ECUACIONES DIFERENCIALES

ACTIVIDAD 10

Trabajo Colaborativo 2

Tutor:

CAMILO ARTURO ZUÑIGA GUERRERO

Alumno:

Jorge Armando Melo Pacheco

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

Abril de 2014

1. Resuelva la ecuación diferencial utilizando la ecuación de Bernoulli.

dydx

+ 1xy=x3 y3

Ecuación de Bernoulli:

dydx

+P ( x ) y=f ( x ) yn (1 )

P ( x )=1x

f ( x )=x3

n=3

Al definir W= y1−n ,n≠0 , n≠1 entonces

dwdx

=(1−n ) yn dydx al sustituir en (1)

dwdx

+(1−n )P ( x )W=(1−n ) f ( x )

Al ver W= y2 tenemos

dwdx

−21xW=−2 x3

Se determina que el factor integrante de ésta ecuación lineal es

e−2∫ dx

x =e−2 ln ( x )=e ln (x )−2

=x−2

Ahora

ddx

[ x . 2w ]=−6 x2

y al integrar

x−2W=−2x3+c W=−2x5+cx 2

y−2=−2 x5+cx 2

y=√ 1−2 x+cx2

3. Demostrar que (a) y1=sen3 x y (b) y2=

1

sen2 x son linealmente independientes y

que son solución de la siguiente ecuación diferencial

y ' '+tanx dydx

−6 (cot2 x ) y=0

Debo calcular el Wroskiano, para ello como la ecuación diferencial es de segundo orden, derivo una vez

y1=sen3 x

Su derivada primera es

y '1=3 sen2 xcosx

Para y2=1

sen2 x

Su primera derivada es:

y '2=−2cosx

sen3 x

W ( y1 , y2)=| sen3 x1

sen2 x

3 sen2 x cosx−2cosxsen3 x

|W ( y1 , y2)=sen3

x(−2cosx

sen3 x )−(3 sen2x cosx )( 1

sen2 x )

W ( y1 , y2)=−2cosx−3cosx=−5cosx

Este Wronskiano es cero sólo para x=(2n+1 ) π2

, n= 0, 1, 2, 3, …

En otro caso son linealmente independientes

Para verificar que son solución construyo y= y1+ y2 derivo dos veces y reemplazo en la ecuación original

y '=3 sen2 x cosx+−2cosx

sen3 x

y ' '=6cos2 x senx−3 sen3 x+2 sen4 x+6 cos2 x sen2 xsen6 x

y ' '=6 cos2 x senx−3 sen3 x+2 sen2 x+6 cos2 xsen4 x

Reemplazo

6 cos2 x senx−3 sen3 x+ 2 sen2 x+6 cos2 xsen4 x

+tanx(3 sen2 x cosx+−2cosxsen3 x )−6 cot2 x ¿ +

1

sen2 x¿ = 0

Aplicando identidades trigonométricas básicas

6 cos2 x senx−3 sen3 x+ 2sen2 x

+ 6 cot2 xsen2 x

+3 sen3 x− 2sen2 x

−6 sen x cos2 x−6cot2 xsen2 x

=0

Eliminando términos semejantes resulta: 0 = 0

Por lo tanto si son soluciones a la ecuación diferencial dada

4.) y ' '+ y=tan (x)

Se halla Y h resolviendo la ecuación característica:

m2+1=0

m2=−1→√m2=±√−1

m=i om=−i

m=o+i om=0−i

m1=α+βi0m2=α−βi

Y h=c1eαxcos (βx )+c2e

αxsin (βx )

Y h=c1e0( x)cos [ (1 ) ( x ) ]+c2 e

(0)( x)sin [ (1 ) ( x ) ]

Y h=c1cos ( x )+c2 sin (x )

Procedo a encontrar Y h dónde:

Y h=A cos x+B sin x

d yhdx

=−A sin x +B cos x

d yhdx

=−A cos x−B sin x

Reemplazando se tiene ( y ' '+ y=tan(x))

−A cos x−B sin x+A cos x+B sin x=tan x

0=tan x

x=tan−1 (0 )=0

5(.a) y ' '+ y=sin x

Primero se hace f ( x )=sin x=0 para convertir la ecuación a homogénea con coeficientes

constantes llamada la solución asociada Y h

m2+1=0→m2−1→√m2=√−1

m1=0+ im2=0−i

La solución general de la ecuación es:

y=c1 e0x cos ( x )+c2e

ox sin ( x )

y=c1 cos ( x )+c2 sin (x )

5.b) y ' '+ y=x2+2 x+ex

La ecuación característica es:

m2+1=0

m (m+1 )=0→m1=0v m2=−1

y1=em1 x=e (0) ( x )=e0=1

y2=em2 x=e (−1 )( x )=e−x

y=c1 e0+c2e

− x

y=c1+c2 e−x

6ª)

Encontrar un operador diferencial que anule a:

A) e3x−xe x

B ) sen3x

Se tiene (D−a )n anulo funciones:

eax , xeax x2eax , x3 eax , ,, etc

f ( x )=e3 x

g ( x )=−xex

(D−a )n= (D−3 )❑= f ( x )

(D−3 )n e3 x=0

(D−a )n= (D−1 )g ( x )

(D−1 ) (−xe x)=0

6b) f ( x ) sin 3x

f ( x )=eox sin 3x

eαx sinβx

α=0 y β=3

(D 2−2aD+(α 2+ β2 ))n

(D 2−2 (O )D+(02+32 ))n

(D2−0+(0+9 ) )n

(D2+9sin 3 X=0 )