Topologi

1

1: Fundamentale begreber.

Hvis vi lader henholdsvis O og C betegne de abne og afsluttede delmængder i et metrisk rum med X somunderliggende mængde, mens vi benytter betegnelserne I henholdsvis A for de to operationer indredannelseog afslutningsdannelse, da vil disse fire topologiske grundbegreber opfylde følgende regler, hvor vi for enhvermængde M benytter M∗ som betegnelse for mængden af delmængder af M og M (∗) for mængden af endeligedelmængder:

O: Abne mængder

X ∈ O∅ ∈ O∀O′ ∈ O∗ :

⋃O′ ∈ O∀O′ ∈ O(∗) :

⋂O′ ∈ O

O→C-C→O

C: Afsluttede mængder

∅ ∈ CX ∈ C∀C′ ∈ C∗ :

⋂ C′ ∈ C∀C′ ∈ C(∗) :

⋃ C′ ∈ C

I→O?O→I A→C

?C→A

I: Indreoperationen

I(X) = X

∀D ∈ D : I(D) ⊂ D

∀D ∈ D : I(I(D)) = I(D)

∀D′ ∈ D(∗) : I

( ⋂

D∈D′D

)=

⋂

D∈D′I(D)

I→A-A→I

A: Afslutningsoperationen

A(∅) = ∅∀D ∈ D : A(D) ⊃ D

∀D ∈ D : A(A(D)) = A(D)

∀D′ ∈ D(∗) : A

( ⋃

D∈D′D

)=

⋃

D∈D′A(D)

Disse regler kan fyndigere (og lidt forkortet) udtrykkes ved at sige at de abne mængder udgør en samling somer lukket med hensyn til fællesmængdedannelse af endelig mange mængder og foreningsmængde af vilkarligtmange, mens samlingen af afsluttede mængder har det lige omvendt. Indredannelsen er en formindskendeidempotent operator som respekterer fællesmængdedannelse af endelig mange mængder mens afslutnings-dannelse er udvidende, idempotent og respekterer foreningsmængdedannelse af endelig mange mængder.

Jeg fremhæver disse egenskaber fordi de er fundamentale pa to forskellige mader.

For det første er det muligt at definere de fleste øvrige begreber (fx kontinuitet og kompakthed) alene ud fradisse begreber uden at inddrage den metrik de stammer fra. Som bekendt siger vi jo ogsa at to metrikker ertopologisk ækvivalente, hvis de giver anledning til de samme systemer af abne mængder.

Desuden giver de et overskueligt overblik over disse begrebers indbyrdes relationer, og analogier imellem dem.Dette overblik kan yderligere perspektiveres ved at se pa hvordan disse fire understrukturer er indbyrdesforbundet. Dette har jeg sammenfattet i følgende skema. Her er de fire strukturer relateret parvis for devigtigste par. Af skemaet fremgar det hvordan man kan frembringe en af understrukturerne fra nogle afde øvrige. F.eks giver kendskab til systemet af abne mængder fuld kendskab til systemet af de afsluttedemængder og fuld kendskab til hvordan indredannelsen virker. De angivne egenskaber kan ved hjælp af disseforbindende relationer ogsa nemt overføres fra et af systemerne til de øvrige. En strategi til at bevise samtligerelationer kunne saledes være at bevise dels at et af systemerne har disse egenskaber, ved anvendelse af denunderliggende metrik, dels eftervise de forbindende relationer, maske igen ved brug af metrikken (visse afdem kan endda være definitioner og skal da slet ikke vises.

2

For det andet giver de to skemaer et godt udgangspunkt for at forsta generaliseringen fra topologi i metriskerum til generelle topologiske rum. Vi har nemlig sa et godt forslag til hvad vi skal ønske os af et sadantgenerelt begreb. Til den videre diskussion vil vi betegne de fire betingelser der er nævnt for de abne mængder,som aksiomerne for et system af abne mængder og analogt for de andre blokke af betingelser.

O

Fra afsluttede til abne

O = {X \ C : C ∈ C}

Fra abne til afsluttede

C = {X \O : O ∈ O}

C

Fra abne til indre

I(D) =⋃

O⊂D,O∈OO

Fra indre til abne

O = {D ∈ D : I(D) = D}

Fra afsluttede til afslutning

A(D) =⋂

C⊃D,C∈CC

Fra afslutning til afsluttede

C = {D ∈ D : A(D) = D}

I

Fra indre til afslutning

A(D) = X \ I(X \D)

Fra afslutning til indre

I(D) = X \A(X \D)

A

1. Definition (Topologisk struktur)

Ved en topologisk struktur forstas en kombination af en mængde X, kaldet det underliggende rum, to systemerO og C af delmængder af X samt to unære operationer I og A pa mængden af delmængder af X, saledesat samtlige egenskaber nævnt i de to skemaer ovenfor er opfyldt. Betegnelserne abne mængder, afsluttedemængder, det indre af en mængde og afslutningen af en mængde benyttes pa oplagt vis

Som antydet giver denne definition umiddelbart anledning til følgende

2.Sætning (Et metrisk rum frembringer en topologisk struktur)

Og hvad sa, hvis man ikke lige har en metrik. Det er jo en frygtelig masse objekter med indbyrdes internerelationer man skal definere og eftervise. Heldigvis kan man nøjes med meget mindre. Man kan f.eks. nøjesmed at have et system O som opfylder de fire betingelser som er knyttet til systemet af abne mængder. Viudmønter dette i følgende sætning.

3.Sætning (De abne mængder bestemmer den topologiske struktur)

Lad der være givet en mængde X og et system O af delmængder af X som opfylder axiomerne for de abnemængder. Da findes der netop eet system C af delmængder af X som opfylder axiomerne for afsluttedemængder, een operator I som opfylder axiomerne for en indreoperation og een operator A som opfylderaxiomerne for en afslutningsoperator saledes at X,O, C, I, A sammen udgør en topologisk struktur.

Bevis: Vi vil vise lidt mere fordi vi har visse bagtanker.

Lad der være givet et system O, som opfylder axiomerne for et system af abne mængder og lad os danne det

3

system C som bestar af komplementærmængderne. Da vil C opfylde axiomerne for et system af afsluttedemængder og vi vi have at O netop er komplementærmængderne af mængderne i C. Vi kan udtrykke dettepa følgende made.

Vi vil ikke gennemføre hele beviset, blot eksemplificere: Lad C′ ∈ C∗ og sæt O′ = {{C : C ∈ C′. Da harvi at O′ ∈ O∗ og derfor at

⋃O′ ∈ O. Derfor vil {⋃O′ ∈ C og da {

⋃O′ =⋂ C′ har vi altsa at

⋂ C′ ∈ C.Dermed har vi eftervist at C opfylder et af aksiomerne.

Og omvendt. Hvis der er givet et system C som opfylder aksiomerne for et system af afsluttede mængder og vilader O være systemet bestaende af komplementærmængder af mængderne i C, da vil O opfylde aksiomernefor et system af abne mængder.

Vi kan heraf slutte to ting. Hvis systemet af abne mængder er givet pa forhand, sa vil systemet af afsluttedemængder være bestemt heraf og vil automatisk opfylde de nødvendige aksiomer.

Hvis systemet af afsluttede mængder er givet vil systemet af abne mængder være bestemt heraf og vilautomatisk opfylde aksiomerne for et system af abne mængder.

Noget tilsvarende gælder for de andre ingredienser i definitionen af den topologiske struktur:

Hvis et af hjørnerne i det første diagram er bestemt saledes at aksiomerne svarende til dette hjørne er opfyldt,sa vil de øvrige hjørner være bestemt heraf ved relationerne i relationsdiagrammet og aksiomerne svarende tildisse hjørner vil automatisk være opfyldt ligesom samtlige andre relationer i relationsdiagrammet automatiskvil være opfyldt.

Nar man derfor skal angive en topologi er det nok at etablere et af hjørnerne.

Det er sædvanligt i elementære fremstillinger, at forfatteren vælger et bestemt hjørne, f.eks. systemet afabne mængder, og siger at dette er definitionen pa en topologi. Herefter følger sa definitionerne af de øvrigebegreber og beviset for at de opfylder aksiomerne. Man kan f.eks. starte med at definere systemet afafsluttede mængder og indredannelsesoperationen begge ud fra systemet af abne mængder, og slutteligt atdefinere afslutningsoperationen enten ud fra de afsluttede mængder eller ud fra indredannelsesoperationen.

En anden vej som ofte vælges er at starte med en afslutningsoperation og definere resten herudfra.

Pastanden om at man kan starte i hvad hjørne man kunne ønske sig er derfor ikke af egentlig praktiskbetydning, men har mere karakter af begrebsafklaring.

Jeg vil illustrere med nogle fa beviser:

Lad E være en vilkarlig delmængde lad os vise at I(I(E)) = I(E), hvis I(E) er defineret ud fra systemet afabne mængder.

Det er klart ud fra definitionen at I(D) ⊂ D da I(D) er foreningsmængde af delmængder af D.

Nar dette anvendes pa D = I(E) følger straks at I(I(E)) ⊂ I(E), altsa den ene inklusion. Lad nu O væreen vilkarlig aben mængde for hvilken O ⊂ E, da vil O ⊂ I(E) per definition af I. Derfor ma vi ogsa haveat O ⊂ I(I(E)). Vi har dermed at I(E) er en foreningsmængde af nogle mængder som alle er delmængde afI(I(E)), og derfor er I(E) selv en delmængde af I(I(E)). Dermed er begge inklusioner bevist.

Lad os dernæst antage at afslutningsoperationen A opfylder de til denne hørende aksiomer og defineresystemet C af afsluttede mængder ved at kalde D for afsluttet hvis A(D) = D. Vi vil vise at dette systemopfylder aksiomerne for et system af afsluttede mængder. Antag sa at C′ er en endelig mængde af afsluttedemængder. Vi har da at

A(⋃

C∈C′C) =

⋃

C∈C′A(C) =

⋃

C∈C′C

4

hvoraf det fremgar at⋃

C∈C′ C er afsluttet.

Det almindeligst forekommende valg er nu om dage at sige at en topologi er et system af delmængder, somopfylder aksiomerne for et system af abne mængder. Historisk har man først benyttet en definition baseretpa et omegnsbegreb, som vi vender tilbage til om lidt, men ogsa den definition, hvor der tages udgangspunkti afslutningsoperationen (denne kaldes en Kuratowski operation) forekommer ofte.

Et vigtigt aspekt er at have bekvemme metoder til at definere givne topologier, og her kan vi forsøge atefterligne definitionen af metriske rum ved at skaffe os en analogi til de abne kugler. Dette er indeholdt ifølgende definition:

4. Definition (Basis)

Ved en basis for en topologisk struktur (X,O, C, I, A) forstas et system, B, bestaende af abne mængder, kaldetbasismængder, sadan at enhver aben mængde kan skrives som foreningsmængde af basismængder.

Forbindelsen til kugler i metriske rum fas af at mængden af abne kugler i et metrisk rum udgør en basis fortopologien. For ethvert punkt x i den abne mængde O kan vi jo finde en aben kugle K indeholdende x ogindeholdt i O. Foreningsmængden af alle disse kugle vil jo netop være O.

Basisbegrebet giver os en ny og bekvem made at fremstille topologier pa. Hvis vi nemlig angiver en basissa er jo de abne mængder givet og dermed hele den topologiske struktur. Hvad vi da har brug for er etkriterium for at et system af mængder pa denne made faktisk giver en topologi. Der gælder:

5.Sætning (Kriterier for en basis)

Lad B være et system af delmængder som opfylder følgende to betingelser

(1) Ethvert punkt i X ligger i mindst en mængde fra B

(2) Hvis x ligger i B1 ∩B2 og B1, B2 ∈ B, da findes B3 ∈ B saledes at x ∈ B3.

da findes der netop en topologisk struktur pa X som B er en basis for.

Bevis : Lad I betegne den operation pa delmængderne af X som er defineret ved at

I(D) =⋃

B∈B,B⊂D

B

da vil I opfylde aksiomerne for en indredannelsesoperation. Vi ser jo umiddelbart at I(D) ⊂ D.Vi skal da blot vise at I(D) ⊂ I(I(D)). Lad da B ∈ B være saledes at B ⊂ D. Da har viogsa at B ⊂ I(D) og dermed ogsa at B ⊂ I(I(D)). Vi har altsa at I(D) er foreningsmængde afmængder som er indeholdt i I(I(D)) hvorfor I(D) selv er indeholdt i I(I(D)). Dermed har vi bevistidempotensen af I.

Fællesmængdeaksiomet: Det er klart at I(D1 ∩ D2) ⊂ I(D1) ∩ I(D2). Lad nu x ∈ I(B1) ∩ I(B2).Vi kan da per definition af I finde B1, B2 ∈ B saledes at x ∈ B1 ∩ B2 og B1 ⊂ D1, B2 ⊂ D2.Men i henhold til betingelse (2) kan vi finde B3 ∈ B med x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2. Vi har altsa atx ∈ B3 ⊂ D1 ∩D2 og altsa at x ∈ I(D1 ∩D2).

Dermed vil I give anledning til en topologi. Og det indses let (sorry!) at B vil være en basis fordenne topologi.

5

Vi konstaterer at mængden af abne kugler i et metrisk rum udgør en basis: hvis x ligger i fællesmængden afto kugler, sa er det centrum i en kugle som er indeholdt i fællesmængden, da denne fællesmængde jo er enaben mængde. Jeg skal straks diske op med flere vigtige eksempler, som repræsenterer ægte generaliseringer.Men jeg hæfter mig først ved ækvivalensbegrebet, at to forskellige metrikker, og dermed to forskellige baserkan føre til samme topologi. Vi forbereder med en

6.Sætning (Forberedelse til ækvivalens)

Lad B1 og B2 være topologiske baser pa X. Da er følgende to betingelser ensbetydende:

(1) B1 og B2 er baser for samme topologi

(2) For et hvert punkt vil enhver basismængde fra den ene basis, indeholdende dette punkt, indeholde enbasismængde fra den anden basis, ogsa indeholdende punktet.

Bevis : Lad os antage at (1) er opfyldt og at x ∈ B1 ∈ B1. Da vil B1 være en aben mængde i denfælles topologi. Derfor findes B2 ∈ B2 med x ∈ B2 ⊂ B1.

Og sa er vi klar til

7. Definition (Ækvivalente baser)

To baser som opfylder de to ensbetydende betingelser i foregaende sætning kaldes ækvivalente

I de følgende eksempler far vi brug for følgende to redskaber baseret pa baser:

8.Sætning (Karakterisering af indre og afslutning vha baser)

Lad B være en basis for en topologisk struktur. Da er følgende to udsagn ensbetydende

(1) a ∈ I(D) (2) ∃B ∈ B : a ∈ B ⊂ D

og ogsa følgende to udsagn er ensbetydende

(3) a ∈ A(D) (4) ∀B ∈ B : a ∈ B ⇒ D ∩B 6= ∅

Vi har altsa at et punkt er indre punkt i en mængde hvis og kun hvis det er indeholdt i en basismængde, somselv er indeholdt i en mængde og at et punkt tilhører afslutningen af en mængde hvis og kun hvis enhverbasismængde som indeholder punktet ogsa indeholder punkter fra mængden.

Beviset er en umiddelbar anvendelse af definitionerne.

Eksempler:

(1) Mængden af abne intervaller pa den reelle akse udgør en basis for standardtopologien.

(2) Mængden af singletoner udgør en basis for den diskrete topologi, den hvor enhver mængde per definitioner aben.

9. Definition (Kvasimetrik)

en funktion pa X ×X med værdier i [0,∞], som er symmetrisk, opfylder trekantsuligheden og har værdien0 pa diagonalen.

6

En metrik er naturligvis en kvasimetrik, men ved en kvasimetrik tillader vi værdien ∞ og vi tillader at toforskellige punkter har kvasiafstand 0.

10. Definition (Kvasikugle)

Antag at d er en kvasimetrik og r > 0. Mængden

{y ∈ X : d(x, y) < r}

kaldes da en aben kvasikugle med centrum i x og radius r mht d og betegnes Kd(x, r)

11.Sætning (Kvasikugler i kvasikugler)

Ethvert punkt indeholdt i en aben kvasikugle er centrum i en anden aben kvasikugle helt indeholdt i den første

Bevis :Samme bevis som det tilsvarende resultat for metriske rum.

12.Sætning (Fællesmængde af kvasikugler)

Lad x ∈ Kd(x1, r1) ∩Kd(x2, r2). Da findes r > 0 saledes at Kd(x, r) ⊂ Kd(x1, r1) ∩Kd(x2, r2)

Bevis :Følger nemt af foregaende sætning.

13.Sætning (Kvasikuglerne er basis for en metrik)

Bevis :Følger af foregaende sætning ved brug af karakteriseringen af baser

.

14. Definition (Kombikugle )

Antag at Q er en familje af kvasimetrikker pa X. En fællesmængde af endelig mange kvasikugler medcentrum i x og radius r kaldes da en kombikugle mht Q. Hvis D er en endelig delmængde af af Q lader viKD(x, r) betegne kombikuglen

KD(x, r) =⋂

d∈D

Kd(x, r)

15.Sætning (Kombikuglerne udgør en basis for en topologi)

Lad Q være en mængde af kvasimetrikker pa X og lad B være mængden af kombikugler dannet pa grundlagaf Q. Da udgør B en basis for en topologi.

Bevis : Følger direkte af næste sætning

16.Sætning (Fællesmængde af baser)

7

Antag at {Bi : i ∈ I} er en familje af baser for topologier pa X og lad B være systemet af fællesmængder afendeligt mange basismængder, altsa

B = {⋂

i∈J

Bi : J ∈ I(∗), Bi ∈ Bi}

Da er B en basis for en topologi pa X

17. Definition (Fællesmængdetopologien)

Den i foregaende sætning definerede topologi kaldes for fællesmængdetopologien for familjen af topologier.

Her følger en række eksempler pa topologier givet ved en familje af kvasimetrikker:

18. Eksempel (Produkttopologi)

Lad Xi være en vilkarlig familje af metriske rum med metrik di og lad X betegne produktmængden∏

Xi.For hvert i har vi da en kvasimetrik Di(x, y) = di(xi, yi). Den til denne samling af kvasimetrikker svarendetopologi kaldes produkttopologien, og den vender vi tilbage til.

19. Eksempel (Uniform konvergens pa delmængde )

Lad M være en mængde, Y et metrisk rum med metrik d og lad X være et underrum af F(M, Y ) afafbildninger af M ind i Y . Lad K ⊂ M og lad dK være kvasimetrikken for uniform konvergens pa K, nemlig

dK(f, g) = sup{d(f(x), g(x)) : x ∈ K}.

Vi kalder den tilsvarende topologi for topologien for uniform konvergens pa K af den gode grund at følgendeto udsagn er ensbetydende:

(1) dK(fn, f) → 0 for n →∞

(2) ∀ε > 0∃N ∈ N∀x ∈ K∀n > N : d(fn(x), f(x)) < ε

Hvis K er en ægte delmængde af M vil dK ikke være en metrik, men kun en kvasimetrik. Lad nemlig tofunktioner f og g stemme overens pa K da er dK(f, g) = 0 men det gælder jo ikke nødvendigvis at f = g.

20. Eksempel (Uniform konvergens pa et system af delmængder)

Lad sa K være et system af delmængder af M . Vi omtaler da topologien frembragt af basen frembragt afkombikuglerne med hensyn til mængden {dK : K ∈ K} som topologien for niform konvergens pa K. Det gørvi af den gode grund at

Vigtige eksempler pa dette:

(1) K = {M}, topologien for ligelig konvergens.

(2) K er mængden af kompakte delmængder af M (nu udstyret med en metrik), topologien for uniformkonvergens pa kompakte delmængder.

(3) K er mængden af singletonner, altsa K = {{x} : x ∈ M}. Denne topologi kaldes af letforstaelige grundetopologien for punktvis konvergens. Ligelig konvergens i en mængde bestaende af et enkelt punkt er jo detsamme som punktvis konvergens i dette punkt.

For K = {x} sætter vi dK = dx og har sa at dx(f, g) = d(f(x), g(x)) og at Kx(f, r) = {g : d(f(x), g(x)) < r}.For D = {{y} : y ∈ Y } sætter vi KD(f, r) = KY (f, r).

8

En basismængde vil da have formen

B = KY (f, r) =⋂

y∈Y

Ky(f, r) =⋂

y∈Y

{g : dy(f, g) < r} =⋂

y∈Y

{g : d(f(y), g(y)) < r}

(4) M er en aben delmængde af den komplese plan og K er mængden af afsluttede cirkelskiver som erdelmængde af M . Lad X være mængden af komplekse funktioner pa M . Her kan man (dvs I) bevise atdelmængden af kontinuerte funktioner er afsluttet i topologien for uniform konvergens pa K. Dette er enstyrkelse af sætningen om at du far en kontinuert funktion som grænsefunktion for en uniformt konvergentfølge af kontinuerte følger, man behøver ikke den globale uniforme konvergens.

(5) M er den abne konvergenscirkelskive for en kompleks potensrække. Og K er mængden af afsluttededelcirkelskiver. Da vil sumfunktionen være uniform grænsefunktion pa enhver af mængderne i K. Det er paden made at vi plejer at vise at sumfunktionen er kontinuert.

Vi skal afslutte dette afsnit om de fundamentale begreber med endnu et vigtigt hjælpemiddel.

21. Definition (Omegn)

Mængden U kaldes en omegn af x hvis x ∈ I(U). Mængden af omegne af x betegnes Ux. Et system af omegneaf x kaldes en omegnsbasis for x, hvis enhver omegn af x indeholder en mængde fra systemet.

22. Bemærkning (Omegnssystemets axiomatik)

De abne mængder kan karakteriseres som de mængder for hvilke der til ethvert af dens punkter findes enomegn af punktet som er indeholdt i mængden. Omegnssystemet bestemmer altsa topologien. Det er muligtat opstille et axiomsystem for et system af mængder som alle systemer af abne mængder opfylder og sadanat ethvert system der opfylder dem vil være systemet af abne mængder i en topologi. Dette er historisk setden oprindelige made at definere topologi pa, og den er stadig udbredt.

9

2: Konvergens

23. Definition (Konvergens af følge.)

Lad x være en følge pa et topologisk rum X og lad a ∈ X. Vi siger da at x konvergerer mod a hvis følgendebetingelse er opfyldt

∀B ∈ Ba∃N ∈ N∀n > N : xn ∈ B

Det er ikke særlig svært at se at en følge der i overensstemmelse med denne definition er konvergent itopologien svarende til en metrik ogsa er konvergent i forhold til definitionen af konvergente følger i metriskerum. Og omvendt. Der er altsa tale om en generalisering.

Derimod er det ikke alle resultater om følger i metriske rum som direkte overføres. I metriske rum gælderf.eks. at et punkt a tilhører afslutningen af en mængde A hvis og kun hvis der findes en følge x pa A somkonvergerer mod a. Dette gælder ikke generelt, hvilket fremgar af følgende eksempel:

24. Eksempel (En følgeafsluttet mængde som ikke er afsluttet)

Vi betragter X = F(R,R) med topologien for punktvis konvergens og lader A være en mængden af funk-tioner som har værdien 0 i alle punkter bortset fra en endelig undtagelsesmængde, hvor værdien er 1. Und-tagelsesmængden kan variere fra funktion til funktion. lad nu a betegne den funktion som er konstant 1. Vivil da vise at a ligger i afslutningen af A.

Lad B være en basis for topologien og lad B være en vilkarlig basismængde indeholdende a. Vi skal da viseat B ikke er disjunkt med A. Lad Y være en endelig delmængde af M og r > 0 være valgt sa B = KY (a, r)Lader vi nu b være den funktion, som er 1 i Y og 0 udenfor da vil b ∈ A ∩ B. B er altsa ikke disjunkt medA hvilket vi havde sat os for at vise.

Men der findes ikke nogen følge pa A, som konvergerer mod a, idet det ma være klart at en punktvisgrænsefunktion for en sadan følge kun have være forskellig fra 0 i et tælleligt antal punkter.

De kendte sammenhænge mellem konvergens og kontinuitet, som vi vender tilbage til, holder heller ikke.

Det er imidlertid muligt at definere et mere generelt konvergensbegreb, som pa alle punkter kan spille denrolle i topologiske rum, som de konvergente følger spiller for metriske rum

Dette begreb kalder vi et filtrerende system. Det karakteristiske ved følger er deres haler. Konvergens harløst (og sjusket) sagt noget at gøre med at halerne bliver mindre og mindre. At halerne fra et vist trin erpassende sma. En nøjere analyse viser at det eleganteste er at opfatte en følge som en mængde af haler.

Vi definerer derfor

25. Definition (Filtrerende system)

Ved et filtrerende system vil vi forsta en mængde F af ikke tomme delmængder, som har følgende egenskab:Hvis F1, F2 ∈ F sa findes der F3 ∈ F sa F3 ⊂ F1 ∩ F2

Vi kunne bruge den mere malende betegnelse ”halesystem”, men afstar dog. Betingelsen siger altsa at hvisvi har to forskellige haler sa findes en hale som er indeholdt i dem begge. Vi ser saledes at mængden af halerfor en følge er et simpelt eksempel pa et’ halesystem. Her vil jo den ene af to haler være indeholdt i denanden.

Som et andet eksempel pa et filtrerende system kan vi tage mængden af de delmængder af M som bestar afsamtlige punkter pa nær endelig mange. Dette system opfylder oplagt betingelserne og vi bemærker at det

10

indeholder mere en tællelig mange haler. Vil slar det lige fast med følgende

26. Definition (Frechets filtrerende system)

Lad F besta af samtlige mængder som er komplementærmængde til en endelig delmængde. Da kalder vi Ffor Frechets filtrerende system

Andre eksempler pa filtrerende systemer:

Lad A være en given delmængde og lad F være mængden af delmængder som indeholder A, da er F et(temmelig trivielt) filtrerende system.

27. Definition (Konvergens af filtrerende system)

Lad F være et filtrerende system pa X og lad a ∈ X. Vi siger da at F konvergerer mod a hvis følgendebetingelse er opfyldt for enhver basis B for topologien pa X:

∀B ∈ Ba∃F ∈ F : F ⊂ B

28.Sætning (En basis er nok)

Det er tilstrækkeligt at betingelsen i definitionen er opfyldt for en enkelt basis B

Bevis :øvelse

.

Det er nemt at se at hvis x er en følge og F = {{xn : n ≥ N} : N ∈ N} da vil F konvergere mod a hvis ogkun hvis x konvergerer mod a. Det sidste kan jo ved en let omformulering af definitionen ovenfor formulerespa følgende made:

∀B ∈ Ba∃N ∈ N : {xn : n ≥ N} ⊂ B

29. Eksempel (Punktvis konvergens fortsat)

Vi benytter samme betegnelser som i eksemplet med den ikke følgeafsluttede mængde.

Lad Y være en endelig delmængde af M og lad FY besta af de funktioner pa M som dels tilhører A, delshar værdien 1 i ethvert punkt af Y . Det er da klart at FY1∪Y2 ⊂ FY1 ∩ FY2 . Derfor vil systemet F defineretsom {FY : Y ∈ M (∗) være filtrerende. Lad os vise at F konvergerer mod a. En vilkarlig basismængde B,der indeholder a vil indeholde en kombikugle KY (a, r), hvor Y ∈ M (∗). Hvis nu b ∈ FY da vil dY (a, b) = 0og dermed har vi at FY ⊂ KY (a, r) ⊂ B og derfor har vi at F konvergerer mod a.

Efter dette eksempel kan det ikke undre at der gælder følgende sætning.

30.Sætning (Filtreringsafsluttet og afsluttet)

Lad D være en vilkarlig delmængde af det topologiske rum X og lad a ∈ D. Da er følgende udsagn ensbety-dende:

(1) a ∈ A(D)

(2) Der findes et filtrerende system F pa D som konvergerer mod a

11

Bevis :V

i lader B være en basis for topologien. Antag at (1) er opfyldt. For hver B ∈ Bx har vi at A ∩ B ikke ertom. Det er let at eftervise at systemet F = {A ∩B : B ∈ Bx} er filtrerende og at det konvergerer mod a.

Antag at (2) er opfyldt.Lad B være et vilkarligt element i B. Vi har da at der findes F ∈ F saledes atF ⊂ B. Da F per definition er en ikke tom delmængde af D har vi at B ∩D som omfatter B ∩ F = F ikkeer tom.

12

3: kontinuitet

31. Definition (Kontinuert afbildning)

Lad (X,OX , CX , IX ,AX) og (Y,OY , CY , IY , AY ) være topologiske struktur og lad f : X → Y Vi siger da atf er kontinuert hvis følgende betingelse er opfyldt

∀O ∈ OY : f−1(O) ∈ OX

32.Sætning (Andre formuleringer af kontinuitet)

Vi gør samme antagelser som i definitionen af kontinuitet. Da er følgende betingelser ensbetydende:

(0) f er kontinuert

(1) ∀O ∈ OY : f−1(O) ∈ OX

(2) ∀C ∈ CY : f−1(C) ∈ CX

(3) ∀D ∈ D : f(A(D)) ⊂ A(f(D))

(4) ∀B ∈ BY : f−1(B) ∈ OX

Bevis : (1) medfører (2): Antag at (1) er opfyldt.

Da erf−1(C) = f−1({{C) = {f−1({C)

og da {C ∈ OY vil f−1({C) ∈ OX og derfor vil {f−1({C) ∈ C

(2) medfører (1): er helt analogt.

(2) medfører (3): Vi antager at (2) er opfyldt. Lad D ∈ D. Vi har da at A(f(D)) er fællesmængdenfor {C ∈ CY : f(D) ⊂ C}. Lad sa C tilhøre denne mængde. Da f(D) ⊂ C vil D ⊂ f−1(C). Da(2) er opfyldt vil f−1(C) ∈ CX . Af disse to kendsgerninger følger da at A(D) ⊂ f−1(C) og videreheraf at f(A(D)) ⊂ C. Da dette gælder for alle de betragtede C har vi da at f(A(D)) ⊂ A(f(D)).

(3) medfører (2): Vi antager at (3) er opfyldt. Lad C ∈ CY og sæt D = f−1(C). Vi skal viseat D er afsluttet. Vi har at f(D) ⊂ C og dermed at A(f(D)) ⊂ C, da C er afsluttet. Men efterantagelsen (3) har vi da ogsa at f(A(D)) ⊂ C, hvoraf følger at A(D) ⊂ f−1(C). Ved kombinationgiver det hele at A(D) ⊂ D og sa er D selvfølgelig afsluttet. (4) ensbetydende med (2): øvelse !

Beviset virker tørt og formelt, og der er ikke andet for end at følge det skridt for skridt. Nar man harindstillet sig pa det (og det er hardt) sa gar det ganske let.

I metriske rum er der en sammenhæng mellem kontinuerte følger og konvergens. Denne sammenhæng garikke uændret over. Men hvis man udskifter følger med filtrerende systemer er analogien simpel.

Sammenhængen mellem kontinuitet og konvergens fremgar af

33.Sætning (Kontinuitet og konvergens)

Følgende to udsagn er ensbetydende:

13

(1) f er kontinuert

(2) ∀a∀F : F → a ⇒ f(F) → f(a)

Bevis : Antag at (1) er opfyldt og at F → a. Med f(F) forstar vi systemet {f(F ) : F ∈ F}. Deter nemt at se at dette er et filtrerende system.

Lad BX og BY være baser for de involverede topologier. Lad BY ∈ BY med f(a) ∈ BY , da kanvi pa grund af kontinuiteten finde BX ∈ BX med a ∈ BX saledes at f(BX) ⊂ BY . Da F → akan vi finde F ∈ F sa at F ⊂ BX . Sa vil f(F ) ⊂ BY . Vi har altsa til enhver basismængde BY

indeholdende f(a) fundet en filtermængde f(F ) indeholdt i BY og dermed har vi at (3) er opfyldt.

Antag at (2) er opfyldt.

Vi benytter os af formulering (3) af kontinuitet.

Lad D være en vilkarlig delmængde af X og lad a ∈ A(D). Vi kan da bestemme et filtrerendesystem F pa D saledes at F → a.

Da vil f(F) være et filtrerende system pa f(D) som vil konvergere mod f(a) pa grund af antagelsen(2). Men da vil f(a) ∈ A(f(A)). Da dette gælder for alle a ∈ A(D) har vi at f(A(D)) ⊂ A(f(D)).Da dette gælder for alle D har vi at f er kontinuert.

34.Sætning (Sammensætning af kontinuerte afbildninger)

Sammensætning af kontinuerte afbildninger er kontinuert

Bevis : Dette er helt automatisk ved alle kriterierne for kontinuitet. Bemærk at (f ◦ g)−1(D) =f−1(g−1(D)) og at (f ◦ g)(F) = f(g(F)).

35. øvelse (sammensætning og filtrerende systemer)

Den enkleste (og maske derfor smukkeste) bevismetode bygger pa filtrerende systemer. Gennemfør dette somen øvelse

36. Definition (Homeomorfi)

En kontinuert bijektiv afbildning, hvis inverse er kontinuert kaldes en homeomorfi.

37. Bemærkning (Morfier)

Bemærk analogien mellem pa den ene side algebraiske strukturer og pa den anden side topologiske strukturer.

Algebraiske strukturer er forbundet ved homomorfier, hvor de bijektive homomorfier med en invers som ogsaer en homomorfi per definition er isomorfier.

Topologiske strukturer er forbundet ved kontinuerte afbildninger, hvor de bijektive kontinuerte afbildningermed en invers som ogsa er en kontinuert afbildning per definition er isomomorfier.

Bemærk at savel homomorfier som kontinuerte afbildninger kan siges at respektere henholdsvis den alge-braiske og den topologiske struktur. Homografierne respekterer operationerne og de kontinuerte afbildninger

14

respekterer konvergens. Isomorfierne er de morfier som (i en hvis forstand) identificerer strukturerne.

Disse træk kan genfindes ved andre strukturer (ordensstrukturer, malstrukturer).

Man har derfor en generel terminologi, idet man taler om en kategori, bestaende af visse mængder, forsynetmed struktur, og forbundet med afbildninger, som respekterer strukturen. Generelt kaldes mængderne forkategoriens objekter og afbildningerne for kategoriens morfier, blandt hvilke de bijektive med en invers somogsa er en morfi kaldes isomorfier.

Bemærk dog den forskel der er mellem de to fremhævede typer strukturer. For algebraiske strukturer kan manvise at en bijektiv homomorfi automatisk er en isomorfi. Det tilsvarende resultat gælder ikke for topologiskestrukturer, end ikke for dem som er defineret ved hjælp af en metrik. Dette uddybes i næste eksempel:

38. Eksempel (En kontinuert bijektion, som ikke er en homeomorfi)

Lad X være intervaller [0, 2π[ med topologien svarende til delrumsmetrikken fra den reelle akse og lad Yvære enhedscirklen i den komplekse plan, ligeledes med topologien stammende fra delrumsmetrikken i C. Ladsa f : X → Y være afbildningen f(t) = eit, som er en kontinuert bijektion. Dens omvendte afbildning erderimod ikke kontinuert hvad der er intuitivt klart. Det ses dog ogsa nemt formelt: Lad D være f(]3π/2, 2π[),altsa den abne cirkelbue fra −i til 1, og lad g betegne f−1. Da har vi at A(C) er den afsluttede cirkelbue,g(A(C)) er intervallet [3π/2, 2π[ forenet med punktet 0, mens A(g(C)) = [3π/2, 2π[. Dette er i strid med etaf kriterierne for kontinuitet.

39. øvelse ()

Lad O1 = X∗ og lad O2 = {∅, X}. Vis at O1 og O2 opfylder axiomerne for de abne mængder for en topologi.Vis at den identiske afbildning er en kontinuert bijektion opfattet som afbildning fra X udstyret med O1 tilX udstyret med O2. Overvej derpa verdenssituationen pa ny!

15

4: Afledte topologier

Vi skal i dette afsnit definere hvad jeg vl kalde afledte topologier. Vi vil se pa hvordan en topologi pa enmængde kan benyttes til at definere topologier pa andre mængder som er beslægtet med den givne. Vi skaldefinere topologier pa delmængder, funktioner med værdier i det givne rum, i produkter hvor rummet indgarsom faktor og i kvotientdannelser af rummet.

Vi vil dog forberede os med to mere generelle situationer som indeholder de her nævnte som specialtilfælde.Det mere generelle er dog langt simplerre (!) og mere overskueligt. Vi antager at vi har en topologi pamængden X som er forbundet med mængden Y vha en afbildning f :

(1) f : X → Y , topologi dannet ved fremrykning med f .

(2) f : Y → X, topologien dannet ved tilbagetrækning med f .

Der er tale om ad hoc betegnelser som jeg har valgt for deres suggestive virkning. Man kunne ha talt omtopologien fremkommet ved at flytte frem og tilbage. Mere officielt taler man om henholdsvis finaltopologiog initialtopologi idet man refererer til om topologien skal defineres i det rum hvor den givne afbildningbegynder eller slutter, skal topologien defineres ved pilens hoved eller ved dens hale.

40.Sætning (***Eksistens af fremrykket topologi)

Lad X være en topologisk struktur, hvor OX er systemet af abne mængder. Lad f : X → Y være enafbildning.

Lad BY = {B ∈ Y ∗ : f−1(B) ∈ OY }

Da gælder at

(1) BY er basis for en topologi

(2) Denne topologi afhænger ikke af den specifikke basis.

(3) f er kontinuert, nar Y er forsynet med denne topologi.

Bevis : kommer senere. Ikke for vanskeligt som en umiddelbar men ikke triviel øvelse.

41. Definition (Fremrykningstopologi)

Den i foregaende sætning indførte topologi kaldes topologien pa Y fremkommet ved fremrykning af topologienpa X vha af f

42.Sætning (Karakterisering af fremrykningstopologien)

Lad X og Y være topologiske rum og lad f : Y → X.

Hvis topologien pa Y er fremrykningstopologien vha f da gælder følgende:

(1): f er kontinuert.

(2): For ethvert topologisk rum Z og enhver afbildning h : Z → Y gælder at h er kontinuert hvis og kun hvish ◦ f er kontinuert.

16

Bevis : kommer senere. Ikke for vanskeligt som en umiddelbar men ikke triviel øvelse.

X f - Y h - Z

43.Sætning (Eksistens af tilbagetrukket topologi)

Lad X være en topologisk struktur, hvor BX er en basis. Lad f : Y → X være en afbildning.

Lad BY = {f−1(A) : A ∈ BX}

Da gælder at

(1) BY er basis for en topologi

(2) Denne topologi afhænger ikke af den specifikke basis.

(3) f er kontinuert, nar Y er forsynet med denne topologi.

Bevis : (1): Lad B1, B2 ∈ BY , og vælg A1, A2 ∈ BX sa B1 = f−1(A1), B2 = f−1(A2). Lady ∈ B1 ∩ B2. Da vil f(y) ∈ A1 og f(y) ∈ A2 sa f(y) ∈ A1 ∩ A2. Der findes derfor A3 ∈ BX ,saledes at f(y) ∈ A3 ⊂ A1 ∩A2. Sæt B3 = f−1(A3). Da vil y ∈ B3 ⊂ B1 ∩B2.

44. Definition (Tilbagetrækningstopologi, initialtopologi)

Den i foregaende sætning indførte topologi kaldes topologien pa Y fremkommet ved tilbagetrækning af topolo-gien pa X vha af f

Z h - Y f - X

45.Sætning (Karakterisering af tilbagetrækningstopologien)

Lad X og Y være topologiske rum og lad f : X → Y .

Hvis Topologien pa Y er tilbagetrækningstopologien vha f da er følgende to egenskaber opfyldt:

(1): f er kontinuert.

(2): For ethvert topologisk rum Z og enhver afbildning h : Y → Z gælder at h er kontinuert hvis og kun hvisf ◦ h er kontinuert.

Tilbagetrækningstopologien er den eneste topologi som bade opfylder (1) og (2).

En topologi som opfylder (1) vil være finere end tilbagetrækningstopologien.

17

Bevis : Det er allerede bevist at (1) er opfyldt, sa lad os vise (2).

Lad h : Y → Z.

Antag først at h er kontinuert. Da er f ◦ h klart kontinuert, da f jo er kontinuert.

Antag sa at f ◦ h er kontinuert. Lad B = f−1(A) ∈ BY , da er h−1(B) = (h−1(f−1(A)) = (f ◦h)−1(A). Dermed har vi vist at originalmængden til enhver basismængde ved f er en basismængdeog altsa aben. Derfor er h kontinuert. Dermed har vi vist at (2) er opfyldt.

Vi vender os da til pastanden om entydigheden af en topologi med de ønskede egenskaber.

Antag at først at (1) er opfyldt for Y , forsynet med en topologi. Lad OY være systemet af abnemængder for denne topologi.

Da er enhver mængde af formen f−1(O), O ∈ OX en aben mængde, og da disse abne mængderudgør en basis for de abne mængder i tilbagetrækningstopologien, ma enhver af dens abne mængdealtsa være en aben mængde i den givne topologi pa Y .

Antag dernæst at ogsa (2) er opfyldt. Sæt Z = Y (som mængder) og udstyr Z med tilbagetrækningstopologien.

Lad h : Z → Y betegne den identiske afbildning. Vi har antaget at f er kontinuert heraf følger atf ◦ h = f er kontinuert. Heraf følger videre at h er kontinuert (da (2) er opfyldt for topologien paY )og deraf at enhver aben mængde i Y (som sin egen originalmængde) ved h er en aben mængdei Z. Med det vi allerede havde bevist ma de to topologier sa være ens.

Den sidste pastand i sætningen indgik som led i beviset for den forrige.

Vi far brug for udvidelser af disse definitioner hvor der indgar en hel familje af afbildninger:

46. Definition (Fremrykningstopologien for en familje)

Lad Y være en mængde og lad I være en indeksmængde.

Lad der for hvert i ∈ I være givet et topologisk rum Xi og en afbildning fi : Xi → Y . For hvert i ∈ I har vida en fremrykningstopologi pa Y .

Vi kalder da fællesmængdetopologien for disse fremrykningstopologier for fremrykningstopologien af topolo-gierne pa (Xi)i vha afbildningerne (fi)i

Da gælder at

X1HHHHHHHHj

f1

X2f2 - Y h - Z

©©©©©©©©*

f3

X3

47.Sætning (Fremrykningstopologiens egenskaber)

18

Med de samme betegnelser som i definitionen.

(1) Alle afbildningerne fi er kontinuerte.

(2) For ethvert topologisk rum Z er afbildningen h : Y → Z kontinuert hvis og kun hvis afbildningen h ◦ fi

er kontinuert for ethvert i ∈ I.

Desuden gælder det at fremrykningstopologien er den eneste topologi med disse to egenskaber.

Bevis : Det er oplagt at (1) er opfyldt. At h ◦ fi er kontinuert skyldes at den er kontinuert ifremrykningstopologien for fi alene, og af at enhver aben mængde i denne topologi ogsa er aben ifamiljetopologien.

Hvis h ◦ fi er kontinuert for et givet i da er h kontinuert i tilbagetrækningstopologien for mht fi.Hvis f er kontinuert mht enhver topologi i en familje af topologier da er den ogsa kontinuert deresfællesmængdetopologi.

48. Definition (Tilbagetrækningstopologien for en familje)

Lad Y være en mængde, og lad I være en indeksmængde. Lad der for hvert i ∈ I være givet et topologiskrum Xi og en afbildning fi : Y → Xi. For hvert i ∈ I har vi da en tilbagetrækningstopologi pa Y .

Vi kalder da fællesmængdetopologien for disse tilbagetrækningstopologier for tilbagetrækningstopologien aftopologierne pa (Xi)i vha afbildningerne (fi)i

Da gælder at

X1

©©©©©©©©*f1

Z h - Y f2 - X2HHHHHHHHj

f3

X3

49.Sætning (Tilbagetrækningstopologiens egenskaber)

Med de samme betegnelser som i definitionen.

(2) Alle afbildningerne fi er kontinuerte.

(3) For ethvert topologisk rum er afbildningen h : Z → Y kontinuert hvis og kun hvis afbildningen fi ◦ h erkontinuert for ethvert i ∈ I.

Desuden gælder det at denne tilbagetrækningstopologi er den eneste topologi med disse to egenskaber.

Vi er nu beredte til at vores egentlige formal, nemlig definition af topologier pa delmængder, produktmængder,kvotienter og funktionsrum.

19

50. Definition (Delrumstopologi, relativ topologi)

Lad X være en topologisk struktur. Lad Y være en delmængde af X og lad iY betegne inklusionsafbildningenaf Y i X. Tilbagetrækningstopologien pa Y vha i kaldes da delrumstopologien pa Y .

51.Sætning (Delrumstopologien)

OY = {Y ∩O : O =∈ O}

CY = {Y ∩ C : C =∈ C}

f : Z → Y er kontinuert hvis og kun hvis f : Z → X er kontinuert.

52. Eksempel (Pas pa)

X = R, Y = Q, A = Q. Da: AR(A) = R, AQ(A) = Q, IR(A) = ∅, IQ(A) = Q

53. Definition (Produkttopologi)

Lad (Xi)i∈I være en familje af topologiske rum og lad X være produktmængden hvorpa er defineret projek-tionerne pi : X → Xi. Da kalder vi topologien pa X fremkommet ved tilbagetrækning at topologierne pa Xi

vha pi for produkttopologien pa X.

Ved at fortolke hovedresultaterne for tilbagetrækningstopologier far vi da

54.Sætning (projektionernes egenskaber)

Projektionerne er kontinuerte og enhver afbildning med værdier i produktet er kontinuert hvis og kun hvis deenkelte komponentafbildninger er kontinuerte

55. Definition (Kvotienttopologi)

Lad X være et topologisk rum og lad ∼ være en ækvivalensrelation pa X og lad k∼ være den kanoniskeprojektion pa ækvivalensklassemængden X∼. Vi kan da betragte den topologi som er fremrykningstopologienpa X∼ vha k∼. Denne topologi kaldes kvotienttopologien pa X∼.

56.Sætning (Kvotienttopologiens egenskaber)

(1) Den kanoniske projektion er kontinuert.

(2) En afbildning h : X∼ → Z, hvor Z er et topologisk rum, er kontinuert i kvotienttopologien hvis og kunhvis h ◦ k∼ er kontinuert.

RHHHHHHHj

p

K∼

?S1

©©©©©©©*

h

R/Z

20

57. Eksempel (Endimensional torus)

L ad X = R og ∼ være ækvivalensrelationen defineret i tilknytning til undergruppen Z. Vi betegner da X/ ∼med R/Z og giver den ogsa navnet T eller T1, den endimensionale torus. Vi skal nemlig længere fremmevise at T med kvotienttopologien er homeomorf med S1, enhedscirklen i den komplekse plan udstyret meddelrumstopologien.

Men lad os først se pa en anden ”identificering” af T: I hver ækvivalensklasse vil der være netop enrepræsentant som er element i intervallet [0, 1[, en slags principal repræsentant. Afbildningen h, der tilen klasse knytter dens principale repræsentant, er derfor er bijektion af T pa Z = [0, 1[. Denne bijektioner imidlertid ikke kontinuert, nar Z er udstyret med delrumstopologien fra R. Dette er intuitivt klart (!)men kan ogsa nemt (nemmere!)indses formelt, idet afbildningen h ◦ k∼, altsa T 3 t 7→ h([t]) ∈ [0, 1[, er ensavtakafbildning, som tydeligvis er diskontinuert (i hvert fald som afbildning ind i R, men som vi har set vedkarakteriseringen af delrumstopologi, da ogsa som afbildning ind i Z.

Lad os sa vende tilbage til identificeringen med S1,som foregar via afbildningen h([t]) 7→ e2πit. Denneafbildning er veldefineret da billedet af en klasse abenbart ikke afhænger af den valgte repræsentant. Hertestes kontinuitet ved afbildningen h ◦ k∼, altsa R 3 t 7→ e2πit ∈ S1, som tydeligvis er kontinuert. Derfor erogsa identifikationen h kontinuert. Vi vender tilbage til dette eksempel og viser at h er en homeomorfi, altsaen topologisk identificering, nar vi har skaffet lidt flere værktøjer.

58. øvelse (Den rigtige torus)

Følg vejen i eksemplet ovenfor og definer kvotienttopologien pa T2 = R2/Z2. Definer en principal rest imængden [0, 1[2.

Vis at den principale rest ikke afhænger kontinuert af restklassen.

Vis at afbildningen [(s, t)] 7→ (cos(2πs)(R+r cos(2πt)), cos(2πs)(R+r sin(2πt)), sin(2πt)) er en (veldefineret)bijektion af T2 pa den geometriske torus, som fremkommer, nar en cirkel med radius r i x, z-planen roteresom z − aksen sa den centrum bevæger sig pa cirklen i x − y-planen med centrum i koordinatsystemetsbegyndelsespunkt og radius R. Tip for s = 0 fas en parameterfremstilling med t som parameter for dennævnte cirkel med radius r og centrum i (R, 0).

For fast t fas en parameterfremstilling med s som parameter for den for den cirkel som fas ved drejning afdet til t hørende punkt pa cirklen om z-aksen.

Sa er vi naet til af definere topologier pa rum af funktioner der har værdier i et topologisk rum.

59. Definition (Forberedelse)

Lad X være et topologisk, M en mængde. Lad F betegne F(M,X).

Lad B være en basis for topologien pa X og lad K være en familje af delmængder af M .

For B ∈ B og K ∈ K sætter vi B(K, B) = {f ∈ F(M,X) : f(K) ⊂ B}, som vi kalder elementærbasismængdenfrembragt af B og K.

En fællesmængde af endelig mange elementæromegne kalder vi en kombibasismængde. Betegnelsen B(B1,K1; . . . ;Bn,Kn)giver sig selv.

Endelig lader vi B(B,K) betegne mængden af kombibasismængder.

60.Sætning (Forberedelse)

Med betegnelserne fra forrige definition har vi at B(B,K) er basis for en topologi pa F

21

Bevis :Det er oplagt at fællesmængden af to kombibasismængder selv er en kombibasismængde.

61. Definition (Topologien for K-konvergens)

Vi kalder topologien svarende til den i foregaende sætning nævnte basis for K-aben topologien pa F . Vi vilogsa (her og mellem os !) kalde den topologien for K-konvergens.

62. Bemærkning (Analogier.)

Der er en oplagt analogi til den situation, hvor topologien pa X er induceret af en familje af kvasimetrikker ogB er mængden af kombikugler og K. Men bemærk at denne situation ikke er et specialtilfælde af ovenstaendedefinition. I almindelighed altsa. Det kan dog være at de frembragte topologier er ækvivalente nar der erspecielle ekstrabetingelser opfyldt. Mere herom længere fremme. Vi venter stadig pa kompakthed.

22

5: Kompakthed

For en ordens skyld skal det anføres at vi benytter betegnelserne familje og system i samme betydning somordet mængde. Vi gør det for at fa lidt sprogligt raderum. Vi vil dog bruge dem i bestemte situationer, somdet forhabentlig fremgar af sammenhængen.

63. Definition (Overdækning, deloverdækning)

Vi siger at et system M af delmængder af en mængde M er en overdækning af delmængden A ⊂ M hvisA ⊂ ⋃M. Et delsystem som ogsa er en overdækning kaldes en deloverdækning. En overdækning medendelig mange mængder kaldes en endelig overdækning. En overdækning med abne mængder kaldes en abenoverdækning etc.

64. Definition (Kompakt delmængde)

Lad X være et topologisk rum, og A en delmængde af X. Vi siger da at A er kompakt hvis der til enhveraben overdækning af A findes en endelig deloverdækning.

65. Bemærkning (For metriske rum definerer man at en delmængde er kompakt hvis der til enhver følge pamængden findes en delfølge som er konvergent med grænsepunkt i mængden. Derefter viser man at dennebetingelse er ensbetydende med ovenstaende definition. Beviset herfor er slet ikke simpelt.

En grund til at vælge det andet alternativ ved generalisering til topologiske rum er at de to betingelser ikke ialmindelighed er ækvivalente, og at det er den anden definition som giver det vi er ude efter. Na ja, hvad ervi ude efter ? Vi vil gerne generalisere resultatet om at en kontinuert reel funktion pa en kompakt mængdehar et maksimum og et minimum. Og resultatet at en kontinuert bijektion af en kompakt mængde er enhomeomorfi. )

66. Definition (Forfinelse af filtrerende system.)

Lad F1 og F2 være filtrerende systemer pa X.

Vi siger at F2 er en forfinelse af F1 hvis enhver mængde i F1 indeholder en mængde fra F2.

67.Sætning (Forfinelse respekterer konvergens)

Hvis F2 er en forfinelse af F1 og F1 → a da vil F2 → a

Bevis :Simpel øvelse.

68. Definition (Fortætningspunkt for et filtrerende system)

Et punkt a kaldes et fortætningspunkt for det filtrerende system F hvis enhver basismængde som indeholdera rammer enhver filtermængde.

69. Bemærkning (Forbindelsen til metriske rum)

Et fortætningspunkt er altsa et punkt som vi bliver ved med at komme i nærheden af, uden nødvendigvis atblive suget ind af. Ligegyldigt hvor tæt (B) pa a vil du kunne være sa tæt pa a ligegyldigt hvor langt ude ihalen (F ) du er.

23

70.Sætning (Karakterisering af fortætningspunkterne)

Mængden af fortætningspunkter for et filtrerende system F er fællesmængden af afslutningerne af mængderi F , altsa mængden

⋂

F∈FA(F )

Bevis : Lad a være et fortætningspunkt. Lad F ∈ F . Da enhver basismængde indeholdende arammer F ma a ∈ A(F ). Derfor er a element i den anførte fællesmængde.

Lad sa a være element i den anførte fællesmængde. Lad F ∈ F og B ∈ Ba. Da a ∈ A(F ) ma Framme B. Da F og B var vilkarlige er a et fortætningspunkt.

71.Sætning (Karakterisering af fortætningspunkter)

a er fortætningspunkt for F hvis og kun hvis der findes en forfinelse F1 af F med a som grænsepunkt.

Bevis : Lad a være et fortætningspunkt. Vi betragter systemet F1 = {B ∩ F : B ∈ B, f ∈ F}.Dette er er et filtrerende system: mængderne er ikke tomme da a er et fortætningspunkt. Restener elementært. Systemet er oplagt en forfinelse af F og det konvergerer mod a.

Lad sa a være grænsepunkt for et filtrerende system F1, som er en forfinelse af F . Lad B ∈ Ba

og F ∈ F . Da findes F1 ⊂ F med F1 ∈ F1. Pa grund af konvergensen findes F2 ∈ F1 saF2 ⊂ B. Endelig findes F3 ∈ F1 med F3 ⊂ F1 ∩ F2. Derfor er F ∩ B ikke tom og derfor er a etfortætningspunkt for F .

72.Sætning (Karakteriseringer af kompakthed)

Lad A være en delmængde af X. Da er følgende udsagn ensbetydende

(1): A er kompakt

(2): Ethvert filtrerende system pa A har et fortætningspunkt i A

(3): For ethvert filtrerende system pa A findes en konvergent forfinelse med grænsepunkt i A

24

Bevis : Bevis for at (1) medfører (2). Antag at (1) er opfyldt.

Lad F være et filtrerende system pa A. Antag at F ikke har fortætningspunkter i A, altsa atmængden (

⋂F∈F AF )∩A er tom. Betragt nu systemet {{A(F ) : F ∈ F}. Dette system bestar af

abne mængder. Desuden er det en overdækning af A, idet

( ⋃

F∈F{A(F )

)∩A =

({

⋂

F∈FA(F )

)∩A = {∅ ∩A = X ∩A = A

Der findes derfor en endelig deloverdækning. Lad F1, . . . , Fn ∈ F være valgt saledes at {{A(F1), . . . , {A(Fn)}er en overdækning af A. I sa fald er {A(F1)∪. . .∪{A(Fn) ⊃ A og følgelig A(F1)∩. . .∩A(Fn)∩A = ∅.Videre far vi at A(F1)∩ . . .∩A(Fn) = A(F1 ∩ . . . Fn) Heraf slutter vi at F1 ∩ . . . Fn = ∅, men detteer i strid med at F er et filtrerende system pa A. Vi har altsa ved et indirekte bevis vist at der maeksistere fortætningspunkter.

Og sa har vi at (2) er opfyldt.

Bevis for at (2) medfører (1). Antag at (1) ikke er opfyldt.

Lad da O′ være en aben overdækning af A uden nogen endelig deloverdækning.

Lad F være det system som fremkommer ved at tage enhver komplementærmængde til foren-ingsmængden af endelig mange mængder fra O′, altsa

F = {{(O1 ∪ . . . ∪On) : O1, . . . , On ∈ O′, n ∈ N}.

Antagelsen om at der ikke findes endelige deloverdækninger betyder da at ingen af mængderne i Fer tomme.

Man kan nu simpelt checke at F er et filtrerende system.

Mængderne i F er afsluttede da det er komplementærmængder af abne mængder. Derfor vilmængden, T , af fortætningspunkter for F være fællesmængden af alle filtermængderne, altsa

T = {{O1 ∩ . . . ∩ {On) : O1, . . . , On ∈ O′, n ∈ N} =⋂

O∈O′{O = {

⋃

O∈O′O.

Da O′ er en aben overdækning af A har vi da at T ∩A = ∅

Derfor er (2) ikke opfyldt og vi har bevist at (2) medfører (1).

Bevis for at (2) medfører (3). Antag at (2) er opfyldt.

Antag at F er et filtrerende system pa A. Da (2) er opfyldt kan vi bestemme et fortætningspunkti A(A). Men ethvert fortætningspunkt er grænsepunkt for et filtrerende system fremkommet vedforfining.

Derved har vi vist at (3) er opfyldt.

Bevis for at (3) medfører (2). Antag at (3) er opfyldt.

Hvis F1 er en forfining af det filtrerende system F da vil ethvert grænsepunkt for F1 være etfortætningspunkt for F . Heraf følger at (3) medfører (2).

Men vi har heldigvis nok til at bevise hovedsætningen om kompakthed:

25

73.Sætning (Kontinuert billede af kompakt er kompakt)

Lad f : X → Y være kontinuert og lad A være en kompakt delmængde af X. Da er f(A) en kompaktdelmængde af Y

Bevis : Beviset er sa simpelt at man tror det er snyd. Man skal blot pa meget simpel vis benyttedefinitionerne af kontinuitet og kompakthed: En aben overdækning af f(A) trækkes tilbage til enaben overdækning af A, som kan udtyndes og dermed giver en udtynding af den givne overdækning.Udfør detaljerne.

Den egentlige hovedsætning er følgende korollar:

74.Sætning (Reel funktion antager maximum og minimum pa en kompakt mængde)

Bevis : f(A) er en kompakt delmængde af R. Som vi ved fra teorien om metriske rum sa er f(A)derfor afsluttet og begrænset, hvoraf pastanden følger.

Nu skal vi have nogle regneregler for kompakte mængder:

75.Sætning (Afsluttet del af kompakt er kompakt)

Lad A være en afsluttet delmængde af X. Antag at C er kompakt og afsluttet og at A ⊂ C. Da er A kompakt.

Bevis : Lad F være et vilkarligt filtrerende system pa A. Efter antagelserne vil F have et fortætningspunkti C. Dette fortætningspunkt ma ligge i A da A er afsluttet. Dermed har vi vist at A er kompakt.

76.Sætning (Endelige foreningsmængder og fællesmængder)

En foreningsmængde af endelig mange kompakte delmængder er kompakt.

Bevis :øvelse

26

6: specielle topologiske rum

6.1: Kompakte rum.

77. Definition (Kompakt rum)

Et topologisk rum, hvor den underliggende mængde er en kompakt delmængde kaldes et kompakt topologiskrum

78. Bemærkning (Ikke som med afsluttede mængder)

Ethvert rum er automatisk en afsluttet delmængde af sig selv. Sadan er det altsa ikke med kompakthed

79.Sætning (Kompakthed er ikke en relativ egenskab)

En delmængde er kompakt hvis og kun hvis det tilsvarende delrum er kompakt

Bevis : Antag at A er en kompakt delmængde af X. Lad E være en aben overdækning af A iforhold til delrumstopologien. Mængderne i E har formen E ∩ A, hvor E er en aben delmængdeaf X. System af disse mængder E vil da være en overdækning af E med abne mængder i Xog der findes derfor en endelig deloverdækning. De tilsvarende mængder i E er da en endeligdeloverdækning.

Antag dernæst at delrummet A er kompakt. Lad denne gang E betegne en overdækning af delmængdenA med abne mængder i X. Da vil systemet bestaende af mængder af formen E ∩ A være enaben overdækning af rummet A, og har derfor en endelig deloverdækning. Den tilsvarende de-loverdækning af E er da en deloverdækning af delmængden A

80. Bemærkning ( Sætningen viser at kompakthed er noget som er afgjort af delrumstopologien alene ogderfor ikke pa andre mader er relateret til det omgivende rum i stærk kontrast til de meget relative begreberafslutning og indre. )

81.Sætning (Tykonovs sætning)

Et produktrum er kompakt hvis og kun hvis alle faktorer er kompakte

Bevis :Udelades

6.2: Rum med specielle adskillelsesegenskaber

82. Definition (Haussdorfs aksiom, Hausdorffrum)

Et topologisk rum siges at opfylde Hausdorff’s adskillelsesaksiom hvis følgende gælder:

Til ethvert par af forskellige punkter findes et par af disjunkte abne mængde indeholdede hver sit af punkterne.

Et rum hvor dette gælder kaldes et Hausdorffrum.

27

83.Sætning (Entydig grænsepunkt)

I et Hausdorffrum har ethvert konvergent filtrerende system netop et grænsepunkt

Bevis : Antag at x og y er to forskellig grænsepunkter og vælg disjunkte abne mængder Ox og OY

sa x ∈ Ox og y ∈ Oy. Som følge af konvergensen kan vi da vælge filtermængder Fx og Fy saledesat Fx ⊂ Ox og Fy ∈ Oy. Men sa vil Fx og Fy være disjunkte, i strid med at egenskaberne for etfiltrerende system.

84.Sætning (Kompakt delmængde af Haussdorfrum er afsluttet)

Lad A være en kompakt delmængde af det topologiske Hausdorffrum X. Da er A afsluttet.

Bevis : Lad F → a, hvor F er et filtrerende system pa A. Beviset vil være gennemført nar vi harvist at a tilhører A.

Men da A er kompakt sa kan F kan forfines til et konvergent filtrerende system F ′ med grænsepunkti A. Da der højst er et grænsepunkt ma a ∈ A.

85.Sætning (Automatisk homeomorfi)

Antag at X er kompakt og Y er Hausdorff. Lad f : X → Y være en kontinuert bijektion. Da er f enhomeomorfi.

Bevis : Vi skal blot vise at g = f−1 er kontinuert. Vi gør dette ved at vise at g−1(C) er afsluttetfor enhver afsluttet delmængde C af X. Bemærk først at g−1(C) = f(C). Da C er en afsluttetdelmængde af et kompakt rum er C selv kompakt. Da f er kontinuert er f(C) kompakt og da Y erHausdorff er f(C) afsluttet og det samme er sa g−1(C).

86. Eksempel (Fortsættelse af kvotient)

Vi vender nu tilbage til kvotienten T = R/Z med kvotienttopologien og den kontinuerte bijektion f : T→ S1,som vi nu ønsker at vise er en homeomorfi. Vi kan abenbart klare dette ved at vise at T er kompakt.

Men dette ses ved at bemærke at T er kontinuert billede (ved den kanoniske projektion) af den kompaktedelmængde [0, 1] af R.

87. øvelse (T2)

Gennemfør en analogi til eksemplet for den sædvanlige torus.

88. Eksempel (Torus indlagt i R4)

Vis at afbildningenR2/Z2 3 [(s, t)] 7→ (e2πis, e2πit) ∈ S1 × S1

er en homeomorfi. Benyt dette til at vise at R2/Z2 er homeomorf med (R/Z)2, og dermed af en delmngde i

28

R4

29