DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartman za matematcke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS

TOPOLOGIJA( pismeni deo ispita,april 2015)

1. Data je kolekcija podskupova T = {{1}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}{2, 3, 4}, X,∅},skupa X = {1, 2, 3, 4, 5}.

(a) Dokazati da je T toplogija na skupu X. 5

(b) Ispitati da li je X Hausdorfov prostor . 5

(c) Ispitati da li je X povezan i kompaktan prostor . 5

(d) Ispitati da li postoji pravi gust podskup od X . 5

(e) Za skup A = {2, 3, 5} naci intA,A, ∂A,A′ 10

(f) Naci (ukoliko postoji ) bar jednu bazu topologije T ,razlicitu od T . 5

2. Ako je preslikavanje f : (X, TX) 7−→ (Y, TY ) preslikavanje homeomorfi-zam , dokazati da vazi:

(a)(∀A ⊆ X)x ∈ intA⇔ f(x) ∈ intf(A)

10

(b)(∀A ⊆ X)x ∈ A′ ⇔ f(x) ∈ (f(A))′

10

3. Neka su A,B,C podskupovi topoloskog prostora X. Dokazati da vazi :

(a) A,B,C povezani i A ∩B ∩ C 6= ∅ tada je skup A ∪B ∪ Cpovezan . 10

(b) A,B,C kompaktani tada je skup A ∪B ∪ C kompaktan 10

4. Dokazati da je u prostoru R2 skup C = {(x, y) ∈ R2 : x = 0} zatvoren ,skupovi A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}, B = {(x, y) ∈ R2 : x < 0} otvoreni,dok su u potprostoru A ∪B skupovi A i B zatvoreni .( UPUSTVO:Koristiti neprekidnost projekcije p1 : R2 −→ R, p1(x, y) = x)

5+10+10=25

∑= 100

broj bodova· · · = · · ·ocena/55-64=6/65-74=7/75-84=8/85-94=9/95-100=10