nella determinazione. La propagazione di un errore lungo una formula o un criterio comporta un
aumento dell’incertezza finale.
2222222tzyx cbactbzayx
2
2
2
2
2
2
2,, tzyxt
f
z
f
y
ftzyfx
Funzione Lineare
Funzione non Lineare
Nel caso di variabili
non indipendenti
occorre conoscere
anche la covarianza che
lega le varie coppie di
variabili
Test del Chi-Quadro (χ2)
Permette di confrontare una serie di dati osservati sperimentalmente con la serie dei dati attesi in base a un’ipotesi teorica
(ipotesi nulla H0) e di stimare la bontà di questa ipotesi. Il problema statistico è di poter dedurre se la differenza è
trascurabile e quindi probabilmente dovuta solo al caso (ipotesi nulla H0), oppure se è di dimensione tali da fare più
ragionevolmente supporre una distribuzione realmente diversa da quella attesa (ipotesi alternativa H1).
Serie di Dati
Osservati Oi
Distribuzione
Associata ad una
Grandezza Misurata
Serie di Dati Attesi
Ei
Distribuzione Teorica
(p.e. Distribuzione
Gaussiana)
n
i i
ii
E
EO
d 1
2
2 1
Gradi di Libertà d
Differenza tra numero delle
osservazioni e numero delle
incognite
Per dare una significatività al
risultato del test occorre fissare
un livello di probabilità da
associare al risultato del test
stesso. Di solito questo livello
viene posto al 1% o 5% (0,01 o
0,05 rispettivamente).