Odbačeni desni deo tela 2, na posmatrani levi1, na svakoj elementarnoj površini preseka∆A, dejstvuje elementarnom unutrašnjomsilom

Totalni napon u tački preseka. Normalni i tangencijalni napon.Zamislimo da je opterećeno elastično telo ne-kom proizvoljnom ravni presečeno na dva dela.

Srednji napon na toj elementarnojpovršini je količnik i ∆A:

Kada elementarna površina teži nuli srednji na-pon teži totalnom naponu u tački M preseka:

.uFr

∆

uFr

∆ .A

Fp u

sr ∆∆=r

r

pr

Komponenta totalnog napona u pravcu normale napresek predstavlja normalni napon , dokkomponenta koja leži u ravni preseka predstavljatangencijalni napon .

σrnr

τr

.limlim00 dA

Fd

A

Fpp uu

Asr

A

rrrr =

∆∆==

→∆→∆

Kroz svaku tačku može se povući beskonačno mnogo ravni. Za svaku ravantotalni napon, a time i normalni i tangencijalni, imaće drugačije vrednosti. Skupnapona za sve preseke koji prolaze kroz tačku karakteriše stanje napona u tački.

Naponi u kosompreseku aksijalno opterećenog štapa. Morov krug naponaza ovaj slučaj.

.AF=σ

,cosα

=αA

A

.coscos

0 ασ=α==⇒=⋅+−=α

α∑ AF

AF

pApFZi

Presecanjem zategnutog štapa ravni koja je upravna na osu štapa, površina poprečnog preseka je A a napon je

Presecanjem istog štapa kosom ravni, određe-noj uglom α, površina poprečnog preseka jea totalni napon (dobijen iz uslova ravnote):

( ) ,2cos22

2cos12

coscos 2 ασ+σ=α+σ=ασ=α=σα p

Projekcije totalnog napona daju normalni i tangencijalni napon u kosom preseku u zavisnosti od ugla α:

Dobijeni izrazi lako daju:

0, =τσ=σ αα .0=α 0,0 =τ=σ αα.

2π=α

maxτ=τα .42

212sinπ=α⇒

π=α⇒=α

.2sin2

sincossin ασ=αασ=α=τα p

za za

zaza

Odredimo sada vrednost tangencijalnog napona za ugao α+π/2 na osnovu dobijenog izraza za τα(α):

( ) ( )

( ) .22

2sin2cos22

22

2

222

22

σ=τ+

σ−σ⇒

α+α

σ=τ+

σ−σ

αα

αα

⇒ασ=τασ=σ−σ αα 2sin2

,2cos22

( ) .2sin2

2sin22

απ+ατ−=ασ−=π+ασ=τ

Eliminacijom ugla α iz dobijenih izraza σα(α) i τα(α), dobiće se Morov krug napona u koordinatnom sistemu τασα:

Kao što normalni naponi mogu biti, kako pozitivni (Sl.1), tako i negatvni (Sl.2), konvencija o predzna-ku tangencijalnih napona prikazana je na Sl.3 i Sl.4.

⇒ασ=τα 2sin2

Pojam o glavnim naponimaPovršine u kojima tangencijalnih napona nema su glavne površine a normalninaponi koji dejstvuju u tim površinama su glavni naponi.U teoriji elastičnosti se dokazuje da kroz svaku tačku napregnutog tela mogu da se postave tri međusobno upravne glavne površine. U jednoj od njih dejstvovaće maksimalni glavni naponσ1, u drugojσ2, a u trećoj minimalni glavni naponσ3.

U zavisnosti od toga da li se u tački napregnutog tela pojavljuje jedan, dva ili sva tri glavna napona razlikujemo tri vrste naponskog stanja tela:

-prostorno stanje napona (Sl.1), gde je

-ravno stanje napona (Sl.2), gde je

-linearno stanje napona (Sl.3), gde je

.3,2,1,0 =≠σ ii

.0,0,0 321 =σ≠σ≠σ

.0,0,0 321 =σ=σ≠σ

Prikazani pravougaoni elementarni deo je debljine b i sile koje na njega dejstvuju dobijaju se množenjem napona i odgovarajućih površina.

Ravno stanje napona.

Teorema o uzajamnosti tangencijalnih napona.

Naponi u proizvoljnoj ta čki za ravan određenuproizvoljnim uglom αααα (σσσσαααα,τττταααα).

⇒=∑ 0DiM .τ=τ=τ⇒τ−=τ⇒ yxyx

0cossinsincos

sincos0 221

=α⋅α⋅⋅τ−α⋅α⋅⋅τ−

−α⋅⋅σ+α⋅⋅σ+⋅σ−⇒= α∑dAdA

dAdAdAX yxi

,2sinsincos 22 α⋅τ−α⋅σ+α⋅σ=σ⇒ α yx

U ravnom stanju napona se nalazi tanka ravna ploča opte-rećena po konturi opterećenjem koje koje leži u istoj ravni.

0=⋅⋅⋅τ+⋅⋅⋅τ− dybdxdxbdy xy

Uslovi ravnože za prikazan elementarni deo daju:

Momentni uslov ravnože za prikazan elementarni deo daje:

Tangencijalni naponi u dvema, međusobno upravnim ravnima, imaju iste vrednosti ali suprotne smerove.

Glavne napone ćemo dobiti traženjem minimuma i maksi-muma funkcije

Glavni naponi pri ravnom stanju napona.Određivanje ravni u kojima se oni javljaju.

α⋅τ+α⋅σ−σ

=τ⇒ α 2cos2sin2

yx

0sincoscossin

sincos022

1

=α⋅⋅τ−α⋅⋅τ+α⋅α⋅⋅σ−

−α⋅α⋅⋅σ+⋅τ−⇒= α∑dAdAdA

dAdAY

y

xi

( ) .2sinsincos 22 α⋅τ−α⋅σ+α⋅σ=ασα yx

( ) ,02/12/1

=′σ=ασ

α=αα

α=α

α

d

dZa tražena rešenja prvi izvod mora biti jednk nuli:

( )

( ) ( ) α⋅τ−α⋅σ−σ−=′σ=α

σ

α⋅τ−α⋅α⋅⋅σ+α⋅α⋅⋅σ−=′σ=α

σ

αα

αα

2cos22sin

2cos2cossin2sincos2

yx

yx

d

dd

d

=ασ

α=α

α

2/1d

d ( )yx

yx σ−στ−=α⇒=α⋅τ−α⋅σ−σ− 2

2tan02cos22sin 2/12/12/1

,2

arctan2 1

σ−στ−=α⇒

yxyx σ−στ−=α 2

2tan 2/1

,2

222tan2tan 121212

π+α=α⇒π+α=α⇒α=α

Za oadređivanje sinusa i kosinusa od 2α1/2 iskoristimo i zamišljeni pravougli trougao sa slike:

( ) ( )

( ) ( ) .4

22sin,

42cos

,4

22sin,

42cos

222222

221221

τ+σ−στ=α

τ+σ−σ

σ−σ−=α

τ+σ−στ−=α

τ+σ−σ

σ−σ=α

yxyx

yx

yxyx

yx

( )( ) ,

41

21

2cos121

sin2211

2

τ+σ−σ

σ−σ−=α−=α

yx

yx

Dobijeni izrazi definišu ravni u kojima se javljaju glavni naponi.

( )( ) ,

41

21

2cos121

sin2222

2

τ+σ−σ

σ−σ+=α−=α

yx

yx

Za određivanje kvadrata sinusa i kosinusa preko kosinusa dvostrukog ugla isko-ristimo matematičke formule:

( )( ) ,

41

21

2cos121

cos2211

2

τ+σ−σ

σ−σ+=α+=α

yx

yx

( ) ( ) ( ) 22222214

2

41

241

2 τ+σ−στ⋅τ+

τ+σ−σ

σ−σ−

σ+

τ+σ−σ

σ−σ+σ=σ

yxyx

yxy

yx

yxx

=σ α=αα2

⇒σ=σ α=αα 11

( )( ) ( ) .4

21

242

4

222

22

22

1 τ+σ−σ+σ+σ

=τ+σ−σ

τ+σ−σ+

σ+σ=σ⇒ yx

yx

yx

yxyx

( )( ) ( ) .4

21

242

4

222

22

22

2 τ+σ−σ−σ+σ

=τ+σ−σ

τ+σ−σ−

σ+σ=σ yx

yx

yx

yxyx

( )( ) .

41

21

2cos121

cos2222

2

τ+σ−σ

σ−σ−=α+=α

yx

yx

Prvi glavni napon će se dobiti uvrštavanjem α1 u izraz za

Istom procedurom, drugi glavni napon se dobija uveštavanjem α2, u izraz

( ) :ασα

( ) :ασα

Dakle, glavne napone određuju formule: ( ) .421

222

2/1 τ+σ−σ±σ+σ

=σ yxyx

Za ravnu ploču izloženu, po stranama, dejstvu glavnih napona, odreditinormalni i tangencijalni napon za ma koju ravan i nacrtati Morov krugnapona.

,2sinsincos 22 α⋅τ−α⋅σ+α⋅σ=σα yx

,2cos2sin2

α⋅τ+α⋅σ−σ

=ταyx

Dobijene formule:

izvedene u opštem slučaju, za σx = σ1 , σy = σ2 i τ = 0, daju:

,sincos 22

21 α⋅σ+α⋅σ=σα )1...(2sin

221 α⋅σ−σ=τα

( ) ( )α−σ+α+σ=σα 2cos12

2cos12

21

)2...(2cos22

2121 ασ−σ=σ+σ−σ⇒ α

Kvadriranjem pa sabiranjem izraza (1) i (2), dobija se Morov krug napona:

⇓

2212

221

22

σ−σ=τ+

σ+σ−σ αα

221

max

σ−σ=τ⇒

Zapreminska dilatacija.

Veza između normalnih napona i dilatacija pri ravnom stanju napona (σσσσz=0).

,0 dzdydxdV ⋅⋅=( ) ( ) ( ).dzdzdydydxdxdV ∆+⋅∆+⋅∆+=

Zapremina elementarnog dela pre dejstva napona σx , σy i σz je

a nakon njihovog dejstva je

Zapreminska dilatacija: .0

0

dV

dVdVv

−=ε

⇒−=ε0

0

0 dV

dV

dV

dVv

1−∆+⋅∆+⋅∆+=εdz

dzdz

dy

dydy

dx

dxdxv

( ) ( ) ( ) ⇒−ε+⋅ε+⋅ε+=ε 1111 zyxv

.zyxzyzxyxzyxv εεε+εε+εε+εε+ε+ε+ε=ε

.zyxv ε+ε+ε=εZanemarujući male veličine drugog i viših redova dobijamo

⇒σ

µ−σ=εEE

yxx

Odredimo prvo dilatacije u sva tri pravca preko napona:

⇒σµ−

σ=ε

EExy

y

( ),1yxx E

µσ−σ=ε

( ),1xyy E

µσ−σ=ε

Deformacija i naponi pri čistom smicanju.

Rešavanjem prve dve jednačine po σx i σy dobiće se ti naponi preko dilatacija. Prvo ih svedemo na oblik:

⇒σ

µ−σµ−=εEE

yxz

Zatim na način, niže naznačen, dobijamo tražene zavisnosti:

)2...(

)1...(

yxy

xyx

E

E

ε=µσ−σ

ε=µσ−σ

⇒⋅µ+ )2()1( ( ),1 2 yxx

E µε+εµ−

=σ ⇒+⋅µ )2()1( ( ).1 2 xyy

E µε+εµ−

=σ

( ).yxz Eσ+σµ−=ε

Deformacije pri smicanju: mCC =' je apsolutno klizanje.

.tan γ≈γ=h

mRelativno klizanje je

γ - ugao klizanja.

Znak približno (≈) stoji zbog toga što ugao γ [rad] obično ima malu vrednost.

Kada pri ravnom stanju napona postoje ravni u kojimase javlja čisto smicanje.

Naponi pri smicanju (tangencijalni, pošto leže u smicajnoj površini) u svakoj tački smicajne površine imaju konstantnu vrednost. Jednačina ravnoteže, unutrašnjih sila usled tangencijalnih napona i prikazane sile koja izaziva smicanje, daje:

⇒=−τ∫ 0)(

FdAsA sA

F=τ⇒=⋅τ⇒=τ ∫ FAFdA s

As )(

Hukov zakon (što je osnovni zakon Otpornosti materijala), koji govori o propor-cionalnosti između napona i deformacija, kod tangencijalnih napona ima oblik

gde koeficijent proporcionalnosti G nosi naziv modul klizanja koji, kao i modul elastičnosti E, ima dimenziju napona [N/m2] = [Pa].

Fr

Intenzitet sile koja izaziva smicanje označavaćemo i sa Fs i nazivati smicajnom silom a smicajnu površinu ćemo označavati As.

,γ⋅=τ G

Ravni preseka u kojima se javlja čisto smicanje su takve da u njima ima samo tangencijalnih napona, bez normalnih.

Veza između modula elastičnosti i modula klizanja.

Takve ravni će postojati samo u slučaju prikazanom na slici, kada su glavni naponi σ1 pozitivni a glavni naponi σ2 negativni. To znači zatezanje u pravcu napona σ1 a pritisak u pravcu napona σ2 .

Iz Morovog kruga napona za takav slučaj jasno se vidi da tačka D Morovog kruga definiše takvu ravan (određuje odgovarajući ugao α).

α⋅σ+α⋅σ=σα2

22

1 sincos

Odgovarajući ugao α bi se mogao dobiti rešavanjem po α jednačine

(odnosno, ),( ) ( ) ασ−σ=σ+σ−σα 2cos2 2121

gde je σα=0.

Za dobijanje ove veze iskoristimo činjenicu što se za σ1 = σ a σ2 = -σ dobija da je ravan u kojoj se ljavlja čisto smicanje određena uglom α = 450 i što vrednost tangencijalnog napona τα = τ u toj ravni takođe iznosi σ.

.2sin2

21 α⋅σ−σ=τα,sincos 22

21 α⋅σ+α⋅σ=σα

Ove činjenice lako proizlaze iz poznatih formula:

Morov krug napona, glavni naponi i kva-dratni element, u čijim ravnima imamo čisto smicanje, u opi-sanom slučaju, prikazani su na slikama 1), 2) i 3).

U ovakvom slučaju, dilatacije u horizontalnom x i vertikalnom y pravcu imaju istu brojnu vrednost ε ali suprotne predznake:

( ) ( ) .1,1 ε−=µ+σ−=σµ−σ−=εε=µ+σ+=σµ+σ=εEEEEEE yx

Ovo znači da će se horizontalna dijagonala dužine D kvadratnog elementa (Sl.3) izdužiti za istu vrednost ∆D za koju će se vertikalna skratiti. Ugao kod levog temena tog kvadrata će se smanjiti u odnosu na 900 za ugao klizanja γ i iznosiće 900 - γ, a njegova polovina će biti 450 - γ/2.

( )µ+σ=ε 1E

Za prikazani pravougli trougao važi:( )( ) ⇒

∆+∆−=

γ−22

245tan 0

DD

DD

⇒∆+

∆−

=

γ−

γ−

D

DDD

DD

245cos

245sin

0

0

D

DD

D

∆+

∆−=γ+γ

γ−γ

1

1

2sin45sin

2cos45cos

2sin45cos

2cos45sin

00

00

( )( ) ε+

ε−=γ+γ−

⇒11

2121

.,12

cos,22

sin,45cos45sin 00 ε=∆≈γγ≈γ=D

Djer je:

Iz prethodne jednačine se lako može dobiti da je .2ε=γ

GG

σ=τ=γUvrštavanjem u dobijenu jednakost i dobija se:

( ) ⇒µ+σ=σ12

EG ( ).12 µ+= E

G

Proračuni pri smicanju

Osnovna formula za dimenzionisanje (ali i proračun nosivosti) pri smicanju je ,dτ≤τ gde τd dozvoljeni tangencijalni napon. Podsetimo se da je

Primer 2.1 Dva elementa opterećena silom intenziteta F, kao što je na slici prikazano povezana su sa tri istovetna zakivka. Odrediti prečnik zakivka d? Poznate veličine su F i τd.

,3

4τ13

4,τ

2

2

π=⇒⋅⋅π=⋅⋅==

d

FdsnAA

A

Fs

s

gde je n=3 broj zakivaka a s=1 sečnost zakivka,

.τ34

τ3

4ττ

dd2d π

≥⇒≤π

⇒≤ Fd

d

F

Kod smicanja je veoma čest i proračun gde se traži minimalna potrebna sila F

koja obezbeđuje sečenje lima. Ako je debljina lima δ a ukupna dužina rezalonda je smicajna površina As= δ l. Da bi došlo do sečenja mora biti

,τ MM lFA

F

s

⋅δ⋅τ>⇒>

.sAF=τ

gde je τM čvrstoća materijala lima na smicanje.

Primer 2.2 Dva elementa optere-ćena silom intenziteta F, kao što je na slici prikazano povezana su sa dva istovetna zakivka. Odreditiprečnik zakivka d? Poznate veličine su F i τd.

,τ224

,τ

22

2

π=⇒π=⋅⋅π=

⇒⋅⋅==

d

Fd

dA

snAAA

F

s

ss

gde je n=2 i s=2,

.τ

τττd

d2d π≥⇒≤

π⇒≤ F

dd

F

Primer 2.3 Uz pomoć prese iz lima debljine δ = 2 mmiseca se krug prečnika D = 40 mm. Odrediti potrebni silu na presi F ako je čvrstoća materijala lima na smicanje ?300 2

M mmN=τ

π⋅⋅⋅=π⋅⋅δ⋅τ>⇒>π⋅⋅δ=⋅δ= 402300τ, MM DFA

FDlA

ss

.75398NF >⇒

.0=∑ iM

Uvijanje: definicija, dijagram momenata uvijanja.

Štap, kružnog ili kružno prstenastog poprečnog preseka, izložen je uvijanju, ako na njega dejstvuju samo spregovi koji leže u ravnima, upravnim na osu štapa (Sl.1). Radi lakšeg crtanja opterećeni štap na uvijanje sa slike 1 predsta-vljaćemo kao na slici 2. Za uravnotežen sistem spregova koji dejstvuje na štap imamo jednu statičku jednačinu koja se dobija iz uslova ravnoteže U konkretnom slučaju jednačina ravnoteže je: .04321 =−+− MMMM

Dijagram momenata uvijanja Vrednost momenta uvijanja u nekom preseku može se dobiti sumiranjem svih spregova koji se nalaze levo ili desno od tog preseka.Mi ćemo ovde u mnogim primerima momente uvijanja određivati na osnovu “dijagrama momenta uvijanja”.Dijagram crtamo tako što nanosimo spregove kao u ovom primeru, s leva prema desno, nadovezujući svaki naredni spreg. Prvi mora da krene sa nulte linije, a poslednji, zbog uslova ravnoteže, mora da se vrati na nultu liniju.

Spreg, koji ima smer kao M1 i M3, u dijagramu momenata uvijanja crtamo naniže, a spreg, koji ima smer kao M2 i M4, u dijagramu momenata uvijanja crtamo naviše. Po anaogiji sa dijagramom aksijalnih sila možemo moment uvijanja koji je iznad nulte linije da usvojimo da je predznaka + dok bi moment uvijanja koji je ispod nulte linije imao predznak -.

Kod uvijanja imamo tangencijalne napone. Dokaz za to može da bude oblik deformisanog kvadratnog elementa sa slike 1. Pošto je došlo do klizanja, jer se kvadratni element ugaono deformisao, moraju postojati tangencijalni naponi (Sl.2 i Sl.3). Deformacija kod uvijanja je ugao θ (ugao uvijanja) i on govori o tome koliko je zakretanje desnog dela štapa B, u odnosu na levi A Taj ugao je pozitivan ako je deformacija dela od A do B kao na slici 2, a negativan, ako je deformacija tog dela kao na slici 3.

.BA−θ=θ

Određivanje tangencijalnih napona pri uvijanju štapa kružnog i kružno-prstenastog preseka.

U svakom poprečnom preseku, upravnom na osu štapa od unutrašnjih sila i spregova imamo jedino jedan spreg koji leži u ravni poprečnog preseka i koji nazivamo “Momentom uvijanja-Mu” ili “Momentom torzije-Mt” .

Moment uvijanja-Mu je rezultujuće dejstvo beskonačnog broja elementarnih sila koje su posledice tangencijalnih napona

Tangencijalni napon u svakoj tački poprečnog preseka ima pravac koji je upravan na duž koja spaja tu tačku sa centom O a smer koji je u skladu sa smerom momenta uvijanja. Pomenuta ekvivalentnost daje jednakost:

dA⋅τr

.τr

τr

⇒ρ⋅⋅τ= ∫)( A

u dAM )1......()(∫ ⋅ρ⋅τ=A

u dAM

Desni kraj elementarnog dela u odnosu na levi se zakrenuo za mali ugao dθ.Nakon deformacije tačka C se pomerila po malom luku u C', i slično tome, tačka D u D'. Vlakna paralelna sa osom C"C i D"D , koja su na rastojanju ρ i r od ose, prešla su u položaj C "C' i D"D' .Ugao klizanja na rastojanju r od ose (na perifernim vlaknima ) je γ1, a na rastojanju ρ je γ.

Štap AB je izložen uvijanju. Posmatra-jmo deformaciju njegovog elementa-rnog dela dužine dz.

Jednakosti iz geometrije su: ),2.....(dzdCC ⋅γ=θ⋅ρ=′ ).3.....(1 dzdrDD ⋅γ=θ⋅=′

Neka su tangencijalni naponi u tačkama C i D (odnosno, na rastojanjimaρ i r od centra presekaO) označeni saτ i τ1 pa , prema Hukovom zakonu, imamo

U dobijenom izrazu uvedena je veličina polarni moment inercije površine poprečnog preseka čija je definicija )7......(

)(

20 ∫ρ=

A

dAI

,, 11 GG

τ=γτ=γ što deljenjem ovih jednakosti daje )4.....(11 ττ=

γγ

Uzimanjem u obzir jednakosti (4), deljenje jednačina (2) i (3), daje:

⇒γγ=ρ

1r⇒

ττ=ρ

1r)5.....(1 ρ⋅τ=τ

r

Jednakost (5) jasno govori da se tangencijalni naponi τ proporcionalno povećavaju sa rastojanjem ρ od centra poprečnog preseka O.

,)(∫ ⋅ρ⋅τ=A

u dAM

Uvrštavanjem (5) u (1), odnosno u1 ρ⋅τ=τr

⇒τ=ρτ= ∫ 0

1

)(

21 Ir

dAr

MA

udobija se )6.....(0

1

I

M

ru=τ

Uvrštavanjem (6) u (5), izraz za tangencijalni napon postaje )8.....(0

ρ⋅=τI

M u

Definicija polarnog momenta inercije:

Polarni moment inercije kružnog i kružno-prstenastog preseka. Polarniotporni moment

.)(

20 ∫ρ=

A

dAI

Elementarna površina se bira u obliku prstena poluprečnika ρ debljine dρ i praktično je jednaka površini izduženog pravougaonika dužine 2ρπ a širine dρ, .2 ρ⋅π⋅ρ⋅= ddA

( ) ( )44444

0

30 3224

22 dDrRdIR

r

R

−π=−π=ρ⋅π=ρρπ= ∫

Uvrštavanjem dAu definiciju, za kružni i kružno prstenasti presek, dobija se:

kružni (Sl.1)

kružno prstenasti (Sl.2)

,322224

22444

0

4

0

30

DDRdI

RR π=

π=π=ρ⋅π=ρρπ= ∫

( ) ( ).3224

22 44444

0

30 dDrRdI

R

r

R

−π=−π=ρ⋅π=ρρπ= ∫kružno prstenasti (Sl.2)

Polarni otporni moment W0 definiše formula: .2 00max00 DIRIIW ==ρ=

Određivanje ugla uvijanja kod štapova kružnog i kružno-prstenastogpreseka.

:1 dzdr ⋅γ=θ⋅G

11

τ=γUvrstimo prvo Hukov zakon u jednačinu (3), čiji je oblik

.111 dzGr

dzr

d ⋅⋅τ=⋅γ=θ

:0

1

I

M

ru=τ

U dobijeni izraz uvrstimo jednakost (6), čiji je oblik

Integracijom poslednjeg izraza u odgovarajućim granicama za promenljivu zdobija se ugao uvijanja, odnosno ugao zakretanja desnog kraja u odnosu na levi. Ako bi, na primer, u opštem slučaju, i Mu i I0 bili funkcije zkoordinate a štap bio dužine l, onda bi ugao uvijanja štapa određivala formula ( )

( ) .1

0 0

dzzI

zM

G

lu∫±=θ

Ako bi štapu AB, dužine l, veličine Mu i I0 bile konstante onda bi ugao uvijanja iznosio

⇒⋅

⋅=⋅

=θ ∫000 IG

lMdz

IG

M ul

u .0IG

lM uBA ⋅

⋅±=θ=θ −

Ako bi postojao neki segment štapa, recimo CD, dužine b, za koji su veličine Mu

i I0 konstantne, onda bi ugao uvijanja tog segmenta iznosio.

0IG

bM uDC ⋅

⋅±=θ=θ −

.0

dzGI

Md u ⋅=θ⇒