trabajo colaborativo 3 - calculo integral

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Calculo Integral

SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN, APLICACIONES DE LAS INTEGRALES A LA FÍSICA,

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES A LA ECONOMÍA

PRESENTADO A:

HUGO NELSON TATIS HERAZO

(TUTOR)

PRESENTADO POR:

OSWALDO CONTRERA SIERRA CODIGO: 92530308

DORALYS RICARDO VALERIO

95031225974

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICA, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CEAD - COROZAL MAYO 31 DEL 2014


INTRODUCCION

Hasta ahora se conoce que al aplicar el manejo y las técnicas del cálculo integral podemos hallar áreas bajo la curva, longitud de curvas y áreas de superficies de una curva. El desarrollo del presente trabajo nos permitirá hallar el volumen sólidos en revolución. Así como también nos permitirá identificar la importancia y aplicación del cálculo integral en los distintos campos de formación de profesionales en cualquier área del saber, tales como Ingenieros, Administradores, Economistas, Físicos, Químicos, entre otros. Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias; de las cuales se desarrollaran en el presente trabajo las aplicadas a la Física y la Economía.


EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Calcular la longitud del arco de curva que se indica.

𝒙 =𝒚𝟒

𝟒+

𝟏

𝟖𝒚𝟐 , 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒚 = 𝟏 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒚 = 𝟐

2. Halla los volúmenes de los sólidos generados al rotar las regiones acotadas por las rectas y las curvas que se dan alrededor del eje x

𝑦 = √9 − 𝑥2 , 𝑦 = 0

3. Se hace un trabajo de 4 kg – cm para estirar un resorte de una longitud de 8 cm

a una de 9 cm y 6 kg – cm para estirarlo de una longitud de 10 cm a una de 11 cm. Hallar la constante del resorte y su longitud natural

4. La función demandada para un producto es de la forma:

𝐷(𝑥) =450

𝑥 + 8

a. Cuál será el nivel de venta para un precio de $10

b. Encontrar el excedente del consumidor para el nivel para el nivel de ventas de la parte a


SOLUCION:

1. Calcular la longitud del arco de curva que se indica:

𝒙 =𝒚𝟒

𝟒+

𝟏

𝟖𝒚𝟐 , 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 𝒚 = 𝟏 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒚 = 𝟐

Sabiendo que:

𝑳 = ∫ √𝟏 + [𝒇′(𝒙)]𝟐𝒅𝒙

𝒃

𝒂

Entones Hallamos la derivada de la Función Interna y se tiene:

𝑥 =𝑦4

4+

𝑦−2

8

𝑑𝑥

𝑑𝑦=

4𝑦3

4+

−2𝑦−3

8

𝑑𝑥

𝑑𝑦= 𝑦3 −

−𝑦−3

4

𝑑𝑥

𝑑𝑦=

𝑦3

1−

1

4𝑦3

𝑑𝑥

𝑑𝑦=

4𝑦6

1−

1

4𝑦3

𝑑𝑥

𝑑𝑦=

4𝑦6 − 1

4𝑦3


Teniendo presente que la función se encuentra elevada al cuadrado se tiene:

(𝑑𝑥

𝑑𝑦)

2

= (4𝑦6 − 1

4𝑦3)

2

(𝑑𝑥

𝑑𝑦)

2

=16𝑦12 − 8𝑦6 + 1

16𝑦6

(𝑑𝑥

𝑑𝑦)

2

+ 1 =16𝑦12 − 8𝑦6 + 1

16𝑦6+

1

1

(𝑑𝑥

𝑑𝑦)

2

+ 1 =16𝑦12 − 8𝑦6 + 1 + 16𝑦6

16𝑦6

(𝑑𝑥

𝑑𝑦)

2

+ 1 =16𝑦12 − 8𝑦6 + 1

16𝑦6

(𝑑𝑥

𝑑𝑦)

2

+ 1 =(4𝑦6 + 1)2

(4𝑦3)2= (

4𝑦6 + 1

4𝑦3)

2

Aplicando la formula se tiene:

𝐿 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]2𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝐿 = ∫ √(4𝑦6 + 1

4𝑦3)

2

𝑑𝑦

2

1

𝐿 = ∫4𝑦6 + 1

4𝑦3

2

1

𝑑𝑦


𝐿 = ∫ (4𝑦6

4𝑦3+

1

4𝑦3) 𝑑𝑦

2

1

𝐿 = ∫ (𝑦3 +1

4𝑦−3) 𝑑𝑦

2

1

𝐿 = ∫ 𝑦3𝑑𝑦 +1

4∫ 𝑦−3

2

1

𝑑𝑦

2

1

𝐿 =𝑦4

4∫ +

1

4

2

1

(𝑦−2

−2) ∫

2

1

𝐿 = (24

4−

14

4) −

1

8(2−2 − 1−2)

𝐿 = (16

4−

1

4) −

1

8(

1

22−

1

11)

𝐿 = (16 − 1

4) −

1

8(

1

4− 1)

𝐿 =15

4−

1

8(

−3

4)

𝐿 =15

4+

3

32=

120

32+

3

32

𝑳 =𝟏𝟐𝟑

𝟑𝟐𝒖


2. Halla los volúmenes de los sólidos generados al rotar las regiones acotadas por las rectas y las curvas que se dan alrededor del eje x

𝑦 = √9 − 𝑥2 , 𝑦 = 0

Sabiendo que:

𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)]2𝑏

𝑎

𝑑𝑥

0 = √9 − 𝑥2

0 = (√9 − 𝑥2)2

0 = 9 − 𝑥2

𝑥2 = 9

𝑥 = ±√9

𝑥 = ±3 Ahora aplicando la formula se tiene:

𝑉 = 𝜋 ∫ (9 − 𝑥2)3

−3

𝑑𝑥

𝑉 = 𝜋 ∫ 9 𝑑𝑥 − 𝜋 ∫ 𝑥2𝑑𝑥3

−3

3

−3

𝑉 = 𝜋(9𝑥) ∫ −𝜋𝑥3

3∫

3

−3

3

−3


𝑉 = 9𝜋[3 − (−3)] −𝜋

3[33 − (−3)3]

𝑉 = 9𝜋(3 + 3) −𝜋

3(27 − (−27))

𝑉 = 9𝜋(6) −𝜋

3(27 + 27)

𝑉 = 54𝜋 −𝜋

3(54)

𝑉 = 54𝜋 − 18𝜋

𝑽 = 𝟑𝟔𝝅 𝒖𝟑 3. Se hace un trabajo de 4 kg – cm para estirar un resorte de una longitud de 8

cm a una de 9 cm y 6 kg – cm para estirarlo de una longitud de 10 cm a una de 11 cm. Hallar la constante del resorte y su longitud natural.

Se sabe que:

𝑥1 = 8 𝑐𝑚

𝑥2 = 9 𝑐𝑚

𝑤 = 4 𝑘𝑔. 𝑐𝑚

𝑤 = 𝑘𝑥2 𝑑𝑥 Como:

𝒘 = ∫ 𝒌𝒙𝟐 𝒅𝒙𝒃

𝒂 , Aplicamos esta Fórmula para hallar la constante y se tiene:


4𝑘𝑔. 𝑐𝑚 = 𝑘 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥9

8

4𝑘𝑔. 𝑐𝑚 = 𝑘𝑥3

3∫

9

8

4𝑘𝑔. 𝑐𝑚 = 𝑘 (93

3−

83

3)

𝑘 (729

3−

512

3) = 4𝑘𝑔. 𝑐𝑚

𝑘 (217

3) = 4𝑘𝑔. 𝑐𝑚

𝑘 =3(4𝑘𝑔. 𝑐𝑚)

217

𝒌 =𝟏𝟐

𝟐𝟏𝟕𝒌𝒈. 𝒄𝒎𝟐

Como:

𝒘 = 𝒌𝒙𝟐 , 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒆𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒌 𝒚 𝒔𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆:

4𝑘𝑔. 𝑐𝑚 =12

217𝑘𝑔. 𝑐𝑚(𝑥2)

𝑥2 = 4𝑘𝑔. 𝑐𝑚 (217

12 𝑘𝑔. 𝑐𝑚2)


𝑥2 =868 𝑐𝑚

12

𝑥 = √217

3 𝑐𝑚

𝒙 = 𝟖, 𝟓 𝒄𝒎

Se sabe también que:

𝑥1 = 10 𝑐𝑚

𝑥2 = 11 𝑐𝑚

𝑤 = 6 𝑘𝑔. 𝑐𝑚

𝑤 = 𝑘𝑥2 𝑑𝑥 Como:

𝒘 = ∫ 𝒌𝒙𝟐 𝒅𝒙𝒃

𝒂 , Aplicamos esta Fórmula para hallar la constante y se tiene:

6𝑘𝑔. 𝑐𝑚 = 𝑘 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥11

10

6𝑘𝑔. 𝑐𝑚 = 𝑘𝑥3

3∫

11

10

6𝑘𝑔. 𝑐𝑚 = 𝑘 (113

3−

103

3)


𝑘 (1331

3−

1000

3) = 6𝑘𝑔. 𝑐𝑚

𝑘 (331

3) = 6𝑘𝑔. 𝑐𝑚

𝑘 =3(6𝑘𝑔. 𝑐𝑚)

331

𝒌 =𝟏𝟖𝒌𝒈. 𝒄𝒎

𝟑𝟑𝟏

Como:

𝒘 = 𝒌𝒙𝟐 , 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒆𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂 𝒆𝒏 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒌 𝒚 𝒔𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆:

6𝑘𝑔. 𝑐𝑚 =18

331𝑘𝑔. 𝑐𝑚(𝑥2)

𝑥2 = 6𝑘𝑔. 𝑐𝑚 (331

18 𝑘𝑔. 𝑐𝑚2)

𝑥2 =1986 𝑐𝑚

18=

331 𝑐𝑚

3

𝑥 = √331

3 𝑐𝑚2

𝒙 = 𝟏𝟎, 𝟓𝟎𝟒 𝒄𝒎


4. La función demandada para un producto es de la forma:

𝐷(𝑥) =450

𝑥 + 8

a. Cuál será el nivel de venta para un precio de $10 b. Encontrar el excedente del consumidor para el nivel para el nivel de

ventas de la parte a.

a. Reemplazamos en la función el precio y se tiene:

𝐷(10) =450

10 + 8

𝐷(10) =450

18

𝑫(𝟏𝟎) = 𝟐𝟓 El nivel de Venta es 25 para un precio de $10 b. Como se sabe que el excedente del consumidor se halla aplicando la

fórmula:

𝑬𝑪 = ∫ 𝑫(𝒙)𝒅𝒙 − 𝑷𝑸𝑸

𝟎

𝐸𝐶 = ∫450

𝑥 + 8𝑑𝑥 − 10(25)

25

0

𝐸𝐶 = 450 ∫𝑑𝑥

𝑥 + 8𝑑𝑥 − 250

25

0

𝐸𝐶 = 450 𝑙𝑛|𝑥 + 8| ∫ −25025

0


𝐸𝐶 = 450(𝑙𝑛|25 + 8| − 𝑙𝑛|0 + 8|) − 250

𝐸𝐶 = 450(𝑙𝑛|33| − 𝑙𝑛|8|) − 250

𝐸𝐶 = 450(1417) − 250

𝐸𝐶 = 637,50 − 250

𝑬𝑪 = $𝟑𝟔𝟖, 𝟔𝟖


CONCLUSIONES

Después del desarrollo del presente trabajo se puede identificar que el Cálculo Integral como área de las matemáticas, tiene un carácter básico en cualquier campo de formación disciplinar o área del saber, debido a que los Ingenieros, administradores, Economistas, Físicos, Químicos, por supuesto los Matemáticos y demás profesionales requieren de esta área del saber

trabajo colaborativo 3 - calculo integral

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